Математика со размислување

3 4625971

8

8

8 МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ 6

ЏУДИ РОД, МЕРИ ЕЛЕН КНАПМИЛЕР И МАРИУМ ТУРЕ

МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ

8

6

4

во почетните одделенија

3 4625971

4

во почетните одделенија

3 4625971

4

153 1

8

24

6 8

8 10 9 7 Математика со размислување 6

153

Џуди Род, Мери Елен Кнапмилер и Мариум Туре

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

во почетните одделенија

264

810 9

173

5 24

153 2

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Издавач: Биро за развој на образованието За издавачот: Весна Хорватовиќ, директор Автори: Џуди Род, Мери Елен Кнапмилер, Мариум Туре Програмата Математика со размилсување е изготвена од Американаската федерација на наставници и Центарот за истражување и развој на учењето, Универзитетот Питсбург. Авторските права се на Американската федерација на наставници, (АФН), 1993. Издание 2008 Во Република Македонија авторските права за користење на програмата се на Канцеларијата на УНИЦЕФ, Скопје. Стручни соработници за изданието во Република Македонија: Лилјана Поленаковиќ, советник во Бирото за развој на образованието Лидија Кондинска, советник во Бирото за развој на образованието Биљана Чешларова, наставник по математика Сатки Исмаили, наставник по математика Канцеларија на Македонскиот центар за граѓанско образование, Скопје Печати: Технокарт, Скопје Тираж: 1000 на македонски јазик, 500 на албански јазик Изданието е печатено со стручна и финансиска поддршка на Канцеларијата на УНИЦЕФ, Скопје

CIP – Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека “Св. Климент Охридски”, Скопје 373.3.091.3:51 (035) РОД, Џуди Математика со размилусвање : прирачник за обучувачи / автори Џуди Род, Мери Елен Кнапмилер, Мариум Туре. – Скопје : Биро за развој на образованието, 2011. – 253 стр. : илустр. : 30 см ISBN 978-608 – 206 – 038 - 5 Мери Елен Кнапмилер (автор) 2. Туре, Мариум (автор) Математика - Основно образование – Наставни методи – Прирачници COBISS.MK-ID 88117514

СОДРЖИНА Вовед...........................................................................................................................................................................................................7 Поглавје 1 ПРЕГЛЕД НА ПРОГРАМАТА „МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ“ И НЕЈЗИНИТЕ ОСНОВНИ ПРИНЦИПИ 1.1. Десетте принципи .............................................................................................................................................................13 Надградувајте го интуитивното знаење ............................................................................................................13 Создавајте разбирање за броевите преку броење, проценување, пресметување напамет и употреба на репери....................................................................................................................................14 Засновајте го вашето поучување на решавање на проблемски текстуални задачи и ситуации....................................................................................................................................14 Користете манипулативни средства и други видови на претставување на проблемски ситуации, потоа поврзете го конкретното со симболичкото претставување...............................................................................................................................15 Барајте од учениците да го објаснат и да го оправдаат своето математичко размислување...........................................................................................................................................................................15 Прифаќајте и поттикнувајте различни начини на решавање кои водат до точни решенија............................................................................................................................................................... 16 Балансирајте го концептуалното и процедуралното учење............................................................... 16 Користете го формативното оценување како водич при поучувањето......................................18 Приспособувајте го дадениот фонд на часови за темите и содржините...................................19 1.2. Историјат на проектот Развој на програмата „Математика со размислување“ .....................................................................20 1.3. Математичка стручност и вештини, тековно истражување и Математика со размислување...................................................................................................................................21 Поглавје 2 ШАБЛОНИ И ПОВРЗУВАЊА ВО МАТЕМАТИКАТА 2.1. Вовед во шаблони . ............................................................................................................................................................. 25 2.1.1. Важност на шаблоните.......................................................................................................................................... 25 2.1.1. Видови шаблони........................................................................................................................................................ 25 2.2. Односи во операциите.................................................................................................................................................... 43 2.2.1. Компензација во собирањето.......................................................................................................................... 43 2.2.2. Компензација во одземањето..........................................................................................................................44 2.2.3. Собирање и одземање десетки...................................................................................................................... 45 2.2.4. Собирање и одзмање стотки..........................................................................................................................46 Поглавје 3 РАЗВОЕН ПАТ ОД БРОЕЊЕ ДО СОБИРАЊЕ И ОДЗЕМАЊЕ 3.1. Броење...........................................................................................................................................................................................51 3.1.1. Кога прстите играат важна улога..................................................................................................................51 3.1.2. Петте принципи на броење од Гелман и Галистел.......................................................................... 52 3.1.3. Броење со прсти – почетна алатка ............................................................................................................ 55 3.1.4. Составување на системот на броеви: Редослед на броеви....................................................... 58

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Користете разновидни форми и техники за поучување.........................................................................17

153 3

810 9

173

5 224

153 4

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

3.2. Сложување, разложување и повторно сложување броеви..............................................................60 3.2.1. Разложување како знак за чувство за броеви.....................................................................................60 3.2.2. Рани искуства во разложувањето ..............................................................................................................60 3.2.3. Дел-цело како организатор..............................................................................................................................62 3.2.4. Постојаност на примерите ..............................................................................................................................65 3.2.5. Магични надежи: Нагледни средства и реформа во образованието по математика.............................................................................................................................................................66 3.3. Игри за флексибилно размислување.................................................................................................................. 67 3.3.1. Кутриот Џони - број 1............................................................................................................................................. 67 3.2.3. Играта со 24.................................................................................................................................................................. 67 3.3.2. Играта со куглање...................................................................................................................................................68 3.3.3. Игри кои помагаат во развивање концепти за подреденост на броевите...................69 3.3.4. Играта „се зачудува“ (Boggle)......................................................................................................................... 70 3.4. Од разложување до познавање на бројот 10 (десетки)....................................................................... 72 3.4.1. Значењето на бројот 10......................................................................................................................................... 72 3.4.2. Рамката со десет........................................................................................................................................................ 72 3.5. Од знаење на бројот 10 до правење десетки..................................................................................................74 3.5.1. Составување десетки за собирање...............................................................................................................74 3.5.2. Составување десетки за одземање...............................................................................................................74 3.6. Здобивање со основни факти во наставната програма за размислување............................77 Поглавје 4 КЛАСИФИКАЦИЈА НА ПРОБЛЕМИ И ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ 4.1. Истражување на текстуалните проблеми.......................................................................................................81 4.1.1. Проблеми и изведба.................................................................................................................................................81 4.1.2. Настани за креирање проблеми ............................................................................................................... 83 4.2. Класификација на проблемите . ............................................................................................................................ 84 4.2.1.. Класификации........................................................................................................................................................... 84 4.3. Тежина на проблемот......................................................................................................................................................86 4.4. Креирање на проблеми од учениците............................................................................................................... 87 4.5. Пристапување кон текстуални проблеми...................................................................................................... 88 4.5.1. Од каде да се почне................................................................................................................................................. 88 4.5.2. Стратегија со клучни зборови........................................................................................................................89 4.5.3. Разбирање на ситуацијата.................................................................................................................................90 Поглавје 5 МНОГУБРОЈНИ СТРАТЕГИИ 5.1. Разгледување на истражувањето за многубројни начини за решавање на математички проблеми 5.1.1. Како учениците решавале?................................................................................................................................93 5.1.2. Најчести грешки при решавање на задачи ........................................................................................ 97 5.1.3. Интервенција...............................................................................................................................................................98 5.2. Различни начини за решавање кои водат кон точни решенија....................................................99 5.2.1. Негативни броеви....................................................................................................................................................99 5.2.2. Компензација

153 5

5.3. Мисловна математика и различни начини на решавање................................................................103 5.3.1. Карактеристики.......................................................................................................................................................103 5.3.2. Мисловно пресметување.................................................................................................................................104 5.4. Цртање модели....................................................................................................................................................................107 5.4.1. Континуум од цртежи.........................................................................................................................................107 5.4.2. Развојни чекори.......................................................................................................................................................108 Поглавје 6 ЕВИДЕНТИРАЊЕ (ЗАПИШУВАЊЕ) И ПРАШУВАЊЕ 6.1. Зошто да запишуваме? ............................................................................................................................................... 113 6.1.1. Запишување на ученик....................................................................................................................................... 114 6.1.2.Кој го запишува напредувањето? ...............................................................................................................117 6.2.1. Собирање...................................................................................................................................................................... 118 6.2. Различни начини на решавање на проблеми и запишување од наставникот............... 118 6.2.1. Собирање...................................................................................................................................................................... 118 6.22. Одземање/броеви кои недостасуваат.....................................................................................................120 6.2.3. Какви искуства имале учениците при решавање проблеми?.............................................. 125 6.3. Дискусија помеѓу наставникот и ученикот ..............................................................................................130 Поглавје 7 ПРОЦЕНУВАЊЕ 7.1. Проценување или пресметување......................................................................................................................... 137 7.3. Проценување на величини........................................................................................................................................143 7.4. Проценување и раното детство.............................................................................................................................145 Поглавје 8 МИСЛОВНА МАТЕМАТИКА И ПЛАНИРАЊЕ НА НАСТАВАТА 8.1. Ниво на задача . .................................................................................................................................................................149 8.1.1. Истражување на ТИМСС (TIMSS).............................................................................................................149 8.1.2. Когнитивно ниво.....................................................................................................................................................151 8.1.3. Фактори поврзани со нивото на когнитивни барања на задачите...................................153 8.1.4. Внесување на мисловна математика во дневната наставна програма..........................154 Поглавје 9 ПРЕГЛЕД ВО ОПЕРАЦИЈАТАМНОЖЕЊЕ 9.1. Поставување на „сцената“ .................................................................................................................................... 157 9.1.1. Вовед во операцијата множење.................................................................................................................... 157 9.1.2. Разликување на слични и различни групи.........................................................................................159 9.2. Градење на разбирање ...............................................................................................................................................160 9.2.1. Потребно разбирање за работа со операцијата множење......................................................160 9.2.2. Активности кои градат разбирање за групирање........................................................................ 161 9.2.3. Градење на разбирање за множење со удвојување...................................................................... 161 Поглавје 10 ПРИМЕРИ, МОДЕЛИ И АЛАТКИ ЗА ПОЛЕСНО РАЗБИРАЊЕ НА МНОЖЕЊЕТО 10.1.Изучување на основнитe факти во една наставна програма фокусирана на мислење..............................................................................................................................................165 10.1.1. Потреба од учење на „факти“ за едноцифрено множење и делење ............................165

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

7.2. Проценување за пресметување.............................................................................................................................139

24

810 9

173

5 224

153 6

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

10.1.2. Визуелни матрици за основни факти...................................................................................................169 10.2. Избор од претставувања...........................................................................................................................................170 10.2.1. Што би употребиле вие?.................................................................................................................................170 10.3. Еднаквости и разлики во структурите на собирање и множење............................................ 172 10.4. Броевите како референти за групи................................................................................................................. 173 10.5. Структури на множењето и моделот со матрици................................................................................ 175 10.5.1. Мoдел на матрици............................................................................................................................................... 175 10.5.2. Матриците и множењето................................................................................................................................177 10.5.3. Модел со матрици и делење ...................................................................................................................... 178 10.6. Формирање групи во матрица (групи од по х-редови и y-колони)......................................180 10.6.1. Модел на матрица во која елементите може цразлично да се групираат................180 10.6.2. Дистрибутивното својство на множењето во однос на собирањето и одземањето..........................................................................................................................................................183 10.7. Матрици и делење.......................................................................................................................................................... 187 10.8. Почетоци на пропорционално размислување....................................................................................... 191 10.8.1. Развивање пропорционална табела од низа . ................................................................................ 191 10.8.2. Воведување табели без матрици ............................................................................................................192 10.8.3. Пропорционални табели со четири елементи ............................................................................194 10.9. Претставете модели за организирање на размислувањето околу одреден проблем................................................................................................................................................195 Поглавје 11 СТРАТЕГИЈИ ЗА МНОЖЕЊЕ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ 11.1. Градење на основите за множење со повеќецифрени броеви....................................................201 11.1.1. Идентификување на неопходното разбирање...............................................................................201 11.1.2. Множење двоцифрен со едноцифрен број . .................................................................................. 202 11.2. Дистрибутивно својство – множење со повеќецифрени броеви........................................... 205 11.2.1. Решавање проблем со повеќецифрен број....................................................................................... 205 11.3 Поставување врска меѓу дискусија, начин на претставување и запишувањето....... 208 11.4 Користење нагледни средства за решавање проблеми со повеќецифрени броеви.211 11.4.1. Проблемот со собирање конзервирани производи.................................................................... 211 11.5. Користење пропорционални табели за поттикнување на пропорционалното размислување......................................................................................................................................................................215 11.6. Повторување големи идеи....................................................................................................................................... 217 Поглавје 12 СИТУАЦИСКИ И ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ 12.1. Остатоци ...............................................................................................................................................................................221 12.1.1. Остатоци при делење на природни броеви: Чоколадни колачиња...............................221 12.1.2 Остатоци со дропки.............................................................................................................................................222 12.2 Проблеми со повеќе чекори....................................................................................................................................224 12.2.1 Задачи со повеќе чекори: различни нивоа и чекори..................................................................225

ВОВЕД

5 264

810

5 2 2 4 6 8

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

173 9 5 1 24 73

10 9

1 8

6

153

24

1 6 6 8 5 10 8 10 9 24 9 7 13 3 57 24

7

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

153 8

24

6 8

153 9

Оригиналната програма „Математика со размислување“ произлезе од заедничкиот проект на Американската федерација на наставници (АФН) и Центарот за истражување и развој на учењето на Универзитетот Питсбург, спонзориран од Националната фондација за наука. Преводот, адаптацијата на овој прирачник и обуката се финансирани од УНИЦЕФ како дел од „Иницијативата за Училиште по мерка на детето“. Помош и поддршка во реализацијата на овој проект беше обезбедена од: г. Шелдон Јет, претставник, г-ѓа Нора Шабани, специјалист за образование и г-ѓа Андријана Мицевска, програмски асистент, УНИЦЕФ Македонија; г-ѓа Весна Хорватовиќ, директор и г. Митко Чешларов, раководител на сектор во Бирото за развој на образованието на Р Македонија; г-ѓа Алис Гил, помошник- директор на одделението за образовни прашања, АФН, Вашингтон, ДЦ, САД; и д-р Ширли Миск, претседател, д-р Ненси Клер, виш консултант и д-р Марта Бигелоу, експерт за писменост, Miske Witt & Associates Inc., Сент Пол, Минесота, САД.

Согледувањата од меѓународните истражувања укажуваат на потребата од зајакнување на капацитетите на образовниот систем во Македонија и овозможување на децата во Република Македонија висококвалитетна настава по математика. УНИЦЕФ и Бирото за развој на образованието (Министерството за образование и наука) заеднички соработуваа за да го зајакнат капацитетот на образовниот систем. Во таа насока подигањето на квалитетот на образованието се реализира преку подобрување на наставните програми со цел зголемување на знаењата на учениците во Република Македонија. Програмата Математика со размислување е заснована врз опсежно истражување за тоа како децата најдобро ја учат математиката. Ова истражување е резимирано во „Десетте принципи на настава по математика“. Прирачникот има за цел да им помогне на наставниците да реализираат квалитетна настава по математика која ќе овозможи подобрување на знаењата по математика кај учениците. Јасно е дека наставниците во практика треба да направат многу повеќе од тоа, а не само да ги прочитаат идеите од прирачникот. Тие треба резултатите од истражувањето да ги поврзат со одредени концепти и вештини од прирачникот и да ги применат во наставата со учениците. Вежно е што на наставниците, откако ќе ги применат стратегиите, им се дава можност да дадат повратни информации до тимот на обучувачи, размена на идеи и искуства со цел подобрување на наставата по матетматика.

1 Другите пет димензии на програмата Училиште по мерка на детето во Македонија се: инклузивност; здрави и безбедни училишни средини; родова сензитивност; учество; почит за правата на детето и мултикултурализам.

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Во Македонија, концептот за Училиште по мерка на детето содржи шест димензии од кои една е ефикасноста1. Училиштата кои се по мерка на детето нудат и промовираат образование со висок квалитет, каде што детето е во центарот на процесот на образованието. Ефикасноста претставува најважна димензија затоа што се однесува и на девојчиња и на момчиња во постигнување на очекувани резултати во учењето за јазичка и математичка писменост и животни вештини.

24

810 9

173

5 24

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

153 10

24

6 8

151

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 11

24

6 6 8 8 10

24 1

1 4 8

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

10 9 9 7 3 3 5 7 25 Преглед 2 на 4 6

8

програмата 6 10 „математика 9 со размислување“10 и нејзините7 9 основни 53 принципи 2 73

1

1 4

5 2 4 6 8

153 12

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се развие интерес кај наставниците за програмата „Математика со размислување“ како еден приод при предавањето математика. Да се разберат и во наставата да се применуваат десетте принципи на програмата „Математика со размислување“.

1.1. ДЕСЕТТЕ ПРИНЦИПИ

Десетте принципи на програмата „Математика со размислување“ се однесуваат на приодот во предавањето математика, кој е применлив со учениците од сите возрасти.

1

Надградувајте го интуитивното знаење

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Постојат многу истражувања кои укажуваат на потребата да се надградува она што ученикот веќе го знае. „Интуитивното знаење“, во програмата „Математика со размислување“, се однесува на знаењата кои ученикот ги имал пред да добие формално знаење од темата. Некое основно знаење ученикот можеби добил на претходните предавања, друго знаење било стекнато на неформален начин надвор од училиштето, па пред да се продолжи со надградувањето треба да се отстранат грешките и недостатоците што наставникот ги открил во знаењето на ученикот. Нунес, Шлајман и Карахер во „Улична математика и училишна математика“ го објaснуваат фактот како бразилските деца со малку образование или воопшто без образование, се способни да функционираат сосема добро на локалните пазари кога купуваат и продаваат. Луѓето во други професии, исто така, развиваат интуитивни начини на користење на математиката за потребите на својата работа без да бидат формално образувани за тоа.

153 13

810 9

173

5 24

153 14

24

6 8

2

Создавајте разбирање за броевите преку броење, проценување, пресметување напамет и употреба на репери

Разбирањето на броевите се развива со тек на времето, како што учениците учат математика со разбирање.

Показатели што укажуваатброеви дека Совладување на нижењето ученикот ги разбира броевите се следните: ``Разложува и групира броеви заради поедноставување на пресметувањето. ``Го користи познатото за да дојде до непознатото.

10 9 73 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

``Врши проценка на одговорите. ``Ги поврзува симболите за броеви, симболите за операции и симболите за релации. ``Користи лесно применливи и достапни стратегии и постапки.

``Покажува интерес да ја разбере смислата за броевите.

Resnick, Silver, Sowder, Trafton

Засновајте го вашето поучување на решавање на проблемски текстуални задачи и ситуации

Ситуациите ѝ даваат значење на математиката и им помагаат на учениците да визуелизирааат што се случува во една операција и решение. Примената на „проблемска ситуација“ во текстуални задачи дава можност учениците: ``да ја применат својата интуиција; ``да разберат дека постојат повеќе начини за точно решавање на проблемот; и ``да разберат што всушност се случува при математичките операции.

Charles & Lester; Wheatley

Ако ученикот го разбира значењето на формулата, а ја заборавил, сè уште има можност со размислување да го реши проблемот. Делото „Како учат луѓето“ ја поддржува идејата дека текстуалните задачи го унапредуваат учењето. Во делот е опишано погрешното сфаќање дека текстуалните проблеми се потешки за учениците отколку решавањето равенки. Но, текстуалните проблеми се често пати решливи без користење равенка. Токму приказните им помагаат на учениците да го визуелизираат значењето и да ги разберат постапките во решавањето на задачата.

4

153 15

Користете манипулативни средства и други видови на претставување на проблемски ситуации, потоа поврзете го конкретното со симболичкото претставување

5

Барајте од учениците да го објаснат и да го оправдаат своето математичко размислување

Учениците од кои се бара да го објаснат и да го оправдаат своето размислување постигнуваат поголем успех во споредба со учениците од кои наставникот не бара да го објаснат нивното решавање. Еве еден пример за тоа како еден ученик може да го објасни и да го оправда своето размислување.

Пример: 23 + 28 + 25 + 24 = 100 23, 28, 25 и 24 се четири броја блиски до 25, чии збир изнесува 100. Ако од 28 одземам 2 и ги додадам на бројот 23, добивам 25, а потоа од преостанатите 26 одземам уште 1 и го додадам на 24 и добивам повторно 25. Сега има четири 25-ки, т.е.

25 + 25 + 25 + 25 = 100. Објаснувањето на ученикот, исто така, овозможува да се согледа дали ја разбира постапката што ја применува и дали умее да ја замени и да ја поврзе со друга постапка или концепт коj му е веќе познат.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Визуелизацијата (со манипулативни средства, со илустрации или дијаграми) им помага на учениците подобро да го разберат концептот. Манипулативните средства може да се користат кога иницијално се развиваат концептите, а очекувањето е дека учениците на овој начин би напредувале повеќе и во апстрактната работа. Ова се однесува, не само на учениците од предшколска возраст и од почетните одделенија, туку и на учениците од погорните одделенија, кога се воведуваат нови концепти. Но тие мора соодветно да се користат. „Кога добро се користат, манипулативните средства може да го зајакнат разбирањето на учениците. На пример, тие може да им овозможат и на наставниците и на учениците да разговараат на тема што е заснована на заеднички референтен медиум и може да обезбедат материјал на кој учениците ќе дејствуваат продуктивно, под услов да се навратат и да размислат за своето дејствување во врска со математиката која е предавана“ (Томпсон и Ламбдин, 1994). Фусон (1986), исто така, посочува дека работата со манипулативни средства може да им помогне на учениците да ги согледаат и да ги коригираат грешките во сопственото знаење. Но, клучно за наставниците е тие да се во интеракција со учениците за да можат одвременавреме да им помогнат во градењето врски меѓу објектите, симболите и математичките идеи што ги изразуваат.

810 9

173

5 24

153 16

24

6

Прифаќајте и поттикнувајте различни начини на решавање кои водат до точни решенија

За решавање на ист математички проблем, математичарите можат да применат многу различни начини (постапки) за да дојдат до точно решение. Кога бил зададен проблем од проценка, 35 математичари користеле 22 различни начини за да дојдат до решението. Тоа што е важно е дека чекорите во решавањето се математички исправни и одговорот е точен. Кога постојат неколку патишта на решавање, важно за учениците е да ги споредат патиштата. Во некои намерно оставени отворени ситуации постои повеќе од еден можен одговор. Во тие случаи е важно учениците да се во состојба да ги оправдаат и да ги поддржат своите одговори.

6 7 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Балансирајте го концептуалното и процедуралното учење

Голем број од дебатите во врска со предавањето математика се однесуваат на тоа дали да се предава процедура или концепт. На учениците им требаат и двете разбирања, бидејќи меѓусебно се поддржуваат и се надополнуваат. Националниот совет за истражување ги идентификува и концептите и процедурите како есенцијални за математичката стручност и вештини.

На што се насочуваме кај процедурите и концептите? ``Паралелно со способноста за примена на концепти за решавање проблеми, учениците треба да развиваат повеќе вештини и разбирање, логичко размислување и со тоа на математика да гледаат како на чувствителна, корисна и достижна наука.

Helping Children Learn Mathematics National Research Council

Во следниот пример е дадена разликата помеѓу процедуралното и концептуалното разбирање.

Пример: Процедурално разбирање:

Концептуално разбирање:

256

``Тоа е само за 6 помалку од 500.

+ 238

``Едната 4-ка има вредност 100 пати поголема од другата 4-ка.

494

``Збирот на 258 и 236 има иста вредност како збирот на 260 и 234.

153 17

Тешко е да се врати назад Ученикот повеќе учи процедури преку имитирање и практицирање отколку со разбирање, а потоа тешко му е да се врати назад и да се обиде да ја разбере процедурата откако ја практикувал неколку пати.

Hatano 1988; Resnick & Omanson 1986; Wearne & Hiebert 1988 In Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

Процедурите лесно се забораваат Без разбирање, процедурите лесно се забораваат или извртуваат и тешко е да се приспособат на решавање на малку поинакви видови проблеми.

Making Sense:teaching and learning mathematics with understanding Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

Концептуалното учење е непходно за постигнување на повисоко ниво на знаење.

Поврзување на концептот и процедурата

8

Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Olivier, & Human

Користете разновидни форми и техники за поучување

Идејата за поттикнување разновидни техники на поучување треба да ни укаже на тоа дека не постои ниту една најсоодветна техника за предавање на сите концепти, вештини и процеси. Некои се посоодветни за истражување, некои за кооперативна работа, некои бараат повеќе објаснување или демонстрирање, за други пак е неопходна практиката.

Нема совршена стратегија Работата не е во тоа да се одбере една техника на поучување, туку да се одбере најсоодветната техника на поучување за конкретната намена.

Suzanne Donovan, NAS

Поучување на високо ниво ``Нема конкретна, предодредена или сигурна техника на поучување која треба секогаш да се следи. ``Наставникот одбира, развива, презентира и модифицира, со цел да им помогне на учениците во процесот на учење.

Rosenshine & Meister, 1992

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Ако учениците се охрабруваат да развијат сопствени процедури за решавање на проблемите, тие мора да го користат разбирањето кое веќе го развиле. Разбирањето и процедурите остануваат тесно поврзани затоа што процедурите се базираат на разбирање.

24

810 9

173

5 24

153 9 18

Истражување.

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Розеншајн посочува дека она што им е потребно на наставниците за развивање на повисоко ниво на вештини е користењето на разновидни техники на поучување од кои ќе се влечат искуства. Во 1999 година видеостудијата на ТИМСС (TIMSS) повторно потврди дека не постои еден приод кој е добар за сите ученици и дека учениците постигнуваат подобри резултати кога наставниците применуваат различни техники на поучување.

Користете го формативното оценување како водич при поучувањето

Писмените тестови и квизови не се единствениот начин да се оцени учењето на ученикот. Поттикнувањето на учениците да зборуваат за различните начини на решавање или да дадат свои коментари во врска со размислувањата на своите соученици им помага на наставниците да разберат што разбираат, а што не разбираат учениците во врска со дадениот проблем. Исто така, важно е и посветеното внимание на тоа како учениците ја оправдуваат својата работа. Со помош на овие сознанија, наставниците можат да ги приспособат инструкциите и да ги испланираат следните чекори. Истражување Овој пример од Проценка на часот по математика (Брајарс, Веб) покажува зошто е важно учениците да го објаснат и да го оправдаат своето разбирање. Само затоа што решиле не значи дека знаат! Дали 25% од 15 е повеќе, помалку или еднакво на 15?

S: Тоа е помалку од 15.

T: Како знаеш?

S: Одземаш: 25% - 15 = 10, а 10 е помалку од 15.

Assessment in the Mathematics Classroom NCTM, 1993

Еден тест не кажува сè Оценувањето кое ја води наставата вклучува алтернативни методи како: ``портфолија на ученици; ``писмено оценување; ``набљудување за време на наставата; ``отворени (неограничени) прашања; ``индивидуални и групни проекти; ``самооценување на ученикот. Неформалното фокусирање на начинот на размислување на ученикот ни помага да дознаеме што е тоа што ученикот го разбира или не го разбира за да може да ја пренасочиме инструкцијата.

10

Приспособувајте го дадениот фонд на часови за темите и содржините

При планирање на наставата наставникот треба да има предвид: ``целите што треба да се реализираат; ``кога треба да се постигнат целите; ``колку наставни часови се потребни за постигнување на целите. На пример, според „Математика со размислување“, се препорачува наставниците да ги постават основите на алгебрата во основното образование. Ова не значи да се користи формалниот јазик, туку да се гради концептуалното разбирање. Тоа може да значи да се посвети повеќе внимание на некоја тема, со цел да се продлабочи разбирањето и/или вештините на учениците. Ова се одлуките кои треба да ги донесе наставникот, врз основа на формативното оценување и познавањето на стандардите.

153 19

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

153 20

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

1.2. ИСТОРИЈАТ НА ПРОЕКТОТ Развој на програмата „Математика со размислување“ Проектот кој ја создаде програмата „Математика со размислување“ од самиот почеток има две цели: ``да ги собере најновите истражувања во врска со тоа како децата учат математика; ``на учениците да им се подобри учењето математика. Во студијата на ТИМСС (Third International Mathematics and Science Study*, TIMSS, *Renamed Trends in 2004), најдетално набљудувана математичка и научна студија досега, се: ``кажува за очекувањата на системот за образование кои го имаат државите во однос на своите ученици; ``обезбедуваат вредни информации кои може да се употребат за подобрување на квалиетот на образованието; ``реализира секоја 4-та година од 1995 год.

ТИМСС и Македонија ``Една од причините за одржувањето на овој семинар е рангирањето на учениците од Македонија под просекот на тестирањата на ТИМСС во 2003 год. ``Учество зеле само осмоодделенците; четвртоодделенците не учествувале, иако поставувањето солидни основи во рана возраст дава подоцнежни резулати. ``Осмооделенците во 30 држави биле значително подобри од учениците во Македонија, а учениците во Македонија биле значително подобри од 14 други држави. ``Македонија не била на дното, но била 30 поени под меѓународниот просек. Овој факт е суштински. Покрај тоа, нивниот просек бил послаб за 12 поени споредено со ТИМСС во 1999 год.

ТИМСС-анализи за добри часови по математика: ``применливи, практични математички цели; ``поврзаност; ``развој на концепти; ``повеќекратни стратегии; ``резонирање и докажување; ``посложени задачи (од повисоко ниво); ``јасно поврзување; ``ангажираност на ученикот.

Stigler, Videotape Classroom Study

153 21

1.3. Математичка стручност и вештини, тековно истражување И Математика со размислување Може да забележете како луѓето често дебатираат за тоа што значи некој да е стручен и вешт во математика. Многумина мислат дека се работи само за решавање бројни изрази и примена на формули. По разгледувањето на многу истражувања, Националниот истражувачки совет на САД ја опишува стручноста и вештината како нешто што е многу повеќе од способност да се пресметува и да се користат формули.

Математичка вештина ``Разбирање. ``Пресметување. ``Примена. ``Ангажираност. Овие пет точки се испреплетени и меѓусебно зависни. Други тврдења имаат тенденција да нагласуваат само еден аспект на вештината.

Helping Children Learn Mathematics National Research Council (2001)

Нитки на вештината 1. Разбирање (сфаќање): разбирање на математичките концепти, операции и релации (врски), знаење за тоа што значат математичките симболи, дијаграми и процедури.

2. Пресметување: флексибилна, прецизна, ефикасна и соодветна примена на математичките постапки како што се: собирањето, одземањето, множењето и делењето броеви.

3. Примена: способност за формулирање математички проблеми и одбирање начин за нивно решавање, употребувајќи соодветни концепти и процедури.

4. Резонирање: употребување на логиката за објаснување и оправдување на решението на даден проблем или изразување, тргнувајќи од нешто познато кон нешто што сè уште не е познато.

5. Ангажираност: гледање на математиката како на чувствителна (прецизна), корисна и лесна наука за разбирање, доколку се работи на неа и се биде истраен во таа работа.

Helping Children Learn Mathematics National Research Council

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

``Размислување (логичко расудување).

24

810 9

173

5 24

153 22

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Сегашност и иднина ``„Математикa со размислување“ продолжува да црпи идеи, не само од истражувањата во САД, туку, исто така, и од искуството на другите држави каде што учениците се успешни. ``Една студија, којашто стана многу влијателна за математичките едукатори од секој вид, го споредува поучувањето во САД со поучувањето во Кина и вреднува некои од американските оригинални принципи. Откритијата се содржани во книгата на Липинг Ма која се вика Знаење и предавање на елементарна математика.

Наставници со темелно разбирање за елементарната математика ``Меѓусебно поврзување на концептите, процедурите, претходните и моменталните идеи. ``Разгледување на различни гледишта и решенија и способност за нивно објаснување на учениците. ``Пренесување на (и свесност за) едноставни, но силни основни концепти и принципи на математиката. ``Познавање на развојот на наставната програма и способност за издвојување на приоритетните концепти, како и подготовка на учениците за концептите што следат.

Liping Ma Ваша задача ќе биде да им помогнете на колегите во вашето училиште да се здобијат со алатките за да станат успешни наставници.

Притоа обрнете внимание на следното: а. Разбирањето се очекува, дури и во значењето на процедурите. б. Од учениците се очекува да пресметуваат не само прецизно, туку и флексибилно. Има повеќе од еден начин. в. Учениците мора да сфатат кога да го користат тоа што го учат и да доаѓаат до сопствени начини на решавање на проблемите. г. На учениците треба да им обезбедиме можности да видат како математиката има смисла, а тоа подразбира учениците да ја разберат математиката. д. „Математика со размислување“ продолжува да црпи идеи, не само од истражувањата во САД, туку, исто така, и од практиката на другите земји каде учениците имаат добри резултати. Една од тие студии стана многу влијателна кај сите наставници што предаваат математика.

2 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 23

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

Шаблони и поврзувања во математиката

173 9 5 1 24 73

ШАБЛОНИ И ПОВРЗУВАЊА ВО МАТЕМАТИКАТА5

2 4 6 8

153 24

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се поттикне интерес кај наставниците за математичкото разбирање кое учениците може да го развијат преку работа со шеми и шаблони. Да се запознаат наставниците со различните видови шаблони со кои се среќаваат учениците. Да се покаже како обопштените шаблони се поврзани со алгебрата. Да се увиди како шаблоните можат да им помогнат на учениците во решавањето проблеми.

153 25

2.1. ВОВЕД ВО ШАБЛОНИ

2.1.1. Важност на шаблоните Според мислењето на Шер Лин Стин (Share Lynn Steen) шаблоните се важни во наставата по математика. Гледањето и откривањето на скриени шаблони е нешто што математичарите го прават најдобро. Всушност, и самата математика често е опишана како наука на броеви и облици. Наставниците во работата со помалите деца добро е повеќе време да поминуваат во активности со шаблони.

2.1.2. Видови шаблони А. Шаблон со азбука Работењето со шаблони помага во поставувањето основа за алгебра, но за да се постигне основата треба да се оди подалеку од едноставно идентификување на шаблоните.

Пример:

Што е следно во АБВГ … ? Постои веројатност дека повеќето ќе помислиме дека учениците ќе продолжат со азбуката. а. Меѓутоа од учениците најчесто се бара да продолжат и да го комплетираат шаблонот. Ваков вид задача е нејасна во очите на математичарите, без еден од следните услови: ``Од учениците се бара да објаснат како тоа што го прават го исполнува барањето.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Како учениците би реагирале кога би им се задало прашањето:

24

5 24

153 26

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

``Прифатливо објаснување ги тера да ги дефинираат шаблоните што ги гледаат и да ги образложат нивните одговори. ``Задачата дефинира што е едно повторување на шаблонот или специфицира како тој продолжува (должината на една страна продолжува да расте за еден со секоја следна фигура). б. Еве го проблемот со азбучниот редослед. Нема начин да откриете што имал на ум авторот на секвенцата АБВГ. Дали е ова комплетно? Не знаеме, не е јасно кажано. ``Дали продолжува АБВГДЃ...? Никој не рече продложи ја азбуката или продолжи да повторуваш АБВГАБВГ... Никој не рече АБВГ е коплетниот шаблон. ``Дали е обратно или е АБВГВБА...? ``Дали авторот мисли на големи букви или мали букви? Треба на учениците да им е јасно дека само едно нешто може да биде следно, освен ако не мислите да дадете задача со отворен обид за да видите како учениците размислуваат. Учениците треба да се стимулираат да даваат логично образложение на нивните одговори.

Б. Аритметика со зборови Пример: Собирање ekf + ekf fook

Учениците треба да одредат која буква со која цифра треба да ја заменат во проблемот, за да добијат точен збир. Кога една буква ја заменуваме со една цифра, тогаш таа треба секогаш да се замени со соодветната цифра.

Логичен почеток е да се забележи дека секој од собироците е трицифрен, а збирот е четирицифрен. Тоа значи дека е+е е најмалку 10. Помогнете им на учесниците да увидат дека за да биде „е“ 9, најголемиот збир е 18. Дури ако ги преместите од местото на стот­ ката, збирот сè уште нема да биде поголем од 19 стотки. Значи „f“ може да биде само 1. Кога сте го одредиле „f“ како 1 може да додадете „f + f“ и да откриете дека „k“ e 2. Aкo „k“ e 2, тогаш „k + k“ е 4 и дека „о“ е 4. Проблемот е сега декодиран за да покаже

е21 +е21 1442

Може да видиме дека „е + е“ e еднакво на 14, значи „е“ е 7.

153 27

Кое е знењето што е потребно за да се реши проблемот? Тоа е знаење на шаблонот на нашиот систем на броеви. Ако имате 10 или повеќе единици, вашиот број преоѓа на местото на десетката, ако имате 10 или повеќе десетки, вашиот број преоѓа на местото на стотката, ако имате 10 или повеќе стотки, вашиот број преоѓа на местото на илјадарката. Значи, најголемиот број на секое место е 9. Кога еднаш ќе го искористите ова знаење да ја декодирате првата цифра, другите паѓаат како домино сè додека знаете или можете да најдете едноцифрени комбинации.

Пример: Одземање.

-

Има најмалку два препознатливи шаблони од кои може да се почне со решавање на проблемот. Првиот е r-r=q, q=0. Ако одземеме еден број од самиот себе добиваме разлика нула, значи q=0.

rkksr srcr sqcq

Ова е слично на проблемот со собирање. За да го проверите ова одземање ќе соберете srcr и sqcq за да добиете rkksr, затоа r мора да биде еден. Сега имаме:

1kks1 -s1c1 s0c0 Добиваме дека k е еднакво на 1, но k не може да биде 1 бидејќи r е 1. Единствен друг начин за ова да биде точно е да позајмиме една стотка и да ја додадеме на s. Ова функционира ако k е 2.

-

122s1 s1c1 s0c0

Ако s+s=12, s е 6.

12261 -6181 6080 Некои може да се одлучат да го решат ова како проблем на одземање од самиот почеток srcr + sqsq = rkksr. Ако постапат на овој начин, ќе видат два четирицифрени броја чиј збир е петтоцифрен број и ќе дојдат до истиот заклучок како со проблемот со зборови, затоа r мора да биде 1 и q мора да биде 0 бидејќи r+q=r. Тогаш 1+0=k, што не е можно. Затоа мора да се регрупира стотка, по што добиваме дека к е 2, ѕ+ѕ= 12, ѕ=6 и c е 8.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Mоже да видиме дека c+c=16, (бидејќи позајмивме една стотка и ја додадевме на десетките), значи с е 8. Решението е:

24

5 24

153 28

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

Односи или принципи што мора да се знаат за да се решат аритметички проблем на зборови: ``Нулата е елементот за идентитет за одземање (кој било број минус 0 останува ист). ``Кога нема што да се одземе од број, но ништо не останува, мора да биде еден што се регрупирал. ``Ако двата броја во колоната се исти, но разликата не е 0, бројот најгоре се регрупирал и разликата е девет. ``Оваа активност може да е поинтересна за учениците отколку за возрасните. Постојат многу докази (ТИМСС) кои кажуваат дека наставниците многу малку екплицитно поврзуваат концепти. Тоа можеби се случува поради тековниот тренд на гледање на наставниците како фасилитатори кои стојат отстрана. Програмата Математика со размислување верува дека трендот да се кажува помалку, а да се развива повеќе самостојното откривање на поими и процедури од страна на учениците, не им дава за право на наставниците да го напуштат поучувањето. Напротив, Математика со размислување смета дека тоа е неопходно за да им се помогне на учениците да поврзуваат математичко знаење. Важно е наставниците експлицитно да поврзуваат затоа што учениците не би можеле да го сторат самите.

В. Просторни шаблони `` Шаблони во визуелна секвенца

4Секвенца на облици Kако може да се користат шаблони или да се доделуваат форми за активности со шаблони? Може да ги прашате децата да опишат шаблон како овој. 

`` Шаблони со боја

Пример: Монистра. Тајша сакаше да се облекува во алиштата на мајка си и да се преправа дека е возрасна. Еден ден таа го стави на себе убавото сино-црвено синџирче од мајка си. Кога го вадеше, тоа се скина и сите сини и црвени монистра паднаа на подот. Тајша ги собра монистрата и најде 6 сини и 6 црвени. Таа знаеше дека тие беа наредени по некоја шема, но не можеше да се сети по која. Може ли да ги наредите монистрата во шема? Нацртајте ја шемата на хартија. Манипулативите кои се склопуваат се најсоодветни. Делови може да се изложат и да се дозволи да се прават споредби. Некои се доволно флексибилни за да можат да демонстрираат дека ако кругот се затвори, разликата во шаблоните е само бојата која доаѓа прва и всушност дека тие се исти кога кругот ќе се затвори (монистра во боја, коцки, плочки).

153 29

Правење разлика помеѓу шаблон кој расте и оној кој се повторува е рано поставување на основата на алгебра.

`` Просторни односи

4Танграми Во нижите одделенија учениците можат да ги состават деловите во слика. На пример со деловите дадени под а, може од учениците да се побара да ги направат формите како под б. а)

б)

1

2

Од учениците, исто така, откако ќе креират или ќе им се дистрибуираат танграми, може да се бара да формираат квадрат користејќи ги сите 7 парчиња.

