Φροντιστήριο Ορόσημο (Αθήνα) Βοήθημα μαθηματικών Α' λυκείου |

Α΄, Β΄ και Γ΄ Λυκείου

Μ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Θ Η Μ ΑΤ Ι Κ Α ΓΙΑ ΝΑ ΑΡΙΣΤΕΥΣΕΙΣ

Απαραίτητο και μοναδικό για Α΄, Β΄ και Γ΄ Λυκείου - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Θ Η Μ ΑΤ Ι Κ Α

ΓΙΑ ΝΑ ΑΡΙΣΤΕΥΣΕΙΣ

y z M Ε

Β Γ x΄

Α΄

(2)

(1)

(3)

Α΄,Β΄

Α x

( x + 3 )( x – 1) ( x – 4) 2

-¥

x 2

x2 + 3

(4)

-2

<0 2

+¥

2 (x-1)

Β΄

x2-4

–

y΄

–

Α΄,Β΄, Γ΄ Α΄,Γ΄

Β΄,Γ΄ y

-3π/2

-π

-π/2

π/2

3π/2 x

y = f(x) = εφx

Δοκιμάστηκε Σε 2.500!!! Μαθητές Με άριστα Αποτελέσματα

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Σ. Βουδούρης Γ. Φέτσης Μ. Χριστοφής

33 ΧΡΟΝΙΑ ΠΡΩΤΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

Á.1

Ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí Ôï óýíïëï ôùí öõóéêþí áñéèìþí åßíáé ôï = {0,1, 2,3,...} .

ÂáóéêÜ

To óýíïëï » ôùí áêåñáßùí áñéèìþí åßíáé ôï = {..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...} .

óýíïëá

Áí ðÜíù äåîéÜ ôïõ óõìâüëïõ ôïõ óõíüëïõ õðÜñ÷åé * óçìáßíåé üôé áðü ôï óýíïëï ôùí

áñéèìþí

áñéèìþí åîáéñåßôáé ôï 0 êáé ãñÜöïõìå ð.÷ * = {1, 2,3,...} .

Ó÷Ýóåéò êáé ðñÜîåéò óôï óýíïëï R

Ôï óýíïëï Q ôùí ñçôþí Þ óýììåôñùí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá üëïõò ôïõò áñéèìïýò ðïõ ìðïñïýí íá ãñáöïýí ìå ôçí ìïñöÞ

α , β üðïõ α ∈ êáé β ∈ *

×áñáêôçñéóôéêü ôùí Ñçôþí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé “ðåðåñáóìÝíïé” äåêáäéêïß Þ áðåéñïøÞöéïé áëëÜ ðåñéïäéêïß äåêáäéêïß áñéèìïß. ð.÷.

4 = 2, 2

1 = 0, 25, 4

1 = 0,333... 3

0, 3 κ.λ.π.

Ôï óýíïëï ¢ññçôùí Þ áóýììåôñùí áñéèìþí, äçëáäÞ ôùí áñéèìþí ðïõ äåí åßíáé ñçôïß. ×áñáêôçñéóôéêü ôùí ¢ññçôùí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé áðåéñïøÞöéïé ü÷é ðåñéïäéêïß áñéèìïß. ð.÷. 2 1, 41,

3 1, 73, π 3,14 ê.ë.ð.

Ôï óýíïëï R ðñáãìáôéêþí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò Üññçôïõò áñéèìïýò. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá åíüò Üîïíá, ôïõ Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.

Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “=” ôçò éóüôçôáò ùò åîÞò: α = β ⇔ α − β = 0 Ãéá ôçí éóüôçôá éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: i. α=α

ÁõôïðáèÞò Þ áíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá

ii.

α=β⇔β=α

iii.

