Apuntes sobre Calculo Vectorial

Cap´ıtulo 1

Visita r´ apida a las

C

Matem´ aticas.

I I

I

ge

El c´alculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs,

on M .

A

que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notaci´on vectorial m´as com´ un en la actualidad. La gran claridad en la exposici´on de conceptos f´ısicos que permite dicho formalismo quedo plasmada por James

© M.

Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo (1873), donde sent´o las bases del electromagnetismo cl´asico.

Este cap´ıtulo presenta una introducci´on al c´alculo vectorial, integrales de l´ınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto de vector, se explican las operaciones algebraicas b´asicas. A continuaci´ on se estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por u ´ltimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.

0

1.1 ¿Qu´e es un vector?.

1.1.

1

¿Qu´ e es un vector?.

Si deseamos tener toda la informaci´on posible del viento (figura.(1.1)), no solo necesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h , adem´as es necesario saber su direcci´on y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa.

Existen muchas magnitudes f´ısicas cuya

V 60 km/h

C

descripci´on completa exige conocer su intensidad y direcci´on. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es

ge

on M .

A

porcional a su velocidad y que apunte en la direcci´on del viento. A estas flechas se las denomina vectores, y a las magnitudes que

© M.

miden vectoriales.

I I

I

mediante una flecha cuya longitud sea pro-

Figura 1.1: Para conocer la velocidad del viento,~v , no es suficiente con medir su intensidad o

m´odulo, V = 60 km/h, adem´as

es necesario conocer su direcci´on.

Existen muchas magnitudes f´ısicas que se encuentran completamente

determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura, T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.

Esta forma gr´afica de representar un vector, si bien es muy u ´til para visualizar la situaci´on f´ısica, dificulta la realizaci´on de c´alculos algebraicos.

La forma abreviada de representar un vector es mediante tres n´ umeros, denominados componentes del vector, que indican cu´al es la longitud entre el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio.

Lo primero que debemos hacer es elegir cu´al es la derecha e izquierda, cu´al es el arriba y el abajo, y d´onde est´a adelante y atr´as. Adem´as, debemos poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir un sistema de coordenadas, el m´as simple de los cuales es el cartesiano.

La figura.(1.2) muestra la m´as com´ un de todas las representaciones de un sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientaci´ on positiva, como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo c M. A. Monge °

Dpto. F´ısica 2001-2002

Electromagnetismo

2

Visita r´apida a las Matem´aticas. (ver figura.(1.2)).

Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cu´al es la longitud de nuestro vector en cada una de las direcciones para obtener las componentes del vector.

Hay tres formas tradicionales de representar un vector. La primera consiste en

Z

escribir las componentes del vector entre

V(x,y,z)

par´entesis separadas por comas, siendo la si

primera la componente del vector en la di-

n v

recci´on X, la segunda en la Y y la tercera

C Y

en la Z.

~ = (vx , vy , vz ) V

X

(1.1)

I I

I

ge

La segunda consiste en escribir las com-

on M .

A

Figura 1.2: Representaci´on del

~ = (2, 2, 3) vector velocidad V km/h, en un sistema de coorde-

© M.

nadas cartesianas.

ponentes como una suma, multiplicando la componente X por ~i, la componente Y por

~j, y la componente Z por ~k.

1

~ = vx~i + vy~j + vz~k V

(1.2)

La u ´ltima forma de representar un vector consiste en dar el punto de origen del vector y el final. Por ejemplo en la figura.(1.1), el vector velocidad ~ = AB ~ ya que A es su origen y B el final. Para pasar se podr´ıa escribir como V de esta notaci´on a una de las anteriores, solo hay que restar las coordenadas del punto final B con el inicial A. En la figura.(1.1) A = (0, 0, 0) y B = (2, 2, 3) y la velocidad es

~ = AB ~ = B − A = (2, 2, 3) − (0, 0, 0) = (2, 2, 3) = 2 ~i + 2 ~j + 3 ~k V

1.2.

(1.3)

Operaciones sencillas con vectores.

La notaci´on vectorial se desarrollo para facilitar el c´alculo algebraico con vectores. A continuaci´on se resumen las principales operaciones elementales.

1

En la secci´ on §1.2.4 se vera el significado de ~i, ~j y ~k.

c M. A. Monge °

Dpto. F´ısica 2001-2002

Electromagnetismo

1.2 Operaciones sencillas con vectores.

1.2.1.

3

Suma vectorial.

Y

La figura.(1.3) muestra la suma ~ +W ~ . El procedide dos vectores, V

6 5

miento seguido para obtener la suma

4

vectorial es el siguiente; situamos el ~ en el final del origen del vector W ~ (el desplazamiento se realivector V

3

V

+W

W

2 1

V

za manteniendo la direcci´on y sentido

1

2

3

X 4

5

del vector, es decir paralelo al propio

C

vector), el vector suma va desde el ori~ a la final de W ~ , tal como gen de V muestra la figura.(1.3).

ge

Si conocemos las componentes de

Figura 1.3: Suma vectorial: Si V~ =

~ = (0,5, 3,5), su suma es (3, 0,75), W ~ +W ~ = (3,5, 4,25).

V

I I

I

on M .

A

los dos vectores, la forma m´as sencilla de obtener la suma vectorial es mediante una simple suma algebraica de las componentes vectoriales, (vx + wx , vy + wy , vz + wz ) =

© M.

~ +W ~ = V

= (vx + wx )~i + (vy + wy )~j + (vz + wz )~k

1.2.2.

(1.4)

Resta vectorial.

~ −W ~ , se La resta de vectores, V

muestra en la figura.(1.4). Para obte-

ner el vector resta situamos los vec~ yW ~ desplaz´andolos paralelatores V mente de forma que sus or´ıgenes coincidan. El vector resta es el que va ~ a la de W ~ (ver desde la punta de V

Y

6 5

4

V-

W

W

3 2 1

V 1

figura.(1.4)).

2

3

X 4

5

Al igual que la suma, si conocemos las componentes de los dos vectores, la forma m´as sencilla de obtener el vector resta es mediante la sustracc M. A. Monge °

Figura 1.4: Resta vectorial: Si V~ = ~ = (0,5, 3,5), su resta es (3, 0,75), W ~ −W ~ = (2,5, −3,25).

V

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Electromagnetismo

4

Visita r´apida a las Matem´aticas. ~ yW ~, ci´on de las componentes de los dos vectores V ~ −W ~ = (vx −wx , vy −wy , vz −wz ) = (vx −wx )~i+(vy −wy )~j+(vz −wz )~k (1.5) V

1.2.3.

Producto de un vector por un escalar.

Los escalares operan sobre los vec-

Y 6 5

tores estir´andolos o contray´endolos. As´ı, ~ multiplicado por un escalar un vector V ~ con la misc da lugar a otro vector W ~ , pero cuya longitud ma direcci´on que V

1.5

V

2

0.5

4 3

V

-1.5

V

V

1

C X

1

2

3

4

final es mayor , si |c| > 1, o menor, si

0 < |c| < 1, y cuyo sentido es el mismo

5

I I

si c es positivo y contrario si es negativo

I

ge

Figura 1.5: Producto de un vector

( ver figura.(1.5)).

