Абстрактная и компьютерная алгебра 050100.62 ПО.Информатика.pdf by VyatGGU

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100.62 Педагогическое образование, утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 22 декабря 2009 г., регистрационный № 788

Учебно-методический комплекс разработан Е. В. Разовой, канд. пед. наук, доцентом кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ

Рецензент – С. М. Окулов, д-р пед. наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры прикладной математики и информатики ВятГГУ «21» февраля 2014 г., протокол № 6

Рабочая программа учебной дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» Цель дисциплины: ознакомление с характеристикой основных понятий абстрактной алгебры: число, группа, кольцо, числовые поля, многочлены и др., а также формирование понятия об алгоритмах символьных преобразований, связанных с такими объектами как целые числами и полиномы. Задачи дисциплины: 1. Овладение основными понятиями и фактами, характеризующими свойства абстрактных алгебраических структур: группа, кольцо, поле; 2. формирование знаний, умений и навыков в области алгоритмически разрешимых алгебраических задач и проблем; 3. овладение навыками анализа, оценки эффективности и сложности алгоритмов символьных преобразований. 4. Формирование умений и навыков по эффективному применению средств вычислительной техники; 5. Развитие всех видов мышления в процессе творческого исследования различных методов решения задач; 6. Воспитание творческого подхода к решению проблем, возникающих в процессе профессиональной деятельности. 1.2. Место дисциплины в структуре программы бакалавриата Учебная дисциплина «Абстрактная и компьютерная алгебра» относится к обязательным дисциплинам вариативной части профессионального цикла (Б.3.В.ОД.7), изучается на третьем курсе. Она основывается на учебном материале дисциплин «Математика», «Дискретная математика», «Практикум по решению задач на ЭВМ», «Программирование», «Объектно-ориентированное программирование», «Теоретические основы информатики» изучаемых в 1-5 семестрах. В дальнейшем знания, умения и навыки, полученные при изучении дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» будут в значительной мере развиваться и углубляться в процессе изучения большинства дисциплин профессионального цикла. На знаниях, умениях и навыках, полученных при изучении дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра», базируются следующие дисциплины  «Численные методы»;  «Компьютерное моделирование»;  «Системы искусственного интеллекта»;  «Методы и средства защиты информации»;

 «Высокопроизводительные вычисления»;  «Параллельное программирование»;  «Матричные методы теории графов»;  «Исследование операций». Поэтому важно сформировать в ходе изучения дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» целостную картину предмета и заложить основы дальнейшего профессионального образования. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины Дисциплина изучается в 6-ом семестре. Для ее изучения достаточно знаний, умений и навыков, полученных при изучении дисциплин «Математика», «Дискретная математика», «Практикум по решению задач на ЭВМ», «Программирование», «Объектно-ориентированное программирование», «Теоретические основы информатики», изучаемых в 1-5 семестрах, а именно: 1) знать: понятия алгоритма, компьютерной программы, основные алгоритмические конструкции, понятие бинарной операции, свойства бинарных операций, элементы теории чисел, понятие полинома, операций над полиномами; 2) уметь: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения учебных и практических задач; 3) владеть: навыками написания программ на одном из языков программирования. 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования: общекультурные компетенции: 1) владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1); знать: методы обобщения, анализа информации; уметь: ставить цель, выбирать способ решения задачи; владеть: культурой мышления. 2) способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4); знать: методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования;

уметь: применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; владеть: навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности. 3) готов к взаимодействию с коллегами, к работе в коллективе (ОК-7); знать: этапы решения задач, принципы межличностного отношения; уметь: доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; владеть: навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности. 4) способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК-12); знать: сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, основные требования защиты информации; уметь: оценивать опасность и угрозу защиты информации; владеть: навыком защиты информации. профессиональные компетенции: общепрофессиональные компетенции: 5) владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3); знать: как правильно вести дискуссию, отстаивать собственное мнение; уметь: прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; владеть: методиками коллективной деятельности. в области педагогической деятельности: 6) способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1); знать: об основных возможностях информационных и компьютерных технологий, о назначении компьютера в современном мире, о его основных возможностях; уметь: применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; владеть: профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией. специальные компетенции: 7) способен использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения

практических задач получения, хранения, обработки и передачи информации (СК2); знать: базовый аппарат математики и программирования; уметь: использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; владеть: навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования. 8) способен реализовывать аналитические и технологические решения в области программного обеспечения и компьютерной обработки информации (СК4); знать: назначение и возможности математических пакетов, особенности компьютерных символьных преобразований, методы решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры; уметь: решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры; владеть: навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. 2. КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ Учебная дисциплина «Абстрактная и компьютерная алгебра» состоит из пяти разделов, рассчитана на один семестр. Каждое лекционное занятие сопровождается презентацией. К каждому лекционному и практическому занятию студенты получают пакет дидактических материалов. Каждый студент на практическом занятии получает развернутый план в электронном или текстовом варианте. Разработана и используется на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов система тестов. Практические занятия проводятся в интерактивном режиме, используются приемы современных образовательных технологий: развития критического мышления, проблемного обучения, мастерских, адаптивного обучения, уровневой дифференциации и др. Рекомендуется в процессе изучения каждого раздела предлагать студентам задания для самостоятельной работы по углублению и расширению знаний, для совершенствования умений и формирования практических навыков. Сведения о рекомендуемых к использованию преподавателем образовательных технологий и материально-техническом обеспечении учебной дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра». № п/п

Образовательная технология, рекомендуемая к использованию в

Рекомендуемые средства обучения

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

преподавании учебной дисциплины Информационная лекция Проблемная лекция Лекция-визуализация Лекция-беседа Метод проектов Лекция с применением затрудняющих условий Метод Дельфи Работа в микро-группах Метод «6-6» Учебные задачи Электронный практикум Занятие-визуализация

Мультимедийный проектор Интерактивная доска Наборы слайдов Программы-симуляторы

Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах № п/п 1

Показатель Занятия, проводимые в интерактивных формах

Общий объем (по РУП) в часах/ в процентах очная 20 / 41,7%

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Абстрактная и компьютерная алгебра» 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа. № п/п 1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 3.1

Виды учебной работы Трудоемкость (по ФГОС ВПО) Аудиторные занятия, всего в том числе: Лекции Лабораторные работы Практические занятия Семинарские занятия Коллоквиумы Прочие виды аудиторных занятий Самостоятельная работа студентов, всего в том числе: Контрольная работа

Общий объем (по РУП) в часах очная 72 48 16 32

3.2 3.3 3.4 3.5 4

Курсовая работа Научно-исследовательская работа Практика Прочие виды самостоятельной работы Вид(ы) промежуточного контроля

зачет

3.2. Матрица соотнесения разделов / тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

СК- 4

СК-2

ПК- 1

ОПК- 3

ОК-12

Σ общее количество компетенций

ОК- 4

Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Введение в предмет. Понятие алгебраической структуры. Морфизмы алгебр Тема 1.2. Группы, кольца, идеалы, факторкольца, поля Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел Тема 2.2. Элементы теории делимости в кольце целых чисел Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел Тема 2.4. Модулярная арифметика Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория делимости в кольце многочленов Тема 3.2. Быстрое преобразование Фурье Тема 3.3. Нахождение НОД многочленов Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители Раздел 4. Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации

Количество часов

ОК-1

Разделы / темы учебной дисциплины

ОК- 7

Компетенции

Тема 4.1. Основные понятия криптографии. Система RSA Тема 4.2. Электронноцифровая подпись Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Алгебраическое расширение поля Тема 5.2. Интегрирование рациональных функций Всего:

9 3

3.3. Содержание разделов / тем учебной дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Введение в предмет. Понятие алгебраической структуры. Морфизмы алгебр Предмет изучения абстрактной и компьютерной алгебр. Определение бинарной алгебраической операции, свойства бинарных операций. Понятие подалгебры. Гомоморфизм, изоморфизм алгебр. Тема 1.2. Группы, кольца, идеалы, факторкольца, поля. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией: полугруппа, моноид, группа. Примеры и свойства групп. Группа подстановок, применение в криптографии. Подгруппы. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Алгебраические структуры с двумя бинарными алгебраическими операциями: кольцо, поле. Примеры и свойства колец. Подкольца. Идеалы кольца. Факторкольца. Примеры полей. Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел Множество целых чисел – расширение множества натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Представление больших целых чисел в памяти компьютера. Длинная арифметика. Тема 2.2. Элементы теории делимости в кольце целых чисел Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с остатком. НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе; расширенный алгоритм Евклида; алгоритм Евклида и цепные дроби. Простые числа. Разложение целых чисел на множители; разложение больших целых чисел на множители.

Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел Понятие сравнения по модулю m, свойства сравнений. Полная и приведенная системы классов вычетов. Китайская теорема об остатках. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Тема 2.4. Модулярная арифметика Система остаточных классов. Арифметика остаточных классов. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику. Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория делимости в кольце многочленов Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов. Теорема о делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. Корни многочлена, теорема Безу, Теорема Виета. Арифметика кольца многочленов. Нахождение значения многочленов. Тема 3.2. Быстрое преобразование Фурье Комплексные корни из единицы. Прямое и обратное преобразование Фурье. Тема 3.3. Нахождение НОД многочленов НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Взаимно простые многочлены. Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые множители, единственность разложения. Понятие о многочленах от нескольких переменных. Раздел 4. Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации Тема 4.1. Основные понятия криптографии. Система RSA Представление о теории кодирования. Основные понятия криптографии. Симметричные и асимметричные криптосистемы. Система шифрования RSA: теоретико-числовые основы, обоснование корректности шифрования. Тема 4.2. Электронно-цифровая подпись Понятие хеш-значения и хеш-функции. Способы хеширования. Электронноцифровая подпись на базе системы RSA. Области применения электронноцифровой подписи. Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Алгебраическое расширение поля

Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем. Конечные и алгебраические расширения поля. Конечные поля. Тема 5.2. Интегрирование рациональных функций Постановка задачи формального интегрирования. Методы интегрирования рациональных функций: прямой метод, метод Эрмита, метод Горовица. 3.4. Тематический план учебной дисциплины компьютерная алгебра»

«Абстрактная и

а) аудиторные занятия Разделы / темы учебной дисциплины

Вид учебной работы

Часов

очная Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Введение в Лекция 1 предмет. Понятие алгебраической структуры. Морфизмы алгебр Тема 1.2. Группы, Лекция 1 кольца, идеалы, факторкольца, поля Лабораторная 4 работа Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо целых Лекция чисел. Алгоритмические проблемы кольца Лабораторная целых чисел работа

Тема 2.2. Элементы теории делимости в кольце целых чисел

Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел

Технология обучения

Форма текущего контроля

Информационная лекция

Опрос

Информационная лекция

Опрос

Учебные задачи Электронный практикум

Защита практикума Тест

Информационная лекция

Опрос

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах Информационная лекция

Защита практикума Тест

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах Информационная лекция

Защита практикума Тест

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах

Защита практикума Тест

Лекция

Лабораторная работа

Лекция

Лабораторная работа

Опрос

Тема 2.4. Модулярная арифметика

Лекция

Лабораторная работа

Лекция

Лабораторная работа

Лекция

Лабораторная работа

Информационная лекция

Опрос

Учебные задачи Защита Электронный практикума практикум Тест Работа в микрогруппах Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория Лекция 1 Информационная Опрос делимости в кольце лекция многочленов Лабораторная 4 Учебные задачи Защита работа Электронный практикума практикум Тест Работа в микрогруппах Тема 3.2. Быстрое Лекция 2 Информационная Опрос преобразование Фурье лекция

Тема 3.3. Нахождение НОД многочленов

Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах Информационная лекция

Защита практикума Тест

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах Информационная лекция

Защита практикума Тест

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах

Защита практикума Тест

Опрос

Раздел 4. Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации Тема 4.1. Основные Лекция 1 Информационная Опрос понятия криптографии. лекция Система RSA Лабораторная 2 Учебные задачи Защита работа Электронный практикума практикум Тест Работа в микрогруппах

Тема 4.2. Электронноцифровая подпись

Лекция

Информационная лекция

Опрос

Лабораторная работа

Учебные задачи Электронный практикум Работа в микрогруппах

Защита практикума Тест

Информационная лекция

Опрос

Информационная лекция

Опрос

Учебные задачи Электронный практикум

Защита практикума Тест

Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Лекция Алгебраическое расширение поля Тема 5.2. Лекция Интегрирование рациональных функций Лабораторная работа Итого:

б) самостоятельная аудиторная работа Разделы / темы учебной дисциплины

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Результат

Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Введение в Слежение за планом предмет. Понятие лекции, проработка алгебраической конспекта лекции. структуры. Морфизмы Тест алгебр

Тема 1.2. Группы, кольца, идеалы, факторкольца, поля

Знание методов обобщения, анализа информации; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; сущности и значения информации в развитии современного информационного общества, основных требований защиты информации; базового аппарата математики и программирования. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; оценивать опасность и угрозу защиты информации; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач. Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа лекции, проработка информации; методов математической конспекта лекции. обработки информации, теоретического Самостоятельное и экспериментального исследования; решение задач. сущности и значения информации в Тест развитии современного информационного общества, основных требований защиты информации; базового аппарата математики и программирования. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; оценивать опасность и угрозу защиты информации; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач.

Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо Слежение

за

планом Знание методов обобщения, анализа

целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел

лекции, проработка конспекта лекции. Самостоятельное решение задач, обсуждение методов решения в микрогруппах. Тест

Тема 2.2. Элементы теории делимости в кольце целых чисел

Слежение за планом лекции, проработка конспекта лекции. Самостоятельное решение задач, обсуждение методов решения в микрогруппах. Тест

информации; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; основных возможностей информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Знание методов обобщения, анализа информации; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; основных возможностей информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ

Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел

решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Знание методов обобщения, анализа информации; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; основных возможностей информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и

компьютерной алгебры. Тема 2.4. Модулярная Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа арифметика лекции, проработка информации; методов математической конспекта лекции. обработки информации, теоретического Самостоятельное и экспериментального исследования; решение задач, этапов решения задач, принципов обсуждение методов межличностного отношения; правил решения в микрогруппах. ведения дискуссии, отстаивания Тест собственного мнения; основных возможностей информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа делимости в кольце лекции, проработка информации; этапов решения задач, многочленов конспекта лекции. принципов межличностного Самостоятельное отношения; правил ведения дискуссии, решение задач, отстаивания собственного мнения; обсуждение методов базового аппарата математики и решения в микрогруппах. программирования; назначения и Тест возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов

Тема 3.2. Быстрое Слежение за планом преобразование Фурье лекции, проработка конспекта лекции. Самостоятельное решение задач, обсуждение методов решения в микрогруппах. Тест

Тема 3.3. Нахождение НОД многочленов

Слежение за планом лекции, проработка конспекта лекции. Самостоятельное решение задач, обсуждение методов

решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Знание методов обобщения, анализа информации; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Знание методов обобщения, анализа информации; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; базового аппарата математики и

Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители

решения в микрогруппах. программирования; назначения и Тест возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа лекции, проработка информации; этапов решения задач, конспекта лекции. принципов межличностного Самостоятельное отношения; правил ведения дискуссии, решение задач, отстаивания собственного мнения; обсуждение методов базового аппарата математики и решения в микрогруппах. программирования; назначения и Тест возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры.

