Experimento de Millikan by Vinícius Bernardes

Experimento de Millikan Determinac¸a˜ o da Carga do El´etron Vin´ıcius Bernardes da Silva 232960 Novembro de 2016

Introduc¸a˜ o

Em 1987, J. J. Thomson descobriu que os raios catódicos eram feixes de part´ıculas subatômicas de carga elétrica negativa: os elétrons [1]. Ele determinou a razão entre a carga elétrica e a massa dessas part´ıculas, porém não conhecia os valores de carga e massa separadamente. De 1908 a 1913, Robert Millikan conduziu um experimento para a determinaça˜ o apenas da carga elétrica do elétron, a partir da qual poderia ser determinada também sua massa [2]. O presente relatório reporta um experimento baseado no de Millikan com o objetivo de determinar uma suposta quantizaça˜ o da carga elétrica (em termos de carga do elétron) e, caso quantizada, determinar o valor dessa carga. Para buscar essa informaça˜ o, o experimento consiste em observar o movimento de gotas de alguma substância com carga elétrica l´ıquida não nula. Os pressupostos teóricos necessários dizem respeito a` dinâmica dessas gotas. No experimento, serão observadas gotas realizando movimento vertical para cima (sob a presença de um campo elétrico) e para baixo (na ausência de campo elétrico). Em ambos os casos, toma-se que as dimensões das gotas são suficientemente pequenas para que a velocidade terminal da mesma seja rapidamente atingida e possa-se tratar de seu movimento como não acelerado em uma boa aproximaça˜ o. Durante o movimento de uma gota para baixo–sem campo elétrico–, considera-se que as forças atuando sobre ela sejam: (1) a força gravitacional aparente para baixo, com uma massa aparente da gota em relaça˜ o a` do ar devido ao empuxo; e (2) a força de resistência do ar para baixo. A força gravitacional aparente e´ dada por Fg = map g

(1)

onde map e´ a massa aparente e g e´ a aceleraça˜ o da gravidade. Sob a hipótese de que a gota e´ suficientemente pequena, pode-se tomar sua forma como esférica, levando a um volume V = (4π/3)a3 , onde a e´ o raio da gota. Dessa forma, a massa aparente pode ser expressa como map =

4π 3 a ρap 3

(2)

onde ρap e´ a densidade aparente. Tomando ρ como a densidade da substˆancia da gota e ρ0 como a densidade do ar, temos ρap = ρ − ρ0 . Para expressar a forc¸a resistiva, utilizamos a lei de Stokes [3], que diz Fr = −6πaηvq

(3)

onde a e´ o raio da gota, η e´ a viscosidade do ar e vq e´ a velocidade terminal de queda da gota. No entanto, há um limite na validade da lei na condiça˜ o de baixas velocidades ou, equivalentemente, tamanho pequeno da gota–o que já havia sido tomado como suposiça˜ o. Para manter a validade da lei, o matemático Ebenezer Cunningham determinou em 1910, para o experimento de Millikan, uma correça˜ o da viscosidade η para quando a gota encontra-se no limite entre um movimento cont´ınuo e o movimento molecular (ou movimento browniano)[4]. A correça˜ o proposta foi 1 0 η =η (4) 1 + b/(pa)

onde η 0 e´ a viscosidade corrigida, b e´ a constante de correça˜ o, p e´ a pressão atmosférica e a e´ o raio da gota. Substituindo η por η 0 na equaça˜ o 3, substituindo a expressão 2 na 1 e, lembrando da suposiça˜ o de velocidade constante, somando as componentes verticais de Fg e Fr e igualando a 0, obtemos 4π 3 1 a (ρ − ρ0 )g = 6πaηvq (5) 3 1 + b/(pa) O que e´ equivalente a s a=

9ηvq 2(ρ − ρ0 )g

1 1 + b/(pa)

(6)

Mantendo o η não corrigido na equaça˜ o 3 e juntando com 1 novamente, obtém-se 4π 3 a (ρ − ρ0 )g = 6πaηvq 3

(7)

Que, isolando a, resulta em s a=

9ηvq 2(ρ − ρ0 )g

(8)

Pode-se determinar o raio a a partir de uma iteraça˜ o da equaça˜ o 6, utilizando o a da equaça˜ o 8 como a inicial. Ao analisar o movimento para cima que a gota faz ao aplicar-se um campo elétrico que a puxa para cima (para se opôr a` força gravitacional), as forças consideradas são: (1) a força elétrica para cima; (2) a força gravitacional aparente para baixo; e (3) a força resistiva para baixo. A força elétrica e´ dada por Fe = qE (9) Onde q e´ a carga elétrica da gota e E e´ o campo elétrico. Supondo um campo elétrico gerado por duas placas paralelas, podemos descrever seu módulo, em boa aproximaça˜ o, como E=

V d

(10)

Onde V e´ a tensão aplicada e d e´ a distância entre as placas. Caso a gota tenha carga elétrica total positiva, a direça˜ o de E e´ a mesma de Fe –para cima. Por outro lado, se a carga total e´ negativa, E e´ direcionado para baixo. De todas as maneiras, o módulo da força elétrica (que, levando em conta que o movimento e´ vertical, e´ a própria componente vertical da força), pode ser expresso como Fe =

|q|V d

(11)

Onde Fe obviamente e´ o módulo de Fe . Utilizando novamente as expressões 1 e 3 para as forças gravitacional aparente e resistiva (invertendose a direça˜ o da resistiva e trocando a velocidade de queda vq pela velocidade de subida vs ) e somando as componentes verticais de todas as forças para que o resultado seja nulo, temos |q|V 4π 3 1 = a (ρ − ρ0 )g + 6πaηvs (12) d 3 1 + b/(pa) Tanto na equaça˜ o 5 (forças sobre a gota no movimento para baixo) quanto na equaça˜ o 12 (forças no movimento para cima) o fator multiplicando a velocidade da gota (vq na eq. 5 e vs na eq. 12) e´ o mesmo. Isolando esse fator na 5 e substituindo na 12 obtemos |q|V 4π 3 vs 0 = a (ρ − ρ )g 1 + (13) d 3 vq Isolando |q| obtém-se, finalmente, |q| =

4πa3 gd(ρ − ρ0 )(vq + vs ) 3vq V

(14)