El producto por un escalar consiste

en multiplicar todas las componentes del

manteniendo su direcci´on.

vector por el escalar

1.2.4.

© M.

on M .

A

por un escalar: La longitud y senti~ dependen del valor de c, do de c V

(1.6)

M´ odulo de un vector.

El m´odulo es la longitud total del

Y 6 5

~ =cV ~ = c vx~i + c vy~j + c vz~k W

vector. Cuando un vector representa una

V

4

variable f´ısica, por ejemplo la velocidad, el m´odulo es su magnitud o intensidad,

3

perdi´endose toda informaci´on sobre la

2 1 X 1

2

3

4

En la figura.(1.6) todos los p´ajaros

5

Figura 1.6: El m´odulo |V~ | de las velocidades de todos los p´ajaros es el mismo, aunque su direcci´on y sentido sean diferentes.

~|= |V c M. A. Monge °

direcci´on o sentido del vector. vuelan a la misma velocidad, pero con diferentes direcciones y sentidos. ~ se calcula El m´odulo de un vector V como q

vx2 + vy2 + vz2

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(1.7) Electromagnetismo

1.2 Operaciones sencillas con vectores.

5

Un vector cuyo m´odulo es 1 se denomina vector unitario. Es muy sencillo ~ en la direcci´on y sentido de cualquier otro obtener un vector unitario U vector. Es suficiente con dividir dicho vector por su m´odulo. Por tanto, un ~ con la misma direcci´on y sentido de W ~ se obtiene como vector unitario U ~ ~ = W U ~| |W

(1.8)

Los vectores ~i, ~j y ~k son vectores unitarios en direcci´on de los tres ejes cartesianos. Siendo, ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1).

1.2.5.

C

Producto escalar.

El producto escalar de dos vecto~ yW ~ es un escalar que se obtieres V

ge

ne como la suma del producto de las

Y

6 5

on M .

A

componentes de los vectores

I 3

2

© M.

~ ·W ~ = vx wx + vy wy + vz wz (1.9) V

Otra forma equivalente de calcular el

producto escalar es a partir del ´angulo que forman los dos vectores Θ

I I W

4

1

1

Q

2

V

3

4

X

5

Figura 1.7: Producto escalar: El pro~ y W ~ ducto escalar de dos vectores V

~ ·W ~ = |V ~ ||W ~ | cos (Θ) V

(1.10)

donde Θ es el ´angulo entre los dos vec-

relaciona el m´odulo de los vectores ~ ·W ~ = con el ´angulo que forman, V ~ ||W ~ | cos (Θ). |V

tores (ver figura.(1.7)). Si los dos vectores son perpendiculares, Θ = 90o, el producto escalar es cero.

La u ´ltima ecuaci´on es muy interesante, ya que nos permite de forma sencilla calcular el coseno del ´angulo entre dos vectores, cos(Θ) =

~ ·W ~ V ~ ||W ~| |V

(1.11)

y por tanto determinar su ´angulo Θ.

En f´ısica el producto escalar aparece en numerosas ocasiones. Por ejemplo, si calculamos el trabajo realizado por el carro de la figura.(1.8) para ir c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

6

Visita r´apida a las Matem´aticas.

Y (m) ,2) 85 F= (0.

4

Figura 1.8: El trabajo realizado

B

N

6 5 3 por el camello para desplazar el 2 carro de A a B es T = d~ · F~ .

1

fd

Q d

A X (m) 1

2

3

5

4

desde el punto A al punto B, solo deberemos tener en cuenta la componente de la fuerza F~ que contribuye al desplazamiento del carro f~d , es decir, la

C

componente en la direcci´on del desplazamiento, y despu´es multiplicar dicha componente por la distancia d recorrida. El trabajo es por tanto T = |f~d | d.

I I

~ cuya Pero f~d = |F~ | cos(Θ), y si construimos un vector desplazamiento d,

I

ge

longitud sea la distancia recorrida y cuya direcci´on sea la del desplazamien-

on M .

A

to (ver figura.(1.8)), entonces aplicando la ecuaci´on.(1.10) se obtiene que ~ es decir, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el T = F~ · d, desplazamiento. En nuestro ejemplo de la figura.(1.8), d~ = B − A = (4, 4) m

© M.

y F~ = (0,85, 2) N, por tanto T = F~ · d~ = 11,4 J.

1.2.6.

Producto vectorial.

En muchos casos es necesario calcular un vector perpendicular a otros ~ yW ~ . Esto es precisamente lo que permite el producto dos vectores dados V ~ =V ~ ×W ~ es un vector N ~ normal tanto vectorial. El producto vectorial N ~ como a W ~ . El sentido de N ~ viene determinado por la regla de la mano aV derecha

2,

ver figura.(1.9). Se define como

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ~ ~ ~ N = V ×W =¯ ¯ ¯ ¯

=

¯

~i

~j

~k ¯¯ ¯

vx

vy

vz ¯¯ =

¯ ¯

wx wy wz ¯

(vy wz − vz wy )~i + (vz wx − vx wz )~j + (vx wy − vy wx )~k

(1.12)

~ =V ~ ×W ~ , el sentido de N ~ es el que indica el pulgar de la mano derecha cuando, Si N ~ al W ~ por el camino m´ al cerrar la mano, el resto de los dedos giran desde el vector V as 2

corto. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.2 Operaciones sencillas con vectores.

7 Z

3

Figura 1.9: Producto vectorial: ~ = V ~ ×W ~ da lugar a un vecN ~ yW ~ , cuyo tor perpendicular a V

2 N 1

modulo es igual al ´area del para-

mano derecha.

Y W

1

tores, y cuya direcci´on viene determinada aplicando la regla de la

2

1

lep´ıpedo definido por dichos vec2

Q V

3 X

Como f´acilmente se deduce a partir de la ecuaci´on anterior, el producto ~ ×W ~ 6= W ~ ×V ~ . Su m´odulo se puede vectorial no es conmutativo, es decir V ~ ×W ~ = |V ~ | |W ~ |sen(Θ), obtener a partir del ´angulo de los dos vectores como V

C

y coincide con el ´area del paralep´ıpedo formado por los dos vectores (el ´area En f´ısica, el producto vectorial permite expre-

ge

I I

I

sombreada de la figura.(1.9)).

on M .

A

sar de forma sencilla multitud de conceptos. Tomemos como ejemplo el momento de una fuerza. En la figura.(1.10) se aplica una fuerza F~ a

© M.

un destornillador de radio |~r|, que act´ ua sobre

un tornillo, y se desea calcular el momento que ~ . Este se realiza dicha fuerza sobre el tornillo, M

obtiene mediante un sencillo producto vectorial ~ = ~r × F~ . Queda clara la no conmutatividad del M

M

r

F

M=r x F

F

r

producto vectorial, no es igual girar el destornillador en un sentido que en el contrario. Como se

ve en la figura.(1.10), el momento de la fuerza es

Figura 1.10: El momento

hacia arriba, si por error realiz´asemos el producto vectorial en orden contrario F~ × ~r, el momento

~ de una fuerza F~ aplicaM

total tendr´ıa el sentido contrario.

