Tomas Virgos_Analysis on Carlos Satue by Nacho de Paz

“Geómetra de lo disperso”! (Breve ciclo de geometrías para piano)! ! “El sistema compositivo de Carlos Satué”!

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TOMÁS VIRGÓS

Análisis del siglo XX (2) Nacho de Paz

‘Geómetra de lo disperso’ (Breve ciclo de geometrías para piano.) El sistema compositivo de Carlos Satué. Tomás Virgós Navarro

ÍNDICE

Pág.

OBJETIVOS MÚSICA Y MATEMÁTICA. BREVE ACERCAMIENTO EL PROCESO COMPOSITIVO

MATERIAL ORIGINAL CODIFICACIÓN PROCESAMIENTO DE DATOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA VOLCADO DE DATOS A LA PARTITURA

5 5 6 13 14

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: CONJUNTO DE CANTOR. PROCESO COMPOSITIVO PARTITURA ANALIZADA

17 19 20

GENERALIDADES DE LA OBRA ANÁLISIS DE LAS PIEZAS

CANTOR. HACIA DENTRO.

BARNSLEY. IGUAL – DISTINTO.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: IFS (ITERATED FUNCTION SYSTEM). PROCESO COMPOSITIVO PARTITURA ANALIZADA LINDENMAYER. RAMAS.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: SISTEMAS L. PROCESO COMPOSITIVO PARTITURA ANALIZADA BROWN. VUELO DE INSECTOS.

22 24 29

33 34 38

40 41 43

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: MOVIMIENTO BROWNIANO. PROCESO COMPOSITIVO PARTITURA ANALIZADA

KOCH. CRISTALES. INTRODUCCIÓN TEÓRICA – CURVA DE KOCH PROCESO COMPOSITIVO PARTITURA ANALIZADA

ENTREVISTA A CARLOS SATUÉ BIBLIOGRAFÍA Y MATERIALES PARTITURAS

45 46 53

OBJETIVOS El trabajo se basa en el análisis de un conjunto de obras pedagógicas simples (y simplificadas) para piano y la aproximación a los modelos compositivos que emplea el compositor en obras mucho mas complejas. Para ello se utiliza material proporcionado por el propio compositor sin el cual, y debido al complicado aparato matemático generador, sería imposible llegar a comprender. Se trabaja habitualmente con un material básico simple que, mediante el uso de la codificación numérica, el empleo de complejas funciones y la transcripción musical de la nube de resultados, se transforma hasta generar un discurso en el que ese material es irreconocible, aunque es el engranaje principal de la obra. Hay un gran número de parámetros que se simplifican para hacer interpretables las piezas que no serían necesarias si se tratara de música para un gran conjunto instrumental. O, en cuanto a las alturas, mediante la utilización de cuartos de tono en instrumentos capaces de realizarlos. La obra ‘Geómetra de lo Disperso’ es idónea para comprender el modelo compositivo de Satué ya que en ella se emplean procedimientos basados en la geometría fractal de un modo cristalino y es, mediante su análisis, un modo factible de abordar un sistema mucho mas complejo en otras obras.

MÚSICA Y MATEMÁTICA. BREVE ACERCAMIENTO. Aunque ambas disciplinas están repletas de paralelismos, hemos de distinguir la relación intrínseca entre Matemática y Música en cuanto a sonido (fenómeno físico) y las investigaciones empíricas de aplicación de normas o procesos matemáticos llevadas a cabo durante los últimos siglos por los compositores. Pues bien, en cuanto al sonido se podría hablar de la matemática contenida en las proporciones frecuenciales que se dan en los intervalos, de la función envolvente, de la curva de armónicos en el espectro, de la superposición de sonidos como una superposición de funciones… Por otro lado, el compositor, a lo largo de la historia ha tratado de emplear las matemáticas para generar un discurso y para avanzar estéticamente. Esto se ha dado desde el empleo de las diversas escalas utilizadas a lo largo de la historia, pasando por la progresiva y empírica incorporación de la polifonía y sus efectos en el resultado total, el contrapunto y sus mecanismos de gestión de secuencias melódicas (imitación, expansión, contracción, inversión, retrogradación…), la utilización de la proporción áurea, los modos de transposición limitada, los métodos que surgieron con el dodecafonismo, los procesos matemáticos de gestión de series de 12 notas empleados en el serialismo...

EL PROCESO COMPOSITIVO.

MATERIAL ORIGINAL El material del que se parte es puramente musical, y puede ser una secuencia de notas con dinámicas asignadas. El primer paso es codificar dicho material en una serie de parámetros cuantitativos matemáticos.

CODIFICACIÓN

ALTURAS Para las alturas se establece un rango total de 1 – 128 tal como funciona el estándar MIDI (MUSICAL INSTRUMENT DIGITAL INTERFACE). Sin embargo, es posible cuantizar no a la semicorchea sino al cuarto de tono (cuantización mínima que emplea Satué) o el octavo. Se representa en el eje de las Y.

TIEMPO Y DURACIÓN

Hay que establecer la unidad mínima de tiempo que puede ser la semicorchea, fusa, una fracción concreta de segundo… Se representa en el eje de las X. Y Pitch [1/4 tono]

DINÁMICA

X Tiempo [unidad mínima]

En cuanto a dinámica, se establece el número de estados y se reparten los 127 espacios MIDI entre ellos:

ffff fff ff f mf mp p pp ppp pppp 0 127 Nótese que el valor máximo es el mas próximo a 0. Se representa en el eje de las Z.

MATERIAL

La representación por colores facilita el reconocimiento y procesado del material de origen de cada elemento.

REPRESENTACIÓN

La representación tridimensional de estos parámetros sería la siguiente:

PROCESAMIENTO DE DATOS El planteamiento estructural general proviene de sistemas L en los que una macroestructura genera diversos grados de microestructura. Para llevar a cabo los complejos procedimientos matemáticos que generan el mapa tridimensional del que se extraerán los datos posteriormente musicalizables es necesario programar software específico. Esta labor es llevada a cabo por el propio compositor y por Carlos Frías. En el software se introducen una serie de parámetros y éste devuelve tanto una representación gráfica de la función como los datos que la definen. Además de la estructura, los parámetros de altura, material, ritmo, dinámicas, distribución instrumental permiten ser codificadas y calculadas mediante la aplicación de los métodos matemáticos oportunos.

