Дополнительные главы компьютерной алгебры by VyatGGU

Минобрнауки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет» УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой алгебры и дискретной математики д-р физ.-мат. наук, проф. Е. М. Вечтомов «29» августа 2011.

Учебно-методический комплекс учебной дисциплнины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» Направление подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки Профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика»

Киров 2011

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010200.68 Математика и компьютерные науки, профиль подготовки «Алгебра и дискретная математика», утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации 21 декабря 2009 г., регистрационный №760

Учебно-методический комплекс разработал Д. В. Чупраков, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Рецензент — Д. В. Широков, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры алгебры и дискретной математики ВятГГУ «29» августа 2011, протокол № 1

c Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ), 2011 c Чупраков Д. В., 2011

Рабочая программа учебной дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» Цель дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры»: формирование у магистрантов знаний и представлений по основам теории конечных алгебраических структур. Задачи дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры»: • получение знаний о современных и классических методах компьютерной алгебры, таких как базисах Гребнера, алгоритмах факторизации, и их приложениях. • развитие у студентов математической культуры в области вычисления базисов Гребнера вручную и автоматическими методами. • развитие у студентов навыков по приложению использованию методов компьютерной алгебры в решении научных и практических задач, а так же при моделировании процессов.

1.2. Место дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» в структуре ООП ВПО Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла и изучается на 1 курсе магистратуры. Является развитием дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры», так же опирается на курс «Абстрактная алгебра» магистратуры. Требования к знаниям, умениям, навыкам студента, необходимым для изучения дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» Знать: • понятия абстрактной алгебры: „группа“, „кольцо“, „поле“, „кольцо многочленов“. • понятие сложности алгоритма. • основные теоремы абстрактной алгебры и алгебры многочленов. Уметь: • анализировать условие задачи; • построить алгоритм. • оценить сложность алгоритма; 2

Владеть: • методами формализации задачи; • методами программирования на языках высокого уровня; • основными методы изучения абстрактных структур; • системами компьютерной алгебры;

1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» В результате освоения дисциплины обучающийся по направлению обучения 010200.68 Математика и компьютерные науки должен демонстрировать следующие результаты образования: ОК-10. Умение быстро находить анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме. Знать: понятия и факты компьютерной алгебры, теории многочленов; программные продукты для алгебраических расчетов; историю компьютерной алгебры и современные направления ее развития. Уметь: искать, анализировать и использовать информацию; сформулировать задачу в алгебраической форме; выбрать область математических знаний для ее решения; решить задачу с помощью аналитических методов или компьютерных средств. Владеть: методами компьютерной алгебры, программными продуктами для автоматизации вычислений. ПК-1. Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук. Знать: алгоритмы компьютерной алгебры. Уметь: применять и программировать алгоритмы компьютерной алгебры. Владеть: методами реализации алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры. ПК-10. Определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин. Знать: понятия и теоремы и алгоритмы компьютерной алгебры, теории многочленов. Уметь: применять методы компьютерной алгебры и математическое ПО в смежных дисциплинах. 3

Владеть: расчетными методами компьютерной алгебры; быстрыми алгоритмами решения систем полиномиальных уравнений и факторизации многочленов. ПК-14. Умение формулировать в проблемно-задачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные). Знать: понятия и основные факты компьютерной алгебры, их области применения. Уметь: построить формальную алгебраическую модель задачи. Владеть: способами формализации знаний. ПК-20. Умение различным образом представлять и адаптировать знания в области алгебры и дискретной математики с учетом уровня аудитории. Знать: методы построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера. Уметь: применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Владеть: Методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами. ПК-21. Видение прикладного аспекта знаний из области алгебры и дискретной математики. Знать: области приложений компьютерной алгебры; примеры продуктивного использования конечных объектов и символьных преобразований. Уметь: производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Владеть: методами представлений математических объектов; символьными преобразованиями; способами вычислений в конечных кольцах и полях.

2. Краткие методические рекомендации для преподавателя Учебная дисциплина «Дополнительные главы компьютерной алгебры» предполагает 22 часа лекционных и 32 часа лабораторных работ и состоит из следующих разделов: • • • •

Системы компьютерной алгебры. Базисы Грёбнера. Системы полиномиальных уравнений. Факторизация многочленов.

Изучаемый в рамках учебной дисциплины материал лежит в основе функционирования современных систем компьютерной алгебры. Дисциплину рекомендуется начать именно с изучения методов работы в системе компьютерной алгебры Maxima. Эта система распространяется под лицензией GNU GPL, поэтому доступен ее исходный код. Это предоставляет возможность изучения производственных алгоритмов в рамках дисциплины. 4

Практика показывает, что студентам не хватает одного практического занятия для анализа или реализации алгоритма. Поэтому рекомендуется проводить сдвоенные лабораторные работы. Во втором разделе рекомендуется излагать теорию базисов Грёбнера, уделяя преимущественное внимание, алгоритмической составляющей. Третий раздел содержит применения базисов Грёбнера. Рекомендуется обратить внимание на методы использования систем полиномиальных уравнений в математике и компьютерных науках. Работа с магистрами не требует аудиторных проверочных и контрольных мероприятий. Уровень успеваемости может быть определен по продвижению в самостоятельной работе. Сведения о рекомендуемых образовательных технологиях и материально техническом обеспечении дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» Рекомендуемая образовательная технология 1. Информационная лекция (ИЛ) 2. Проблемная лекция (ПЛ) 3. Лекция-беседа (ЛБ)

№

Рекомендуемые средства обучения

4. Решение задач в группах (ЗГ) 5.