Procedimentos

Para realizar o experimento, dispôs-se do equipamento PASCO AP8210A Millikan Oil Drop Apparatus, destinado especialmente para a realizaça˜ o do experimento de Millikan. Ele consiste de uma câmara com duas placas paralelas a uma distância d entre elas (determinada no manual do equipamento [5]) nas quais pode-se aplicar uma tensão elétrica (externa ao equipamento) para criar um campo elétrico no interior da câmara. A câmara possui um pequeno orif´ıcio na parte superior, por onde pode-se largar gotas para realizar o experimento. Ela também e´ iluminada por um LED e possui uma câmera direcionada para seu interior que pode ser conectada a um computador para observar as gotas durante o experimento. No lado oposto da câmera há uma grade para medir distâncias com marcaço˜ es de 0.5mm (determinadas por linhas grossas) e 0.1mm (determinadas por linhas finas). O equipamento também possui uma fonte ionizadora de part´ıculas α, de uma fonte de Tório-232, que pode ser ligada e desligada. Além disso, frisando que a tensão sobre as placas e´ aplicada externamente, o equipamento possui uma chave que permite desligar, ligar em uma polaridade, ou ligar na polaridade inversa a tensão sobre as placas. Acompanhando o equipamento principal, dispunha-se de uma fonte de alta tensão capaz de alcançar tensões até em torno de 500V, com precisão de 1V; o´ leo mineral de densidade ρ = 886kg/m3 em um borrifador, para borrifar gotas de o´ leo na câmara; um smartphone com cronômetro de precisão de 0.01s; e um mult´ımetro com termopar para medir a temperatura, com precisão de 1◦ C. O procedimento experimental deu-se da maneira descrita a seguir. Com a tensão entre as placas desligada e a fonte ionizadora ligada, borrifava-se gotas de o´ leo sobre o orif´ıcio superior da câmara. Pelas imagens da câmera no computador, era poss´ıvel ver as gotas dentro da câmara iluminadas pela luz do LED e a grade marcando as distâncias entre elas ao fundo. Como a fonte ionizadora estava ligada, as gotas eram bombardeadas por part´ıculas α, possibilitando que as gotas perdessem ou ganhassem elétrons, modificando assim sua carga l´ıquida. Dentre as gotas que apareciam na câmera, escolhia-se uma para realizar medidas de velocidade. Ao fazer a escolha, desligava-se a fonte ionizadora. Com a tensão sobre as placas ainda desligada, media-se com o cronômetro do smartphone o tempo que a gota levou para descer 0.5mm em sua queda, guiando-se pela grade ao fundo da câmara. Devido ao tamanho pequeno usual das gotas, elas estavam sujeitas a perturbaço˜ es do meio (ar) e percebia-se visualmente que não ca´ıam em linha reta, devido ao movimento browniano. Caso a gota desviasse muito de uma trajetória retil´ınea vertical ela era descartada e o procedimento recomeçava, a` procura de outra gota para realizar as medidas. Caso não fosse descartada, outras 4 medidas de tempo além da primeira já citada eram feitas para cada vez que a gota descesse mais 0.5mm. Ao total, registrava-se 5 tempos de queda para a gota. Após essas 5 medidas, ligava-se a tensão entre as placas com o valor de tensão e a polaridade necessários para que a gota passasse a subir. Dessa vez, outros 5 tempos eram registrados, correspondendo a cada 0.5mm percorridos pela gota. Com 5 tempos de queda e 5 tempos de subida em mãos, repetia-se esse procedimento com a mesma gota 4 vezes. Ou seja, ao final obtinha-se 5 grupos de 5 medidas de tempo de queda e 5 grupos de 5 medidas de tempo de subida–todos esses tempos correspondendo a deslocamentos de 0.5mm. Era esperado que os tempos de queda da gota fossem todos iguais, visto que a distância percorrida era a mesma, assim como sua massa. Na subida, no entanto, a sua velocidade dependia de sua carga. Dependendo da quantidade de elétrons que a gota havia ganhado ou perdido, sua velocidade seria diferente e, portanto, seu tempo de subida também. Para cada grupo de medidas, calculava-se o tempo médio e o respectivo desvio padrão (tomado como a incerteza), ficando portanto com 5 valores de cada uma das seguintes grandezas: tempo de queda tq ; incerteza do tempo de queda δtq ; tempo de subida ts ; e incerteza do tempo de subida δts . Além disso, registrava-se a tensão V indicada pela fonte de tensão e a temperatura T indicada pelo mult´ımetro com o termopar. Esse era o procedimento para uma gota, que foi realizado ao total 20 vezes–ou seja, para 20 gotas. As tabelas 1, 2 e 3 mostram os 5 valores dos tempos de queda e subida de cada gota, bem como suas incertezas, os valores de tensão e a temperatura.

An´alise

Para determinar a carga de cada gota através da equaça˜ o 14, e´ necessário conhecer o raio de cada gota. Para fazer isso, determinamos o raio inicial ai através da equaça˜ o 8. Tomamos g = 9.81m/s2 como a aceleraça˜ o da gravidade e ρ0 = 1.2kg/m3 . Para determinar a viscosidade do ar η, consultamos o gráfico