A continuación se expone una lista de operaciones habituales en este paso:

EXTRACCIÓN DE MATERIAL DE IMÁGENES DE FRACTALES:

Se realiza un aumento y un recorte y se toman las partes mas interesantes de la figura. Imagen original: Aumento y tinción: División cromática: A B C Región que va a ser tratada: Al ser convertido al milimetrado virtual mediante software:

Tras dividir cromáticamente todo ese material se obtienen una serie de líneas musicalizables: LÍNEA A LÍNEA B …

MODIFICAR MEDIANTE ITERACIONES LA FUNCIÓN INICIAL: Función inicial (iniciadora):

Manera en que se varía (generadora):

Resultado de variar la función inicial (primera iteración):

Si además de iterar, la generadora rota basándose en la arco-‐tangente y se expande proporcionalmente a las diagonales de los segmentos:

La representación del resultado obtenido en el plano X-‐Y más la proyección del plano X-‐ Z (dinámicas) es la siguiente figura:

INJERTO DE MATERIALES: En un sistema L (codificación de ramas) si se inserta un nuevo parámetro o función en cualquier punto de la función principal se obtiene una nueva función similar a la inicial con pequeñas incorporaciones. A esto se le llama injerto: F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F pasa a ser F[+A-‐A+F+A]-‐A +[B]-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F Función + injerto:

Función sin injerto:

Injerto:

COPIA DE MATERIALES: Tomando la idea del estilo fugado en el que una idea se copia de un modo literal o transformado (ya sea en cuanto a altura, duración, sentido vertical u horizontal), se puede aplicar este concepto a la geometría fractal haciendo irreconocible (musicalmente, no gráficamente), la procedencia de la copia. Esto es posible mediante un mecanismo de sistemas de funciones iteradas (IFS). Pasa a ser: Mediante IFS también se pueden obtener resultados tridimensionales gracias al cálculo matricial.

TRANSFORMACIÓN MEDIANTE PROYECCIÓN DEL MATERIALES EN LOS DISTINTOS PLANOS:

Un mismo material representado en tres dimensiones (X,Y,Z – TIEMPO, PITCH, DINÁMICA) es distinto desde el punto en que se mire. La proyección de una función en alzado, planta o perfil puede proporcionar nuevas funciones basadas en la inicial. De un modo mas complejo se podría variar el sistema de ejes con el fin de tener nuevas perspectivas de la función.

TRANSFORMACIÓN MEDIANTE VARIACIÓN SIMPLE O COMPLEJAS DE SUS ATRIBUTOS GENERALES: Las trasformaciones simples pueden ser: Rotación respecto a YZ Traslación respecto a X Rotación respecto a XZ Traslación respecto a Y Rotación respecto a XY Traslación respecto a Z

Exp./Contr. en X Exp./Contr. en Y Exp./Contr. en Z

X Rotación respecto a YZ

Exp./Contr. en Y Exp./Contr. en Z

Traslación en X

Traslación en Z

Traslación en Y

Z Rotación respecto a XY

La matriz de rotación y traslación sería:

Exp./Contr. en X

Rotación respecto a XZ

Las complejas son un conjunto de varias de las anteriores y/o una variación de la perspectiva.

CONFINAMIENTO: Se trata de una envolvente en un filtro de alturas. En el siguiente ejemplo se aclara el concepto. Aparece una nube de puntos y encima una envolvente en color amarillo. Una vez transportada se eliminan los valores que sobrepasan el límite superior o que quedan por debajo del inferior.

El resultado es:

OTROS PROCESOS: DEFORMACIÓN:

Se introduce una función que distorsiona el milimetrado virtual mediante la aplicación del algoritmo del punto medio.

INTERPOLACIÓN:

Generación de funciones lineales o curvas que unen puntos sueltos.

IMBRICACIÓN:

Adición en una función de elementos ajenos a ella.

CONVOLUCIÓN:

Intercambio de variables entre dos funciones.

FILTRO:

Eliminación de puntos que no cumplen ciertas condiciones ya sean estar en un registro armónico, tener una duración concreta, una dinámica entre ciertos valores… El filtro de polifonía, además, facilita el reparto de voces restringiendo el número de puntos en la vertical.

PERMUTACIONES:

Reordenación de las partes del material manteniendo su número. La variación del orden del material original deforma toda la estructura de la pieza.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Resulta fundamental para la toma de decisiones compositivas. Dinámicas, duraciones, posición y material:

Se añade el contenido armónico:

Se representa todo en la misma gráfica.

Y por último se colorea para representar la procedencia del material:

La representación cartesiana del contenido musical recuerda al empleo del papel milimetrado en la composición gráfica:

La utilización de grandes plantillas permite realizar una cuantización mas exhaustiva en cuanto a densidad, pitch y ritmo.

VOLCADO DE DATOS A LA PARTITURA

La primera operación es la conversión a datos MIDI en Finale. Evidentemente es un trabajo cuyo resultado ha de ser readaptado por el compositor para hacerlo realizable e interesante y adaptarlo a la escritura propia de cada instrumento.

GENERALIDADES DE LA OBRA Esta serie de cinco piezas tratan de, a pesar de las limitaciones interpretativas propias del nivel pianístico al que están dirigido (estudiantes de grado medio), plasmar con la máxima fidelidad los modelos matemáticos que se están trabajando: I – Conjunto de Cantor. II – IFS (Iterated Function System). III – Sistemas L. IV – Movimiento Browniano. V – Curva de Koch. El proceso compositivo consiste en plantear un material simple inicial y, mediante procesos matemáticos desarrollar un discurso coherente a ese material. Las notas que conforman el material base son: El primer parámetro en el que aplicar las características del material es la duración de cada sección. Para ello se toma la duración total de la obra, se calcula la cantidad de elementos mínimos de tiempo que lo componen y se obtiene los elementos que corresponden a cada sección. 5 min. x 60 sec. x 5,5* = 1650 unidades * constante que Satué utiliza habitualmente.

