Cap´ıtulo 1
Visita r´ apida a las
C
Matem´ aticas.
I I
I
ge
El c´alculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs,
on M . A
que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notaci´on vectorial m´as com´ un en la actualidad. La gran claridad en la exposici´on de conceptos f´ısicos que permite dicho formalismo quedo plasmada por James
© M.
Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo (1873), donde sent´o las bases del electromagnetismo cl´asico.
Este cap´ıtulo presenta una introducci´on al c´alculo vectorial, integrales de l´ınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto de vector, se explican las operaciones algebraicas b´asicas. A continuaci´ on se estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por u ´ltimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.
0
1.1 ¿Qu´e es un vector?.
1.1.
1
¿Qu´ e es un vector?.
Si deseamos tener toda la informaci´on posible del viento (figura.(1.1)), no solo necesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h , adem´as es necesario saber su direcci´on y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa. Existen muchas magnitudes f´ısicas cuya
V 60 km/h
C
descripci´on completa exige conocer su intensidad y direcci´on. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es
ge
on M . A
porcional a su velocidad y que apunte en la direcci´on del viento. A estas flechas se las denomina vectores, y a las magnitudes que
© M.
miden vectoriales.
I I
I
mediante una flecha cuya longitud sea pro-
Figura 1.1: Para conocer la velocidad del viento,~v , no es suficiente con medir su intensidad o
m´odulo, V = 60 km/h, adem´as
es necesario conocer su direcci´on.
Existen muchas magnitudes f´ısicas que se encuentran completamente
determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura, T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.
Esta forma gr´afica de representar un vector, si bien es muy u ´til para visualizar la situaci´on f´ısica, dificulta la realizaci´on de c´alculos algebraicos. La forma abreviada de representar un vector es mediante tres n´ umeros, denominados componentes del vector, que indican cu´al es la longitud entre el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio. Lo primero que debemos hacer es elegir cu´al es la derecha e izquierda, cu´al es el arriba y el abajo, y d´onde est´a adelante y atr´as. Adem´as, debemos poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir un sistema de coordenadas, el m´as simple de los cuales es el cartesiano. La figura.(1.2) muestra la m´as com´ un de todas las representaciones de un sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientaci´ on positiva, como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
2
Visita r´apida a las Matem´aticas. (ver figura.(1.2)). Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cu´al es la longitud de nuestro vector en cada una de las direcciones para obtener las componentes del vector. Hay tres formas tradicionales de representar un vector. La primera consiste en
Z
escribir las componentes del vector entre
V(x,y,z)
par´entesis separadas por comas, siendo la si
primera la componente del vector en la di-
n v
recci´on X, la segunda en la Y y la tercera
C Y
en la Z.
~ = (vx , vy , vz ) V
X
(1.1)
I I
I
ge
La segunda consiste en escribir las com-
on M . A
Figura 1.2: Representaci´on del
~ = (2, 2, 3) vector velocidad V km/h, en un sistema de coorde-
© M.
nadas cartesianas.
ponentes como una suma, multiplicando la componente X por ~i, la componente Y por
~j, y la componente Z por ~k.
1
~ = vx~i + vy~j + vz~k V
(1.2)
La u ´ltima forma de representar un vector consiste en dar el punto de origen del vector y el final. Por ejemplo en la figura.(1.1), el vector velocidad ~ = AB ~ ya que A es su origen y B el final. Para pasar se podr´ıa escribir como V de esta notaci´on a una de las anteriores, solo hay que restar las coordenadas del punto final B con el inicial A. En la figura.(1.1) A = (0, 0, 0) y B = (2, 2, 3) y la velocidad es
~ = AB ~ = B − A = (2, 2, 3) − (0, 0, 0) = (2, 2, 3) = 2 ~i + 2 ~j + 3 ~k V
1.2.
(1.3)
Operaciones sencillas con vectores.
La notaci´on vectorial se desarrollo para facilitar el c´alculo algebraico con vectores. A continuaci´on se resumen las principales operaciones elementales. 1
En la secci´ on §1.2.4 se vera el significado de ~i, ~j y ~k.
c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.2 Operaciones sencillas con vectores.
1.2.1.
3
Suma vectorial. Y
La figura.(1.3) muestra la suma ~ +W ~ . El procedide dos vectores, V
6 5
miento seguido para obtener la suma
4
vectorial es el siguiente; situamos el ~ en el final del origen del vector W ~ (el desplazamiento se realivector V
3
V
+W
W
2 1
V
za manteniendo la direcci´on y sentido
1
2
3
X 4
5
del vector, es decir paralelo al propio
C
vector), el vector suma va desde el ori~ a la final de W ~ , tal como gen de V muestra la figura.(1.3).
ge
Si conocemos las componentes de
Figura 1.3: Suma vectorial: Si V~ =
~ = (0,5, 3,5), su suma es (3, 0,75), W ~ +W ~ = (3,5, 4,25). V
I I
I
on M . A
los dos vectores, la forma m´as sencilla de obtener la suma vectorial es mediante una simple suma algebraica de las componentes vectoriales, (vx + wx , vy + wy , vz + wz ) =
© M.
~ +W ~ = V
= (vx + wx )~i + (vy + wy )~j + (vz + wz )~k
1.2.2.
(1.4)
Resta vectorial.
~ −W ~ , se La resta de vectores, V
muestra en la figura.(1.4). Para obte-
ner el vector resta situamos los vec~ yW ~ desplaz´andolos paralelatores V mente de forma que sus or´ıgenes coincidan. El vector resta es el que va ~ a la de W ~ (ver desde la punta de V
Y
6 5
4
V-
W
W
3 2 1
V 1
figura.(1.4)).
2
3
X 4
5
Al igual que la suma, si conocemos las componentes de los dos vectores, la forma m´as sencilla de obtener el vector resta es mediante la sustracc M. A. Monge °
Figura 1.4: Resta vectorial: Si V~ = ~ = (0,5, 3,5), su resta es (3, 0,75), W ~ −W ~ = (2,5, −3,25). V
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Electromagnetismo
4
Visita r´apida a las Matem´aticas. ~ yW ~, ci´on de las componentes de los dos vectores V ~ −W ~ = (vx −wx , vy −wy , vz −wz ) = (vx −wx )~i+(vy −wy )~j+(vz −wz )~k (1.5) V
1.2.3.
Producto de un vector por un escalar. Los escalares operan sobre los vec-
Y 6 5
tores estir´andolos o contray´endolos. As´ı, ~ multiplicado por un escalar un vector V ~ con la misc da lugar a otro vector W ~ , pero cuya longitud ma direcci´on que V
1.5
V
2
0.5
4 3
V
-1.5
V
V
1
C X
1
2
3
4
final es mayor , si |c| > 1, o menor, si
0 < |c| < 1, y cuyo sentido es el mismo
5
I I
si c es positivo y contrario si es negativo
I
ge
Figura 1.5: Producto de un vector
( ver figura.(1.5)).
