Módulo interactivo de Trigonometría by Olga Patricia Vásquez

UNIDAD DE ELECTRÓNICA NÚCLEO DE FUNDAMENTACIÓN CIENTÍFICA Módulo Interactivo de Trigonometría y Geometría Vectorial Diseño y Desarrollo: Nubia Amparo Giraldo García

Dirección Operativa de de Investigación CINTEX

Módulo Interactivo de Trigonometría y Geometría Vectorial

INTRODUCCIÓN

El curso de Trigonometría y Geometría Vectorial, es una asignatura que deben cursar la mayoría de los estudiantes que ingresan al primer semestre del Instituto Tecnológico Pascual Bravo IU, pues es parte del eje central del núcleo de fundamentación científica, ya que dicha asignatura, proporciona las herramientas necesarias para la comprensión de conceptos físicos, mecánicos, electrónicos entre otros. Dada pues la gran importancia que esta asignatura tiene en el ámbito académico de la Institución, El Departamento de Investigaciones Cintex del I.T.P.B I.U, apoyó la propuesta de diseñar y desarrollar un Módulo Virtual, con un alto componente interactivo y multimedial, el cual sirviera como mediador en el proceso aprendizaje de los estudiantes que cursan esta asignatura. Es así, como se inicia la propuesta con la construcción teórica, además del diseño, desarrollo, montaje y prueba piloto en la plataforma de la Institución. El Módulo que ustedes verán a continuación, no se constituye en un texto guía como tal, pues éste adquiere significado, solo si se utiliza en el contexto de la plataforma virtual1, ya que es allí donde realmente el estudiante podrá interactuar con las simulaciones, visualizar los videos y animaciones, además interactuar con los compañeros y profesores a través de los Foros, Evaluaciones en línea y chats, dispuestos para ello. Básicamente, éste Módulo, está conformado por 6 Unidades Didácticas a saber: La Función Lineal, La Ecuación general de segundo Grado, Las Funciones Trigonométricas, Identidades y Ecuaciones Trigonométricas, triángulos Oblicuángulos y Vectores y Coordenadas Polares. Cada una de estas Unidades, se discriminan en los siguientes ítems: Contenidos Teóricos: El Módulo de Contenidos contiene, como su nombre lo indica, la conceptualización teórica de la Unidad, la cual está apoyada por textos, hipertextos, videos, imágenes, animaciones-simulaciones e interacciones, las cuales en su conjunto, proporcionan las herramientas para la comprensión de cada uno de los temas de la Unidad.

http://200.13.244.221/moodle

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Foro de Dudas: Cada una de las Unidades, contiene u Foro, en el cual los estudiantes podrán publicar las dudas relacionadas con los contenidos teóricos

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o con el taller. Se da la posibilidad de que no solo el profesor responda a las dudas, sino también los mismos compañeros del curso Evaluación en línea: Cada una de las Unidades, contiene una evaluación en línea, la cual se deberá aplicar a los estudiantes en un día y hora determinados por el Docente que oriente la asignatura Taller general: Cada una de las Unidades, contiene un taller general de la Unidad en formato pdf, el cual los estudiantes deberán imprimir y resolver con la ayuda del Profesor y sus compañeros de curso Material de Apoyo: Este material, está conformado por videos y/o textos el cual deberá ser utilizado para profundizar en algunos de los temas más importantes de la Unidad. En algunas ocasiones es opcional, pero lo ideal es que se invite a los estudiantes a explorarlo. Lo anterior, en cuanto a cada una de las Unidades, pero es importante tener en cuenta que para ejecutar todo el aplicativo correctamente, es importante instalar algunos aplicativos en el computador donde se vaya a ejecutar, con el fin de visualizar correctamente las interacciones, videos y animaciones. En el Anexo se encuentran las instrucciones de instalación, además de los pasos que se deben seguir para ingresar a la plataforma. Por último, es importante tener en cuenta que al finalizar el curso, cada uno de los estudiantes deberán responder las 2 encuestas, diseñadas para evaluar el desempeño tanto del curso como del tutor y estudiantes. Espero pues que este material sirva de herramienta educativa a Docentes, estudiantes y en general a toda la comunidad académica, pues el fin último de este proyecto, es aprovecharnos de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación como herramienta fundamental en el contexto educativo.

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La autora

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Unidad No 1

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El concepto de Función, se podría decir, es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo. En la naturaleza y en la vida diaria, existen gran cantidad de fenómenos que se comportan de forma tal, que se pueden modelar y representar como una función lineal. En esta Unidad, por lo tanto, se estudiará la Función Lineal con todos sus componentes representados gráfica y algebraicamente, no sin antes comprender el significado de la distancia entre dos puntos, punto medio y en general, repasar algunos conceptos sobre el plano cartesiano

Resumen

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Unidad No: 1 Nombre: La Función Lineal

Objetivos: Hallar gráfica y analíticamente la distancia y el punto medio entre dos puntos del plano Definir intuitivamente la Función Lineal Reconocer el modelo matemático que rige las funciones lineales Comprender gráfica y analíticamente las funciones lineales Resolver problemas de aplicación

La Recta Real

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La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real, es decir, a cada número le corresponde un único punto en la recta y a cada punto le corresponde un único número. Con el fin de recordar un poco acerca de la ubicación de los números en la recta real, de clic sobre el botón ubicado en la parte inferior de esta ventana cuyo título es: Observar vídeo. Aparecerá un vídeo explicando la recta real. Es muy importante que lo escuche y analice. Si tiene alguna duda al respecto, puede consultarla en el Foro de Dudas: Esta es la pantalla que le aparecerá en la ejecución del programa:

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Esta pantalla mostrará un vídeo explicando la Recta Real. Para visualizarlo, deberá dar clic en el botón Play:

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En la escena están representados algunos números decimales comprendidos entre 0 y 1 y aparece marcado en rojo el punto P. ¿Sabe qué números representa? Escríbalo en la línea inferior de la escena. El valor que escriba aparecerá en verde y sabrá si ha acertado. Si no acierta, el punto rojo cambia a gris. Inténtelo hasta haber acertado tres números consecutivos. Disminuya entonces el valor de la escala y siga jugando hasta llegar al valor mínimo de la escala, 10. Al terminar, podrá dar clic en el botón Regresar

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Dar clic sobre el botón continuar, con el fin de que le aparezca la siguiente escena, la cual le explicará teóricamente cómo calcular la distancia entre dos puntos de la recta

Distancia entre dos puntos de la recta : Para calcular la distancia entre dos puntos de la recta, utilizaremos la siguiente fórmula, considerando los puntos A y B con coordenadas a y b respectivamente:

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Así, por ejemplo, si se requiere calcular la distancia entre los puntos de la recta, a = -3 y b = 2, aplicamos la fórmula de la siguiente manera:

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Observar que el símbolo: | | significa, valor absoluto y de ahora en adelante, este símbolo lo utilizaremos para denotar distancias, ya que en el mundo real, las distancias, volúmenes, áreas, etc. no pueden ser negativas. Esto significa que un valor que se encuentre dentro de valor absoluto, siempre será un número positivo, independiente del valor que exista dentro de estas dos barras.

El Plano Cartesiano: El uso del Plano Cartesiano, para representar puntos y curvas, se debe básicamente a los Franceses Pierre de Fermat y René Descartes, siendo éste último, el más conocido en nuestras escuelas. Básicamente, el plano cartesiano, está conformado por dos rectas, una horizontal y la otra vertical, las cuales se cruzan en un punto denominado centro u origen. Es muy importante tener en cuenta, que para representar un punto en la recta, denotamos un único valor, tal como: -5, -4, 2.3, -17.8, mientras que para denotar un punto en el plano cartesiano, requerimos de dos valores, uno que me representa al eje x y el otro que representa al eje y. Por lo tanto, un punto en el plano cartesiano, se denota como P(x, y), donde el primer valor es el recorrido en el eje x, mientras que el segundo es en el eje y. Es importante aclarar, que usualmente, al eje x, se le denomina el eje de las abcisas y al eje y, el eje de las ordenadas; también lo podemos encontrar como Par ordenado, coordenadas cartesianas, etc.

En la escena siguiente, usted deberá ubicar los puntos solicitados. Para ello, deberá

aumentar o disminuir los valores:

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escribir o con los deslizadores

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En esta escena, podrá ubicar los puntos del plano que requiera, con el fin de determinar en qué cuadrante se encuentran. Es importante realizar esta práctica, con el fin de afianzar la ubicación de puntos en el plano cartesiano

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En esta escena, usted necesitará un cuaderno de notas: Consiste en dar clic en el botón , con el fin de que le aparezcan los puntos A, B, C etc. Deberá, en su cuaderno escribir a qué parejas (x,y) corresponde cada uno de los puntos

Distancia Entre Dos Puntos Del Plano

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La distancia entre dos puntos del plano, es el segmento que une dichos puntos y está dado por la hipotenusa de un triángulo rectángulo, tal como se denota en la siguiente figura:

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Considerando dos puntos arbitrarios P1(X1, Y1), y P2(X2, Y2) que no se encuentran en la misma recta vertical u horizontal, determinan un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen longitudes |X2 - X1| y |Y2-Y1|. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que:

En la siguiente escena que muestra un video, se explica cómo calcular la distancia entre dos puntos del plano. Solo deberá dar clic sobre el botón Play y al terminar, dar clic sobre el botón Continuar:

Fórmula Del Punto Medio Considerar dos puntos P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), en el plano. La fórmula del punto medio, está dada por:

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Ejemplo: Calcular el punto medio que une a P1(4,6) y P2(-10,12)

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A continuación, encontrará una escena, en la que podrá interactuar de la siguiente manera: Al lado derecho, encontrará una columna con el título: Puntos para representar en el plano. Solamente deberá ingresar cada uno de los valores X1,Y1, X2, Y2 en la escena, la cual le calculará automáticamente el valor de la distancia entre dichos puntos. Luego, encontrará un programa que le hará el cálculo, además de calcularle el punto medio. Se propone que primero realice cada uno de estos ejercicios en su cuaderno de notas (gráfica y analíticamente) y luego confronte los resultados con la escena.

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Las siguientes escenas, explican teóricamente la definición de la Función Lineal de una forma intuitiva:

La Función Lineal Noción Intuitiva Suponga que va a construir un estanque para peces, el cual tiene una llave que vierte 8 litros de agua por segundo

Animaciones extraídas de la dirección: http://www.gifmania.com. Febrero del 2010

De acuerdo a lo anterior, vamos a analizar las siguientes situaciones, mediante unas tablas de valores, así:

0 1 2

Volumen (Litros)

0 8 16 24 32 40 48 56

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Tiempo ( segundos)

1) Sí el Volumen inicial del estaque fuera de 0 litros, entonces se tendría la siguiente tabla:

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Representando la Tabla anterior en un gráfico, se tendría:

La Tabla y el gráfico anterior, expresan claramente, que la fórmula expresa la relación entre el Volumen del estanque y el tiempo, está dada por: V = 8t 2) Sí el Volumen inicial fuera de 24 litros, entonces nuestra tabla cambiaría un poco así: Tiempo ( segundos)

Volúmen (Litros)

24 32 40 48 56

t 8t + 24

Determinar una función a partir de una tabla de valores :

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3) Cuál es el gráfico y la tabla correspondiente al mismo problema, pero si en vez del volumen inicial de 24 litros, fuera 64 litros?. Cuál fórmula expresaría esta relación?

