Η σημασία των Μαθηματικών στην επιστήμη της Πληροφορικής
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Έστω ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε 2 ακέραιους αριθμούς… π.χ. τους 42 και 13 Κατά τα γνωστά από το Δημοτικό: 42 x 13 126 +42 546 Άρα 42·13=546
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Τι συμβαίνει όταν ο υπολογιστής θέλει να πολλαπλασιάσει 2 ακέραιους αριθμούς… Ο Υπολογιστής μπορεί να εκτελέσει μόνο 3 πράξεις: 1. Πρόσθεση 2. Σύγκριση 3. Μεταφορά Δεδομένων
Πως θα εκτελέσει λοιπόν πολλαπλασιασμό, χωρίς την πράξη του πολλαπλασιασμού;
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας δούμε μαζί τι κάνει… χρησιμοποιώντας το αρχικό μας παράδειγμα 42·13=546 Ας γράψουμε τους 2 αριθμούς σε 2 στήλες. Θα πολλαπλασιάζουμε συνεχώς τον 1ο αριθμό επί 2 (·2) Θα διαιρούμε τον 2ο με το 2 κάνοντας ακέραια διαίρεση (δηλαδή χωρίς δεκαδικό μέρος) – στον υπολογιστή η πράξη συμβολίζεται με div2 Παραδείγματα ακέραιας διαίρεσης: 9 div 2 = 4, 23 div 2 = 11, 14 div 2 = 7
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Αν εφαρμόσουμε τα παραπάνω, δηλαδή διπλασιασμό του 1ου και ακέραια διαίρεση του 2ου με το 2 θα έχουμε:
42 84 168 336
13 6 3 1
Στη συνέχεια γίνεται έλεγχος για περιττούς (μονούς) αριθμούς στη δεύτερη στήλη και προσθέτει τους αντίστοιχους της 1ης στήλης. Με τη μέθοδο αυτή θα πρέπει να προσθέσει τους: 42,168,336. Όμως: 42+168+336= 426 (Πράγματι: 42·13=546) Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Για να αποκλείσουμε το τυχαίο δείτε 2 ακόμη παραδείγματα: 16·9 = 144 31 · 11 = 341
16 32 64 128
9 4 2 1
31 62 124 248
16 + 128 =144
11 5 2 1
31+62+248=341
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Το ερώτημα που γεννάται βλέποντας αυτό τον αλγόριθμο που εφαρμόζει ο υπολογιστής είναι: Ναι μεν αντί για πολλαπλασιασμό κάνει πρόσθεση, όμως καθόλη τη διάρκεια εκτέλεσης πραγματοποιεί πολλαπλασιασμό επί 2 και ακέραια διαίρεση με το 2 που όπως προαναφέραμε «δε μπορεί» να εκτελέσει με την έννοια που εμείς εννοούμε. Πραγματικά ο υπολογιστής δεν εκτελεί πολλαπλασιασμό και διαίρεση με την έννοια που ξέρουμε από τα μαθηματικά, αλλά με ένα διαφορετικό (αλλά πάλι μαθηματικό) τρόπο! Ας τον δούμε…. Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Το ερώτημα που γεννάται βλέποντας αυτό τον αλγόριθμο που εφαρμόζει ο υπολογιστής είναι: Ναι μεν αντί για πολλαπλασιασμό κάνει πρόσθεση, όμως καθόλη τη διάρκεια εκτέλεσης πραγματοποιεί πολλαπλασιασμό επί 2 και ακέραια διαίρεση με το 2 που όπως προαναφέραμε «δε μπορεί» να εκτελέσει με την έννοια που εμείς εννοούμε. Πραγματικά ο υπολογιστής δεν εκτελεί πολλαπλασιασμό και διαίρεση με την έννοια που ξέρουμε από τα μαθηματικά, αλλά με ένα διαφορετικό (αλλά πάλι μαθηματικό) τρόπο! Ας τον δούμε…. Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Όπως γνωρίζουμε από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού… Το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά και στην καθημερινή μας ζωή ονομάζεται δεκαδικό. Έχει βάση το 10 και χρησιμοποιεί 10 αριθμούς για να περιγράψει οποιοδήποτε άλλο. Αυτοί οι αριθμοί είναι το 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Αν λοιπόν έχουμε τον αριθμό 345 μιλάμε για 5 μονάδες ή 5 · 100 =5 · 1 =5 4 δεκάδες ή 4 · 101 =4 · 10 =40 3 εκατοντάδες ή 3 · 102 =3 · 100 =300 Αθροίζοντας τα 5 + 40 + 300 = 345 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας το δούμε με μια απλή αναπαράσταση:
3 3 · 102 3 · 100 300
345 4 4 · 101 4 · 10 40
5 5 · 100 5·1 5
Αθροίζοντας τα 5 + 40 + 300 = 345
