Newton Huamaní castro
Asignatura: Cálculo Superior
Se trata de un primer borrador de las notas de clase de Introducción al Cálculo dado en la ULADECH Católica Marzo 2014-Perú. De nición 1 (La Derivada) Se llama derivada de la función f en c, f ′ (c), al siguiente límite, si es que existe: f ′ (c) = l´ım
x→c
f (x) − f (c) x−c
(1)
Obsv 1 Haciendo cambio de variable, h = x − a, la forma equivalente es f ′ (c) = l´ım
h→0
(1)
Son equivalentes
f (c + h) − f (c) h
Figura 1: No es derivable
(2)
Una función es
derivable
(o
diferenciable) puede ser utilizada para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto (x, f (x)) de la grá ca de f.
c existe. Diremos que es derivable en ⟨a, b⟩ si es derivable en cada punto del
en c si su derivada en el intervalo abierto intervalo. La de
Proposición 2 (Derivadas laterales)
lectura
f
en
x = 2, porque las derivadas x = 2 la grá ca es angu-
Nota 1 La derivada f ′ de la función f es una función, que
El proceso de hallar la derivada de una función se llama
derivación.
en
loso.
(2).
y
f
laterales no son iguales, ya que en
c".
de
la
notación
′
f (c)
es
"primera
derivada
Otras notaciones más comunes son
f ′ (x),
dy , dx
y′ ,
d [f (x)], dx
Dx [y]
a) Derivada por la izquierda: (3)
f ′ (c− ) = l´ım− x→c
dy dx se lee derivada de y con respecto a x . Usando notaciones de límites, podemos escribir
f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım− x−c h h→0
La notación
b) Derivada por la derecha:
dy dx
△y △x f (x+ △ x) − f (x) = l´ım △x→0 △x = f ′ (x) =
l´ım
f ′ (c+ ) = l´ım+
△x→0
x→c
Ejemplo 2 Un grá co con un punto anguloso
Ejemplo 1 Cálculo de la derivada por el proceso de límite Hallar la derivada de
Solución:
f ′ (x) = = = = =
f (x) − f (c) f (c + h) − f (c) = l´ım+ x−c h h→0
f (x) = x3 + 2x.
La función
f (x) = |x − 2| que se muestra en la gura 1 no x = 2 ya que f ′ (2− ) ̸= f ′ (2+ ) debido a que
es derivable en
f (x+ △) − f (x) △x (x+ △ x)3 + 2(x+ △ x) − (x3 + 2x) l´ım △x→0 △x 3x2 (△ x) + 3x(△ x)2 + (△ x)3 + 2(△ x) l´ım △x→0 △x 2 △ x[3x + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım △x→0 △x l´ım [3x2 + 3x(△ x) + (△ x)2 + 2] l´ım
f ′ (2− ) = l´ım−
△x→0
x→2
f (x) − f (2) |x − 2| − 0 = l´ım− = −1 x−2 x−2 x→2
f ′ (2+ ) = l´ım+ x→2
|x − 2| − 0 f (x) − f (2) = l´ım+ =1 x−2 x−2 x→2
Ejemplo 3 Un grá co con tangente vertical
△x→0
= 3x2 + 2
La función
z
f (x) =
√ 3
x
no es derivable en
x = 0. 1
Newton Huamaní castro
Figura 2: No es derivable en
Asignatura: Cálculo Superior
x = 0,
Figura 4: Cuando
porque tiene tangente
Q
se acerca a
P,
las rectas secantes se
van aproximando a la recta tangente
vertical
Al aproximarse
Ya que el límite
Q
al punto
P,
la pendiente de la recta
secante se aproxima a la de la recta tangente, como ilustra
f (x) − f (0) x→0 x−0 l´ım
x1/3 − 0 x→0 x 1 = l´ım 2/3 x→0 x = ∞
=
la gura 4. Cuando existe tal posición límite se dice que la
l´ım
pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes.
Nota 2 El denominador de (4) △ x es el cambio (o incre-
es in nito. Del cual se deduce que la recta tangente en es vertical. Por tanto,
f
no es derivable en
x = 0.
Proposición 3 (Derivable implica continuidad) Si es derivable en x = c, entonces f es continua en x = c.
Interpretación Geométrica
La derivada de una función en un punto es la pendiente de
f
to de tangencia y
P (c, f (c+ △ x)) el punQ(c+ △ x, f (c+ △ x)) un segundo punto
f,
la pendiente de la recta secante que pasa
de la grá ca de
mento) en x y el numerador △ y = f (c+ △ x) − f (c) es el cambio (o incremento) en y.
x=0
la recta tangente a la grá ca de la función en ese punto.
De nición 4 (Recta Tangente a una Curva)
por estos dos puntos viene dada por
msec =
l´ım
f (c+ △ x) − f (c) f (c+ △ x) − f (c) = c+ △ x − c △x
i)
Si
f está de nida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite
Sea
△x→0 (4)
△y f (c+ △ x) − f (c) = l´ım △ x △x→0 △x
entonces, la recta que pasa por (c, f (c)) con pendiente m se llama recta tangente a la grá ca de f
ii)
La ecuación de la recta tangente en el punto (c, f (c)) en forma punto pendiente será: y − f (c) = f ′ (c)(x − c)
iii)
La ecuación de la recta normal a la curva en (c, f (c)) en forma punto pendiente será: y − f (c) = −
1 (x − c) f ′ (c)
Ejemplo 4 Calcular las pendientes de las rectas tangentes Figura 3: La recta secante que pasa por
x, f (c+ △ x))
(c, f (c))
y
a la grá ca de f (x) = x2 + 1 en los puntos (0, 1) y (−1, 2), que se ilustran en la gura
(c+ △
Solución. Sea
z
(x, f (x))
un punto arbitrario de la grá ca de
2
Newton Huamaní castro f.
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la pendiente de la recta tangente en él viene dada por
f (x+ △ x) − f (x) △x→0 △x l´ım
(x+ △ x)2 + 1 − (x2 + 1) △x→0 △x 2x(△ x) + (△ x)2 = l´ım △x→0 △x = l´ım (2x+ △ x) =
l´ım
△x→0
=
2x
(x, f (x)) de la f es m = 2x. En el punto (0, 1) la pendiente es Teorema 2 (La regla de las potencias ) Si n es un m = 2(0) = 0 y en (−1, 2) la pendiente es m = 2(−1) = −2. número racional, la función f (x) = xn es derivable y Por tanto, la pendiente en cualquier punto
grá ca 5 de
d n [x ] = nxn−1 dx
Para que f sea derivable en x = 0, n ha de ser un número tal que xn−1 esté de nido en un intervalo que contenga a 0.
Figura 5: La pendiente de es
f
en un punto cualquiera
(x, f (x))
m = 2x
Reglas Básicas de Derivación y Ritmos de Cambio Teorema 1 (La regla de la contante) La derivada de
una función constante es 0. Es decir, si c es un número d real, entonces dx [c] = 0.
Ejemplo 5 Calcular la pendiente de la grá ca de f (x) = x4 cuando
a)
x = −1
La solución:
b)
x=0
La derivada de
f
c)
es
x=1
f ′ (x) = 4x3 . f ′ (−1) = 4(−1)3 = −4.
a) Para
x = −1,
b) Para
x = 0,
la pendiente es
f ′ (0) = 4(0)3 = 0.
c) Para
x = 1,
la pendiente es
f ′ (1) = 4(1)3 = 4.
la pendiente es
Figura 6: Observamos en la gura que la regla de constante es equivalente a decir que la pendiente de una recta horizontal es
0.
Hagamos notar que en la Fifura la pendiente es negativa en
Esto ilustra la relación entre derivada y pendiente.
el punto
z
(−1, 1),
cero en el
(0, 0)
y positiva en el
(1, 1) 3
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Teorema 4 (Las reglas de suma y diferencia) La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es la suma (o diferencia) de sus derivadas. d [f (x) + g(x)] = f ′ (x) + g ′ (x) dx d [f (x) − g(x)] = f ′ (x) − g ′ (x) dx
Regla de la suma Regla de la suma
Figura 7: La pendiente de una grá ca en un punto es el valor de la derivada en ese punto.
Teorema 3 (La regla del múltiplo constante) Si f es derivable y c un número real, entonces cf es también deriv- Nota 4 able y Teorema 5 Derivadas de las funciones seno y coseno. d [cf (x)] = cf ′ (x) dx
d [senx] = cosx dx
Nota 3 Esta regla viene a a rmar que las constantes se
d [cosx] = −senx dx
pueden sacar fuera de la derivada, incluso cuando aparecen en un denominador.
