Newton Huamaní castro
Asignatura: Cálculo Superior
Se trata de un primer borrador de las notas de clase de Introducción al Cálculo dado en la ULADECH Católica Marzo 2014-Perú. De nición 1 (La Derivada) Se llama derivada de la función f en c, f ′ (c), al siguiente límite, si es que existe: f ′ (c) = l´ım
x→c
f (x) − f (c) x−c
(1)
Obsv 1 Haciendo cambio de variable, h = x − a, la forma equivalente es f ′ (c) = l´ım
h→0
(1)
Son equivalentes
f (c + h) − f (c) h
Figura 1: No es derivable
(2)
Una función es
derivable
(o
diferenciable) puede ser utilizada para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f (x)) de la grá ca de f.
c existe. Diremos que es derivable en ⟨a, b⟩ si es derivable en cada punto del
en c si su derivada en el intervalo abierto intervalo. La de
Proposición 2 (Derivadas laterales)
lectura
f
en
x = 2, porque las derivadas x = 2 la grá ca es angu-
Nota 1 La derivada f ′ de la función f es una función, que
El proceso de hallar la derivada de una función se llama
derivación.
en
loso.
(2).
y
f
laterales no son iguales, ya que en
c".
de
la
notación
′
f (c)
es
"primera
derivada
Otras notaciones más comunes son
f ′ (x),
dy , dx
y′ ,
d [f (x)], dx
Dx [y]
a) Derivada por la izquierda: (3)
f ′ (c− ) = l´ım− x→c
dy dx se lee derivada de y con respecto a x . Usando notaciones de límites, podemos escribir
f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım− x−c h h→0
La notación
b) Derivada por la derecha:
dy dx
△y △x f (x+ △ x) − f (x) = l´ım △x→0 △x = f ′ (x) =
l´ım
f ′ (c+ ) = l´ım+
△x→0
x→c
Ejemplo 2 Un grá co con un punto anguloso
Ejemplo 1 Cálculo de la derivada por el proceso de límite Hallar la derivada de
Solución:
f ′ (x) = = = = =
f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım+ x−c h h→0
f (x) = x3 + 2x.
La función
f (x) = |x − 2| que se muestra en la gura 1 no x = 2 ya que f ′ (2− ) ̸= f ′ (2+ ) debido a que
es derivable en
f (x+ △) − f (x) △x (x+ △ x)3 + 2(x+ △ x) − (x3 + 2x) l´ım △x→0 △x 3x2 (△ x) + 3x(△ x)2 + (△ x)3 + 2(△ x) l´ım △x→0 △x 2 △ x[3x + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım △x→0 △x l´ım [3x2 + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım
f ′ (2− ) = l´ım−
△x→0
x→2
f (x) − f (2) |x − 2| − 0 = l´ım− = −1 x−2 x−2 x→2
f ′ (2+ ) = l´ım+ x→2
|x − 2| − 0 f (x) − f (2) = l´ım+ =1 x−2 x−2 x→2
Ejemplo 3 Un grá co con tangente vertical
△x→0
= 3x2 + 2
La función
z
f (x) =
√ 3
x
no es derivable en
x = 0. 1