La distribución de poisson

DISTRIBUCION DE POISSON CARLOS RUBÉN BALLESTEROS BURGOA Estudiante de licenciatura en Contaduría Pública de la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco cr_ballesteros@hotmail.com

__________________________________________________________________________________________________ Fecha de recepción:

27 de mayo de 2014

RESUMEN El siguiente artículo muestra las características principales de la distribución de Poisson y la manera en la que se aplica esta distribución en la práctica, así también los conceptos básicos que se recabaron de diferentes autores con el fin de comprender y analizar mejor la aplicación de la distribución de Poisson. De igual manera se presentan las características y propiedades de esta distribución.

Para una mejor comprensión se plantean ejemplos donde se muestran los principales componentes de la formula y la manera en la cual se deben identificar aspectos sobre el cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson y su aplicación práctica, para un buen razonamiento de este tipo de distribución.

PALABRAS CLAVES DISTRIBUCIÓN, DISTRIBUCIÓN POISSON, PROBABILIDAD, INTERVALOS, POSIBILIDAD.

1

INTRODUCCIÓN Según Mendenhall (1981) La distribución de Poisson debe su nombre a Simeón Denis Poisson (1781-1840) francés que desarrollo la distribución a partir de los estudios que realizo durante la última parte de su vida.

La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, que suceden de manera aleatoria, en determinado tiempo, distancia o espacio.

1. La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

2. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

3. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

4. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.

Ejemplos de la utilidad -

Según Lind, Marchal (2004) la distribución de Poisson se caracteriza por las siguie ntes propiedades: 

Sea una población de tamaño ∞.



Sea una muestra de tamaño n bastante elevado (se suele hablar de que tiende a ∞)



Los sucesos son independientes entre sí.



Sea A un suceso que tiene una probabilidad p de suceder durante un periodo de tiempo siendo esta probabilidad de ocurrencia dura nte un periodo de tiempo concreto muy pequeña (se suele hablar de que tiende a 0).



El producto n*p, tiende a aproximarse a un val or promedio o número medio, al que llamaremos λ. Por ejemplo, promedio de lla madas recibidas en una centralita por minuto o número medio de accidentes produci dos en una carretera durante el fin de semana.



X: número de individuos de la muestra que cu mplen A.



El conjunto de posibles valores de A es, E = { 0, 1, 2, 3,4....

La llegada de un cliente al negocio durante una hora.

Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.

Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.

Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

Número de fallas en la superficie de una cerámica rectangular.

Número de bacterias en un volumen de un m3 de agua.

Número de accidentes de trabajo que ocurren en una fábrica durante una semana.

Según Leonard Kazmier y Alfredo Díaz Mata (2004): Puede utilizarse la distribución Poisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos, cuando estos ocurren en un continuo tiempo o espacio. A un proceso como este se le denomina proceso Poisson.

Según Leonard J. (2006) La característica fundamental de esta distribución es que se utiliza para eventos con proba muy baja de ocurrir de ahí el nombre de la ley de los sucesos raros.

En teoría la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad que nos describe la

-

Solo se requiere un valor para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos en un proceso Poisson; el número promedio a largo plazo de eventos para el tiempo o dimensión especifico de interés.

2

cantidad de veces que ocurre un evento en determinado tiempo, distancia o espacio.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS La distribución de Poisson fue desarrollada por Siméo n‐Denis Poisson (1781‐1840). Esta distribución de probabilidades es muy utilizada para situaciones dond e los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria.

En general, la distribución de Poisson se utiliza como aproximación de experimentos Binomiales donde el número de pruebas es muy alto (n→∞), pero la probabilidad de éxito muy baja (p→0).

Según Leonard Kazmier y Alfredo Díaz Mata (2004): La distribución de Poisson se puede expresar de form a gráfica, ya que en realidad consiste en un diagrama de barras, similar a los obtenidos en la función de pro babilidad, pero con forma asimétrica positiva como su cede con la distribución binomial. Como se muestra en la imagen 1.

Para determinar la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un proceso de Poisson se requiere un valor: el número de eventos a largo plazo en un lapso específico o en una dimensión de espacio que interese. Por lo general esta media se representa por λ (letra griega lambda) o también por µ. La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado X de éxitos en una distribución de Poisson es:

Ecuación 1

Dónde: p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es   = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto  = 2.718 x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Ejemplo 1.

Si se reciben en promedio 6 elementos por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a)3 elementos en un día dado b) 10 elementos en cualquiera de dos días consecutivos

Ilustración 1 curva de la Distribución de Poisson

Solución A) Se determina los valores de las variables.