Teorema 6 (La regla del producto y del cociente) d [f (x) · g(x)] = f (x)g ′ (x) + g(x)f ′ (x) dx d f (x) g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x) [ ]= dx g(x) [g(x)]2
Ejemplo 7 Hallar la derivada de h(x) = (3x−2x2 )(5+4x) Solución
Ejemplo 6 Uso de paréntesis al derivar z
4
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Este ejemplo se puede derivar sin la regla del producto. Multiplicando e los factores para tener un desarrollo polinomial y luego derivar.
Ejemplo 8 Hallar la derivada de h(x) = 2xcosx − 2senx Solución
Ejemplo 10 Puesto que la Luna carece de atmósfera, un objeto al caer en la luna no encuentra resistencia del aire. En 1971, el astronauta David Scott veri có que una pluma de ave y un martillo caen a la misma velocidad. La función posición para cada uno de ellos viene dada por
Ejemplo 9 Usando la regla del cociente.
s(t) = −0,8t2 + 2
donde s(t) es la altura en metros y t el tiempo en segundos. ¾Cuál es la razón entre la fuerza de gravedad en la tierra y en la luna? Solución:
Para hallar la aceleración derivamos dos veces la
función posición
s(t) = s′ (t) = s′′ (t) = Obsérvese el uso de los parentesis en el ejm 9. Es recomend-
−0,8t2 + 2 −1,62t −1,62
Función posición Función velocidad Función velocidad
En consecuencia, la fuerza de la gravedad en la Luna es −1,62m/s2 . Como en la tierra es −9, 8m/s2 , la razón entre
able usar paréntesis en todos los problemas de derivación. Por ejm, cunado se usa la regla del cociente es conviniente
ellas es
encerrar cada factor y cada derivada en un paréntesis y
Fuerza gravitacional de la Tierra
prestar especial atención a la resta exigida en el numerador.
Fuerza gravitacional de la Luna
Práctica 1 Comprobar cada caso
=
−9,8 ≈ 6,05 −1,62
Práctica 2 1. Dibujar la grá ca de una función derivable f tal que f > 0 y f ′ < 0 para todos los números reales
x.
2. Dibujar la grá ca de una función derivable f tal que f (2) = 0, f ′ < 0 para −∞ < x < 2, y f ′ > 0 para 2 < x < ∞.
3.
Reposición de inventario El coste C
de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricamente de un producto es (
C = 100
x 200 + x x + 30
)
,
1≤x
donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Hallar el ritmo de cambio de C con respecto a x cuando a) x = 10 b) x = 15 c) x = 20. ¾Qué implican estos ritmos de cambio para cuando el tamaño del pedido aumenta?
Derivadas de Orden Superior Podemos de nir derivadas de cualquier orden entero positivo. Por ejemplo, la tercera derivada es la derivada de la segunda derivada. Las derivadas de orden superior se denotan como sigue.
z
5
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Teorema 7 (Regla de la cadena) Si y = f (u) es una Ejemplo 13 Hallar los puntos de la grá ca de f (x) = √ función derivable de u, y si además u = g(x) es una fun- 3 (x2 − 1)2 en los que f ′ (x) = 0 y aquellos en los que f ′ (x) ción derivable de x, entonces y = f (g(x)) es una función no existe. derivable, con Solución: Empezamos reescribiendo la función como dy dy du dx
=
· du dx
f (x) = (x2 − 1)2/3
o sea, en otra notación, d [f (g(x))] = f ′ (g(x))g ′ (x) dx
Remark 1 La regla de cadena es aplicable a las funciones
compuestas y dota a la derivación de una versatibilidad sorprendente. A título de ejemplo, compárese las siguientes funciones. Las de la izquierda pueden ser derivadas sin la regla de la cadena, mientras que a las de la derecha conviene aplicarles esa regla.
Ejemplo 11 Hallar Solución: interior
dy dx
para y = (x2 + 1)3 .
Para esta función podemos tomar como función
u = x2 + 1.