Tabela 1: Tempos de queda e subida, tens˜ao nas placas e temperatura para cada gota (parte 1). Gota tq δtq ts δts V (V) T (◦ C) (s) (s) (s) (s) [±1V] [±1◦ C] VB01 16.4 1.1 10.4 0.6 557 21 VB01 16.0 1.6 4.0 0.2 557 21 VB01 16.0 1.3 2.4 0.2 557 21 VB01 16.1 0.4 2.46 0.05 557 21 VB01 16.2 1.5 1.7 0.2 557 21 VB02 6.3 0.3 2.7 0.1 557 21 VB02 6.1 0.3 3.6 0.2 557 21 VB02 6.0 0.3 3.6 0.1 557 21 VB02 6.1 0.1 2.19 0.07 557 21 VB02 6.1 0.3 1.8 0.1 557 21 AM01 14.0 0.4 2.1 0.1 507 21 AM01 12.5 0.3 1.8 0.1 507 21 AM01 14.3 0.4 2.0 0.1 507 21 AM01 15.0 1.0 2.2 0.1 507 21 AM01 13.3 0.5 2.2 0.3 507 21 AM01 12.8 0.4 1.4 0.1 507 21 AM02 12.7 0.3 2.6 0.1 507 21 AM02 13.4 0.1 2.6 0.1 507 21 AM02 12.7 0.4 2.6 0.1 507 21 AM02 13.6 0.2 2.6 0.1 507 21 AM02 12.4 0.2 2.7 0.1 507 21 AM02 13.6 0.6 2.4 0.1 507 21 BE01 12.6 0.3 1.2 0.1 557 21 BE01 12.4 0.1 1.2 0.1 557 21 BE01 12.6 0.3 0.9 0.1 557 21 BE01 12.3 0.3 1.0 0.1 557 21 BE01 12.7 0.3 1.0 0.1 557 21 BE01 12.2 0.1 1.8 0.1 557 21 BE01 13.0 0.2 1.7 0.1 557 21 BE01 13.0 0.6 2.4 0.2 557 21 BE02 9.8 0.1 1.2 0.1 557 21 BE02 9.8 0.2 1.3 0.1 557 21 BE02 9.9 0.4 1.4 0.1 557 21 BE02 9.8 0.1 1.7 0.1 557 21 BE02 10.3 0.4 1.5 0.1 557 21 BE02 9.6 0.1 2.3 0.1 557 21 BE02 10.1 0.3 1.7 0.1 557 21 BE02 10.0 0.3 1.8 0.1 557 21 FP01 16.50 2.37 1.04 0.24 500 22 FP01 17.33 1.70 1.37 0.18 500 22 FP01 17.16 2.17 3.43 1.93 500 22 FP01 17.52 2.45 3.34 0.80 500 22 FP01 16.78 1.27 2.78 0.20 500 22 FP02 11.20 0.62 7.45 3.24 500 22 FP02 10.62 1.31 3.23 1.67 500 22 FP02 10.50 0.67 2.89 1.79 500 22 FP02 11.42 0.65 1.41 0.18 500 22 FP02 11.75 2.26 2.75 1.07 500 22

Tabela 2: Tempos de queda e subida, tens˜ao nas placas e temperatura para cada gota (parte 2). Gota tq δtq ts δts V (V) T (◦ C) (s) (s) (s) (s) [±1V] [±1◦ C] RW01 13.64 1.81 3.02 0.99 507 22 RW01 14.30 2.92 2.30 0.42 507 22 RW01 15.50 2.43 1.50 0.51 507 22 RW01 15.24 2.66 1.16 0.04 507 22 RW01 14.52 2.04 1.32 0.10 507 22 RW02 15.28 3.23 1.46 0.50 500 23 RW02 13.77 2.21 1.94 0.19 500 23 RW02 13.86 0.69 2.19 0.13 500 23 RW02 12.96 2.81 2.67 0.45 500 23 RW02 12.31 2.05 1.97 0.04 500 23 DM01 12.75 1.75 1.13 0.24 500 21 DM01 12.92 1.73 1.12 0.34 500 21 DM01 12.80 0.81 1.69 0.34 500 21 DM01 15.08 3.78 2.55 0.30 500 21 DM01 13.44 1.20 2.51 0.23 500 21 DM02 6.92 0.10 1.44 0.22 507 21 DM02 7.29 0.61 1.45 0.11 507 21 DM02 6.96 0.93 1.26 0.12 507 21 DM02 6.83 0.55 1.25 0.17 507 21 DM02 7.34 0.59 1.09 0.08 507 21 PD01 13.4 0.6 3.4 0.6 500 19 PD01 13.0 0.6 1.9 0.6 500 19 PD01 13.3 0.7 1.2 0.6 500 19 PD01 13.1 1.0 1.9 0.6 500 19 PD01 14.8 0.9 1.8 0.6 500 19 PD02 12.2 0.6 22.0 0.9 500 24 PD02 13.3 0.6 6.0 0.6 500 24 PD02 13.6 0.6 20.8 0.6 500 24 PD02 13.6 0.5 3.0 3.0 500 24 LP01 8.6 0.6 2.81 0.60 500 20 LP01 8.9 0.6 2.3 0.6 500 20 LP01 8.6 0.6 2.3 0.6 500 20 LP01 8.5 0.6 2.3 0.6 500 20 LP01 9.7 0.6 2.1 0.6 500 20 LP02 8.8 0.6 7.6 0.6 500 17 LP02 8.6 0.6 7.8 0.6 500 17 LP02 9.0 0.6 7.7 0.6 500 17 LP02 8.9 0.6 2.1 0.6 500 17 LP02 8.5 0.6 2.9 0.6 500 17 GW01 16.6 0.6 4.17 0.07 555 22 GW01 16.1 0.3 4.1 0.2 555 22 GW01 16.3 0.2 4.2 0.1 555 22 GW01 15.6 0.3 2.51 0.07 555 22 GW01 16.1 0.5 10.9 0.3 555 22 GW02 11.3 0.3 3.56 0.09 555 21 GW02 11.0 0.5 6.3 0.2 555 21 GW02 10.8 0.2 3.65 0.07 555 21 GW02 11.1 0.3 2.32 0.09 555 21 GW02 11.6 0.2 2.39 0.04 555 21

Tabela 3: Tempos de queda e subida, tensão nas placas e temperatura para cada gota (parte 3). Gota tq δtq ts δts V (V) T (◦ C) (s) (s) (s) (s) [±1V] [±1◦ C] TK01 15.44 0.5 1.09 0.1 557 21 TK01 15.31 0.3 1.77 0.2 557 21 TK01 15.75 0.4 1.78 0.2 557 21 TK01 15.82 0.3 1.74 0.2 557 21 TK01 15.23 0.4 1.17 0.2 557 21 TK02 9.9 0.2 4.0 0.2 557 21 TK02 9.9 0.2 4.0 0.2 557 21 TK02 10.4 0.2 1.95 0.20 557 21 TK02 10.0 0.2 1.97 0.20 557 21 TK02 9.9 0.2 2.64 0.20 557 21 da imagem 3 da viscosidade em funça˜ o da temperatura, retirado do manual do equipamento [5]. O gráfico mostra uma relaça˜ o linear de η = 0.004T + 1.74 (15) com η em Pa/s e T em ◦ C. Para determinar a velocidade de queda vq da gota, fazemos uma média tqm dos 5 tempos de queda tq e fazemos vq = 0.5mm/tqm .

