funciones

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FUNCIONES REALES DE UN VECTOR

Newton HUAMAN´I CASTRO

Composici´on Diagramaci´on, Montaje e Impresi´on: Newton Huaman´ı RUC: 10430946655

Esta obra se termin´o de imprimir en el mes de Octubre del 2011. En APROVISA-Mz. D1-Lote 10-AYACUCHO - Telef. (066)31-6051

´ HECHO EL DEPOSITO LEGAL EN LA BIBLIOTECA ´ No 2011-13523 NACIONAL DEL PERU

Pedidos: Asoc. APROVISA Mz. D1 Lote 10 - Ayacucho - Cel. 985222420

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

OBJETIVOS Ofrecer una apreciaci´on del an´alisis de funciones reales de un vector a partir del 1) an´alisis de los ejemplos cl´asicos y a trav´es de la 2) observaci´on detallada de las definiciones y proposiciones. Establecer la condici´on para que la derivada direccional , ∂f , dependa ∂v linealmente de v. Es decir,

f ∂(λv+αw)

= λ ∂f + α ∂f . ∂v ∂v

Establecer la condici´on para que una funci´on sea diferenciable en un punto. Conocer que la diferencial de una funci´on en un punto, df (a), es una transformaci´on lineal y identificar con su matriz asociada a la base can´onica de Rn y R.

2

´Indice general 0.1. Presentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.2. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3. Derivadas Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.4. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0.5. Funciones de clase C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 0.6. La diferencial de una funci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

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0.1.

An´alisis de funciones reales

Presentaci´ on

Este texto, de un tema, se escribi´o pensando hacer de ´el un material que aumente la comprensi´on y apreciaci´on del an´alisis de las funciones reales de un vector de la forma m´as detallada a partir, no de c´alculos, sino a partir del an´alisis de las definiciones, proposiciones y ejemplos cl´asicos. Est´a dirigido a los lectores de matem´aticas, f´ısica e ingenier´ıa y a los interesados de la ciencia. Pero s´ı suponemos que el lector este familiarizado con los n´ umeros reales, topolog´ıa en Rn , ideas de l´ımite y derivada. El an´alisis, dicen, es una t´ecnica importante y necesaria tanto para el matem´atico como para aquel que usa las matem´aticas,entonces se puede decir que gracias al an´alisis el tema se vuelve interesante. Por lo que hacemos uso del an´alisis en este texto, de alguna y otra forma, pero teniendo presente que el an´alisis no es sin´onimo de la matem´atica, sino es un instrumento, no s´olo de las matem´aticas, es tambi´en de la ciencia para su desarrollo. En este texto discutiremos sobre las funciones con dominio en Rn y rango en R. Una funci´on es una correspondencia de un conjunto de vectores en un conjunto de n´ umeros reales. Estas funciones tambi´en suelen llamarse funciones reales de n variables reales. Los casos donde n es 2 ´o 3 son los que ocurren con mayor frecuencia en las aplicaciones elementales y son, por consiguiente, de inter´es para nosotros. Sin embargo , como los conceptos fundamentales asociados con funciones reales de un vector y las propiedades de estas funciones no dependen realmente de la dimensi´on del espacio (n´ umero de variables ), 4

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podemos sin dificultad alguna, estudiar el caso general. Un ejemplo de funci´on real de un vector es la temperatura en un habitaci´on, si establecemos para el cuarto un sistema de coordenadas, definimos la funci´on temperatura T como sigue: en cualquier punto p = (x, y, z) de la habitaci´on , T (p) es la temperatura en este punto. El dominio de esta funci´on es el conjunto de los puntos de la habitaci´on y el rango es el conjunto de numeros reales: son los valores de la temperatura en cada punto de la habitaci´on. Esta divido en 6 secciones, en el segundo nos ocupamos de la derivada parcial, en tercero del derivada direccional, cuarto sobre diferenciabilidad, quinto de clase C k , por u ´ltimo de la diferencial. Finalmente, espero que pasen por alto las errores cometidos tanto en la redacci´on de las soluciones y/o demostraciones y como en la digitaci´on del material.

0.2.

Derivadas parciales

Cuando se estudian funciones reales de n variables, esto es, definidas en subconjuntos del espacio Rn , y se busca para estas funciones una noci´on de derivada que tenga propiedades an´alogas a las de la derivada de una funci´on definida en un intervalo, la idea que se tiene naturalmente es la de ”derivada parcial”que expondremos ahora. Para efectos de la derivaci´on, donde se compara el incremento f (a+h)−f (a) de la funci´on f con el incremento (a + h) − a = h dado al punto a, el dominio mas adecuado es un subconjunto abierto U ⊆ Rn . Pues en este caso dado 5

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a ∈ U por la definici´on de un conjunto abierto se sigue que existe una bola B(a, δ) tal que B(a, δ) ⊆ U . Para que a + h ∈ U se tenga es necesario que ka + h − ak < δ, es decir h debe tener un incremento lo suficientemente peque˜ no.

Definici´ on 0.2.1 Sea f : U −→ R una funci´on real, definida en un subconjunto abierto U ⊆ Rn y a ∈ U . La i-´esima derivada parcial de f en el punto a (donde 1 ≤ i ≤ n) es el l´ımite f (a + tei ) − f (a) ∂f (a) = l´ım t−→0 ∂xi t cuando tal l´ımite existe. Las veces,cuando fuese necesario usaremos tambi´en la notaci´on ∂i f (a). Observaci´ on 0.2.1 El s´ımbolo o notaci´on de la derivada parcial. El simbolo

∂f ∂xi

tendr´a para nosotros el mismo significado que

∂f , ∂f ,etc. ∂yi ∂zi

El

que importa en un simbolo de este tipo no es el ”nombre”de la variable, que tanto puede ser ”x”, como y, z, etc. Lo importante es el ´ındice i, se trata de la derivada de f en relaci´on a la i-´esima variable, sea cual fuere el se˜ nal usado para indicarla. Estrictamente hablando, la mejor notaci´on para la i-´esima derivada parcial es ∂i f , pero continuaremos escribiendo

∂f ∂xi

por respeto a la

tradici´on, por lo est´etico y principalmente porque nos permite escribir de la forma m´as natural ciertas formulas, como por ejemplo la Regla de la Cadena. 6

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Observaci´ on 0.2.2 Derivada parcial en una funci´on de dos variables Una funci´on f : U −→ R cuando U ⊆ R2 se llama â€?funci´on real de dos variablesâ€?. Se escribe f (x, y) para indicar su valor en el punto z = (x, y). De esta forma, las derivadas parciales de f en el punto c = (a, b) ∈ U pueden tambi´en ser representadas por ∂f (c) y ∂x

∂f (c) en vez de ∂y

∂f (c), ∂x1

∂f ∂x2 (c)

As´Ĺ pues tenemos: f (a + t; b) − f (a; b) ∂f (c) = l´Ĺm , t−→0 ∂x t

f (a; b + t) − f (a; b) ∂f (c) = l´Ĺm t−→0 ∂y t

An´alogamente, si U ⊆ R3 , una funci´on f : U −→ R es una â€?funci´on real de tres variablesâ€?. Su valor en un punto p = (x; y; z) se escribe f (x; y; z) y sus derivadas parciales en el punto q = (a; b; c) pueden ser escritas como ∂f (q), ∂f (q) ∂x ∂y

y

∂f (q). ∂z

Observaci´ on 0.2.3 Derivada parcial en una funci´on de una variable. Volviendo al caso general, sea f : U −→ Rn definida en el abierto U ⊆ Rn . Dado el punto a ∈ U y el entero i ∈ {1, ..., n}, la imagen del camino Îť : R −→ Rn , Îť(t) = a + tei , es el que se llama â€?la recta que pasa por a y es paralela a la i-´esima coordenada (eje)â€?(note que Îť(0) = a). Como U es abierto, existe > 0 tal que: − < t < −→ Îť(t) = a + tei ∈ U. 7

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La i-´esima derivada parcial de f en el punto a es la derivada, en el punto t=0, de la funci´on f â—Ś Îť : h− , i −→ R, osea que ∂f (a) = (f â—Ś Îť)0 (0). ∂xi Podemos decir que f restringida al segmento de recta abierto J = ha− ei , a+ ei i, se vuelve una funci´on real, f (a + tei ), de la variable real t y

∂f (a) ∂xi

es la

derivada de esa funci´on en el punto t = 0. Observaci´ on 0.2.4 interpretaci´on geom´etrica de la derivada parcial.

Cuando n = 2, el gr´afico de f : U ⊆ R2 −→ R es una superficie en R3 , la restricci´on de f al segmento de recta que pasa por c = (a, b) y es paralela al eje de las abscisas tiene como gr´afico la curva plana obtenida en esa superficie haciendo constante la ordenada â€?(obs´ervese tambi´en que la curva es 2

la intersecci´on de la superficie con el plano P que es perpendicular al plano xy y contiene el segmento recta que pasa por c y es paralela a ei = (1; 0)), 8

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luego

∂f (c) ∂x

An´alisis de funciones reales

es la inclinaci´on de la recta tangente a esa curva, en el punto

(a,b,f(a,b)) relativo al plano horizontal. Observaci´ on 0.2.5 C´alculo practico de la i-´esima derivada parcial El c´alculo pr´actico de la i-´esima derivada parcial de una funci´on f (x1 ; ...; xn ) se hace considerando todas variables como si fuesen constantes exepto la i´esima y aplicando las reglas usuales de derivaci´on relativa a esa variable. El comportamiento de la i-´esima derivada parcial

∂f (c) ∂xi

a lo largo de un

segmento de recta contenido en el dominio de f es igual (´o similar) al i-´esimo eje de la informaci´on sobre el crecimiento de f a lo largo de tal segmento. As´ı por ejemplo, si f : U −→ R est´a definida en U ⊆ R2 y que el segmento de recta J = {(a, t) : 0 ≤ t ≤ 1} paralelo al ejeY est´a contenida en U y adem´as resulta

∂f (z) ∂y

> 0 para todo z ∈ J, entonces f es creciente, esto es:

0 ≤ s ≤ t ≤ 1 −→ f (a, s) < f (a, t).

Definici´ on 0.2.2 Sea U ⊆ Rn y f : U −→ R. Diremos que f no depende de la i-´esima variable caundo dados a = (a1 ; ...; ai−1 ; x; ai+1 ; ...; an ) y b = (a1 ; ...; ai−1 ; y; ai+1 ; ...; an ) en U se tiene f (a) = f (b). En otros t´erminos, si a, b ∈ U con la propiedad de que b = a + tei entonces f (a) = f (b). Definici´ on 0.2.3 Sea U ⊆ Rn un subconjunto. Se dice que U es i-convexo cuando a, b ∈ U con b = a+tei se tiene [a, b] ⊆ U . Donde, [a, b] := {tb + (1 − t)a : 0 ≤ t ≤ 1}. 9

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Proposici´ on 0.2.4 Sea U ⊆ Rn un abierto i-convexo y f : U −→ Rn una funci´on tal que

∂f (x) ∂xi

= 0 para todo x ∈ U . Entonces f es independiente de

la i-´esima variable. Demostraci´ on/. Sean a, b ∈ U con b = a + tei . entonces la funci´on ξ : [0, t] −→ R definida por ξ(s) = f (a + sei ) = 0, para todo s ∈ [0, 1]. por hip´otesis ya que que U es i-convexo lo que implica que [a, b] ⊆ U, o sea que a + sei ∈ U para todo s ∈ [0.t]. Luego se sigue que ξ es constante en [0, 1]. As´ı pues

ξ(0) = ξ(t) f (a) = f (a + tei ) = f (b) f (a) = f (b).