Решение задач под руководством преподавателя (ЗП)

6. Моделирование (М) 7. Программирование (П) 8.

Изучение производственных алгоритмов (И)

интерактивная доска или проектор интерактивная доска или проектор проектор или интерактивная доска интерактивная доска или проектор, компьютеры, система компьютерной алгебры интерактивная доска, компьютеры, система компьютерной алгебры компьютеры, система компьютерной алгебры компьютеры, система компьютерной алгебры компьютеры, система компьютерной алгебры, исходный код системы компьютерной алгебры

Сведения о занятиях, проводимых в интерактивных формах Общий объем (по РУП) в часах/в процентах

№ Показатель 1.

Занятия, проводимые в интерактивных формах 5

18 часов/56%

3. Структура и содержание учебной дисциплины 3.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов. №

Виды учебной работы

Общий объем (по РУП) в часах 108 32

1. Трудоемкость (по ФГОС ВПО) 2. Аудиторные занятия, всего в том числе: 2.1. Лекции 2.2. Лабораторные работы 2.3. Практические занятия 2.4. Семинарские занятия 2.5. Коллоквиумы 2.6. Прочие виды аудиторных занятий 3. Самостоятельная работа студентов, всего в том числе: 3.1. Контрольная работа 3.2. Курсовая работа 3.3. Научно-исследовательская работа 3.4. Практика 3.5. Прочие виды самостоятельной работы 4. Вид промежуточной аттестации

14 18 0 0 0 0 72 0 0 0 0 72 Зачет

3.2. Матрица соотнесения разделов/тем учебной дисциплины и формируемых в них профессиональных и общекультурных компетенций

Раздел 1. Системы компьютерной алгебры 1.1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima 1.2. Программирование в СКА Maxima Раздел 2. Базисы Грёбнера 2.1. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных 6

Компетенции

ПК-20

ПК-14

ПК-10

ПК-21

Кол-во часов

ПК-1

Разделы/темы учебной дисциплины

ОК-10

№

+ +

4 12

16 24 108

+ + 6

+ 6

+ +

Σ 2 5 2 5

+ +

+ 6

+ + 8

+ 5

ПК-21

10 12

ПК-20

2.2. Базисы Грёбнера 2.3. Построение базисов Грёбнера Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений 3.1. Теорема Гильберта о нулях 3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений Раздел 4. Факторизация многочленов 4.1. Классические методы факторизации 4.2. Алгоритм Берлекэмпа Итого

ПК-14

Компетенции ПК-10

Кол-во часов

ПК-1

Разделы/темы учебной дисциплины

ОК-10

№

5 4

3.3. Содержание разделов/тем учебной дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» 1. Системы компьютерной алгебры 1.1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima. Переменные, параметры, неизвестные. Выражения, команды, функции в Maxima. Преобразования выражений, построение графиков. Подключаемые модули и расширение функционала системы компьютерной алгебры. 1.2. Программирование в СКА Maxima. Основные алгоритмические конструкции. Виды циклов. Рекурсия. Работа с базой данных. 2. Базисы Грёбнера 2.1. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных. Мономинальные порядки в кольце многочленов. Теорема о делении с остатком многочленов нескольких переменных. Алгоритм деления с остатком. Алгоритм полной редукции многочлена. Алгоритм редукции по нескольким многочленам. Алгоритм псевдоделения в Maxima. 2.2. Базисы Грёбнера. Мономиальные идеалы. Лемма Диксона. Теорема Гильберта о базисе. Определение базиса Грёбнера. Свойства и характеризации базисов Грёбнера. 2.3. Построение базисов Грёбнера. Задача принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм Бухбергера. Бриллиантовая лемма. Минимальный и редуцированный базисы. Алгоритм редукции базиса Гребнера. Универсальный базис Грёбнера. Улучшения алгоритма Бухбергера. 3. Системы полиномиальных уравнений 7

3.1. Теорема Гильберта о нулях. 3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений. Критерий несовместности систем полиномиальных уравнений. Критерий конечности числа решений. Критерий эквивалентности систем. Свободные переменные. Алгоритм поиска свободных переменных 4. Факторизация многочленов 4.1. Классические методы факторизации. Единственность разложения многочлена на неприводимые множители. Содержание многочлена. Алогритм Кронекера. Применение алгоритма Кронекера для многочленов нескольких переменных. 4.2. Алгоритм Берлекэмпа. Разложение на множители свободные от квадратов. Разложение на неприводимые множители по модулю p. Алгоритм Берлекэмпа