El producto por un escalar consiste
en multiplicar todas las componentes del
manteniendo su direcci´on.
vector por el escalar
1.2.4.
© M.
on M . A
por un escalar: La longitud y senti~ dependen del valor de c, do de c V
(1.6)
M´ odulo de un vector.
El m´odulo es la longitud total del
Y 6 5
~ =cV ~ = c vx~i + c vy~j + c vz~k W
vector. Cuando un vector representa una
V
4
variable f´ısica, por ejemplo la velocidad, el m´odulo es su magnitud o intensidad,
3
perdi´endose toda informaci´on sobre la
2 1 X 1
2
3
4
En la figura.(1.6) todos los p´ajaros
5
Figura 1.6: El m´odulo |V~ | de las velocidades de todos los p´ajaros es el mismo, aunque su direcci´on y sentido sean diferentes.
~|= |V c M. A. Monge °
direcci´on o sentido del vector. vuelan a la misma velocidad, pero con diferentes direcciones y sentidos. ~ se calcula El m´odulo de un vector V como q
vx2 + vy2 + vz2
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(1.7) Electromagnetismo
1.2 Operaciones sencillas con vectores.
5
Un vector cuyo m´odulo es 1 se denomina vector unitario. Es muy sencillo ~ en la direcci´on y sentido de cualquier otro obtener un vector unitario U vector. Es suficiente con dividir dicho vector por su m´odulo. Por tanto, un ~ con la misma direcci´on y sentido de W ~ se obtiene como vector unitario U ~ ~ = W U ~| |W
(1.8)
Los vectores ~i, ~j y ~k son vectores unitarios en direcci´on de los tres ejes cartesianos. Siendo, ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1).
1.2.5.
C
Producto escalar.
El producto escalar de dos vecto~ yW ~ es un escalar que se obtieres V
ge
ne como la suma del producto de las
Y
6 5
on M . A
componentes de los vectores
I 3
2
© M.
~ ·W ~ = vx wx + vy wy + vz wz (1.9) V
Otra forma equivalente de calcular el
producto escalar es a partir del ´angulo que forman los dos vectores Θ
I I W
4
1
1
Q
2
V
3
4
X
5
Figura 1.7: Producto escalar: El pro~ y W ~ ducto escalar de dos vectores V
~ ·W ~ = |V ~ ||W ~ | cos (Θ) V
(1.10)
donde Θ es el ´angulo entre los dos vec-
relaciona el m´odulo de los vectores ~ ·W ~ = con el ´angulo que forman, V ~ ||W ~ | cos (Θ). |V
tores (ver figura.(1.7)). Si los dos vectores son perpendiculares, Θ = 90o, el producto escalar es cero. La u ´ltima ecuaci´on es muy interesante, ya que nos permite de forma sencilla calcular el coseno del ´angulo entre dos vectores, cos(Θ) =
~ ·W ~ V ~ ||W ~| |V
(1.11)
y por tanto determinar su ´angulo Θ. En f´ısica el producto escalar aparece en numerosas ocasiones. Por ejemplo, si calculamos el trabajo realizado por el carro de la figura.(1.8) para ir c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
6
Visita r´apida a las Matem´aticas. Y (m) ,2) 85 F= (0.
4
Figura 1.8: El trabajo realizado
B
N
6 5 3 por el camello para desplazar el 2 carro de A a B es T = d~ · F~ . 1
fd
Q d
A X (m) 1
2
3
5
4
desde el punto A al punto B, solo deberemos tener en cuenta la componente de la fuerza F~ que contribuye al desplazamiento del carro f~d , es decir, la
C
componente en la direcci´on del desplazamiento, y despu´es multiplicar dicha componente por la distancia d recorrida. El trabajo es por tanto T = |f~d | d.
I I
~ cuya Pero f~d = |F~ | cos(Θ), y si construimos un vector desplazamiento d,
I
ge
longitud sea la distancia recorrida y cuya direcci´on sea la del desplazamien-
on M . A
to (ver figura.(1.8)), entonces aplicando la ecuaci´on.(1.10) se obtiene que ~ es decir, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el T = F~ · d, desplazamiento. En nuestro ejemplo de la figura.(1.8), d~ = B − A = (4, 4) m
© M.
y F~ = (0,85, 2) N, por tanto T = F~ · d~ = 11,4 J.
1.2.6.
Producto vectorial.
En muchos casos es necesario calcular un vector perpendicular a otros ~ yW ~ . Esto es precisamente lo que permite el producto dos vectores dados V ~ =V ~ ×W ~ es un vector N ~ normal tanto vectorial. El producto vectorial N ~ como a W ~ . El sentido de N ~ viene determinado por la regla de la mano aV derecha
2,
ver figura.(1.9). Se define como
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ~ ~ ~ N = V ×W =¯ ¯ ¯ ¯
=
¯
~i
~j
~k ¯¯ ¯
vx
vy
vz ¯¯ =
¯ ¯
wx wy wz ¯
(vy wz − vz wy )~i + (vz wx − vx wz )~j + (vx wy − vy wx )~k
(1.12)
~ =V ~ ×W ~ , el sentido de N ~ es el que indica el pulgar de la mano derecha cuando, Si N ~ al W ~ por el camino m´ al cerrar la mano, el resto de los dedos giran desde el vector V as 2
corto. c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.2 Operaciones sencillas con vectores.
7 Z
3
Figura 1.9: Producto vectorial: ~ = V ~ ×W ~ da lugar a un vecN ~ yW ~ , cuyo tor perpendicular a V
2 N 1
modulo es igual al ´area del para-
mano derecha.
Y W
1
tores, y cuya direcci´on viene determinada aplicando la regla de la
2
1
lep´ıpedo definido por dichos vec2
Q V
3 X
Como f´acilmente se deduce a partir de la ecuaci´on anterior, el producto ~ ×W ~ 6= W ~ ×V ~ . Su m´odulo se puede vectorial no es conmutativo, es decir V ~ ×W ~ = |V ~ | |W ~ |sen(Θ), obtener a partir del ´angulo de los dos vectores como V
C
y coincide con el ´area del paralep´ıpedo formado por los dos vectores (el ´area En f´ısica, el producto vectorial permite expre-
ge
I I
I
sombreada de la figura.(1.9)).
on M . A
sar de forma sencilla multitud de conceptos. Tomemos como ejemplo el momento de una fuerza. En la figura.(1.10) se aplica una fuerza F~ a
© M.
un destornillador de radio |~r|, que act´ ua sobre
un tornillo, y se desea calcular el momento que ~ . Este se realiza dicha fuerza sobre el tornillo, M
obtiene mediante un sencillo producto vectorial ~ = ~r × F~ . Queda clara la no conmutatividad del M
M
r
F
M=r x F
F
r
producto vectorial, no es igual girar el destornillador en un sentido que en el contrario. Como se
ve en la figura.(1.10), el momento de la fuerza es
Figura 1.10: El momento
hacia arriba, si por error realiz´asemos el producto vectorial en orden contrario F~ × ~r, el momento
~ de una fuerza F~ aplicaM
total tendr´ıa el sentido contrario. Si la empu˜ nadura del destornillador tiene un
da a una distancia ~r se calcula mediante el producto ~ = ~r × F~ . vectorial M
radio r = 10 cm, y somos capaces de aplicar una fuerza con la mano de F~ = −100 ~i N girando en sentido aniversario, entonces, el momento de fuerza ~ = −0,1 ~j ×(−100)~i = 10 ~k que estamos aplicando sobre el tornillo ser´a de M N m hacia arriba.
c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
8
Visita r´apida a las Matem´aticas.
