Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Antes de participar en el foro, resuelve los siguientes ejercicios: 1.
Aplica las propiedades anteriores y calcula los límites de las siguientes funciones. Conserva tus resultados para que los compartas y los discutas con tus compañeros(as) en el foro. (8)3 + 2(8)2 - 5(8) / (8)2 - 2 = 512 + 128 - 40 / 64 - 2 = 600 / 62 = 300 / 31
3(3)5 + 8(3)3 = 3(243) + 8(27) = 729 + 216 = 945
[(5)2 + 3(5)] [5 - 2] = (25 + 15) (3) = (40) (3) = 120
1525
(-1)3 - 5 / -1 - 1 = -1 - 5 / -2 = -6 / -2 = 3
2.
En equipos, investiguen las propiedades de los límites para el cálculo de las funciones trigonométricas. Elaboren un formulario y un ejemplo para mostrar el procedimiento del cálculo de límites de funciones. Limites de funciones trigonométricas: Antes de establecer el límite de las funciones trigonométricas, estudiaremos y probaremos dos teoremas de gran utilidad. Teorema 12: Dadas las funciones f(x) y g(x), si f(x) ≧ g(x), para valores de x en el intervalo ]a - ∝, a + ∝[ y si
, entonces L ≥ M.
Prueba: Por las hipótesis del teorema podemos asegurar que:
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Sea un real positivo arbitrario. Por definición de límite sabemos que existe tal que si |x - a| < , entonces |f(x) - g(x) - (L - M)| < .
>0
Ahora bien, si hacemos p = mín{∝, }, garantizamos que f(x) ≥ g(x) y |f(x) - g(x) - (L M)| < . De esta última desigualdad, podemos deducir que:
De f(x) ≥ g(x), obtenemos f(x) - g(x) ≥ 0 y de aquí: 0≥L-M+ Recordemos que era un real positivo arbitrario, por tanto, puede tomar cualquier valor mayor que cero; ello nos permite decir que L - M es un real con la siguiente característica: no importa el número positivo que le sumemos, el resultado siempre será mayor o igual que cero, esto nos permite afirmar que L - M ≥ 0. Bueno, la última afirmación parece un tanto “gruesa”, requiere de una mayor explicación. Nuestra explicación estará basada en uno de los métodos de demostración matemática más usuales, conocido como reducción al absurdo o contradicción. El método consiste en suponer que la tesis que queremos probar es falsa y llegar, a través de razonamientos lógico-matemáticos, a contradecir alguna de las hipótesis de partida o algún resultado que ya conocemos como válido. Luego de esta disgresión, volvamos a nuestro problema. Recuerde que debemos probar que L - M ≥ 0, siempre que se cumpla que L - M + > 0, para cualquier > 0. Supongamos que L - M < 0. Los números reales tienen la propiedad de que entre dos distintos, existe otro; sea K un número real entre L - M y 0: L-M<K<0 note que K - (L - M) > 0. Como = K - (L - M).
puede ser cualquier número positivo, tomemos
Ahora: L-M+
= L - M + K - (L - M) = K
pero K < 0, con lo cual llegamos a una contradicción, con el hecho de que L - M + ≥ 0 para cualquier > 0. De lo anterior, L - M ≥ 0, es decir, L ≥ M que es lo que queríamos probar.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Teorema 13 (del emparedado): Dadas las funciones f, g y h si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en un intervalo alrededor de a y Prueba: Sea
> 0, existen
f(x) = 1,
2,
3
g(x) = L, entonces
h(x) = L.
que cumplen:
i)
si |x - a| <
1,
entonces f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
ii)
si |x - a| <
2,
entonces |f(x) - L| <
iii)
si |x - a| <
3,
entonces |g(x) - L| <
Para que estas tres condiciones se cumplan simultáneamente, hagamos 2, 3}. Para |x - a| <
= mín {
1,
, se tiene:
i)
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
ii)
L-
< f(x) < L +
iii)
L-
< g(x) < L +
Estas tres desigualdades nos permiten establecer que: L-
< f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L +
de aquí: L-
< h(x) < L +
que es lo mismo que: |h(x) - L| < Teneos entonces que si |x - a| < afirmar que
, entonces |h(x) - L| <
, con lo cual podemos
h(x) = L.