Може да се побара учениците да испитат дали квадратите може да се формираат со друг број на парчиња или пак да се испита можноста за креирање триаголник.

4Пентомини На колку начини можете да ги наредите пентомините? Постои ограничен број шаблони, бидејќи мора да се допираат цели страни (одговор: 12). За оваа активност е препорачливо да се користат плочки - квадрати.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Јапонските студенти, исто така, учат на кој дел од целиот танграм му припаѓа тоа парче. Има многу просторни и геометриски поврзани активности кои користат шаблони со коцки, пентомини, танграми, итн. Еден пример на танграмска активност е вклучен во материјалите за делење. Можете да дадете други просторни и геометриски активности и при тоа да се фокусирате на шаблони.

24

5 24

153 30

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

Сите други варијации всушност ги користат истите шаблони. Фигурите може да се свртат, односно превртат во разни позиции. Интересна активност би била кога наставниците ќе ги изложат овие варијации и ќе се побара од учениците да ги пронајдат шаблоните кои се идентични, при тоа кажувајќи дали шаблонот бил свртен, превртен или преместен на друго место.

4Пентомини Од учениците може да се побара да конструираат коцка така што бројките на спротивните страни на коцката да дадат збир 7. Нека постават броеви (1–6) на секоја страна на шаблонот пред да почнат да ја превиткуваат хартијата.

3

6 2

4

5 6

1

6 2

153 31

Г. Откривање шаблони со табели Пример: Број на вагони на еден воз.

1

2

3

4

На учениците може да им се покаже фигурата и да се побара да го најдат бројот на правоаголници во воз со четири вагони. Боиците се добар начин да се забележува она што е изброено. Потоа со учениците се разговара за начинот на којшто го решиле проблемот. Еден начин на решавање е да се цртаат линии за да се покаже секој правоаголник. Учениците може да користат различни бои за обележување.

1

2

3

4

2

3

1

2

3

2

3

4

1

2

3

10 правоаголници Со еден правоаголник? Со два правоаголници? Со три правоаголници?

1, ___, ____, 10

4

Коли 1 2 3 4 5

Правоаголници 1 3 6 10 15

Прашајте каков шаблон се појавува (со секој нареден број на коли, покачувањето во бројот на правоаголници е еден повеќе од последното покачување. Ова е шаблон што се зголемува). Сличен шаблон имаше проблемот на ракување. Некогаш се нарекува шаблон на скалило. Потоа може да се прашаат учениците: Колку правоаголници би имало во воз со 9 вагони?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Од учениците може да се побара да испитаат од 3 до 5 вагони на возот за да се одреди дали има шаблон. Ако нема решение, се креира табела со цел да се види шаблонот.

24

5 24

153 32

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

Следете ја тенденцијата на извлекување на 10 и 15 од табелата. Прашајте дали може да се предвиди бројот на правоаголници за воз со 4 вагони со додавање на бројот на правоаголници за два воза со 2 вагона.

Важно е кај учениците да се поттикне желба за размислување со цел да се најдат сите правоаголници. Иако решението е можно со броење, цртање и претставување во табела, сепак учениците може да креираат правило од шаблонот на табелата како што го направија тоа со проблемот на ракување. И формулата би била n(n+1)/2.

Може да се спомене и формулата на проблемот со ракување (n + 1) затоа што n го претставувал бројот на луѓе и немало поздравување кога имало само еден човек. Помножете го бројот на вагони со тој број плус 1. Поделете го резултатот со два. 9 x 10/2=90/2=45

Пример: Одмор. Прашајте ги учениците: Кој одмор би го одбрале за следните две недели? ``Секој ден по половина час … или ... ``Една минута првиот ден, две минути вториот ден, четири минути третиот ден итн. … Притоа барајте одговори и стратегии. На пример: Има 10 дена на училиште во период од две недели така што добиваат 1, 2, 4, 8 и 16 минути на крајот од првата недела, вкупно 31 минута според избор 2 или два и пол часа за избор 1. До крајот на втората недела, избор 1 дава пет часа. Избор 2 добива 32, 62, 128, 256, 512 минути на крајот од втората недела за вкупно 1023 минути или малку повеќе од 17 часа (17 часа и 3 минути).

Избор 1

Дали возрасните би го направиле истиот избор? Зошто? Овој избор може да се направи од причини различни од оние кое вклучуваат споредба на време. Треба да се размисли каква математика сакате да добиете од таков проблем и да поставувате прашања кои ќе ве доведат до таму. Потоа, прашајте ги вашите ученици: Колку време за одмор ќе има секој план на крајот на една недела? Две недели?

30 мин. x 10 дена =300 мин. = 5 часа за две недели

153 33

Избор 2 ден 1

1 мин.

ден 2

2 мин.

ден 3

4 мин.

ден 4

8 мин.

ден 5

16 мин.

ден 6

32 мин.

Ден 7

64 мин.

ден 8

128 мин.

ден 9

256 мин.

ден 10

512 мин.

вкупно

1023 мин.

17ч 5 мин.

24

6 8

Обрнете внимание кај проблемот на удвојување кој прикажува степен со основа 2 или експоненцијално покачување. Тие се различни од адитивните покачувања (1+5) и мултипликативните (5x1, 5 x2, 5x3, итн.). Кај нив вредностите растат бргу. Значи, овај проблем демонстрира степен со основа 2. Покажува експоненцијален, наспроти линеарен раст.

Пример: „Превиткување хартија“. `` Превиткување на мало парче хартија Дајте им на учениците мало парче хартија. Нека виткаат на половина колку што е можно повеќе (обично тоа може да се направи 7 пати). Притоа нека бележат колку пати тоа било возможно.

`` Превиткување на големо парче хартија

Не треба да има разлика меѓу првата и втората вежба. Прашајте ги учениците зошто мислат дека е тоа така. Она што ја спречува хартијата да се превиткува понатаму е степенот со основа 2. Ако сте ја превиткале хартијата седум пати, сега имате 128 слоеви. Превиткувања 1 2 3

Слоеви 2 4 8

Превиткувања 4 5 6

Слоеви 16 32 64

Бројот на слоеви одговара на бројот на превиткувања како што е прикажано.

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Дајте им на учениците големо парче хартија. Побарајте од нив да предвидат колку пати ќе може хартијата да се превитка. Бележете и потоа нека почнат да виткаат колку пати е можно.

10 9 7 3 5 264

5 24

153 34

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

Ова е продолжување на истиот шаблон кој се користеше кај проблемот на одмор. Се користи геометриско или експоненцијално удвојувачко зголемување наспроти адитивното зголемување. Креирање (воочување) на шаблоните и концептите во други контексти и правење врски помага во градење на ментални врски, а при тоа учениците стекнуваат поголемо знаење.

Предизвикајте ги учениците прашувајќи ги колку пати треба да се превитка за да има милион слоеви ако е физички можно (одговорот е 20, бидејќи тоа креира 1 048 578 слоеви).

Д. Откривање на функција „Влез-излез машините“ се направи преку кои се овозможува учениците да ги видат односите и да размислуваат како броевите се менуваат. Секој број кој е ставен во машината излегува како нов број. Да се дознае ШТО му се случува на секој број кој ќе се стави во машината, всушност значи да се разбере функцијата. Ова ја поставува основата за поформална работа со функции во понапредните нивоа на математиката. Влез 3 5 12 9 15

Излез 12 20 48 36 60

Влез 4 12 5 25 16

Излез 10 26 12 52 34

Овие табели се „машини“ со едноставни функции. Напоменете дека овие „машини“ може да се користат во која било операција и со кој било број (цел, дропка, негативен). Влез 2 27 -1

Излез 5 30 2

(влез +3 = излез) Притоа треба да се има предвид дека односите се поставуваат хоризонтално помеѓу секој влез/излез пар на броеви.

153 35

Ѓ. Шаблони со ТАБЕЛА СТО и ПАСКАЛОВ ТРИАГОЛНИК `` Табела „стотка“ Табелите „сто“ од 1 до 100 (или од 1 до 99) може да се користат кај децата од најмала возраст кои учат да бројат над 20. Тие овозможуваат: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

а. Одговорите да вклучат визуелизација на секвенцата на десетките и шаблонот низ колоните каде што во секоја десетка броевите се некои броеви на десет плус 1 до 9. б. Парчиња и делчиња од табелите стотки овозможуваат најмалите ученици да почнат да визуелизираат шаблон на систем на броеви преку визуелизација прикажана подолу.

Пополнете ги броевите кои недостасуваат без да гледате во табелата СТОТКА. Потоа употребете ја табелата за да извршите проверка.

47

48

79 34

86

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

Пример:

24

5 24

153 36

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

51

50

37

63

26

32

в. Друга алатка која се покажала како многу важна за малите деца е низата на броеви. Децата кои не можат да го визуелизираат релативното место на броевите во низата на броеви имаат поголеми потешкотии. Наставниците за постарите ученици можеби ќе сакаат да им креираат слични дијаграми на разни основи и да ги натераат децата да ги испитуваат шаблоните.

`` Откритиjа на табелата „стотка“ Со табелата „стотка“ можат да се користат шаблоните во делови на табелата „сто“.

153 37

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Делови на табелата може да се истражуваат со цел да се откријат односите на собирање и множење.

Учениците можат да анализираат квадрати 3х3. Притоа ги споделуваат резултатите. Добро е да се поттикнат да ги објаснат (кажат) причините за она што го нашле (пр. сумата на секоја дијагонала е три пати поголема од средниот број. Сумата не еден ред се разликува од сумата на наредниот ред за 9. Сумата на една колона се разликува од сумата на наредната колона за 3. Може од учениците да се побара да ги разгледаат различните делови 3х3 од табелата „стотка“ и да се поттикнат да размислуваат: Дали шаблоните сè уште постојат? (Да). Што ако користиме табела „сто“? Дали се присутни шаблоните? (Да). Зошто?

``Активноста може да ја продолжите на делови од табелата 4x4, 5x5.

``Зошто е тоа така? (Бидејќи квадратот е 6x6, секој број се разликува за 6 од бројот над него и има 4 броја така што секој ред се разликува од претходниот за 4x6 или 24.) ``Што мислите, како збировите на редовите би се разликувале ако 4x4 е земен од табелата 10x10? (за 4x10). ``Во квадрат 5х5 на 36-табела (табела 6х6), како се разликуваат збировите на редовите и колоните? ``Насочете ги учениците да видат дека разликата во колони секогаш е поврзана со големината на квадратот.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

``Не постои среден број во квадрат на парни броеви (пр. квадрат 4х4). Сепак збировите на колоните во квадрат 4x4 се разликуваат за 4, збировите на редовите се разликуваат за 24.

24

5 24

153 38

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Шаблони и поврзувања во математиката

173

5 24

4Mножители и табелата „стотка“ Табелата „стотка“ може да се примени и за следната активност со учениците: ``Побарајте учениците да го поклопат бројот 1. ``Нека го заокружат првиот прост број 2 и потоа во табелата нека ги пречкртаат сите броеви делливи со два (4, 6, 8, 10, 12, 14...) . Притоа нека користат една боја. ``Го заокружуваат следниот прост број 3 и потоа во табелата ги пречкртуваат сите броеви делливи со три (6, 9, 12, 15, 18...). Тука користат друга боја. ``Го заокружуваат следниот прост број 5 и потоа во табелата ги пречкртуваат сите броеви делливи со пет (10, 15, 20, 25...). И тука користат друга боја. ``Потоа го заокружуваат следниот прост број 7 и во табелата ги пречкртуваат сите броеви делливи со седум (14, 21, 28,...). Користат друга боја. Откако ги пречкртале сите броеви делливи со 2, 3, 5, 7, ... (но не ги пречкртале броевите 2, 3, 5, 7, ...), броевите кои остануваат се простите броеви до 100. Овие броеви имаат точно два делители и тоа бројот 1 и самиот тој број. Овој метод е откриен од Ератостен, грчки математичар.

Е. Броеви на ТРИАГОЛНИК и КВАДРАТ `` Броеви на квадрат Од учениците може да се побара да користат манипулативи за правење фигури со две колони и два реда (квадрат). Потоа нека објаснат како количината пред нив може да се изрази математички. Можни одговори се 4 или 2·2 или 2+2. Некој може да каже 2 на квадрат. Ако никој не каже, направете ја врската помеѓу оваа изјава и фигурата што ја направиле (сите знаеме дека за да направите квадрат на број треба да го помножите бројот со самиот себе (2·2=4). Употребата на терминот квадрат може да има ново значење за возрасните. Претставување 32 или 52, всушност дава фигура на квадрат.

2x2=4

1

2

3

4

3x3=9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

153 39

`` Броеви на триаголник Како броевите на квадрат така и броевите на триаголник може да се илустрираат. Ова се броеви кои прават триаголници. Може да се побара од учениците да истражуваат кои се броеви на триаголник и да го објаснат тоа. Првите се 3, 6 и 10. Побарајте идеи од учениците како да се најде број на точки во кој било шаблон на триаголник без да се додаваат бројки во секој ред. „Квадратни“ и „триаголни“ броеви

2+1 3

3+2+1 6

4+3+2+1 10

Која претходна стратегија може да помогне да се најде бројот на точки во секој триаголник? Два последователни „триаголни“ броеви можат да дадат квадрат од број.

6+3=9

Следно: 6 + 10 = 16

а. Можe да се потсетиме на стратегијата на проблемот со ракување. Тие направија идентичен триаголник, го превртија и формираа правоаголник, најдоа плоштина на правоаголник и го поделија со 2.

18 19 = 342 = 171 2 2 в. Прашајте ги учениците за шаблоните што ги препознаваат во броевите на триаголникот. Забележете дека бројот на точки во секој нареден ред во триаголникот се зголемува за еден повеќе од претходниот. г. Побарајте учениците да ја пополнат табелата.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Шаблони и поврзувања во математиката

б. Плоштината на правоаголникот беше n(n+1). Сега за 18-тиот триаголник или оној со 18 во најдолгиот ред, пресметката би била:

24

5 24

153 40

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Ж. Паскалов триаголник

ред 2 ред 3

1 1 1

11

1 1

36

6

15

4 10

20 35

56

1 5

1 6

15 35

70

1

21 56

1 7

28

84 126 126 84

1 8

36

1 9

45 120 210 252 210 120 45

1 10

55 165 330 462 462 330 165 55

1 11

66 220 495 792 924 792 495 220 66

12 13

9 10

28

1 3

10

21

7 8

2

4

6

1

3

5

1 1

1

1 1

1 1

1

ред 4

1

78 186 715 1287 1716 1716 1287 715 186 78

1 12

1 13

1

Може да се изнајдат повеќе шаблони и да се опишат. Тие може да вклучат: ``Секој број е сума на два броја над него. ``Симетрија на секоја линија. ``Надворешните дијагонали (наречени дијагонали О) се единици. ``Консекутивни броеви во првите дијагонали. ``Збирот на секој следен ред е удвоен од претходниот. ``Збирот на броевите во секој ред е 2n (каде што n е бројот на редот и 1 е нулта ред). ``Редовите со непарен број на броеви имаат парен број во центарот. Оваа листа не е сеопфатна.

`` Некои специфични шаблони Обрнете внимание на тоа дека броевите на триаголник и квадрат се појавуваат на втората дијагонала (надворешните редови се 1 и се нумерирани со 0). Каков вид на истражувања може да се организира за учениците?

1

173

Шаблони и поврзувања во математиката

ред 1

Паскал користел триаголник на броеви кој сега се користи во алгебрата и геометријата. Овој шаблон е прекрасна можност каде што учениците може да ги испитаат шаблоните на броеви. Има повеќе причини поради кои треба да се користи Паскаловиот триаголник во наставата по математика.

9

5 24

ред 0

`` Структура на триаголник

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

13

10 11

12

9

5

28 36

6

15

1 4

10 20

35 56

1 3

10

21

7 8

3 4

6

1 2

5

1 6

15 35

70

1

21 56

84 126 126 84

1 7

28

1 8

36

1 9

45 120 210 252 210 120 45

1 10

55 165 330 462 462 330 165 55

1 11

66 220 495 792 924 792 495 220 66 78 186 715 1287 1716 1716 1287 715 186 78

1 12

1 13

1

Шема „хокеарски стап“ Збирот на броевите во дијагоналата која почнува со бројот 1 е еднаков на број кој е лево или десно од крајот на дијагоналата. Спореди го цртежот со равенствата.

153 41

1 1

1

1

2

1

3

1

1+7+28+84+210+462+924 = 1716 1

1 1

21 28

4 10

20 35

56

5

1+6+21+56 = 84

1 6

15 35

70

1

21 56

1 7

1

28

84 126 126 84

8 36

1 9

45 120 210 252 210 120 45

1 10

1 11

66 220 495 792 924 792 495 220 66

12 13

10 15

7 36

6

1

55 165 330 462 462 330 165 55

11

1 1

6

8 9

10

5

1

1 1

4

1

1 3

1+12 = 13

1 12

78 186 715 1287 1716 1716 1287 715 186 78

1 13

1

``Ако цифрите во секој ред се сметаат за единечни броеви (1, 11, 121...) секој ред е степен со основа 11.

110

1

1

1

1

11

11

11

2

2

11

121

121

3

3

11

1331

1331

4

4

11

14641

14641

5

5

11

161051

1 5 10 10 5 1

6

6

11

1771561

1 6 15 20 15 6 1

7

7

11

19487171

1 7 21 35 35 21 7 1

8

118

214358881

1 8 28 56 70 56 28 1

``Збировите на броевите во секој ред е еднаков на n-ти степен од 2, кога n е бројот на редот. На пример: 20 = 1 21 = 1+1 = 2 22 = 1+2+1 = 4 23 = 1+3+3+1 = 8 24 = 1+4+6+4+1 = 16 ``Каде уште видовме степен со основа 2?

Вежби а. Откриј како е изграден дијаграмот! б. Опиши ги шаблоните кои ги гледаш! в. Испитај збир на редови! г. Најди правило за да го најдеш збирот на кој било ред или најди го правилото за конструирање ред! д. Најди броеви на триаголник.!

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

0

24

810 9

173

5 24

153 42

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

ѓ. Откриј како да креираш броеви на квадрат со користење на триаголници (додај го секој нареден пар на броеви во втора дијагонала, 1+3=4, 3+6=9, итн.).! е. Ако во наставната програма како цел стои и обработка на содржини од веројатност, наставникот може да ги праша учениците да нацртаат табела за фрлање на паричките (1, 2, 3 и 4) и добивање на глава на некои или сите 4 парички. Спореди ги резултатите со броевите на Паскаловиот триаголник. ж. Ако се анализира Паскаловиот триаголник може да се забележи: `` симетрија на секоја линија; `` сите единици се на надворешната дијагонала и се зголемуваат за еден во втората; `` секој број е збир на двата броја над него; `` збирот на секој нареден ред е удвоен од претходниот; `` редовите со непарни броеви имаат парен број во центарот. з. Размислете какви други видови на истражувања може да се направат со учениците во врска со Паскаловиот триаголник. Учениците ќе имаат многу идеи. Некои од нив се: `` Учениците може да пополнат дел од некомплетен триаголник. `` Тие може да пишуваат за шаблоните кои ќе ги најдат. `` Може да ги истражуваат редовите со непарен број на броеви. `` Може да ги истражуваат збировите на редовите. `` Може да се запрашаат за правило со кое ќе го откријат збирот на кој било ред или правило на конструирање на ред.

153 43

2.2. ОДНОСИ ВО ОПЕРАЦИИТЕ

2.2.1. Компензација во собирањето Ова е активност која може да се користи со мали броеви дури и со мали деца. Ќе покажеме како.

1

(Активноста која следи води директно кон стратегија на ментална математика за креирање на броеви со кои е полесно да се работи.)

2

Размислете за стратегијата на прегрупирање на броевите (собироците) за да се олесни собирањето.

4+8=2+10=12 65=60+5 или 50+15 64+64=60+68=128 27+48=30+45=75

(Во примерите, секој збир е прегрупиран за да може да се формираат полни десетки). Учениците нека одлучат како ќе ги пресоставуваат овие броеви со цел полесно пресметување.

68 + 27 или (70+25 т.е. 65+30) 43 + 18 или (40+21 т.е. 41 +20) 376 + 524 или (375 +525 т.е. 380 +520) 257 + 199 или (256 +200)

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Побарајте од учениците да направат што е можно повеќе комбинации на собирање за еден број. Ќе го користиме бројот 24. Претставете ги во табела. Потенцирајте го шаблонот: „едниот број се зголемува, а другиот се намалува“; „Колку помал?“; „Еднакви вредности (+4, -4, +1, -1)“, итн. Побарајте од учениците да прават генерализации. Кога еден дел од целината се зголемува, другиот дел мора да се намали за истата вредност за да ја одржиме првичната вредност (целината, збирот).

24

810 9

173

5 24

153 44

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

Вежби Кога ова го работите со учениците, натерајте ги да проверат дали оваа стратегија функционира при одземање. Потоа испробајте: 257 – 199 (-1) (+1) 256–200=56 (Вистинскиот одговор е 58). Размислете зошто стратегијата не функционира при одземање!

2.2.2. Компензација во одземањето Прашајте ги учениците како компензацијата може да се примени во одземањето. Користи го 257–199 како пример.

а. Може да смислиме со лесен број 257-200=57 б. Потоа направете го логичниот чекор за да го балансирате она што сте направиле. Одземаме едно повеќе и мора да го вратиме 57 + 1=58. Ова може лесно да се разбере на пониските нивоа. Пософистициран концепт на одземање е дека може да ја додадете истата сума на двата броја кога одземате и разликата останува иста 257–199 (+1) (+1) 258–200=58 в. Пробајте со 72–38=? Одземете 40 наместо 38.

72-38=74-40=34 За да добиете лесен број, 2 му беше додаден на 38, но треба да се додаде 2 и на 72, исто така.

2.2.3. Собирање и одземање десетки

1

Вежбата е добра за мали деца за да им помогне во развивање на способноста да додаваат десетки и стотки ментално. Табелата „сто“ поделете им ја на учениците. Побарајте да го најдат бројот 28. Кажете им да бројат уште за 10 повеќе и обојте ги броевите. а. Моделирајте (запишете) равенство на таблата додека кажувате дека нашле: 28+10=38. б. Побарајте учениците да го бележат секое изедначување кое го правите. Натерајте ги да бројат 10 повеќе од 38. И напишете ја задачата веднаш под последната.

38+10=48. в. Сега кажете им да почнат од 48 и да бројат уште за 10. Повторно додајте го резултатот 48+10=58. Следете го истото бележење. г. Прашајте: Кој број е за 10 поголем од 84 и кој број е за 10 поголем од 156?

2

Кој број е за 20 повеќе од 145? ... е за 30 поголем од ...?

Кога учениците ги забележале сите резултати, замолете ги да погледнат во тетратките и најдете шаблон за додавање на 10 на број без да броите (кога го правите ова со учениците, побарајте од нив да го проверат резултатот со манипулативи како и со броење со десетки).

3

Овој вид на откривање и генерализација на шаблон треба да претходи на вежба за собирање десет и собирање десетки на двоцифрени или трицифрени броеви.

Во зависност од возраста на учениците и составот на одделението, можеби ќе побарате од нив да размислат за тоа како би оделе со додавање на 100 или 200 до одреден број со користење на она што досега го научиле за додавање на десетки. Ваквите поврзувања помагаат да се намали бројот на правилата што децата ги знаат. Тие општо учат како ментално да собираат броеви што завршуваат на цифрата 0.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

Сега, ќе направиме потешко прашање.

153 45

810 9

173

5 24

153 46

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

2.2.4. Собирање и одзмање стотки Можe да се користи истата вежба за да развиете одземање на десетки или стотки од нивните содржатели. Наведете ги учениците да забележат дека само цифрите на десетки, односно, стотки се менуваат. Генерализирајте го овој шаблон. Ова е уште еден мотивирачки начин учениците да откриваат шаблони. Овие активности придонесуваат за развивање на вештини за ментална математика. Секоја е креирана така за да употреби по некој концепт или стратегија. Кога концептот е развиен, учениците се способни да се справат со ментални пресметувања на повеќецифрени броеви. Секој вид на пресметување треба да се развива концептуално пред да се вежба.

Вежби Одземање Собирање 40-10=30 72+10=82 56-10=46 39+20=59 185-10=175 128+40=168 72-30=42 4650+20=4670 Добро е да се размисли и за други шаблони на аритметика кои наставниците треба да ги дискутираат во училница со учениците. а. Како се поврзани собирањето и одземањето? `` Дел-дел-цело. `` Триплети (фактички односи во собирање, одземање, множење и делење). `` Спротивставени (една операција е спротивна на другата). б. Како се поврзани собирањето и множењето? Во некои случаи повторуваното собирање ќе функционира. Во други не, на пример 3 блузи, 2 здолништа, колку алишта? в. Како се поврзани множењето и делењето? `` Тие се спротивставени. `` Лесно може да се видат со функционални табели. `` Јазикот за идентификување на тоа што значат броевите е многу важен. г. Следниве активности помагаат во стартегиите за ментална математика: `` собирање и одземање десетки, стотки (вклучувајќи и вежби); `` активности за откривање на шаблони со табела „сто“; `` активности со десетки; `` броење на активности напред-назад; `` декомпозиција и рекомпозиција на броеви; `` активности за компензација;

153 47

`` јавно објаснување и јавно илустрирање (манипулативи, цртежи); `` стратегии за размислување за факти додека не се меморизираат; `` правење врски (пример работа со четвртини може да се примени секаде каде се работи со 25-ки или 75-ки).

24

6 8

10 9 7 3 5 264 Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

1

810 9

173

5 24

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

153 48

24

6 8

351

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 49

24

6 6 8 8 10

24 1

1 4 8

6

10 9

1

Преглед на програмата „математика со размислување“ и нејзините основни принципи

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4 6

810

9 РАЗВОЕН ПАТ 7 3 ОД БРОЕЊЕ 5 7 ДО СОБИРАЊЕ 2 53 И ОДЗЕМАЊЕ

1 4

2 4 6 8

153 50

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се стекне способност за оценување на развојот на ученикот во усвојување на низата за броење. Да се запознаат „петте принципи на броење“ од Гелман и Галистел. Да се биде свесен за различните методи на броење (броење на сè, броење нанапред, броење наназад, броење до одреден степен) и методите за броење со прсти (на пр., на една рака, на две раце) и различните степени на операции што тие ги претставуваат. Да се разбере како броевите може да се разложат и сложат за да се олесни пресметката. Да се дознаат стратегии кои ќе им помогнат на учениците во разбирање на важноста на бројот 10 и како да го употребат во пресметка. Да се разбере важноста на користењето текст (содржина) кога децата учат броеви. Да се дознае важноста на нагледните средства и други примери во почетниот степен на учење. Да се разбере дека нагледните средства не се магични (сами по себе не ги поставуваат врските) и треба да се знае како да се поврзат конкретните примери со симболи. Да се дознае како непрестаниот тек на разбирање напредува од конкретното кон апстрактното и да се развијат стратегии за придвижување на учениците низ него.

153 51

3.1. броење

3.1.1. Кога прстите играат важна улога Кога ќе им ги поставиме следните прашања на учениците: ``Претпоставете дека датумот е 10 февруари и вие планирате да инвестирате одредена сума пари во шестмесечен депозит. Кој месец ќе истече депозитот? ``Именувајте ги петте Големи Езера (или седум математичари). ``Кој ден од неделата беше пред 4 дена?

Некои сметаат дека користењето прсти е пречка кај децата во меморирањето на основните факти. Програмата „Математика со размислување“ смета дека по некое време тие факти мора да се научат автоматски и се осврнува на учењето на основните факти подоцна во ова поглавје. Во текот на тој процес, кој се појавува во различни временски рамки меѓу децата, сите деца ќе се здобијат со здраво разбирање за броевите и врските меѓу броевите и ќе бидат способни да решаваат некои проблеми.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

и ќе побараме од нив да објаснат како стигнале до одговорите, многу е веројатно дека голем процент од нив ќе употребат броење преку нивните прсти за да ги одредат одговорите или пак ќе се служат со прстите кога ќе ги одговараат овие прашања. Броењето со прсти е разумен начин за решавање на овие проблеми. Како возрасни ние често, како помош, користиме броење со прсти. Ако тоа е вистина, зошто учениците не би ја имале истата предност? Едно истражување покажа дека броењето е моќно, позитивно и корисно.

24

9

173

5 24

153 52

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

3.1.2. Петте принципи на броење од Гелман и Галистел Од страна на Гелман и Галистел (1986) биле покренати прашања за праксата со броење во други култури (стр. 73–77 од книгата Детското разбирање на броеви) дадена во следната кратка содржина: а. Табу-теми – Во некои култури не е културно да се бројат крави или други поседи или пак некои други предмети. Барем во една култура, традицијата вели дека не можеш да бидеш совршен така што сигурно ќе се случи да направиш мала грешка. б. Гестови наспроти зборови – Во некои држави во Африка сè уште се користат гестови наместо зборови за броење на пазар. в. Броен систем со основа 10 наспроти други бројни системи – Иако сакаме да веруваме дека системот со основните 10 цифри постоел отсекогаш, поминало многу време додека овој систем се развил. Маите користеле систем со основа 60. Технологијата се заснова на две цифри. Системите на броеви се измислени од човекот. г. Првото визуелно средство за големина биле веројатно прстите или ознаки во калта за поголеми квантитети од 10. Биле пробани и други ознаки, вклучувајќи ги и римските броеви, пред луѓето да прифатат систем кој користел единствено 10 знаци (од 0 до 9) и систем на редослед.

Совладување на нижењето броеви Fuson, Richards, & Briars, 1982

``Учењето на последователноста во броењето до 20 всушност е задача на помнење со повторување; зборовите во низата мора да се помнат и изговараат во правилен редослед. ``Последователноста во броењето од 20 до 100 е исто така задача на помнење со повторување и претставува нижење со повторувачки шаблон.

НИВО 1 – погрешна, нестабилна листа, 1, 2, 3, 6, 8, 10

1, 4, 10, 6, 5, 3.

НИВО 2 – точен почеток; погрешен, нестабилен завршеток, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10

1, 2, 3, 4, 5, 7, 9.

НИВО 3 – точен почеток; погрешен, но средно стабилен; погрешен, нестабилен завршеток, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 10, 12.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 20, 10.

153 53

НИВО 4 – долга точна низа; погрешна, но стабилна средина; неточен, нестабилен завршеток, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 11, 14, 20, 15.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 11, 15, 14, 20.

НИВО 5 – целосно точно.

Притоа може да се нагласи: а. Броењето се развива во фази. б. Можно е да се процени способноста на ученикот во попрецизно броење отколку едноставно да се каже дека тој или таа брои или не може да брои. в. Овој шаблон на развој може да се препознае дури и ако ученикот користи нестандардни имиња на броеви. г. Знаењето во која фаза е ученикот е од помош во планирање на наставата и давањето совети на родителите како да им помогнат на своите деца. д. Учењето на низата на броеви до 20 е задача за учење напамет исто како што е учењето азбука. Но тоа е основа. Петте принципи на броење од Гелман и Галистел е студија која ги идентификува петте елементи на броење како нешто повеќе од едноставно механичко рецитирање на имињата на броевите. (Оваа табела се наоѓа во прирачникот за истражување). Првите три принципи се однесуваат на тоа како треба се брои.

1

Принцип еден на еден: броевите се идентифкуваат еден-по-еден со знак (број или измислена буква) за секој број. Во овој дел, како што децата ги поврзуваат броевите со броењето, тие почнуваат да развиваат значење за броевите.

Еден објект, една ознака

еден

три два

пет четири

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Пример:

24

9

173

5 24

153 54

2

Принцип на стабилен редослед: знаците искористени во броењето се распоредуваат по стабилен редослед.

Пример:

24

6 8

10 3 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

173

5 24

два

три

четири

пет

еден

два

три

четири

пет

Принцип на кардиналност: последниот знак обично се претпоставува дека го претставува бројот на делови во една серија. Ова е голем чекор напред во разбирањето што претставува одреден број. Кога ученикот изговара „пет“ не се однесува само на еден предмет на кој покажува туку на сите броеви кои претходно ги изброил.

810 4 9

еден

Пример: Бројот на последниот елемент го претставува целото множество

еден

два

три

четири

пет

Принцип на апстракција (не се потребни објекти): се однесува на што броите. Тоа значи дека трите претходни принципи може да се применат на секој ред или група на предмети. Предметите кои може да се избро јат се предмети кои може да се видат, предмети кои може да се допрат, предмети кои се исти, предмети кои се различни, итн.

Пример: Може да брои без да ги гледа или посочува објектите

1, 2, 3, 4, 5

5

Принцип за неважен на редослед: се однесува на фактот дека редоследот по кој предметите добиваат имиња нема значење сè додека секој предмет е означен еднаш и само еднаш. Овој принцип значи дека: ``Секој избројан предмет е објект, а не број. ``Вербалните знаци се назначуваат произволно и привремено. ``Истиот основен број се појавува без разлика на назначениот редослед.

Пример: При броење на кола, камион и брод, има неколку редоследи по кои може тие да се избројат: ``кола (1) камион (2) брод (3): вкупно 3 предмети, или ``камион (1) кола (2) брод (3): вкупно 3 предмети, или ``брод (1) кола (2) камион (3): вкупно 3 предмети. Во оваа фаза учениците разбираат дека редоследот по кој бројат не е важен сè додека секој предмет е избројан само еднаш. Кога учениците ќе почнат добро да се снаоѓаат во оваа фаза, тие ќе се здобијат со подлабоко разбирање за броевите. Може да ги преуредите предметите, да го измешате редоследот, да броите различни предмети, но бројот на предмети останува ист! Општ тест за разбирањето броеви кај децата е да им се даде да избројат неколку предмети, потоа да ги раширите и да ги прашате дали сега има повеќе или помалку или пак ист број на предмети.

2

3

1

5

4

Што бројат децата?

3.1.3. Броење со прсти – почетна алатка Постојана алатка

Прстите може да се употребат за претставување броеви, некаде на средина помеѓу конкретните предмети и илустрации.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Постои укажување дека наставата за броење треба да биде доста јасна. При броење на серија коли или парчиња овошје, на пример, некои ученици може да помислат дека треба да ги избројат само црвените или оние кои изгледаат исто како тие што ги држите в рака. Треба да назначите дека треба да се избројат сите. За учениците на кои броењето им оди потешко можеби е попаметно прво да се употребат бројачи кои се идентични во боја како и во форма и големина.

1

153 55

9

173

5 24

153 56

а. Кога предметите се недостапни, прстите може да ги заменат, бидејќи прстите се секогаш достапни. Дури и големите научници признале дека ги користеле прстите при пресметување. б. Само запаметете дека иако прстите се легитимна привремена алатка, по некое време децата треба автоматски да се присетуваат на фактите за броеви.

24 2

в. Внимавајте и забележете ако некој од вашите ученици не ги користи сите 10 прсти и направете приспособување доколку е неопходно.

10 9 7 3 5 264

б. Броење нанапред. Ова броење се смета како пософистициран метод за броење и

6 8

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Броење за решавање проблеми со едноцифрени броеви а. Броење на сè. Забележете дека штом децата ќе научат да бројат точно тие можат да размислуваат и да решаваат проблеми. Јас имам 3 јаболка. Мајка ми ми даде уште 4. Колку јаболка имам сега? Но дури и во овој случај, има нивоа на броење.

за решавање проблеми. Со овој метод ученикот почнува со бројот на првиот собирок, го памти и вели „три...“, потоа продолжува да брои понатаму: „четири, пет, шест, седум“. На крај ученикот научува да почнува со поголемиот собирок па има помалку за броење, почнувајќи со „четири...“, продолжувајќи со „пет, шест, седум“. При броењето нанапред, важно е да се воспостави дека:

``Бројот со кој се почнува го претставува целиот прв собирок. Некои наставници ги учат децата да го држат првиот собирок „во глава“ додека го кажуваат бројот. ``Ученикот го брои бројот толку пати колку што изнесува вториот збир додека прстите водат сметка кога да престане со броењето. ``Последниот изречен број е збир. Пример: 5 + 3. ``Почнете со 5; тоа е првиот број. ``Памтете го додека кажувате „5“. ``„Свртете“ три прсти додека броите 6, 7, 8. Кога прстите ќе го прикажат шаблонот за „3“, престанете со броењето. ``8 е збирот. ``При броење наназад наместо нанапред, првиот изречен број ќе го претставува збирот или целото. Примери на активности кои ќе ја поддржат оваа пософистицирана верзија на броење: 1. Ученик почнува со броењето, а друг го довршува (од 5 до 10; од 11 до 21).

2. Покажете број на картичка, а учениците нека бројат од тој број па нагоре.

3. Учениците нека употребат вртена топка за да одредат каде почнува броењето.

4. Учениците нека земат две коцки, една со броеви, а другата со точки. По фрлање на коцките,, тие почнуваат со броење од бројот на едната коцка па натаму и го пребројуваат бројот на точки на другата коцка.

153 57

в. Броење наназад. Ова броење е многу потешко за учениците отколку броењето на-

напред. Тоа е слично како кажувањето азбука наназад. Ова претставува олеснувачка алатка за одземање. Ученик кој одзема 9 минус 5 ќе мисли на 9, па ќе внимава колку избројал – можеби со прсти – како што кажува 8, 7, 6, 5, 4. Последно изречениот број беше петтиот така што разликата е 4.

Примери на активности со кои учениците би можеле да бројат наназад: 1. Фрлете ги двете коцки; почнете со најголемиот број и броете наназад до најмалиот број.

2. Користете пакувања од некои предмети, отстранете некои (n), и одредете колку остануваат преку броење наназад.

3. Испејте песна, како на пр. „Десет мали мајмуни седат на дрво“.

4. Ставете одреден број предмети во кутија. Вадете ги предметите, еден по еден, и бројте наназад.

5. Покажете слика во која некои предмети се скриени. Кажете колку треба да бидат вкупно и прашајте колку се скриени.

г. Броење нагоре до определен број. Може да се случи да забележите дека некои ученици бројат нешто што обично се смета дека е проблем во одземањето.

Пример: Питер има 6 картички и мајка му даде уште неколку. Сега тој има 8 картички. Колку картички му даде мајка му? Не е необично за дете да изброи шест и потоа само да додава „седум, осум“. Тука застанува и гледа дека додал уште две; значи мајка му на Питер му дала уште две картички.

Собирање

Одземање

``Со броење на сè.

``Преку одвојување.

``Добројува од помалиот број.

``Преку одбројување до...

``Добројува од поголемиот број.

``Преку одвојување до... ``Со израмнување (броење до).

За постарите ученици не треба да се земе со сигурност дека знаат како да бројат. Секогаш се претпоставува дека знаат. Но, многумина имаат потешкотии да бројат со илјади или стотици илјади. Губат чувство за тоа како расте бројот и како се менува редоследот кога ќе дојдат до точката на премин. За постарите ученици броилото е добро визуелно нагледно

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Сумирање на стратегии за броење што ги користат децата кога почнуваат да собираат и одземаат

24

9

173

5 24

153 58

средство за да се согледаат промените. Исто така, тие може да вклучуваат прескокнување во броењето за да пронајдат општ именител или да поедностават дропки или да прават умствени пресметки. ``Брои преку 2; 5 и 10.

24

6 8

``Брои преку 12-ки. ``Брои преку 100; 1000. ``Брои до 25. ``Брои напред и наназад. ``Броењето го користи како алатка за неформален доказ.

10 9 7 1 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

``Прескокнува во броењето за множење.

3.1.4. Составување на системот на броеви: Редослед на броеви Градење инфраструктура Како некои други држави го развиле нашиот броен систем со основа 10? ``Тие потрошиле многу време на броевите до 10. (Ќе испитаме накратко една од клучните стратегии искористени за оваа цел.) ``Во дополнување на низата, тие користат доста време да им помогнат на децата да го разберат значењето на тие броеви пред да се вклучат во операции со нив. ``Потоа поминуваат време со броевите до 20 додека децата не станат навистина добри со овие мали броеви. Но, следна работа што тие ја прават во врска со броењето и системот на броеви е да ги изградат „столбовите“ на системот, декадите.

Зошто броевите од 11 до 19 се толку тешки во англискиот јазик? Имињата на броевите во англискиот јазик не го пресликуваат добро системот на броеви. Нема никакви индикации дека единаесет, дванаесет или тринаесет треба да следуваат по 10 или дека се поврзани со 1, 2 и 3. Од друга страна, броевите во јапонскиот јазик вообичаено велат „десет еден“, „десет два“, „десет три“ итн. така што има природен напредок и увид за величините. Имињата на тинејџерските години, кои имаат врска со напредокот на едноцифрените броеви, ги наведуваат децата да ги пишуваат наназад затоа што се така кажани. „Четиринаесет“ ги води децата прво да го напишат бројот 4 бидејќи тој број прво го слушаат. На нив може да се гледа како на варијација на десет, но размислувањето не започнува таму. Всушност,

153 59

децата кои добро размислуваат може логично да одредат дека четиринаесет не се четири десетки, како и дека тоа е десет и четири. Досега учениците научија да бројат, ги научија количините што ги претставуваат броевите и како да ги претставуваат, ги научија броевите до 20, како и „столбовите“ претставени од страна на декадните броеви. Дури откако децата ќе ги научат множителите на десет (10, 20, 30, ... 100), кои служат како столбови на развојниот пат, ќе може да го пополнат шаблонот: 20 плус 1, плус 2, плус 3, 30 плус 1, плус 2, плус 3 итн. и да го воспостават истиот шаблон во секоја декада. Истиот шаблон може да се следи во градењето на стотките.