3

x = variable que nos define el número de elementos en un día cualquiera = 3 (

λ = 6 elementos por día

(

e = 2.718 Sustitución de valores. (

Solución

( )

)

(

)

)

(

)

(

)

(

) (

(

) (

)

)

( ) Hay una probabilidad del 10% de recibir 10 elementos en dos dias consecutivos.

Según John E. Freund y Gary A. Simón (1994) mencionan: Cuando n es grande y p es pequeña, las probabilidades a menudo se aproximan por medio de la fórmula:

Solución

(

)

)

Ecuación 2

n= tamaño de la muestra

Este resultado indica que hay un 17% de probabilidad de recibir tres elementos en un dia.

p= porcentaje

Solución b)

x= variable discreta

x= 10 λ = 6 x 2 = 12 elementos en promedio que llegan en dos días consecutivos

Afortunadamente, realizar a mano los cálculos de las probabilidades de Poisson no es necesario. El empleo de la tabla e permite obtener los mismos resultados que si hiciéramos los cálculos, pero ahorrándonos el trabajo tedioso. Ver tabla 1.

e=número irracional

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Sustitución de valores. (

)

(

)

(

)

4

n= 400 p= 2% = 0.02 x= 5 np= (400) (.02) = 8 Sustitución de valores. ( )

Tabla 1 valores de "e"

( )

Nota: para determinar el valor de acudimos a la tabla de valores de “e” donde se localizara; buscando en la parte de la tabla el valor de X= 8 como se muestra en la siguiente ilustración.

Que es una forma especial de la distribución de Poisson. En esta fórmula, el numero irracional e= 2.71828… es la base del sistema de logaritmos naturales y los valores necesarios de se puede obtener a partir de la tabla e.

La diferencia de la formula usada por Leonard Kazmier y Alfredo Díaz Mata (2004): Esta fórmula es que el valor λ lo representa por (np).

Con esto se dice que λ= np Entonces para resolver los problemas con esta fórmula se necesita saber el tamaño de la muestra y el porcentaje de la probabilidad del evento que se está buscando Ejemplo 1.

Se reciben 400 elementos al día y se sabe que el 2% de los elementos no tienen la característica requerida, ¿cuáles es la probabilidad de que de los 400 elementos que recibe al día, reciba 5 elementos que no tienen la característica requerida.

Solución.

Se determina los valores de las variables.

( )

( ) (

)

Solución

( )

(

) (

)

5

2. Recordemos que X es la variable a buscar que en este caso es 6 y el resultado de n se determina con la multiplicación de los valores.

3.

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

( )

Hay una probabilidad del 9% de que se reciban 5 elementos que no cuentan con la característica requerida.

( ) Hay un 14% de probabilidad que 6 de 500 libros estén defectuosos.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA APLICADO

CONCLUSIONES La distribución de Poisson sirve para

Se sabe que 1% de los libros que se encuadernan en un taller tienen encuadernación defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que 6 de 500 libros encuadernados en este taller tengan una encuadernación defectuosa?

Datos: X=6

Esta es una distribución discreta de gran utilidad sobre todo en procesos Biológicos, donde X suele representar el número de eventos independientes que ocurren

n=500

a velocidad constante en un intervalo de tiempo o en un espacio.

P= 0.01

Para que sirve y ventajas de su utilización.

np= 5 Formula: ( )

(

)

1. Sustituimos los datos de la formula Solución: ( )

( )

6

REFERENCIAS ESTADISTICA PARA NEGOCIOS Y ECONOMIA, 11a. Ed, David R. Anderson, Dennis J. Seeney.

Editorial Cengacw learning, 2012 ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA, 3er edición. Mendenhall/ Reinmut.

Grupo Editorial Iberoamericana. 1981 ESTADISTICA APLICADA A LA ADMINISTRACION Y A LA ECONOMIA. Tercera edición. Leonard J. Kazmier. 1998 MANUAL DE ESTADISTICA. CUARTA EDICION. Basilio Gardina. 1977 ESTADISTICA ELEMENTAL LO ESENCIAL. Segunda edición. Robert Johnson., patricia kuby.

19991Use esta fuente para sus referencias ESTADÍSTICA ELEMENTAL. Robert Johnson. (1990). (2ª Ed.) México. Trillas. ISBN 968-243386-X. ELEMENTOS MODERNOS DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL. John E. Freund y Frank J. Williams. (1973). Editorial Prentice/hall internacional. ISBN 0-13-261891-5.

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ANEXOS

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