α = β êáé β = γ τότε α = γ ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá

ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá

Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “ ≤ ” äéÜôáîçò Þ áíéóüôçôáò ùò åîÞò:

α ≤ β ⇔ α − β ≤ 0 (Áíôßóôïé÷á α ≥ β ⇔ α − β ≥ 0 ) Ãéá ôçí äéÜôáîç éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:

i. α ≤ α

ÁõôïðáèÞò Þ ÁíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá

ii. α ≤ β êáé β ≤ α τότε α = β

ÁíôéóõììåôñéêÞ éäéüôçôá

iii. α ≤ β êáé β ≤ γ τότε α ≤ γ ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá ÁíÜëïãá ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç: α < β ⇔ α − β < 0 , ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ìüíï ç ìåôáâáôéêÞ éäéüôçôá. Óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ïñßæïíôáé ïé ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý. Ç áöáßñåóç êáé ç äéáßñåóç ïñßæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý, ùò åîÞò:

α − β = α + ( −β ) êáé α : β =

α 1 = α⋅ , β ≠ 0 β β ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1

ÐÑÏÓÈÅÓÇ

ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÌÏÓ

H ðñþôç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝãåôáé áíôéìåôáèåôéêÞ áöïý ìáò å-

ÁíôéìåôáèåôéêÞ

ðéôñÝðåé íá áíôéìåôáèÝôïõìå ôïõò

α+β = β+α

α ⋅β = β ⋅ α

óåéñÜ ôïõò.

ÐñïóåôáéñéóôéêÞ α + (β + γ ) = ( α + β ) + γ

α ⋅ (β ⋅ γ ) = ( α ⋅ β ) ⋅ γ

ÅðéìåñéóôéêÞ

ÏõäÝôåñï óôïé÷åßï

Óõììåôñéêü óôïé÷åßï

α⋅

Ï –á ëÝãåôáé áíôßèåôïò ôïõ á

1 1 = 1= ⋅ α α α

1 ëÝãåôáé áíôßóôñïöïò α ôïõ á Ï

Êáíüíáò ôùí ðñïóÞìùí i. ( −1) α = −α

ii. ( −α ) β = −αβ

iv. − ( −α ) = α

v. − ( α + β ) = −α − β

iii. ( −α ) ( −β ) = αβ

Éäéüôçôá äéáãñáöÞò i. α = β ⇔ α + γ = β + γ

ii. α = β ⇔ αγ = βγ, γ ≠ 0

Ç i. åêöñÜæåé üôé: ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü. Ç éäéüôçôá ii. åêöñÜæåé üôé: ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü. 1. α ≤β ⇔ α+γ ≤β+γ 2.

α ≤ β ⇔ αγ ≤ βγ, γ > 0

α ≤ β ⇔ αγ ≥ βγ, γ < 0

ãåôáé ðñïóåôáéñéóôéêÞ áöïý åðéäçëáäÞ íá ðáßñíåé êïíôÜ ôïõ,åßôå ôï á åßôå ôï ã ÷ùñßò íá áëëÜæåé ôï áðïôÝëåóìá.

α ⋅1 = α = 1 ⋅ α Ôï 1 åßíáé ôï ïõäÝôåñï óôïé÷åßï ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïõ

α + ( −α ) = 0 = ( −α ) + 0

Ç äåýôåñç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝôñÝðåé óôï â íá ðñïóåôáéñßæåôáé,-

α ⋅ (β + γ ) = α ⋅ β + α ⋅ γ

α+0 = α = 0+α Ôï 0 åßíáé ôï ïõäÝôåñï óôïé÷åßï ôçò ðñüóèåóçò

üñïõò, äçëáäÞ íá áëëÜæïõìå ôç

Óôçí ðñÜîç, ëüãù ôçò ðñïóåôáéñéóôéêÞò éäéüôçôáò, ìðïñïýìå íá êáôáñãïýìå ôéò ðáñåíèÝóåéò.

α+(β+γ) =( α+β) +γ =α+β+γ êáé

α ⋅ (β ⋅ γ ) = ( α ⋅ β ) ⋅ γ = αβγ Ç ðñïóåôáéñéóôéêÞ éäéüôçôá ãåíéêåýåé ôçí ðñÜîç ãéá ðåñéóóüôåñïõò áðü äýï áñéèìïýò. Áí åéäéêÜ ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ßóïé ìåôáîý ôïõò, ôüôå ïñßæåôáé ôï ðïëëáðëÜóéï åíüò áñéèìïý á ùò åîÞò:

+ + ... + α , ν ∈ Ν * να = α α ν − φορές

êáé áíôßóôïé÷á ç äýíáìç

⋅ α ⋅ ... ⋅α, ν ∈ Ν* α ν = α ν − φορές

Áí ν = 1 ôüôå ïñßæåôáé: 1 ⋅ α = α êáé α1 = α .