El criterio por el que se decide la duración es la interválica con la nota posterior:

5 6 2 7 8 (st.) Como se comprueba en el cálculo de dicha interválica se tiene en cuenta la dirección, sin octavar para limitar el intervalo de 1 a 6 como en el análisis por pitchclass. De este modo, la macroestructura de la obra es la siguiente:

CANTOR BARNSLEY LINDENMEYER BROWN KOCH 295 354 117 413 471 (unidades) Se toma la decisión de establecer la semicorchea a negra 60 como unidad mínima de ritmo aumentando así la longitud total prevista de la pieza. Al final del proceso todas las piezas y sus duraciones, contenido armónico, rítmico… podrían encajar dentro de un gran algoritmo cuyas variables son únicamente las notas iniciales. Se puede asemejar a la estructura de un árbol donde se ramifican y subdividen progresivamente los elementos. No obstante siguen formando parte de un todo.

ANÁLISIS DE LAS PIEZAS CANTOR. Hacia dentro.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: CONJUNTO DE CANTOR. Conjunto de Cantor (Ludwig Phillip Cantor): ITERACIÓN 0 (ORIGINAL) ITERACIÓN 1 ITERACIÓN 2 ITERACIÓN 3 … Es un ejemplo fractal de clara autosimilaridad. La primera iteración o algoritmo básico consiste en dividir un segmento en tres partes iguales y suprimir la central. Si se sigue iterando lo mismo ocurre con los dos fragmentos resultantes de la primera iteración. De este modo, y como característica general de la geometría fractal tomemos los fragmentos que tomemos a la escala que sea tendrán similares características.

Se da una paradoja que consiste en que a cada iteración se resta 1/3 de la longitud. Si se iterara infinitas veces se llegaría al vacío. Sin embargo, la clave estaría en que la interválica eliminada es cerrada y por lo tanto los puntos de los extremos de los segmentos nunca se eliminarían. Este estado de infinitas iteraciones es lo que se denomina Polvo de Cantor. Otros fractales clásicos de construcción similar a ésta son:

Triángulo de Sierpinski: El axioma es un triangulo equilátero. El generador es un mecanismo por el cual se descompone en cuatro y se elimina el central.

Que llevado a las tres dimensiones el axioma pasa a ser un tetraedro: Y el resultado:

Esponja de Menger: Estructura similar al triángulo de Sierpinski.

En el caso de esta miniatura se parte del material base del que ya se ha hablado y se itera teniendo en cuenta las características de direccionalidad y amplitud interválica y duración.

PROCESO COMPOSITIVO Original (duración total dividida en regiones proporcionales a cada elemento del material original y notas pedales con las alturas originales):

a b c d e

Primera iteración: (tomamos ese fragmento e iteramos)

a b c d e

Segunda iteración:

a b c d e

Utilizando ese procedimiento y mediante la aplicación del algoritmo base se obtiene una secuencia de valores de altura respecto al tiempo como se representa en el siguiente gráfico:

Es necesario mencionar que en el sistema todo elemento se ve afectado por su elemento precedente y por tanto un mínimo cambio en las condiciones iniciales afecta a toda la estructura global y, por ello es conveniente controlarlas estimando el resultado último. Se comprueba que el signo del intervalo (+ ascencente, -‐ descendente) de la serie original determina el signo de la siguiente iteración. Por ejemplo, el tercer grupo se invierte ya que el intervalo de la serie original es una segunda menor descendente. Al cuantizar (redondear al valor de la escala de elementos mínimos) en cuanto a métrica y alturas, semicorcheas y semitonos se obtiene la siguiente partitura.

PARTITURA ANALIZADA

En cuanto a las dinámicas se realiza una simplificación ya que, al llevar asignada una dinámica a cada nota en cada iteración y consecuente generación de nuevos elementos se crearían tantos cambios dinámicos como eventos convirtiendo la obra en irrealizable, más aún teniendo fines pedagógicos. Por tanto la dinámica definitiva es la que se obtiene de la primera iteración y, por tanto, en la miniatura hay un total de 25 cambios dinámicos. Dicho de otro modo, cada elemento de la primera iteración establece una nueva dinámica. El resultado es el siguiente:

Esta forma de dividir el espacio es muy similar a la que se emplea al trabajar con la proporción áurea donde el material es mucho más simple: un único binomio (0,618, 0,382). El nivel de control estructural depende del número de iteraciones que se realicen. En el siguiente ejemplo hay una modulación, además, de inversión del binomio. Se dan dos iteraciones:

BARNSLEY. Igual – Distinto. INTRODUCCIÓN TEÓRICA: IFS

Michael Barnsley, matemático británico especializado en el campo de la geometría fractal, estudió las IFS (Iterated Function System) que son fractales derivados de varias iteraciones o copias de un elemento moduladas por otra función. Los parámetros de esa función modulante son, entre otros, la escala en cada eje y la posición.

La figura anterior es el helecho de Bansley que, como se puede comprobar, es serie de copias con diferentes modulaciones y a diferentes escalas de un mismo material:

En las ITS, en cada iteración la función tiende hacia un punto concreto o punto atractor. Su forma esquemática en funciones planas es la siguiente:

x’ = ax + by + e y’ = cx + dy + f Siendo x’ , y’ -‐ valores de los coordenadas tras aplicar la función. e , f – valores que afectan a la traslación. a , b , c , d – coeficientes de afinidad. Afectan a la naturaleza y proporción de la transformación. En el sistema utilizado por Satué en el que el eje de las Y refleja las alturas y las X la posición temporal y duraciones estaríamos hablando de copiar un material transformándolo mediante compresión o expansión ya sea de alturas o de duraciones, o bien, realizando un transporte de alturas o una variación del punto de inicio. Son métodos muy similares a los empleados en el contrapunto barroco, sin embargo conllevan un sofisticado aparato matemático que es realizado por computadoras.