Por la regla de la cadena se obtiene
Figura 8: La derivada de en
dy = 3(x2 + 1)2 (2x) = 6x(x2 + 1)2 dx | {z } |{z} dy du
f
es
0
en
x=0
y no está de nida
x = ±1
Aplicando ahora la regla general de las potencias (con
du dx
u = x2 − 1
Teorema 8 (La regla de las potencias) Si y = [u(x)] , donde u es una función derivable de x y n es un número racional, entonces
) se obtiene
n
f (x) = =
dy du = n[u(x)]n−1 dx dx
Así pues,
o, forma equivalente
f ′ (x) = 0
en
1 2 2 (x − 1)− 3 (2x) 3 4x √ 3 3 x2 − 1
x=0
y
f ′ (x)
no existe en
x = ±1,
como se indica en la Figura 8
Ejemplo 14 (Simpli cando por factorización de la poten√ cia mínima) y = x2 1 − x2 = x2 (1 − x2 )1/2
d n [u ] = n[u]n−1 u′ dx
Ejemplo 12 (Aplicación de la regla de las potencias) Hallar la derivada de f (x) = (3x − 2x2 )3 .
Solución:
Sea
u = 3x − 2x2 .
d d [(1 − x2 )1/2 ] + (1 − x2 )1/2 [x2 ] dx dx [ ] 2 1 2 −1/2 = x (1 − x ) (−2x) + (1 − x2 )1/2 (2x) 2
f ′ (x) = x2
Entonces
f (x) = (3x − 2x2 )3 = u3
= −x3 (1 − x2 )−1/2 + 2x(1 − x2 )1/2
y de la regla de potencias se deduce que
f ′ (x)
d [3x − 2x2 ] dx 3(3x − 2x2 )2 (3 − 4x)
= 3(3x − 2x2 )2 =
Regla de las potencias
z
= x(1 − x2 )−1/2 [−x2 (1) + 2(1 − x2 )] x(2 − 3x2 ) √ = 1 − x2 6
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Ejemplo 15 (Simpli cando de la derivada de un cociente) f (x) =
Dx (ln(x)) =
x √ 3 2 x +4
1 x
Dx (sen(x)) = cos(x) Dx (cos(x)) = −sen(x) Dx (tg(x)) = sec2 (x) Dx (ctg(x)) = −csc2 (x) Dx (sec(x)) = sec(x)tg(x) Dx (csc(x)) = −csc(x)ctg(x) Derivación de funciones compuestas
Sean
u(x), v(x)
y
w(x)
funciones de
x; k
una constante,
luego se tiene las siguientes reglas de derivación:
Dx (ku) = kDx (u)
Práctica 3 La tabla recoge varios valores de la derivada de
Dx (un ) = nun−1 Dx (u)
una función f desconocida. Completar la tabla hallando, si ello es posible, la derivada de cada una de las siguientes transformaciones de f.
Dx (u + v) = Dx (u) + Dx (v) Dx (uv) = uDx (v) + vDx (u) Dx (u + v − kw) = Dx (u) + Dx (v) − kDx (w) Dx ( uv ) =
vDx (u)−uDx (v) v2
Dx (eu ) = eu Dx (u) Dx (k u ) = k u ln(k)Dx (u) Dx (v u ) = uv u−1 Dx (v) + v u ln(v)Dx (u) Dx (ln(u)) = u1 Dx (u) -
Derivación implicita
La
derivación
directa
funciona
siempre que seamos capaces de despejar y en la ecuación. Pero si no se logra despejar y, no es factible este método. dy Por ejemplo, ¾cómo hallar dx para la ecuación ?
x2 − 2y 3 + 4y = 2 donde resulta dí cil despejar
-
x?
y
como funciona explicita de
En tales situaciones se debe usar la llamada
implicita.
Reglas de derivación :
derivación
Dx (kx) = k
Para comprender esta técnica, es preciso tener en cuenta
Dx (kx2 ) = 2kx
decir que cuando hayamos de derivar términos que sólo
que la derivación se efectúa con respecto a contiene a
Dx (xn ) = nxn−1
x,
x.
Esta quiere
la derivación será habitual. Sin embargo,
cuando tengamos que derivar un término donde aparezca
y,
Dx ( x1 ) = − x12
la
será necesario aplicar la regla de la cadena, ya que se
Dx (ex ) = ex
función de
está suponiendo que
z
y
viene de nida implicitamente como
x. 7
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Ejemplo 16 Hallar dy/dx sabiendo que y 3 + y 2 − 5y − x2 = −4.