Ç éäéüôçôá 1 åêöñÜæåé üôé: ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (áöáéñÝóïõìå) ôïí ßäéï áñéèìü. Ïé éäéüôçôåò 2 êáé 3 åêöñÜæïõí üôé: ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå ìå) ôïí ßäéï áñéèìü äéáôçñþíôáò ôç öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáéñÝóïõìå ìå èåôéêü êáé íá áëëÜîïõìå ôç öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå) ìå áñíçôéêü áñéèìü.

ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

i. α = β êáé γ = δ τότε α + γ = β + δ êáé ii. α = β êáé γ = δ τότε αγ = βδ

Ïé éäéüôçôåò i êáé ii åêöñÜæïõí üôé: ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå éóüôçôåò êáôÜ ìÝëç. iii. α ≤ β êáé γ ≤ δ τότε α + γ ≤ β + δ êáé iv. α ≤ β êáé γ ≤ δ τότε αγ ≤ βδ áí α,β, γ, δ > 0 Ïé éäéüôçôåò iii êáé v åêöñÜæïõí üôé: ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò áí Ý÷ïõí èåôéêïýò üñïõò. ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ éó÷ýïõí áíôßóôñïöá. ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ åðéôñÝðåôáé íá áöáéñïýìå Þ íá äéáéñïýìå áíéóüôçôåò êáôÜ ìÝëç. 5.

i. α ⋅ 0 = 0

Áíáëïãßåò

ii. αβ = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

• Áíáëïãßá êáëåßôáé ç éóüôçôá äýï ëüãùí êáé Ý÷åé ôç ìïñöÞ:¡

iii. αβ ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 6.

α γ αδ ± βγ , β, γ, δ ≠ 0 ± = β δ βδ

γ αγ ii. α ⋅ = , β δ βδ

Ïé áñéèìïß á, ä ëÝãïíôáé Üêñïé üñïé êáé ïé α γ α δ αδ , β, γ, δ ≠ 0 : = ⋅ = áñéèìïß â, ã ìÝóïé üñïé ôçò áíáëïãßáò. β δ β γ βγ Áí ç áíáëïãßá Ý÷åé ôç ìïñöÞ:

α β = β γ

i. Áí α > 0 êáé β > 0 τότε α + β > 0 ii. Áí α < 0 êáé β < 0 τότε α + β < 0

i. Áí á, â ïìüóçìïé

ii. Áí á, â åôåñüóçìïé

α γ = ìå β, δ ≠ 0 . β δ

i. α ± β = α ± β , γ γ γ

⇔ αβ > 0 êáé

10.

Ãéá êÜèå α ∈ R éó÷ýåé: α 2 ≥ 0

11.

Áí α,β > 0 êáé ν ∈ Ν * éó÷ýåé:

α <0 β

1 1 > α β

ii. Áí á, â åôåñüóçìïé, ôüôå: α < β ⇔

ii. α < β ⇔ α ν < β ν

α >0 β

⇔ αβ < 0 êáé

i. Áí á, â ïìüóçìïé, ôüôå: α < β ⇔

i. α = β ⇔ α ν = β ν

ôüôå ï â ëÝãåôáé ìÝóç áíÜëïãïò Þ ãåùìåôñéêüò ìÝóïò ôùí á, ã.

1 1 < α β

Éäéüôçôåò áíáëïãéþí

α γ = ⇔ αδ = βγ β δ

α γ α β δ γ δ β = ⇔ = ⇔ = ⇔ = β δ γ δ β α γ α

α±β γ ±δ α γ 3. β = δ ⇔ β = δ α±β γ ±δ α γ 4. β = δ ⇔ α ∓ β = γ ∓ δ α ν α1 + α 2 + ... + α ν α1 α 2 5. β = β = ... = β = β + β + ... + β 1 2 ν 1 2 ν ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Áí ï áñéèìüò ñ åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï

á åßíáé Üññçôïò, íá áðïäåßîåôå üôé ïé áñéèìïß ρ + α , ñá êáé

α , ρ ≠ 0 åßíáé Üññçôïé áñéèìïß. ρ

⇔ α −β ≥

α −β ⇔ αβ ( α − β ) ≥ α − β ⇔ αβ

⇔ αβ ( α − β ) − ( α − β ) ≥ 0 ⇔ ( α − β )( αβ − 1) ≥ 0

Ëýóç

¼ìùò áðü õðüèåóç α ≤ β ⇔ α − β ≤ 0 êáé

Áí ï áñéèìüò ρ + α åßíáé ñçôüò áñéèìüò,Ýóôù ï ñ’,

α < 1, β < 1 ïðüôå αβ < 1 ⇔ αβ − 1 < 0 .