PROCESO COMPOSITIVO En esta pieza, la modulación de las copias afecta a su rotación en torno a un eje. Varía su tamaño y su posición manteniendo un punto siempre en común (el eje de rotación). Se desea trabajar la armonía que este sistema genera mediante bloques y el proceso para ello es el siguiente: Se establece una armonía base consistente en un acorde formado por las notas generadoras de la obra en su posición original mas una inversión en espejo tomando el do como eje: + = (que ahora representaremos: ) Ahora, dicho acorde se sitúa en el eje conformando así la primera posición:

Rotándolo en torno al origen en un ángulo algo inferior al correspondiente a un pentágono (72º) no se llega a completar con 4 iteraciones expandiendo progresivamente el haz de acordes. Además, en cada iteración aumenta su longitud ligeramente:

El resultado es el siguiente:

Si seguimos iterando hasta un total de 24 iteraciones obtenemos un total de 25 acordes. Recordemos que estamos trabajando con acordes consistentes en una línea de puntos. Tras realizar todas las iteraciones: 5 0 6 1 1 4 9 1 7 3 8 2

Organizando por orden de aparición respecto de las rotaciones: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

El gráfico correspondiente a las 24 iteraciones es el siguiente:

El trabajo de transcripción no va a tener el cuenta la posición temporal ni duración ya que, en esta pieza sólo se utiliza el sistema para obtener armonías. La duración y posición viene determinada por las proporciones del material inicial mediante un procedimiento estructural igual al de la primera iteración de la pieza anterior: Primera iteración

Material original

Cada región de la primera iteración delimita un cambio armónico. La armonía resultante, tras someterla a un proceso racional de cuantización es la siguiente:

que representado mediante una retícula cromática genera el siguiente gráfico:

Elijo las tres regiones en las que claramente se comprueban las evoluciones progresivas en cuanto a: -‐ Amplitud del registro del acorde -‐ depende de la inclinación (a más verticalidad del segmento, más amplitud) y del número de iteración (los segmentos se expanden progresivamente). -‐ Altura promedio – depende de la relación vertical entre el centro del segmento y el origen (do central). En el último acorde del segundo ciclo se da una coincidencia en la cuantización de las alturas ya que el segmento correspondiente es prácticamente paralelo al eje de las X y por tanto la amplitud del acorde es 0. Resultado sobre la línea de tiempo:

Las dinámicas son calculadas mediante una codificación numérica de las dinámicas preasignadas: Se emplea para ello un cálculo basado en un proceso de adentramiento similar a lo ya utilizado y una decodificación a parámetros musicales.

PARTITURA ANALIZADA

Con el fin de agrupar la iteración 0 de la estructura (las cinco regiones de la pieza) se utiliza el pedal acumulando las resonancias de cada sección. La tercera, probablemente por su brevedad extiende su resonancia hasta la cuarta. El último cambio de pedal ejerce una función de filtro repentino en el que desaparece la resonancia acumulada de la quinta sección dejando desnudo el último acorde. En esta segunda pieza se han tenido en cuenta dos sistemas de iteración: 1 – ARMONÍA -‐ rotación del segmento que contiene el acorde generador con modulaciones de longitud y ángulo. 2 – ESTRUCTURA -‐ proporcionalidad de la estructura global con las microestructuras. Como conclusión personal a la pieza me gustaría plantear la posibilidad de emplear el sistema de ejes de Bartòk para la obtención de armonías mediante un método similar. Un IFS basado en la rotación más modulación de una figura sobre dicho sistema de ejes. Se trata de cambiar el sistema en el que se codifican las alturas, pasar de un sistema cartesiano a uno radial. Para asignar la octava correspondiente sería necesario incorporar una espiral o bien una serie de círculos concéntricos que dividieran el área de los sectores circulares en fragmentos de igual área. De este modo se repartiría igualmente el círculo en fragmentos y a cada uno de estos fragmentos le correspondería una nota. F C Bb G 5 4 3 2 1 1 Eb Eb 1 D 4 5 5 1 3 Eb Eb Eb 0 0 1 2 0 Eb 1 2 4 3 0 0 Eb 0 0 0 1 0 0 0 0 1 … Ab A Db E

B 31

Tomemos la siguiente secuencia geométrico-‐musical: Simplificando: Realizamos una IFS similar a la de la pieza anterior (rotación + alejamiento del eje): 5 0 6 4 1 2 3 Ahora se incorpora el material inicial:

LINDENMAYER. Ramas.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: SISTEMAS L Los sistemas L creados por Aristid Lindenmayer, biólogo húngaro, son una codificación de funciones que trata de definir el crecimiento de las plantas: -‐ Se parte de una secuencia relativamente simple. -‐ Se multiplica atendiendo a un patrón. El patrón puede permanecer estático o mutar autoiterándose. -‐ Se ramifica generando nuevas funciones. -‐ Puede o no verse afectado por factores exógenos como la gravedad que introduce un factor de corrección. -‐ Se da también un fenómeno de aleatoriedad que introduce procedimientos estocásticos al cálculo. -‐ Es un complejo sistema que requiere una codificación propia para el posterior cálculo de puntos. El modelo de creación de nuevas ramas es el siguiente:

Los siguientes ejemplos han sido generados mediante sistemas L.

Los sistemas L tienen la siguiente estructura:

G = [ V , C , A , P ]

Siendo V – Conjunto de variables. C – Conjunto de constantes. A – Axioma inicial. P – Proceso en el que se modifica dicho axioma. Conceptos necesarios para comprender el sistema L utilizado en la pieza:

CODIFICACIÓN DE ÓRDENES

F f + -‐ A [ ]

Representa (y adelanta) una recta de longitud n.

Adelanta (sin representar) una recta de longitud n.

Rota un ángulo positivo α.

