Materi Barisan Bilangan

6-1 Apa yang akan kamu pelajari?  Pola bilangan ganjil dan genap.  Pola bilangan persegi, segitiga dan persegipanjang.  Pola bilangan pada Segitiga Pascal.

Kata Kunci: • • • • • • •

Pola Pola Bilangan Ganjil.

Pola Bilangan Genap.

Pola Bilangan Persegi.

Pola Bilangan Segitiga.

Pola Bilangan Persegipanjang.

Pola Bilangan Segitiga Pascal.

Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil Sebelum kita belajar lebih jauh, untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini.

Bahan : Satu lembar kertas.

1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas?

2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut.

Ada berapa banyak potongan kertas sekarang?

Catatlahlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah.

3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali.

Banyaknya Lipatan Kertas

1

Banyaknya Potongan Kertas yang terjadi 2

2

4

3

8

4

......

5

......

6

......

Matematika SMP Kelas IX / 111

Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini. a. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya! b. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu?

Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola.

2, 4, 8, ___, ___, ___, ... merupakan salah satu contoh pola bilangan. Tanda ___ isilah dengan bilangan-bilangan berikutnya dan tanda titik tiga (...) menunjukkan bahwa pola itu berlanjut untuk seterusnya. c. Dengan bahasamu sendiri, jelaskan arti dari pola itu?

Masalah 1 1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.

a. Gambarlah rangkaian keempat dan kelima. b. Berapakah banyaknya persegi yang diarsir pada rangkaian keempat dan kelima? c. Bayangkan rangkaian keenam. Jelaskan rancangan itu menurut kalimatmu.

Kamu dapat membentuk pola bilangan dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, . . .

1 merupakan suku pertama, 5 merupakan suku kedua, 9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya.

112 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturan yang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.

2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . .

Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya!

Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?

3. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut.

2 , 4 , 6,

+2

+2

+2

+2

2 , 4 ,

+2

6 ,

+2

8 , ____, ____ , ____

8, +2

10 , 12 , 14 +2

+2

Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14.

Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2.

Coba kamu menemukan cara lain (caramu sendiri) selain dengan cara di atas. Tuliskan aturanmu itu!

4. Perhatikan pola bilangan 1, 3, 9, 27, . . .

Berapakah bilangan pada ketiga suku berikutnya? Tulislah aturan untuk menyatakan pola bilangan itu .

Masalah 2 Pola Bilangan Ganjil 1. Perhatikan gambar noktah-noktah berikut.

a.

Apakah gambar di atas membentuk suatu pola?

Jelaskan!

Matematika SMP Kelas IX / 113

b.

Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatu bilangan yang ditunjukkan dengan banyaknya noktah dalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kalian dapat?

Jelaskan!

2. Perhatikan gambar persegi di samping. Apakah antara persegi yang berwarna merah (berwarna gelap) dengan yang berwarna hijau(berwarna terang) membentuk pola bilangan yang sama dengan pola pada Masalah 1? Jelaskan!

3. Selanjutnya, kita bandingkan jumlah bilangan-bilangan ganjil terhadap luas persegi berikut ini.

(i)

(ii)

(iv)

(iii)

(v)

Dari pola-pola di atas dapat kita buat tabel berikut ini.

Pola

Penjumlahan Bilangan Ganjil

Banyaknya Bilangan

Luas persegi

(i)

1

= 1

1

1×1=1

(ii)

1+3

= 4

2

2×2=4

(iii)

1+3+5

3

3×3=9

(iv)

1 + 3 + 5 + 7 = 16

4

4 × 4 = 16

(v)

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

5

5 × 5 = 25

= 9

Bagaimanakah hubungan antara hasil penjumlahan bilanganbilangan yang pertama dan terurut ganjil dengan luas persegi?

Dengan demikian, bagaimanakah bilangan ganjil yang pertama?

114 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

rumus

jumlah

dari

n

Masalah 3 Pola Bilangan Genap Perhatikan gambar berikut.

a. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatu bilangan yang ditunjukkan dengan banyaknya noktah. Pola bilangan apakah yang kamu dapat? Jelaskan. b. Apakah gambar di samping menunjukkan pola bilangan genap?Jelaskan! c. Buatlah tabel yang menyatakan hubungan antara hasil penjumlahan bilangan genap dengan luas persegipanjang, seperti penjelasan pada pola bilangan ganjil. c. Bagaimanakah hubungan antara hasil penjumlahan bilangan genap dengan luas persegipanjang?

Pola Bilangan Segitiga P

ernahkah kamu menjumpai “pemandu sorak (cheerleader)” melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak.

Piramida manusia tertinggi pernah dibuat pada tahun 1981 di Spanyol. Tingginya adalah 9 tingkat. Bagaimana cara mereka membuat piramida itu? Lakukan kegiatan berikut.

Matematika SMP Kelas IX / 115

Masalah 4 Diskusikan : 1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentuk yang tepat untuk menjelaskannya!

2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat, dan 3 tingkat?

3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda “ “pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu.

___________ ___________ Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjuk pada bilangan 1, 3, 5, ... . Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola bilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga.

4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian ...)

Tingkat

1

2

3

4

5

6

7

Banyaknya orang

1

3

6

....

....

....

....

5. Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat?

6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9?

7. Berpikir Kritis. Coba kalian tentukan banyaknya orang pada tingkat tertentu, tanpa harus mengetahui banyak orang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmu itu!