Figura 1: Viscosidade em funça˜ o da temperatura (retirado do manual do equipamento utilizado [5]). Conhecendo o raio inicial ai , utilizamos a equaça˜ o 6 para iterar a um número suficiente de vezes até que, para todas as gotas, a mudança entre a u´ ltima e a penúltima iteraço˜ es seja menor do que a incerteza de ambas (que também serão iteradas). Dessa forma, assume-se que as variaço˜ es das iteraço˜ es posteriores estariam dentro do intervalo coberto pela incerteza e não alterariam qualquer resultado obtido a partir do valor do raio. O valor de pressão atmosférica utilizado e´ p = 1.01 × 105 Pa e o valor da constante de correça˜ o de Cunningham e´ b = 8.2 × 10−3 Pa · m. Assim obtemos a. A tabela 4 apresenta os valores calculados da velocidade de queda vq , viscosidade η (não corrigida), raio inicial ai e a primeira iteraça˜ o a do raio, com as respectivas incertezas. As incertezas foram propagadas através dos métodos descritos no Apêndice. Convém chamar a atença˜ o ao fato de que, para cada gota, δvq e´ calculado pela propagaça˜ o de δtqm , que e´ o valor máximo entre: (i) o desvio padrão dos 5 valores de 6

Tabela 4: Valores determinados de velocidade de queda média, viscosidade não corrigida, raio inicial e primeira iteraça˜ o do raio, com as respectivas incertezas, de cada gota. As incertezas foram propagadas pelos métodos descritos no Apêndice. Gota vq δvq η (×10−5 Pa/s) ai δai a δa (mm/s) (mm/s) [±4 × 10−8 Pa/s] (×10−7 m) (×10−7 m) (×10−7 m) (×10−7 m) VB01 0.03 0.02 1.824 5.3 1.8 4.9 2.5 VB02 0.082 0.008 1.824 8.8 0.4 8.42 0.4 AM01 0.04 0.04 1.824 6.2 3.1 5.8 3.8 AM02 0.04 0.02 1.824 6.2 1.6 5.8 1.9 BE01 0.04 0.01 1.824 6.2 0.8 5.8 1.0 BE02 0.05 0.01 1.824 6.9 0.7 6.5 0.8 FP01 0.03 0.03 1.828 5.3 2.7 4.9 3.7 FP02 0.05 0.03 1.828 6.9 2.1 6.5 2.4 RW01 0.03 0.03 1.828 5.3 2.7 4.9 3.7 RW02 0.04 0.04 1.832 6.2 3.1 5.8 3.8 DM01 0.04 0.04 1.824 6.2 3.1 5.8 3.8 DM02 0.07 0.02 1.824 8.1 1.2 7.7 1.3 PD01 0.04 0.03 1.816 6.1 2.3 5.7 2.8 PD02 0.04 0.03 1.836 6.2 2.3 5.8 2.8 LP01 0.06 0.03 1.820 5.7 1.4 5.3 1.8 LP02 0.06 0.02 1.808 5.6 0.9 5.2 1.2 GW01 0.03 0.01 1.824 5.3 0.9 4.9 1.2 GW02 0.04 0.01 1.828 6.2 0.8 5.8 1.0 TK01 0.03 0.01 1.824 5.3 0.9 4.9 1.2 TK02 0.05 0.01 1.824 6.9 0.7 6.5 0.8 tq (já calculados como média de um grupo de 5 medidas cada um); e (ii) as incertezas desses 5 valores tq propagadas. O número de iteraço˜ es do raio feitas foi apenas uma, pois, para todas as gotas, o primeiro valor de a já era suficiente próximo de ai para que a − ai < δai . Também a − ai < δa para todas as gotas, visto que δa > δai para todas elas–a primeira iteraça˜ o só aumentou a incerteza associada ao raio. Com o raio foi poss´ıvel calcular o módulo da carga |q| de cada gota através da equaça˜ o 14. Além de a, também e´ necessário os valores das velocidades vq e vs . Como grande parte das gotas trocou de carga em algum momento do trajeto percorrido (se isso ocorreu, foi sempre durante a descida–momento em que a velocidade das gotas não depende de suas cargas; caso a troca ocorresse na subida, a mudança de velocidade era percebida e a gota era descartada), e´ mais preciso e adequado determinar o valor de carga para cada grupo de medidas de cada gota. Isto e´, para cada ciclo de 5 medidas de tempo com a gota descendo (de 0.5mm em 0.5mm) e 5 medidas de tempo com a gota subindo (com o mesmo passo). Os valores de ρ0 e g foram os mesmos utilizados anteriormente. Ainda resta a saber o valor da distância entre as placas, que e´ especificado no equipamento do manual do equipamento como d = 7.67mm [5]. As tabelas 5, 6 e 7 apresentam, para cada grupo de medida de cada part´ıcula, a velocidade de queda, a velocidade de subida, o raio (determinado anteriormente) e a módulo da carga calculada. Também constam as incertezas de cada grandeza, calculadas como consta no Apêndice. Conhecendo-se as cargas, passou-se a` verificaça˜ o de sua quantizaça˜ o. Ordenando os valores de carga da menor para a maior e associando conforme essa ordenaça˜ o um número de 1 a 107 a cada grupo de medida de cada gota, fez-se um gráfico da carga do grupo de medida em funça˜ o do número associado (107 e´ o número de cargas determinadas). A figura 3 apresenta esse gráfico com as barras de incerteza das cargas, enquanto a figura 3 mostra o gráfico sem as barras. As tabelas 8, 9 e 10 apresentam os valores de carga ordenados. No gráfico 3 e´ poss´ıvel ver claramente algumas descontinuidades nos valores de carga determinados das gotas. Os saltos mais destacados são: (i) da gota 7 para a 8; (ii) da gota 34 para a 35; (iii) da gota 84 para a 85; e (iv) da gota 92 para a 93. Esses saltos no número associado correspondem aos seguintes saltos no valor da carga: (i) de 1.8 a 2.7; (ii) de 5.2 a 5.8; (iii) de 10.0 a 11.0; (iv) de 12.0 a 12.7 (em termos de ×10−19 C). Supondo, então, que a carga das gotas seja quantizada, espera-se que exista uma certa carga q0 tal que, para todas as gotas, o módulo de suas cargas eram |q| = nq0 , onde n e´ um número natural. A partir dessa suposiça˜ o, tomamos que os saltos observados no gráfico representam valores que tem a maior probabilidade de não serem medidos, ao tentar medir a carga de uma gota. Ou seja, os saltos correspondem a 7

