2.7. Chuỗi tiền tệ

Tuy nhiên, do lạm phát 25%, (giá hàng hóa, dịch vụ tăng lên 25%) nên thực ra anh ta bị mất khoảng 0.1−0.25=−0.15.

Vì 0.25 là lớn, nếu tính chính xác theo PT Fisher, lãi suất thực chỉ là -0.12.

§2.7. Chuỗi tiền tệ

Giả sử tại cuối mỗi chu kỳ (khoảng thời gian bằng nhau) 1, 2,…, n nhà đầu tư đầu tư khoản tiền (gọi là khoản tiền phát sinh) tương ứng là ,,…,. Ta cần tính giá trị hiện tại, giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ này.

b) Chuỗi tiền tệ không đều

Để tính giá trị hiện tại của dòng tiền ta phải tính giá trị hiện tại của từng lượng tiền riêng rẽ rồi cộng lại:

(1+).

Với lãi suất , ta biết rằng =(1+) nên

(1+) =(1+) +⋯+ .

a) Chuỗi tiền tệ đều

Là trường hợp khi lượng tiền phát sinh ở các chu kỳ bằng nhau = = = …

a1) Kỳ khoản

Ví dụ 2.17. Một kỳ khoản theo năm (niên kim) (annuity) đảm bảo sẽ chi trả $8,000 tại cuối mỗi năm trong vòng 5 năm liên tiếp, (lần đầu trả sau 12 tháng từ ngày ký hợp đồng). Giá cực đại một nhà đầu tư có thể trả cho kỳ khoản này nếu lãi suất phù hợp là 10%.

Giá cực đại trả là PV của loạt tiền nhận được, dùng lãi suất 10%. = 8,000 1.1 +⋯+ 8,000 1.1 .

Đây là tổng của chuỗi các số nhân với số hạng đầu là 8,000). Công bội là . Vậy. (không phải

(1−) 1− 8,000 1.1 (1− 1 1.1

1− 1 1.1 =$30,326.31

Bằng biến đổi, công thức tính hơi khác. Giả sử số tiền trả hàng năm là a trong vòng n năm với lãi suất r, khi đó

Dễ thấy

1+

(1+) +⋯+

(1+)

. Bởi vì =(1+) nêncó thể tính giá trị tương lai bởi công thức =

Áp dụng với ví dụ trên, 8,000[1−(1.1)] 0.1 =$30,326.31

Cũng có thể tính toán Kỳ khoản theo tháng, Kỳ khoản vĩnh viễn (Perpetual annuities) a2) Trả nợ vay (Loan repayments)

Chủ yếu trả nợ theo tháng (monthly repayments). Vậy ta tập trung vào lãi suất theo tháng.

Ví dụ 2.18. Nếu một khoản vay $2,000 được rút ra bây giờ, và phải trả hàng tháng một khoản giống nhau trong vòng 12 tháng, biết lãi suất tháng 2%. Hàng tháng sẽ phải trả bằng bao nhiêu?

Giải. Nếu người cho vay đồng ý trao đổi ngang bằng khoản vay, $2,000 chính là giá hiện tại PV của kế ước này. Như vậy, đối với khoán nợ , ta có thể áp dụng công thức tính PV của kỳ khoản như sau = [1−(1+)]

Vậy

−(+) là công thức tổng quát tính tiền trả nợ hàng tháng.

Thay vào,

=$ 0.02×2,000 1−(1.02) =178.12

Ví dụ 2.19. Trả nợ tháng bao nhiêu đối với khoản vay $6,000 thực hiện trong 5 năm tại mức lãi suất 0,7% tháng.

Giải. =$6,000 =0.7%=0.0007 =5×12=60 1−(1+) 0.007×6,000 1−(1.0007) =$122.81

Nếu ta chỉ biết lãi suất năm APR, ta cần tính lãi suất tháng tương đương trước khi tính tiền trả hàng tháng.

Ví dụ 2.20. Nếu khoản nợ $4,200 được thực hiện trong giai đoạn 3 năm với APR 6.8%, tiền trả nợ hàng tháng là bao nhiêu?

Trước hết ta quy đổi APR 6.8% ra lãi suất tháng tương đương. 1+ =(1+) ⟺ = (1+−1 = (1+0.068−1=0.0055=0.55%

Thay vào, =4,200 =0.0055 =3×12=36 1−(1+) 0.0055×4,000 1−(1.0055) =$128.92

Ví dụ 2.21. Nhà bán lẻ ô tô yêu cầu bạn trả cho chiếc xe $12,000 khoản tiền đầu tiên là $4,000, rồi trả góp $400 trong vòng 24 tháng. Lãi suất năm của khoản vay $8,000 là bao nhiêu?

Giải. Coi khoản tiền trả như là từ một kỳ khoản, ta dùng công thức trả nợ 1−(1+)

Với =8,000, =400 à=24,

400=

8,000 1−(1+)

Ta giải ra lãi suất tháng , rồi tính ra lãi suất năm APR (annualy price rate).

Dùng bảng tính Excel.

Kết quả: (1.51% tháng và 19.75% APR!)