116 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Pola Bilangan Persegi

S

etiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.

Secara bergantian pesawat-pesawat terbang tinggal landas dan membentuk formasi-formasi tertentu.

Pada grup pertama, sebuah pesawat tinggal landas, kemudian grup kedua dengan tiga pesawat yang tinggal landas. Berikutnya grup ketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudian grup keempat dengan tujuh pesawat.

Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grupgrup sebelumnya belum mendarat?

Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut.

Masalah 5 Diskusikan : 1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?

Grup ke-

Banyaknya Pesawat Baru

Jumlah pesawat di angkasa

1

1

1

2

3

4

3

5

....

4

7

....

Matematika SMP Kelas IX / 117

2. Jika pola penerbangan di atas dilanjutkan, berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke6?

3. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?

4. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa?

5. Bilangan-bilangan pada kolom ke-3 pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat.

6.

Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat?

1=1×1

1+3=2×2 = 4

1+3+5=3×3 = 9

1+3+5+7=4×4 = 16

Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola bilangan persegi.

Pola Bilangan Persegi Panjang

D

i kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah.

Berikut rangkaian pot-pot tersebut.

Rangkaian 1

118 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Rangkaian 2

Rangkaian 3

Rangkaian 4

Masalah 6 1. Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola?

Tuliskan pola itu.

Karena bilangan 2, 6, 12 dan 20 berhubungan dengan bentuk persegipanjang, maka pola bilangan ini dinamakan pola bilangan persegipanjang.

2. Dapatkah kamu menunjukkan bilangan pada suku kelima?

Dari pola-pola di atas dapat dibuat tabel berikut.

Suku ke

Bilangan

Luas Persegipanjang

1

2

1 × (1 + 1) = 2

2

6

2 × (2 + 1) = 6

3

12

3 × (3 + 1) = 12

4

....

....

5

....

....

Apakah suku kelima sama dengan 30?

3. Dari soal nomor 1, Berapa banyak pot yang ada pada suku ke-n (rangkaian ke-n)?

Pola Bilangan Pada Segitiga Pascal

S

usunan bilangan berikut telah dikenal di Cina kira-kira tahun 1300. Susunan bilangan itu dinamakan Segitiga Pascal, setelah matematikawan Perancis, Blaise Pascal mempublikasikan pola ini pada tahun 1653.

Pola berikut ini merupakan pola bilangan segitiga Pascal itu.

1 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

6

1 3 6

10 15

1 1 4 10

...

1 5

...

1 ...

...

Matematika SMP Kelas IX / 119

...

...

...

...

...

...

...

...

Masalah 7 1. Perhatikan pola bilangan Segitiga Pascal di atas. Isilah titiktitik pada susunan bilangan itu.

2. Bagaimanakah aturan untuk mengisi titik-titik itu?

3. Jika susunan bilangan 1 merupakan baris ke-1, susunan bilangan-bilangan 1 1 merupakan baris ke-2, susunan bilangan-bilangan 1 2 1 merupakan baris ke-3, bilangan berapa saja pada baris ke-6?

4. Berapakah jumlah bilangan pada baris ke-6?

5. Buatlah tabel yang menyatakan hasil penjumlahan bilangan pada tiap baris segitiga Pascal.

Ingat !

a0 = 1,

Baris ke-

dengan a sebarang bilangan, yang tidak sama dengan 0.

Penjumlahan Bilangan

Hasil Penjumlahan

1

1

1 = 2 1-1 = 2 0

2

1+1

2 = 2 2-1 = 2 1

3

1+2+1

4 = 2 3-1 = 2 2

4

1+3+3+ 1

8 = 2 4-1 = 2 3

5

1+4+6+4+1

... = 2 .. = ...

6. Perhatikan dan amatilah suatu Segitiga Pascal.

Jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-1 adalah 1.

Jumlah bilangan pada baris ke-2 adalah 2.

Jumlah bilangan pada baris ke-3 adalah 4.

Jumlah bilangan pada baris ke-4 adalah 8.

Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga Pascal itu?

7. Tahukah Kamu? Salah satu kegunaan dari barisan bilangan Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koefisien-koefisien suku-suku hasil perpangkatan (a+b).

1 11 121 1331

(a+b) 1 = a + b (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

120 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Perhatikan (a+b) 3 di atas.

Koefisien dari a 3 adalah 1, koefisien dari a 2 b adalah 3, koefisien dari ab 2 adalah 3 dan koefisien dari b 3 adalah 1.

Sekarang perhatikan (a+b) 5 , kemudian carilah koefisien dari a 5 , koefisien dari a 4 b , koefisien dari a 3 b 2 , dan koefisien dari a 2 b 3 ?

1. a. Buatlah gambar ke-5 dan ke-6 dari pola di samping ini. b. Tentukan pola bilangan yang dapat dibuat berdasar gambar tersebut. c. Tulislah aturan untuk menjelaskan pola bilangan itu.

ke-1

ke-2

ke-3

ke-4

d. Apakah perbedaan aturan pola bilangan di atas dengan pola bilangan 1, 3, 5, 7, ...?

2. Buatlah tiga gambar berikutnya untuk pola di bawah ini

3. Tulislah 5 suku pertama dari pola bilangan`, jika aturannya adalah “dimulai dari 1 dan untuk suku berikutnya kalikan suku sebelumnya dengan 4”.