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας επιστρέψουμε στον υπολογιστή… Όπως γνωρίζουμε ο υπολογιστής χρησιμοποιεί το δυαδικό σύστημα αρίθμησης με τα ψηφία 0 και 1. Κατά συνέπεια όλοι οι αριθμοί αναπαρίστανται ως ακολουθίες 0 και 1. Έτσι ο αριθμός 31 του δεκαδικού συστήματος αντιστοιχεί στον 11111 ο αριθμός 12 του δεκαδικού συστήματος αντιστοιχεί στον 1100 ο αριθμός 20 του δεκαδικού συστήματος αντιστοιχεί στον 10100 Η μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα μπορεί να γίνει πολύ εύκολα. Ας δούμε πως… Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Μετατροπή δεκαδικού σε δυαδικό. Έστω ο αριθμός 20. Πώς θα τον μετατρέψω σε δυαδικό; 20 0
2 10 0
2 5 1
2 2 0
Παίρνω τον αριθμό, και τον διαιρώ συνεχώς με το 2 (που είναι η βάση του δυαδικού συστήματος) και γράφω τα υπόλοιπα με αντίστροφη φορά. 2 1 1
2 0
Άρα:
20 = 10100
Μετατροπή δυαδικού σε δεκαδικό. Έστω ο αριθμός 10100. Πώς θα τον μετατρέψω σε δεκαδικό; Όπως έκανα προηγουμένως με τον δεκαδικό 345 και τις δυνάμεις τις βάσης. Δηλαδή:
1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21+ 1· 20 Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Ας συγκρίνουμε τα προηγούμενα για να το καταλάβουμε καλύτερα. 3 3 · 102 3 · 100 300
1 1 · 24 1 · 16 16
345 4 4 · 101 4 · 10 40 Αθροίζοντας τα 5 + 40 + 300 = 345
0 0 · 23 0·8 0
10100 1 1 · 22 1·4 4
0 0 · 21 0·2 0
Αθροίζοντας τα 16+0+4+0+0=20
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
5 5 · 100 5·1 5
0 0 · 20 0·1 0
Επιστρέφουμε τώρα να απαντήσουμε τι συμβαίνει με τον πολλαπλασιασμό επί 2 και την ακέραια διαίρεση με το 2. Θα χρησιμοποιήσουμε έναν αριθμό για να το καταλάβουμε. Έστω ο ακέραιος 9.
Αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 2 βρίσκουμε 18 (9 · 2=18) Αν πάρουμε την ακέραια διαίρεση με το 2 βρίσκουμε 4 (9 div 2=4)
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Όμως ο ακέραιος 9 είναι ο 1001 στο δυαδικό. Όταν ο υπολογιστής τοποθετήσει τον αριθμό 9 σε μια θέση μνήμης, θα έχουμε: 1
0
0
1
Αν μετακινήσουμε τον αριθμό κατά μία θέση αριστερά: 1
0
0
1
0
Αν μετακινήσουμε τον αριθμό κατά μία θέση δεξιά: 1
0
0
Ας δούμε τι άλλαξε. Στην 1η περίπτωση πήραμε τον δυαδικό 10010 που αν τον μετατρέψουμε σε δεκαδικό, θα δούμε ότι είναι ο δεκαδικός 18. (δηλαδή 9 · 2) Στη 2η περίπτωση πήραμε τον δυαδικό 100 που αν τον μετατρέψουμε σε δεκαδικό, θα δούμε ότι είναι ο δεκαδικός 4. (δηλαδή 9 div 2) Άρα με μια απλή μετακίνηση αριστερά ή δεξιά παίρνω τις δύο πράξεις του Πολλαπλασιασμού αλά Ρωσικά, χωρίς να τις εκτελέσω με τον παραδοσιακό τρόπο. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται Ολίσθηση. Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Και τώρα η σειρά σας… θα προσπαθήσετε να πολλαπλασιάσετε αλά ρωσικά τους αριθμούς 1000 και 15. Σας υπενθυμίζω τη μέθοδο: πολλαπλασιάζετε τον 1ο επί 2 και κάνετε ακέραια διαίρεση με το 2 για τον 2ο Σταματάτε τη διαδικασία όταν ο 2ος αριθμός φτάσει να έχει τιμή το 1. Στη συνέχεια αναζητάτε τους περιττούς της δεύτερης στήλης και αθροίζετε τους αντίστοιχους της πρώτης. Το Άθροισμα που θα βρείτε πρέπει να είναι το αντίστοιχο γινόμενο!!! Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Κλείνοντας, δείτε τον ψευδοκώδικα που μπορείτε να «τρέξετε» στον υπολογιστή σας και να δείτε όλα τα παραπάνω να ζωντανεύουν στην οθόνη σας: Αλγόριθμος πολ_αλα_ρωσικά Εμφάνισε 'Δώσε τον πρώτο αριθμό:' Διάβασε α Εμφάνισε 'Δώσε το δεύτερο αριθμό:' Διάβασε β αθρ ← 0 Όσο (β>0) επανάλαβε Αν ((β mod 2) = 1) τότε αθρ ← αθρ + α Τέλος_αν β← β div 2 α← α * 2 Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε 'Το γινόμενο του είναι: ', αθρ Τέλος πολ_αλα_ρωσικά
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών
Σας ευχαριστώ
Γυμνάσιο και Λυκειακές Τάξεις Βασιλικής 13/12/2018 – Εκδήλωση για το Έτος Μαθηματικών