add-m3-1-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 3

เล่ม 1

สารบัญ หนา คํานํา คําชี้แจง คําชี้แจงการใชคูมือครู กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ บทที่ 1 กรณฑที่สอง ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.3 การนําไปใช จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน

ก ง 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 11 11 12 12 12 12 12 13 13 13 13

2.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวาสองที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มโดยใช ทฤษฎีบทเศษเหลือ จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ บทที่ 3 สมการกําลังสอง ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 ทบทวนสมการกําลังสอง จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.2 การแกสมการกําลังสองโดยวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณ จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.3 โจทยปญหาเกี่ยวกับสมการกําลังสอง จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ บทที่ 4 พาราโบลา ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 4.1 สมการของพาราโบลา จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน

14 14 14 14 16 16 16 16 18 23 33 33 34 34 34 34 34 34 34 34 36 36 36 36 38 42 50 50 51 51 51 51

4.2 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0 จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.3 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0 จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.4 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.5 พาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ บทที่ 4 พื้นที่ผิวและปริมาตร ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 5.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด กรวยและทรงกลม จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 5.2 การนําไปใช จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

52 52 52 53 53 54 55 55 55 56 56 56 56 57 79 83 83 84 84 84 84 84 87 87 87 87 88 97

4 2. ตัวอยางที่ 4 ตองการใหนักเรียนเขาใจวิธีการคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดานเทา นักเรียนอาจนําวิธีการนี้ไปใชคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมชนิดอื่น ๆ เมื่อนักเรียน เขาใจแลวอาจใหจดจําเปนสูตรไวใชได 3. กิจกรรม “ทําไดไหม” ตองการใหนักเรียนนําความรูจากตัวอยางที่ 4 มาใช โดยครูอาจแนะ ใหนักเรียนแบงรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาออกเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 6 รูปที่เรียงชิดติดกันและมี จุดยอดรวมกัน เพื่อที่นักเรียนจะสามารถคิดตอไปได 4. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ตองการเนนใหนักเรียนฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับ กรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ เชนเดียวกับกิจกรรม “บอกไดไหม” ในหัวขอ 1.2 5. กิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง” ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการสังเกตแบบรูป และการวิเคราะหความสัมพันธ ครูควรฝกใหนักเรียนรูจักสังเกต คิดและคนหาความสัมพันธจากแบบรูป ที่หาได 6. กิจกรรม “วางอยางไร” ตองการใหนักเรียนฝกบูรณาการทักษะและกระบวนการทาง คณิตศาสตรเพื่อแกปญหาที่เปนนามธรรม ครูอาจใหนักเรียนอธิบายเหตุผลของคําตอบที่ไดดวย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “ยังจําไดไหม” 1. 1) 6 และ -6 3) 50 และ - 50 5) 49 และ - 49 7) 0.4 และ -0.4

2) 14 และ -14 4) 200 และ 24 และ 6) 75 8) 0.049 และ

1) 16 81 3) 256 5) 12

2) 625

7) 0.9

4) 0.1296 6) 73 8) 0.16

200 24 75 - 0.049

คําตอบกิจกรรม “กรณฑที่สองของ a2 เปนเทาไร” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

เทา เทา เทา เทา เทา เทา เทา 111 เทา เทา

คําตอบแบบฝกหัด 1.1 1. 1) 11 3) -35 25 5) 112 19 7) - 175 9) 0.5a2 เมื่อ a > 0 5 10 11) 11 25 m n

2) 17 4) -140 71 6) 84 8) -0.08 10) 43 x 3 y 4 12) 0.25a8b12

2. 1) 3) 5) 7)

3 10 5 50

3 2 29 2

2) 4) 6) 8)

-2 15 15 60

3. 1) 9 3) 100 5) 2

2) 24 4) 7 6) 11 25

7 3 6 2

6 7) ⏐0.08a9⏐

8) 2214 เมื่อ m m

1) ประมาณ 4.242 3) ประมาณ 12.726 5) ประมาณ -1.928

2) ประมาณ -8.660 4) ประมาณ 15.588 6) ประมาณ 391.300

≠

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 3 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 3 ⋅ 15 และ 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 3 = 5 ⋅ 15 แต 3 นอยกวา 5 จะได 3 5 < 5 3 2. ไมจริง เพราะ 5 8 = 3 8 + 2 8 เนื่องจาก 3 5 นอยกวา 3 8 2 3 นอยกวา 2 8 ดังนั้น 3 5 + 2 3 นอยกวา 3 8 + 2 จะได 3 5 + 2 3 ≠ 5 8 3. ไมจริง เพราะ 5 มากกวา 2 ดังนั้น 1 + 5 มากกวา 3 จะได 1 + 5 > 3 4. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 2 3 นอยกวา 4 จะได 2 3 – 3 < 1 5. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 2 3 นอยกวา 2 × 2 หรือ 4 3 3 นอยกวา 3 × 2 หรือ 6 จะได 2 3 + 3 3 < 10 6. จริง เพราะ 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7 และ 5 นอยกวา 2.5 จะได 2 + 3 ≈ 3.1 ซึ่งมากกวา 5 จะได 2 + 3 > 5 7. ไมจริง เพราะ 7 5 – 6 5 = 5 และ 5 มากกวา 2 จะได 7 5 – 6 5 > 2 8. จริง เพราะ 5 3 – 4 3 = 3 ซึ่งมากกวา 1 แต 5 3 – 4 2 5 3 –4 3 จะได 5 3 – 4 2 > 1

และ 8

และ

มากกวา

7 9. จริง 10. จริง

เพราะ จะได เพราะ

3 + 5 ≈ 1.7 + 5 หรือ 6.7 และ 5 + 3 ≈ 2.2 + 3 หรือ 5.2 3 +5 > 5 +3 2 + 3 + 5 ≈ 1.4 + 1.7 + 2.2 หรือ 5.3

จะได

2+ 3+ 5 >5

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก 1. 1) 3) 5) 7)

15 2 6 12

2 3 2 3

1) 2) 3) 4) 5) 6)

12 19 4 5 58 45

3 –3 6 2 –2 5 5 – 16 2 3 +8 5 3 – 23 6 +8 2

2) 4) 6) 8)

8 7 - 7 3 5 - 12 5

คําตอบกิจกรรม “ชวยคิดหนอย” 7 2 2

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข 1. 1) 5 10 3) 150 5) 12 + 36 6

2) 10 15 4) 14 + 5 35 6) 45

8 2. 1) 9

2) 90

14 3) - 25 7 5) ⏐2y⏐

4) -72 6)

3. 1) ประมาณ 2.475 3) ประมาณ 11.429 4.

5. 6

2) ประมาณ 4.330 4) ประมาณ 0.490

51 11 1) 11 2 2) - 51 2

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม” 3 3 a2 2

ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม” ตัวอยางคําตอบ 1. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 15 3 นอยกวา 15 × 2 หรือ 30 จะได 15 3 < 30 2. ไมจริง เพราะ 10 3 = 10 ⋅ 10 ⋅ 3 หรือ 10 ⋅ 30 และ 3 10 = 3 ⋅ 3 ⋅ 10 หรือ 3 ⋅ 30 แต 10 มากกวา 3 จะได 10 3 > 3 10 3. จริง เพราะ 3 × 5 = 15 ซึ่งนอยกวา 4 จะได 3 × 5 < 5 4. ไมจริง เพราะ 5 2 × 4 3 = 20 6 จะได 5 2 × 4 3 ≠ 9 6

9 5. จริง 6. ไมจริง

7. ไมจริง

8. จริง

9. จริง

10. จริง

2 × 7 = 14 และ 3 × 5 = 15 2× 7 < 3× 5 เพราะ 20 = 10 แต 10 มากกวา 9 หรือ 3 2 จะได 20 > 3 2 เพราะ 26 มากกวา 5 ดังนั้น 526 มากกวา 1 จะได 526 > 1 เพราะ 14 = 14 2 2 หรือ 7 2 2 จะได 14 > 7 2 เพราะ ตัวเศษของ 53 นอยกวาตัวเศษของ 5 และตัวสวนของ 53 3 มากกวาตัวสวนของ 5 3 จะได 53 < 5 3 เพราะ 3 × 0.01 = 3 × 0.1 = 0.3 และ 3 = 03.1 = 30 0.01 จะได 3 × 0.01 < 3 0.01

เพราะ จะได

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 1.

2. 3. 4. 5.

1) 21 หรือ -21 2) 3 หรือ -5 3) 16 4) 99 13 หนวย 72 หนวย 5 6 หนวย 2 เทา

10 6. ประมาณ 38.2 เมตร 7. ประมาณ 0.7746 เทา

คําตอบกิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง” = = = = = = = =

1 121 12321 1234321 123454321 12345654321 1234567654321 123456787654321

1 11 111 1111 11111 111111 1111111 11111111

คําตอบที่ไดเปนจํานวนที่มีเลขโดดเปน 1 ทั้งหมด โดยจํานวนของ 1 เทากับ เลขโดดที่มากที่สุดของจํานวนที่อยูในเครื่องหมายกรณฑ เชน 1234321 = 1111 มีจํานวนของ 1 เปน 4 ซึ่งเทากับ 4 ที่เปนเลขโดดที่มากที่สุดของ 1 2 3 4 3 2 1

คําตอบกิจกรรม “วางอยางไร” 1. 6

5 8 4 1 3 2. 40 หนวย

18 5. สําหรับกิจกรรม “ตัวปญหา” มีเจตนาสรางเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร ใหนักเรียน ไดฝก ทักษะในการแยกตัวประกอบและไดตรวจสอบความถูกตองของคําตอบดวยการเชือ่ มโยงกับสํานวนไทย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 2.1 1. (x + 3 )(x – 3 ) 3. ( 2 5 + x)( 2 5 – x) 3⎞⎛ 3⎞ ⎛ 5. ⎜ x + 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 7. ⎛⎜ 3 x + 15 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 x − 15 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 9. ( 7 x + 2 6 )( 7 x – 2 6 ) 11. (x + 3 + 10 )(x + 3 – 10 ) 13. ( 5 2 + x – 4)( 5 2 – x + 4) 15. (2x + 3 + 2 6 )(2x + 3 – 2 6 ) 17. (5x – 1 + 4 3 )(5x – 1 – 4 3 )

2. (x + 7 )(x – 7 ) 4. ( 3 2 + x)( 3 2 – x) 5⎞⎛ 5⎞ ⎛ 6. ⎜ x + 6 ⎟ ⎜ x − 6 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 5 5 8. ⎛⎜ 4 x + 2 6 ⎞⎟ ⎛⎜ 4 x − 2 6 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 10. (x – 1 + 6 )(x – 1 – 6 ) 12. (x – 2 + 3 3 )(x – 2 – 3 3 ) 14. ( 4 2 + x + 5)( 4 2 – x – 5) 16. (3x – 2 + 2 13 )(3x – 2 – 2 13 ) 18. ( 6 2 + 4x + 3)( 6 2 – 4x – 3)

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก 1. 3. 5. 7.