РАЗДЕЛ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Тема 4.1. Основные Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа понятия лекции, проработка информации; методов математической криптографии. конспекта лекции. обработки информации, теоретического Система RSA Самостоятельное и экспериментального исследования; решение задач, этапов решения задач, принципов обсуждение методов межличностного отношения; сущности

Тема 4.2. Электронноцифровая подпись

решения в микрогруппах. и значения информации в развитии Тест современного информационного общества, основных требований защиты информации; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; основных возможностей информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; оценивать опасность и угрозу защиты информации; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа лекции, проработка информации; методов математической конспекта лекции. обработки информации, теоретического Самостоятельное и экспериментального исследования; решение задач, этапов решения задач, принципов обсуждение методов межличностного отношения; сущности решения в микрогруппах. и значения информации в развитии Тест современного информационного общества, основных требований защиты информации; правил ведения дискуссии, отстаивания собственного мнения; основных возможностей

информационных и компьютерных технологий, назначения компьютера в современном мире, его основных возможностей; базового аппарата математики и программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; оценивать опасность и угрозу защиты информации; прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры. Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Слежение за планом Алгебраическое лекции, проработка расширение поля конспекта лекции. Тест

Знание методов обобщения, анализа информации; методов математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; этапов решения задач, принципов межличностного отношения; базового аппарата математики и программирования. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные

Тема 5.2. Интегрирование рациональных функций

компьютерные технологии для решения практических задач. Слежение за планом Знание методов обобщения, анализа лекции, проработка информации; методов математической конспекта лекции. обработки информации, теоретического Самостоятельное и экспериментального исследования; решение задач. базового аппарата математики и Тест программирования; назначения и возможностей математических пакетов, особенностей компьютерных символьных преобразований, методов решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры. Умение ставить цель, выбирать способ решения задачи; применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач; решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры.

в) занятия в интерактивных формах № п/п

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10

РАЗДЕЛЫ / ТЕМЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел Тема 2.2. Элементы теории делимости в кольце целых чисел Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел Тема 2.4. Модулярная арифметика Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория делимости в кольце многочленов Тема 3.2. Быстрое преобразование Фурье Тема 3.3. Нахождение НОД многочленов Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители Раздел 4. Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации Тема 4.1. Основные понятия криптографии. Система RSA Тема 4.2. Электронно-цифровая подпись Итого

Общий объем (по РУП) в часах очная 8 2 2 2 2 8 2 2 2 2 4 2 2 20

г) самостоятельная внеаудиторная работа Разделы / темы учебной дисциплины

Вид учебной работы (форма самостоятельной работы)

Часов

Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Работа с Введение в первоисточниками. предмет. Выполнение домашнего Понятие задания. Подготовка к алгебраической тесту. Изучение структуры. материала, вынесенного 1 Морфизмы на самостоятельную алгебр проработку.

Тема 1.2. Группы, кольца, идеалы, факторкольца, поля

Работа с первоисточниками. Выполнение домашнего задания. Подготовка к тесту. Оформление отчета. Подготовка к тесту.

Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо Работа с целых чисел. первоисточниками. Алгоритмически Выполнение домашнего е проблемы задания. Подготовка к кольца целых тесту. Изучение чисел материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Обмен, систематизация и анализ предложенных микрогруппами способов решения. Оформление отчета.

Тема 2.2. Элементы

Работа с первоисточниками.

Результат

Владение культурой мышления; навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком защиты информации; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования. Владение культурой мышления; навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком защиты информации; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования. Владение культурой мышления; навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности; методиками коллективной деятельности; профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Владение культурой мышления; навыком коллективного решения

теории делимости в кольце целых чисел

Выполнение домашнего задания. Подготовка к тесту. Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Обмен, систематизация и анализ предложенных микрогруппами способов решения. Оформление отчета.

Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел

Работа с первоисточниками. Выполнение домашнего задания. Подготовка к тесту. Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Обмен, систематизация и анализ предложенных микрогруппами способов решения. Оформление отчета.

Тема 2.4. Модулярная арифметика

задач профессиональной деятельности; методиками коллективной деятельности; профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Владение культурой мышления; навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности; методиками коллективной деятельности; профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Владение культурой мышления; навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности; методиками коллективной деятельности; профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством

управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория Работа с Владение культурой мышления; делимости в первоисточниками. навыком коллективного решения кольце Выполнение домашнего задач профессиональной многочленов задания. Подготовка к деятельности; методиками тесту. Изучение коллективной деятельности; навыком материала, вынесенного получения, хранения, обработки и на самостоятельную передачи информации с 2 проработку. Обмен, использованием современных систематизация и компьютерных технологий и анализ предложенных программирования; навыком микрогруппами компьютерной обработки способов решения. информации, реализации символьных Оформление отчета. преобразований. Тема 3.2. Работа с Владение культурой мышления; Быстрое первоисточниками. навыком использования знаний о преобразование Выполнение домашнего современной естественнонаучной Фурье задания. Подготовка к картине мира в образовательной и тесту. Изучение профессиональной деятельности; материала, вынесенного навыком коллективного решения на самостоятельную задач профессиональной проработку. Обмен, деятельности; методиками систематизация и коллективной деятельности; навыком 2 анализ предложенных получения, хранения, обработки и микрогруппами передачи информации с способов решения. использованием современных Оформление отчета. компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Тема 3.3. Работа с Владение культурой мышления; Нахождение первоисточниками. навыком коллективного решения НОД Выполнение домашнего задач профессиональной многочленов задания. Подготовка к деятельности; методиками тесту. Изучение коллективной деятельности; навыком материала, вынесенного получения, хранения, обработки и на самостоятельную передачи информации с 2 проработку. Обмен, использованием современных систематизация и компьютерных технологий и анализ предложенных программирования; навыком микрогруппами компьютерной обработки способов решения. информации, реализации символьных Оформление отчета. преобразований.

Тема 3.4. Разложение многочлена на простые множители

Владение культурой мышления; навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности; методиками коллективной деятельности; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований.

РАЗДЕЛ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ Тема 4.1. Работа с Владение культурой мышления; Основные первоисточниками. навыком использования знаний о понятия Выполнение домашнего современной естественнонаучной криптографии. задания. Подготовка к картине мира в образовательной и Система RSA тесту. Изучение профессиональной деятельности; материала, вынесенного навыком коллективного решения на самостоятельную задач профессиональной проработку. Обмен, деятельности; навыком защиты систематизация и информации; методиками анализ предложенных коллективной деятельности; микрогруппами профессиональными навыками способов решения. использования информационных и Оформление отчета. компьютерных технологий в научной 2 и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Тема 4.2. Работа с Владение культурой мышления; Электроннопервоисточниками. навыком использования знаний о цифровая Выполнение домашнего современной естественнонаучной подпись задания. Подготовка к картине мира в образовательной и тесту. Изучение профессиональной деятельности; материала, вынесенного навыком коллективного решения на самостоятельную задач профессиональной 2 проработку. Обмен, деятельности; навыком защиты систематизация и информации; методиками анализ предложенных коллективной деятельности; микрогруппами профессиональными навыками способов решения. использования информационных и Оформление отчета. компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а

также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Работа с Алгебраическое первоисточниками. расширение Выполнение домашнего поля задания. Подготовка к тесту. Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Тема 5.2. Интегрирование рациональных функций

Работа с первоисточниками. Выполнение домашнего задания. Подготовка к тесту. Изучение материала, вынесенного на самостоятельную проработку. Оформление отчета.

Владение культурой мышления; навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования. Владение культурой мышления; навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности; навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования; навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ Раздел 1. Понятие алгебраической структуры Тема 1.1. Абстрактные машины как универсальные алгоритмические модели Аудиторные занятия Лекция 1. Введение в предмет. Понятие алгебраической структуры. Морфизмы алгебр (1 ч.) План лекции: 1. Предмет изучения абстрактной и компьютерной алгебр. 2. Определение бинарной алгебраической операции, свойства бинарных операций. 3. Понятие подалгебры. 4. Гомоморфизм, изоморфизм алгебр. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, письменное выполнение теста

Форма отчетности Конспект лекции, тест

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

1- я неделя семестра

Конспект лекции

Тема 1.2. Группы, кольца, идеалы, факторкольца, поля. Аудиторные занятия Лекция 2. Нормальные алгоритмы Маркова как универсальная алгоритмическая модель (1 ч.) План лекции: 1. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией: полугруппа, моноид, группа.

