ตรรกศาสตร์ เบือ้ งต้ น ประพจน์ หมายถึง ประโยคหรื อข้อความที่ใช้สาหรับบอกค่าความเป็ นจริ งหรื อเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่ วน ประโยคหรื อข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริ งหรื อเป็ นเท็จได้จะไม่เรี ยกว่า ประพจน์ ตัวอย่างของประโยคหรื อข้อความที่เป็ นประพจน์ เช่น ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก สุ นขั มี 4 ขา ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย เดือนมกราคมมี 30 วัน ตัวอย่างของประโยคหรื อข้อความที่ไม่เป็ นประพจน์ เช่น ห้ามเดินลัดสนาม กรุ ณาปิ ดไฟก่อนออกจากห้อง เธอกาลังจะไปไหน เขาเป็ นนักฟุตบอลทีมชาติไทย Y+5=8 ประโยคเปิ ด คือ ประโยคหรื อข้อความที่มีค่าตัวแปรอยูใ่ นประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริ ง ถ้าทาการแทน ค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จาทาให้ประโยคหรื อข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็ นจริ งหื อเป็ นเท็จ ต้วอย่างของ ประโยคเปิ ด เช่น เขาเป็ นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็ น จริ ง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็ นเท็จ Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้ จะมีค่าออกมาเป็ นจริ ง ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย ตัวเลข อื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็ นเท็จ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สาหรับกรณี ที่ตอ้ งการเชื่อมประพจน์มาก ว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรี ยกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ส่ วนประพจน์ที่ไม่มีตวั เชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรี ยกว่า ประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้ สาหรับเป็ นตัวเขื่อมทางตรรกศาสตร์ มีดงั ต่อไปนี้
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์
สั ญลักษณ์
และ หรื อ ถ้า...แล้ว ก็ต่อเมื่อ ไม่
~
ใน ทางตรรกศาสตร์ เพื่อความสะดวกสาหรับการศึกษาเกี่ยวกับการทางานของตัวเชื่ อม ทางตรรกศาสตร์ นิยมแทนแต่ละประพจน์ดว้ ยตัวอักษร P,Q,R ... และใช้ T (True) และ F (False) แทนค่าของผลลัพธ์ที่ได้จาก ประพจน์เป็ นจริ งและเป็ นเท็จ ตามลาดับ ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริ งที่ได้จากประพจน์ P มี ผลลัพธ์ออกมาเป็ นจริ ง แทนค่าความจริ งของประพจน์ P คือ T ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริ งที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์ ออกมาเป็ นเท็จ แทนค่าความจริ งของประพจน์ Q คือ F ข้ อความ
สั ญลักษณ์
ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก และ เดือนมกราคม มี 30 วัน ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก หรื อ เดือนมกราคม มี 30 วัน ถ้าดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก แล้ว เดือนมกราคม มี 30 วัน ดวงอาทิตย์ข้ ึนทางทิศตะวันออก ก็ต่อเมื่อ เดือนมกราคม มี 30 วัน
ค่ าความจริงของประพจน์ ผลลัพธ์ที่ได้จากประพจน์เชิงประกอบที่ใช้ตวั เชื่อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิด จะมีผลลัพธ์ที่ต่างกัน ออกไป การแสดงผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ สามารถแสดงโดยใช้ตารางค่า ความจริ งสาหรับใช้ แสดงค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ โดยค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ที่เกิดจากประพจน์ เชิงประกอบมีค่า เท่ากับ เมื่อ n คือจานวนประพจน์เดี่ยวที่ประกอบอยูภ่ ายในประพจน์เชิงประกอบ เช่น ประพจน์เชิงประกอบเกิดจากประพจน์เดี่ยวจานวน 2 ประพจน์ ค่าความจริ งทั้งหมดที่สามารถเป็ นไปได้ คือ 4 คา
ถ้าให้ P,Q คือ ประพจน์ และ T,F คือผลลัพธ์ของประพจน์ ที่เป็ นจริ งและเป็ นเท็จตามลาดับ ผลลัพธ์ที่ได้ จากการกระทาของตัวเชื่ อมทางตรรกศาสตร์ แต่ละชนิดได้ ดังนี้ ค่ าความจริงทีไ่ ด้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่ อมทาง ตรรกศาสตร์ "และ" จะเป็ นจริ ง เพียงกรณี เดี่ยว คือ เมื่อค่าความจริ งของประพจน์ท้ งั สองที่นามากระทากันเป็ นจริ งทั้งคู่ ถ้ามีประพจน์ใดประพจน์ หนึ่งเป็ นเท็จ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็ นเท็จทันที P