Rota un ángulo negativo α.

Representa la serie inicial*

Abre nueva rama.

Cierra rama.

*secuencia numérica de vectores de la serie inicial. Se decide que α = 15º y n = 10 puntos Hay un número mayor de códigos de órdenes que no se emplean en esta obra.

SIGNIFICANTE – algoritmo o consecución de órdenes. AXIOMA – modificación de ese algoritmo. Al iterar una vez el axioma realiza sobre sí mismo la acción que realizaba sobre el significante.

PROCESO COMPOSITIVO

En esta pieza el significante es el siguiente:

F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F Desarrollando elemento a elemento :

[+A-‐A+F+A] -‐A-‐

Adelanta n (10) unidades pintando una recta

Se abre una nueva rama: Dibuja la serie inicial con un ángulo positivo α (15º) Dibuja la serie inicial con un ángulo negativo α. Adelanta n unidades pintando una recta con un ángulo positivo α. Dibuja la serie inicial con un ángulo positivo α. Se cierra esa rama.

[-‐A+F-‐A-‐A] +F

Dibuja la serie inicial con un ángulo negativo α. Rota después un ángulo negativo α.

Se abre una nueva rama: Dibuja la serie inicial con un ángulo negativo α. Adelanta n unidades pintando una recta con un ángulo positivo α. Dibuja la serie inicial con un ángulo negativo α. Dibuja la serie inicial con un ángulo negativo α. Se cierra esa rama.

Adelanta n unidades pintando una recta con un ángulo positivo α.

El significante tiene 5 zonas reiterando así el aspecto generador del número 5 en la obra. Y el axioma:

F+[+F]

Representa el significante. Rota un ángulo positivo α. Se abre una nueva rama: Representa el significante. Se cierra esa rama.

El resultado de iterar una vez el axioma será: (F+[+F]) + [+(F+[+F])]

F+[+F] + [+F+[+F]]

119

Si sustituimos en la iteración 0: F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F + [+F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F] Si lo hacemos en la 1: F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F +[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F] + [+F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐ A-‐A]+F +[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F]] Por último, si iteramos una segunda vez el axioma el resultado será exponencialmente más complejo: F+[+F]+[+ F+[+F]] + [+F+[+F]+[+ F+[+F]]] F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F +[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F]+[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐ A-‐A]+F +[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F]] + [+F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F +[+ F[+A-‐ A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F]+[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐A]+F +[+ F[+A-‐A+F+A]-‐A-‐[-‐A+F-‐A-‐ A]+F]]] Esta cantidad de órdenes no es sino un lenguaje de programación y exige un soporte informático para poder desarrollarlo. Se establecen los parámetros: X total = 118 Y total = [22 – 109] pitch en semitonos. Registro del piano. Multiplicador = 0,5 (constante por la que se multiplica en las sucesivas repeticiones). El gráfico resultante es: Y (PITCH, SEMITONOS)

X (SEMICORCHEAS) Que al cuantizar para 234 fusas (117 semicorcheas) genera:

118

La cantidad de eventos resultantes es irrealizable y, por tanto, hay que realizar un filtro respecto de algún criterio, en este caso algunas de color rojo y trece de color morado que provienen de la nota Si4, tercera nota del grupo generador. Realizando una estimación de la transcripción a la partitura:

PARTITURA ANALIZADA

En el anterior ejemplo se superpone el gráfico anterior de la cuantización en fusas de la función con la transcripción MIDI de la partitura mediante un secuenciador:

Como se comprueba se dan una serie de reajustes manteniendo la idea fractal inicial. Utilizando este tipo de material es necesario tener un gran control de los parámetros iniciales para obtener un resultado “musicalizable”. Hay fractales que, a pesar de ser geométricamente interesantes difícilmente pueden ser transcritos al lenguaje musical. El estudio de la generación de plantas y una resíntesis posterior utilizando esas mismas normas es similar al que se plantea en el campo de la música con la síntesis por modelado físico en la que, con el objetivo de imitar un sonido se parte de una onda simple y se introducen variaciones que modulan la onda original o que varían otras modulaciones. También es posible emplear para ello la síntesis granular o combinarlas generando algoritmos que deforman una onda básica hasta llegar a imitar un sonido complejo.

BROWN. Vuelo de insectos.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: MOVIMIENTO BROWNIANO El movimiento Browniano es el movimiento randómico que se da en torno a unos valores, es un conjunto de fluctuaciones estadísticas. Se trata de parametrizar un movimiento aleatorio. Este tipo de movimientos se dan por un conjunto de desproporcionalidades instantáneas que siguen una tendencia y que, tras estudiar la posición desde un punto de vista estadístico, definen una trayectoria media. Desviación típica [σ] – se trata de una medida de dispersión. Es la cuantificación del grado de alejamiento de una serie de valores estadísticos respecto de su recta de regresión. Ejemplo: La primera gráfica tiene un menor grado de dispersión y por tanto su desviación típica será inferior. Coeficiente de Hurst – Valor que oscila entre 0 y 1 y define el grado de variabilidad en la tendencia . 0 máxima variabilidad, 1 mínima variabilidad. Como curiosidad, Julio Cortázar en Rayuela habla de ello: “Maga, vamos componiendo una figura absurda, dibujamos con nuestros movimientos una figura idéntica a la que dibujan las moscas cuando vuelan en una pieza, de aquí para allá, bruscamente dan media vuelta, de allá para aquí, eso es lo que se llama movimiento brownoideo, ¿ahora entendés?, un ángulo recto, una línea que sube, de aquí para allá, del fondo al frente, hacia arriba, hacia abajo, espasmódicamente, frenando en seco y arrancando en el mismo instante en otra dirección, y todo eso va tejiendo un dibujo, una figura, algo inexistente como vos y como yo, como los dos puntos perdidos en París que van de aquí para allá, de allá para aquí, haciendo su dibujo, danzando para nadie, ni siquiera para ellos mismos, una interminable figura sin sentido.” Sin embargo, Cortázar no tiene en cuenta que, transcurridos los años, esa serie de movimientos en los personajes aparentemente sin sentido, tienen una tendencia.