En el plano se dice horizontalmente y verticalmente convexo en vez de 1 − convexo y 2 − convexo respectivamente.

Ejemplo 1 Sea X = {(x, 0) ∈ R2 : x ≥ 0} el semie-eje positivo cerrado de las abcisas. El abierto U = R2 − X es horizontalmente convexo (m´as no verticalmente) Soluci´ on/. U = R2 − X = {(x, 0) ∈ R2 : x < 0} Sea a, b ∈ U con b = a + te1 . Entonces a1 < 0 y b1 < 0 y que (b1 , 0) = (a1 , 0) + t(1, 0). 10

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Afirmemos [a, b] ⊆ U Sea z ∈ [a, b] entonces (z = a) ∨ (z = b) ∨ (z = (1 − λ)a + λb,

alg´ un λ ∈

h0, 1i) Si z = a, entonces z ∈ U pu´es a ∈ U . Si z = b lo mismo sucede.

z = (1 − λ)a + λb

para alg´ un λ ∈ h0, 1i

= ((1 − λ)a1 + λb1 , 0)

como a1 < 0, b1 < 0 entonces (1 − λ)a1 < 0,λb1 < 0 pu´es 0 < 1 − λ ya que 0 < λ < 1 y 0 < λ. Sumando tenemos (1 − λ)a1 + λb1 < 0. Por lo tanto, ((1 − λ)a1 + λb1 , 0) ∈ U o sea z ∈ U . Ejemplo 2 La funci´on f : R2 −→ R, definida por:    x2 si f (x, y) =   0 si a) Posee derivada parcial

∂f ∂y

x>0 ∧ y>0 x≤0 ∨ y≤0

= 0 en todo R2 .

b) no es independiente de la segunda variable, y. soluci´ on. 11

♠

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a) Sea a = (a1 , a2 ) ∈ R2 . Entonces (a1 > 0 ∧ a2 > 0) ∨ (a1 ≤ 0 ∨ a2 ≤ 0) o sea ∨

(a1 > 0 ∧ a2 > 0) {z } | (i)

(a1 ≤ 0) | {z }

∨

(ii)

(a ≤ 0) | 2 {z } (iii)

∂f f (a + te2 ) − f (a) f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 ) (a) = l´ım = l´ım t−→0 t−→0 ∂y t t Caso (i): si a1 > 0 ∧ a2 > 0, luego ∂f a2 − a21 (a) = l´ım 1 = 0, t→0 ∂y t

Caso (ii): si a1 ≤ 0, luego 0−0 ∂f (a) = l´ım = 0, t→0 ∂y t

Caso iii: si a2 ≤ 0, luego

∂0 (a) ∂y

= 0.

b) Para demostrar que f es dependiente de variable y basta negar la definici´on (1.2), es decir que: f no es independiente bajo la ”si, y s´olo si, 2

existe a, b ∈ R2 con b = a + te2 tal que f (a) 6= f (b). Tomemos a = (a1 ; a2 ) con a1 > 0 y a2 > 0 y b = (a1 ; a2 ) + (−2a2 )(0; 1) donde t = −2a2 . As´ı pues: f (a) = f (a1 ; a2 ) = x2 > 0

f (b) = f (a1 ; −a2 ) = 0 12

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de donde tenemos f (a) 6= f (b).

♠

Obs´ervese que las derivadas parciales no permiten conclusiones sobre el comportamiento ”n-dimensional”de la funci´on. Por ejemplo la existencia de todas las derivadas parciales en un punto no implica la continuidad de la funci´on en ese punto, como veremos ahora. Ejemplo 3 Sea f : R2 −→ R definida por

f (x, y) =

  

xy x2 +y 2

si

x2 + y 2 6= 0

 

0

si

(x; y) = (0; 0)

Demuestrese que f posee todas las derivadas parciales en todo los puntos del plano, pero sin embargo f es discontinua en el origen.

soluci´ on/.

Si z = (x; y) no es el origen (z 6= (0; 0)), se tiene ∂f y(x2 + y 2 ) − xy(2x) y 3 − yx2 (z) = ∂1 f (z) = = ; ∂x (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 ∂f x(x2 + y 2 ) − xy(2y) x3 − xy 2 (z) = ∂2 f (z) = = . ∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 mientras en el origen, nos valdremos de la definici´on. ∂f f (0 + te1 ) − f (0) 0−0 (0) = l´ım = l´ım =0 t→0 t→0 ∂x t t 13

y

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An´alisis de funciones reales

∂f f (0 + te2 ) − f (0) 0−0 (0) = l´ım = l´ım =0 t→0 t→0 ∂y t t As´ı que, f posee derivadas parciales, en todos los puntos del plano. Entretanto, f es discontinua en el origen, es decir que

l´ım

f (x; y) no es

(x;y)→(0;0)

f (0; 0). En efecto. Si x2 + y 2 6= 0, entonces f (x; y) =

xy x2 +y 2

=√

x x2 +y 2

√

y

x2 +y 2

= cosθ senθ donde

θ es el a´ngulo formado por el semieje positivo de las abcisas y la semi-recta que pasa por el origen y que contiene el punto (x; y) y lo largo de cada una de esas semi-rectas f (x, y) tiene valor constante, lo que hace que dependa de cada semi-recta. Luego no existe

l´ım

f (x; y) (por supuesto en el origen) Cuando nos

(x;y)→(0;0)

acercamos por dos semi-rectas diferentes con inclinaciones θ1 y θ2 tenemos que l´ım f (x; y) = cos(θ1 )sen(θ1 ) 6= cos(θ2 )sen(θ2 ) = l´ım f (x, y).

(0;0)

(0;0)

♠

0.3.

Derivadas Direccionales

Viendo que las derivadas parciales, desacompa˜ nadas de hip´otesis adicionales, apenas ofrecen informaciones sobre la funci´on a lo largo de las rectas paralelas a los ejes. Esto nos lleva al importante concepto de derivada direc14

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An´alisis de funciones reales

cional. Definici´ on 0.3.1 Sean f : U −→ R definida en el abierto U ⊆ Rn , a ∈ U y v ∈ Rn . La derivada direccional de f en el punto a, seg´ un el vector v, es por definici´on el l´Ĺmite f (a + tv) − f (a) ∂f (a) = l´Ĺm t→0 ∂v t cuando tal l´Ĺmite existe. Observaci´ on 0.3.1 Las derivadas parciales se vuelven casos particulares de las derivadas direccionales. ∂f ∂f (a) = (a) : ∂xi ∂ei

derivada direccional de f en el punto a seg´ un el vector ei .

Interpretaci´ on: ( ∂f )(a) es la derivada, en el punto t = 0, de la funci´on ∂v

compuesta f â—Ś Îť : h− , i −→ Rn es el camino rectil´Ĺneo, Îť(t) = a + tv, para el cual se tiene Îť(0) = a y Îť0 (t) = v para todo t ∈ h− , i. Obs´ervese que 15

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An´alisis de funciones reales

aqu´Ĺ > 0 es escogido tan pequeËœ no para que la imagen de Îť este contenida en U (esto es posible porque U es abierto, ya que a ∈ U por lo que es posible tomar > 0 tal que B(a, ) ⊆ U ) Ejemplo 4 Evalu´e las derivadas direccionales de la funci´on dada por

f (x, y) =

  

xy x2 +y 2

si

x2 + y 2 6= 0

 

0

si

(x; y) = (0; 0)

soluci´ on/. La derivada direccional, ∂f (0, 0), para v = (Îą; 0) o´ v = (0; β) son nulas. ∂v Para v = (Îą; β) con Îą 6= 0 y β 6= 0 no existe

∂f (0, 0) ∂v

ya que

∂f 1 tÎą tβ 1 ιβ (0; 0) = l´Ĺm = l´ Äąm ( ) t→0 t (tÎą)2 + (tβ)2 t→0 t Îą2 + β 2 ∂v el u ´ltimo l´Ĺmite obtenido, evidentemente, no existe.

Observaci´ on 0.3.2 En

∂f , ∂v

♣

Âżv es un vector arbitrario?

Al contrario de la mayor´Ĺa de los libros de calculo en nuestra definici´on de ∂f , ∂v

con prop´ositos de mostrar nuestra apreciaci´on, no suponemos kvk = 1.

Admitimos que v ∈ Rn sea un vector arbitrario con la finalidad de de que

∂f ∂v

dependa linealmente de v. Veamos si esto ocurre realmente. En primer lugar, si Îą 6= 0 ∈ R entonces existe

∂f ∂(Îąv)

en un punto a ∈ U si y solamente si existe 16

Newton Huaman´ı castro ∂f ∂v

An´alisis de funciones reales

en el caso afirmativo tenemos ∂f f (a + t(αv)) − f (a) f (a + t(αv)) − f (a) = l´ım = α l´ım t→0 t→0 ∂(αv) t αt ∂f f (a + t(αv)) − f (a) =α (a) = α l´ım αt→0 αt ∂v

ya que t tiende a cero si y solamente si αt tiende a cero. Observaci´ on 0.3.3

∂f ∂(αv)

no necesariamente es lineal

Por otro lado, el ejemplo siguiente muestra que la derivada direccional

∂f ∂(αv)

puede existir en todos los ‘puntos del dominio de f , seg´ un todos los vectores n ∈ Rn , sin que se tenga necesariamente ∂f ∂f ∂f (a) = (a) + (a) ∂(v + w) ∂ ∂w Ejemplo 5 Sea g : R2 −→ R definida por:

g(x, y) =

  

x2 y x2 +y 2

si

x2 + y 2 6= 0

 

0

si

(x; y) = (0; 0)

muestre que existen las derivadas direccionales

∂g ∂v

en todos los puntos de

R2 seg´ un cualquier vector v = (α; β) y que g es continua en todo el plano. soluci´ on/.

a) Hagamos el c´alculo usando la definici´on. Sea (x; y) con x2 + y 2 6= 0 y 17

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

v = (Îą; β), luego g((x; y) + t(Îą; β)) − g(x; y) t−→0 t 2 (x+tÎą)2 (y+tβ) − x2x+yy 2 (x+tÎą)2 +(y+tβ)2 = l´Ĺm t−→0 t

∂g (x; y) = ∂v

l´Ĺm

Como se tiene 00 , luego aplicando la regla del H-ospital tenemos (x + tÎą)2 (y + tβ) (x + tÎą)2 + (y + tβ)2 ! d 1 l´Ĺm y+tβ 1 t−→0 dt + x+tÎą y+tβ (x + tÎą)β − (y + tβ)Îą −1 −β + l´Ĺm 2 t−→0 (y + tβ)2 (x + tÎą)2 y+tβ 1 + x+tÎą y+tβ −1 −β xβ − yÎą + 2 y2 x2 y 1 + y x 2 2 y x yÎą − xβ β + (x + y)2 y 2 x2

d = l´Ĺm t−→0 dt = =

=

=

ahora veamos si (x; y) = (0; 0) y v = (Îą; β), luego g(tÎą; tβ) l´Ĺm = l´Ĺm t−→0 t−→0 t Îą2 β = Îą2 + β 2

∂g (0; 0) = ∂v

(tι)2 tβ (tβ)2 +(tβ)2

t ...(♣)

As´Ĺ que existe las derivadas direccionales en todos los puntos de R2 y cualquier direcci´on.