1.2.7.
Resumen de operaciones con vectores.
S´ımbolo
Nombre
Resultado
Ecuaci´on Algebraica
Producto por un escalar c
Vector
M´odulo
Escalar
vx~i + vy~j + vz~k c vx~i + c vy~j + c vz~k q ~ | = v2 + v2 + v2 |V x y z
~ +W ~ V
Suma
Vector
(vx + wx )~i + (vy + wy )~j+ (vz + wz )~k
~ −W ~ V
Resta
Vector
(vx − wx )~i + (vy − wy )~j+ (vz − wz )~k
~ V
Vector
~ cV ~| |V
~ ·W ~ V
Producto Vectorial
Vector
vx¯wx + vy wy + vz w ¯z ¯ ~ ~ ~k ¯¯ ¯ i j ¯ ¯ ¯ vx vy vz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ wx wy wz ¯
I I
I
on M . A
ge
~ ×W ~ V
Campos vectoriales y escalares.
© M.
1.3.
C Producto Escalar
3 2.5 Z 2 1.5 1 -1
Todos tenemos una idea intuitiva de
los campos escalares. Una fotograf´ıa en blanco y negro es un buen ejemplo; cada punto de la fotograf´ıa tiene asociado un
Y0
-1 0X
1
1
Figura 1.11: Campo vectorial: La velocidad del aire en un tornado o
valor de la intensidad luminosa, y juntos forman un campo escalar, que es la imagen que vemos. Otro ejemplo es la temperatura en los distintos puntos de una habitaci´on.
del caf´e al ser removido en una taza
La definici´on matem´atica de campo
son ejemplos de campos vectoriales.
escalar es : un campo escalar es una fun-
Cada punto del espacio tiene asocia-
ci´on que asigna un n´ umero a cada punto
do un vector correspondiente a su velocidad.
del espacio. Un campo vectorial es un concepto
m´as complicado. Matem´aticamente se define un campo vectorial como una funci´on que asigna un vector a cada punto del espacio. Aunque pueda parecer c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.3 Campos vectoriales y escalares.
9 1
0.5
Figura 1.12: Campo escalar de la intensidad luminosa de una bom-
Y
billa I(x, y) situada en el punto
0
(0, 0) en escala de grises, junto con el campo vectorial resultante ~ (x, y) = de calcular su gradiente V
-0.5
~ ∇I(x, y).
-1 -1
-0.5
0 X
0.5
1
C
muy abstracto, estamos rodeados de campos vectoriales, la velocidad del
I I
viento en cada punto del espacio es un campo vectorial, o la velocidad del
I
ge
caf´e cuando lo movemos con una cucharilla (ver figura.(1.11)), o las ondas
1.3.1.
on M . A
de radio y televisi´on.
Gradiente.
© M.
El gradiente de un campo escalar da lugar a un campo vectorial. Si tenemos una funci´on cualquiera , f (x, y, z), su gradiente se determina como ~ (x, y, z) = ∂ f (x, y, z)~i + ∂ f (x, y, z)~j + ∂ f (x, y, z)~k ∇f ∂x ∂y ∂z
(1.13)
~ designa esta operaci´on. El s´ımbolo ∇
La figura.(1.12) muestra en blanco y negro un campo escalar que se corresponde con la intensidad luminosa de una bombilla, en escala de grises, situada en el punto (0, 0). El color blanco indica la m´axima intensidad luminosa y el negro la m´ınima. Los vectores de la figura.(1.12) son el gradiente de dicho campo escalar. El campo vectorial obtenido siempre apunta en la direcci´on de m´axima variaci´on del campo escalar, y en el punto donde todas los vectores se juntan corresponde a un m´aximo (o m´ınimo) del campo escalar;3 en este caso todos se dirigen hacia la fuente luminosa. Si las polillas 3
Estrictamente hablando, que el gradiente sea cero implica que es un m´ aximo, un
m´ınimo o un punto silla. Un ejemplo de punto silla es el collado de una monta˜ na: en una direcci´ on corresponde a un m´ aximo y en la otra a un m´ınimo. c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
10
Visita r´apida a las Matem´aticas.
-1
Y 0
1
3 2.5
Figura 1.13: Campo vectorial con divergencia distinta de cero, ~ (x, y, z) = −y ~i + x ~j + (−z 2 ) ~k. V z
Z
2 1.5
z
1 -1 0 X
1
fuesen inteligentes, para llegar a una bombilla solo tendr´ıan que calcular el
C
gradiente de la intensidad luminosa y seguir el sentido de los vectores como si fuesen se˜ nales de tr´afico.
I I
Existe un operador vectorial de gran importancia denominado Lapla-
I
ge
ciano que consiste en calcular el gradiente de un gradiente. Su definici´on
on M . A
es
4f (x, y, z) =
∂2 ∂2 ∂2 f (x, y, z) + f (x, y, z) + f (x, y, z) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(1.14)
© M.
El laplaciano se simboliza como 4, aunque en algunos casos se usan los ~ ·∇ ~ = (∇) ~ 2 = ∇ ~ 2 . El Laplaciano puede tomar siguiente s´ımbolos 4 = ∇ como argumento un campo escalar o un campo vectorial. Si el argumento es un campo escalar, el resultado es otro campo escalar como en el la ecuaci´on.(1.14). Si el laplaciano act´ ua sobre un campo vectorial entonces obtenemos otro campo vectorial ³
´
∇2 F~ (x, y, z) = ∇2 Fx (x, y, z), ∇2 Fy (x, y, z), ∇2 Fz (x, y, z)
(1.15)
Es decir, obtenemos un campo vectorial cuyas componentes son el laplaciano de las componentes del campo origen.
1.3.2.
Divergencia.
Se define la divergencia de un campo vectorial como ~ ·V ~ (x, y, z) = div V (x, y, z) = ∂ vx (x, y, z) + ∂ vy (x, y, z) + ∂ vz (x, y, z) ∇ ∂x ∂y ∂z (1.16) c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.3 Campos vectoriales y escalares.
