Cap´ıtulo 1
Estructuras algebraicas 1.1
Operaciones. Concepto de grupo, anillo y cuerpo
Definici´ on 1.1.1 Sea C un conjunto. Diremos, “provisionalmente”, que se ha definido una operaci´ on interna o una ley de composici´ on interna sobre C, cuando se ha dado una “regla”que asocia a cada par de elementos de C un u ´nico elemento tambi´en de C. Es decir, llamamos operaci´on o ley de composici´on interna sobre C a toda aplicaci´on ∗ : C × C −−−→ C. Si a, b ∈ C y c = ∗(a, b), el elemento c ∈ C, imagen del par (a, b) por la aplicaci´on ∗, ser´a notado por c = a ∗ b. Definici´ on 1.1.2 (concepto de grupo). Sea G un conjunto no vac´ıo y ∗ una ley de composici´ on interna definida sobre G. Diremos que (G, ∗) es un grupo si la citada operaci´on verifica las siguientes propiedades: G.1. asociativa: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). G.2. e. neutro: ∃e ∈ G | ∀a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a. (Habitualmente, cuando la notaci´on es aditiva, al elemento neutro del grupo se le llama cero y se le representa por 0 y, si es multiplicativa se le llama uno y se le representa por 1.) ´trico: ∀a ∈ G, ∃a0 ∈ G | a0 ∗ a = a ∗ a0 = e. G.3. elemento sime (Al igual que en el caso anterior, si la notaci´on es aditiva, al elemento sim´etrico de a se le llama opuesto del elemento a y se le nota por −a y, si es multiplicativa se le llama inverso de a y se le nota por a−1 .) El grupo recibir´a el nombre de conmutativo o abeliano, si adem´as, dicha operaci´on verifica la siguiente propiedad: G.4. conmutativa: ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a. De los conjuntos num´ericos, son grupos aditivos (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) y son grupos multiplicativos (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·). Definici´ on 1.1.3 concepto de anillo Sea A un conjunto no vac´ıo sobre el que hemos definido dos leyes de composici´on internas para las que utilizaremos la notaci´on habitual +, ·, diremos que la terna (A, +, ·) es un anillo, si dichas operaciones verifican las siguientes propiedades: 1