Si la empu˜ nadura del destornillador tiene un

da a una distancia ~r se calcula mediante el producto ~ = ~r × F~ . vectorial M

radio r = 10 cm, y somos capaces de aplicar una fuerza con la mano de F~ = −100 ~i N girando en sentido aniversario, entonces, el momento de fuerza ~ = −0,1 ~j ×(−100)~i = 10 ~k que estamos aplicando sobre el tornillo ser´a de M N m hacia arriba.

c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

8

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1.2.7.

Resumen de operaciones con vectores.

S´ımbolo

Nombre

Resultado

Ecuaci´on Algebraica

Producto por un escalar c

Vector

M´odulo

Escalar

vx~i + vy~j + vz~k c vx~i + c vy~j + c vz~k q ~ | = v2 + v2 + v2 |V x y z

~ +W ~ V

Suma

Vector

(vx + wx )~i + (vy + wy )~j+ (vz + wz )~k

~ −W ~ V

Resta

Vector

(vx − wx )~i + (vy − wy )~j+ (vz − wz )~k

~ V

Vector

~ cV ~| |V

~ ·W ~ V

Producto Vectorial

Vector

vx¯wx + vy wy + vz w ¯z ¯ ~ ~ ~k ¯¯ ¯ i j ¯ ¯ ¯ vx vy vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ wx wy wz ¯

I I

I

on M .

A

ge

~ ×W ~ V

Campos vectoriales y escalares.

© M.

1.3.

C Producto Escalar

3 2.5 Z 2 1.5 1 -1

Todos tenemos una idea intuitiva de

los campos escalares. Una fotograf´ıa en blanco y negro es un buen ejemplo; cada punto de la fotograf´ıa tiene asociado un

Y0

-1 0X

1

1

Figura 1.11: Campo vectorial: La velocidad del aire en un tornado o

valor de la intensidad luminosa, y juntos forman un campo escalar, que es la imagen que vemos. Otro ejemplo es la temperatura en los distintos puntos de una habitaci´on.

del caf´e al ser removido en una taza

La definici´on matem´atica de campo

son ejemplos de campos vectoriales.

escalar es : un campo escalar es una fun-

Cada punto del espacio tiene asocia-

ci´on que asigna un n´ umero a cada punto

do un vector correspondiente a su velocidad.

del espacio.

Un campo vectorial es un concepto

m´as complicado. Matem´aticamente se define un campo vectorial como una funci´on que asigna un vector a cada punto del espacio. Aunque pueda parecer c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.3 Campos vectoriales y escalares.

9 1

0.5

Figura 1.12: Campo escalar de la intensidad luminosa de una bom-

Y

billa I(x, y) situada en el punto

0

(0, 0) en escala de grises, junto con el campo vectorial resultante ~ (x, y) = de calcular su gradiente V

-0.5

~ ∇I(x, y).

-1 -1

-0.5

0 X

0.5

1

C

muy abstracto, estamos rodeados de campos vectoriales, la velocidad del

I I

viento en cada punto del espacio es un campo vectorial, o la velocidad del

I

ge

caf´e cuando lo movemos con una cucharilla (ver figura.(1.11)), o las ondas

1.3.1.

on M .

A

de radio y televisi´on.

Gradiente.

© M.

El gradiente de un campo escalar da lugar a un campo vectorial. Si tenemos una funci´on cualquiera , f (x, y, z), su gradiente se determina como ~ (x, y, z) = ∂ f (x, y, z)~i + ∂ f (x, y, z)~j + ∂ f (x, y, z)~k ∇f ∂x ∂y ∂z

(1.13)

~ designa esta operaci´on.

El s´ımbolo ∇

La figura.(1.12) muestra en blanco y negro un campo escalar que se corresponde con la intensidad luminosa de una bombilla, en escala de grises, situada en el punto (0, 0). El color blanco indica la m´axima intensidad luminosa y el negro la m´ınima. Los vectores de la figura.(1.12) son el gradiente de dicho campo escalar. El campo vectorial obtenido siempre apunta en la direcci´on de m´axima variaci´on del campo escalar, y en el punto donde todas los vectores se juntan corresponde a un m´aximo (o m´ınimo) del campo escalar;3 en este caso todos se dirigen hacia la fuente luminosa. Si las polillas 3

Estrictamente hablando, que el gradiente sea cero implica que es un m´ aximo, un

m´ınimo o un punto silla. Un ejemplo de punto silla es el collado de una monta˜ na: en una direcci´ on corresponde a un m´ aximo y en la otra a un m´ınimo. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

10

Visita r´apida a las Matem´aticas.

-1

Y 0

1

3 2.5

Figura 1.13: Campo vectorial con divergencia distinta de cero, ~ (x, y, z) = −y ~i + x ~j + (−z 2 ) ~k.

V z

Z

2 1.5

z

1 -1 0 X

1

fuesen inteligentes, para llegar a una bombilla solo tendr´ıan que calcular el

C

gradiente de la intensidad luminosa y seguir el sentido de los vectores como si fuesen se˜ nales de tr´afico.

I I

Existe un operador vectorial de gran importancia denominado Lapla-

I

ge

ciano que consiste en calcular el gradiente de un gradiente. Su definici´on

on M .

A

es

4f (x, y, z) =

∂2 ∂2 ∂2 f (x, y, z) + f (x, y, z) + f (x, y, z) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(1.14)

© M.

El laplaciano se simboliza como 4, aunque en algunos casos se usan los ~ ·∇ ~ = (∇) ~ 2 = ∇ ~ 2 . El Laplaciano puede tomar siguiente s´ımbolos 4 = ∇ como argumento un campo escalar o un campo vectorial. Si el argumento es un campo escalar, el resultado es otro campo escalar como en el la ecuaci´on.(1.14). Si el laplaciano act´ ua sobre un campo vectorial entonces obtenemos otro campo vectorial ³

´

∇2 F~ (x, y, z) = ∇2 Fx (x, y, z), ∇2 Fy (x, y, z), ∇2 Fz (x, y, z)

(1.15)

Es decir, obtenemos un campo vectorial cuyas componentes son el laplaciano de las componentes del campo origen.

1.3.2.

Divergencia.

Se define la divergencia de un campo vectorial como ~ ·V ~ (x, y, z) = div V (x, y, z) = ∂ vx (x, y, z) + ∂ vy (x, y, z) + ∂ vz (x, y, z) ∇ ∂x ∂y ∂z (1.16) c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.3 Campos vectoriales y escalares.

11

~ ´o div son usados indisEl resultado es un campo escalar. Los s´ımbolos ∇· tintamente para indicar esta operaci´on.