Por lo anerior, podríamos fácilmente deducir, que la fórmula para expresar la relación entre Volumen y Tiempo, está dada por: V = 8t + 24

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Determinar un Modelo Matemático a partir de un conjunto de datos obtenidos por observación, no es nada trivial y se requieren de algunos métodos y "cierta genialidad", pues dicho modelo, deberá cumplirse como una especie de Ley universal que no puede "fallar". Por ejemplo, la Ley de ohm, explica la relación entre voltaje, corriente y resistencia y está dada por: I = E/R. Dicha fórmula, se puede expresar verbalmente como: "El flujo de corriente en ampere que circula por un circuito eléctrico cerrado, es directamente proporcional a la tensión o voltaje aplicado, e inversamente proporcional a la resistencia en ohm de la carga que tiene conectada". Este modelo, deberá cumplirse para cualquier circuito eléctrico, pero deberíamos imaginar el tiempo, la dedicación y constancia en los experimentos que tuvo el inventor de esta fórmula, para determinarla como una ley, la cual podemos utilizar en cualquier momento, para calcular la Intensidad de la corriente. En esta introducción a la Función Lineal, vamos a hacer algo parecido y es el de enunciar una ley (modelo lineal), a partir de un conjunto de datos tomados por observación. Suponga que usted se encuentra en un Laboratorio del Pascual Bravo y se dedica a escribir el número de piezas producidas por cierta máquina, en el minuto 1, 4, 5, 9, y 10 Tiempo

1 4

Número de piezas producidas

9 10

8 17 20 32 35

Para determinar una fórmula matemática que nos permita calcular el número de piezas producidas en cualquier minuto, debemos determinar primero que todo, sí es un Modelo lineal o no. Para ello, se sigue el procedimiento siguiente: 1) Calculamos el incremento de x (para este caso, el tiempo) y para ello, simplemente se restan cada una de los valores así: Incremento de t1: 4 - 1 = 3 Incremento de t2: 5 - 4 = 1 Incremento de t3: 9 - 5 = 4 Incremento de t4: 10 - 9 = 1 2) Calculamos el incremento de y (para este caso, el número de piezas producidas) y para ello, simplemente se restan cada una de los valores así: Incremento de pp1: 17 - 8 = 9 Incremento de pp2: 20 - 17 = 3 Incremento de pp3: 32 - 20 = 12 Incremento de pp4: 35 - 32 = 3 Incrementos de x (Tiempo)

Incrementos de y (Número de piezas producidas)

Luego, al dividir cada uno de los incrementos obtenemos: 12/4 = 3

3/1 = 3

Al realizar los cálculos, se puede observar que estos corresponden a una regla de proporcionalidad directa, la cual está dada por:

3/1 = 3

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9/3 = 3

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A este , de ahora en adelante lo denominaremos pendiente o también razón de cambio. Debido a que todos los incrementos o pendientes son iguales (en este caso 3), podemos garantizar que se trata de una función lineal, la cual está dada por el modelo y = mx + b. Luego, para determinar la fórmula de los datos anteriores, simplemente se halla el valor de b y para esto, reemplazamos cualquier par de valores de la Tabla. Por ejemplo, podríamos coger el punto (9, 32) y reemplazarlo en la fórmula así: y = mx + b 32 = 3(9) + b b = 32 - 27 b=5 Por lo tanto, la Fórmula que determina el número de piezas producidas por la máquina (caso hipotético), en cierto intervalo de tiempo es: y = 3x + 5 Observar que el Modelo anterior, nos sirve para determinar el número de piezas producidas por la máquina en cualquier momento. Por ejemplo, si necesita saber cuántas piezas se produjeron en el minuto 18, simplemente reemplazamos en la fórmula que acabamos de descubrir, así: t = minuto 18 y = 3(18) + 5 y = 54 + 5 y = 59 Por lo tanto, el número de piezas producidas en el minuto 18 es de 59 piezas. Siguiendo el procedimiento anterior, resuelva los dos siguientes ejercicios:

11 15 16

V 193 186 179 165 123 95 88

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I 1

1. A partir de una experiencia realizada con un aparato eléctrico se obtiene una tabla de valores donde V designa la tensión e I la intensidad de la corriente eléctrica:

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Compruebe si V es función lineal de I, y en tal caso expresar la fórmula que los relaciona. 2. En una experiencia de mecánica se obtiene la tabla de valores siguiente, donde t indica el tiempo (en segundos) de la caída de un objeto y d la distancia (en metros) recorrida durante un tiempo t: t 0.1 0.2 0.5 0.7 1 1.2 1.3 d 0.05 0.2 1.25 2.45 5 7.2 8.45 ¿La función t v d es lineal? Luego de haber leído una definición intuitiva de la Función Lineal, de clic en el botón continuar y encontrará la siguiente interacción, y en su cuaderno de notas, escribir los resultados obtenidos: Al terminar, de clic en el botón continuar

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En esta escena, usted deberá variar los valores que se le solicitan y en su cuaderno de notas, escribir sus propias conclusiones y resultados, de acuerdo a la interacción:

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Al terminar la escena anterior, encontrará la conceptualización teórica de la Línea recta. Lea con mucha atención lo que allí se define y tome nota en caso de ser necesario:

La Línea Recta Al definir qué es una línea recta, se podría decir qué es una sucesión continua de puntos interminables e infinitos. Ello sería correcto, pero en esta sección, vamos a analizar con mayor detenimiento, la forma cómo se puede construir una recta, la ecuación general, la representación gráfica y en fin, en qué consisten cada uno de los elementos que la componen. La Ecuación de una recta, está dada por la ecuación, y = mx + b, donde m es el valor de la pendiente (inclinación), y b es el punto de intercepto de la recta con el eje y. Pendiente de una recta: La pendiente de una línea recta, intuitivamente, la podríamos definir como el grado de inclinación de ésta, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda ó también como una razón de cambio del eje y con respecto al eje x.

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En la siguiente gráfica, vamos a analizar cada uno de los componentes de la ecuación de la recta, con los cuales, usted deberá responder las preguntas en el cuaderno de notas:

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Luego de comprender teórica y analíticamente los elementos que componen la Función lineal, la cual en su forma está dada por y = mx + b, vamos a aprender cómo hallar la ecuación de una recta. Para hallar la ecuación de una recta, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si nos dan dos puntos P(X1,Y1) y Q(X2, Y2) pertenecientes a dicha recta, entonces, para hallar la Ecuación, seguimos el siguiente procedimiento: 1. Hallamos la pendiente de la recta y 2. Con la pendiente hallada y el punto construimos la ecuación, así 3. y - y1 =m(x - x1)

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Ejemplo: Hallar la ecuación de la Recta que pasa por los puntos P(-2, 3) y Q(1, -4):

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Realice la actividad allí propuesta y tome nota de sus conclusiones. Luego de clic en el botón continuar

El ángulo que forma una recta con el semieje OX está muy relacionado con su pendiente. El valor de la pendiente de la recta coincide con lo que se llama tangente del ángulo que forma la recta con el semieje OX. Observe el ángulo de la recta en todos los cuadrantes y en su cuaderno de trabajo, escriba el valor de la pendiente para los siguientes ángulos: Ángul o

Pendient e

0º 0º-45º 45º 45º90º 90º 90º135º

180º

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135º180º

135º

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En esta escena, deberá escribir los valores de la pendiente (m) y el intercepto b. Si acierta, aparecerá la ecuación de color naranja, de lo contrario, aparecerá rosada. De clic en el botón animar para generar nuevas rectas. No pase al siguiente ejercicio, hasta no dominar la forma de hallar la ecuación, dadas la pendiente y el intercepto

Escriba el valor de b para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto amarillo y tiene de pendiente m indicada en la escena. Si acierta, aparecerá la función de color amarillo, de lo contrario, rosado. Por favor no continúe hasta no dominar correctamente el hallar la Ecuación de una recta, conocidos un punto y la pendiente

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Hallar la ecuación de la recta dados siguientes puntos, pero primero hágalo en su cuaderno de notas. Luego, verifique sus resultados y confróntelos con el siguiente programa, que le ayudará a hallar la ecuación de la recta (con el modelo y = mx + b), ingresando los dos puntos:

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Bien y ahora para terminar esta sección, lo invito a que visite las siguientes páginas, las cuales nos muestran de una forma muy concreta, una de las muchas aplicaciones de la Ecuación de la línea recta: 1. Gráficas de e-t, v-t y a-t (Desarrolle la Actividad propuesta por el Profesor que construyó la página: (http://www.juntadeandalucia.es/averroes/html/adjuntos/2007/12/11/0012/index. html) 2. Pendientes de las gráficas e-t (Al final, se propone un ejercicio. Elabórelo en su cuaderno de trabajo) 3. Pendiente de la gráfica v-t (Luego de la lectura, desarrolle el ejercicio propuesto al finalizar) 4. Área de la gráfica v-t (Luego de la lectura, desarrolle el ejercicio propuesto al final Al dar clic sobre cada uno de los vínculos, se mostrará la siguiente página. No continúe hasta no realizar todos los ejercicios propuestos

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Muestra de la página:

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Luego de haber visitado la página anterior, de clic en Continuar y lea la conceptualización teórica de la intersección entre dos rectas y tome nota en caso de ser necesario:

Intersección De Rectas Definición Intuitiva Un mercado de un producto está formado por vendedores y compradores. Cuando el precio de un producto es alto y deja ganancias es lógico que se tienda a producir más cantidad de producto (hay más oferta); si el precio es menor y se gana menos, la producción del artículo también será menor (hay menos oferta). De otro lado, a más precio menos cantidades comprará el consumidor (hay menos demanda), y a menor precio más cantidades se venderán (hay mayor demanda). Los economistas saben que la relación entre precio y oferta, y entre precio y demanda sigue en muchas ocasiones una formulación matemática.

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Donde y es el precio en $ y x el número de cajas de disquetes ofertadas

Supongamos que, tras un análisis de mercado, se llega a la conclusión de que las curvas de oferta y demanda de unos disquetes viene dada de la siguiente forma:

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Donde y es el precio en $ y x el número de cajas que se demandan.

El punto de equilibrio, que se corresponde con el corte de ambas gráficas, es el término en el que coinciden compradores y vendedores. Hallando la solución del sistema (más adelante veremos cómo hacerlo), da como resultado el punto (2000,9), significando esto, que el mercado estará estable cuando el precio sea de $9. Luego de haber comprendido intuitivamente el significado de la solución de dos ecuaciones, veamos el Modelo Matemático que las rige y cómo se solucionan:

Solución de un Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas : Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo reconoceremos con el Modelo: a1x+b1y=c1 Ecuación 1 a2x+b2y=c2 Ecuación 2

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1. Hallar la matriz ampliada (A : b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que

Hallar la solución de este sistema de dos ecuaciones, significa, conocer sí estas dos rectas se cortan en un único punto (única solución), no se cortan en ningún punto (no tiene solución), o se cortan en todos los puntos (infinitas soluciones). Los métodos de solución de un sistema de ecuaciones, es muy variado, pero para este curso, solo utilizaremos la regla de Kramer, ya que en lo personal, pienso que es el más universal, además de permitirnos solucionar sistemas más complejos de 3, 4 y hasta más incógnitas. Los pasos a seguir son:

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estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) Ir sustituyendo independientes;

primera

columna

del

det(A)

por

los

términos

b) Dividir el resultado de este determinante entre el det(A) para hallar el valor de la primera incógnita; c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas En resumen: Dado el Sistema de ecuaciones de la forma:

a1x+b1y=c1 Ecuación 1 a2x+b2y=c2 Ecuación 2 Para hallar la solución, primero que todo, hallamos el determinante (D), el valor de equis (x) y el valor de y (y) así:

Para hallar el valor del Determinante (D) , se colocan entre dos barras, los coeficientes de x e y. Luego, multiplicamos el coeficiente a1 por b2 y le restamos el producto entre a2 y b1, tal como se muestra en la fórmula de la figura

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Para hallar el valor de ye (y), se colocan entre dos barras, los valores correspondientes a c1 y c2 en la columna de la y y la x queda tal cual. Luego, multiplicamos el coeficiente a1 por c1 y le restamos el producto entre a2 y c1, tal como se

Para hallar el valor de equis (x), se colocan entre dos barras, los valores correspondientes a c1 y c2 en la columna de la x y la y queda tal cual. Luego, multiplicamos el coeficiente a1 por b2 y le restamos el producto entre a2 y b1, tal como se muestra en la fórmula de la figura

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muestra en la fórmula de la figura de la izquierda Ejemplo: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Una buen estrategia, es determinar los valores a1,c1,b1,b2,c1, y c2, para de esta forma reemplazar directamente así:

Luego de seleccionar los valores, simplemente reemplazamos, así: Calculamos el determinante:

Calculamos los valores de x e y, así:

Note que ambos valores se dividen por el valor del determinante

Por último, podemos decir, que las dos rectas se cortan en el punto:

9x + 7y = 9

4x + 6y = 8

27x + 21 y = 4

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2x + 3y = 4

Es importante aclarar, que no siempre encontraremos un punto de corte, pues es posible que las rectas no se corten (no tiene solución) o se corten en todos los puntos (infinitas soluciones). Resuelva gráfica y analíticamente los dos sistemas de ecuaciones siguientes y escriba sus propias conclusiones en el cuaderno de trabajo

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El siguiente programita, le permite hallar la solución de un sistema de ecuaciones de 2 x 2. Intente resolverlas usted primero en su cuaderno de notas y luego las verifica ingresando los valores correspondientes, además de confrontar los gráficos en la interacción: (Más abajo encontrará los sistemas que deberá solucionar)

5x + 4y = -4

y = 3x - 2

3x - 2y = 1

y=4

7x + 9y = -1

x=1

14x + 18y = 3

y=2

-8x + 6y = 7

y = 2x + 1

-24x + 18y = 21

y = 3x - 4

Para hallar la solución de cada uno de los sistemas de dos ecuaciones, simplemente ingrese los valores correspondientes al modelo que se explicó al inicio de esta sección y de clic en el botón Calcular la solución. Luego, en los cuadros de la escena, ingrese cada uno de los valores del sistema y responda las siguientes preguntas: 1. Qué ocurre gráficamente que el sistema tiene una única solución? 2. Qué ocurre gráficamente cuando el sistema no tiene solución? 3. Qué ocurre gráficamente cuando el sistema tiene infinitas soluciones?