11
~ ´o div son usados indisEl resultado es un campo escalar. Los s´ımbolos ∇· tintamente para indicar esta operaci´on. El significado f´ısico de la divergencia es muy sencillo. Si la divergencia ~ ·V ~ (x, y, z) = 0, entonces ese campo no tiene de un campo vectorial es 0, ∇ fuentes ni sumideros. En la figura.(1.11) se muestra un campo vectorial cuya ~ (x, y, z) = y ~i + −x ~j + 0 ~k podr´ıa corresponder a la velocidad del ecuaci´on V z
z
caf´e al ser removido por una cucharilla. En una taza no hay ni fuentes (es decir, no entra nuevo caf´e por ning´ un sitio) ni sumideros (no tiene agujeros por donde se pierda caf´e), y por tanto su divergencia es cero,
C
~ ·V ~ (x, y, z) = ∂ y + ∂ (−x) + ∂ 0 = 0 ∇ (1.17) ∂x z ∂y z ∂z Supongamos que alguien nos da una taza rota por la que se escapa caf´e.
I I
La velocidad del caf´e en la taza podr´ıa ser algo parecido al campo vectorial
I
ge
de la figura.(1.13), donde los vectores velocidad se dirigen hacia el agujero
on M . A
situado en fondo de la taza. Ese agujero act´ ua como un sumidero del caf´e, y por tanto su divergencia ya no es nula. La velocidad representada en la ~ (x, y, z) = −y ~i + x ~j + −z 2 ~k y su figura.(1.13) viene dada por la ecuaci´on V z
z
z
© M.
divergencia es distinta de cero, ya que hay un sumidero
2 ~ ·V ~ (x, y, z) = ∂ (−y) + ∂ x + ∂ −z = −1 ∇ ∂x z ∂y z ∂z z
(1.18)
Una divergencia negativa indica hay sumideros, mientras que si fuese positiva indica la presencia de fuentes.
1.3.3.
Rotacional.
La ultima operaci´on vectorial importante es el rotacional. El rotacional ~ (x, y, z) es otro campo vectorial R ~ que se obtiene de un campo vectorial V como
¯ ¯ ¯ ¯ ~ = ∇ ~ ×V ~ (x, y, z) = rot V ~ (x, y, z) ¯¯ R ¯ ¯ ¯
=
∂ vz − ( ∂y
∂ ~ ∂z vy )i
~i
~j
∂ ∂x
∂ ∂y
vx
vy
∂ + ( ∂z vx −
¯
~k ¯¯ ¯
¯ ¯= ¯ ¯ vz ¯ ∂ ∂z
∂ ~ ∂x vz )j
∂ + ( ∂x vy −
∂ ~ ∂y vx )k
~ ´o rot designa el rotacional. donde ∇× c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
(1.19)
12
Visita r´apida a las Matem´aticas. V(x,y,z)
Figura 1.14: La figura muestra el rotacional del campo vectorial ~ (x, y, z). Si V ~ (x, y, z) represenV
3 2.5 2 1.5 1 -1
Ñ´ V(x,y,z)
-1 0
0 1
1
0.5 1 -1-0.5 0 3
ta la velocidad en el seno de un fluido, al introducir una h´elice en
2.5
el fluido con su eje su eje dirigi-
2
do en la direcci´on indicada por su ~ ·V ~ (x, y, z), la h´elice rotacional, ∇
1.5 1
girar´a a la m´axima velocidad.
-1 -0.5
C
0
0.5
1
El significado f´ısico del rotacional es sencillo, y est´a indicado por su ~ (x, y, z) es la velocidad de un fluido, entonces nombre. Si imaginamos que V
I I
I
on M . A
ge
~ × al situar una h´elice con su eje en la direcci´on indicada por rotacional, ∇ ~ (x, y, z), la h´elice rotar´a a la mayor velocidad posible en ese punto del V ~ (x, y, z) (con una velocidad proporcional al m´odulo del campo vectorial V rotacional). La figura.(1.14) muestra el rotacional del campo vectorial de la
© M.
figura.(1.12). Su rotacional ser´a ¯ ¯ ¯ ¯ ~ =∇ ~ ×V ~ (x, y, z) = ¯¯ R ¯ ¯ ¯
~i
~j
∂ ∂x y z
∂ ∂y −x z
¯
~k ¯¯ ¯
−y −2 ~ −x ¯ k ¯ = 2 ~i + 2 ~j + ¯ z z z ¯ 0 ¯
∂ ∂z
(1.20)
Algunas relaciones vectoriales interesantes entre el rotacional y los otros operadores vectoriales son ~ · (A ~ × B) ~ =B ~ · (∇ ~ × A) ~ − A · (∇ ~ × B) ~ ∇
(1.21)
~ × (∇ ~ × A) = ∇( ~ ∇ ~ · A) − ∇ ~ 2A ~ ∇
(1.22)
~ · (∇ ~ × A) ~ =0 ∇
(1.23)
~ × (∇ ~ A) ~ =0 ∇
(1.24)
~yB ~ campos vectoriales. siendo A c M. A. Monge °
Dpto. F´ısica 2001-2002
Electromagnetismo
1.4 Integrales en campos vectoriales
1.3.4.
13
Resumen.
Nombre
S´ımbolo
Argumento
Resultado
Ecuaci´on Algebraica
Gradiente
~ (x, y, z) ∇f
Campo escalar
Campo vectorial
Divergencia
~ ·V ~ (x, y, z) ∇
Campo vectorial
Campo escalar
~ ×V ~ (x, y, z) ∇
Laplaciano
4f (x, y, z)
Campo escalar
Laplaciano
~ (x, y, z) 4V
Campo vectorial
+
∂ vy ∂y
Campo vectorial
Campo vectorial
Campo escalar
∂2 f ∂x2
I I Campo vectorial
I
© M.
blemas particulares que ser´an tratados en esta secci´on. Nos centraremos en el estudio de dos tipos de integrales: integrales de l´ınea e integrales de
Integral de l´ınea: Circulaci´ on.
En la figura.(1.15) se muestra un barco que navega desde el punto A al B siguiendo el camino indicado C, impulsado por un viento de fuerza variable F~ . ¿Cu´al es el trabajo que realiza el barco al ir de A a B?. En la secci´on §1.2.5 estudiamos cu´al era el trabajo realizado por una fuerza F~ al desplazar una masa. Cuando la fuerza aplicada no tiene la misma direcci´on que el desplazamiento debemos obtener la componente tangencial al desplazamiento de dicha fuerza, ya que es la u ´nica que realiza un trabajo u ´til. Esta se obtiene muy sencillamente mediante el producto escalar de la fuerza por un vector unitario tangente a la trayectoria ~t en la direcci´on del c M. A. Monge °
Dpto. F´ısica 2001-2002
2
2
(4vx , 4vy , 4vx )
El calculo de integrales en el seno de campos vectoriales presenta pro-
1.4.1.
∂ vz ∂z
+ + ∂∂y2f + + ∂∂z2f
Integrales en campos vectoriales
superficie.
+
∂ ~ ∂z vy )i+ ∂ ∂ +( ∂z vx − ∂x vz )~j+ ∂ ∂ +( ∂x vy − ∂y vx )~k
C
on M . A
ge
∂ vx ∂x
∂ ( ∂y vz −
Rotacional
1.4.