3.4. Тематический план учебной дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» 3.4.а) Аудиторные занятия Разделы/темы Вид учебной Часов учебной дис- работы циплины Раздел 1. Системы компьютерной алгебры 1.1. Синтаксис Лекция 2 и основные операции языка СКА Maxima Лаб. работа 2 1.2. Програм- Лаб. работа 2 мирование в СКА Maxima Раздел 2. Базисы Грёбнера 2.1. Дели- Лекция 2 мость в кольце многочленов нескольких переменных Лаб. работа 2

Технология обучения

Форма текущего контроля

ИЛ

Конспект лекции

М, ЗГ М, П, ЗГ

Собеседование Собеседование

ЛБ

Конспект лекции

ЗГ, И

2.2. Базисы Грёбнера

ЛБ

Отчет по работе. Собеседование Конспект лекции

Лекция

2.3. Построение базисов Грёбнера

Лаб. работа Лекция

2 2

ЗГ, П ЛБ

Лаб. работа

ЗГ, И , П, М

Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений 3.1. Теорема Лекция 2 ПЛ Гильберта о нулях 3.2. Примене- Лекция 2 ЛБ ние базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений Лаб. работа 2 ЗГ, П, М Раздел 4. Факторизация многочленов 4.1. Классиче- Лаб. работа 2 ские методы факторизации 4.2. Алгоритм Лекция 4 Берлекэмпа Лаб. работа 2

Конспект лекции

Отчет по работе. Собеседование Конспект лекции

Конспект лекции

Отчет по работе. Собеседование

П, И

Отчет по работе. Собеседование

ИЛ

Конспект лекции

М, И, П

Отчет по работе. Собеседование. Анализ успехов во время консультирования

3.4.б) Самостоятельная аудиторная работа Разделы/темы учеб- Форма самостоятельной дисциплины ной работы Раздел 1. Системы компьютерной алгебры

Результат

1.1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima

Решение задач в группах. Работа со справочной системой и литературой

Знание программные продукты для алгебраических расчетов, методов реализации алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры; области применения методов компьютерной алгебры

1.2. Программирование в СКА Maxima

Решение задач в группах. Программирование. Работа со справочной системой и литературой

Раздел 2. Базисы Грёбнера 2.1. Делимость в коль- Решение задач в группах. це многочленов несколь- Работа с литературой ких переменных

Знание понятий, теорем и алгоритмов компьютерной алгебры (алгоритма деления с остатком и редукции). Умение производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность.

2.2. Базисы Грёбнера

Работа со справочной системой и литературой

2.3. Построение базисов Грёбнера

Программирование. Анализ алгоритма. Работа со справочной системой и литературой

Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений 3.1. Теорема Гильберта о Написание конспекта. Ранулях бота с литературой.

Знание методов построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера. Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Умение выбрать область математических знаний для решения задачию Знание методов построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера, понятий, теорем компьютерной алгебрыю Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Умение выбрать область математических знаний для решения задачи. Владение методами реализации алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры. Знание понятий и основных фактов компьютерной алгебры, области их применения. Владение методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами.

3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений

Решение задач в группах. Программирование. Работа с литературой.

Раздел 4. Факторизация многочленов

Знание понятий и основных фактов компьютерной алгебры, области их применения. Умение сформулировать задачу в алгебраической форме; выбрать область математических знаний для ее решения; производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Владение методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами.

4.1. Классические методы факторизации

Программирование. Работа с литературой

Знание понятий и основных фактов компьютерной алгебры, области их применения; методов построения алгоритмов факторизации многочленов. Умение сформулировать задачу в алгебраической форме; выбрать область математических знаний для ее решения; производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Владение методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами; методами реализации математических алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры.

4.2. Алгоритм Берлекэмпа

Программирование. Работа со справочной системой, литературой, исходными кодами.

3.4.в) Занятия в интерактивных формах №

Разделы/темы учебной дисциплины

Общий объем по РУП в часах

Раздел 1. Системы компьютерной алгебры 11. 1.1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima 12. 1.2. Программирование в СКА Maxima Раздел 2. Базисы Грёбнера 13. 2.1. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных 14. 2.2. Базисы Грёбнера 15. 2.3. Построение базисов Грёбнера Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений 16. 3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений Раздел 4. Факторизация многочленов 17. 4.1. Классические методы факторизации 18. 4.2. Алгоритм Берлекэмпа Всего:

2 2 2 2 4 2

2 2 18

3.4.г) Самостоятельная внеаудиторная работа Разделы/темы учеб- Форма самостоятельной дисциплины ной работы Раздел 1. Системы компьютерной алгебры 1.1. Синтаксис и основ- Решение задач. Работа с ные операции языка СКА документацией и литераMaxima турой.

Результат

1.2. Программирование в СКА Maxima

Работа с документацией и литературой. Подготовка доклада.

Раздел 2. Базисы Грёбнера 2.1. Делимость в коль- Решение задач. Работа с це многочленов несколь- документацией и литераких переменных турой.

2.2. Базисы Грёбнера

Решение задач. Работа с документацией и литературой.