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Nota 1: Dos rectas son paralelas síí el valor numérico de sus pendientes es igual, es decir, dadas las rectas: l1: a1x+b1y=c1 y la recta l2: a2x+b2y=c2, entonces, l1//l2 síí m1= m2

Notas:

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Nota 2: Dos rectas son perpendiculares síí el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir dadas las rectas l1: a1x+b1y=c1 y la recta l2: a2x+b2y=c2, entonces, l1

l2 síí m1*m2 = -1

En su cuaderno de notas, diga cuál de los sistemas de ecuaciones anteriores, los cuales representan un par de rectas, son paralelas, perpendiculares o ninguna. Justifique su respuesta.

Actividades a Realizar Unidad No 1 Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

1) Evaluación de la Unidad No 1: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo.

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Lea con atención cada una de las preguntas allí planteadas y selecciones la respuesta que considere correcta:

Luego de dar clic, la pantalla que encontrará, será así:

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Al terminar la Evaluación, aparecerán tres botones, así:

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3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 1. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien,

2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vinculo denominado: Taller general de la Unidad No 1. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor.

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respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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Material de Apoyo: Cada una de las Unidades, tendrá un material extra, que puede consistir en lectura de documentos, videos o simulaciones, con el fin de profundizar en los contenidos de la Unidad. Para esta Unidad No 1, se expone un video que explica el concepto de pendiente, así:

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Bibliografía y Cibergrafía Unidad No 1 Animaciones: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Applets: Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Vídeos: Recta Numérica: http://www.youtube.com/watch?v=w-nQyH2E_aw Distancia entre dos puntos del plano: http://www.youtube.com/watch?v=QsdLqldCgyw Autora: Nubia Amparo Giraldo Ejercicios: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/fun ciones/teoriafuncionesafines/teorifuncionesafines.htm

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Unidad No 2 Resumen La Ecuación general del segundo grado, tiene múltiples aplicaciones en las comunicaciones, movimiento planetario, lanzamiento de proyectiles, fuerzas centrípetas etc. El Modelo general de dicha Ecuación, es: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 Donde las soluciones de esta ecuación son las llamadas curvas

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se tratarán cada una de estas ecuaciones, analizando sus propiedades, gráficos, variantes y algunas aplicaciones del mundo real

cónicas, las cuales, variando el valor de b, se puede obtener una circunferencia, elipse, parábola o una hipérbola. En esta Unidad,

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Unidad No: 2 Nombre: Las Cónicas

Objetivos: Comprender que las cónicas son curvas que se obtienen al cortar con un plano, dos conos superpuestos Discernir, de acuerdo a su ecuación y gráfica, las cónicas, parábola, elipse, circunferencia e hipérbola Definir gráfica y analíticamente cada una de las cónicas: Circunferencia, Parábola, Elipse e Hipérbola Identificar los principales elementos y propiedades de cada una de las cónicas Resolver problemas de aplicación

Ecuación General de Segundo Grado Definición de Cónica y cómo se obtiene: Ésta se obtiene de ciertas disecciones

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que se le hacen a un cono y éstas poseen ciertas características, las cuales las convierten en una herramienta fundamental para la construcción de muchos dispositivos del mundo real. Antes de enunciar formalmente los Modelos Matemáticos que rigen estas disecciones, observe cómo se obtienen: La Circunferencia, La Parábola, La Elipse y la Hipérbola: Para ello, de clic en el botón Play e iniciar el vídeo. Es muy importante que tenga multimedia, con el fin de poder escuchar la forma cómo se obtienen las cónicas

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Luego de observar el video, de clic en el botón continuar. En la siguiente escena, aparecerá una animación, la cual muestra cómo se obtiene la parábola. Observe que debajo de ésta, aparece un botón, al cual usted podrá dar clic para repetir la animación cuantas veces requiera

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Luego de haber observado la animación y comprendido cómo se obtiene la parábola, de clic en el botón continuar y encontrará una interacción, la cual muestra la definición de la parábola. Ejecute la instrucción que allí se indica:

Definición de parábola

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De lo anterior, podemos entonces concluir, que el valor de a, es el que determina la orientación de la parábola (hacia arriba y hacia abajo), además que da cuenta del grado de abertura, por así decirlo de la parábola, pues a valores mayores que 1, la parábola se va cerrando, mientras que para valores menores que 1, la parábola se va abriendo más y más.

Al dar clic en continuar, aparecerá otra interacción, la cual al variar el valor de a, se obtienen parábolas diferentes, siguiendo la instrucción que allí se indica:

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En esta escena, encontrará una animación la cual refuerza el significado del valor a:

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La siguiente escena, muestra una animación, la cual le reforzará en el significado del valor de b:

Esta escena, muestra un nuevo parámetro y es el valor de b. realice lo que allí se indica y saque sus propias conclusiones:

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Esta escena, le muestra un nuevo parámetro y es el valor de c. Realice lo que allí se indica

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La siguiente escena muestra una animación, la cual le reforzará en el concepto de la variación del valor de c

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Escena que muestra una animación con las variaciones de a, b y c.

Al interactuar con esta escena, podrá observar las variaciones que generan los valores de a, b y c, además del significado gráfico que estas tienen:

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Modelo General: Bien, luego de haber analizado las posibles formas en que se nos puede presentar la parábola, podemos del último modelo que analizamos en la escena anterior y = a(x - c)² + b, en el cual con algunas operaciones algebraicas y la agrupación de ciertos términos (lo intentaría?), la ecuación toma la forma: y = ax² + bx + c. Ésta es la ecuación de la parábola con vértice en:

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Para calcular los interceptos con el eje x; además, para calcular el vértice, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Como pudo observar en las escenas anteriores, era muy fácil determinar cuál era el vértice de la parábola, pero cuando nos dan la ecuación general y = ax² + bx + c, se hace necesario utilizar la fórmula general:

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En esta escena, se muestra el Modelo general. Al interactuar con ella, podrá, además de observar las variantes de a, b y c, también podrá calcular los interceptos de la parábola con el eje x

El Foco, La Directriz Elementos de la parábola Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija d. Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p. Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

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Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

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CASO 1 El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas:

CASO 2 El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

CASO 3

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Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen y Vértice en V(a,b)

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CASO 4 Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen y vértice en V(a,b)

La Circunferencia

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Aparecerá la siguiente ventana, la cual muestra cómo generar una circunferencia. Lo único que deberá hacer, es ingresar el valor del radio, ya sea escribiéndolo directamente o utilizando los deslizadores. Siga las instrucciones y luego de terminar, de clic sobre el botón continuar:

Luego de terminar de leer los conceptos relacionados con la Parábola, aparecerá la siguiente pantalla con una animación, la cual explica cómo se forma la circunferencia. En la parte inferior, aparece un botón para iniciar la animación cuantas veces lo requiera. Luego de observar la animación, puede dar clic en el botón continuar:

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Ecuación general de la circunferencia :

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La siguiente pantalla, le mostrará una conceptualización teórica de cómo hallar la ecuación de la Circunferencia. Al finalizar, encontrará un vídeo, el cual se activa dando clic sobre el botón Play. Tome nota en su cuaderno y saque sus propias conclusiones

Esta pantalla, le mostrará una nueva variante de la circunferencia, la cual consiste en ingresar los valores de h y k, con el fin de poder observar que éste par de valores nos proporciona el centro de la circunferencia.

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Como pudimos observar, para construir la ecuación de la circunferencia, dados el centro (h,k) y el radio, es muy sencillo, pues solo basta que reemplacemos en la ecuación canónica y listo; pero qué ocurre sí en vez de esto nos dan la ecuación general, x² + y² +Dx + Ey + F = 0?. Para este caso, siempre debemos llevar dicha ecuación a la forma canónica, para hallar el centro y el radio. Veamos, Es, x² + y² + 12x - 14y + 6 = 0, la ecuación de una circunferencia?. Solución. Para llevar la anterior ecuación a la forma canónica, se completan los trinomios de la siguiente manera: x² + 12x = x² + 12x + 6² - 6² (Sumando y restando el valor que necesitamos para completar el trinomio) y² - 14y = y² - 14y + 7² - 7² (Sumando y restando el valor que necesitamos para completar el trinomio) Lo anterior nos lleva a: x² + 12x + 6² - 6² = (x + 6)² - 36 (Reescribiendo el trinomio) y² - 14y + 7² - 7² = (y - 7)² - 49 (Reescribiendo el trinomio) Reemplazando (x + 6)² - 36 + (y - 6)² - 49 + 6 = 0 (Reemplazando en la ecuaciónoriginal) (x + 6)² + (y - 6)² -79 = 0 (Realizando las operaciones pertinentes) (x + 6)² + (y - 7)² = 79 (Transponiendo términos) Observe cómo llegamos a la Ecuación Canónica. De ésta forma, podemos hallar el centro que es C(-6, 7) y r = Cuestionamiento: En qué caso, una ecuación dada, no sería ecuación de la circunferencia?

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Observar al vídeo siguiente, el cual explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia

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La siguiente pantalla, mostrará una animación explicando cómo se genera la Elipse. El botón de play, le servirá para reiniciar la animación cuantas veces lo requiera. Luego de esto, podrá continuar con las escenas

Esta escena, le permitirá interactuar, de acuerdo a las instrucciones del lado izquierdo.

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La Elipse

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La siguiente escena, explica la forma general de la parábola, es decir la ecuación, los puntos de corte y la forma vertical u horizontal:

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Siga las instrucciones ubicadas al lado izquierdo, con el fin de determinar el significado de los valores de a y b y además responda en su cuaderno de trabajo las preguntas allí enunciadas:

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La siguiente pantalla, muestra el modo general, así:

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Con el fin de comprender el significado gráfico de las variantes de la elipse, dibuje elipses con los parámetros que se mencionan al lado izquierdo de la escena:

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La siguiente escena, muestra una animación, la cual explica cómo se genera la hipérbola. Al igual que las animaciones anteriores, usted podrá iniciar la animación cada que lo requiera. Luego, de clic en el botón continuar >>

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La Hipérbola

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La siguiente escena, le permitirá interactuar conocer las ecuaciones generales de la hipérbola

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Esta escena, le explica en forma general el significado de la traslación de las hipérbolas tanto de forma horizontal como vertical

Luego de dar clic en el botón Continuar, aparecerá la siguiente escena, en la cual podrá interactuar, con el objetivo de que analice el significado gráfico de los valores a y b. Responda las preguntas allí planteadas de acuerdo a la interacción:

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Algunas Aplicaciones De Las Cónicas

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En las siguientes escenas, encontrará tanto en imágenes como en animaciones, algunas de las aplicaciones más importantes de las cónicas. Lo único que deberá hacer, es observar y sacar sus propias conclusiones. Sí es un estudiante curioso, busque otras aplicaciones y compártalas con su Profesor y compañeros de curso. Para avanzar por cada una, simplemente de clic en el botón Next

La siguiente escena, le permitirá interactuar de tal forma que comprenda el significado gráfico de los valores de h, k, a y b. Responda en su cuaderno de notas las preguntas que allí se plantean.

