Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21.12.2009 г., регистрационный № 760
Учебно-методический комплекс разработан Е. М. Вечтомовым, д-ром физ.мат. наук, проф., зав. кафедрой алгебры и дискретной математики ВятГГУ Рецензент – А. В. Михалёв, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова
Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ 29 августа 2011, протокол № 1
© Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2011 © Вечтомов Е. М., 2011 2
Рабочая программа учебной дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» Цель дисциплины – формирование представлений о порядковой структуре, ее месте в различных разделах высшей математики и их приложениях. Задачи дисциплины: - дать знание определений порядковых понятий и их важнейших свойств; - научить работать с порядковыми и алгебраическими объектами; - ознакомить с взаимосвязями между фундаментальными типами математических структур; - привить навыки современного алгебраического мышления; - познакомить с главными направлениями развития математики. Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный, научнометодический и научно-исследовательский виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессиональной деятельности: в области учебно-воспитательной деятельности: - осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой; - планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом; - использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения; - использование технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий; - применение современных средств оценивания результатов обучения; - формирование и воспитание обучаемых в духе нравственных ценностей и патриотических убеждений на основе индивидуального подхода; в области научно-методической деятельности: - выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических объединений; - анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации; в области научно-исследовательской деятельности: - выполнение научно-исследовательской работы, участие в работе научных семинаров и конференций; - анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации. 3
Изучение теории упорядоченных множеств и решеток формирует у магистрантов как общую, так и специальную математическую культуру, развивает их абстрактное логическое мышление, способствует формированию научного мировоззрения. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Упорядоченные множества и решетки» является авторским курсом и преподается магистрантам-математикам очной формы обучения во 2-м семестре. Вместе с курсами Современная алгебра, Алгебраические методы в информатике, Криптография и защита информации, Теория полуколец и курсами по выбору данная дисциплина составляет профессиональный цикл учебного плана. Курс «Упорядоченные множества и решетки» опирается на курс современной алгебры магистратуры и на базовые алгебраические дисциплины бакалавриата (специалитета), взаимодействует с другими дисциплинами магистратуры и служит одной из основ курса «Теория полуколец». В своей теоретической части курс носит универсальный и структурный характер и в то же время необходим для успешной научноисследовательской работы магистрантов. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» (на основе программы бакалавриата) Знать: определение и простейшие свойства упорядоченных множеств; Уметь: узнавать и проверять свойства бинарных отношений; проводить теоретические доказательства и строить примеры. Владеть: основными методами решения задач по общей алгебре, дискретной математике и математической логике. В результате освоения дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: Знать: основные понятия, результаты и методы теории упорядоченных множеств; фундаментальные понятия и свойства решеток; главные направления и тенденции развития теории решеток и булевых алгебр. Уметь: работать с порядковыми понятиями; доказывать свойства порядковых объектов; строить примеры и контрпримеры по теории упорядоченных множеств и решеток;
4
решать стандартные задачи по теории упорядоченных множеств и решеток; применять порядковые понятия и результаты при решении исследовательских задач. Владеть: понятиями, фактами и методами теории упорядоченных множеств и решеток. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» Выпускник по направлению подготовки Математика и компьютерные науки с квалификацией (степенью) «магистр» должен обладать следующими компетенциями: 1. ОК-5 способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук 1) знать: основные методы познания – обобщение, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой мышления. 2. ОК-7 способность к постоянному совершенствованию и углублению своих знаний, инициативность и стремление к лидерству 1) знать: области применения основных алгебраических идей и методов. 3. ПК-5 умение публично представить собственные новые научные результаты 1) знать: формы представления конечного результата; 2) уметь: доступно формулировать промежуточные и конечные результаты. 4. ПК-6 самостоятельное построение целостной картины дисциплины 1) знать: ведущие понятия и идеи алгебры. 5. ПК-17 способность к творческому развитию знаний в области алгебры, дискретной математики и компьютерных наук 1) знать: корректные формулировки основных задач алгебры; 2) уметь: корректно формулировать задачи; 3) владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели. 6. ПК-18 способность к интенсивной научно-исследовательской деятельности с применением знаний по выбранному профилю 1) уметь: применять знания в научно-исследовательской деятельности в области алгебры. 7. ПК-21 видение прикладного аспекта знаний из области алгебры и дискретной математики 1) уметь: установить взаимосвязи как между алгебраическими понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи алгебры с другими разделами профильных знаний.
5
КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Данный курс имеет большое научное, методологическое, методическое и развивающее значение для формирования фундаментальных знаний и компетенций специалиста, работа которого так или иначе будет связана с математикой и информатикой. Направленность и содержание предлагаемого курса соответствуют дискретной линии в математике. В нем органически переплетаются такие основные типы математических структур, как алгебраический, порядковый и топологический. Сначала следует напомнить и углубить теоретико-множественные знания и систематизировать понятийный аппарат по бинарным отношениям у обучаемых. Затем дать основы теории упорядоченных множеств, составляющих порядковую структуру в современной математике. Здесь важнейшее значение имеют конечные упорядоченные множества как составная часть дискретной математики и ее комбинаторных и структурных применений. Полезно сразу познакомиться с диаграммами Хассе для изображения конечных упорядоченных множеств. Следует обратить внимание на такие виды упорядоченных множеств, как упорядоченные множества с условиями минимальности и максимальности, линейно упорядоченные множества (цепи) и вполне упорядоченные множества. И на этой основе рассмотреть нётерову индукцию, аксиому выбора и эквивалентные утверждения, трансфинитные числа (ординалы). Рекомендуется определить интервальную топологию на цепях и доказать исходные свойства соответствующих линейно упорядоченных пространств. Далее естественно сформулировать порядковое определение решетки, и перейти к ее алгебраическому определению. Ввести базовые понятия и показать основные алгебраические конструкции теории решеток. Познакомить магистрантов с некоторыми видами решеток: ограниченными, с дополнениями, модулярными, полными. Другой центральной темой курса служат дистрибутивные и булевы решетки. Необходимо достаточно подробно изучить исходные свойства и характеризации дистрибутивных и булевых решеток. Для конечных дистрибутивных решеток весьма желательно доказать фундаментальную теорему о связи с конечными упорядоченными множествами. Она служит главной содержательной частью взаимосвязей между конечными дистрибутивными решетками, конечными упорядоченными множествами и конечными T0-пространствами. При изучении абстрактной алгебры полезен метод функциональных представлений. Для дистрибутивных решеток он приводит к классической теореме Биркгофа об изоморфном представлении любой дистрибутивной решетки решеткой множеств (функций). На данном фундаменте строится теория представления Стоуна булевых алгебр и булевых колец. Развитие этого подхода весьма плодотворно, и привело к созданию теории пучковых представлений колец и полуколец. Данный курс, безусловно, способствует формированию порядковой и общеалгебраической культуры у современных студентов. Учебный материал дисциплины 2.