2. Примеры и свойства групп. Группа подстановок, применение в криптографии. Подгруппы. Нормальные подгруппы и факторгруппы. 3. Алгебраические структуры с двумя бинарными алгебраическими операциями: кольцо, поле. Примеры и свойства колец. Подкольца. Идеалы кольца. Факторкольца. Примеры полей. Лабораторная работа № 1. Алгебра. Виды алгебр. Группа подстановок (2 ч.) Цель работы: – определение типа конкретных алгебр; – изучение множества подстановок с операцией композиции (данная алгебра является группой, программная реализация композиции подстановок, нахождения обратной подстановки, разложения подстановки в циклы). Вопросы: 1) В какой алгебре выполняется свойство идемпотентности? Привести примеры. 2) Какая алгебра является группой, моноидом, полугруппой, кольцом, полем? Привести примеры. 3) Может ли элемент иметь два нейтральных элемента, два обратных элемента? 4) Какая группа называется Абелевой? 5) Как длины циклов связаны со степенью, в которую нужно возвести данную подстановку, чтобы получить тождественную. Лабораторная работа № 2. Использование группы подстановок в шифровании (2 ч.) Цель работы: изучение применения группы подстановок в шифровании. Программная реализация алгоритмов шифрования и расшифрования на основе шифра Цезаря (аналитическое задание, задание подстановкой), обобщенного шифра Цезаря, шифра Вижинера (с ключом и без ключа) Вопросы: 1) Какими должны быть параметры а и n в обобщенном шифре Цезаря? Почему? 2) Как перейти от аналитического задания в обобщенном шифре Цезаря к шифрованию подстановками? 3) Как зная ключ шифрования получить ключ для расшифровки?

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, самостоятельное решение задач, письменное выполнение теста

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

3-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Раздел 2. Кольцо целых чисел Тема 2.1. Кольцо целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел Аудиторные занятия Лекция 3. Кольцо целых чисел. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел (1 ч.) План лекции: 1.Множество целых чисел – расширение множества натуральных чисел. 2.Кольцо целых чисел. 3.Представление больших целых чисел в памяти компьютера. 4.Длинная арифметика. Лабораторная работа № 3. Организация хранения длинных целых чисел в памяти компьютера. Длинная арифметика (2 ч.) Цель работы: – рассмотрение способов представления длинных чисел в памяти компьютера; – компьютерная реализация основных алгоритмов длинной арифметики. Вопросы: 1) С чем связано появление целых чисел? 2) Доказать, что множество целых чисел с операциями сложения и умножения является кольцом. 3) Что такое система счисления? Каковы особенности позиционной системы счисления, ее основные характеристики?

4) Чем определяется основание системы счисления при реализации длинной арифметики? 5) Какова временная сложность алгоритмов длинной арифметики? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Слежение за планом чтения лекции, проработка конспекта лекции, самостоятельное решение задач, письменное выполнение теста, действия в соответствии с инструкциями и методическими указаниями

Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Групповая

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками, конспектирование, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

4-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Лекция 4. Элементы теории делимости в кольце целых чисел (1 ч.) План лекции: 1. Отношение делимости, его простейшие свойства. 2. Теорема о делении с остатком. 3. НОД, НОК: Алгоритм Евклида и теорема Ламе; расширенный алгоритм Евклида; алгоритм Евклида и цепные дроби. 4. Простые числа. 5. Разложение целых чисел на множители; разложение больших целых чисел на множители. Лабораторная работа № 4. Алгоритм Евклида нахождения НОД (2 ч.) Цель работы: – программная реализация алгоритма Евклида на длинных числах; – программная реализация расширенного алгоритма Евклида; – изучение связи расширенного алгоритма Евклида с цепными дробями и решением диофантова уравнения; – нахождение НОК. Вопросы: 1) Какие свойства лежат в основе алгоритма Евклида? 2) Какова временная сложность алгоритма Евклида? 3) Как алгоритм Евклида связан с цепными дробями? 4) Каково применение цепных дробей? 5) Сколько решений может иметь диофантово уравнение? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Групповая

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Срок сдачи

Форма отчетности

Общая

Работа с первоисточниками, конспектирование, подготовка к практическим занятиям, к тесту

5-я неделя семестра

Конспект

Самостоятельная аудиторная работа по данной теме проводится в интерактивной форме на практических занятиях. Занятия проводятся по следующей схеме: постановка проблемы – решение проблемы – рефлексия. На первом этапе перед студентами формулируется проблема / задача и в малых группах обсуждаются возможные пути / варианты решения обозначенной проблемы. На этом этапе происходит активный обмен мнениями в процессе межличностного взаимодействия. На следующем этапе каждая малая группа студентов выбирает для себя оптимальный, по ее мнению, вариант решения обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Тема 2.3. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел Аудиторные занятия Лекция 5. Элементы теории сравнений в кольце целых чисел (2 ч.) План лекции: 1. Понятие сравнения по модулю m, свойства сравнений. 2. Полная и приведенная системы классов вычетов. 3. Китайская теорема об остатках. 4. Теорема Эйлера, теорема Ферма. Лабораторная работа № 5. Модулярная арифметика. Китайская теорема об остатках (2 ч.) Цель работы: – программная реализация алгоритмов модулярной арифметики; – нахождение мультипликативного обратного элемента; – решение системы сравнений с одним неизвестным. Вопросы: 1) Определение сравнения. 2) Какое множество называется системой классов вычетов, приведенной системой классов вычетов? 3) Каково количество элементов в приведенной системе классов вычетов по заданному модулю? 4) Как алгоритм Евклида связан с нахождением мультипликативного обратного элемента?

5) В чем заключается суть китайской теоремы об остатках? Приведите разные формулировки этой теоремы. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Групповая

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Срок сдачи

Форма отчетности

6-я неделя семестра

Конспект

План лекции: 1. Система остаточных классов. 2. Арифметика остаточных классов. 3. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику. Лабораторная работа № 6. Арифметика системы остаточных классов (2 ч.) Цель работы: – реализация перевода числа из десятичной системы счисления в систему остаточных классов и обратно; – программная реализация алгоритмов арифметики остаточных классов; – изучение алгоритмических проблем системы остаточных классов (сравнение чисел в системе остаточных классов). Вопросы: 1) Какие положения лежат в основе построения системы остаточных классов, как альтернативного метода хранения длинных чисел? Какими положениями определяется выбор системы модулей в системе остаточных классов? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Групповая

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Срок сдачи

Форма отчетности

7-я неделя семестра

Конспект

Самостоятельная аудиторная работа по данной теме проводится в интерактивной форме на практических занятиях. Занятия проводятся по

следующей схеме: постановка проблемы – решение проблемы – рефлексия. На первом этапе перед студентами формулируется проблема / задача и в малых группах обсуждаются возможные пути / варианты решения обозначенной проблемы. На этом этапе происходит активный обмен мнениями в процессе межличностного взаимодействия. На следующем этапе каждая малая группа студентов выбирает для себя оптимальный, по ее мнению, вариант решения обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Раздел 3. Кольцо многочленов от одной переменной. Теория делимости Тема 3.1. Теория делимости в кольце многочленов Аудиторные занятия Лекция 7. Теория делимости в кольце многочленов (1 ч.) План лекции: 1. Построение кольца многочленов над полем. 2. Отношение делимости многочленов. Теорема о делении с остатком. 3. Деление на двучлен, схема Горнера, формула Тейлора. 4. Корни многочлена, теорема Безу, Теорема Виета. 5. Арифметика кольца многочленов. Нахождение значения многочленов. Лабораторная работа № 7. Полиномиальная арифметика (2 ч.) Цель работы: – рассмотрение способов представления многочленов в памяти компьютера; – компьютерная реализация основных алгоритмов полиномиальной арифметики. Вопросы: 1) Что общего и в чем различия полиномиальной и длинной арифметики? 2) Какова временная сложность алгоритмов полиномиальной арифметики? Лабораторная работа № 8. Нахождение значений многочленов (2 ч.) Цель работы: – решение задачи эффективного вычисления xn (бинарный метод, метод множителей, «степенное дерево») – реализация алгоритма нахождения значения многочленов (схема Горнера). Вопросы: 1) Какие существуют методы нахождения xn? Охарактеризуйте их, выполните сравнительный анализ. 2) Что называется аддитивной сложностью числа n? 3) Какой способ вычисления многочленов называется «схемой Горнера»? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины

№ п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Форма отчетности

Общая

Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Групповая

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Срок сдачи

Форма отчетности

8-я неделя семестра

Конспект, отчет по лабораторной работе

Тема 3.2. Быстрое преобразование Фурье Аудиторные занятия Лекция 8. Быстрое преобразование Фурье (2 ч.) План лекции: 1. Комплексные корни из единицы. 2. Прямое и обратное преобразование Фурье.

Лабораторная работа № 9-10. Быстрое преобразование Фурье (4 ч.) Цель работы: – программная реализация прямого и обратного преобразования Фурье. Вопросы: 1) Какое число называется комплексным? 2) Что такое мнимая единица? 3) Как расположены комплексные корни из единицы нВ комплексной плоскости? 4) Какова основная идея быстрого преобразования Фурье? 5) Какова временная сложность преобразования Фурье? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, самостоятельное решение задач, проверочная работа, контрольная работа

Групповая

Работа в малых группах

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям, к контрольной работе

Срок сдачи

Форма отчетности

10-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Аудиторные занятия Лекция 9. Нахождение НОД многочленов (1 ч.) План лекции: 1. НОД и НОК многочленов. 2. Алгоритм Евклида и его следствия. 3. Взаимно простые многочлены. Лабораторная работа № 11. Нахождение НОД многочленов (2 ч.) Цель работы: – реализация алгоритма нахождения НОД многочленов. Вопросы: 1) Как выполняется евклидово деление в поле? 2) Для чего используется неравенство Ландау-Миньотта? 3) Как вычислить нетривиальный НОД? Какова стоимость этого метода? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач, письменное выполнение теста

Групповая

Работа в малых группах

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

11-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Тема 3.4. Нахождение НОД многочленов Аудиторные занятия Лекция 10. Разложение многочлена на простые множители (1 ч.) План лекции: 1. Приводимые и неприводимые многочлены. 2. Разложение на неприводимые множители, единственность разложения. 3. Понятие о многочленах от нескольких переменных. Лабораторная работа № 12. Разложение многочлена на простые множители (2 ч.) Цель работы: – реализация алгоритма разложения многочлена на неприводимые множители. Вопросы: 1) Какой многочлен называется приводимым (неприводимым)? 2) Сколько множителей будет в разложении многочлена n-ой степени, если он имеет k действительных корней? 3) Какова степень неприводимых многочленов? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач, письменное выполнение теста

Групповая

Работа в малых группах

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

12-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Самостоятельная аудиторная работа по данной теме проводится в интерактивной форме на практических занятиях. Занятия проводятся по следующей схеме: постановка проблемы – решение проблемы – рефлексия. На первом этапе перед студентами формулируется проблема / задача и в малых группах обсуждаются возможные пути / варианты решения обозначенной проблемы. На этом этапе происходит активный обмен мнениями в процессе межличностного взаимодействия. На следующем этапе каждая малая группа студентов выбирает для себя оптимальный, по ее мнению, вариант решения обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Раздел 4. Алгебраические методы в теории кодирования и защиты информации Тема 4.1. Основные понятия криптографии. Система RSA Аудиторные занятия Лекция 11. Основные понятия криптографии. Система RSA (1 ч.) План лекции: 1. Представление о теории кодирования. 2. Основные понятия криптографии. 3. Симметричные и асимметричные криптосистемы. 4. Система шифрования RSA: теоретико-числовые основы, обоснование корректности шифрования. Лабораторная работа № 13. Система несимметричного шифрования RSA (2 ч.) Цель работы: – программная реализация алгоритмов (шифрования и расшифровки) несимметричного шифрования RSA. Вопросы: 1) Какие системы шифрования называют несимметричными или системами с открытым ключом? 2) Какие теоретико-числовые факты лежат в основе системы шифрования RSA? 3) На чем основана криптостойкость системы? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач, письменное выполнение теста

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных

решений, тест

Групповая

Работа в малых группах

Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

13-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Тема 4.2. Электронно-цифровая подпись Аудиторные занятия Лекция 12. Электронно-цифровая подпись (1 ч.) План лекции: 1. Понятие хеш-значения и хеш-функции. Способы хеширования. 2. Электронно-цифровая подпись на базе системы RSA. 3. Области применения электронно-цифровой подписи. Лабораторная работа № 14. Электронно-цифровая подпись на базе RSA Цель работы: – реализация различных алгоритмов получения хеш-значения документа; – реализация организации электронно-цифровой подписи документа, проверка подлинности. Вопросы: 1) Какие вопросы защиты информации решает электронно-цифровая подпись? 2) Что такое хеш-значение документа? Какова его длина? 3) Какие методы хеширования существуют, в чем их принципиальные различия? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, решение задач, письменное выполнение теста

Групповая

Работа в малых группах

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест Защита групповых решений

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

14-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

группах обсуждаются возможные пути / варианты решения обозначенной проблемы. На этом этапе происходит активный обмен мнениями в процессе межличностного взаимодействия. На следующем этапе каждая малая группа студентов выбирает для себя оптимальный, по ее мнению, вариант решения обозначенной задачи и переходит к самостоятельной реализации этого решения. В ходе третьего этапа происходит коллективное обсуждение полученных результатов, включающее в себя анализ правильности полученных решений, их сравнение, выбор среди них оптимального. Раздел 5. Формальное интегрирование Тема 5.1. Алгебраическое расширение поля Аудиторные занятия Лекция 13. Алгебраическое расширение поля (1 ч.) План лекции: 1. Определение алгебраических и трансцендентных чисел над полем. 2. Конечные и алгебраические расширения поля. 3. Конечные поля. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, письменное выполнение теста

Форма отчетности Конспект лекции, тест

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

14-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Тема 5.2. Интегрирование рациональных функций Аудиторные занятия Лекция 14. Интегрирование рациональных функций (2 ч.) План лекции: 1. Постановка задачи формального интегрирования. 2. Методы интегрирования рациональных функций: прямой метод, метод Эрмита, метод Горовица. Лабораторная работа № 15. Формальное интегрирование: прямой метод (2 ч.) Цель работы: – реализация прямого метода формального интегрирования. Вопросы: 1) В чем заключается задача формального интегрирования? 2) Какие существуют алгоритмические проблемы формального интегрирования? 3) Какие недостатки имеет прямой метод интегрирования рациональных функций? Лабораторная работа № 16. Формальное интегрирование: метод Эрмита, метод Горовица (2 ч.) Цель работы: – реализация методов формального интегрирования. Вопросы: 1) В чем заключается метод Эрмита интегрирования рациональных функций? 2) В чем заключается метод Горовица интегрирования рациональных функций? 3) Как доказать, что дробь можно разложить на простейшие дроби? Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Форма самостоятельной работы

Общая

Проработка конспекта лекции, самостоятельное решение задач, письменное выполнение теста

Форма отчетности Конспект лекции, сверка полученных решений, тест

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины № п/п

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Выполнение домашнего задания, подготовка к практическим занятиям, к тесту

Срок сдачи

Форма отчетности

16-я неделя семестра

Отчет по лабораторной работе

Перечень вопросов для самостоятельного изучения и рекомендации по выполнению заданий 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Кольцо вычетов и модулярная арифметика. Перенос китайской теоремы об остатках на кольцо многочленов. Кольцо многочленов нескольких переменных. Шифрование методом гаммирования. Блочное кодирование. Вероятностные тесты простоты. История построения числовых систем. Основы работы в системе компьютерной алгебры.

Примерная тематика рефератов 1. 2. Maple. 3. 4. 5.

Методы криптоанализа системы RSA. Сравнение систем компьютерной алгебры MATHCAD, Mathematica, Арифметические алгоритмы в криптографии. Помехоустойчивое кодирование. Полиномы от нескольких переменных

Форма текущего контроля по теме: тесты, защита отчета по выполнению заданий лабораторных работ. Материалы текущего контроля ЗАДАНИЕ 1 (выберите один вариант ответа) Свойством транзитивности обладает бинарное отношение ... ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) «иметь разный рост» 3) «быть параллельным»

2) 4)

«быть перпендикулярным» «быть отцом»

ЗАДАНИЕ 2 (выберите все варианты ответа) На множестве целых чисел Z всегда выполнимы операции…

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1)

ЗАДАНИЕ 3 (выберите один вариант ответа) Дано множество рациональных чисел с операцией «*» (умножение) и нейтральным элементом 1 (единица). Элемент, обратный элементу

1 , равен… 2

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1)

1 2

нет обратного

3) 2 4) 

1 2

ЗАДАНИЕ 4 (выберите все варианты ответа) Множество G с бинарной операцией * является группой. Тогда верными являются утверждения: ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) В множестве G существует нейтральный элемент 2) Операция * ассоциативна

3) Все элементы G, кроме нейтрального, имеют обратные 4) Операция * коммутативна

ЗАДАНИЕ 5 (выберите варианты согласно тексту задания) Укажите соответствие между алгебраическими структурами и типами алгебр: 1) Множество подстановок с 1) Группа операцией композиции 2) Множество многочленов с 2) Полугруппа операцией сложения 3) Множество классов вычетов с 3) Абелева группа операцией умножения 4) Множество натуральных чисел N 4) Моноид с операцией сложения ЗАДАНИЕ 6 (выберите все варианты ответа) Множество G с бинарной операцией +,* является кольцом. Тогда верными являются утверждения: ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) Операция + коммутативна

2) В множестве G существует нейтральный по + элемент

3) Все элементы G, имеют обратные по * 4) Операция * ассоциативна ЗАДАНИЕ 7 (выберите все варианты ответа) Какие из алгебраических структур являются кольцом: ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) A=(Z, +, *) 2) A=(R, +, *)

3) 4)

A=(множество множеств, U, ∩) A=(C, +, *)

ЗАДАНИЕ 8 (выберите все варианты ответа) Множество G с бинарной операцией +,* является полем. Тогда неверными являются утверждения: ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) Операции + и * коммутативны 2) В множестве G существует нейтральный по + элемент

3) Все ненулевые элементы G обратимы 4) Операция + ассоциативна, операция * не является ассоциативной

ЗАДАНИЕ 9 (выберите все варианты) В кольце целых чисел верным является утверждение… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) «если a делит b и b делит c, то с делит а» 3) «числа a и b взаимно простые, если а простое и b простое» 4)

2) «НОД(a, b)=НОД(a- b, b), если a≥b» «если a делит b и b делит a, то a=±b»

ЗАДАНИЕ 10 (выберите все варианты) Взаимно простыми являются числа… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) 3 и 7 2) 2 и 8

3) 6 и 35

4) 13 и 13

ЗАДАНИЕ 11 (выберите один вариант) В кольце целых чисел общими делителями чисел 24 и 30 являются … ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) ±1, ±2, ±4, ±8, ±3, ±6, ±12, ±24, ±5, ±10, ±15, ±30 2) ±1, ±2, ±3, ±5 ЗАДАНИЕ 12 (выберите один вариант) Решением сравнения 5x1(13) является ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

3) ±1, ±2, ±3, ±6 4) ±6

1) –5

13 5

1 5

4) 8

ЗАДАНИЕ 13 (выберите один вариант) Значение функции Эйлера для числа 60 равно ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) 8 2) 4

3) 12

ЗАДАНИЕ 14 (выберите все варианты) Сравнимыми по модулю 13 числами являются … ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) 6 и -6 2) 23 и -3 3) 13 и -13

4) 16

4) 26 и 39

ЗАДАНИЕ 15 (выберите один вариант) Действительными корнями многочлена P( x)  ( x  2)  ( x 2  4)  ( x 2  3) являются … ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) –2; 2; 3 3) –2; 3

2) –2; 3 ; – 3 4) –2; 3 ; – 3 ; 2i; –2i

ЗАДАНИЕ 16 (выберите один вариант) Даны два многочлена над Z5: P( x)  x 6  3  x 4  2  x 2  x и Q( x)  3x 4  3  x 3  4 x 2  3  x . Значение их суммы S(x) равно ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) S ( x)  4  x 6  6  x 4  6  x 3  4  x 2) S ( x)  x 6  6  x 4  3  x 3  6  x 2  4  x

3) S ( x)  4  x 6  x 4  x 3  4  x 4) S ( x)  x 6  x 4  3  x 3  x 2  4  x

ЗАДАНИЕ 17 (выберите один вариант) Многочлен Q( x)  a  x  b делит многочлен P( x)  2  x 3  x 2  9 , если … ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) a  3, b  2 3) a  3, b  2 2) a  2, b  3 4) a  2, b  3 ЗАДАНИЕ 18 (выберите варианты согласно тексту задания) Укажите соответствие между десятичными числами и их записью в системе остаточных классов с модулями 3, 5, 7: 1) 34 1) (4, 9, 13) 2) 27 2) (0, 0, 3) 3) 139 3) (1, 4, 6) 4) 45 4) (0, 2, 6) ЗАДАНИЕ 19 (выберите один вариант) Разность чисел (1, 2, 3) – (2, 4, 6) в системе остаточных классов с модулями 3, 5, 8 равна…

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) (–1, –2, –3) 2) (1, 2, 3)

3) (–2, –3, –5)

4) (2, 3, 5)

ЗАДАНИЕ 20 (выберите один вариант) Для хранения «длинного» целого числа выбрана следующая структура данных Const Nmax=100; Type TArr=Array[-2..Nmax] Of 0..9999; В каком виде рациональнее хранить в памяти число +100000000263540000076241004567200000 ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) -2 0 2) -2 0 3) -2 0 4) -2 0

-1 8

0 0

1 276

2 5400

3 1426

4 7000

5 45

6 3620

7 0

8 1

9 0

… …

Nmax 0

-1 8

0 1000

1 0

2 263

3 5400

4 7

5 6241

6 45

7 6720

8 0

9 0

… …

Nmax 0

-1 8

0 1

1 0

2 3620

3 45

4 7000

5 1426

6 5400

7 276

8 0

9 0

… …

Nmax 0

-1 8

0 0

1 6720

2 45

3 6241

4 7

5 5400

6 263

7 0

8 1000

9 0

… …

Nmax 0

ЗАДАНИЕ 21 (выберите все варианты) На каких свойствах наибольшего общего делителя основан алгоритм Евклида: Function NOD(a,b : Word) : Word; Begin If a*b=0 Then NOD:=a+b Else If a>=b Then NOD:=NOD(a-b,b) Else NOD:=NOD(a,b-a) End; ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) НОД(a,a)= a 2) НОД(a,0)= a 3) НОД(a,b)= НОД(a-b,b), если a≥b

4) НОД(a,b)= НОД(a mod b,b), если a≥b 5) НОД(a,b,с)= НОД(НОД(a,b),с) 6) НОД(a,1)= 1

ЗАДАНИЕ 22 (выберите один вариант) Для хранения многочлена выбрана следующая структура данных Const Nmax=100; Type TPoly=Array[-1..Nmax] Of Real; В каком виде рациональнее хранить многочлен P( x)  x 7  3  x 5  8,5  x 2 1,3 ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) -1 3

