2017 i separata semana 03

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E.A.P. de IngenierĂ­a: De Sistemas e InformĂĄtica

MATEMĂ TICA APLICADA A LA INGENIRĂ?A III TEMA: 03. FUNCIĂ“N VECTORIAL DE VARIABLE REAL TURNO: NOCHE AULA:

CICLO III 2017 I

SEMANA: FECHA:

FUNCIĂ“N VECTORIAL DE VARIABLE REAL

Una curva en el plano asĂ­ como una curva C en el espacio tridimensional pueden definirse mediante ecuaciones paramĂŠtricas. Al emplear las funciones como componentes en un conjunto de ecuaciones paramĂŠtricas, podemos construir una funciĂłn de valores vectoriales cuyos valores son los vectores de posiciĂłn de los puntos sobre la curva C. En este capĂ­tulo consideraremos el cĂĄlculo y las aplicaciones de estas funciones vectoriales.

dominio es un conjunto de nĂşmeros reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una funciĂłn del tipo

Las funciones con las que se ha trabajado hasta z •

C t

đ?’‡(đ?‘Ą) t

R

f

f : I ďƒ? R ď‚Ž Rn t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) e1  f 2 (t ) e2  ...  f n (t )en  ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) )

y

f :I ďƒ? R ď‚Ž R t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k 3

x

 ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) )

el momento son funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de los reales). Se estudiarĂĄn en este capĂ­tulo funciones de una variable real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un objeto. Funciones vectoriales DefiniciĂłn. - Una funciĂłn vectorial de una variable real en el espacio es una funciĂłn cuyo Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo

f : I ďƒ? R ď‚Ž R2 t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) i  f 2 (t ) j  ( f1 (t ), f 2 (t ) ) donde f1 , f 2 y f3 son funciones reales de variable real t , llamadas funciones componentes de f . Dominio de una funciĂłn vectorial.- Esta dado por la intersecciĂłn de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) ) entonces I  Dom (f)  Dom ( f1 ) Dom (f 2 ) Dom (f3 ) Email - mtarazona@uch.edu.pe

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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIRÍA III Ejemplo:

Si f (t )  1  t 2 ,

t , ln t

CICLO III 2017 I

el dominio de f

será I  t R / t  0  Rango o imagen de f.- sea f: I → Rn una función vectorial tal que f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) ) , definimos Im(f) = {(f1 (t), f2 (t), f3 (t), … , fn (t))/ tεI}, donde Im(f) = f(I) Traza de f.- El conjunto imagen f(I) ⊂ ℝ3 se denomina la traza de f.

Nota: Si la función vectorial

f

describe el

movimiento de una partícula, el vector f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t representa la variable tiempo. Ejemplo 1: f : R  R3 / f (t )  ( 2  3 t ) i  2 t j  (1  t ) k

Ejemplo 4: Determine la función vectorial que describe la curva C de intersección del plano y = 2x y el paraboloide: z = 9 − x 2 − y 2 . Solución Parametrizando la curva C de intersección dejando x = t se deduce que y = 2t y z = 9 − t 2 − (2t)2 = 9 − 5t 2 de acuerdo a las ecuaciones paramétricas. x=t y = 2t { − ∞ < t < +∞ z = 9 − 5t 2 función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano la función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano y = 2x está dada por: ⃗f(t) = ti + 2tj + (9 − 5t 2 )k

Ejemplo 2: f : R  R / f (t )  ( t , sent , cos 3 t ) 3

2

Ejemplo 3: Grafique la curva trazada por la función vectorial f(t) = 2costi + 2sentj + 3k Solución x = 2cost Parametrizando {y = 2sent z=3 Un punto de la curva ya sobre la curva: x 2 + y 2 = 4, sin embargo, como la coordenada z de cualquier punto tiene el valor constante z = 3

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MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIRÍA III Ejemplos

b. ⃗f(t) = (√t ,

• Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión barométrica actuaría, así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja. • Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar usando humo. • Campos magnéticos. Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro. • Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Ejercicios

1

III 2017 I

, ln(4 − t 2 ))

, ln(4 − t))

√t−1

d. ⃗f(t) = (√t − 3 , √t + 3 , t 3 ) e. ⃗f(t) = (t 2 − 4 , f. ⃗f(t) = (t , √t2 1

1

4−t

√t−1

1 +5t−20

, ln(√t2 )) −9

, ln(t 2 − 5t + 6))

8

g. ⃗f(t) = (t+2 , √9−t2 , ln(t 20 + 5))

2.- Hallar el Dominio de las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar: a) f (t )  et i  Sen t j

b) f (t ) 

1 3 i j t 5 t 1

d) c) f (t )  ( t  4, 3 t  7, t ) e) f (t )   Ln(2t  8), Ln(7  t )

3.- . Hallar el Dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable Escalar: a ) f (t )  et i  sen t j

b) f (t ) 

01. Determine el dominio de la función vectorial definida por a. ⃗f(t) = (ln(t) , t 2 , √1 − t )

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo

c. ⃗f(t) = (t ,

1 √t−1

CICLO

1 3 i j t 5 t 1

c) f (t )  t 5 i  5t j  5t k

d ) f (t )  ( t  4, 3 t  7, t )

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e) f (t )  ď › Ln(2t  8), Ln(7  t )ď ?

Observamos que un punto sobre la curva yace en el

đ?‘“) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą + 1) , √đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 8)

FIGURA y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curva se enrolla hacia arriba en una espiral cilĂ­ndrica o una hĂŠlice circular.