ôüôå: ρ + α = ρ΄ ⇔ α = ρ΄ − ρ Üôïðï, áöïý ρ΄ − ρ åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï á Üññçôïò. Ïìïßùò, áí

ρα = ρ΄ ñçôüò áñéèìüò, ôüôå α =

ï áñéèìüò

ρ΄ Üôïðï áöïý ρ

α = ρ΄ ñçôüò áñéèìüò, ôüôå α = ρ ⋅ ρ΄ Üôïðï, ρ áöïý ρρ΄ = ρητός . Áí åßíáé 0 < α ≤ β < 1 íá áðïäåßîåôå üôé: α+

1 1 ≥ β+ α β

Áí ê, ë åßíáé áêÝñáéïé èåôéêïß áñéèìïß, ôüôå éó÷ýåé: á. x > 1 êáé κ > λ ôüôå x κ > x λ â. 0 < x < 1 êáé κ > λ ôüôå x κ < x λ

Ëýóç á. ÅðåéäÞ ê > ë, åßíáé κ = λ + ν , ìå í öõóéêü. Ôüôå: x λ + ν > x λ ⇔ x λ ⋅ x ν − x λ > 0 ⇔ x λ ( x ν − 1) > 0 ðïõ éó÷ýåé áöïý

x > 0 ⇔ xλ > 0 êáé

Ëýóç α+

ρ΄ åßíáé ñçôüò êáé ï á Üññçôïò. ÔÝëïò ρ

áí

¢ñá ( α − β )( αβ − 1) ≥ 0 .

x > 1 ⇔ x ν > 1 ⇔ x ν −1 > 0

â. Áðïäåéêíýåôáé üðùò ç (á).

1 1 1 1 ≥ β + ⇔ α −β ≥ − ⇔ α β β α

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 1.

á) Áí á,â èåôéêïß áêÝñáéïé áñéèìïß ìå á Üñôéï êáé â ðåñéôôü íá äåé÷èåß üôé: i) α + β ðåñéôôüò, ii) α ⋅ β Üñôéïò â) Áí á,â,ã äéáäï÷éêïß èåôéêïß áêÝñáéïé, íá äåé÷èåß üôé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò åßíáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3.

A 2. Áí x = 3 äåßîôå üôé x − 2y = 1 . y 3x − y 8 A 3. Aí

A 4.

Áí α < γ êáé 0 < β < δ íá äåé÷èåß üôé:

α−

A 5.

1 1 < γ− β δ

3 2 á) Áí x > 2 τότε x > 2x − x + 2

â) Áí x < 1 < y τότε xy + 1 < x + y

A 6.

¸óôù ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,â,ã ìå

α > β > 0 êáé γ > 0 .

β+δ γ δ+δ α β γ = = = äåßîôå üôé: α γ3 β γ δ 2

Íá äåßîåôå üôé:

α+γ α < β+γ β

äõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü

Á.2

ÄõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü ¸óôù á ðñáãìáôéêüò áñéèìüò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ìå ν ≥ 2 . Ôüôå ïñßæïõìå:

αν = α ⋅ α . . . α , ν ≥ 2 ν − παράγοντες

Ïñéóìüò

êáé ãéá ν = 1 : α1 = α Áí åðéðëÝïí α ≠ 0 , ôüôå ïñßæïõìå α0 = 1 êáé α − ν =

1 αν

Ðñïóï÷Þ: Áí α = β ôüôå ðÜíôá éó÷ýåé üôé êáé α ν = β ν . Ôï áíôßóôñïöï üìùò äåí éó÷ýåé áí á,â äåí åßíáé èåôéêïß áñéèìïß. Ð.÷. ( −3) = 32 åíþ −3 ≠ 3 . 2

