Notas de derivadas

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Newton Huamaní castro

Asignatura: Cálculo Superior

Se trata de un primer borrador de las notas de clase de Introducción al Cálculo dado en la ULADECH Católica Marzo 2014-Perú. De nición 1 (La Derivada) Se llama derivada de la función f en c, f ′ (c), al siguiente límite, si es que existe: f ′ (c) = l´ım

x→c

f (x) − f (c) x−c

(1)

Obsv 1 Haciendo cambio de variable, h = x − a, la forma equivalente es f ′ (c) = l´ım

h→0

(1)

Son equivalentes

f (c + h) − f (c) h

Figura 1: No es derivable

(2)

Una función es

derivable

(o

diferenciable) puede ser utilizada para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f (x)) de la grá ca de f.

c existe. Diremos que es derivable en ⟨a, b⟩ si es derivable en cada punto del

en c si su derivada en el intervalo abierto intervalo. La de

Proposición 2 (Derivadas laterales)

lectura

f

en

x = 2, porque las derivadas x = 2 la grá ca es angu-

Nota 1 La derivada f ′ de la función f es una función, que

El proceso de hallar la derivada de una función se llama

derivación.

en

loso.

(2).

y

f

laterales no son iguales, ya que en

c".

de

la

notación

f (c)

es

"primera

derivada

Otras notaciones más comunes son

f ′ (x),

dy , dx

y′ ,

d [f (x)], dx

Dx [y]

a) Derivada por la izquierda: (3)

f ′ (c− ) = l´ım− x→c

dy dx se lee derivada de y con respecto a x . Usando notaciones de límites, podemos escribir

f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım− x−c h h→0

La notación

b) Derivada por la derecha:

dy dx

△y △x f (x+ △ x) − f (x) = l´ım △x→0 △x = f ′ (x) =

l´ım

f ′ (c+ ) = l´ım+

△x→0

x→c

Ejemplo 2 Un grá co con un punto anguloso

Ejemplo 1 Cálculo de la derivada por el proceso de límite Hallar la derivada de

Solución:

f ′ (x) = = = = =

f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım+ x−c h h→0

f (x) = x3 + 2x.

La función

f (x) = |x − 2| que se muestra en la gura 1 no x = 2 ya que f ′ (2− ) ̸= f ′ (2+ ) debido a que

es derivable en

f (x+ △) − f (x) △x (x+ △ x)3 + 2(x+ △ x) − (x3 + 2x) l´ım △x→0 △x 3x2 (△ x) + 3x(△ x)2 + (△ x)3 + 2(△ x) l´ım △x→0 △x 2 △ x[3x + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım △x→0 △x l´ım [3x2 + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım

f ′ (2− ) = l´ım−

△x→0

x→2

f (x) − f (2) |x − 2| − 0 = l´ım− = −1 x−2 x−2 x→2

f ′ (2+ ) = l´ım+ x→2

|x − 2| − 0 f (x) − f (2) = l´ım+ =1 x−2 x−2 x→2

Ejemplo 3 Un grá co con tangente vertical

△x→0

= 3x2 + 2

La función

z

f (x) =

√ 3

x

no es derivable en

x = 0. 1


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