Solución.
i)
Derivamos los dos miembros de la ecuación respecto de
x. d 3 d [y + y 2 − 5y − x2 ] = [−4] dx dx d 3 d 2 d d 2 d [y ] + [y ] − [5y] − [x ] = [−4] dx dx dx dx dx dy dy dy + 2y −5 − 2x = 0 3y 2 dx dx dx
ii)
Agrupamos los términos con
3y 2
iii)
Factorizamos
dy dx en la parte izquierda.
Figura 9:
f
continua,
[−1, 2]
cerrado
Figura 10:
f
continua,
⟨−1, 2⟩
abierto
dy dy dy + 2y −5 = 2x dx dx dx
dy/dx
en la parte izquierda.
dy (3y 2 + 2y − 5) = 2x dx
iv)
Despejamos
dy/dx
dividiendo por
(3y 2 + 2y − 5)
dy 2x = 2 dx 3x + 2y − 5 Nótese que la derivada implicita puede llevar a una expresión para
dy/dx
en la que aparezcan a lavez
x
e
y.
Aplicaciones de la derivada Se estudia el comportamiento de una función máximo en
I?
f
sobre un intervalo
I.
¾Tiene
f
un valor
¾Y un valor mínimo? ¾Dónde es creciente la
función? ¾Y decreciente? Se aprovecha las derivadas con el n de responder cuestiones de esa clase.
De nición 5 (De nición de extremos) Sea un intervalo I que contiene a c.
f de nida en
1. f (c) es el valor mínimo de f en I si f (c) ≤ f (x) para todo x en I. 2. f (c) es el (valor) máximo de f en I si f (c) ≥ f (x) para todo x en I. El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llama también el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo.
Remark 2 Una función no tiene por qué tener máximo o
Figura 11:
g
no es continua,
[−1, 2]
cerrado
mínimo en un intervalo. Así, en la gura 9 vemos que la función f (x) = x2 + 1 tiene máximo y mínimo en el interRemark 3 Los extremos pueden producirse en puntos invalo cerrado [−1, 2], pero en la gura 10 no tiene máximo teriores del intervalo o en sus puntos terminales. en el intervalo abierto ⟨−1, 2⟩. Por su parte,en la gura 11 muestra que la continuidad (o la falta de continuidad ) puede Todo esto sugiere el siguiente teorema, cuya demostración escapa al nivel de esta nota. afectar a la existencia de un extremo en el intervalo. z
8
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Teorema 9 (Teorema de los valores extremos) Si f es con-
c
f (c) es máximo, entonces diremos a f (c) f en ese intervalo. Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f (c) es mínimo, entonces diremos a f (c) valor mínimo de f en ese intervalo. y en el que
valor máximo de
Punto terminal izquierdo
De nición 6 (Números críticos) Sea
f de nida en c. Si f ′ (c) = 0 o si f ′ no está de nida en c, se dice que c es un número crítico de f.
Figura 12:
c
es un número crítico de
está de nida en todo
los únicos números críticos de
En está lectura si existe un intervalo abierto que contiene a
f′
x, concluimos que éstos son f. Evalueando f en ellos y enlos puntos terminales de [−1, 2] vemos que el máximo es f (2) = 16 y el mínimo es f (1) = −1, como recoge la tabla, La gura muestra la grá ca de f. Cómo
tinua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo y también mínimo en ese intervalo.
f(-1)=7
Número
Número
crítico
crítico
f(0)=0
Punto
ter-
minal derecho
f(1)=-1
f(2)=16
Mínimo
Máximo
f.
Teorema 10 (los extremos relativos sólo ocurren en los
números críticos) Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en x = c, entonces c es un número crítico de f. Estrategia para localizar los extremos.
En un intervalo cerrado
[a, b]
debe procederse así.
1. Hallar los números críticos de 2. Evaluar 3. Evaluar
f f
f
en
[a, b]
en cada número crítico de en
a
y en
⟨a, b⟩
Figura 13: En el intervalo cerrado en
b.
4. El más grande de todos esos valores es el máximo; el
y su máximo en
[−1, 2], f
tiene su mínimo
(2, 16)
En la gura 13, el número crítico
más pequeño es el mínimo.
x = 0
no da máximo
ni mínimo relativo. Lo cual signi ca que el reciproco del
Ejemplo 17 Hallar los extremos de
el intervalo [−1, 2].
teorema 10 no es verdadero. En otras palabras, los números
f (x) = 3x4 − 4x3 en
críticos de una función no siempre corresponden a extremos relativos.
