APUNTS 1. Lògica digital Àlgebra de Boole L'àlgebra que va crear aquest matemàtic anglès George Boole (1815-1864), és una àlgebra només de dos dígits, dígits binaris: el 0 i l'1. Boole va morir sense saber mai les repercussions de la seva àlgebra. El seu èxit rau en què: Molts problemes tecnològics es poden traduir del sistema numèric decimal al llenguatge binari. Es pot identificar els dígits 0 i 1 amb dos estats físics diferents. Les operacions booleanes de suma, multiplicació, i negació es poden dur a terme físicament amb circuits electrònics, pneumàtics,hidràulics, etc.
Operacions de Boole SUMA
MULTIPLICACIÓ
NEGACIÓ
La prioritat d'aquestes operadors és, en primer lloc, la negació; després, la multiplicació i, finalment, la suma.
Tenen les propietats següents Les operacions de suma i multiplicació son commutatives. Les operacions de suma i multiplicació són associatives. Les operacions de suma i multiplicació són distributives l'una respecte de l'altra. L'element negatiu satisfà.
2. Plantejament digital de problemes tecnològics Per traduir aquest problema al llenguatge de la lògica digital, és necessari seguir les instruccions següents: 1. Identificar cada element de maniobra(control) amb una variable La variable tan sols pot adoptar els valors 0 (obert) i 1 (tancat). 2. Identificar cada actuador amb la funció Cada funció també prendrà dos valors depenent dels que adoptin les variables. Les variables i les funcions que només poden adoptar dos valors s'anomenen variables i funcions lògiques. 3. Elaborar la taula de la veritat dels actuadors La taula recull tots els valors que pot prendre una funció lògica segons els valors que adoptin les variables lògiques de les quals depèn. 4. Expressar algebraicament les funcions lògiques Els valors de la funció de sortida es troba agafant totes funcions en que la sortida sigui 1. Les expressions algebraiques es poden reduir "booleanament" i amb la tècnica de "Karnaugh". 5. Implementar les funcions lògiques utilitzant circuits digitals elementals Implementar una funció lògica vol dir generar la funció utilitzant circuits digitals. 6. Habilitar les entrades i les sortides Les portes lògiques s'han de connectar a una font d'alimentació perquè puguin dur a terme la seva funció. De vegades es representen amb els seus terminals d'alimentació, tot i que és més habitual obviar-los. Els valor lògics (0 i 1) que poden adoptar les seves entrades i la sortida es corresponen físicament amb intervals de voltatge. Per exemple, quan algunes portes lògiques s'alimenten a Vcc=5V, fan l'assignació que figura la taula:
Per aquestes portes, els valors 1,5 i 3,5V constitueixen els llindars de voltatge. Si el voltatge d'alguna de les entrades es manté entre aquests llindars, la porta processarà l'entrada esmentada de maners impredictible (com 0, com 1, o bé pot causar problemes). Per funcionar bé, el voltatge a les entrades ha d'estar entre els llindars tan sols el temps necessari per passar del nivell baix al nivell alt, i a l'inrevés.
S'hi poden distingir: El bloc d'entrada (ombrejat rosat). El bloc de procés o de control (ombrejat verd). El bloc de sortida (ombrejat groc). Observa les entrades de la porta lògica AND: cada terminal digital ha estat substituït per un commutador que por connectar l'entrada de la porta d'alimentació (+5V) o bé a massa (0V). Quan s'alimenten a 5V, els voltatges que donen a la sortida són molt propers a alimentació i massa, com a es pot veure a la taula:
Drivers o buffers Les portes lògiques donen una intensitat de corrent a la sortida molt perita (<50mA)i insuficient per activar làmpades, motors o altres actuadors. Per tant, cal fer servir circuits amplificadors de corrent, anomenats adaptadors (buffers) o controladors (drivers).
3. Circuits integrats Característiques dels circuits integrats Els circuits integrats o microxips són circuits electrònics miniaturitzats als quals es poden acumular milers de components electrònics encapsulats, com ara els transistors o díodes. Són dispositius de procés perquè generen una resposta elèctrica quan reben senyals, també, elèctrics. Alguns circuits integrats s'han dissenyat per desenvolupar una funció determinada. Altres, per contra, es poden programar per ordinador i adaptar-se per efectuar varietat de tasques. Els circuits integrats es caracteritzen perquè: 1. Duen a terme operacions lògiques. 2. Tenen pius, que són els terminals dels diferents dispositius electrònics. 3. S'han d'alimentar amb tensió perquè funcionin.
4. S'identifiquen amb un nombre gravat i amb una osca que permet diferenciar cada terminal.
Exemple de circuit integrat Entre els circuits integrats més utilitzats hi ha: Els reguladors de tensió. El 555, que s'utilitza per elaborar temporitzadors. Els amplificadors operacionals, amb amplificacions múltiples. El parell Darlington, que permet incrementar considerablement el guany dels transistors. L'L293B, que possibilita l'amplificació dels senyals procedents d'un microcontrolador per activar un motor elèctric. Les portes lògiques, que duen a terme una presa de decisions en el control d'un procés.