Ìå ôïõò áíáãêáßïõò ðåñéïñéóìïýò éó÷ýïõí oé åðüìåíåò éäéüôçôåò: i)

α ν ⋅ αµ = α ν + µ

iii) ( α ν ) = α ν ⋅µ µ

Éäéüôçôåò

ii)

α ν : αµ = α ν −µ

iv)

α ν ⋅ β ν = ( αβ )

äõíÜìåùí

ν v) α =  α  vi) ν β β üðïõ í,ì áêÝñáéïé áñéèìïß

α   β

−ν

β =  α

ÐáñáôçñÞóåéò: Ïé éäéüôçôåò áõôÝò äåß÷íïõí ðùò êÜíïõìå ðïëëáðëëáóéáóìïýò êáé äéáéñÝóåéò ìå äõíÜìåéò êáé ðþò õøþíïõìå äýíáìç óå äýíáìç. ν

Áðü ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò α ðñïêýðôïõí Üìåóá ôá åîÞò: 0

Ïé áñíçôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 êáé ç äýíáìç 0 äåí Ý÷ïõí íüçìá 1960

Ïé èåôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 åßíáé ßóåò ìå ôï 0. ð.÷. 0

Ïé Üñôéåò äõíÜìåéò ôïõ α ≠ 0 åßíáé èåôéêïß áñéèìïß. ð.÷.

( −2 )

( −3)

−4

, 7

−4

åßíáé èåôéêïß áñéèìïß,áöïý ïé åêèÝôåò åßíáé Üñôéïé.

ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ ÁÊÅÑÁÉÏ ÁÑÉÈÌÏ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá åöáñìüóåôå ôéò éäéüôçôåò ôùí äõ-

íÜìåùí óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò (ôá áðïôåëÝóìáôá íá äïèïýí ìå èåôéêü åêèÝôç). i)

(α

−2

⋅ β −1 ⋅ γ 2 )

−2

λ−3 2λ−4 : κ 2 5κ 2

ii)

α −3 ⋅ β 2 ⋅ γ −4

(

−2

Aí κ = α β γ 3

)

−4

( α βγ ) λ= 4

êáé

−5

α 2 β 3 γ −2

íá âñåßôå ôçí ðáñÜóôáóç κ 3 : λ−2

Ëýóç 3

−4 −12 κ 3 = ( α3β −2 γ )  = ( α3β −2 γ ) = α −36 ⋅ β 24 γ −12  

Ëýóç i)

ii)

(α

)

−2 −1 2 −2

β γ

α −3 β 2 γ − 4

−2

 α12β3 γ −15   α10  α −20 λ =  2 3 −2  =  13  = −26 γ  αβγ  γ 

α 4 ⋅ β 2 ⋅ γ −4 = − 3 2 −4 = α 7 α β γ

−2

λ−3 2λ−4 λ−3 5κ 2 λ−3 ⋅ 5κ 2 5λ = ⋅ = 2 −4 = : 2 κ 2 5κ 2 κ 2 2λ−4 κ 2λ

α −36β 24 γ −12 γ −26 = α −16β 24 ⋅ γ −38 α −20

¢ñá κ 3 : λ−2 =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A7. Íá õðïëïãéóôïýí ïé áêÝñáéïé áñéèìïß:

x, y

x−2 i) ( −2 )   

100

iii) ( −1)

4x − 6

ìå x > 3, y > 2 áí éó÷ýåé: 2x −1 ⋅ 5y −1 = 20 .

A8.

Áí ν ∈ Ν (Öõóéêüò) íá äåé÷èåß üôé:

( −1)

A 9.

+ ( −1)

ν +1

+ ( −1)

ν+2

+ ( −1)

ν +3

5 ii) ( −1)   

A 12.