Matematika SMP Kelas IX / 121

4. Carilah ketiga suku berikutnya dan tulislah aturan dari masing-masing pola bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8, 10, . . .

f. 6, 18, 54, 162, . . .

b. 8, 16, 24, 32, . . .

g. 1, 5, 25, 125, . . .

c. 64, 32, 16, 8, . . .

h. 2, 12, 22, 32, . . .

d. 1, 7, 49, 343, . . .

i.

e. 13, 19, 25, 31, . . .

j. 120, 105, 90, 75, . . .

24, 21, 18, 15, . . .

5. Astronomi. Edmund Halley (1656-1742) adalah orang yang pertama kali melihat komet yang dinamakan Komet Halley pada tahun 1682. Ia dengan tepat memprediksi bahwa komet tersebut akan muncul setiap 76 tahun kemudian. a. Berdasar perhitungan Halley, tahun berapakah Komet Halley muncul di abad yang lalu? b. Kapan Komet halley diharapkan muncul kembali? c. Menulis. Apakah Edmund Halley dapat melihat komet tersebut untuk kedua kalinya? Jelaskan dalam tulisanmu.

6. Menulis. Mengapa menyebutkan awal dari pola bilangan merupakan hal penting dalam menjelaskan aturan pola bilangan? Berikan contoh.

7. Pengajuan Soal. Buatlah tiga gambar yang menunjukkan suatu pola!

Sebutkan aturan dari pola tersebut menggunakan bilangan atau kata-kata!

8. Rumah-rumah di sebelah kanan Jalan Ahmad Yani diberi nomor genap dari 2 sampai dengan 224. Berapa banyak rumah yang ada di sebelah kiri Jalan Ahmad Yani?

9. Attira menggambar sudut RST. Kemudian ia membuat sinar SW dalam sudut RST. R W P

S

T

a. Berapa banyak sudut yang terjadi? b. Attira menggambar sinar kedua SP yang tidak segaris dengan sinar SW dalam sudut RST. Berapa banyak sudut yang terjadi sekarang? c. Berapa banyaknya sudut yang terjadi setelah Attira menggambar sinar ketiga dan setelah menggambar sinar ke-8?

122 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

10. Pada himpunan bilangan bulat terdapat pasangan bilangan yang terbentuk dari bilangan yang sama, yang apabila dijumlahkan hasilnya sama dengan hasil kalinya, yaitu 2 dan 2. Bila dijumlah 2 + 2 = 4 , sedang bila dikalikan 2 × 2 = 4. Untuk bilangan bulat yang lain tidak ada yang memenuhi baik kedua bilangan itu sama maupun kedua bilangan itu berbeda. Bila pasangan bilangan itu terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, maka pasangan bilangan yang jumlahnya sama dengan hasil kalinya dapat ditentukan.

Perhatikan pola berikut.

2×2=2×1 +2

⇒

3×3=3×2 +3

⇒

4×4=4×3 +4

⇒

Tentukan 3 pasangan bilangan yang lain.

11. Selama 6 minggu, Thomas melakukan ujicoba mobil untuk persiapan relli.

Setiap minggu ia harus menempuh satu mil lebih jauh dari minggu sebelumnya. Thomas telah menempuh jarak sejauh 51 mil selama 6 minggu latihan. Berapa mil yang dia tempuh pada minggu ke-3, minggu ke-4, dan minggu ke-5?

12. Perhatikan gambar di bawah ini. Pola yang sederhana setiap baris diturunkan dari baris yang berada tepat di atasnya. Carilah aturannya, dan bila sudah kamu temukan buatlah tiga baris berikutnya.

13. Tentukan hasil dari (x + y) 5 , kemudian tentukan koefisien untuk : a. x 2 y 3 b. x 4 y

Matematika SMP Kelas IX / 123

6-2 Apa yang akan kamu pelajari?  Pengertian barisan bilangan, suku, dan suku ke-n.  Menentukan suku berikutnya dari suatu barisan.

 Menentukan suku ke-n dari suatu barisan .

K at a K u n c i: • • • •

Pengertian Barisan

P

ada setiap hari Senin pagi, sekolah-sekolah tingkat SD, SMP maupun SMA selalu mengadakan upacara bendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secara teratur membentuk barisan tersendiri.

Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacara bendera?

Barisan.

Suku ke-n.

Beda Rasio

Carilah lima temanmu yang mempunyai tinggi badan berbedabeda.

Bagaimana kamu mengatur kelima temanmu itu dalam satu barisan?

Masalah 1 Diskusikan: 1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama, kedua, ketiga, keempat dan kelima?

2. Mengapa urutannya kamu buat demikian?

3. Apakah aturan pengurutan tersebut?

4. Bila bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi dari kelima temanmu kamu urutkan maka akan membentuk barisan

124 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

bilangan. Bilangan-bilangan itu berkorespodensi satu-satu dengan kelima temanmu yang kamu susun menjadi satu barisan.

Tulislah urutan tinggi temanmu.

Tinggi : ____

, ____ ,

____ ,

____,

____

Nama : ..........., ............., ............, ............., ..............

5.

Apakah urutan bilangan-bilangan di atas membentuk pola?

Bila ya, apakah aturannya?

Ingatkah kamu bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Contohnya adalah barisan bilangan ganjil dan barisan bilangan genap.