2

Врски во месните вредности ``Користење стапчиња. Ако се стават заедно 10 стапчиња тие имаат поголема величина во споредба со едно стапче. Кога стапчињата се врзани, за децата е помалку видливо дека тие се точно 10 пати повеќе од едно. ``Важно е да се биде свесен за предностите и слабостите на различните нагледни средства. На пример, користењето јазли од стапчиња бара претпазливост за да се биде сигурен дека јазлите употребени од децата навистина имаат 10 за почеток. Ако немаат, одговорите нема да им излезат точно! Битно е децата да разберат колку е важно точното врзување. Ова е разбирање кое треба да им се посочи на децата и треба да се разговара за тоа; а не наставникот да шета околу и да ги брои нивните стапчиња. Како може тоа да го направите? (Можете намерно да направите неточно броење во еден јазол и да го решите проблемот. Потоа поставете ги вашите „детективи“ да разберат зошто одговорот е неточен; зарем стапчињата не го покажаа тоа? Се разбира, мора да ги покажете сите докази за да можат да разберат!) ``Забележете ја разликата помеѓу апстрактните (одделни) предмети и постојаните количини. Вратете се на графиконот и забележете кои нагледни средства се апстрактни, а кои се постојани. (Предметите кои се вклучени заедно може да се гледаат и на двата начини). ``Користењето нагледни средства не е крај туку само алатка за разбирање математика. Наставникот мора да направи врска со математиката. Во одреден момент нагледните средства треба да исчезнат, освен кога целта е оправдување и обезбедување неформален доказ.

``Манипулативите треба да остават трага (во размислувањето). ``Не треба да се премногу комплицирани. ``Математиката која се користи во манипулативите треба да биде едноставна.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Јапонскиот истражувач Макото Јошида вели дека постојат три важни работи кои треба да се разгледаат при изборот на нагледни средства:

24

9

173

5 24

153 60

3.2. сложување, разложување и повторно сложување броеви

24

6 8

3.2.1. Разложување како знак за чувство за броеви

10 9 7 3 5 264 1

1

Главна одлика на чувството за броење е способноста за разложување и пресложување на броеви во форми кои се соодветни за разгледуваниот проблем. Разбирањето за тоа како броевите се составени и како може да се состават повторно има концептуални и практични придобивки за учениците. За нив патувањето кон флексибилното размислување треба да започне штом научат да бројат.

3.2.2. Рани искуства во разложувањето

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 2 9

173

5 24

Judith Sowder

Предоперации. Откако децата ќе ги научат принципите за броење, тие учат да ги претставуваат броевите, на пример: „Покажете ми три. Покажете ми седум“ Тие, исто така, треба да бидат способни да идентификуваат по колку броја има во одреден пример. Потоа децата може да се вклучат во активности кои ќе им помогнат да разберат дека броевите може да се состават на различни начини. Прво ова треба да се направи во контекст, а потоа со самите броеви.

Пример: Марија има колекција од мечиња. Таа често игра со нив и ги чува на две полици во собата. Како може Марија да распореди 12 мечиња на 2 полици? Како може учениците во прво одделение да му пристапат на ваков проблем?

153 61

``Нагледни средства или други визуелни модели. Се препорачува користење „работен простор“ со нагледни средства. За овој проблем тоа може да се цртежи на полици за да им се помогне на децата да ја визуелизираат вистинската ситуација. ``Ако ова е прв пат учениците да бидат прашани да решат ваква задача, наставникот може да предложи еден начин и да го претстави со нагледни средства. „На пример, Марија може да има 5 мечиња на горната полица и 7 мечиња на долната полица. На кој друг начин може да ги преуреди нејзините 12 мечиња?“ ``Врската преку запис. `` Како што наставникот ги покажува 5-те мечиња на горната полица и 7-те мечиња во долната, вели „еден начин 12-те мечиња (запишува „12 мечиња“ на таблата како наслов) да се организираат е 5 (запиши „5“ одоздола) на една полица и 7 (запиши „+7“) на другата“. Запира додека децата да избројат за да потврдат дека 5 и 7 се навистина 12 и потоа запишува „=12“. `` Начинот на кој наставникот се справува со одговори кон едноставни проблеми како овој, може да ги подготви децата да разберат дека математиката не е составена единствено од пресметување суми и разлики. Ако сакате да стигнете до поголема идеја за составување едноцифрени суми и разлики, испланирајте да ги запишете равенствата што ќе ги дадат учениците за да можат на крај да согладаат некаков шаблон. Големата идеја овде е дека ако имате конкретен број мечиња, со цел да го зачувате тој број, кога бројот на мечиња на една полица се зголемува за еден или повеќе, бројот на другата полица се намалува за истиот број. Значи, запишувачот ги предвидува сите можни одговори и намерно ги поставува броевите понудени од децата по одреден редослед така што на крај листата е во редослед од 1+ до 11+: 1 + 11 = 12 2 + 10 = 12 3 + 9 = 12 4 + 8 = 12 . . Потоа децата се запрашани што забележале за паровите броеви кои прават 12. На овој начин тие почнуваат да забележуваат дека има редовни шаблони во математиката и дека учењето општо (принцип) им дозволува да го користат тој концепт во многу ситуации. Овој конкретен шаблон покажува како еден збир има потреба од промена на едниот број за да се промени другиот број во обратна насока. Овој факт е основа за стратегијата која ќе помогне во брзо присетување на едноцифрени комбинации. „Ако знаете дека 6 + 6 = 12, како ви помага овој шаблон да дознаете колку е 7 + 5?“ `` Што ако никој не одговори? Претпоставете дека првиот ученик ќе одговори, наставникот потоа прашува за друг начин и никој не одговара. Тогаш што е добра стратегија за оваа намена?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

11 + 1 = 12

24

9

173

5 24

153 62

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Една можност е наставникот да продолжи да поставува прашања како: „Дали мислите дека има други начини за поставување на мечињата на полиците?“; „Дали мислите дека може да го имаме истиот број на двете полици?“; „Дали мислите дека може да имаме 4 на една полица? Колку ќе останат за другата? Од каде знаете?“ Ова треба да се направи на начин на кој наставникот нема да ги каже двата броја за да можат учениците самите да го најдат. Натерајте ги да мислат и нагласете дека може да истражуваат за да го откријат одговорот. Одговорот може нема да дојде непосредно. Запамтете дека им треба време за да размислат и дозволете им малку повеќе тишина. `` Целата структура за собирање. Во други случаи при вклучување во слична активност, вашата цел може да биде да ги навикнете децата на структурата за собирање како и на значењето на знакот за еднакво, кој не значи „следно е стави го одговорот“. Ќе кажете нешто, како на пр.: „Значи 12 е исто што и 5 + 7“ и ќе запишете „12 = 5 + 7“ и слично. Посилно разбирање за значењето на знакот за еднакво ќе се изгради ако децата разберат дека не е важно на која страна се наоѓа збирот. Она што е важно е дека количините од двете страни мора да го претставуваат истиот збир. Премногу често учениците не ја разбираат добро идејата за еднаквост туку го гледаат знакот за еднаквост како сигнал дека треба да се изврши одредена операција. ``Варирање со контекстот. Важно е на учениците да им се дадат различни контексти за составување количини на различни начини. Ако учениците го разберат концептот само во еден контекст, веројатно ја сфатиле процедурата за одредена ситуација, но не и со концептот. Во тој случај, наставникот треба да му помогне на ученикот да ја направи врската со познатата ситуација за да им помогне на учениците да ја префрлат вештината кон нови ситуации. ``Варирање со нагледни средства. Не користите секогаш мечиња, стапчиња или жетони. Нагледното средство е пример за нешто друго и конкретните идеи не треба да се поврзуваат само со еден предмет или боја.

3.2.3. Дел-цело како организатор Идејата дел-дел-цело може да им помогне на учениците да го организираат своето размислување за да решаваат проблеми со собирање и одземање. Полиците беа пример за делење на сите мечиња на два дела. а. Дел-дел-цело е одреден вид работен простор кој на децата им овозможува да согледаат како се групираат и се одделуваат броевите во структурите за собирање. При негово изработување се зема голем правоаголник, на пр. хартија со димензии 9x12 може да се подели на половина хоризонтално. Една половина го претставува „целиот збир“. Другата половина се дели вертикално на два еднакви „дела“.

153 63

дел

дел

цело

б. Може да се искористи во почетни активности за повторно составување на броеви во математиката. „Дел од мечињата се на една полица, додека друг дел се на друга. Ако 6 се на една полица, а има вкупно 12 мечиња, колку има на втората полица?“ Притоа на учениците може да им се помогне да размислат што од тоа што го знаат може да им помогне. Некој може да каже дека вкупно има 12 мечиња. Во тој случај поставете 12 бројачи во големиот дел што го претставува целиот збир.

Прашајте што друго знаеме. Некој ќе одговори дека има 6 мечиња на една полица. Прашајте дали 6 го претставува вкупниот број мечиња или дел од нив. Шест е дел од мечињата така што 6 се преместува кон еден „дел“ или полица. Појаснете дека останатите се друг „дел“ и преместете ги на другата полица.

12 - 6 = 6 Во зависност од она што го кажале учениците, равенството може да биде: 12 = 6 + 6 или 6 + 6 = 12 Имаме 12 мечиња и 12 е шест на една полица и шест на друга така што може да се запише 12 на левата страна од знакот за еднаквост. Ако некој ученик каже дека шест се на една полица, тогаш има други шест на другата полица; значи заедно се 12 мечиња. Во овој момент важно е да се поврзе што прават учениците и да се каже што е напишано, а не да го „преведат“ она што наставникот го размислува. Слушањето на децата и моделирањето на нивното размислување е една од најтешките работи.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Кажете им на децата дека 12 може да се добие од 6 мечиња плус 6 мечиња. Ова може да се запише како:

24

9

173

5 24

153 64

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

в. Истата математика може да се искористи за да се демонстрира дека собирањето и одземањето се обратни операции. Учениците сега може да видат како деловите повторно може да се стават заедно за да се најде вкупниот број мечиња. Ако 6 се на една полица и 6 се на друга, колку мечиња има вкупно? За ова наставникот запишува равенство: 6+ 6 =12 Причина која наставниците ја наведуваат зошто не сакаат да користат нагледни средства е дека тие го гледаат крајот како хаос. Една од достапните алатки е работен простор како дел-дел-цело.

Предностите што ги обезбедува таков работен простор се: ``Поставува граници. ``Им помага на учениците да се фокусираат. ``Ги одделува нагледните средства кои се користат за решавање на проблеми од другите предмети. ``Го прави видливо разложувањето и повторното составување на броеви. ``Ефективно ја покажува обратната врска на собирање и одземање.

153 65

3.2.4. Постојаност на примерите Нивоата на математичко разбирање се предложени од истражувачите Лаурен Ресник и Џејмс Грино. Нивоа на математичко разбирање предложени од истражувачите:

Примери за знаење на секое ниво:

``Протоколичини `` Физички објекти. `` Размислување за големините без броеви.

Поголемо пакување ќе содржи повеќе од мало пакување.

``Количини `` Броење и мерење конкретен број на реални нешта. `` Броевите се придавки.

Има 4 девојки. Доаѓаат уште 4.

8 има значење само кога е поврзано со нешто друго.

``Броеви `` Како броеви сами по себе и може да се дискутира за нив. `` Броевите се именки.

Можам да мислам на 24 како 2 десетки 4 единици или како две 12-ки и на многу други начини.

``Операции и релации `` Апстрактни броеви. `` Дискутира операции и релации.

Ако ја додадам истата сума на бројот што се одзема (намалителот) и намаленикот разликата ќе биде иста. (На пр. 44 – 7 = 49 – 12)

Можам да зборувам за броеви и да им давам карактеристики без да размислувам за нешто друго.

Програмата Математика со размислување верува дека нивоата се оперативни низ учењето математика и примената на математиката. Тоа значи: ``Наставниците треба повеќе да ги почитуваат и користат основните нивоа на разбирање за да им овозможат на учениците да оперираат на највиско ниво. ``Учениците ќе оперираат на различни нивоа со различна содржина и ќе се движат назад-напред меѓу нив. На пример, Ресник објаснува како дури и инженерите се навраќаат на протоколичинското

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Овие нивоа ја опфаќаат идејата дека учениците почнуваат да го разбираат физичкиот свет и постепено навлегуваат во свет каде што ќе размислуваат за апстрактни броеви и идеи. Вообичаено, наставниците кои може да вреднуваат конкретни активности за предавање на концепти во математиката во прво одделение претпоставуваат дека учениците немаат повеќе потреба од конкретна врска за множење и делење.

24

9

173

5 24

153 66

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

ниво кога првично размислуваат за проекти. Работата на наставниците е да ги користат и да изградат помалку апстрактни нивоа за да им овозможат на учениците да оперираат на највисокото ниво.

3.2.5. Магични надежи: Нагледни средства и реформа во образованието по математика Не можеме да тврдиме дека нагледните средства без директна врска во математиката и многу дискусија нема да доведат до разбирање. ``Иако конкретните материјали може да им понудат на учениците содржини и алатки за разбирање на содржината, сепак математичките идеи не опстојуваат на картон и пластика. ``Потребни се повеќе можности за разговор и размена на идеи. Мора да има можности за индивидуално размислување како и разговор со јазикот на математиката. ``Ќе продолжат да играат важна улога, но време е да престанат да се преправаат дека се семоќни.

Deborah Ball, Magical Hopes

153 67

3.3. ИГРИ ЗА ФЛЕКСИБИЛНО РАЗМИСЛУВАЊЕ

Игрите се мотивирачки за учениците и може да послужат како мотив да се научи вештината која е потребна за да се победи играта и како вежба за пресметка која ќе помогне во присетување на фактите по автоматизам. Има многу игри кои може да ги мотивираат учениците да размислуваат флексибилно за броевите. Тие, исто така, обезбедуваат пракса која треба да помогне за совладување на мали броеви.

3.3.1. Кутриот Џони - број 1 Како може да се изрази бројот 1 користејќи го само 3? Во оваа игра се бара да се изрази бројот 1 преку операции користејќи го само бројот 3.

Каква вредност може да има ова игра? ``Промовира флексибилно размислување со ограничена алатка. ``Открива дали учениците можат да размислуваат како еден број може да се претстави со друг број. Мора тоа да го направат при работење со дропки или при размислување за еквивалентни броеви или изрази.

3.2.3. Играта со 24 Во оваа игра имате на располагање четири броја. Мора да ги искористите сите четири броја и сите математички симболи за да стигнете до 24. На пример, ако вашите броеви беа 2, 3, 5 и 6 може да кажете: 5 плус 3 е 8; 8 пати по 6 е 48; 48 делено на 2 е 24. Равенството е (5+3)6 : 2 = 24. Може да го искористите „24“ во иднина како предизвик кога учесниците ќе се вратат од пауза или додека чекаат да почне часот. Оваа игра се појавува на неколку нивоа: едноцифрени, двоцифрени, дропки, цели броеви и алгебра. Користете соодветно ниво за вашата група или пак измешајте ги.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

``На повисоко ниво, предизвикот би бил, еден број да се искористи точно четири пати за да се состави израз (8 = 4∙4-4-4).

24

9

173

5 24

153 68

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Пример: 1. 6, 3, 5, 3

(Едноцифрени броеви).

[Еден начин: 5 x 6 – (3 + 3)]

2. 8, 1, 5, 4

(Едноцифрени броеви).

[Еден начин: (5-1) x 4 + 8]

3. 4, 23, 25, 14

(Двоцифрени броеви).

[Еден начин: (25-23)*14-4]

4. 10, 6, 8, 11

(Двоцифрени броеви).

[Еден начин: (11-8)*10-6]

5. 6, 4, 4, 7

(мора да искористите еден од

, x2, x3,

).

[Еден начин:

6. ½, 1/3, 8, 8

(Дропки).

[Еден начин: ((8+8):1/3)*1/2]

7. 7, 7, 1, ½

(Дропки).

[Еден начин: ((7*7)-1):1/2]

8. -8, -9, 2, -7

(Цели броеви).

[Еден начин: -8 -[2(-9+-7)]]

9. 6, 8, -3, 3

(Цели броеви).

[Еден начин: (6-(-3):3*8]

= 2; 2 x 7 = 14; 14 + 6 + 4]

Дополнување: Учениците, исто така, може да бидат предизвикани да ги искористат четирите броја на картичка за да ги состават сите броеви од 1 до 10. За ова најсоодветни се двоцифрените броеви.

3.3.2. Играта со куглање Оваа игра е предложена како пример проценка за способноста да се работи наназад, да се примени исцрпно размислување, да се користат аритметички операции каде калкулаторите не се од голема помош и демонстрирање на повеќе решенија. Правила на играта: 1. Почни само со примена на собирање и одземање.

2. Фрли 3 коцки.

3. Користи ги оние броеви со кои ќе ги елиминираш бројките во круговите. Секој број можеш да го користиш еднаш.

4. Кога веќе нема да можеш да елиминираш броеви, фрли пак.

Пример: Ученикот фрла 6, 5, 2. Ученикот игра: (6 + 5) – 2 = 9 5x2–6=4 6+2=8

6–2=4

5+2=7

5–2=3

6–5= 1

1

2 5

3 6

8

4 7

9 10

Учениците фрлаат три коцки или вртат три пати.

Броевите 1–10 се распоредени како кугли. Учениците фрлаат три коцки. Играчите мора да собираат, одземаат, множат или делат користејќи ги своите три броја за да „соборат“ што повеќе броеви.

153 69

Ученик фрла 6, 2 и 1.

Малите деца може да користат или две или три коцки за собирање и одземање (множење и делење).

Игра: 6+2+1=9 6: 2 = 3; 3+1 = 4

24

6:1=6; 6+2 = 8 6+2-1=7 1:2 = ½; ½ x 6 = 3 Петте кугли (9, 4, 8, 7, 3) се „соборени“.

3.3.3. Игри кои помагаат во развивање концепти за подреденост на броевите Мотивот за учениците е дека ќе победуваат или губат во игрите во зависност од нивното разбирање. а. Цел: Создавање најголем или најмал збир, разлика, (резултат или коефициент). Во овие игри цифрите се одбираат со помош на картички со броеви. Учениците може да имаат картички со броеви или може да ги запишуваат броевите на соодветен образец даден од наставникот. Обрасците може да се постават за две цифри и едноцифрени броеви, две цифри и двоцифрени броеви или други повеќецифрени броеви. Како што наставникот кажува број, така учениците мора да го подредат. Броевите се подредуваат како што се запишуваат и штом еднаш се смести бројот не може да се помести.

Пример:

Одредете двоцифрен број плус едноцифрен број. Учениците мора да создадат проблем каде што ќе се бара најголемиот збир.

XX + X Наставникот ги одбира 4, 6, и 5. Можностите за подредување на картичките се: 45 +6 51

56 +4 60

64 +5 69

46 +5 51

54 +6 60

65 +4 69

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

Претпоставуваме дека наставникот и учениците имаат картички со броеви од 0 до 9. Исто така учениците може да размислуваат за големината на бројот и како всушност функционираат самите операции. Наставниците треба да направат математички правила за време на часот.

6 8

9

173

5 24

153 70

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Најголемиот можен збир е 69, со два начина да се претстави проблемот. Наставникот треба да праша зошто постојат две можни точни решенија. Дискусијата треба да вклучува: (1) двата проблема имаат 6 во местото за десетки (или 60); и (2) дека поради комутативното својство збирот е ист без разлика на редоследот на самите броеви: 5 + 4 = 4 + 5. Кога ќе бидат запрашани да се подредат броевите за да се најде најнискиот или најмалиот збир, дискусијата треба да им помогне на учениците да разберат дека најмалите броеви треба да бидат на местото на десетките. Наставникот ќе ја побара најмалата (или најниската) разлика. Наставникот ги одбира 6, 8, и 0. Можните подредувања се: 60

80

08

06

68

86

-8

-6

-6

-8

-0

-0

52

74

2

-2

68

86

Најмалата/најниската можна разлика е – 2. Ако некој ученик користи 06 – 8 и добие негативна разлика, имате основа за голема дискусија која вклучува не само подреденост на броевите туку и низа на броеви и дали – 2 е помало од +2.

Учениците треба да дискутираат за своето стратешко размислување околу подреденоста на поголемите или помалите броеви. Има ли најдобро место за најголемиот или најмалиот? Зошто? Препознајте го тоа поради елементот на веројатност (не знаете што ќе бидат сите броеви пред да ги распоредите првите) да победите што е комбинација на размислување и среќа. Дали стратегиите за собирање на учениците се различни од оние за одземање? Зошто?

3.3.4. Играта „се зачудува“ (Boggle) Во играта со зачудување, играчите имаат правоаголен приказ на броевите. Тие се движат од едно поле кон друго (хоризонтално, вертикално или дијагонално) и користејќи ги броевите и знаците на операциите за собирање и одземање прават колку што можат повеќе бројни равенства. Победници се оние кои ќе состават најмногу точни бројни равенства.

Пример: Може да се состават повеќе равенства во 1 минута со користење на броевите од соседните квадратчиња.

15

9

6

7

3

12

8

5

7

4

13

2

5

1

11

10

15 - 9 = 6 12 - 9 = 3 12 + 3 = 16

5 + 7 = 12 8 + 2 = 10 15 - 3 = 12

15 - 12 = 3 5-1=4 6 - 8 = -2

Не е дозволено: 10 + 2 = 12

153 71

Притоа може да се постават правила на различни начини: ``Назначете одреден период на време. ``Одредете неколку игри. ``Користете тајмер за да го ограничете времето на секој играч (бидете внимателни ако имате ученици кои бавно пишуваат). ``Искористете ја вашата фантазија!

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

153 72

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

3.4. ОД РАЗЛОЖУВАЊЕ ДО ПОЗНАВАЊЕ НА БРОЈОТ 10 (ДЕСЕТКИ)

3.4.1. Значењето на бројот 10 Споменавме дека 10 е многу важен број. Зошто е толку важен? ``Тој е основа на нашиот систем на броеви. ``Овозможува лесно броење. ``Тој е ознака, индикатор, основа за олеснување на тешко патување. ``Големите проблеми ги прави надминливи со помали чекори. ``Тој е одлучувачки за менталната математика. ``Одамна е важен фокус во Источна Азија.

3.4.2. Рамката со десет а. Два реда од по пет. Една од алатките што се користени во азиските држави која им помага на децата да визуелизираат броеви е рамката со десет. Исто како што сметалката има бисери кои претставуваат пет реда и на секој ред има по четири бисери, рамката со десет е распоредена во два реда по пет. Ова го прави лесно препознавањето и броењето. Рамките прават лесно да се види како да се направи 10 од броевите опишани во рамката.

    

    

    

 

б. Почетни слики. Покажете една рамка и потоа бројот 10. Потоа покажете разни суми различни од 10 за да видите како учениците се навикнуваат на гледањето и размислувањето за „пет плус нешто“ или „10 минус нешто“.

153 73

в. Гледање на тинејџерските броеви како збир од десет плус нешто. Кој е следниот чекор во разбирањето како броевите се поврзуваат со 10? Потврдете или поврзете дека рамките пред да станат корисни за правење пресметки, учениците треба да развијат разбирање дека тинејџерските броеви се всушност „10 плус нешто повеќе“. Ова треба да претходи на работата со суми помеѓу 10 и 20. Прикажете на проектор или учениците нека прикажат на своите 10-рамки целосна рамка и 4 бројачи надвор. Кој број е ова? 14. Во зависност од учениците, направете неколку примери со именување на прикажаниот број и прикажување на број. Учениците треба да го усвојат овој концепт на „10 + x“ и да бидат способни да го кажат значењето на тинејџерските броеви по автоматизам пред да пресметуваат броеви со суми. г. Рамките со десет и пресметување. Штом учениците можат да ги идентификуваат шаблоните во рамки, поминале низ големо искуство со комбинации за 10 и ги знаат тинејџерските броеви како 10 плус малку повеќе, тие го преземаат следниот чекор: Колку е 7 и 6? Лесно се гледа дека 3 ќе ја пополни рамката. 10+3 = 13.

            

Прикажани им се некои броеви внатре во рамката и некои надвор. Овие ги претставуваат двата броја. Лесно е да се увиди дека со 7 во рамката ви требаат уште броеви за да се пополни целата рамка. Така децата умствено поместуваат 3 од 6-те во рамката и мислат: 10 во рамката плус уште три се 13. Учениците се навикнуваат брзо да препознаваат што е потребно за да се пополни рамката без да бројат. Тие, исто така, почнуваат да визуелизираат како изгледа рамката ако одземете од 10. Овие вежби често се прават така што децата стануваат доста вешти со суми и разлики во составот на 10 и на крај можат да ги визуелизираат рамките во глава.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

153 74

3.5. ОД ЗНАЕЊЕ НА БРОЈОТ 10 ДО ПРАВЕЊЕ ДЕСЕТКИ

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Вештината со бројот 10 води кон следниот чекор на развој. Учениците го користат своето разбирање како „да направат 10“ за да решаваат проблеми без да се занимаваат со рамките.

3.5.1. Составување десетки за собирање Во дополнување, за да се состави 10, децата треба едноставно да разложат еден број и да искомбинираат колку што е потребно за да го направат другиот да биде 10.

Пример: 5+7 5 + 5 = 10 5+7 5

2

Разложете го 7 на 5 и „останатото“.

10 + 2 = 12

         

 

Ова е слично со пополнувањето на рамката со десет и додавање 10 на она што е останато. Ова е познато како стратегија за „составување десет“ или „составување десетки“. Овој метод успешно се користи во Холандија каде што децата ги разбиваат разложените броеви без редови.

3.5.2. Составување десетки за одземање а. Одземање/собирање. Постојат два начини да се состават десетки за одземање. Еден начин е да се одземе целиот број од 10. (Оваа изјава претпоставува едноцифрен број што се одзема и двоцифрен намаленик).

153 75

Пример: 13 – 8

13 – 8 10

3 10 – 8 = 2 2+3=5

Учениците го разложуваат 13 на 10 и 3 за да можат да одземат 8 од 10, со што останува 2. Но тие се уште имаат 3, останатиот дел од 13. Го додаваат ова на 2 (од 10-8) и добиваат одговор 5.

б. Одземај, одземај. Користејќи ја втората стратегија, учениците го разложуваат бројот што се одзема за да може прво да се одземе најмногу што може за да се направи намаленикот 10 и потоа да се одземе остатокот. Ова може да се запише како:

Пример: 13 – 8

13 – 8 5

3

10 – 5 = 5 или 13 – 3 – 5 = 10 – 5 = 5

Последниот ред погоре е системот за обележување користен во Холандија, слично со нивниот третман на процесот на собирање.

13 – 7 Ако се разгледа страницата за Кореја, може да забележете како дуплото одземање се покажува следно до последниот ред.

13 – 7 3

4

13 – 3 – 4 10 – 4

``Некои од најразвиените држави во светот ги користат овие методи. Способноста да се гледа на броевите на различни начини е важно за развојот во математиката.

в. Вежбајте размислување. На учениците може да им се поделат картички со четири до шест проблеми за секого. Обележете ги картичките со А и Б. Дадете ги сите А на едните, и сите Б на другите. Дадете им инструкции на учениците да пронајдат врска меѓу картончињата А и картончињата Б. Со оваа вежба може да се следи како учениците можат да направи десет за да ги решат проблемите. Партнер А

Партнер Б

8+9

9+6

5+7

7+8

14 – 6

11 – 3

18 – 9

17 – 9

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

``Како учениците може да состават десет за да го решат овај проблем 8 + 7. (Може да го направат 8 во 10 или 7 во 10). Забелешка: Ова не е проблем со компензација! Практиката е разложување на едниот број за да се претвори другиот во 10.

24

9

173

5 24

153 76

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

г. Три собирци од кои два даваат 10. Редоследот на наставата користен од страна на Јапонците кој им помага на децата да прават десетки е да се воведат проблеми со три собироци пред да научат да собираат двоцифрени броеви (Јошида и Ватанабе). Во секоја тројка подолу, два броја даваат 10.

8 + 2 + 45 + 1 + 5 3 + 7 + 6 8 + 9 + 1 6 + 4 + 22 + 8 + 5 Така тие добиваат пракса во добивање суми од 10 додека работат на суми од десет плус нешто. Ова се прави за да им се даде практика на децата во добивање десет и потоа додавање на таа десетка на друг број. Овој редослед го зајакнува искуството за „правење десетки“ така што учениците може да се навраќаат на него во друга нова ситуација.

153 77

3.6. ЗДОБИВАЊЕ СО ОСНОВНИ ФАКТИ ВО НАСТАВНАТА ПРОГРАМА ЗА РАЗМИСЛУВАЊЕ

24

Знаењето на основните комбинации на броеви, собирање на едноцифрени броеви и множење парови, и соодветно за одземање и делење, е суштинско.

NCTM PSSM 2000

Нема никаква дилема дали учениците треба да ги научат фактите за основните броеви. Треба. Разликите во мислењата се околу тоа колку време од часот треба да се потроши за учење на памет и точно во кое одделение учениците треба да имаат механичко знаење. Во документите што ја поддржуваат потребата учениците да ги научат фактите за основните броеви до автоматизам (НСНМ) може да се забележи: а. Калкулаторите не ја заменуваат потребата да се научат основните факти, да се прават умствени пресметки или да се прават разумни пресметки на хартија (НСНМ 1989 Стандарди, стр. 19).

в. Когнитивното истражување и стандардите на НСНМ го поддржуваат случајот да не се намалува потребата од автоматска меморија на овие факти. Меѓутоа, направете разграничување помеѓу поминување најголем дел од часот на тоа како и градење на други сфаќања кои: (a) ќе ја направат јасна нивната корисност; и (б) ќе го олеснат начинот децата да користат стратегии за побрзо решавање непознати факти додека не се здобијат со механичко знаење. г. За собирањето, еден истакнат извештај од Националната академија на науките го поддржува учењето со разбирање, место учењето на памет. `` Децата треба да научат операции со едноцифрени броеви „со разбирање“. `` Тие се движат низ прилично добро дефинирана низа на методи на решавање во учењето на операциите со едноцифрени броеви, особено за собирање и одземање.

10 9 7 3 5 264

1

810

Развоен пат од броење до собирање и одземање

б. Учениците учат комбинации за основните броеви и развиваат стратегии за пресметување кои имаат смисла за нив кога решаваат проблеми со интересни и предизвикувачки контексти. Низ дискусиите на час, тие може да ја споредат леснотијата на користење разни стратегии како парови, парови плус минус еден, комутативни факти, броење за одземање.

6 8

9

173

5 24

153 78

24

6 8

`` Учениците напредуваат од користење на физички објекти кон пософистицирано броење и стартегии за резонирање, како што е изведување на една коминација бројки од друга. Овој извештај потврдува дека знаењето стратегии помага во градењето на математичкото размислување. Некои општи стратегии се: ``Разбирање за комутативното својство. ``Разбирање за спротивности. ``Двоен и приближно двоен.

1

Развоен пат од броење до собирање и одземање

810 9

173

5 24

Прегледајте го кинеското размислување за меморирање

Во кинеското учење дефинитивно има традиција за меморирање. Во книгата Кинескиот изучувач, група кинески наставни едукатори препознаваат разграничувања помеѓу учењето напамет, што е стратегија за почетници и можеби за некои понапредни ученици, и меморирање со разбирање. Ова е многу важна разлика.

10 9 7 3 5 264 2

1

``Едно или две, повеќе или помалку.

Механичко помнење наспроти помнење со разбирање

„Механичкото помнење значи дека нешто е запомнато низ механички процес, без многу мислење и разбирање. Помнење со разбирање вклучува размислување во умот. Обиди се да направиш јасна врска помеѓу нештата и потоа запомни ги“.

The Chinese Learner

Шеснаесет од седумнаесетте едукатори се сложиле дека сме поподготвени да меморираме или да го запаметиме она што го разбираме. Не била општо прифатена идејата дека разбирањето може да се развие преку меморирање.

Преглед на странски размислувања за настава и учење на комбинации со броеви

Информациите во Основни факти во наставната програма за размислување главно потекнуваат од студија за наставата во Германија, Швајцарија и Англија за броеви и редоследот на броевите. Ова ги поддржува претходните идеи дека учењето едноцифрени комбинации мора да биде придружено со разбирање.

4 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 79

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

10 9

810

173 9 5 1 24 73 Класификација на проблеми и текстуални задачи

6

6

КЛАСИФИКАЦИЈА НА ПРОБЛЕМИ И ТЕКСТУАЛНИ ЗАДАЧИ

5 2 4 6 8

153 80

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се разбере вредноста на воведувањето концепти во контекст. Имајте предвид дека приказните може да се креираат од ситуациите што нè опкружуваат и од литературата. Бидете подготвени да креирате или приспособите проблеми за да им овозможите на учениците искуства од сите видови. Треба да знаете што е тоа што текстуалниот проблем го прави лесен или тежок. Треба да ги разберете (воочите) недостатоците од учење на клучните зборови место да им помагате на учениците да го разберат проблемот.

4.1. ИСТРАЖУВАЊЕ НА ТЕКСТУАЛНИТЕ ПРОБЛЕМИ

4.1.1. Проблеми и изведба Универзитетот во Чикаго има преведено 40 странски математички текстови меѓу кои и руските учебници од 1 до 3 одделение. Руските деца почнуваат со 1 одделение на 7-годишна возраст. Ова ја одразува нивната филозофија за тоа кога децата се доволно зрели и подготвени да започнат со школувањето.

Aргументи што може да бидат корисни за колегите или луѓето кои сметаат дека аритметиката треба да се учи само со броеви:

а. Со приказните, децата можат всушност да го искажат она што се случува. б. Контекстот на приказната им дава значење на бројките и операциите.

г. Приказните на учениците им овозможуваат да го користат своето интуитивно знаење. д. Контекстот на учениците им помага да визуелизираат. ѓ. Мотивација за ангажирање и на најмалку заинтересираните ученици. е. Начинот на употреба на приказните на часот по математика што би можел да им помогне повеќе да го научат македонскиот јазик, доколку биде одвоено време за читање на проблемите и потврда дека сите го разбираат нивното значење. Ќе резимираме со направените истражувања на контекстот.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Класификација на проблеми и текстуални задачи

в. Земјите со високи достигнувања предаваат дури и за комбинациите од едноцифрени броеви преку нивно поставување во контекст наместо да бараат од учениците едноставно да ги меморираат.

153 81

9

173

5 24

153 82

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

Употреба на ситуации со проблеми ...инструкциите треба да се развиваат од проблемските ситуации. Сè додека ситуациите се познати, концептите се креираат од предметите, настаните и односите во кои операциите и стратегиите се добро разбрани.

NCTM Standards

Текстуални задачи и интуиции Употребата на проблемски ситуации обезбедува патека за учениците во примената на нивните интуиции, во нивното разбирање дека постојат повеќекратни валидни стратегии за решавање на проблемите, како и заради согледување на она што вистински се случува во операциите.

Chester & Lester; Good, Grouws & Ebmeier, Wheatley

Познатите ситуации ѝ даваат значење на математиката и им помагаат на учениците да го визуелизираат она што се случува во операцијата и решението. Доколку се разбере концептот зад формулата, ученикот кој ја заборава формулата сè уште има почетна точка за размислување за проблемот. Доколку ситуациите се соодветно избрани, учениците може да започнат со поврзувањето на „школската математика“ и „реалната математика“. Еден тим истражувачи утврди голема разлика во способноста на луѓето да решаваат проблеми во зависност од контекстот. Кај секој од контекстите, проблемот главно беше ист.

Основни упатства за ситуациските проблеми Стапка на успех со претставените ситуации: ``Во работна средина

98.2%.

``Во контекст

73.7%.

``Без контекст

36.8%.

Schliemann & Magalhaes, Proportional Reasoning: From shopping to kitchens, laboratories, and hopefully, schools

Студијата на готвачите (Schliemann & Magalhaes, Пропорционално размислување: Од купување до кујни, лаборатории и по можност, училишта) јасно го поддржува изборот на познати контексти за учениците за математичките модели. Беше заклучено дека доколку одберете прво контекст кој е добро познат за оние што решаваат, истото ќе помогне во трансферот во другите ситуации. Студијата Како луѓето учат (How People Learn) понатаму ја подржува идејата дека вербалните приказни го промовираат учењето. Тие ја опишуваат општата заблуда дека проблемските ситуации се потешки за учениците отколку обичните равенки. Вербалните проблеми често се решаваат без употреба на равенки. Учениците потоа формираат основа од која градат атмосфера која е помалку застрашувачка. Одреден број истражувачи дојдоа до истиот заклучок.

153 83

Поврзување со знаењето од животот ...знаењето од реалниот живот им овозможува на учениците да решаваат проблеми во познати контексти. Ваквите контексти ќе им помогнат на учениците во изнесувањето на нивното мислење и развојот на разбирање. „Потребно е да се разбира во повеќе од еден контекст“.

Nancy Mack 1993

Контекст и трансфер Знаењето кое се учи во само еден контекст е помалку веројатно дека ќе го поддржи трансферот на знаењето отколку знаењето што се учи во повеќе различни контексти How People Learn: Brain, Mind, Experience and School National Research Council, 1998

Уште една причина за поставување на знаењето во ситуации е дека тие се полесни за запомнување отколку правилата и формулите и може да се реконструираат. Тоа значи: кога правилата се одамна заборавени, ситуациите може да се реконструираат и употребат. Меѓутоа, истражувачите предупредуваат дека не можете едноставно да поставите една ситуација и да помислите дека учениците ја разбираат. Учениците мора да видат концепт со мноштво контексти. Покрај тоа, таквите контексти треба да имаат смисла и да не предизвикаат размислување кај учениците дека „ова никогаш вака не би се случило“ или да бидат поставени на начин на кој учениците може да го решат, а притоа воопшто да не се приближат до математиката која треба да ја научат или вежбаат.

Добро е да се размислува околу видовите на математика кои се користат во вообичаени прилики (одмори, родендени, купување, итн.) кои може да се основа на креирање на математички проблеми. Притоа пожелно е да се води листа на идеи и да се обидете таа да е реална. Проблемските ситуации се моќно средство за учење на математиката, но мора да се истакне уште еднаш дека целта е да се започне со она што е познато и постепено да им се овозможи на учениците да ја применуваат математиката во широк опсег на ситуации.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Класификација на проблеми и текстуални задачи

4.1.2. Настани за креирање проблеми

24

9

173

5 24

153 84

4.2. КЛАСИФИКАЦИЈА НА ПРОБЛЕМИТЕ

24

6 8

10 1

1

9 7 3 5 264 Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

4.2.1. Класификации Менувачки проблеми.

Се сметаат оние во кои иницијалната количина е зголемена или намалена и има потсетување дека има акција за промена на оригиналната количина. На пример, лизгање на децата по лизгалка едноставно не е менување на количината. Значи кај овие менувачки проблеми првичната количина е зголемена или намалена. Има акција за промена на количината.

Пример: 1. Колку парчиња слатки има сега Сем? Имаше 11 и 3 ѝ даде на Саманта.

2. Таванда има 7 убави шноли. Мајка и ѝ даде уште 5. Колку има сега?

3. Комбинирачки проблеми. Количините на овие проблеми се статички и не се менуваат. Множествата или групите од субјекти се комбинирани обично со ново име (машки и женски), но идентитетот на секој субјект се задржува. Непроменливи групи се комбинирани во група која се нарекува поинаку (на пр. момчињата и девојчињата се нарекуваат деца), но секоја подгрупа го задржува идентитетот.

Пример: 1. Во паркот си играа неколку деца. Од нив 8 беа девојчиња и 6 момчиња. Колку деца си играа во паркот?

2. Една третина од овошјето се јаболка; една четвртина круши; една шестина портокали. Преостанатото овошје се банани. Колку од овошјето се банани?

3. Споредувачки проблеми. Како што кажува името, во споредувачките проблеми две множества едноставно се споредуваат за да се открие колку повеќе или помалку има едното од другото. Ниедно множество не се менува. Количините во овие проблеми се статични, што значи дека тие се од типот: идентификувај ги двете количини или мерења кои се споредуваат во секој проблем.

153 85

Кај споредувачките проблеми двете групи се едноставно споредувани за да се открие колку повеќе или помалку има едната група. Ниедна група не се менува. Овие проблеми се статични.

Пример: 1. Колку повеќе значки освои Трен од Алиса? Алиса освои 5 а Трен 8.

2. Сенди има 8 книги. Колку книги има Кети ако има 7 повеќе од него?

3. Изедначувачки проблеми. Овие се како споредувачките само што акцијата се случува или сугерира за да се изедначат количините. Идентификувај две множества и именувај ја (определи) акцијата за нивно изедначување.

Пример: 1. Сара набра 8 цвета, а Џени 14. Уште колку цвета треба Сара да собере за да има колку Џени?

