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E.A.P. de: INGENIERĂ?A ELECTRĂ“NICA CON MENCIĂ“N EN TELECOMUNICACIONES

MATEMĂ TICA APLICADA PARA LA INGENIERĂ?A

CICLO: III

TEMA: FUNCIĂ“N VECTORIAL DE VARIABLE REAL

SEMANA: 03

TURNO: NOCHE

SEMESTETRE: 2017 - I

PABELLĂ“N: B

AULA: 604

FUNCIĂ“N VECTORIAL DE VARIABLE REAL

Una curva en el plano asĂ­ como una curva C en el espacio tridimensional pueden definirse mediante ecuaciones paramĂŠtricas. Al emplear las funciones como componentes en un conjunto de ecuaciones paramĂŠtricas, podemos construir una funciĂłn de valores vectoriales cuyos valores son los vectores de posiciĂłn de los puntos sobre la curva C. En este capĂ­tulo consideraremos el cĂĄlculo y las aplicaciones de estas funciones vectoriales.

cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una funciĂłn del tipo

Las funciones con las que se ha trabajado z •

t

R

f

C t

đ?’‡(đ?‘Ą)

f : I ďƒ? R ď‚Ž Rn t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) e1  f 2 (t ) e2  ...  f n (t )en  ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) )

y

f : I ďƒ? R ď‚Ž R3 t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f 3 (t ) k

x

hasta el momento son funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de los reales). Se estudiarĂĄn en este capĂ­tulo funciones de una variable real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un objeto.

 ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) ) f :I ďƒ? R ď‚Ž R t ď‚Ž f (t )  f1 (t ) i  f 2 (t ) j 2

 ( f1 (t ), f 2 (t ) ) donde f1 , f 2 y f3 son funciones reales de

t, variable real componentes de f .

llamadas

funciones

Funciones vectoriales DefiniciĂłn. - Una funciĂłn vectorial de una variable real en el espacio es una funciĂłn cuyo dominio es un conjunto de nĂşmeros reales y

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Dominio de una funciĂłn vectorial.- Esta dado por la intersecciĂłn de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si

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f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) ) entonces

x = 2cost Parametrizando {y = 2sent z=3 Un punto de la curva ya sobre la curva: x 2 + y 2 = 4, sin embargo, como la coordenada z de cualquier punto tiene el valor constante z = 3

I  Dom (f)  Dom ( f1 ) Dom (f 2 ) Dom (f3 )

Ejemplo: Si f (t )  1  t 2 ,

t , ln t

CICLO: III

el

dominio de f será I  t R / t  0 

Rango o imagen de f.- sea f: I → Rn una función vectorial tal que f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) ) , definimos Im(f) = {(f1 (t), f2 (t), f3 (t), … , fn (t))/ tεI}, donde Im(f) = f(I)

Traza de f.- El conjunto imagen f(I) ⊂ ℝ3 se denomina la traza de f. Nota: Si la función vectorial f describe el movimiento de una partícula, el vector f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t representa el variable tiempo.

Ejemplo 1: f : R  R3 / f (t )  ( 2  3 t ) i  2 t j  (1  t ) k

Ejemplo 2: f : R  R3 / f (t )  ( t 2 , sent , cos 3 t )

Ejemplo 3: Grafique la curva trazada por la función vectorial f(t) = 2costi + 2sentj + 3k Solución

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Ejemplo 4: Determine la función vectorial que describe la curva C de intersección del plano y = 2x y el paraboloide: z = 9 − x 2 − y 2 . Solución Parametrizando la curva C de intersección dejando x = t se deduce que y = 2t y z = 9 − t 2 − (2t)2 = 9 − 5t 2 de acuerdo a las ecuaciones paramétricas. x=t { y = 2t − ∞ < t < +∞ 2 z = 9 − 5t función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano la función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano y = 2x está dada por: ⃗f(t) = ti + 2tj + (9 − 5t 2 )k

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• Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclidiano, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Ejercicios 01. Determine el dominio de la función vectorial definida por a. ⃗f(t) = (ln(t) , t 2 , √1 − t )

Ejemplos • Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión barométrica actuaría, así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja. • Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar usando humo. • Campos magnéticos. Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro. Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://jacobiperu.com/

b. ⃗f(t) = (√t , c. ⃗f(t) = (t ,

1 √t−1 1

, ln(4 − t 2 ))

, ln(4 − t))

√t−1

d. ⃗f(t) = (√t − 3 , √t + 3 , t 3 ) e. ⃗f(t) = (t 2 − 4 , f. ⃗f(t) = (t , √t2 1

1

4−t

√t−1

1 +5t−20

, ln(√t2 )) −9

, ln(t 2 − 5t + 6))