6.

Bila kamu menjumpai lima temanmu (misalkan namanya diwakili oleh huruf-huruf A, B, C, D, dan E) yang tingginya masing-masing 125 cm, 130 cm, 140 cm, 100 cm dan 170 cm.

Apakah bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi kelima temanmu tadi membentuk suatu barisan bilangan? Jelaskan.

Tinggi : 125,

130,

140 ,

100,

170

Nama : ...A....., ...B...., .....C....., .....D......, .....E.......

Apakah tingginya membentuk pola?

Barisan bilangan yang dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak diurutkan dengan pola (aturan) tertentu disebut barisan bilangan sebarang.

Dalam pelajaran ini kita hanya akan mempelajari barisan-barisan yang mempunyai pola (aturan) tertentu, sedangkan untuk barisan bilangan sebarang tidak dipelajari.

Masih ingatkah pola bilangan genap yang dimulai dari 2?

Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, . . .

Barisan bilangan 2, 4, 6, 8, . . . dinamakan barisan bilangan genap.

Matematika SMP Kelas IX / 125

Suku ke-1 dari barisan bilangan genap itu adalah 2. Biasanya ditulis dengan lambang U 1 = 2.

Suku ke-2 dari barisan bilangan genap itu adalah 4. Biasanya ditulis dengan lambang U 2 = 4.

Suku ke-3 dari barisan bilangan genap itu adalah 6. Biasanya ditulis dengan lambang U 3 = 6, dan seterusnya.

Berapakah suku ke-5?

Untuk menemukan suku ke-5 dari barisan itu harus diketahui aturan urutan suku-suku pada barisan itu. Aturan pada barisan bilangan genap itu adalah dimulai dengan 2 dan suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya. Dengan demikian suku kelima adalah 10 atau U 5 = 10.

2

4 +2

6 +2

8 +2

10 +2

7. Perhatikan barisan 2, 5, 8, 11, . . .

Tulislah aturan untuk menjelaskan barisan bilangan di atas dan tentukan tiga suku berikutnya.

Barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu) dinamakan barisan aritmetika.

Bilangan yang tetap itu dinamakan beda. Barisan pada soal nomor 7 merupakan contoh barisan aritmetika dengan pembeda 3.

8. Carilah contoh-contoh barisan aritmetika yang lain!

9. Perhatikan barisan 35, 29, 23, 17, . . .

Untuk menentukan bilangan pada suku berikutnya, bilangan berapakah yang harus ditambahkan? Tulislah aturan barisan bilangan di atas dan tentukan tiga suku berikutnya. Apakah barisan itu barisan aritmetika?

Coba perhatikan kembali barisan pada soal 7 dan soal 9 di atas!

Bagaimana dengan bilangan-bilangannya apakah semakin naik atau turun?

Barisan aritmetika yang bilangan-bilangannya semakin besar nilainya disebut barisan aritmetika naik, sedangkan barisan

126 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

aritmetika yang bilangan-bilangannya disebut barisan aritmetika turun.

semakin

kecil

nilainya

Pembeda pada barisan aritmetika naik bernilai positif, bagaimana dengan pembeda pada barisan aritmetika turun?

10. Olahraga. Dalam Liga Sepak bola Nasional, putaran pertama diikuti oleh 128 tim. Putaran kedua oleh 64 tim, berikutnya 32 tim, 16 tim dan seterusnya. Tulislah aturan untuk menjelaskan barisan bilangan ini dan carilah tiga suku berikutnya.

Masalah 2 Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol dinamakan barisan geometri. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio).

Pada soal 10, barisan yang terbentuk merupakan barisan geometri dengan pembanding

1 2 .

1. Contoh lain barisan geometri adalah sebagai berikut. a. 1, 3, 9, 27, . . . b. 3, 6, 12, 24, . . . c. -4, 8, -16, 32, . ..

Carilah aturan dan pembanding dari barisan-barisan di atas.

2. Perhatikan barisan 1, 2, 6, 24, . . .

Apakah barisan itu barisan aritmetika, geometri atau bukan keduanya? Jelaskan.

3. Perhatikan barisan 1, 2, 4, 8, . . .

Untuk menentukan bilangan pada suku berikutnya, bilangan berapakah yang harus dikalikan? Tulislah aturan barisan bilangan di atas dan tentukan tiga suku berikutnya. Apakah barisan itu barisan geometri?

Coba perhatikan kembali barisan-barisan 128, 64, 32, 16, . . . dan 1, 2, 4, 8, . . .

Bagaimana dengan bilangan-bilangannya apakah semakin naik atau turun?

Barisan geometri yang suku-suku bilangan-bilangannya semakin besar nilainya disebut barisan geometri naik, sedangkan barisan Matematika SMP Kelas IX / 127

geometri yang bilangan-bilangannya semakin kecil nilainya disebut barisan geometri turun.

Pembanding pada barisan geometri turun bernilai antara 0 dan 1, sedangkan pembanding pada barisan geometri naik bernilai lebih dari 1.

Bagaimana bila pembanding dari barisan geometri bernilai negatif, apakah merupakan barisan geometri naik atau turun?

4.

Apakah barisan berikut merupakan barisan aritmetika, barisan geometri atau bukan keduanya? Jelaskan! a.

1, 3, 6, 10, . . .

b.