Este último teorema será la base sobre la que nos apoyaremos para calcular límites de funciones trigonométricas. Empezaremos estudiando la función seno. En primer lugar, calculemos el límite de sen x cuando x tiende a cero. Para ello, acudiremos a la ayuda del círculo trigonométrico y de la Geometría. La siguiente figura nos muestra a x y sen x en el círculo unitario.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Advertimos al lector que los ángulos los medimos en radianes, así cuando escribimos sen x nos estamos refiriendo al seno del ángulo de medida x radianes. Trabajamos con radianes para establecer la “abertura” correspondiente al ángulo x. Hecha esta aclaración, sigamos adelante. Nos ubicamos en el punto de intersección del eje de las abscisas y el círculo unitario (punto B de la figura). En ese punto ubicamos un extremo de un segmento de longitud x y, sin permitir que este extremo se separe de B, rotamos el segmento hasta que el otro extremo toque el círculo (punto A de la figura). Si unimos el punto A con el origen, entonces el ángulo buscado será el comprendido entre el eje X y el segmento OA. El lector recordará que el segmento AC tiene una longitud igual a sen x y AB mide x. Consideremos el triángulo CAB, note que es rectángulo y que su hipotenusa es AB y uno de sus catetos es AC, podemos entonces concluir que la medida de AB es mayor que la medida de AC, con lo cual aseguramos que: sen x < x Como nuestro propósito es calcular sen x, podemos establecer que el ángulo x se mueve en los cuadrantes primero y cuarto, de acuerdo con el signo de x. Así para x positivos, estaremos en el primer cuadrante, para x negativos, en el cuarto. La figura que ilustra nuestra demostración, nos ubica en el primer cuadrante. El lector podrá comprobar que para x negativos podemos hacer una figura similar ubicada en el cuarto cuadrante.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Con los mismos razonamientos que empleamos para x > 0, podemos concluir que: - sen x < -x Uniendo las desigualdades (1) y (2) en una sola, escribimos |sen x| < |x|. Ahora bien, como 0 < |sen x| < |x|, podemos escribir: -|x| ≤ sen x ≤ |x| Es fácil comprobar que
|x| = 0 y por el teorema anterior podemos concluir que:
Nos proponemos ahora mostrar que Sea
sen x = sen a.
> 0. Consideremos la expresión |sen x - sen a|, recuerde (por identidad
trigonométrica) que Sustituyendo, obtenemos:
.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Sabemos que |cos x| ≤ 1, para cualquier valor de x, además establecimos la desigualdad |sen x| < |x|. Si en esta última desigualdad sustituimos x por tendremos:
,
Ahora podemos establecer:
En resumen, podemos afirmar que: |sen x - sen a| < |x - a| Si tomamos
=
, entonces si |x - a| <
, entonces |sen x - sen a| <
, por tanto:
Ejemplo 1
Calcular el
.
Solución: Para hacer este cálculo, aplicaremos el teorema de la composición:
Procedamos ahora a calcular el límite para la función coseno. Recordemos que cos x = 1 - 2 sen2
, por tanto:
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Para el cálculo de este límite usamos los siguientes hechos: •
sen x = sen a
•
el teorema del límite de un producto
•
el teorema del límite de una suma
•
el límite de una constante
Estas cuatro propiedades de los límites dan plena validez a la siguiente fórmula:
Para encontrar el límite de la tangente, cotangente, secante y cosecante, basta con aplicar el teorema del cociente. Así, por ejemplo:
De igual manera procedemos para las restantes funciones trigonométricas. Se debe observar que debemos tener cuidado con el dominio de definición de estas funciones.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites
Con las fórmulas de límites de funciones trigonométricas hemos adquirido nuevas herramientas para el cálculo de límites. Pinzón, A. (1973). Cálculo I: Diferencial. San José, Costa Rica: Editorial Universidad Estatal a Distancia.
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Teoremas de límites Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente. Teorema de límite 1: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite 2: Para cualquier número dado a,
Teorema de límite 3: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite 4:
Teorema de límite 5:
Unidad 2. Límites y continuidad Actividad 2. Foro: Propiedades de los límites Teorema de límite 6: Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite 7: Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite 8:
Limite de una función. Consultado el 14 de junio de 2012 en: http:// www.sectormatematica.cl/educsuperior.htm 3.
Den a conocer su investigación en el foro, y los resultados obtenidos para las cinco funciones anteriores, comparen sus semejanzas y diferencias.
4.
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