Умение решить задачу с помощью аналитических методов или компьютерных средств, применять и программировать алгоритмы компьютерной алгебры, построить формальную алгебраическую модель задачи. Знание примеров продуктивного использования конечных объектов и символьных преобразований. Знание понятий, теорем и алгоритмов компьютерной алгебры (алгоритма деления с остатком и редукции). Умение производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Знание методов построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера. Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Умение выбрать область математических знаний для решения задачию

2.3. Построение базисов Грёбнера

Работа с исходными кодами. Подготовка отчета.

Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений 3.1. Теорема Гильберта о Работа с литературой. нулях

Знание методов построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера, понятий, теорем компьютерной алгебрыю Умение применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Умение выбрать область математических знаний для решения задачи. Владение методами реализации алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры. Знание понятий и основных фактов компьютерной алгебры, области их применения. Владение методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами.

3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений

Решение задач. Работа с документацией и литературой. Подготовка отчета.

Раздел 4. Факторизация многочленов

4.1. Классические методы факторизации

Программирование. Работа с справочной системой и литературой. Подготовка отчета.

4.2. Алгоритм Берлекэмпа

Программирование. Исследование исходного кода программы. Работа с справочной системой и литературой. Подготовка отчета.

4. Методические указания для студентов Целью курса является расширение познаний в практическом применении алгебры к компьютерным вычислениям. Центральное место курса занимает изучение быстрых алгоритмов решения классических алгебраических задач и их реализация в системе компьютерной алгебры Maxima. Формы проведения лекционных занятий На лекциях излагается необходимый теоретический материал для усвоения и реализации на практике алгоритмов компьютерной алгебры. Формы проведения лабораторных работ Все лабораторные занятия имеют интерактивную форму и предполагают групповую проектную деятельность. Целесообразно в начале курса сформировать группы из трех-четырех человек. Задания лабораторных работ имеют различную сложность и решение многих из них одним студентом потребует значительно большего времени нежели предложено настоящим УМК. Поэтому важно уметь распределять задание между членами группы. Работа будет более продуктивной, если внеаудиторные задания будут выполняться этой же группой. Преподаватель на лабораторных работах выступает в роли консультанта и эксперта. Не пренебрегайте возможностью обсудить сложные моменты с преподавателем. На последней паре каждая группа выступает с отчетом об одной из лабораторных работ на выбор преподавателя. 20

Для работы вам будет необходима литература приведенная в главе 2 на стр. 31. Многие источники в настоящее время стали библиографической редкостью, однако все они доступны в сети. Ниже приводятся планы лекций и примерные задания лабораторных работ. Однако задания могут быть изменены преподавателем по своему усмотрению.

Раздел 1. Системы компьютерной алгебры Тема 1.1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima Лекция 1. Система компьютерной алгебры Maxima 1. 2. 3. 4.

Cистемы компьютерной алгебры. Функциональная парадигма программирования. Представление данных. Задача представления. Maxima. Способы использования. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины

№

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 1. Синтаксис и основные операции языка СКА Maxima Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] 4 −126x2 +567 3 2 −15x−72 1. Упростить: x57x · xx3−5x −8x4 −27x2 +216x +3x2 −9x−27

2 3 2. Раскрыть скобки: ((2x3 − 3)(5x2 + 12x − 33)) 2x + 21 3. Изучить функции решения уравнений solve, to_poly_solve, find_root.allroots. В чем их отличие и когда резонно применять ту или иную функцию? 4. Задать функцию f (x) = x5 + 5x4 + 7x3 − x2 − 8x − 4, решить уравнение f (x) = 0 и построить график функции f (x). 5. Найдите описание и изучите функции работы с числами: gcd, floor, mod, ceiling primep, factor, ifactors, next_prime... 6. Разложите на множители число 1010 + 1. 7. Проверьте, является ли число 101000 + 1 простым. 8. Найдите наибольший общий делитель чисел 1010 + 1 и 1018 + 1. 21

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Программирование, моделирование, анализ условий задач

Форма отчетности Работающие программы

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая Индивидуальная

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Решение поставленных задач Подготовка доклада

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование Решенные задачи Доклад

Тема 1.2. Программирование в СКА Maxima Лабораторная работа 2. Программирование в СКА Maxima

1. 2.

5. 6.

7. 8. 9.

Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] Изучить функцию block, тернарный оператор if then else, оператор do. Если числа n и n + 2 являются простыми, то они называются простыми числамиблизнецами. Найдите все простые близнецы, не превосходящие 100. Подсчитайте количество пар простых близнецов, не превосходящих 1000. Рассмотрим четверки простых чисел, различающихся только последней цифрой (очевидно, это будут числа вида 10n + 1, 10n + 3, 10n + 7, 10n + 9). Найдите все такие четверки, не превосходящие X. Число называется совершенным, если сумма всех его делителей, кроме самого числа, равна этому числу. Найдите первые 4 совершенных числа. Задания для внеаудиторной работы Привести пример использования каждой конструкции оператора do. Гипотеза Гольдбаха гласит, что любое четное число (кроме 2) можно представить в виде суммы двух простых чисел. Проверьте гипотезу Гольдбаха для всех чисел, не превосходящих x. Найдите ближайшие сверху и снизу простые числа к 10100 . Найдите общий вид решения в целых числах уравнения 3x + 5y = 179. Подготовить доклад «Работа с массивами и множествами в СКА Maxima» 22