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An´alisis de funciones reales

Evidentemente (♣) nos hace ver que si v = (α; β) , w = (θ; γ) ∂g ∂g ∂g (0; 0) 6= (0; 0) + (0; 0), ∂(v + w) ∂v ∂w (α + θ)2 (β + γ) α2 β θ2 γ = 6 + . (α + θ)2 + (β + γ)2 α2 + β 2 θ 2 + γ 2

ya que

Nota. M´as adelante mostraremos que

∂f ∂v

depender´a linealmente de v

si la funci´on es ”diferenciable”la cual es una hip´otesis m´as restrictiva del que simplemente posee derivadas direccionales. b) Veamos que g es continua en todo el plano. Es inmediato ver que g es continua en R2 − {0} ya que si α2 + β 2 6= 0, entonces

l´ım

g(x; y) =

(x;y)→(α;β)

x2 y α2 β = = g(α; β). (x;y)→(α;β) x2 + y 2 α2 + β 2 l´ım

Para el origen, basta observar que g(x; y) = xcosθ senθ, ya que g(x; y) = x2 y x2 +y 2

=x √

x x2 +y 2

√

y x2 +y 2

, luego

l´ım

xcos(θ)sen(θ) = 0 = g(0; 0).

(x;y)→(0;0)

Observaci´ on 0.3.4 No es verdad por ejemplo que la existencia de las derivadas direccionales implique continuidad, como veremos ahora como ejemplo. Ejemplo 6 Sea h : R2 −→ R definida por

h(x, y) =

  

x3 y x6 +y 2

si

(x; y) 6= (0; 0)

 

0

si

(x; y) = (0; 0)

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An´alisis de funciones reales

Exam´ınese las derivadas direccionales y la continuidad en todo el plano. soluci´ on/. a) Examinemos las derivadas direccionales. Sea v = (α; β), tenemos ∂f h(tα; tβ) − h(0; 0) (0; 0) = l´ım = t→0 ∂v t tα3 β = l´ım 4 6 = 0. t→0 t α + (β)2

(tα)3 tβ (tα)6 +(tβ)2

t

, en el origen existen y As´ı pues, todas las derivadas direccionales , ∂h ∂v dependen linealmente de v ya que

∂h (0; 0) ∂v+w

=0=0+0=

∂h (0; 0) ∂v

+

∂h (0; 0). ∂v

Lo mismo ocurre en los dem´as puntos c ∈ R2 − {0}, como se verifica mediante el calculo elemental ∂h (c) = ξ 0 (0), ∂v

donde ξ(t) = h(c + tv)

ξ(0 + t) − ξ(0) ξ(t) − ξ(0) = l´ım t→0 t→0 t t h(c + th) − h(c) = l´ım donde c = (x; y) y v = (α; β) t→0 t 3 (x+tα)3 (y+tβ) − x6x+yy 2 (x+tα)6 +(y+tβ)2 = l´ım . t→0 t

ξ 0 (0) = l´ım

aplicando la regla de H-o’spital se obtiene lo que se desea. As´ı pues 20

∂h ∂v

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

existe en todo el plano. b) Examinemos la continuidad. Es evidente que h es continua en R2 − {0} Veamos que h es discontinua en el origen.

l´ım

h(x; y) =

(x;y)→(0;0)

1 x3 y x3 x3 1 = = l´ ım = l´ım 6 2 6 3 2 3 (x;y)→(0;0) x + y (x;y)→(0;0) 2 (x;x ) x + (x ) 2 l´ım

O sea, si nos acercamos al origen por la curva descrita por y = x3 tenemos que

l´ım (x;y)→(0;0)

h(x; y) = 12 , lo que implica que h es discontinua

en el origen debido a que

1 2

6= 0.

♣

Observaci´ on 0.3.5 La composici´on no diferenciable. Otra propiedad deseable para un concepto adecuado de una funci´on de n variables es la compuesta de funciones derivables sea tambi´en derivable. El siguiente ejemplo muestra una funci´on continua ϕ : R2 −→ R tal que

∂ϕ (z) ∂v

existe para todo z y todo v y adem´as depende linealmente de v en el origen, pero sin embargo la composici´on ϕ ◦ λ no es diferenciable para un cierto camino diferenciable Ejemplo 7 Definamos ϕ : R2 −→ R poniendo.

ϕ(x, y) =

  

x3 y x4 +y 2

si

(x; y) 6= (0; 0)

 

0

si

(x; y) = (0; 0)

Luego se tiene que: 21

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

a) ϕ es continua. x2 y x2 ϕ(x; y) = x p .p =x q x4 + y 2 x4 + y 2 x2 1 + 1 = xq 1+ luego

l´ım

±1 y2

q

x4

x4 y2

. y2 x4

y q 4 |y| xy2 + 1

.

+1

ϕ(x; y) = 0. As´ı que ϕ es continua.

(x;y)→(0;0)

b) ϕ posee derivadas direccionales en todo el plano y todo v ∈ R2 . Para todo v = (0; 0) tenemos ϕ(tα; tβ) ∂ϕ (0; 0) = l´ım = l´ım t→0 t→0 ∂v t tα3 β = 0. = l´ım 2 4 t→0 t α + β 2

(tα)3 tβ (tα)4 +(tβ)2

t

por ende las derivadas direccionales existen en el origen y dependen linealmente de v ya que ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (0; 0) = 0 = 0 + 0 = (0; 0) + (0; 0). ∂(v + w) ∂v ∂w En los dem´as puntos c ∈ R2 − {0} tambi´en se llega a la misma conclusi´on. Calcul´andose

∂ϕ (C) ∂(v)

= ξ 0 (0) donde ξ(t) = ϕ(c + tv) por medio

de las reglas elementales de derivaci´on, es decir basta derivar

ξ(t) = ϕ((x; y) + t(α; β)) = 22

(x + tα)2 (y + tβ) (x + tα)4 + (y + tβ)2

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

luego evaluarlo en t = 0 c) Entretanto consideremos el camino λ : R −→ R2 definido por λ(t) = (t; t2 sen( 1t )) y λ(0) = (0; 0) luego se tiene que λ es diferenciable sin embargo no existe la derivada de ϕ ◦ λ, ya que ϕ(t; tsen( 1t )) 0 (ϕ ◦ λ) (0) = l´ım = l´ım t→0 t→0 t 1 sen( t ) = l´ım . t→0 1 + sen2 ( 1 ) t

t3 t2 sen( 1t )

2( 1 ) t

t4 +t4sen

1

♣

el u ´ltimo l´ımite no existe.

Teorema de Valor Medio. Sea f : U −→ R definida en el abierto U ⊆ Rn . Supongamos que el segmento de recta [a, a + v] (donde [a, a + v] := {(1 − t)a + (a + v)t : 0 ≤ t ≤ 1}) este contenida en U , que la restricci´on f |[a,a+v] sea continua y que existe la derivada direccional

∂f (x), ∂v

seg´ un v en todo

x ∈ ha, a + vi. Entonces existe θ ∈ h0, 1i tal que:

f (a + v) − f (a) =

∂f (a + θv) ∂v

Demostraci´ on/. Definimos la funci´on ξ : [0; 1] −→ R poniendo ξ(t) = f (a + tv), luego se tiene que a) ξ es continua en [0, 1] pues es la composici´on de dos funciones continuas. 23

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

b) ξ es derivable en h0, 1i, pues ξ(t + h) − ξ(t) t−→0 h f (a + (t + h)v) − f (a + tv) = l´ım t−→0 h f ((a + tv) + hv) − f (a + tv) ∂f = l´ım = (a + tv) t−→0 h ∂v

ξ 0 (t) =

existe

∂f (a ∂v

l´ım

+ tv) pues a + tv ∈ ha, a + vi ya que t ∈ h0, 1i. Luego por

el teorema de valor medio para funciones reales de variable existe un θ ∈ h0, 1i tal que

ξ(1) − ξ(0) = ξ 0 (θ)(1 − 0) f (a + v) − f (a) =

∂f (a + θv) ∂v

lo que demuestra el teorema.

Observaci´ on 0.3.6 La existencia de

∂f ∂v

en todo punto de ha, a + vi asegura

apenas la continuidad de f |ha,a+vi m´as no en [a, a + v]. Proposici´ on 0.3.2 Sea U ⊆ Rn abierto y conexo. Si f : U −→ R −→ R posee derivadas direccionales en todo x ∈ U y

∂f (x) ∂v

=

0 para cualquier v ∈ Rn . Entonces f es constante. Demostraci´ on/. Por hip´otesis se tiene que U es abierto y conexo, entonces dos puntos cualesquiera de U puede ser ligado por un camino poligonal contenido en U . 24

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

Fijemos a, b ∈ U , luego se tiene que: a) f |[a,b] es continua pues existe b) Existe

∂f ∂(b−a)

∂f ∂v

en todo x ∈ U para cualquier v ∈ Rn .

para todo x ∈ ha, bi

Luego se sigue del teorema de valor medio que existe θ ∈ h0, 1i tal que

f (a) − f (b) =

∂f (a + θ(b − a)) ∂(b − a)

f (b) − f (a) = 0,

pues

a + θ(b − a) ∈ [a, b] ⊆ U

f (a) = f (b)

As´ı pues hemos demostrado que para todo segmento rectil´ıneo cerrado de extremos a, b ∈ U contenido en U se tiene que f (a) = f (b). Ahora cualquier punto x ∈ U puede ser ligado al punto a por un camino poligonal contenido en U con v´ertices a0 = a, a1 , a2 , · · · , ak = x luego se 25

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

tiene que f (a) = f (a0 ) = f (a1 ) = · · · = f (ak ) = f (x) de donde f (x) = f (a) para todo x ∈ U . Por consiguiente f es constante.

0.4.

