Аксиоматические системы и теория моделей by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21.12.2009 г., регистрационный № 760 Учебно-методический комплекс разработан Д. В. Широковым, канд. физ.мат. наук, доцентом кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ Рецензент – Е.М. Вечтомов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ 29 августа 2011 г., протокол № 1

Рабочая программа учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» Цель дисциплины: сформировать у магистрантов представление о формальном подходе к изучению алгебраических структур. Задачи дисциплины: - углубить знание по математике в области математической логики; - познакомить с основными понятиями и подходами метаматематики алгебры; - углубить и систематизировать знания в области алгебры. 1.2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Учебная дисциплина «Аксиоматические системы и теория моделей» относится к профессиональному циклу дисциплин по выбору студентов, изучается на втором курсе и основывается на учебном материале дисциплин «Алгебра», «Математическая логика». Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» По завершении дисциплины студент должен Знать: - примеры аксиоматических систем; - основные свойства аксиоматических систем; - основные понятия теории моделей; Уметь: - строить модель теории; - доказывать выводимость формул; Владеть: - правилами формального вывода; - методами, позволяющими установить наличие или отсутствие свойства системы. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: ОК-1. Способность работать в междисциплинарной команде Знать: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации 3

Уметь: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость Владеть: методами работы с литературой и электронными источниками информации ОК-2. Способность общаться со специалистами из других областей Знать: направления развития дисциплины и ее приложения Уметь: интерпретировать задачу с использованием математического языка ОК-5. Способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук Знать: базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики Уметь: применять математические знания в научно-исследовательской и прикладной деятельности ОК-10. Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме Уметь: выделять знания, полезные для научно-исследовательской работы по выбранной теме Владеть: математическими методами обработки и анализа информации ПК-1. Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук Уметь: анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний Владеть: основными методами построения моделей ПК-10. Определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин Владеть: общими закономерностями математических дисциплин ПК-14. Умение формулировать в проблемно-задачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные) Уметь: анализировать общенаучную информацию Владеть: методами формализации семантических понятий 2. КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» 4

№ п/п 1 2 3 4 5

Образовательная технология, рекомендуемая к использованию в преподавании учебной дисциплины Лекция-беседа Информационная лекция Проблемная лекция Решение задач в группах Решение задач под руководством преподавателя

Рекомендуемые Средства обучения доска доска, проектор доска, проектор доска, проектор, компьютеры доска, проектор, компьютеры

Сведения о занятиях проводимых в интерактивных формах № п/п 1

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах

Показатель Занятия проводимые в интерактивных формах

12 часов / 33%

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц, 108 часов. № п/п 1 2 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 3 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 4

Виды учебной работы Трудоемкость (по ФГОС ВПО) Аудиторные занятия, всего в том числе: Лекции Лабораторные работы Практические занятия Семинарские занятия Коллоквиумы Прочие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студентов всего в том числе: Контрольная работа Курсовая работа Научно- исследовательская работа Практика Прочие виды самостоятельной работы Вид(ы) промежуточного контроля

Общий объем (по РУП) в часах очная 108 34 0 14 10 10 0 0 0 74 0 0 0 0 0 0 зачет

3.2. Матрица соотнесения тем учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций 5

+ + 3

+ + + 4

+ + + + 5

+ +

+ 4

4 4

+ +

+ 6

Σ общее число

+ + +

+ + 4

ПК-14

ПК-10

+ + +

16 12 14 16 108

ПК-1

ОК-5

ОК-10

1. Логические исчисления их свойства 2. Язык первого порядка. Элементарные теории 3. Понятие модели. Теорема Геделя о существовании модели 4. Мощность моделей 5. Изоморфизмы и подструктуры 6. Полные теории 7. Формальная арифметика Итого