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Программирование, моделирование, анализ условий задач

Форма отчетности Работающие программы

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая Индивидуальная

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Решение поставленных задач Подготовка доклада

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование Решенные задачи Доклад

Раздел 2. Базисы Грёбнера Тема 2.1. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных Лекция 2. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Мономинальные порядки в кольце многочленов. Теорема о делении с остатком многочленов нескольких переменных. Алгоритм деления с остатком. Алгоритм полной редукции многочлена. Алгоритм редукции по нескольким многочленам. Алгоритм псевдоделения в Maxima. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины

№

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 3. Делимость в кольце многочленов нескольких переменных

1. 2. 3.

4. 5.

Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] Работа начинается с заслушивания доклада «Работа с массивами и множествами в СКА Maxima» Вручную найдите остаток от деления многочлена f (x) = x7 y 2 + x3 y 2 − y + 1 по системе многочленов F = (xy 2 − x, x − y 3 ) в упорядочениях grlex, invlex, lex. Проверьте правильность деления с помощью Maxima. Пусть f1 = x2 y 2 −x, f2 = 3x2 y −y −1. Найдите многочлен g ∈ hf1 , f2 i, остаток которого при делении на (f1 , f2 ) не равен 0. Задания для внеаудиторной работы Выполните упражнения 2,5,7,9§ 3 [7]. Построить алгоритм деления с остатком. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Моделирование, применение ЗУН к решению задач

Форма отчетности Отчет по лабораторной работе

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Решение поставленных задач

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование

Тема 2.2. Базисы Грёбнера Лекция 3. Базисы Грёбнера 1. 2. 3. 4. 5.

Мономиальные идеалы. Лемма Диксона. Теорема Гильберта о базисе. Определение базиса Грёбнера. Свойства и характеризации базисов Грёбнера. 24

Решенные задачи

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 4. Базисы Грёбнера Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] 1. Являются ли базисами Грёбнера следующие системы: 1.1. G = {x2 − y, x3 − z}, упорядочение grlex. 1.2. G = {x2 − y, x3 − z}, упорядочение invlex. 1.3. G = {xy 2 − xz + y, xy − z 2 , x − yz 4 }, упорядочение lex. 2. Постройте редуцированный базис Грёбнера идеала I во всех доступных упорядочениях мономов: а) I = (x2 − 1, (x − 1)y, (x + 1)z); б) I = (xy + x2 z, xz + yz 3 , yz − y 2 z 3 ). Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Индивидуальная

Форма самостоятельной работы Применение ЗУН к решению задач

Форма отчетности Собеседование

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Решение поставленных задач

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование

Тема 2.3. Построение базисов Грёбнера Лекция 4. Построение базисов Грёбнера 25

Решенные задачи

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Задача принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм Бухбергера. Бриллиантовая лемма. Минимальный и редуцированный базисы. Алгоритм редукции базиса Гребнера. Универсальный базис Грёбнера. О улучшениях алгоритма Бухбергера. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины

№

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 5. Построение базисов Грёбнера

1. 2. 3. 4.

Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] Составить алгоритм Бухбергера для лексикографического упорядочения одночленов. Составить систему тестов для полученного алгоритма. Оценить временную сложность алгоритма. Задания для внеаудиторной работы Составить алгоритм построения редуцированного базиса Грёбнера. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Программирование. Анализ алгоритмов. Применение ЗУН к решению задач

Форма отчетности Работающая программа

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Программирование

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Последнее лабораторное занятие

Собеседование Работающая программа

Раздел 3. Системы полиномиальных уравнений Тема 3.1. Теорема Гильберта о нулях Лекция 5. Теорема Гильберта о нулях 1. 2. 3. 4. 5.

Системы полиномиальных уравнений и многообразия. Радикал многообразия. Критерий равносильности двух систем полиномиальных уравнений. Равносильные формулировки теоремы Гильберта о нулях. Доказательство теоремы. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины

№

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Тема 3.2. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений Лекция 6. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений 1. Критерий несовместности систем полиномиальных уравнений. 2. Критерий конечности числа решений. 3. Критерий эквивалентности систем. 27

4. Свободные переменные. 5. Алгоритм поиска свободных переменных. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 6. Применение базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] 1. Решите систему уравнений:    xy + z − 1 = 0, x − y − z 2 = 0,   2 x − 2y + 1 = 0. 2. Найдите экстремум функции F (x, y, z) = x3 + 2xyz − z 2 при условии x2 + y 2 + z 2 = 1. (Воспользуйтесь методом Лагранжа: • Ввести для каждого ограничения ϕi (x1 , . . . , xn ) = 0 переменную λi . P • Составить функцию L(x1 . . . , xn , λ1 . . . λm ) = f (x1 , . . . , xn ) + m i=1 λi ϕi (x1 , . . . , xn ). • Исследуем эту функцию на экстремумы классическим образом.