6
во-первых, обладает завершенностью изучаемого материала, как по содержанию, так по форме и методам; во-вторых, теоретический и задачный материал делятся примерно поровну, он имеет связи с другими магистерскими курсами. Контроль достижения целей обучения осуществляется с помощью еженедельных контролируемых внеаудиторных заданий. Главной целью проведения текущих самостоятельных работ является установление уровня и характера усвоения студентами основных понятий, умений и навыков, формируемых в процессе изучения курса. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» № п/п 1 2 3
Образовательная технология, рекомендуРекомендуемые емая к использованию в преподавании Средства обучения учебной дисциплины Информационная лекция Мультимедийный проектор, интерактивная доска Проблемная лекция Разбор решенных задач, решение задач под руководством преподавателя, самостоятельное решение задач в группе
Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах № Показатель п/п 1 Занятия, проводимые в интерактивных формах
Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах Очная заочная 18 ч. / 33%
3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Упорядоченные множества и решетки» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа. № п/п
Виды учебной работы
1 Трудоемкость (по ФГОС ВПО) 2 Аудиторные занятия, всего в том числе: 2.1. Лекции 2.2. Лабораторные работы 2.3. Практические занятия 2.4. Семинарские занятия 2.5. Коллоквиумы 2.6. Прочие виды аудиторных занятий 3 Самостоятельная работа студентов всего в том числе:
Общий объем (по РУП) в часах Очная 144 54 20 34
90
7
3.1. Контрольная работа 3.2. Курсовая работа 3.3. Научно- исследовательская работа 3.4. Практика 3.5. Прочие виды самостоятельной работы 4 Вид(ы) промежуточного контроля
90 Экзамен
Матрица соотнесения тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций
Тема 1. Бинарные отношения Тема 2. Упорядоченные множества Тема 3. Решетки Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры Итого
ПК-21
ПК-18
ПК-17
ПК-6
ПК-5
ОК-7
Компетенции ОК-5
Темы учебной дисциплины
Коли личест во часов 14
+
22
+
14 22
+
72
1
1 +
+
+
+
2
2
+ +
2
1
1
Σ общее количество компетенций
3 +
3 3
1
10
3.3. Содержание тем учебной дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» Тема 1. Бинарные отношения. Множества. Элементы канторовской теории множеств. Операции над семействами множеств. Понятие бинарного отношения. Виды бинарных отношений. Композиция отношений. Функциональное отношение. Отношение эквивалентности. Разбиение множества. Отношения предпорядка и порядка. Классификация бинарных отношений на множестве. Тема 2. Упорядоченные множества. Исходные порядковые понятия и обозначения. Модельные примеры. Простейшие свойства. Двойственность. Диаграммы Хассе для конечных упорядоченных множеств. Свойства конечных упорядоченных множеств. Условия минимальности и максимальности. Доказательство эквивалентных условий (обрыв цепей, нётеровость). Применения. Линейно упорядоченные множества (цепи). Сечения и их виды. Вполне упорядоченные множества. Аксиома выбора и ее применения. Тема 3. Решетки. Алгебраическое понятие решетки. Доказательство эквивалентности порядкового и алгебраического определений решетки. Связь порядка с решеточными операциями. Подрешетки и идеалы. Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-решетки. Прямое произведение решеток. Примеры полных решеток. Характеризация полноты решеток. Теорема о неподвижной точке. 8
Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры. Дистрибутивные решетки. Основные примеры и свойства. Характеризации дистрибутивных решеток. Простые и максимальные идеалы. Теорема о существовании простых идеалов. Представление дистрибутивных решеток решетками множеств. Основные понятия и примеры булевых решеток. Теорема о строении конечных булевых алгебр. Булевы кольца. Взаимосвязи между булевыми алгебрами и булевыми кольцами. Функциональное представление булевых алгебр и булевых колец. Двойственность Стоуна. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Упорядоченные множества и решетки» а) аудиторные занятия: Темы учебной дисциплины
Вид учебной Часов работы лекция
Тема 1. Бинарные отношения
практическое 4 занятие
лекция
Тема 2. Упорядоченные множества
4
4
практическое 10 занятие
лекция 4 практическое 8 занятие Тема 3. Решетки
лекция Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры
8
практическое 12 занятие
Технология обучения Информационная лекция Проблемная лекция Разбор решенных задач Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе Проблемная лекция Решение задач под руководством преподавателя Самостоятельное решение задач в группе в группе Самостоятельное решение задач Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач под руководством препо-
Форма текущего контроля Опрос Анализ решения задач
Опрос Анализ решения задач
Опрос Анализ решения задач, Самостоятельная работа
Опрос Анализ решения задач 9
давателя Самостоятельное решение задач группе в группе
в
б) самостоятельная аудиторная работа Темы учебной дисциплины
Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)
Часов
Тема 1. Бинарные отношения
Конспектирование 2 лекций. Решение задач
Тема 2. Упорядоченные множества
Конспектирование 4 лекций. Решение задач
Тема 3. Решетки
Конспектирование 6 лекций. Решение задач
Тема 4. Дистрибутивные ре-
Конспектирование 6 лекций. Решение
10
Результат
Знать: ведущие понятия и идеи, базовые результаты теории множеств и теории бинарных отношений Знать: области применения основных порядковых идей и методов; корректные формулировки основных задач теории упорядоченных множеств. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области теории упорядоченных систем Знать: основные понятия, факты и теории решеток; формы представления конечного результата. Уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; доступно формулировать промежуточные и конечные результаты. установить взаимосвязи как между алгебраическими и порядковыми понятиями и идеями, так и междисциплинарные связи абстрактной алгебры с другими разделами профильных знаний Знать: основные понятия, идеи и
шетки и булевы алгебры
задач
методы теории дистрибутивных решеток и элементы теории булевых алгебр; области применения основных алгебраических и порядковых идей и методов; корректные формулировки основных задач алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры
Итого
18
в) занятия в интерактивных формах № п/п
Темы учебной дисциплины
Общий объем (по РУП) в часах
1 2 3 4
Занятия, проводимые в интерактивных формах Тема 1. Бинарные отношения Тема 2. Упорядоченные множества Тема 3. Решетки Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры итого
4 4 4 6 18
г) самостоятельная внеаудиторная работа Темы учебной дисциплины
Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)
Часов
Тема 1. Бинарные отношения
Проработка кон- 16 спекта лекций. Решение задач
Тема 2. Упорядоченные множества
Проработка кон- 24 спекта лекций. Решение задач
Результат
Знать: ведущие понятия и идеи теории множеств и теории бинарных отношений Знать: области применения основных порядковых идей и методов; корректные формулировки основных задач теории упорядоченных множеств. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научно11
Тема 3. Решетки
Проработка кон- 20 спекта лекций. Решение задач
Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры
Проработка кон- 30 спекта лекций. Решение задач
Итого
исследовательской деятельности в области изучения порядковых объектов. Владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели Знать: основные понятия, идеи, факты и методы теории решеток; формы представления конечного результата. Уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; доступно формулировать промежуточные и конечные результаты. Владеть: культурой мышления Знать: области применения ведущих алгебраических идей и методов; корректные формулировки основных задач абстрактной алгебры. Уметь: корректно формулировать задачи; применять знания в научноисследовательской деятельности в области современной алгебры. Владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели
90
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Аудиторные занятия Тема 1. Бинарные отношения Лекция 1. «Множества. Соответствия между множествами» План лекции: 1. Элементы канторовской теории множеств. 2. Операции над семействами множеств. 3. Понятие бинарного отношения. 4. Виды бинарных отношений. Композиция отношений. 5. Функциональное отношение. Лекция 2. «Бинарные отношения на множестве» План лекции: 12
1. Отношение эквивалентности. Разбиение множества. 2. Отношения предпорядка и порядка. 3. Классификация бинарных отношений на множестве. Практическое занятие 1. «Множества. Соответствия между множествами» План практического занятия: 1. Теоретико-множественные понятия и операции. 2. Операции над семействами множеств и их свойства. 3. Примеры соответствий. 4. Виды соответствий. 5. Композиция и другие операции над соответствиями. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 1–3, 5–111, 17, 18, 20–23, 25, 34. Привести свою классификацию соответствий. Практическое занятие 2. «Функциональное отношение. Бинарные отношения на множестве: эквивалентности и порядки» План практического занятия: 1. Функции и отображения. 2. Виды функциональных отношений. 3. Построение примеров. 4. Виды бинарных отношений на множестве. 5. Отношение эквивалентности и разбиения. 6. Отношение порядка Задание по аудиторной самостоятельной работе: 16, 19, 24, 32, 27–31, 33, 35, 39. Привести свои примеры различных видов соответствий, привести свою классификацию бинарных отношений на множестве. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № Вид самостоятельной работы п/п 1 Общая
2
Индивидуальная
3
Групповая
Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции. Решение задач под руководством преподавателя Индивидуальное решение задач Самостоятельное решение задач в группе Разбор решенных задач
Форма отчетности Конспект лекции; Практические работы (текст) Текст, устное сообщение Мозговой штурм, отчет Доклад, презентация
Краткое пояснение указанных интерактивных форм самостоятельной работы: Самостоятельное решение задач в группе. Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде обмена идеями и результатами, отчета. 1
Задачи берутся из банка заданий на стр. 21–30 настоящего УМК. 13
Разбор решенных задач Работа организуется путем разбиения студентов на две малые подгруппы. Каждой подгруппе выдается серия задач (задачи общие для всех групп). Цель группы найти как можно больше различных решений каждой задачи. Преподаватель выполняет роль консультанта. Результат работы группы предъявляется в виде доклада представителя группы в последней трети практического занятия. Задача для доклада выбирается представителем группы самостоятельно. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/ п 1
1
Вид самостоятельной работы Общая (лекции) Общая (практики)
Форма самостоятельной работы Работа с конспектами лекций и первоисточниками Решение задач данной тематики по образцу
Срок сдачи
Форма отчетности
Очередная лекция
опрос
Очередное практическое занятие
Решения (доклад, текст)
Поскольку самостоятельная аудиторная и внеаудиторная работа по всем темам предполагает единый характер организации учебной работы, в последующем, раскрывая планы занятий, таблицы повторять не будем. Тема 2. Упорядоченные множества Лекция 3. «Основные порядковые понятия. Конечные упорядоченные множества» План лекции: 1. Исходные порядковые понятия и обозначения. 2. Модельные примеры. 3. Простейшие свойства. Двойственность. 4. Диаграммы Хассе для конечных упорядоченных множеств. 5. Свойства конечных упорядоченных множеств. Лекция 4. «Упорядоченные множества с условием минимальности. Линейно упорядоченные множества» План лекции: 1. Условия минимальности и максимальности. 2. Доказательство эквивалентных условий (обрыв цепи, нётеровость). 3. Применения. 4. Линейно упорядоченные множества (цепи). 5. Сечения и их виды. 6. Вполне упорядоченные множества. 7. Аксиома выбора и ее применения. Практическое занятие 3. «Отношение порядка. Модельные примеры. Диаграмма Хассе» План практического занятия: 1. Основные примеры упорядоченных множеств. 2. Построение новых примеров. 14
3. Решение задач. 4. Изображение конечных упорядоченных множеств диаграммами Хассе. 5. Решение задач Задание по аудиторной самостоятельной работе: 27, 28, 40, 41, 45. Выяснить, какие бесконечные упорядоченные множества имеют диаграмму Хассе. Практическое занятие 4. «Порядковые свойства» План практического занятия: 1. Построение упорядоченных множеств с заданными свойствами. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 34, 37, 46, 47. Практическое занятие 5. «Условия минимальности и максимальности. Вполне упорядоченные множества» План практического занятия: 1. Упорядоченные множества с условием минимальности. 2. Упорядоченные множества с условием максимальности. 3. Лемма Кёнига. 4. Строение вполне упорядоченных множеств. 5. Ординалы и трансфинитная индукция. Задание по аудиторной самостоятельной работе: решение теоретических задач по теме, 4, 48, 53, 54. Практическое занятие 6. «Линейно упорядоченные множества» План практического занятия: 1. Виды цепей. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 42, 52, 59–62. Практическое занятие 7. «Линейно упорядоченные пространства» План практического занятия: 1. Интервальная топология на цепи. 2. Решение задач на свойства линейно упорядоченных пространств. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 55–58. Тема 3. Решетки Лекция 5. «Эквивалентность порядкового и алгебраического определений решетки» План лекции: 1. Алгебраическое понятие решетки. 2. Доказательство эквивалентности порядкового и алгебраического определений решетки. 3. Связь порядка с решеточными операциями. Лекция 6. «Алгебраические конструкции. Полные решетки» План лекции: 1. Подрешетки и идеалы. 2. Гомоморфизмы, конгруэнции и факторрешетки. 3. Прямое произведение решеток. 4. Примеры полных решеток. 15
5. Характеризация полноты решеток. 6. Теорема о неподвижной точке. Практическое занятие 8. «Решетки как упорядоченные множества и как алгебры» План практического занятия: 1. Решение теоретических задач. 2. Нахождение всех решеток с n 7 элементами. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 63, 79. Практическое занятие 9. «Построение решеток» План практического занятия: 1. Определение свойств решетки по ее диаграмме Хассе. 2. Построение конечных решеток с заданными свойствами. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 64–68, 76. Практическое занятие 10. «Виды решеток» План практического занятия: 1. Модулярные решетки. 2. Решетки с дополнениями. 3. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 51, 73, 78, 82. Практическое занятие 11. «Идеалы и конгруэнции решеток» План практического занятия: 4. Нахождение всех идеалов данной решетки. 5. Нахождение всех конгруэнций на заданной решетке. 6. Построение решеток идеалов и конгруэнций для указанных решеток. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 69, 70, 74, 75, 80. Тема 4. Дистрибутивные решетки и булевы алгебры Лекция 7. «Дистрибутивные решетки» План лекции: 1. Основные примеры и свойства. 2. Характеризации дистрибутивных решеток. Лекция 8. «Простые идеалы в дистрибутивных решетках» План лекции: 1. Простые и максимальные идеалы. 2. Теорема о существовании простых идеалов. 3. Представление дистрибутивных решеток решетками множеств. Лекция 9. «Булевы алгебры» План лекции: 1. Основные понятия и примеры булевых решеток. 2. Теорема о строении конечных булевых алгебр. Лекция 10. «Представления булевых алгебр и булевых колец» План лекции: 1. Булевы кольца. 2. Взаимосвязи между булевыми алгебрами и булевыми кольцами. 3. Функциональное представление булевых алгебр и булевых колец. 16
Практическое занятие 12. «Свойства дистрибутивных решеток» План практического занятия: 1. Доказательство свойств. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 84, 87–93. Привести примеры дистрибутивных и недистрибутивных решеток. Практическое занятие 13. «Простые и максимальные идеалы в дистрибутивных решетках» План практического занятия: 1. Нахождение всех простых и максимальных идеалов в данной конечной дистрибутивной решетке. 2. Нахождение простого и максимального спектров для данной конечной дистрибутивной решетки. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 94–99. Практическое занятие 14. «Функциональное представление дистрибутивных решеток» План практического занятия: 1. Представление заданной дистрибутивной решетки {0,1}-значными функциями. 2. Решение задач. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 13–15, 114. Практическое занятие 15. «Конечные дистрибутивные решетки» План практического занятия: 1. Построение для данной конечной дистрибутивной решетки соответствующих упорядоченного множества и T0-пространства. 2. Нахождение обратных переходов. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 106–113. Практическое занятие 16. «Свойства булевых решеток. Булевы кольца» План практического занятия: 1. Доказательство некоторых свойств булевых решеток. 2. Построение булевых решеток с заданными свойствами. 3. Доказательство свойств булевых колец. 4. Решение задач на связи между булевыми кольцами и булевыми решетками Задание по аудиторной самостоятельной работе: 101–105, 110, 116–122. Практическое занятие 17. «Функциональное представление булевых решеток и булевых колец» План практического занятия: 1. Решение теоретических задач по теории двойственности Стоуна. 2. Нахождение функциональных представлений для конкретных булевых решеток и булевых колец. Задание по аудиторной самостоятельной работе: 123–125. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 17
Основная литература 1. Баврин, Иван Иванович. Математика [Текст] : учеб. для студ. вузов, обучающихся по направлениям 050100 "Педагогическое образование" и 050400 "Психолого-педагогическое образование" / И. И. Баврин. - 9е изд., испр. и доп. - М. : Академия, 2011. - 624 с. Дополнительная литература 1. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. – Киров: ВятГГУ, 2007. 2. Скорняков Л. А. Элементы теории структур. – М.: ЁЁ Медиа, 2012. 3. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. – М.: МГУ, 1988. 4. Биркгоф Г. Теория решеток. – М.: Наука, 1984. 5. Вечтомов Е. М. Теория решеток. – Киров: ВПГУ, 1985. 6. Вечтомов Е. М. Математические очерки. – Киров: ВятГГУ, 2004. 7. Гретцер Г. Общая теория решеток. – М.: Мир, 1982. 8. Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970. 9. Салий В. Н. Решетки с единственным дополнением. – М.: Наука, 1984. 10. Сикорский Р. Булевы алгебры. – М.: Мир, 1969. 11. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. 12. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. – М.: Наука, 1990. 6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Упорядоченные множества и решетки» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о бально-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: - входной контроль; - текущий аттестация; - межсессионная аттестация; - промежуточная аттестация.
18
Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п
Показатели
Норма баллов
Виды текущей аттестации до рубежной аттестации 1. 2.
Посещение занятий Домашнее задание
10 15
3.
Самостоятельная работа
15
Рубежный контроль (контрольное мероприятие) 1. 2.
Виды текущей аттестации после рубежной аттестации Посещение занятий 10 Домашнее задание 15
3.
Домашняя контрольная работа
15
Виды работ и заданий на экзамене Теория Практика Всего баллов за экзамен
10 10 20
6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/ п 1
2
3
Результат (освоенные компетенции) ОК-5 способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук ОК-7 способность к постоянному совершенствованию и углублению своих знаний, инициативность и стремление к лидерству ПК-5 умение публично представить собственные новые научные результаты
Основные показатели оценки результата
Виды контроля
1) знать: основные методы по- т, п, р знания – обобщение, анализ, синтез; 2) уметь: применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания фундаментальной математики; 3) владеть: культурой абстрактного мышления. т, п, р 1) знать: области применения основных порядковых и алгебраических идей, методов и достижений 1) знать: формы представления т, п, р конечного результата; 2) уметь: доступно формулировать промежуточные и конечные результаты
Формы Номер рази ме- дела / темы тоды (для текуконщего контроля троля) ЭкзаТема 2 мен, к.р.
Экзамен, к.р.
Темы 2, 4
Экзамен, к.р.
Тема 3
19
4
5
6
7
ПК-6 самостоятельное т, п, Госэк- Тема 1 построение целостной 1) знать: ведущие понятия и р, и замен, картины дисциплины идеи общей алгебры и теории экзаупорядоченных систем мен, к.р. ПК-17 способность к 1) знать: корректные формули- т, п, р ЭкзаТемы 2, 4 творческому развитию ровки основных задач современ, знаний в области со- менной алгебры; к.р. временной алгебры, 2) уметь: корректно формулидискретной математики ровать задачи; и компьютерных наук 3) владеть: методами выбора путей достижения поставленной цели ПК-18 способность к т, п, р ЭкзаТемы 2, 4 интенсивной научно- 1) уметь: применять знания в мен, исследовательской дея- научно-исследовательской деяк.р. тельности с примене- тельности в области современнием знаний по вы- ной алгебры и ее применений бранному профилю ПК-21 видение при- 1) уметь: установить взаимосвя- т, п, р Госэк- Тема 3 кладного аспекта зна- зи как между алгебраическими замен, ний из области алгебры и порядковыми понятиями и экзаи дискретной матема- идеями, так и их междисциплимен, тики нарные связи другими разделак.р. ми профильных знаний * в – входной контроль; т – текущий контроль; р – рубежный контроль; п – промежуточная аттестация; и – итоговая аттестация.
6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерные задания для проверки знаний студентов 1. Изобразите основные операции над множествами на диаграммах Эйлера-Венна. 2. Сформулируйте и обоснуйте законы де Моргана. 3. Что такое булеан? 4. Какие виды функций Вы знаете? 5. Дайте определение композиции функций. 6. Обязана ли операция композиции всех преобразований данного множества быть коммутативной? Ассоциативной? С нейтральным элементом? 7. Какими свойствами обладает отношение эквивалентности на множестве? 8. Знаете ли Вы, что такое отношение порядка? 9. Является ли отношение «быть выше ростом» отношением порядка на множестве студентов курса? 10. Какие свойства имеют операции дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания на множестве всевозможных высказываний?
20
6.2.2. Текущая аттестация Примерные задания (задачи) для проведения текущего контроля: 1. Определение свойств и вида бинарных отношений по таблицам, диаграммам, словесному описанию. 2. Построение бинарных отношений с наперед заданными условиями. 3. Изображение диаграммами Хассе указанных конечных упорядоченных множеств. 4. Нахождение свойств упорядоченного множества по его диаграмме Хассе. 5. Установление изоморфности двух данных упорядоченных множеств. 6. Изображение решеток с небольшим числом элементов диаграммами Хассе. 7. Определение свойств конечной решетки по ее диаграмме Хассе. 8. Нахождение всех идеалов, конгруэнций и гомоморфных образов заданной решетки. 9. Решение теоретических задач на свойства решеток. 10. Доказательство характеристических свойств дистрибутивных решеток. 11. Теоретико-множественное и функциональное представления конкретных дистрибутивных решеток. 12. Установление взаимосвязей между конечными дистрибутивными решетками, конечными упорядоченными множествами и конечными топологическими пространствами. 13. Решение теоретических задач на свойства булевых решеток. 14. Построение булевых решеток с заданными свойствами. 15. Свободные булевы алгебры и булевы кольца с конечным числом свободных образующих. 16. Функциональное представление булевых решеток и булевых колец. 17. Рассмотрение теоретических задач по теории Стоуна для булевых алгебр. 6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация выставляется на основании отчетов студентов, которые составляются по решению задач из Задачника. Банк заданий 1. 2. 3.
Что означает коммутативность объединения семейства множеств? Опишите множество RN. Докажите законы де Моргана для семейств множеств: ( Ai) = Ai и ( Ai) = Ai. iI
4.
iI
iI
iI
Докажите, что следующее утверждение (часто принимаемое в качестве аксиомы выбора) эквивалентно аксиоме выбора: для любого семейства (Ai)iI попарно непересекающихся непустых множеств (Ai, AiAj= 21
при ij) существует такое множество A Ai, что все множества iI
5.
A Ai – одноэлементные. Для конечных множеств A, B, C докажите равенство ABC = AB+AС+BС–A–B–C+ABC.
Докажите правила суммы и произведения. Проверьте равенство B(A)=2A для конечных множеств A. Покажите, что число всех k-элементных подмножеств n-элементного множества (k n) равно числу сочетаний из n по k. 9. Задача Льюиса Кэрролла. В жаркой потасовке схватились 100 пиратов. Известно, что в схватке 70 пиратов потеряли ногу, 75 – руку, 80 – глаз и 85 – ухо. Сколько пиратов наверняка лишились и ноги, и руки, и глаза, и уха? 10. Покажите, что всякое универсальное множество бесконечно (в интуитивном смысле). 11. В рамках произвольного универсального множества U определите понятие натурального числа. 12. Для любых двух множеств A и B выполняется ровно одно из следующих пяти соотношений: A = B, A B, B A, A и B не пустые и не пересекаются, A и B находятся в общем положении. Последнее означает, что множества A\ B, B\A и AB не пусты. Два множества в общем положении делят объемлющее их множество на 4 части. Сформулируйте понятие того, что n множеств находятся в общем положении. На диаграмме Эйлера-Венна три множества A, B, С в общем положении делят плоскость на 8 частей. (Мультипликативная запись означает пересечение.) 6. 7. 8.
В
А АВС
АВС
Х
АВС
АВС АВС АВС
АВС
АВС С
Докажите, что четыре окружности на плоскости не могут делить ее на 16 частей. (Известно, что пять перекрывающихся эллипсов могут делить плоскость на 32 части.) 13. Какое наибольшее число различных множеств можно получить из n произвольных множеств A1, A2, …, An, применяя только операции объ-
22
единения и пересечения множеств? Покажите, что при n=3 получается 18 множеств. При n=4 имеется 166 множеств. 14. Докажите, что из n множеств, находящихся в общем положении, с помощью операций объединения, пересечения и дополнения получается п
22 множеств. 15. Чему равно наибольшее число множеств, получаемых из n множеств последовательным применением операций объединения, пересечения и разности? 16. Установите взаимно однозначное соответствие между булеаном B(A) и множеством всех отображений f: A{0, 1}, называемых характеристическим функциями множеств f-1(1). 17. Покажите, что бинарное отношение является всюду определенным тогда и только тогда, когда обратное к нему отношение сюръективно. 18. Докажите, что однозначность бинарного отношения равносильна инъективности обратного отношения -1. 19. Проверьте, что любое отображение f является композицией сюръекции g и инъекции h. Что при этом означает биективность f, инъективность g, сюръективность h?
f A Im f g
C
B
h
20. Пусть даны произвольные бинарные отношения , между множествами A и B и , между множествами B и С. Докажите следующие соотношения: –1 –1 ; 1A==1B; (–1)-1=; ()–1=–1–1; –1, причем, =–1 инъективно; ()=; () ; ()=; () . 21. Какие еще связи имеют место для отношений , , из предыдущего упражнения? 22. Пусть – бинарное отношение между множествами X, Y и A, B X. Докажите следующие соотношения: 23
а) (AB)=(A)(B); б) (AB) (A)(B); в) (C, D X (СD)=(C)(D)) инъективно. 23. Верны ли утверждения предыдущего упражнения для семейств подмножеств в X? 24. Докажите равенство f–1( Ai) = f 1 ( Ai ) для любого отображения iI
25.
26.
27.
28. 29.
iI
f: X Y и произвольного семейства (Ai)iI подмножеств множества Y. Дифункциональные соответствия. Бинарное отношение между множествами A и B называется дифункциональным, если для любых a, c A, b, d B из ab, ad, cb следует cd (равносильно, –1 ). Опишите дифункциональные отношения между данными множествами. Задача Рамсея. Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых между собой людей. Если на множестве A задано отношение порядка , то бинарное отношение , определяемое как пересечение отношений и , есть строгий порядок на множестве A. Обратно, если – произвольный строгий порядок на множестве A, то бинарное отношение , определяемое как объединение отношений и =, является отношением порядка на множестве A. Тем самым, между порядками и строгими порядками на любом множестве A устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие. Докажите эти утверждения. В терминах разбиений опишите все симметричные транзитивные отношения на произвольном множестве. Пусть – отношение квазипорядка на множестве A. Для произвольных элементов a, b A положим a~b, если ab и ba. Покажите, что отношение ~ является эквивалентностью на A. На фактор-множестве A/~ задается отношение порядка по формуле
~ а~ b ab для любых a, b A. Проверьте корректность этого утверждения. 30. Покажите, что отношение равночисленности (A~B A=B) на множестве всех конечных множеств универсального множества является эквивалентностью. Что представляет собой соответствующее фактормножество? 31. На множестве R действительных чисел зададим бинарное отношение формулой: ab означает, что a–b Z (a, b R). Докажите, что – эквивалентность на R. Дайте геометрическую интерпретацию фактормножества R/. 32. Теорема о гомоморфизмах для множеств. Для всякой сюръекции f: A B существует единственная биекция g: A/~B, такая, что f=g, 24
где : A A/~ – каноническое отображение на фактор-множество множества A по отношению равнообразности: a~b af=bf.
A
f a af
B
g A/~ ã
33. Рассмотрим множество S = B(X)\{} всех непустых подмножеств непустого множества X. Для любых A, B S положим: AB AB. Покажите, что отношение является отношением сходства на S. (Заметим, что любое отношение сходства определенным образом сводится к описанному сходству .) 34. Составьте таблицу на совместимость следующих четырех свойств бинарного отношения между множествами: всюду определенности, однозначности, инъективности и сюръективности. 35. Составьте таблицу на совместимость следующих пяти свойств бинарного отношения на множестве: рефлексивности, симметричности, транзитивности, антирефлексивности и антисимметричности. 36. Докажите принцип двойственности для упорядоченных множеств: если некоторое предложение об упорядоченных множествах верно для всех упорядоченных множеств, то верно и двойственное предложение, получающееся из данного заменой отношения на отношение (и обратно). Приведите примеры двойственных понятий и двойственных теорем. 37. Покажите, что любой порядок на конечном множестве X является пересечением нескольких линейных порядков. Наименьшее число таких линейных порядков называется размерностью упорядоченного множества X, . (Отметим, что для любого натурального числа n существует конечное упорядоченное множество размерности n. Например, можно взять булеан n-элементного множества.) 38. На пятиэлементном множестве задайте несюръективное транзитивное бинарное отношение. Какими свойствами оно ещё обладает? 39. Когда композиция бинарного отношения и обратного к нему отношения является рефлексивным отношением? Симметричным отношением? 40. Отношение порядка на множестве {a, b, c, d, e, f} задано отношением покрытия: a b e, b f, d c e, c f. Линейно доупорядочить это упорядоченное множество.
25
41. Сколько различных отношений порядка можно задать на n-элементном множестве при n 4? 42. Что такое линейный строгий порядок на множестве X? Докажите, что бинарное отношение на X, являющееся дополнением линейного строгого порядка , будет линейным порядком на X. 43. Пусть X, – упорядоченное множество. Элементы x, y X назовем несравнимыми, если (x y)(y x). Покажите, что отношение несравнимости на X является эквивалентностью x, y, z X ((x z)((x y)(y z)). 44. Докажите, что отношение порядка на множестве X есть пересечение двух линейных порядков отношение -несравнимости на X является отношением сравнимости для некоторого порядка на X. 45. Покажите, что с точностью до порядкового изоморфизма существуют: 3 двухэлементных, 5 трехэлементных, 16 четырехэлементных, 63 пятиэлементных, 318 шестиэлементных упорядоченных множеств (нарисуйте их диаграммы Хассе). 46. Проверьте, что число упорядочений n-элементного множества равно: 3 при n=2, 19 при n=3, 219 при n=4. 47. Постройте связное упорядоченное множество наибольшей (и наименьшей) мощности длины 4, ширины 3 с 2 минимальными и с 3 максимальными элементами. 48. Найдите на N неполный линейный порядок и новый полный порядок. 49. Докажите, что произвольная цепь полна тогда и только тогда, когда она полна сверху и имеет наименьший элемент. Сформулируйте двойственное утверждение. 50. Докажите, что понятия условно полной сверху цепи, условно полной снизу цепи и условно полной цепи равносильны. 51. Проверьте, что любая цепь является дистрибутивной решеткой. 52. Убедитесь, что изотонная биекция одной цепи на другую есть изоморфизм данных цепей. 53. Докажите, что цепь является вполне упорядоченным множеством тогда и только тогда, когда в ней нет бесконечных (строго) убывающих последовательностей. 54. Докажите, что бесконечное вполне упорядоченное множество, имеющее единственный предельный элемент (наименьший), изоморфно цепи N. 55. Докажите хаусдорфовость и нормальность линейно упорядоченных пространств. 56. Покажите, что для дискретности линейно упорядоченного пространства X необходимо и достаточно, чтобы каждый ненаименьший элемент цепи X имел предыдущий элемент, а каждый ненаибольший ее элемент имел последующий элемент.
26
57. Сепарабельность линейно упорядоченного пространства X эквивалентна существованию в цепи X счетного плотного в X подмножества. Докажите это. 58. Докажите, что топология подпространства Y линейно упорядоченного пространства, вообще говоря, сильнее интервальной топологии цепи Y. Приведите соответствующий пример. 59. Убедитесь в том, что цепь изоморфна Z тогда и только тогда, когда все ее финальные интервалы изоморфны N, а все начальные интервалы антиизоморфны N. 60. Почему каждый открытый интервал цепи Q изоморфен Q? 61. Докажите, что цепь X без наименьшего и наибольшего элементов изоморфна R тогда и только тогда, когда X плотна, сепарабельна, и любая последовательность вложенных отрезков в X имеет непустое пересечение. 62. Докажите, что линейно упорядоченное поле P изоморфно полю R с обычным порядком тогда и только тогда, когда P архимедово и все фундаментальные последовательности в нем являются сходящимися. 63. Постройте диаграммы Хассе всех 15 шестиэлементных решеток. 64. Докажите, что в решетках неравенства можно почленно складывать и умножать: a b и c d влекут a+c b+d и ac bd. 65. Докажите, что в любой решетке выполняется тождество (ab+ac)(ab+bc)=ab. 66. Покажите, что если в решетке a+b+c=abc, то a=b=c. 67. Во всякой ли решетке выполняется тождество ab+ac+bc=(a+b)(a+c)(b+c)? 68. Покажите, что в произвольной решетке верны неравенства ab+ac a(ab+c) a(b+c). 69. Найдите все подрешетки шестиэлементной решеток. 70. Найдите все подрешетки и идеалы пятиэлементной цепи. 71. Наименьший элемент решетки обычно называется нулем и обозначается 0, а наибольший элемент решетки часто называется единицей и обозначается 1. Докажите, что нулевой элемент 0 (единичный элемент 1) произвольной решетки, если он существует, определяется любым из тождеств 0a = 0, 0+a = a (соответственно: 1a = a, 1+a = 1). 72. Докажите, что в классе конечных упорядоченных множеств теорема о неподвижной точке неверна. Приведите соответствующий контрпример. 73. Верна ли теорема о неподвижной точке в классе решеток? 74. Покажите, что пересечение двух главных идеалов решетки – главный идеал. 75. Обязана ли сумма двух идеалов решетки снова быть ее идеалом? 76. Проверьте, что в конечной решетке все идеалы главные. 27
77. Верно ли обратное утверждение? 78. Верно ли следующее утверждение: если решетка удовлетворяет условию максимальности, то все ее идеалы – главные? 79. Отыщите все самодвойственные шестиэлементные решетки. 80. Найдите все подрешетки, идеалы и конгруэнции следующих конечных решеток: пятиэлементных решеток; цепей; прямого произведения цепей. 81. Докажите, что для любого подмножества I произвольной решетки L равносильны следующие свойства: 1) I – простой идеал решетки L; 2) I – идеал, а L\I – фильтр решетки L; 3) L\I – простой фильтр в L; 4) I есть прообраз нуля 0 при гомоморфизме L на D={0, 1}; 5) L\I – прообраз 1 при гомоморфизме L на D. 82. Дайте пример ограниченной модулярной решетки, в которой существует элемент с бесконечным множеством дополнений. 83. Пусть p – ненулевой элемент решетки L с 0. Докажите, что p есть атом L pa=0 или pa=p для всех a L. 84. Покажите, что дистрибутивность решетки эквивалентна выполнению в ней двойственного дистрибутивного закона (a+b)(a+c)=a+bc. 85. Докажите, что решетка дистрибутивна тогда и только тогда, когда для любых ее элементов a, b и c имеем: a+b=a+c и ab=ac влекут b=c. 86. Убедитесь, что в любой дистрибутивной решетке верно тождество ab+ac+bc=(a+b)(a+c)(b+c). 