Количество часов

ОК-2

Темы учебной дисциплины

ОК-1

Компетенции

4 3 5 5

3.3. Содержание основных тем учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» Тема 1. Логические исчисления их свойства. Понятие об аксиоматическом методе. Формальные и неформальные аксиоматические теории. Определение аксиоматической системы. Исчисление высказываний, исчисление предикатов: формулы, аксиомы, правила вывода. Понятие вывода. Выводимость из гипотез. Построение вывода формул. Правильная подстановка термов в формулу. Теорема дедукции. Свойства логических исчислений: непротиворечивость, полнота (в разных смыслах), разрешимость, независимость аксиом. Тема 2. Язык первого порядка. Элементарные теории. Понятие языка первого порядка. Односортные и многосортные языки. Примеры. Семантическая интерпретация языка. Оценка формулы. Истинность формулы. Понятие общезначимой формулы. Полнота исчисления предикатов. Понятие элементарной теории (теории первого порядка). Элементарные теории с равенством. Примеры. Введение новых символов. Свойства элементарных теорий: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Эффективно аксиоматизируемые теории. Признак разрешимой теории. Понятие о теориях высокого порядка. Тема 3. Понятие модели. Теорема Геделя о существовании модели. Понятие модели. Примеры. Полнота теории по отношению к модели. Существование модели у всякой непротиворечивой теории (теорема Геделя). Следствие: теорема о полноте исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности, применения. Тема 4. Мощность моделей. Теорема Левенгейма-Сколема о существовании счетной модели. Расширение модели до модели большей мощности. Усиленный вариант теоремы Левенгейма-Сколема о существовании модели произвольной мощности. Нормальная модель. Теоремы Левенгейма-Сколема для нормальной модели. «Парадокс Сколема». 6

Тема 5. Изоморфизмы и подструктуры. Изоморфизм моделей. Категоричность. Категоричность в заданной мощности. Примеры. Элементарно эквивалентные структуры. Подструктуры. Расширение моделей. Элементарное расширение. Тема 6. Полные теории. Теория алгебраической структуры. Элементарная эквивалентность моделей полной теории. Теорема о существовании полного расширения. Признак полноты (теорема Воота). Модельная полнота. Примеры полных и модельно полных теорий. Понятие простой модели. Признак полноты на основе модельной полноты. Применение теорем для обоснования полноты некоторых теорий. Тема 7. Формальная арифметика. Аксиомы формальной арифметики. Невозможность конечной аксиоматизации формальной арифметики на языке первого порядка. Построение нестандартной модели арифметики. Теорема Черча о неразрешимости любого непротиворечивого расширения арифметики. Теоремы Геделя о неполноте любого эффективно аксиоматизируемого расширения формальной арифметики. Следствия. Вторая теорема Геделя. Система Робинсона. Свойства. 3.4. Тематический план учебной дисциплины «Аксиоматические системы и теория моделей» а) аудиторные занятия: Часов

Темы учебной дисциплины

Вид учебной работы 1. Логические исчисле- Лекция ния их свойства Практические занятия

Лабораторная работа

2. Язык первого порядка. Лекция Элементарные теории Практические занятия

3. Понятие модели. Тео- Лекция рема Геделя о существовании модели Практические занятия

Лабораторная работа

Технология обучения

Форма текущего контроля

Информационная Предоставление лекция конспекта Решение задач в Решенные загруппах дачи, доклад Решение группах

задач

в Решенные задачи, программа Лекция-беседа Собеседование Решение задач под руководством пре- Решенные заподавателя дачи Информационная лекция Решение задач под руководством преподавателя Решение задач в группах

Предоставление конспекта Решенные задачи, собеседование Отчет по лабораторной работе

4. Мощность моделей

Лекция

5. Изоморфизмы и подструктуры

Лекция

6. Полные теории

Лекция

Практические занятия

Решение группах

Лекция

Лекция-беседа

Лабораторная работа

Решение группах

7. Формальная арифметика

Итого

Информационная лекция, лекциябеседа Информационная лекция, лекциябеседа Проблемная лекция задач

задач

Предоставление конспекта Предоставление конспекта Беседа

в Решенные задачи Предоставление конспекта в Отчет по лабораторной работе

б) самостоятельная аудиторная работа Темы учебной дисциплины

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Результат Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации. Умеет: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний. Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации; математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин. Знает: направления развития дисциплины и ее приложения. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать общенаучную информацию. Владеет: математическими методами обработки и анализа информации; общими закономерностями математических дисциплин; методами формализации семантических понятий.

Составление конспекта лекции, раз1. Логические исбор доказательства числения их свойтеоремы, решение ства задач, составление программы

Составление кон2. Язык первого по- спекта лекции, разрядка. Элементар- бор доказательства ные теории теоремы, решение задач,

3. Понятие модели. Теорема Геделя о существовании модели

Составление конспекта лекции, решение задач, программирование

4. Мощность моде- Составление лей спекта лекции

кон-

5. Изоморфизмы и Составление подструктуры спекта лекции

кон-

6. Полные теории

Знает: базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: применять математические знания в научно-исследовательской и прикладной деятельности; выделять знания, полезные для научно-исследовательской работы по выбранной теме; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний. Владеет: математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин. Знает: направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности; анализировать общенаучную информацию. Владеет: общими закономерностями математических дисциплин; методами формализации семантических понятий. Знает: направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности. Владеет: общими закономерностями математических дисциплин.

Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации; направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Составление кон- Умеет: получить необходимую информаспекта лекции, ре- цию, оценить ее полезность и значимость; шение задач интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний; 9

анализировать общенаучную информацию. Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации; основными методами построения моделей; методами формализации семантических понятий. Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость; применять математические знания в научно-исследовательской и прикладной деяСоставление контельности; выделять знания, полезные для 7. Формальная спекта лекции, ренаучно-исследовательской работы по выарифметика шение задач, пробранной теме; анализировать проблемы на граммирование основе фундаментальных математических знаний. Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации; математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин.

в) занятия в интерактивных формах № п/п 1 2 3 4 5

Общий объем (по РУП) в часах

Темы учебной дисциплины 1. Логические исчисления их свойства 2. Язык первого порядка. Элементарные теории 3. Понятие модели. Теорема Геделя о существовании модели 6. Полные теории 7. Формальная арифметика

Итого

2 4 2 2 2 12

г) самостоятельная внеаудиторная работа Темы учебной дисциплины

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Часов

Результат

Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации. Умеет: получить необходимую

Проработка конспекЛогические та лекции. Работа со исчисления их справочной литерасвойства турой. Актуализация 1.

основных понятий математической логики.

2. Язык первого порядка. Элементарные теории

информацию, оценить ее полезность и значимость; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний. Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации; математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин.

Работа с конспектом. Самостоятельное составление конспекта темы

3. Понятие модели. Теорема Работа с литератуГеделя о сущерой. Решение задач ствовании модели

Знает: направления развития дисциплины и ее приложения. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать общенаучную информацию. Владеет: математическими методами обработки и анализа информации; общими закономерностями математических дисциплин; методами формализации семантических понятий. Знает: базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний. Владеет: математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин.

Работа с литерату4. Мощность рой. Решение «парамоделей докса»

5. ИзоморфизРабота с конспектом. мы и подструкРабота с литературой туры

Работа с конспектом. 6. Полные теоРабота с литературии рой. Решение задач

Знает: направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности; анализировать общенаучную информацию. Владеет: общими закономерностями математических дисциплин; методами формализации семантических понятий. Знает: направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности. Владеет: общими закономерностями математических дисциплин. Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации; направления развития дисциплины и ее приложения; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость; интерпретировать задачу с использованием математического языка; применять математические знания в научно-исследовательской и прикладной деятельности; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний; анализировать общенаучную информацию. Владеет: методами работы с ли-

тературой и электронными источниками информации; основными методами построения моделей; методами формализации семантических понятий.

Работа с конспектом, 7. Формальная решение задач, проарифметика граммирование

Итого

Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации; базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики. Умеет: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость; применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности; выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме; анализировать проблемы на основе фундаментальных математических знаний. Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации; математическими методами обработки и анализа информации; основными методами построения моделей; общими закономерностями математических дисциплин.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Проведение лекционных занятий. Лекции проходят в классической форме. Материал излагается на высоком научном уровне. Студентам рекомендуется прорабатывать лекционный материал после каждой лекции, при этом использовать рекомендуемую литературу. Проведение практических и лабораторных занятий. Практические и лабораторные занятия предполагают групповую деятельность. Задания практических и лабораторных работ имеют различную сложность. Работа над решением задач будет более продуктивной, если внеаудиторные занятия будут выполняться не одним студентом, а группой. Преподаватель на практических и лабораторных занятиях организует работу и выступает в роли консультанта.

Ниже приводятся планы лекций, тематика задач для практических и лабораторных работ. Однако конкретные задания подбираются преподавателем по своему усмотрению. Тема 1. Логические исчисления и их свойства Лекция 1 План лекции: 1. Введение. Понятие аксиоматического метода. Формальные и неформальные аксиоматические теории. Разбор терминов: высказывание, функция, предикат, отношение. 2. Определение аксиоматической системы. 3. Исчисление высказываний и исчисление предикатов. 4. Свойства логических исчислений. Лабораторная работа 1. Вывод формул в исчислении высказываний Задания: 1. Рассмотреть производные правила вывода. 2. Доказать выводимость основных формул. Лабораторная работа 2. Построение формул в исчислении предикатов Задания: 1. Рассмотреть правила построения термов и формул в исчислении предикатов. 2. Составить программу, которая выполняет правильную подстановку термов в формулу. 3. Составить программу, которая определяет, правильно ли построена формула. Литература: [4]. Практическое занятие 1. Теорема дедукции Задания: 1. Разобраться с теоремой дедукции. 2. Рассмотреть ее применения к выводу формул. Домашнее задание: Построить вывод формул с использованием теоремы дедукции. Литература: [1, 6]. Лабораторная работа 3. Независимость аксиом исчисления предикатов Задания: 1. Рассмотреть способы проверки независимости аксиом. 2. Проверить независимость системы аксиом исчисления предикатов. Литература: [2]. 14

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

2 3

Индивидуальная Групповая

Индивидуально-групповая

Форма самостоятельной работы Решение задач под руководством преподавателя Разбор теоремы

Форма отчетности Ответы на вопросы Доклад

Решение задач

Решенные задачи

Составление программы

Работающие программы

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины 1

Вид самостоятельной работы Общая

Общая

№

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекций Актуализация основных понятий математической логики

Срок сдачи

Форма отчетности

Очередное занятие

Собеседование

Второе, третье занятия

Собеседование

Тема 2. Язык первого порядка Лекция 2 План лекции: 1. Понятие языка первого порядка. Односортные и многосортные языки. Примеры. 2. Интерпретация языка. Оценка формулы. Истинность формулы. Понятие общезначимой формулы. Полнота исчисления предикатов. 3. Язык формальной арифметики. Интерпретации этого языка. 4. Понятие элементарной теории (теории первого порядка). Свойства элементарных теорий: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Эффективно аксиоматизируемые теории. Разрешимость любой непротиворечивой эффективно аксиоматизируемой тоерии. 5. Понятие о теориях высокого порядка. Практическое занятие 2. Теории первого порядка с равенством Цель занятий: познакомиться с основными примерами элементарных теорий и построить формальный вывод некоторых формул этих теорий. 1. Аксиоматизация предиката равенства. Основные правила. 2. Элементарная теория групп. Вывод основных формул. 3. Теория Lin плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента. 4. Теория полей FL. Теория полей заданной характеристики FL(n). 5. Теория алгебраически замкнутых полей ACF. Теория ACF(n). 6. Теория вещественно замкнутых полей RCF. Литература: [7]. 15

Практическое занятие 3. Введение новых функциональных символов Цель занятия: разобраться с утверждением о том, что в теориях первого порядка необходимыми являются лишь предикатные буквы. Задания: 1. Рассмотреть понятие расширения языка. Консервативное расширение. 2. Разобраться в теореме о функциональном расширении. Домашнее задание: Заменить в теории групп функциональный символ и константу двумя предикатными буквами, указав дополнительные аксиомы. Записать, как в этом случае будут выглядеть исходные аксиомы теории групп. Литература: [1]. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Групповая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции Решение задач под руководством преподавателя Разбор доказательства теоремы

Форма отчетности Предоставление конспекта Ответы на вопросы Доклад

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1 2

Вид самостоятельной работы Общая Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекций составление конспекта темы «Теории второго порядка»

Срок сдачи Очередное занятие По завершению изучения данной темы

Форма отчетности Собеседование Проверка конспекта

Тема 3. Понятие модели. Теорема Геделя о существовании модели Лекция 3 План лекции: 1. Понятие модели. Примеры. Нормальная модель. 2. Полнота теории по отношению к модели. 3. Теорема Геделя о существовании модели у всякой непротиворечивой теории. 4. Теорема Геделя о полноте исчисления предикатов. 5. Теорема Мальцева о компактности. Практическое занятие 4. Модели. Применение теоремы о компактности Задачи: 16

1. Построить модель данного множества формул. 2. Пусть формула А выводима в теории FL(0). Доказать, что тогда А выводима в теориях FL(n) для всех n, начиная с некоторого р. 3. Доказать, что теория FL(0) не эквивалентна никакой конечно аксиоматизируемой теории. 4. Доказать, что не существует простого расширения теории FL, моделями которого являются в точности конечные поля. Домашнее задание: 1. Вспомнить понятие изоморфизма алгебраических структур. Построить модель мощности континуума теории Lin, неизоморфную системе действительных чисел. Литература: [1]. Лабораторная работа 4. Конечные модели Цель занятия: составление программы для проверки истинности аксиом в конечной модели. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Групповая

Индивидуально-групповая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции

Форма отчетности Предоставление конспекта

Решение задач

Решенные задачи

Программирование

Работающие программы

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1 2

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Работа с литературой

Индивидуальногрупповая

Решение задач

Срок сдачи Следующее занятие Следующее занятие

Форма отчетности Собеседование Решенные задачи

Тема 4. Мощность моделей Лекция 4 План лекции: 1. Теорема Левенгейма-Сколема о существовании счетной модели. 2. Расширение модели до модели большей мощности. 3. Усиленный вариант теоремы Левенгейма-Сколема о существовании модели произвольной мощности. 4. Обобщение теорем для нормальных моделей. 5. «Парадокс Сколема».

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции

Форма отчетности Предоставление конспекта

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины 1

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Работа с литературой

Индивидуальная

Решение «парадокса»

№

Срок сдачи Следующее занятие Следующее занятие

Форма отчетности Собеседование Доклад

Тема 5. Изоморфизмы и подструктуры Лекция 5 План лекции: 1. Изоморфизм моделей. 2. Категоричность теорий. 3. Элементарно эквивалентные структуры. 4. Подструктуры. Расширение моделей. Элементарное расширение. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции

Форма отчетности Предоставление конспекта

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины 1

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Работа с литературой

Общая

Работа с конспектом

№

Срок сдачи Следующее занятие Следующее занятие

Форма отчетности Собеседование Собеседование

Тема 6. Полные теории Лекция 6 План лекции: 1. Элементарная эквивалентность моделей полной теории 2. Теорема о существовании полного расширения. 3. Признак полноты (теорема Воота). 4. Модельная полнота. 5. Понятие простой модели. Признак полноты на основе модельной полноты. 6. Полнота теорий ACF(n), RCF, Lin. 18

Практическое занятие 5. Свойства теорий. Модельная полнота Задачи: 1. Доказать, что поле комплексных чисел и поле алгебраических чисел элементарно эквивалентны. 2. Доказать, что любая формула, истинная в поле комплексных чисел, является истинной во всех алгебраически замкнутых полях. 3. Доказать, что теория Lin не категорична в мощности континуума. 4. Доказать, что множество формул Х модельно полно тогда и только тогда, когда для любой модели М множества Х множество ХD является полным, где D – диаграмма М. Домашнее задание: 1. Используя литературу, рассмотреть аксиомы Пеано системы натуральных чисел. Разобраться с принципом математической индукции. Литература: [1]. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Групповая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции

Форма отчетности Предоставление конспекта

Решение задач

Решенные задачи

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1 2

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Работа с литературой

Индивидуальногрупповая

Решение задач

Срок сдачи Следующее занятие Следующее занятие

Форма отчетности Собеседование Решенные задачи

Тема 7. Формальная арифметика Лекция 7 План лекции: 1. Аксиомы формальной арифметики Ar. Невозможность конечной аксиоматизации формальной арифметики на языке первого порядка. 2. Построение нестандартной модели арифметики. 3. Теорема Черча о неразрешимости любого непротиворечивого расширения теории Ar . 4. Теоремы Геделя о неполноте любого эффективно аксиоматизируемого расширения теории Ar. Следствия. Вторая теорема Геделя. 5 Система Робинсона Rb. Свойства. Лабораторная работа 5. Работа с формулами языка Ar с использованием систем компьютерной алгебры 19

