التمــــــــاثـــل المـحــــــــــــــوري
_ Iمماثـلة نقطة بالنسبة لمستقيم : – (1مثال : ) (Dمستقيم و Mنقطة خارجه . لننشئ ’ Mبحيث يكون المستقيم ) (Dهو واسط القطعة ]. [MM نسمي إذن النقطة ’ Mمماثلة النقطة Mبالنسبة للمستقيم ). (D – (2قاعدة : ) (Dمستقيم و Mنقطة خارجه . تكون النقطة ’ Mمماثلة النقطة Mبالنسبة للمستقيم ) (Dإذا كان ) (Dهو واسط القطعة ]’[MM ** تقنيات :
-- (1كيف ننشئ النقطة ’ Aمماثلة نقطة Aبالنسبة لمستقيم
باستعمال البركار .اتبع الصـور من 1إلى 6
1
2
3 1
44
5
66
-- (2كيف ننشئ النقطة ’ Mمماثلة نقطة Mبالنسبة لمستقيم d باستعمال الكوس و البركار.
اتبع الصـور من 1إلى 3
2
1
* حالة خاصة : ) (Dمستقيم و Mنقطة تنتمي إليه . لننشئ ’ Mمماثلة Mبالنسبة للمستقيم ). (D نالحظ أن مماثلة النقطة Mهي Mنفسها نقول إذن :
مماثـلة نقطة بالنسبة لمستقيم تنتمي إليه هى النقطة نفسها
* تمرين تطبيقي : ABCمثلث قائم الزاوية في . A ’ Cمماثلة Cبالنسبة للنقطة . A أثبت أن ’ Cهي مماثلة النقطة Cبالنسبة للمستقيم ). (AB الحــل : – (1الشكــل :
– (2لنثبت أن ’ Cهي مماثلة Cبالنسبة للمستقيم ). (AB
3
من أجل هذا سنبين أن المستقيم ) (ABهو واسط القطعة ]’. [CC لدينا : ’ Cهي مماثلة Cبالنسبة للنقطة . A إذن A :هي منتصف ]’. [CC و نعلم أن ABCمثلث قائم الزاوية في . A إذن (AB) :عمودي على )(AC أي
) (ABعمودي على )’. (CC
من و نستنتج أن ) (ABهو واسط القطعة ]’. [CC و بالتالي فإن ’ Cهي مماثلة Cبالنسبة للمستقيم )(AB _ IIمماثـل مستقيم بالنسبة لمستقيم : – (1مثال : * الحــالة األولى : ) (Dو ) (Lمستقيمان متوازيان قطعا . لننشئ )’ (Dمماثل المستقيم ) (Dبالنسبة للمستقيم ). (L ** تقنيات : إلنشاء مماثل المستقيم ) (Dبالنسبة للمستقيم )(L نحدد نقطتين مختلفتين على المستقيم ) (Dثم ننشئ مماثلتيهما بالنسبة للمستقيم ) ، (Lو المستقيم المار من هاتين النقطتين ) المماثلتين ( هو المستقيم )’ (Dمماثل المستقيم ) (Dبالنسبة للمستقيم ). (L نالحظ أن . (D’) // (L) :
* الحــالة الثانية : ) (Dو ) (Lمستقيمان متقاطعان في نقطة . O لننشئ )’ (Dمماثل المستقيم ) (Dبالنسبة للمستقيم ). (L ** تقنيات :نتبع نفس التقنيات أعاله . نالحظ أن )’ (Dيمر هو اآلخر من . O
– (2خاصية : ) (Dو ) (Lمستقيمان و )’ (Dمماثل ) (Dبالنسبة للمستقيم ). (L – 1إذا كان (D) // (L) :فإن ). (D’) // (L – 2إذا كان (D) :يقطع ) (Lفي نقطة Mفإن )’ (Dيقطع كذلك ) (Lفي نفس النقطة . M
_ IIIالحفاظ على استقامية النقط : – (1مثال : ) (Dمستقيم و Aو Bو Cنقط مستقيمية التنتمي إلى المسقيم ). (D لننشئ ’ Aو ’ Bو ’ Cمماثالت Aو Bو Cعلى التوالي بالنسبة للمستقيم ). (D
نالحظ أن A’ :و’ Bو ’C هي كذلك نقط مستقيمية .