Solución: Antes de nada, derivamos la función. f (x) = 3x4 − 4x3 f ′ (x) = 12x3 − 12x2
Práctica 4 Hallar los extremos de
Función original
f (x) = 2sen(x) − cos(2x)
Derivada
Solución. Esta función es derivable en todo
Para hallar los números críticos de f hay que buscar los ′ ′ valores de x en los que f (x) = 0 y aquellos en los que f (x)
′
f (x) = 12x − 12x = 0 12x (x − 1) = 0 3
2
0, 1
2
x
para encontrar sus números críticos basta hacer
f ′ (x) = 2cosx + 2sen2x = 2cosx + 4cosxsenx = 2(cosx)(1 + 2senx)
no está de nida.
x =
(1, −1)
Hacer f '(x)=0 Derivada
=
Números críticos
z
real, luego ′
f (x) = 0.
derivando
sen2x = 2cosxsenx Factorizar
0 9
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2. Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números x1 , x2 del intervalo, x1 < x2 implica f (x1 ) > f (x2 ).
[0, 2π], el factor cos x es nulo en x = π/2 y x = 3π/2. El factor (1 + 2senx) es cero en x = 7π/6 y x = 11π/6. Evaluando f en esos cuatro puntos y en los
En el intervalo en en
dos puntos terminales del intervalo, vemos que el máximo
f (π/2) = 3 y el mínimo ocurre en dos puntos f (7π/6) = Teorema 13 (Criterio de crecimiento y decrecimiento) Sea −3/2 y f (11π/6) = −3/2,. La grá ca de f puede verse en f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ⟨a, b⟩ la gura 14. es
a) Si f ′ (x) > 0 para todo x en ⟨a, b⟩, f es creciente en [a, b] b) Si f ′ (x) < 0 para todo x en ⟨a, b⟩, f es decreciente en [a, b]
c) Si f ′ (x) = 0 para todo x en ⟨a, b⟩, f es constante en [a, b]
Ejemplo 18 Hallar los intervalos abiertos en los que 3 f (x) = x3 − x2 2
es creciente o decreciente. Solución:
Nótese que
f
es continua en toda la recta real.
Con el n de hallar los números críticos de
f,
igualamos a
cero su derivada.
f ′ (x) = 3x2 − 3x = 0 3(x)(x − 1) = 0 x = Como
f′
f '(x)=0 factorizar
0, 1
números críticos
está de nida en todos los puntos, los únicos
números críticos son
x=0
y
x = 1.
La tabla recoge valores
prueba en los intervalos determinados por ellos. Como f ′ está de nida en todos los puntos, los únicos números
[0, 2π], f alcanza su valor (7π/6, −3/2) y (11π/6, −3/2), y su
x=0
x = 1.
Figura 14: En el intervalo cerrado
críticos son
mínimo en dos puntos
en los intervalos determinados por ellos.
máximo en
y
la tabla recoge valores prueba
(π/2, 3) Intervalo
De nición 7 De nición
f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números x1 , x2
prueba
Teorema 11 (Teorema de Rolle) Sea f continua en el in-
Signo de
Valor
tervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ⟨a, b⟩. Si
Conclusión
existe al menos un número c en ⟨a, b⟩ tal que f (c) = 0
Así pues,
Teorema 12 (Teorema de valor medio) Si f es continua en
en
′
⟨0, 1⟩
0<x<1
x = −1
x=
f ′ (−1) = 6
f ′ ( 12 ) = − 43
>0
f (x)
f (a) = f (b)
−∞ < x < 0
f
1<x<∞
1 2
x=2 f ′ (2) = 6 >0
0<
Creciente
es creciente en
Decreciente
⟨−∞, 0⟩
y
⟨1, ∞⟩
Creciente y decreciente
como con rma la gura 15
el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto Estrategia para hallar los intervalos donde una ⟨a, b⟩, existe un número c en ⟨a, b⟩ tal que función es creciente o decreciente. Sea f continua f ′ (c) =
De nición 8 (Función
en
f (b) − f (a) b−a
⟨a, b⟩,
para hallar los intervalos abiertos donde
f
es
creciente o decreciente, seguir los pasos que se indican:
Creciente y Decreciente)
1. Localizar los números críticos de
1. Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números x1 , x2 del intervalo, x1 < x2 implica f (x1 ) < f (x2 ).
