C´alculo: Integraci´on. Antonio Garv´ın Curso 04/05
1 1.1
Integraci´ on Partici´ on de un intervalo y sumas de Rieman
Consideremos un intervalo [a, b]. Una partici´on de [a, b], es un conjunto P = {x0 , x1 , · · · , xn }, tal que x0 = a, xn = b y cada xi < xi+1 . Sea f una funci´on definida en [a, b], f : [a, b] → R y P una partici´on de [a, b]. Consideremos ahora una elecci´on de un punto en cada subintervalo que la partici´on determina, x∗i ∈ [xi−1 , xi ], es decir, elegimos x∗1 ∈ [a, x1 ], x∗2 ∈ [x1 , x2 ], x∗3 ∈ [x2 , x3 ], · · · , x∗n ∈ [xn−1 , b]. La suma de Riemann de f , S(f ), asociada a la partici´on P y a la elecci´on de los puntos x∗i , se define como: S(f ) =
n X
f (x∗i )(xi − xi−1 )
i=0
1.2
Integral definida
Sea f una funci´on acotada en [a, b], decimos que f es integrable en [a, b] si para cualquier sucesi´on de sumas de Riemann, de particiones con longitudes de los subintervalos que tiendan a cero, e independientemente de la elecci´on, existe el l´ımite de la correspondinte sucesi´on de sumas de Riemann, y es siempre el mismo n´ umero l. En este caso escribimos Z b f =l a
Tambi´en se usa la notaci´on
Z
b
f (x)dx a
1
1.3
Propiedades
• Toda funci´on (acotada y) continua, salvo quizas en un n´ umero finito de puntos, en [a, b], es integrable en [a, b]. Adem´as se tiene: • Si f : [a, b] → R es continua y positiva Z b f (x)dx = area encerrada entre el eje OX, x = a, x = b, y la gr´afica de f a
• Si f es una funci´on continua, y consideramos una sucesi´on de particiones Pn tales que las longitudes de los subintervalos [xi−1 , xi ] tiendan a cero cuando n → ∞, entonces Z
b
f (x)dx = lim
n→∞
a
1.4
n X
f (x∗i )(xi − xi−1 ) = lim Sn (f ) n→∞
i=1
Propiedades:
Sean f, g: [a, b] → R continuas Z b Z b Z b 1. (αf + βg) = α f +β g a
a
a
Rb
2. Si f ≥ 0 en [a, b] =⇒ a f ≥ 0 Rb Rb 3. f ≤ g en [a, b] =⇒ a f ≤ a g Z b Z c Z b 4. c ∈ [a, b], f= f+ f a
Z
b
5. − Z 6.
Z f=
a
a
c
a
f b
a
f =0 a
1.5
Teoremas b´ asicos
Enunciamos a continuaci´on y damos ejemplos de los principales resultados te´oricos sobre funciones integrables. En particular el resultado que relaciona integrales con primitivas, el teorema fundamental del c´alculo, asi como su forma equivalente conocida cl´asicamente como la regla de Barrow.
2
1.6
Teorema fundamental del c´ alculo:
Sea f : [a, b] → R una funci´on continua y sea F : [a, b] → R la funci´on definida por Z Z x
F (x) =
x
f =(
f (t)dt)
a
a
Entonces F es derivable y F 0 (x) = f (x) [El que el l´ımite inferior de la integral de la integral sea otro punto distinto de a no varia el resultado del teorema.]
1.7
Ejemplos:
Z xp p d (1) ( 1 + t2 dt) = 1 + x2 dx 0 Z x2 +1 d (2) ( cos t2 dt) = 2x · cos(x2 + 1) dx 0 Z u Z G F 2 2 x 7→ u = x + 1 7→ cos t dt = 0
x2 +1
cos t2 dt
0
0
0
G (u) = cos u2
F (x) = 2x
(F ◦ G)0 (x) = F 0 (G(x))G0 (x) = F 0 (u)2x = cos u2 2x = 2x · cos(x2 + 1) 1 Z Rx a 1+ sen 2 t dt (3) f (x) = 1 + sen 2 tdt a
f 0 (x) =
1.8
1
1 + sen
R 1 2( x 1 a 1+ sen 2 t dt)
1 + sen 2 x
Regla de Barrow
Si g es una primitiva de f ( es decir si g 0 (x) = f (x)), entonces Z a
1.9
b
f (x)dx = g(b) − g(a) := g(x) ]ba
Teorema del valor medio de la integral
Sea f : [a, b] → R, continua. Existe c ∈ [a, b] talque f (c) =
1 b−a 3
Z
b
f (x)dx a
”El valor medio de f entre a y b, esto es,
1 b−a
Z
f (x)dx, seb alcanza en a
alg´ un punto intermedio f (c)”
1.10
b
Teorema del valor medio generalizado
Sean f, g: [a, b] → R, continuas y g(x) ≥ 0 en [a, b]. Existe c ∈ [a, b] talque Z b Z b f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx a
1.11
a
Nota
Tomando g(x) = 1 se obtiene el resultado anterior.