(x + 14)(x + 10) (x – 13)(x – 15) (x + 4 + 6 )(x + 4 – 6 ) (x – 3 + 7 )(x – 3 – 7 )

9. (x + 5 + 2 6 )(x + 5 – 2 6 ) ⎛ 9+ 5 ⎞ ⎛ 9− 5 ⎞ 11. ⎜ x + 2 ⎟ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 11 + 5 ⎞ ⎛ 11 − 5 ⎞ 13. ⎜ x + 2 ⎟ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 9 − 33 ⎞ ⎛ 9 + 33 ⎞ 15. ⎜ x − 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2. 4. 6. 8.

(x + 33)(x – 17) (x + 5)(x – 31) (x + 1 + 6 )(x + 1 – 6 ) (x – 1 + 11 )(x – 1 – 11 ) ⎛ 7− 5 ⎞ ⎛ 7+ 5 ⎞ 10. ⎜ x − 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 5 + 33 ⎞ ⎛ 5 − 33 ⎞ 12. ⎜ x + 2 ⎟ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 7 + 13 ⎞ ⎛ 7 − 33 ⎞ 14. ⎜ x + 2 ⎟ ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 15 − 65 ⎞ ⎛ 15 + 65 ⎞ 16. ⎜ x − 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข 1. (x + 7)(3x – 2) 3. (x – 5)(15x – 2) 5. -3(x – 4 + 21 )(x – 4 – 21 ) ⎛ 9 + 93 ⎞ ⎛ 9 − 93 ⎞ 7. 6 ⎜ x + 3 ⎟ ⎜ x + 3 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 1 − 57 ⎞ ⎛ 1 + 57 ⎞ 9. - 2 ⎜ x − 4 ⎟ ⎜ x − 4 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 17 + 129 ⎞ ⎛ 17 − 129 ⎞ 11. 10 ⎜ x + 20 ⎟ ⎜ x + 20 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2. (11x + 1)(x – 13) 4. -2(x + 3 + 11 )(x + 3 – 11 ) ⎛ 5 + 37 ⎞ ⎛ 5 − 37 ⎞ 6. 3 ⎜ x + 6 ⎟ ⎜ x + 6 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 9 + 41 ⎞ ⎛ 9 − 41 ⎞ 8. 4 ⎜ x + 4 ⎟ ⎜ x + 4 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 5 − 13 ⎞ ⎛ 5 + 13 ⎞ 10. - ⎜ x − 2 ⎟ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 13 + 3 17 ⎞ ⎛ 13 − 3 17 ⎞ 12. - 4 ⎜ x + ⎟ ⎜x + 4 ⎟ 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠

คําตอบกิจกรรม “ทําไดเหมือนกัน” 1. (x – 5 )

3. (x + 2 3 )2

1 ⎞2 ⎛ 2. ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎞2 ⎛ 4. ⎜ x − 3 ⎟ ⎝ ⎠

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ก 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15.

(x + 3)(x2 – 3x + 9) (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) (3x + 8y)(9x2 – 24xy + 64y2) (4x – 5)(7x2 – x + 13) (x – 1)(x2 + x + 1) (5y – 4)(25y2 + 20y + 16) (11y – 7z)(121y2 + 77yz + 49z2) (x – 11)(127x2 + 131x + 67)

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16.

(y + 4)(y2 – 4y + 16) (4z + 5)(16z2 – 20z + 25) (x + 7)(x2 – 13x + 103) (7x – 4)(19x2 – 77x + 151) (z – 6)(z2 + 6z + 36) (10 – 6x)(100 + 60x + 36x2) (4x – 2)(16x2 + 44x + 49) (5x – 8)(97x2 – 383x + 379)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ข 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13.

(x2 + 25)(x + 5)(x – 5) (9x2 + 16y2)(3x + 4y)(3x – 4y) (y2 + 2y + 5)(y2 – 2y + 5) (y2 + 6y + 18)(y2 – 6y + 18) (2x + 3)(2x – 3)(4x2 – 6x + 9)(4x2 + 6x + 9) (x2 + 6)(x4 – 6x2 + 36) (8 – y2)(64 + 8y2 + y4)

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

(9y2 + 25)(3y + 5)(3y – 5) (x2 + x + 2)(x2 – x + 2) (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) (y + 1)(y – 1)(y2 – y + 1)(y2 + y + 1) (x + y)(x – y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2) (7x2 + 10z2)(49x4 – 70x2z2 + 100z4) (6x2 – 3y2)(36x4 + 18x2y2 – 9y4)

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 ค 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13.

(x + 1)(x – 1)2 (z – 4)(z2 + 5z + 16) (x + 3)(x2 – 8x + 9) x(x – 3)(x + 2)(x – 2) (2x2 – y + 11)(2x2 – y – 11) (1 + x + y2)(1 – x – y2) (x2 – a + z)(x2 – a – z)

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.

(y + 2)(y – 1)(y2 + y +1) (y – 6)(y2 + 15y + 36) (x + 2y)(6x2 + 4y2) (3x2 + y + 3)(3x2 – y – 3) (3x2 – y + 3)(3x2 – y – 3) (x2 + 2y2 + 5)(x2 – 2y2 – 5) (2x2 – a + y – b)(2x2 – a – y + b)

คําตอบแบบฝกหัด 2.4 1. 1) 40 3) 1 5) -60

2) 3 4) 38 6) 0

2. 1) 121 2) -60 3) 85 4) 0 5) 14 6) 0 3 3. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x – 2x2 – 2x + 121 ดวย x + 2 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว

21 ให P(x) = x3 – 2x2 – 2x + 12 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(-2) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x + 2 P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 2(-2) + 12 = -8 – 8 + 4 + 12 = -16 + 16 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0 นั่นคือ x + 2 หาร x3 – 2x2 – 2x + 12 ไดลงตัว 4. ใชทฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษเหลือที่ไดจากการหาร x4 – 23x2 + 18x + 40 ดวย x – 4 ถาไดเศษเหลือ เปน 0 แสดงวา x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 วิธีทํา ให P(x) = x4 – 23x2 + 18x + 40 จากทฤษฎีบทเศษเหลือ P(4) เปนเศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x – 4 P(4) = 44 – 23(4)2 + 18(4) + 40 = 256 – 368 + 72 + 40 = 368 – 368 = 0 ดังนั้น เศษเหลือเทากับ 0 นั่นคือ x – 4 เปนตัวประกอบของ x4 – 23x2 + 18x + 40 5. 1) (x – 1)(x – 3)(x – 4) 2) (x + 2)(x2 – 4x + 6) 3) (x – 5)(x + 2)(x + 3) 4) (x – 1)2(x + 6) 5) (x + 2)(x + 4)(x – 4) 6) (x – 4)(x2 + 3x + 1) 7) (x – 2)2(x + 3)2 8) (x – 4)(x + 5)(x – 3)2 9) (x – 5)(x + 5)(x + 3)(x – 3) 10) (x + 2)(x + 1)(x – 3)(x + 4)(x – 4) วิธีทํา

คําตอบกิจกรรม “คา k เปนเทาใด” 1. -6 3. -27

2. 59 4. -6

คําตอบกิจกรรม “ตัวปญหา” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3) x2 + 4x + 1 = (x + 2 – 3 )(x + 2 + 3 ) = (9x + 13)(9x – 13) 81x2 – 169 3 27x – 1 = (3x – 1)(9x2 + 3x + 1) x4 + 64 = (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) x2 – 28x + 196 = (x – 14)2 x3 + x2 – x – 1 = (x + 1)2(x – 1) สํานวนนั้นคือ อยาเอาพิมเสนไปแลกกับเกลือ

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 3x2 + x x – 2x2 2x(x – 3) + 3(x – 3) 3(2x – 1)2 + 4(2x – 1) x2 + 4x – 5 2x2 – 5x + 3 a2 – a – 2 a2 + 6a + 9 4x2 – 4x + 1 4y2 – 20y + 25 14y2 + y – 3 p2 – 1 4x2 – 32 12a2 – 27 81 – 49x2 9x2 – 121 (2x – 1)2 – 4 (x – 3)2 – y2

[ x(3x + 1) ] [ x(1 – 2x) ] [ (x – 3)(2x + 3) ] [ (2x – 1)(6x + 1) ] [ (x + 5)(x – 1) ] [ (2x – 3)(x – 1) ] [ (a – 2)(a + 1) ] [ (a + 3)2 ] [ (2x – 1)2 ] [ (2y – 5)2 ] [ (7y – 3)(2y + 1) ] [ (p – 1)(p + 1) ] [ (2x + 3)(2x – 3) ] [ 3(2a – 3)(2a + 3) ] [ (9 – 7x)(9 + 7x) ] [ (3x – 11)(3x + 11) ] [ (2x – 3)(2x + 1) ] [ (x – y – 3)(x + y – 3) ]

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 1. จงเขียนพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ตัวอยาง x2 – 8x – 16 = x2 – 2(x)(4) + 42 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2(4x)(3) + 32 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞2 ⎛ 2 2 9 a + 3a + 4 = a + 2(a) ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 1 ⎛ 2 4 2 4a – 3 a + 9 = (2a) – 2(2a) ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1) 2) 3) 4) 5) 6)

a2 + 6a + 9 y2 – 10y + 25 x2 – 18x + 81 4x2 + 8x + 4 4x2 – 20x + 25 100x2 – 20x + 1

= = = = = =

…………………….. …………………….. …………………….. …………………….. …………………….. ……………………..

y2 + 5y + 25 4

……………………..

a2 – 7a + 49 4

……………………..

1 a2 – 3a + 9 4

……………………..

16 y2 + 8y + 25 = 25

……………………..

10)

[ a2 + 2(a)(3) + 32 ] [ y2 – 2(y)(5) + 52 ] [ x2 – 2(x)(9) + 92 ] [ (2x)2 + 2(2x)(2) + 22 ] [ (2x)2 – 2(2x)(5) + 52 ] [ (10x)2 – 2(10x) + 12 ] 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞2 ⎛ 2 [ y + 2(y) ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ] ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞2 ⎛ 2 [ a – 2(a) ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ] ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ [ ⎜ 2 a ⎟ – 2 ⎜ 2 a ⎟ (3) + 32] ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 ⎞2 ⎛ 4 ⎞ ⎛ [ ⎜ 5 y ⎟ + 2 ⎜ 5 y ⎟ (5) + 52 ] ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

26 2. จงเติมพจนในชองวางเพื่อทําใหพหุนามตอไปนี้เปนพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ แลวแยกตัวประกอบ = (x + 3)2 ตัวอยาง x2 + 6x + 9 x2 – 14x + 49 = (x – 7)2 5 ⎞2 ⎛ 2 25 a + 5a + 4 = ⎜ a + 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1) 2) 3) 4) 5) 6)

x2 + ……….. + 25 4x2 – ……….. + 1 9x2 – 24x + ……….. 9x2 + ……….. + 25 ……….. + 6a + 1 64y2 – 80y + ………..

= = = = = =

…………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ……………………

7) x2 + ……….. + 14

……………………

8) y2 – 3x + ………..

……………………

9) 64y2 ……….. + 161

……………………

10) 25x2 + 15x + ……….. =

……………………

[ 10x, (x + 5)2 ] [ 4x, (2x – 1)2 ] [ 16, (3x – 4)2 ] [ 30x, (3x + 5)2 ] [ 9a2, (3a + 1)2 ] [ 25, (8y – 5)2 ] 1 ⎞2 ⎛ [ x, ⎜ x + 2 ⎟ ] ⎝ ⎠ 9 ⎛ 3 ⎞2 [ 4, ⎜y−2⎟ ] ⎝ ⎠ 1 ⎞2 ⎛ [ 4y, ⎜ 8y + 4 ⎟ ] ⎝ ⎠ 3 ⎛ 3 ⎞2 [ 2 , ⎜ 5x + 2 ⎟ ] ⎝ ⎠

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ก กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b3) โดยใช ปริมาตร ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย (ให b ∠ a) กลองที่ 3 ขนาดกวาง b หนวย ยาว b หนวย และ สูง a หนวย กลองที่ 4 ขนาดกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย และ สูง a หนวย กลองที่ 5 ขนาดกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย และ สูง a หนวย ตัวอยาง

a 1

b b

a–b

b b

a a–b

28 2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ] ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ] ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ ab2 ] ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ] ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ] 3. นํากลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบเปนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูง a หนวย ดังรูป ก แลวใหนักเรียนสังเกตวา ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก นี้มีปริมาตรเทากับปริมาตรของ กลองที่ 1 หรือไม [เทากัน] 5

รูป ก

a 3 b

a–b

a 1

a–b

4. ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 1 และกลองที่ 2 เทากับเทาใด [ a3 + b3 ] 5. นํากลองที่ 2 วางซอนบนกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก ในขอ 3 จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ดังรูป ข 5

b 2 รูป ข

a 3

a–b

29 6. จากรูปเรขาคณิตสามมิติรูป ข ใหนักเรียนดึงกลองที่ 4 ออก แลวนําไปวางซอนดานบนของ กลองที่ 5 ใหไดดังรูป ค 5

a a 3

4 a

b b a–b

a–b

a–b 4

b 2 รูป ค

a 3

a–b

b b a–b

[a3 + b3]

7. ปริซึมรูป ค มีปริมาตรเทาใด 4

b 2 รูป ค

a 3

b b a–b

a a–b

30 8. จากกิจกรรมในขอ 4 ขอ 6 และขอ 7 นักเรียนสามารถหาความสัมพันธของปริมาตรของรูปเรขาคณิต สามมิติในขอ 4 และขอ 7 เปน a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) ไดหรือไม ถาได จงแสดงวิธีทํา ได ดังแนวคิดตอไปนี้ 4

a b

b 2 a 1

b b

a 3

b b a–b

a a–b

ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 3 = b2(a + b) ลูกบาศกหนวย ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 4 และปริมาตรของกลองที่ 5 = a(a – b)(a + b) ลูกบาศกหนวย เนื่องจาก ในขอ 3 ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับปริมาตร ของกลองที่ 1 จะได ผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 เทากับ ผลบวกปริมาตรของกลองที่ 2 และปริมาตรของกลองที่ 1 ดังนั้น b2(a + b) + a(a – b)(a + b) = b3 + a3 นั่นคือ a3 + b3 = (a + b)[b2 + a(a – b)] = (a + b)(a2 – ab + b2)

กิจกรรมเสนอแนะ 2.3 ข กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนเห็นวา a3 – b3 = (a – b)(a2+ ab + b2) โดยใช ปริมาตร ใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามตอไปนี้ 1. สรางกลองกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก 5 กลอง ขนาดตาง ๆ กันดังนี้ กลองที่ 1 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ a หนวย กลองที่ 2 ขนาดกวาง ยาวและสูง ดานละ b หนวย ให b < a กลองที่ 3 ฐานยาวดานละ a หนวย สูง a – b หนวย กลองที่ 4 ฐานกวาง a – b หนวย ยาว a หนวย สูง b หนวย กลองที่ 5 ฐานกวาง b หนวย ยาว a – b หนวย สูง b หนวย

a–b

b 4

a–b

b 5

a–b

2. ใหนักเรียนหาปริมาตรของกลองแตละใบแลวเขียนคําตอบเติมในชองวางตอไปนี้ ปริมาตรของกลองที่ 1 เทากับ .................................... [ a3 ] ปริมาตรของกลองที่ 2 เทากับ .................................... [ b3 ] ปริมาตรของกลองที่ 3 เทากับ .................................... [ a2(a – b) ] ปริมาตรของกลองที่ 4 เทากับ .................................... [ ab(a – b) ] ปริมาตรของกลองที่ 5 เทากับ .................................... [ b2(a – b) ]

32 3. นํากลองที่ 2 กลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 มาประกอบกันเปนกลองทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป ก นักเรียนคิดวา ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก มีปริมาตรเทากับปริมาตรของกลองที่ 1 หรือไม [เทากัน] 5

รูป ก

a–b

a 4. จากทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ก ใหนักเรียนยกกลองที่ 2 ออกดังรูป จะไดรูปเรขาคณิตสามมิติ ที่มีปริมาตรเทากับ a3 – b3 ใชหรือไม [ใช] a–b 4

b 5

b a–b

b b

5. ใหนักเรียนหาผลบวกของปริมาตรของกลองที่ 3 กลองที่ 4 และกลองที่ 5 [ a2(a – b) + ab(a – b) + b2(a – b) ] 6. ผลบวกของปริมาตรที่ไดในขอ 5 นักเรียนสามารถเขียนใหอยูในรูปการคูณของพหุนามสองพหุนาม ไดหรือไม ถาได เขียนไดเปนอยางไร [ได และเขียนไดเปน (a – b)(a2 + ab + b2) ] 7. จากผลที่ไดในขอ 4 และขอ 6 มีความสัมพันธกันอยางไร [ a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ]

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 3.1 1. 1) 0 และ 3

3) 1 5) 23 7) - 25 9) 43 11) - 23 13) 53 15) 73 1)

และ 3 และ -1 และ 13 และ -2 และ -1

2) 0 และ 25 4) ไมมีคําตอบ 6) 25 8) 35 และ - 25 10) - 41 12) 53 และ 1 14) ไมมีคําตอบ

และ 8

6 และ - 6

16) 43 และ 1 2)

17 และ - 17

3) 6 และ -6

4) ไมมีคําตอบ

5) 2 + 60 และ 2 – 60

6) ไมมีคําตอบ

7) 23 และ - 92 9) 2 + 5 10 และ 2 − 5 10 11) 2 และ - 43 13) 112 และ 4

8) 4 − 33 2 และ 4 + 33 2 10) 1 และ - 73 12) - 23 และ - 14

15) ไมมีคําตอบ

16) 29

14) ไมมีคําตอบ

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก 1. 3 + 10 และ 3 − 10

2. - 4 + 10 และ - 4 − 10

3. ไมมีคําตอบ

4. - 3 +2 29 และ - 3 − 2 29 6. ไมมีคําตอบ

7. 2 +3 7 และ 2 −3 7 33 9. - 2 + 33 2 และ - 2 − 2 11. - 9 +4 33 และ - 9 −4 33 13. 43 และ 12 15. 7 + 6 89 และ 7 − 6 89

8. ไมมีคําตอบ 10. 45 และ - 23 12. ไมมีคําตอบ 14. - 210 16. 0 และ 83 18. - 2 +13 30 และ - 2 −13 30 20. - 1 +2 33 และ - 1 − 2 33

17. 3 และ -1 19. 7 + 2 57 และ 7 − 2 57

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม” 1. 2. 3. 4.

-12 และ 12 16 25 2 และ 18

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข 1. 1) 3) 5) 7)

มีคําตอบ สองคําตอบ ไมมีคําตอบ มีคําตอบ สองคําตอบ มีคําตอบ สองคําตอบ

2) 4) 6) 8)

มีคําตอบ สองคําตอบ มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ ไมมีคําตอบ มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ

40 9) ไมมีคําตอบ

10) มีคําตอบ หนึ่งคําตอบ

2. 1) 1 และ 11

2) -2 และ 5

3) -2 + 3 และ -2 – 3 5) 72 และ -2 7) 17 9) 7 + 4 17 และ 7 − 4 17 1) 1 +2 7 และ 1 − 2 7 3) 1 + 4 33 และ 1 − 4 33 5) 0 และ 14 7) 7 และ - 134 9) -4 และ 5

4) ไมมีคําตอบ 6) 23 และ 15 8) 7 + 6 13 และ 7 − 6 13 10) - 2 +52 6 และ - 2 − 52 6 2) 1 + 5 และ 1 – 5 4) ไมมีคําตอบ 6) 0 8) 3 +4 5 และ 3 −4 5 10) 10 17 และ -2

คําตอบกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” 1. - ba 2. ac ผลบวกของคําตอบของสมการเทากับ - ba และผลคูณของ คําตอบของสมการเทากับ ac

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 1. กวาง 12 เมตร ยาว 15 เมตร 2. AB = 12 เซนติเมตร BC = 5 เซนติเมตร

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

AC = 13 เซนติเมตร ความยาวของฐาน BC = 8 เซนติเมตร 25 และ 27 กวาง 8 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตร และสูง 6 เซนติเมตร 4 เซนติเมตร กวาง 5 เซนติเมตร ยาว 11 เซนติเมตร หรือกวาง 5.5 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีขนาดยาวดานละ 6 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก PQRS มีขนาดกวาง 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร 50 แถว และแถวละ 40 ตน 49 ตารางวา และ 121 ตารางวา

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ก กิจกรรมนี้ใชเสริมกิจกรรม “เกี่ยวของกันอยางไร” ในหนังสือเรียน หนา 82 นักเรียนทราบมาแลววาถา r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 แลว r1 + r2 = - ba r1 ⋅ r2 = ac ความสัมพันธของคําตอบของสมการดังกลาวสามารถนํามาแกปญหาได เชน ตัวอยาง

จงหาคา k จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 1) kx2 – 2x + 7 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 25 2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 23

วิธีทํา

1) kx2 – 2x + 7 = 0 เนื่องจาก r1 + r2 = 25 จะได - ba = 25 - (-2) = 2 ดังนั้น k 5 นั่นคือ ตอบ 5

= 5

2) 4x2 – 11x + (k – 3) = 0

เนื่องจาก r1 ⋅ r2 = 23 c 3 จะได a = 2 k−3 = 3 ดังนั้น 4 2

นั่นคือ ตอบ 9

k–3 = 6 k = 9

44 จงหาคา p จากสมการและสิ่งที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 1. 3px2 – 5x – p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 5 2. 2py2 + 4y – 6p = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 43 3. 5m2 – (p + 1)m – 2 = 0 และผลบวกของคําตอบของสมการเปน 35 4. 6x2 + x – 3p = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน - 23 5. px2 – 6x – 1 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน - 15 6. 23 px2 + 2px – 4 = 0 และผลคูณของคําตอบของสมการเปน 6

⎡1⎤ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎡- 3 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ [2]

[3] [5] [-1]

กิจกรรมเสนอแนะ 3.2 ข กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําสูตรการหาคําตอบของสมการกําลังสองมาใชในการ แยกตัวประกอบพหุนามที่อยูในรูป ax2 + bx + c

สูตรชวยได a

≠

นักเรียนเคยหาคําตอบของสมการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ 0 ไดจากสูตร 2 b ± b − 4ac 2 เมื อ ่ b – 4ac > 0 x = 2a เราสามารถอาศัยสูตรนี้ชวยในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c

2 b + b − 4ac เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b – 4ac > 0 และ a ≠ 0 ได โดยกําหนดให r1 = 2a 2 และ r2 = - b − 2ab − 4ac สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะไดเปน ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2) 2

คําอธิบายเพิ่มเติมสําหรับครู พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ b2 – 4ac > 0 และ a ≠ 0 โดยใชวิธีทําเปนกําลังสองสมบูรณไดดังนี้ b c = a ⎡x 2 + a x + a ⎤ ax2 + bx + c ⎢⎣ ⎥⎦ =

2 2 ⎡⎧ 2 b ⎛ b ⎞ ⎫ ⎛ b ⎞ c ⎤ a ⎢ ⎨x + a x + ⎜ 2a ⎟ ⎬ − ⎜ 2a ⎟ + a ⎥ ⎝ ⎠ ⎭ ⎝ ⎠ ⎣⎩ ⎦

2 ⎡⎛ b ⎞ a ⎢⎜ x + 2a ⎟ ⎠ ⎣⎝

−

b 2 − 4ac ⎤ 4a 2 ⎥⎦

ถา b2 – 4ac > 0 ⎡⎛ b ⎞ 2 2 จะได ax + bx + c = a ⎢⎜ x + 2a ⎟ ⎠ ⎢⎣⎝

⎛ b 2 − 4ac ⎞ −⎜ ⎜ 2a ⎟⎟ ⎝ ⎠

⎤ ⎥ ⎥⎦

กําหนด

⎡⎛ b ⎞ ⎢⎜⎝ x + 2a ⎟⎠ + ⎣

⎡⎛ b ⎞ b 2 − 4ac ⎤ a ⎢⎜ x + 2a ⎟ − 2a ⎥ ⎠ ⎦ ⎣⎝

⎡ b − b 2 − 4ac ⎤ ⎡ b + b 2 − 4ac ⎤ a ⎢x + ⎥ ⎥ ⎢x + 2a 2a ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

⎡ - b + b 2 − 4ac ⎤ a ⎢x − ⎥ 2a ⎣ ⎦

r1 =

- b + b 2 − 4ac 2a

b 2 − 4ac ⎤ 2a ⎥ ⎦

⎡ - b − b 2 − 4ac ⎤ ⎢x − ⎥ 2a ⎦ ⎣

และ r2 =

- b − b 2 − 4ac 2a

ดังนั้น จะสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสูตรไดดังนี้ ax2 + bx + c = a(x – r1)(x – r2) เมื่อ r1 และ r2 เปนคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 ตัวอยาง

จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ 1) 2x2 – 3x + 1 2) 30x2 + 7x – 18 3) 3x2 – 2x – 4

วิธีทํา 1) 2x2 – 3x + 1 2 b ± b − 4ac จากสูตร x = 2a

ในที่นี้

a = 2, b = -3 และ c = 2

- ( -3) ± (-3) 2 − 4(2)(1) 2(2) = 3 ±4 1 นั่นคือ r1 = 1 หรือ r2 = 12 1 ดังนั้น 2x2 – 3x + 1 = 2(x – 1) ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ หรือ = (x – 1)(2x – 1)

จะได

x =

ลองตรวจสอบดูซิวา เปนจริงหรือไม

47 2) 30x2 + 7x – 18 2 จากสูตร x = - b ± 2ab − 4ac

ในที่นี้

a = 30, b = 7 และ c = -18

- 7 ± 7 2 − 4(30)(-18) จะได x = 2(30) ± 47 = - 7 60 นั่นคือ r1 = 23 หรือ r2 = - 109 2 9 ดังนั้น 30x2 + 7x – 18 = 30 ⎡x − 3 ⎤ ⎡⎢x − ⎛⎜ - 10 ⎞⎟⎤⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 2 9 = 3 ⎛⎜ x − 3 ⎞⎟ 10 ⎛⎜ x + 10 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= (3x – 2)(10x + 9) 3) 3x2 – 2x – 4 2 ± b − 4ac b จากสูตร x = 2a

ในที่นี้

a = 3, b = -2 และ c = -4

จะได

- ( -2 ) ± (-2) 2 − 4(3)(-4) x = 2(3)

= 2 ± 6 52 = 1 ± 3 13 นั่นคือ r1 = 1 + 3 13 หรือ r2 = 1 − 3 13 ดังนั้น 3x2 – 2x – 4 = 3 ⎡x − ⎛⎜ 1 + 3 13 ⎞⎟⎤ ⎡x − ⎛⎜ 1 − 3 13 ⎞⎟⎤ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ =

[3x − (1 +

13 )] ⎡x − ⎛⎜ 1 − 3 13 ⎞⎟⎤ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

48 ใหนักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามตอไปนี้ [(x + 6)(2x – 1)] 1. 2x + 11x – 6 2. 5x2 – 8x – 4 [(5x + 2)(x – 2)] ⎡ ⎛ 2 + 7 ⎞⎛ 2 − 7 ⎞ ⎤ 3. 3m2 – 4m – 1 ⎢3 ⎜ x − 3 ⎟⎜ x − 3 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ 3 + 14 ⎞⎛ 3 − 14 ⎞ ⎤ 4. 5y2 – 6y – 1 ⎢5 ⎜ x − 5 ⎟⎜ x − 5 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ 5 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎤ x − 3 ⎟⎥ 5. 24x2 + 7x – 5 ⎢⎣ 24 ⎜⎝ x + 8 ⎟⎜ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎡ ⎛ 9 + 33 ⎞⎛ 9 − 33 ⎞ ⎤ 6. 2x2 + 9x + 6 ⎢ 2 ⎜ x + 4 ⎟⎜ x + 4 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ 6 + 33 ⎞⎛ 6 − 33 ⎞ ⎤ 7. 3x2 + 12x + 1 ⎢ 3 ⎜ x + 3 ⎟⎜ x + 3 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ 1 + 2 ⎞⎛ 1 − 2 ⎞ ⎤ 8. 25x2 – 10x – 1 ⎢ 25 ⎜ x − 5 ⎟⎜ x − 5 ⎟ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 3.3 1. จํานวนสองจํานวนตางกันอยู 5 ถาผลคูณของทั้งสองจํานวนมากกวาสามเทาของผลบวกของทั้งสอง 11 − 65 1 − 65 ⎤ ⎡ 11 + 65 1 + 65 จํานวนอยู 1 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น ⎢ 2 , 2 หรือ 2 , 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานฐานยาวกวาความสูงอยู 3 เซนติเมตร ถาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเทากับ 120 ตารางเซนติเมตร ดานฐานของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวเทาไร [ประมาณ 17.06 เซนติเมตร] 3. ดินสอแทงหนึ่งยาว 7 นิ้ว ใสลงในกระปองทรงกระบอกรัศมี 2 นิ้ว ความสูงของกระปองเทากับ ความยาวของดินสอพอดี ถาเลื่อนดินสอใหปลายขางหนึ่งชนกับขอบกระปองดานในที่อยูตรงขาม ดังรูป ดินสอจะเลื่อนลงจากขอบกระปองเปนระยะทางเทาไร [ประมาณ 1.26 นิ้ว]

7 นิ้ว

4. ลุงพรมีที่ดินเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาอยูติดริมคลองสองดาน วัดความยาวรอบที่ดินได 74 เมตร ที่ดินกวาง 10 เมตร ดานที่ติดคลองลุงพรปลูกผักไว ทําใหเหลือเนื้อที่ตรงกลางเพียง 205 ตาราง เมตร ดังรูป จงหาความกวางของแปลงผัก [ประมาณ 1.85 เมตร]

คลอง

205 ตารางเมตร

ปลูกผัก

10 เมตร

ปลูกผัก

57 3. แบบฝกหัด 4.5 ขอ 2 ขอยอย 4) เปนคําถามทิ้งทายใหนักเรียนหาจุดตัดของกราฟบนแกน X ถาครู เห็นสมควรที่จะเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยใชกราฟพาราโบลา ครูอาจให ความรูเพิ่มเติมโดยใชกิจกรรมเสนอแนะ 4.5 ก็ได 4. สําหรับกิจกรรม “จานพาราโบลา” และ “สะพานแขวน” ตองการใหนักเรียนเห็นการนําความรู เกีย่ วกับพาราโบลาไปใชในชีวติ จริง เปนการเชือ่ มโยงสาระคณิตศาสตรกบั ศาสตรอนื่ ครูอาจใหนกั เรียนยกตัวอยาง สิ่งตาง ๆ ที่อยูรอบตัวที่ใชประโยชนของพาราโบลาเพิ่มเติมอีกก็ได 5. สําหรับกิจกรรม “สูงแคไหน” และ “หาไดอยางไร” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเกี่ยวกับพาราโบ ลาไปใชแกปญหา ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาการหาคําตอบในกิจกรรมทั้งสองนี้ นักเรียนจะตองเขียนสมการที่ กําหนดให ใหอยูในรูปสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0 กอน จะทําใหเห็นจุดสูงสุดของกราฟและชวยให ตอบคําถามอื่น ๆ ไดงายขึ้น

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” สมการเชิงเสนและมีกราฟเปนเสนตรง

คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม” 1. 1) a = 1, 2) a = -2, 3) a = 1, 4) a = - 12 , 5) a = 1 , 6) a = -1,

b = 1 และ c = -6 b = 0 และ c = 0 b = 0 และ c = 9 b = 2 และ c = 0 b = 6 และ c = 9 b = -1 และ c = - 41

2. 1) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 0 และ c = 0 2) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

58 3) เปนสมการของพาราโบลา เพราะอยูในรูป y = ax2 + bx + c โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = -1 4) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = 1, b = 2 และ c = 1 5) เปนสมการของพาราโบลา เพราะสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a = -1, b = -2 และ c = -6 6) ไมเปนสมการของพาราโบลา เพราะไมสามารถจัดใหอยูในรูป y = ax2 + bx + c ได โดยที่ a ≠ 0

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = x2” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

พาราโบลาหงาย 16 16 3 หรือ -3 เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 0 มีคาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 0 ไดมาจากคา x เปน 0 ไมมี เพราะคา y เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ไมสิ้นสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a > 0” 1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานมาก แตถา a มีคามากกราฟจะบานนอย

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = -x2” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

พาราโบลาคว่ํา -9 -9 4 หรือ -4 เปนรูปสมมาตร มีเสนตรง x = 0 หรือแกน Y เปนแกนสมมาตร มีคาลดลงเรื่อย ๆ 0 มีคาลดลงเรื่อย ๆ 0 ไดมาจากคา x เปน 0 ไมมี เพราะคา y ลดลงเรื่อย ๆ ไมสิ้นสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2, a < 0” 1. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2. จุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0 3. คา a กลาวคือ ถา a มีคานอยกราฟจะบานนอย แตถา a มีคามากกราฟจะบานมาก

คําตอบกิจกรรม “ภาพสะทอน” เปนภาพสะทอนซึ่งกันและกัน โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน

คําตอบแบบฝกหัด 4.2 1. 1) x y = 14 x 2

-3 9 4

-2 1

-1 1 4

0 0

1 1 4

2 1

3 9 4

Y 6 4 2 -4

-6

-2 0 -2

-4 2) x y = 23 x 2

-3 27 2

-2 6

-1 3 2

0 0

1 3 2

2 6

Y 6 4 2 -6

-4

-2 0 -2 -4

3 27 2

61 3) x

-3 -6

y = - 23 x 2

-2 - 83

-1 - 23

0 0

1 - 23

2 - 83

3 -6

Y 4 2 -6

-2

-4

0 -2

-4 -6 4) x y = - 43 x 2

-3 -12

-2 - 163

-1 - 43

0 0

1 - 43

2 - 163

3 -12

Y -8

-6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

62 2. x y = 3x2 y = 13 x 2

-2 12 4 3

-1 3 1 3

0 0 0

1 3 1 3

2 12 4 3

Y 6 4 2 -6

-4

-2 0 -2

-4 1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 3. x y = -4x2 y = - 14 x 2

-2 -16 -1

-1 -4 - 14

0 0 0

1 -4 - 14

2 -16 -1

Y 4 2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

63 1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 4. x y = 25 x 2 y = - 53 x 2

-2 10 - 203

-1 5 2 - 53

0 0

1 5 2 - 53

2 10 - 203

Y 4 2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

1) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 2) จุด (0, 0) ทั้งสองกราฟ 3) 0 ทั้งสองสมการ 5. 1) พาราโบลาหงาย พิจารณาไดจากคา a ซึ่ง a > 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดต่ําสุด 6. 1) พาราโบลาคว่ํา พิจารณาไดจากคา a ซึ่ง a < 0 2) เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3) จุด (0, 0) เปนจุดสูงสุด

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a > 0” 1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดต่าํ สุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาต่ําสุดของ y เปน 2 จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) และคาต่ําสุดของ y เปน 0 จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 คือจุด (0, -2) และคาต่ําสุดของ y เปน -2 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = 2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

คําตอบกิจกรรม “กราฟของ y = ax2 + k, a < 0” 1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 0 หรือแกน Y 3. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, 2) และคาสูงสุดของ y เปน 2 จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 คือจุด (0, 0) และคาสูงสุดของ y เปน 0 จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 คือจุด (0, -2) และคาสูงสุดของ y เปน -2 4. จุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 + 2 อยูเหนือแกน X และจุดสูงสุดของกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนว แกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย และกราฟของสมการ y = -2x2 – 2 เปนภาพที่ไดจาก การเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.3 1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 5x2 + 4 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, 4)

65 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 5x2 + 4 ไดดังนี้ x y = 5x2 + 4

0 4

1 9

2 24

Y 12 10 8 6 4 2 -8

-6

-4

-2 0

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3x2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, -2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3x2 – 2 ไดดังนี้ x y = -3x2 – 2

0 -2

1 -5

2 -14

Y -8

-4

-6

-2

0 -2

-4 -6 -8 -10 -12 3) พิจารณากราฟของสมการ y = - 13 x 2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (0, 2) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = - 13 x 2 + 2 ไดดังนี้ x y = - 13 x 2

0 2

1 5 3

2 2 3

Y 4 2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

67 4) พิจารณากราฟของสมการ y = 14 x 2 - 1 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (0, -1) 3. แกน Y เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 14 x 2 - 1 ไดดังนี้ x y = 14 x 2 - 1

0 -1

1 - 43

2 0

Y 4 2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

2. c1 เปนกราฟของสมการ y = 13 x 2 − 5 c2 เปนกราฟของสมการ y = 3x2 – 5 c3 เปนกราฟของสมการ y = -x2 + 1 c4 เปนกราฟของสมการ y = - 41 x 2 + 1

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2” 1. ทับกันไดสนิท 2. กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 มีเสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2x2 มีเสนตรง x = 0 เปนแกนสมมาตร กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 คือจุด (0, -1) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2x2 คือจุด (0, 0) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (0, 1) 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 อยูทางขวาของแกน Y 5. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 อยูทางซายของแกน Y 6. กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = 2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = 2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย 7. กราฟของสมการ y = -2x2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 0) 2 กราฟของสมการ y = -2(x – 1) มีจุดสูงสุดคือจุด (0, 1) กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 มีจุดสูงสุดคือจุด (0, -1) 8. กราฟของสมการ y = -2(x – 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 1 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2x2 ตามแนวแกน X ไปทางซาย 1 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ก 1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-1, 0) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร

69 เขียนกราฟของสมการ y = (x + 1)2 ไดดังนี้ x y = (x + 1)2

-1 0

0 1

1 4

Y 8 6 4 2 -6

-4

-2 0

2) พิจารณากราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (1, 0) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -3(x – 1)2 ไดดังนี้ x y = -3(x – 1)2

1 0

2 -3

3 -12

70 Y -8

-4

-6

-2 0 -2

-4 -6 -8 -10 -12 3) พิจารณากราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 0) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -4(x + 2)2 ไดดังนี้ x y = -4(x + 2)2

-2 0

-1 -4

0 -16

Y -8

-6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12

71 4) พิจารณากราฟของสมการ y = (x – 3)2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (3, 0) 3. เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = (x – 3)2 ไดดังนี้ x y = (x – 3)2

3 0

4 1

5 4

Y 8 6 4 2 -6

-4

-2 0

2. c1 c2 c3 c4

เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ

y y y y

= = = =

(x + 5)2 (x – 1)2 (x + 3)2 (x – 2)2

คําตอบกิจกรรม “กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k” 1. ทับกันไดสนิท 2. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 3. จุดต่าํ สุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 คือจุด (1, 2) จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 คือจุด (1, 0) 2 จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1) – 2 คือจุด (1, -2)

72 4. จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 อยูเหนือแกน X จุดต่ําสุดของกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 – 2 อยูใตแกน X 5. กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k > 0 และลงมาใตแกน X เปนระยะ k หนวย เมื่อ k < 0 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 0) 6. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 2 กราฟของสมการ y = -2(x – 3) + 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, 2) กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 มีจุดสูงสุดคือจุด (3, -2) 7. กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 + 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ขึ้นไปเหนือแกน X เปนระยะ 2 หนวย กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 – 2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 ตามแนวแกน Y ลงมาใตแกน X เปนระยะ 2 หนวย

แบบฝกหัด 4.4 ข 1. 1) พิจารณากราฟของสมการ y = 13 (x – 1)2 – 2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (1, -2) 3. เสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 13 (x – 1)2 – 2 ไดดังนี้ x y = 13 (x – 1)2 – 2

1 -2

2 - 53

3 - 23

73 Y 4 2 -8

-4

-6

-2 0 -2

-4 2) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, -3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 – 3 ไดดังนี้ x y = -(x + 1)2 – 3

-1 -3

0 -4

1 -7

Y -8

-6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12

74 3) พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-1, 3) 3. เสนตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -(x + 1)2 + 3 ไดดังนี้ x y = -(x + 1)2 + 3

-1 3

0 2

1 -1

Y 2 -8

-4

-6

-2 0 -2

-4 -6 -8 -10 4) พิจารณากราฟของสมการ y = 15 (x + 2)2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = 15 (x + 2)2 + 2 ไดดังนี้ x y = 15 (x + 2)2 + 2

-2 2

-1 11 5

0 14 5

75 Y 6 4 2 -6

-4

-2 0

2. c1 c2 c3 c4

เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ เปนกราฟของสมการ

y y y y

= = = =

(x + 4)2 – 1 (x + 2)2 -(x – 4)2 -(x – 6)2 – 1

3. 1) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = 2 เปนเสนสะทอน 2) แสดงการสะทอน มีเสนตรง y = -1 เปนเสนสะทอน 3) แสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 ลงมาตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย หรือ กราฟของสมการ y = (x – 2)2 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x – 2)2 – 5 ขึ้นไปตามแนวเสนตรง x = 2 เปนระยะ 5 หนวย 4) แสดงการสะทอนหรือการเลื่อนขนาน ในกรณีแสดงการสะทอน มีแกน Y = 0 เปนเสนสะทอน ในกรณีแสดงการเลื่อนขนาน กราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ของกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 ไปทางซายมือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย หรือกราฟของสมการ y = (x – 4)2 + 1 เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานของกราฟของสมการ y = (x + 4)2 + 1 ไปทางขวามือตามแนวเสนตรง y = 1 เปนระยะ 8 หนวย

แบบฝกหัด 4.5 1. 1) สมการ y = x2 + 6x + 8 เขียนไดเปน y = (x + 3)2 – 1 พิจารณากราฟของสมการ y = (x + 3)2 – 1

76 1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย 2. จุดต่ําสุดคือ จุด (-3, -1) 3. เสนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8 ไดดังนี้ x y = (x + 3)2 – 1

-3 -1

-2 0

-1 3

Y 10 8 6 4 2 -8

-6

-4

-2

0 -2

2) สมการ y = -x2 – 4x – 2 เขียนไดเปน y = -(x + 2)2 + 2 พิจารณากราฟของสมการ y = -(x + 2)2 + 2 1. กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2. จุดสูงสุดคือ จุด (-2, 2) 3. เสนตรง x = -2 เปนแกนสมมาตร 4. หาจุดตาง ๆ ที่อยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร เขียนกราฟของสมการ y = -x2 – 4x – 2 ไดดังนี้ x y = -(x + 2)2 + 2

-2 2

-1 1

0 -2

77 Y 2 -8

-6

-4

-2 0 -2

5 ⎞2 4 ⎟⎠

−

-4 -6 -8 -10 2. สมการ y = 2x + 5x – 2 เขียนไดเปน y = 2 ⎛⎜ x + ⎝ 1) กราฟเปนพาราโบลาหงาย 5 41 2) จุดต่ําสุดของกราฟคือจุด ⎛⎜ - 4 , - 8 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 3) เสนตรง x = - 45 เปนแกนสมมาตร 2

41 8

⎛ - 5 + 41 ⎞ ⎛ - 5 − 41 ⎞ 4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ⎜ 4 , 0 ⎟ และจุด ⎜ 4 , 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

สมการ y = -x2 + 6x – 4 เขียนไดเปน y = -(x – 3)2 + 5 1) กราฟเปนพาราโบลาคว่ํา 2) จุดสูงสุดของกราฟคือจุด (3, 5) 3) เสนตรง x = 3 เปนแกนสมมาตร 4) กราฟตัดแกน X ที่จุด ( 3 + 20, 0 ) และจุด ( 3 − 20, 0 )

คําตอบกิจกรรม “จานพาราโบลา” ควรวางอุปกรณรับความรอนไวที่โฟกัส

คําตอบกิจกรรม “สูงแคไหน” 1. 8 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 64 เมตร 2. 63 เมตร 3. ประมาณ 3.1 วินาที และ 12.9 วินาที คําตอบแบบฝกหัด 1. 5 เมตร 2. 5 วินาที และขึ้นไปไดสูงสุด 50 เมตร 3. ประมาณ 10.27 วินาที

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร” 1. ขอบเขตที่ดินมีลักษณะเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 25 × 25 เมตร2 2. ขนาด 15.5 × 15.5 เมตร2 p p 3. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาด 4 × 4 หนวย2 4. ขนาด 50 × 100 เมตร2 และไดพื้นที่ 5,000 ตารางเมตร

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

กิจกรรมเสนอแนะ 4.5 กิจกรรมนี้มีเจตนาเชื่อมโยงความรูเรื่องสมการกําลังสองกับพาราโบลา เพื่อใหเห็นวิธีการหาคํา ตอบของสมการกําลังสองจากกราฟพาราโบลากับแกน X

แนวการจัดกิจกรรม ครูใชคําถามและยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นความสัมพันธของคําตอบของสมการกําลังสอง โดยพิจารณา จากจุดตัดของกราฟพาราโบลากับเสนตรง y = 0 หรือแกน X โดยใชคําถามตอเนื่องดังนี้ 1. ถากําหนดสมการของกราฟพาราโบลาเปน y = 2x2 – 4x นักเรียนคิดวา y เทากับเทาใด จึงจะทํา ให 2x2 – 4x = 0 [y = 0] 2. ถาสมการกําลังสองเปน 2x2 – 4x = 0 จํานวนใดเปนคําตอบของสมการนี้ [0 และ 2] 3. เสนตรง y = 0 เปนเสนตรงเดียวกันกับแกน X ใชหรือไม [ใช] 4. ใหนักเรียนพิจารณากราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 – 4x กับเสนตรง y = 0 หรือแกน X แลวตอบคําถามตอไปนี้ Y 10 8 y = 2x2 – 4x

6 4 2 -6

-4

-2

-2 1) กราฟทั้งสองตัดกันที่จุดใด [(0, 0) และ (2, 0)] 2) คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟทั้งสองคือจํานวนใด

[0 และ 2]

y=0

81 3) คา x ที่ไดในขอ 2) กับคําตอบของสมการ 2x2 – 4x = 0 สัมพันธกันอยางไร [เปนจํานวนเดียวกัน] 4) นักเรียนสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสมการเปน 2x2 – 4x = 0 ไดโดยหาจุดตัด ของกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = 2x2 + 4x กับแกน X ใชหรือไม [ใช] 5. ครูใหความรูกับนักเรียนวาโดยทั่วไป เราสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองที่อยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ไดโดยพิจารณาที่คา x ในพิกัดของจุดตัดของกราฟ ของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 กับกราฟของเสนตรง y = 0 หรือ แกน X 6. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเห็นการหาคําตอบของสมการกําลังสองที่มีสองคําตอบ หนึ่งคําตอบและไมมีคําตอบ โดยพิจารณาจากกราฟพาราโบลากับแกน X ดังตัวอยางตอไปนี้ Y

y = x2 – 4x + 7

8 6 4

y = x2 – 2x – 3

2 -8

-6

-4

-2

0 -2

8 X

-4 -6 y = -x2 – 4x – 4

-8

จากกราฟขางตนจะสามารถหาคําตอบของสมการกําลังสองไดดังนี้ เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 2x – 3 ตัดแกน X สองจุด คําตอบของสมการ x2 – 2x – 3 = 0 จึงมี 2 คําตอบ คือ -1 และ 3 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = -x2 – 4x – 4 ตัดแกน X หนึ่งจุด คําตอบของสมการ -x2 – 4x – 4 = 0 จึงมีคําตอบเดียว คือ -2 เนื่องจากกราฟพาราโบลาที่มีสมการเปน y = x2 – 4x + 7 ไมตัดแกน X สมการ x2 – 4x + 7 = 0 จึงไมมีคําตอบ

82 7. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟแลวหาคําตอบของสมการกําลังสองที่กําหนดให Y

y = x – 6x + 9

8 6 4 2 -8

-6

-4

-2

0 -2

8 X

1) -x2 + x + 6 = 0 [-2 และ 3] 2) x2 – 6x + 9 = 0 [ 3] 3) -5x2 + 2x – 1 = 0 [ไมมีคําตอบ]

y = -x2 + x + 6

-4 -6

y = -5x2 + 2x – 1

-8 8. ใหนักเรียนหาคําตอบของสมการกําลังสองตอไปนี้ โดยใชกราฟที่กําหนดให y = x2 + 8x + 19

Y 8 6 y = 2x2 – 4

4 2 -8

-6

-4

-2

0 -2

8 X

-4 -6 y = -x2 – 10x – 27 -8

y = -x2 + 10x – 25

1) 2x2 – 4 = 0 [ 2 และ 2) -x2 + 10x – 25 [5] 3) -x2 – 10x – 27 [ไมมีคําตอบ] 4) x2 + 8x + 19 [ไมมีคําตอบ]

2] = 0

= 0 = 0

88 ครูควรเนนใหนักเรียนระมัดระวังในการใชหนวยตาง ๆ ในเรื่องนี้ ซึ่งอาจตองเปลี่ยนหนวย ใหสอดคลองกับความสัมพันธตามสูตร ครูอาจเลือกแบบฝกหัดใหนักเรียนทําเปนบางขอตามความเหมาะ สม 7. สําหรับกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ” และ “เกาะน้ําแข็ง” มีเจตนาเชื่อมโยงกับสาระอื่น ๆ ให นักเรียนนําความรูเกี่ยวกับความหนาแนนของน้ําและน้ําแข็งมาใชแกปญหา ครูอาจใหมีการอภิปรายเพิ่มเติม เกี่ยวกับภาวะโลกรอนเนื่องจากมนุษยทําลายชั้นของบรรยากาศโลก และสนทนาถึงการปองกันที่มนุษยควร จะชวยกันลดภาวะโลกรอนไดอยางไร 8. สําหรับกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวคิดในการ หาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่มีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและกรวยยอดตัดที่อยูในสิ่งแวดลอมรอบ ๆ ตัว นักเรียน และใหเห็นการนําความรูเรื่องของความคลายและอัตราสวนมาใชในการแกปญหา ครูอาจขยาย ความรูจากวิธีการหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดที่ใหไวในหนังสือเรียนไปพัฒนาเปนสูตรในรูปทั่วไป ครูอาจนํากิจกรรมเสนอแนะ 5.2 มาใหนักเรียนชวยกันทําในชั้นเรียน เพื่อใหเห็นสูตรการหา ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส 9. สําหรับกิจกรรม “เขาคิดอยางไร” มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นวาคนในสมัยโบราณใชความรู ทางเรขาคณิตหาปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสไดดวยการแบงพีระมิดยอดตัดออกเปนสวน ยอยที่เปนปริซึมและพีระมิด แลวหาผลบวกของปริมาตรของสวนยอยเหลานั้น ก็สามารถคํานวณหาสูตร ของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสไดโดยไมตอ งใชความรูเกี่ยวกับความคลาย

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “สวนสูงเอียง” 1. เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดตรง 2. เทากัน เพราะเปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมดานเทา 3. เทากันทุกประการ เพราะรูปสามเหลี่ยมแตละคูมีความยาวของดานเทากันสามคู ซึ่งเปน ความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. 4. เทากัน เพราะรูปสามเหลี่ยมที่เปนหนาทั้งสามหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ 5. เทากัน เพราะเปนความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากันและมีฐานยาวเทากัน 6. เทากัน 7. เทากัน

คําตอบกิจกรรม “เทากันหรือไม” 1. 2. 3. 4. 5.

เทากัน เพราะเปนความยาวของสันของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา เทากัน เพราะ OX และ OY เปนสวนสูงของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งจะแบงครึ่งฐาน ยาวกวา เพราะ AB ยาวกวา BC สั้นกวา เพราะ BX ยาวกวา BY ไมเทากัน

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวเปนเทาใด” 1. 2. 3. 4. 5. 6.

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 196 ตารางเซนติเมตร ได โดยนําความรูเรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการคํานวณ และคํานวณได 24 เซนติเมตร สวนสูงเอียง 672 ตารางเซนติเมตร 868 ตารางเซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ผิวขางหาไดอยางไร” 1. มีรูปสามเหลี่ยม 8 รูป แตละรูปมีพื้นที่ 12 al ตารางหนวย 2. 4al ตารางหนวย 3. 12 pl ตารางหนวย

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ก 1. 2. 3. 4. 5. 6.

432 ตารางเซนติเมตร 150 ตารางเซนติเมตร 96 ตารางเซนติเมตร 936 ตารางเซนติเมตร 6 เซนติเมตร 8 เมตร

90 7. 1) 17 นิ้ว 2) 6,960 ตารางนิ้ว

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ข 1. ประมาณ 204.1 ตารางเซนติเมตร 2. ประมาณ 42,743 ตารางเซนติเมตร

(ใชคา π ≈ 3.14) ⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝

3. พื้นที่ผิวประมาณ 75.36 ตารางเซนติเมตร และ ปริมาตรประมาณ 37.68 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 4. ประมาณ 942 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 3.14) 5. 378 ตารางเซนติเมตร 6. รัศมียาว 3.5 เซนติเมตร และสูงประมาณ 6 เซนติเมตร ⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ 7. รัศมียาวประมาณ 14.7 เซนติเมตร ทํากรวยไดอยางมาก 3 อัน ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝ 1 πr2h แนวคิด = 297 3 1 × 22 × r2 × 14 ≈ 297 2 7 r2 ≈ 20.25 r ≈ 4.5 รัศมีของสังกะสีรูปวงกลมเทากับสูงเอียงของกรวย จะได l2 ≈ 142 + 4.52 ≈ 196 + 20.25 ≈ 216.25 l ≈ 14.7 พื้นที่ของสังกะสีรูปวงกลมเทากับ πr2 ≈ 22 × 14.72 7 ≈ 679.14 พื้นที่ผิวขางของกรวยเทากับ πrl ≈ 22 × 4.5 × 14.7 7 ≈ 207.9

91 ทํากรวยได

679.14 207.9

≈

3 อัน

คําตอบแบบฝกหัด 5.1 ค 1. 1) ประมาณ 905.14 ตารางเซนติเมตร 2) ประมาณ 361.43 ตารางเซนติเมตร 3) ประมาณ 233.15 ตารางเซนติเมตร 4) ประมาณ 550

ตารางเซนติเมตร

2. พื้นที่ผิวเทากับ 72π หรือประมาณ 226.08 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรเทากับ 72 2 π หรือประมาณ 319.68 ลูกบาศกเซนติเมตร

⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝ ⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝ (ใชคา π ≈ 3.14) ⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝ (ใชคา π ≈ 3.14) (ใชคา π ≈ 3.14 และใช 2 ≈ 1.414)

3. 1) 2 : 3 2) 4 : 9 4. 1) ประมาณ 39,689.6 กิโลเมตร (ใชคา π ≈ (ใชคา π ≈ 2) ประมาณ 1.25 × 108 ตารางกิโลเมตร 3) ประมาณ 1041 ,000 ของพื้นที่ผิวของโลกสวนที่ไมไดปกคลุมดวยน้ํา 5. ประมาณ 943.4 ตารางเซนติเมตร (ใชคา π ≈ 6. ประมาณ 30 เซนติเมตร (ใชคา π ≈ แนวคิด แผนเงินรูปวงกลมมีพื้นที่ 1,413 ตารางเซนติเมตร จะได π l 2 = 1413 พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม เทากับ 2πr2 2πr2 = π l 2 2πr2 = 1413 2r2 = 1413 3.14 r2 ≈ 450 2

3.14) 3.14) 3.14) 3.14)

92 225 r ≈ 15 จะไดเสนผานศูนยกลางยาวมากที่สุดประมาณ 30 เซนติเมตร ≈

คําตอบแบบฝกหัด 5.2 1. 8 เทา 2. 2 : 1 3. แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา เพราะวา แกวน้ําทั้งสองใบมีสวนลึกเทากัน แตพื้นที่ของ กนแกวรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนอยกวาพื้นของกนแกวรูปวงกลม แสดงใหเห็นแนวคิดไดดังนี้ ใหความยาวรอบกนแกวแตละใบเปน l เซนติเมตร จะได ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมเปน 2πr = l เมื่อ r แทนรัศมีของวงกลม r = 2lπ l ⎞2 ⎛ 2 ดังนั้น พื้นที่ของรูปวงกลม เทากับ πr = π ⎜ 2 π ⎟ ⎝ ⎠ 2 l = 4 π ตารางหนวย ความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปน l หนวย จะได แตละดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว l4 หนวย ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทากับ l4 × l4 2 = l16 ตารางหนวย

4. 5. 6. 7.

2 2 เนื่องจาก 4lπ > l16 ดังนั้น พื้นที่กนแกวของแกวน้ําทรงกระบอกมากกวาพื้นที่กนแกวของแกวน้ําปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ แกวน้ําทรงกระบอกจุน้ําไดมากกวา 10 ลูก ประมาณ 749.66 บารเรล ⎛ ใชคา π ≈ 22 ⎞ ประมาณ 666.85 ตารางเมตร ⎜ 7 ⎟⎠ ⎝ ประมาณ 0.4 เซนติเมตร

93 (ใชคา π ≈ 3.14) พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา เทากับ 6 × 43 a 2 = 6 × 43 × 82 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ของวงกลมที่เปนรูกลวง เทกับ πr2 = π(1.5)2 จะไดพื้นที่หนาตัดของเสาเข็มเปน ⎛⎜ 6 × 43 × 8 2 ⎞⎟ – π(1.5)2 ⎝ ⎠ ≈ (6 × 16 × 1.732) – (3.14 × 1.52) ≈ 166.27 – 7.07 ≈ 159.2 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของเสาเข็มประมาณ 159.2 × 250 ≈ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร

8. ประมาณ 39,800 ลูกบาศกเซนติเมตร แนวคิด

9. 3 เซนติเมตร แนวคิด

น้ําแข็งกอนหนึ่งมีปริมาตร 2,112 ลูกบาศกเซนติเมตร สวนที่จมน้ํามีปริมาตร 87 × 2,112 = 1,848 ลูกบาศกเซนติเมตร คูลเลอรน้ําทรงกระบอกมีรัศมีของฐานเปน 28 2 = 14 เซนติเมตร มีพื้นที่ฐานของคูลเลอรที่เปนรูปวงกลมประมาณ 227 ×142 ≈ 616 ตารางเซนติเมตร ,848 = 3 เซนติเมตร สวนของน้ําแข็งที่จมน้ําทําใหระดับน้ําสูงขึ้น 1616 ดังนั้น ตองใสน้ําในคูลเลอรใหต่ํากวาปากขอบอยางนอย 3 เซนติเมตร

10. 2 เซนติเมตร แนวคิด

ปริมาตรของเหล็กทรงกลมตันเปน 43 π(73) ลูกบาศกเซนติเมตร ใหทรงกลมกลวงมีรัศมีภายในเปน x เซนติเมตร ทรงกลมกลวงมีรัศมีภายนอกเปน 2 เซนติเมตร จะไดปริมาตรของทรงกลมกลวงแตละลูกเทากับ 43 π(23 – x3) ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น 49 × 43 π(23 – x3) = 43 π(73) 49(23 – x3) 23 – x3 x3 x

= = = =

73 7 8–7 1

94 เสนผานศูนยกลางยาว 2x =

2 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “สัมพันธกันอยางไร” 1. 2πr3 2. 43 πr3 3. 23 πr3

4. 5. 6. 7. 8. 9.

เทากับ 1:2:3 6πr2 4πr2 (1 + 5 )πr2 1+ 5 : 4 : 6 คําตอบแบบฝกหัดในกิจกรรม

1. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว ทรงกลมมีปริมาตรเทากับ 43 π ลูกบาศกนิ้ว 2. เสนผานศูนยกลางยาว 2 นิ้ว กรวยมีปริมาตรเทากับ 23 π ลูกบาศกนิ้ว 3. 2 : 1 4. 1) 4 เทา 2) 8 เทา 5. 23 เทา 6. 2 เทา

คําตอบกิจกรรม “ทําไดงายดี” 1) 1,936 ลูกบาศกเซนติเมตร 2) 600 กอน

95 3) ประมาณ 2,520 กิโลกรัม

คําตอบกิจกรรม “ปริมาตรและความหนาแนน” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

0.00072 ลูกบาศกเมตร หรือ 720 ลูกบาศกเซนติเมตร 30 เซนติเมตร ประมาณ 9.36 กิโลกรัม 71.6 กิโลกรัม ทรงกลมตะกั่วมีน้ําหนักมากกวา เพราะตะกั่วมีความหนาแนนมากกวา ประมาณ 0.68 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร ทองแดง 1.5 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดเลนเย็นใจ” ประมาณ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร แนวคิด พื้นที่ที่ปกคลุมดวยน้ําแข็ง เทากับ 97.6% ของ 13 ลานตารางกิโลเมตร 6 .6 คิดเปน 97 100 × 13 × 10 ตารางกิโลเมตร น้ําแข็งหนาเฉลี่ย 5 กิโลเมตร .6 × 13 × 106 × 5 จะได ปริมาตรของน้ําแข็งประมาณ 97 100 ≈ 6,344 × 104 ลูกบาศกกิโลเมตร หรือ ≈ 6.344 × 107 ลูกบาศกกิโลเมตร

คําตอบกิจกรรม “เกาะน้ําแข็ง” ประมาณ 47,0255.9 ลานตัน แนวคิด เกาะน้ําแข็งมีปริมาตรประมาณ 180 × (37 × 103) × (77 × 103) ≈ 51,282 × 107 ลูกบาศกเมตร น้ําแข็งมีความหนาแนนเปน 0.917 ของความหนาแนนของน้ํา จะได ปริมาตรของน้ําประมาณ 0.917 × 51,282 × 107 ≈ 47025.59 × 107 ลูกบาศกเมตร จากสูตร ความหนาแนน = มวล ปริมาตร

96 และความหนาแนนของน้ําเทากับ 1 × 103 กิโลกรัมตอลูกบาศกเมตร จะได น้ําหนักของน้ําประมาณ 1 × 47025.59 × 1010 กิโลกรัม 10 ≈ 47025.593 × 10 ตัน 10 ≈ 47025.59 × 107 ตัน ≈ 470,255.9 ลานตัน

คําตอบกิจกรรม “พีระมิดยอดตัดและกรวยยอดตัด” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1:7 ประมาณ 1:7 ประมาณ ประมาณ ประมาณ ประมาณ

1,469.52 ลูกบาศกเซนติเมตร 3,700 ลูกบาศกเซนติเมตร 7,600 ลูกบาศกนิ้ว 32,340 ลูกบาศกเซนติเมตร 18,567.06 ลูกบาศกเซนติเมตร

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

กิจกรรมเสนอแนะ 5.1 พื้นที่ผิวของทรงกลม

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมโดยใชความสัมพันธของ ความยาวของเสนผานศูนยกลางของเชือกและความยาวของเชือกที่ปดเนื้อที่ทั้งหมดบนพื้นผิวของ ทรงกลม สื่อการเรียนรู

ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2

ขั้นที่ 3

1. เชือกกลมขนาดเสนผานศูนยกลางประมาณ 0.5 เซนติเมตร ยาวประมาณ 3 เมตร 2. ลูกบอลที่ทําดวยพลาสติกบาง (ผิวไมลื่น) ขนาดเล็ก 1 ลูก 3. ดินน้ํามันหรือดินเหนียว

ครูเตรียมอุปกรณสําหรับการสาธิตตามลําดับขั้น ดังนี้ ผาครึ่งลูกบอล ใสดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหเต็มครึ่งทรงกลมพอดี ใชเชือกกลมทอนหนึ่งขดบนดินน้ํามันหรือดินเหนียวใหปดเนื้อที่ของรูปวงกลมพอดี (ใชเข็มหมุดตรึงปลายเชือกขางหนึ่งไวที่จุดศูนยกลางของวงกลม แลวขดเชือกรอบเปนวงกลม) ดังรูป

ใชเชือกกลมขนาดเดียวกันอีกทอนหนึ่งวัดความยาวใหไดเปนสองเทาของความยาวของเชือกใน ขั้นที่ 2 แลวนําไปขดบนผิวของครึ่งทรงกลมใหปดเนื้อที่ทั้งหมด ดังรูป

99 แนวการจัดกิจกรรม 1. ครูนําเชือกขนาดเดียวกันกับที่ครูใชขางตนมา 1 ทอน ยาวประมาณ 10 เซนติเมตร ใหนักเรียน บอกวาเชือกทอนนี้มีลักษณะเปนรูปเรขาคณิตชนิดใด [ทรงกระบอก] 2. ครูวางเชือกทอนนี้ทาบบนกระดานดํา ใหนักเรียนคิดวิเคราะหวาถาตองการทราบวาเชือก ทอนนี้ปดเนื้อที่บนกระดานดําไดประมาณเทาใด จะตองทําอยางไร (ครูอาจเขียนรูปของเชือกทอนนี้บนกระดานซึ่งจะไดรูปสี่เหลี่ยมผืนผา) [วัดความยาวของเชือกและหาความยาวของเสนผานศูนยกลาง จะไดวา ผลคูณของความยาว ของเชือกและความยาวของเสนผานศูนยกลาง เทากับพื้นที่ที่เชือกทอนนี้ปดเนื้อที่บน กระดานดําไว] 3. ครูนําอุปกรณในขั้นที่ 2 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของวงกลม โดยพิจารณาจากสวนที่เชือกปดทับ อยูทั้งหมด [ถาให r แทนรัศมีของวงกลม จะไดพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2] 4. ครูคลายเชือกจากวงกลมเปนเสนยาว ใหนักเรียนเห็นวาเชือกที่มีความยาวเทาที่คลายออกมา จากวงกลมนั้นปดเนื้อที่ของวงกลม ซึ่งมีพื้นที่ของวงกลมเทากับ πr2 ตารางหนวย 5. ครูคลายเชือกออกจากผิวของครึ่งทรงกลมในอุปกรณขั้นที่ 3 แลววัดความยาวของเชือก เปรียบเทียบกับความยาวของเชือกในขอ 4 ซึ่งเชือกเสนนี้ยาวเปนสองเทาของความยาวของ เชือกในขอ 4 ใหนักเรียนบอกพื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลมที่ถูกปดทับดวยเชือกเสนนี้ [2πr2 ตารางหนวย] 6. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดที่ไดในขอ 5 [พื้นที่ผิวของทรงกลมเทากับ 2 × 2πr2 = 4πr2 ตารางหนวย] 7. ครูสรุปพื้นที่ผิวของทรงกลมจากแนวคิดในกิจกรรมนี้ใหนักเรียนเห็นวา สูตรที่ไดเหมือนกับ แนวคิดที่เสนอไวในหนังสือเรียน

100

กิจกรรมเสนอแนะ 5.2 กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนไดเห็นการนําแนวคิดในตัวอยางกิจกรรมพีระมิดยอดตัดและ กรวยยอดตัดมาใชในการหาสูตรปริมาตรของพีระมิดยอดตัดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ครูใชแนวคิดดังตัวอยางหนา 178 มาอธิบายใหเห็นที่มาของการหาสูตรปริมาตรพีระมิดยอดตัด ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนี้

b b

a a

รูป ก

รูป ข

A t D bG

D b

E h

รูป ค เนื่องจาก ∆ AFC ∼ FC จะได GE = a 2 = b 2

F a

รูป ง ∆ AGE AF AG t+h t

101 a b at at – bt t(a – b)

= t +t h = bt + bh = bh = bh t = abh− b 1 ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดเทากับ 3 a 2 (t + h) – 13 b 2 t 1 bh bh = 13 a 2 ⎛⎜ a − b + h ⎞⎟ – 3 b 2 ⎛⎜ a − b ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 bh + ah − bh ⎛bh⎞ = 13 a 2 ⎛⎜ a − b ⎞⎟ – 13 ⎜⎜ a − b ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ah ⎛bh⎞ = 13 a 2 ⎛⎜ a − b ⎞⎟ – 13 ⎜⎜ a − b ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 ⎛ah⎞ ⎛bh⎞ = 13 ⎜⎜ a − b ⎟⎟ – 13 ⎜⎜ a − b ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 ⎛a h−b h⎞ = 13 ⎜⎜ a − b ⎟⎟ ⎝ ⎠ 3 3 = 13 ⎡ h ( aa −−bb ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 = 13 h ⎡ ( a − b )(aa −+bab + b ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ = 13 h (a2 + ab + b2) ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดยอดตัดรูป ก = 13 h (a2 + ab + b2)