Funciones Diferenciables

La noci´on de funci´on diferenciable, que presentaremos ahora es debida a ´ Frechet y Stolz. Esta constituye para funciones de n variables la extensi´on adecuada del concepto de funci´on derivable de una sola variable. Definici´ on 0.4.1 Sea f : U −→ R con U ⊆ Rn abierto y a ∈ U . Diremos que la funci´on f es diferenciable en el punto a cuando existen constantes A1 , A2 , · · · , An tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U se tenga

f (a + v) = f (a) + A1 α1 + · · · + An αn + r(v),

donde

r(v) =0 v→0 kvk l´ım

. Definici´ on 0.4.2 Cuando f es diferenciable en todo los puntos de U , diremos simplemente que f es diferenciable. Proposici´ on 0.4.3 Sea f : U ⊆ Rn (donde U es abierto) y a ∈ U . f es diferenciable en a si y s´olo si existen las derivadas parciales 26

∂f ∂f (a), ∂x (a), ∂x1 2

∂f · · · , ∂x (a), n

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U tuvi´eramos

f (a + v) = f (a) +

n X ∂f (a)αi + r(v) ∂x i i=1

donde

r(v) =0 v→0 kvk l´ım

Demostraci´ on/.

⇒ ] Supongamos f es diferenciable em a ∈ U . Entonces existe constantes A1 , · · · , An tales que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U se tiene

f (a + v) = f (a) +

n X

Ai αi + r(v)

donde

i=1

r(v) =0 v→0 kvk l´ım

...(♦)

Tomemos v = tei con t lo suficientemente peque˜ no de modo que se tenga a + v = a + tei ∈ U . Luego tenemos

αj =

   0 si i 6= j   t si i = j)

f (a + tei ) = f (a) + (A1 0 + · · · + Ai t + · · · + 0An ) + r(tei ) donde

l´ım r(tei ) tei →0 ktei k

= 0 o´

i) l´ım r(te = 0. ktk

t→0

f (a + tei ) − f (a) r(tei ) = Ai + t t ktei kr(tei ) = Ai + ktei kt r(tei ) = Ai ± ktei k 27

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

haciendo t −→ 0, se tiene

∂f ∂xi

= Ai , como i es arbitrario entonces podemos

decir que existe cada derivada parcial de f en el punto a siendo

∂f ∂xi

= Ai .

Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn con a + v ∈ U luego por α tenemos

f (a + v) = f (a) +

n X

Ai αi + r(v)

donde

i=1

f (a + v) = f (a) +

n X ∂f (a)αi + r(v) ∂x i i=1

⇐ ] Es inmediato, basta tomar los

∂f ∂xi

donde

r(v) =0 v→0 kvk l´ım

r(v) =0 v→0 kvk l´ım

= Ai .

Observaci´ on 0.4.1 ¿Qu´e debemos probar para que una funci´on sea diferenciable?

a) En la desigualdad anterior, el resto”r(v) es definido por: n X ∂f r(v) = f (a + v) − f (a) − (a)αi ∂xi i=1

Esta definici´on puede ser dada para cualquier funci´on que posea derivadas parciales. b) La esencia de la definici´on de diferenciabilidad es que tomando r(v) de r(v) v→0 kvk

esta manera se tiene que l´ım

= 0.

Esta es la condici´on crucial que se debe ser verificada (directa o indirectamente) siempre que quisi´eramos probar que una funci´on es diferenciable. 28

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

= 0 concluimos l´Ĺm r(v) = 0 Observaci´ on 0.4.2 De l´Ĺm r(v) kvk v→0 v→0 r(v) r(v) ya que l´Ĺm r(v) = l´Ĺm kvk kvk = l´Ĺm kvk l´Ĺm kvk = 0 v→0

v→0

v→0

v→0

Proposici´ on 0.4.4 Sea f : U ⊆ Rn −→ R y a ∈ U (U , abierto) Si f es diferenciable en el punto a ∈ U . Entonces f es continua en ese punto.

Demostraci´ on/. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ U , entonces existen las derivadas parciales

∂f (a), ∂x1

¡¡¡ ,

∂f (a) ∂xn

tales que para todo v =

(Îą1 ; ¡ ¡ ¡ ; Îąn ) ∈ Rn con a + v ∈ U se tiene que:

f (a + v) = f (a) +

n X ∂f (a)Îąi + r(v) ∂x i i=1

donde

r(v) =0 v→0 kvk l´Ĺm

luego f (a + v) − f (a) =

n X ∂f (a)Îąi + r(v) ∂x i i=1

( n ) X ∂f l´Ĺm {f (a + v) − f (a)} = l´Ĺm (a)Îąi + r(v) = 0 v→0 v→0 ∂x i i=1 l´Ĺm f (a + v) = f (a)

v→0

Por consiguiente f es continua en el punto a.

Observaci´ on 0.4.3 r(v) es un infinit´esimo del orden superior a v, porque kr(v)k < kvk. 29

Newton Huaman´Ĺ castro r(v) v→0 kvk

La condici´on l´Ĺm

An´alisis de funciones reales

= 0 significa que para todo > 0 existe un δ > 0 tal

que: r(v) kvk < δ −→ kvk < −→ kr(v)k < kvk.

Esto quiere decir que r(v) tiende a cero m´as r´apidamente de que v. Esto es, para valores de v suficientemente pr´oximos de cero la norma de r(v) es una fracci´on arbitrariamente pequeËœ na de la norma de v. A veces, esto se exprime dici´endose que r(v) es un infinit´esimo del orden superior a v. Observaci´ on 0.4.4 f es diferenciable en el punto a cuando el incremento P ∂f f (a + v) − f (a) es igual a una funci´on lineal de v, ni=1 ∂x (a)Îąi , con un i resto infinitamente pequeËœ no en relaci´on a v r(v) v→0 kvk

Observaci´ on 0.4.5 Note que la validez de la afirmaci´on l´Ĺm

= 0 es

independiente de la norma adoptada en Rn . Observaci´ on 0.4.6 La utilidad de Ď .

En ciertas ocasiones es preferible usar en vez de r(v) la funci´on Ď = Ď (v) definida para los valores de v tales que a + v ∈ U del siguiente modo

Ď (v) =

  

r(v) kvk

  t 30

si v 6= 0 si v = 0)

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An´alisis de funciones reales

As´ı pues la funci´on f es diferenciable en el punto a ∈ U si y solamente si posee derivadas parciales en ese punto y para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn tal que a + v ∈ U , vale

f (a + v) = f (a) +

n X ∂f (a)αi + ρ(v)kvk ∂x i i=1

l´ım ρ(v) = 0

v→0

la demostraci´on es inmediata. Observaci´ on 0.4.7 f es diferenciable en el punto a si y solamente si la funci´on ρ = ρ(v) es continua en el punto v = 0. Proposici´ on 0.4.5 Sea f : I −→ R una funci´on definida en un intervalo abierto I ⊆ R. Si f es diferenciable en a ∈ I. Entonces f es derivable en a ∈ I. Demostraci´ on/. Supongamos que f es diferenciable en a ∈ I. Entonces existe una constante A tal que si t ∈ R con a + t ∈ I se tiene

f (a + t) = f (t) + At + ρ(t),

donde

f (a + t) − f (t) |t| −A=ρ t t o bien t f (a + t) − f (t) ρ= −A |t| t f (a + t) − f (t) ρ=± −A t 31

l´ım ρ = 0

v→0

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

como l´ım ρ = 0 luego tenemos v→0

f (a + t) − f (t) =A v→0 t

f 0 (a) = l´ım

como A existe, f 0 (a) existe. N´ otelo que: l´ım ρ = 0 si y solamente si A = f 0 (a)

v→0

Ya vimos que si f es diferenciable en el punto a, entonces f es continua en a y posee derivadas parciales en ese punto, ahora mostraremos que f tiene derivada direccional seg´ un cualquier vector v = (α1 , · · · , αn ) y adem´as vale la f´ormula ∂f ∂f ∂f (a) = (a)α1 + · · · + (a)αn ∂v ∂x1 ∂xn Proposici´ on 0.4.6 Sea f : U −→ R (U ⊆ Rn abierto) y a ∈ U . Si f es diferenciable en el punto a ∈ U . Entonces f tiene derivada direccional en a seg´ un cualquier v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y que se cumple n

X ∂f ∂f (a) = (a) · · · αi . ∂v ∂x i i=1 Demostraci´ on/. Supongamos que f es diferenciable en el punto a ∈ U. Entonces existen

∂f (a), · · · ∂x1

∂f , ∂x (a) tal que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn n

se tiene con a + v ∈ U n X ∂f (a)αi + ρ(v)kvk f (a + v) = f (a) + ∂xi i=1

32

l´ım ρ(v) = 0

v→0

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An´alisis de funciones reales

de donde n

f (a + tv) − f (a) X ∂f = (a)αi ± ρ(tv)kvk t ∂xi i=1 haciendo t −→ 0, se tiene n

X ∂f ∂f (a) = (a) · αi . ∂v ∂x i i=1 en resumen como v ∈ Rn es arbitrario y que existen

∂f (a) ∂xi

se concluye que

f tiene derivada direccional en el punto a seg´ un cualquier v ∈ Rn . Proposici´ on 0.4.7 Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on diferenciable en U . Entonces la derivada direccional, ∂f , en cualquier punto de U depende ∂v linealmente de v ∈ Rn , esto significa que: ∂f ∂f = λ , ∂λv ∂v ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w Demostraci´ on/. Sea a ∈ U por hip´otesis en particular f es diferenciable P ∂f ∂f en a, luego por la proposici´on(4,6) se tiene que ∂λv = ni=1 ∂x (a)αi para i todo tal que para todo v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn . Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y λ ∈ R. Luego n

n

X ∂f X ∂f ∂f (a) = (a)αi = λ (a)αi ∂λv ∂xi ∂xi i=1 i=1 = λ 33

∂f (a) ∂v

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An´alisis de funciones reales

como a es cualquier punto de U , impl´ıcitamente podemos escribir ∂f ∂f = λ (a). ∂λv ∂v Sea v = (α1 , · · · , αn ) y w = (β1 , · · · , βn ) ∈ Rn . n n n X X X ∂f ∂f ∂f ∂f (a) = (a)(αi + βi ) = (a)αi + (a)βi ∂(w + v) ∂x ∂x ∂x i i i i=1 i=1 i=1

=

∂f ∂f (a) + (a). ∂w ∂v

As´ı pues ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w Una propiedad relevante de las funciones diferenciables esta dada por

Proposici´ on 0.4.8 (Regla de la cadena). Sean U ⊆ Rm , V ⊆ Rn abiertos, f = (f1 ), · · · , fn ) : U −→ Rn tal que f (U ) ⊂ V y g : V −→ R. Si cada funci´on coordenada fk : U −→ R es diferenciable en el punto a ∈ U y g es diferenciable en el punto b = f (a) y sus derivadas parciales son: n

X ∂g ∂g ◦ f ∂fk = (b) (a) ∂xi ∂y ∂x k i k=1 34

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An´alisis de funciones reales

Demostraci´ on/. Consideremos U0 = {v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn : a + v ∈ U }. Para v ∈ U0 y k = 1, · · · , n tenemos

fk (a + v) = fk (a) +

n X ∂f (a)αi + ρk (v)kvk ∂x i i=1

...(♠)

donde cada ρk = ρk (v) es una funci´on continua, definida en U0 que se anula cuando v = 0. Consideremos a la aplicaci´on continua w = (β1 , · · · , βn ) : U0 −→ Rn , cuyas funciones coordenadas son definidas por

