Transformações Adiabáticas

F´ısica Experimental II Transforma¸c˜oes Adiab´aticas Vin´ıcius Bernardes da Silva 232960 29 de junho de 2015 Resumo Um experimento utilizando transforma¸co ˜es adiab´ aticas foi realizado para determinar a constante γ do ar (raz˜ ao entre calor espec´ıfico a press˜ ao constante e calor espec´ıfico a volume constante).

Mantendo-se uma quantidade de ar isolada isotermicamente do ambiente, aplicou-se uma certa press˜ ao e colocou-se o ar em contato com o ambiente suficientemente r´ apido para que n˜ ao houvesse troca de calor. Conhecendo-se a press˜ ao assumida ap´ os o processo, determinou-se γ.

O resultado obtido foi γ = 1.58 ± 0.08.

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Introdu¸ c˜ ao

Para determinar o coeficiente γ do ar, foi realizada uma experiˆencia de varia¸c˜ao de press˜ao do ar num processo adiab´ atico. Sabendo-se que em um processo adiab´atico o produto pV γ mant´emse constante (onde p ´e a press˜ ao do g´ as e V ´e o volume), e conhecendo a lei dos gases ideais – pV = nRT , onde n ´e o n´ umero de mols e R ´e a constante dos gases –, pode-se fazer a medida da press˜ ao atrav´es de um manˆ ometro em dois pontos do processo e, com esses valores, determinar γ.

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Materiais Utilizados • 1 botij˜ ao de g´ as (com ar) • 1 bomba de ar • 1 manˆ ometro simples (´ agua e vasos comunicantes) • 1 tubo flex´ıvel

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Procedimentos

Pressionando-se uma v´ alvula colocada na parte superior de um botij˜ao contendo ar, o ar do interior entrou em contato com o ar do exterior e, observando um manˆometro conectado ao botij˜ao por um cano flex´ıvel, garantiu-se que a press˜ ao interna era igual `a press˜ao atmosf´erica e o sistema estava em equil´ıbrio t´ermico com o ambiente. Em seguida, utilizou-se a bomba de ar para aumentar a press˜ ao interna do botij˜ ao. Antes de guardar a altura indicada no manˆometro, esperou-se essa altura baixar at´e que o sistema entrasse em equil´ıbrio t´ermico com o ambiente novamente.

Com a medida h1 do manˆ ometro j´ a conhecida, a v´alvula foi pressionada t˜ao rapidamente quanto o necess´ ario para que o interior ficasse `a press˜ao atmosf´erica, e ent˜ao foi fechada. Pelo contato do ar interior com o exterior acontecer durante um curt´ıssimo per´ıodo de tempo, pˆode-se assumir que o calor trocado entre o ar de dentro e o de fora tenha sido nula. Nesse caso, considerou-se o processo realizado adiab´ atico.

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Depois de certo tempo ap´ os o fechamento da v´alvula, o ar do interior voltou a entrar em equil´ıbrio com o ambiente e a medida de press˜ao no manˆometro subiu. Com a altura h2 marcada no manˆ ometro, a nova press˜ ao ficou conhecida.

Repetiu-se o mesmo procedimento quatro vezes, sempre lembrando-se de come¸car com a press˜ao interna igual ` a exterior.

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Dados experimentais

As medidas das alturas h1 e h2 para cada processo repetido est˜ao na Tabela 1 Processo 1 2 3 4

h1 (cm) 18.9 ± 0.1 17.2 ± 0.1 17.2 ± 0.1 16.0 ± 0.1

h2 (cm) 7.0 ± 0.1 6.9 ± 0.1 5.5 ± 0.1 6.0 ± 0.1

Tabela 1: Medidas de altura do manˆometro

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An´ alise dos Dados

Para descobrir γ, realizou-se um processo adiab´atico, onde o produto pV γ manteve-se constante.

Olhando para p e V nos instantes imediatamente anterior e posterior ao processo adiab´atico, podemos escrever p1 V1γ = p0 V2γ Onde p1 ´e a press˜ ao referente a h1 , p0 ´e a press˜ao atmosf´erica, V1 ´e volume do g´as comprimido e V2 ´e o volume que esse assume logo ap´ os o contato com a press˜ao atmosf´erica. Resolvendo para γ temos ln p0 /p1 γ= ln V1 /V2 Por´em esses volumes s˜ ao desconhecidos.