Fabricació de xips
4. Portes lògiques Tipus de portes lògiques Les portes lògiques són circuits electrònics especialitzats a efectuar operacions booleanes. Hi ha diferents tipus de portes lògiques: Porta lògica
AND
OR
NOT
Operació booleana
A·B
A+B
NOR
ENOR
A 0
B 0
AND 0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
A
B
OR
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Ā
NAND
EXOR
Taula de la veritat
B+A
A
NOT
0
1
1
0
A
B
NAND
0
0
1
0
1
1
1 1
0 1
1 0
A
B
NOR
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
A
B
EXOR
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
B
ENOR
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Símbol tradicional
Famílies lògiques Les portes lògiques s'agrupen en famílies lògiques. Família DTL (Diode Transistor Logic). Família TTL (Transistor-Transistor Logic). Família CMOS (Complementary Metal Oxyde Semiconductor).
Portes lògiques i circuits integrats Les portes lògiques es presenten empaquetades en un circuit integrat, d'unes dimensions molt petites. Cada cop les portes lògiques es poden fer més petites, i per tant, els circuits integrats en poden contenir un nombre més alt.
5. Simplificació de funcions per Karnaugh Simplificació amb 2 variables (A, B) i sortida (S) A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 0 1 1
A
B
0
0
1
1
1
1
1
Simplificaci贸 amb 3 variables (A, B, C) i sortida (S) A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
S 0 1 0 1 1 1 0 0
A
BC
00
0 1
1
01
11
1
1
10
1
A B C 1 0 0 1 0 1
A B C 0 0 1 0 1 1
Simplificaci贸 amb 4 variables (A, B, C, D) i sortida (S) A
B
C
D
S
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
AB
CD
00
01
00 01
1 1
1
11 10
1
1
A B C D 0 0 0 0 0 1 0 0
A 1 1 1 1
B 0 0 0 0
C 0 0 1 1
D 0 1 1 0
A B C D 1 0 1 1 0 0 1 1
11
10
1
1
A B C D 0 1 0 0 0 1 0 1
1
Activitats 2.- Indica quins són els passos necessaris per plantejar-nos un problema tecnològic. 1. Identificar cada element de control amb una variable. 2. Identificar cada actuador amb una funció. 3. Fer la taula de la veritat. 4. Expressar algebraicament les funcions lògiques. 5. Implementar les funcions lògiques utilitzant circuits digitals elementals. 6. Habilitar les entrades i les sortides digitals.
3.- Què vol dir implementar una funció lògica? Posa algun exemple que il·lustri la teva resposta. Implementar un funció lògica vol dir fer la funció utilitzant circuits digitals.
4.- Què és una porta lògica? Assenyala quines portes lògiques corresponen els símbols de la taula. Les portes lògiques són circuits electrònics especialitzats a efectuar operacions booleanes.
AND OR NOT NAND NOR
5.- Què és un circuit integrat? Descriu quins passos cal seguir per fabricarne un. Un circuit integrat és un circuit electrònic miniaturitzat al qual es poden acumular milers de components electrònics ecapsulats. 1- Disseny del circuit integrat. 2- Procés fotolitogràfic per copiar el disseny del circuit en una oblia de silici. 3- Transferència del circuit a l'oblia. 4- Tall de circuits integrats. 5- Soldadura de terminals del circuit. 6- Muntatge sobre una encapsulació de protecció.
6.- Retola els pius del circuit integrat: 14 13 12 11 10 9
1
2
3
4
5
6
8
7
7.- Calcula el resultat de les seg眉ents expressions booleanes se les variables l貌giques prenen els valors que s'indiquen a continuaci贸: x = 1; y = 0; z = 1 a) b) c) d)
Problemes 1.- Una bomba se controla desde 3 interruptores A, B y C de manera que solamente funciona cuando se cierran dos de los 3 interruptores a la vez. Obtener el diagrama l贸gico de este automatismo: A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
B 0 0 0 1 0 1 1 0
2.- Un contactor para el accionamiento de un motor eléctrico está gobernado por 3 finales de carrera A, B y C, de modo que funciona si se cumple alguna de las siguientes condiciones: A accionado, B y C en reposo. A en reposo, B y C accionados. A y B en reposo y C accionado. A y B accionados y C en reposo. Se pide: a) Tabla de la verdad. b) Mapa de Karnaugh. c) Expresión lógica mínima y su diagrama lógico. A
B
C
M
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
A
CD
00
0 1
A B C 1 0 0 1 1 0
01
11
1
1
1
10
1
A B C 0 0 1 0 1 1