∂ ~ ∂x f (x, y, z)i+ ∂ + ∂y f (x, y, z)~j+ ∂ + ∂z f (x, y, z)~k
Electromagnetismo
14
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desplazamiento. Por tanto, la componente tangencial de la fuerza es4 : F~ · ~t. Pero hay dos problemas m´as para calcular el trabajo. En la figura.(1.15) la fuerza tensidades dependiendo del punto de la trayectoria donde se encuentre nuestro barco, F~ = F~ (x, y), y la trayectoria cambia conti-
A
F
del viento tiene diferentes direcciones e in-
C a t
nuamente de direcci´on. Una estimaci´on ra-
n
F
zonable del trabajo consiste en dividir la
b
trayectoria en peque˜ nos trozos donde la di-
C
recci´on del barco y el viento son aproxima-
B
damente constantes. De esta forma, si en
I I
Figura 1.15: Para calcular el
a a b) el barco recorre una distancia ∆li , el
trabajo realizado por el barco si-
ge
cada intervalo (por ejemplo en el que va de
on M . A
trabajo realizado es,
F~ · ~t ∆li
I
(1.25)
© M.
Por tanto, el trabajo total aproximado con-
guiendo la trayectoria indicada C bajo la acci´on de la fuerza variable F~ del viento se debe rea-
lizar una integral de l´ınea, T = R F~ · ~t dl. C
sistir´a en la suma del trabajo realizado en cada uno de los intervalos desde el comienzo del recorrido A hasta el final B, T =
B X
F~ · ~t ∆li
(1.26)
i=A
Esta aproximaci´on al trabajo total es tanto mejor cuando menor sea la longitud de los intervalos ∆li . En el l´ımite, cuando ∆li se hace infinitesimalmente peque˜ no, el sumatorio se transforma en una integral Z
T =
C
F~ · ~t dl
(1.27)
Esta integral se denomina integral de l´ınea, y la C en la integral quiere decir que los l´ımites de integraci´ on van desde el comienzo de la trayectoria, A, a su final, B, y que la integral debe realizarse a lo largo de la curva C que indica la trayectoria seguida5 . Al resultado de la integral de l´ınea se le denomina El vector tangente ~t a la trayectoria debe de ser un vector unitario, ya que estamos ~ en la direcci´ calculando la proyecci´ on del vector F on de ~t. 5 Como se ver´ a en un ejemplo, esto significa que al calcular el ~t dl, o lo que es lo mismo 4
d~l, se debe tener en cuenta la curva particular C sobre la que estamos integrando. c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.4 Integrales en campos vectoriales
15
circulaci´on del campo vectorial F~ a lo largo de C. En algunos casos se utiliza la siguiente notaci´on para las integrales de l´ınea
Z
T =
C
F~ d~l
(1.28)
donde se sobrentiende que d~l = ~t dl, es decir, que el diferencial de longitud tiene la direcci´on de la trayectoria C sobre la que se integra. Existe un s´ımbolo especial para las integrales de l´ınea cuando la trayectoria sobre la que se integra es una curva cerrada, I
T =
F~ d~l
(1.29)
C C
Para clarificar ideas, suponer que la fuerza del viento esta dada por el siguiente campo vectorial F~ (x, y, z) = (x2~i+y 2~j+z 2~k) N, y que la trayectoria
I I
I
on M . A
ge
que sigue la nave es y 2 = x. Deseamos calcular el trabajo necesario para ir √ del punto A = (0, 0, 0) m, al punto B = (2, 2, 0) m (la coordenada z es siempre 0, ¡los barcos no vuelan!).
A continuaci´on debemos obtener d~l para calcular el trabajo mediante
© M.
ecuaci´on.(1.28). Como la curva es y 2 = x, tendremos
d~l = (dx, dy, dz) = (dx, dy, 0) = dx ~i + dy ~j + 0 ~k
(1.30)
ya que la trayectoria no depende de z. Por tanto el producto vectorial F~ · d~l ser´a6
F~ · d~l = (x2~i + y 2~j + z 2~k) · (dx ~i + dy ~j + 0 ~k) = x2 dx + y 2 dy
(1.31)
El trabajo queda en funci´on de dos variables x e y. Para realizar la integral debemos expresar todo en funci´on de una u ´nica variable. La relaci´on 6
Otra forma de realizar el mismo c´ alculo es aplicando la ecuaci´ on.(1.27). Primero de-
bemos calcular el vector tangente en cualquier punto de la curva y 2 = x. Recordando un poco de geometr´ıa, sabemos que un vector tangente ~t a una curva se define como ~t = dx~i + dy ~j + dz ~k dl dl dl ~ · ~t dl donde dl es un diferencial de longitud de la curva. Por tanto el producto escalar F es,
~ · ~t dl = (x2~i + y 2~j + z 2~k) · ( dx~i + dy ~j + 0~k) dl = x2 dx + y 2 dy F dl dl
c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
16
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X Figura 1.16: Para calcular el flu-
V(x,y,z)
jo que atraviesa la superficie S se debe calcular una integral de suR ~ · ~n ds, siendo perficie F = S V ~ (x, y, z) la velocidad del agua en V
si
n v
Z
cada punto y ~n la normal a la superficie.
Y
S
C
entre x e y viene determinada por la trayectoria recorrida y 2 = x. Primero obtenemos la dependencia de y en funci´on de x a partir de la ecuaci´on de √ la trayectoria, y = x, y para calcular dy en funci´on de dx diferenciamos
I I
I
ge
la ecuaci´on de la trayectoria (se calcula la derivada total respecto de x y se
on M . A
despeja el dy en funci´on de dx)
d dx d 2 y dy = x dx ⇒ 2y dy = dx ⇒ dy = dy dx 2y
(1.32)
© M.
Una vez que todo esta en funci´on de x nos queda Z
T =
C
F~ · ~t dl =
Z 2 0
(x2 +
¯
¯2 1 1√ 1 x)dx = x3 + x3/2 ¯¯ 2 3 3 0
(1.33)
ya que el punto inicial es x = 0 m y el final x = 2 m. Con lo que el trabajo √ total realizado es 23 (4 + 2) J.
1.4.2.
Integral de superficie.