3. Найдите ближайшую к (1, 1, 1) точку M (x, y, z) ∈ R3 , лежащую на поверхности x4 + y 2 + z 2 − 1 = 0. 4. Пусть известно, что a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 5, a3 + b3 + c3 = 7. Докажите, что a4 + b4 + c4 = 9, а a5 + b5 + c5 6= 15. 5. Решите систему уравнений:  2   xy − xz + y = 0, yz − x2 + x2 y = 0,

 

x − xy + y = 0.

Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Моделирование. Применение ЗУН к решению задач

Форма отчетности Взаимопроверка

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Решение поставленных задач

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование Решенные задачи

Раздел 4. Факторизация многочленов Тема 4.1. Классические методы факторизации Лабораторная работа 7. Классические методы факторизации

1. 2. 3. 4.

Продолжительность работы: 2 часа. Литература: [1, 2, 22] Изучить и реализовать алгоритм Кронекера факторизации многочленов одной переменной. Составить систему тестов для полученного алгоритма. Оценить временную сложность алгоритма. Задания для внеаудиторной работы Распространить алгоритм Кронекера на многочлены нескольких переменных. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Программирование

Форма отчетности Работающая программа

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Индивидуальногрупповая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Программирование

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Следующее лабораторное занятие

Собеседование Работающая программа

Тема 4.2. Алгоритм Берлекэмпа Лекция 7. Алгоритм Берлекэмпа. Теоретические сведения 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Разложение на множители свободные от квадратов. Алгоритмы факторизации многочленов свободных от квадратов. Алгоритм Берлекэмпа. Разложение на неприводимые множители по модулю p. Быстрый алгоритм разложения на неприводимые множители. Алгоритм Берлекэмпа. Лемма Гензеля. Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины

№

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Проработка конспекта лекции

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие

Работа с первоисточниками

Следующее лабораторное занятие

Выполнение заданий лабораторной работы Выполнение заданий лабораторной работы

Лабораторная работа 8. Алгоритм Берлекэмпа

1. 2. 3.

4. 5.

Продолжительность работы: 2 часов. Литература: [1, 2, 22] Реализовать алгоритм освобождения от кратных корней. Составить алгоритм подсчета кратностей корней. Реализовать алгоритм построения вспомогательной матрицы и приведения ее к ступенчатому виду преобразованиями столбцов. Задание для самостоятельной работы Реализовать алгоритм Берлекэмпа Составить систему тестов для алгоритма и оценить его сложность 30

6. Изучить алгоритмы факторизации с помощью приближенных вычислений. Самостоятельная аудиторная работа по теме учебной дисциплины № 1.

Вид самостоятельной работы Работа в группах

Форма самостоятельной работы Программирование. Моделирование

Форма отчетности Работающая программа, отчет о работе

Самостоятельная внеаудиторная работа по теме учебной дисциплины №

Вид самостоятельной работы

Общая

Форма самостоятельной работы Работа с первоисточниками Подготовка к зачету

Срок сдачи

Форма отчетности

Следующее лабораторное занятие Зачет

Собеседование Собеседование

5. Перечень основной и дополнительной литературы [1] [2]

[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]

Основная литература Чупраков Д. В. Компьютерная алгебра. Алгоритмы теории чисел : учеб. пособие для студ. мат. направлений подготовки. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012. 152 с. Судоплатов С. В. Овчинникова Е. В. Дискретная математика : учебник / под ред. Т. П. Петроченко. Новосибирск : НГТУ, 2012. 278 с. Дополнительная литература Грэхем, Р., Кнут, Д., Паташник, О. Конкретная математика. Математические основы информатики. М: Вильямс, 2010. 784 с. Губина, Т. Н., Андропова, Е. В. Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие. Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2009. Ильина, В. А., Силаев П. К. Краткое руководство по работе с системой аналитических выражений MAXIMA. М.: МГУ, 2004. Кнут, Д. Искусство программирования. Том 1. Основные алгоритмы. М.: Вильямс, 2010. 720 с. Кнут, Д. Искусство программирования. Том 2. Получисленные алгоритмы. М.: Вильямс, 2011. 832 с. Кнут, Д. Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. М.: Вильямс, 2012. 824 с. Матрос, Д. Ш., Поднебесова, Г. Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры: учеб. пособие для студ. пед. вузов. М: Academia, 2004. Мостовской, А. П. Численные методы и система wxMaxima. Мурманск, 2009. 255 с. 31