Q
P^Q
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" ค่ าความจริงทีไ่ ด้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรื อ" จะเป็ นจริ ง เมื่อค่าความจริ งของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ท้ งั สองที่นามากระทากันเป็ นเท็จทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็ นเท็จ P
Q
PvQ
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรื อ" ค่ าความจริงทีไ่ ด้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้ า....แล้ว" ประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทาจองตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็ นลักษณะของ ประพจน์ที่เป็ นเหตุเป็ นผลกัน โดยประพจน์ที่อยูถ่ ดั จาก "ถ้า" จะเป็ นประพจน์ที่เป็ นเหตุ ส่ วนประพจน์ที่อยูถ่ ดั จาก "แล้ว" จะเป็ นประพจน์ที่เป็ นผล ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็ นเท็จเมื่อ
ค่าความจริ งของประพจน์ที่เป็ นเหตุเป็ นจริ งและประพจน์ที่ เป็ นผลมีค่าเป็ นเท็จ นอกนั้นในกรณี อื่นผลลัพธ์เชิง ประกอบทีได้จะมีค่าออกมาเป็ นจริ ง P
Q
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" ค่ าความจริงทีไ่ ด้ จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" การกระทาของตัวเชื่ อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็ นจริ งเมื่อ ค่าความจริ งของประพจน์ท้ งั สองที่นามากระทากันมีค่าความจริ งที่เหมือนกันคือ ค่าความจริ งของประพจน์เป็ น จริ งทั้งคู่หรื อเป็ นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์ท้ งั สองที่นามากระทากันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะ ออกมาเป็ นเท็จ P
Q
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" นิเสธของประพจน์ การทานิเสธของประพจน์หรื อการกระทาตัวดาเนิ นการ "ไม่" จะเป็ นการเปลี่ยนค่าความจริ งของประพจน์ นั้นให้เป็ นค่าที่ตรงข้าม คือ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์น้ นั เป็ นจริ ง การทานิเสธของประพจน์น้ นั จะได้ผลลัพธ์ ออกมาเป็ นเท็จ ถ้าค่าความจริ งของประพจน์น้ นั เป็ นเท็จ การทานิเสธของประพจน์น้ นั จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็ น จริ ง
P
Q
~P
T
F
F
F
T
T
ตารางค่าความจริ งที่ได้จากการกระทานิเสธของประพจน์ ประพจน์ ทปี่ ระกอบด้ วยหลายตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ การหาค่าความจริ งของประพจน์ที่ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ สามารถทาได้โดยใช้ ตารางค่าความจริ ง การบอกลาดับของการกระทาระหว่างประพจน์จาใช้วงเล็บในการบอกลาดับการทางาน ถ้ามี นิเสธ ให้ทาในส่ วนของนิ เสธของประพจน์ก่อนเป็ นอันดับแรก ตัวอย่างของการหาค่าความจริ งของประพจน์ที่ ประกอบด้วยหลายตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ แสดงได้ ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ ~Q^R จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ยอ่ ย ดังนี้ ค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้มีท้ งั หมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางค่าความจริ งได้ ดังนี้ Q
R
~Q
~Q^R
F
F
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ (~Q^R) v (R^~S) จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ยอ่ ย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้ มีท้ งั หมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางความจริ งได้ ดังนี้ Q
R
S
~R
Q^~S
~S
R^~S
(A^~R) v (R^~S)
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริ งของ (~Q^R)<-->(Q^R) จากตัวอย่างประพจน์น้ ี ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ยอ่ ย ดังนี้ ค่าความจริ งที่สามารถเป็ นไปได้มีท้ งั หมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็ นตารางค่าความจริ งได้ ดังนี้ Q
R
~Q
~Q v R
Q^R
(~QvR)<-->(Q^R)
F
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