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De clic en cada una de las imágenes para que observe algunas aplicaciones de las cónicas:

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circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo, los CD, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa un orificio redondo que sirve para formar el CD y para que la radio se reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto, para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro. LA CIRCUNFERENCIA EN EL TRANSPORTE: En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia; de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor, es en la bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un “arco “. La mejor parte de esto, es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda medida en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro LA CIRCUNFERENCIA EN LOS DEPORTES : Quizá parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la circunferencia en los deportes, sería en los balones…Pero no, sí solo nos detenemos a pensar un poco, nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes, tienen marcas geométricas y circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más

LA CIRCUNFERENCIA EN LA MÚSICA : Se utilizan técnicas

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Animaciones

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En la Natación:

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En el Fútbol:

Lanzamiento de Proyectiles:

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Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

Actividades a Realizar Unidad No 2

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1) Evaluación de la Unidad No 2: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo. Luego de dar clic, la pantalla que encontrará, será así: Lea con atención cada una de las preguntas allí planteadas y selecciones la respuesta que considere correcta:

Al terminar la Evaluación, aparecerán tres botones, así:

Guardar sin enviar: Si da clic sobre este botón, guardará su evaluación y podrá acceder a ella nuevamente en cualquier momento.

2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vinculo denominado: Taller general de la Unidad No 2. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en

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Enviar todo y terminar: Envía los resultados de la evaluación y mostrará una pantalla con su calificación, además de la corrección a cada una de las preguntas.

Enviar Página: Envía la evaluación al correo electrónico del Docente

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formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor.

3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 2. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien, respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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Material de Apoyo: Cada una de las Unidades, tendrá un material extra, que puede consistir en lectura de documentos, videos o simulaciones, con el fin de profundizar en los contenidos de la Unidad. Para esta Unidad No 2, se exponen varios videos que explican las cónicas en diferentes contextos, además de un documento pdf sobre las curvas en la historia, así.

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BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA UNIDAD No 2

Al dar clic en cada video, se abrirá en pantalla para visualizarlo mejor, así:

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Animaciones Animación: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: Las Cónicas http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación. La Elipse http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: La Circunferencia http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: La Hipérbola http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: La Parábola: http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animaciones: Lanzamiento de proyectiles, natación y fútbol, variaciones de a, b y c Producción de la autora Applets: Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.youtube.com/watch?v=n-Fy0jhTqcI

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Las Cónicas:

Vídeos:

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Libros: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición CHICA E Jaime; DEL VALLE Jesús; MEJÍA Clara; OLEAS Grimaldo; QUICENO Blanca. MATEMÁTICAS Colección Camino a la Universidad Ejercicios: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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CHICA E Jaime; DEL VALLE Jesús; MEJÍA Clara; OLEAS Grimaldo; QUICENO Blanca. MATEMÁTICAS Colección Camino a la Universidad

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Unidad No 3 Resumen

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En esta Unidad, se estudiará el Triángulo rectángulo con todos sus elementos, la definición de las 6 funciones trigonométricas, ángulos y arcos, el círculo unitario, así como también las gráficas y principales características de las funciones seno, coseno y tangente

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, representación de fenómenos periódicos y otras muchas aplicaciones.

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Unidad No: 3 Nombre: Las Funciones Trigonométricas

Objetivos: Utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de los catetos o hipotenusa de los triángulos rectángulos Utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular el área de Triángulos Rectángulos Construir las Funciones Trigonométricas del Seno, Coseno y Tangente a partir del Triángulo Rectángulo y el círculo goniómetro Analizar e interpretar las principales propiedades de las Funciones Seno, Coseno y Tangente: Amplitud, Período y ángulo de Fase Resolver problemas de aplicación de las Funciones Trigonométricas

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Definición

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En la siguiente escena, aparece la definición de Triángulo Rectángulo, además de una imagen con cada uno de los elementos del Triángulo Rectángulo.

Teorema de Pitágoras : La siguiente escena, muestra la definición del Teorema de

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Pitágoras de una forma gráfica y escrita. Sería muy interesante que el estudiante hiciese su propia comprobación, tomando los cuadros de una hoja de papel cuadriculado:

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La siguiente escena, muestra una animación muy curiosa, la cual demuestra el Teorema de Pitágoras:

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Las siguientes 3 escenas, explican algunos ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras:

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Funciones Trigonométricas a partir del Triangulo Rectángulo : La siguiente

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escena, muestra la definición de las funciones Trigonométricas a partir del Triángulo Rectángulo:

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propuestos:

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Problemas de aplicación : Observe el siguiente video y realice los ejercicios allí

Con el fin de reforzar la definición de las Funciones Trigonométricas, puede interactuar con la siguiente escena, la cual le permitirá, hallar las funciones seno, coseno y tangente, variando el ángulo:

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Longitud de Arco : La siguiente escena, muestra la definición de Longitud de Arco

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mediante una animación:

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Ángulos y Arcos : Esta escena, mediante una animación, le explica cómo se forma un ángulo. El botón play, le permitirá reiniciar la animación cada que lo requiera:

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Grados y Radianes : Medida de los ángulos tanto en grados como en radianes:

Ángulos positivos y negativos, posición inicial y posición final:

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Conversión de Grados a Radianes : Conversión de grados a radianes y de radianes a grados:

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Ejemplo de conversión de grados a radianes y viceversa:

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La siguiente escena, muestra una animación, la cual describe claramente cómo determinar la longitud de un arco. Puede dar clic sobre el botón play para reiniciarla cuantas veces lo requiera:

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El círculo Unitario : Esta escena, muestra la definición (la cual es muy importante),

Las funciones circulares que se estudiarán en el próximo tema, se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario. El

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El círculo Unitario:

del círculo Unitario

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círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es x2 + y2 = 1 (Visto en la Unidad No 2). Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo. Entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario. Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es:

Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente:

Nota: Observe que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales:

Definición de seno y coseno a partir del círculo unitario : La siguiente escena,

Definición del Círculo goniómetro o círculo unitario :

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explica cómo a partir del círculo Unitario, podemos definir las Funciones Seno y Coseno

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Las siguientes escenas, explican la obtención de las funciones, seno, coseno tangente en el círculo unitario o goniométrico: Si en un plano cartesiano, se dibuja una circunferencia de radio igual a la unidad, o sea 1, se tiene el denominado círculo goniométrico siguiente:

Aquí, si P(x,y), es un punto cualquiera de la circunferencia, al trazar el radio de unidad 1, se determina un triángulo rectángulo de catetos x e y, e hipotenusa 1;

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x² + y² = 1

Según Pitágoras, se cumple que:

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Igualdad que corresponde a la ecuación de la circunferencia, con centro en el origen (0,0) y radio 1.

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Las siguientes escenas, le permitirán interactuar con el círculo goniométrico para obtener las funciones de seno y coseno. Solamente deberá ingresar el valor del ángulo:

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Las siguientes escenas, explican cómo obtener las funciones seno, coseno y tangente para ángulos de 30, 45 y 60, o ángulos notables: Lea cuidadosamente la teoría y tome nota en su cuaderno de trabajo para que pueda sacar sus propias conclusiones:

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Animación que muestra cómo obtener las Razones Trigonométricas:

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Ángulos Notables

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Las siguientes escenas, muestran una animación por cada una, al igual que una tabla de valores, la cual genera la función Seno, Coseno y Tangente. Se sugiere que el estudiante, en su cuaderno de notas, haga lo propio para que confronte sus resultados:

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Función Seno

Escena que muestra gráficamente la diferencia entre senx y –senx

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Variantes de la Función Seno: Amplitud, Período, Fase

Las siguientes escenas, muestran las principales propiedades y variantes de la Función Seno:

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Escena que muestra gráficamente el significado del valor de la amplitud A en Asenx:

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Escena que muestra gráficamente el significado de la variación del período, senBx:

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Escena que explica gráficamente el movimiento que tiene la función seno hacia la derecha o hacia la izquierda, en sen(x + 1) ó sen(x – 1)

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La siguiente escena, muestra las conclusiones generales de las diversas variaciones de la Función Seno:

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Las siguientes escenas, le permitirán interactuar con el fin de que el estudiante pueda comprobar el significado gráfico de Amplitud, Período y Ángulo de Fase:

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La siguiente escena, muestra el modelo general de la función seno, con la cual podrá interactuar y variar los valores de A, B, C y D.

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CONCLUSIONES GENERALES

En general, sea una función: F(x) = A Sen ( Bx + C ) ó F(x) = A Cos ( Bx + C ) Se definen: 1. Amplitud (A) : Es el barrido que hace la función trigonométrica sobre el eje “y”. Por ejemplo: F(x) = 8 Sen (x) Entonces la imagen de la función F va a hacer el intervalo [-8,8] (siempre simétrico). Si tiene un gráfico y quiere saber la amplitud, fíjese cualquier punto más alto (va a tener muchos, ya que la función es periódica, pero todos iguales) y mida la distancia al punto más bajo (verticalmente). Como se dijo que es simétrico, se divide por 2 y listo. 2. Período (2pi/B): Es lo que tarda la función en repetirse. Si tiene por ejemplo: F(x) = Cos (2x) Significa que: Período = 2*pi / 2 = pi Cada intervalo “pi” en el eje “x” el gráfico se va a repetir

F(x) = Sen (x+1)

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3. Fase ©: Le dice cuan corrido a la izquierda o derecha está el dibujo respecto de un seno o un coseno. Por ejemplo:

Si tiene un gráfico, el período se ve tomando cualquier punto y midiendo la distancia (horizontal) al que vuelve a aparecer.

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Eso le dice que la función está corrida respecto de Sen (x) en 1 (con respecto a las “x”). Aplicación: Este contenido se puede utilizar como una herramienta para analizar y comprender conceptos vinculados con alguna otra área, como por ejemplo ¿cómo transmite una radio? Y la explicación es la siguiente Debido a que el sonido se atenúa a medida que el receptor se aleja de la fuente emisora, surge la necesidad de hallar algún método que permita transmitir música o palabras a lugares lejanos a la fuente. Este es el objetivo de la radiodifusión, es decir, que una señal electromagnética viaje desde la emisora hasta los aparatos de radio donde es transformada en sonido. Una de las técnicas utilizadas para lograrlo es la Modulación en Amplitud (AM).

Los sonidos a emitir son variaciones en la presión que el aire ejerce sobre los oídos. Aparatos como micrófono transforman esas variaciones en señales eléctricas. Antes de que esa señal eléctrica pueda enviarse desde la emisora, debe pasar por un proceso electrónico llamado modulación, que consiste en “mezclarla” con una señal eléctrica de forma senoidal (función seno). Así, lo que la radio emite al aire es una función senoidal que cambia de amplitud según cambia la onda del sonido que se quiere transmitir. La señal emitida tiene, como todas las funciones senoidales, un cierto período, es decir, que tarda un determinado tiempo en cumplir un ciclo. Para medirlo, en AM, suele usarse la frecuencia (cantidad de ciclos que cumple la función en un segundo), la cual se mide en Hertz. Cuando se sintoniza en un aparato de radio una emisora, por ejemplo, AM 670, se captará una onda senoidal de 670.000 ciclos por segundo, detectará las variaciones de amplitud de esa señal y sus parlantes las transformarán en sonido.

Función Coseno:

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Otro método para enviar información a través del aire es la Frecuencia Modulada (FM), la que hace variar la frecuencia de la onda senoidal y en esas variaciones se encuentran los sonidos. Cada método tiene sus ventajas y desventajas; por ejemplo AM tiene mayor alcance, pero FM logra mayor fidelidad:

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Las siguientes escenas, muestran exactamente lo mismo que la Función seno. Amplitud, período y fase:

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Variantes de la Función Coseno : Amplitud, período, Fase

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La función tangente está definida por:

FUNCIÓN TANGENTE

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se debe tener cuidado de los valores de para los cuales así en adelante. De hecho, se sabe que se deben esperar asíntotas verticales en esos lugares. Observar también que:

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Lo que significa que la gráfica de la tangente será simétrica con respecto al origen. Utilizando estas dos piezas de información, una pequeña tabla de valores y el hecho de que la tangente es periódica se obtiene su respectiva gráfica como se muestra en la próxima escena.