8

g. ⃗f(t) = (t+2 , √9−t2 , ln(t 20 + 5)) 2. Hallar el Dominio de las siguientes Funciones Vectoriales de Variable Escalar: a) f (t )  et i  Sen t j

b) f (t ) 

1 3 i j t 5 t 1

d) c) f (t )  ( t  4, 3 t  7, t ) e) f (t )   Ln(2t  8), Ln(7  t ) E_MAIL. Mtarazona@uch.edu.pe

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06. Describa la curva en el espacio que definen las siguientes funciones vectoriales:

3. Hallar el Dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable Escalar: a ) f (t )  et i  sen t j

a) ⃗f(t) = (1 − t, 2 + 4t, 3 + 2t), t ∈ R

1 3 b) f (t )  i j t 5 t 1

b) ⃗f(t) = (sent, 3, cost), t ∈ R

c) f (t )  t i  5 j  5t k 5

CICLO: III

t

c) ⃗f(t) = (2cost, 2sent, t), t ∈ R d ) f (t )  ( t  4, 3 t  7, t )

Las ecuaciones paramĂŠtricas de la curva đ??ś son:

e) f (t )  ď › Ln(2t  8), Ln(7  t )ď ?

đ?‘Ľ = 2đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą, đ?‘Ś = 2đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą, đ?‘§ = đ?‘Ą, Al eliminar el parĂĄmetro t de las primeras dos ecuaciones

đ?‘“) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą + 1) , √đ?‘Ą 2 + 2đ?‘Ą − 8) 2

đ?‘Ą g) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą+2 , 2đ?‘Ą 3 ,

2đ?‘Ą

x 2  y 2  (2cost)2  (2sent)2  22

)

Observamos que un punto sobre la curva yace en

đ?‘Ą+1

el cilindro circular x 2  y 2  22 Como advertimos en

1 j) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą 2 , 0, đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą + 1)) 1

k) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą 2 +1 , đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą 2 − 1),

2đ?‘Ą

la FIGURA y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curva se enrolla hacia arriba en una espiral cilĂ­ndrica o una hĂŠlice circular.

)

đ?‘Ąâˆ’1

l) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ą − 1) , √đ?‘Ą 2 − 2đ?‘Ą − 3) đ?‘Ąâˆ’5

ll) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ąâˆ’2 , √đ?‘Ą 2 − 9, đ?‘Ą 2 − 5) đ?‘Ą 2 −9

m) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (√đ?‘Ą, đ?‘™đ?‘› (đ?‘Ą 2 −36) , đ?‘Ą 2 ) n) đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (√9 − đ?‘Ą 2 , √đ?‘Ą 2 − 1, đ?‘™đ?‘›đ?‘Ą)

04. đ?‘“⃗(đ?‘Ą) = (đ?‘Ą, 3đ?‘Ą), đ?‘Ą ∈ đ?‘…, se expresa tambiĂŠn con las ecuaciones paramĂŠtricas x = t, y = 3t. La imagen o la trayectoria de f es una recta en el plano R2 .

05. ⃗f(t) = (cost, sent), t ∈ [0, 2Ď€]. En este caso, la trayectoria de f es la circunferencia centrada en (0, 0) de radio 1?

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07. Sea ⃗f: I ⊆ R ⟶ R3 , tal que ⃗f(t) = (acost, 3, bsent, t), t ∈ R esta curva es llamada hélice. x = acost x 2 = a2 cos 2 t Note que { y = bsent ⟹ {y 2 = b2 sen2 t z=t z=t x2

y2

⟹ a2 + b2 = 1 Se puede observar como la traza que hace la x2

CICLO: III

10.- Un proyectil es disparado a una altura de 10 metros con una velocidad inicial de 1500m/s y con un ángulo de elevación de 30°. Determinar: a) la velocidad, en cualquier instante b) la altura máxima. c) el alcance del proyectil. d) la rapidez con la que el proyectil choca con el suelo.

y2

superficie x = acosz al cilindro a2 + b2 = 1

Bibliografías Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967. Leithold,

Louis.

“Cálculo

con

Geometría

Analítica”, Harla, sexta edición, 1992. Referencias

08. Determine el domino de la función vectorial definida por ⃗f(t) = (ln(t) ; t 2 ; √1 − t)

https://analisisfigempa.wikispaces.com/Integral+ Doble www.jacobiperu.com

09.- Un jugador de béisbol lanza una pelota con un ángulo de 45° con respecto a la horizontal, a una distancia de 75 metros si la pelota es capturada al mismo nivel de lanzamiento, determinar la rapidez inicial de lanzamiento.

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http://usach.maximi89.cl/descargas.php https://es.wikipedia.org/wiki/H%C3%A9lice_(geo metr%C3%ADa)

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