2. Колку страници треба да прочита Сенди за да ја заврши книгата? Прочитал 142, а книгата има 178 страници.

3. Сара заработила 127 денари за екскурзија, а потребни ѝ се 250. Уште колку денари ѝ требаат за да има доволно за пат? Значи имаме: Статично

Промена – покачување или намалување на првичната сума

Комбинира – две различни нешта се комбинираат под еден чадор,

беше, сега е…

секој го задржува идентитетот.

Изедначува – ќе се направи нешто за да се изедначат количините,

Споредува – две количини; колку повеќе или помалку?

некој ќе направи нешто.

Само кажи ми ја разликата.

Прблемите се градат врз искуството на учениците, користејќи применливост. Но, обемот на порблемот може да се прошири, постепено ослободувајќи се од зависноста од секојдневни ситуации и додавање на хипотетички ситуации. Малку текстови содржат проблеми од сите видови. Кога учениците ќе разберат што всушност се случува во проблемите и можат да визуелизираат, тие имаат подобра шанса да ги решат.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Класификација на проблеми и текстуални задачи

Акција

24

9

173

5 24

153 86

4.3. ТЕЖИНА НА П РОБЛЕМОТ

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

Голем број ученици се соочуваат со многу потешкотии при решавањето на текстуалните проблеми. Потешкотијата за која тука станува збор е поврзана само со начинот на кој е напишан проблемот. Потешкотиите со проблемот може да се гледаат и од друг аспект – когнитивното ниво на задачата за ученикот. Ова прашање, заедно со прашањето за проблемите од повисоко и пониско ниво, ќе биде разгледано во делот за планирање на наставата. Проблемите во кои активноста бара додавање на количество или одземање од количество се најлесни. Проблемите во кои децата треба да споредуваат за колку повеќе или помалку се најтешки. Проблемите се исто така полесни кога недостасува резултатот или крајот на приказната, а најтешки кога недостасуваат информациите со кои започнува приказната. (Пример: Хозе му даде на Мајкл 7 џамлии. Му останаа 8. Колку имал на почетокот?) Истражувачите, исто така, утврдија дека проблемите се тешки доколку јазикот е во конфликт со традиционалните „клучни зборови“. Еве пример за конфликтен јазик: Џорџ собрал 26 сјајни камчиња што е за 8 повеќе од Колин. Колку сјајни камчиња собрала Колин? Зборот „повеќе“ може да ве насочи да ги соберете двата броја. „Повеќе“ обично значи собирање. Но, Колин има помалку камчиња од Џорџ. Тука со собирањето на двата дадени броја би довело до неточен одговор (иако, доколку ученикот ги стави на страна оние 8 што ги имал Џорџ, а потоа брои до 26, би можел да дојде до одговорот). За јазикот ќе зборуваме повеќе кога ќе дискутираме за начинот на пристап во текстуалните проблеми. Доколку учениците поминуваат на нова низа броеви или операции, употребете познати видови ситуации. Доколку ситуациите се нови, употребете познати броеви. Водете ги децата на постепен начин. Особено е важно наставниците да разберат дека ситуациите се средство со кое им се помага на учениците да ги разберат броевите и операциите, како и за целите на разбирање на математиката во светот што ги опкружува. Покрај тоа, изградете посложени ситуации каде учениците мора да користат повеќе од еден концепт или вештина. Учењето од вакви основи на крајот би требало на учениците да им овозможи да можат да работат со броевите и операциите без контекст само со употреба на броевите.

153 87

4.4. КРЕИРАЊЕ НА ПРОБЛЕМИ ОД УЧЕНИЦИТЕ

24

Учениците и самите можат да креираат проблеми. Често тие креираат проблеми што се потешки од оние во учебниците. Но, со оглед на тоа што учениците ги креирале, постои мотивација за нивно решавање. Пишувањето проблеми им помага на учениците да научат да обрнуваат внимание на прашањата и на начинот на поставување на информациите во проблемите. Одредени стратегии со кои учениците ќе ги наведете да креираат проблемски ситуации: 1. Дадете текстуален проблем без прашање и побарајте од учениците да направат прашања за него.

2. Дадете два броја и побарајте од учениците да измислат приказни со тие броеви.

3. Дадете равенка и побарајте од учениците да креираат приказна која соодветствува со равенката. Ова е особено добра проверка на разбирањето на учениците на операциите, како и дали можат да ги поврзат со животот.

4. Покажете им слика и побарајте од учениците да креираат проблеми за ситуацијата.

5. Покажете графикон и побарајте од учениците да креираат: 2) приказна која графиконот може да ја илустрира.

6. Побарајте од учениците да создадат математички проблеми, кога е соодветно во врска со содржините од други наставни предмети. Учениците, исто така, може да се поттикнат да прашуваат дали има дополнителни прашања што може да се постават за одредена ситуација.

10 9 7 3 5 264

1

810

Класификација на проблеми и текстуални задачи

1) проблемска ситуација соодветна на графиконот; или

6 8

9

173

5 24

153 88

4.5. ПРИСТАПУВАЊЕ КОН ТЕКСТУАЛНИ ПРОБЛЕМИ

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

4.5.1. Од каде да се почне Kако учениците обично им пристапуваат на текстуалните проблеми? Што забележуваат најпрво во еден текстуален проблем? ``Голем број ученици ги бараат само клучните зборови. ``Повеќето од нив сакаат да им се каже која операција да ја користат. ``Мал број се обидуваат да ја разберат ситуацијата или условите. ``Многумина едноставно само ги избираат броевите и одлучуваат што да прават со нив само преку гледање на броевите, а не на приказната. Зошто ова се случува? Делумно бидејќи ние ги програмираме учениците да мислат дека идејата на математиката е да се дојде до одговорот. Истражувачите информираат дека три од четири ученици ќе дадат нумерички одговор на овој проблем: Во стадото има 125 овци и 5 кучиња. Колку години има овчарот. Транскриптот на детето што го решава проблемот го открива видот на погрешниот пристап кон текстуалните проблеми на голем број деца: 125 + 5 = 130... премногу, 125–5 е 120, сè уште премногу, ... додека 125/5 = 25. Ова е во ред! Мислам дека овчарот има 25 години. Ова е добар пример за начинот на мислење што децата го развиваат кога бараат пократок пат за решавање и започнуваат да извлекуваат броеви и понекогаш бараат еден збор без притоа да разберат што се кажува во проблемот. Тоа е резултат од тоа што не се започнува рано со учењето да се разбираат проблемите, а им се даваат брзи начини да оперираат.

153 89

4.5.2. Стратегија со клучни зборови Ќе се навратиме на прашањето со клучните зборови. Истражувањето покажа дека барањето клучни зборови со кои се индицира начинот за решавање на проблемот често е пречка во разбирањето на проблемот. Когнитивна и технолошка група при Вандербилт

Историски гледано, постоеше силен фокус на барањето клучни зборови со кои се индицира која операција треба да се корисит за решавање на текстуалните проблеми. Како резултат на тоа учениците дури не го ни читаат целосно проблемот. Истражувачите утврдија дека фокусирањето на „клучните зборови“ може всушност да создаде пречки во решавањето проблеми. Учениците почнуваат да ги бараат само овие зборови наместо да се концентрираат на разбирањето на проблемската ситуација1. Може да се истакне дека голем број наставници ја користат оваа стратегија бидејќи велат дека учениците не читаат добро. Според нашето мислење, наставниците по математика треба да им помогнат на учениците да ја развијат нивната способност за читање на проблемите. Доколку ова стане дел од секојдневните часови, тие можат да придонесат кон развивањето на читањето на учениците.

Погрешни „клучни зборови“ Луис и Џејми. „Помалку“ се смета за знак за одземање. Што тука би се одземало за да се дојде до точен одговор? (35+5 е она што Џејми прво имала; сега има 40+10).

2. Џорџ собрал 26 сјајни камчиња, што е за 8 повеќе од Ланита. Колку собрала Ланита?

Камчињата на Џорџ. „Повеќе“ е знак за собирање. Но, освен доколку не додавате од 8 до 26, наместо овие броеви да ги соберете, нема да дојдете до точниот одговор.

3. Луис има за 38 повеќе коцки од Марша. Луис има 98. Колку има Марша?

Зборот „повеќе“ обично укажува на собирање и ученикот погрешно се насочува.

4. Училиштето сака да ги подели донираните маркери подеднакво на 27 одделенија. Колку биле донирани? Има 12 кутии со 36 маркери во секоја кутија.

Донирани маркери. „Подеднаква поделба“ обично значи делење.

5. Еди има 78 парички во неговата банка. Ова е за 25 парички помалку од Џеф. Колку парички има Џеф?

Банка за парички. „Помалку“ обично значи одземање.

6. Мариса има крофни кои подеднакво ќе ги подели меѓу неа и нејзините 3 пријатели. Таа купила 3 пакети со по 6 крофни во секој пакет.

Мариса. „Подеднаква поделба“ обично значи делење. Решението бара множење.

1 Ресник и Фусон.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Класификација на проблеми и текстуални задачи

1. Луис имаше за 5 карти помалку од Џејми пред Џејми да добие 10 карти од Луис. Доколку Луис на почетокот имал 35 карти, колку карти има Џејми сега?

24

9

173

5 24

153 90

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Класификација на проблеми и текстуални задачи

810 9

173

5 24

4.5.3. Разбирање на ситуацијата Потребно е да се разбере значењето на текстуалните проблеми. Успешните решавачи на проблеми обрнуваат внимание на семантиката на проблемот. Значајно е што многу ученици обрнуваат внимание на семантиката при решавањето на проблеми и потребно е неколку години на училиште пред да почнат да се фокусираат на суштинските аспекти на проблемот.

Thomas Carpenter in Teaching & Learning Mathematical Problem Solving

Примери на прашања што им помагаат на учениците да ја разберат ситуацијата: ``За што е проблемот? ``Кое прашање мора да го одговориме? ``Кои информации што ги имаме ќе ни помогнат да дојдеме до одговорот? ``Дали треба да користиме дополнителни информации? Употребете ги соодветните информации за решавање на проблемот. Визуелизирајте ја ситуацијата! Избегнувајте „клучни зборови“. Тоа значи дака учениците може да ги изразат ситуациите, може да манипулираат со конкретни модели и да визуализираат и/или да креираат сликовити или графички преставувања. За да има интеграција на процеси, моделирањето треба да биде придружено од вербално објаснување и потребни се поврзувања помеѓу ситуациските и математичките симболи. На овој начин ќе се изгради самосвесноста на учениците или метасознанието за методите што ги користат, што е клучно за учењето на ниво што овозможува трансфер во нови ситуации. Исто така, ова помага во решавањето на мноштво проблеми, без разлика на тоа кои зборови се користени во проблемите.

551

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 91

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

Многубројни стратегии

173 9 5 1 24 73

МНОГУБРОЈНИ СТРАТЕГИИ

5 2 4 6 8

153 92

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

Цели на поглавјето: Да може да се идентификува примената на десетте принципи во актуелна ситуација во училница. Да се идентификуваат и применуваат разновидни начини за решавање проблеми од собирање. Да се разбере математичкото знаење што го изразуваат разните начини на решавање на проблеми. Да се сфати разликата меѓу мисловните и писмените математички начини на решавање на проблеми. Да се разбере и да се престават проблемите со модели со прачки.

153 93

5.1. РАЗГЛЕДУВАЊЕ НА ИСТРАЖУВАЊЕТО ЗА МНОГУБРОЈНИ НАЧИНИ ЗА РЕШАВАЊЕ НА МАТЕМАТИЧКИ ПРОБЛЕМИ

5.1.1. Како учениците решавале? Во практика повеќе математичари секогаш не ги користат истите начини за решавање на ист проблем. Кога им била дадена задача од проценување, 35 математичари користеле 22 различни начини на проценување! Кога учениците ги знаат традиционалните алгоритми и нивните начини на решавање, тогаш тие се попрецизни во користењето на своите начини на решавање. Математика со размислување претпоставува дека тоа се случува бидејќи начините на решавање, кои тие ги употребуваат, за нив имаат повеќе смисла.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

153 94

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

На колку начини можат да се решат следните задачи?

1. Колку налепници имаат двете деца, ако Тереза има 168, а Хуан има 144.

2. 161 третоодделенец требало да ја гледаат претставата „Шпионот Хариет“. Уште колку деца треба да дојдат, ако 125 се веќе седнати?

А. Броење до... во собирање Пример: 168 + 144. Ученикот може да почне да брои 144, почнувајќи од поголемиот број. Операцијата ја извршува со користење на мисловен начин на решавање, почнувајќи од лево, додава 100 за да добие 268. Ја зело следната најголема месна вредност на цифрата во дадениот број 144 и броело по десет (278, 288, 298, 308) до 308 и на крај броело (309, 310, 311, 312) уште 4 единици. Ученикот во својот мисловен процес следи тек така што го разложува бројот 144 и покажува разбирање за месната вредност на цифрите во дадениот број.

A. Броење до... во одземање Пример: 161 – 125. Ученикот може да брои од 125 до 161. Тоа го разбира одземањето како спротивна операција на собирањето (дури и ако не може да го каже со зборови тој однос) и го бара вториот собирок. Ученикот брои по десет (135, 145, 155) до 155 (тоа е 30) и сфаќа дека уште една десетка би било повеќе од 161. Тогаш тоа брои по пет и добива 160 (тоа е 35) и на крајот додава уште еден и добива 161 (тоа е 36).

Б. Разложување на двата собироци на месна вредност на цифрите Пример: 168 + 144. Ученикот ги разложува двата собироци според месната вредност на цифрите. Ученикот кој сè уште не може мисловно да дополни 100 со 40 би ги разложил двата собироци одделно.

168 + 144 100 + 100 = 200 60 + 40 = 100 8 + 4 = 12 200 + 100 + 12 = 312

153 95

B. Направи 10 или производ во кој едниот множител е 10 Пример: 161 – 125. Ученикот ако има добро развиено рабирање за месна вредност на цифрите во даден број може да размислува вака: „16 десетки минус 12 десетки остануваат 4 десетки.

4 десетки се 40 единици. Сега извади 40–5. Тоа е 35“. На крај, знаејќи дека ништо не направил со „1“ ја додава на 35. Во основа тој ги користел операциите одземање, собирање, како и добро развиеното разбирање за разложување на броевите.

16 Д – 12 Д = 4 Д 40 – 5 = 35 35 + 1 = 36 повеќе деца. Тука се гледа причината зошто Математика со размислување го одбира т.н. хоризонтален модел на запишување. Причината за ова е бидејќи истражувачите открија дека главниот виновник зад најчестите грешки е тоа што учениците мислат одделно на секоја цифра, отколку на целиот број како на количина. Хоризонталното забележување ги истакнува броевите и исто така нуди искуство со хоризонтално решавање на проблеми во алгебра.

В. Правење на 10-ки или производ во кој едниот множител е 10 Пример: 168 + 144. Еден добар начин на собирање е дополнување до 100 на едниот собирок и тој помага при правењето на производи со 10 од поголеми броеви. Притоа, важно е да се знае кој број го надополнува 168 до 200.

168 + 144 168 + 32 + 112 (Замени го144 као збир од 32 плус „остатокот“ до 144 за да може со собирање на 168 со 32 да се добие 200).

200 + 112 = 312 (Веќе имаме лесен збир во кој единствено при собирање се менува вредноста на 100ките).

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

Овој начин на собирање станува покомплициран со поголеми броеви ако е потешко запишувањето на секој собирок како збир од два собироци од кој едниот од тие собироци треба да го дополни до полна стотка, собирокот кој не го запишавме како збир од собироци (на пр. 168+119). Во овој случај, подобар избор е еден друг начин на решавање. Учениците треба да научат дека различните начини на решавање различно одговараат на различни броеви. Ова е дел од стратешкото размислување.

24

5 24

153 96

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

Д. 161–125. Додавање до Пример: 125 + ? = 161 125 + 25 = 150 (лесно за децата кои ги познаваат парите) 150 + 10 = 160 160 + 1 = 161 25 + 10 + 1 = 36 деца недостигаат. Овој начин на решавање користи броеви кои детето лесно може да ги собере. Тоа го разбира спротивниот однос меѓу операциите собирање и одземање.

Ѓ. Собирање со компензација Пример: 168 + 144. Користењето на компензацијата сигнализира цврсто разбирање за тоа каков е односот меѓу броевите и како да се зачува одреден број за време на одредена операција. Овде се вклучува и размислувањето, како и знаењето дека можат да се променат броевите за да може со нив полесно да се работи сè додека на крајот „го направите сето точно“. Овие ученици знаат што сакаат да постигнат и како да го направат.

168 + 144 168 + 150 = 318 318 – 6 = 312 „повеќе е додадено, затоа сега мора да се одземе 6“.

Е. Одземање со компензација Пример: 161 – 125. Компензацијата е лесен и ефикасен начин за ова одземање.

161 – 125 161 – 130 = 31 31 + 5 = 36

Ова е лесно ако многу се вежба мисловно. Повеќе е одземено, мора исто толку да се врати.

Пософистицирана варијација на користењето на комбинациите при компензација е да се искомбинира дополнувањето на намаленикот и намалителот пред да се одземе, за задачата да стане 166–130. Трето ниво на разбирање на комбинациите при компензација е да се научи дека може да се одржи истиот однос меѓу броевите и да се дојде до точниот резултат така што ќе им се додаде ист број на намаленикот и намалителот во задача со одземање за да бидат

153 97

броевите полесни за одземање или пак за да се одбегне прегрупирањето. Ова разбирање треба да се развие со користење на манипулативни средства и видови на претставувања на проблемски ситуации кои ќе ги поттикнува учениците да истражуваат што ќе се случи. Програмата Математика со размислување препорачува периодично да се бара од учениците да ја претстават задачата за време на меѓусебното споделување на решенијата, па дури и кога единствено можат да работат само со броеви. Исто така, да се прашаат како можат да ги користат конкретните претставувања за да го демонстрираат своето размислување.

5.1.2. Најчести грешки при решавање на задачи Децата често прават грешки кога пресметуваат. Кога децата не можат да продолжат понатаму, бидејќи се соочуваат со препрека која не им дозволува да продолжат на начинот кој тие го познаваат, тогаш тие се обидуваат да го „поправат“ својот начин на решавање. Но нивните „поправки“ резултираат со грешки. Подолу се дадени задачи со „чести грешки“ од децата.

Пример: Како детето раз-мислувало? (а)

(б)

(в)

1 46 +7 43

46 -17 31 3 40 6 - 189 227 1

Собирање со премин без додавање во десетката добиена со собирање на единиците. Овде можете да ја видите следната постапка: ученикот ги собира единиците 6Е+7Е=13Е=1Д+3Е, запишува 3 единици, 1 десетка ја запишува над 4 десетки, но не ја собрал со 4-те десетки.

Одземање „наопаку“ бидејќи ученикот знае дека не може да се одземе поголем број од помал број.

Одземање со премин кога се прескокнува местото на нулата бидејќи нема што од таму да се „позајми“. Па така ученикот „позајмил“ 1 од цифрата на стотки и ја искористил како 10 десетки и како 10 единици.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

(г)

46 +7 413

Пишување на двоцифрен делумен збир без да се регрупира. Овде ученикот точно ги собрал цифрите на единици, но не ја „префрлил“ десетката во соодветната позиција (4Д+1Д=5Д).

24

5 24

153 98

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

(д) 9

4 016 -189 317 (ѓ)

409 - 187 302

Одземање со премин кога е „позајмено од нулата како да е десетка“. Во овoј случај ученикот се сеќава дека нулата станува 9 без какво било разбирање.

Пишување на нула за промена. Нула минус осум е нула. Не може нешто да ви преостане!

5.1.3. Интервенција Како да се намалат овие чести грешки не е толку истражувано колку што е истражувано нивното препознавање. Она што можеме да го направиме е да црпиме од она што знаеме како децата учат математика, а потоа да се обидеме да ги спречиме грешките.

Прашања во врска со најчестите грешки 1. Дали можат да помогнат претставувањата? Ако можат, како ќе направите поврзување од конкретното до апстрактното? Како да се одржи врската јака?

2. Која е улогата на прашањата? Како да се потенцира она што учениците го добиваат од прашањата (дискусијата)?

3. Кое е размислувањето во врска со тоа колку слободниот избор на дополнувањето на местото на нулата може да придонесе да се занемарува местото со нулата? Кое размислување може да доведе до тоа? На пр. одземање од 100? Одземање од 203? Или oдземање од 2103? ``Одземање од 100. 1 стотка е иста како 9 десетки плус 10. ``Одземање од 203. 203 е исто како 19 десетки, 1 десетка и 3 единици. ``Одземање од 2103. Но за 2103 можеби ќе требаат две дополнувања на местото на нулата: 20 стотки, 10 десетки и 3 единици, сепак ни останува нула на местото на стотките. Можеме ли ова да го одбегнеме? Овој пример нè предупредува дека истата постапка не е секогаш и најлесната во сите ситуации. Само ако учениците се „наоружаат“ со одреден број начини на решавање, тоа ќе им помогне на наставниците да изнајдат едeн, кој ќе има смисла за ученикот кој ги прави овие грешки.

153 99

5.2. РАЗЛИЧНИ НАЧИНИ ЗА РЕШАВАЊЕ КОИ ВОДАТ КОН ТОЧНИ РЕШЕНИЈА 5.2.1. Негативни броеви Место начините на решавање со прегрупирање или регрупирање, при решавање на задачите може да се користат и негативни броеви како начин на решавање на задачите. Затоа е добро да се разгледаат придобивките од овој начин на решавање и како тој да им се предава на учениците како друг начин на решавање: а. Негативните броеви се поедноставни за запишување хоризонтално отколку прегрупирањето. б. Некои третоодделенци беа поуспешни во користењето на негативните броеви отколку со прегрупирањето или регрупирањето. Многумина од нив употребија негативни броеви како начин на решавање, кој го претпочитаат. в. Негативните броеви можат да се пренесат на бројна права која продолжува лево од нулата. г. Предупредување! Овој начин на решавање не се изведува директно со манипулативни средства и други видови на претставување на проблемите. (Но можете по завршувањето, операцијата да ја илустрирате со манипулативни средства). д. Еден начин да им се претстави употребата на негативни броеви се заснова на позајмувањето и на враќањето на пари. Другите концепти кои можат да се употребат се температура (над и под нула) и згради кои се изградени со неколку катови под земја.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

153 100

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

Пример: Воведување на негативните броеви за време на лекцијата. Побарајте од учениците да одземат 48 од 95. Учениците започнуваат со одземање на десетките, а потоа ги одземаат единиците.

95–48 90–40=50 (одземање десетки) 5–8= (одземање единици) а. Што може да се направи? Ако никој не се сети на негативните броеви, наставникот оди до одреден ученик и вели: „Да речеме ми должиш осум денари. Еден ден те гледам и си ги барам парите, но ти имаш само пет денари. Што би направил?“ „Знам дека немаш осум денари, но гледам дека имаш пет. Ќе ги земам тие пет денари како делумна исплата“. Наставникот ги прашува учениците од одделението: „Целосно ли ми ги врати парите?“ Не!! „Уште колку ми должи?“ Три денари. б. Наставникот сега размислува како оваа сцена според која „делумно плаќате, но сè уште должите дел“ може писмено да се прикаже. Дали можете да се сетите на математички симбол кој прикажува дека ќе земете повеќе од неа? ( Децата можеби ќе го споменат знакот за минус доколку имаат сфаќања пред да добијат формално поучување за негативни броеви. Ако тоа не се случи, наставникот може да го напише и да праша дали ова би било во ред.) в. 95 – 48 90 – 40 = 50 5–8=–3 Наставникот укажува на она што преостанува кога ќе се одземат десетките 90 – 40 = 50. Тогаш наставникот ќе го сврти вниманието кон минусот пред 3 или негативниот број –3, „сè уште не сме одземале сè што ни треба. Мораме да одземеме уште 3“.

50 – 3 = 47 г. Може да се измисли серијал на примери со едноцифрени броеви за да се вежба негативното запишување. Притоа, добро е учениците да објаснат секој пат зошто го користат знакот за минус.

4–9=?

6–8=? д. Пред да се употреби овој концепт во задачи со поголеми броеви, треба да се дадат вежби со овој концепт со поголеми броеви кои се полни десетки или стотки (на пример, 50 – 80 = –30, 100 – 200 = –100).

153 101

5.2.2. Компензација Објаснувањето за математичкиот концепт со компензација најчесто е поврзан со алгебра.

Пример: Како би собрале напамет 371 и 199?. a. Еден од можните начини е да се додаде 200. Но, тогаш за да биде точно мора да се одземе еден (за да се компензира за таа дополнителна единица која е додадена). Зошто ученикот употребил 200? (Сигурно затоа што тоа е најлесно за додавање). б. Учениците, исто така, можат да го употребат овој начин на решавање со помали броеви.

67 + 49 = ??

``Зошто собирањето со полни десетки е полесно? ``Зошто се додава еден на вториот собирок? ``Зошто се одзема еден на добиениот збир? ``Како да знаеме кога да собираме, а кога да одземаме од добиената бројна вредност? ``Зошто може да се запише 67 + 49 како 66 + 50 и да се добие точен одговор?

Пример: Дадена е задача која го илустрира компензирањето со други броеви различни од 1. Некои ученици ќе го откријат ова или самите ќе го пренесат концептот, а на други ќе им биде потребен експлицитен вовед.

48 + 27

50 + 27 = 77

77 – 2 = 75

При компензација со одземање, концептот е ист како и за собирање. Бројот се прави полесен за одземање. Се менува со додавање или одземање за да се дополни до полна десетка, стотка... Ако се додаде на намалителот, тогаш треба исто толку да се додаде на добиената бројна вредност, бидејќи повеќе е одземено. Ако се одземе од намаленикот, ќе мора исто толку да се одземе од добиената бројна вредност, бидејќи помалку сме одзеле. На пример: Б.

71 – 22 71 – 20 = 51 помалку е одземено. Сега ќе одземеме од добиената бројна вредност исто колку што помалку сме одзеле: 51 – 2 = 49

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

А.

71 71 – 29 71 – 30 = 41 повеќе е одземено, па затоа го враќаме: 41+ 1 = 42

24

5 24

153 102

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

Вежби за компензација Кои прашања ќе им ги поставите на учениците? (Што воочувате? Можете ли да се сетите на едноставен начин за да додадете 9, 99, 999? Дали мислите дека ова секогаш функционира?)

13 + 9 =

23+ 9 =

135- 99 =

436+ 999=

13 + 10 =

23 +10=

135 + 100=

436+1000=

13 + 10-1=

23+ 10–1=

135 + 100-1=

436+1000-1=

Компензацијата може, исто така, да се употреби за да се добие лесен број од кој ќе се одзема (намаленик).

71 – 29

79 – 29 = 50 се додава 8 на намаленикот

50 – 8 = 42 од добиената бројна вредност (42) се одземаат тие 8 што се додадени

Обидете се да ги натерате учениците да размислуваат за тоа што прават за да ги направат броевите „попријателски“, а на крајот кажаното треба да го променат. Додадете повеќе за да го направите полесно – на крајот одземете ги. Одземете повеќе отколку што треба – на крај вратете ги.

Пример: 81 – 17

81 – 20 = 61

61 + 3 = 64

153 103

5.3. МИСЛОВНА МАТЕМАТИКА И РАЗЛИЧНИ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ

5.3.1. Карактеристики Пример: При едно истражување беше побарано да се реши задача без молив и хартија (или калкулатор), (на пр. 398+177). Кои начини на решавање биле искористени? Многумина го замислиле алгоритамот со молив и хартија? Истражувањата покажуваат дека луѓето пресметуваат мисловно на различен начин, за разлика од тоа кога користат молив и хартија. Тие ги разложуваат броевите на едноставни делови и вообичаено работат од лево кон десно. Истражувачите (Ресник, Фусон) воочиле дека една причина за честите грешки на децата со алгоритмите е нивниот неуспех да ги согледаат вредностите кои ги претставуваат броевите. Тие размислуваат за нив само како за поединечни цифри. Оваа појава е зацврстена од јазикот кој се користи со традиционалните алгоритми: „пишуваме 3 и 1 го пренесуваме“; „колку пати се содржи 3 во 12?“ Така тие немаат разбирање за тоа дали нивните одговори имаат смисла. Поради оваа причина програмата Математика со размислување го препорачува хоризонталното запишување кога децата учат собирање, одземање и множење.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

Учениците кои во 5–8 одделение пристигнуваат со недостатоци во основните операции, можеби би биле подобри со еден нов начин да се концептуализираат броевите и операциите, односно со хоризонталното запишување кое изгледа како алгебра и на него може да се гледа како на подготовка за неа.

347 – 294 300 – 200 = 100 40 – 90 = – 50 7–4=3 100 – 50 + 3 = 53 Како користењето на различните начини на решавање, кои ги дискутираат и користат децата од 1 до 4 одделение, можат да бидат од помош кога учениците ќе изучуваат алгебра?

24

5 24

153 104

24

6 8

Користењето на различните начини на решавање на проблемите доведува до: 1. Поврзување со разложување на бројот на месни вредности на цифрите.

2. Истакнување на комутативниот закон, асоцијативниот закон и дистрибутивниот закон.

3. Употреба на големи загради и знаци.

Пример: Изјава на Броди, петтоодделенeц од Минесота, кога го објаснува својот начин на решавање: „Знам дека ова изгледа долго и одзема одредено време за да се реши, но кога ќе го направам на овој начин, одговорот никогаш не е погрешен!“ Тој употребува повеќе чекори при множење.

10 9 7 3 5 264 1

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

192 x 39 100x30 = 3000 100 x 9 = 900 90 x 30 = 2700 90 x 9 = 810 2 x 30 = 60 2x9= 18 7 488

Дали е поважно да се биде брз со пресметувањето или да се биде точен? Што ќе им биде од поголема корист на младите луѓе во светот?

5.3.2. Мисловно пресметување 10 и полни десетки

Претходно зборувавме како да им се помогне на учениците да ја разберат важноста на 10 и да ги знаат комбинациите со 10. Сега ќе го разгледаме користењето на 10 при зголемување за 10 во врска со мисловното пресметување. Табелата со 100 е добра алатка за изучување на мисловното собирање или одземање со 10 или полни десетки. Разгледајте го следното сценарио: А. Се користи табела со стотки. Даден е еден начин на кој табелата може да им помогне на учениците мисловно да пресметуваат. Од учениците ќе се побара да кажат еден број, на пример 28. Тогаш може да се побара од нив да избројат уште 10 и да кажат каде се во табелата. Тие се на 38. `` Наставникот запишува равенство на таблата додека им кажува на учениците дека:

28 + 10 = 38.

153 105

`` Наставникот бара од учениците да го запишуваат секое равенство во нивната тетратка, како што тој го пишува на табла. Потоа бројат уште 10 од 38. Тоа равенство го запишува веднаш по последнато:

38 + 10 = 48.

`` Потоа на учениците им вели да тргнат од 48 и да избројат уште 10. Потоа го запишува равенството:

48 + 10 = 58.

Секој пат наставникот ја прави истата постапка на запишување која ја користел за претходниот број. Наскоро учениците ќе престанат да бројат и ќе го знаат одговорот бидејќи ја воочуваат шемата на движење на следниот ред на табелата од сто. Другите ќе воочат дека единствено цифрата во десетките се менува кога наставникот ќе додаде десет. И двете воочувања треба да се направат експлицитни за оние кои сè уште бројат. `` Потоа наставникот прашува: Кој број е за 10 повеќе од 84? 10 повеќе од 156? Наставникот може да ги поттикнува учениците со нешто што е „навистина тешко“. На пр.: Кој број е за 20 повеќе од 145? За 30 повеќе? Б. Откако учениците ќе ги запишат сите равенства, наставникот го насочува вниманието кон таблата или кон листот од тетратката за да ја најдат шемата за додавање на 10 или на полни десетки (на пример, 20, 40, 70) на број без да бројат. `` Овој начин на откривање на шеми и воопштување треба да следи по вежба со додавање на десет и полни десетки на двоцифрени и трицифрени броеви. `` На учениците им треба многу вежбање кога додаваат 10 на најразлични броеви. Тие треба да започнат да додаваат 10 на полни десетки (на пример, 40 + 10, 20 + 10, 70 + 10, итн.) потоа додавање на полни десетки (на пример, 45 + 20) и на крајот додавање на 10 и полни десетки на двоцифрени и трицифрени броеви. `` Истата постапка се користи за одземање. Прво фокусирајте се на 10 и потоа на полни десетки. Ако учениците навистина го разбираат собирањето ќе има некои кои нема да имаат потреба да бројат наназад дури и за првиот пример со одземање. `` Изучувањето на мисловната математика во основните одделенија е првата во серијата на ревидирани книги од Хоуп и Рејз која претставува добра основа за развивање на умствените умеења при пресметувањето.

2 Мисловно пресметување со 100 и полни стотки Ако тие ја разбираат општата шема, тоа го намалува бројот на одделни правила, кои тие мислат дека ќе треба да ги научат напамет. Основниот концепт може да се предаде.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

Прво, со учениците е потребно да се вежба одземање 100 од полни стотки (500 – 100), па потоа од мешани броеви (524 – 100). Потоа одземање стотки од полни стотки и мешани броеви (600 – 300; 478 – 200). Учениците би можеле да направат воопштување од запишаната шема, како што тоа го направија со додавањето на 10-ки.

24

5 24

153 106

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

на математички модели и претставувања 3 Употреба за да се поддржи мисловната визуелизација Различните претставувања го потпомагаат размислувањето за броевите. Досега се фокусиравме на рамки со 10, табела на стотки и други математички модели кои ја вклучуваат вредноста на бројот. Понатаму ќе се фокусираме на цртежи.

153 107

5.4. ЦРТАЊЕ МОДЕЛИ

24

5.4.1. Континуум од цртежи Досега дадената теорија ни кажува како учениците се движат низ нивоата на математичко знаење кои стануваат сè поапстрактни. Ако ги разгледате детските цртежи, кои се чекор подалеку од конкретни претставувања, ќе видите дека тие, исто така, се движат низ нивоа на цртање кои првично отсликуваат конкретни предмети, а понатаму стануваат сè поапстраткни.

1 Јапонски прогрес

а. Самите цртежи започнуваат како цртежи на одредени предмети. Првоодделенците цртаат луѓе или колачиња или автомобили. Потоа тие цртаат предмети кои се поапстрактни. б. Идејата за дел-дел-целина е илустрирана во цртежите на јапонските учебници како начин да им се помогне на учениците да ги визуелизираат ситуациите од проблемите. Иако јазикот кој ги придружува илустрациите11 може да се разликува, илустрацијата на самиот концепт е прилично слична. Според Шигемацу, учениците напредуваат од користењето на конкретни предмети кон илустрации кои со време стануваат поапстрактни. в. Второодделенец21 може да употреби илустрација со прачка која е поделена за да се одреди колку деца се качиле на воз. На пример: Имало 32 деца во возот. Откако се качиле неколку, во возот имало 39. 32+ ? = 39 г. Но, подоцна, цртежите стануваат отсечки со истиот начин на означување на деловите и на целото.

1

2

Шигемацу, К. и Соудер, Л., 1994. Шигемацу, К. и Соудер, Л., 1994.

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

Шигемацу смета дека овие цртежи им помагаат на учениците да го визуелизираат односот меѓу величините, што е многу слично на тоа да разберат што претставуваат броевите за целата величина и кои претставуваат еден или повеќе делови. Мива исто така укажува на важноста на овие дијаграми, како моќни алатки кои им помагаат на учениците да ги откријат односите меѓу броевите во одредена задача.

6 8

5 24

153 108

24

6 8

д. Во четврто одделение цртежите можат да се користат за да ги покажат односите меѓу две величини. Овде измерената вредност од нешто е поврзана со одредена тежина и цртежот им помага на учениците да размислат за тоа.

2 Броеви наспроти односите меѓу броевите

Направете разлика меѓу претставувањето на броевите во одредена задача (употребата на коцките и плочките е многу ефикасна), и претставувањето на односите меѓу броевите во истата задача. Последното всушност може да се употреби во претставување на решението (на пример, работна површина дел-дел-цело и предмети кои можат да се избројат). Броевите прецизно се прикажани. Претставувањата кои ги прикажуваат односите се со намена да го поттикнат размислувањето за целата задача. Некои американски наставници, особено оние кои се фокусирани на прецизноста, се соочуваат со потешкотии со моделите со прачки, бидејќи е потребно време за да се препознава разликата.

10 9 71 3 5 264

1

810 9

Многубројни стратегии

173

5 24

5.4.2. Развојни чекори Сингапурски цртежи со прачки:

Од делумно конкретни до делумно апстрактни Сингапур, исто така, користи модели со прачки или ленти. Сега подробно ќе го разгледаме нивниот развој. Подолу се дадени фазите кои се илустрирани во Прирачникот за наставници по математика во основното образование во Сингапур кој го состави Мрежата на наставници на Сингапур, а го издаде Мајлс Кавендиш во 2003 година.

Пример: Етапа 1

Шели има две мечиња. Мајка ѝ ѝ дава уште едно. Колку мечиња има Шели сега?

Етапа 2

Шели има две мечиња. Мајка ѝ ѝ дава уште едно. Колку мечиња има Шели сега?

Овие дијаграми покажуваат постапна прогресија од цртежи кои отсликуваат конкретни предмети кон источно-азискиот модел со прачки кој може да се користи за комплицирани задачи. Секвенцата е адаптирана од Прирачникот за наставници по математика во основното

153 109

образование. Самите учебници во забелешката за родителите ги охрабруваат да започнат со користење на вакви дијаграми така што нивните деца ќе цртаат вистински предмети без да ги преградуваат. Значи, на почетокот децата само цртаат предмети. Потоа предметите се ставаат во рамки за да се отсликаат собироците и збировите. Втората фаза е можност да се почне да се размислува дека има една група од две мечиња и уште една група од едно мече. Ова ги тера децата да бројат. Размислете за групата со две и избројте уште едно. Ова, исто така, ја отсликува ситуацијата кога детето има две работи кои треба да ги собере.

Етапа 3

Точки заменувааат предмети. Се појавуваат стрелки. Петар набрал три цвета. Ели набрала два цвета. Колку цветови набрале децата

 Третата фаза е голем концептуален чекор. Една точка може да претставува цвеќе или пак мече или лице или што и да одлучиме. Сликите се поапс-трактни, но им помагаат на детето да го пронајде она што му треба. Еве колку цвеќиња и двете деца набрале. Со сите точки е претставено колку цветови набрале двете деца.

Етапа 4

Броеви заменуваат точки Џони има 6 автомобили-играчки. Неговиот брат му дава уште 3 автомобли. Колку автомобили-играчки има Џими сега?

6

3

Четвртата фаза е уште еден поголем чекор во размислувањето на децата. Тие сега можат да замислат 6 предмети без да ги видат. Предметите ги претста-вуваат со број.

Етапа 5

Броевите се преселени надвор од прачката. Лора позајмила 4 книги. Ели позајмила 6 книги. Колку книги позалмиле двете?

4

6

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Многубројни стратегии

Во петтата фаза броевите не мора да бидат внатре во деловите на кои е поделена прачката. Децата знаат дека бројот надвор од прачката се однесува на дел над/или под кој е запишан. Во поглавјето за класификација на задачите зборувавме дека задачите во кои „почетокот“ на приказната недостига се најтешки за решавање за децата. Употребата на модел со прачки (или пак дел-дел-цело) ги прави овие задачи полесни. Лесно е да се види дека она што Ели го имала на почетокот е дел од 12.

24

5 24

153 110

Проблеми со недостаток на почетокот Ли, сестрата на Ели ѝ дала на Ели 7 чоколадни бакнежи. Сега Ели има 12 чоколадни бакнежи. Колку чоколадни бакнежи имала Ели, пред сестра ѝ да ѝ даде 7?

12

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

7

Oвие дијаграми овозможуваат уште еден начин да се реши дадена задача. Забележете како означувањата стануваат сè позначајни во претставувањето. Кои операции можат да се употребат за Хуан и неговите сликички? (Одземање или собирање до). Моделите на прачки го прават визуелизирањето полесно и овозможуваат уште еден начин на решавање на тешки задачи, задачи во кои се бара споредување.

Пример: Етапа 5

Многубројни стратегии

5 24

36

Прачките се означени Хуан има36 бејзбол карти. Сју иам 15 бејзбол карти. Колку карти повеќе има Хуан од Сју?

Хуан

15

Класот на Миа продал 128 ролни хартија за подароци. Тоа е 21 ролна повеќе отколку што продал класот на Макото. Колку ролни хартија продал класот на Макото?

7

Сју

Споредување и израмнување задачи

9 2

173

?

Класот на Миа Класот на Макото

128 ??

21

Размислување со модели со прачки

Цртежите олеснуваат кога зборуваме за задачата и кога размислуваме за тоа како броевите во неа се поврзани. При собирање или одземање тие не се многу различни од работната површина дел-дел-цело на кој учениците манипулираат со предметите за да го најдат збирот или разликата. Моделите на прачки им помагаат на учениците да се насочат повеќе кон разбирање на ситуацијата во проблемот, отколку само на пронаоѓање броеви за да се споредат или барање на единствен „клучен“ збор или фраза.