Задания: 1. Доказать, что системы Ar и Rb не эквивалентны, то есть Rb – собственная часть теории Ar. 2. Доказать, что в системе Rb не выводима формула, формализующая предложение: если х можно разделить на у с остатком, то остаток определен однозначно. 3. Исследовать возможности систем компьютерной алгебры по преобразованию формул языка Ar с помощью правил вывода. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Групповая

Индивидуально-групповая

Форма самостоятельной работы Составление конспекта лекции

Форма отчетности Предоставление конспекта

Решение задач

Решенные задачи

Программирование

Работающие программы

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1 2

Вид самостоятельной работы Общая Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с литературой Решение задач

до экзамена

Форма отчетности Собеседование

до экзамена

Собеседование

Срок сдачи

5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Судоплатов, С. В. Математическая логика и теория алгоритмов : учебник / С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - 3-е изд. - Новосибирск : НГТУ, 2012. - 254 с. http://www.biblioclub.ru/book/135676/ 2. Судоплатов, С. В. Полигонометрии групп / С.В. Судоплатов ; под ред. Н. А. Лукашова. - Новосибирск : НГТУ, 2011. - 300 с. http://www.biblioclub.ru/book/135590/ Дополнительная литература 1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. – М.: МЦНМО, 2012. – Режим доступа: http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part2-2.pdf, свободный (распространение без ограничений (в неизменном виде)). – Загл. с экрана. 20

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Либроком, 2010. 3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – СПб.: Лань, 2005. 4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г.Математическая логика. – М.: КомКнига, 2006. 5. Босс В. Лекции по математике. Т.6: От Диофанта до Тьюринга: Учебное пособие – М.: КомКнига, 2006. 6. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. – М.: Наука, 1967. 7. Шенфилд Дж. Математическая логика. – М.: Наука, 1975. 6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «АКСИОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ»» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕЙ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ И ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о бально-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: - текущая аттестация; - межсессионная аттестация; - промежуточная аттестация; - итоговая аттестация. Шкала баллов по учебной дисциплине №

Показатели

1 2

Посещение лекций Посещение лабораторных и практических занятий

Выполнение домашнего задания

4 5 6

Активность на занятии Выполнение лабораторных работ Решение задач на занятии Межсессионная аттестация (норма баллов) Зачет включая: теоретический вопрос

10 20 10 30 20

практическое задание Всего

10 100

Норма баллов 10 10

Шкала перевода баллов в экзаменационную оценку Баллы

Оценка 21

0 – 59 60 – 70

неудовлетворительно удовлетворительно

71 – 80

хорошо

81 – 100

отлично

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций №

Результат (освоенные компетенции)

ОК-1. Способность работать в междисциплинарной команде

ОК-2. Способность общаться со специалистами из других областей

ОК-5. Способность порождать новые идеи и применять в научноисследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук ОК-10. Умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научнотехническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной

Основные показатели оценки результата

Знает: формы групповой работы, способы поиска требуемой информации Умеет: получить необходимую информацию, оценить ее полезность и значимость Владеет: методами работы с литературой и электронными источниками информации Знает: направления развития дисциплины и ее приложения Умеет: интерпретировать задачу с использованием математического языка

Знает: базовые понятия в области фундаментальной и прикладной математики Умеет: применять математические знания в научноисследовательской и прикладной деятельности

Умеет: выделять знания, полезные для научноисследовательской работы по выбранной теме Владеет: математическими методами обработки и анализа информации

Виды контроля

Формы и методы контроля

Номер темы

п. т. м. и.

Зачет, проверка аудитемы 1, 6, торных и 7 внеаудиторных заданий

п. т. м. и.

Зачет, проверка аудитемы 2, 4, торных и 5, 6 внеаудиторных заданий

п. т. м. и.

Зачет, проверка аудитемы 3, 4, торных и внеаудитор- 5, 6, 7 ных заданий

п. т. м. и.