การหาค่ าความจริงโดยไม่ ใช้ ตารามความจริง การหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบ นอกจากหาค่าโดยใช้ตารางค่าความจริ งในการหาค่าความ จริ ง ยังสามารถทาได้อีกวิธีหนึ่ง คือ การแทนค่าความจริ งของแต่ละประพจน์ยอ่ ยลงไป แล้วทาการพิจารณาการ กระทาของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เพื่อนามาหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบนนั้น ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้ คือ P^~Q เมื่อ ประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริ งเป็ นจริ งทั้งสองประพจน์ ตัวอย่าง ที่ 2 จงหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้ คือ (P^~R)-->(R<->Q) เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริ งเป็ นจริ งและประพจน์ R มีค่าความเป็ นจริ งเป็ นเท็จ ประพจน์ สัจนิรันดร์ ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่ประกอบด้วยค่าความจริ งที่เป็ นจริ งในทุกกรณี ตัวอย่างเช่น ประพจน์เชิงประกอบที่ประกอบด้วยประพจน์ยอ่ ย 2 ประพจน์ กรณี ที่สามารถเป็ นไปได้ คือ 4 กรณี โดยที่ทุก กรณี จะให้ค่าความจริ งออกมาเป็ นจริ งทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->(QvP) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่ Q
P
QvP
P-->(QvP)
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
ประพจน์ P -->(QvP) เป็ นสัจนิรันดร์ ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่ P Q R QvR P-->(QvR)
P^R
(Q<-->(P^R)
(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R))
F F F
F
T
F
T
T
F F T
T
T
F
T
T
F T F
T
T
F
F
T
F T T
T
T
F
F
T
T F T
F
F
F
T
T
T F F
T
T
T
F
T
T T T
T
T
F
F
T
T T T
T
T
T
T
T
ประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์
ประพจน์ ทสี่ มมูลกัน ประพจน์สองประพจน์มีความสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อประพจน์ท้ งั สองประกอบด้วยประพจน์ยอ่ ยที่เหมือนกัน และให้ค่าความ จริ งออกมาเหมือนกันในทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ แทนการสมมูลกัน
ตัวอย่างที่ 1 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->Q และ ~Q-->~P เป็ นประพจน์ที่สมมูลกันหรื อไม่ P
Q
P-->Q
~P
~Q ~Q-->~P
F
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
P-->Q และ ~Q-->~P เป็ นประพจน์ที่สมมูลกัน หรื อเขียนได้วา่ P-->Q
~Q-->~P
ตัวอย่างที่ 2 จงทาการตรวจสอบว่าประพจน ์์(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่ P
Q
P-->Q ~(P-->Q)
~Q
P^~Q
F
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
ประพจน์ ~(P-->Q) และ P^~Q เป็ นประพจน์ที่สมมูลกัน หรื อเขียนได้วา่ ~(P-->Q)
P^~Q
ตรรกศาสตร์ เบือ้ งต้ น
จงสร้างตารางหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้
จงหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงประกอบในแต่ละข้อ เมื่อกาหนดค่าความจริ งบางประพจน์ให้
จงหาค่าความจริ งประพจน์ยอ่ ยในแต่ละข้อ
จงตรวจสอบว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรื อไม่ โดยใช้ตารางค่าความจริ ง
จงใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันอยูแ่ ล้ว ตรวจสอบดูวา่ ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรื อไม่
จงตรวจดูวา่ ข้อความ ก. สมมูลกับข้อความ ข. หรื อไม่
จงตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริ งว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่
จงตรวจสอบโดยใช้วธิ ีหาข้อขัดแย้งว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่
จงตรวจสอบโดยใช้ความรู ้เรื่ องสมมูล ว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็ นสัจนิรันดร์หรื อไม่
จงเขียนข้อความให้อยูใ่ นรู ปของสัญลักษณ์
จงเขียนข้อความแทนสัญลักษณ์ในแต่ละข้อ กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ จานวนจริ ง
จงเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ในแต่ละข้อ
จงหาค่าความจริ งของประพจน์ในแต่ละข้อ
จงพิจารณาว่า ประพจน์แต่ละคูต่ อ่ ไปนี้ สมมูลกันหรื อไม่
จงหานิเสธในแต่ละข้อ