6 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 111

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

Евидентирање (запишување) и прашување

173 9 5 1 24 3

ЕВИДЕНТИРАЊЕ (ЗАПИШУВАЊЕ) 5 И ПРАШУВАЊЕ

2 4 6 8

153 112

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се научи процесот за запишување на размислувањата на учениците. Да се нагласи важноста од запишување на размислувањата и активностите на учениците во решавање на математичките проблеми. Да се користи соодветно запишувањето на начините кои ги користи ученикот за решавање на проблемот. Да се развијат постапки како поддршка на почетните обиди на ученикот за запишување на неговите начини на решавање на проблемите.

153 113

6.1. ЗОШТО ДА ЗАПИШУВАМЕ?

24

Да се потсетиме на ПРИНЦИПОТ „Користете манипулативни средства и други видови на претставување на проблемски ситуации, а потоа поврзете го конкретното претставување со симболичкото“. Овај принцип е токму запишувањето на размислувањата и активностите на учениците при решавањето на математички проблеми. Фјусон открил дека малите деца не можат да минат низ целиот проблем само со манипулативи/ нагледни средства и „потоа да одат низ целиот проблем со бројки и да ги поврзат двете работи“. Врските мора да се прават чекор по чекор, како што се гради (моделира) решението. До слични согледувања имаат дојдено и Резник и Омансон во 1987 година.

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Евидентирање (запишување) и прашување

810 9

13

5 24

153 114

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

Зошто запишување на математичкото размислување? ``Запишувањето е писмена евиденција на размислувањето кое се користело за решавање на проблемите. Тоа е врската помеѓу конкретното и апстрактното размислување. ``Доколку за секој чекор од начинот на решавањето на проблемот се води евиденција, поверојатно е дека учениците ќе го сфатат значењето на писменото забележување. ``Запишувањетона учениците им помага да запаметат што направиле кога ги решавале проблемите. ``Запишувањето е чување на размислувањата на другите луѓе. ``Доколку запишувањето се прави еднаш дневно или неколку пати во неделата во тефтер или сл., тогаш постои евиденција за развојот на ученикот и оваа документација може да се сподели со родителите и истовремено овозможува насочување на учениците во процесот на учење како и коригирање на наученото. ``Стандардите на НСТМ 2000 (NCTM) велат: Младите на почетокот пресметуваат со користење на предмети и со броење. Сепак, наставниците од предучилишна настава до второ одделение треба да ги охрабрат да преминат, со тек на време, од решавање на голем број проблеми во кои треба да се пресметуваат мисловно или со хартија и пенкало кон евидентирање на нивното размислување. Иако ја потенциравме употребата на нагледни средства на сите нивоа додека децата учат нови концепти, постои континуитет на претставувања преку кои тие треба да се движат. Наставниците мора да го користат своето професионално искуство за тоа кога децата се подготвени за следниот чекор. Не постои формула за утврдување на ова.

6.1.1. Запишување на ученик Пример: За задачата со налепниците која гласи: „Тахир сака да купи две пакетчиња со налепници (во секое по осум листа). На секој лист има 24 налепници. Колку налепници ќе има

40 + 40 = 80 8 + 8 = 16 80 + 16 =96

Решение 1

50 + 50 = 100 46 + 46 = 80 + 12 100 + 92 = 192

24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 48

48 96

48

48 96

192 налепници за едно пакетче, дупло за две пакетчиња.

153 115

96 + 96 ( 50 + 46 ) + (50 + 46 ) (50 +50 ) + (46 +46 ) 100 + 80 + 12 =192 180 +12 40 + 40 = 80

8 + 8 +16

192 + 192 100 + 100 = 200 90 + 90 = 180 2+2= 4 384

80 + 16 = 96

Дополнето од наставникот при прашувањето.

Решение 2

Решение 3

24 24 48 24 72 24 96 24 120 24 144 24 168 + 24 192

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 24 е за еден помалку од 25.

-

200 8 198

192 + 192 384

Решение 4 16 x 24

(20 + 4)

(16 x 20 ) + (16 x 4) 20 x 16 + 64

2 x 16 = 32 20 x 16 = 320

2 x 16 = 32 2 x 16 = 32

64 2 x 16 = 32 20 x 16 = 320

Дополнето од наставникот при прашувањето.

Решение 5 8 x 24 = 8 x (12 +12) 8 x (10 + 2 + 10 +2)

(8 x 10) + (8 x 2) + (8 x 10) + (8 x 2) 80 + 16 + 80 +16 96 + 96 = 192 180 + 12 удвоено: 384

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

320 + 64 = 384

4 x 16

24

9

13

5 24

153 116

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

За запишаното од страна на учениците важно е: а. Решенијата се запишуваат хоризонтално. Можеби ќе се запрашате зошто Математика со размислување бара хоризонтално запишување. Овој избор потекнува од истражувањето на Фјусон и Резник, кое утврди еден од факторите во „баговитите алгоритми“ (кога децата прават чести грешки), односно недоволното разбирање на вредноста на броевите. На пример, децата најчесто гледаат поединечни цифри и се научени дека не можат да одземат поголем број од помал, па тие едноставно ги запишуваат броевите обратно, ако бројот од кој треба да се одземе е помал. Користењето на хоризонтално запишување ги поттикнува учениците да размислуваат за вредноста на бројот наместо за поединечни цифри на бројот. Исто така, од некои учебници произлегува дека и во Јапонија и во Русија (држави со големи математички постигнувања), хоризонталното запишување е мошне вообичаено барем до крајот на второто одделение, па дури и во третото одделение, каде мисловните пресметувања се напишани хоризонтално. б. Во одземањето се користат негативни броеви. в. Луѓето вршат собирање на различни начини. г. Учениците се потпираат на методите на разложување. д. Се користат разни форми и техники на поучување кои се со голем обем на софистицираност (диференцирани упатства). ѓ. Различни претставувања/запишувања (на пример посебни дропки, разгранет дијаграм). е. Претставувањата да не ги прекршуваат математичките правила, иако не се традиционални алгоритми. Запишувањето со сиво во секое од решенијата покажува дополнителни информации за размислувањето на ученикот, кои наставникот успеал да ги „извлече“ и да ги запише, а за кои поопширно се информирал во објаснувањето. Од прашањата за учениците, поставени од наставникот во примерот со налепниците, може да се воочи дека: а. Ученикот размислува за двата пакети од самиот почеток и користи 16 за да ги прикаже листовите во двата пакети/пакетчиња одеднаш. б. Го користи дистрибутивното својство, разложувањето на броевите на месни вредности и множењето, онака како што се прави во алгебрата. в. Намерно го „завртува равенството обратно“ бидејќи му е полесно користењето на комутативното својство. г. Посебно множел број со број, место истовремено множење на два со два броја. д. Кога помножил со четири, ученикот всушност собрал и удвоил. Но притоа покажал знаење за значењето за множењето со одреден број на x групи. ѓ. Тој, исто така, мислел на она што го направил како множење во следниот чекор, 20 x 16. е. Кога разложувале, учениците почнале да множат со цифрата со најголема месна вредност. ж. Нетрадиционалното „делење на делови“ покажа ученикот кога собрал 96+96, прво со земање на 50 од секое за да направи 100.

153 117

Иако се обидуваме да предвидиме како децата ќе размислуваат, секогаш се можни изненадувања! Постојаното сондирање им помага на наставниците да го откријат она што не можеле да го претпостават при решавањето на проблемот од страна на учениците. Притоа откриваат каде се наоѓаат учениците и кога би можеле да тргнат „во погрешна насока“.

6.1.2. Кој го запишува напредувањето? Учениците не запишуваат автоматски, ниту, пак, објаснуваат за да ни помогнат да го разбереме нивното размислување. Напредувањето го запишува: а. Наставникот запишува што прави или кажува ученикот за да дојде до начинот на кој го решил проблемот. Ова е особено важно доколку ученикот при решавање на проблемот користи вертикално запишување. Потсетете се на проблемот со мечињата на полица. Ова е почетокот на запишувањето за помалите ученици. За оние кои се малку повозрасни, наставникот може да избере да го запишува размислувањето на учениците на првиот училиштен ден или за време на првиот час по математика во годината. Со ова започнува да утврдува начин на запишување на напредувањето на учениците. б. Наставникот ги поттикнува учениците во размислувањето, така што прави делумно запишување за различните начини на решавање и му остава на ученикот да ја заврши реченицата. Тоа им овозможува на учениците да научат и други начини на решавање кои биле споделени во одделението. Ова им дава различни модели на решавање на учениците, што може да ги користат во нови ситуации и да изградат нови знаења. в. Учениците самите запишуваат. Можно е да има ученици кои се способни самостојно да запишуваат, со значително помала потреба од насочување од наставникот, во споредба со други ученици. Можно е да имаат и сопствени начини на запишување. Ова е сосема прифатливо сè додека не се нарушуваат математичките правила.

Наставникот треба точно да евидентира од математички аспект и да остане доследен кон начинот на размислување на ученикот.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

Да разгледаме еден пример на прекршување на математичките правила: 10 + 20 = 30 + 5 = 35. Ова е „брзо“ пресметување. Но 10 + 20 не е еднакво на 30 + 5 или 35. Наставник, кој има добро познавање од математика и кој ги поддржува учениците, би одговорил дека е „потребно да се фокусираме на тоа што значи знакот за еднакво“ и да му помогнеме на ученикот да сфати дека ова равенство не е вистинито. Наставникот ќе го насочува ученикот со цел тој да ја воочи потребата од пишување на посебни равенства: 10 + 20 = 30; 30 + 5 = 35.

24

9

13

5 24

153 118

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

6.2. РАЗЛИЧНИ НАЧИНИ НА РЕШАВАЊЕ НА ПРОБЛЕМИ И ЗАПИШУВАЊЕ ОД НАСТАВНИКОТ

6.2.1. Собирање Овде ќе бидат разгледани различни начини на решавање при собирање. Наставникот треба за учениците или групите ученици да обезбеди предмети кои се: дел-дел-целина, наставни средства или хартија, како и тефтерчиња за запишување на начинот на решавање на проблемот. Со користење на манипулативи, интерактивни и физички материјали во наставата, наставникот на учениците им ги прикажува вистинските, реални можности и состојби за она што се изучува, а потоа им помага тие да креираат апстракции кои ги поврзуваат и објаснуваат изложените појави.

Пример: Колку вкупно колачиња купив? Имам 6 колачиња со путер од кикиритки и 8 овесни колачиња. Проблемот може да се направи уште поинтересен ако користите реални предмети, кутија со колачиња и сл. Можните начини на решавање на проблемот и запишување од страна на наставникот:

``Броење на сите `` Ученикот брои 6 и потоа уште 8. `` Наставникот го запира ученикот кој го решава проблемот откако ќе ги тргне предметите. „Што тргна ти сега?“ Парички. „Слушнав дека изброи 6 па 8“. Јас прво тргнав 6 парички, а потоа 8. Зошто? Што се 6 и 8? Колачиња. Зошто има две групи. Некои се чајни колачиња, а некои со путер од кикиритки. Што ќе утврдиш? Колку колачиња има вкупно. `` Значи, ставате заедно 6 колачиња плус 8 колачиња заедно? Да. Пишува 6+8. Добро. Продолжи! Сега што ќе направиш следно? `` Ученикот, кој го решава проблемот, ги брои сите предмети, почнувајќи со еден: <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14> Колку имаме? 14. Бидејќи ученикот ги изброил сите, наставникот запишува под тоа 1, 2, 3…14. `` 6 + 8 `` 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

153 119

``Брои почнувајќи од помалиот собирок `` Ученикот брои 6 и 8. `` Имаме дискусија за тоа што претставуваат бројките. Наставникот запишува 6 + 8 и вели: Продолжете! `` Ученикот, кој го решава проблемот, вели: 6 (пауза). `` Откако ученикот рекол „6“, наставникот прашува: Од каде дојде 6? Детето: Колачињата со путер од кикиритки се 6. Добро, што е следно? `` Ако детето продолжи да брои – 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, наставникот запишува: `` 6+8: `` 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

`` Брои почнувајќи од поголемиот собирок `` 8. `` 9, 10, 11, 12, 13, 14. `` Дискусијата и запишувањето се слични со претходното, само што тука имаме чајни колачиња и изразот може да биде 8 + 6, во зависност од објаснувањето на ученикот. `` На крајот наставникот прашува зошто се почнало со 8 место со 6? Очекуваниот одговор е: „Тој број е поголем“. Наставникот можеби ќе сака да ја развие идејата дека „ако почнете со поголемиот број, има помалку за броење“.

``Полна десетка `` Ученикот брои 6 и 8 (истата дискусија за тоа што претставуваат броевите и што ќе направи ученикот со нив). `` Наставникот запишува 6+8. Ученикот, кој решава, придвижува 2 од групата со 6 кон групата со 8 (или 4 од 8 кон 6). `` Наставникот прашува: „Зошто го помести ова од едно на друго место?“ Ученикот одговара: „За да се направи 10“. Наставникот вели: „Значи ти размислуваш за 6 како четири и два“ и го запишува тоа за да го покаже разложувањето на 6:

4

2

`` Наставникот прашува: „И сега? Што ќе правиш?“ Ученикот одговара: „8 и 2 е 10 така што собирам 10 и 4“.

6+8 4

2 4 + 10

`` Вака? (Црта линија која ги поврзува 8 и 2). И велиш: 8 плус 2 е еднакво на 10? (Пишува 10). И собираше 4 и 10. (Пишува 4+10). Колку е 4+10? 14. Како знаеш? Броев од 10.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

6+8

24

9

13

5 24

153 120

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

`` Запишувањето може да се заврши.

6+8 4

2 4 + 10 = 14

``Ученикот треба, исто така, да го прикаже разложувањето и собирањето на броевите со загради место со линии.

6+8 (4 + 2) + 8 4 + (2 + 8) 4 + 10=14 ``Учениците можат исто и 6 да го дополнат до 10.

6+8 6 + (4 + 4) (6 + 4) +4 10 + 4 =14 ``Малите деца можат, исто така, едноставно да напишат 6 + 8 = 14 и да ја запишат истата идеја сликовито така што ќе нацртаат почетна слика и ќе го заокружат 10, како што направил овој ученик:

6 + = 14

6.2.2. Одземање/броеви кои недостасуваат Собирањето и одземањето се спротивни операции и лесно е да се илустрира овој однос со работен простор во вид на дел-дел-целина во ситуациски проблеми. Откако ќе ги воведете во операциите собирање и одземање, проблемите кои им се даваат на децата треба да се измешаат така што од нив се бара да размислат и да одлучат која операција ќе ја користат. Иако одземањето не е соодветно за решавање на проблеми поврзани со собирање, собирањето може да биде соодветно за решавање на проблем кој го означуваме како одземање. Бидејќи многу ученици во предучилишно и прво одделние ќе ја користат операцијата собирање за решавање проблеми, потребно е да ги вежбаме, исто така, да бројат и наназад.

153 121

Пример: Да го разгледаме проблемот во кој недостасува број: Ален сакал колачиња со путер и кикиритки. Вчера јас и тој купивме 16 од нив. Ален зеде неколку и ги стави во ранец за да ги подели со другарчињата на училиште, а другите ги стави во теглата со колачиња. Не видов колку стави во теглата, тоа толку набрзина го направи. Ама зеде 9 колачиња за на училиште. Колку колачиња има во теглата? Дискусијата би требало да се одвива на следниот начин: a. Наставникот го прашува ученикот: Што е проблемот? Што треба да најдеме? (Колку колачиња има во теглата?) б. Наставникот прашува кои информации ги имаме за да дојдеме до одговорот (дека Ален зел 9 за на училиште, имаме 16). Можните начини на решавање на проблемот од страна на ученикот и запишување од страна на наставникот: `` Решение преку просто одземање. Н: Значи, знаеме 9 и 16. Прашува што мисли ученикот за тоа како да се употреби таа информација за одговорање на прашањето. (Забелешка: Тимот може да каже неколку можни решенија.) У: Купивме 16. (Наставникот пишува 16.) У: 16 е вкупниот број колачиња па толку ќе земам како вкупен број (ученикот или наставникот става 16 плочки во целината од дел-дел-цело). Н: И сега што? У: Ги тргам во еден дел деветте што ги зел Ален на училиште (и така прави). Н: Значи тргаш настрана 9 колачиња? У: Да! Наставникот пишува „9“ во изразот. У: Тогаш ученикот ги зема другите и ги става во вториот дел од дел-дел-цело. Н: Зошто постапи така? У: Овие се колачињата што Ален не ги зеде, а ова се колачињата во теглата. Н: Колку има колачиња во теглата? У: Ученикот брои 7.

`` Собирање со додавање по еден. Н: Дали некој поинаку го решил проблемот? У: Јас. Прво ги ставив 9-те колачиња што ги зеде Ален во еден од деловите. Н: Зошто направи така? У: Затоа што тоа е дел од колачињата и сакаме да знаеме колку сме зеле. Наставникот пишува „9“. Н: И, потоа, што направи? У: Во другиот дел избројав повеќе колачиња. Ученикот брои: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Н: Зошто застана на 16?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

Н: Сакаш да ми кажеш дека 16 минус 9 е 7? Да. Наставникот завршува и го запишува равенството.

24

9

13

5 24

153 122

У: Толку колачиња имаме. Н: Значи, ти велиш дека 9-те што ги имал Ален плус овие се сите колачиња? Да! Наставникот запишува знак за плус. Н: Знаеш ли колку колачиња има во теглата?

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

У: Покажува: „Овие“. Н: Колку е тоа? У: Ученикот брои и вели 7. Н: Значи, според тебе, 9 + 7 е 16? У: Да! Н: Наставникот го завршува равенството и прашува: Готово? `` Полна десетка. Сличен начин на решавање се користи во Јапонија и Сингапур.

За да биде ова добар начин за решавање, учениците треба да имаат многу добро разбирање за 10 и за различниот начин на запишување како збир од два броја (или разложување на 10). Притоа може да се забележи дека откако учениците работеле со рамкатата десет и добро ги знаат комбинациите на разложување на бројот 10, ова ќе стане повеќе мисловен или писмен начин на решавање, отколку начин на решавање кој се потпира на предмети.

МОДЕЛ 1 Одземање во чекори У: Ученикот кој го решава проблемот започнува со 16 и ќе ги земе или колачињата во теглата или колачињата што Ален ги зел на училиште. Н: Наставникот пишува 16 – 9. Н: Како размислуваш за ова? У: Сакав да дојдам до 10 па си реков 16 минус 6. Н: Размислуваше за 9 како 6 и….? У: 6 и 3 Н: Покажува разложување на бројот 9.

16 - 9

6

3

Н: И потоа што? У: 16 минус 6 е 10 и 10 минус 3 е 7. На почетокот запишувањето ќе го покажува секој чекор.

16 - 9 6

3

16 - 6 = 10 10 - 3 = 7

Набргу децата ќе запишуваат само: 16 – 6 – 3

153 123

МОДЕЛ 2 Одземање – собирање Еден начин на кој во Јапонија се користи „направи 10“ е да се бара разложување на намаленикот на „едниот собирок да е 10“ со цел да има 10-ка од која ќе може да се одземе. Тие кога ќе решаваат проблем, како што е 16 – 9, ќе им кажат на учениците дека можат да го разложат (претстават) 16 на 10 и 6. Потоа ги прашуваат учениците: „Од каде можеме да одземеме 9?“ Тие одземаат 9 од 10 и им останува 1. Потоа тие собираат 1 и 6. Еден начин да се запише е следниот:

16 - 9

10

6

10 - 9 = 1 1+6=7

Пример: Проблемот гумени бонбони: Колку бонбони имаат заедно децата, ако Тереза има 168, а Мими има 144? Дадени се неколку начини на решавање на проблемот:

Решение

Разложување на секој собирок според месната вредност на цифрите

Разложување на еден собирок според месната вредност на цифрите

Флексибилно размислување на собироците според месната вредност на цифрите

144 + 168 100 + 100 = 200 40 + 60 = 100 4 + 8 = 12 200 + 100 = 300 300 + 12 = 312

144 + 168 144 + 100 = 244 244 + 60 = 304 304 + 8 = 312

144 + 168 14Д + 16 Д = 30 Д 300 + 4 + 8 = 312

Додека наставникот запишува, учениците може да ги користат нагледните средства, бидејќи учат да ги визуелизираат ситуациите и да размислуваат за проблемите, потоа ќе резонираат само со броевите. Учениците треба да знаат да ги објаснат писмените чекори и да ги претстават со нагледни средства, ако тоа биде побарано. Треба често да бидат прашувани да проверат со броење или на други начини, додека се развиваат концептите. Броењето може да се побара само од некои деца кои треба да вежбаат или од целото одделение. Многу е важно да се запишуваат неколку начини на решавање за време на часот за да може да се „растегне“ умот на учениците за да се види дека има повеќе од еден начин за решавање на проблемите. Нивната тетратка за запишување, со соодветно планирање, може да биде потсетник на важни начини на решавање и идеи на кои ученикот може да се наврати и да се потсети.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

Додека учениците го кажуваат начинот на кој размислуваат, наставникот го запишува нивното објаснување. Притоа треба да ги прекине во искажувањето додека запишува, ако многу брзаат.

24

9

13

5 24

153 124

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

Важно е да се набљудуваат и да се чуе што кажуваат учениците и да се евидентира тие што мислат, а не што мисли наставникот. На пример: а. Ако ученикот каже: „Знаеме дека има две групи на колачиња – едната има 9 и другата не знаеме колку има, но вкупно биле 16“, прашајте го: „Која равенка ќе ја запишеш?“ Размислувањето на ученикот, кој решава, започнува со 9 колачиња така што равенката започнува со 9. 9 +? = 16 б. Што ако ученикот каже: „Знаеме дека имало 16 колачиња. Имало 9 во теглата и тие во училиштето“. Како ќе го запишете ова?

16 = 9 + ? И (а) и (б) укажуваат уште колку треба да се соберат со 9 за да биде еднакво на 16. в. Ако ученикот почне со: „Имаше 16 колачиња и 9 зел за на училиште“, бројниот израз е 16 – 9 = ?

За следење на развојот на учениците треба: a. Кога наставниците го вклучуваат запишувањето и се надоврзуваат на начинот на размислување на учениците, важно е учениците да ги запишуваат сите различни начини на решавање на проблемите. Наставниците треба да вршат мониторинг и евиденција на тетратките за да видат дали учениците точно ги запишуваат сите начини на решавање. Ова ќе потрае сè додека учениците не разберат дека ова е очекуван дел од нивната работа. Сепак, не треба да се заборави дека учењето трае цело време. б. Да се помогне во проширување на размислувањата на учениците и да се имаат предвид различните точни решенија. Ако учениците користат вертикално запишување, како едно од нивните решенија, тоа треба да се прифати како еден од начините на решавање. Но, пред да може редовно да се користи, ученикот треба да умее да ја објасни вредноста на секоја цифра од бројот и целосно да ги разбира вредностите. Иако инвентивноста во решенијата се цени во голема мера и се поттикнува, постојат работи на кои наставниците треба да инсистираат да се прават на конкретен начин. в. Учениците да напишат датум на секоја страница секогаш кога ги користат тетратките. Или дајте им примероци од приказните да ги вметнат во тетратките, или учениците нека ги препишат (што одзема време) за да можат решенијата да се поврзат со ситуациите во проблемите. г. Учениците да ги означат своите индивидуални решенија за да ги разликуваат од решенијата на групата или од решенијата од други ученици. д. Добро е наставникот да ги поттикнува учениците да користат нагледни средства за да ги претстават проблемите и да го запишуваат секој чекор што го прават. Многу ученици ќе се обидат да запишуваат без да работат на решението со нагледни средства. Доколку на учениците им се дозволува да решаваат без да користат нагледни средства пред да го разберат значењето на тие ознаки, процесот станува вообичаен како и секој друг. Понекогаш учениците нема да користат нагледни средства, но тие не треба да се откажуваат од нивната употреба пред да бидат подготвени. Освен тоа, нагледните средства треба повремено повторно да се воведуваат. ѓ. Запишувањето да се прави како што се прави секој чекор со нагледни средства или за секој чекор, со кој ученикот го објаснува своето размислување, веднаш да се формира поврзување помеѓу размислувањето, конкретното и напишаното (Фјустон, Резник).

153 125

6.2.3. Какви искуства имале учениците при решавање проблеми? Пример: 1. Шпионот Хариет. Вкупно 161 дете од трето одделение требало да го гледаат филмот „Шпионот Хариет“. Уште колку деца треба да пристигнат, ако седнале 125?

Решение Тим 1

125 + __ = 161 125 + 30 = 155 155 + 6 = 161 30 + 6 = 36

Тим 2

Тим 3

161 – 125 125 + 10 = 135 135 + 10 = 145 145 + 20 = 165 165 – 4 = 161 20 + 10 + 10 = 40 40 – 4 = 36

161 – 125 100 – 100 = 0 60 – 20 = 40 1–5= 4 40 – 4 = 36

Пример: 2. Безбедносни појаси. На 28 јануари за децата од трето одделение беше одржан краток курс за користење безбедносни појаси во возило. Колку ученици биле отсутни ако присуствувале 327 од 408?

Решение на Кристина

408 – 327 400 – 300 = 100 0 – 20 = –20 8–7=1 100 – 20 = 80 80 + 1 = 81

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Евидентирање (запишување) и прашување

810 9

13

5 24

153 126

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

Придобивки од запишувањето: а. Учениците на овој начин имаат многу можности да ги претстават броевите со различни наставни средства и цртежи и на различни начини. б. Учениците разбираат дека броевите можат да се разложат и состават на поинаков начин за да се олесни пресметувањето. в. Учениците знаат како да се напишат равенства и како да се користат и толкуваат другите знаци и симболи за да се прикажат врските помеѓу броевите. г. Некои способности поврзани со стратегиите за Математика со размислување. На пример: `` Собира со некој број користејќи ја табелата сто или нагледни средства. `` Собира десетки до сто (на пример 40 + 20; 50 + 30). `` Собира десетки со двоцифрен број (на пример 42 + 10; 56 + 20). `` Собира стотки со трицифрен број (425 + 100; 425 + 400; 425 + 40).

евентуално

и 425 + 10;

`` Собира десетки со трицифрен број (425 + 20; 462 + 30). `` Собира десетки со двоцифрени и трицифрени броеви со премин (70 + 30; 70 + 40; 75 + 30; 75 + 40; 460 + 40; 460 + 50). `` Развивање на способноста за користење на броеви со кои децата можат многу лесно да пресметуваат (на пример бројот 25).

Подолу се дадени уште неколку примери во кои ученикот го моделира проблемот и го искажува своето размислување и наставникот запишува што прави ученикот и/или кажува.

Пример: а. Јаболка Има 28 зелени и 27 црвени јаболка. Колку јаболка има вкупно? Можни запишувања на проблемот со јаболката би биле:

Разложување според Разложување на месна вредност на еден собирок цифрите 28 + 27 28 + 27 28 + 20 = 48 20 + 20 = 40 48 + 7 8 + 7 = 15 48 + 2 + 5 = 55 40 + 15 = 55

Дополнување до полна десетка 28 + 27 28 + (2 + 25) 30 + 25 = 55

Компензирање 1 28 + 27 28 + 30 = 58 58 – 3 = 55

Компензирање 2 28 + 27 Со додавање и одземање на ист број на првиот и вториот собирок, соодветно 30 + 25 = 55

Користење на броеви кои се полесни за пресметување 28 + 27 25 + 25 = 50 3+2=5 50 + 5 = 55

153 127

Пример: б. Проблемот со кока-кола бр. 1.

Разложување на месни вредности на цифрите 24–11 20 – 10 = 10 4-1=3 10 + 3 = 13

Имавме 24 шишиња со кока-кола. Единаесет луѓе испија по едно. Уште колку шишиња останаа? Можни запишувања Направи 10/ одземање во чекори за проблемот со кока24 – 11 колата бр.1 би биле: 24 – 4 – 7 20 – 7 = 13

Разложување на еден од броевите 24 – 11 24 – 10 = 14 14 – 1 = 13

Собирање со…

11 + ? = 24 11 + 10 = 21 21 + 3 = 24 10 + 3 = 13 11 + 13 = 24

Направи 10/ одземање – собирање 24 – 11 20 – 11 = 9 9 + 4 = 13

Компензација 24 – 11 24 – 10 = 14 14 – 1 = 13 (На почетокот не одземав доволно.)

Пример: в.Проблемот со кока-кола бр. 2.

Броење назад за онолколку единици колку што има намалителот и одземете ги десетките 61 – 28 61 – 8 = 53 53 – 20 = 33

Интуитивно

Компензација 61 – 28 61 – 30 = 31 31 + 2 = 33 Повеќе одзедов, да ги вратам назад

Разложување/ „позајмување“ 61 – 28 (60 + 1) – (20 +8) T. (50 + 11) – (20 + 8) 50 – 20 = 30 11 – 8 = 3 30 + 3 = 33

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

Во овој проблем со кока-кола има дополнителни броеви (дополнителните бројчени информации ја отежнуваат задачата). Извидниците имале 61 шише со кока-кола. Тие испиле 28 шишиња Собирање со кога температурата 28 + ? = 61 се качила над 90 28 + 2 = 30 фаренхајти. Уште колку 30 + 30 = 60 шишиња останале?

60 + 1 = 61 Начини на решавање 1 + 2 + 30 = 33 на проблемот со кокаколата број 2 би биле: 28 + 33 = 61

Разложете го намалителот, потоа направете 10 од намаленикот 61 – 28 61 – 20 = 41 41 – 8 = 41 – 1 – 7 = 40 – 7 40 – 7 = 33 Вообичаено во Холандија 61–20–8 = 41– 8 41–1–7 = 40 – 7 = 33

24

9

13

5 24

153 128

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

Пример: Решение г. Бонбони 2. Тања има 148 бонбончиња. Уште колку ѝ недостасуваат за да има исто толку колку што има брат ѝ Сашо, ако Сашо има 252 бонбончиња. Решението може да се добие со одземање, собирање или споредување.

Собирање

Собирање до изедначување

Одземање

А. Тања има 148 бонбони. Треба да видам уште колку ѝ фалат за да бидат 252.

Б. Тања сака 252. Таа веќе има 148, значи треба да видам уште колку ѝ фалат за да има 252.

В. Сашо има 252. Ако му земам 148, ќе знам уште колку ѝ требаат на Тања.

148 + ? = 252 148 + 2 + 2 = 152 152 + 100 = 252 2 + 2 + 100 = 104

(252 = 148 + __) (148 + __ = 252) 148 + 52 = 200 200 + 52 = 252 50 + 50 + 4 = 104

(252 – 148 = __) 252 – 148 200 – 100 = 100 52 – 50 = 2 100 + 2 = 102 102 + 2 = 104

``Може да се воочи разликата во размислувањето кога учениците собираат. Првиот ученик за да го реши проблемот сака прво да дојде до 152 така што на крајот да може да додаде 100. Вториот ученик, кој го решава проблемот, сака прво да дојде до 200 и потоа само да додаде 52. Вториот ученик можеби има подобри комбинации за 100. ``Третиот ученик при решавање на проблемот направил компензација, но само со 48, а не со бројот 148. ``За некои деца собирањето со е поинтуитивно решение за некои проблеми. ``Запишувањето при одземање со повеќецифрени броеви, што вообичаено бара разложување според месната вредност на цифрите (и што функционира одлично во случај на собирање), станува многу проблематично и незгодно за операцијата одземање. Сепак, наставниците со програмата Математика со размислување имаат утврдено многу поголем успех во работа со учениците преку користење на стратегијата на негативен број. За деца од второ одделение во САД е полесен ваквиот начин на работа отколку вообичаениот алгоритам за „позајмување“ и алгоритамот за хоризонтално запишување и пресметување. ``Децата значително подобро го учат начинот на решавање со негативен број, отколку што е тоа случај со традиционалното прегрупирање доколку имале можност да изградат разбирање за броевите.

252 – 148 200 – 100 = 100 50 – 40 = 10

2–8=–6 100 + 10 = 110 110 – 6 = 104

153 129

Кога се запишува треба да се запомни: ``Слушајте внимателно! ``Поставувајте прашања! ``Мислењето нека биде јасно! ``Следете! ``Прифатете го одговорот! ``Евидентирајте ги сите различни начини на решавање! ``Прифатете ја легитимноста на различните начини на решавање и споредете ги!

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Евидентирање (запишување) и прашување

810 9

13

5 24

153 130

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

6.3.ДИСКУСИЈА ПОМЕЃУ НАСТАВНИКОТ И УЧЕНИКОТ Предизвици во врска со дискусијата во група Во рамките на ова поглавје се обидовме да ја покажеме важноста на наставникот кој постојано треба да прашува за да го „поттикнува“ размислувањето на учениците кон следниот чекор. Кога програмата Математика со размислување беше за прв пат воведена во 1989 година, литературата зборуваше за тоа дека учениците треба „да опишуваат и оправдуваат“. Ова стана и изворно опишување на овој принцип. Сепак, многу често наставниците се задоволни со опишувањето и никогаш не бараат објаснување. Така зборот „опиши (или запиши)“ го заменивме со „објасни“.

Накусо проверете што би можел да значи математичкиот аргумент, доколку детето каже: „јас собрав 1 и 1 и 1 и 1 и 1 и 1 и 1 и 3, и добив 10“ тоа е опис на постапката. Ако каже „собрав 1 и 1 и добив два, потоа додадов уште едно и добив три, итн. и на крај додадов уште 3 на 7 и тоа 8, 9, 10“ е математички аргумент, т.е. објаснување чекор по чекор со користење на фактот дека сите ученици во одделението го прифаќаат без да мора да се докажува. Тие можеби знаат дека следниот број е поголем за 1. Но, учениците кои бројат можеби нема да можат да ја прифатат оваа претпоставка и би сакале да бројат секој пат за да го верификуваат тоа. Наставниците често прифаќаат различни начини на решавање, но не секогаш им дозволуваат на учениците да ги објаснат и да ги споредат со другите ученици. Понекогаш се прават грешки во обидот да се објасни размислувањето, но учениците се доведуваат во ситуација да веруваат дека правењето грешка е страшна работа и се уплашени да прават поврзувања, бидејќи сметаат дека на нив ќе се гледа дека „згрешиле“ место да се придонесе кон поттикнување на размислувањето на групата. Еве некои прашања кои можат да им помогнат на учениците да навлезат подлабоко во проблемите и во нивно решавање. Постои, исто така, и подолг список на ова во прирачникот со активности.

1. Што треба да утврдиме?

2. Што знаеме, што може да ни помогне?

3. Може ли да ги затворите очите и да си претставите што се случува?

4. Како можеме тоа да го прикажеме?

5. Каде начините на решавање си наликуваат? Или разликуваат?

6. Можете ли да го објасните пристапот на Ана?

7. Зошто?

153 131

8. Што ако...?

9. Сме работеле ли на други проблеми слични на овој?

10. Што ако смениме...?

11. Може ли и поинаку да се реши?

12. Дали забележувате шема?

13. Како можете да го докажете тоа?

14. Колку ќе изнесува n-тиот член?

15. Дали тоа е секогаш точно? Истражувачот Дебора Бол се осврнува на решавање на проблемот за поттикнување на дискусијата во училницата. „Додека другите се обидуваат да го ’скратат‘ она што го прават, наставниците мора да ги прошират математичките знаења и да ги изберат вистинските прашања за да ги поттикнат учениците да размислуваат и да можат оние кои учат, да напредуваат“. Бол исто така зборува за предизвикот кој се однесува на тоа колку долго треба да им се овозможи на учениците да продолжат да „се мачат“ со некоја идеја и кога треба да се интервенира. Не постои единствена формула. Имањето разбирање за тоа како треба, се развива од многу искуство и дискусија. Добрите прашања и насочувања можат да помогнат да се пренасочи размислувањето на ученикот кон продуктивноста. Тие исто така треба да резултираат во поголемо ангажирање на учениците во дискусијата. Еве некои техники за поголемо вклучување на учениците и на оние кои се воздржани да се вклучат: 1. Барајте да повтори со свои зборови што кажал соученикот пред него.

2. Прашајте дали она што го кажал соученикот е исто што и...

3. Прашајте дали ученикот се согласува со она што го кажал соученикот пред него. Зошто да или зошто не?

4. Ако има различни мислења, прашајте како да утврдите кое е точно.

5. Ученикот нека замоли некого да објасни повторно што е она што не го разбира.

6. Побарајте објаснување и прашајте дали проблемите се решаваат точно или неточно.

Потребната математичка култура се развива во училницата низ дијалог, поставување прашања, истражувања, обидувања и согласувања со заклучоци.

Прашања кои го разбудуваат математичкото размислување Некои прашања се изготвени така што може да извлечат повисоко ниво на размислување од учениците. Сите овие се усни вежби во кои на учениците им се укажува како да работат на проблемите.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Евидентирање (запишување) и прашување

7. Помогнете им на учениците да разберат: а) дека математиката е повеќе отколку само одговори; и б) дека грешките можат да бидат извор на учењето.

24

9

13

5 24

153 132

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 Евидентирање (запишување) и прашување

9

173

5 24

А. Споредете ги следните изрази: 470–120 и 410–120 890+15 и 890+20 Б. 120 + 40•2 (120+40)•2 (100–30)•2 100–30•2 Зошто добивате различни резултати од изразите во секој пар на изрази, иако се исти и броевите и знаците за математичките операции? В. Количникот на два броја е 70. Кој ќе биде новиот количник ако делителот го оставиме ист, а деленикот се зголеми за два пати? А доколку се зголеми за пет пати? 14 пати? n пати? Г. Која разлика или збир е поголема и за колку?

580 – 116 или 280 –116 540 + 80 или 600 + 80 1485 – 700 или 1485 – 650 356+74 или 408+74

Кое знаење ученикот треба да го стекне со секоја од овие задачи и како тоа се споредува со знаењето кое е потребно да се дојде не само до нумеричките одговори на проблемите? Имајте предвид дека овие прашања ги поттикнуваат учениците да размислуваат за поопшти концепти. И тоа: ``Прашањето A поттикнува на разбирање на операциите. Ако одземе помалку од даден број, да знае дека ќе му остане повеќе. Ако одзема ист број од два броја, од кој едниот е поголем од другиот, тогаш ќе добие поголем број кога одзема од поголемиот број, а помал кога ќе одзема од помалиот број. ``Прашањето Б бара од учениците да бидат свесни за математичките симболи, особено за редоследот на операциите и како тоа влијае на решавањето на проблемот. Нивните одговори ќе се однесуваат на самата постапка на решавање, а не на резултатот. ``Прашањето В повторно бара од учениците разбирање на операциите. Дискутирајте како промената на броевите во различни позиции има влијание на резултатот! Прашањето исто така ги „поттикнува“ учениците да генерализираат и на крај да се добие алгебарски израз. Одговорот на сите овие делови укажува на длабоко, темелно и флексибилно разбирање. ``Прашањето Г е слично на првиот проблем, но прашува конкретно за колку повеќе или за колку помалку. ``Истражувањата кои се однесуваат на начинот на поставување на прашањата укажуваат на одредени работи кои се во врска со начинот на однесување на учениците. Постојат причини да се направи прозивање на децата пред или по поставувањето на прашањето. Овие размислувања може да бидат особено важни за учениците со посебни потреби и оние на кои им треба причина да останат ангажирани.

153 133

Прашување и време на чекање ``Прво поставување на прашањето, а потоа прозивањето на ученикот ги става децата на „штрек“ (Kounin). ``Прово прозивањето на ученикот, а потоа поставување на прашањето ја намалува нервозата (Brophy). ``Почекајте барем три секунди пред да направите прозивање на ученикот и уште дополнителни три пред да коментирате или да продолжите понатаму (Kounin).

НЕ ЗАБОРАВАЈТЕ!

1. Евидентирањето на размислувањето на учениците бара внимателно слушање.

2. Евидентирањето треба да се направи чекор по чекор.

3. Не постои единствен точен начин на евидентирање.

4. Евидентирањето треба да биде јасно и вистинито.

5. Прашањата се од суштинска важност за придвижување на размислувањето.

6. Дискусиите помеѓу учениците, како и помеѓу нив и наставникот, се важни за учењето.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Евидентирање (запишување) и прашување

810 9

13

5 24

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Евидентирање (запишување) и прашување

153 134

24

6 8

7 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 135

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

173 9 5 1 24 3

ПРОЦЕНУВАЊЕ

Проценување

5 2 4 6 8

153 136

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

Цели на поглавјето: Да се научи дека проценувањето е начин за проверување дали одговорот е разумен. Да се знае во кои случаи користењето на проценувањето е подобро од точното пресметување. Да се разгледаат вообичаените методи за проценување. Да се поучуваат учениците на методите кои ќе им помогнат да прават подобри проценувањa.

153 137

7.1. ПРОЦЕНУВАЊЕ ИЛИ ПРЕСМЕТУВАЊЕ

Проценувањето е важно бидејќи: а. понекогаш е подобро од пресметувањето; б. може да се користи како проверка на разумноста на одговорот; в. овозможува да се развие разбирањето за броеви, како и негово оценување; г. понекогаш не е можно да се направи точна пресметка; д. е неопходнo за оние кои користат калкулатори така што корисниците на калкулатор можат да донесат суд дали ги имаат внесено вистинските броеви или дали калкулаторите функционираат.