Un pescador desea conocer el caudal de agua que atraviesa su red, tal y como se muestra en la figura.(1.16). Se presentan dos problemas, la velocidad del agua varia con la profundidad y el flujo total de agua depende de la forma S de la red. Este problema nos recuerda el de calcular el trabajo mostrado en la secci´on anterior, §1.4.1. Debemos de considerar tanto la velocidad del agua en cada punto de la superficie de la red y la forma de la red. Esto se debe a que solo la componente de la velocidad perpendicular a la superficie contribuir´a al flujo total (una chorro de agua con velocidad paralela a una superficie nunca la atravisa, y por tanto no produce un flujo neto). Lo primero que c M. A. Monge °
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1.4 Integrales en campos vectoriales
17
haremos ser´a una estimaci´on del flujo realizando la misma aproximaci´ on de la secci´on.§1.4.1, es decir, descomponiendo la superficie en peque˜ nos pedazos donde la componente normal de la velocidad vari´e poco. Primero dividimos la superficie en peque˜ nas superficies planas ∆si sobre las que la velocidad del agua sea aproximadamente constante, y calculamos la normal ~n a esa superficie.7 La componente normal de la velocidad es ~v · ~n, y el flujo del agua a trav´es de ∆si es ~ · ~n ∆si V
(1.34)
El flujo total consistir´a en la suma total de todos los flujos que atraviesan
C
los ∆si en que se divide la superficie S F=
Todos Xlos i
ge
S
~v · ~n ∆si
I I (1.35)
I
on M . A
El sumatorio depende de la forma de la superficie, y la estimaci´on del flujo es tanto mejor cuanto m´as peque˜ nos sean los elementos ∆si . En el l´ımite
en que son infinitesimalmente peque˜ nos el sumatorio se transforma en una
© M.
integral llamada integral de superficie Z
F=
S
~ · ~n ds V
(1.36)
donde ds es un diferencial de superficie y depende de la forma de la superficie S. La integral se extiende sobre toda la superficie, y su resultado es el flujo ~ que atraviesa la superficie S. total de V Tomemos un ejemplo pr´actico. Suponer que en la figura.(1.16) la veloci~ (x, y, z) = 1 ~k m/s y que la red tiene forma semiesf´erica de dad del agua es V radio a, S(x, y, z) = a =
p
x2 + y 2 + z 2 m, centrada en el punto (0, 0, 0)m.
Primero calculamos la normal a nuestra superficie. Desempolvando los libros de geometr´ıa se tiene que un vector normal unitario a cualquier superficie viene dado por, ~n = Por tanto, en nuestro caso ~n =
~ ∇S ~ |∇S|
x ~i+y ~j+z ~k , a
~ = ya que |∇S|
(1.37) p
x2 + y 2 + z 2 = a.
7
La normal ~n, debe de ser un vector unitario, ya que deseamos conocer la componente ~ en esa direcci´ del vector V on. c M. A. Monge °
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18
Visita r´apida a las Matem´aticas.
La componente de la velocidad normal a la superficie es el producto ~ por el vector normal unitario ~n, y por tanto el flujo es la escalar de V siguiente integral de superficie Z
F=
~ · ~n ds = V
S
Z
Z x ~i + y ~j + z ~k z (0 ~i + 0 ~j + 1 ~k)( )ds = ds (1.38) a S S a
Primero debemos obtener ds que depender´a del sistema de coordenadas elegido. En coordenadas cartesianas ds = dx dy, pero en este caso es dif´ıcil hacer la integral, ya que los limites de integraci´ on son complicados. Sin embargo, la integral es muy sencilla en coordenada esf´ericas para esta superficie semiesf´erica (lo cual es f´acil de suponer, ya que la superficie es un pedazo de
C
esfera). En coordenadas esf´ericas si Θ es el ´angulo entre el eje z y el radio de la esfera, entonces ds = r2 sin(Θ)2π dΘ, y z = a cos(Θ). Sustituimos estas
I I
expresiones en la ecuaci´on anterior, y obtenemos el resultado S
on M . A
F=
z ds = a
ge
Z
Z π/2 0
a3
I
¯π/2 cos(Θ) ¯ sin(Θ) dΘ = a2 sin2 (Θ)¯ = π a2 m3 /s 0 a (1.39)
Si la red tiene un di´ametro de a = 1 m, el flujo ser´ıa de 3,1416 m3 /s, es decir
1.5.
© M.
3142 litros/s.
Teoremas fundamentales del c´ alculo vectorial.
Los tres teoremas que estudiaremos a continuaci´ on nos permitir´an realizar el c´alculo de integrales de l´ınea, superficie y volumen de forma sencilla en muchos casos al establecer la relaci´on existente entre dichas integrales.
1.5.1.
Teorema de Green.
Primero expondremos el teorema de Green, y a continuaci´ on daremos su explicaci´on. Teorema de Green. 1.5.1.1 Si F~ es un campo vectorial definido sobre una regi´ on plana S del espacio delimitada por una curva cerrada C, cuya normal exterior a lo largo de la frontera es ~n, entonces I C
F~ · ~n dl =
Z S
~ · F ds ∇
(1.40)
para cualquier F~ . c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.5 Teoremas fundamentales del c´alculo vectorial.
19 Z
Figura 1.17: El teorema de Green relaciona las integrales de
F(x,y,z)
l´ınea con las de superficie. Para
C
aplicarlo correctamente es necesario conocer la normal exterior ~n
S
Y
a una curva C, la cual se obtiene como la que apunta en direcci´on a nuestra cabeza cuando recorre-
X
mos la curva en sentido antihora-
n
C
rio con los pies apuntando hacia n
el interior de la curva cerrada.
C
La primera duda que nos surge es: ¿Cu´al es la normal exterior a una
I I
curva?. Para determinar ~n debemos fijarnos en la figura.(1.17). La normal
I
ge
exterior es la que indicar´ıa nuestra cabeza si recorremos la curva cerrada C
on M . A
que define la frontera de S.
Adem´as, es importante fijarse que el teorema de Green se aplica a curvas C planas, es decir, debe existir alg´ un plano que contenga toda la curva.
© M.
El inter´es del teorema de Green es que relaciona las integrales de l´ınea con las de superficie, lo cu´al nos permite calcular cualquiera de las dos a partir de la m´as sencilla.
1.5.2.
Teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia es una extensi´on del teorema de Green al espacio.
Teorema de la divergencia. 1.5.2.1 Si F~ es un campo vectorial y V es una regi´ on del espacio (un volumen, ver figura.(1.18)) delimitada por una superficie S, entonces Z S
F~ · ~n ds =
Z V
~ · F~ dV ∇
siendo ~n la normal exterior a la superficie S. 8
(1.41)
8
La superficie debe de ser conexa, es decir, es posible ir de un punto a cualquier otro
de la superficie sin salirse de ella. Por ejemplo la superficie de la Tierra y de la Luna no son conexas entre si, ya que no es posible ir de un punto en la Tierra a otro en la Luna sin salirse de sus superficies. c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
20
Visita r´apida a las Matem´aticas. Este teorema relaciona las integrales de superficie con las de volumen,
y es de gran importancia en electromagnetismo ya que de su aplicaci´on al campo el´ectrico se obtiene el teorema de Gauss.
1.5.3.
Teorema de Stokes.
El teorema de Stokes es otra generalizaci´on del teorema de Green con importantes aplicaciones en f´ısica. Teorema de Stokes. 1.5.3.1 Si F~ es un campo vectorial y S una superficie que tiene como frontera una curva C (ver figura.(1.18)), entonces
C Z
S
~ × F ) · ~n ds = (∇
I
C
F~ · ~t dl
(1.42)
I I
on M . A
ge
siendo ~n la normal exterior a la superficie S y ~t la tangente a la curva C.
Z
© M.