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Actividades a Realizar Unidad No 3

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Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

1) Evaluación de la Unidad No 3: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo. Luego de dar clic, la pantalla que encontrará, será así:

Lea con atención cada una de las preguntas allí planteadas y selecciones la respuesta que considere correcta:

Enviar Página: Envía la evaluación al correo electrónico del Docente

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Guardar sin enviar: Si da clic sobre este botón, guardará su evaluación y podrá acceder a ella nuevamente en cualquier momento.

Al terminar la Evaluación, aparecerán tres botones, así:

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Enviar todo y terminar: Envía los resultados de la evaluación y mostrará una pantalla con su calificación, además de la corrección a cada una de las preguntas. 2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vinculo denominado: Taller general de la Unidad No 3. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor.

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Material de Apoyo: Cada una de las Unidades, tendrá un material extra, que puede consistir en lectura de documentos, videos o simulaciones, con el fin de profundizar en los contenidos de la Unidad. Para esta Unidad No 3, se expone un video que explica el concepto de pendiente, así:

3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 3. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien, respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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Video en ejecución:

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Documento: Funciones Trigonométricas Inversas:

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Bibliografía Y Cibergrafía Unidad No 3 Animaciones Animación: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: Teorema de Pitágoras http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación. Definición de ángulo http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Animación: Definición de Arco http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Applets: Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

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FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

Ejercicios:

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Unidad No 4

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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas, tal como ocurre en el cálculo de integrales o en la solución de ecuaciones trigonométricas. Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas.

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Resumen

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Unidad No: 4 Nombre: Identidades Trigonométricas

Ecuaciones

Objetivos: Interpretar gráficamente el significado de Identidad Trigonométrica Deducir las fórmulas básicas de las identidades fundamentales Utilizar las identidades básicas para demostrar identidades Deducir gráficamente las identidades para el ángulo doble y el ángulo mitad Resolver e interpretar ecuaciones trigonométricas gráficamente Hallar la solución de ecuaciones trigonométricas Resolver problemas de aplicación

Actividad Introductoria : Identidades Trigonométricas

La siguiente escena, contiene un gráfico y en la parte inferior, dos cuadros de texto: Uno verde y el otro rojo, así: y =sen(2*x) e y = 0. Ambos cuadros de texto, los deberá utilizar para comparar dos gráficos de la siguiente manera:

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El que está en color verde, es fijo, es decir no se puede modificar, pero el que está en color rojo, se podrá modificar, simplemente borrando el texto allí escrito, para nuestro caso, y = 0. La idea, es establecer comparativos entre dos funciones, de tal forma que usted mismo pueda comprobar cuándo ambas funciones son identidades, es decir idénticas:

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Para demostrar que otra función es una identidad, deberá borrar y = 0 y escribir la siguiente fórmula: y=2*sen(x)*cos(x)

1) y = sen(x) 2) y = sen(3*x)

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A continuación se muestra la escena lista para empezar a trabajar con las siguientes funciones y verificar sí se tratan o no de identidades a y = sen(2*x):

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Observe que la gráfica de color rojo, se superpone totalmente sobre la gráfica de color verde.

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3) y = 1/csc(2*x) 4) y = cos(2*x)

Del ejercicio anterior, podemos deducir que una función e idéntica a otra, sí al dibujar ambas funciones, la una se superpone completamente sobre la otra. Luego, surge una pregunta: Para demostrar que una función es idéntica a otra, siempre tendremos que realizar ambos gráficos?. Ello, por supuesto, sería un procedimiento demasiado largo y las identidades, más que resolver situaciones del mundo real, se utilizan como herramienta que facilita la solución de problemas relacionados con la mecánica, arquitectura, agrimensores, etc. Por lo tanto, para resolver identidades, utilizaremos cierto procedimiento de tipo operativo, el cual facilitará de una forma rápida y precisa la solución de éstas. Para ello, a continuación, se proporcionan las fórmulas más importantes y utilizadas para la demostración de las identidades, así:

Identidades básicas o fundamentales :

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Quizá, una de las cosas que más aburre a los estudiantes en cualquier curso de matemáticas, es el aprendizaje de fórmulas y con toda razón, pues carece de sentido memorizar algo que pronto se nos olvidará. Desde mi experiencia, le puedo sugerir que trate, de aprenderse la anterior fórmula de memoria, pues a través de ésta, podrá deducir unas cuantas más. Veamos:

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La Fórmula básica o primaria, de la cual se pueden desprender la mayoría de las fórmulas, es la siguiente (Recordar el teorema de Pitágoras):

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Si despejamos sen²x, obtenemos lo siguiente:

Ó sí despejamos senx, obtenemos:

Sería usted capaz de despejar cos²x y cosx?. Realice el mismo procedimiento y podrá conseguir otras dos fórmulas bastante interesantes. Se ha dado cuenta cuántas fórmulas tenemos hasta el momento?. Pues por increíble que parezca, llevamos 5!!. Bien y ahora le enseñaré, cómo sacar otras cuantas fórmulas. A la fórmula original sen²x + cos²x = 1, la dividimos por sen²x y mire lo que se obtiene:

Luego, al hacer las cancelaciones y operaciones correspondientes, tenemos:

Recordar que:

Por lo tanto y reemplazando cada uno de los términos en la fórmula general, se tiene:

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Como puede observar, no es necesario aprender las fórmulas de memoria, a excepción de sen²x + cos²x=1, de la cual y con algunos artificios matemáticos, se pueden deducir muchas más como se acabó de demostrar. Debido a que usted es un

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De la anterior fórmula, también podemos deducir otras tantas, así:

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estudiante muy curioso, lo invito a dividir por cosx toda la expresión y a partir de las operaciones que realice, deduzca otras fórmulas, tal como se acaba de mostrar.

Comprobemos gráficamente : La siguiente escena, contiene el plano cartesiano, con un gráfico de muestra (y = sen2x) y en la parte inferior, encontrará 2 cuadros de texto, listos para realizar el ingreso de las fórmulas: El primero es de color verde, mientras que el segundo es de color rojo. En el primer cuadro, escriba las siguientes fórmulas ubicadas al lado izquierdo y en el segundo cuadro, escriba las fórmulas ubicadas al lado derecho, así: (Claro que si lo desea, lo puede hacer viceversa) Escritura en la escena y=(sen(x))^2 y = 1 – (cos(x))^2 Y=(sec(x))^2 y=(cot(x))^2+1

Es importante anotar, que para escribir sus fórmulas, deberá tener en cuenta que el lenguaje del computador en vez del signo x que utilizamos para la multiplicación, éste lo entiende como * y la potencia, el solo lo entiende con ^. Ello significa, que sí va a escribir por ejemplo y = sen²(2x), lo deberá ingresar como: y = (sen(2*x))^2. Bien, ya es hora pues que empiece a experimentar y comprobar gráficamente, no solo las identidades que le acabo de demostrar operativamente, sino también las que usted tiene por actividad. Luego de demostrar algunas identidades gráficamente, se mostrarán los pasos o el procedimiento para demostrar una identidad. Veamos,

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Fórmula 2 y = 1 – cos²x Y = cot²x+1

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Fórmula 1 y = sen²x Y = sec²x

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Una Identidad, está conformada por dos miembros denominados Miembro Izquierdo y Miembro Derecho, que de ahora en adelante, denotaremos como MI y MD, así:

PASOS PARA RESOLVER UNA IDENTIDAD Para demostrar que una expresión es una identidad, seguimos los pasos siguientes (no son estrictos): 1) Seleccionamos uno de los dos Miembros (generalmente, se selecciona el más complicado). Para este ejemplo, seleccionamos: cosxcscx 2) Luego de haber seleccionado uno de los Miembros, se empieza a trabajar sobre él, es decir se hacen las conversiones necesarias a sus equivalentes, así:

En este caso, convertimos la función cscx en su equivalente que es 1/senx 3) Se aplican algunas operaciones algebraicas, para este caso, la multiplicación de fracciones, así:

4) Luego, cosx/senx según las identidades básicas, es igual a la tangente y por lo tanto la identidad queda demostrada. En los siguientes videos, se explican otras identidades, además de algunos aspectos importantes a tener en cuenta. (En total, son 4 videos, creados por la autora) VIDEOS

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Luego de dar clic en algún video, la pantalla se posicionará en la mitad y empezará a ejecutarse el video. Deberá tener parlantes o audífonos para escuchar:

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Los siguientes videos, contienen 4 ejemplos de solución de identidades. Para activarlos, solo basta dar clic en el botón play de cada uno para ampliar.

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Video en ejecución:

Fórmulas Del Ángulo Doble:

Las fórmulas del coseno y seno para el ángulo doble, se deducirán a partir del triángulo anterior y por esta razón, debemos tener en cuenta lo siguiente: Para el ángulo β, el cateto opuesto, es QS, la hipotenusa OQ=1 y el cateto adyacente OS Para el ángulo , el cateto opuesto es RS, la hipotenusa OS y al cateto adyacente es OR. Con base a este triangulo se deducirán dichas fórmulas y por ello es importante que vea el video con mucha atención:

VIDEO EXPLICATIVO DEDUCCIÓN DEL ÁNGULO DOBLE PARA EL COSENO:

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VIDEO EXPLICATIVO DEDUCCIÓN DEL ÁNGULO DOBLE PARA EL SENO:

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Luego de haber observado y analizado los videos, explore la siguiente escena, interactúe con ella y responda a las preguntas allí planteadas:

1. ¿Qué ocurre cuando los ángulos son iguales?. 2. ¿Es el seno de 120º el doble del seno de 60º?. Pruébelo poniendo en la escena A=60º y B=60º.

Simplemente recuerde que: (Queda como ejercicio para el estudiante)

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Y terminando con el ángulo doble, bastaría deducir la fórmula para el ángulo doble de la tangente. Se imagina cómo hacerlo?.

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3. ¿Y si los ángulos se diferencian en 90º?. 4. ¿Y si es la suma la que vale 90º? 5. Haga las mismas investigaciones con el ángulo de 180º.

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CONCLUSIÓN:

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para el coseno

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ÁNGULO MITAD : Video explicativo de la deducción de la fórmula del ángulo mitad

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Luego de ver el video y conocer el procedimiento para calcular el coseno del ángulo mitad, le queda como ejercicio calcular el seno para el ángulo mitad. Simplemente, en la identidad sen²x + cos²x = 1, despeje a sen²x y construya de la misma manera las ecuaciones para el ángulo mitad. De igual manera, se deja como ejercicio, calcular la tangente del ángulo mitad, de la misma forma que se hizo para el ángulo doble, pues la tangente es equivalente a senx/cosx

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Ecuaciones Trigonométricas

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CONCLUSIÓN:

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Una ecuación trigonométrica, es aquella en la que intervienen funciones trigonométricas, las cuales son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas Resolver una ecuación trigonométrica, requiere cierto conocimiento de identidades, factorización, pues uno de los pasos más importantes, consiste en convertir toda la ecuación en función de una misma “función” y esto se logra solo con una fuerte familiarización con las identidades. Por lo tanto, para resolver una ecuación trigonométrica, es importante seguir los pasos: 1) Expresar todas las razones en función de un mismo ángulo 2) Expresar todas las razones en función de una misma razón trigonométrica Es importante aclarar, que las ecuaciones trigonométricas, suelen tener múltiples soluciones, exceptuando algunas que no tienen solución, y su solución se puede expresar en grados o en radianes. Algunas ecuaciones trigonométricas, pueden ser: 1) Senx = ½ 2) Cos(2x) = 0 3) Cos²x+tan²x =1 No confundir con Identidades, pues en éstas, se debe demostrar que uno de los miembros (mediante algunas operaciones y transformaciones algebraicas), es igual al otro. Por el contrario, las ecuaciones requieren de las identidades, pero solo para convertir toda la expresión en función de una misma “función”, ya que el objetivo final, es hallar los valores del ángulo que satisfacen la ecuación. Antes de empezar a realizar ejercicios, es muy importante que usted comprenda lo que ocurre gráficamente cuando se resuelve una ecuación trigonométrica: Suponga que va a resolver la Ecuación trigonométrica senx=1. En este momento, no interesa cómo se resuelve, pero luego de algunas operaciones (que veremos más adelante), el resultado es: x = 90º. Esto significa que este es uno de los puntos (ó el único) por donde la función pasa: Mirar el gráfico ejemplo: senx = 1 x = sen-11

