Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί σχεδιάζοντας γραμμές
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Η βεδική μαθηματική μέθοδος είναι συλλογή κανόνων αριθμητικής που συνέλεξε ο Ινδός μοναχός Μπαράτι Κρίσνα Τιρτατζί μεταξύ 1911 και 1918 μελετώντας την Βέδα. Βέδα στην σανσκριτική γλώσσα σημαίνει γνώση.
Η συλλογή δημοσιεύθηκε το 1965 και ακόμη και σήμερα διδάσκεται και χρησιμοποιείται για την απλοποίηση πολλών μαθηματικών υπολογιστικών πράξεων.
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Λόγω του ενδιαφέροντος που παρουσιάζει, αλλά και για να γνωρίσουμε άλλες προσεγγίσεις επίλυσης μαθηματικών πράξεων, θα δούμε ένα ωραίο παράδειγμα σχετικά με τον υπολογισμό του γινομένου μεταξύ 2 αριθμών.
Έστω λοιπόν ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 13 με το 21 13 x 21 13 +26 273 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Σύμφωνα με τη βεδική μέθοδο, θα αναπαραστήσουμε τους 13 και 21 με γραμμές ως εξής: 1
3
1 2
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Στη συνέχεια θα ελέγξουμε τα σημεία τομής και θα τα μετρήσουμε: 1
3
3
2 1 2
7
Πράγματι: 21·13=273!
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ένα ακόμη παράδειγμα με τριψήφιους 312 · 123= ?
6 3
7
7 8 13 3
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Τι γίνεται αν κάπου εμφανίζεται το μηδέν 302 · 123= ?
6 3
4
6 7 11 1
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Θα δοκιμάσετε; Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο για να υπολογίσετε τα γινόμενα:
21·22 και
213·101
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
21·22
462
213·101
21513
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί χωρίς αριθμομηχανή
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Όλοι μας μέχρι στιγμής έχουμε αναπτύξει μεθόδους για να κάνουμε πολλαπλασιασμούς. Αν σας ζητήσω να απαντήσετε πόσο κάνει 10 x 8 = ? 20 x 8 = ? 13 x 8 = ? 13 x 8 10 x 8 = 80 3 x 8 = + 24 104 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Λίγες πράξεις ακόμη…. 13 x 6
18 x 8
19 x 7
10 x 8 = 80 3 x 6 = + 18
10 x 8 = 80 8 x 8 = + 64
10 x 7 = 70 9 x 7 = + 63
98
144
133
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας δούμε τι γίνεται με πολλαπλασιασμό αριθμών που βρίσκονται στο διάστημα μεταξύ 10 -20 Θα σας χρονομετρήσω σε πόση ώρα θα κάνετε την πράξη 13 x 14 13 x 14 52 13 182
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας δούμε ένα μαθη «μαγικό» κόλπο: 13 x 14 = ? 13 x 14
18 x 19
13 + 4 =17 17 x 10 = 170 3 x 4 =12
18 + 9 =27 27 x 10 = 270 8 x 9 =72
170 +12 =182
Μόνοι σας…. 28 x 21 28+1=29 29 x 20 =580 8 x 1= 8 290 + 8 = 588
270 +72 = 342
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Στα μαθηματικά, τετράγωνο ενός αριθμού α ονομάζουμε το γινόμενο με τον εαυτό του, δηλαδή α × α. Αυτό συμβολίζεται ως α². π.χ. το τετράγωνο του αριθμού 3 (δηλαδή το γινόμενο με τον εαυτό του) είναι 9. Αυτό γράφεται ως 3 × 3 = 9 ή ως 3² = 9.
Γεωμετρική Αναπαράσταση:
3
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Όταν οι αριθμοί είναι <10 όλοι μας μπορούμε σχετικά γρήγορα να υπολογίσουμε το τετράγωνο ενός αριθμού. Έτσι: 1² = 2, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100 Με το που περνάμε το 10 όμως… οι χρόνοι απάντησης ανεβαίνουν κατακόρυφα (και φυσικά εννοούμε χωρίς αριθμομηχανή) Ας δούμε πως μπορείτε γρήγορα να υπολογίσετε με το μυαλό σας, ή έστω σε ένα χαρτάκι χωρίς να κάνετε τον κλασικό πολλαπλασιασμό το τετράγωνο ενός αριθμού
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας πάρουμε ένα τυχαίο αριθμό π.χ. το 23. Πόσο κάνει 232; Ας δούμε μια μέθοδο: 1.Σκεφτείτε έναν εύκολο αριθμό κοντά στο 23 2. Γράψτε τον εύκολο αριθμό επάνω ή κάτω από τον αρχικό αριθμό και στην αντίθετη θέση τον αριθμό που προκύπτει προσθέτοντας ή αφαιρώντας τον αριθμό που αφαιρέσατε ή προσθέσατε για να προκύψει ο εύκολος αριθμός. Στην περίπτωσή μας αν ο εύκολος αριθμός είναι το 20,θα γράψω: 26 23 20 Για να βρω το 232 θα πολλαπλασιάσω το 20 με το 26 και θα προσθέσω το τετράγωνο του 3 που ήταν ο αριθμός που με οδήγησε στον εύκολο αριθμό. Δηλαδή 26·20+92=529 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Δηλαδή:
26
3 23
26 · 20 =520
3
520+9
20
32=9 232 =529 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ένα ακόμη: 492
50
1 49
48 · 50 =2400
1
2400+1
48
12=1 492 =2401 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ένα ακόμη: 492
50
1 49
48 · 50 =2400
1
2400+1
48
12=1 492 =2401 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Δοκιμάστε μόνοι σας: 972
100
3 97
94 · 100 =9400
3
9409
94
32=9 972 =9409 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας δούμε και έναν τριψήφιο: 7622
800
38 762
724 · 800 =579200
38 724
382=1444 7622 =580644 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Δουλεύει για κάθε αριθμό η μέθοδος; Η απάντηση είναι ΝΑΙ, διότι Αλγεβρικά μπορούμε να πούμε ότι:
2 2 Α =(Α+Δ)(Α-Δ)+Δ Το οποίο είναι ίσο με
2 2 Α =Α -
2 Δ +
2 Δ
δηλαδή
Α2=Α2 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας δούμε και μια ειδική περίπτωση: Πως θα βρω το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού που τελειώνει σε 5; Έστω ο αριθμός 25, τότε 252=625. Πώς;
30
5 25
20 · 30 =600
5
625
20 52=25
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Άρα: 252=625. 352=1225 452=2025
Τι παρατηρείτε;
552=3025 652=4225 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Και τώρα μόνοι σας… 952
99952
?
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Σας ευχαριστώ
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών