add-m3-2-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 3

เล่ม 2

สารบัญ หนา คํานํา คําชี้แจง คําชี้แจงการใชคูมือครู กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ บทที่ 1 การใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 1.1 ความรูพนื้ ฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.3 การสราง จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 2 ระบบสมการ ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 2.1 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการเชิงเสนและสมการดีกรีสอง จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2.2 ระบบสมการที่ประกอบดวยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ จุดประสงค เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม แบบฝกหัดเพิม่ เติมและคําตอบ

ก ง 1 3 4 4 4 4 7 7 7 8 8 8 11 37 37 38 38 38 38 39 39 39 39 41 43

บทที่ 3 วงกลม ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 วงกลม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.2 มุมที่จุดศูนยกลางและมุมในสวนโคงของวงกลม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.3 คอรด จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.4 เสนสัมผัสวงกลม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 4 เศษสวนของพหุนาม ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 4.1 การดําเนินการของเศษสวนของพหุนาม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.2 การแกสมการเศษสวนของพหุนาม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.3 โจทยปญหาเกีย่ วกับเศษสวนของพหุนาม จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

45 45 46 46 46 46 47 47 47 49 49 49 50 50 50 52 88 88 88 89 89 89 90 90 90 91 91 91 92 101

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “ยังทําไดไหม” 1. 1) ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แลวรูปสามเหลี่ยมนัน้ มีสวนสูงทั้ง สามเสนยาวเทากัน 2) ถาเสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน แลว ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มดี านทั้งสี่ยาวเทากัน 2. 1) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสวนสูงทั้งสามเสนยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นเปน รูปสามเหลี่ยมดานเทา 2) ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทัง้ สี่ยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ เสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน 3. 1) “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ยาวเทากันสองคู” และ “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลว รูปสี่เหลี่ยมนั้นเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน” 2) “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดของมุมเทากันสองมุม แลวรูปสามเหลี่ยมนัน้ เปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” และ “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว แลว รูปสามเหลี่ยมนัน้ มีขนาดของมุมเทากันสองมุม”

คําตอบแบบฝกหัด 1.1 1. แนวคิดในการพิสูจน

2 ∧

∧

เนื่องจาก 1 = 4

1 = 2

4 3

(กําหนดให) (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน)

12 ∧

จะได

∧

4 = 2

(สมบัติของการเทากัน)

∧ ∧

เนื่องจาก 3 + 4 = 180o ดังนั้น

(ขนาดของมุมตรง)

∧ ∧

∧

3 + 2 = 180o

∧

(สมบัติของการเทากัน โดยแทน 4 ดวย 2 )

2. แนวคิดในการพิสูจน X A

D Y

∧

เนื่องจาก AE X = DF Y

(กําหนดให) ∧

∧

AE X = BEF และ DF Y = CFE

ดังนั้น นั่นคือ

BEF = CFE AB // CD

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน)

(สมบัติของการเทากัน) (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)

3. แนวคิดในการพิสูจน A

∧

1) เนื่องจาก G EA = CFE

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน)

13 ∧

และ

∧

CFE = DFH ∧

∧

(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาด เทากัน)

ดังนั้น G EA = DFH

(สมบัติของการเทากัน)

2) เนื่องจาก G EB + G EA = 180o (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น

∧

G EB + CFE = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน G EA ดวย CFE )

4. แนวคิดในการพิสูจน A

B E C

∧

เนื่องจาก ABE = DCB

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน)

และ

BED = DCB + EDC

ดังนั้น

BED = ABE + EDC

(ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเทากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ∧

∧

(สมบัติของการเทากัน โดยแทน DCB ดวย ABE )

5. แนวคิดในการพิสูจน L A C E

∧

1) เนื่องจาก BM N = CNM

B N

D O P

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน)

14 และ

∧

C NM = EO N

ดังนัน้ EO N = BM N ∧

∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน ของเสนตัดมีขนาดเทากัน) (สมบัติของการเทากัน)

2) เนื่องจาก AM N + BM N = 180o

(ขนาดของมุมตรง) ∧

จะได AM N + EO N = 180o 3) ดังนั้น AB // EF

∧

(สมบัติของการเทากัน โดยแทน BM N ดวย EO N ) (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน)

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก 1. แนวคิดในการพิสูจน C

D M

เนื่องจาก ∆ AMB

≅

∧

∆ CMD ∧

จะได

ABM = CDM

ดังนั้น

AB // DC

(ด.ม.ด.) (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมี ขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูน ั้นขนานกัน)

15 2. แนวคิดในการพิสูจน A

B D

เนื่องจาก AB = AC และ DB = DC และ AD = AD ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ ACD

(กําหนดให) ( AD เปนดานรวม) (ด.ด.ด.)

3. แนวคิดในการพิสูจน A

เนื่องจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC ดังนั้น AE = AD และ BE = CD

(ม.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)

16 4. แนวคิดในการพิสูจน A

B ∧

∧

เนื่องจาก A = B และ B = C จะได BC = AC และ AC = AB

ดังนั้น นั่นคือ

(กําหนดให) (ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเทากันสองมุม แลวดานที่อยูต รงขามกับมุมคูที่มีขนาดเทากัน จะยาว เทากัน) AB = AC = BC (สมบัติของการเทากัน) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา

5. แนวคิดในการพิสูจน A

กําหนดให ตองการพิสูจนวา พิสูจน เนื่องจาก ดังนั้น

เนื่องจาก

∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา มี AD , BE และ CF เปนเสนมัธยฐาน AD = BE = CF ∆ ABD ≅ ∆ CBF AD = CF ∆ ACD

≅

∆ BCE

(ด.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) (ด.ม.ด.)

17 ดังนั้น

AD = BE

นั่นคือ

AD = BE = CF

(ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) (สมบัติของการเทากัน)

6. แนวคิดในการพิสูจน D C

E A M

ลาก EM และ CM เนื่องจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM ดังนั้น EM = CM จะได

∆ DEM

ดังนั้น

EDM = CDM

∧

≅

(ด.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) (ด.ด.ด.)

∆ DCM ∧

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข 1. แนวคิดในการพิสูจน C

D E A

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมี BD และ AC เปนเสนทแยงมุมตัดกัน ที่จุด E ตองการพิสูจนวา DE = BE และ AE = CE พิสูจน เนื่องจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.) กําหนดให

18 ดังนั้น

DE = BE และ AE = CE

(ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

2. แนวคิดในการพิสูจน D

B O

เนื่องจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB จะได AD = BC ∧

∧

และ

A DC = BCD

ดังนั้น

AD // BC

นั่นคือ

(ด.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน)

ACBD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

(รูปสี่เหลี่ยมทีม่ ีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน)

3. แนวคิดในการพิสูจน

กําหนดให ตองการพิสูจนวา

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

19 พิสูจน ∧

∧

เนื่องจาก

A = B = C = D = 90o

จะได ดังนั้น

A + D = 180o และ A + B = 180o (สมบัติของการเทากัน) AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาดของมุมภายในทีอ่ ยูบนขางเดียวกัน ของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูน ั้นขนานกัน) ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยม ที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู)

∧

นั่นคือ

∧

(มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละมุมมี ขนาดเทากับ 90 องศา) ∧

∧

4. แนวคิดในการพิสูจน D

E A

เนื่องจาก ED // BF และ ดังนั้น

F B

(ตางก็เปนสวนหนึ่งของดานตรงขามที่ขนานกันของ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน) ED = BF (จุด E และจุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AD และ BC ซึ่งมีความยาวเทากัน) DFBE เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมทีม่ ีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน)

20 5. แนวคิดในการพิสูจน A

กําหนดให ∆ ABC มีจุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ XY // BC ตองการพิสูจนวา จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC พิสูจน เนื่องจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยม ที่คลายกัน) AX = AY (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย) จะได AB AC AX = 1 เนื่องจาก (จุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB) AB 2 AY = 1 (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AC 2 AY = 12 AC (สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน)

นั่นคือ

จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC

6. แนวคิดในการพิสูจน

เนื่องจาก จะได

∆ AED ∧

≅

∆ CFB ∧

A ED = CFB

(ม.ด.ม.) (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

21 ∧

∧

เนื่องจาก A ED + DEB = CF B + BFD = 180o จะได

∧

DEB = BFD ∧

∧

(ขนาดของมุมตรง) (สมบัติของการเทากัน)

∧

เนื่องจาก A DE + EDF = CBF + FBE (มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน) จะได ดังนั้น

EDF = FBE (สมบัติของการเทากัน) BEDF เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาด เทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน)

7. แนวคิดในการพิสูจน B

A O

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูนที่มี AC และ BD เปนเสนทแยงมุม ตัดกันทีจ่ ุด O ตองการพิสูจนวา AC ⊥ BD พิสูจน ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.) เนื่องจาก จะได AO = OC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.) จะได กําหนดให

∧

A OB = COB ∧

จะได ดังนั้น

∧

A OB + COB = 180o ∧ ∧ o A OB = COB = 180 2 = 90 AC ⊥ BD

(ขนาดของมุมตรง) (สมบัติของการเทากัน)

22 8. แนวคิดในการพิสูจน D

R C

S A

Q P

ลาก AC PQ // AC และ PQ = 12 AC (สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสอง ดานของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและ ยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานทีส่ าม) ในทํานองเดียวกัน SR // AC และ SR = 12 AC จะได ดังนั้น PQ // SR และ PQ = SR (สมบัติของเสนขนานและสมบัติของการเทากัน) นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมทีม่ ีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน)

จะได

คําตอบกิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” 1. แนวคิดในการพิสูจน กรณีที่มีเสนตรงสามเสนขนานซึ่งกันและกัน P A

A2 F

C Q

A3 S

เสนตรง A 1 , A 2 และ A 3 ขนานซึ่งกันและกัน PQ เปนเสนตัด เสนตรง A 1 , A 2 และ A 3 ที่จุด A , B และ C ตามลําดับ ทําให AB = BC และ RS เปนเสนตัดเสนตรง A 1 , A 2 และ A 3 ที่จุด D , E และ F ตามลําดับ ตองการพิสูจนวา DE = EF พิสูจน ลาก XY ผานจุด E และใหขนานกับ PQ โดย XY ตัดเสนตรง A 1 ที่จุด L และตัดเสนตรง A 3 ที่จุด F ABEL เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มี เนื่องจาก ดานตรงขามขนานกันสองคู) ดังนั้น AB = LE (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะไดวา BC = EK เนื่องจาก AB = BC (กําหนดให) ดังนั้น LE = EK (สมบัติของการเทากัน) กําหนดให

∧

1 = 2

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาด เทากัน)

3 = 4 (มีเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.) นั่นคือ DE = EF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) กรณีที่มีเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซึง่ กันและกัน จะพิสูจนไดในทํานองเดียวกัน

2. แนวการสราง X E D C

Q S T U

Y ∧

∧

1. สราง BA X และ ABY ใหเปนมุมแยงและมีขนาดเทากัน 2. ใชรศั มีที่ยาวเทากันตัด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU 3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตัด AB ที่จุด Q และจุด P ตามลําดับ จะได AP = PQ = QB

พิสูจน ∧

∧

เนื่องจาก BA X = ABY จะได AX // BY

(จากการสราง) (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) เนื่องจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง) AU // CT (สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ จะได ขนานกันและยาวเทากัน จะขนานกัน) ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา CT // DS และ DS // EB AU, CT, DS และ EB ขนานซึ่งกันและกัน (สมบัติของเสนขนาน) ดังนั้น จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตั้งแตสามเสนขึ้นไปขนานซึ่งกันและกัน และมีเสนตรงเสนหนึ่งตัด ทําใหไดสวนตัดยาว เทากัน แลวเสนที่ขนานกันเหลานี้จะตัดเสนตัดอื่น ๆ ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากันดวย)

คําตอบกิจกรรม “มีไดรูปเดียว” 1. แนวการสราง Q

R C

b a

1. สราง AB ยาว a หนวย ∧

∧

2. สราง QAB ใหมีขนาดเทากับขนาดของ X YZ ∧

3. สราง AR แบงครึ่ง QAB 4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย 5. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ

26 2. แนวการสราง D R

a A

1. สราง BA ยาว b หนวย ∧

∧

2. สราง ABD ใหมีขนาดเทากับขนาดของ X YZ ∧

3. สราง BR แบงครึ่ง ABC 4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย 5. ลาก AE ตัด BD ที่จุด C จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ 3. แนวการสราง P Z

1. สราง XY ใหยาวเทากับ AB + AC ∧

∧

2. สราง X YP ใหมีขนาดเทากับสองเทาของขนาดของ ABC 3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากับ BC 4. ลาก XZ จะได ∆ XYZ เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ

27 4. แนวการสราง P

1. สราง RQ 2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากับ QR 3. ลาก AP จะได ∆ PAR เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ ตามตองการ 5. ตัวอยางการสราง S A

a X

1. ลาก XY และกําหนดจุด C บน XY ∧

∧

2. สราง XCS และ YCZ ใหมีขนาดเทากับ q และ p ตามลําดับ 3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย ∧

∧

4. สราง CAR ใหมีขนาดเทากับขนาดของ ACZ โดยให AR ตัด XY ที่จุด B จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ

28 6. แนวการสราง Z

D C

b A

1. 2. 3. 4.

a k

ลาก XY และกําหนดจุด A บน XY สราง AZ ตั้งฉากกับ XY ที่จุด A บน AZ สราง AR ยาว b หนวย สราง RP ตั้งฉากกับ AZ ที่จุด R ∧

5. สราง YAD ใหมีขนาดเทากับ k และ AD ตัด RP ที่จุด C (จะไดจดุ C มีระยะหางจาก AY เทากับ b หนวย) 6. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด E 7. ใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ AE เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด B 8. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ

คําตอบกิจกรรม “มีไดหลายรูป” 1. สรางรูปตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 3) ไดดังนี้ C

4) เทากับพืน้ ที่ของ ∆ ABC เพราะมีความสูงเทากัน และมีฐาน AB รวมกัน 5) หลายรูปนับไมถวน และรูปสามเหลี่ยมเหลานั้นมีจุดยอดอยูบน XY ที่ขนานกับฐาน AB 2. ตัวอยางการสราง 1)

สรางเพื่อแบงครึ่ง QR ที่จุด A ลาก PA จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีพื้นที่เปนครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ ∆ PQR แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีฐานยาวเทากับครึ่งหนึ่งของความยาวของฐาน ของ ∆ PQR และมีความสูงเทากัน ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ PQA = พื้นที่ของ ∆ PRA = 12 พื้นที่ของ ∆ PQR 2) วิธีที่ 1 แบงครึ่งฐาน แลวลากเสนมัธยฐาน ดังตัวอยางขอ 1) วิธีที่ 2 แบงครึ่งสวนสูง แลวลากสวนของเสนตรงจากจุดแบงครึ่งที่ไดนั้นไปยังจุดปลาย ทั้งสองขางของฐาน

คําตอบกิจกรรม “สรางไดไมยาก” 1. ตัวอยางการสราง 1) B

1. สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนื่องจากผลบวกของความยาวของดาน สองดานของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม) 2. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวยเขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด B ลาก AB และ CB 3. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด D ซึ่งอยูอีกดานหนึ่งของ AC 4. ลาก AD และ CD จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 2) หลายรูปนับไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย นับไมถวน

31 2. ตัวอยางการสราง D

b A

a B

1. สราง AC ยาว c หนวย 2. ใชจดุ A เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคง 3. ใชจดุ C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ 2 ที่จุด B และจุด D 4. ลาก AB, BC , AD และ DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 3. ตัวอยางการสราง X C

Y D

1. สราง AB ใหยาวเทากับ PQ ∧

∧

2. สราง ABX และ BA Y ใหมีขนาดเทากับขนาดของ PQR และขนาดของ QPS ตามลําดับ 3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากับ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากับ PS 4. ลาก DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับ PQRS

32 แนวคิดในการใหเหตุผล X Y

ลาก QS และ BD จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS ∧

เนื่องจาก จะได ดังนั้น นั่นคือ

∧

ABC = PQR และ BAD = QPS ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.) ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.) ∧

∧

CD = RS, BCD = QRS และ ADC = PSR ABCD ≅ PQRS (รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูท ี่สมนัยกันของ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ )

4. สรางตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 4) จะไดรปู การสรางดังนี้ X

5) เทากัน เพราะ มีฐาน BD รวมกันและมีสวนสูงยาวเทากัน คือ จุดยอด C และจุดยอด E อยูบน CE ที่ขนานกับฐาน BD

33 6) เทากัน เพราะ เนื่องจาก พื้นที่ของ ABCD = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC และ พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นทีข่ อง ∆ DBE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC (จากขอ 5)) ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ABCD (สมบัติของการเทากัน) 5. แนวการสราง Z Q

a D

1. สราง DE ยาว b หนวย 2. สราง EX ใหตั้งฉากกับ DE ที่จุด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย 3. ลาก DC 4. สราง DY ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด D และบน DY สราง DP ยาวเทากับ DC 5. สราง CZ ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากับ DC 6. ลาก PQ จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ

34 แนวคิดในการใหเหตุผล ∧

เนื่องจาก ∆ DEC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี DEC เปนมุมฉาก DE = b หนวย และ EC = a หนวย (จากการสราง) 2 2 2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จะได DC = a + b จากการสราง จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทีแ่ ตละดานยาวเทากับ DC ดังนั้น DCPQ มีพื้นที่เทากับ DC2 = a2 + b2 ตารางหนวย 6. แนวการสราง M

a A

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

สราง AB ยาว b หนวย สราง BX ใหตั้งฉากกับ AB ที่จุด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย ลาก AC สราง AY ใหตั้งฉากกับ AC ที่จุด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย ลาก PC สราง PM และ CN ตั้งฉากกับ PC ที่จุด P และจุด C ตามลําดับ บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลําดับ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว เทากับ PC

35 8. ลาก QR จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั ตามตองการ แนวคิดในการใหเหตุผล ∧

เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี ABC เปนมุมฉาก AB = b หนวย และ BC = a หนวย (จากการสราง) (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จะได AC2 = a2 + b2 ∧

เนื่องจาก ∆ PAC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี PAC เปนมุมฉาก และ PA = c หนวย (จากการสราง) (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จะได PC2 = AC2 + PA2 นั่นคือ PC2 = a2 + b2 + c2 (สมบัติของการเทากัน) จากการสราง จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทีแ่ ตละดานยาวเทากับ PC ดังนั้น PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เทากับ PC2 = a2 + b2 + c2 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “แบงครึ่งมุม” แนวคิดในการพิสูจน E P

∆ PYF

≅

∆ QYE

∧

Y FP = YEQ QOF = POE

QF = PE

O Q

(ด.ม.ด.) (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) (สมบัติของการเทากัน)

จะได

∆ QOF ≅ ∆ POE OQ = OP

เนื่องจาก YO = YO ∆ YQO ≅ ∆ YPO จะได ∧

∧

ดังนั้น

PYO = QYO

นั่นคือ

YO แบงครึ่งมุม X YZ

(ม.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ( YO เปนดานรวม) (ด.ด.ด.) (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

∧

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 2.1 1. 1) (4, 3), (-4, -3) 2) ( − 2 , − 22 ), (2, 2) 9 9 3) (-5, -3), (5, 3) 4) (5, 2) 5) (1, 1) 6) (4, -2), (1, 1) 7) (-10, -4), (2, 2) 8) (-3, 1), ( 40 , − 27 ) 13 52 9) (-3, 4), (4, -3) 10) ไมมีคําตอบ 2. 7 และ 5 2 2 3. 12 × 18 ตารางเซนติเมตร 4. 7 เซนติเมตร และ 5 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “มีเพียงคําตอบเดียว”

17 4

คําตอบกิจกรรม “ใชกราฟหาคําตอบ” 1. 2. 3. 4. 5. 6.

(-3, 4), (1, 0) (-2, 0), (0, 1) (2, -1), (-1, -1),

(0, 1) (0, 2) (5, 2) (0, 0), (1, 1)

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 1. 1) (0, 2), (0, -2) 2) ( 2 , 3), ( 2 , -3), (- 2 , 3), (- 2 , -3) 3) ( 1 , − 11 ), ( − 1 , − 11 ) 5 5 5 5 4) (-2, 3), (2, -3) 5) (2, 5 ), (2, – 5 ) 6) ( 2 , 3 ) 3 2 7) (2, 15 ), (2, − 15 ) 2 2 8) (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3) 9) ไมมีคําตอบ 10) ( a , − a ), ( a , a ), (– a , − a ), (– a , a ) 2 2 2 2 2. 8 และ 12 3. 6 และ 5 3 4. 9 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คิดหนอยนะ” 1. 2ax + ah + b 2. ความยาวเปน 7 เซนติเมตร และความกวางเปน 2 เซนติเมตร

คําตอบกิจกรรม “คําตอบจากกราฟ” 1. 2. 3 4 5 6

(1, 1), (1, 0), (0, 2), (3, 2), (1, 1), (1, 1),

(-1, 1) (-1, 0) (0, -2) (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) (-1, -1) (0, 1), (-1, 1)

คําตอบกิจกรรม “คิดดูหนอย” 4 กับ 3 และ -3 กับ -4

แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 2.2 แบบฝกหัดนี้จัดไวเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อใชทบทวนความรูเรื่องการแกระบบสมการและการนําไปใช แกโจทยปญหา

1. จงหาคําตอบของระบบสมการตอไปนี้ 1) x + 2y = 1 x2 + xy = 28 2)

3x – y 3x2 – y2 3) x2 – 3x – y 2x – y 4) 2xy – x2 3xy + x2 5) 4x2 – 5y2

= = = = = = =

[(7, -3) และ (-8, 9 )] 2

-9 -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)] 6 0 [(6, 12) และ (-1, -2)] -95 -80 [(5, -7) และ (-5, 7)] 1 [( 3 , 1 ), ( 3 , − 1 ), ( − 3 , 1 ) และ ( − 3 , − 1 ) ] 5x2 + 4y2 = 61 4 2 4 2 16 4 2 4 2 2. ผลบวกของจํานวนสองจํานวนเทากับ 208 และกําลังสองของผลตางของจํานวนทั้งสองเทากับ 16,384 จงหาจํานวนทั้งสองนั้น [40 และ 168] 3. ∆ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวรอบรูป 70 เซนติเมตร ดานประกอบมุมฉากดานหนึง่ ยาว 20 เซนติเมตร ผลตางของกําลังสองของอีกสองดานที่เหลือเทากับ 400 จงหาพื้นที่ของ ∆ABC [210 ตารางเซนติเมตร] C 4. จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด E และ D จุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ BC ตามลําดับ O F AC = 17 หนวย และความยาวรอบรูปของ BEOF เทากับ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC A E B [15 และ 8 หนวย] 5. D E C จากรูป ABCD และ CEFG เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ ของ ABCD มากกวาพืน้ ที่ของ CEFG เทากับ 458 ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD F G มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร [4 เซนติเมตร] A B

52 ∧

6) ถาสรางเฉพาะเสนแบงครึ่งมุม ABC มุมเดียวจะหาจุดศูนยกลางของวงกลมไดหรือไม [ไมได] 7) นักเรียนตองสรางเสนแบงครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยมกี่มุม จึงจะไดตําแหนงของ จุดศูนยกลางของวงกลม [2 มุม] 8) จําเปนตองสรางเสนแบงครึ่งมุมของมุมที่สามอีกหรือไม เพราะเหตุใด [ไมจําเปน เพราะจากการสรางเสนแบงครึ่งมุม 2 มุมก็สามารถพิสูจนไดแลววา DO = EO = FO และ DO , EO , FO แตละเสนจะตั้งฉากกับดานทั้งสามของ รูปสามเหลี่ยม ทําใหสรุปไดวาจุด E, F และ G เปนจุดสัมผัสของวงกลม] 6. ทฤษฎีบทในกิจกรรม “เสนสัมผัสและคอรด” เปนอีกทฤษฏีบทหนึ่งที่มีการนําไปใชมาก หลังจากนักเรียนตอบคําถามขอ 1 แลว ครูควรใหนักเรียนพิสูจนเปนทฤษฎีบทโดยทํากิจกรรมขอ 2 ดวย 7. สําหรับกิจกรรม “ไกลแคไหน” มีเจตนาใหเห็นการนําความรูเรือ่ งเสนสัมผัสไปใชเพื่อ เชื่อมโยงกับความรูทางภูมิศาสตรอีกกิจกรรมหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนศึกษาและทําเปนการบานก็ได แต ควรไดมีการอภิปรายกันถึงสถานการณปญ  หาที่ตองการใหเห็นแนวคิดในการหาสูตรการคํานวณ เพื่อใชใน การคํานวณระยะทางในทางภูมิศาสตรโดยประมาณ ครูไมควรนําเรื่องนี้ไปวัดผล 8. สําหรับกิจกรรม “ระยะรอบโลก” เปนอีกกิจกรรมหนึ่งที่ตองการใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง ความรูทางคณิตศาสตรกับภูมิศาสตร ตองการจุดประกายใหนักเรียนเห็นความสามารถของนักคณิตศาสตร ในอดีตที่มีความคิดสรางสรรค เปนคนชางสังเกต ใฝรู และมีความพยายามในการแกปญหา นวนิยายเรื่อง 80 วันรอบโลกเสนอไวในกิจกรรมนี้เพื่อเสริมกิจกรรมใหนาสนใจ ภาพยนตร เรื่องนี้สนุก ตื่นเตน ครูอาจหาภาพยนตรเรื่องนี้มาใหนกั เรียนชมก็ได

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

หลายเสนนับไมถวน ไมเปน เพราะรัศมีของวงกลมตัดวงกลมที่จุดจุดเดียว หลายเสนนับไมถวน ได หลายเสนนับไมถวน ไมได

53 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

AC AO, BO และ CO AC, BC , CD และ DH AC EF CF Ap BC และ Ap DC

คําตอบกิจกรรม “ยังบอกไดไหม” ∧

∧

1. AOB, BOC, AOC, มุมกลับ AOB และมุมกลับ BOC ∧

2. ADC 3. 4. 5. 6.

∧

BAC, BAD, CAD, ADB, ADC, BDC, ACD และ ABD o BC, o ABC p , Ap AB, DC , Ap DB หรือ Ap CB , Bp AC หรือ Bp DC Ap BC o BD, o CD, o AB, o AC o และ AoD BC,

คําตอบกิจกรรม “มุมในครึ่งวงกลม” คําตอบในกิจกรรม 4. 90o 5. ใช คําตอบแบบฝกหัด 1. 25o 2. 55o 3. 37o

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก 1. 54o แนวคิดในการใหเหตุผล ∧

1. ABC = 180 – 90 – 18 = 72o D 18o

∧

2. AOD = ABC = 72o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน และมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูบ น ขางเดียวกันของเสนตัด มีขนาดเทากัน) 3. ∆ ADO เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ ∧ ∧ 4. ADO = DAO = 1802− 72 = 54o

2. แนวคิดในการพิสูจน D

∧

1. ABC = BAD = CDA = DCB = 90o (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา) 2. ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

3. แนวคิดในการพิสูจน B C

1. ∆ ABC ≈ ∆ ADC (ม.ม.ด.) 2. AB = AD (ดานคูทสี่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

คําตอบกิจกรรม “มุมทีจ่ ุดศูนยกลาง” คําตอบในกิจกรรม 3. ได 4. ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย สวนโคงเดียวกัน

55 6. ได 7. ไดเชนเดียวกัน ∧

∧

8. จากรูป ข ได AOB = 2( ACB ) ∧

จากรูป ค ได มุมกลับ AOB = 2( ACB ) 9. ใช คําตอบแบบฝกหัด 1. 45o 2. 55o 3. แตละมุมมีขนาด 40o 4. 1) 200o 2) 160o 3) 80 o 4) 180o 5) 180 o

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข 1. 122.5o แนวคิดในการใหเหตุผล 1. มุมกลับ AOB = 360 – 115 = 245o

C A

∧

B 115 O

2. มุมกลับ AOB = 2( ACB ) = 245o (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมทีร่ องรับดวยสวนโคง เดียวกัน) ∧ o 3. ACB = 245 = 122.5 (สมบัติของการเทากัน) 2

56 2. แนวคิดในการพิสูจน ลาก DO และ BO

∧

1. DOB = 2( DAB ) และมุมกลับ DOB = 2( DCB ) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง เดียวกัน)

∧

2. 2( DAB ) + 2( DCB ) = DOB + มุมกลับ DOB = 360o ∧

∧

3. DAB + DCB = 180o (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา ABC + ADC = 180o 3. แนวคิดในการพิสูจน B

∧

1. BAD + DCB = 180o (ผลบวกของขนาดของมุม ตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา) C

2. DCB + BCE = 180o (ขนาดของมุมตรง) 3. BCE = BAD (สมบัติของการเทากัน)

คําตอบกิจกรรม “มุมในสวนโคงของวงกลม” คําตอบในกิจกรรม ∧

∧

1. AOC = 2( ABC ) 2. AOC = 2( ADC ) ∧

∧

3. ABC = ADC 4. มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน 5. ใช คําตอบแบบฝกหัด 1. 62o 2. 75o 3. 29o 4. 53o

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ค 1. แนวคิดในการพิสูจน ลาก AO และ CO D

B O A

∧

1. AOC = 2( ABC ) และ AOC = 2( ADC ) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง เดียวกัน) ∧

∧

2. 2( ABC ) = 2( ADC ) (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

3. ABC = ADC (สมบัติของการเทากัน) 2. 76o แนวคิดในการใหเหตุผล B 50 °

26 °

1. BCD = ABC = 50o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน และมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) 2. BAD = BCD = 50o (มุมในสวนโคงของวงกลมที่ รองรับดวยสวนโคงเดียวกันจะมีขนาดเทากัน) ∧

3. BAC = 50 + 26 = 76o

3. 36o 4. แนวคิดในการพิสูจน B

D X C

พิจารณา ∆ ABX และ ∆ CDX ∧

∧

1. ABX = CD X และ BA X = DC X (มุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน) 2. A XB = C X D (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน)

58 3. ∆ ABX ∼ ∆ CDX ----- ขอ 1 (ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยมที่ คลายกัน) BX = AX (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย) ----- ขอ 2 4. DX CX 5. BX ⋅ CX = DX ⋅ AX (สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน) ----- ขอ 3

คําตอบกิจกรรม “มุมและสวนโคงที่รองรับมุม” 1. 2) ทับกันไดสนิท 3) เทากัน 4) ถามุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับมุมทั้งสองนั้นจะ ยาวเทากัน 5) ใช 2. 2) ทับกันไดสนิท 3) เทากัน 4) ถามุมที่จุดศูนยกลางของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับมุมทั้งสองนั้นจะ ยาวเทากัน 5) ใช 3. 1) (1) เทากัน (2) เทากัน (3) ถามุมในสวนโคงของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะ ยาวเทากัน (4) ใช (5) แนวคิดในการพิสูจน

59 พิจารณา วงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ

∧

1. ACB = EDF (กําหนดให) ∧

A D

∧

3. AOB = ERF (สมบัติของการเทากัน) o = m(EF) o 4. m(AB) (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด เทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับมุมที่จุดศูนยกลางนัน้ จะยาว เทากัน)

∧

2. AOB = 2( ACB ) และ ERF = 2( EDF ) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง เดียวกัน)

2) แนวคิดในการพิสูจน ลาก AO , BO และ DO

∧

1. ACB = ACD (กําหนดให) ∧

O B A

∧

2. AOB = 2( ACB ) และ AOD = 2( ACD ) (มุมที่จุดศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคง เดียวกัน) ∧

∧

3. AOB = AOD (สมบัติของการเทากัน) o = m(AD) o (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่ 4. m(AB) จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับมุมที่ จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)

คําตอบกิจกรรม “มุมและสวนโคงที่รองรับมุม (ตอ)” 1. 2) ทับกันไดสนิท 3) เทากัน 4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จดุ ศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด เทากัน

60 5) ใช 2. 2) ทับกันไดสนิท 3) เทากัน 4) ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จดุ ศูนยกลางของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาด เทากัน 5) ใช 3. 1) แนวคิดในการพิสูจน พิจารณาวงกลม O และวงกลม R ที่เทากันทุกประการ ลาก AO , BO , DR และ FR o = m(DF) o (กําหนดให) 1. m(AB)

C O B A E

∧

2. AOB = DRF (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จดุ ศูนยกลางที่รองรับดวย สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน) ∧

∧

R F D

3. 2( ACB ) = 2( DEF ) (มุมที่จดุ ศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) ∧

∧

4. ACB = DEF (สมบัติของการเทากัน)

2) แนวคิดในการพิสูจน ลาก AO , BO และ CO o = m(AC) o (กําหนดให) 1. m(AB)

∧

2. AOB = AOC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง ยาวเทากัน แลวมุมที่จดุ ศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น จะมีขนาดเทากัน)

O C

∧

3. 2( ACB ) = 2( ABC ) (มุมที่จดุ ศูนยกลางของวงกลม จะมีขนาดเปนสองเทาของขนาดของมุมในสวนโคงของ วงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน) ∧

∧

4. ACB = ABC (สมบัติของการเทากัน)

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ง ∧

∧

1. ABC = 95o และ BCD = 82o แนวคิดในการใหเหตุผล ∧

∧

2. ABC = 180 – 85 = 95o

∧

o D 85

∧

1. ADC + ABC = 180o (ผลบวกของขนาดของ มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา) ∧

3. BAD + BCD = 180o (ผลบวกของขนาดของ มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา)

98 A

∧

4. BCD = 180 – 98 = 82o ∧

∧

2. ADB = 25o และ AEB = 25o แนวคิดในการใหเหตุผล C 25o D

B E

∧

1. ADB = ACB = 25o (ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี ขนาดเทากัน) 2. AEB = ACB = 25o (ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน สวนโคงของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมี ขนาดเทากัน)

o 3. m(DE) แนวคิดในการใหเหตุผล ∧

A E B C

∧

1. BAC = EAD (กําหนดให) o = m(DE) o (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมใน 2. m(BC) สวนโคงของวงกลมมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับ มุมทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน)

62 ∧

∧

4. BDC = 60o และ CAD = 50o 5. ADC = 43o และ BCD = 43o 6. AOC = 70o และ BOD = 70o 7. แนวคิดในการพิสูจน o = m(BC) o (กําหนดให) 1. m(AD)

∧

C B

∧

2. ABD = CDB (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน) 3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูน ั้นขนานกัน)

8. แนวคิดในการพิสูจน D B

A C

o = m(BC) o (กําหนดให) 1. m(BD) p = m(ACB) p (สวนโคงครึ่งวงกลมของวงกลม 2. m(ADB) วงเดียวกัน ยาวเทากัน) p – m(BD) o = m(ACB) p – m(BC) o หรือ 3. m(ADB) o = m(AC) o (สมบัติของการเทากัน) m(AD) ∧

∧

4. ACD = ADC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคง ยาวเทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน) 5. AD = AC (ถามุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีขนาดเทากัน แลวดานที่อยูตรงขามมุมทั้งสองนั้นจะยาว เทากัน) 6. ∆ ADC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่

9. แนวคิดในการพิสูจน o = m(DX) o (กําหนดให) 1. m(AX) C

B O D

A X

∧

2. AOX = DOX (ในวงกลมวงเดียวกน ถาสวนโคง ยาวเทากัน แลวมุมที่จดุ ศูนยกลางที่รองรับดวยสวนโคงนั้น จะมีขนาดเทากัน)

63 ∧

∧

3. AOC = BOD (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลว มุมตรงขามมีขนาดเทากัน) ∧

∧

4. AOC + AOX = BOD + DOX (สมบัติของการเทากัน) 5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.) 10. แนวคิดในการพิสูจน ลาก AO, BO, CO, DO และ EO ∧

A E

B O D

∧

1. AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 360o (มุมรอบจุดจุดหนึ่งมีขนาดเทากับ 360 องศา)

∧

2. 2( ADB ) + 2( BEC ) + 2( CAD ) + 2( DBE ) + 2( ECA ) = 360o (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

3. ADB + BEC + CAD + DBE + ACE = 180o (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

4. A + B + C + D + E = 180o

คําตอบกิจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” 1. 1) เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD ดังนั้น ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.) 2) เทากัน เพราะ มุมคูท ี่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน 3) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่ รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน 4) เทากัน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกิดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ลบดวยความยาวที่เทากันของสวนโคงของวงกลม 5) ใช 6) ใช

64 7) แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากัน ลาก AO, BO, DR และ ER 1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.)

C O B

∧

F R E

∧

2. AOB = DRE (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) o = m(DE) o (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ 3. m(AB) ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงทีร่ องรับ มุมที่จุดศูนยกลางนัน้ จะยาวเทากัน) o + m(ACB) p = m(DE) o + m(DFE) p 4. m(AB) (ตางก็มีความยาวเทากับความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ที่เทากันทุกประการ) p = m(DFE) p (สมบัติของการเทากัน) 5. m(ACB)

2. 1) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่ รองรับดวยสวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน 2) 3) 4) 5) 6)

∧

ลาก AO, BO, DR และ ER o = m(DE) o (กําหนดให) 1. m(AB)

∧

R D

∧

เทากันทุกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AOB = COD (ด.ม.ด.) AB = CD เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน ใช ใช แนวคิดในการพิสูจน กําหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากันทุกประการ C o = m(DE) o และ m(AB)

∧

2. AOB = DRE (ในวงกลมที่เทากันทุกประการ ถาสวนโคงยาวเทากัน แลวมุมที่จุดศูนยกลางที่รองรับดวย สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน) 3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)

65 4. AB = DE (ดานคูทสี่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

คําตอบกิจกรรม “รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทาแนบในวงกลม” คําตอบแบบฝกหัด 1. 1) ยาวเทากัน 2) ตั้งฉากกันและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน 3) แนวการสราง X C

5 ซม.

D Y

1. สรางวงกลม O ใหมีรัศมียาวเทากับ 102 = 5 เซนติเมตร 2. ลาก AB เปนเสนผานศูนยกลาง 3. สราง XY ตั้งฉากกับ AB ที่จุด O ตัดวงกลมที่จุด C และจุด D 4. ลาก AC, BC, BD และ AD จะได ADBC เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทีม่ ีเสนทแยงมุม AB ยาว 10 เซนติเมตร

66 2. 2) เปน 3) (1) เปน เพราะ ความยาวของแตละดานเทากับรัศมีของวงกลม เพราะ เปนขนาดของมุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทา (2) 60o (3) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนัน้ จะยาวเทากัน (4) เทากัน เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน (5) 60o

∧

เพราะ FOA มีขนาดเทากับขนาดของมุมรอบจุด O ลบดวยผลบวก ∧

(6) เทากัน เพราะ (7) เทากัน เพราะ (8) เปน (9) 120o

เพราะ เพราะ

ของขนาดของมุมในขอ (2) FOA = 360 – (5 × 60) ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนัน้ จะยาวเทากัน ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน ทุกดานมีความยาวเทากัน แตละมุมมีขนาดเทากับผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมุม ของรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่เรียงตอกัน

(10) เปน 4) (1) 120 o (2) 720 o คําตอบแบบฝกหัด 1) 3 มุม 2) 8 มุม 3) 12 มุม 4) 16 มุม

แตละมุมมีขนาด แตละมุมมีขนาด แตละมุมมีขนาด แตละมุมมีขนาด

120 o 45 o 30 o 22.5 o

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ก 1. แนวคิดในการพิสูจน o = m(AC) o (กําหนดให) 1. m(AB) 2. AB = AC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทัง้ สอง นั้นจะยาวเทากัน) 3. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)

2. แนวคิดในการพิสูจน o = m(BC) o (กําหนดให) 1. m(AB) 2. AB = BC (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัด วงกลม ทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทัง้ สองนั้น จะยาวเทากัน)

D O

∧

3. ADB = CEB (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาสวนโคงยาว เทากัน แลวมุมในสวนโคงของวงกลมที่รองรับดวย สวนโคงนั้นจะมีขนาดเทากัน) 4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.) 5. BD = BE (ดานคูทสี่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

3. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร

∧

O C

∧

2. สราง AOB และ BOC ใหแตละมุมมีขนาด 120o 3. ลาก AB, BC และ AC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา A

68 แนวคิดในการพิสูจน ∧

∧

1. AOB = BOC = 120o (จากการสราง) ∧

(ขนาดของมุมรอบจุดจุดหนึง่ เทากับ 360 องศา) 2. จะได AOC = 120o o = m(BC) o = m(CA) o (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาด 3. m(AB) เทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่จุดศูนยกลางนั้นจะ ยาวเทากัน) 4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหได สวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน) 5. ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 4. แนวการสราง P

1. สรางวงกลม O โดยใชรัศมียาวพอสมควร 2. ลากเสนผานศูนยกลาง AE C

∧

3. สราง PQ แบงครึ่ง AOE ตัดวงกลมที่จุด C และจุด G ∧

จะได AOC = 90o ∧

4. สราง XY แบงครึ่ง AOC ตัดวงกลมที่จดุ B และจุด F

∧

จะได AOB = 45o ∧

5. สราง MN แบงครึ่ง COE ตัดวงกลมทีจ่ ดุ D และจุด H

∧

จะได COD = 45o 6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA จะไดรูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลีย่ มดานเทามุมเทา

แนวคิดในการพิสูจน ∧

∧

1. AOB = BOC = COD = DOE = EOF = FOG = G OH = HOA = 45o (จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามจะมีขนาดเทากัน) o = m(BC) o = m(CD) o = m(DE) o = m(EF) o = m(FG) o = m(GH) o = m(HA) o 2. m(AB) (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่ จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน)

69 3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA (ในวงกลมวงเดียวกัน ถาคอรดสองคอรดตัดวงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรด ทั้งสองนั้นจะยาวเทากัน) 4. รูป ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลีย่ มดานเทา (มีดานยาวเทากันทุกดาน) 5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ ทีม่ ีมุมยอดขนาด 45 องศา 6. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วแตละรูปมีขนาดเทากับ 1802− 45 = 67.5 องศา (ขนาดของมุมภายในทัง้ สามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา) ∧

∧

7. ABC = BCD = CDE = DEF = E FG = FG H = G HA = HAB = 67.5 × 2 = 135o 8. จะไดรปู ABCDEFGH เปนรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา (จากขอ 4 และขอ 7) 5. แนวการสรางและพิสูจนทําไดในทํานองเดียวกับขอ 3 จากรูปการสรางขางลางนี้ จะได รูป ABCDEFGHIJKL เปนรูปสิบสองเหลี่ยมดานเทามุมเทา D

C B

F G

30o

A L

H I

คําตอบกิจกรรม “คอรดกับจุดศูนยกลางของวงกลม” 1. แนวคิดในการพิสูจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) 2. AX = BX (ดานคูทสี่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

O A

70 2. แนวคิดในการพิสูจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.) ∧

O A

∧

2. A XO = BXO (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่ เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) B

∧

3. A XB = A XO + BXO = 180o (ขนาดของมุมตรง) 4. A XO = BXO = 90o (จากขอ 2 และขอ 3)

คําตอบแบบฝกหัด 1. 16 เซนติเมตร 2. 13 เซนติเมตร 3. 3.9 เซนติเมตร 4. 1) 21 เซนติเมตร 2) มีลักษณะเปนวงกลม

คําตอบกิจกรรม “หาจุดศูนยกลาง” 1. แนวคิด 1. สรางเสนตรง A 1 ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB 2. สรางเสนตรง A 2 ตั้งฉากและแบงครึ่ง BC 3. ใหเสนตรง A 1 ตัดกับเสนตรง A 2 ที่จุด O จะไดจุด O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม

C A1

O B

71 2. D

C A2 A1

ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกัน เสนตรง A 1 และ A 2 ที่เปนเสนตั้งฉากและแบงครึ่งคอรดทั้งสอง จะทับกันเปนเสนตรงเดียวกัน จึงไมสามารถหาจุดตัด ที่เปนจุดศูนยกลางของวงกลม

คําตอบกิจกรรม “วงกลมผานจุดที่กําหนด” 1. สรางวงกลมผานจุด A ไดจาํ นวนวงกลมนับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นเปนจุดตาง ๆ บนระนาบ 2. A สรางวงกลมผานจุด A และจุด B ไดจํานวนวงกลม นับไมถวน และจุดศูนยกลางของวงกลมเหลานั้นจะเรียง อยูบนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่ง AB O2 O1

A O3

3. ตัวอยางการสราง C A

สรางวงกลมผานจุด A, B และ C ไดวงเดียวและ จุดศูนยกลางของวงกลมอยูทจี่ ุดตัดของเสนตรงสองเสน ซึ่งเปนเสนตรงที่ตั้งฉากและแบงครึ่งสวนของเสนตรง สองเสนที่เชื่อมสองจุดใด ๆ ของจุด A, B และ C

72 4. สรางไมได 5. สรางไมได

คําตอบกิจกรรม “รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม” 1. 180o 2. 180o 3. 180o

เพราะ กําหนดให เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมภายในทัง้ สี่มุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เทากับ 360 องศา เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเทากับ 180 องศา เพราะ สมบัติของการเทากัน เพราะ สมบัติของการเทากัน

4. เทากัน 5. ได

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ข A

E O

แนวการสรางและแนวการพิสูจน ทําไดในทํานอง เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ในหนังสือเรียนหนา 121 – 122

B A2

E B

O C

F A2

ใหจดุ A, B และ C เปนตําแหนงของโรงเรียน โรงพยาบาล และทารถประจําทาง ตามลําดับ เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานอง เดียวกันกับกิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ใน หนังสือเรียน หนา 121 – 122 จะไดตําแหนงที่สรางตลาดสดอยูที่จดุ ศูนยกลางของ วงกลม ที่ผานจุด A, B และ C

73 3. B

C O

กําหนดจุด A, B และ C บนขอบจานที่จดุ เหลานี้ไมอยูใ น แนวเสนตรงเดียวกัน เมื่อใชแนวการสราง และแนวการพิสูจนในทํานองเดียวกันกับ กิจกรรม “จุดศูนยกลางวงลอม” ในหนังสือเรียนหนา 121 – 122 จะไดจุดศูนยกลางของจานซึ่งทําใหหาความยาวของรัศมีของ จานได ตอจากนั้นจึงใชความยาวของรัศมีหาความยาวของ เสนรอบจาน

4. แนวคิดในการพิสูจน ∧

∧

1. ODC = OEC = 90o (กําหนดให)

∧

D O A E

∧

2. ODC + OEC = 180o (จากขอ 1) 3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)

5. แนวคิดในการพิสูจน ∧

1. ให ABD มีขนาดเปน xo (180 – 2x)o B o x 2xo A xo D

∧

2. จะได DBC = 2xo (กําหนดให) 2xo C

∧

3. ABD = ADB = xo (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม หนาจัว่ มีขนาดเทากัน) 4. DBC = DCB = 2xo (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม หนาจัว่ มีขนาดเทากัน) ∧

∧

5. จะได DAB + BCD = (180 – 2x) + 2x = 180o 6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มี ผลบวกของขนาดของมุมตรงขามเทากับสองมุมฉาก แลว รูปสี่เหลี่ยมนั้นแนบในวงกลมวงหนึ่งได)

คําตอบกิจกรรม “คอรดที่ยาวเทากัน” 1. 1) เทากัน 2) เทากัน 3) เทากัน 4) 5) 6) 7)

เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรด ที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด เพราะ สมบัติของการเทากัน ∧

∧

เทากันทุกประการ เพราะ OEB = OFC = 90o, OB = OC และ BE = CF (ฉ.ด.ด.) เทากัน เพราะ ดานคูท่สี มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน เทากัน ใช

2. 1) เทากันทุกประการ เพราะ OEB = OFC = 90o, OB = OC และ OE = OF (ฉ.ด.ด.) 2) เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน 3) เทากัน เพราะ สมบัตขิ องการเทากัน 4) เทากัน เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด 5) เทากัน เพราะ สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด 6) เทากัน เพราะ สมบัตขิ องการเทากัน 7) ใช

คําตอบแบบฝกหัด 3.3 ค 1. 5 เซนติเมตร 2. แนวคิดในการพิสูจน C O A

1. AD = BD (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของ วงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง จะแบงครึง่ คอรด) 2. ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ม.ด.)

75 3. AC = BC (ดานคูทสี่ มนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 4. AC และ BC อยูหางจากจุด O เทากัน (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาวเทากัน แลวคอรด ทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของวงกลมเปนระยะ เทากัน) 3. แนวคิดในการพิสูจน

ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากัน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทีเ่ ทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน) 5. BE + EP = DF + FP (สมบัติของการเทากัน) 6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)

F E P A C

4. แนวคิดในการพิสูจน C

D P

O A

ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตั้งฉาก กับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองเสนยาว เทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้นจะอยูหางจากจุดศูนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากัน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมทีเ่ ทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 4. BE = DF (ตางก็ยาวเปนครึ่งหนึ่งของคอรดที่ยาวเทากัน) 5. EP – BE = FP – DF (สมบัติของการเทากัน) 6. BP = DP (สมบัติของการเทากัน)

76 5. แนวคิดในการพิสูจน C

F D O

B E

ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) 4. OB2 = OD2 (สมบัติของการเทากัน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบัติของการไมเทากัน) 6. AB > CD (กําหนดให) CD 7. AB 2 > 2 (สมบัติของการไมเทากัน) CD 8. EB = AB 2 และ FD = 2 (สวนของเสนตรงซึ่งผาน

9. 10. 11. 12. 13.

จุดศูนยกลางของวงกลมและตั้งฉากกับคอรดที่ไมใช เสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรด) EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8) EB2 > FD2 (EB และ FD เปนจํานวนบวก) OE2 < OF2 (จากขอ 5 และขอ 10) OE < OF (OE และ OF เปนจํานวนบวก) AB อยูใกลจดุ ศูนยกลางของวงกลมมากกวา CD

6. แนวคิดในการพิสูจน สําหรับกรณีวงกลมวงหนึ่ง C

F D O

B E

ให O เปนจุดศูนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดที่อยูใกล จุด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตั้งฉากกับ AB และ CD ที่จุด E และจุด F ตามลําดับ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 3. OB = OD (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) 4. OB2 = OD2 (สมบัติของการเทากัน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบัติของการเทากัน) 6. OE < OF (กําหนดให) 7. OE2 < OF2 (OE และ OF เปนจํานวนบวก)

77 8. 9. 10. 11.

EB2 > FD2 (จากขอ 5 และขอ 7) EB > FD (EB และ FD เปนจํานวนบวก) 2(EB) > 2(FD) (สมบัติของการไมเทากัน) AB > CD (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของ วงกลมและตั้งฉากกับคอรดทีไ่ มใชเสนผานศูนยกลาง จะแบงครึง่ คอรด)

สําหรับกรณีวงกลมที่เทากันทุกประการ จะใชแนวคิดในการพิสูจนทาํ นองเดียวกัน

คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี” 1. 3. 4. 5.

เปน ตั้งฉาก ตั้งฉาก ใช

คําตอบในกิจกรรม 1) PC 2) เปน

คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” คําตอบในกิจกรรม 1. (1) ตั้งฉาก

เพราะ ไดสรางให XY ตั้งฉากกับ OB ที่จุด A X C A B Y

(2) เปน

เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลม จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนัน้

78 2. (1) เปน (2) 90o

เพราะ แตละมุมเปนมุมในครึ่งวงกลม R ซึ่งมุมในครึ่งวงกลม มีขนาด 90 องศา ∧

∧

(3) ตั้งฉาก เพราะ OA X = 90o และ OBX = 90o (4) สัมผัสวงกลม O เพราะ เสนตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบน วงกลม จะเปนเสนสัมผัสวงกลมที่จุดนัน้ (5) สองจุด (6) เทากัน เพราะ ∧

A O

∧

OA X = OBX = 90o (จากขอ (2)) OX = OX ( OX เปนดานรวม) AO = BO (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเทากัน) จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) ดังนั้น AX = BX (ดานคูท ี่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)

B Q

คําตอบแบบฝกหัด (หนา 135)

แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 1 ของ กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน หนา 132 – 133

A O

P B

Q O

X R B

แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับในขอ 2 ของ กิจกรรม “เสนสัมผัสวงกลมและรัศมี (ตอ)” ในหนังสือเรียน หนา 132 – 133

79 3. 1) 63o 2) 117 o

คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ก 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

17 เซนติเมตร 104o 130o 55o 40o 40o แนวคิดในการพิสูจน ∧

X A

∧

1. YAO = PBO = 90o (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส) 2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําให มุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูน ั้นขนานกัน)

8. แนวคิดในการพิสูจน E Y

ลาก CO และ DO 1. EX ⊥ AB (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของ วงกลมทีจ่ ุดสัมผัส)

O A

∧

2. E XB = 90o (จากขอ 1) X

∧

3. CY X = E XB = 90o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกัน และมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาดเทากัน) 4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.) 5. COY = DOY (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

o (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่ o = m(DE) 6. m(CE) จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่ จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน) 9. แนวคิดในการพิสูจน ∧

∧

2. ACB = 90o (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)

O C A

∧

1. BAC + CA Y = 90o (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส) ∧

∧

3. CA Y + A YB = 90o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา)

∧

4. BAC + CA Y = CA Y + A YB = 90o (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

5. BAC = A YB (สมบัติของการเทากัน) 10. แนวคิดในการพิสูจน 1. ABO = ACO = 90o (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส) 2. OA = OA ( OA เปนดานรวม) 3. AB = AC (สวนของเสนตรงที่ลากมาจากจุดจุดหนึ่ง ภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกัน จะยาวเทากัน) 4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.)

C O A

5. AOB = AOC (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่ เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

11. แนวคิดในการพิสูจน ลาก BO และ CO

C D

∧

O B

∧

1. AOB = AOC ∧

∧

(จากการพิสูจนในขอ 10) ∧

∧

2. BOD + AOB = COD + AOC = 180o (ขนาดของมุมตรง) ∧

∧

3. BOD = COD

(สมบัติของการเทากัน)

o (ในวงกลมวงเดียวกัน ถามุมที่ o = m(CD) 4. m(BD) จุดศูนยกลางมีขนาดเทากัน แลวสวนโคงที่รองรับมุมที่ จุดศูนยกลางนั้นจะยาวเทากัน) 5. BD = CD (ในวงกลมวงหนึ่ง ถาคอรดสองคอรดตัด วงกลมทําใหไดสวนโคงยาวเทากัน แลวคอรดทั้งสองนั้น จะยาวเทากัน) 12. แนวคิดในการพิสูจน ลาก BO และ CO 1. ∆ BOC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)

C D

∧

(จากการพิสูจนในขอ 10) 2. AOB = AOC 3. OD ทีแ่ บงครึ่งมุมยอดของ ∆ OBC จะตัง้ ฉากและแบงครึ่ง BC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ )

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” C

r Q

r D 2 a

E X

A Y

1 เครื่องหมายกาชาดมีพื้นที่ r2 ⎛⎜ 7 − 2 ⎞⎟ ตารางหนวย ⎝ ⎠ แนวคิด ลาก DX ตัด OA ที่จุด E จะได ODE เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a 2 จาก ∆ ODE จะได a2 + a2 = r4 2

2 r = 4

หนวย 2 2 หนวย = r 2

ฉะนั้น DX = QX = 2a

พื้นที่ของรูปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย = (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย และจะไดวา PY

PQ + XY

= 2 r 2 − a 2 (สวนของเสนตรงซึ่งผานจุดศูนยกลางของวงกลม และตั้งฉากกับคอรดที่ไมใชเสนผานศูนยกลาง จะแบงครึ่งคอรดนั้น) = 2 r 2 − a 2 − 2a

( 2a ( 4

ดังนั้นพืน้ ที่ของรูปกาชาด = 2a 2 r 2 − a 2 + 2 r 2 − a 2 − 2a = =

r 2 − a 2 − 2a

r ⎛ 4 r2 − r2 8 2 ⎜⎝

⎛ = ⎜ 4r ⋅ ⎝ 2

7r 2 ⎞ 8 ⎟⎠

⎛ 4r r 7 ⎞ = ⎜ ⋅ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠

)

−

r ⎞ 2 ⎟⎠

−

r2 2

−

r2 2

2 4 7 r r2 = − 4 2

1 = r2 ⎛⎜ 7 − 2 ⎞⎟ ตารางหนวย ⎝ ⎠

คําตอบกิจกรรม “นารู” 14 องศา

)

คําตอบกิจกรรม “วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม” คําตอบแบบฝกหัด 1.

แนวการสราง ทําไดในทํานองเดียวกันกับกิจกรรม “วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม” ในหนังสือเรียน หนา 141

O C

O B

84 จากรูป ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย y = 6 – x -------- 1 8 – y = 10 – x -------- 2 จะได 8 – (6 – x) = 10 – x 2 + x = 10 – x 2x = 8 x = 4 แทน x ใน 1 จะได y = 6–4 y = 2

10 – x 8–y D F

B 6–x E

เนื่องจากรัศมีของวงกลม O เทากับ y หนวย ( BEOF เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ดังนั้น รัศมีของวงกลม O เทากับ 2 หนวย

คําตอบกิจกรรม “เสนสัมผัสและคอรด” 1. 1) 2) 3) 4) 5)

90o 90o 90o เทากัน เทากัน เพราะ สมบัตขิ องการเทากัน ∧

∧

6) เทากัน เพราะ ADB = ACB (ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคงของวงกลมที่ รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาดเทากัน) 2. แนวคิดในการพิสูจน ลากเสนผานศูนยกลาง AD และลาก CD

∧

1. ACD = 90o (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา)

∧

2. ADC + CAD = 90o (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุม ของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเทากับ 180 องศา) X

85 ∧

∧

3. CAD + CA Y = 90o (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับ รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส) ∧

∧

4. ADC + CAD = CAD + CA Y (สมบัติของการเทากัน) ∧

∧

5. ADC = CA Y (สมบัติของการเทากัน) 6. ADC = ABC (ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในสวนโคง ของวงกลมที่รองรับดวยสวนโคงเดียวกัน จะมีขนาด เทากัน) 7. CA Y = ABC (สมบัติของการเทากัน) 8. ในทํานองเดียวกัน เมื่อลาก BD จะพิสูจนไดวา BA X = ACB

คําตอบแบบฝกหัด 3.4 ข ∧

∧

1. BAC = 65o และ ACB = 80o 2. 44o ∧

∧

3. ADC = 55o, ABC = 125o และ DCB = 38o 4. 6 หนวย (แนวคิดของการหาคําตอบทํานองเดียวกันกับแนวคิดของการหาคําตอบขอ 2 ของกิจกรรม “วงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม”) 5. 17 เซนติเมตร แนวคิด x = 5 – y จะได y = 5 – x x A (5 – y) เนื่องจาก BC = 14 – x + 8 – y y (14 – x) D จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x) y B O BC = 17 เซนติเมตร (14 – x)

8–y

คําตอบกิจกรรม “คิดหนอย” รัศมีของวงกลมยาว 2 2 หนวย แนวคิด A ลาก AE ⊥ BC เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 8 จะได AE แบงครึ่ง BC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) 12 x F O และ AE ผานจุดศูนยกลาง O 4 (เสนสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส)

E 4 C

AE2 = 122 – 42 = 144 – 16 = 128 ใหรัศมีของวงกลมยาว x หนวย จะได AO2 = x2 + 82 AO = AO + x = x 2 + 64 + x

x 2 + 64 x2 + 64 x2 + 64 64 2 128 x 128 x

= = = = = =

x 2 + 64 128

128

128 – x ( 128 – x)2 128 – 2 128 x + x2 128 – 2 128 x 128 – 64 32 32 = 2 32 32 ⋅ 32 = 2 32 32 32 = 4 2 = 2 2 หนวย = 2 2

คําตอบกิจกรรม “ไกลแคไหน” 1. ประมาณ 6,271.5 กิโลเมตร 2 คํานวณจาก r = 1122 − 1 2. มากกวา เพราะ ระยะ 112 กิโลเมตร เปนระยะทีว่ ดั ในแนวสวนของเสนตรง แต สวนโคงของโลก ( CoB) ยาวกวา 112 กิโลเมตร 3. 1) ประมาณ 35.78 กิโลเมตร คํานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 0.1) + (0.1)2 2) ประมาณ 339.5 กิโลเมตร คํานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 9) + 92 3) มองไดไกลมากขึ้น เพราะ d2 = 2rh + h2 เมื่อ h มากขึ้น จะทําให d2 มากขึ้นดวย ดังนั้น จํานวนที่แทน d จะเปนจํานวนที่มากขึน้

คําตอบกิจกรรม “ระยะรอบโลก” ประมาณ 21 กิโลเมตรตอชั่วโมง 40,076 ≈ 21 กิโลเมตรตอชั่วโมง คํานวณจาก 80 × 24

92 5. กิจกรรม “คิดไดไหม” เปนการเชือ่ มโยงเรื่องสมการเศษสวนของพหุนามกับความคลาย ในการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 4.1 ก 1. 1) 25 (x + 7) 1 2) (2x + 3)(3x หรือ 2 1 + 2) 6x + 13x + 6 3) xx +− 12 3y(2y + 3) 6y 2 + 9y 4) (y − 1)(1 − 2y) หรือ -2y 2 + 3y − 1 y +1 5) y − 5 2 + 10 6) 23 (x + 1)(x + 5) หรือ 2x + 12x 3 2(2z − 7) หรือ 4z − 14 7) -z(3z + 8) -3z 2 − 8z 2 2(x − 2)(x − 1) 2x − 6x + 4 8) หรื อ (x + 2) x+2 2 -(3z − 4)(z + 5) -3z − 11z + 20 9) หรื อ 3 3 y −1 10) y − 3

1) xx +− 37 2) 2z2(z – 1) หรือ 2z3 – 2z2 3) (5a – 4)(a – 1) หรือ 5a2 – 9a + 4 4) 2(5y1 − 4) หรือ 10y1 − 8

93 3y − 1 y−2 6) xx −− 45 7) 2 4z z − 4z + 16 24 8) (x − 3)(2x หรือ 2 24 − 9) 2x − 15x + 27

3. +1 1) 2x 3x − 1

2) 1

คําตอบแบบฝกหัด 4.1 ข x + 11 1. 2x −2 2 2 3x + 8x + 6 3x 2. (x + 2)(x − 3)(x + 3) หรือ 3 +2 8x + 6 x + 2x − 9x − 18

2y 2 + 6y − 36 3. 2y + 9 -12 -12 4. (x + 6)(x หรื อ 2 − 6) x − 36 7y 7y 5. (y + 2)(y − 5)(2y − 3) หรือ 3 2 2y − 9y − 11y + 30 -8y 2 + 41y + 14 6. y −5

6x 2 − 4x 4x 3 − 4x 2 − x + 1

2 2 + 37x + 10 หรือ -6x + 37x + 10 8. -6x (x + 2)(x − 2) x2 − 4 + 5) + 265 9. 4(x53(x หรือ 53x 2 + 1)(5x − 9) 20x − 16x − 36 10. 3xx ++ 63

คําตอบแบบฝกหัด 4.2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

-1 2 -5 และ 5 1 และ 4 -4 ไมมีคําตอบ 3 ไมมีคําตอบ -6 2 และ 5 4 1 5 3 -3 และ 4 ไมมีคําตอบ -4 และ 3 2 2 และ 5

คําตอบแบบฝกหัด 4.3 1. 20 บาท ตัวอยางแนวคิด

2. 60 กิโลกรัม ตัวอยางแนวคิด

ใหเดิมหนังสือราคาเลมละ x บาท 200 จะไดสมการเปน ⎛⎜ x − 2 ⎞⎟ (x + 5) = 200 ⎝ ⎠ ใหพอคาซื้อสมมา x กิโลกรัม 540 จะไดสมการเปน (x + 20) ⎛⎜ x ⎞⎟ = 12x ⎝ ⎠

95 3. กระดาษที่เย็บเปนเลมชุดแรกมี 20 แผน กระดาษที่เย็บเปนเลมชุดหลังมี 25 แผน ตัวอยางแนวคิด ใหกระดาษทีเ่ ย็บเปนเลมชุดแรกมี x แผน 200 จะไดสมการเปน 200 x + x + 5 = 18 4. 3 กิโลเมตร ตัวอยางแนวคิด

ใหเดิมศจีเดินไดชั่วโมงละ x กิโลเมตร ถาศจีเดินเร็วขึ้นอีก 1 ชั่วโมง เดินทาง 9 กิโลเมตร ใชเวลานอยลง 45 นาที = 43 ชั่วโมง จะไดสมการเปน x9 − x 9+ 1 = 43

5. พงษพิมพไดนาทีละ 65 คํา พันธพิมพไดนาทีละ 30 คํา ตัวอยางแนวคิด ใหพงษพิมพดดี ไดนาทีละ x คํา 150 จะไดสมการเปน 325 x = x − 35 6. ศักดิ์เดินดวยอัตราเร็ว 4 กิโลเมตรตอชั่วโมง สรรคเดินดวยอัตราเร็ว 2 12 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหศักดิ์เดินดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง จะไดสมการเปน 10 1 – 10 = 1 12 x −1 2 x 7. 40 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหรถไฟแลนดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง 60 60 120 จะไดสมการเปน ⎛⎜ x + x − 8 ⎞⎟ − x = 22 12 × 601 ⎝ ⎠ 8. 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของรถในระยะแรกเปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง จะไดสมการเปน 120 + 200 = 4 x x + 40

96 9. 60 นาที ตัวอยางแนวคิด

10. 24 นาที ตัวอยางแนวคิด

11. 20 วัน ตัวอยางแนวคิด

ใหโองที่สามไดน้ําจากกอกทีส่ องเพียงกอกเดียวและไดน้ําเต็มโองในเวลา x นาที ในเวลา 1 นาทีโองที่สามไดน้ําจากกอกทีส่ อง 1x ของโอง ในเวลา 1 นาทีโองแรกไดนา้ํ จากกอกที่หนึ่ง 301 ของโอง 1 ของโอง ในเวลา 1 นาทีโองที่สองไดน้ําจากทั้งสองกอก 20 1 จะไดสมการเปน 1x + 301 = 20

ใหเปดทอใหญทอเดียวใชเวลา x นาที น้ําจึงจะเต็มสระ จะไดสมการเปน 1x + x +116 = 151

ให ข ทํางานคนเดียวเสร็จในเวลา x วัน ในเวลา 1 วัน ข ทํางานได 1x ของงาน ในเวลา 1 วัน ก ทํางานได 23 × 1x ของงาน

ในเวลา 1 วัน ก และ ข ชวยกันทํางานได 121 ของงาน จะไดสมการเปน 3x2 + x1 = 121

12. 22 ชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด

ใหผูใหญ 1 คนทํางานเสร็จในเวลา x ชั่วโมง ผูใหญ 1 คนทํางาน 1 ชั่วโมงไดงาน 1x ของงาน ผูใหญ 9 คนทํางาน 2 ชั่วโมงไดงาน 18x ของงาน ผูใหญ 9 คน เด็ก 6 คน ทํางานเสร็จใน 2 ชั่วโมง ดังนั้น เด็ก 6 คน ทํางาน 2 ชั่วโมงไดงาน 1 – 18x = x −x18 ของงาน − 18 ของงาน เด็ก 1 คน ทํางาน 1 ชั่วโมงไดงาน x12x เด็ก 7 คน ทํางาน 3 ชั่วโมงไดงาน 21(x12x− 18) ของงาน

97 ผูใหญ 5 คน ทํางาน 3 ชั่วโมงไดงาน 1x × 15 = 15x ของงาน ตามเงื่อนไขโจทย ผูใหญ 5 คน เด็ก 7 คน ทํางาน 3 ชั่วโมง ไดงาน 1 งาน จะไดสมการเปน 21(x12x− 18) + 15x = 1

คําตอบกิจกรรม “กระแสน้ํา” 1. 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของเรือที่พายทวนน้ําเปน เนื่องจาก อัตราเร็วของกระแสน้ําเปน จะได อัตราเร็วของเรือที่พายในน้ํานิ่งเปน อัตราเร็วของเรือที่พายตามน้ําเปน (x+ 5) + 5

x 5 x+5 = x + 10

กิโลเมตรตอชั่วโมง กิโลเมตรตอชั่วโมง กิโลเมตรตอชั่วโมง กิโลเมตรตอชั่วโมง พายเรือทวนน้าํ ใชเวลามากกวาพายรือตามน้ํา 40 นาที = 23 ชั่วโมง จะไดสมการเปน x5 – x +510 = 23

2. 5 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหกระแสน้ํามีอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง เนื่องจาก ระยะทาง 5 กิโลเมตร ใชเวลากรรเชียงเรือตามน้ํา 12 นาที = 15 ชั่วโมง จะได อัตราเร็วของเรือกรรเชียงตามน้ําเปน 15 = 25 กิโลเมตรตอชั่วโมง 5 ดังนั้น อัตราเร็วของเรือในน้ํานิ่งเปน 25 – x กิโลเมตรตอชั่วโมง นั่นคือ อัตราเร็วของเรือกรรเชียงทวนน้ําเปน 25 – 2x กิโลเมตรตอชั่วโมง 20 จะไดสมการเปน 25 −5 2x = 60 3. 19 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของเรือในน้ํานิง่ เปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง จะไดสมการเปน x48 + 28 = 4 +5 x −5

98 4. 10 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหกระแสน้ํามีอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง 45 จะไดสมการเปน 3010− x + 3010+ x = 60 5. อัตราเร็วของกระแสน้ํา 6 กิโลเมตรตอชั่วโมง อัตราเร็วของเรือในน้ํานิ่ง 20 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของกระแสน้ําเปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง จะไดอัตราเร็วของเรือในน้ํานิ่งเปน 3x + 2 กิโลเมตรตอชั่วโมง จะไดสมการเปน (3x +282) − x – (3x +262) + x = 1

คําตอบกิจกรรม “รถไฟ” 1. 89 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของรถยนตเปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง รถยนตยาว 3 เมตร เทากับ 0.003 กิโลเมตร รถไฟยาว 200 เมตร เทากับ 0.2 กิโลเมตร 25.2 จะไดสมการเปน x0.203 = 3,600 − 60 2. 75 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของรถไฟแตละขบวนเปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง 18 จะไดสมการเปน 0.352x+ 0.4 = 3,600 3. 60 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหรถไฟแลนดวยอัตราเร็ว x กิโลเมตรตอชั่วโมง เวลาที่รถไฟวิง่ ผานสถานีเทากับ 0.08 +x 0.02 ชั่วโมง ชั่วโมง เวลาที่รถไฟวิง่ ผานสมศักดิ์เทากับ 0.08 x 0.08 + 0.02 ⎞ 0.08 1.2 – = จะไดสมการเปน ⎛⎜ ⎟ x 3,600 ⎝ ⎠ x

99 4. 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง ตัวอยางแนวคิด ใหอัตราเร็วของรถไฟขบวน ก เปน x กิโลเมตรตอชั่วโมง จะได อัตราเร็วของรถไฟขบวน ข เปน x – 20 กิโลเมตรตอชั่วโมง + 0.065 เวลาที่รถไฟขบวน ก และขบวน ข สวนทางกัน เทากับ 0.08 x + (x − 20) ชั่วโมง เวลาที่รถไฟขบวน ก แลนผานสมศรี เทากับ 0.08 x ชั่วโมง + 0.065 – 0.08 = 0.02 จะไดสมการเปน 0.08 x + (x − 20) x 3,600

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” เพราะ n n+ 1 − n n− 1

−

(n − 1)(n + 1) (n + 1)n

−

n2 −1 (n + 1)n

n×n (n + 1)n

n2 (n + 1)n

n2 − n2 +1 (n + 1)n 1 (n + 1)n

เมื่อ n แทนจํานวนจริงที่ไมเทากับ -1 และ 0

คําตอบกิจกรรม “คิดไดไหม” A

h–1

h+ 4 3

100

แนวคิด

ให AD เทากับ h หนวย จะได BD = h – 1 และ CD = h + 43 ∧ ∧ เนื่องจาก BAD = ACD ดังนั้น ∆ ABD ∼ ∆ CAD BD จะได AD = h −1 = นั่นคือ h

หนวย หนวย ∧

∧

และ ADB = CDA = 90o

AD CD h h + 43

4 (h – 1) ⎛⎜ h + 3 ⎞⎟ = h2 ⎝ ⎠ h2 + 13 h – 43 = h2

ดังนั้น AD = BD = = CD = =

h = 4 4 หนวย 4–1 3 หนวย 4 + 43 16 หนวย 3

BC = BD + CD = 3 + 163 = 25 3 หนวย

นั่นคือ พื้นทีข่ อง ∆ ABC = 12 × 25 3 ×4 = 503 หรือ 16 23 ตารางหนวย