Tabela 5: Valores determinados de velocidade de queda, velocidade de subida, raio e módulo da carga de cada grupo de medidas de cada gota, bem como suas incertezas. As incertezas foram propagadas pelos métodos apresentados no Apêndice. (Parte 1) Gota vq δvq vs δvs a δa |q| δ|q| (mm/s) (mm/s) (mm/s) (mm/s) (nm) (nm) (×10−19 C) (×10−19 C) VB01 0.03 0.03 0.05 0.03 490 250 1.6 2.6 VB01 0.03 0.05 0.13 0.03 490 250 3.0 6.0 VB01 0.03 0.04 0.21 0.04 490 250 4.6 8.7 VB01 0.03 0.01 0.20 0.01 490 250 4.6 7.0 VB01 0.03 0.05 0.30 0.06 490 250 6.4 12.9 VB02 0.08 0.02 0.19 0.02 840 40 10.0 2.7 VB02 0.08 0.02 0.14 0.03 840 40 8.1 2.2 VB02 0.08 0.02 0.14 0.01 840 40 8.0 2.0 VB02 0.082 0.008 0.23 0.02 840 40 11.3 2.0 VB02 0.02 0.02 0.28 0.03 840 40 13.1 3.7 AM01 0.04 0.01 0.24 0.02 580 380 8.4 16.5 AM01 0.04 0.01 0.28 0.03 580 380 8.7 17.0 AM01 0.03 0.01 0.25 0.03 580 380 8.9 17.5 AM01 0.03 0.03 0.23 0.02 580 380 8.5 18.1 AM01 0.04 0.02 0.23 0.07 580 380 7.7 15.4 AM01 0.04 0.02 0.36 0.04 580 380 11.1 21.8 AM02 0.04 0.01 0.19 0.02 580 190 6.4 6.6 AM02 0.037 0.004 0.19 0.02 580 190 6.7 6.7 AM02 0.04 0.02 0.19 0.02 580 190 6.4 6.8 AM02 0.037 0.007 0.19 0.02 580 190 6.8 6.9 AM02 0.040 0.008 0.19 0.02 580 190 6.1 6.2 AM02 0.04 0.02 0.21 0.02 580 190 7.3 8.2 BE01 0.04 0.01 0.42 0.04 580 100 11.4 6.6 BE01 0.040 0.004 0.42 0.04 580 100 11.2 5.8 BE01 0.04 0.01 0.56 0.06 580 100 14.9 8.6 BE01 0.04 0.01 0.50 0.05 580 100 13.2 7.6 BE01 0.04 0.01 0.50 0.05 580 100 13.6 7.9 BE01 0.041 0.004 0.28 0.03 580 100 7.7 4.0 BE01 0.038 0.008 0.29 0.03 580 100 8.6 4.6 BE01 0.04 0.02 0.21 0.04 580 100 6.4 4.7 BE02 0.051 0.005 0.42 0.04 650 80 12.8 5.0 BE02 0.05 0.01 0.38 0.04 650 80 11.9 5.0 BE02 0.05 0.02 0.36 0.04 650 80 11.3 5.8 BE02 0.051 0.005 0.29 0.03 650 80 9.4 3.6 BE02 0.05 0.02 0.33 0.03 650 80 11.0 5.6 BE02 0.052 0.005 0.22 0.22 650 80 7.2 2.8 BE02 0.05 0.01 0.29 0.29 650 80 9.7 4.4 BE02 0.05 0.01 0.28 0.28 650 80 9.1 4.2 FP01 0.03 0.07 0.5 0.1 490 3.7 11.3 35.9 FP01 0.03 0.05 0.36 0.07 490 3.7 9.2 25.2 FP01 0.03 0.06 0.2 0.3 490 3.7 4.0 13.3 FP01 0.03 0.07 0.2 0.1 490 3.7 4.2 13.1 FP01 0.03 0.04 0.18 0.04 490 3.7 4.7 11.8

Tabela 6: Valores determinados de velocidade de queda, velocidade de subida, raio e módulo da carga de cada grupo de medidas de cada gota, bem como suas incertezas. As incertezas foram propagadas pelos métodos apresentados no Apêndice. (Parte 2) Gota vq δvq vs δvs a δa |q| δ|q| (mm/s) (mm/s) (mm/s) (mm/s) (nm) (nm) (×10−19 C) (×10−19 C) FP02 0.04 0.03 0.7 0.2 650 2.4 3.9 8.8 FP02 0.05 0.06 0.2 0.3 650 2.4 6.7 13.1 FP02 0.05 0.03 0.2 0.3 650 2.4 7.2 13.4 FP02 0.04 0.03 0.35 0.06 650 2.4 14.1 17.7 FP02 0.04 0.10 0.2 0.2 650 2.4 8.2 18.9 RW01 0.04 0.07 0.2 0.2 490 3.7 3.7 10.3 RW01 0.03 0.10 0.22 0.09 490 3.7 4.9 16.2 RW01 0.03 0.08 0.3 0.2 490 3.7 7.5 23.9 RW01 0.03 0.09 0.43 0.02 490 3.7 9.4 31.3 RW01 0.03 0.07 0.38 0.04 490 3.7 8.0 23.2 RW02 0.03 0.11 0.3 0.2 580 380 12.7 45.1 RW02 0.04 0.08 0.25 0.05 580 380 8.9 24.6 RW02 0.04 0.02 0.22 0.03 580 380 8.1 16.5 RW02 0.04 0.11 0.18 0.08 580 380 6.5 19.8 RW02 0.04 0.08 0.25 0.01 580 380 8.0 21.0 DM01 0.04 0.07 0.4 0.1 580 380 13.6 34.3 DM01 0.04 0.07 0.4 0.2 580 380 13.9 35.0 DM01 0.04 0.03 0.3 0.1 580 380 9.5 19.8 DM01 0.03 0.13 0.19 0.06 580 380 7.6 28.9 DM01 0.04 0.04 0.19 0.05 580 380 7.09 15.4 DM02 0.072 0.007 0.35 0.08 770 130 14.7 7.9 DM02 0.07 0.04 0.34 0.04 770 130 15.2 10.9 DM02 0.07 0.07 0.40 0.05 770 130 16.5 15.5 DM02 0.07 0.04 0.40 0.07 770 130 16.4 11.4 DM02 0.07 0.04 0.46 0.04 770 130 19.6 14.1 PD01 0.04 0.02 0.15 0.09 570 280 5.2 8.4 PD01 0.04 0.02 0.3 0.2 570 280 8.2 13.6 PD01 0.04 0.03 0.4 0.3 570 280 12.7 21.6 PD01 0.04 0.04 0.3 0.2 570 280 8.3 14.9 PD01 0.03 0.03 0.3 0.2 570 280 9.7 17.1 PD02 0.04 0.02 0.23 0.02 580 280 1.7 2.6 PD02 0.04 0.02 0.83 0.05 580 280 3.6 5.5 PD02 0.04 0.02 0.24 0.01 580 280 1.8 2.7 PD02 0.04 0.02 0.17 0.05 580 280 6.1 17.6 LP01 0.06 0.03 0.2 0.1 530 180 3.4 4.1 LP01 0.06 0.03 0.2 0.1 530 180 4.1 5.0 LP01 0.06 0.03 0.2 0.1 530 180 4.0 4.9 LP01 0.06 0.04 0.2 0.1 530 180 4.0 4.8 LP01 0.05 0.03 0.2 0.1 530 180 4.7 5.8 LP02 0.06 0.03 0.66 0.04 520 120 1.7 1.4 LP02 0.06 0.03 0.64 0.04 520 120 1.7 1.4 LP02 0.06 0.03 0.65 0.04 520 120 1.7 1.4 LP02 0.06 0.03 0.2 0.1 520 120 4.2 4.0 LP02 0.06 0.04 0.2 0.1 520 120 3.1 2.9