1.12
C´ alculo de primitivas
R R g es primitiva de f si g 0 = f . El simbolo f , o tambien f (x)dx denota una primitiva( o a veces todas las primitivas) de f . Cualesquiera dos primitivas se diferencian en una constante. El cambio de variable y la integraci´ on por partes son dos t´ecnicas para calcular primitivas.
1.13
Cambio de variable Z
b
Z 0
g(b)
f (g(x))g (x)dx =
f (u)du
a
g(a)
se suele recordar haciendo ”g(x) = u” y por tanto ”g 0 (x)dx = du”. En cuanto a los l´ımites de integraci´ on, si x ∈ [a, b], entonces u = g(x) est´a entre g(a) u g(b), u ∈ [g(a), g(b)] y por tanto estos son los l´ımites de integraci´ on para u.
1.14
Integraci´ on por partes Z
b
Z 0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) a
]ba
−
b
f 0 (x)g(x)dx
a
Se suele recordar haciendo ”u = f (x), v = g(x)” y formalmente se tiene ”du = f 0 (x)dx, dv = g 0 (x)dx” y queda Z Z udv = uv − vdu 4
Los limites de integraci´on no cambian.
1.15
Ejemplos:
Z Z n n−1 xdx} = (∗) (1) cos xdx = cos | {z x} cos | {z u
u = cos
n−1
x
dv
du = (n − 1) cosn−2 x(− sen x)dx
dv = cos xdx
v= Z sen x (∗) = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x sen 2 xdx = Z n−1 = cos x sen x + (n − 1) cosn−2 x(1 − cos2 x)dx = Z Z n−1 n−2 = cos x sen x + (n − 1) cos xdx − (n − 1) cosn xdx = As´ı tenemos Z Z Z n−1 n−2 n x sen x + (n − 1) cos xdx − (n − 1) cosn xdx cos xdx = cos {z } | {z } | Z Despejando cosn xdx Z n
Z n
n−1
cos xdx = cos
x sen x + (n − 1)
cosn−2 xdx
o lo que es lo mismo Z 1 n−1 cosn xdx = cosn−1 x sen x + cosn−2 xdx n n Z Z 4 1 dx = dx = (∗) (2) 2 2 x −x+1 4x − 4x + 4 (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1; 4x2 − 4x + 4 = (2x − 1)2 + 3 Z Z 4 4 1 (∗) = dx = dx = (∗)(∗) 2x−1 3 + (2x − 1)2 3 1 + ( √3 )2 √ 2 2x − 1 3 t = √ ; dt = √ dx; dx = dt 2 3 3 √ Z 1 2 4 3 dt = √ arctag t = (∗)(∗) = 2 3 1+t 2 3 2 2x − 1 = √ arctag ( √ ) + C 3 3 5
1.16
Z
1. Z 2.
Funciones racionales simples 1 dx = log | x − a | x−a 1 1 dx = n (x − a) (1 − n)(x − a)n−1
si n ≥ 2
Z
1 dx se busca un cuadrado (2x + b)2 = 4x2 + 4bx + b2 , se + bx + c 2x + b ajusta a 1 + (algo)2 y luego se hace el cambio t = √ . Al final 4c − b2 se obtiene Z 1 2 2x + b dx = √ arctag ( √ ) 2 x2 + bx + c 4c − b 4c − b2 Z Z Z x+a 1 2x + b 1 22 − b 4. dx = dx + dx = 2 2 2 x + bx + c 2 x + bx + c 2 x + bx + c
3.
x2
=
1 2a − b 2x + b log(x2 + bx + c) + √ arctag ( √ ) 2 4c − b2 4c − b2
En los casos anteriores x2 + bx + c es irreducible, de lo contrario hacemos lo siguiente: x2 + bx + c = (x − α)(x − β) con α 6= β (el caso α = β ya est´a comtemplado, ¿no?) Descomponemos en fracciones simples 1 1 A B =[ = + ] x2 + bx + c (x − α)(x − β) x−α x−β determinamos A y B, y estamos en el caso 1. Z 1 dx = A log | x − α | +B log | x − β | x2 + bx + c Este u ´ltimo ejemplo se basa en un hecho m´as general, la descomposici´on del denominador en fracciones simples de las del tipo anterior, que ya sabemos resolver.