Íá ãñáöåß óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

2,5 ⋅ ( 52 ⋅ 2−6 ) ⋅ ( −0, 4 ) −1

Α=

( −8)

−1

A 10. Áí ÷,y áêÝñáéïé áñéèìïß, íá âñåèïýí ïé

A 13.

x+y

 αy  ⋅ ω  α 

y+ω

= −1

 αω  ⋅ x  α 

ω+ x

A14. Áí éó÷ýåé:

2x +10

1   = −αy α

3 5 y ( −1) + . 2 2

A 11. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áêÝñáéï ÷ þóôå íá

( −1)

Áí α ≠ 0, x, y áêÝñáéïé þóôå α x = αx êáé x = − y íá áðïäåé÷èåß üôé:

ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò

Κ = 2 ( −1) −

= −1 iv)

Aí α ∈ Ζ* êáé x, y, ω ∈ Ζ ôüôå íá áðïäåé÷èåß üôé:

 αx   y α 

−2

⋅ 0,1−1

x +1

α 2 + α + 1 = 0, α ≠ 0 ôüôå íá áðïäåé÷èåß üôé:

i) α3 = 1 ii) α 2007 + α −2007 = 2

ôáõôüôçôåò

Ôáõôüôçôåò

Á.3

ÈÅÙÑÉÁ

Ôáõôüôçôá åßíáé ìßá éóüôçôá ðïõ ðåñéÝ÷åé êÜðïéåò ìåôáâëçôÝò êáé éó÷ýåé ãéá ïðïéåóäÞðïôå ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí áõôþí. (Óå áíôßèåóç ìå ôçí åîßóùóç ðïõ éó÷ýåé ãéá ïñéóìÝíåò ìüíï ôéìÝò).

Ïñéóìüò

Óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíáöÝñïíôáé ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò.

(α + β)

= α 2 + 2αβ + β 2

(α − β)

= α 2 − 2αβ + β 2

( α + β )( α − β ) = α2 − β2 ( x + α )( x + β ) = x 2 + ( α + β ) x + αβ (α + β) (α − β)

= α 3 + 3α 2β + 3αβ 2 + β3

= α 3 − 3α 2β + 3αβ 2 − β 3

α 3 + β 3 = ( α + β ) ( α 2 − αβ + β 2 ) α 3 − β 3 = ( α − β ) ( α 2 + αβ + β 2 )

êáé ãåíéêÜ: α ν − β ν = ( α − β ) ( α ν −1 + α ν − 2β + ... + αβ ν − 2 + β ν −1 )

×ñÞóéìåò åßíáé óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò êáé ïé ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò: Ôáõôüôçôá ôïõ Euller

α3 + β3 + γ 3 − 3αβγ =

1 2 2 2 ( α + β + γ ) ( α − β ) + ( β − γ ) + ( γ − α )  2

ÅéäéêÜ: Áí α + β + γ = 0 Þ α = β = γ ⇔ α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Ôáõôüôçôá ôïõ Lagrange

(α

+ β 2 )( γ 2 + δ2 ) − ( αγ + βδ ) = ( αδ − βγ ) 2

üëåò ïé ôáõôüôçôåò áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ìå åêôÝëåóç ôùí ðñÜîåùí ðïõ óçìåéþíïíôáé.

ÔÁÕÔÏÔÇÔÅÓ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

ii) Oìïßùò åðåéäÞ Áí αβγ ≠ 0 êáé α + β + γ = αβγ ôüôå

α+β β+ γ γ+α + + + 3 = αβ + βγ + γα γ α β

Ëýóç

éó÷ýåé üôé:

( x − 2 ) + ( 3x − 4 ) + ( 6 − 4x ) = 3 ( x − 2 )( 3x − 4 )( 6 − 4x ) 3

¢ñá ç áñ÷éêÞ åîßóùóç åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí:

α+β β+ γ γ+α + + +3 = γ α β αβγ − γ αβγ − α αβγ − β = + + +3= γ α β = αβ − 1 + βγ − 1 + αγ − 1 + 3 = αβ + βγ + αγ

( x − 2 ) + ( 3x − 4 ) + ( 6 − 4x ) = 0

3 ( x − 2 )( 3x − 4 )( 6 − 4x ) = 0 ⇔

x − 2 = 0 ή 3x − 4 = 0 ή 6 − 4x = 0 x=2

i) Ná äåßîåôå üôé:

(α − β) + (β − γ ) + ( γ − α) = 3 ( α − β )( β − γ )( γ − α ) 3

Áí

4 3

(α + β + γ )