Tabela 7: Valores determinados de velocidade de queda, velocidade de subida, raio e módulo da carga de cada grupo de medidas de cada gota, bem como suas incertezas. As incertezas foram propagadas pelos métodos apresentados no Apêndice. (Parte 3) Gota vq δvq vs δvs a δa |q| δ|q| (mm/s) (mm/s) (mm/s) (mm/s) (nm) (nm) (×10−19 C) (×10−19 C) GW01 0.03 0.02 0.120 0.008 490 120 3.0 2.7 GW01 0.031 0.009 0.12 0.02 490 120 3.0 2.4 GW01 0.031 0.006 0.12 0.01 490 120 3.0 2.3 GW01 0.03 0.01 0.20 0.01 490 120 4.4 3.5 GW01 0.03 0.02 0.46 0.01 490 120 1.5 1.2 GW02 0.04 0.01 014 0.01 580 100 4.2 2.3 GW02 0.05 0.02 0.80 0.02 580 100 2.7 1.7 GW02 0.046 0.009 0.14 0.01 580 100 3.9 2.1 GW02 0.05 0.01 0.22 0.02 580 100 5.8 3.2 GW02 0.043 0.009 0.209 0.008 580 100 5.8 3.1 TK01 0.03 0.02 0.46 0.05 490 120 9.2 8.1 TK01 0.03 0.01 0.28 0.06 490 120 5.8 4.7 TK01 0.03 0.01 0.28 0.06 490 120 5.9 5.0 TK01 0.032 0.009 0.29 0.06 490 120 6.1 5.0 TK01 0.03 0.01 0.43 0.09 490 120 8.5 7.2 TK02 0.05 0.01 0.13 0.03 650 80 4.8 2.0 TK02 0.05 0.01 0.13 0.03 650 80 4.8 2.0 TK02 0.05 0.01 0.26 0.05 650 80 8.8 3.9 TK02 0.05 0.01 0.25 0.05 650 80 8.5 3.7 TK02 0.05 0.01 0.19 0.04 650 80 6.6 2.8 valores de carga no meio caminho entre um valor permitido de carga nq0 e o valor permitido subsequente (n + 1)q0 . Sendo q1 e q2 as cargas associadas a um desses saltos citados (i.e. saltos de q1 a q2 ), tomamos a média entre eles qm = (q1 + q2 )/2 e dizemos que, para algum número natural n, qm = (n + 0.5)q0 . Observando que o primeiro salto destacado ocorre próximo aos menores valores determinados de carga, supomos que o salto corresponda a` descontinuidade de q0 a 2q0 , ou seja, de n = 1 a n = 2. Tomando q1 = 1.8 × 10−19 C e q2 = 2.7 × 10−19 C e obtendo qm = 2.25 × 10−19 C como média, supomos que qm = (1 + 0.5)q0 = 1.5 e que, portanto, q0 = 1.5 × 10−19 C como primeiro valor aproximado da carga elementar. Para os três saltos seguintes, faz-se a média entre q1 e q2 e obtém-se, na mesma ordem exposta anteriormente, 5.5×10−19 C, 10.5×10−19 C e 12.35×10−19 C. De qm = (n+0.5)q0 tiramos que n = qm /q0 −0.5, o que nos dá, para o segundo salto destacado, n = 3.17 ≈ 3, de onde tiramos q0 = 5.5 × 10−19 C/3.5 = 1.57 × 10−19 C. Repetindo o processo no terceiro salto com o novo valor de q0 , obtemos n = 6.18 ≈ 6 e o determinamos q0 mais uma vez como q0 = 1.62 × 10−19 C. Finalmente para o u´ ltimo salto, utilizando o u´ ltimo q0 determinado, temos n = 7.15 ≈ 7 e o novo q0 = 1.65 × 10−19 C. Nesse processo, as incertezas das cargas não foram propagadas pois eram maiores do que os próprios valores e já não traziam informaça˜ o relevante. Além disso, os valores obtidos serão somente guia para a obtença˜ o da carga elementar através do conjunto de todos os dados; esses tais que terão suas incertezas propagadas. Do valor de q0 obtido em cada um dos saltos, fez-se uma média que resultou em q0 = (1.59 ± 0.07) × 10−19 C. Esse valor serve então como guia para procurar a quantizaça˜ o nos valores de carga obtidos, da seguinte forma: dado um dos valores de |q|, existe um n tal que nq0 < |q| < (n + 1)q0 , onde q0 e´ a média já calculada. Caso |q| esteja mais próximo de nq0 , coloca-se |q| em um grupo chamado Gn . Caso esteja mais perto de (n + 1)q0 , coloca-se o valor no grupo Gn+1 . Quando todos os valores de |q| estiverem colocados em algum grupo, calcula-se a média qmn de todos os elementos de cada grupo e determina-se q0n = qmn /n como um valor de carga elementar. Ao obter-se q0n de todos os grupos, uma média entre eles e´ a determinaça˜ o da carga elementar q0 . As tabelas 8, 9 e 10 mostram os n referentes aos grupos Gn aos quais cada valor de |q| foi associado. A tabela 11 apresenta, para cada grupo Gn , o valor da carga média, o desvio padrão da carga média e a incerteza propagada na carga média (pelas incertezas de cada valor de carga individual). O maior entre o desvio padrão e a incerteza propagada foi atribu´ıdo como incerteza de cada valor médio para propagar incerteza no cálculo da carga elementar, cujos valores também constam na tabela.

