Computación V
ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES La lógica de enunciados o de proposiciones es el nivel más básico de análisis lógico. Se analizan las relaciones que se dan entre los enunciados o las proposiciones; es, pues, una lógica interproposicional, no intraproposicional. En este nivel se simboliza de la misma manera proposiciones o enunciados de contenido tan diferente como: "ahora llueve", "algunos días llueve" o "todos los días llueve" ¿Qué es uno enunciando o una proposición? Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Los enunciados dicen de las cosas y, consecuentemente, pueden ser verdaderos o falsos. No son enunciados las expresiones lingüísticas interrogativas, exclamativas o imperativas. Tipos de proposiciones En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que su dominio está bien definido y la harán lógica por lo tanto. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de cómo están conformadas. Proposiciones Simples Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si. . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones componentes. Proposiciones Compuestas Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes. Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones: 1) Carlos Fuentes es un escritor. 2) Sen (x) no es un número mayor que 1. 3) El 14 y el 7 son factores del 42. 4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. 5) El 2 o el 3 son divisores de 48. 6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. 7) Si x es número primo, entonces x impar. 8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. 9) No todos los números primos son impares.
(Simple) (Compuesta) (Simple) (Compuesta) (Simple) (Compuesta) (Compuesta) (Compuesta) (Compuesta)
CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD Conectores lógicos, signos de importancia para el manejo de las traducciones al simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas. Recordemos lo siguiente, "llamamos proposiciones coligativas a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
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Proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La característica fundamental de toda proposición coligativa es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las conectivas más corrientes: a. b. c. d. e. f.
La negación La conjunción La disyunción inclusiva La disyunción exclusiva La condicional La bicondicional
LA NEGACIÓN
La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más brevemente, "no". A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la negación se refiere al conjunto complemento. Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.
p V
~p F
F
V
LA CONJUNCIÓN.
La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la conjunción está regida por la ley asociativa, (p q)r equivale a decir "p q r". Pero también es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son irrelevantes en su orden. La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:
Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es verdadera Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es falsa.
Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
Computación V
El expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera:
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Ejemplo: Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería" Sean: p= tiene gasolina el tanque q = tiene corriente la batería r = el auto enciende = p ^ q La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción inclusiva, llamada también, alternación, expresada ordinariamente mediante la palabra "o", simbólicamente se le representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones. Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa que consiste en la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o la falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley conmutativa de que el orden de las alternativas no afecta a la alternación. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
Computación V La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplo: Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase" Sean: p= compra boleto q = obtiene un pase r = una persona entra al cine = p v q La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Una de las propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de poseer el carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por la cual optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son " a menos que…" o "salvo que…" La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o verdaderas.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p
q
pvq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
Computación V
LA CONDICIONAL
La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones.. La primera proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o "proposición implicativa". La importancia de esta clase de proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias, particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del antecedente. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue: p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Ejemplo: Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe LA BICONDICIONAL La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas proposiciones se necesitan entre sí. La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas.
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
Computación V
El expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente manera: p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
•CONTINGENCIA: Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:
Mynor Jeremías Hernández Velásquez