Distribución Normal. ANTONIO ARIAS GONZALEZ Estudiante de licenciatura en Administración, de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco antonioag.23@outlook.es
Fecha de revisión: 22/05/2014
RESUMEN En este artículo se plantearan las características básicas de la distribución Normal y sus posibles aplicaciones prácticas, también los conceptos básicos que se fueron recolectando de diferentes autores a fin de comprender o entender mejor la aplicación de esta distribución. Se analizaran las características y propiedades de la distribución normal. Se plantean ejemplos y ejercicios donde se muestran los principales aspectos sobre el cálculo de probabilidades mediante la distribución normal y sus principales aplicaciones prácticas, para ayudar a la comprensión de las mismas.
PALABRAS CLAVES Desviación estándar, Media aritmética, distribuciones continuas.
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INTRODUCCIÓN La distribución normal o distribución de Gauss según DeGroot, M.H. (1988) es una de las más importantes y aplicadas de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos estadísticos que ocurren en la naturaleza, la industria, la navegación y otros. La principal característica de la distribución normal es que deben ser datos continuos.
Figura 1. Curva de distribución normal.
La distribución normal está determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar denotadas generalmente por μ y σ.
Los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuados para la aplicación de la distribución normal:
μ (media). Indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. (Imagen 2)
Datos meteorológicos: Correspondientes a temperaturas, lluvias, etc. Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud. Las alturas de individuos de una edad y sexo dado. Las medidas manufacturados.
físicas
de
productos Figura 2. Distribuciones normales con diferentes medias.
La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.
σ (desviación estándar). Determina el grado de apuntamiento de la curva, cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS La distribución normal fue desarrollada por Abraham de Moivre, (1667-1754), posteriormente Carl Friedrich Gauss (1777‐1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". DeGroot, M.H. (1988). La grafica de esta distribución es una curva en forma de campana que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, como se muestra en la (figura 1).
Figura 3. Distribuciones normales con diferentes desviaciones estándar.
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b) La probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 kilogramos.
SegĂşn Freud y Williams (1973) hay una distribuciĂłn normal por cada Îź (media) y Ďƒ (desviaciĂłn estĂĄndar) de referencia posible. Una de las propiedades bĂĄsicas de la probabilidad consiste en que la suma de todas las probabilidades no puede ser mayor a 1, y la mitad de esta curva equivale a .5. Johnson (1998).
c) La probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 kilogramos. d) La probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 kilogramos.
Para determinar el ĂĄrea bajo la curva de la distribuciĂłn normal, se utilizan tablas para encontrar los valores que son necesarios. (Tabla de ĂĄrea bajo la curva normal, anexo 1). Esta tabla es el resultado del trabajo de muchos matemĂĄticos los cuales hicieron el trabajo difĂcil.
e) La probabilidad de que una persona tenga un peso entre 150 y 160 kilogramos. f) la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 kilogramos.
TambiĂŠn con esta tabla se encuentran ĂĄreas bajo la curva de diferentes casos o medidas como temperaturas, medidas fĂsicas, etc. Las cuales se tienen que convertir al valor Z.
Inciso A Paso 1 Interpretar grĂĄficamente el ĂĄrea de interĂŠs.
Para la cual se implementa la siguiente formula:
z=
đ?‘‹âˆ’đ?œ‡
GrĂĄficamente se indica que a=150 kg, el ĂĄrea de la curva que nos interesa es la siguiente: (figura 4).
đ?œŽ
Donde: z = Dato estandarizado o normalizado. x = Valor nominal del dato a estandarizar. Îź = Media aritmĂŠtica del conjunto de datos. Ďƒ = DesviaciĂłn estĂĄndar. Figura 4. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema.
PasĂł 2 - Determinar el valor Z: en este caso x= a 150 e sustituimos los valores de la formula como se muestra.
Ejemplo 1 El peso de los estudiantes universitarios sigue una distribuciĂłn aproximadamente normal, con una media de 140 kilogramos y una desviaciĂłn estĂĄndar de 20 kilogramos. Determinar:
Z
X ď€ď
ď ł

150 ď€ 140  0.50 20
Paso 3 – El resultante de la fórmula de Z en este caso es .50, se busca en la tabla Z de probabilidades (Ver Anexo 1).
a) La probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 kilogramos.
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Forma de buscar z en la tabla de áreas bajo la curva.
.50 + .1915 = .6915
Según Johnson (1990). La tabla consta de:
Es decir existe un 70% de probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras.
• • •
Margen vertical izquierdo: Que muestra los enteros de z y una décima.
Inciso B
Margen horizontal superior: Que muestra las centésimas.
Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente se indica que a=150 k, el área de la curva que interesa es la siguiente: (figura 6)
Cuerpo de la Tabla, muestra las áreas correspondientes acumuladas, desde 0 hasta 0.4999
No importa que los valores de z, al momento de hacer el cálculo sea positivo o negativo se busca en tabla sin importar el signo. Buscamos en la tabla el valor Z=0.50 (véase figura 5) Figura 6. Representación gráfica de problema.
Pasó 2 - Determinar el valor Z:
Z
X
150 140 0.50 20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Se busca en el anexo 1, el valor Z=0.50 y se obtiene el área de 0.1915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este caso es positivo a la derecha se le resta al total de la curva, la unidad de z Figura 5. El valor encontrado de z.
.50 - .1915 = .3085 Es decir existe un 30% de probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras.
El resultado es .1915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este caso es positivo a la izquierda se le suma al total de la curva, la unidad de z
Inciso C Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Estadística elemental Junio 2014 4
Gráficamente indica que a=115 kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente: (figura 7)
Figura 8. Representación gráfica de problema
Paso 2 - Determinar el valor Z
Figura 7. Representación gráfica de problema
Z
Pasó 2 - Determinar el valor Z:
Z
X
X
Cuando X=115
115 140 1.25 20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Z Cuando X=150
X
115 140 1.25 20
150 140 0.50 20
Se busca en el anexo 1, el valor Z= -1.25 y se obtiene el área de 0.3944
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
Se busca en el anexo 1, el valor Z= -1.25 y se obtiene el área de 0.3944
En este caso es negativo a la izquierda se le resta al total de la curva, la unidad de z
Se busca en el anexo 1, el valor Z=0.50 y se obtiene el área de 0.1915
.50 - .3944 = .1056 Es decir existe un 10% de probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 kg.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. Cuando un valor es positivo y el otro negativo las unidades estándares se suman.
Inciso D Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
.3944 + .1915 = .5659
Gráficamente indica que a=115 libras y b=150 libras, el área de la curva de interesa es la siguiente: (figura 8)
Es decir existe un 56% de probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 kg. Inciso E. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
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Gráficamente se indica: a=150 kg. y b= 160 kg., el área de la curva que nos interesa es la siguiente: (figura 9)
Gráficamente se indica que a=115 kg y b= 130 kg., el área de la curva que nos interesa es la siguiente: (figura 10)
. Figura 9. Representación gráfica de problema.
Figura 10. Representación gráfica de problema
Paso 2 - Determinar el valor Z
Z
Z
X
X
Paso 2 - Determinar el valor Z
150 140 0.50 20
X
115 140 1.25 20 X 130 140 Z 0.50 20 Z
160 140 1.0 20
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Se busca en el anexo 1, el valor Z=1.25 y se obtiene el área de 0.3944
Se busca en el anexo 1, el valor Z=0.50 y se obtiene el área de 0.1915
Se busca en el anexo 1, el valor Z=0.50 y se obtiene el área de 0.1915
Se busca en el anexo 1, el valor Z=1.0 y se obtiene el área de 0.3413
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
Cuando los dos valores son positivos o negativos las unidades estándares se restan
Cuando los dos valores son positivos o negativos las unidades estándares se restan
0.3944 – 0.1915 = 0.2029
0.1915 – 0.3413 = 0.1498
Es decir existe un 20% de probabilidad de que una persona pese entre 115 y 130 kilogramos.
Es decir existe un 14% de probabilidad de que una persona tenga un peso entre 150 y 160 kilogramos. Este es un ejemplo muy claro de cómo pueden ser las distribuciones y cuáles son las soluciones para cada caso ya sean positivas a la derecha, positivas a la izquierda, negativos a la derecha, negativos a la izquierda, sea uno positivo y otro negativo, ambos positivos o ambos negativos.
Inciso F. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
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Se busca en el anexo 1, z= 0.5 el resultado es 0.1915 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA APLICADO
Se resta al total de la curva, la unidad de z: 0.50 – 0.1915 = .3085
De acuerdo a los ejemplos anteriores se muestra el siguiente problema y su soluciĂłn basado en el marco teĂłrico.
Existe un 31% de probabilidad de que el monto sea $80,000 o superior Inciso B. Se representa grĂĄficamente el problema. (Figura 12)
Problema 1 Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de prĂŠstamos en Down River Federal Savings tiene una distribuciĂłn normal, una media de $70,000 y una desviaciĂłn estĂĄndar de $20,000. Esta maĂąana se recibiĂł una solicitud de prĂŠstamo. CuĂĄl es la probabilidad de que:
Îź=70,000 Ďƒ=20,000
Z1=65,000
a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior.