PROCESO COMPOSITIVO Esta geometría va a ser la misma a la de la primera pieza salvo por un transporte del material inicial una sexta menor. La primera nota pasa a ser La (la cuarta de la serie inicial).

Se deciden los valores de σ y de Hurst para cada sección teniendo en cuenta el potencial resultado musical:

6 0,98

7 0,92

3 0,94

8 0,96

9 0,9

σ cH

La elección de estos parámetros es en parte empírica y en parte teórica y la manera en que afectan a la deformación randómica se puede comprobar en el siguiente gráfico:

El coeficiente de Hurst mas bajo es el del último fragmento y el mas alto el del primero. Se comprueba que la oscilación en torno a la línea base es inversamente proporcional a este parámetro.

En el siguiente gráfico se muestra la manera en que el movimiento browniano deforma la envolvente inicial:

Es posible utilizar el mismo método para generar las dinámicas pero su interpretación resultaría imposible dado el grado de aleatoriedad de este procedimiento. Tal vez, ajustando los valores de desviación típica y coeficiente de Hurst y practicando un redondeo podría llevarse a cabo. La superposición gráfica de la línea base y los puntos obtenidos del movimiento Browniano es:

línea base

movim. Browniano

Hay que tener en cuenta que este resultado tiene una fuerte carga decimal en el eje de las Y (alturas) y, en el piano, es necesario cuantizar a semitono perdiendo así en muchos puntos el movimiento ondulatorio ya que se repetirían gran cantidad de notas. Una vez obtenida la secuencia Browniana se plantea el reparto entre ambas manos y es el siguiente:

GRUPO 1 GRUPO 2 GRUPO 3

D I D

I D D I I D

GRUPO 4 GRUPO 5

I D

D I I D 42

El intervención en la que se invierte el material (derecha-‐izquierda) es el cuarto en cada grupo, nada casual ya que se trata de la cuarta pieza. De un grupo a otro se invierte por completo la disposición. La nota de la serie inicial se realiza en trémolo con la mano que no lleva la línea del movimiento browniano aportando una textura continua durante toda la pieza.

PARTITURA ANALIZADA

El acorde arpegiado último está compuesto por las notas generadoras de esta pieza. Francisco Guerrero utilizó el movimiento Browniano en sus composiciones. Este tipo de tratamiento estocástico es mucho más práctico en un contexto multi-‐instrumental debido a la capacidad limitada de un solo instrumento para interpretar ese resultado granular sin perder densidad de eventos.

KOCH. Cristales.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA: CURVA DE KOCH. Esta pieza está basada en el copo de nieve de Koch una de las primeras figuras fractales estudiadas en la historia. Niels Fabian Helge Von Koch, matemático sueco, ideó el siguiente fractal partiendo de un triángulo equilátero A (INICIADORA) e iterando con la geometría B (GENERADORA):

Al iterar uno de los tres lados:

El resultado de las primeras iteraciones es el siguiente: INICIADORA ITERACIÓN 1 ITERACIÓN 2 ITERACIÓN 3

PROCESO COMPOSITIVO A continuación se detalla el procedimiento utilizado para la obtención de los valores numéricos a transcribir. El de esta pieza es, sin ninguna duda el mas complejo de todos. La iniciadora es la siguiente: 1 2 3 4 5 6 0 83 184 217 336 471 X 61, do4 66, fa4 72, si4 70, la4 63, re4 71, sib4 Y 91, f 55, p 127, fff 109, ff 73, mf 127, fff Z A continuación se representa una aproximación tridimensional de dicha iniciadora:

Las dinámicas se representan invertidas, a más proximidad al eje x, mayor dinámica. En el proceso de iteración se parte de la iniciadora bidimensional: Se aplica la generadora a cada segmento,

Del siguiente modo: Hasta llegar a:

Primera iteración (se incorpora la geometría de la generadora en cada segmento de la resultante del proceso anterior):

Segunda iteración:

Sin embargo, el resultado es demasiado denso, así que se prescinde del cuarto segmento de la generadora:

Tras aplicar esta nueva generadora a la iniciadora:

Iterando:

Si representamos las proyecciones de estos resultados en el eje de las Y y en el de las Z:

Y si, por último llevamos la proyección en el eje de las Z hacia el de las Y,

Obtenemos una representación bidimensional de los datos que darán lugar a la pieza:

El procedimiento de transcripción musical del material consiste en una primera cuantización, una adición de notas constantes para rellenar los espacios vacíos y una última cuantización. Se añade el fragmento retirado de la generadora con el fin de decidir las notas que rellenarán los espacios vacíos:

PRIMERA CUANTIZACIÓN

INTRODUCCIÓN DE PATRÓN DE NOTAS REPETIDAS CON VALOR DE CUANTIZACIÓN

SUSTITUCIÓN DE LAS NOTAS PERTENECIENTES AL CUARTO TRAMO POR NOTAS REPETIDAS

Una vez realizada la elección de las notas que ocuparán los espacios vacíos se procede a repartirlas, mediante la aplicación de las proporciones del material inicial, alternamente entre ambas manos:

El último paso de este complejo sistema es la incorporación de un pedal resonante en el registro grave elegido mediante la armonía obtenida de la figura resultante de la aplicación de la generadora en la iniciadora sin prescindir del cuarto segmento. Posteriormente se octava para llevarlo al registro grave. El gráfico en el que quedan reflejadas todas estas capas es el siguiente: Alturas derivadas directamente de la aplicación de la Notas repetidas generadora en la divididas entre ambas iniciadora manos. Armonía resonante en el registro grave.