F(x,y,z)
C
X
I
Para conocer las direcciones correctas de ~n y ~t se deben orientar la curva
n
C y la superficie S. Nosotros seguiremos el criterio de la mano derecha ex-
S
plicado en la figura.(1.18). Si recorre-
Y
aplicando la regla de la mano derecha obtenemos la direcci´on de la normal
n
t
mos la curva en sentido antihorario,
exterior a la superficie S. La direcci´on de la tangente queda fijada por el sentido de giro de nuestros dedos al
Figura 1.18: Para orientar en el espacio una curva C que es la frontera de una superficie S aplicaremos el criterio de la mano derecha.
cerrarse la mano.
La aplicaci´on del teorema de Stokes en f´ısica es inmediata. Si el campo vectorial F~ es una fuerza, el segundo
t´ermino del teorema en la ecuaci´on.(1.42) corresponde al trabajo realizado H por dicha fuerza al recorrer una curva cerrada C, T = C F~ · ~t dl. Si F~ es una fuerza conservativa debe de ser cero para cualquier curva C, es decir H ~ ~ on.(1.42) C F · t dl = 0. Por tanto, al sustituir este resultado en la ecuaci´ Z
S c M. A. Monge °
~ × F~ ) · ~n ds = 0 (∇ Dpto. F´ısica 2001-2002
(1.43) Electromagnetismo
1.6 Campos conservativos.
21
para cualquier superficie S, lo que solo es posible si los t´erminos dentro de la integral son cero ~ × F~ = 0 ∇
(1.44)
Por tanto, para saber si un campo es conservativo es suficiente calcular su rotacional y ver si es cero. Lo cual es muy sencillo de hacer. Por ejemplo, para demostrar que el campo gravitatorio es conservativo ~k ~ ~ solo debemos calcular su rotacional F~ (x, y, z) = cte x2 i+y2 j+z 2 3/2 . El resulta(x +y +z )
~ × F~ (x, y, z) = 0, con lo que el campo gravitatorio es conservativo. do es ∇
1.6.
C
Campos conservativos.
Si F~ es un campo vectorial definido en una regi´on del espacio, entonces
ge
m
e implican que F~ es un campo conservativo.
1.7.
⇔
F~ ~t dl s´olo depende de los extremos ⇐⇒
© M.
C
on M . A
~ (x, y, z) ∃ V (x, y, z) \ F~ (x, y, z) = ∇V R
I I
I
las siguientes propiedades son equivalentes
H
C
F~ ~t dl = 0 ∀ C m ~ × F~ = 0 ∇
Entendiendo el lenguaje matem´ atico: Ecuaciones de Maxwell.
Las ecuaciones matem´aticas son como una buen libro escrito en una lengua extranjera esperando a descubrimos una historia. Para poder leer ese libro no solo es necesario conocer los s´ımbolos y la sintaxis que forman esta extra˜ na lengua, es necesario una buena comprensi´on del significado de los s´ımbolos que estamos usando. As´ı, todas las propiedades de los campos electromagn´eticos se encuentran resumidas en las famosas ecuaciones de Maxwell, que presentan una descripci´on completa de los fen´omenos electromagn´eticos observables en nuestro mundo macrosc´opico.9 La forma m´as 9
El electromagnetismo cl´ asico describe de forma exacta el mundo macrosc´ opico pero
falla al aplicarse a objetos de tama˜ no at´ omico (tama˜ nos del orden de un ´ atomo 1˚ A=10−10 m). La teor´ıa m´ as general que actualmente existe es la cromodin´ amica cu´ antica que permic M. A. Monge °
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Electromagnetismo
22
Visita r´apida a las Matem´aticas.
completa de estas ecuaciones solo ocupa cuatro l´ıneas de texto, pero contienen toda el conocimiento que uno encontrar´ a desperdigado en todos los gruesos tratados de electromagnetismo que se han escrito. Para los campos el´ectricos que no var´ıan en el tiempo, dichas ecuaciones se simplifican en solo dos ~ ·E ~ = ρ ∇ ²0 ~ ~ ∇×E =0
(1.45) (1.46)
La ecuaci´on.(1.46) nos dice que el campo el´ectrico es un campo conservativo,
C
ya que su rotacional es cero. Adem´as, debe existir una funci´on escalar V tal ~ = −∇V ~ , y que como veremos se que su gradiente es el campo el´ectrico E llama potencial el´ectrico.
I I
I
ge
La ecuaci´on.(1.45) nos dice que la divergencia del campo el´ectrico es
on M . A
distinta de cero, y que por tanto debe de existir alg´ un ente f´ısico que haga de fuente o sumidero del campo el´ectrico. Estos son las carga el´ectricas que ser´an al menos de dos tipos, unas que hagan el papel de fuentes (la cargas positivas) y otras que ser´an los sumideros (las cargas negativas).
© M.
Como se ve, entendiendo las matem´aticas y mirando a dos ecuaciones muy simples hemos deducido de forma sencilla y sin realizar ning´ un c´alculo gran cantidad de propiedades del campo el´ectrico. Propiedades cuya demostraci´on experimental es compleja.
1.8.
Sistemas de coordenadas.
Hasta ahora, hemos usado coordenadas rectangulares (cartesianas), pero en muchos casos es conveniente usar las denominadas coordenadas curvil´ıneas. Por ejemplo, si estamos describiendo una superficie esf´erica, ser´ıa muy engorroso solucionar todas las ecuaciones en coordenadas rectangulares. El uso en este caso de coordenadas esf´ericas simplifica mucho el problema. A continuaci´on expondremos los sistemas de coordenadas curvil´ıneas m´as usados. te comprender el extra˜ no mundo de la f´ısica de las part´ıculas elementales. Su formalismo matem´ atico presenta una gran dificultad y conduce al mismo tipo de resultados en el mundo macrosc´ opico que las ecuaciones de Maxwell. c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
1.8 Sistemas de coordenadas.
1.8.1.
23
Coordenadas polares. Este sistema de coordenadas de dos di-
Y
j
mensiones se aplica a cualquier problema
r
que tenga simetr´ıa circular. Como el movi-
P=(x,y)
miento de rotaci´on de una part´ıcula en el plano.
r
La posici´on de un punto P = (x, y) que-
j
da determinada por su distancia al origen r
X
y por el ´angulo ϕ que forma con el eje X,
C
Figura 1.19: La posici´on de un
como se muestra en la figura.(1.19).
punto P esta determinada por su
Los vectores unitarios cambien cambian
distancia r al origen y el ´angu-
al pasar a un nuevo sistema de coordenadas.
lo ϕ que forma con el eje X. Los
Las dos direcciones espaciales si indican por
ge
vectores unitarios son ρ ~yϕ ~.
I I
I
los vectores unitarios ρ ~ que se dirige en la
on M . A
direcci´on radial en sentido de los radios crecientes, y ϕ ~ que es perpendicular
al radio r y su sentido es el de ´angulos ϕ crecientes, como se muestra en la figura.(1.19). De esta forma el vector posici´on ~r queda determinado por
© M.