βk (v) =

n X ∂fk i=1

∂xi

(a)αi + ρk (v)kvk

adoptando la norma de la suma tenemos

|αi | kvk

...(♣)

≤ 1 si v 6= 0 luego

m

m

X

∂fk

|βk (v)| X

∂fk

|αi | 0

≤

∂xi (a) kvk + |ρk (v)| ≤

∂xi (a) + M kvk i=1 i=1 As´ı

|βk (v)| kvk

∂f (a) umeros, es acotada debido a que ∂x

son n´ i

|αi | kvk

≤ 1 y ρk (v) es

continua. De esto se sigue que !

n n m

kwk X |βk | X X

∂f 0

= ≤

∂xi (a) + M = M kvk kvk i=1 k=1 k=1 O sea que

kwk kvk

es una funci´on limitada en una vecindad del punto v = 0 (es

decir | kwk − 0| < M para todo 0 6= v ∈ U0 ). kvk Escribiendo gf en vez de g ◦f , podemos afirmar en virtud de (♣), (♠) y de la 35

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

diferenciabilidad de g en el punto b = f (a) que para todo v ∈ U0 , se cumple

gf (a + v) = g(b + w) = g(b) +

n X ∂g(b) k=1

∂xk

· βk + σ(w) · kwk

donde σ(w) = σ(w(v)) es una funci´on real continua que se anula en el punto v = 0, debido a que βk (0) = 0, luego w(0) = 0, σ(w = 0) = 0. Usando la definici´on de βk , obtenemos " m # n X ∂g(b) X ∂fk (a) · αi + ρk (v) · kvk + σ · kwk gf (a + v) = gf (a) + ∂xk i=1 ∂xi k=1 ( n ) m n X X ∂g(b) ∂fk (a) X ∂g(b) ρk · kvk + σkwk = gf (a) + · αi + ∂xk ∂xi ∂xk i=1 k=1 k=1 = gf (a) +

m X

Ai · αi + R

i=1

donde Ai =

Pn

∂g(b) ∂fk (a) k=1 ∂yk ∂xi

yR=

Pn

∂g(b) k=1 ∂xk (ρk

· kvk) + σ · kwk luego

n

X ∂g(b) R kwk = ρk + σ · kvk k=1 ∂yk kvk Cuando v tiende a cero, sabemos que cada ρk tiende a cero que el cociente R v−→0 kvk

es limitado y que l´ım σ = 0. Se sigue que l´ım v−→0

kwk kvk

= 0. Esto demuestra que

g ◦ f es diferenciable en el punto a y sus derivadas parciales son los n´ umeros Ai .

Observaci´ on 0.4.8 Sobre la notaci´on cl´asica del c´alculo diferencial. 36

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

Muchas veces la notaci´on cl´asica del c´alculo diferencial es imprecisa pero bastante sugestiva, ya que es compatible con la pr´actica. La notaci´on cl´asica considera â€?y una funci´on de x.en vez de aplicaciones â€?f lleva x en y.â€? Los puntos de U ser´Ĺan escritos como â€?xâ€? y los de V como â€?yâ€?, las funciones fk ser´Ĺan escritas como yk = yk (x). La derivada g â—Ś fk en relaci´on a la variable xi â€?, indicada como

∂gâ—Śfk ∂xi

seria la �derivada de

∂g . ∂xi

La regla de la cadena

seria entonces: X ∂g ∂yk ∂g = ¡ . ∂xi ∂y ∂x k i k No se puede negar la elegancia nost´algica de esta formula. Est´a comprometida con sistemas de coordenadas, para el gusto actual m´as adelante presentaremos la versi´on intr´Ĺnseca de la regla de la cadena, cuyo significado es independiente de las coordenadas.

Proposici´ on 0.4.9 Si f : U ⊂ Rn −→ R es diferenciable en el punto b y si Îť : ha − , a + i −→ U ⊂ Rn es un camino diferenciable en el punto a con Îť(a) = b y Îť(t) = (Îť1 (t), ¡ ¡ ¡ , Îťn (t)). Entonces la funci´on compuesta, f â—Ś Îť : ha − , a + i −→ U ⊂ R, es diferenciable en el punto a y se tiene (f â—Ś Îť)0 (a) =

n X ∂f (b) ¡ Îť0i (a) ∂x i i=1

Demostraci´ on/. Es consecuencia inmediata de la regla de la cadena, ya ´ que el papel de f desempeËœ na el camino Îť y el papel de g desempeËœ na f . Este u ´ltimo f es la funci´on que se tiene en esta proposici´on(4.9). 37

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

Observaci´ on 0.4.9 Si escribimos Ν(t) = (x1 (t), ¡ ¡ ¡ , xn (t)) entonces 0

Îť (t) =

Indicando con

df dt

dx1 dxn ,¡¡¡ , dt dt

la derivada de la funci´on compuesta t −→ f (Îť(t)) =

f (x1 (t), ¡ ¡ ¡ , xn (t)), la regla de la cadena asume la forma cl´asica. n

X ∂f dxi df = . dt ∂x dt i i=1 Proposici´ on 0.4.10 Sean U ⊆ Rn un conjunto abierto, f : U −→ R diferenciable en el punto a con f (U ) ⊂ I, g : I −→ R diferenciable en el punto b = f (a). Entonces f â—Ś g : U −→ R es diferenciable en el punto a y para cada i = 1, n se cumple ∂(g â—Ś f ) ∂f (a) = g 0 (b) (a). ∂xi ∂xi Observaci´ on 0.4.10 Se deduce de la regla de cadena que

si f : U −→ R es diferenciable en el punto a ∈ U , al calcular la derivada direccional

∂f (v) ∂v

= (f â—Ś Îť)0 (0) no es necesario tomar Îť(t) = a + tv. En vez

de restringirnos al camino rectil´Ĺneo podemos considerar cualquier camino Îť : h− , i −→ U ⊆ Rn diferenciable en el punto 0, con Îť(0) = a y Îť0 (0) = v = (Îą1 , ¡ ¡ ¡ , Îąn ) tenemos tambi´en ∂f f (Îť(t)) − f (a) (a) = (f â—Ś Îť)0 (0) = l´Ĺm . t−→0 ∂v t 38

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

En efecto: Por la regla de la cadena

(f ◦ λ)0 (0) =

n n X X ∂f ∂f ∂f (a) · λ0i (0) = (a) · αi = (a). ∂x ∂x ∂v i i i=1 i=1

Ejemplos de funciones no diferenciables Revisemos ahora los ejemplos 4,5,6 y 7 a la luz de la definici´on de diferenciabilidad. Las funciones que examinamos fueron los siguientes    2xy 2 si x2 + y 2 6= 0 x +y 2 a) f : R −→ R, f (x, y) =   0 si x2 + y 2 = 0    2x2 y 2 si x2 + y 2 6= 0 x +y 2 b) g : R −→ R, g(x, y) =   0 si (x; y) = (0; 0)    6x3 y 2 si (x; y) 6= (0; 0) x +y c) h : R2 −→ R, h(x, y) =   0 si (x; y) = (0; 0)    4x3 y 2 si (x; y) 6= (0; 0) x +y d) ϕ : R2 −→ R, ϕ(x, y) =   0 si (x; y) = (0; 0) ninguna de estas funciones es diferenciable en le origen de R2 . En efecto.

a) De los ejemplos (3) y (4) tenemos que f es discontinua en el origen de R2 y adem´as no posee derivada direccional seg´ un todo vector en el punto (0; 0). S´olo posee para algunos. 39

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

b) Del ejemplo (5) tenemos que g es continua en R2 y existe

∂f (0; 0) ∂v

todo vector v ∈ R2 , pero sin embargo la derivada direccional ,

seg´ un

∂f (0; 0), ∂v

no depende linealmente de v. c) Del ejemplo(6) tenemos que h posee derivadas direccionales

∂h (0; 0) ∂v

que depende linealmente de v,, pero sin embargo no es continua en el origen. d) finalmente ϕ es continua en todo el plano y admite en todos los puntos del plano derivadas direccionales

∂ϕ ∂v

que dependen linealmente de

v, pero hace contraria la regla de la cadena porque, considerando el camino λ(t) = (t, t2 sen( 1t )) y λ(0) = (0; 0) diferenciable, la compuesta ϕ ◦ λ : R −→ R no es derivable en el punto t = 0. Estas son razones indirectas por las cuales las cuatro funciones anteriores no son diferenciables. Son razones indirectas porque utilizamos las negaciones de las proposiciones(4.5);(4.6);(4.7);(4.8) para justificar que no son diferenciables. r(v) v→0 kvk

La raz´on real es que cada uno de los restos no cumple la condici´on, l´ım

=

0,ya que 1 ∂f r(v) ∂f = l´ım p ·α− · β 6= 0 l´ım f (α, β) − v→0 kvk α,β→0 ∂x ∂y α2 + β 2 donde las derivadas parciales son tomadas en el origen y que es la norma euclidiana del vector v(α; β). 40

p α2 + β 2 = kvk

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An´alisis de funciones reales

Definici´ on 0.4.11 Una funci´on compleja f : U −→ C, definida en el abierto U ⊆ C, se dice derivable en el punto z = x + iy ∈ U cuando existe el l´ımite f (z + H) − f (z) = A. H→0 kHk l´ım

El cociente anterior esta siendo tomada en el sentido de los complejos. El n´ umero complejo A = f 0 (z) se llama la derivada de la funci´on compleja en el punto z.

Definici´ on 0.4.12 Sea f : U −→ C una funci´on compleja definida en el abierto U ⊆ C y z ∈ U . Diremos que f es diferenciable en el punto z cuando existe una constante A tal que par todo H ∈ C con z + H ∈ U se tiene

f (z + H) = f (z) + A.H + r(H)

donde

r(H) =0 H→0 |H| l´ım

Observa que la constante A y la norma |H| son tomadas en el sentido en el sentido complejo.

Proposici´ on 0.4.13 Sea f : U −→ C (U ⊆ C, abierto) y z ∈ U .

f es derivable en el punto z si y solamente si f es diferenciable en ese punto.