2, 3, 6, 11, . . .

c.

3, 6, 12, 24, . . .

1. Tulislah aturan setiap barisan aritmetika berikut dan carilah tiga suku berikutnya. a. 5, 10, 15, 20, ...

b. 3, 7, 11, 15, . . .

c. 34, 29, 24, 19, . . .

d. 25, 21, 17, 13, . . .

e. 63, 54, 45, 36, . . .

f. –8, -1, 6, 13, . . .

2. Seorang Pegawai menerima gaji pertama sebesar Rp 800.000,00. Setiap bulan gaji tersebut naik sebesar Rp 100.000,00 sampai setahun. Bila gaji yang diterima pegawai itu ditulis dalam bentuk barisan, barisan apakah itu?

Tulislah aturan untuk menjelaskan barisan itu.

3. Berpikir kritis. Apakah susunan 33, 33, 33, 33, .... merupakan barisan bilangan? Termasuk barisan aritmetika atau geometri? Tulislah aturan untuk menjelaskannya.

4. Tulislah aturan dari masing-masing barisan geometri berikut dan carilah tiga suku berikutnya. a. 1, 2, 4, 8, . . . b. 2, 6, 18, 54, . . . c. 600, 300, 150, 75, . . .

d.

1 1 1 1 , , , , ...

4 12 36 108

e. 0,1 , 0,3 , 0,9 , 2,7 , . . . f. 0,5 , 1,5 , 4,5 , . . .

5. Geometri. Gambarlah persegi dengan ukuran 16 × 16 pada buku petak kamu!

128 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

a. Carilah luas persegi tersebut! b. Hubungkan titik tengah–titik tengah sisi yang berdekatan pada persegi tersebut, sehingga terjadi persegi baru. Carilah luas persegi baru tersebut. c. Hubungkan titik tengah-titik tengah sisi yang berdekatan pada persegi baru tersebut, kemudian carilah luas persegi yang terjadi. d. Jika kegiatan tersebut berlanjut berapakah luas persegi yang ketujuh dibanding dengan luas persegi pertama?

6. Selidikilah apakah barisan berikut barisan aritmetika, barisan geometri, atau bukan keduanya. Carilah tiga suku berikutnya. a. 0,2 ; 0,4 ; 0,6; 0,8; . . . b. 2, 5, 10, 17, 26, . . . c. 1, 4, 9, 16, 25, . . . d. 7, 14, 28, 56, . . . e. 1, 2, 4, 7, 11, . . . f. 300, 60, 12, 2

2 ,...

5

Matematika SMP Kelas IX / 129

7.

Coba perhatikan pola bilangan yang ditunjukkan pada gambar di bawah. a. Tulis bilangan-bilangan pada baris ke4, 5, 6 dan 7. b. Carilah jumlah bilangan pada baris ke7. c. Tulislah aturan untuk menentukan jumlah bilangan pada setiap baris bilangan di samping.

Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3

1 1 2 1 1 2 3 2 1

d. Berapakah jumlah bilangan pada baris ke-20?

8.

Biologi. Lebah betina mempunyai dua induk, yaitu lebah betina dan lebah jantan. Lebah jantan mempunyai satu induk, lebah betina. a. Buatlah diagram pohon untuk menunjukan tujuh generasi leluhur dari lebah betina. Carilah banyaknya lebah leluhur pada setiap generasi. b. Banyaknya leluhur dari lebah betina tersebut membentuk barisan bilangan.

Tentukan jenis barisan yang terjadi, barisan aritmetika, barisan geometri atau bukan keduanya.

Menentukan Suku ke-n Barisan Bilangan Perhatikan barisan bilangan genap 2, 4, 6, 8, . . .

Berapakah suku ke-100? Tebaklah!

Apakah kalian akan mendaftar barisan bilangan itu sampai urutan ke-100? Tentu kurang praktis, bukan? Untuk itu pada pembahasan kali ini kita akan mempelajari cara menentukan suku ke-n, dengan n adalah bilangan asli sebarang. Dengan demikian untuk menentukan suku ke-100, kalian dapat mengganti n dengan 100.

Barisan bilangan genap di atas dapat dipetakan dengan barisan bilangan asli berikut.

130 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Bilangan Asli

1

2

3

4

5

6

Bilangan Genap

2

4

6

8

10

12

+2

+2

+2

+2

+2

...

... +2

Barisan bilangan genap itu dapat kamu tulis sebagai (2 × 1), (2 × 2), (2 × 3), (2 × 4), . . .

Bilangan 2 merupakan selisih (beda) dari barisan bilangan genap.

Atau ditulis dalam tabel berikut.

Bilangan Asli

Suku ke-

Bilangan Genap

1

1

2×1

2

2

2×2

3

3

2×3

4

4

2×4

5

5

2×5

...

...

....

n

n

....

1. Dari tabel di atas, Bilangan asli n dipasangkan dengan bilangan berapa?

Apakah berarti bahwa suku ke-n barisan bilangan genap adalah 2n atau ditulis U n = 2n? Jelaskan.

2. Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan barisan 4, 8, 12, 16, . . . menurut cara kamu sendiri.

3. Ternyata, Iin dalam menentukan suku ke-n barisan bilangan 4, 8, 12, 16, . . . dengan cara berikut.

4

8 +4

12 +4

16

...