El significado f´ısico de la divergencia es muy sencillo. Si la divergencia ~ ·V ~ (x, y, z) = 0, entonces ese campo no tiene de un campo vectorial es 0, ∇ fuentes ni sumideros. En la figura.(1.11) se muestra un campo vectorial cuya ~ (x, y, z) = y ~i + −x ~j + 0 ~k podr´ıa corresponder a la velocidad del ecuaci´on V z

z

caf´e al ser removido por una cucharilla. En una taza no hay ni fuentes (es decir, no entra nuevo caf´e por ning´ un sitio) ni sumideros (no tiene agujeros por donde se pierda caf´e), y por tanto su divergencia es cero,

C

~ ·V ~ (x, y, z) = ∂ y + ∂ (−x) + ∂ 0 = 0 ∇ (1.17) ∂x z ∂y z ∂z Supongamos que alguien nos da una taza rota por la que se escapa caf´e.

I I

La velocidad del caf´e en la taza podr´ıa ser algo parecido al campo vectorial

I

ge

de la figura.(1.13), donde los vectores velocidad se dirigen hacia el agujero

on M .

A

situado en fondo de la taza. Ese agujero act´ ua como un sumidero del caf´e, y por tanto su divergencia ya no es nula. La velocidad representada en la ~ (x, y, z) = −y ~i + x ~j + −z 2 ~k y su figura.(1.13) viene dada por la ecuaci´on V z

z

z

© M.

divergencia es distinta de cero, ya que hay un sumidero

2 ~ ·V ~ (x, y, z) = ∂ (−y) + ∂ x + ∂ −z = −1 ∇ ∂x z ∂y z ∂z z

(1.18)

Una divergencia negativa indica hay sumideros, mientras que si fuese positiva indica la presencia de fuentes.

1.3.3.

Rotacional.

La ultima operaci´on vectorial importante es el rotacional. El rotacional ~ (x, y, z) es otro campo vectorial R ~ que se obtiene de un campo vectorial V como

¯ ¯ ¯ ¯ ~ = ∇ ~ ×V ~ (x, y, z) = rot V ~ (x, y, z) ¯¯ R ¯ ¯ ¯

=

∂ vz − ( ∂y

∂ ~ ∂z vy )i

~i

~j

∂ ∂x

∂ ∂y

vx

vy

∂ + ( ∂z vx −

¯

~k ¯¯ ¯

¯ ¯= ¯ ¯ vz ¯ ∂ ∂z

∂ ~ ∂x vz )j

∂ + ( ∂x vy −

∂ ~ ∂y vx )k

~ ´o rot designa el rotacional. donde ∇× c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

(1.19)

12

Visita r´apida a las Matem´aticas.

V(x,y,z)

Figura 1.14: La figura muestra el rotacional del campo vectorial ~ (x, y, z). Si V ~ (x, y, z) represenV

3 2.5 2 1.5 1 -1

Ñ´ V(x,y,z)

-1 0

0 1

1

0.5 1 -1-0.5 0 3

ta la velocidad en el seno de un fluido, al introducir una h´elice en

2.5

el fluido con su eje su eje dirigi-

2

do en la direcci´on indicada por su ~ ·V ~ (x, y, z), la h´elice rotacional, ∇

1.5 1

girar´a a la m´axima velocidad.

-1 -0.5

C

0

0.5

1

El significado f´ısico del rotacional es sencillo, y est´a indicado por su ~ (x, y, z) es la velocidad de un fluido, entonces nombre. Si imaginamos que V

I I

I

on M .

A

ge

~ × al situar una h´elice con su eje en la direcci´on indicada por rotacional, ∇ ~ (x, y, z), la h´elice rotar´a a la mayor velocidad posible en ese punto del V ~ (x, y, z) (con una velocidad proporcional al m´odulo del campo vectorial V rotacional). La figura.(1.14) muestra el rotacional del campo vectorial de la

© M.

figura.(1.12). Su rotacional ser´a ¯ ¯ ¯ ¯ ~ =∇ ~ ×V ~ (x, y, z) = ¯¯ R ¯ ¯ ¯

~i

~j

∂ ∂x y z

∂ ∂y −x z

¯

~k ¯¯ ¯

−y −2 ~ −x ¯ k ¯ = 2 ~i + 2 ~j + ¯ z z z ¯ 0 ¯

∂ ∂z

(1.20)

Algunas relaciones vectoriales interesantes entre el rotacional y los otros operadores vectoriales son ~ · (A ~ × B) ~ =B ~ · (∇ ~ × A) ~ − A · (∇ ~ × B) ~ ∇

(1.21)

~ × (∇ ~ × A) = ∇( ~ ∇ ~ · A) − ∇ ~ 2A ~ ∇

(1.22)

~ · (∇ ~ × A) ~ =0 ∇

(1.23)

~ × (∇ ~ A) ~ =0 ∇

(1.24)

~yB ~ campos vectoriales. siendo A c M. A. Monge °

Dpto. F´ısica 2001-2002

Electromagnetismo

1.4 Integrales en campos vectoriales

1.3.4.

13

Resumen.

Nombre

S´ımbolo

Argumento

Resultado

Ecuaci´on Algebraica

Gradiente

~ (x, y, z) ∇f

Campo escalar

Campo vectorial

Divergencia

~ ·V ~ (x, y, z) ∇

Campo vectorial

Campo escalar

~ ×V ~ (x, y, z) ∇

Laplaciano

4f (x, y, z)

Campo escalar

Laplaciano

~ (x, y, z) 4V

Campo vectorial

+

∂ vy ∂y

Campo vectorial

Campo vectorial

Campo escalar

∂2 f ∂x2

I I Campo vectorial

I

© M.

blemas particulares que ser´an tratados en esta secci´on. Nos centraremos en el estudio de dos tipos de integrales: integrales de l´ınea e integrales de

Integral de l´ınea: Circulaci´ on.

En la figura.(1.15) se muestra un barco que navega desde el punto A al B siguiendo el camino indicado C, impulsado por un viento de fuerza variable F~ . ¿Cu´al es el trabajo que realiza el barco al ir de A a B?.

En la secci´on §1.2.5 estudiamos cu´al era el trabajo realizado por una fuerza F~ al desplazar una masa. Cuando la fuerza aplicada no tiene la misma direcci´on que el desplazamiento debemos obtener la componente tangencial al desplazamiento de dicha fuerza, ya que es la u ´nica que realiza un trabajo u ´til. Esta se obtiene muy sencillamente mediante el producto escalar de la fuerza por un vector unitario tangente a la trayectoria ~t en la direcci´on del c M. A. Monge °

Dpto. F´ısica 2001-2002

2

2

(4vx , 4vy , 4vx )

El calculo de integrales en el seno de campos vectoriales presenta pro-

1.4.1.

∂ vz ∂z

+ + ∂∂y2f + + ∂∂z2f

Integrales en campos vectoriales

superficie.

+

∂ ~ ∂z vy )i+ ∂ ∂ +( ∂z vx − ∂x vz )~j+ ∂ ∂ +( ∂x vy − ∂y vx )~k

C

on M .

