MATEMATICA ELEMENTAL I
CONJUNTOS Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} A= {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Es la unión de elementos o colección de objetos Los conjuntos los representamos por letras mayúsculas A, B, C, D, Elementos de un conjunto se representan con letras minúsculas a, b, c, d, e, f, g , h ,i.
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
MATEMATICA ELEMENTAL I
Pertenencia de un conjunto Para expresar que un elemento p pertenece a un conjunto P aplicaremos el símbolo de pertenencia
ϵ Ejemplo: p ϵ P, que se lee; p pertenece a P y para indicar que un elemento I no pertenece al conjunto P lo expresamos así, L ∉ P. Todos los perros de la figura pertenecen al conjunto p, pero el mono es evidente que no pertenece.
Que es la relación de equivalencia de conjuntos. Es cundo tienen la misma cardinalidad recordando que la cardinalidad es el ultimo elemento de un conjunto o el ultimo ordinal.
Su símbolo ≡ Cundo no son equivalentes solo se pone una diagonal en el símbolo así ≢. Relación de igualdad es cuando tiene los mismos elementos su símbolo = Cundo no son iguales ≠ Aclaración en un conjunto equivalente, se refiera a que ambos tienen la misma cantidad de elementos, en cambio la igualdad tiene los mismos elementos.
Ejemplo A {tiene 10 perros}B{10 Gatos} Entonces A ≡ B porque tiene la misma cantidad de elementos Pero A ≠ B porque los de A son perros y los de B son gatos.
El conjunto universo Es el conjunto que contiene todos los elementos de todos los conjuntos con lo que se esté trabajando en un momento dado. Este conjunto se simboliza con la U El conjunto vacío. Es el conjunto que no tiene elementos y se simboliza con Ø Ejemplo: A {Ø} significa que no tiene elemento.
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Formas de representación de un conjunto. Forma enumerativa Es cundo se escribe el nombre de cada elemento. Ejemplo: A {Mercurio, Venus, Marte, tierra, Saturno, Júpiter, Neptuno} Forma descriptiva Ejemplo: A {x/x es planeta del sistema solar}
Forma gráfica
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Forma nominal ¿Qué es forma nominal? Es donde los conjuntos ya están nominados o definidos como el caso de los números: Dígitos se denota con el símboloↁ ↁ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Naturales ℕ ℕ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….∞} Enteros ℤ ℤ {-∞…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …∞} Racionales ℚ ℚ {son todas las fracciones positivas y negativas} Reales ℝ ℝ {en este conjunto incluye todos los naturales: los enteros y los racionales}
Operaciones con conjuntos Unión ⋃ Llamamos unión de los conjuntos A y B y lo representamos por A ⋃ B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B Ejemplo: A {a, e, i} B {o, u} A ⋃ B = {a, e, i, o, u}
Intersección
⋂
Dados dos conjuntos A y B, lamamos intersección de ambos conjuntos, y lo representamos por A ⋂ B, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B
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Ejemplo: A {a, b, c, d}B{c, d, e, f, g} A ⋂ B = {c, d} La intersección son los elementos que se repiten en los conjuntos. Diferencia de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, se define su diferencia, escrita A – B, como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B. Ejemplo: A {a, b, c, d} B {c, d, e, f, g} A – B ={a, b} B – A = {e, f, g}
Complemento de un conjunto El complemento de un conjunto, es lo que falta para completar el conjunto universo. Por ejemplo: el conjunto U son las letras del abecedario y un conjunto A= {a, b, c, d} El conjunto universo U {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
Como el conjunto A={a, b, c, d } entonces Ac = {e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Como pueden ver el complemento es el conjunto U – A Ac= U – A = {x/x ϵ U y x ∉ A}
Ejercicios resueltos: Conjuntos de referencia
U {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l} A {a, b, c, d} B {c, d, e, f, g} C {g, h, i}
Mynor Jeremías Hernández Velásquez
MATEMATICA ELEMENTAL I
(A ⋃ B) ⋃ C) Primero unimos A y B luego este resultado con C, así. (A ⋃ B) = {a, b, c, d, e, f, g} Luego (A ⋃ B) ⋃ C= {a, b, c, d, e, f, g, h, i} Lo que está en verde es el resultado de la operación. [(A ⋃ B) ⋃ C] ⋂ (B - C). Por la operación anterior sabemos que (A ⋃ B) ⋃ C = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} (B - C) = {c, d, e, f} Entonces [(A ⋃ B) ⋃ C] ⋂ (B - C)= {c, d, e, f} (B - C)c⋂[(A ⋃ C) ⋃ B ]c B - C ={c, d, e, f} (B - C)c{a, b, g, h, i, j, k, l} (A ⋃ C) = {a, b, c, d, g, h, i } (A ⋃ C) B= {a, b, c, d, e, f, g, h, i} [(A ⋃ C) B ]c = {j, k, l} (B - C)c [(A ⋃ C) ⋃ B ]c ={j, k, l}
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