Z2=80,000
Figura 12. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema
b) El monto solicitado este entre $65,000 y $80,000.
Se determina el valor de z:
c) El monto solicitado sea de $60,000 o superior. đ?‘?1 = d) El monto solicitado este entre $85,000 y $95,000 đ?‘?2 = e) El monto solicitado sea de $63,000 o menos.
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
65,000 − 70,000 = 0.25 20,000 80,000 − 70,000 = 0.5 20,000
Se busca en el anexo 1, Z1 0.25 el resultado es 0.0987
Inciso A. Se representa grĂĄficamente el problema (figura 11)
Se busca en el anexo 1, Z2 0.50 el resultado es 0.1915
Îź=70,000 Ďƒ=20,000
Se suman las unidades 0.1915 + 0.0987 = 0.2902
Figura 11. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema
Se resta al total de la curva, la unidad de z: 0.50 – 0.1915 = .3085
Se determina el valor de z: đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
z:
Existe un 29% de probabilidad de que en monto solicitado este entre $65,000 y $80,000.
z=80,000
�=
de
80,000 − 70,000 = 0.5 20,000 EstadĂstica elemental Junio 2014 7
Inciso C.
đ?‘?2 =
Se representa grĂĄficamente el problema. (Figura 13)
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
95,000 − 70,000 = 1.25 20,000
Se busca en el anexo 1, Z1 0.75 el resultado es 0.2734
Îź=70,000
Se busca en el anexo 1, Z2 1.25 el resultado es 0.3944
Ďƒ=20,000
Se restan las 0.2734 - 0.3944 = 0.1210
unidades
de
z:
z=60,000
Existe un 12% de probabilidad de que el monto solicitado este entre $85,000 y $95,000
Figura 13. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema
Inciso E.
Se determina el valor de z: �=
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
60,000 − 70,000 = −0.5 20,000
Se representa grĂĄficamente el problema. (Figura 15)
Se busca en el anexo 1, z = -0.5el resultado es 0.1915
Îź=70,000 Ďƒ=20,000
Se suma al total de la curva, la unidad de z: 0.50 + 0.1915 = 69.15 z=63,000
Existe un 69% de probabilidad de que el monto solicitado sea de $65,000 o superior.
Figura 15. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema
Inciso D.
Se determina el valor de z:
Se representa grĂĄficamente el problema. (Figura 14)
�=
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
63,000 − 70,000 = −0.35 20,000
Îź=70,000
Se busca en el anexo 1, Z= -0.35 el resultado es 0.1368
Ďƒ=20,000
Se resta al total de la curva, la unidad de z: 0.5 - 0.1368 = 0.3632. Z1=85,000 Z2=95,000
Existe un 36% de probabilidad de que el monto solicitado sea de $63,000 o menos. Figura 14. RepresentaciĂłn grĂĄfica de problema
Se determina el valor de z: đ?‘?1 =
đ?‘Ľâˆ’Îź Ďƒ
=
85,000 − 70,000 = 0.75 20,000 EstadĂstica elemental Junio 2014 8
CONCLUSIONES
2) http://web.upcomillas.es/personal/peter/estadis ticabasica/DistribucionNormal.pdf
La distribución normal es una de las distribuciones de probabilidad de variables continuas que con más frecuencia aparece en hechos reales. Gracias a esta distribución podemos calcular las probabilidades de diversos tipos de medidas. A lo largo de este artículo se han mostrado los antecedentes de la distribución normal y las posibles aplicaciones que esta tiene, también para que datos continuos pueden ser utilizados
3) Martínez Gómez Mónica & Marin Menlloch Manuel. Consultado en 12 de mayo de 2014 en : www.researchgate.net/publication/...normal/.. ./9c96051e6599c6250d.pdf 4) Departamentos.uca.es. Francisco Álvarez González. Consultado el 12 de mayo de 2014 en: http://departamentos.uca.es/C146/pag_persona l/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20T ema%205.pdf
REFERENCIAS
Libros: 1) DeGroot, M.H. (1988). Estadística. (2ª Ed.). Iberoamericana.
Probabilidad y Addison‐Wesley
2) Robert Johnson. (1990). Estadística Elemental. (2ª Ed.). México. Trillas. John E. Freund y Frank J. 3) Williams. (1973). Elementos Modernos de Estadística Empresarial. Editorial Prentice/hall internacional.
Web. 1) Departamento de matemáticas aplicada y estadística. WebpersonalBartolo. Consultado el 12 de mayo de 2014 en: http://matap.dmae.upm.es/WebpersonalBartol o/Probabilidad/7_distribucion_normal.pdf
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ANEXO 1
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