A

ge

∂ vx ∂x

∂ ( ∂y vz −

Rotacional

1.4.

∂ ~ ∂x f (x, y, z)i+ ∂ + ∂y f (x, y, z)~j+ ∂ + ∂z f (x, y, z)~k

Electromagnetismo

14

Visita r´apida a las Matem´aticas.

desplazamiento. Por tanto, la componente tangencial de la fuerza es4 : F~ · ~t.

Pero hay dos problemas m´as para calcular el trabajo. En la figura.(1.15) la fuerza tensidades dependiendo del punto de la trayectoria donde se encuentre nuestro barco, F~ = F~ (x, y), y la trayectoria cambia conti-

A

F

del viento tiene diferentes direcciones e in-

C a t

nuamente de direcci´on. Una estimaci´on ra-

n

F

zonable del trabajo consiste en dividir la

b

trayectoria en peque˜ nos trozos donde la di-

C

recci´on del barco y el viento son aproxima-

B

damente constantes. De esta forma, si en

I I

Figura 1.15: Para calcular el

a a b) el barco recorre una distancia ∆li , el

trabajo realizado por el barco si-

ge

cada intervalo (por ejemplo en el que va de

on M .

A

trabajo realizado es,

F~ · ~t ∆li

I

(1.25)

© M.

Por tanto, el trabajo total aproximado con-

guiendo la trayectoria indicada C bajo la acci´on de la fuerza variable F~ del viento se debe rea-

lizar una integral de l´ınea, T = R F~ · ~t dl.

C

sistir´a en la suma del trabajo realizado en cada uno de los intervalos desde el comienzo del recorrido A hasta el final B, T =

B X

F~ · ~t ∆li

(1.26)

i=A

Esta aproximaci´on al trabajo total es tanto mejor cuando menor sea la longitud de los intervalos ∆li . En el l´ımite, cuando ∆li se hace infinitesimalmente peque˜ no, el sumatorio se transforma en una integral Z

T =

C

F~ · ~t dl

(1.27)

Esta integral se denomina integral de l´ınea, y la C en la integral quiere decir que los l´ımites de integraci´ on van desde el comienzo de la trayectoria, A, a su final, B, y que la integral debe realizarse a lo largo de la curva C que indica la trayectoria seguida5 . Al resultado de la integral de l´ınea se le denomina El vector tangente ~t a la trayectoria debe de ser un vector unitario, ya que estamos ~ en la direcci´ calculando la proyecci´ on del vector F on de ~t.

5 Como se ver´ a en un ejemplo, esto significa que al calcular el ~t dl, o lo que es lo mismo 4

d~l, se debe tener en cuenta la curva particular C sobre la que estamos integrando. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.4 Integrales en campos vectoriales

15

circulaci´on del campo vectorial F~ a lo largo de C. En algunos casos se utiliza la siguiente notaci´on para las integrales de l´ınea

Z

T =

C

F~ d~l

(1.28)

donde se sobrentiende que d~l = ~t dl, es decir, que el diferencial de longitud tiene la direcci´on de la trayectoria C sobre la que se integra.

Existe un s´ımbolo especial para las integrales de l´ınea cuando la trayectoria sobre la que se integra es una curva cerrada, I

T =

F~ d~l

(1.29)

C C

Para clarificar ideas, suponer que la fuerza del viento esta dada por el siguiente campo vectorial F~ (x, y, z) = (x2~i+y 2~j+z 2~k) N, y que la trayectoria

I I

I

on M .

A

ge

que sigue la nave es y 2 = x. Deseamos calcular el trabajo necesario para ir √ del punto A = (0, 0, 0) m, al punto B = (2, 2, 0) m (la coordenada z es siempre 0, ¡los barcos no vuelan!).

A continuaci´on debemos obtener d~l para calcular el trabajo mediante

© M.

ecuaci´on.(1.28). Como la curva es y 2 = x, tendremos

d~l = (dx, dy, dz) = (dx, dy, 0) = dx ~i + dy ~j + 0 ~k

(1.30)

ya que la trayectoria no depende de z.

Por tanto el producto vectorial F~ · d~l ser´a6

F~ · d~l = (x2~i + y 2~j + z 2~k) · (dx ~i + dy ~j + 0 ~k) = x2 dx + y 2 dy

(1.31)

El trabajo queda en funci´on de dos variables x e y. Para realizar la integral debemos expresar todo en funci´on de una u ´nica variable. La relaci´on 6

Otra forma de realizar el mismo c´ alculo es aplicando la ecuaci´ on.(1.27). Primero de-

bemos calcular el vector tangente en cualquier punto de la curva y 2 = x. Recordando un poco de geometr´ıa, sabemos que un vector tangente ~t a una curva se define como ~t = dx~i + dy ~j + dz ~k dl dl dl ~ · ~t dl donde dl es un diferencial de longitud de la curva. Por tanto el producto escalar F es,

~ · ~t dl = (x2~i + y 2~j + z 2~k) · ( dx~i + dy ~j + 0~k) dl = x2 dx + y 2 dy F dl dl

c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

16

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X Figura 1.16: Para calcular el flu-

V(x,y,z)

jo que atraviesa la superficie S se debe calcular una integral de suR ~ · ~n ds, siendo perficie F = S V ~ (x, y, z) la velocidad del agua en V

si

n v

Z

cada punto y ~n la normal a la superficie.

Y

S

C

entre x e y viene determinada por la trayectoria recorrida y 2 = x. Primero obtenemos la dependencia de y en funci´on de x a partir de la ecuaci´on de √ la trayectoria, y = x, y para calcular dy en funci´on de dx diferenciamos

I I

I

ge

la ecuaci´on de la trayectoria (se calcula la derivada total respecto de x y se

on M .

A

despeja el dy en funci´on de dx)

d dx d 2 y dy = x dx ⇒ 2y dy = dx ⇒ dy = dy dx 2y

(1.32)

© M.

Una vez que todo esta en funci´on de x nos queda Z

T =

C

F~ · ~t dl =

Z 2 0

(x2 +

¯

¯2 1 1√ 1 x)dx = x3 + x3/2 ¯¯ 2 3 3 0

(1.33)

ya que el punto inicial es x = 0 m y el final x = 2 m. Con lo que el trabajo √ total realizado es 23 (4 + 2) J.

1.4.2.

Integral de superficie.

Un pescador desea conocer el caudal de agua que atraviesa su red, tal y como se muestra en la figura.(1.16). Se presentan dos problemas, la velocidad del agua varia con la profundidad y el flujo total de agua depende de la forma S de la red.

Este problema nos recuerda el de calcular el trabajo mostrado en la secci´on anterior, §1.4.1. Debemos de considerar tanto la velocidad del agua en cada punto de la superficie de la red y la forma de la red. Esto se debe a que solo la componente de la velocidad perpendicular a la superficie contribuir´a al flujo total (una chorro de agua con velocidad paralela a una superficie nunca la atravisa, y por tanto no produce un flujo neto). Lo primero que c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.4 Integrales en campos vectoriales

17

haremos ser´a una estimaci´on del flujo realizando la misma aproximaci´ on de la secci´on.§1.4.1, es decir, descomponiendo la superficie en peque˜ nos pedazos donde la componente normal de la velocidad vari´e poco.