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Esta solución, también significa: Cuándo el senx es igual a -1?. La respuesta sería, cuando pasa por el

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x = 90º

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ángulo de 90º Luego de comprender la solución de una ecuación trigonométrica gráficamente, a continuación mostraré algunos ejemplos tanto en texto como en video: 1) Resolver la Ecuación Trigonométrica siguiente: a) senx = 0 Primero: Igualar a cero. Para este caso no es necesario Segundo: Convertir la expresión en una misma función. Para este caso no es necesario, pues toda está en función de senx Tercero: Factorizar. No es necesario Cuarto: Despejar el valor de x en cada uno de los factores (en caso de que haya más de uno) x = sen-10 En este caso nos preguntaríamos?. Dónde la función senx es igual a 0? Si trabajamos concienzudamente la Unidad No 3, podremos deducir que en dos valores: X1 = 0º X2 = 180º Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero. X1 = 0º + 360ºk X2 = 180º + 360ºk Ejemplo 1 de solución de Ecuaciones Trigonométricas

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Por ejemplo si la ecuación que usted quiere resolver es: sen2x = 2senx, lo tendría que escribir así: y = sen(2*x) – 2*sen(x), tal como lo muestra la figura: Además observe que el punto muestra la solución gráfica de la ecuación, es decir x = 180º

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Interacción: La siguiente escena, le permitirá hallar la solución gráfica y numérica de cualquier ecuación trigonométrica. Para ello, ingrese en el cuadro de texto inferior, la ecuación, pero teniendo en cuenta, la escritura correcta, de la siguiente manera:

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Actividades Unidad No 4

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1) Evaluación de la Unidad No 4: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo.

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Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

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3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 4. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien, respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vínculo denominado: Taller general de la Unidad No 4. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor

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4) Material de Apoyo:

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Video en Ejecución

Bibliografía y Cibergrafía Unidad No 4 Animaciones Animación: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes

Applets:

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http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/

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Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Videos: (Todos los videos son producción de la autora y se encuentran alojados en la siguientes direcciones): o Ejemplos de Ecuaciones Trigonométricas: http://www.vimeo.com/14092437 http://www.vimeo.com/14073975 o

Ejemplos de Identidades Trigonométricas: http://www.vimeo.com/14062328 http://www.vimeo.com/14064292 http://www.vimeo.com/14064773 http://www.vimeo.com/14065380

Deducción de Angulos dobles y mitad para el seno y coseno: http://www.vimeo.com/14067351 http://www.vimeo.com/14068023 http://www.vimeo.com/14069636

Libros: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición Ejercicios: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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Swokowski, Earl. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

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Unidad No 5

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Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras; el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados. Además de las leyes del seno y coseno para la resolución de problemas de aplicación, también se comprenderá, cuándo existe o no un triangulo de acuerdo a los datos iniciales que proporcione dicho problema

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Resumen

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Unidad No: 5 Nombre: Triángulos Oblicuángulos

Objetivos: Diferenciar los casos en los cuales se pueden presentar los Triángulos: A-L-A (Angulo-Lado-Angulo); L-L-A (Lado-Lado-Angulo); L-A-L (Lado-Angulo-Lado); L-L-L (Lado-Lado-Lado) Definir, de acuerdo a ciertos criterios, cuando un Triangulo no existe Aplicar las Leyes del Seno y Coseno para resolver Triangulos Oblicuángulos Aplicar las leyes del Seno y Coseno para resolver problemas de Aplicación que conduzcan a la construcción de un triángulo oblicuángulo

Definición de Triángulo Oblicuángulo

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En la Unidad No 3, se explicó el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, para resolver Triángulos Rectángulos. Bueno y qué significa resolver un triángulo? Resolver un triángulo, significa, hallar todos sus elementos tales como lados y ángulos. Como se vio en la Unidad No 3, el Teorema de Pitágoras, solo se puede utilizar para resolver triángulos rectángulos, es decir triángulos que tienen un ángulo recto y por lo tanto surge la pregunta: Entonces sí el triángulo no es rectángulo (puede ser equilátero, escaleno, etc), cómo hacemos para resolverlo, es decir para hallar todos sus elementos?. Para responder a estas preguntas, veamos primero que todo, los tipos de triángulos según sus lados que se nos pueden presentar, así: (Ver animación)

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Luego de observar la animación y analizar los diferentes tipos de triángulos según sus lados, será fácil entonces comprender cómo resolverlos, utilizando ciertas leyes que a continuación explicaré, a fin de clarificar este aspecto:

Notaciones para los triángulos

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos, no sin antes recordar las siguientes propiedades, las cuales deberá tener en cuenta permanentemente:

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1. En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º. 2. En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero.

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Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades:

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Ley Del Seno : La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

Interacción Para El Caso Angulo-Lado-Angulo : La siguiente escena, muestra un triángulo cuyo caso corresponde específicamente a Angulo-Lado-Angulo, en el cual se proporcionan los valores de dos ángulos y un lado cualquiera. Para resolver cualquier Triángulo de este caso, ingrese los valores para ambos ángulos (recuerde que son las letras mayúsculas) y el lado (letras minúsculas). Luego de esto, vaya dando clic en

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la flecha azul, para ir mostrando cada uno de los pasos que le resolverán completamente el triángulo.

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Interacción Para El Caso Lado-Lado-Angulo : La siguiente escena, muestra un

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vaya dando clic en la flecha azul, para ir mostrando cada uno de los pasos que le resolverán completamente el triángulo.

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triángulo cuyo caso corresponde específicamente a Lado-Lado-Angulo, en el cual se proporcionan los valores de dos lados y un angulo opuesto a alguno de los dos. Para resolver cualquier Triángulo de este caso, ingrese los valores para ambos lados (recuerde que son las letras mayúsculas) y el lado (letras minúsculas). Luego de esto,

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Interacción para saber sí un triángulo existe o no : Saber si un triángulo existe

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o no. Para ello, ingrese los valores de a, b y c en la escena. Con el signo más o menos, podrá acercar o alejar la escena:

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No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos y por lo tanto, existe una nueva ley, denominada la Ley de los Cosenos, la cual permite resolver dichos triángulos; ésta ley dice así:

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Por la razón explicada en el cuadro anterior, antes de empezar a utilizar la escena, primero verifique si es posible o no, resolver el triángulo:

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Ley Del Coseno : La ley de los Coseno es una expresión que le permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoce los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quiere conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

Interacción Para El Caso Lado-Angulo-Lado : La siguiente escena, muestra un triángulo cuyo caso corresponde específicamente a Lado-Angulo-Lado, en el cual se proporcionan los valores de dos lados y un ángulo comprendido entre ambos lados. Para resolver cualquier Triángulo de este caso, ingrese los valores para ambos lados (recuerde que son las letras mayúsculas) y el lado (letras minúsculas). Luego de esto,

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vaya dando clic en la flecha azul, para ir mostrando cada uno de los pasos que le resolverán completamente el triángulo:

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Interacción Para El Caso Lado-Lado-Lado : La siguiente escena, muestra un triángulo cuyo caso corresponde específicamente a Lado-Lado-Lado, en el cual se proporcionan los valores de tres lados. Para resolver cualquier Triángulo de este caso, ingrese los valores para los tres lados (recuerde que son las letras minúsculas). Luego

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de esto, vaya dando clic en la flecha azul, para ir mostrando cada uno de los pasos que le resolverán completamente el triángulo:

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Actividades a Realizar Unidad No 5

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1) Evaluación de la Unidad No 5: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo.

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Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

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Luego de dar clic, la pantalla que encontrará, será así: Lea con atención cada una de las preguntas allí planteadas y selecciones la respuesta que considere correcta:

Al terminar la Evaluación, aparecerán tres botones, así:

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2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vinculo denominado: Taller general de la Unidad No 5. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor.

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Enviar todo y terminar: Envía los resultados de la evaluación y mostrará una pantalla con su calificación, además de la corrección a cada una de las preguntas.

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3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 5. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien, respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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Material de Apoyo: Cada una de las Unidades, tendrá un material extra, que puede consistir en lectura de documentos, videos o simulaciones, con el fin de profundizar en los contenidos de la Unidad. Para esta Unidad No 2, se exponen varios videos que explican las cónicas en diferentes contextos, además de un documento pdf sobre las curvas en la historia, así.

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Videos de Ejemplo: Leyes del Seno y Coseno, problemas

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Video en Ejecución:

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Bibliografía y Cibergrafía Unidad No 5 Animaciones Animación: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Applets: Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Videos: (Todos los videos son producción de la autora y se encuentran alojados en la siguientes direcciones): o Ejemplo caso Ángulo-Lado-Ángulo: http://www.vimeo.com/14218007 o

Ejemplos de caso Lado-Lado-Lado: http://www.vimeo.com/14222309

Ejemplo Lado-Ángulo-Lado: http://www.vimeo.com/14236020

Ejemplos Problemas Triángulos Oblicuángulos: http://www.vimeo.com/14270948 http://vimeo.com/14429816

Libros: FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

Swokowski, Earl. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

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FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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Ejercicios:

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Unidad No 6 Resumen

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El mundo real es vectorial, y no puede ser expresado sin recurrir a vectores. Por más paradójico que parezca, los vectores no existen en la naturaleza, pero su función esencial es explicar parte del mundo físico. Rigurosamente hablando, el vector o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones y las aplicaciones en cinemática, dinámica, campos, tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico y el magnético y en la electricidad, entre otros.

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Unidad No: 6 Nombre: Vectores y Coordenadas polares

Objetivos: Definir intuitivamente el concepto de Vector Diferenciar las clases de magnitudes que existen: Escalares y Vectoriales Identificar los elementos de un vector Calcular gráfica y analíticamente el Módulo y dirección de un Vector Realizar operaciones de suma, resta de vectores Multiplicar un vector por un escalar Representar gráficamente los números complejos Operar con números complejos Representar un número complejo en la forma polar y viceversa

Vectores Noción Intuitiva : Suponga que usted se quiere encontrar con un compañero. Sí éste le dice por ejemplo, que se encuentra a 26 metros de la cafetería principal, es imposible encontrarlo con esa única información, así es pues que él necesitará decirle en qué dirección (Norte, Sur, Oriente, Occidente) se encuentra, para de esta forma saber en qué sentido empezará a caminar, es decir requiere dos dimensiones: Dirección y sentido. Ahora, suponga que esta persona se encuentra en el piso No 2 del bloque 05; en este caso usted ya tiene una tercera coordenada, es decir, un vector de tres dimensiones.

Aplicaciones de los Vectores : En general, son muchas las aplicaciones de los

http://utnaga.blogspot.es/img/aplicacionesvectores.pdf. Consultado en Agosto del 2010

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Análisis Estructural: Para predecir el comportamiento resistente de los entramados metálicos en situaciones próximas a su agotamiento. Usando el vector en forma cartesiana, podemos analizar el momento de cada una de las 3 fuerzas que están actuando en la columna con respecto al punto A. Podemos analizar el momento de un par de fuerzas actuando en el ensamble tubería en forma de vector de manera cartesiana

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vectores, entre ellas, encontramos2:

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Máquinas de Producción: Para la ubicación de las coordenadas en la programación de las maquinas de control numérico computarizado Diseño de Máquinas: Para determinar: a) La aceleración adquirida por el cuerpo y b) La reacción en el plano de apoyo. Ingeniería militar: a) En la ubicación de coordenadas de los puntos específicos.(dirección y sentido) y b) La velocidad y aceleración de los proyectiles Determinación de presiones hidráulicas: Para evaluar las condiciones de la energía eólica Financieros: En economía se emplea frecuentemente el concepto de vector precio, vector oferta, vector demanda interna, vector demanda final, vector producción, Física: Todos los temas de física están ligados al empleo de vectores pues todo estudio que implique desplazamiento, velocidad, y fuerza necesita además de la magnitud una dirección que lo defina completamente. Algunas aplicaciones son: trabajo de una fuerza, momento de una fuerza respecto de un punto, resultantes de fuerzas, equilibrio de una fuerza, etc. Selección de datos: Para suavizar gráficos: se los emplea para minimizar el impacto que pudiera afectar la interpretación de los datos debido a las perturbaciones en un gran número de mediciones que dependen por ejemplo del tiempo. Sistemas dinámicos discretos: que es una ecuación o sistema de ecuaciones que tienen por objeto estudiar cantidades que dependen del tiempo. Ejemplos de ellos son la ecuación del Saldo Pt de una cuenta con intereses en el momento “t”. Otro empleo es en los modelos de crecimiento de población (tasa de supervivencia, tasa de natalidad, tasa de mortalidad, etc.) En geometría euclidiana: Se los puede prácticamente todos los teoremas geométricos.

emplear

para

demostrar

Luego de tener una noción general de las muchas aplicaciones que tienen los vectores en el mundo real, vamos a adentrarnos en su estudio gráfico, analítico y operativo, con el fin de comprender con mayor precisión este, el cual es uno de los temas más importantes de la trigonometría, por sus múltiples aplicaciones, como se acaba de ver.