Assumindo que o ar seja um g´ as ideal, podemos utilizar a lei dos gases ideais, pela qual sabe-se que pV = nR = cte T p1 V1 p0 V2 Assim sabemos que = , onde T0 ´e a temperatura ambiente e T1 ´e a temperatura assumida T0 T1 pelo sistema logo ap´ os realizado o processo adiab´atico. Essas temperaturas s˜ao desconhecidas, mas podemos considerar que seu volume tenha-se mantido constante ap´os o sistema entrar em um novo equil´ıbrio t´ermico com ambiente e sua press˜ao subir para a press˜ao referente a h2 , p2 . Dessa forma, p1 V1 p2 V2 V1 p2 temos que = e, portanto = . Assim podemos escrever T0 T0 V2 p1 γ=

ln p0 /p1 ln p2 /p1

Usando a lei de Stevin, relacionamos as press˜oes e as alturas do manˆometro como p1 = p0 + ah1 e p2 = p0 + ah2 Onde a ´e o produto da densidade da ´agua e da acelera¸c˜ao gravitacional. Para a maior altura medida, p ≈ 101200Pa, tal que p0 ≈ 101000Pa e ah ≈ 200Pa. Sendo assim, podemos assumir que ah p0 para todas as alturas medidas. A partir disso e usando uma aproxima¸c˜ao do teorema binomial, podemos escrever p0 p0 a = ≈ 1 − h1 p1 p0 + ah1 p0 2

Assim como para p2 :

p2 p0 + ah2 a a = ≈ 1 + h2 1 − h1 p1 p0 + ah1 p0 p0 Finalmente, utilizando a aproxima¸c˜ao da expans˜ao logar´ıtmica ln(1 + x) ≈ x para x 1, escrevemos

a ln 1 − h1 h1 p0

γ= a a ≈ h1 − h2 ln 1 − h1 + ln 1 + h2 p0 p0 Calculando γ pela express˜ ao obtida γ = a m´edia, obt´em-se γ = 1.58 ± 0.08.

h1 chega-se aos valores da tabela 2. Fazendo-se h1 − h2

Processo 1 2 3 4 Valor m´edio

γ 1.59 ± 0.03 1.67 ± 0.04 1.47 ± 0.03 1.60 ± 0.04 1.58 ± 0.08

Tabela 2: Valores de γ calculados

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Conclus˜ ao

Para gases diatˆ omicos – como o ar, em boa parte de sua composi¸c˜ao (20%O2 , 80%N2 ) –, o valor te´ orico do calor espec´ıfico a volume constante respeita a rela¸c˜ao cv = 5R/2 e o calor espec´ıfico a press˜ ao constante ´e tido como cp = cv + R para qualquer g´as ideal. Portanto γ esperado para o ar seria γc = cp /cv = 7/5 = 1.4. Comparando com o resultado γ = 1.58±0.08 obtido no experimento, o erro ´e de 11.4%. A diferen¸ca ´e razoavelmente grande, por´em γc ´e calculado para os gases ideais e o erro associado possivelmente vem dessa aproxima¸c˜ao.

J´ a segundo Halliday, em Fundamentos da F´ısica, vol. 2 [1], o valor de cv do ar medido ´e 12.6J/mol · K e R = 8.31J/mol · K. Da´ı pode-se tirar que γm ≈ 1.66. Diante desse valor, o erro do γ = 1.58 ± 0.08 calculado diminui para 5%. Os valores aproximam-se por serem medidas associadas ao mesmo fluido, apesar de suas composi¸c˜oes exatas serem desconhecidas e os estados n˜ ao necessariamente serem os mesmos.

Al´em disso, h´ a a possibilidade do fato do γ obtido nesse experimento ter o valor um pouco menor do que γm ser devido ao fato das press˜oes p2 que o sistema assumia ap´os as transforma¸c˜oes adiab´ aticas serem mais altas do que o esperado, pois o processo n˜ao ocorreu perfeitamente sem troca de calor, e o ar do exterior pode ter conduzido calor para o ar interior devido `a temperatura T1 do sistema ser mais baixa do que a temperatura ambiente T0 naquele momento.

Referˆ encias [1] Fundamentos da F´ısica, vol. 2 – Gravita¸c˜ ao, Ondas e Termodinˆ amica, Halliday, Resnick & Walker, 9a ed., editora LTC.

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