2. Evaluar el signo de
f ′ (x)
f
en
⟨a, b⟩
en cada uno de los interval-
os que esos números críticos determinan sobre la recta real.
z
10
Newton Huamaní castro 3. Usar teorema 13 para decidir si
Asignatura: Cálculo Superior
f
Solución:
crece o decrece en
cada intervalo.
Observemos que
f
es continua en toda la recta
real. Su derivada
f ′ (x)
= =
x = 0
es cero en
1 2 2 (x − 4)− 3 (2x) 3 4x 3(x2 − 4)1/3
y no está de nida en
los números críticos son
x = −2, x = 0
x = 2. Así x = 2. La
y
pues, tabla
recoge valores prueba en cada intervalo determinado por ellas.
Intervalo
−∞ < x < −2
−2 < x < 0
0<x<2
2 < x<∞
x = −3
x = −1
x=1
x=3
f ′ (−3) < 0
f ′ (−1) > 0
f ′ (1) < 0
f '(3)>0
Valor prueba Signo de
f (x)
Conclusión Decreciente Creciente
Decreciente Creciente
f tiene relativo en el punto (−2, 0), un máximo en √ (0, 3 16) y otro mínimo en el punto (2, 0), como
El criterio de la primera derivada asegura que un mínimo
Figura 15: Regiones de crecimiento y decrecimiento de f (x) = x3 − 32 x2
el punto
con rma la gura 16.
Teorema 14 (Criterio de la primera derivada) Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f (c) puede clasi cerse así: 1. Si f ′ (x) cambia en c de negativa a positiva, f (c) es un valor mínimo de f 2. Si f ′ (x) cambia en c de positiva a negativa, f (c) es un valor máximo de f
Figura 16: El criterio de la primera derivada es útil para localizar los extremos
De nición 9 (Concavidad) Sea f derivable en un intervalo abierto I. La grá ca de f es cóncava hacia arriba en I si f ′ es creciente en ese intervalo y f es cóncava hacia abajo en I si f ′ es decreciente en él.
Ejemplo 19 Hallar los extremos de
Teorema 15 (Criterio de concavidad) Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
f (x) = (x2 − 4)2/3 z
11
Newton Huamaní castro
Asignatura: Cálculo Superior
1. Si f ′′ (x) > 0 para todo x en I, la grá ca de f es cóncava hacia arriba en I.
1. Dada la función
2. Si f ′′ (x) < 0 para todod x en I, la grá ca de f es cóncava hacia abajo en I.
2. Dada la función
g(t) = e2t (t2 − 4t),
a {
3. Hallar los valores de en
2
si:
f (x) =
Ejemplo 20 Hallar los extremos de f (x) = −3x5 + 5x3 . Solución: Para empezar, hallamos los números críticos de f.
4. Dadala función
aplicando reglas
y
b
tales que
ax + b 2x2 − 1
f
sea diferenciable
x<2 x≥2
si si
f (x) = x4 − 14x2 − 24x + 1,
determi-
nar los puntos críticos, intervalos donde la función es
−15x4 + 15x2 = 15x2 (1 − x2 ) = 0 −1, 0, 1
f ′′ (x) = −60x3 + 30x = 30(−2x3 + x),
f ′ (3)
t=0
de in exión de la grá ca de f, entonces o bien f ′′ (c) = 0 o f ′′ (x) no está en x = c.
Usando
calcular
de derivación calcular la primera derivada evaluada en
Teorema 16 (Puntos de in exión) Si (c, f (c)) es un punto
f ′ (x) = x =
f (x) = x2 − 4x + 1,
aplicando la de nición de la derivada.
creciente y decreciente, los valores máximos y mínimos relativos. Además, construir la grá ca de la función. 5. Para una pequeña empresa manufacturera, utilidad de
podemos
producir y vender diariamente x artículos, es descrita 2 por: U (x) = 1800+40x−4x . Luego ¾Cuántos artículos
aplicar el criterio de la segunda derivada como sigue.