Пример: Примерите се однесуваат на проблеми за кои проценувањето е соодветно и за кои точното пресметување е или тешко или невозможно: 1. Колку време ќе ви треба за изработка на домашната работа?

2. Колку пари треба да земете за во лунапарк?

3. Колку садови или кутии ќе ни требаат за во нив да ги ставиме нагледните средства?

4. Колку книги можете одеднаш да носите?

5. Колку рипчиња има во езерцето?

6. Дали имам доволно пари да го платам сето ова што го купив?

7. Колку храна треба да купам за состанокот?

9. Каква облека ќе ми треба за по пат?

10. Дали имам доволно бензин за до следната бензинска?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

5 24 Проценување

8. Колку материјали треба да подготвам?

24

153 138

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

Учениците кои добро знаат да проценуваат ги имаат способностите: ``за множење и делење со степени со основа 10; ``да изберат поголем или помал од два дадени броја; ``да изберат кој од два дадени проблеми ќе извлече сеопфатен одговор.

153 139

7.2. ПРОЦЕНУВАЊЕ ЗА ПРЕСМЕТУВАЊЕ

24

Во наставата се користат повеќе начини на проценување. Ќе се разгледаат примери на проценување на одговорот на одреден проблем поврзан со пресметување.

Пример: Процени го збирот 527 +432 +498 +138!

Методи кои се користат се: а. Заокружување на најблиската десетка 500 + 400 + 500 + 100 = 1500 Учениците кои имаат разбирање за броеви понекогаш намерно ќе ги прекршат формалните правила. На пример, за да направат проценка на 354 +252, подобар начин на заокружување на двата броја е да се заокружи едниот кон поголемиот број и другиот кон помалиот број. б. Кратење 5 + 4 + 4+1 = 14, така што 1400 Со овај начин на проценување се собираат само првите цифри од броевите. При користење на овој начин за проценка на 74 – 56, значи да се размислува вака: „7-5=2, значи имаме 20“. в. Разложување/повторно сложување 500 + 500 + 400 + 100 + 50 = 1550 Тука ученикот при решавање на задачата се обидува да користи цели стотки.

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

5 24 Проценување

Тој ги комбинира 500+500 и 400 + 100 при што добива 1 500, па додава 50 за да добие вкупно 1550.

6 8

153 140

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

Пример: Процени колку е 495 : 64?

г. Компатибилни броеви 495 : 64 49 : 7 (или 490:70)= 7 или 7 x 7 = 49 Компатибилни броеви се оние броеви кои лесно се вклопуваат меѓу себе. Тие често се користат за да се направи множење или делење затоа што се користат делители и множители (всушност, проценувањето е првиот чекор во алгоритмот за бесконечно делење). Бидејќи 7 се содржи (делител) во 49, лесно е да се процени ако се размислува 49 : 7 и да се процени 7 (или со размислување како што е 7 x 7= 49). Секој од овие начини на проценување се нарекува начин на преформулирање. Во основа, овој начин на проценување се потпира на поедноставување на броевите за да може полесно да се пресметува мисловно.

Пример: Процени го збирот 422 + 368 + 408 + 392! Бројките за овој проблем се намерно избрани за да се групираат околу број кој лесно може да се гледа како репер. При проценување на збирот може да ги користат некои од претходните начини утврдени за собирање (или одземање), можно е да се користи и дополнителен начин на проценување, кој не бил соодветен за претходните броеви. Но подолу е даден начин на проценување со преведување/пренесување. д. Преведување/пренесување 4 x 400 = 1600 Понекогаш е полесно да се работи со друга математичка операција. Кога бројките се групираат околу некој лесен број (на пример 400), полесно е да се размислува на множењето за да се дојде до проценување.

Пример: Процени колку е 2 478 : 26?

153 141

ѓ. Компензација (дополнување) 26 стотки : 26 = 1 стотка. Реално имаше помалку од 26 стотки, тогаш може да се процени дека е помалку од 100. Полесно е да се размислува во десетки, но кога ќе се дојде до 100, одговорот мора да се коригира бидејќи 2 478 е дополнет до 2 600. Дополнето е многу, затоа треба да се коригира проценката да биде помалку од 100 (можеби околу 90). Начинот на проценување со компензација се објаснува како „корекции кои се прават за да се прикажат бројчените варијации кои произлегуваат од преведување или преформулирање“.

Забелешка: ``Овој начин на проценување, исто така, се користеше и за мисловната математика. ``Компензацијата (надоместувањето) се користеше во задачата со „налепниците“ за ученик од второ од одделение кој го реши проблемот така што изброи осум 25-ки место осум 24-ки и потоа ги одзеде осумте единици што ги претходно ги додал со секоја 25-ка. ``Проценката е тесно поврзана со стратегиите за мисловна математика кои исто така се базираат на составување (сложување) на броевите. ``Американската федерација на наставници, исто така, има материјал со кој бара од учениците од трето одделение мисловно да решаваат собирање на три броја, со користење, во најголем дел, на начинот на проценување со компензирање. При решавање на проблеми со проценување приспособливоста е важна работа. Оние кои знаат добро да проценуваат се приспособливи во своето размислување и користат разни начини на проценување. Тие покажуваат темелно разбирање на броевите и операциите и континуирано се надоврзуваат на таквото знаење. Оние кои се слаби проценувачи, користат само еден алгоритамски начин на проценување (J. Sowder, 1989, Draft paper Estimation and Related Topics). Даукер им дал на математичари 20 проблеми со множење и делење. Тие не само што многу точно ги направиле проценките, туку исто така овие 35 математичари користеле 22 различни начини на проценување (еден пример од поставените проблеми е во кој се барало колку е 546 делено со 33,5). Со вежби за проценување на часовите по математика се овозможува градење на разбирање на различните објаснувања кои наставниците можат да ги очекуваат од учениците, и, исто така, за релативната леснотија или тежина при користење на разни начини на проценување за разни проблеми.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

Проценување

5 24

153 142

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

Која проценка е разумна проценка? а. Не постои единствена формула. б. Не постои една точна проценка. Доколку постоела, неа и ќе ја бараме како одговор. Наставниците треба да размислат за опфатот на проценки кои би биле разумни за одредени проблеми. в. Разумните проценки од помали ученици треба да имаат поширок ранг, отколку оние кои би ги очекувале од повозрасните. г. Опфатот на броеви во дадениот проблем влијае на она што се смета за разумно. Ако за точниот одговор се дадат десет поени, тогаш тоа не е исто за проблемот 8 + 7 и за проблемот 532 + 287. д. Оценувањето на логиката при начинот на проценка може да биде покорисна за наставникот одошто да се обидува да утврди некој разумен број за точна проценка. Значи, подобро е наставникот да размислува дали ученикот избрал големи броеви што би ги користел во правење на проценката? Дали учениците знаат дали точните пресметки ќе бидат повеќе или помалку од нивната проценка? Дали може да дадат логичко објаснување за таквото размислување?

Репери кои би се користеле при правење на проценки ``Броевите блиски до 25 може да се земат како четвртина од 100, односно четири четвртини се еднакви на 100. ``Дропките може да се проценуваат според тоа колку се блиску до Повозрасните ученици треба да додадат ¼ и ¾ во своите репери.

нула, ½ или 1.

``Моќта на 10 е добар репер. ``Познати факти можат, исто така, да бидат репери. ``Множителите (делителите) можат да се користат за проценување како репери. Доколку наставниците побараат од учениците да прават проценка на одговорот за секој проблем и потоа точно да го пресметаат, веројатно е дека учениците ќе ја прескокнат задачата за пресметување или прво ќе пресметаат, а потоа ќе го заокружат одговорот за нивната проценка. Овој начин на работа нема да изгради разбирање за броевите. Добро е наставниците на учениците да им дадат неколку проблеми кои се однесуваат на проценување (со употреба на сите операции, цели броеви и дропки) и преку нив да размислат за различни начини за решавање, а потоа и да ги објаснат. Притоа е добро наставникот да посвети малку време и да се наврати на квалитетот на одговорите од учениците: Дали ученикот ја разбира вредноста на цифрата (месната вредност на цифрите во бројот)? Дали ги избрал соодветните репери? Дали ги разбира операциите? Дали постојат докази дека добро го користи „еднаквото“? Дали користи начин на решавање кој потоа може да се примени и за решавање на други проблеми?

153 143

7.3.ПРОЦЕНУВАЊЕ НА ВЕЛИЧИНИ

24

Проценувањето на величините обично е визуелно. Обично за оваа намена се препорачува „теглата“ за проценување. Учениците се поттикнуваат да го проценат бројот на малите предмети во теглата што ќе ја донесе наставникот (доброе е да се побара од нив да ги напишат нивните проценки на посебни ливчиња. Учениците треба да ги залепат овие ливчиња на ѕидот или на таблата, од најмалото до најголемото). Потоа, тие ќе ги споделат начините на проценување кои ги користеле за да направат одредени проценки. Тие би можеле да бидат: ``едноставно нагаѓање; ``броење на мал број предмети од теглата и одредување колку пати ги има; ``броење на предмети во горниот или долниот ред (или мал дел од едната страна) и размислување за тоа колку редови може да има; ``има разбирање за тоа колку од конкретниот предмет може да има во друг сад. Потоа наставникот им кажува колку предмети има во садот. Активноста може да продолжи ако наставникот земе ист таков сад и го наполни со предмети со друга големина (или сад со друга големина, наполнет со истите предмет) и учениците нека направат нови проценки. На овај начин учениците се фокусираат на дискусија за односот помеѓу големината на предметите и садовите и математичкото пресметување. Потоа може да се поттикнат учениците да направат генерализации. На пример: ``Колку се поголеми предметите, помалку ќе собере во садот. ``Колку се помали предметите, повеќе ќе собере во садот. ``Предметите со истата големина во поголем сад ќе значат повеќе такви предмети. ``Предмети со иста големина во помал сад ќе собере помалку. ``Ако предметите се речиси двојно поголеми, тогаш ќе има двојно помалку предмети во истиот сад.

``Многу често ваквите видови проценки се спроведуваат во текот на целата година. Наставниците ја носат истата тегла која се користи за проценување и притоа не се прават обиди за да се постави ситуација од која учениците можат да ги подобрат

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

5 24 Проценување

``Со ова и други начини на проценување може да им се помогне на учениците да прават подобри проценувања во математиката. Некои од најважните идеи се:

6 8

153 144

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

своите вештини. Многу е важно на учениците да им се помогне да ја разберат вредноста на тоа дека треба да прават споредувања помеѓу различните ситуации. Ова можеби на почетокот ќе значи да се чува во училницата теглата од претходната недела (со бројот означен на неа) за да можат учениците да ја користат како репер за споредување. ``Освен менувањето на големината на предметите во садовите, односите во врска со големините може да се прикажат и со садови кои се само делумно полни. Исто така, големината на предметите може да биде истата, а големината на садот да се менува. ``Други математички идеи за кои може да се дискутира во овие активности се следните: 100 од едно нешто можат да зафатат помалку или повеќе простор од 100 од нешто друго; 100 од едно нешто може да тежи помалку или повеќе од 100 од друго нешто. ``Вообичаено е наставниците да им даваат шанса на учениците да ги сменат своите проценки откако сите ги искажале своите проценки. Разговарајте со сите „за“ и „против“ ваквото работење и која би била добрата позиција. ``ЗА. Учениците треба да знаат дека новите информации често ги менуваат ставовите на луѓето. Во вистинскиот живот како што се учат новите информации така и плановите и поврзувањата често се менуваат. Користењето на дополнителни информации за повторно градење ставови кон одредени нешта е добра работа. ``ПРОТИВ. Учениците треба да научат да аргументираат зошто не ја прифаќаат новата математичка информација, а не дека тоа го прават според најпопуларниот одговор. ``Имајќи го ова предвид, од учениците треба да се побара да дадат математичко објаснување ако ги сменат своите проценки. Навраќањето на тоа зошто прават одреден избор ќе ја зајакне моќта кај ученикот за сопствен мониторинг и ќе направи подобар избор со кој може да се започне повторно објаснување.

153 145

7.4. ПРОЦЕНУВАЊЕ И РАНОТО ДЕТСТВО

24

Истражувањето на Роби Кејс од 1985 година утврди дека сè до 11‑годишна возраст попрецизното проценување е нешто што е далеку од развојното ниво на детето31. Некои разумни очекувања за многу малите деца се дека тие можат да ги одговорат прашањата како што се: ``Дали одговорот ќе биде повеќе или помалку од …? ``Дали одговорот ќе биде повеќе или помалку од 10? 100? 50? ``Можете да држите 10 во рака? 20? 100? ``Колку луѓе мислите дека имаме тука со нас? 10? 20? 100? 1000? Во наставата практикувајте учениците да ги ставате во повеќе ситуации во кои тие мора да направат проценка за едно количество, а потоа им се дава некое друго количество. а. Покажете воз од 12 коцки и побарајте да проценат колку ќе има во некој друг воз (можеби 24, 30 или 6). б. Покажете купче од шест книги и побарајте да проценат колку би имало во друго купче (можеби 14). в. Покажете послужавник со 12 чашички вода и нека проценат колку чашички има на послужавник кој содржи четири чашички вода. г. Покажете сад со 50 предмети и нека проценат колку предмети има во друг сад кој изгледа дека е речиси полн, но кој има само 25 предмети (ова води кон споредување на големината на предметите).

3

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

5 24 Проценување

Sowder, J. (1992) Estimation and Related Topics in (D.A. Grouws, Ed.). Handbook of Research on Teaching and Learning. Macmillan. Кејс смета дека децата од 5 до околу 10 години, во исто време, може да се фокусираат само на една димензија кај нештата што имаат повеќе димензии. Бидејќи предвидувањето кај пресметувањето ги вклучува и определувањето на приближниот резултат и пресметувањето напамет (двете се сложени активности), тој предлага да не се брза со така сложено проценување на толку рана возраст. Кејс и Соудер ја проверувале својата теорија користејќи поголем број задачи и утврдиле дека нивоата што ги дефинирале со значителна прецизност покажуваат колку ќе биде успешен ученикот од определено одделение и исто така откриле дека учениците од пониското одделение нема да можат да ја решат задачата.

6 8

153 146

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

173

Проценување

5 24

Можеме да заклучиме дека проценувањето како математичка операција: 1. Главно е визуелно.

2. Не треба да биде игра на погодување.

3. Им помага на учениците да изградат свои начини на проценување со кои ќе ја зголемат разумноста на своите проценки.

4. Прави јасни поврзувања помеѓу големината на предметите, големината на садовите (дали се полни или не) врз основа на претходното искуство.

8 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 147

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4 6

10 9

1

6

810

Мисловна математика и планирање на наставата

1 4 8

МИСЛОВНА 9 73 МАТЕМАТИКА 5 И ПЛАНИРАЊЕ 2 3 НА 5 НАСТАВАТА 2

1 4

4 6 8

153 148

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Мисловна математика и планирање на наставата

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се разбере концептот ниво на задача и да се разбере како инструкциите на наставникот можат да влијаат врз избраното ниво на задачата. Да се разбере како треба да се користат различните начини на решавање на Мисловна математика во државни и/или локални наставни програми, наместо да бидат „додаток“ во наставниот процес.

153 149

8.1. НИВО НА ЗАДАЧА

24

8.1.1. Истражување на ТИМСС (TIMSS) Кога се планираат лекциите, важно да се има предвид дека сите задачи не се еднакви во барањето или активностите. Истражувачите се повикуваат на когнитивно барање.

80% од наставата по математика во училница е поврзана со математичките задачи. Се укажува дека самите задачи се така направени за да „извлечат“ процедури, концепти или поврзувања, како на пример: 1. Да користи постапки: `` Најди го периметарот!

2. Да ги разбира концептите: `` Нацртај разностран триаголник! `` Генерализирање или верификација. Во почетното истражување на ТИМСС беа утврдени потешки когнитивни нивоа, како на пример во задачите дадени подолу:

10 9 7 3 5 264

1

810

Мисловна математика и планирање на наставата

3. Да направи поврзувања:

6 8

9

13

5 24

153 150

10 9 7 3 5 264

1

Мисловна математика и планирање на наставата

810 9

173

5 24

WestEd Regional Lab

2. Најди го периметарот на право-aголникот.

7 cm

3. Јован вели дека периметарот на сликата е 36cm2. Марко вели дека е 36 cm. Кој е во право?

Намената е да извлече процедура, иако некои би кажале дека треба да се знае што е периметар за да се пресмета. Денес во многу тестови на почетокот има формули кои можат да се користат како помош при решавање на задачите.

Наменет е да го научи концептот и да разликува помеѓу периметар и површина/плоштина.

6 cm 6 cm

6 8

Со задачата со повеќечлен избор, детето може да погодува и да биде „во право“. Детето ќе треба да ги знае концептите „плоштина“ и „периметар“, како и „квадрат“ и да може да изведе постапка.

Преземено од: Learning from Assessment

3 cm

24

1. Периметарот на квадрат е 24 cm. Колкава е плоштината на квадратот?

A. 36 cm2 B. 48 cm2 C. 96 cm2 D. 576 cm2 E. Не знам.

4. Нацртајте правоаголник со периметар од 36 cm што ја покрива најголемата можна површина! Како ќе ги убедите учениците дека ја покрива најголемата можна површина?

Мора да се знаат поимите периметар и површина, кои може да се користат во некоја ситуација. Додадено е: 1) услов (најголема можна површина) кој треба да се земе предвид и се бара; 2) математичко оправдување. Оваа задача бара да се прават поврзувања.

5. Оваа година Петар сака да сади градина со зеленчук. Со кои димензии треба да биде планот за оваа градина доколку сака максимално да го искористи просторот? Дворот му е 40m на 60m, а може да користи половина од тоа.

Решавање на проблем поврзан со плоштина и со периметар. Оваа задача бара да се прават поврзувања.

153 151

8.1.2. Когнитивно ниво Дефинирање на когнитивните барања на задачите е направено, според Стајн и Смит, американски истражувачи од Универзитетот Питсбург. Тие дојдоа до четири нивоа на задачи: две со барања од повисоко ниво и две со барања од пониско ниво.

Помнење ``Вклучуваат или бараат репродукција на предходно научени факти, правила, формули или дефиниции ИЛИ меморирање на факти, правила, формули или дефиниции. ``Не можат да бидат решени со примена на постапки, бидејќи не постои постапка или пак времето кое е на располагање е премногу кратко за да се примени постапка. ``Многу се јасни – ваквите задачи бараат прецизна репродукција на предходно виден материјал, а она што треба да се репродуцира е јасно наведено. ``Не се поврзани со концептите или значењето зад фактите, правилата или дефинициите кои се учат или репродуцираат.

Пример: Најди децимален број и процент еднаков на 1/2 Извор: Stein, Smith, Henningsen & Silver Implementing Standards-Based Mathematics Instruction

Процедури без поврзувања ``Алгоритмични се. ``Поставува ограничено когнитивно барање за успешно завршување. Има малку нејснотии околу тоа што и како треба да се направи. ``Не се поврзани со концепти или значења на кои се базира процедурата која се користи.

``Користењето постапка е или конкретно побарано или нејзиното користење е очигледно поради претходните инструкции, искуството или поставеноста на задачата. ``Не бараат објаснувања или се даваат објаснувања кои се поврзани единствено со процедурата која треба да се искористи.

Пример: Запиши ја дропката 3/8 како децимален број и процент. Извор: Stein, Smith, Henningsen & Silver Implementing Standards-Based Mathematics Instruction

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Мисловна математика и планирање на наставата

``Се фокусираат на давање точен одговор наместо на развивање на математичко разбирање.

24

9

13

5 24

153 152

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Мисловна математика и планирање на наставата

810 9

173

5 24

Процедури со поврзувања ``Вниманието на учениците го фокусираат на користење на постапки со цел развивање на подлабоки нивоа на разбирање на математичките концепти и идеи. ``Сугерират дадени насоки за следење (експлицитно или имплицитно) кои се пошироки – општи постапки кои се тесно поврзани со главните концепруални идеи, за разлика од построгите алгоритми кои, пак, се понејасни во поглед на концептите во задачата. ``Вообичаено се прикажани на разни начини (визуелни дијаграми, помагала, симболи, проблемски ситуации). Поставувањето на врските меѓу различните претставувања помага во развивањето на значењето. ``Бараат одреден степен на когнитивен напор. Иако општите процедури може да се следат, тие не можат да се следат без размислување. Ученикот треба да се ангажира со концептуалните идеи кои се зад постапките за да може успешно да ја заврши задачата и за да развие разбирање.

Пример: Користејќи мрежа 10 x 10, претстави ја како децимални број и процент дропката . Извор: Stein et al Implementing Standards-Based Mathematics Instruction

Практикување математика ``Бараат сложено и неалгоритамско размислување (пр. не постои предвидлив, добро извежбан пристап или насока која е експлицитно дадена со задачата, инструкциите за задачата или изработен пример). ``Бара од ученикот да ја испита и разбере природата на математичките концепти, постапки и односи. ``Бара сопствено надгледување на когнитивните процеси. ``Бара користење на соодветно знаење и искуства и нивно правилно користење во работењето на задачата. ``Бара од учениците да ја анализираат задачата и активно да ги испитаат ограничувањата на задачата кои можат да ги попречат можните стратегии и решенија. ``Бараат значителен когнитивен напор и можат да предизвикаат одредено ниво на напнатост кај ученикот поради непредвидливата природа на процесот за доаѓање до решението.

153 153

8.1.3. Фактори поврзани со нивото на когнитивни барања на задачите ФАКТОРИ ПОВРЗАНИ СО ОПАЃАЊЕ НА НИВОТО НА КОГНИТИВНИТЕ БАРАЊА 1. Проблематичните аспекти на задачите стануваат рутински (учениците упорно бараат од наставникот да ја намали комплексноста на задачата со посочување на експлицитни процедури или чекори; наставникот ја наведува процедурата која ќе се користи или го презема размислувањето и расудувањето).

2. Наставникот акцентот го преместува од значење, концепти и разбирање, кон точност или комплетност на одговорот.

3. Не е дадено доволно време за справување со изискувачките аспекти на задачата или дозволено е премногу време, па учениците застрануваат во однесувања кои не се во врска со задачата.

4. Проблемите во училничниот менаџмент спречуваат да се одржува ангажирањето во когнитивни активности од високо ниво.

5. Несоодветност на задачата за конкретна група ученици (пр. учениците не се вклучуваат во когнитивни активности од високо ниво поради недостаток на интерес, мотивација или потребно предходно знаење; очекувањата од задачата не се доволно јасни за да ги стават учениците во вистинскиот когнитивен простор).

6. Ученици кои не одговараат за производи или процеси од високо ниво (на пр. иако е побарано од нив да го објаснат своето размислување се прифаќаат и нејасни или неточни одговори; учениците добиле впечаток дека нивната работа нема да влезе во нивната оценка).

ФАКТОРИ ПОВРЗАНИ СО ОДРЖУВАЊЕ НА НИВОТО НА КОГНИТИВНИТЕ БАРАЊА

2. На учениците им се обезбедени средства за следење на сопствениот напредок.

3. Наставникот или подобрите ученици моделираат изведба на високо ниво.

4. Прифатен притисок за оправдувања, објаснувања и/или значења по пат на распрашување, коментари и/или повратни информации од страна на наставникот.

5. Задачите се надградуваат на претходното знаење на учениците.

6. Наставникот прави чести концептуални поврзувања.

7. Доволно време за истражување (не премногу, не премалку). Поранешни списоци од Математички настави во основното училиште (1998) NCTM

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Мисловна математика и планирање на наставата

1. Поддржување на размислувањето и расудувањето од страна на учениците.

24

9

13

5 24

153 154

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Мисловна математика и планирање на наставата

810 9

173

5 24

8.1.4. Внесување на мисловна математика во дневната наставна програма Целта на мисловната математика е на сите ученици да им бидат дадени разновидни можности за да научат сложени математички содржини и да се сфати дека тие форми и техники на поучување не се добри за секој ученик. Оттука произлегува дека наставникот постојано треба да го проширува својот репертоар на форми и техники на поучување. Наставниците треба да се подготвени да ја збогатат темата или да ја поврзат со други концепти ако учениците брзо ја сфатат. Исто така, наставниците треба редовно да проценуваат дали во нивните планови се вклучени визуелни, конкретни, вербални и симболични начини за решавање на проблемите. Треба да се размислува за погрешните разбирања кои често се среќаваат кај учениците, и да се размислува како да се пристапи кон темата за да се спречат тие погрешни разбирања или како да се поправат доколку се појават. Мисловната математика не е додаток туку треба да биде интегрален дел од планот на часот по математика. Не се бара од наставниците секој ден да создаваат оригинални лекции, туку да гледаат секој ден да го поттикнуваат интуитивното знаење, да даваат шанса за преставување и дискусија, да прават балансирање на концептуалното и процедуралното учење, постојано да проценуваат што навистина знаат учениците и да овозможат тоа да ја води наставата; треба постојано да ги поттикнуваат учениците со начинот на работа и со примена на разни форми и техники на поучување.

„Математикa со размислување“ – МР не е додатна алатка ``Искуствата кои се како резултат од истражувањата треба да бидат вообичаен начин на работа. ``Стратегиите на МР можат да ги зајакнат сите наставни програми по математика кои потоа ќе овозможат подлабоко и потрајно учење. ``Различните форми и техники на поучување треба да станат дел од планирањето на наставниот час по математика. ``Математичкото размислување има за цел да стане „навика на умот“.

9 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 155

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

Преглед во операцијата множење

173 9 5 1 24 3

ПРЕГЛЕД ВО ОПЕРАЦИЈАТА МНОЖЕЊЕ 5

2 4 6 8

153 156

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Преглед во операцијата множење

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се направи преглед на десетте принципи на Математика со размислување и да се прикаже нивната примена при усвојување на операцијата множење. Да се прикаже колку различно влијаат операциите на собирање и множење врз броевите. Да се разбере разликата меѓу размислувањето во структурите со множење и размислувањето во структурите со собирање. Да се препознаат потребните фактори за работење со разбирање на полето на множење. Да се започне со фокусирање на вниманието на идејата за пропорционално размислување. Да се истражат концептите и вештините кои им се потребни на учениците за да започнат да работат на ова поле.

153 157

9.1. ПОСТАВУВАЊЕ НА „СЦЕНАТА“ 9.1.1. Вовед во операцијата множење За да ја воведете операцијата множење може да се искористи следната активност со учениците:

1

Зададете задача (проблемска ситуација) од повисоко тежинско ниво:

Задачата за учениците е да се измери должината на еден ходник или ѕид. Како алатка за мерење на оваа должина ќе се користат плочка (која цел број пати се содржи во должината на ѕидот) и лист хартија (должината на плочката да се содржи цел број пати во должината на листот). Вообичаено, различни групи мерат различни работи. Можноста да се развие заеднички јазик не е иста кога групите работат одделно. Побарајте учениците да дадат предлози како ќе го решат овој проблем.

2

Поврзете со некоја поголема мерна единица.

Дали учениците можат да предложат некој побрз начин за пресметување на должината на ходникот? Настојувајте учениците самостојно да дојдат до врската помеѓу должината на ѕидот, должината на плочката и должината на листот хартија.

3

Поврзете ги старите и новите единици.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

Преглед во операцијата множење

Откако го извршиле мерењето, прашајте ги што покажува сега бројот што го добиле. На пр.: Измеривме шест, но шест што? Учениците би требало да одговорат шест должини на листот хартија. Треба да се потсетат учениците дека задачата од нив бараше истата должина на ѕидот да ја измерат и со помош на должината на една плочка. Прашајте ги колку должини на плочки има во вашата поголема мерна единица – должината на листот хартија?

24

5 24

153 158

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Преглед во операцијата множење

173

5 24

4

Одредете го резултатот со помош на табела или со собирање.

Побарајте да одредат колку плочки има во поголемата мерна единица. Наставникот може да им помогне. (Колку поголеми мерни единици има по целата должина на ѕидот? Колку должини на плочки се содржат во должината на листот хартија? Како може да дојдеме до одговор на прашањето: Колку должини на плочки има должината на ѕидот ако притоа го користиме бројот на должините на листот хартија?)

5 6

Наставникот може да се врати на процесот и да го претстави значењето на зборот „пати“. Наставникот треба да биде сигурен дека децата го разбале значењето на зборот „пати“, односно дека поголемата мерна единица (листот хартија) содржи х број должини на плочки. Овој јазик е многу важен бидејќи односот меѓу плочката, како основна единица, и поголемата единица, како сложена единица, го прави експлицитен.

По активноста со плочките учениците ќе се сеќаваат и ќе умееат во други ситуации да извршат групирање со цел да се дојде побрзо и поедноставно до бараниот резултат. Оваа воведна активност гради ставови.

Која е целта што треба да се постигне со задачата со плочки? ``Зададете задача која кај учениците ќе предизвика проблемска ситуација, односно мерењето со дадените мерни единици ќе оди потешко. Ова претставува предизвик за учениците и им помага да ја согледаат несоодветноста на мали, дискретни единици. ``Воведете поголема единица. Кога вашите прашања ќе ги доведат до тоа да воочат дека со изведувањето на помалите единици мерки од една поголема единица мерка е полесно за работење, ќе воспоставите услови за множење наместо собирање. ``Важно е постојано да им се помага на учениците да поврзат на пр. еден лист хартија со одреден број мали плочки за да се појасни составната природа на поголемата мерна единица (или листот хартија), т.е. фактот што изведувате неколку поединечни единици мерки од една поголема единица мерка. ``Одредете го резултатот со нова мерна единицаПотребно е да се вежба изразување на овој начин пред да се предаде лекцијата, исто како да се вежба својата улога во одредена претстава. На овој начин се ослободуваме и ќе имаме поприродни ситуации за време на часот. Ова особено важи доколку надостасува време за лекцијата, нешто што не им дава време на учениците за повторување или за подробно размислување.

153 159

9.1.2. Разликување на слични и различни групи Важен услов за разбирање на множењето е дека групите кои се множат мораат да бидат со еднаков број елементи. Јапонците намерно им даваат на учениците контрастни задачи за да ја илустрираат разликата. Една задача има групи кои се со еднаков број елементи, другата има групи со различен број елементи.

Пример: ЦВЕЌИЊА Мери набра 4 лалиња за кујнската маса; Џен набра 4 маргаритки за нејзината соба; Хал набра 4 рози за роденденот на неговата мајка; Ли набра 4 каранфили за неговиот татко; Рашад набра 4 диви зумбули за неговата наставничка, а Шарита набра 4 кринови за себе. Колку вкупно цвеќиња набраа децата?

НАГРАДИ 4 деца добија награди за добри граѓани во соба 101, 4 деца во соба 103, 5 деца во соба 106. Колку вкупно деца добија награди за добри граѓани.

Треба да се има предвид дека во операцијата множење, броевите често претставуваат групи со еднаков број елементи.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Преглед во операцијата множење

13

5 24

153 160

9.2. ГРАДЕЊЕ НА РАЗБИРАЊЕ

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Преглед во операцијата множење

173

5 24

9.2.1. Потребно разбирање за работа со операцијата множење Потребен е различен начин на размислување за множење и делење од тој што се користи за собирање и одземање. Учениците треба да имаат претходно стекнати знаења за формирање групи со еднаков број елементи како основна структура на множењето. Со други зборови, тие треба да имаат компетентност која им овозможува да ги визуелизираат и создадат решенијата на задачите со множење. Ова им е потребно на учениците од најмала возраст за да можат да решаваат ситуациски задачи со собирање и одземање. Притоа се препорачува учениците веќе да ги имаат совладано следните разбирања кои се потребни за работењето со структурите на множење. Учениците треба да: ``умеат да ги видат групите како целина, како составни единици, а не само како збир на поединечни предмети; ``можат да формираат еднакви групи со одреден број елементи; ``умеат да поделат подеднакво; ``можат да формираат групи од елементи, кога ќе им се зададе специфичен број; ``умеат да претстават број како збир од еднакви собироци: ``умеат да бројат преку 2 или 10, што би можело да им биде од помош. Броењето со прескокнување се развива кога учениците работат со групи со еднаков број елементи.

153 161

9.2.2. Активности кои градат разбирање за групирање При работа со учениците треба да се осмислуваат активности кои ќе им помогнат на учениците да го разберат поимот група, како и активности кои ќе ги поттикнат вештините за разложување на број.

Пример: Од учениците се бара да именуваат предмети кои се во пар и да се поразговара за последиците ако еден од предметите во парот недостига (пр. еден чевел, чорап или ракавица).

9.2.3. Градење на разбирање за множење со удвојување За да може учениците да го забележат ефектот на удвојување или множење со два, добро е да се користи следната приказна:

ПОДМОЛНИТЕ УМИЛКУВАЧИ

Но, сепак беше првиот ден од летото. Сонцето сјаеше и ниту една грижа не се врткаше во главата на Петар, и плус само што го помина денот покрај својата најомилена дупка за риболов. Токму на зајдисонце Петар си одеше дома пеш. Од една грмушка притрча едно рунтаво животинче. Тоа се качи по ногата на Петар и отиде право во неговиот џеб. Животното беше умилкувач. Сепак, рака на срце, Петар се сети на предупредувањето на мајка си и помисли да го врати умилкувачот назад во грмушката, но навиката на Петар да собира предмети и животни надвладеа врз него и умилкувачот остана во неговиот џеб. Кога Петар дојде дома, тој го нахрани умилкувачот со кулен и пепси и двајцата си легнаа во креветот. Таа ноќ кога главата на Петар се вовлече во неговата перница умиликувачот

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

Преглед во операцијата множење

Петар е најнеуредното дете што го знам. Тој е висок колку клупа во парк и е слаб како јаже. Неговата најомилена облека му е една преголема маица со дамка од сок на растворање, бермуди од фармерки со отсечени ногавици и боси нозе. Тој има мост од пеги преку својот нос и насмевка од чоколадно млеко која два пати го обвиткува неговото лице. Но, не е само хигиената на Петар што ја вознемирува мајка му...а не....она што ја вознемирува мајка му е тоа што Петар сака да собира сешто.... Мислам, собирањето предмети и животни може да биде супер хоби, но она што го собира Петар.... Многу пати кога мајка му на Петар му ја переше облеката мораше да се нурне во машината за перење по некое гуштерче кое Петар го имаше оставено во својот џеб. Токму минатата недела таа пронајде црна змија меѓу тетратката за домашна работа и ќеса со чипс во неговиот ранец. Петар многу добро знае дека и овој пат ќе ја вознемири мајка му. Уште еден пар очи демнат од џебот на неговите панталони, уште едно рунтаво животно брзо претрчува преку подот и Петар нема да може да излезе од дома долг период.

24

5 24

153 162

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Преглед во операцијата множење

173

5 24

дојде до него и заспа на перницата. Некое време во раните утрински часови, тој слушна нешто како направи „поп“ и утрото, не само што имаше еден умилкувач, туку имаше два умилкувачи што седат на перницата на Петар. Ништо страшно, си помисли тој. Умилкувачите се мали. Сите тројца си поминаа супер тој ден играјќи заедно, бидејќи умилкувачите се полни со палавост. Таа вечер главата на Петар се вовлече во перницата, умилкувачите дојдоа до него и тие заспаа. Во раните утрински часови, Петар повторно слушна како нешто прави „поп, поп“ и следното утре имаше 4 умилкувачи кои спијат на неговата перница. Сега една загриженост почна да надвиснува над главата на Петар. Сонцето не беше толку силно тој ден и четирите умилкувачи не беа баш толку прекрасни. Таа вечер Петар несигурно се вовлече во перницата, со четирите умилкувачи и заспаа. Но пак во раните утрински часови, Петар слушна како нешто направи „поп, поп, поп, поп“ и следното утро имаше 8 умилкувачи како спијат на перницата на Петар. Цела недела Петар со страв ги хранеше, постојано го криеше сè поголемиот број умилкувачи. Ова продолжи и понатаму. Твојата задача е да одредиш колку умилкувачи имаше Петар на четиринаесеттиот ден откако го донесе првиот умилкувач дома. Тоа е денот кога Петар требаше да замине на летен камп. Со оваа приказна на учениците им се обрнува внимание на повеќе поими и вештини кои можат да бидат различни по различни нивоа, на пример:

Трето ниво Алгебарско размислување за да се извлече формула.

Второ ниво Експеримент.

Прво ниво

Стратегии за решавање проблеми. Организирање на податоци во Т-табели. Таблици множење (по два).

10 1 5 ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 163

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 ПРИМЕРИ, 2 4 6

8

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

1 4 8

МОДЕЛИ И 6 10 АЛАТКИ 9 ЗА ПОЛЕСНО 10 9 РАЗБИРАЊЕ 73 НА 5 2 3 МНОЖЕЊЕТО

1

1 4

5 2 4 6 8

153 164

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се илустрираат начини за прикажување на множењето. Да се информираат учесниците за важноста на работењето со модели бидејќи тие: а. Нудат можност за визуелизирање на групите и елементите во нив. б. Нудат можност преку нив да се разбере дистрибутивното својство кое е потребно за множење и делење со повеќецифрени броеви. в. Нудат модел за изнаоѓање решенија врз основа на познати факти. Да направи споредба помеѓу моделот на множење преку собирање (претставување на број како збир на еднакви собироци) и методот со матрици. Да се истакне важноста на учениците да им се претстави пропорционалното мислење во рамките на структурите со множење. Да се предложи и покаже употребата на Т-табелите како друг начин за решавање на задачи со множење/делење на почетно ниво.

153 165

10.1. ИЗУЧУВАЊЕ НА ОСНОВНИTE ФАКТИ ВО ЕДНА НАСТАВНА ПРОГРАМА ФОКУСИРАНА НА МИСЛЕЊЕ

10.1.1. Потреба од учење на „факти“ за едноцифрено множење и делење

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Подолу се дадени изјавите кои ја промовираат потребата за учење на „фактите“ за множење и делење на едноцифрени броеви.

24

9

13

5 24

153 166

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

„Основи“ и стратегии Учениците треба да имаат брз пристап до фактите за множење до крајот на четврто одделение. Начела и стандарди за училишна математика

НСНМ 2000 Да се здобијат со вештина за множење со едноцифрен број, а тоа вклучува многу повеќе од само учење напамет... Го користиме изразот комбинации од броеви за да го потенцираме функционалниот карактер на ова знаење. Собирање

Национален совет за истражување 2001 Основните комбинации со опе-рациите множење и делење се по-голем предизвик (отколку оние со операциите собирање и одзема-ње). Учењето на овие комбина-ции бара знаење кое е шематски засновано и треба да се насочи кон достапни и доволно брзи постапки. Ако децата се поучу-ваат со примена на разновидни форми и методи на работа, тогаш тие ќе можат да ги развијат нишките на математичката умешност на еден обединет начин. Собирање

Национален совет за истражување Учениците треба да имаат брз пристап до фактите за множење до крајот на четврто одделение (НСНМ). За оние работи кои Американците ги нарекуваат „основни факти“, источноазиското мислење е дека тоа се лесни задачи. Затоа ставот на Националниот совет за истражување, кој се однесува на комбинациите за множење со едноцифрени броеви, е поблизок до филозофијата на земјите чии ученици имаат подобри резултати по математика од нашите. Оваа информација е од еден јапонски наставен водич. При неговото читање добро е да се размисли за следниве прашања: а. Дали гледате некакви поврзаност со десетте принципи? Ако гледате, која е поврзаноста? б. Кој совет мислите дека е најважен за наставниците, а е поврзан со изучување на комбинациите од броеви во овој дел? в. Дали нешто Ве загрижува при пристапувањето кон комбинациите од броеви на овој начин? Ова се некои од стратегиите кои ги препорачуваат јапонските водичи. Зошто ги споменуваме? Затоа што на нивните ученици им оди многу добро.

153 167

Основно множење Јапонски цели I ``Подгответе лекции кои ќе им помогнат на учениците да го разберат значењето и корисноста на множењето. ``Организирајте ги и бидете во можност да ги кажете таблиците на множење со 2, со 3, со 4 и со 5. ``Разберете ги ситуациите каде множењето може да се употреби за да се реши задача. ``Разберете го фактот дека зголемувањето на множителот со еден го зголемува производот за бројот на другиот множител.

Јапонски цели II ``Учениците нека го препоз­наат комутативниот закон. ``Употребете ја таблицата за множење за да го пронајдете односот меѓу множителите и производот. ``Учениците треба да можат автоматски да ги кажат таблиците. ``Учениците нека постават задачи. ``Пронајдете резултат од множење (производ) кој не е на таблицата. ``Продлабочете го разбирањето.

``Научете ги таблиците за множење со 1, 6, 7, 8 и 9. Какво е влијанието на технологијата и калкулаторите врз потребата за совладување на фактите? Тие не ја отстрануваат потребата учениците да можат брзо да се сетат на основните факти.