PARTITURA ANALIZADA

ENTREVISTA A CARLOS SATUÉ -‐ El sistema, o conjunto de sistemas, que utilizas son tremendamente atractivos desde un punto de vista compositivo: son capaces de, con el oficio necesario, generar un discurso teóricamente perfecto en cuanto a unidad. Probablemente la unidad y coherencia en la música haya sido el campo en el que más se ha trabajado en la música del siglo XX. Tras haber explorado este sistema, ¿Qué opinión te merece los intentos del serialismo para llegar a generar obras a partir de normas estrictas?... ‘ Es un paso necesario en la historia de la música para un grupo de músicos que no controlaban o no sospechaban que en la matemática podrían encontrarse algunas de las cosas que de modo racional y también intuitivo andaban buscando. Xenakis arremetió duramente contra los métodos de algunos de los serialistas integrales, sobre todo contra Boulez que disponía del beneplácito de las clases pudientes "enrolladas"... y de cierto poderío que da estar cerca de los políticos que controlan fondos de cultura.... De todos modos al final son las obras lo que importa y en general todas las tendencias (unas más acertadas que otras) cuando han sido sinceras han producido grandes obras. Y en el serialismo también han existido músicos de altísimo nivel y un rigor extraordinario. Particularmente Boulez me parece muy elegante y me encanta su música, a pesar de todo.’ ¿Y los del espectralismo basando su discurso en las propiedades físicas del sonido?... ‘ Los espectralistas están más interesados en el color, que en la trabazón de las obras y la coherencia de las mismas (esto creo que lo controlaban mejor los serialistas, ya que no les quedaba otra que ser constructivistas pues es algo que daba el sistema). El espectralismo es una clase de un nuevo debussysmo. Francia a lo largo de la historia ha estado más interesada en la vertical que en otros parámetros. No obstante, músicos de la talla de Grisey (un poco menos) o Murail han dado obras de gran calidad. Hay que pensar que en ellos hay una grandísima intuición musical que controla de forma consciente y también inconsciente el proceso compositivo. Sin embargo dicha estética a pesar de tener grandes aciertos, sobre todo ha estado impulsada por el Ircam y ha habido mucho apoyo financiero detrás de la misma, también mucha investigación que ha dado con buenos hallazgos. La pega que le veo yo, es la atención concentrada más en el detalle (en el sonido puntual), que en la cohesión global de la obra. Entonces oímos un montón de trozos preciosos sueltos, como si se tratase de un catálogo de sonidos y posibilidades de los mismos, creo que le falta trabazón interna. Hay que descartar de esta crítica muchas obras de los grandes de esta estética como Grisey (los Espacios acústicos me parecen una grandísima obra). ‘ ¿Y la macro y micro-‐estructura basada en las proporciones áureas?... ‘ Es el ejemplo más usado a lo largo de todos los tiempos en todas las ramas del arte. Se piensa que Fi era conocido por los egipcios... ‘

¿Y el sistema armónico de ejes de Bartòk?... ‘ La obra de Bartòk es aurea y él encontró su camino por ahí. En su estudio tenía piñas de coníferas y otros objetos que se articulan en torno a esta proporción. Cuando utilizaba un acorde mayor si podía lo hacia en primera inversión porque se aproximaba a la proporción aurea más que en estado fundamental. Si sigues por ese camino aterrizas en un nivel más complejo de matemáticas. Aunque Bartòk realmente es un clásico y su obra suena cuasitonal a pesar de sus sistemas de escala física y otros más disonantes... Creo que hay un salto cuántico entre Bartòk y las músicas procedentes del serialismo integral de alto nivel ( como las de Boulez, Stockhausen, y otros). Incluso Ligeti que arranca en Bartòk se aleja mucho de la estética bartokiana. Las Vanguardias (50-‐60) son modernas en extremo incluso en la actualidad. ‘ -‐ En el siglo XX, tal vez por la creencia de que durante mucho tiempo se ha estado trabajando en un sistema limitado como el tonal se ha tratado de buscar otro sistema que englobara al resto como casos particulares. ¿Se ha conseguido? ‘ El sistema tonal es una situación local de otros ( podría considerarse un subconjunto de conjuntos de sistemas más complejos). El que exista el conjunto de todos los conjuntos de todos los sistemas nos lleva rápidamente a considerar el infinito y mucho antes, el oído queda saturado. Es algo como el empeño de utilizar todas las combinaciones posibles de la serie de 12 notas que se nombraba por algunos serialistas. Mucho antes de agotar una mínima parte de esta combinatoria el sistema dodecafónico ya está gastado como estética. También sucede con el tonal. No podemos agotar todas las combinaciones que da la tonalidad en número de veces. ej: 700 pasos de DoM a Rem. Aún quedan 701,702... el infinito es el infinito, pero mucho antes de morirnos sin haber conseguido apenas nada de todas esas posibles combinaciones nos habremos aburrido solemnemente e intentaremos buscar algo que esté regido por otras normas. El sistema tonal es equilibrado y ha funcionado muy bien durante varios siglos y ha producido las más grandes obras de música, pero ya está. Mi contestación no se si la intuyes... no sé si sirve de algo encontrar el conjunto de todos los conjuntos. Hay que dar un salto cuántico y ver que la coherencia no la da solo encontrar ese conjunto que por otra parte al ser infinito en sus subconjuntos resulta incontrolable desde el punto de vista musical. El agotamiento por saturación sucede con todos los sistemas. Sin embargo si sabemos cuando un sistema a pesar de ser infinito está estéticamente agotado podremos buscar otro que resulte fresco y con interés suficiente para descubrir cosas en el mismo hasta cansarnos. Quizá sea más interesante extraer las condiciones o reglas comunes que comparten varios sistemas que forman un sistema más amplio, aunque este no sea más que un subconjunto más dentro de otros. Imaginemos un sistema que encuentre características comunes entre la tonalidad, los modos de Messiaen y el serialismo. Si generalizamos debemos alejarnos del detalle, pero seguro que habrá algo que comparten los tres, mucho más difícil sería integrarlos en uno que regulase los tres a la vez evitando contradicciones de sistema. No es mi modo de trabajar y tampoco pretendo ir tras ese gran conjunto de sistemas unificados, entre otras cosa por que se que el encontrar reglas o leyes que armonicen una contradicción es algo harto difícil... ‘