+4 Matematika SMP Kelas IX / 131

U1 = 4 × 1 = 4 U2 = 4 × 2 = 8 U 3 = 4 × 3 = 12 U n = 4 × n = 4n Jadi suku ke-n = 4 × n = 4n atau Un = 4n.

Dari barisan pada soal 1 dan 2 di atas didapat hubungan : (i). Jika suatu barisan suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya ditambah 2, maka rumus suku ke-n memuat 2n. (ii). Jika suatu barisan suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya ditambah 4, maka rumus suku ke-n memuat 4n.

Dengan demikian, jika dalam suatu barisan suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya ditambah b, maka suku ke-n memuat bn. Sehingga rumus suku ke-n adalah

Un = b(n-1) + a

, dengan a bilangan tetap tertentu.

Pada barisan bilangan genap dan barisan pada soal 1, a = 0.

4. a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3, 7, 11, 15, . . . b. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 8, 3, -2, -7, . . . c. Tentukan suku ke-n untuk barisan 3, 6, 12, 24, ...

5. Irma dalam menentukan suku ke-n barisan 3, 6, 12, 24, ... menggunakan cara berikut.

3

6

× 23 U1 =

12 ×2

132 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

24 ×2

U 2 = 6 = U 1 × 2 atau U 2 = 3 × 2 U 3 = 12 = U 2 × 2 atau U 3 = (3 × 2) × 2 = 3×2×2 = 3 × 22 U 4 = 24 = U 3 × 2 atau U 4 = (3 × 2× 2) × 2 = 3×2×2×2 = 3 × 23 Tulislah dalam tabel.

Suku ke-Barisan U 1 3 = 3 × 2 0 = 3 × 2 1 - 1 U 2 6 = 3 × 2 1 = 3 × 2 2 1

U 3 12 = 3 × 2 2 = 3 × 2 3 - 1 U 4 24 = 3 × 2 3 = 3 × 2 4 - 1 ...... U n U n =

3 × 2n-1 Jadi suku ke-n dari barisan tersebut adalah U n = 3 × 2 n - 1 atau U n = 3.2 n - 1

6. Diketahui rumus suku ke-n dari barisan adalah : a. U n = 2n + 1 b. U n = 3.2 n c. U n = 2n(n + 1) Tulislah 4 suku pertama dari barisan itu dan sebutkan apakah barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, geometri atau bukan keduanya.

1. Tentukan rumus suku ke-n dari masing-masing barisan berikut.

Matematika SMP Kelas IX / 133

a. 4, 7, 10, 13, 16, . . . b. 80, 50, 20, -10, . . . c. 20, 12, 4, -4, . . . d. –60, -49, -38, -27, . . .

2. Tulislah 5 suku pertama dari barisan yang suku ke-n dinyatakan dalam rumus berikut. a. 5n + 8 3.

b. n 2 + 3

c. 2 n + 1

d. n(n +1)

Perhatikan pernyataan di bawah ini. Apakah masing-masing situasi menunjukkan barisan aritmetika, barisan geometri atau bukan keduanya? a. Temperatur udara di suatu daerah yang turun 0,5 derajat tiap jam. b. Banyaknya bakteri yang berkembang biak dengan membelah diri. c. Banyaknya susu yang diminum bayi tiap hari 2 kali. d. Lamanya waktu latihan seorang atlet setiap hari antara 30 sampai dengan 45 menit.

4. Budi memulai program latihan untuk lomba lari seminggu sebelum perlombaan dimulai. Ia mulai berlari 2 km untuk hari pertama dan meningkatkan jaraknya setengah km untuk hari berikutnya. Berapakah jarak yang ditempuh Budi sehari sebelum perlombaan dimulai?

5. Suatu barisan masing-masing mempunyai aturan seperti berikut. Tentukan jenis barisan tersebut ( barisan aritmetika, barisan geometri atau bukan keduanya) dan tentukan pula suku ke-n. a. Dimulai dari 42 dan untuk suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya dikalikan

1.

2

b. Dimulai dari 8 dan untuk suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya ditambah dengan 0,4. c. Dimulai dari 5 dan untuk suku berikutnya didapat dari suku sebelumnya dikalikan 3.

6. Berpikir Kritis.

Berapa buah diagonal dapat ditarik dalam suatu segiempat? Dari 1 titik sudut dapat ditarik 1 diagonal. Karena ada 4 titik sudut, maka ada 4 × 1 diagonal. Tetapi setiap diagonal dihitung dua kali.

Misalkan diagonal AC dapat dianggap diagonal dari titik sudut A dan

134 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

diagonal lain dari titik sudut C.

Jadi, dalam segiempat dapat dibuat

1 × 4 × 1 = 2 buah diagonal. Lihat gambar di bawah ini. Selidikilah 2 untuk suatu segilima dan carilah banyaknya diagonal untuk segi-n.

B D C

A C

A

B E

D

Matematika SMP Kelas IX / 135

6.3 Apa yang akan kamu pelajari?  Menentukan jumlah n suku pertama pada deret Aritmetika  Menentukan jumlah n suku pertama pada deret Geometri  Menggunakan sifatsifat deret aritmetika dan deret geometri.

Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiah berupa kartu bergambar kepada adiknya, yaitu Reni. Minggu pertama Dira memberi Reni 3 kartu bergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartu bergambar kepada Reni. Minggu ketiga Dira memberi 9 kartu bergambar pada Reni.