[11] Панкратьев, Е. В. Элементы компьютерной алгебры. М.: Бином, 2007. 243 c. [12] Прасолов В. В. Многочлены. М: МЦНМО, 2003. URL: http://www.mccme.ru/prasolov/ [13] Тарнавский, Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений // Linux Format. Вып. 7(81), 2006. — С 92–96. [14] Тарнавский, Т. Maxima — функции и операторы // Linux Format Вып. 8(82), 2006. — С 106–111. [15] Тарнавский, Т. Maxima: укротитель выражений // Linux Format. Вып. 9(83), 2006. — С 86–90. [16] Тарнавский, Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений. Алгебра и начала анализа // Linux Format Вып. 10(84), 2006. — С 94–99. [17] Тарнавский, Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений. Графики и управляющие конструкции // Linux Format. Вып. 11(85), 2006. — С 118–123. [18] Тарнавский, Т. Maxima — максимум свободы символьных вычислений. Работа с файлами и фактами // Linux Format. Вып. 12(86), 2006. — С 90–99. [19] Филоненков, А. И. Самсонов, Б. Б. Плохов, Е М. Компьютерная математика (основание информатики). Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. 512 c. [20] Чичкарёв, Е. А. Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов. М.: ALT Linux, 2009. [21] F¨ urer M. Faster integer multiplication. Proceedings of the 39th ACM Symposium on Theory of Computing, 2007. P. 57–66. [22] Maxima 5.26.0. Manual. Generated by Robert Dodier 18.12.2011. URL: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.html

6. Cистема оценки качества освоения студентами учебной дисциплины «Дополнительные главы компьютерной алгебры» и формы текущей, промежуточной и итоговой аттестации 6.1. Шкала баллов по учебной дисциплине В соответствии с Положением о балльно-рейтинговой системе оценки знаний студентов ВятГГУ по учебной дисциплине предусмотрены следующие виды контроля качества знаний студентов: • текущая аттестация; • промежуточная аттестация; • итоговая аттестация.

Шкала баллов по учебной дисциплине № 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Показатели Посещение лекций (по 0.(90) баллов за занятие) Посещение лабораторных работ (по 0.625 баллов за занятие) Выполнение лабораторных работ (по 3 балла за работу) Выполнение домашних заданий Выполнение индивидуальных работ Межсессионная проверочная работа Зачёт включая: Тест Практическая работа Всего

Норма баллов 10 10 30 10 10 10 20 10 10 100

Шкала перевода баллов в оценку Баллы Оценка 0 – 59 Не зачтено 60 – 100 Зачтено

6.2. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации №

Результат

Основные показатели оценки результата

Вид контроля1

Формы и методы контроля2

Номер раздела/темы

«п.» — промежуточная аттестация, «т.» — текущая аттестация, «и.» — итоговая аттестация, «в.» — входной контроль 2 Формы и методы текущей аттестации описаны в параграфе 3.4 на стр. 8

11.

ОК-10. Умение быстро находить анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научнотехническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемнозадачной форме

12.

ПК-1. Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук

Знает: понятия и факты компьютерной алгебры, теории многочленов; программные продукты для алгебраических расчетов; историю компьютерной алгебры и современные направления ее развития. Умеет: искать, анализировать и использовать информацию; сформулировать задачу в алгебраической форме; выбрать область математических знаний для ее решения; решить задачу с помощью аналитических методов или компьютерных средств. Владеет: методами компьютерной алгебры, программными продуктами для автоматизации вычислений. Знает: алгоритмы компьютерной алгебры. Умеет: применять и программировать алгоритмы компьютерной алгебры. Владеет: методами реализации алгоритмов в системах программирования и системах компьютерной алгебры.

п. т. и.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

п. т. и.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

13.

ПК-10. Определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин

14.

ПК-14. Умение формулировать в проблемнозадачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные)

15.

ПК-20. Умение различным образом представлять и адаптировать знания в области алгебры и дискретной математики с учетом уровня аудитории

Знает: понятия и теоремы и алгоритмы компьютерной алгебры, теории многочленов. Умеет: применять методы компьютерной алгебры и математическое ПО в смежных дисциплинах. Владеет: расчетными методами компьютерной алгебры; быстрыми алгоритмами решения систем полиномиальных уравнений и факторизации многочленов. Знает: понятия и основные факты компьютерной алгебры, их области применения. Умеет: построить формальную алгебраическую модель задачи. Владеет: способами формализации знаний. Знает: методы построения алгоритмов факторизации многочленов, базисов Гребнера. Умеет: применять алгоритмы, обосновывать их корректность. Владеет: Методами сведения практической задачи к математической и решения ее компьютерными способами.

п. т. и. в.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

п. т. и.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

п. т. и. в.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

16.

ПК-21. Видение прикладного аспекта знаний из области алгебры и дискретной математики

Знает: области приложений компьютерной алгебры; примеры продуктивного использования конечных объектов и символьных преобразований. Умеет: производить вычисления и символьные преобразования компьютерным и ручным способом. Владеет: методами представлений математических объектов; символьными преобразованиями; способами вычислений в конечных кольцах и полях.

п. т. и.

Зачёт, проверка аудиторных и внеаудиторных заданий

см. параграф 3.2 на стр. 6

6.2.1. Входной контроль знаний студентов Примерные задания для проверки знаний студентов 1. Сколько операций потребуется для перемножения чисел 1234567890123456 и 5678912340123456 с помощью метода Карацубы? 2. Найдите НОД(5x3 + 12x2 + 9x + 2, 15x2 + 11x + 2). 3. Докажите, что число 1416091 не является простым. 4. Докажите, что для для p > 2 существует ровно 2 элемента x ∈ Zp , таких, что x2 ≡ 1 (mod p). 5. Многочлен f ∈ R[x]. Как проверить имеет ли f кратные корни, не раскладывая f на множители? 6.2.2. Форма проведения текущей аттестации Текущая аттестация заключается проверке выполнения аудиторных и внеаудиторных заданий. 6.2.3. Межсессионная аттестация Межсессионная аттестация выставляется на основании набранных студентом на момент аттестации баллов.