-‐ ¿Alguna vez has intentado cuantizar los valores de altura a un lenguaje modal? Se trataría de un redondeo no mucho mayor al que se realiza al transcribirlo a semitonos. ‘ Es perfectamente posible cuantizar de forma modal en 12, notas en 24 cuartos de tono. Sin embargo volvemos al gran problema no cerrado de la afinación. No todos los instrumentos están preparados para trabajar en cuartos de tono (esto es un problema) los que pueden hacerlo lo hacen con más o menos precisión, pero creo que estamos en los límites de ejecución humana en cuanto a este tema. Por otro lado a cierta velocidad no todo se aprecia muchas cosas. Yo cierro mi música a 24 sonidos por octava. Después se pueden trazar los modos que tu desees en un espacio cuartitonal que engloba el de semitonos. Sin embargo trabajando en un sistema en el que la geometría tiene un peso grande, la máxima precisión del dibujo de las alturas viene dada en un espacio cuanto más fino posible, mejor y en estos momentos el de los cuartos de tono aproxima bien, para el nivel de los instrumentos actuales y para el nivel de las percepciones humanas. ‘ -‐ ¿En qué grado crees que la complejidad de los procesos compositivos es perceptible por el oyente? ‘ El oído cuando se desorienta busca acicates donde agarrarse y oye de forma diferente tal como decía Xenakis. Por otro lado , pregunto si son perceptibles los procesos que suceden en la mecánica cuántica en unos pocos nanosegundos?. La mayoría de la gente no los percibe. Pero ahí están y los físicos siguen interesados en ellos, aunque el gran público no entienda nada. Sin embargo debo decir que según como se hagan las cosas la música suena de forma diferente y el oyente percibe cambios inesperados, situaciones nuevas, ciertas coherencias y otras que se redescubren tras un mayor número de audiciones. La música buena es como decía Francisco Guerrero "rugosa", nunca se agota, en cada audición encuentras cosas que no te habías dado cuenta. Y esta característica es constante en todas la músicas buenas a lo largo de la historia. Creo que un oído entrenado percibe cosas y relaciones, y dependiendo del grado de complejidad cambia las formas de escucha. No se que percibirían el gran público con ciertas fugas complejas de Bach más allá de el sujeto, la respuesta y ciertas partes con suma claridad, pero en los estrechos posiblemente no se entendiera todo a la primera... Yo me siento como los físicos que quieren entender lo que sucede en esos nanosegundos y una vez en la escucha si las cosas han salido bien dejarte llevar por la música mas desde el ámbito emocional... ‘ Y voy más allá ¿Y por un músico que analice la partitura sin disponer de una guía? … ‘ Lo veo imposible si no se tiene acceso a cierta información que proporcione el que ha hecho eso... Si no, el análisis es absolutamente imposible. Además se han hecho así mucho análisis de las obras del pasado siglo. En todo caso se pueden sacar ciertas conclusiones generales que pueden ser útiles para el que analiza. ‘

¿Es necesario comprender el mecanismo compositivo de una obra para su interpretación? … ‘ Si se conoce, mejor, pero posiblemente no es necesario. Es más importante ser práctico y hacer que aquello funcione en la forma que un director bueno suele hacer. Mucha precisión y control máximo. Con el tiempo me he ido dando cuenta que esta música debe ser tan precisa como la de Bach o Mozart. ‘ ¿Y para su escucha? ‘ Para mí, el oyente debe dejarse llevar por la oleada del sonido. Las audiciones más interesantes de Bach creo que son las que entras en la obra y viajas con ella surgiendo todas las cosas y sensaciones de una manera espontánea y no decir: ‘mira aquí el sujeto, ahora la respuesta, los episodios, etc…’ Para la escucha solo hace falta dejarse llevar por la marea de sonidos, pienso que esto es lo que ha funcionado mejor de la escuela de Guerrero. Música difícil de interpretar , de leer, de grabar , pero fácil de oír.. tras muchas escuchas descubres más y más cosas, e muy rugosa.’ -‐ ¿No te parece que la elección del paralelismo entre el sistema de representación tridimensional y los parámetros de altura, tiempo y dinámica es limitado y es una visión claramente derivada del sistema de representación gráfica de la música? ‘ La herramienta de transformación en 3D es solo una herramienta más. La música de un modo u otro siempre ha estado representada gráficamente incluso la notación tradicional es un sistema gráfico codificado. Los antiguos neumas también lo eran. El utilizar un espacio de coordenadas cartesianas universaliza el proceso, pues estas se utilizan para ver representaciones en todo tipo de disciplinas. La visión geométrica de las cosas es inalcanzable desde interminables listas numéricas aritméticas. Cuando trabajas con muchos números te das cuenta que es imposible solo con la representación aritmética. ‘ -‐ En tus obras, la geometría fractal (siempre gestionada por el compositor) estructura por completo el discurso. ¿Has tratado en alguna pieza de utilizar estos procedimientos para definir unos parámetros dejando que otros sean obtenidos mediante otros procedimientos alejados de lo geométrico? ‘ Casi en todas las obras se mezclan elementos de naturalezas distintas. Además, cualquier tipo de material extraño al número puede ser digitalizado (nada existe extraño al número, solo tienes que saber manejarlo) y entonces utilizarse en los cálculos al igual que el resto de los materiales. Con el tiempo voy viendo que no hay muchos caminos fuera de la geometría. Me parece que todo es geometría o forma y pienso que es muy difícil dar con algo novedoso fuera del reino de la matemática. Pitágoras siempre te acaba atrapando....donde menos te lo esperas. ‘

BIBLIOGRAFÍA Y MATERIALES Conferencia MÚSICA Y MATEMÁTICAS. Carlos Satué y Carlos Frías Geómetra de lo Disperso. Carlos Satué The Fractal Geometry of Nature. Benoit Mandelbrot. Freeman, 1983 Musiques Formelles. Iannis Xenakis. Richard Masse, 1963

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