Tabela 8: Valores do módulo da carga da gota em ordem crescente (enumerados), suas incertezas, n do grupo Gn ao qual o valor está associado e gota da qual a` medida se refere. (Parte 1) Número |q| |δq| n Gota (×10−19 C) (×10−19 C) (Grupo Gn ) 1 1.50 1.24 1 GW01 2 1.56 2.61 1 VB01 3 1.68 1.36 1 LP02 4 1.72 2.55 1 PD02 5 1.72 1.40 1 LP02 6 1.73 1.41 1 LP02 7 1.83 2.69 1 PD02 8 2.73 1.66 2 GW02 9 2.96 2.27 2 GW01 10 2.98 2.39 2 GW01 11 3.02 2.68 2 GW01 12 3.02 5.96 2 VB01 13 3.14 2.91 2 LP02 14 3.43 4.11 2 LP01 15 3.56 5.51 2 PD02 16 3.66 10.3 2 RW01 17 3.89 8.81 2 FP02 18 3.94 2.07 2 GW02 19 3.97 4.81 2 LP01 20 4.00 4.86 3 LP01 21 4.04 13.3 3 FP01 22 4.11 5.00 3 LP01 23 4.16 2.30 3 GW02 24 4.18 4.03 3 LP02 25 4.20 13.1 3 FP01 26 4.37 3.46 3 GW01 27 4.55 6.99 3 VB01 28 4.63 8.71 3 VB01 29 4.73 11.8 3 FP01 30 4.75 5.84 3 LP01 31 4.79 16.2 3 RW01 32 4.84 2.03 3 TK02 33 4.84 2.03 3 TK02 34 5.18 8.42 3 PD01 35 5.76 3.24 4 GW02 36 5.82 4.74 4 TK01 37 5.83 3.08 4 GW02 38 5.94 5.04 4 TK01 39 6.09 4.96 4 TK01 40 6.10 6.19 4 AM02 41 6.12 17.6 4 PD02 42 6.36 12.9 4 VB01 43 6.37 4.66 4 BE01 44 6.41 6.62 4 AM02 45 6.41 6.77 4 AM02 46 6.47 19.8 4 RW02 47 6.62 2.85 4 TK02 48 6.66 13.1 4 FP02 49 6.71 6.74 4 AM02 50 6.79 6.90 4 AM02 51 7.02 15.4 4 DM01

Tabela 9: Valores do módulo da carga da gota em ordem crescente (enumerados), suas incertezas, n do grupo Gn ao qual o valor está associado e gota da qual a` medida se refere. (Parte 2) Número |q| |δq| n Gota (×10−19 C) (×10−19 C) (Grupo Gn ) 52 7.20 13.4 5 FP02 53 7.21 2.77 5 BE02 54 7.27 8.17 5 AM02 55 7.51 23.9 5 RW01 56 7.64 28.9 5 DM01 57 7.68 15.4 5 AM01 58 7.72 3.97 5 BE01 59 7.96 23.2 5 RW01 60 7.97 1.97 5 VB02 61 8.01 21.0 5 RW02 62 8.05 2.18 5 VB02 63 8.10 16.5 5 RW02 64 8.19 18.9 5 FP02 65 8.23 13.6 5 PD01 66 8.28 14.9 5 PD01 67 8.36 16.5 5 AM01 68 8.46 7.23 5 TK01 69 8.47 3.70 5 TK02 70 8.52 18.1 5 AM01 71 8.58 4.61 5 BE01 72 8.66 17.0 5 AM01 73 8.83 3.86 6 TK02 74 8.88 17.5 6 AM01 75 8.95 24.6 6 RW02 76 9.14 4.15 6 BE02 77 9.15 8.11 6 TK01 78 9.18 25.1 6 FP01 79 9.37 31.3 6 RW01 80 9.43 3.64 6 BE02 81 9.48 19.8 6 DM01 82 9.68 4.41 6 BE02 83 9.68 17.1 6 PD01 84 9.96 2.66 6 VB02 85 11.0 5.64 7 BE02 86 11.1 21.8 7 AM01 87 11.2 5.81 7 BE01 88 11.3 5.79 7 BE02 89 11.3 1.96 7 VB02 90 11.3 35.9 7 FP01 91 11.4 6.59 7 BE01 92 11.9 4.96 7 BE02 93 12.7 45.1 8 RW02 94 12.7 21.6 8 PD01 95 12.8 4.96 8 BE02 96 13.1 3.75 8 VB02 97 13.2 7.65 8 BE01

Tabela 10: Valores do módulo da carga da gota em ordem crescente (enumerados), suas incertezas, n do grupo Gn ao qual o valor está associado e gota da qual a` medida se refere. (Parte 3) Número |q| |δq| n Gota (×10−19 C) (×10−19 C) (Grupo Gn ) 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

13.6 13.6 13.9 14.1 14.7 14.9 15.3 16.4 16.5 19.6

34.3 7.88 35.0 17.7 7.88 8.64 10.9 11.4 15.5 14.1

9 9 9 9 9 9 10 10 10 11

DM01 BE01 DM01 FP02 DM02 BE01 DM02 DM02 DM02 DM02

Tabela 11: Carga média, desvio padrão s(qnm ) da carga média, incerteza δqnm propagada na carga média, carga elementar e incerteza propagada na carga elementar para cada grupo Gn . n qnm s(qnm ) δqnm q0n δq0n (Grupo Gn ) (×10−19 C) (×10−19 C) (×10−19 C) (×10−19 C) (×10−19 C) 1 1.67 0.12 0.75 1.67 0.75 2 3.36 0.44 1.75 1.68 0.88 3 4.49 0.37 2.18 1.50 0.73 4 6.32 0.37 2.37 1.58 0.59 5 8.00 0.45 3.34 1.60 0.67 6 9.31 0.35 4.82 1.55 0.80 7 11.3 0.3 5.50 1.61 0.79 8 12.9 0.2 10.19 1.61 1.27 9 14.1 0.6 14.1 1.57 1.00 10 16.1 0.7 16.1 1.61 0.74 11 19.6 19.6 1.78 1.28

Figura 2: Gráfico da carga de cada grupo de medida de cada gota em funça˜ o do número associado ao grupo (com barras de incerteza). Para finalizar, calculou-se a média q0 de todos os q0n e o desvio padrão s(q0 ) e propagou-se as incertezas δq0n de modo a determinar a incerteza δq0 . Os valores obtidos foram q0 = 1.615 × 10−19 C, s(q0 ) = 0.074 × 10−19 C e δq0 = 0.269 × 10−19 C. Tomamos então que a carga elementar q0 obtida e´ de fato a carga e do elétron (lembrando que a carga do elétron e´ negativa, portanto e´ na verdade o inverso). Tomamos a incerteza δe da carga do elétron como o valor máximo entre s(q0 ) e δq0 . Dessa forma, determinamos a carga do elétron como e = −(1.6 ± 0.3) × 10−19 C