đ?‘Ą2

g) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą+2 , 2đ?‘Ą 3 ,

2đ?‘Ą

cilindro circular x 2  y 2  22 Como advertimos en la

)

đ?‘Ą+1

1 j) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą 2 , 0, đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą + 1)) 1

k) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą 2 +1 , đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą 2 − 1),

2đ?‘Ą

)

đ?‘Ąâˆ’1

l) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą − 1) , √đ?‘Ą 2 − 2đ?‘Ą − 3) đ?‘Ąâˆ’5 ll) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ąâˆ’2 , √đ?‘Ą 2 − 9, đ?‘Ą 2 − 5) 2

đ?‘Ą −9 m) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (√đ?‘Ą, đ?‘™đ?‘› (đ?‘Ą 2 −36) , đ?‘Ą 2 )

n) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (√9 − đ?‘Ą 2 , √đ?‘Ą 2 − 1, đ?‘™đ?‘›đ?‘Ą) 04. đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą, 3đ?‘Ą), đ?‘Ą ∈ đ?‘…, se expresa tambiĂŠn con las ecuaciones paramĂŠtricas x = t, y = 3t. La imagen o la trayectoria de f es una recta en el plano R2 . 05. ⃗f(t) = (cost, sent), t ∈ [0, 2Ď€]. En este caso, la trayectoria de f es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1? 06. Describa la curva en el espacio que definen las siguientes funciones vectoriales: a) ⃗f(t) = (1 − t, 2 + 4t, 3 + 2t), t ∈ R

08. Sea ⃗f: I ⊆ R â&#x;ś R3 , tal que ⃗f(t) = (acost, 3, bsent, t), t ∈ R esta curva es llamada hĂŠlice. x = acost x 2 = a2 cos 2 t Note que { y = bsent â&#x;š {y 2 = b2 sen2 t z=t z=t x2

b) ⃗f(t) = (sent, 3, cost), t ∈ R

y2

â&#x;š a2 + b2 = 1

c) ⃗f(t) = (2cost, 2sent, t), t ∈ R

Se puede observar como la traza que hace la x2

đ?‘Ľ = 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą, đ?‘Ś = 2đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą, đ?‘§ = đ?‘Ą, Al eliminar el parĂĄmetro t de las primeras dos ecuaciones

x 2  y 2  (2cost)2  (2sent)2  22 Lic.: Miguel à ngel Tarazona Giraldo

y2

superficie x = acosz al cilindro a2 + b2 = 1

Las ecuaciones paramĂŠtricas de la curva đ??ś son:

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CICLO III 2017 I

proyecto relacionado al desarrollo de software, las metodologías que se deben manejar y los conocimientos más básicos del ingeniero de software. Pero nunca hemos destacado la importancia que implica dicha profesión en el mundo de la informática. La ingeniería de software se centra en los métodos, las herramientas y procedimientos para establecer el control del desarrollo de software, lo que da como resultado la construcción de software de calidad y con un mínimo de errores. El ingeniero en software debe tener las siguientes características: 09. Determine el domino de la función vectorial definida por ⃗f(t) = (ln(t) ; t 2 ; √1 − t) 10.- Un jugador de béisbol lanza una pelota con un ángulo de 45° con respecto a la horizontal, a una distancia de 75 metros si la pelota es capturada al mismo nivel de lanzamiento, determinar la rapidez inicial de lanzamiento. 11.- Un proyectil es disparado a una altura de 10 metros con una velocidad inicial de 1500m/s y con un ángulo de elevación de 30°. Determinar: a) la velocidad, en cualquier instante b) la altura máxima. c) el alcance del proyectil. d) la rapidez con la que el proyectil choca con el suelo.

Lectura: Importancia de la ingeniería de software En casi todos los ensayos se habló de las herramientas y todos los beneficios que estas nos brindan a la hora de comenzar cualquier tipo de Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo

· · · · · ·

Debe ser preciso y conciso. Debe ser sociable. Debe entender fácilmente lo que se le dice. Debe saber expresarse de una manera clara. Debe tener buen manejo de las matemáticas. Debe dominar las metodologías del desarrollo de software. · Debe estar constantemente informado de los temas de actualidad en cuanto a informática respecta. Estas y las características básicas que debe tener un ingeniero son lo que en su conjunto forman a un buen ingeniero en software. El IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) define a la ingeniería de software como la ramificación de la ingeniería que aplica los principios de la ciencias de la computación aunados con las matemáticas para lograr la eficacia en las soluciones de desarrollo de software.

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La mayoría del tiempo los desarrolladores pasan por las 4 principales etapas del desarrollo de software (análisis, desarrollo, pruebas e implementación) pero la mayoría del tiempo no documentan cada etapa del desarrollo, no siguen ninguna metodología apropiada y como consecuencia el producto final no será lo que el cliente desea, provocando gasto innecesario de tiempo y de dinero.

tengamos las bases necesarias para ofrecer productos de calidad

En conclusión es por eso que las empresas que requieren de software o se dedican a fabricarlo, requieren que su equipo de trabajo esté integrado mayormente por ingenieros de software, ellos poseen las metodologías y la disciplina necesaria para desarrollar software de calidad que de verdad den solución definitiva a los problemas de quien lo esté solicitando, no debemos caer en el error de no documentar o no seguir las metodologías ya establecidas por el trabajo que esto implica, como futuros ingenieros o licenciados, debemos crearnos desde ahora que somos estudiantes las buenas costumbres del ingeniero de software para que en el futuro si llegamos a dedicarnos al desarrollo de software,

Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo

Bibliografías Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica

Leithold, Louis. “Cálculo con Geometría Analítica”, Harla, sexta edición, 1992.

Referencias https://analisisfigempa.wikispaces.com/Integral+Dobl e www.jacobiperu.com http://usach.maximi89.cl/descargas.php

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