Demostraci´ on/. 41

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An´alisis de funciones reales

⇒ ] Supongamos f es derivable en el punto z. Entonces existe el l´Ĺmite f (z + H) − f (z) = A H→0 H f (z + H) − f (z) l´Ĺm −A = 0 H→0 H l´Ĺm

tomemos A ∈ C. Sea H ∈ C con z + H ∈ C.

f (z + H) = f (z) + A ¡ H + r(H)

r(H) H→0 kHk

Demostremos, l´Ĺm

=0

H r(H) = kHk kHk

f (z + H) − f (z) −A kHk r(H) H→0 kHk

haciendo que H −→ 0, tenemos l´Ĺm

= 0 ya que g(H) =

H kHk

como

funci´on es acotada debido

H reiθ iθ √

= e = cos2 θ + sen2 θ = 1 ≤ 1 |g(H)| =

= kHk r

N´otelo, que estamos utilizando el resultado conocido: Si l´Ĺm f (z) = 0 y g : t→a

U −→ C es una funci´on acotada. Entonces l´Ĺm f (z)g(z) = 0 t→a

� ] Supongamos que f es diferenciable en el punto z. Entonces existe una

42

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

constante A tal que para todo H ∈ C con z + H ∈ U se tiene que

f (z + H) = f (z) + A.H + r(H)

donde

r(H) =0 H→0 |H| l´ım

r(H) |H| |A| r(H) f (z + H) − f (z) = A + l´ım =A l´ım H→0 H H→0 H |H| |A| f (z + H) − f (z) =A+ H H

El segundo sumando es cero de la igualdad intermedia porque l´ım r(H) =0 H→0 kHk

H

f (z+H)−f (z) y kHk

= reriθ = e−iθ = r es acotada. Por consiguiente l´ım H H→0

existe porque A existe. Observaci´ on 0.4.11 Observe que la constante A de la diferenciabilidad de f en z coincide con la derivada de f en z f (z + H) − f (z) = A. H→0 H

f 0 (z) = l´ım

Observaci´ on 0.4.12 Sea A = a + ib, H = h + ik y r = r1 + ir2 . Entonces f es diferenciable en el punto z = x + iy si y solamente si

f (z + H) = f (z) + (ah − bk) + i(bh + ak) + r1 (H) + ir2 (H)

donde l´ım

H→0

r1 (H) |H|

= l´ım

H→0

r2 (H) |H|

= 0.

Proposici´ on 0.4.14 Sean f : U ⊆ C −→ C y sean µ, ν : U −→ R las partes real e imaginaria de f o sea f (z) = µ(z) + iν(z), z = (x, y). 43

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An´alisis de funciones reales

La funci´on compleja f = µ + iν es derivable en el punto z = x + iy si y solamente si su parte real µ y su parte imaginaria ν son diferenciables en el punto (x; y) y satisfacen en ese punto las ecuaciones de Cauchy-Rieman. ∂µ ∂ν = ∂x ∂y

∂µ ∂ν =− . ∂x ∂x

Demostraci´ on/. ⇒ ] Supongamos que f = µ+iν es derivable en el punto z = x+iy. Entonces f es diferenciable en z, esto implica que existe A = a + ib tal que para todo H = h + ik ∈ C con z + H ∈ U se tiene

f (x + h; y + k) = f (x; y) + (ha − kb) + i(hb + ka) + r1 (h, k) + ir2 (h, k)

donde

l´ım (h,k)→(0;0)

r (h;k) √1 h2 +k2

=0y

l´ım (h,k)→(0;0)

r (h;k) √2 h2 +k2

= 0 luego tenemos por igualdad

de complejos tenemos

µ(x+h, y+k) = µ(x, y)+ha−kb+r1 (h, k)

donde

r (h; k) √1 =0 (h,k)→(0;0) h2 + k 2

ν(x+h, y+k) = ν(x, y)+hb+ka+r2 (h, k)

donde

r (h; k) √2 =0 (h,k)→(0;0) h2 + k 2

l´ım

l´ım

As´ı pues µ, ν son diferenciables en el punto (x; y) = z luego se tiene y

∂ν(x,y) ∂y

= a y adem´as

condiciones

∂µ ∂x

=

∂ν ∂y

∂µ(x,y) ∂y

(= a) y

∂µ ∂y

= −b y

∂ν(x,y) ∂x

∂µ(x,y) ∂x

=a

= b. As´ı pues cumplen las

∂ν = − ∂x (= −b) en el punto (x, y). Estas son

las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann. 44

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An´alisis de funciones reales

⇐ ] Si µ, ν : U −→ R son funciones diferenciables en el punto z = (x, y) y satisfacen en ese punto las ecuaciones de Cauchy-Riemann ∂ν ∂x

∂µ ∂x

=

∂ν ∂y

y

= − ∂µ entonces podemos revertir cada paso del argumento anterior y ∂y

concluir que la funci´on compleja f = µ + iν posee en el punto z = x + iy una derivada compleja f 0 (z) con f 0 (z) =

∂µ ∂x

− i ∂µ = ∂y

∂ν ∂y

∂ν + i ∂x .

Definici´ on 0.4.15 La funci´on compleja f : U −→ C se dice holomorfa cuando posee f 0 (z) en todos los puntos del abierto U.

Funciones de clase C k

0.5.

Definici´ on 0.5.1 Una funci´on real f : U −→ R, definida en el abierto U ⊂ Rn , se dice de clase C 1 cuando existen, en cada punto x ∈ U , las derivadas parciales

∂f (x), · · · ∂x1

∂f , ∂x (x) y las n funciones n

∂f ∂xi

: U −→ R, as´ı definidas

son continuas. Definici´ on 0.5.2 Diremos que una funci´on f : U −→ R es de clase C k cuando posee derivadas parciales en todos los puntos de U y que las funciones ∂f ,··· ∂x1

∂f , ∂x : U −→ R son de clase C k−1 . n

Observaci´ on 0.5.1 De la definici´on (5.2) a) Aqu´ı, k es un entero > 0. b) Para completar la definici´on inductiva, diremos que una funci´on f : U −→ R es de clase C 0 cuando esta fuese continua. 45

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

c) Para no escribir f es de clase C k , usaremos la notaci´on f ∈ C k . d) Escribiremos tambi´en f ∈ C ∞ cuando f ∈ C k para todo k ≼ 0. En otros t´erminos f es de clase C ∞ si y solo si f ∈ C k para todo k ∈ N. Este echo se denotar´a con f ∈ C ∞ . Proposici´ on 0.5.3 Si una funci´on f : U −→ R posee derivadas parciales en todos los puntos de U y cada una de ellas es continua en el punto c. Entonces f es diferenciable en el punto c. Demostraci´ on/. Por simplicidad, consideremos el caso n = 2. La situaci´on general se trata de modo an´alogo, apenas con notaci´on m´as complicada. Fijemos c = (a, b) ∈ U y tomemos v = (h, k) ∈ Rn con la propiedad de que c + v ∈ U y tomemos v = (h, k) ∈ Rn con la propiedad de que c + v ∈ U.

f (c + v) = f (c) +

∂f ∂f (c).h + (c).k + r(v) ∂x ∂y

...(♌) r(v) v→0 kvk

Para que f sea diferenciable en el punto c = (a, b), demostremos que l´Ĺm

=

0 despejando de (♌) r(v) tenemos

r(h, k) = f (a + h, h + k) − f (a, b) −

∂f ∂f h− k ∂x ∂y

donde las derivadas parciales son evaluadas en el punto c = (a, b). Por otro lado tenemos: Como C pertenece al abierto U . Entonces existe > 0 tal que B(c, ) ⊆ U ⊆ R2 , el hecho de que U es abierto (en la proposici´on no dice nada pero se 46

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

entiende t´acitamente) justifica la existencia del v = (h.k) tal que c + v ∈ U. √ Para esto basta tomar kvk = h2 + k 2 < luego

kc + v − ck = kvk < ⇒ c + v ∈ B(c, ) ⊆ U

⇒c+v ∈U Afirmemos: [(a, b + k); (a + h, b + k)] ⊆ B(c, ) o bien

{(1âˆ’Îť)(a, b+k)+Îť(a+h, b+k) : 0 ≤ Îť ≤ 1} = {(a+Îťh; b+k) : 0 ≤ Îť ≤ 1} ⊆ B(c, ) 47

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An´alisis de funciones reales

Sea ω = (a + Îťh; b + k) para alg´ un 0 ≤ Îť ≤ 1. Como h2 ≤ h2 y Îť2 ≤ 1 p √ entonces (Îťh)2 ≤ h2 a su vez implica k 2 + (Îťh)2 ≤ h2 + k 2 luego

kw − ck =

p √ k 2 + (Îťh)2 ≤ h2 + k 2 = kc + v − ck <

Por tanto w ∈ B(c, ) ⊆ U , por consiguiente el segmento [(a; b + k), (a + h; b + k)] ⊆ U y del mismo modo se llega [(a; b), (a; b + k)] ⊆ U . Esto permita escribir

r(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a, b + k) + f (a, b + k) − f (a, b) −

∂f ∂f h− k. ∂x ∂y

Como f |[(a;b+k),(a+h;b+k)] es continua debido a que ∂f ∂f ∂f ∂f = =h =h ∂((a + h; b + k) − (a; b + k)) ∂(h; 0) ∂(1; 0) ∂x existe en todos los puntos de [(a; b + k), (a + h; b + k)] por hip´otesis , teniendo presente en los extremos como ∂f f ((a; b + k) + t(1; 0)) − f (a; b + k) (a, b + k) = l´Ĺm+ . t→0 ∂x t Adem´as existe

∂f ∂((a+h;b+k)−(a;b+k))

para todo x ∈ h(a + h; b + k), (a; b + k)i por

la misma raz´on del anterior. Luego por el teorema de valor medio se sigue

48

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

que existe θ1 ∈ h0, 1i tal que

f (a + h; b + k) − f (a; b + k) =

∂f ∂((a + h; b + k) − (a; b + k)) ¡ ((a; b + k) + θ1 ((a + h; b + k) − (a; b + k)))

∂f ((a; b + k) + θ1 (h; 0)) ∂(h; 0) ∂f = h (a + θ1 h; b + k) ∂(1; 0) ∂f = h (a + θ1 h; b + k) ∂x =

An´alogamente para f |[(a;b),(a;b+k)] existe θ2 ∈ h0, 1i tal que

f (a; b + k) − f (a; b) = k

∂f (a; b + θ2 k) ∂y

reemplazando estos valores tenemos

r(h; k) =

∂f ∂f ∂f ∂f (a + θ1 h; b + k) ¡ h + (a; b + θ2 k) ¡ k − h− k ∂x ∂y ∂x ∂y

luego r(v) = kvk

∂f ∂f h ∂f + (a + θ1 h; b + k) − (a; b) √ (a; b + θ2 k)− ∂x ∂x ∂y h2 + k 2

k ∂f (a; b) √ 2 ∂y h + k2 √ √ Ahora para v = (h; k) tenemos |h| ≤ kvk ≤ h2 + k 2 y |k| ≤ h2 + k 2 o´sea

0 ≤ √h2h+k2 ≤ 1 0 ≤ √h2k+k2 ≤ 1 y la continuidad de las derivadas parciales 49

Newton Huaman´Ĺ castro

nos da

An´alisis de funciones reales

∂f ((a; b) + (h; k)) v=(h;k)−→0 ∂x

l´Ĺm

∂f (a; b), ∂y

=

∂f (a; b) ∂x

y

∂f ((a; b) + (h; k)) v=(h;k)−→0 ∂y

l´Ĺm

=

esto nos dice que si nos acercamos por donde sea al origen el l´Ĺmite r(v) v−→0 kvk

es el mismo. As´Ĺ pues l´Ĺm

= 0. Por consiguiente f es diferenciable en el

punto c = (a; b).

Proposici´ on 0.5.4 Toda funci´on de clase C 1 es diferenciable Demostraci´ on/.Sea f ∈ C 1 entonces f posee derivadas parciales en todas los puntos y que las derivadas parciales son funciones continuas en todos los puntos, luego se sigue de la proposici´on(5.3) que f es diferenciable en todos los puntos.