Primero dividimos la superficie en peque˜ nas superficies planas ∆si sobre las que la velocidad del agua sea aproximadamente constante, y calculamos la normal ~n a esa superficie.7 La componente normal de la velocidad es ~v · ~n, y el flujo del agua a trav´es de ∆si es ~ · ~n ∆si V

(1.34)

El flujo total consistir´a en la suma total de todos los flujos que atraviesan

C

los ∆si en que se divide la superficie S F=

Todos Xlos i

ge

S

~v · ~n ∆si

I I (1.35)

I

on M .

A

El sumatorio depende de la forma de la superficie, y la estimaci´on del flujo es tanto mejor cuanto m´as peque˜ nos sean los elementos ∆si . En el l´ımite

en que son infinitesimalmente peque˜ nos el sumatorio se transforma en una

© M.

integral llamada integral de superficie Z

F=

S

~ · ~n ds V

(1.36)

donde ds es un diferencial de superficie y depende de la forma de la superficie S. La integral se extiende sobre toda la superficie, y su resultado es el flujo ~ que atraviesa la superficie S. total de V Tomemos un ejemplo pr´actico. Suponer que en la figura.(1.16) la veloci~ (x, y, z) = 1 ~k m/s y que la red tiene forma semiesf´erica de dad del agua es V radio a, S(x, y, z) = a =

p

x2 + y 2 + z 2 m, centrada en el punto (0, 0, 0)m.

Primero calculamos la normal a nuestra superficie. Desempolvando los libros de geometr´ıa se tiene que un vector normal unitario a cualquier superficie viene dado por, ~n = Por tanto, en nuestro caso ~n =

~ ∇S ~ |∇S|

x ~i+y ~j+z ~k , a

~ = ya que |∇S|

(1.37) p

x2 + y 2 + z 2 = a.

7

La normal ~n, debe de ser un vector unitario, ya que deseamos conocer la componente ~ en esa direcci´ del vector V on. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

18

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La componente de la velocidad normal a la superficie es el producto ~ por el vector normal unitario ~n, y por tanto el flujo es la escalar de V siguiente integral de superficie Z

F=

~ · ~n ds = V

S

Z

Z x ~i + y ~j + z ~k z (0 ~i + 0 ~j + 1 ~k)( )ds = ds (1.38) a S S a

Primero debemos obtener ds que depender´a del sistema de coordenadas elegido. En coordenadas cartesianas ds = dx dy, pero en este caso es dif´ıcil hacer la integral, ya que los limites de integraci´ on son complicados. Sin embargo, la integral es muy sencilla en coordenada esf´ericas para esta superficie semiesf´erica (lo cual es f´acil de suponer, ya que la superficie es un pedazo de

C

esfera). En coordenadas esf´ericas si Θ es el ´angulo entre el eje z y el radio de la esfera, entonces ds = r2 sin(Θ)2π dΘ, y z = a cos(Θ). Sustituimos estas

I I

expresiones en la ecuaci´on anterior, y obtenemos el resultado S

on M .

A

F=

z ds = a

ge

Z

Z π/2 0

a3

I

¯π/2 cos(Θ) ¯ sin(Θ) dΘ = a2 sin2 (Θ)¯ = π a2 m3 /s 0 a (1.39)

Si la red tiene un di´ametro de a = 1 m, el flujo ser´ıa de 3,1416 m3 /s, es decir

1.5.

© M.

3142 litros/s.

Teoremas fundamentales del c´ alculo vectorial.

Los tres teoremas que estudiaremos a continuaci´ on nos permitir´an realizar el c´alculo de integrales de l´ınea, superficie y volumen de forma sencilla en muchos casos al establecer la relaci´on existente entre dichas integrales.

1.5.1.

Teorema de Green.

Primero expondremos el teorema de Green, y a continuaci´ on daremos su explicaci´on.

Teorema de Green. 1.5.1.1 Si F~ es un campo vectorial definido sobre una regi´ on plana S del espacio delimitada por una curva cerrada C, cuya normal exterior a lo largo de la frontera es ~n, entonces I C

F~ · ~n dl =

Z S

~ · F ds ∇

(1.40)

para cualquier F~ . c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.5 Teoremas fundamentales del c´alculo vectorial.

19 Z

Figura 1.17: El teorema de Green relaciona las integrales de

F(x,y,z)

l´ınea con las de superficie. Para

C

aplicarlo correctamente es necesario conocer la normal exterior ~n

S

Y

a una curva C, la cual se obtiene como la que apunta en direcci´on a nuestra cabeza cuando recorre-

X

mos la curva en sentido antihora-

n

C

rio con los pies apuntando hacia n

el interior de la curva cerrada.

C

La primera duda que nos surge es: ¿Cu´al es la normal exterior a una

I I

curva?. Para determinar ~n debemos fijarnos en la figura.(1.17). La normal

I

ge

exterior es la que indicar´ıa nuestra cabeza si recorremos la curva cerrada C

on M .

A

que define la frontera de S.

Adem´as, es importante fijarse que el teorema de Green se aplica a curvas C planas, es decir, debe existir alg´ un plano que contenga toda la curva.

© M.

El inter´es del teorema de Green es que relaciona las integrales de l´ınea con las de superficie, lo cu´al nos permite calcular cualquiera de las dos a partir de la m´as sencilla.

1.5.2.

Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia es una extensi´on del teorema de Green al espacio.

Teorema de la divergencia. 1.5.2.1 Si F~ es un campo vectorial y V es una regi´ on del espacio (un volumen, ver figura.(1.18)) delimitada por una superficie S, entonces Z S

F~ · ~n ds =

Z V

~ · F~ dV ∇

siendo ~n la normal exterior a la superficie S. 8

(1.41)

8

La superficie debe de ser conexa, es decir, es posible ir de un punto a cualquier otro

de la superficie sin salirse de ella. Por ejemplo la superficie de la Tierra y de la Luna no son conexas entre si, ya que no es posible ir de un punto en la Tierra a otro en la Luna sin salirse de sus superficies. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

20

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Este teorema relaciona las integrales de superficie con las de volumen,

y es de gran importancia en electromagnetismo ya que de su aplicaci´on al campo el´ectrico se obtiene el teorema de Gauss.

1.5.3.

Teorema de Stokes.

El teorema de Stokes es otra generalizaci´on del teorema de Green con importantes aplicaciones en f´ısica.

Teorema de Stokes. 1.5.3.1 Si F~ es un campo vectorial y S una superficie que tiene como frontera una curva C (ver figura.(1.18)), entonces

C Z

S

~ × F ) · ~n ds = (∇

I

C

F~ · ~t dl

(1.42)

I I

on M .

A

ge

siendo ~n la normal exterior a la superficie S y ~t la tangente a la curva C.