Conclus˜ao

O objetivo do experimento era determinar se a carga elétrica era quantizada (nesse caso, a carga elétrica das gotas de o´ leo) e, caso fosse, determinar o valor da carga elementar. Pode-se ver que, de fato, há quebras de continuidade nos valores de carga assumidos pelas gotas, como pode ser visto claramente no gráfico da imagem 3. A separaça˜ o entre os valores restritos de carga que uma gota pode ter só não e´ mais clara devido a erros experimentais, como o tempo de reaça˜ o associado com o manuseio do cronômetro, o erro do olho humano ao verificar a posiça˜ o da gota na tela do computador e o movimento browniano que se torna relevante, mas não dominante, nas dimensões de tamanho das gotas. Tomada a quantizaça˜ o como verdadeira, então determinou-se o valor da carga elementar como e = −(1.6±0.3)×10−19 C. Comparando com o valor hoje aceito da carga do elétron, ea = −1.6021766208(98)× 10−19 C [6] (os dois números entre parênteses representam a incerteza associada aos dois u´ ltimos algarismos), há concordância dentro da incerteza calculada. Além disso, a incerteza está relativamente pequena em relaça˜ o ao valor determinado, levando em conta as condiço˜ es de realizaça˜ o do experimento como limitaço˜ es do equipamento e número de medidas. O erro e´ de 18.75% (razão entre a incerteza e o próprio valor).

Apêndice: propagaço˜ es de incerteza Abaixo estão as expressões das propagaço˜ es de incerteza das variáveis calculadas no relatório. Todas elas baseiam-se no método das derivadas parciais.

Figura 3: Gráfico da carga de cada grupo de medida de cada gota em funça˜ o do número associado ao grupo (sem barras de incerteza).

Tempo de queda/subida médio Sejam tqi , i = 1, . . . , 5 os tempos de queda ou subida de uma gota e δti , i = 1, . . . , 5 as suas incertezas. O tempo de queda médio e´ dado por 5 1X ti tm = 5 i=1 A incerteza de tm e´ dada então por (δtm )2 =

2 5 X ∂tm ∂ti

i=1

(δti )2

Temos que 5 1 ∂tm 1 ∂ X tj = , = ∂ti 5 ∂ti j=1 5

Portanto δtm

j = 1, . . . , 5

v u 5 X 1u = t (δti )2 5 i=1

Velocidade de queda/subida A velocidade de queda ou subida e´ dada por v=

0.5mm t

Onde t e´ o tempo de queda ou subida. A incerteza associada e´ (δv)2 =

∂v ∂t

(δt)2

O que resulta em δv =

0.5mm δt t 15

Viscosidade Da equac¸a˜ o 15 temos que η = 0.004T + 1.74 Ent˜ao

(δη) =

∂η ∂T

(δT )2 = 0.0042 (δT )2

Portanto δη = 0.004δT Nas mesmas unidades citadas na An´alise.

Raio inicial Da express˜ao 8 sabemos que s ai =

9ηvq 2(ρ − ρ0 )g

A incerteza de ai e´ dada por (δai )2 =

∂ai ∂η

(δη)2 +

∂ai ∂vq

(δvq )2

Ou seja,

(δai ) =

ai 2η

(δη) +

ai 2vq

(δvq )2

Assim, a incerteza de ai e´ ai δai = 2

(δη)2 (δvq )2 + η2 vq2

Raio da iteraça˜ o Seja a a u´ ltima iteraça˜ o do raio e a0 a iteraça˜ o a ser calculada. A relaça˜ o entre eles e´ s 9ηvq 1 0 a = 2(ρ − ρ0 )g 1 + b/(pa) A incerteza de a0 e´

0 2

(δa ) = Portanto 0 2

(δa ) =

a0 2η

∂a0 ∂η

(δη) +

a0 2vq

∂a0 ∂vq

(δvq ) +

∂a0 ∂a

(δa)2

a0 b 2pa2 (1 + b/(pa))

(δa)2

Que resulta em a0 δa = 2

(δη)2 (δvq )2 b2 (δa)2 + + b η2 vq2 (pa2 (1 + pa ))2

Carga elétrica O módulo da carga elétrica, segundo a equaça˜ o 14, e´ dado por |q| =

4πa3 gd(ρ − ρ0 )(vq + vs ) 3vq V

Sua incerteza ser´a 2

(δ|q|) =

∂|q| ∂a

(δa) +

∂|q| ∂vs

(δvs ) + 16

∂|q| ∂vq

(δvq ) +

∂|q| ∂V

(δV )2

O que equivale a 2

(δ|q|) =

3|q| a

(δa) +

|q| vq + vs

(δvs ) +

vs |q| vq (vq + vs )

(δvq ) +

|q| V

(δV )2

E nos leva, finalmente, a s δ|q| = |q| 9

(δvs )2 v 2 (δvq )2 (δV )2 (δa)2 + + s2 + 2 2 2 a (vq + vs ) vq (vq + vs ) V2

Carga elétrica média Dado um conjunto de valores de cargas elétricas qi , i = 1, . . . , n, onde n e´ o número total de valores, a média e´ calculada como n 1X qm = qi n i=1 A propagaça˜ o das incertezas δqi e´ feita da seguinte forma 2

(δqm ) =

2 n X ∂qm ∂qi

i=1

(δqi )2

O que d´a, notando que ∂qm /∂qi = 1/n, δqm =

1 δqi n

Carga elementar a partir de um m´ultiplo Se temos, para algum n, q0 =

1 q n

Ent˜ao a incerteza de q0 e´ dada por 2 1 (δq0 ) = (δq)2 n 2

E, portanto, δq0 =

1 δq n

Referˆencias [1] J. J. Thomson, Wikipedia. Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/J._J._Thomson>. [2] Oil drop experiment, Wikipedia. Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Oil_drop_ experiment>. [3] Stokes’ law, Wikipedia. Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_law>. [4] Cunningham correction factor, Wikipedia. Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/ Cunningham_correction_factor>. [5] Millikan Oil Drop Apparatus AP-8210A – Instruction Manual 012-13093C, Pasco. [6] Electron, Wikipedia. Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Electron>.