6.2.4. Материалы для проведения промежуточной аттестации Промежуточная аттестация проводится в форме зачёта, заключающегося в решении практических задач ручным и компьютерным способом. Перечень образцов заданий для проведения тестовой части зачета 1. Редукцией многочлена многих переменных по системе многочленов называется: a деление с остатком

c проверка на принадлежность многочлена идеалу

b нахождение остатка от деления

2. Лексикографически упорядочен следующий многочлен: a x4 y 2 z + x5 y + x2 y 2

c x4 y 2 z + x4 yz + x3 y 2 z

b x + x2 + y 3 3. Базис Грёбнера системы многочленов a единственный

c может несуществовать

b существует и зависит от упорядочения 4. Многочлены f и g имеют различные старшие мономы. Тогда они: a линейно независимы

c не лежат в одном идеале

b линейно зависимы 5. Пусть I = K(x1 , x2 , x3 ). Редуцированный базис Грёбнера: a Содержит константу

c Состоит из трех многочленов

b Имеет вид hx1 , x2 , x3 i 6. Система полиномиальных уравнений имеет конечное число решений, если a Ее базис Грёбнера содержит константу b Все старшие члены всех многочленов приведенного базиса Гребнера являются степенями переменных

c Все старшие члены всех многочленов приведенного базиса Гребнера зависят от всех переменных кольца многочленов

7. Содержание многочлена 6x2 y + 8xy 2 в кольце Z(x)[y] равно 37

a 2

c y

b 2y 8. Алгоритм Бухбергера заключается в a Удалении многочленов

c Факторизации многочленов

b Разрешении зацеплений 9. Системой компьютерной алгебры не является c Excel

a Maxima b Maple 10. Выражение f := 2 ∗ x в Maxima. . . a Присваивает переменной f значение выражения 2x

b Определяет функцию f c Некорректно

11. Определите результат алгоритма: s(f):=block([g],g:divide(f,g:GCD(f,diff(f,x))),return(g[1]));. . . a Остаток от деления многочлена f на g

b Наибольший общий делитель многочленов f и g c Многочлен без кратных корней

12. Конструкция do выражение; в Maxima... a Определяет обобщенный бесконечный цикл

b Вычисляет выражение c Некорректна

13. Для того, что бы получить разложение многочлена f в поле Zp нужно выполнить команды: a fr(f,p):=block([g],modulus:p, g:factor(f), modulus:off, return(g)); fr(f,p);

c fr(f,p):=block([g],modulus(p), g:factor(f), modulus:off, return(g));

b factor(f,p) 14. В системе Maxima даны команды modulus:3; p(x):=polymod(3x^{3}+5*x^{2}+8*x+1); чему равен p(1)? 38

a 17

c 3

b -1 15. Ненулевой элемент a такой, что ab = 0 для некоторого b 6= 0 называется a Нейтральным

c Нулем

b Аннулятором b 16. К системам компьютерной алгебры следует относить a Excel

c Mathematica

b Maxima

d MatLab

17. В кольце комплексных чисел всякий многочлен c Разлагается в произведение многочленов 1 степени

a Неприводим b Приводим

18. НОД коэффициентов многочлена называется a Нормой

c Общей частью

b Содержанием Примерные задания для подготовки к зачету 1. Постройте базис Грёбнера идеала I = (x2 + y, x4 + 2x2 y + y 2 + 3). 2. Пусть коэффициенты старших членов многочленов базиса Грёбнера G равны 1. Докажите, что G — минимальный тогда и только тогда, когда никакое собственное подмножество G не является базисом Грёбнера. 3. Сформулировав утверждение в алгебраическом виде, докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 4. Составьте алгоритм решения систему полиномиалных уравнений. Система вводится из файла в виде списка уравнений. 5. С помощью системы компьютерной алгебры составьте программу проверки многочлена на неприводимость.

6.3. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения итоговой аттестации Вопросы к итоговому экзамену 1. Базисы Грёбнера. Задача принадлежности многочлена идеалу. Бриллиантовая лемма. Алгоритм Бухбергера. Минимальный и редуцированный базисы. Алгоритм редукции базиса Грёбнера. Универсальный базис Грёбнера. Улучшения алгоритма Бухбергера. 2. Автоматическое доказательство теорем геометрии. Описание геометрической задачи в виде системы полиномиальных уравнений. Критерий несовместности систем полиномиальных уравнений. Критерий конечности числа решений. Критерий эквивалентности систем. Метод доказательства теорем с помощью базисов Грёбнера. 3. Факторизация многочленов. Единственность разложения на множители. Классический алгоритм Кронекера. Факторизация многочленов многих переменных. Факторизация многочленов, свободных от квадратов. Факторизация многочленов над полем Zp . Алгоритм Берлекэмпа.