Observaci´ on 0.5.2 Escribiendo r(v) = f (a + h; b + k) − f (a; b + k) −

∂f ∂f ¡ h + f (a, b + k) − f (a, b) − k ∂x ∂y

vemos que existe θ ∈ h0, 1i tal que r(v) = kvk como

h kvk

∂f ∂f h f (a, b + k) − f (a; b) ∂f k (a + θh; b + k) − (a; b) + − (a, b) ∂x ∂x kvk k ∂y kvk y

k kvk

tienen valor absoluto menor que uno. El primer sumando de

la igualdad anterior tiene l´Ĺmite cero kvk −→ 0, desde que

∂f ∂x

sea continua en

el punto c = (a; b). El segundo sumando de la igualdad anterior de la parte derecha tambi´en tiene limite cero, en virtud de la definici´on de derivada , sin que sea precisamente suponer

∂f ∂y

continua. As´Ĺ pues, para que una funci´on f ,

de dos variables , sea diferenciable en un punto es suficiente que una vecindad del punto y sea continua en el punto y que 50

∂f ∂y

∂f ∂x

exista en

apenas exista en

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

el p unto en cuesti´on. Para funciones de n variables la diferenciabilidad en un punto es asegurada cuando n = 1 de sus derivadas parciales son continuas en el punto y la derivada parcial restante apenas exista all´ı. Ejemplo 8 Un polinomio en dos variables es una funci´on P : R2 −→ R del P tipo P (x, y) = aij xi y j . Justifique que P es de clase C ∞ Soluci´ on/. Todo polinomio evidentemente es una funci´on continua y posee derivadas P P = aij ixi−1 y j y ∂P = aij jxi y j−1 , tales derivadas son tamparciales ∂P ∂x ∂y bi´en polinomios y por tanto son funciones continuas en R2 luego y por tanto son funciones continuas en R2 luego todo polinomio P : R2 −→ R es una funci´on de clase C 1 . Ahora , como las derivadas parciales de P son polinomios, asi que siendo polinomios son de clase C 1 por tanto P ∈ C 2 . Repitiendo el mismo argumento , conclu´ımos que P ∈ C k para todo k, por consiguiente todo polinomio es una funci´on de clase C ∞ . Afirmaciones semejantes pueden ser hechas sobre un polinomio de n variables P , que es una funci´on P : Rn −→ R del tipo P (x) = aai1 ···in xi11 · · · xinn Proposici´ on 0.5.5 Sean f, g : U ⊆ Rn −→ R. Entonces a) Si f ∈ C k y g ∈ C k , entonces f + g ∈ C k b) Si f, g ∈ C k , entonces f g ∈ C k 51

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An´alisis de funciones reales

c) Si f, g ∈ C k , entonces f /g ∈ C k (g(x) 6= 0, para todo x ∈ Dom(g)) En forma comprimida, la suma f + g, el producto f g y el cociente f /g (Si g(x) 6= 0 para todo x en el dominio de g) de funciones f, g : U −→ R, de clase C k son funciones de clase C k . Demostraci´ on/. Demostraremos mediante la inducci´on a) Si f ∈ C 0 y g ∈ C 0 , entonces f, g es continua. Luego f + g es continua, as´ı pues f + g ∈ C 0 Si f ∈ C 1 , g ∈ C 1 entonces luego por lo anterior

∂f ∂xi

∂g + ∂x ∈ C 0 o sea que i

∂f ∂xi

∂(f +g) ∂xi

∈ C0 y

∂g ∂xi

∈ C0

∈ C 0 , esto implica

que f + g ∈ C 1 . ∂f Si f ∈ C 2 , g ∈ C 2 entonces ∂x , i

se tiene

∂f +g ∂xi

=

∂f ∂xi

+

∂g ∂xi

∂g ∂xi

∈ C 1 luego por el resultado u ´ltimo

∈ C 1 esto implica que g + f ∈ C 2 .

Ahora la hip´otesis inductiva si f ∈ C k−1 , g ∈ C k−1 entonces que g +f ∈ C k−1

...(♦)

Demostremos si f, g ∈ C k , entonces g + f ∈ C k

Si f, g ∈ C k , entonces ∂f +g ∂xi

=

∂f , ∂xi

∂f ∂g , ∂xi ∂xi

∈ C k−1 , luego por (♦) tenemos que

∂g + , ∂x ∈ C k−1 o sea que f + g ∈ C k . i

b) Si f ∈ C 0 , g ∈ C 0 entonces g, f son funciones continuas luego gf es continua, implica que gf ∈ C 0 Supongamos que si g, f ∈ C k−1 entonces gf ∈ gf ∈ C k−1 52

...(4)

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

Sea g, f ∈ C k entonces

g(a + tei ) − g(a) t

∂f ∂g , ∂xi ∂xi

∈ C k−1 luego

f (a + tei ) − f (a) t

=

gf (a + tei ) − gf (a)− t2

f (a)(g(a + tei ) − g(a)) − g(a)(f (a + tei ) − f (a))

Ejemplo 9 Demu´estrese que si f es diferenciable entonces puede ocurrir que f no es de clase C 1 . De un contra ejemplo Soluci´ on/. Tomemos f : R −→ R dada por:

f (x) =

   x2 sen( 1 ) si x 6= 0 x  

0

si x = 0

Veamos que f es derivable en cero t2 sen( 1t ) f (0 + t) − f (0) = l´ım =0 f (o) = l´ım t→0 t→0 t t 0

Luego f es diferenciable en el punto 0 ya que para funciones reales de una variable real; la diferenciabilidad es el mismo que la existencia de la derivada. Como 1 1 −1 f 0 (x) = 2xsen( ) + x2 cos( )( 2 ) x x x 1 1 = 2xsen( ) + cos( ) x x 53

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

1 1 1 l´ım f 0 (x) = l´ım {2xsen( ) + cos( )} = l´ım cos( ) x−→0 x→0 x x x

x−→0

´este u ´ltimo limite no existe por lo que f 0 (x) no es continua en cero. As´ı podemos decir del ejemplo que hay funciones diferenciables que no son de clase C 1 . Proposici´ on 0.5.6 Si C k = {f : Rn −→ R : f es de claseC k } para todo k k+1 k ∈ Z+ para todo k ∈ Z+ 0 . Entonces C ⊃ C 0.

Demostraremos por inducci´on Si k = 0, C 1 ⊂ C 0 Sea f ∈ C 1 , entonces por la proposici´on(5.4) se tiene f es diferenciable, luego se sigue que f es continua esto implica que f ∈ C 0 . Supongamos que se cumple para k − 1, es decir C k ⊂ C k−1 Demostremos que se cumple para k, C k+1 ⊂ C k Sea f ∈ C k+1 , entonces ∂f ∈ C (k+1)−1 = C k ∂xi ⇒

∂f ∈ C k−1 ∂xi

⇒

f ∈ Ck.

Observaci´ on 0.5.3 ¿Qui´en esta en qui´en? 54

por la hip´otesis inductiva

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

a) Es inmediato ver que

C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ · · · ⊃ Ck · · · ⊃ C∞

As´ı pues, si f ∈ C k entonces f ∈ C n para todo n ≤ k. b) C 0 ⊃ C 1 es una inclusi´on estricta.

En efecto.

Tomemos f (x) =

   x2 sen( 1 ) si x 6= 0 x 0

 

,

si x = 0

es inmediato ver que f es continua en R, luego ser´a continua en U , por lo que f ∈ C 0 sin embargo f 0 (x) en cero no es continua por lo que f∈ / C k . En general son inclusiones estrictas. Proposici´ on 0.5.7 Sean U ⊂ Rm , V ⊂ Rn abiertos f = (f1 , · · · , fn ) : U −→ Rn tal que f (U ) ⊂ V y bg : V −→ R. Si cada funci´on coordenada fj : U −→ R es de clase C k y si g es una funci´on de clase C k . Entonces la funci´on compuesta g ◦ f : U −→ R es de clase C k . Demostraci´ on/. Demostremos, mediante la inducci´on. Si k = 0. Entonces fj : U −→ R son funciones continuas luego f es continua 55

Newton Huaman´ı castro

An´alisis de funciones reales

y tambi´en implica que g es continua se sigue que g ◦ f es continua, osea que g ◦ f ∈ C 0. Supongamos que se cumple para k − 1, es decir si fj ∈ C k−1 y g ∈ C k−1 entonces g ◦ f ∈ C k .

...(♦)

Demostremos para k,(fj ∈ C k−1 y g ∈ C k entonces g ◦ f ∈ C k . ) Por la proposici´on(5.4) g y cada fj son diferenciables (estamos suponiendo k ≥ 1 pues la proposici´on es trivial si k = 0) luego podemos aplicar la regla de la cadena seg´ un el cual para todo i = 1, · · · , m y todo x ∈ U n

X ∂g ∂fj ∂(g ◦ f ) (x) = (f (x)) (x) ∂xi ∂y ∂x j i j=1 o sea, vale la igualdad de funciones n

∂(g ◦ f ) X = ∂xi j=1

∂g ◦f ∂yj

·

∂fj ∂xi

Como para cada j = 1, n, la funci´on compuesta

...(4)

∂g ∂yj

◦ f es de clase C k−1 ya

∂g que por hip´otesis fj ∈ C k luego f ∈ C k ⊂ C k−1 y que ∂y ∈ C k−1 se sigue j ∂fj ∂fj ∂g k−1 k−1 de (♦) que ∂yj ◦ f ∈ C el mismo ocurre con ∂xi ∈C para todo ∂xi

i, ya que f ∈ C k ⊂ C k−1 . Como el producto de funciones de clase C k−1 es tambi´en esta clase, as´ı pues cada t´ermino de la suma anterior (4) es de clase C k−1 , luego la suma tambi´en es de clase C k−1 . As´ı todas las derivadas parciales de g ◦ f son de clase C k−1 , por tanto g ◦ f ∈ C k . Ejemplos de clase C ∞ 56

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An´alisis de funciones reales

a) El producto interno f : Rm × Rm −→ R, f (x, y) =

P

xi yi siendo un

patrimonio con 2m variables, es una funci´on de clase C ∞ . b) La funci´on g : Rn −→ R dada por g(x) = kxk2 =

P

x2i , por ser tambi´en

un polinomio en n variables es de clase C ∞ . c) Demu´estrese que la norma euclidiana h : Rn −→ R con h(x) = kxk = pP x2i es de clase C ∞ en Rn − {0} En efecto. Demostrar que h ∈ C ∞ es hacer ver ver que h ∈ C k para todo k ∈ Z+ 0, lo que nos hace demostrar por inducci´on. Para k = 0, es evidente pues h es continua en Rn en particular Rn −{0} a si que h ∈ C 0 . Para k = 1, como

∂h (x) ∂xi

xi = √P

x2i

=

π(x) kxk

=

π(x) h(x)

luego

∂h ∂xi

=

π k.k

=

π h

es

continua en Rn − {0},debido a que π ∈ C 0 y k.k = h ∈ C 0 . As´ı pues h ∈ C 1. Para k = 2. como

∂h ∂xi

=

π h

∈ C 1 , por que el cociente de funciones es de

la misma clase es tambi´en de la clase,π ∈ C 1 pues es un polinomio y h ∈ C 1 por el resultado anterior (k = 1), as´ı pues h ∈ C k−1 .