0 1

1 3

2 -8,5

3 -1,3

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

… …

Nmax 0

2) -1 7

0 1

1 0

2 3

3 0

4 0

5 -8,5

6 0

7 -1,3

8 0

… …

Nmax 0

-1 7

0 -1,3

1 0

2 -8,5

3 0

4 0

5 3

6 0

7 1

8 0

… …

Nmax 0

-1 3

0 -1,3

1 -8,5

2 3

3 1

4 0

5 0

6 0

7 0

8 0

… …

Nmax 0

ЗАДАНИЕ 23 (выберите один вариант) Закрытый ключ системы шифрования RSA есть (n=33, d=7), тогда открытый ключ… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) (n=33, e=3) 2) (n=3, e=33)

3) (n=7, e=33)

4) (n=33, e=19)

ЗАДАНИЕ 24 (выберите один вариант) Шифрование по обобщенному шифру Цезаря осуществляется по формуле x'  (4  x  2)(mod 27) . Тогда расшифровку следует выполнять по формуле… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) x  (2  x'14)(mod 27) 2) x  (4  x'5)(mod 27)

3) x  (7  x'14)(mod 27) 4) x  (7  x'13)(mod 27)

ЗАДАНИЕ 25 (выберите один вариант) Шифрование слова «algebra» в алфавите «_abcdefghijklmnopqrstuvwxyz» осуществляется шифром Вижинера с помощью ключа «cod». В результате шифрования получен текст… ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: 1) «czjgpuc» 2) «d_khqvd» 3) «ealirwe» 4) «fbkjs ЗАДАНИЕ 26 (выберите один вариант) Шифрование некоторого текста в алфавите {_, a, b, c, d, e} осуществлялось  012345   . Тогда расшифровку следует выполнять подстановкой…  523041 

подстановкой 

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:  012345    351240 

1) 

 012345    140325 

2) 

 523041    012345 

3) 

 351240    014235 

4) 

5. ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература: 1. Кнут, Д.Э. Искусство программирования. Получисленные алгоритмы. Том.2 / Д.Э.Кнут. – М.: Изд-во «Вильямс», 2012. – 832 с. 2. Кормен, Т. Алгоритмы: построение и анализ [Текст] / Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест. – М.: Изд-во «Вильямс», 2012. – 1296 с. 3. Панкратьев, Е.В. Элементы компьютерной алгебры [Текст]: учебное пособие / Е. В. Панкратьев. – М.: «БИНОМ. Лаборатория знаний», «ИНТУИТ.РУ», 2010. – 247 с. Дополнительная литература: 1. Акритас, А. Основы компьютерной алгебры с приложениями [Текст] / А.Акритас; пер. с англ. – М.: Мир, 1994. 2. Алферов, А.П. Основы криптографии [Текст]: учеб. пособие / А.П. Алферов, А.Ю.Зубов, А.С.Кузьмин, А.В.Черемушкин. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Гелиос АРВ, 2002. – 480 с. 3. Бухштаб, А.А. Теория чисел [Текст] / А.А.Бухштаб. – М.: Учпедгиз, 1960. 4. Гоппа, В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации [Текст] / В.Д.Гоппа. – М.: Наука. Физматлит, 1995. 5. Дэвенпорт, Дж. Компьютерная алгебра: системы и алгоритмы алгебраических вычислений [Текст] / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье Э. – М.: Мир, 1991. 6. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ [Текст]: в 3 т. Т. 2. Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. – 3-е изд. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2000. 7. Кокс, Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия, алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры [Текст] / Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О'Ши; пер. с англ. – М.: Мир, 2000. 8. Кормен, Т. Алгоритмы: построение и анализ [Текст] / Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн.– 2-е изд.– М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.– 1296 с. 9. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел [Текст] / Л.Я.Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. 10. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры [Текст] / А.Г.Курош. – М.: Наука, 1975. 11. Матрос, Д.Ш. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры [Текст]: Учеб. пособие для студ. пед.вузов / Д.Ш.Матрос, Г.Б.Поднебесова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 240 с.

12. Нечаев, В.И. Элементы криптографии (Основы теории защиты информации) [Текст]: учебное пособие для университетов и пед.вузов. / В.И.Нечаев; под.ред. В.А. Садовничего. – М.: Высш. шк., 1999. 13. Ноден, П., Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями) [Текст] / П.Норден, К.Китте; пер. с франц. – М.: Мир, 1999. 14. Окулов, С.М. Программирование в алгоритмах [Текст] / С.М.Окулов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002 15. Окунев, Л.Л. Высшая алгебра [Текст] / Л.Л.Окунев. – М.: Просвещение, 1966. 16. Окунев, Л.Л. Сборник задач по высшей алгебре [Текст] / Л.Л.Окунев. – М.: Просвещение, 1966. 17. Фадеев, Д.К. Сборник задач по высшей алгебре [Текст] / Д.К.Фадеев, И.С.Соминский. – М.: Физматгиз, 1961. 18. Фомичев, В.М. Дискретная математика и криптология [Текст]: Курс лекций / В.М.Фомичев; под общ. ред. Н.Д.Подуфалова. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. – 400 с. 19. Черемушкин, А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии [Текст] / А.В.Черемушкин. – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с. 20. Шниперман, Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел [Текст] / Л.Б.Шниперман. – Минск: Высшая школа, 1982. 6. СИСТЕМА ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ОСВОЕНИЯ СТУДЕНТАМИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «АБСТРАКТНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА» И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: – входной контроль; – текущая аттестация; – межсессионная аттестация; – промежуточная аттестация в форме зачета.

Шкала баллов по учебной дисциплине № п/п 1 2 3 1 2 3 1 2

Показатели

Норма баллов

Виды текущей аттестации до межсессионной аттестации Посещение аудиторных занятий 6 (по 1 баллу за 2 занятия) Выполнение заданий практических занятий 24 Тесты 10 Виды текущей аттестации после рубежной аттестации Посещение аудиторных занятий 6 (по 1 баллу за 2 занятия) Выполнение заданий практических занятий 24 Тесты 10 Виды работ и заданий на зачете Теоретическое задание 10 Теоретическое задание 10 Всего баллов за зачет 20 Итого: 100

Шкала перевода рейтингового балла по дисциплине в 2-балльную систему оценки: «зачтено» – 60–100 баллов; Студенты, набравшие менее 60 баллов, получают оценку «не зачтено». Шкала перевода рейтингового балла по дисциплине в 5-балльную систему оценки: «отлично» – 80–100 баллов; «хорошо» – 70–79 баллов; «удовлетворительно» – 60–69 баллов; Студенты, набравшие менее 60 баллов, получают оценку «неудовлетворительно».

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Сводные данные по оценке компетенций № п/п

Результат (освоенные компетенции)

ОК-1

ОК-4

ОК-7

ОК-12

Формы и методы контроля

Номер раздела / темы (для текущего контроля) Темы 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2, 5.1, 5.2

Основные показатели оценки результата

Виды контроля

знает: методы обобщения, анализа информации; умеет: ставить цель, выбирать способ решения задачи; владеет: культурой мышления. знает: методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; умеет: применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования; владеет: навыком использования знаний о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности. знает: этапы решения задач, принципы межличностного отношения; умеет: доказывать, убеждать, отстаивать свою точку зрения; владеет: навыком коллективного решения задач профессиональной деятельности. знает: сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, основные требования защиты информации;