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Definiciones:

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Tipos de Magnitudes : Las Magnitudes, pueden ser: Escalares: Son aquellas que quedan determinadas solamente por un número real y una Unidad de Medida. Por ejemplo, densidad, área, tiempo, temperatura, masa. Algunos ejemplos, entre otros, tenemos: o La Temperatura en la ciudad de Medellín es: 15º o El tiempo que me demoro de mi casa al Pascual Bravo, son 45 minutos o El área total del Tecnológico Pascual Bravo es de 15762 mt² o La densidad del acero es de 7850 kg/m³

Si analiza con detenimiento los ejemplos anteriores, podrá concluir que hacen referencia a un único número real, tal como: 45 minutos, 15º, etc. Por lo tanto, a este tipo de magnitudes que pueden ser expresadas mediante un único número, las denominaremos Magnitudes Escalares.

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con un número y una unidad de medida. Por lo tanto, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar definido. Es importante aclarar, que la definición de vector, puede adquirir diferentes matices, de acuerdo al área del conocimiento que estemos tratando, pues si bien es cierto que para el área de informática, se define como una zona de almacenamiento contiguo de elementos, para la epidemiología como un organismo que transmite un agente infeccioso, para la física que es la que nos interesa, es una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. En conclusión, etimológicamente, un vector es el que “el que acarrea, el que conduce, el que transporta”. Para comprender mejor esta situación, observe el siguiente video y saque sus propias conclusiones:

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Vectoriales: Las magnitudes vectoriales, no pueden ser determinadas solamente

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Video: http://www.youtube.com/watch?v=1jSlX5OfdK4. Consultado en Agosto del 2010

Características de un Vector : Antes de continuar con la representación gráfica y

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Cualquier vector A que se encuentre en el plano cartesiano (x,y), es posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares Ax y Ay, así:

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las operaciones entre vectores, vamos a mirar las características de un vector:

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Vector Posición: El vector OA, cuyo origen es el origen de coordenadas, se

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llama vector de posición del punto A. Las coordenadas del vector OA coinciden con las coordenadas cartesianas del punto A. La siguiente escena, se puede utilizar para representar los vectores de posición que requiera

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Con la escena anterior, represente los siguientes vectores: (sería muy importante, que primero haga el ejercicio en su cuaderno) A (4,2)

B(-5,7)

C(0,1)

D(7,-6)

¿Qué coordenadas tendrá el vector v que desplaza un punto P 2 unidades a la izquierda y 3 hacia arriba?

Módulo de un vector : Para hallar el Módulo de un Vector, es decir la distancia que hay entre los puntos A y B, se utilizará el Teorema de Pitágoras visto en la Unidad No 3, y lo denotaremos por el símbolo A , así:

u = (1,2)

w = (5,12)

v = (6,8)

t = (15,20)

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Con la escena anterior, dibuje y calcule el módulo de los siguientes vectores: (sería muy importante, que primero haga el ejercicio en su cuaderno)

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La siguiente escena, le permitirá hallar el módulo de cualquier vector en el plano. Para ello, ingrese los valores de Ax y Ay:

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Dirección de un Vector : La dirección de un vector AB se puede hallar por medio del ángulo que forma la recta que pasa por A y B con el eje X. Para hallar la dirección de un vector, utilizaremos la siguiente fórmula:

u = (-4,2)

w = (-5,-12)

v = (2,1)

t = (0,8)

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Con la escena anterior, dibuje y calcule la dirección de los siguientes vectores: (sería muy importante, que primero haga el ejercicio en su cuaderno)

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La siguiente escena, le permitirá calcular la dirección (ángulo) de un vector. Para ello, solo deberá ingresar los valores tanto de Ax como de Ay:

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Operaciones con Vectores Con los vectores podemos realizar varias operaciones matemáticas, tales como suma, resta, producto escalar, entre otros. Veamos pues las más importantes:

Suma de Vectores : Por ejemplo, si Ud. se desplaza 4 km hacia el este y luego 3 km hacia el norte, su desplazamiento neto o resultante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de 5 km y un ángulo = 36.87º respecto del eje x positivo. Ver figura

Vectorialmente, el desplazamiento resultante VR, es la suma de los vectores V1 y V2, o sea, escribimos VR = V1 + V2 Esta es una ecuación vectorial. La regla general para sumar vectores en forma gráfica

punta.

Este método de cola a punta se puede ampliar a tres o más vectores. Suponga que deseamos sumar los vectores V1, V2, y V3 representados a continuación:

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Este método se llama suma de vectores de cola Notemos que V1 + V2 = V2 + V1, esto es, el orden no es importante.

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1. Use una misma escala para las magnitudes. 2. Trace uno de los vectores, por ejemplo V1 3. Trace el segundo vector, V2, colocando su cola en la punta del primer vector, asegurándose que su dirección sea la correcta. 4. La suma o resultante de los dos vectores es la flecha que se traza desde la cola del primer vector hasta la punta del segundo.

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VR = V1 + V2 +V3 es el vector resultante destacado con línea gruesa. Un segundo método para sumar dos vectores es el método del paralelogramo, equivalente al de cola y punta. En este método se trazan ambos desde un origen común y se forma un paralelogramo usando los dos como lados adyacentes. La resultante es la diagonal que se traza desde el origen común.

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La siguiente escena, le permitirá observar la suma de dos vectores por el método del paralelogramo. Mueva los puntos rojos y dibuje los vectores que desee:

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Resta de Vectores Dado un vector V se define el negativo de ese vector (-V) como un vector con la misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

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La siguiente escena puede ser utilizada para sumar vectores. Primero ingrese las coordenadas de cada vector (Ax,AY), (Bx,By) y luego calcule la suma. Es importante recordar la importancia de realizar primero las operaciones y representación gráfica en su cuaderno y luego confronte sus resultados:

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La diferencia de dos vectores A y B se define como A - B = A + (-B) De modo que podemos aplicar las reglas de su suma para restarlos.

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Utilice la escena anterior para sumar los siguientes vectores: u = (4,2) y v = (3,6); t = (1,6) y v = (2,1); Nota: es importante aclarar que para sumar aritméticamente dos o más vectores, solo basta sumar las coordenadas de la siguiente manera: Por ejemplo si usted necesita sumar aritméticamente los vectores u = (4, 3) y v = (2,5), entonces Ax = 4, Ay = 3; Bx = 2 y By = 5; por lo tanto: u + v = (Ax+Bx, Ay+By) = (4+2, 3 + 5) = (6, 8)

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Por lo tanto u + v = (6,8)

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Multiplicación de un Vector por un Escalar : Se puede multiplicar un vector V por un escalar k. Se define este producto de tal manera que kV tenga la misma dirección que V y tenga la magnitud kV. Si k es positivo, no afecta el sentido. Si k es negativo, el sentido es exactamente opuesto a V. En conclusión, Si multiplicamos un vector V por un número escalar k, este se amplifica en su magnitud, pero su ángulo queda igual:

Observe el siguiente video, el cual explica las operaciones entre vectores:

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Video: http://www.youtube.com/watch?v=JNByYXg6dx8&feature=related . Consultado en Agosto del 2010

La forma en que se han tratado los vectores hasta el momento, ha sido básicamente geométrica. Debido a que el tema de vectores se profundizará en la asignatura de Física, es mejor adoptar una nueva sintaxis, es decir la que comúnmente usted utilizará en dicha materia, la cual es la forma algebraica de los vectores. Por esta razón, se adoptarán dos vectores que juegan un papel muy importante: El primero, denominado i, es el vector de (0,0) a (1,0) y el segundo, llamado j es el vector de

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(0,0) a (0,1). Por lo tanto, como se muestra en la figura, un vector cualquiera u con su cabeza en (a,b) puede ser expresado de manera única en la forma: u = ai + bj

Para sumar dos vectores u = ai + bj y v = ci + dj, simplemente se suman sus componentes correspondientes, es decir, u + v = (a + c)i + (b + d)j De igual manera, para multiplicar u por el escalar k, se multiplica cada componente por k, Así: ku = (ka)i + (kb)j El producto Punto: Sí u = ai + bj y v = ci+dj, entonces, el producto punto de u y v es el escalar dado por: uv = ac + bd u.v = u

v cos

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Por ejemplo: Sí u = 3i + 4j y v = -2i + 3j, entonces el ángulo entre estos dos vectores está dado por:

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Este producto punto, se utiliza principalmente para determinar cuándo dos vectores son perpendiculares, es decir cuando el producto punto es igual a cero. De manera más general, se puede utilizar esta fórmula para encontrar el ángulo entre dos vectores cualesquiera:

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Recordar que: (En el anterior problema, solo se cambiaron algunas letras, pero debe quedarle claro que las componentes del vector son las mismas):

Operaciones entre Números Complejos: a)

Suma y Resta de números complejos : Para sumar o restar dos números complejos se hace lo siguiente:

Sea u = a+bi y v = c + di, entonces: u + v = a + bi + c + di u+v = (a + c) + (b + d)i

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La siguiente escena, le permitirá sumar o restar dos números complejos Z 1 y Z2. Para ello, ingrese los valores que se solicitan:

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Z1= 3+4i

Z1= 2i

Z1= 5-3i

Z1= 3+4i

Z2 = -2+i

Z2 = -1

Z2 = -1-i

Z2 = -2+i

Multiplicación de Números Complejos : Sean Z1 = a + bi y Z2 = c + di, entonces,

Z1.Z2 Z1.Z2 Z1.Z2 Z1.Z2

= = = =

(a+bi)(c+di) ac+adi+bci+bdi² ac+bd(-1)+(ad+bc)i (ac-bd)+(ad+bc)i

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La siguiente escena, le servirá para multiplicar dos números complejos. Para ello, ingrese los valores a, bi, c y di:

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Z1= 3+4i

Z1= 2i

Z1= 5-3i

Z1= 3+4i

Z2 = -2+i

Z2 = -1

Z2 = -1-i

Z2 = -2+i

División de Números Complejos : Sean Z1 = a + bi y Z2 = c + di, entonces, para dividir dos números complejos, se debe multiplicar y dividir la conjugada del denominador, así:

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Ejemplo: Dividir los siguientes números complejos:

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Por lo tanto:

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Para ello, se aconseja, que antes de empezar, definir a, b, c y d, para luego reemplazar en la fórmula y realizar las operaciones correspondientes, así:

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La siguiente escena le permitirá dividir dos números complejos. Utilícela para dividir los siguientes Números complejos:

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Coordenadas polares: Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. Los números reales R, se representan en una recta real y sabemos que a cada número le corresponde un único punto y a cada punto le corresponde un único número (magnitudes escalares). Se podría decir entonces que estos números son de una sola dimensión y se representan mediante un punto; los números complejos en cambio, deben ser representados en dos dimensiones, es decir como un punto pero en el plano, ya que hablamos de desplazamiento en el eje x y desplazamiento en el eje y. Dada esta condición, el número complejo, está conformado, por así decirlo por dos partes: Parte Real y parte imaginaria, así: c = a + bi

(Donde c = Complejo)