Зачет, проверка аудитемы 1, 2, торных и внеаудитор- 3, 7 ных заданий

форме ПК-1. Владение методами математического моделиУмеет: анализировать прорования при анап. Зачет, проблемы на основе фундаменлизе глобальных т. верка аудитальных математических темы 1, 3, торных и 5 проблем на основе м. знаний внеаудитор- 6, 7 глубоких знаний и. Владеет: основными метоных заданий фундаментальных дами построения моделей математических дисциплин и компьютерных наук ПК-10. Определеп. Зачет, проние общих форм, Владеет: общими законот. верка аудизакономерностей, темы 1, 2, торных и 6 мерностями математичем. инструментальных 3, 4, 5, 7 внеаудиторских дисциплин и. средств для групп ных заданий дисциплин ПК-14. Умение формулировать в Умеет: анализировать обЗачет, пропроблемноп. щенаучную информацию верка аудизадачной форме т. темы 2, 4, торных и 7 Владеет: методами формалинематематические м. внеаудитор- 6 зации семантических понятипы знания (в том ных заданий тий числе гуманитарные) «в.» – входной контроль; «т.» – текущая аттестация; «м.» – межсессионная аттестация; «п.» – промежуточная аттестация; «и.» – итоговая аттестация

6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерные задания для проверки знаний студентов 1. Привести пример предикатов А(х) и В(х), при которых формула x( A( x)  B( x))  xA( x)  xB( x) принимает ложное значение. 2. Используя символы отношений и логические символы, записать предложение: «Найдется объект х, который делится на все объекты, меньшие х». 3. Указать числовое множество объектов М, на котором формула задачи №2 имеет смысл и принимает а) истинное значение, б) ложное значение. 4. Запишите на языке математической логики аксиомы теории групп и теории полей. 5. Приведите примеры неизоморфных групп четвертого порядка и докажите, что любые группы третьего порядка изоморфны между собой. 6.2.2. Текущая аттестация Текущая аттестация осуществляется в проверке выполнения аудиторных и внеаудиторных заданий, учете посещаемости, в проверке наличия конспектов лекций. 6.2.3. Межсессионная аттестация 23

Межсессионная аттестация выставляется на основании набранных студентом на момент аттестации баллов. 6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме зачета. Примерный перечень вопросов к зачету 1. Исчисление высказываний. Аксиомы, правила вывода. свойства исчисления высказываний. 2. Функции, термы, предикаты. Исчисление предикатов. Правильная подстановка термов в формулу. Непротиворечивость исчисления предикатов. 3. Правила вывода в исчислении предикатов. Теорема дедукции. 4. Язык первого порядка. Интерпретация языка. Оценка формулы. Полнота исчисления предикатов. 5. Теории первого порядка (элементарные теории). Теории первого порядка с равенством. Примеры. Понятие о теориях высокого порядка. 6. Свойства элементарных теорий. Признак разрешимой теории. Добавление новых символов. 7. Модель множества формул. Модель теории. Полные теории. Теорема о существовании модели. Следствия. 8. Теорема о компактности. Применения. 9. Мощность моделей. Теоремы Левенгейма-Сколема. 10. Изоморфизм моделей. Категоричность. Полнота теории. Признак полноты. 11. Элементарно эквивалентные структуры. Подструктуры. расширения моделей. Элементарные расширения. 12. Модельная полнота. Простая модель. Признак полноты. Применения. 13. Формальная арифметика. Аксиомы индукции. Модели арифметики. 14. Расширения формальной арифметики. Теорема Черча. Теоремы Геделя. Тематика задач 1. Построить вывод формулы в исчислении высказываний, в исчислении предикатов. 2. Доказать, что формула является теоремой данной теории. 3. Проверить, изоморфны ли модели. 4. Построить модель данного множества формул определенной мощности. 5. Применения теорем Левенгейма-Сколема. 6. Применения теоремы о компактности. 7. Обосновать полноту или неполноту теории. 8. Проверить, является ли алгебраическая структура моделью данного множества формул.

6.3. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения итоговой аттестации Вопросы к итоговому экзамену 1. Аксиоматические системы. Исчисление высказываний, исчисление предикатов. Свойства. Язык первого порядка. Элементарные теории. Примеры. 2. Алгебраические структуры. Семантическая интерпретация языка первого порядка. Модель теории. Изоморфизмы. Мощность моделей. Классические теоремы теории моделей (теоремы Геделя, Левенгейма-Сколема, Мальцева). 3. Категоричность. Разрешимость. Полнота. Модельно полные теории. Признаки полноты. Формальная арифметика. Теоремы о расширениях формальной арифметики.