Т М П

Тест Зачет

Т М П

Тест Зачет

Темы 1.1, 1.2, 2.4, 3.2, 4.1, 4.2, 5.1, 5.2

Т М П

Тест Зачет

Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2

Т М П

Тест Зачет

Темы 1.1, 1.2, 4.1, 4.2

ОПК-3

ПК-1

СК-2

умеет: оценивать опасность и угрозу защиты информации; владеет: навыком защиты информации. знает: как правильно вести дискуссию, отстаивать собственное мнение; умеет: прислушиваться к мнению других членов коллектива, анализировать и обобщать предлагаемые варианты решения практической задачи; владеет: методиками коллективной деятельности. знает: об основных возможностях информационных и компьютерных технологий, о назначении компьютера в современном мире, о его основных возможностях; умеет: применять информационные и компьютерные технологии в исследовательской и прикладной деятельности, применять компьютер в исследовательской и прикладной деятельности; владеет: профессиональными навыками использования информационных и компьютерных технологий в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере, навыками работы с компьютером как средством управления информацией. знает: базовый аппарат математики и программирования; умеет: использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные 58

Т М П

Тест Зачет

Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2

Т М П

Тест Зачет

Темы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 4.1, 4.2

Т М П

Тест Зачет

Темы 1.2, 2.1, 2.3, 2.4, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2, 5.2

1.1, 2.2, 3.1, 3.4, 5.1,

технологии для решения практических задач; владеет: навыком получения, хранения, обработки и передачи информации с использованием современных компьютерных технологий и программирования. 8 СК-4 знает: назначение и Темы возможности 2.2, 2.3, математических пакетов, 3.1, 3.2, особенности компьютерных 3.4, 4.1, символьных преобразований, 5.2 методы решения стандартных задач абстрактной и компьютерной алгебры; уметь: решать стандартные задачи абстрактной и компьютерной алгебры; владеть: навыком компьютерной обработки информации, реализации символьных преобразований. * в – входной контроль; т – текущий контроль; м – межсессионная аттестация; промежуточная аттестация; и – итоговая аттестация. ** при заполнении таблицы рекомендуется учитывать данные Приложения V.

2.1, 2.4, 3.3, 4.2,

п –

6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерный перечень задач для проверки знаний студентов 1. Напишите программу, запрашивающую у пользователя длину, ширину и высоту комнаты (в метрах), а также стоимость одного квадратного метра обоев и определяющую общую стоимость обоев, необходимых для оклейки всех стен комнаты. Все значения могут быть не целыми; ответ выводить в денежном формате. 2. Напишите программу, определяющую площадь треугольника по трем сторонам (стороны a, b и c вводятся с клавиатуры; выводить два знака после запятой). 3. Пользователь вводит координаты двух точек на плоскости. Найти расстояние между этими точками. 4. Напишите программу сортировки в порядке возрастания элементов одномерного массива, находящихся между максимальным и минимальным элементами массива. 59

5. Напишите программу удаления всех строк и столбцов двумерного массива, на пересечении которых стоит нуль. Примерные задания для проверки знаний студентов 6.2.2. Текущая аттестация Примерные задания для проведения текущей аттестации представлены в разделе 4 УМК. 6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация проводится в форме контрольной работы. Примерный перечень заданий для подготовки к межсессионной аттестации: Вариант №1 1. Дано число 1234567000900000348500000. Каким образом оно будет храниться в памяти компьютера при реализации алгоритмов «длинной арифметики»? Найти остаток и целую часть от деления на 3. 12 3 4 5 6 7  12 3 4 5 6 7      .  3 6 5 2 7 41  6 2 7 5 413  1 2 3 4 5 6 7   . 3. Найти подстановку обратную к подстановке   3 6 5 2 7 41

2. Найти композицию подстановок 

4. Получено сообщение ‘lfyjcztr’. Определить, какой текст был зашифрован, если применялся обобщенный шифр Цезаря с параметрами a=4, b=3. Указать формулу для дешифрования. 5. Получено сообщение {28, 15, 15, 9}. Определить, какой текст был зашифрован, если применялась система шифрования RSA с открытым ключом (35, 11). Указать закрытый ключ. Вариант №2 1. Найдите НОД многочленов P(X) и Q(X). P(X) = 84 X6 - 96 X5 - 63 X4+ 72 X3+ 609 X2- 710 X + 16 Q(X) = 182 X7 - 208 X6- 546 X5 + 1177 X4 - 1101 X3 + 536 X2+ 861 X - 984

2. Вычислить: 906173 * 902891 – 145014 * 273294 + 56009973 3. Передано сообщение с электронно-цифровой подписью (последнее число в сообщении) {115, 80, 325, 182}. Для шифрования использовалась система RSA с параметрами p=19, q=23, е=5. Для подписи использовался метод гаммирования с параметрами t=2, а=3, b=5. Найти закрытый ключ d, расшифровать текст и определить вносились злоумышленником изменения в текст или нет. 60

4. Известны значения многочлена в Z11: Р(0)=2; Р(1)=1; Р(3)=1; Р(4)=3. Найти многочлен. а) по формуле Лагранжа без программы; б) по формуле Ньютона по программе. 6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме зачета. Примерный перечень вопросов к зачету 1. Абстрактные алгебры. Алгебры с одной бинарной операцией. Примеры. 2. Факторгруппы. 3. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Примеры. 4. Группа подстановок. 5. Шифрование подстановками. Обобщенное шифрование Цезаря. Существование обратной подстановки для расшифрования. 6. Шифрование Вижинера (зашифрование и расшифрование). 7. Алгебры с двумя операциями. Кольца. Примеры колец. 8. Алгебры с двумя операциями. Поля. Примеры. 9. Кольца целых чисел. Делители. НОД и НОК. 10.Алгоритм Евклида нахождения НОД. 11.Теорема Ламе. 12.Расширенный алгоритм Евклида. 13.Цепные дроби. 14.Простые числа. Теорема о разложении числа на простые множители. 15.Тесты простоты. 16.Представление больших чисел в памяти компьютера. 17.Длинные числа. Сложение. 18.Длинные числа. Умножение. 19.Длинные числа. Вычитание. 20.Длинные числа. Сравнение. 21.Длинные числа. Деление с остатком. 22.Сравнения, свойства сравнений. Вычеты. 23.Множества классов вычетов по модулю m. 24.Модулярная арифметика. 25. Теорема о существовании обратного элемента в Zm. Примеры. Поле * Zm . 26.Китайская теорема об остатках. 27.Система остаточных классов. 28.Кольцо многочленов. Способы представления многочленов. 29.Кольцо многочленов. Компьютерное представление многочленов. 61

30.Алгоритмы операций над многочленами. 31.Корни многочлена. Основная теорема алгебры (о разложении многочлена). 32.Теорема Виета. 33.Теорема о делении многочленов с остатком. Деление многочлена на двучлен. 34.Схема Горнера нахождения значения многочлена в точке. 35. Форма Лагранжа для интерполирования. Переход от значений к коэффициентам. 36.Множество комплексных чисел. Комплексные корни из единицы. 37.Быстрое преобразование Фурье. 38.НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Взаимно простые многочлены. 39.Разложение на неприводимые множители. 40.Единственность разложения на неприводимые многочлены. 41.Система несимметричного шифрования RSA. 42.Корректность системы RSA. 43.ЭЦП на базе RSA. 44.Методы хеширования. 45.Конечные и алгебраические расширения поля. 46.Конечные поля. 47.Задача формального интегрирования. 48.Методы интегрирования рациональных функций: прямой метод. 49.Методы интегрирования рациональных функций: метод Эрмита. 50.Методы интегрирования рациональных функций: метод Горовица. 6.3. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения итоговой аттестации Содержание учебной дисциплины «Абстрактная и компьютерная алгебра» входит в перечень вопросов государственного экзамена, проводимого в соответствии с «Положением об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений Российской Федерации», утвержденным приказом Минобразования РФ от 25.03.2003 № 1155, и программы государственной аттестации выпускников направления подготовки 050100.62 Педагогическое образование (Профиль «Информатика»), утвержденной на заседании ученого совета факультета.

Примерный перечень вопросов к государственному экзамену по учебной дисциплине «Абстрактная и компьютерная алгебра» 1. Алгоритмические проблемы кольца целых чисел. 2. Алгоритмические проблемы кольца многочленов. 3. Алгебраические методы в теории кодирования информации.

защиты