~r = |~r| ρ ~
La relaci´on que existe entre las coordenadas polares y rectangulares es:
x = r cos(ϕ)
(1.47)
y = rsen(ϕ)
(1.48)
El diferencial de superficie se escribe como
dS = dx dy = r dr dϕ
(1.49)
Este sistema de coordenadas es ampliamente usado en problemas donde la posici´on de la part´ıcula var´ıa con el tiempo de forma que r = cte.
1.8.2.
Coordenadas cil´ındricas.
En coordenadas cil´ındricas la posici´on de cualquier punto del espacio P = (x, y, z) est´a determinada r, ϕ y z. La coordenada r es la distancia al eje Z. La coordenada ϕ es el ´angulo que forma con el eje X la proyecci´ on del c M. A. Monge °
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Electromagnetismo
24
Visita r´apida a las Matem´aticas.
punto P en el plano XY y se denomina ´angulo acimutal. La coordenada z es la distancia del punto P al plano XY y coincide con su valor en coordenadas rectangulares (ver figura.(1.20)). Los vectores unitarios ortogonales para las tres direcciones espaciales son ρ ~, ϕ ~ y ~k.
Z
k
10
Los dos primeros se definen de igual manera que en coordenadas polares, y ~k coin-
P=(x,y,z)
r
cide con el vector unitario ~k ya mostrado en
OP
coordenadas cartesianas. El vector que describe la posici´on de punto P respecto del ~ =rρ origen es OP ~ + z ~k.
r Y
r X
La relaci´on entre las coordenadas rectangulares y cil´ındricas es
z
j
j Figura 1.20: La posici´on de un punto P esta determinado en
x = r cos(ϕ)
(1.50)
y = r sin(ϕ)
(1.51)
z=z
(1.52)
coordenadas cil´ındricas por su distancia r, el ´angulo ϕ, y la altura z. Los vectores unitarios son ρ ~, ϕ ~ , y ~k.
El diferencial de volumen se expresa como dV = dx dy dz = r dr dϕ dz
(1.53)
Un elemento de longitud d~l = ~t dl gen´erico en estas coordenadas se expresa como d~l = ρ ~ dr + r ϕ ~ dϕ + ~k dz
(1.54)
Las coordenadas cil´ındricas suelen ser especialmente u ´tiles cuando una sola de las tres coordenadas var´ıa. Cuando ϕ y z permanecen constantes mientras r var´ıa, entonces d~l = ρ ~ dr. Otro caso en que son muy u ´tiles es si solo var´ıa el ´angulo acimutal ϕ, en este caso d~l = r ϕ ~ dϕ. Por u ´ltimo, cuando solo var´ıa z entonces d~l = ~k dz.
1.8.3.
Coordenadas esf´ ericas.
La posici´on de un punto P est´a determinada en coordenadas esf´ericas por su distancia r al origen de coordenadas, el ´angulo acimutal ϕ que forma 10
Recordar que los vectores unitarios que representan un sistema de coordenadas cumplen: ~k × ρ ~=ϕ ~, ϕ ~ × ~k = ρ ~, y ρ ~×ϕ ~ = ~k.
1.8 Sistemas de coordenadas.
25
la proyecci´on de P en el plano XY con el eje X, y el ´angulo θ que forma el radiovector ~r con el eje X (ver figura.(1.21)). Las tres direcciones espaciales est´an fi~ jadas por los vectores unitarios ρ ~, ϕ ~ y θ.
Z
q P=(x,y,z)
r X
r
El primero, ρ ~, tiene la direcci´on y sentido del radiovector ~r. El vector unitario ϕ ~
j q
se define de igual forma que en coordenadas cil´ındricas, mientras que θ~ es un vector
Y perpendicular a ~r y a ϕ ~ , cuyo sentido es el de θ crecientes (ver figura.(1.21)). La po-
j
Figura 1.21: La posici´on de un
sici´on del punto P queda determinada por ~ =rρ OP ~ = ~r.
punto P en coordenadas cil´ındri-
La relaci´on entre las coordenadas rec-
cas se especifica por su distancia r al origen, el ´angulo acimutal ϕ,
tangulares y esf´ericas es
y el ´angulo θ. Los vectores unita~ rios son ρ ~, ϕ ~ , y θ.
x = r sen(θ)
cos(ϕ)
(1.55)
y = r sen(θ)
sen(ϕ)
(1.56)
z = r cos(θ)
(1.57)
Un diferencial de volumen en estas coordenadas se expresa como dV = dx dy dz = r2 sen(θ) dr dϕ dθ
(1.58)
En el caso de que no exista dependencia tanto en θ como ϕ y solo var´ıe r el diferencial de volumen se simplifica a dV == 4π r2 dr. De igual forma, un diferencial de longitud es d~l = ρ ~ dr + r θ~ dθ + r sen(θ) ϕ ~ dϕ
(1.59)
Si solo varia r, entonces el diferencial de longitud se simplifica a d~l = ρ ~ dr.
1.8.4.
Operadores vectoriales en coordenadas curvil´ıneas.
En la tabla se muestra los distintos operadores vectoriales en las coordenadas estudiadas anteriormente.
26
Visita r´apida a las Matem´aticas. Operaci´on ~ ∇f ~ •V ~ ∇
~ ×V ~ ∇
∇2 f
Coordenadas cil´ındricas ∂f ~ ∂r ρ
+
1 ∂(rVr ) r ∂r
1 ∂f ~ r ∂ϕ ϕ
+
¯ ¯ ~ ¯ ρ ¯ 1 ¯ ∂ r ¯ ∂r ¯ ¯ Vr ∂f 1 ∂(r ∂r ) r ∂r
+
1 ∂Vϕ r ∂ϕ
rϕ ~ ∂ ∂ϕ
r Vϕ +
2 1 ∂ f r2 ∂ 2 ϕ
Coordenadas esf´ericas
∂f ~ ∂z k
+
∂Vz ∂z
¯ ~k ¯¯ ¯ ∂ ¯ ∂z ¯ ¯ Vz ¯ +
∂2f ∂2z
r2
1 sen(θ)
h
∂f ~ ∂r ρ
+
∂f 1 ~ r sen(θ) ∂ϕ ϕ
∂(r 2 sen(θ)Vr ) ∂r
+
+
1 ∂f ~ r ∂θ θ
∂(r sen(θ)Vθ ) ∂θ
+
∂(r Vϕ ) ∂ϕ
i
¯ ¯ ¯ ¯ ~ r θ~ r sen(θ)~ ϕ ¯ ¯ ρ ¯ ¯ 1 ∂ ∂ ¯ ∂ ¯ r 2 sen(θ) ¯ ∂r ¯ ∂θ ∂ϕ ¯ ¯ ¯ Vr r Vθ r sen(θ)Vϕ ¯ h i ∂(r 2 ∂f ∂(sen(θ) ∂f ∂2f 1 1 ∂r ) ∂θ ) sen(θ) + + 2 2 r sen(θ) ∂r ∂θ sen(θ) ∂ ϕ