Kata Kunci: • • •

Beda Ratio Jumlah n suku

a. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-4? b. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang Ingat!

Menentukan harus diberikan Dira kepada adiknya pada suku ke-n minggu ke-5? pada barisan c. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang Aritmetika harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-n? d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 3 minggu? e. Bagaimanakah caramu menentukan hasil pada (d)? Jelaskan! f. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 4 minggu?

136 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

g. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)? Jelaskan! h. Nyatakan (f) dengan melibatkan (d). i. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 5 minggu? j. Bagaimanakah caramu menentukan (i)? Sebutkan! k. Nyatakan (j) dengan melibatkan (g). l. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama n minggu? m. Bagaimanakah caramu menentukan (l)? Sebutkan!

Deret Aritmetika dinyatakan dengan menjumlah suku-suku pada barisan Aritmetika.

Untuk menyatakan jumlah n suku yang pertama pada barisan Aritmetika digunakan simbol Sn Barisan Aritmetika a. 3, 8, 13, 18, 23, . . . b.

1 1 1 1 , ,0 ,− ,− , . . .

2 4 4 2

c. a 1, a2, a 3, a4, a 5, . . .

Deret Aritmetika …+ … + … + … + … …+ … + … + … + … …+ … + … + … + …

Masih ingat barisan aritmetika naik dan turun? Coba perhatikan barisan aritmetika pada contoh a dan b termasuk barisan aritmetika naik atau turun?

Bila suku-suku pada barisan aritmetika naik dijumlahkan maka akan terbentuk deret aritmetika naik, begitu pula bila suku-suku pada barisan aritmetika turun dijumlahkan maka akan terbentuk deret aritmetika turun.

Berpikir Kritis Bagaimanakah nilai dari deret aritmetika naik dan turun? Jelaskan!

Ditya mempunyai cara untuk mencari hubungan antara S n dan U n sebagai berikut.

U 1 = a1 = 3, U2 = a 1 + 3 = 6, U 3 = a 1 + 6 = 9 Urutan Matematika SSMP Kelas IX / penulisan 3 137 dibalik

S3 = 3 + 6 + 9 S3 = 9 + 6 + 3 + 2S3 = 12 + 12 + 12 = 3+9 + 3+9 + 3+9 = a 1+U 3 + a 1+U3+ a 1+U3 3( a1 + U 3 ) S3 = 2 U 4 = a 1 + 9 = 12 S4 = 3 + S4 = 12 +

6 9

+ +

9 6

+ +

12 3

2S4 = 15 + 15 + 15 + 15 = 3+12 + 3+12 + 3+12 + 3+12 = (a 1+U 4) +(a 1+U4) +(a 1+U4)+ (a 1+U 4) 4( a1 + U 4 ) S4 = 2

Sn = a1 Sn = Un

+

Urutan penulisan S4 dibalik

+ (a 1+ b) + (a 1+ 2b) + …+(U n– 2b) + (U n– b) + U n + (U n– b) + (U n– 2b)+… + (a 1+ 2b) + (a 1+ b) + a 1

+

2 S n =(a 1 +U n)+(a 1 +Un) +(a 1 +Un) + …+(a 1 +Un) + (a1 +U n) +(a 1+U n) = n (a 1+Un) Sehingga rumus jumlah n suku yang pertama pada deret Aritmetika adalah: Sn =

Masalah 1 Geometri

n( a1 + Un ) 2

Bangun 1 Bangun 2

138 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

Bangun 3

Dhani mempunyai mainan bongkar pasang dari bangun-bangun yang berbentuk segilima beraturan dengan panjang sisinya 1 cm. Susunlah segilimasegilima beraturan seperti pada gambar di samping, kemudian lengkapilah tabel berikut.

Banyak Bangun Keliling (cm) Segilima

beraturan 1 2 3 4 5 . . .

n

5 8 …. …. …. . . . ….

Suku ke (U n)

U1 U2 …. …. …. . . . ….

Jumlah keliling (jumlah keliling bangun 1 dengan bangun 2 dan seterusnya)

5 5 5 5 5

+ + + +

Jumlah n suku yang pertama (S n )

= ….

8 = ….

8+… = ….

8+…+… = ….

8 + … + … + … = ….

5 + 8 + … + … + ….= ….

S1 S2 S3 S4 S5

= …. = …. = …. = …. = ….

Sn = ….

Masalah 2 Diketahui deret Aritmetika sebagai berikut (r+15) + (r+8) + (r+1) + … a. Tentukan beda pada deret tersebut b. Tentukan suku ke-4, ke-5 dan ke-6 pada deret tersebut c. Hitung jumlah 6 suku pertama pada deret tersebut

Masalah 3 Masalah Perbankan Matematika SMP Kelas IX / 139

Pak Dwi mempunyai simpanan uang di suatu bank sebesar 650 juta rupiah. Ia mengambil simpanannya di bank tersebut dengan menggunakan cek setiap minggunya. Cek pertama dituliskan 20 juta rupiah, cek kedua 25 juta rupiah dan seterusnya. Setiap cek, 5 juta rupiah lebih besar dari cek sebelumnya. Dalam berapa minggu uang pak Dwi dapat terambil seluruhnya, jika tidak ada biaya administrasi bank.