Donde a es la parte Real y bi es la parte imaginaria. Por lo tanto, los números 3 + 5i, 9 + 8i; 16 – 4i, son números complejos, pero para representarlos, requerimos de un plano cartesiano, así:

La representación anterior, se denomina, representación en forma rectangular, pero también se pueden representar de otra forma así:

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es una forma de representarlos, con el fin de obtener mayor información sobre ellos. Para el número complejo a + bi, que se identifica con el punto de coordenadas (a,b) en el plano, sea r su distancia desde el origen y sea uno de los ángulos que forma con el eje positivo x un rayo desde el origen que pasa por el punto. Por lo tanto, en la figura se observa que:

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Forma polar de un Número Complejo : La forma polar de los números complejos,

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Por lo tanto, para escribir el número a + bi en forma polar, se utilizan las siguientes fórmulas:

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La siguiente animación, muestra la representación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Para observarla de nuevo o detenerla, de clic en el botón Play

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Ejemplo: Convertir a la forma polar el siguiente número: 2 3 + 2i. Para ello, lo primero que se debe hacer, es hallar el valor de r, el cual es equivalente a:

Luego de hallar el valor de r, hallamos el ángulo , así:

Por lo tanto, el número 7 + 4i, expresado en forma polar, sería:

En general, Mirando el triángulo rectángulo formado por z, a y b, se puede deducir que: La Forma Binómica o rectangular está dada por: z = a + bi. Primero calculamos el valor de r, así:

Por lo tanto, la forma polar de un número complejo, queda determinada como: r

-4-6i

2-3i

-1+3i

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4+2i

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La siguiente escena, por ejemplo, convierte un número de forma binómica a forma polar. Utilícela para convertir los siguientes números:

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Paso de forma polar a forma binómica o rectangular: Para pasar de una forma polar a una rectangular, se tiene en cuenta lo siguiente: Forma Polar: r Se calcula: a = rcos b = rsen Luego, la forma binómica se construye como: z = a + bi

165o

4240o

5123o

5120o

5222o

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230o

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La siguiente escena, por ejemplo, convierte un número de forma polar a forma binómica. Utilícela para convertir los siguientes números:

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La siguiente animación, muestra la conversión de la forma binómica a la rectangular:

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Para observarla de nuevo o detenerla, de clic en el botón Play

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Conclusiones

Generales 3:

Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.

Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica, centrales hidroeléctricas. Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas(para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas(para los físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor. En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio. Una herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier(esta herramienta se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a los números complejos. La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio frecuencial» una señal para así obtener información que no es evidente en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes: 1. La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y el oído humano se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz. 2. Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radiotransistores. 3. La transformada de fourier también es utilizada en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Actividades a Realizar Unidad No 6

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier. Consultado en Agosto del 2010

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Al cerrar esta ventana, usted encontrará Tres vínculos:

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1) Evaluación de la Unidad No 6: Esta Evaluación, consiste en una serie de preguntas de única y múltiple selección. De clic y aparecerá una ventana ocupando toda la pantalla; luego de dar clic en el botón Iniciar, empezará un reloj a contabilizar el tiempo cuyo valor es de 30 minutos, al cabo de los cuales la evaluación se desactivará. Si la termina en el tiempo otorgado, de clic en el botón enviar Evaluación y luego de algunos segundos, aparecerá su nota definitiva, además del listado de respuestas buenas y malas que obtuvo. Luego de dar clic, la pantalla que encontrará, será así:

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Lea con atención cada una de las preguntas allí planteadas y selecciones la respuesta que considere correcta:

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Al terminar la Evaluación, aparecerán tres botones, así:

Guardar sin enviar: Si da clic sobre este botón, guardará su evaluación y podrá acceder a ella nuevamente en cualquier momento. Enviar Página: Envía la evaluación al correo electrónico del Docente Enviar todo y terminar: Envía los resultados de la evaluación y mostrará una pantalla con su calificación, además de la corrección a cada una de las preguntas. 2) Luego de la Evaluación en Línea, habrá otro vinculo denominado: Taller general de la Unidad No 6. Si da clic sobre éste, aparecerá el taller en formato pdf, el cual usted deberá imprimir y resolverlo con la ayuda de su Profesor.

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3) Un Foro denominado dudas de la Unidad No 6. Este es un espacio dedicado para publicar las dudas que tenga tanto de la Unidad, como del taller general. Como estudiante, podrá desempeñar dos roles: Publicando sus dudas o bien, respondiendo a dudas de sus compañeros, siempre y cuando tenga certeza que lo que va a responder, corresponde a verdades que sean demostrables.

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Material de Apoyo: Cada una de las Unidades, tendrá un material extra, que puede consistir en lectura de documentos, videos o simulaciones, con el fin de profundizar en los contenidos de la Unidad. Para esta Unidad No 2, se exponen varios videos que explican las cónicas en diferentes contextos, además de un documento pdf sobre las curvas en la historia, así.

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Bibliografía y Cibergrafía Unidad No 6 Animaciones Animación: Portada Gobierno de España. Ministerio de Educación ite: Instituto de Tecnologías Educativas. Banco de Imágenes http://bancoimagenes.isftic.mepsyd.es/ Applets: Plugin descartes para el servicio y configuración de los Docentes. Gobierno de España. Ministerio de Educación. Matemáticas Interactivas http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ Videos: http://www.youtube.com/watch?v=1jSlX5OfdK4. 2010

Consultado

Agosto

del

http://www.youtube.com/watch?v=JNByYXg6dx8&feature=related.Consultado en Agosto del 2010 Enlaces: http://utnaga.blogspot.es/img/aplicacionesvectores.pdf. Consultado en Agosto del 2010 http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier. Consultado en Agosto del 2010 http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/indice/indice.htm http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html

Ejercicios:

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FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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Libros:

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FLEMING Walter, VARBERG Dale. Álgebra y Trigonometría con geometría Analítica. Prentice Hall Hispanoamérica. Tercera Edición

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Swokowski, Earl. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

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ANEXO DE INSTALACIÓN Instrucciones para el correcto funcionamiento del curso Trigonometría y Geometría Vectorial en la Plataforma: Instalación del plugin de Descartes 1) Instalación del Nippe de Descartes: Este programa, le servirá para que las interacciones se ejecuten correctamente. La descarga e instalación es muy sencilla, y ello será de acuerdo al Sistema Operativo que posea en su equipo. Veamos: Digite la siguiente dirección en la barra de direcciones http://descartes.cnice.mec.es/DescartesWeb2.0/index.html

explorador

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a. Sí tiene Windows XP: Al dar clic sobre el vínculo DescartesWeb2.0.exe, aparecerá la siguiente ventana:

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La imagen anterior, muestra los diferentes tipos de Sistemas operativos que usted puede tener. En cada uno de los vínculos, se explica cómo instalar el plugin de Descartes. Debido a que los sistemas operativos más comunes son Windows XP y Vista, a continuación explicaré cómo instalar para cada uno de los Sistemas Operativos, así:

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De clic sobre Guardar Archivo y espere unos minutos (depende del tipo de conexión que tenga). Cuando termine la descarga, de dobleclic sobre el archivo que acaba de bajar, así:

Aparecerá la siguiente ventana:

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De clic en el botón Ejecutar y luego de esto, aparecerá una ventana de la siguiente manera:

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Le pregunta que si quiere abrir el Editor; simplemente de clic en el botón No y listo, ya tiene el plugin instalado en su computador y puede empezar a trabajar con el curso completo en cuanto a interactividad se refiere. b. Si tiene Windows Vista: Al dar clic sobre el vínculo DescartesWeb2.0.exe, aparecerá la siguiente ventana: (Igual que si tuviera Windows XP):

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De clic sobre Guardar Archivo y espere unos minutos (depende del tipo de conexión que tenga). Cuando termine la descarga, vaya al lugar donde guardo su archivo y de botón derecho del Mouse sobre éste. Aparecerá un Menú con una opción denominada Ejecutar como administrador y luego aparecerá la misma ventana que para XP. No abra el Editor y listo, ya tiene instalado el plugin en su equipo

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c. Sí tiene Windows 7.0 El acceso a esta página ha debido de producirse porque habrá intentado visualizar una escena interactiva del proyecto Descartes y no tiene instalado el plug-in de esta herramienta.

Proceso de instalación

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El plug-in de Descartes y DescartesWeb2.0 para los sistemas operativos Windows Vista y Windows 7 consta de un solo archivo ejecutable: DescartesWeb2.0.exe.

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1. Seleccione el vínculo anterior, desde su navegador, y se iniciará el proceso usual de descarga. Navegador: Internet Explorer

Navegador Firefox

Seleccione guardar e indique la carpeta donde desea hacerlo. DescartesWeb2.0.exe, una vez instalado, es también el editor de escenas de Descartes y de discursos, por tanto guárdelo en una carpeta que identifique su contenido, por ejemplo DescartesWeb2.0 o Descartes.

Seleccione "Guardar archivo". Una vez descargado copie este fichero desde la carpeta de descargas a una carpeta que identifique su contenido, por ejemplo DescartesWeb2.0 o Descartes.

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3. El proceso de instalación finaliza con un aviso en el que se le indica si se instaló correctamente en su equipo y le oferta la posibilidad de abrir el editor de escenas y de discursos de Descartes.

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2. Seleccione el archivo DescartesWeb2.0.exe y con el menú contextual (botón derecho del ratón) seleccione "Ejecutar como administrador". Seleccionada esa opción se adentrará en el proceso habitual de Windows de concesión de permisos.

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Algunos detalles técnicos a) Puede observar que el directorio desde el que se ejecutó DescartesWeb2.0 se han ubicado más archivos entre ellos DescartesWeb2.0_desinstalar.bat que como indica su nombre (ejecutado análogamente como administrador) permitirá desinstalar el plug-in si lo desea. b) El proceso de instalación anterior lo que ha hecho es acceder a la carpeta de su sistema operativo donde tiene instalado Java (por ejemplo es usual que por defecto esté ubicado en C:\Program Files\Java\jre6\lib\ext) y ha copiado en ella el archivo DescartesLib.jar, el cual contiene toda la información necesaria para poder visualizar las escenas interactivas de Descartes. Si se borra este archivo estará eliminando el plug-in y no podrá ver dichas escenas. c) Finalizada la instalación el archivo DescartesWeb2.0.exe pasa a ser el editor de escenas y de discursos de Descartes, es decir, el programa que permite crear nuevas escenas o modificar las existentes. Por ello se le indicaba que ubicara este archivo en una carpeta que identificara su contenido. Puede crear un acceso directo para facilitar el acceso al editor.

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Si lo desea, de acuerdo con lo descrito en el apartado b) de "algunos detalles técnicos", puede abordar una instalación manual del plug-in. Para ello descargue el fichero DescartesLib.jar y cópielo en el directorio lib\ext de su instalación de Java. En el ejemplo, anterior, el fichero DescartesLib.jar se copiaría en la carpeta C:\Program Files\Java\jre6\lib\ext.

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Instalación manual del plug-in

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Para copiar este fichero en esa carpeta necesitará permisos como administrador del sistema Instrucciones para el correcto funcionamiento del curso Trigonometría y Geometría Vectorial en la Plataforma: Instalación de FlashPlayer Debido a que este curso tiene algunos vídeos, los cuales reposan en los servidores de youtube y vimeo, se hace necesario instalar FlashPlayer, con el fin de que estos se visualicen correctamente. Si no tiene instalado este programa en su computador, por favor haga lo siguiente:

Ingrese a la dirección: http://www.adobe.com/es/products/flashplayer/ Vaya hasta la parte inferior de la página, tal como se observa en la figura siguiente:

Y de clic sobre el vínculo Descargar Flash Player 10.1 ahora y aparecerá la siguiente página:

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De clic en el botón Aceptar e instalar ahora y aparecerá la siguiente ventana:

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Al cabo de unos segundos (depende de la conexión de su computador), aparecerá la siguiente ventana:

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De clic en el cuadro He leído y acepto las condiciones del acuerdo de licencia, e inmediatamente se prenderá el botón INSTALAR. De clic sobre éste y el programa se instalará automáticamente. Tenga en cuenta que si su explorador es Mozilla, lo deberá cerrar para que la instalación termine correctamente