87. В дистрибутивной решетке множество A+B является идеалом для любых ее идеалов A и B. Докажите это. 88. Верно ли обратное утверждение? 89. Покажите, что если A и B – главные идеалы в дистрибутивной решетке, то и A+B будет главным идеалом. 90. Докажите, что дистрибутивность решетки эквивалентна дистрибутивности решетки всех ее идеалов. 91. Всякая конечнопорожденная дистрибутивная решетка конечна. Докажите. 92. Могут ли все идеалы бесконечной ограниченной дистрибутивной решетки быть главными? 93. Докажите, что идеалы A и B дистрибутивной решетки являются главными, если идеалы AB и A+B – главные. 94. Найдите простые и максимальные идеалы в дистрибутивных решетках, имеющих не более семи элементов. 95. Может ли дистрибутивная решетка не иметь максимальных идеалов? 96. Обязана ли дистрибутивная решетка содержать 1, если каждый ее собственный идеал лежит в некотором максимальном идеале? 97. Докажите, что компактность простого спектра дистрибутивной решетки равносильна существованию 1 в ней. 28
98. Множество D(I) пусто для некоторого идеала I дистрибутивной решетки L L имеет 0. Почему? 99. Приведите пример ограниченной дистрибутивной решетки, не имеющей атомов. 100. Докажите следующие свойства булевых решеток: (1) 0=1, 1=0. (2) a=a. (3) a b b a a+b=1 ab=0. (4) (a+b)=ab, (ab)=a+b (законы де Моргана). (5) a+a=1, aa=0. 101. Покажите, что в любом булевом кольце выполняется тождество x+x=0. 102. Докажите коммутативность булевых колец. 103. Проверьте, что всякое конечное булево кольцо имеет единицу. 104. Докажите, что классы булевых решеток и булевых колец с единицей совпадают. 105. Выведите отсюда, что совпадают классы обобщенных булевых решеток и булевых колец. 106. Для следующего упорядоченного множества X постройте дистрибутивную решетку J(X):
e c a
d b
107. Обозначим через Cn n-элементную цепь. Ясно, что J(Cn) Cn+1. Пусть упорядоченное множество X=CmCn есть несвязное объединение цепей. Что представляет собой решетка J(X)? 108. Покажите, что для несвязного объединения U двух конечных упорядоченных множеств X и Y выполняется равенство J(U)=J(X)J(Y), т. е. решетка J(U) разложима. Верно ли обратное утверждение? 109. Какие решетки J(X) имеют: антицепи X; булеаны X; произвольные цепи X? 110. Как связаны решетки J(X) и J(Y) двойственных друг другу упорядоченных множеств X и Y? 111. Найдите неразложимые и простые элементы восьмиэлементной булевой решетки. 112. Укажите все топологии на данном n-элементном множестве при n 3. 113. Найдите все четырехэлементные T0-пространства.
29
114. Докажите, что булеан B(M) и упорядоченное множество DM порядково изоморфны, более того, при каноническом соответствии сохраняются все булевы операции. 115. Убедитесь в том, что множество всех дополняемых элементов ограниченной дистрибутивной решетки образует в ней булеву подрешетку. 116. Как коатомы булевой решетки связаны с ее атомами? 117. Если каждый идеал булевой решетки главный, то она конечна. Докажите. 118. Докажите, что булевы решетки с условием максимальности (минимальности) конечны. 119. Установите, что в любой бесконечной булевой решетке существует бесконечная антицепь. 120. Докажите, что в любой бесконечной булевой решетке существует счетное дизъюнктное множество ненулевых элементов. 121. Приведите пример неполной атомной булевой решетки. 122. Приведите пример безатомной булевой решетки. 123. Верна ли теорема о критерии равенства Spec L=Max L для произвольных дистрибутивных решеток L? 124. Докажите, что в любой полной булевой решетке L верны равенства asupB=sup(aB) и a+infB=inf(a+B) для всех aL и B L. 125. Опираясь на это, докажите, что всякая полная атомная булева решетка изоморфна булеану множества всех своих атомов. 6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме экзамена. Примерный перечень вопросов к экзамену 1. Операции над семействами множеств. 2. Бинарные отношения и операции над ними. 3. Свойства конечных упорядоченных множеств. Их представление диаграммами Хассе. 4. Упорядоченные множества с условием минимальности. 5. Линейно упорядоченные множества. 6. Вполне упорядоченные множества. 7. Порядковое и алгебраическое определения решетки. 8. Основные виды решеток. 9. Алгебраические понятия и конструкции теории решеток. 10. Дистрибутивные решетки. Их свойства и характеризации. 11. Простой спектр и представление дистрибутивных решеток. 12. Конечные булевы решетки. Их взаимосвязь с конечными упорядоченными множествами и конечными T0-пространствами. 13. Булевы решетки. Примеры, свойства, характеризации. Строение конечных булевых решеток. 30
14. Булевы кольца. Связь с булевыми решетками. 15. Функциональное представление булевых алгебр и булевых колец. Двойственность Стоуна. Вопросы к государственному экзамену 1. Бинарные отношения. Их виды. Алгебра бинарных отношений. 2. Упорядоченные множества. Основные понятия и примеры. Диаграмма Хассе. Виды упорядоченных множеств. 3. Решетки. Основные алгебраические понятия и конструкции. Виды решеток. Общая теорема о представлении для решеток. 4. Дистрибутивные решетки. Их свойства и характеризации. Представление дистрибутивных решеток решетками множеств. 5. Булевы решетки. Основные примеры и свойства. Строение конечных дистрибутивных решеток. 6. Булевы кольца. Исходные свойства. Связь с булевыми решетками. Функциональное представление булевых колец.
31