Diskusikan Kalian telah mengenal barisan Geometri, coba jelaskan bagaimana perbedaan antara barisan geometri dan deret Geometri. Tuliskan pula contohnya.

Masalah 4 Pertumbuhan Tanaman Pada awal bulan pertama, sebuah tanaman tingginya bertambah 3 cm, pada awal bulan kedua tanaman tersebut tingginya bertambah

(3 + 3 × (0,5)) cm atau 4,5 cm. Pada awal bulan ketiga,

tingginya bertambah (4,5 + 4,5 × (0,5)) cm atau 2,25 cm. Pertambahan tinggi tanaman sesuai dengan pola pada pertambahan tinggi sebelumnya. a. Berapakah pertambahan tinggi tanaman tersebut dari awal hingga bulan kedua ? b. Berapakah pertambahan tinggi tanaman tersebut dari awal hingga bulan ketiga ? c. Berapakah pertambahan tinggi tanaman untuk bulan keempat ? d. Berapakah pertambahan tinggi tanaman tersebut dari awal hingga bulan keempat ? e. Berapakah pertambahan tinggi tanaman tersebut pada bulan ke-n?

140 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

f. Berapakah pertambahan tinggi tanaman tersebut dari awal hingga bulan ke-n? g. Buatlah tabel yang menggambarkan situasi di atas. Pada kolom pertama berisi tentang bulan ke, kolom kedua berisi tinggi tanaman. h. Buatlah grafik dari data di atas. Misalnya bulan diletakkan pada sumbu mendatar dan tinggi tanaman diletakkan pada sumbu tegak. Jelaskan grafik tersebut.

Ingat!

Ingat! n

UUn ==arar n, ,dengan dengan n a:a:suku pertama suku pertama r:r:ratio ratio

Untuk menentukan jumlah n suku yang pertama pada deret Geometri, kalian perlu mengingat suku ke-n pada deret Geometri.

Sn rSn

= a + ar + ar 2 + ar 3 + …+ arn-2 + ar n-1 = ar + ar 2 + ar 3 + …+ ar n-2 + arn-1 + ar n

S n - r Sn = a + 0 + 0 + Sn (1 - r ) =

0 + 0+ 0 + 0

− ar n

−

a − ar n

Sehingga diperoleh: S n=

a − ar n ( 1 −r )

n = a( 1 − r )

1 −r

Berpikir Kritis Syarat apa yang harus diberikan pada rumus di atas?

Masalah 5 Diketahui deret berikut.

3 + 6 + 12 + 24 + … a. Tentukan suku ke delapan pada deret tersebut! b. Tentukan jumlah delapan suku yang pertama pada deret tersebut!

Masalah 6 Biologi Matematika SMP Kelas IX / 141

Banyaknya bakteri berlipat ganda setiap 30 menit. Jika banyaknya bakteri adalah 150, hitung banyaknya bakteri yang akan tumbuh setelah 12 jam dan setelah 24 jam

Masalah 7 Harga Mobil Pak Abi membeli mobil baru seharga Rp 135.000.000,00. Ia memperkirakan harga jual mobil akan turun 18% dari harga beli untuk tiap tahunnya.

Tentukan harga jual mobil Pak Abi, jika ia merencanakan menjual mobil tersebut setelah memakai 5 tahun!

1. Tentukan jumlah 32 suku yang pertama dari deret 0,5 + 0,75 + 1 + …

2. Tentukan jumlah 11 suku yang pertama dari deret -3 – 1 + 1 + 3 + …

3. Tentukan jumlah 9 suku yang pertama dari deret 0,5 + 1 + 2 + …

4. Tentukan jumlah 7 suku yang pertama dari deret 1 1 1 + + +…

8 2 4

142 / Buku Siswa-Barisan dan Deret

5.

Berpikir Kritis Masih ingatkah pembanding pada barisan geometri naik dan turun?

Apakah rumus jumlah n suku yang pertama pada deret geometri naik dan turun sama? Bila berbeda coba tentukan rumus tersebut!

Bagaimanakah nilai dari deret geometri naik dan turun? Jelaskan

6.

Pada suatu barisan Aritmetika, diketahui suku pertamanya –4 dan suku ke empat adalah 5. a. Tentukan dua suku di antara –4 dan 5 pada barisan tersebut! b. Tentukan jumlah empat suku pertama pada barisan tersebut!

7.

Pada suatu barisan Geometri, diketahui suku pertamanya 136 dan suku keempat 459. a. Tentukan dua suku yang terletak di antara 136 dan 459 pada barisan tersebut! b. Tentukan jumlah empat suku yang pertama pada barisan tersebut!

8.

Geometri Ukuran sudut dari suatu poligon yang konveks, membentuk suatu barisan Aritmetika. Ukuran terkecil dalam barisan tersebut adalah 129° dan yang terbesar adalah 159°. Carilah banyaknya sisi poligon tersebut

9.

Teori Bilangan Carilah jumlah 100 bilangan genap positif yang pertama dan 100 bilangan ganjil yang pertama. Apakah jumlahnya sama? Jika tidak sama berapakah selisihnya? Jelaskan jawabanmu!

10. Berpikir Kritis a. Mungkinkah rasio pada barisan geometri bernilai 1 atau 0? Jelaskan pendapatmu! b. Jelaskan mengapa suku pertama pada barisan Geometri tidak boleh sama dengan nol?

Matematika SMP Kelas IX / 143