– (2خاصية : مماثالت نقط مستقيمية بالنسبة لمستقيم هي كذلك نقط مستقيمية و نقــول : التماثـل المحــــــوري يحافظ على استقامية النقـــــــــــــــط _ IVمماثـل نصف مستقيم بالنسبة لمستقيم : – (1مثال :
) (Dمستقيم و) [ABنصف مستقيم بحيث A (D ) :و ) . B (D لننشئ نصف المستقيم )’ [A’Bمماثل نصف المستقيم ) [ABبالنسبة للمستقيم ). (D
– (2خاصية : مماثـل نصف مستقيم ) [ABبالنسبة لمستقيم ) (Dهو نصف المستقيم )’[A’B بحيث ’ Aو’ Bهما مماثلتي Aو Bعلى التوالي بالنسبة للمستقيم ).(D
_Vمماثـلة قطعة بالنسبة لمستقيم : – (1مثال : ] [ABقطعة و ) (Dمستقيم . لننشئ القطعة ]’ [A’Bمماثلة ] [ABبالنسبة للمستقيم ). (D
– (2خاصية : ) (Dمستقيم و ] [ABقطعة. إذا كانت ’ Aو ’ Bهما على التوالي مماثلتي Aو Bبالنسبة للمستقيم )(D فإن القطعة ]’ [A’Bهي مماثلة القطعة ] [ABبالنسبة للمستقيم ). (D
_VIخاصية الحفاظ على المسافة : – (1مثال : ) (Dمستقيم A ،و Bنقطتان ال تنتميان إلى المستقيم ). (D لننشئ ’ Aو’ Bمماثلتي Aو Bعلى التوالي بالنسبة للمستقيم )(D ثم لنقارن المسافتين ABو ’. A’B باستعمال البر كار نالحظ أن . AB = A’B’ : – (2خاصية : التماثـل المحــوري يحافظ على المسافة بين نقطتين
* تمرين تطبيقي : الحظ الشكــل جانبه بحيث : ABCمثلث متساوي الساقين رأسه Aو ) (Dمستقيم . – (1أنشئ ’ Aو ’ Bو ’ Cمماثالت Aو Bو Cعلى التوالي بالنسبة للمستقيم ). (D – (2أثبت أن المثلث ’ A’B’Cمتساوي الساقين . الحــل : – (1الشكــل :
– (2لنثبت أن ’ A’B’Cمثلث متساوي الساقين . ’ Aمماثلة Aبالنسبة للمستقيم ). (D و ’ Bمماثلة Bبالنسبة للمستقيم ). (D ’ Cمماثلة Cبالنسبة للمستقيم ). (D
لدينا :
إذن حسب خاصية الحفاظ على المسافة سيكون لدينا : ’AB = A’B و ’AC = A’C و بما أن ) AB = AC :ألن ABCمثلث متساوي الساقين في ( Aفإن A’B’ = A’C’ : و منه فإن المثلث ’ A’B’Cمتساوي الساقين رأسه ’. A _VIIمماثلة زاوية بالنسبة لمستقيم : – (1مثال : ˆ ) (Dمستقيم و AOBزاوية قياسها . 40° لننشئ ’ Aو’ Oو ’ Bمماثالت Aو Oو B على التوالي بالنسبة للمستقيم ). (D نالحظ باستعمال المنقلة أن ˆ 40 : AOB
– (2خاصية : مماثلة زاوية بالنسبة لمستقيم هي زاوية تقايسها * بتعبير آخر : ) (Dمستقيم و ˆ AOBزاوية . إذا كانت ’ Aو’ Oو’ Bهي مماثالت Aو Oو Bعلى التوالي بالنسبة للمستقيم ) (Dفإن : ' ˆ A 'Oˆ ' B . AOB
_VIIIمماثلة زاوية بالنسبة لمستقيم : – (1مثال :
) ( Cدائرة مركزها Oو شعاعها r و ) (Dمستقيم ال يقطع الدائرة ) .( C لتكن Aنقطة من الدائرة ) . ( C لننشئ ’ Oو ’ Aمماثلتي Oو Aعلى التوالي بالنسبة للمستقيم ). (D
نسمي الدائرة )’ ( Cمماثلة الدائرة بالنسبة للمستقيم )(D * لنبين أن للدائرتين ) ( Cو )’ ( Cنفس الشعاع . r لدينا ’O :هي مماثلة Oبالنسبة للمستقيم ). (D و ’ Aهي مماثلة Aبالنسبة للمستقيم ). (D إذن ) OA = O’A’ :حسب خاصية الحفاظ على المسافة ( . و بما أن OA = r :فإن O’A’ = r : – (2خاصية : مماثلة دائرة ) ( Cمركزها Oو شعاعها rبالنسبة لمستقيم ) (Dهي الدائرة )’ ( Cمركزها ’O مماثل Oبالنسبة للمستقيم ) (Dو شعاعها r
* مالحظة هامة : إلنشاء مماثلة دائرة بالنسبة لمستقيم ) (Dننشئ مماثل المركز بالنسبة للمستقيم )(D و نحتفظ بنفس الشعاع .