Z

© M.

F(x,y,z)

C

X

I

Para conocer las direcciones correctas de ~n y ~t se deben orientar la curva

n

C y la superficie S. Nosotros seguiremos el criterio de la mano derecha ex-

S

plicado en la figura.(1.18). Si recorre-

Y

aplicando la regla de la mano derecha obtenemos la direcci´on de la normal

n

t

mos la curva en sentido antihorario,

exterior a la superficie S. La direcci´on de la tangente queda fijada por el sentido de giro de nuestros dedos al

Figura 1.18: Para orientar en el espacio una curva C que es la frontera de una superficie S aplicaremos el criterio de la mano derecha.

cerrarse la mano.

La aplicaci´on del teorema de Stokes en f´ısica es inmediata. Si el campo vectorial F~ es una fuerza, el segundo

t´ermino del teorema en la ecuaci´on.(1.42) corresponde al trabajo realizado H por dicha fuerza al recorrer una curva cerrada C, T = C F~ · ~t dl. Si F~ es una fuerza conservativa debe de ser cero para cualquier curva C, es decir H ~ ~ on.(1.42) C F · t dl = 0. Por tanto, al sustituir este resultado en la ecuaci´ Z

S c M. A. Monge °

~ × F~ ) · ~n ds = 0 (∇ Dpto. F´ısica 2001-2002

(1.43) Electromagnetismo

1.6 Campos conservativos.

21

para cualquier superficie S, lo que solo es posible si los t´erminos dentro de la integral son cero ~ × F~ = 0 ∇

(1.44)

Por tanto, para saber si un campo es conservativo es suficiente calcular su rotacional y ver si es cero. Lo cual es muy sencillo de hacer.

Por ejemplo, para demostrar que el campo gravitatorio es conservativo ~k ~ ~ solo debemos calcular su rotacional F~ (x, y, z) = cte x2 i+y2 j+z 2 3/2 . El resulta(x +y +z )

~ × F~ (x, y, z) = 0, con lo que el campo gravitatorio es conservativo. do es ∇

1.6.

C

Campos conservativos.

Si F~ es un campo vectorial definido en una regi´on del espacio, entonces

ge

m

e implican que F~ es un campo conservativo.

1.7.

⇔

F~ ~t dl s´olo depende de los extremos ⇐⇒

© M.

C

on M .

A

~ (x, y, z) ∃ V (x, y, z) \ F~ (x, y, z) = ∇V R

I I

I

las siguientes propiedades son equivalentes

H

C

F~ ~t dl = 0 ∀ C m ~ × F~ = 0 ∇

Entendiendo el lenguaje matem´ atico: Ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones matem´aticas son como una buen libro escrito en una lengua extranjera esperando a descubrimos una historia. Para poder leer ese libro no solo es necesario conocer los s´ımbolos y la sintaxis que forman esta extra˜ na lengua, es necesario una buena comprensi´on del significado de los s´ımbolos que estamos usando. As´ı, todas las propiedades de los campos electromagn´eticos se encuentran resumidas en las famosas ecuaciones de Maxwell, que presentan una descripci´on completa de los fen´omenos electromagn´eticos observables en nuestro mundo macrosc´opico.9 La forma m´as 9

El electromagnetismo cl´ asico describe de forma exacta el mundo macrosc´ opico pero

falla al aplicarse a objetos de tama˜ no at´ omico (tama˜ nos del orden de un ´ atomo 1˚ A=10−10 m). La teor´ıa m´ as general que actualmente existe es la cromodin´ amica cu´ antica que permic M. A. Monge °

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Electromagnetismo

22

Visita r´apida a las Matem´aticas.

completa de estas ecuaciones solo ocupa cuatro l´ıneas de texto, pero contienen toda el conocimiento que uno encontrar´ a desperdigado en todos los gruesos tratados de electromagnetismo que se han escrito.

Para los campos el´ectricos que no var´ıan en el tiempo, dichas ecuaciones se simplifican en solo dos ~ ·E ~ = ρ ∇ ²0 ~ ~ ∇×E =0

(1.45) (1.46)

La ecuaci´on.(1.46) nos dice que el campo el´ectrico es un campo conservativo,

C

ya que su rotacional es cero. Adem´as, debe existir una funci´on escalar V tal ~ = −∇V ~ , y que como veremos se que su gradiente es el campo el´ectrico E llama potencial el´ectrico.

I I

I

ge

La ecuaci´on.(1.45) nos dice que la divergencia del campo el´ectrico es

on M .

A

distinta de cero, y que por tanto debe de existir alg´ un ente f´ısico que haga de fuente o sumidero del campo el´ectrico. Estos son las carga el´ectricas que ser´an al menos de dos tipos, unas que hagan el papel de fuentes (la cargas positivas) y otras que ser´an los sumideros (las cargas negativas).

© M.

Como se ve, entendiendo las matem´aticas y mirando a dos ecuaciones muy simples hemos deducido de forma sencilla y sin realizar ning´ un c´alculo gran cantidad de propiedades del campo el´ectrico. Propiedades cuya demostraci´on experimental es compleja.

1.8.

Sistemas de coordenadas.

Hasta ahora, hemos usado coordenadas rectangulares (cartesianas), pero en muchos casos es conveniente usar las denominadas coordenadas curvil´ıneas. Por ejemplo, si estamos describiendo una superficie esf´erica, ser´ıa muy engorroso solucionar todas las ecuaciones en coordenadas rectangulares.

El uso en este caso de coordenadas esf´ericas simplifica mucho el problema.

A continuaci´on expondremos los sistemas de coordenadas curvil´ıneas m´as usados. te comprender el extra˜ no mundo de la f´ısica de las part´ıculas elementales. Su formalismo matem´ atico presenta una gran dificultad y conduce al mismo tipo de resultados en el mundo macrosc´ opico que las ecuaciones de Maxwell. c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

1.8 Sistemas de coordenadas.

1.8.1.

23

Coordenadas polares.

Este sistema de coordenadas de dos di-

Y

j

mensiones se aplica a cualquier problema

r

que tenga simetr´ıa circular. Como el movi-

P=(x,y)

miento de rotaci´on de una part´ıcula en el plano.

r

La posici´on de un punto P = (x, y) que-

j

da determinada por su distancia al origen r

X

y por el ´angulo ϕ que forma con el eje X,

C

Figura 1.19: La posici´on de un

como se muestra en la figura.(1.19).

punto P esta determinada por su

Los vectores unitarios cambien cambian

distancia r al origen y el ´angu-

al pasar a un nuevo sistema de coordenadas.

lo ϕ que forma con el eje X. Los

Las dos direcciones espaciales si indican por

ge

vectores unitarios son ρ ~yϕ ~.

I I

I

los vectores unitarios ρ ~ que se dirige en la

on M .

A

direcci´on radial en sentido de los radios crecientes, y ϕ ~ que es perpendicular

al radio r y su sentido es el de ´angulos ϕ crecientes, como se muestra en la figura.(1.19). De esta forma el vector posici´on ~r queda determinado por

© M.