Supongamos que se cumple para k − 1, es decir h ∈ C k−1 Demostremos que h ∈ C k Como

∂h ∂xi

= πh , pero como π ∈ C k−1 y h ∈ C k−1 por hip´otesis inductiva 57

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An´alisis de funciones reales

y el π por ser un polinomio, luego el cociente o´sea que

∂h ∂xi

π h

∈ C k−1 en Rn − {0},

∈ C k−1 en Rn − {0}, por tanto h ∈ C k , por tanto h ∈ C k .

Observaci´ on 0.5.4 ¿C´omo?

a) En el origen, la norma euclidiana no es diferenciable, ni siquiera existen las derivadas parciales √ f (0 + tei ) − f (0) t2 ∂h |t| (0) = l´ım = = = ±1 t→0 ∂xi t t t es decir

∂h (0+) ∂xi

= 1

∂h (0−) ∂xi

= −1 (derivadas parciales laterales

diferentes), por tanto f ∈ / C 1 mucho menos f ∈ / C k , k ≥ 2 ya que C 0 ⊃ C 1 ⊃ C 2 ⊃ C 3 ⊃ · · · ⊃ C k · · · ⊃ C ∞.

b) En cuanto a las normas que no proviene de un producto interno, estas pueden pueden no ser diferenciables en los puntos x 6= 0. Por ejemplo, sea ξ : R2 −→ R la norma de la suma ξ(x, y) = |x| + |y|. En los puntos (x, 0) no existe

∂ξ ∂y

ya que

∂ξ ξ((x; 0) + te2 ) − ξ(x; 0) (x, 0) = l´ım t→0 ∂y t |t| = l´ım t→0 t Tambi´en lo mismo ocurre en los puntos (0, y), pero en estos puntos no 58

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existe

An´alisis de funciones reales

∂ξ ∂x

∂ξ(0, y) ξ((0; y) + te1 ) − ξ(0; y) = l´ım t→0 ∂x t |y| + |t| − |y| = l´ım t→0 t |t| = l´ım t→0 t debido a que l´ımt→0+

|t| t

= 1 y l´ımt→0−

|t| t

= −1(las derivadas laterales

son diferentes.)

0.6.

La diferencial de una funci´ on.

Antes recordemos. Si X es un espacio vectorial sobre K (K = R o´ C), se define una funcional lineal como una aplicaci´on lineal del espacio vectorial X al campo escalar K, es decir f es una funcional lineal si f : X −→ K y f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) para todo x, y ∈ X y α, β ∈ K. Al conjunto X ∗ = {f : X −→ R : f es funcional lineal} se llama espacio dual de X. La derivada de un camino f : R −→ Rn es un vector. En la situaci´on dual, el papel de derivada de una funci´on f : Rn −→ R es desempe˜ nado por una funcional lineal, conforme mostraremos ahora. Definici´ on 0.6.1 Sea f : U −→ R definida en el abierto U ⊆ Rn y diferen59

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An´alisis de funciones reales

ciable en el punto a ∈ U . La diferencial de f en el punto a es la aplicaci´on df (a) : Rn −→ R cuyo valor en el vector v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn es dado por n

df (a) · v =

X ∂f (a) ∂f (a) = · αi ∂v ∂x i i=1

Proposici´ on 0.6.2 Sea f : U ⊂ Rn −→ R diferenciable en el punto a ∈ U . Si df (a) es la diferencial de f en el punto a. Entonces df (a) es una funcional lineal.

Demostraci´ on/.

Para demostrar que df (a) es funcional lineal basta hacer ver que df (a) es una aplicaci´on de Rn en R y que df (a) es lineal. Por la definici´on tenemos df (a) : Rn −→ R. Sean x = (α1 , · · · , αn ) y y = (β1 , · · · , βn ) ∈ Rn y λ, θ ∈ R. n X ∂f (a)(λαi + θβi ) df (a).(λx + θy) = ∂xi i=1

= λ

n n X X ∂f ∂f (a) · αi + θ (a) · βi ∂x ∂x i i i=1 i=1

= λdf (a).x + θdf (a).y

Por consiguiente df (a) es lineal. Observaci´ on 0.6.1 Los c´alculos anteriores son innecesarios 60

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An´alisis de funciones reales

ya que si f es diferenciable en el punto a, entonces donde v = (α1 , · · · , αn ) y λ ∂f (a) y ∂v

∂f (a) ∂(w+v)

=

∂f (a) ∂v

∂f (a) ∂v

+

∂f (a) ∂v

=

Pn

∂f i=1 ∂xi (a)

depende linealmente de v es decir

∂f (a), ∂w

· αi

∂f (a) ∂λv

=

por lo que es inmediato concluir que

df (a) es funcional lineal. Convenimos. Como df (a) es funcional lineal, luego df (a) es una transformaci´on lineal, lo que nos asegura que posee una matriz 1 × n en relaci´on a la base can´onica de Rn y R. Identificaremos el funcional df (a) con su matriz, es decir df (a) =

∂f ∂f (a), · · · , (a) ∂x1 ∂xn

Cuando f : U −→ R es diferenciable en todo punto de U , obtenemos una aplicaci´on df : U −→ (Rn )∗ = £(Rn ; R) que asocia a cada punto x ∈ U el funcional df (x) cuya matriz es

∂f ∂f (x), · · · , (x) ∂x1 ∂xn

61

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An´alisis de funciones reales

Problemas.

1) Elabore un mecanismo para representar geom´etricamente una funci´on de R2 a R. 2) Averig¨ ue si la funci´on definida por f (x; y) =

p x2 + y 2 es diferenciable

en el origen 3) La derivada direccional parece una extensi´on natural de la derivada de una funci´on real de variable real, hay algunas propiedades importantes de ´esta que no se conservan esta extensi´on. Mencione por lo menos una de ellas. 4) Determinase

∂f ∂v

en todo punto de R3 seg´ un v =

√1 (2; −1; 1).Donde 6

f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 3 . 5) Si f es diferenciable sobre a y f tiene un m´aximo relativo en a, demu´estrese que

∂f (a) ∂v

= 0 para toda direcci´on v.

6) Sea f la funci´on de R2 en R definida por x2 y f (x; y) = 2 , y + x4

(x; y) = (0; 0)

f (0; 0) = 0

¿Analice la existencia de la derivada direccional en el origen seg´ un cualquier direcci´on ? 62

Newton Huaman´Ĺ castro

An´alisis de funciones reales

7) Averig¨ ue si la funci´on f definida por

2

2

r

f (x; y) = (x + y )sen

1 y 2 + x2

,

(x; y) = (0; 0)

f (0; 0) = 0

tiene derivadas parciales continuas en el origen. 8) Si f (x; y) =

x2 y , x2 +y 2

determinase df ((1; 2)) ¡ ( 12 ; 41 ). transformaci´on lineal

1 Ă— 2 evaluada en un punto.Est´a transformaci´on lineal, df (a) =

∂f ∂f (x), ¡ ¡ ¡ , (x) ∂x1 ∂xn

se le llama tambi´en gradiente de f en x y se denota por ∇f (x) y se lee â€?nabla de f en xâ€?´o â€?gradiente de f en xâ€?. 9) Una caja rectangular sin tapa ha de tener una superfic1e de a´rea 30m2 . Determinar las dimensiones de la caja de m´aximo volumen. 10) El problema de determinar los valores m´aximo y m´Ĺnimo relativo de una funci´on real s´olo de R2 en R con seguridad es con la siguiente definiciones. La funci´on f R2 −→ R tiene un m´aximo relativo en el punto a si existe una bola B(a, ) tal que, para todo a ∈ dom(f ) ∊ B(a, ), f (x) ≤ f (a). Un m´Ĺnimo relativo se define de modo an´alogo. 63

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An´alisis de funciones reales

Los valores extremos de una funci´on son los m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´on.

Los puntos donde todas las derivadas parciales de f son cero o no existen se llaman puntos cr´ıticos de f . As´ı pues, que los valores extremos de una funci´on definida sobre un conjunto abierto pueden ocurrir solamente en los puntos Determinar los valores extremos de la funci´on definida por f (x, y) = 2x2 + 4xy + 5y 2 + 2x − y Soluci´ on/. Como ∂f f (x; y) = 4x + 4y + 2 ∂x ∂f f (x; y) = 4x + 10y − 1, ∂(y) ∂f f ∂x

y

∂f f ∂y

existen en todos los puntos de R2 y, por tanto, el u ´nico

punto cr´ıtico es (−1; 12 ) donde

∂f f ∂x

y

∂f f ∂x

son cero. Por tanto, si tiene

alg´ un valor extremo, tal extremo debe ocurrir en el punto (−1; 12 ) y ser f (−1; 21 ) = − 54 . Podemos demostrar que − 45 es el valor m´ınimo de f . Por una rotaci´on de los ejes. √ 2x2 + 4xy + 5y 2 + 2x − y = x02 + 6y 02 − 5x0 √ !2 5 5 + 6y 02 − . = x0 − 2 4 As´ı pues, f (x, y) ≥ − 54 para todo (x; y) ∈ R2 y, por tanto, − 45 es el 64

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An´alisis de funciones reales

valor m´ınimo de f . Sin embargo, la funci´on no necesariamente tiene un valor extremo en cada uno de sus puntos cr´ıticos; como podr´as ver al desarrollar el siguiente ejemplo. Determine cualquier valor extremo de f definida por f (x, y) =

65

x2 3

2

− 3y . 16

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An´alisis de funciones reales

Evaluaci´ on. 1) En general, una funci´on de R2 a R puede representarse geom´etricamente localizando los conjuntos de puntos donde la funci´on tiene el mismo valor y marc´andolos con tal valor. Estos conjuntos se llaman curvas de nivel de la funci´on. La curva de nivel correspondiente a un n´ umero c es el conjunto {(x; y)|f (x; y) = c}. 2) Es continua en el origen, pero no es diferenciable all´ı. 3) Por ejemplo, una funci´on puede tener en un punto derivadas direccionales en todas las direcciones y, sin embargo, no ser continua en ese punto. 4)

∂f (x; y; z) ∂v

=

√1 (2x 6

− y + z).

5) /. 6) Si existe la derivada direccional en el origen seg´ un cualquier direcci´on. 7) Es diferenciable en el origen, pero no tiene derivadas parciales continuas en el origen. 8) df ((1; 2)) · ( 21 ; 14 ) =

29 100

9) largo=ancho=altura=10m 10) (0; 0) es punto cr´ıtico. Luego (0; 0) se denomina punto de ensilladura de f .

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Bibliograf´ıa [1]

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AUSLANDER, Louis. Differential geometry, Harper international edition. (1967)

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Haaser, LasSalle, Sullivan An´ alisis matem´ atico 2 . Editorial trillas.(1971)

67

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