Кога ќе го прочитате преводот на јапонскиот водич за наставници ќе видите дека и тие цврсто се заложуваат учениците да не ги учат напамет таблиците сè додека не разберат како се составуваат. Постои една НПОН работа која многу ученици ја пропуштаат, а која се заснова на знаење. Таа ги прашува учениците за колку 9х14 е повеќе од 8х14. Најголемиот дел од учениците за одговор го одбраа „1“ место „14“, бидејќи не мислеа дека постои уште една група од 14 елементи. Забележете дека истражувачкиот совет го користи изразот „доволно брзи“. Ова значи дека ученикот не мора да напише 100 факти за 2 минути, туку дека тие употребуваат стратегии кои се доволно брзи за да ги решат задачите точно и во разумен временски рок сличен на оној кога автоматски ги знаат фактите. За оние деца кои имаат

проблеми при учењето, имањето на повеќе начини на решавање и користење на различни методи ќе биде разликата меѓу успех и фрустрација.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Постои несогласување меѓу реформистите и традиционалистите дека на децата им е потребен брз пристап до фактите за множење. Но, постојат некои разлики во врска со тоа дали учењето напамет му претходи на секој обид за учење со разбирање. Консензусот вели дека користењето факти кои се знаат за да се достигнат оние кои сè уште не се знаат е многу повеќе отколку учење напамет. Истражувањето врз кое се заснова програмата Математика со размислување покажува дека учениците помалку се подготвени да разберат штом ќе им се понуди пократок пат, затоа се заложуваме прво да се развијат концептите.

24

9

13

5 24

153 168

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Различните постапки кои се користат ја вклучуваат употребата на комутативното својство на множењето, познавањето на парови и нивната употреба при собирањето или одземањето. Според Водич за изучување на основно множење врз основа на јапонските искуства, како најважни совети за наставниците може да се издвојат следните: а. Се потенцира употребата на приказни за да се претстават одредени „таблици“. б. Се потенцира потребата учениците да го имаат сфатено концептот на множење (тие знаат како се составуваат таблиците пред од нив да се побара да ги научат напамет). в. Многу време се поминува во вежбање преку игра. г. На наставниците однапред им се става до знаење за оние нешта со кои учениците би можеле да имаат потешкотии. Но, не само тоа, туку се даваат и идеи за справување со потешкотиите, како на пример: предложената мерка е да се изгради таблицата дел по дел и да се забележи кумулативниот ефект. Ова на учениците им овозможува да можат да ги користат фактите кои тие ги знаат за да се достигнат фактите кои тие сè уште не ги знаат. Ова е всушност првиот принцип на Математика со размислување. Ако им се помогне на учениците да согледаат од каде произлегува

секој резултат, тие градат вештина за да ги оправдаат одговорите.

Оваа стратегија е од корист кога се оди нанапред, но, исто така користи кога се оди наназад.

Основно множење Најчести „падови“ Постојат деца кои ќе се обидат да ги запомнат таблиците пред да разберат како да ги организираат. За овие деца помошта доаѓа во форма на методот на акумулација.

2 x 4 3 x 4 4 x 4 5 x 4

4+4=8 8 + 4 = 12 12 + 4= 16 16 + 4 =20

Најчести „падови“ Исто така, ако некое дете не знае колку е 8 x 4, но знае дека 9 x 4 е еднакво на 36, помог-нете му на детето да сфати дека кога множителот ќе се нама-ли за 1 резултатот се намалува за 4. Значи за 8 x 4 мисли 36 – 4 =32 Интервенциските стратегии се засноваат на препознавање-то на односите во таблиците.

а. Тие се грижат за математичките закони, пр. комутативниот закон. б. Тие ги прикажуваат големите идеи кои сакаат да ги пренесат. в. Тие ја забележуваат разликата со тоа што ги означуваат броевите (групи). г. Тие ги потенцираат ситуациите во кои множењето е соодветно за решавање на проблемот (групи со еднаков број елементи).

153 169

10.1.2. Визуелни матрици за основни факти Џон А. Ван де Вале рекол дека учениците за да го разберат множе-њето, „моделот со матрици е најсилен (најсилна стратегија), бидејќи е единствениот кој може да им помогне да го разберат комутативното својство на множењето; тој е прилично компактен, често се користи во секојдневието и е најдобриот начин да се прикаже и дистрибутивното својство на множењето во однос на собирањето и одземањето“. „Учениците треба да стекнат темелно разбирање на основните факти“, користејќи се со методи кои не се потпираат на броење. Тој советувал да им се помогне на учениците да градат врз веќе стекнатото знаење и создал двобојни визуелни матрици кои ќе им помогнат на учениците брзо да ги сфатат фактите пред да ги научат напамет. Матриците се состојат од 100 црни и бели кругови кои се поделени во четири квадранти. Учениците лесно можат да ги сфатат множествата (групите) и од по пет и од по 10 елементи и да почнат да се надградуваат.

Aко ученик треба да пресметува 6х7, како матрицата му помага при мислењето?

Може да се формира броен израз чија бројна вредност е:

5х5 + 1х5 + 2х5 + 2 = 25+5+10+2 = 42

Подоцна ќе сакаме учениците да се оттргнат од овој метод на визуелно броење, но дотогаш тие имаат релативно брз начин кој го нуди точниот одговор и кој има модели во кои се употрбува дистрибутивното својство.

6 x 7 = (5 + 1) x (5 + 2) или (5 x 5) + (5 x 2) + (1x5) + (1 x 2)

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Ученикот треба да знае да ограничи 6 реда со по 7 елементи. По ограничувањето ученикот може веднаш да го визуелизира првиот квадрант (5х5=25) и уште пет бели точки под него (1х5=5), две вертикални колони од по пет точки (2х5=10) и уште две црни точки.

24

9

13

5 24

153 170

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

10.2. ИЗБОР ОД ПРЕТСТАВУВАЊА 10.2.1. Што би употребиле вие? Има голем број математички модели кои можат да се употребат за да се претстават задачите со собирање и одземање. Кога ќе им се постави задача на учениците, како примерите дадени подолу, потребно е да се размисли кој математички модел (други претставувања) би им бил од помош на учениците да ја визуелизираат задачата.

Пример: 1. Али има 4 кутии со боички. Во секој кутија има по 8 боички. Колку вкупно

боички има Али? (Најверојатни предлози: Манипулативи кои би се користеле при решавање на задачата се: жетони во боја, стапчиња од сладолед, табелата 100, бројната права, табели, модел со график) .

2. Ако се користат табели, тие можат да се напишат и хоризонтално и вертикално. Со употреба на хоризонталната табела може да се илустрираат еквивалентни дропки.

1

2

3

4

5

6

4

8

12

16

20

24

1 4 4 = 16 3. Али има 32 боички. Колку кутии му се потребни ако сака да стави по 8

боички во секоја кутија? (Најверојатни предлози: жетони во боја, стапчиња од сладолед, табела 100, илустрации, бројна права).

Али има 32 боички. Тој ги разделил во четири кутии по еднаков број боички. Колку боички има во секоја кутија? Ако се употреби табелата 100 или бројната права, може да има потешкотии. На пример, би можеле да започнеме со 32 и наназад да скокаме по 4 места. Првиот скок претставува како по една боичка се става во секоја кутија; вториот скок значи дека по 2 боички се ставени во секоја кутија, итн... Наставниците, чии ученици ја користат оваа стратегија, треба да бидат внимателни да објаснат што означува секој скок. Исто така, „одењето наназад“ секогаш е потешко за сфаќање за најголемиот дел на учениците. Истото мислење важи и за движењето наназад во табелата 100.

153 171

При споредување на процесот на смислување на соодветни примери за множење и делење, со оние за собирање и одземање, може меѓу другото да се констатира: ``Потешко е да се употреби конкретен материјал кога множителите многу брзо се зголемуваат. Тие зафаќаат повеќе простор и учениците потешко се справуваат со нив. ``Со манипулативите, кои не секогаш се користат, може да се претстават големите броеви и тие не се набавуваат лесно . ``Цртежите, табелите и бројните прави можат да бидат најчесто избрани нагледни средства за решавање задачи со големи броеви.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1 Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

13

5 24

153 172

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

10.3. ЕДНАКВОСТИ И РАЗЛИКИ ВО СТРУКТУРИТЕ НА СОБИРАЊЕ И МНОЖЕЊЕ

Да се потсетиме. За да го зацврстат своето разбирање за собирање и одземање на учениците би им помогнало: ``да поставуваат задачи, користејќи конкретни предмети; ``да визуелизираат со цртежи; ``да користат артикулирање и оправдување на идеите; ``да ја повторат класификацијата на задачи со собирање и одземање.

Соодветно на тоа имаме: 1. Кога учениците користат математички модели за ситуации со множење/делење, тие можат да согледаат дека броевите во задачите се однесуваат на групи со еднаков број елементи. Само со запишувањето, тие се насочени да го замислат 4 х 7 како збир на еднакви собироци (7 + 7 + 7 + 7). Претставувањето на одредена ситуација со математички модели поставени во повеќе групи или матрици ја прави ситуацијата позначајна.

2. Употребата на матрици (одредено поставување на математички модели со кои ќе поминеме доволно време) овозможува разбирање на множењето како збир на еднакви собироци. Матриците воведуваат мостови до повисока математика преку кои може да се осознае дистрибутивното својство на множењето во однос на собирање и одземање, како и почетоците на пропорционалното размислување. Матриците, исто така, претставуваат структури со множење, како на пример плоштина или размер (кои не се подобни за моделите со собирање или одземање) за множење и делење.

3. Цртањето е поприменливо. Тоа ќе стане поважна поткрепа отколку што е во структурите со собирање, бидејќи количините ќе станат толку големи при што математичките модели ќе станат тешки за користење.

4. Табелите и таблиците, исто така, ќе имаат поголема важност и ќе станат поприменливи за да се разбере што се случува.

5. Разговорот и оправдувањето на мислењата ќе ја задржи својата критична улога и ќе биде од помош при разбирање на множењето.

153 173

10.4. БРОЕВИТЕ КАКО РЕФЕРЕНТИ ЗА ГРУПИ

24

Пример: При решавање на следната приказна со множење: „Колку вкупно книги има на полиците ако има 4 полици со по 7 книги на секоја?“ во паралелката може да се сретнеме со следните математички модели:

А. Задачата може да се претстави со четири групи од по седум елементи.

В. МАТРИЦИ ОД 7x4

OOOOOOO OOOOOOO OOOOOOO OOOOOOO

O O O O O O O O OOOO O O O O O O O O OOOO OOOO

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Б. МАТРИЦИ ОД 4х7

6 8

9

13

5 24

153 174

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Од голема важност е да се се прикаже комутативниот закон, нагласувајќи: 1. Матриците од 4 x 7 и матриците од 7 x 4 ќе го дадат истиот одговор.

2. Овој концепт нè доведува до комутативното својство на мнoжењето кое е многу значајно.

3. Важно е да се забележи дека иако за пресметувањето важи комутативното својство, сепак ситуацијата во приказната е различна. Четири полици со по седум книги не е исто со седум полици со по четири книги. (Забелешка: врвот на полицата не се користи како полица.)

4 полици

7 полици

4. Приказните лесно можат да ја илустрираат комутативноста на броевите и некомутативноста на ситуациите. Математичките модели мораат да се групираат на некој начин за да ја претстават ситуацијата.

153 175

10.5. СТРУКТУРИ НА МНОЖЕЊЕТО И МОДЕЛОТ СО МАТРИЦИ

10.5.1. Мoдел на матрици Подолу е прикажан еден модел со матрица како начин да ги претставите четирите полици со по седум книги.

4 х 7 = 28 х

7

4

ООООООО ООООООО ООООООО ООООООО

а. подредени групи од елементи; б. ист број во секој ред, во секоја колона; в. обликот е правоаголен; г. важно е означувањето на секој составен дел за да се отслика ситуацијата. Употребата на моделот на матрица за да се претстави ситуацијата во приказната овозможува: а. визуелна претстава на ситуацијата во приказната; б. поставува граници; в. ги фокусира учениците. Моделот „дел-дел-цело“ не е соодветен за задачите со множење, бидејќи тие ретко се состојат од два дела и едно цело. Но, Сингапурците и Јапонците користат едноставни илустрации кои се наречени модели со прачки или ленти на кои може да се гледа како на помагала кои може да се користат при решавање на одредена задача.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Притоа може да се дефинираат составните делови на моделот со матрица:

24

9

13

5 24

153 176

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

На пример, за да се илустрира делењето на 15 со три, тие прават прачка која го претставува бројот 15 (15 елементи) и размислуваат, колку групи од по 3 елементи се потребни за да се добијат 15 елементи?

Ваквиот вид цртежи е сличен со цртежите кои се користат во Сингапур и Јапонија. Во Сингапур тие се наречени „модели со лента“ и различно се конфигурирани во зависност од задачата. Но, секоја количина има дел од приказот. Ако е позната, таа се впишува (како што 15 е впишано овде); ако не е позната, се користи променлива или прашалник. Друг модел е моделот со матрици. Кои се предностите при користење на моделот со матрици? За некои ученици кои интуитивно сакаат да го претстават бројот на групи во задача, на пример во задача во која 4 деца добиваат по 6 колачиња, учениците можеби ќе ги претстават децата кои добиваат колачиња како и споделените колачи. Тие мислат 4 деца, покажувајќи на 4 бројачи, потоа распредели по 6 колачиња на секое дете, потоа распределуваат по 6 бројачи на секој бројач (дете). Потоа ќе ги избројат сите бројачи, вклучувајќи ги и тие кои ги претставуваат децата. Моделот на матрица е направен за да се избегне овој проблем. Со моделот на матрица учениците можат да ѝ излезат во пресрет на својата интуитивна потреба и да ги претстават децата така што ќе ги прикажат надвор од хоризонталната и вертикалната линија и ќе ги стават колачињата кои треба да се избројат внатре во ограничениот простор како што е прикажано на илустрацијата подолу:

х

6

4 О О О О

ОООООО ОООООО ОООООО ОООООО

Учениците мораат да ги зацврстат своите разбирања за множење, делење и пропорционално размислување на начини кои можеби ќе се разликуваат од оние кои се користат во структурите со собирање. Конкретните претстави стануваат почудни како што се зголемуваат броевите.

153 177

10.5.2. Матриците и множењето Како би можеле учениците да ги употребат матриците за да одредат колку книги има на полиците.

Некои начини кои можеби ќе ги предложат се: а. Можно е да се одреди колку книги има во матрица од 4 по 7 така што ќе се избројат сите кругови/точки до 28.

б. Некои ученици можеби ќе предложат да се брои по два. в. Друг начин да се добие одговорот е по пат на броење со прескокнување: 7, 14, 21, 28, или 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Оваа техника може да се користи со моделите со матрици или со прикази со повеќе групи. г. Учениците ќе бидат присилени да бројат почнувајќи со крајот на првиот или вториот ред. (Тие знаат дека има 7 во првиот ред, па така можат да кажат 7 и да почнат да бројат од осум во вториот ред. Ако знаат дека 2 реда од по 7 се 14, тие можат да кажат 14 и да почнат да бројат од 15 во третиот ред.) Притоа, резултатот од множењето треба да се впише внатре во ограничениот простор со матрицата за да се развие концептот дека делењето може да се научи од множење. Забележете го случајот на премин од множење кон делење. Би трбало да се истакне дека делењето е спротивна операција на множењето.

х

7

х

4

4

28

7

28

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Ако се развие концептот на комутативност, ќе ги напишете и двете равенства: 4 x 7 = 28 и 7 x 4 = 28 во ограничениот дел од матриците.

24

9

13

5 24

153 178

24

6 8

10.5.3. Модел со матрици и делење Што може да направат учениците со користење на манипулативи за да ја решат задачата: „48 бонбони треба да се поделат подеднакво на 8 деца. По колку бонбони ќе добие секое дете?“ Можни се следниве начини:

a

a. Составување на повеќе групи

10 9 7 3 5 264 б

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

OOO OOO Ѕ1

OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO OOO Ѕ2 Ѕ3 Ѕ4 Ѕ5 Ѕ6 Ѕ7 Ѕ8

1. Составувањето на повеќе групи се прави така што ќе им се подели една по една бонбона на секој од 8-те ученици. Тоа е интуитивен пристап дури и за многу малите деца. Општото искуство на учениците со споделување е основата за овој интуитивен модел кога во задачата се бара предметите подеднакво да се поделат.

2. За приказот со повеќе групи, соодветно прибележување за ова, според ка­ж­у­вањето на учениците во врска со „поделбата на колачињата“, е 48:8=6. Наставниците треба да се навратат на ситуацијата во задачата и да побараат од учениците да кажат дека ова равенство значи дека 48 колачиња подеднакво поделени меѓу 8 ученици резултира со тоа што секој ученик ќе има по 6 колачиња.

б. Составување матрици 1

Некој можеби ќе состави матрица4 .

Ако некој состави матрици, нека го сподели својот модел. Покажете го моделот на матрица со хоризонталната ознака „8 ученици“ и прашалник на вертикалната страна за тоа колку бонбони има. Напишете „48“ во аголот внатре. (Причината за ова е да се предочи визуелна слика.) Прашајте како би продолжил некој ученик. Најверојатно ученикот постојано би распределувал матрици од по 8. Како знае ученикот колку бонбони има секој? Тој ќе го изброи бројот на бонбони под секој од осумте ученици.

4 Кога ќе го претставите ова писмено, водете ги учениците да согледаат дека можат да стават 48 бонбони внатре во рамката на редовите, бидејќи овој износ ги претставува сите бонбони. Тие ќе ги стават маркерите кои ги претставуваат бонбоните во 8 реда кои го претставуваат секој ученик поединечно. (Понекогаш има прашања за тоа дали хоризонталните или вертикалните групи се викаат „редови“. Постојат хоризонтални редови и вертикални колони. Ова е важна разлика бидејќи на учениците ќе им биде потребно ова разбирање за да ги постават координатите на табела подоцна во математиката. Кога ќе прочитате „ред 5, колона 8“, погрешно ќе пренесат на табелата ако мислат дека „ред“ е вертикалната димензија.) Исто така, тие можеби ќе ги внестат бонбоните во редовите и ќе ги употребат колоните да ги претстават учениците. Ова е во ред сè додека редовите и колоните се точно означени.

153 179

МАТРИЦИ

8 (ученици)

? (бонбони)

48 OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO

Како наставник ќе потврдите дека 48 бонбони подеднакво поделени на 8 ученици ќе значи по 6 бонбони за секој ученик. „Можеме да запишеме равенство „48 : 8 = 6“. Од помош е идејата дека може да се мисли за делењето на начин како на множењето. 6 групи од по 8 елементи е 48. Можеме да запишеме:

6 x 8 = 48. Сега кога би направиле споредба и би направиле разлика помеѓу употребата на матриците и употребата на постојано собирање и одземање при решавањето задачи, може да се дојде до следниот заклучок:

1. Со користење на моделот на матрица има помала веројатност учениците погрешно да избројат колку елементи има во групата, бидејќи елементите треба да бидат поделени подеднакво во секоја група.

2. Употребата на повеќе групи е интуитивно за учениците.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

3. Моделот матрица е добра визуелна претстава за да се прикаже како се поврзани множењето и делењето.

24

9

13

5 24

153 180

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

10.6. ФОРМИРАЊЕ ГРУПИ ВО МАТРИЦА

(групи од по х-редови и y-колони) 10.6.1. Модел на матрица во која елементите може различно да се групираат Ученици знаат факти за множење со 2 и 5. Може да се користи приказна како следната: Г. Дрејк има 22 ученика во своето одделение. Тој сака да ги почести своите ученици за неговиот роденден. Купил 4 кутии со по 6 чоколадни колачиња во секоја. Дали г. Дрејк ќе има доволно чоколадни колачиња за да добие секој ученик по едно колаче? Објасни го својот одговор, кој се заснова на 4 х 6. Учениците лесно можат да состават матрица 4 х 6. (Можете да исцртате рамка за матрицата). Начинот на кој учениците ќе ги користат матриците ги тера да разберат како да се изградат непознати факти со помош на фактите кои веќе ги знаат?

х 4 кутии

6 колачиња во кутија OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO

Притоа може да ги насочите учениците за да видите како ги користат познатите факти за да дојдат до одговорот така што ќе им поставите прашања слични на подолу дадените. Прво прашајте ги учениците како тие би одредиле колку „колачиња“ има во тој ред.

1. Колку има во матрицата? Некој најверојатно ќе одговори „24“. Што значи бројот 24? (За да го поврзат одговорот со приказната).

2. Побарајте ученикот да опише како стигнал до 24. Побарајте и од другите ученици да наведат колку што е можно повеќе начини за решавање кои би ги употребиле. Еве неколку можни примери: „Сите ги изброив“. „Броев по четири“. „Броев по шест“. „Броев по два“.

153 181

3. Прашајте: „Дали некој согледува други групи кои можете да ги препознаете во матриците?“ Некој можеби би видел: „4 пара од точки се 8 точки“. Ако добиете ваков одговор, нацртајте 4 групи од по два елменти во матрицата внатре и под тоа напишете го равенството:

х 4 кутии

6 колачиња/кутија OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO

Ученикот можеби ќе продолжи и ќе препознае уште две групи (од две колони и четири реда) кои се 4 х 2 или може да одвои група од 4 х 4. Каков и да е одговорот, нацртајте повеќе подгрупи внатре во матрицата. Продолжете со процесот сè додека сите елементи не бидат опфатени.

А) Како што ќе се цртаат групите, напишете равенство за да го прикажете дистрибутивното својство. Овде ученикот добил 4 x 2 = 8.

Ученикот ќе нацрта група со елементи од две колони и четири реда и ќе ги напише броевите кои ја опишуваат оваа група внатре во матрицата. Тој ќе го вметне равенството во загради и ќе привлече внимание на фактот дека 4 х 2 е само дел од 4 х 6 матрицата.

4·6=(4·2)+ (4·2)+ (4·2) 4·6=16+8 4·6=24 колачиња

Б) Кога ќе се одреди бројот на колачиња и ќе се запише „4 x 6 = 24 колачиња“, може да

се направи експлицитна врска за учениците: „За да се реши 4 х 6, го разложивме 6 како збир на три еднакви собироци, т.е. „2 + 2 + 2“ за да ја направиме задачата полесна за размислување. Потоа секое „2“ го помноживме со 4.

4·6 е исто што и 4·(2+2+2). (Ова напишете го!)

В) Вака изгледа матрицата со означените групи. х

6 колачиња/кутија

4 кутии

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Постојат други комбинации од помали групи во поголеми групи кои би можеле да ги

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

4·6=8+8+8

24

9

13

5 24

153 182

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

предложат учениците. Секој предлог на одреден ученик, наставникот мора соодветно да го запише. На пример: 1) Разложете го 6 на 5 + 1.

4 x 6 = (4 x 5) + (4 x 1) 4 x 6 = 20 + 4 4 x 6 = 24 колачиња 4 x 6 = 4 x (5 + 1) (4 x 6 е исто што и 4 x (5 + 1) 2) Разложете го 6 на 2 + 4.

4 x 6 = (4 x 2) + (4 x 4) 4 x 6 = 8 + 16 4 x 6 = 24 колачиња 4 x 6 = 4 x (2 + 4) (4 x 6 е исто што и 4 x (2 + 4) 3) Разложете го 4 на 2 + 2

4 x 6 = (2 x 6) + (2 x 6) 4 x 6 = 12 + 12 4 x 6 = 24 колачиња 4 x 6 = (2 + 2) x 6 (4 x 6 е исто што и (2 + 2) x 6 4. Без знаење или без вежбање со учениците, броење со прескокнување, разложување и повторно сложување, учениците можеби ќе бројат сè. Тогаш ќе има потреба да се постават прашања кои ќе ги водат учениците при формирање на групите во матрицата. На пример: a. Дали знаеш некои факти за множење со 4? б. Дали имаме толку групи овде? в. Има ли уште некое разложување со по 4 елементи кое би можеле овде да го прикажеме? Како формираните групи во матрицата им помагаат на учениците? а. Формирањето групи во матрици е моќен метод за изнаоѓање на повеќе решенија за ситуациски задачи. Врските меѓу различните разложувања и како се тие меѓусебно поврзани се од помош при разбирање на броевите. б. Формирањето групи во матрица на учениците им овозможува да ги истражуваат и да ги дознаат фактите кои не ги знаат. в. Матриците се моќни алатки со кои можат да се истражуваат факторите и разложувањето при множењето. г. Матриците помагаат при развивање на разбирањето на дистрибутивното својство кога се формираат групите во матрица.

153 183

д. Матриците помагаат при поставување на основите за развојот на пропорционалното мислење бидејќи тие лесно ги поврзуваат пропорционалните табели. Пропорционалното размислување е критична карактеристика во рамките на концептуалното поле на структурите со множење. ѓ. Матриците можат да ги претстават скоро сите ситуации на структурите со множење, освен комбинациските ситуации. е. Матриците јасно ја илустрираат врската меѓу множењето и делењето.

10.6.2. Дистрибутивното својство на множењето во однос на собирањето и одземањето Во овај дел ќе биде покажано како учениците можат да ги употребат познатите факти за да ги решат основните и повеќецифреното множење. Прикажана е матрица 6 х 9, треба да се размисли за начините на кои таа може да се раздели на помали групи. Во зависност од формирањето на групите, ќе има повеќе решенија.

МАТРИЦИ 9

6

OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO

А) Што би можело да биде главно прашање кое би им помогнало на учениците да започнат да формират група во рамките на оваа матрица. Кои факти ги знаете во врска со броевите 6 или 9?

Б) Самите прикажете го првиот одговор, поставувајќи соодветни прашања додека учениците работат.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

х

24

9

13

5 24

153 184

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Пример: Дали знаете некои факти во врска со бројот 9? ``Јас знам дека 5 x 9 е 45. (Формирајте група од пет реда со по девет елементи, 5 x 9!)

х

9

6

OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO

Која друга група може да ја формирате? Остана уште еден ред со девет елементи: 1 x 9. Колку е 1 x 9?

1 x 9 = 9 (Допишете го равенството!)

Напишете:

х 9

6

OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO OOOOOOOOO

5 x 9 = 45

1x9=9

Значи, колку е 6 x 9? Ако знаеме дека 5 x 9 = 45, уште што треба да направиме? Да го одредиме збирот 45 + 9, а тој е 54. Заклучуваме 6 x 9 = 54. Она што го направивме е дека бројот 6 го разложивме на 5 + 1.

6 x 9 = (5 + 1) x 9 6 x 9 = (5 x 9) + (1 x 9) 6 x 9 = 45 + 9 = 54

Во следниот пример, едниот множител е разложен на еднакви собироци (на пример 6 x 9 = 6 x (3 + 3 + 3)) и беше видливо откако се формираа групите. Штом учениците ќе го разберат концептот, дистрибутивното својство ќе стане првиот чекор во нивното размислување.

153 185

Дадете им шанса на повеќе ученици да ја вежбаат оваа стратегија. Следуваат само неколку од многуте можни одговори:

a. Разложување на 9 како 9 = 3 + 3 + 3.

6 x 9 = (6 x 3) + (6 x 3) + (6 x 3) 6 x 9 = 18 + 18 + 18 6 x 9 = 36 + 18 6 x 9 = 54 6 x 9 = 6 x (3 + 3 + 3)

б. Разложување на 9 како 9 = 5 + 4.

6 x 9 = (6 x 5) + (6 x 4) 6 x 9 = 30 + 24 6 x 9 = 54

в. Разложување на 6 како 6 = 3 + 3.

6 x 9 = (3 x 9) + (3 x 9) 6 x 9 = 27 + 27 6 x 9 = 27 + (3+24) 6 x 9 = (27 + 3) + 24 6 x 9 = 40 + 14 6 x 9 = 54

г. Разложување на 9 како 9 = 3 + 6.

6 x 9 = (6 x 3) + (6 x 6) 6 x 9 = 18 + 36 = 18 + (30+6) = (18+30) + 6 6 x 9 = 48 + 6 6 x 9 = 54

Компензација е начин на решавање кој може спонтано да се појави на час кога учениците наоѓаат алтернативни решенија на проблеми, особено ако ги користеле во собирањето и одземањето од Математика со размислување. Овај начин на решавање ги користи „лесните“ броеви затоа што учениците сакаат да ги знаат множителите на десет. Еден начин за докажување или воведување на компензацијата како начин на решавање при множење е преку матрици.

Како дискусијата на час може да се насочи за да го постигнете ова:

6 x 9 = 6 x (10 – 1) 6 x 9 = (6 x 10) – (6 x 1) 6 x 9 = 60 – 6 6 x 9 = 54.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Притоа е важно учениците да се научат да ги користат најголемите броеви со кои можат да го разложат едниот множител.

24

9

13

5 24

153 186

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Покажете како ова го отсликува мисловниот начин на решавање со компензација за производот 6 x 9:

6 x 10 = 60 6x1=6 60 – 6 = 54. Притоа имајте ги предвид следниве идеи за моќта и употребата на матрицата:

А) Во овој почетен степен важно е овие равенства постојано да се пресликуваат

(поврзуваат) со матриците поставени на ученичките клупи. Овој запис треба да се направи веднаш, исто како за собирањето и одземањето. Учениците мора да ги поврзат нагледните средства со математичките симболи.

Б) Разложувањето на еден ред е различно од разложувањето на број, кој може да се

раздели секако сè додека ништо не се додава или одзема од него. Разложувањето на ред е разложување со множење базирано на множители. Множителите го одредуваат начинот на разложување.

В) Формирањето групи во матрици го илустрираат дистрибутивното својство, што е

важно во делењето и во множењето со повеќецифрени броеви. Тоа е исто така важно својство во алгебрата. Иако можеби се чини дека не е неопходно да се прикаже оваа стратегија со мали факти, сепак таа е моќно својство за децата да ја разберат и развијат како алатка за подоцнежна употреба.

Г) Матриците треба да се воведат во ситуации кои природно водат до визуелизација на формираните групи во редови и колони.

153 187

10.7. МАТРИЦИ И ДЕЛЕЊЕ Формирањето групи во матрица како стратегија за разложување преку множење може да се користи за решавање на проблеми со делење. Како учениците (или ученици со различен степен на знаење) ќе одлучат колку групи од елементи се потребни за да го решат проблемот: „Еден хор во училиштето брои 48 члена. Тие за настап треба да бидат наредени по 8 во секој ред. Во колку редови ќе бидат распоредени членовите на хорот?“ Kога учениците ги формираат групите, веројатно прво само ќе бројат, т.е. по 8 ученици во еден ред сè додека не стигнат до 48. Во колку редови од по 8 ученици ќе настапи хорот. Забележуваат дека осумте ученици кои формираат еден ред можат да бидат наредени во 6 реда. Составениот ред, меѓутоа, може да се искористи за истражување на стратегијата за делење на двоцифрени или трицифрени броеви кога не се користат нагледни средства.

1

1. Подолу ќе биде претставен еден начин како да им помогнете на учениците да направат врска помеѓу користењето матрици во множење и во делење.

А) Првото прашање за учениците би било: Со кои информации може да почнеме?

Учениците ќе одговорат дека има 48 ученици и дека можат да бидат по 8 ученици во ред. Сега, кажете им: „Јас ќе го нацртам мојот ред. Назнаката на хоризонталната оска ќе биде 8 ученици, а на вертикалната ќе биде ? редови“.

8 ученика

?

_______ редови

Ќе нагласам дека ќе ги поделиме 48-те члена на хорот во групи од по 8 ученици. Еден начин да се прикаже тоа е да се напише знакот за делење. (Напишете 48 : 8.)

Б) Потоа може да ги прашате учениците дали може да бидат наредени во 10

реда. Има ли 10 групи од по 8 елементи во 48? (Извлечете одговор од вашите ученици). Учениците може да знаат дека 8 x 10 = 80 и да кажат дека тоа е премногу. А половина од тоа? А 5 групи од по 8 елементи? Половина од 80 е 40, значи тоа може. Сега поставете 5 реда од по 8 елементи во низата и запишете го равенството.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

х

24

9

13

5 24

153 188

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

173

5 24

8 ученика

?

▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲

48 : 8 -40 (5 x 8) 8

Забележете дека имате поставено 40 ученици во 5 реда. Колку ученици преостануваат? Учениците треба да одговорат: Има уште 8 и нив ќе ги распоредиме во еден ред. (Пополнете го последниот ред и одземете ги тие 8 од остатокот).

х

8 ученика

?

▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲

48 : 8 -40 (5 x 8) 8 -8 (1 x 8) 0

Сега е време од учениците да извлечете заклучок дека има 6 групи од по 8 елементи во 48 и да го запишете равенството: 48 : 8 = 6. Привлечете внимание на првите 5 групи и едната дополнителна група кои заедно прават 6. Ние мислевме на 6x8 како на (5x8) + (1x8). Некако го претставивме делот „множење, делење“ со долгиот процес на делење. Сега е време кога наставниците треба да направат поврзување со фактот дека знаењето факти за множење директно го помага процесот на делење. Ние мислевме „8 пати по колку е 48?“

810 2 9

х

Ова е можност дополнително учениците да искористат 6 x 8 за да вежбаат различни разложувања. Тука, исто така, е важно да се вежба начинот на запишување како во Математика со размислување.

2. Визуелизација со помали броеви а.

Воведувањето на следната стратегија со мали броеви ќе ги подготви учениците да бидат способни подоцна да го користат концептот со поголеми броеви.

б.

Важно е учениците да го видат визуелниот пример, а наставниците да го поврзат со дистрибутивното својство.

в.

Штом се разбере концетот, учениците треба да бидат способни да го користат поимот без визуелниот пример.

г.

За да биде овој метод успешен, учениците треба да разберат дека множењето и делењето се обратни операции.

д. Навистина треба учениците да го видат дистрибутивното својство визуелно. Па ќе речете нешто како: „бидејќи знаете дека 5 x 8 = 40 знаете дека има 40 во малата

153 189

група. Тоа претставува 40 од 48 ученици распределени или поделени во групи од по 8 елементи. Можеме да го прикажеме тоа како 40 : 8. Колку групи од по 8 елементи се формирани?“ 5. Формирајте група од 5 реда со по 8 елементи во секој ред. Запишете одозгора 48 : 8, (40 : 8). „Ќе ставам големи загради околу ова, бидејќи 40 е само еден дел од 48“. Прашајте кој друг факт за множење на 8 остана во редот: (1 x 8 = 8). Подвлечете линии за да прикажете 1 x 8. „Што би следело по ова за делењето со 8?“ (8 : 8). Запишете го тоа!

8 во секој ред ?

48 5

1

8

OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO

8

OOOOOOOO

„Сега сите 48 ученици ги имаме поставено во редови. Колку редови се формирани за првата група од 40 ученици?“ Се очекува одговорот – 5. „Може да напишеме 5 под таа група. Колку ученици останаа?“. 8. Тие формираат еден ред (1). „Значи тука можеме да напишеме 1“.

48 : 8= =5 + 1 Колку реда вкупно се формирани? Се очекува одговор – 6. Што прикажавме тука? Запаметете ги сите начини за разложување на броеви за полесно пресметување! (Дадете визуелни потсетници.) Можеме да гледаме на 48 како на 40 + 8. Така можеме да гледаме на 48:8 како на 40:8 плус 8:8. 5+1=6. Можеме да завршиме со записот што е 48 : 8 = ? (48 : 8 = 6).

48 : 8= =(40 : 8) + (8 : 8)= =5+1=6 48 : 8 = 6. Советувајте ги учениците дека еден начин за откривање факти што не ги знаат е да ги разложат на начини што ги знаат.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

=(40 : 8) + (8 : 8) =

24

9

13

5 24

153 190

a.

24 3

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

За приказ како проблемот може да се реши со помош на множење, подолу е даден еден алтернативен запис:

48 = ? x 8

(5 x 8) + (1 x 8) = 40 + 8

5+1=6

6 x 8 = 48.

5 реда од по 8 ученици се 40 ученици и 1 ред по 8 ученици се 8 ученици. Тоа се 48. Има 6 реда од по 8 ученици кои го даваат вкупниот број, 48 ученици.

3. Важно е да се потенцира дистрибутивното својство. Зошто тоа е толку важно во структурите за множење? a.

Може да помогне да се развие подлабоко разбирање на структурите за множење, особено со користење на нагледни средства.

б.

Со разложување и повторно составување на броевите се прават можности за повеќе точни решенија.

в. Има директна врска за користењето на дистрибутивното својство во алгебрата. г. Овозможува умствена математика на високо ниво.

153 191

10.8. ПОЧЕТОЦИ НА ПРОПОРЦИОНАЛНО РАЗМИСЛУВАЊЕ

10.8.1. Развивање пропорционална табела од низа Множењето и делењето ретко се учат со користење на почетоците на пропорционално размислување во воведните поглавја од учебниците. Затоа е потребно да се вклучи овој вид размислување, бидејќи се поврзува не само со структурите за множење, туку и со концептите на посложената математика и наука. Повторно ќе ја искористиме приказната: „Г. Дрејк има 22 ученика во своето одделение. Тој сака да ги почести своите ученици за неговиот роденден. Купил 4 кутии со по 6 чоколадни колачиња во секоја. Дали г. Дрејк ќе има доволно чоколадни колачиња за да добие секој ученик по едно колаче? Која метода ја користевме претходно. Со помош на матрицата

6

4

OOOOOO OOOOOO OOOOOO OOOOOO

и процедура на броење може да се состави табела: Еден од учениците нека почне со броење. На крајот на првиот ред кажете: „Колку има во една кутија?“ 6.

кутии

Запиши: 1

колачиња 6

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

х

24

9

13

5 24

153 192

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Ученикот продолжува да брои. Застанете на крајот на вториот ред. „Значи во две кутии колку колачиња има?“ 12.

Продолжете ја табелата:

кутии

колачиња

1

6

2

12

Продолжете на овој начин сè додека не завршете со целосното броење.

кутии

колачиња

1

6

2

12

3

18

4

24

Забележете дека составувањето табела во исто време со ред на почеток, на учениците им овозможува визуелен пример за тоа што значат броевите во табелата.

10.8.2. Воведување табели без матрици Користењето пропорционални табели е почетна активност која помага во поставува-њето основи за пропорционално размислување. За следната приказна: „Ако во едно големо пакување со мастики има 8 мастики, колку ќе има во 4 такви пакувања?“ Дадена е постапката на решавање со табела без матрица. Откако на учениците ќе им потенцирате колку гуми за џвакање има во 1 пакување, потоа 2 пакувања и така натаму, запишете ги одговорите во табела:

пакетче

гуми за џвакање

1

8

2

16

3

24

4

?

153 193

Учесниците нека ја испитаат табелата за наоѓање шеми, откако ќе биде готова. Тие може да заклучат: a. Броевите во колоната за пакувања се зголемуваат за 1. б. Броевите во колоната за гуми за џвакање се зголемуваат за 8. (Зошто? Има уште едно пакување со гуми за џвакање во кое има уште 8.) в. Бројот на гуми за џвакање е секогаш 8 пати повеќе од бројот на пакувања.

1

Што треба да се знае за пропорционалните табели?

Пропорционалните табели може да бидат вертикални (како погоре) или хоризонтални (како подолу). Вертикалната форма е слична со таа на односот (1:8). Хоризонталната форма е слична на дропка 1 . Вертикалната табела често се нарекува Т-табела затоа што рамката 8 изгледа како буквата Т.

Пакетчиња

1

2

3

4

Мастики

8

16

24

?

2

Пакетчиња 1 2 3 4

Мастики 8 16 24 ?

Овие табели може почетно да се состават со помош на повторливо собирање или прескокнување во броењето. Споменете си дека целта е учениците на крај да ја препознаат врската со множење што е основата за пропорционално размислување. Пропорционалната табела го помага пропорционал­ното размислување. Нејзината употреба е како метод за решавање проблеми што бара размислување. Во раните искуства учениците треба да се советуваат да го гледаат секој чекор во пропорционална табела. Штом ќе ги совладаат шемите и врските, тие ќе забележат или може да бидат насочени кон кратенки како удвојување, утројување или множење со десет.

Пример: Најдете го бројот на колачиња во 7 кутии, ако 1 кутија содржи 6 колачиња; тие имаат делумно пополнета табела:

кутии

колачиња

1

6

2

12

4

24

7

?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

3 4

24

9

13

5 24

153 194

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

10.8.3. Пропорционални табели со четири елементи Пример: „Г. Смит продава користени моливи. Тој наплаќа по 3 центи за 2 користени молива. Ако г. Смит од продажбата на моливи денес заработи 48 центи, колку моливи продал?“ Се решава со помош на пропорционално размислување. Оваа задача се смета за покомплексна бидејќи коефициентот за 1 не е познат. За да се работи во ова ниво, учениците треба да ги разберат пропорционалните врски или Т-табелата (т.е. дека 2 ќе се однесува на непознатиот број моливи кои биле продадени, исто како што 3 ќе се однесува на 48-те заработени центи).

Центи

Моливи

3

2

48

?

Бидејќи 3 x 16 е еднакво на 48 (или 48 : 3 = 16), истата врска мора да се примени и на другата страна од табелата. Размислете колку е 2 x 16 = ? Некои ученици нема да бидат во можност лесно да пронајдат врска. Тие можеби ќе треба да размислуваат со помош на веќе познати факти. На пример: десет 3-ки = 30; ова значи дека пет 3-ки се пола од тоа, или 15. Петнаесет 3-ки се 45; уште една 3 (што прави 16) дава 48. Друг начин е да се искористи дека четири 3-ки се 12; осум се 24; така што шеснаесет 3-ки се 48.