~r = |~r| ρ ~

La relaci´on que existe entre las coordenadas polares y rectangulares es:

x = r cos(ϕ)

(1.47)

y = rsen(ϕ)

(1.48)

El diferencial de superficie se escribe como

dS = dx dy = r dr dϕ

(1.49)

Este sistema de coordenadas es ampliamente usado en problemas donde la posici´on de la part´ıcula var´ıa con el tiempo de forma que r = cte.

1.8.2.

Coordenadas cil´ındricas.

En coordenadas cil´ındricas la posici´on de cualquier punto del espacio P = (x, y, z) est´a determinada r, ϕ y z. La coordenada r es la distancia al eje Z. La coordenada ϕ es el ´angulo que forma con el eje X la proyecci´ on del c M. A. Monge °

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Electromagnetismo

24

Visita r´apida a las Matem´aticas.

punto P en el plano XY y se denomina ´angulo acimutal. La coordenada z es la distancia del punto P al plano XY y coincide con su valor en coordenadas rectangulares (ver figura.(1.20)).

Los vectores unitarios ortogonales para las tres direcciones espaciales son ρ ~, ϕ ~ y ~k.

Z

k

10

Los dos primeros se definen de igual manera que en coordenadas polares, y ~k coin-

P=(x,y,z)

r

cide con el vector unitario ~k ya mostrado en

OP

coordenadas cartesianas. El vector que describe la posici´on de punto P respecto del ~ =rρ origen es OP ~ + z ~k.

r Y

r X

La relaci´on entre las coordenadas rectangulares y cil´ındricas es

z

j

j Figura 1.20: La posici´on de un punto P esta determinado en

x = r cos(ϕ)

(1.50)

y = r sin(ϕ)

(1.51)

z=z

(1.52)

coordenadas cil´ındricas por su distancia r, el ´angulo ϕ, y la altura z. Los vectores unitarios son ρ ~, ϕ ~ , y ~k.

El diferencial de volumen se expresa como dV = dx dy dz = r dr dϕ dz

(1.53)

Un elemento de longitud d~l = ~t dl gen´erico en estas coordenadas se expresa como d~l = ρ ~ dr + r ϕ ~ dϕ + ~k dz

(1.54)

Las coordenadas cil´ındricas suelen ser especialmente u ´tiles cuando una sola de las tres coordenadas var´ıa. Cuando ϕ y z permanecen constantes mientras r var´ıa, entonces d~l = ρ ~ dr. Otro caso en que son muy u ´tiles es si solo var´ıa el ´angulo acimutal ϕ, en este caso d~l = r ϕ ~ dϕ. Por u ´ltimo, cuando solo var´ıa z entonces d~l = ~k dz.

1.8.3.

Coordenadas esf´ ericas.

La posici´on de un punto P est´a determinada en coordenadas esf´ericas por su distancia r al origen de coordenadas, el ´angulo acimutal ϕ que forma 10

Recordar que los vectores unitarios que representan un sistema de coordenadas cumplen: ~k × ρ ~=ϕ ~, ϕ ~ × ~k = ρ ~, y ρ ~×ϕ ~ = ~k.

1.8 Sistemas de coordenadas.

25

la proyecci´on de P en el plano XY con el eje X, y el ´angulo θ que forma el radiovector ~r con el eje X (ver figura.(1.21)).

Las tres direcciones espaciales est´an fi~ jadas por los vectores unitarios ρ ~, ϕ ~ y θ.

Z

q P=(x,y,z)

r X

r

El primero, ρ ~, tiene la direcci´on y sentido del radiovector ~r. El vector unitario ϕ ~

j q

se define de igual forma que en coordenadas cil´ındricas, mientras que θ~ es un vector

Y perpendicular a ~r y a ϕ ~ , cuyo sentido es el de θ crecientes (ver figura.(1.21)). La po-

j

Figura 1.21: La posici´on de un

sici´on del punto P queda determinada por ~ =rρ OP ~ = ~r.

punto P en coordenadas cil´ındri-

La relaci´on entre las coordenadas rec-

cas se especifica por su distancia r al origen, el ´angulo acimutal ϕ,

tangulares y esf´ericas es

y el ´angulo θ. Los vectores unita~ rios son ρ ~, ϕ ~ , y θ.

x = r sen(θ)

cos(ϕ)

(1.55)

y = r sen(θ)

sen(ϕ)

(1.56)

z = r cos(θ)

(1.57)

Un diferencial de volumen en estas coordenadas se expresa como dV = dx dy dz = r2 sen(θ) dr dϕ dθ

(1.58)

En el caso de que no exista dependencia tanto en θ como ϕ y solo var´ıe r el diferencial de volumen se simplifica a dV == 4π r2 dr.

De igual forma, un diferencial de longitud es d~l = ρ ~ dr + r θ~ dθ + r sen(θ) ϕ ~ dϕ

(1.59)

Si solo varia r, entonces el diferencial de longitud se simplifica a d~l = ρ ~ dr.

1.8.4.

Operadores vectoriales en coordenadas curvil´ıneas.

En la tabla se muestra los distintos operadores vectoriales en las coordenadas estudiadas anteriormente.

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Operaci´on ~ ∇f ~ •V ~ ∇

~ ×V ~ ∇

∇2 f

Coordenadas cil´ındricas ∂f ~ ∂r ρ

+

1 ∂(rVr ) r ∂r

1 ∂f ~ r ∂ϕ ϕ

+

¯ ¯ ~ ¯ ρ ¯ 1 ¯ ∂ r ¯ ∂r ¯ ¯ Vr ∂f 1 ∂(r ∂r ) r ∂r

+

1 ∂Vϕ r ∂ϕ

rϕ ~ ∂ ∂ϕ

r Vϕ +

2 1 ∂ f r2 ∂ 2 ϕ

Coordenadas esf´ericas

∂f ~ ∂z k

+

∂Vz ∂z

¯ ~k ¯¯ ¯ ∂ ¯ ∂z ¯ ¯ Vz ¯ +

∂2f ∂2z

r2

1 sen(θ)

h

∂f ~ ∂r ρ

+

∂f 1 ~ r sen(θ) ∂ϕ ϕ

∂(r 2 sen(θ)Vr ) ∂r

+

+

1 ∂f ~ r ∂θ θ

∂(r sen(θ)Vθ ) ∂θ

+

∂(r Vϕ ) ∂ϕ

i

¯ ¯ ¯ ¯ ~ r θ~ r sen(θ)~ ϕ ¯ ¯ ρ ¯ ¯ 1 ∂ ∂ ¯ ∂ ¯ r 2 sen(θ) ¯ ∂r ¯ ∂θ ∂ϕ ¯ ¯ ¯ Vr r Vθ r sen(θ)Vϕ ¯ h i ∂(r 2 ∂f ∂(sen(θ) ∂f ∂2f 1 1 ∂r ) ∂θ ) sen(θ) + + 2 2 r sen(θ) ∂r ∂θ sen(θ) ∂ ϕ