deberán producirse y venderse diariamente para obtener la máxima utilidad? y ¾Cuál es esa utilidad? 6. Dada la función de costo promedio
12,
C(x) = 2x2 − 3x −
hallar costo total, costo marginal y valor mínimo
del costo promedio. 7. Dada la función:
f (x, y) = 2x3 y 2 − x2 y + xy 3 − x4 + y 3 Puesto que el criterio de la segunda derivada no decide en el punto
f
(0, 0),
Calcular
utilizamos el de la primera derivada. Como
crece a la izquierda y a la derecha de
x = 0, (0, 0)
no es
f
∂2f ∂x2 |(1,2)
b)
∂2f ∂y 2 |(1,2)
8. Utilizando la de nición de derivada de la función
ni máximo ni mínimo relativo (aunque la recta tangente es horizontal en él) La grá ca de
a)
a ) f (x) =
se muestra en la gura
2+x ′ 3−x , hallar f (0) 8 − x2 , hallar g ′ (1)
b ) g(x) = √ c ) h(x) = x − 3, hallar h′ (2) 9. Derivar las siguientes funciones
a ) f (x) =
1 1 x+ x+1
b ) g(x) = x 2 + ln(x) + x−3 + ex − 3x + sen(x)cos(x) 2
1
c ) h(x) = (3x2 + 5x + 7)x sen(x) 1 d ) q(x) = ln(3x2 − 4) + 3x5 − 2x−3 + 4x 2 + 1 2
10. Se estima que dentro de
t
meses, la venta de cierto
producto será: Figura 17:
(0, 0)
no es máximo ni mínimo
V (t) = 100t2 + 200t − 40
Aplicaciones a la economía y al comercio
Encuentre una expresión para la razón con la cual la
Los economistas denominan bene cio marginal, ingreso
venta cambiará con respecto al tiempo dentro de
marginal y coste marginal a los ritmos de cambio de los
meses
bene cios, de los ingresos y de los costes con respecto al
t
11. La demanda de artefactos eléctricos es un función de2 scrita por: D = 100 + 50t − t donde t es años.
número de unidades producidas o vendidas. Práctica de D Newton
Calcular la rapidez de cambio en
z
D,
cuando
t = 10 12
Newton Huamaní castro
Asignatura: Cálculo Superior
12. Hallar los intervalos en los que son crecientes o decrecientes las funciones
a ) f (x) = 2x2 − 4x − 1 b ) D(t) = t3 − 2t2 − 1 13. Para cada una de las siguientes funciones, hallar los puntos máximos y/o minímos relativos y los puntos de in exión (si los hay) Además, determinar los intervalos de concavidad:
a) b) c) d)
g(t) = t4 + 43 t3 − 4t2 f (t) = 12 − 12t + t3 D(t) = 7 + 6t − t2 f (x) = x2 + 4x + 3
14. El costo de producción de
2 + 3x
x
artículos está dado por:
soles, mientras que el precio de venta de ca-
da artículo es:
55 − 2x
soles. ¾Cuál será el número de
artículos producidos para lograr una utilidad máxima? 15. Una inmobiliaria es propietaria de un edi cio de
120 de$ 330
partamentos. Cuando la renta de cada uno es de
al mes, todos los departamentos están ocupados. Pero,
$ 30 en la renta, se 5 de ellos. Además, el costo de mantenimiencada departamento rentado es de $ 30 mensuales
por cada incremento mensual de desocupan to de
¾qué renta debe cobrarse para maximizar la utilidad? 16. Un fabricante de accesorios eléctricos tiene un costo dix2 ario descrito por: C(x) = 800−10x+ 4 soles. ¾Cuántos accesorios se deberán producir cada día para minimizar los costos? 17. Para las siguientes funciones de costo promedio, hallar costo total, costo marginal y valor minímo del costo
a) b) c) d)
C(x) = 2x + 5 +
18 x
C(x) = 10 − 4x3 + 3x4 C(x) = 2x2 − 3x − 12 C(x) = 2ex + e−x
18. La función de ingreso total de cierta empresa manufac2 turera se expresa por f (x) = 24x − 3x donde x es la cantidad vendida. Luego:
a)
¾Cuál es el ingreso máximo que la empresa puede lograr?
b) c) d)
Hallar el ingreso promedio. Hallar el ingreso marginal. Gra car en el plano cartesiano, conjuntamente el ingreso promedio e ingreso marginal.
19. La función de costo total de cierto producto está dado x2 por: 5 + 6x + 100 donde x es dado en Kg. Hallar el costo marginal, costo medio y el valor de x para el cual el costo medio es minímo.
z
13