1.17
Teorema:(Descomposici´ on en fracciones simples)
Sean p(x) y q(x) dos polinomios con grado de p(x) < grado de q(x). Supongamos que q(x) se descompone en factores lineales y cuadr´aticos (descomposici´on real) como (x−α1 )r1 (x−α2 )r2 · · · (x−αk )rk (x2 +β1 x+γ1 )s1 (x2 +β2 x+γ2 )s2 · · · (x2 +βj x+γj )sj 6
Entonces el cociente
p(x) se expresa como q(x)
a11 a12 a1r1 a21 a22 a2r2 + +· · ·+ + + +· · ·+ + 2 r 2 1 x − α1 (x − α1 ) (x − α1 ) x − α2 (x − α2 ) (x − α2 )r2 ······
······
+
······
+
akrk ak1 ak2 +· · ·+ + + 2 x − αk (x − αk ) (x − αk )rk
b12 x + c12 b1s x + c1s1 b11 x + c11 + 2 + ··· + 2 1 + 2 + β1 x + γ1 (x + β1 x + γ1 ) (x + β1 x + γ1 )s1
x2
b21 x + c21 b22 x + c22 b2s x + c2s2 + ··· + 2 2 + + 2 2 + β2 x + γ2 (x + β2 x + γ2 ) (x + β2 x + γ2 )s2 ······ ······ ······ bjs x + cjsj bj1 x + cj1 bj2 x + cj2 + 2 + 2 + ··· + 2 j 2 x + βj x + γj (x + βj x + γj ) (x + βj x + γj )sj
+
1.18
x2
El metodo de Hermite
Supongamos las mismas condiciones que enunciabamos para la descomposici´on en fracciones simples, esto es, grado q(x) > grado de p(x), siendo q(x) = (x − α1 )r1 · · · (x − αk )rk (x2 + β1 x + γ1 )s1 · · · (x2 + βj x + γj )sj Entonces siempre es posible expresar el cociente
p(x) en la forma q(x)
Dj x + Ej d A(x) C1 C1 D1 x + E1 ( )+ + ··· + + 2 + ··· + 2 dx B(x) x − α1 x − α1 x + β1 x + γ1 x + βj x + γj donde A(x) tiene grado a lo sumo, uno menos que el grado de B(x), y donde B(x) = (x−α1 )r1 −1 · · · (x−αk )rk −1 (x2 +β1 x+γ1 )s1 −1 · · · (x2 +βj x+γj )sj −1 es decir, B(x) tiene las raices de q(x) con multiplicidad de cada raiz una menos.
1.19
M´ etodo de Hermite para fracciones irracionales
Analizamos un caso m´as, variante del m´etodo de Hermite ´ p P (x) d ³ M √ = Q(x) ax2 + bx + c + √ 2 2 dx ax + bx + c ax + bx + c con M ∈ R y donde Q(x) tiene grado a lo sumo el de P (x) menos uno. 7
1.20
M´ as t´ ecnicas
Existen cambios espec´ıficos para transformar trigonom´etricas en racionales. Dependiendo de los casos los cambios t = sen x, t = cos x o t = tag x suelen funcionar. En cualquier caso podemos siempre aplicar el cambio t = tag ( x2 ). Cuando aparecen raices cuadradas de polinomios cuadr´aticos los cambios con hiperb´olicas o trigonom´etricas permiten reducir a expresiones conocidas para integrar. La idea b´asica es recordar las derivadas de las trigonom´etricas y de las hiperb´olicas asi como de sus inversas. Por ejemplo puede ser util recordar que 1 1 1 , ( argsenh x)0 = √ , ( argcosh x)0 = √ ( arcsen x)0 = √ 1 − x2 1 + x2 x2 − 1
8