3.- En un automóvil de dos puertas se encienden las luces interiores cuando se desactiva alguno de los actuadores existentes en cada puerta, o cuando el conductor pulsa el actuador manual situado cerca del retrovisor. Se pide: a) Tabla de la verdad. b) Mapa de Karnaugh. c) Expresión lógica mínima y diagrama lógico. PD 0
PE 0
M 0
Ll 1
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0
1
1
1
1
PD PE M 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
A
BC
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
1
1
1
PD PE M 1 0 0 1 0 1
PD PE M 0 1 1 1 1 1
4.- Un zumbador debe accionarse para dar una señal de alarma cuando 4 interruptores A, B, C y D cumplen las siguientes condiciones: A y B accionados, C y D en reposo. A y D accionados, B y C en reposo. C accionado y A, B y D en reposo. A, B y C accionados y D en reposo. Se pide: a) Tabla de la verdad. b) Mapa de Karnaugh. c) Expresión lógica mínima y diagrama lógico. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Z 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
AB
CD
00
01
00
11
10 1
01 11 10 A B C D 1 1 0 0 1 1 1 0
1
1 1
5.- Representa mediante un diagrama l贸gico las siguientes funciones: a) b) c) d) a)
b)
c)
d)
6.- Averigua la funci贸n que corresponde a cada una de estas tablas de la verdad: A
B
C
F
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A
BC
00
01
11
1
1
0 1
A B C 1 0 0 1 1 0
1
1
A B C 1 1 1 1 1 0
A B C 0 0 1 0 1 1
7.- Simplifica las siguientes funciones aplicando el m茅todo del mapa de Karnaugh: a) A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 1 0 1
A B 0 1 1 1
A
BC
0
1
0
1
1
1
10
1
b) A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 0 1 1 1 1 0
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
F 0 1 1 1 1 1 1 0
A B C 1 0 0 1 1 0
A B C 0 0 1 0 1 1
A
BC
00
01
11
1
1
0
A B C 1 0 0 1 0 1
10
1
1
1
1
BC
00
01
11
10
1
1
1
c) A 0 0 0 0 1 1 1 1
A B C 0 0 1 1 0 1
A B C 1 0 0 1 0 1
A
0 A B C 0 1 1 0 1 0
1
A B C 0 1 0 1 1 0
1
1
1
8.- Realizar la función lógica que permita decidir si se ve o no la televisión en una casa sabiendo que en el caso de que los dos padres se pongan de acuerdo esa será la decisión a tomar. Solo en caso de no estar de acuerdo los padres la decisión la tomará el hijo. A=padre, B=madre, C=hijo. Cuando S=1 se enciende la tele. A
B
C
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
A B C 1 1 1 1 1 0
A B C 1 0 1 1 1 1
A
BC
00
01
0 A B C 0 1 1 1 1 1
1
11
10
1 1
1
1
9.- Supongamos que una prensa que se pone en marcha mediante la actuación simultánea de 3 pulsadores, si se pulsa solamente dos cualesquiera, la prensa funcionará, pero se activará una lámpara indicando una manipulación incorrecta. Cuando se pulse un solo dispositivo, también se encenderá la lámpara, pero no se activará la prensa. Diseñar el circuito de control: A
B
C
P
L
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
A
BC
00
01
0 1 A B C 1 1 1 1 1 0
11
10
1 1
1
A B C 1 0 1 1 1 1
1 A B C 0 1 1 1 1 1
A
BC
00
0 1
1
01
11
10
1
1
1
1
1
A B C 0 0 1 0 1 1
A B C 0 1 0 1 1 0
A B C 1 0 0 1 0 1
10.- Dise単ar un circuito de apertura de un garaje de coches, existen 4 entradas, mirando la figura: A=detector de coche de entrada B=llave de entrada C=detector de coche de salida D=llave de abrir dentro el garaje Si tiene 5 salidas en el circuito: M=Motor de la puerta. 0=cierra. 1=abrir R1 V1= Luces roja y verde a la entrada del garaje. R2 V2= Luces roja y verde dentro del garaje. A
B
C
D
M
R1
V1
R2
V2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
Motor AB
CD
00
01
11
00
1
01
1
11
1
1
10
1
10
1
A 1 1 1 1
B 1 1 1 1
C 0 0 1 1
D 0 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 1 1 1 1
D 1 1 1 1
A 1 1 1 1
B 0 0 0 0
C 0 0 1 1
D 0 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 1 1 1 1
D 1 1 1 1
1
Luz roja de fuera (R1) AB
CD
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
1
1
1
11 10
1 1
1
1
1 A 0 0 0 0
B 0 0 0 0
C 0 0 1 1
D 0 1 1 0
A 0 0 1 0
B 1 1 1 1
C 0 0 1 1
D 0 1 1 0
Luz verde de fuera (V1) AB
CD
00
01
1
1
11
10
00
A B C D 1 1 0 0 1 1 0 1
A B C D 1 1 0 0 1 1 1 0
01 11
1
10
Luz roja de dentro(V2) AB
CD
00
01
11
10
00
1
1
1
01
1
1
1
11
1
1
1
10
1
1
1
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 0 0 0 0
D 0 0 0 0
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 0 0 0 0
D 1 1 1 1
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 1 1 1 1
D 0 0 0 0
Luz verde de dentro (V2) AB
CD
00
01
11
00
1
01
1
11
1
10
1
10
A 0 0 1 1
B 0 1 1 0
C 1 1 1 1
D 1 1 1 1