153 195

10.9. ПРЕТСТАВЕТЕ МОДЕЛИ ЗА ОРГАНИЗИРАЊЕ НА РАЗМИСЛУВАЊЕТО ОКОЛУ ОДРЕДЕН ПРОБЛЕМ Исто како во собирање и одземање, и тука целта е да се придвижат учениците низ примери од конкретното кон апстрактното. Ова овозможува не само добар премин туку на учениците им помага да ги организираат информациите за да размислуваат преку правење поврзувања за одреден проблем. Подолу се дадени проблеми и размислувања за решенијата на ученици.

Пример: 1. Чаши Можно размислување за проблемот 1.

Во едно пакување има 8 чаши, јас имам 4 такви пакувања. Колку вкупно чаши имам?

Во едно пакување има 8 чаши, јас имам 4 такви пакувања. Значи може да помножам 4 пати по 8 (или да соберам 8 четири пати).

8

Изрази: 4x8 ?

8+8+8+8

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

Откријте го размислувањето!

24

9

8 чаши во едно пакување.

4 пакувања. Колку чаши?

?

13

5 24

153 196

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

810 9

173

5 24

Коли – играчки 1.

Колички 27 колички се пакувани во пакети. Во секој пакет може да се стават по 3 колички. Колку пакети се потребни за да се спакуваат сите колички?

Можно размислување за проблемот 2.

27 колички, пакувани во тројки. Колку 3-ки има во 27 (или колку е 27 поделено на 3)? Равенки: 27 : 3

27

3 x ? = 27 3

3+3+3 итн.… 27

27 коли

1 кутија

3 коли

1.

? кутии

Карти Можно размислување. Хуан има два пати повеќе карти од Кармела. Ако Кармела има 16 карти, колку карти има Хуан. Хуан

Хуан има двојно повеќе карти од Кармела. Што е два пати по 16 (или соберете 16 два пати). Изрази: 2 x 16

Кармела 16

16 + 16

153 197

4. Али има 130 долари, а неговиот брат 45 долари. Откако мајка им и на двајцата им даде еднаква сума пари, Али има двојно повеќе од брат му. По колку пари им даде мајка им? братот

45

130

?

24

Али

45 Братот сега

45

130 + ? = 2 (45 + ?)

130 + ? = 90 + 2?

130+? = 90+? + ?

(Проверка) 130 + 40 = 170 45 + 40 = 85

Одземете? од двете страни 130 = 90 + ?

130 = 90 + 40 ? = 40 (пари од мајка им)

85 е една половина од 170

пред

момчиња

45 девојчиња

5 делови се 45 1 дел = 9 4 дела = 36 36 момчиња и 9 девојчиња

потоа 36 момчиња девојчиња

6 делови се 36 1 дел е 6 6 девојчиња останале во одделението 9–6=3 3 девојчиња отишле на состанокот.

10 9 7 3 5 264

1

810

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

5. Во одделение со 45 ученици има 4 пати повеќе момчиња од девојчиња. Кога неколку девојчиња отидоа на состанок, останаа 6 пати повеќе момчиња од девојчиња. Колку девојчиња отидоа на состанокот?

6 8

9

13

5 24

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Примери, модели и алатки за полесно разбирање на множењето

153 198

24

6 8

11 1 5

ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 199

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

10 9

810

173 9 5 1 24 3 Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

6

6

СТРАТЕГИЈИ ЗА МНОЖЕЊЕ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ5 БРОЕВИ 2

4 6 8

153 200

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се демонстрира како проблемите со множење повеќецифрени броеви може да се решат со помош на алтернативни стратегии и разни нагледни средства. Обезбедување разни методи за множење и делење кои ќе доведат до поголемо разбирање. Да се идентификуваат неопходните концепти за работење со структурите за множење. Да се прикаже дистрибутивното својство со помош на модел на просторен шаблон и математичко запишување. Да се истражат разни достапни примери за решавање проблеми со повеќецифрени броеви. Да се илустрира правењето пропорционални табели. Да се потенцираат идеите во овој модул.

11.1. ГРАДЕЊЕ НА ОСНОВИТЕ ЗА МНОЖЕЊЕ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ 11.1.1. Идентификување на неопходното разбирање Има низа концепти кои им требаат на децата за да се здобијат со она што Меги Лемперт го нарекува „принципиелно разбирање на множењето повеќецифрени броеви“. Принципиелното разбирање е базирано на закони и принципи во математиката и оттука им овозмо­жува на луѓето да применат знаење низ низа контексти. Некои (подолу означените) мора да се на место, барем во некој почетен степен, пред да се воведат ситуациите со повеќецифрените броеви. Другите се развиваат постепено како што децата учат повеќе за овие посложени структури.

Листата што следи, иако можеби нецелосна, дава основен преглед на концепти кои мора да се земат предвид.

1. Месната вредност на цифрата дава значење на броевите 7 во 76, значи 70.

2. Броевите може да се разложат на многу начини без да се промени квантитетот: 76 = (70 + 6) = (75 + 1) = (25 + 25 + 25 + 1) =(50 + 26).

3. Броевите во изразите во кои е само операцијата собирање може да се групираат и додаваат на различни начини: 25 + 25 + 25 + 1 може да се групира како (50 + 26) или (25 + 51).

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

Принципиелно разбирање на множењето (Магдален Лемперт)

153 201

9

13

5 24

153 202

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

4. Комутативно и асоцијативно својство на собирање: 70 + 6 = 6 + 70 и 25 + 25 + 25 + 1 = 25 + 1 + 25 + 25.

5. Мултипликативно сложување на броеви: 76 = 38 + 38 = 2 x 38; или 4 x 19.

6. Елементите на мултипликативните состави може да се групираат и множат на различни начини: 76 = (2 x 2) x 19 = 4 x 19 = 2х(2 x 19) = 2х38.

7. Комутативно и асоцијативно својство на множење: 4 x 19 = 19 x 4 и ( 3 x 2 )x 4 = 3 x (2х4).

8. Дистрибутивно својство: броевите може да се разложат преку собирање, да оперираат посебно, а парцијалните резултати да се состават повторно за да се добие резултатот: 8 x 76 = 8 x (70 + 6) = (8 x 70) +( 8 x 6) = 560 + 48 = 608, исто така (4 x 12) + (4 x 8) = 4(12+8) или 4 x 20.

11.1.2. Множење двоцифрен со едноцифрен број Учениците може да се поделат во групи и од нив да се побара да создадат проблемска ситуација чиешто решение е производот на броевите 28 и 4. Ако некој состави приказна 4 x 28, треба да се воочи разликата и да се нагласи важноста од соодветна визуелизација. Добро е, исто така, од учениците да се побара да направат цртеж што ќе ја претстави ситуацијата. Подолу е даден описот на приказната со пеперутките како модел за групна дискусија. Приказната со пеперутките е смислена од учениците на истражувачката Меги Лемперт.

Пример: Колку вкупно пеперутки има во 28 тегли, ако има по 4 пеперутки во секоја тегла?

10 + 10 + 8

Решение 1

10 x 4 = 40

10 x 4 = 40

8 x 4 = 32

40 + 40 + 32 = 112

153 203

Ученик смисли приказна за колекција на пеперутки распоредени во 28 тегли, по 4 пеперутки во секоја тегла. Следниот дијалог содржи некои прашања кои илустрираат почетно размислување за проблемот. Наставникот прикажува цртеж на 28 тегли со по 4 пеперутки во секоја тегла. (Прикажан е разговорот). Н: Може ли да процениш колку вкупно пеперутки има во теглите? (Запишува неколку проценки). Н: Ќе биде полесно да се избројат теглите со пеперутки (вселенски бродови, кутии...) ако гледаме на нив како на групи. Кое е најлесното групирање што можеш да го направиш? У: Да ги групирам по 2. Н: Има ли поголема група, полесна за пресметување? У: Да, можам да ги групирам по 5. Н: Има ли уште поголема група со која е лесно да се работи? (Се бара одговорот 10.) У: Да, можам да ги групирам по 10. Наставникот формира група од 10 тегли со помош на Венов дијаграм. Н: Значи ако во секоја тегла има по 4 пеперутки, колку пеперутки има во ова

множество? Тука се мисли на 10 тегли по 4 пеперутки во секоја тегла. 10 тегли со по 4 пеперутки. (Запишува 10 x 4 =). У: 40.

У: Броев по 4 и добивав 4, 8, 12, 16.........40. Н: (Го завршува равенството: 10 x 4 = 40). Има ли уште една група од 10 тегли? У: Да. Н: Покажи ми на цртежот! (Ученикот брои 10 тегли.) Ајде да го заокружиме и тоа. Н: (Запишува уште еднаш 10 x 4 = 40). Има ли уште една група од 10 тегли? У: Не. Н: Уште колку тегли преостануваат? У: Уште 8 тегли.

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

Н: Објасни ми како дојде до ова?

24

9

13

5 24

153 204

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

Н: Како можеме тоа да го запишеме? У: 8 x 4= . Н: (Запишува 8 x 4 =) Значи колку пеперутки? У: 32 пеперутки. Н: (Го завршува равенството: 8 x 4 = 32. Сега напиша ги на таблата следниве равенства:

10 x 4 = 40

10 x 4 = 40

8 x 4 = 32).

Знаеме ли колку вкупно пеперутки има во 28-те тегли? У: Има две групи по 40 пеперутки и една група со 32 пеперутки, значи треба да се собере 80 + 32. Н: Велиш дека има 40 пеперутки во секоја група од по 10 тегли? Во двете групи од по 10 тегли има 40 + 40 пеперутки и преостануваат уште 32 во 8-те тегли. Тоа се нашите 28 тегли. Значи, ако ги ставиме сите заедно тоа ни кажува колку пеперутки има во сите тегли. (Запишува 40 + 40 + 32=) Ајде некој нека го одреди збирот. У: 40 + 40 = 80 80+( 20 +12)=(80+20)+12=100+12= 112. Н: Ти 32 го разложи како 20 + 12 за да го олесниш собирањето. Дали сите се согласувате? (Записот е целосен.) Н: Да, дали нашите проценки беа разумни?

Важни потсетници за наставникот се: ``прашувањето што води до групирање со 10-ки; ``формирањето групи; ``крајното запишување. Притоа наставниците може да следат предлог на некој ученик да се групираат по 2 или по 5 за да се прикаже контрастот со употребата на 10. Но целта е да се употреби 10.

153 205

11.2. ДИСТРИБУТИВНО СВОЈСТВО – МНОЖЕЊЕ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ 11.2.1. Решавање проблем со повеќецифрен број Ќе дадеме пример на множење на двоцифрен со двоцифрен број. На пример, да се определи производот на броевите 18 и 24. Проблемот може да биде прикажан со помош на нагледни средства или слики. Добро е учениците да ги поврзуваат чекорите запишани со помош на математички симболи со чекорите направени со помош на нагледни средства или слики.

Пример: Разложување на бројот 18. Чекорот 1 покажува разложување на бројот 18 како: 18 = 10 + 8 од страна на еден ученик. Во чекорот 2 ученикот го разложува бројот 24 како: 24 = 20 + 4 за да го помножи со 18.

18 x 24 = __

18

24

10

10 x 24 = 240

240

10

8

8 x 24 = ?

8 x 20 = 160

8 8 x 4 = 32

Чекор 1

Чекор 2

18 x 24 (разложи го бројот 18)

8 x 24 (разложи го бр. 24)

(10 + 8) x 24

8 x (20 + 4) (примени го дистрибутивното својство)

(10 x 24) + (8 x 24)

(8 x 20) + (8 x 4)

10 x 24 = 240

160 + 32 = 192

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

24

24

9

13

5 24

153 206

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Ако побарате збир на „деловите од површината“ ќе ја добиете вкупната „површина“.

240 + 192 240 + 100 = 340 340 + 90 = 430 430 + 2 = 432 Овие пресметки може исто така да се запишат на многу покомпактен начин.

18 x 24 = (10 + 8) x 24 (10 x 24) + (8 x 24) 240 + 8 x (20 + 4) 240 + (8 x 20) + (8 x 4) 240 + 160 + 32 432

Пример: Разложување на бројот 24. Чекорот 1 од овој пример го покажува разложувањето на бројот 24 како 20+4. Прво, 20 се множи со 18. Во чекорот 2, 18 се разложува како 10 + 8; потоа секој се множи со 4.

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

18 x 24 =____

20

4

10 x 4 = 40 10

18

360

18 x 20 = 360

8

Чекор 1 18 x 24 18 x 20 = 360

Чекор 2 18 x 4 10 x 4 = 40 8 x 4 = 32

8 x 4 = 32

153 207

Ако побарате збир на „деловите од површините“ ќе ја добиете вкупната „површина“.

360 + 40 + 32 = 432 Друга верзија да се запишат овие пресметки е прикажана подолу: 18 x 24 = 18 x (20 + 4)

24

(18 x 20) + (18 x 4) 360 + (10 + 8) x 4 360 + (10 x 4) + (8 x 4) 360 + 40 + 32 432  Разложување и 18 и 24. Примерот подолу го покажува разложувањето на броевите 18=10+8 и 24=20+4 на почеток, разделувајќи го правоаголниот простор на четири дела.

18 x 24 =____ 24 20 10 18

4

10 x 20 = 200

10 x 4 = 40

8

8 x 4 =32

8 x 160

Пример на запишување: 18 x 24

x 24 200 160 40 +32 432

Записот надесно ги пресликува чекорите налево. Учениците би требало да имаат солидно разбирање за вредноста на секој број за да го користат овој метод.

Во сите споменати примери може да се воочи примената на дистрибутивното својство. Постојат низа методи за запис на множење и делење со повеќецифрени броеви. Овие примери се концентрирани на запис кој го покажува дистрибутивното својство. Првичното користење на хоризонтален запис го помага разбирањето. Овие начини на решавање носат поголема точност во пресметките. Овие методи може лесно да се префрлат во вертикален запис доколку биде потребно.

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

(10 + 8) x (20 + 4) 10 x 20 = 200 8 x 20 = 160 10 x 4 = 40 8 x 4 = 32 200 + 160 = 360 40 + 360 = 432 + 400 = 432

18

6 8

9

13

5 24

153 208

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

11.3 ПОСТАВУВАЊЕ ВРСКА МЕЃУ ДИСКУСИЈА, НАЧИН НА ПРЕТСТАВУВАЊЕ И ЗАПИШУВАЊЕТО

Проблемот со теписонот: Директорот одлучи да постави теписон во дел од нашата училница. Ние ги измеривме димензиите на подот и запишавме дека подот има должина 47стапки и ширина 26 стапки, ја одбравме и бојата на теписонот, но ни остана да пресметаме колку теписон ќе ни биде потребно за да го покриеме подот? Може да се случи некој од учениците да предложи решение со цртеж или милиметарска хартија. На почеток на учениците им е лесно да користат милиметарска хартија со квадратите како посебни единици за решавање проблеми. Меѓутоа, како што растат броевите ова станува „заморно“. Ќе демонстрирате како да ги придвижете учениците кон поапстрактна форма на претставување штом ќе разберат како да ги користат квадратчињата за претставување посебни единици. Како да ги наведете учениците да го воочат моделот на претставување што го употребивте. Најпрво е добро да ги прашате учениците да пресметаат 26 x 47 и да го објаснат своето размислување на пр. „бидејќи 50 x 20 = 1000 и 50 x 30 = 1500“, одговорот треба да биде помеѓу 1000 и 1500 квадратни стапки теписон. Бидејќи одговорот ќе биде многу голем, кажете им дека ќе нацртате дијаграм заснован на разложување на броевите. Учениците нека го разложат секој множител: 47=40+7 и 26=20+6. Напишете ги овие броеви од страните на правоаголникот. Подолу е демонстриран еден начин на запишување и покажете го значењето на симболите.

153 209

Дискусија Нашиот израз е 26 x 47. Ние го разложивме бројот 26 како 20 + 6 и бројот 47 како 40 + 7. Сега треба да го добиеме производот за секој дел. Овој дел е 20 по 40. Може да го напишеме тоа. Колку е 20 по 40? Учениците ќе одговорат 800. Прашајте ги како го знаат тоа. Сега множиме 6 x 40.

Дијаграм

Запис

26 x 47

26 x 47 40

+

7

20 20 x 40 + 6

Колку се 6 по 40? 240. Како го знаевте тоа?

6 x 4 е 24, та ка што 6 x 40 е 240. Продолжи. Помноживме 40 сo 26. Сега треба да помножиме 7 со 26.

40 20

Прво, 20 x 7 e 140. И на крај, 6 x 7= 42.

+

Сега треба да го одредиме збирот на добиените производи.

6

+

7

800 6 x 40

240

940 плус 240 е 1180 40

1180 плус 42 е 1222. Па, 1180+20 е 1200 и 1200+22 е 1222. Значи го разложи 42 на 20 + 22? Да. Значи колку е 26 x 47?

1222.

20

20 x 40

+

800

6

6 x 40

+

7

20 x7 140

240

И што претставува 1222? Тоа е плоштината на делот во нашето крило кој треба да го покриеме со теписон, а за тоа пресметавме дека ни се потребни

40 20

20 x 40

+

800

+

7 20 x 7

140 6x7

(мерено во квадратни стапки).

6

6 x 40

240

42

26 x 47 (20 + 6) x (40 + 7) 20 x 40 = 800 6 x 40 = 240 20 x 7 = 140 26 x 47 (20 + 6) x (40 + 7) 20 x 40 = 800 6 x 40 = 240 20 x 7 = 140 6 x 7 = 42 800 + 140 = 940 940 + 240 = 1180 1180 + 42 1180 + (20 + 22)= =1200 + 22 = 1222 26 x 47 = 1222

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

1 222 теписон

26 x 47 (20 + 6) x (40 + 7) 20 x 40 = 800 26 x 47 (20 + 6)A x (40 + 7) 20 x 40 = 800 6 x 40 = 240

20 x 40

800 + 140 е 940.

Како го направи тоа?

(20 + 6) x (40 + 7) 20 x 40

9

13

5 24

153 210

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

Наставникот можеби ќе сака учениците да го одредат бројот во dm2 , cm2 , dam2 . Шемата за решавање на задачата може да изгледа како долунаведеното. Следниве чекори се малку поразлични од умствениот модел. 47 x 26

40

+

7

20

20 x 40

20 x 7

800

140

+ 6

6 x 40 240 1040

6 x 7 42 182 = 1222

+

Примери за напредокот кон пософистицирани цртежи: Проблеми со теписонот 26 х 47

Проблеми со теписонот 26 х 47

Цтрање посебни прачиња

Цтрање гоелми прачиња 40

+

7

20 + 6

20х 40 = 800 20х7=140

800

140

6х40 = 240 6х7=42

240

42

1040 + 182 = 1222

Има многу начини на решавање на проблемите со множење: илустрации, табели, разложување на множителите и користење просторен модел. Учениците, исто така, користат различни начини на решавање за да добијат одговор на одреден проблем (на пр.

20 x 6) штом ќе го креираат моделот. Начините на решавање може да вклучуваат: ``Броење на сè вкупно. ``Избегнување на броењето. ``Користење својства на множењето. Правење подгрупи во група. Користење познати факти за да Aсе надополнат непознатите.

153 211

11.4 КОРИСТЕЊЕ НАГЛЕДНИ СРЕДСТВА ЗА РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ СО ПОВЕЌЕЦИФРЕНИ БРОЕВИ

11.4.1. Проблемот со собирање конзервирани производи Пример: Учениците од едно училиште собираа конзервирани производи за домот за бездомници. Како што ги носат така и ги ставаат конзервите во кутии. Секоја кутија собира 24 конзерви. Колку конзерви храна имаат собрано учениците во октомври ако целосно се наполнети 32 кутии? При решавање на проблемот собирање конзервирани производи треба да се направи детална анализа која ќе се фокусира на тоа што треба да определат учениците. Ќе бидат понудени повеќе начини на решавање на проблемот (задачата) при што ќе бидат понудени неколку алатки, на пример: ``Т-табела; ``милиметарска хартија; ``хартија со точки; ``празни листови хартија;

При разгледување на секој начин на решавање на проблемот ќе биде даден одговор на следните прашања: ``Кој начин на решавање на задачата може да се предложи? ``Колку беше тешко да се искористи алатка? ``Како може учениците да го искористат примерот за да го решат проблемот? Што може тие да забележат? ``Што сакате да слушнете во нивните објаснувања?

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

со цел да се процени неговата корисност и соодветност за моделирање на проблемот.

24

9

13

5 24

153 212

1

Т-табела

Очекуван одговор: Неефикасно е да се обидувате да броите и да направите ваква табела со бројки.

24

6 2 8

10 9 7 3 5 264 3

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

Учениците може да употребат разни начини на решавање со броење, почнувајќи од броење на сè вкупно до повторливо собирање на 24 (или 32) за да состават табела. На пример, стратегијата со таква табела може да биде како прикажаната оддесно.

Кутии

Конзерви

1

24

2

48

3

72

30

720

32

768

 

Празна хартија

Собирање конзервирани производи

Просторен модел (пософистициран) Овој модел се заснова на способноста да се размислува во стотки и десетки.

6 x 100 = 600 16 x 10 = 160 2x4=8 600 + 160 + 8 = 768

10 +

24 10 +

4

10 + 10 32 + 10 + 2

Милиметарска или хартија со точки

Очекуван одговор:

``И двете алатки наложуваат цртање на табела 32 x 24 како онаа со броевите. ``Употребата на молив и хартија наложува наоѓање групи во групи како дел од процесот на пресметка. ``И двата вида хартија може да се употребат или како посебни делчиња или како делчиња одделени од просторниот модел што искористува поголеми делчиња како на пример 30 по 20.

32 ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ********************************

153 213

******************************** 24

******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ******************************** ********************************

Постојат многу можности за запишување. Неколку од можните разложувања на групата се илустрирани овде.

а. Групи базирани на 24 24 x 4 = 96 (8 пати) (24 x 4) + (24 x 4) + (24 x 4) + (24 x 4) (4 пати) +

96

+

96 +

192

96

192

368 768 (двојно од 384 бидејќи 384 е само 4 пати по 24, а не 8 пати по 24).

(24 x 10) + (24 x 10) + (24 x 10) + (24 x 2) 240 + 240 + 240 + 48 = 600 + 160 + 8 600 + 160 + 8 = 768

б. Групи базирани на 10 (10 x 24) + (10 x 24) + (10 x 24) + (2 x 24) 240 + 240 + 240 + 48 480 + 288 600 + 160 + 8 = 768

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

96

24

9

13

5 24

153 214

в. Групи базирани на множители на 10 30 x 20 = 600 30 x 4 = 120 2 x 20 = 40 2x4=8

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

600 + 120 + 40 + 8 = 768

г. Разложете го само множителот 24 32 х (20+4) 32 x 20 = 640 32 x 4 = 128 640 + 128 = 768

Поврзување со општиот алгоритам Демонстрирано е како најапстрактниот дијаграм од просторниот модел го прикажува дистрибутивното својство и го поврзува директно со општиот алгоритам за множење. Најдобро е ова да се прави чекор по чекор. Подолу се прикажани врските.

26 x 47 40

+

7 20х7

800

20 +

26 x 47

140

20х40

800

6

6х40

6х7

240

240

42

140

42

1222

Дијаграмите и потемните обележувања може да се искористат да покажат зошто не додаваме четири од (6x7=42) пред да помножиме. Ние всушност бараме (20 + 6) x (40 + 7). Ова е исто како: (20x40)+(20x7)+(6x40)+(6x7) што е исто како (6x7)+(6x40)+(20x7)+(20x40).

153 215

11.5. КОРИСТЕЊЕ ПРОПОРЦИОНАЛНИ ТАБЕЛИ ЗА ПОТТИКНУВАЊЕ НА ПРОПОРЦИОНАЛНОТО РАЗМИСЛУВАЊЕ

24

Се подготвуваш да испратиш честитки по пошта. Потребно ти е да утврдиш дека имаш доволно време за извршување на оваа задача. Знаеш дека ти треба во просек 43 секунди да додадеш лична белешка, да го залепиш пликот и да ставиш поштенска марка на секоја честитка. Ако испраќаш 88 честитки, колку време ќе ти треба? Со решавање на проблемот честитки по пошта се илустрира правењето пропорционални табели. Додека се прави табелата може да им се поставуваат прашања на учениците. Ако ни се потребни 43 секунди за една честитка, колку време ќе ни биде потребно за 10 честитки? Запишете ја оваа информација во пропорционална табела. Ако ни требаат 430 секунди за 10 честитки, колку ќе ни треба за 20 честитки? честитки

1

10

20

секунди

43

430

860

Може да се продолжи со поставување на слични прашања и да се запишат резултатите во табелата: 1 43

10 430

20 860

40 1720

80 3440

90 3870

89 3827

88 3784

Може да се состави различна пропорционална табела од дадената за истата ситуација, со цел да се истражат различните гледишта. При решавање на проблемот може да се постават следните прашања за решението на овој проблем: а. Што претставува одговорот? (Секогаш вратете се на оригиналниот проблем за да го формирате одговорот и да му дадете значење. „Одговорот“ на проблемот со множење го претставува бројот на секунди потребни да се подготват сите честитки за праќање по пошта.) б. Дали би зборувале за време од 3784 секунди во реалниот живот? (Треба да се претворат во минути или часови.)

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

честитки секунди

6 8

9

13

5 24

153 216

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

810 9

173

5 24

Подолу е прикажана пропорционална табела претворајќи 3784 секунди во минути (на крајот од табелата): Секунди

60

600

6000

3000

3600

3660

3720

3780

Минути

1

10

100

50

60

61

62

63

а. Што се случи со останатите 4 секунди? (Беа 3784!) Зошто во табелата се запишани 3780 секунди, а не 3784? (Бидејќи четири секунди не беа претворени во минути затоа што една минута е 60 секунди, така што 4 секунди не можат да бидат претворени во минути). б. 3784 секунди се 63 минути, 4 секунди. Ова исто така може да се прикаже како 1 час 3 минути и 4 секунди. Двете табели може, исто така, да се состават како вертикални табели (Т-табели).

153 217

11.6. ПОВТОРУВАЊЕ ГОЛЕМИ ИДЕИ

24

Важни фактори во наставата за множење со повеќецифрени броеви. ``Јазикот е важен во опишување на ситуации. Ова се однесува и на по­тре­ба­та од поврзување на броевите со ситуацијата и приказната како и на тоа како некој употребува фрази како „32 кутии од (или со) 24 кон­зерви...“, место „32 по 24 конзерви“ и „30 по 20“, место „3 по 2“. ``Децата вообичаено покажуваат интерес кај собирањето и одземањето при користење нагледни средства и броење. Како што тие почнуваат да се соочуваат со поголеми броеви во множење и делење и со броеви што претставуваат различни количини, така постојат дополнителни стратегии и алатки што помагаат во зацврстување на значењето при работа со повеќецифрени броеви. ``Способноста да се брои по десет и/или да се множи со десет ги олеснува пресметувањата. ``Способноста да се стекне основно знаење, како синтеза на веќе наученото, е исто така важно.

``Има време да се оддалечиме од конкретното и напредокот на концептуалното разбирање на учениците треба да одреди кога тоа ќе се случи. ``Користењето и разбирањето на дистрибутивното, комутативното својсво и така натаму, не се апстрактни вештини за да се учат една по една туку тие се учат на часови кои имаат за цел да го поттикнат размислувањето кај учениците и имаат намера да ги надградат нивните знаења. Не е од суштинско значење учениците да бидат способни да ја именуваат примената на овие својства со точните математички термини, иако некои ќе ги научат овие термини ако почесто се користат во текот на дискусиите за време на часовите.

10 9 7 3 5 264

1

810

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

``Дури и во ова поле, каде беше вообичаено да се користи ментална процедура на меморирање, постојат многу начини да се најдат одговори од кои некои многу неконвенционални, а потоа валидни помагала се сите и помагаат во градење на концептуалното разбирање. Да се потсетиме дека штом учениците научат одреден алгоритам, тие повеќе не сакаат да користат материјали кои го развиваат разбирањето.

6 8

9

13

5 24

1

10 9 7 3 5 264

5 24

173

810

9

Стратегији за множење со повеќецифрени броеви

153 218

24

6 8

12 1 5 ПОГЛАВЈЕ ВОВЕД

153 219

24

6 6 8 8 10

24 1

10 9 9 7 3 3 5 7 25 2 4

1 4 8

6

10 9

6

810

Ситуациски и текстуални задачи

173 9 5 1 24 3

СИТУАЦИСКИ И ТЕКСТУАЛНИ5 ЗАДАЧИ 2

4 6 8

153 220

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Ситуациски и текстуални задачи

173

5 24

Цели на поглавјето: Да се идентификуваат елементите кои една задача со множење ја прават лесна или тешка. Да се нагласи важноста од ознаки (упатувања) кога се решаваат задачи со собирање и одземање. Да се укаже како задачите и ситуациите можат да помогнат во разбирање на тоа што е нулата во операциите за множење и делење. Да се испита нивото на математичко знаење низ кое поминуваат учениците за секој нов концепт. Да се покаже како да им се даде значење на „остатоците“ во делење во контекст на одредена приказна. Да се разбере дека остатоците се третираат на повеќе различни начини кога се решаваат задачи и проблеми. Да се стекне знаење за тоа како да се искористат остатоците во делење. Да се направат задачи во кои со остатоците се постапува на различни начини. Да се изнајдат и објаснат стратегии за решавање на проблеми со повеќе чекори. Да се развијат оригинални задачи со повеќе чекори. Да се разгледаат елементите кои сочинуваат една добра задача.

3

С

Совладување на нижењето броеви

12.1. ОСТАТОЦИ

153 221

24

12.1.1. Остатоци при делење на природни броеви: Чоколадни колачиња Биле направени истражувања на типичните задачи и проблеми во одделенска настава (Национално истражување за напредокот во образованието), како на пример проблемот, односно задачата: 587 војници се возат во автобуси. Секој автобус собира 52 војници. Од учениците се бара да определат колку автобуси се потребни за да се превезат сите војници. Најчесто избраниот одговор е 11 1 . Зошто 3 учениците мислат така? Подолу ќе бидат дадени повеќе проблеми/задачи кои ќе помогнат подобро да се сфати потребата внимателно да се читаат задачите од страна на учениците, а не само учениците да бараат во нив броеви и да вршат пресметки.

Соодветното образложение би било дека, иако при делењето се појавува остаток, интерес претставуваат полните садови. Остатокот од 24 колачиња нема да исполни еден цел сад. Притоа е важно да им се укаже на учениците колку е потребно да се остане концентриран на ситуацијата.

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

Ситуациски и текстуални задачи

1. Марија има 144 колачиња кои ќе ги распореди во садови. Секој сад собира точно 40 колачиња. Колку садови може да наполни Марија во целост?

6 8

5 24

153 222

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Ситуациски и текстуални задачи

173

5 24

2. Марија има 144 колачиња кои ќе ги распореди во садови. Секој сад собира точно 40 колачиња. Колку најмалку садови ќе ѝ требаат на Марија за да ги распореди сите колачиња?

3. Марија има 144 колачиња кои ќе ги распореди во садови. Секој сад собира точно 40 колачиња. Ако Марија во цесост ги полни садовите, уште колку колачиња ќе ѝ преостанат во недополнетиот сад.

4. Марија има 144 колачиња кои ќе ги распореди во садови. Секој сад собира точно 40 колачиња. Што треба да се направи со оние колачиња кои ќе останат откако одреден број садови ќе се наполнат во целост?

Што може да се забележи во врска со остатокот? а. Во секоја од ситуациите се појавува речиси истото прашање, што било направено со остатокот. Одговорот треба да се измени на соодветен начин. Најпрвин, остатокот бил игнориран и се користеле само цели броеви. Потоа остатокот бил, всушност, одговорот. Потоа бројот на садови бил зголемен за 1 за да може да го опфати и остатокот. И на крај, постои отворено прашање кое има одговор кој не е нумерички и кој може да зависи од тоа колку чоколадни колачиња останале. б. Самиот контекст му даде значење на остатокот. Учениците кои се помалку успешни при решавањето проблеми не успеваат да направат повторно поврзување со ситуацијата. в. Кога се решаваат проблемите (задачите) треба да се внимава одговорот да не биде апстрактен, како на пример „3 R24“. За време на часот, наставникот има обврска да им помага на учениците да се навратат на приказната и да поставуваат прашања.

12.1.2 Остатоци со дропки Тања става тепих во дневната соба, од едниот ѕид до другиот. Купила 114 квадратни стапки тепих. Собата е долга 12 стапки. Ако бил искористен целиот тепих, колку е широка нејзината соба? Може да се реши со користење табела (на хартија) и алгебарски плочки. (Одговор: 9,5 стапки). Проблемот може да се идентификува како геометриски.

Како остатокот влијаел на одговорот?

1) Одговорот беше децимален број. Не беше соодветно да се отстрани остатокот.

2) Учесниците можат да размислуваат за пример во кој остатокот, во задача со простор, би резултирал со одговор во вид на цел број. На пример во проблемот саем за образование:

153 223

Јован изнајмил простор на саемот за образование за штандот на Математика со размислување. Колку голем штанд треба да изнајми? Сите штандови се долги 4 стапки, но некои од нив се широки 4 стапки, некои се широки 5 стапки и некои се широки 6 стапки. Нему му се потребни 18 квадратни стапки простор. Важно е да се забележи дека за време на решавањето, остатокот треба да се бара меѓу децималите или дропките, но исто така и дека прашањето бара одговор во вид на цели броеви.

3) Вообичаените дропки и децимали се два начини на прикажување на истиот број. Тие треба да се користат подеднакво често за да можат учениците да се навикнат и на двата начини и да ги користат и двата наизменично.

Може да се резимира дека: а) Остатокот може да влијае на одговорот на задачата на повеќе начини. б) Остатокот може да има смисла само ако се поврзе со ситуацијата и со прашањето кое било поставено. в) Учениците треба да имаат задачи во кои остатокот се користи на сите можни начини. г) Кога нештата во приказната (задачата) се затскриени, остатокот обично ќе го „турне“ одговорот надолу или нагоре кон цел број. Сепак, отворените прашања може да водат кон операција која вклучува дропки. Дропките често не се соодветни за решавање на задачи кои вклучуваат природни предмети (на пример: 1 1 шапки).

2

Во врска со остатоците треба да се знае: а. Во задачите во кои се јавуваат величини, како на пример должина, време, ... како остаток може да се јави дропка. На пример, во задача која вклучува време 2 1 во 2 некој одговор би било најсоодветно да се напише како 2 1 часа, а во друг како 2 часа 2 и 30 минути. б. Во вообичаениот систем на мерки, соодветни би биле одговори со поголеми или помали единици мерки од основната (на пример милиметри и центиметри одошто само метри). Најчесто, доколку остатокот претставува повеќеименуван број, на пример метри и центиметри, тој се запишува во метри, а центиметрите, како дел од метарот, во дропка.

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Ситуациски и текстуални задачи

13

5 24

153 224

12.2 ПРОБЛЕМИ СО ПОВЕЌЕ ЧЕКОРИ

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Ситуациски и текстуални задачи

173

5 24

При решавање на проблемот „ЈАБОЛКА и КРУШИ“ Господинот Лин имал 240 јаболка и круши. Од нив продал 82 јаболка и 26 круши и сега тој има три пати повеќе останато јаболка отколку круши. Колку јаболка имал на почетокот господинот Лин?

(Задача за 6 одделение, Сингапур)

Или сличен проблем може предвид да ги земете следните нешта: a. Идентификувајте прашање. б. Соберете доволно информации за да одговорите. в. Одлучете што прво ќе правите. г. Одлучете дали ќе користите слика или дијаграм (и од кој вид), кои би требало да ви помогнат. ѓ. Пресметајте и проверете. е. Поврзете го одговорот со задачата. Дали има логика? Можете ли да го проверите? ж. Дали одговорот е јасно утврден и означен? Ако е потребно објаснување, дали тоа е математичко, а не само обичен опис?

Што е тоа што ја прави задачата да биде предизвик? a. Важните информации не се вклопуваат совршено помеѓу себе за да формираат равенка (равенство). б. Задачата не кажува како треба да се реши. в. Потребни се неколку операции. г. Мора да се утврди што значи „три пати повеќе“. Многу ученици не прават разлика помеѓу „пати повеќе“ од „за ... повеќе од“. Ова е важно да се потенцира. д. Има повеќе начини како да се постапи во секој чекор. На пример, можете да ги одземете јаболката кои биле продадени и потоа да ги одземете продадените круши за да видите колку останале непродадени; или можете да ги соберете продадените овошки и потоа да одземете или да додадете до 240. Ако има три пати по толку

153 225

останато јаболка, откако ќе утврдите дека на господинот Лин му останале 132 јаболка и круши, можете овие 132 да ги поделите во две групи од по 66 и потоа повторно на половина за да имате 4 групи од 33 и соберете ги трите дела во еден дел.

132 66 33

66 33 33

33

Јаболка = 3 x 33 = 99 Или можете да почнете со полуапстрактна слика која покажува четири дела и да почнете со неа.

3 дела

132

1 дел

Поделете го 132 во 4 дела. 132:4 = 33. 3 x 33 = 99 непродадени јаболка. ѓ. Мора внимателно да го прочитате текстот за да бидете сигурни дека одговарате на точното прашање. За учениците е интересно да мислат дека задачата е до тука и дека завршиле затоа што дошле до одговорот дека се продадени три пати повеќе јаболка од круши; но тие, исто така, мора да утврдат колку јаболка имало на почеток. Ќе треба да ги соберат овие 99 со 82-те кои биле продадени (99 + 82 = 181 јаболка на почетокот). Да видиме дали е точно?

181 јаболка + 26 круши продадени + 33 круши непродадени = 240 овошки.

12.2.1 Задачи со повеќе чекори: различни нивоа и чекори Дадени се задачи со повеќе чекори, на различни ниво. ЛИЖАВЧИЊА (нивоа/1 до 3 одд.) Светлана има три лижавчиња со вкус на цреша и 2 лижавчиња со вкус на портокал. Јован има двојно повеќе од секј вкус на лижавчиња. Колку лижавчиња има Јован? а. Задачата се однесува на ученици од 1 до 3 одделение

в. За решавање на оваа ситуација може да се користат неколку методи: 1. Соберете 3 и 2 и потоа помножете со 2 (удвојување).

(3+2) x 2 = 10 2. Удвојте ги 3 и 2, и потоа соберете ги заедно удвоените 6 и 4.

(3 x 2) + (2 x 2) =6 + 4 = 10

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

13

Ситуациски и текстуални задачи

б. Оваа задача има поделба на лижавчињата со вкус на цреша и вкус на портокал, но во неа таквата поделба и удвојувањето се интиутивни и лесни.

24

5 24

153 226

24

6 8

10 9 7 3 5 264

1

810 9

Ситуациски и текстуални задачи

173

5 24

Удвојување на збир е еднакво на удвојување на собироците.

3. Разговарајте за редоследот на операциите (3 + 2) х 2 = 10 3+2x2=7 2x3+2=8 Конвенцијата за редослед на операциите, утврдена од математичката заедница, е суштински дел од знаењето на учениците и притоа наставниците од сите нивоа треба да се запознати со овој редослед. г. Учениците во прво одделение ретко имаат можност да решаваат посложени задачи со повеќе чекори. Ваквите задачи ќе го прошират нивното размислување и ќе им овозможат да развијат повисоки нивоа на размислување. ПОВТОРНАТА СРЕДБА НА СЕМЕЈСТВОТО БРАУН (од 3 до 5 одд.) Средбата на семејството Браун се случи на 4 јули и на неа дојдоа 33 членови на семејството. Секој уживал во сендвичите, хамбургерите, салатите со компири и сладоледот. Вкупно биле изедени 48 сендвичи, вклучувајќи ги и 5-те кои ги изело семејното куче Наполеон. Колку сендвичи останале ако за семејната средба биле купени вкупно 7 пакети со сендвичи? a. Предложениот проблем е за учениците од 3 до 5 одделение, во зависност од учениците. б. Оваа приказна содржи и неважни и споредни информации. в. Вклучува множење и делење како операции. г. Бројките се прикажани на различни начини. д. Учениците мора да утврдат колку сендвичи има во еден пакет –отворена ситуација. ѓ. Внимавајте на текстот: 48 изедени сендвичи, вклучувајќи ги и 5-те кои ги изело кучето; текстот не следи одреден редослед на настаните (дури после кажува дека биле купени сендвичите), со што го отежнува самиот проблем. При изготвување на задачи со повеќе чекори, соодветно на одделението, т.е. нивото треба се имаат предвид следните работи: 1. Видот на проблемот/задачата.

5. Разновидност на математичките операции.

2. Поставување на прашањето.

6. Работа во тимови или групи за соработка.

3. Изборот на броевите.

7. Задачи од отворен и задачи од затворен тип.

4. Редоследност на текстот (информациите кои се дадени за тој проблем, задача) и редослед-ност на равенките (равенства-та).

8. Нивото/одделението за кое е наменета задачата.

227

153

24

10 9 7 3 5 264

6 8

1

810

9

5 24

Ситуациски и текстуални задачи

13

3 4625971

8

8

8 МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ 6

ЏУДИ РОД, МЕРИ ЕЛЕН КНАПМИЛЕР И МАРИУМ ТУРЕ

МАТЕМАТИКА СО РАЗМИСЛУВАЊЕ

8

6

4

во почетните одделенија

3 4625971

4

во почетните одделенија