3 2

= α 2 + β 2 + γ 2 êáé

1 1 1 + + =0 α β γ

αβγ ≠ 0 ôüôå

ii) Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( x − 2)

+ ( 3x − 4 ) + ( 6 − 4x ) = 0 3

Ëýóç i) EðåéäÞ ( α − β ) + ( β − γ ) + ( γ − α ) = 0 óýìöùíá

Ëýóç Áðü ôç ãíùóôÞ ôáõôüôçôá

(α + β + γ)

= α 2 + β 2 + γ 2 + 2 ( αβ + βγ + αγ ) ,

ëüãù ôçò õðüèåóçò, ðñïêýðôåé üôé:

αβ + βγ + αγ = 0

ìå ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euller éó÷ýåé üôé:

( α − β ) + (β − γ ) + ( γ − α ) = 3 ( α − β )( β − γ )( γ − α ) 3

Ïðüôå äéáéñþíôáò ìå αβγ ≠ 0 Ý÷ïõìå:

1 1 1 + + =0 α β γ

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 15.

A 16.

Ná êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: i) ( 4x + 3α ) − ( 3x − 4α ) 2

ii) ( 3α + 2 ) − ( 3α − 2 ) 3

iv) ( − x + 1)( − x − 1) − x 2 + 5x

( x + y)

− ( x − y ) = 4xy 2

ii) α 2 + ( 2α + 5 ) − ( 2α + 3) = ( α + 4 ) 2

iii) ( 2 + 4x )( 2 − 4x ) − ( 4x − 1)

Ná áðïäåé÷ôïýí ïé ôáõôüôçôåò:

iii) ( α − β )( α + β ) − α 4 + β 4 = 2αβ ( α + β )( α − β ) 3

iv) ( α 2 + β 2 ) + 4αβ ( α 2 − β 2 ) = ( α 2 − β 2 + 2αβ ) 2

ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

Á.4

Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

ÄéÜöïñåò

ðáñáãïíôï-

Ðáñáãïíôïðïßçóç åßíáé ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ìåôáôñÝðïõìå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç óå ãéíüìåíï üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñùí ðáñáãüíôùí. Áõôü ãßíåôáé óõíÞèùò ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò, ôùí ãíùóôþí ôáõôïôÞôùí Þ êáé ìå óõíäõáóìü áõôþí.

ðïßçóçò

παραγοντοποίηση  → ( x + 1)( x − 1) x 2 − 1 ← 

ìïñöÝò

επιµεριστική

ð.÷. 2x − 4 = 2 ( x − 2 ) . ÊÜíáìå ðáñáãïíôïðïßçóç âãÜæïíôáò êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2.

ÐáñÜäåéãìá 1. Íá êÜíåôå ãéíüìåíá ôéò ðáñáóôÜóåéò 1ç ðåñßðôùóç: Êïéíüò ðáñÜãïíôáò (áðü üëïõò ôïõò üñïõò)

á. xy 3 − 3xy + 2x − 6xy 2

â. 2x 2 y − 6xyω + 8xy 2

Ëýóç: á. Ðáñáôçñïýìå üôé åìöáíßæåôáé óå üëïõò ôïõò üñïõò ôï x. Ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò Ý÷ïõìå: xy3 − 3xy + 2x − 6xy 2 = x ( y3 − 3y + 2 − 6y 2 )

â. ¼ëïé ïé üñïé ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2xy. Óõíåðþò:

2x 2 y − 6xyω + 8xy2 = 2xy ( x − 3ω + 4y ) 2ç ðåñßðôùóç:

ÐáñÜäåéãìá 2. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò á. xy − 3x + 2y − 6

Ïìáäïðïßçóç (Êïéíüò ðáñÜãïíôáò êáôÜ ïìÜäåò)

â. 3x 3 − x 2 y + 6x − 2y

Ëýóç á. Ç ðáñÜóôáóç ÷ùñßæåôáé óå ïìÜäåò ðïõ Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá.

xy − 3x + 2y − 6 = x ( y − 3) + 2 ( y − 3) = ( y − 3)( x + 2 ) 3 2 3 2 â. 3x − x y + 6x − 2y = ( 3x − x y ) + ( 6x − 2y ) =

= x 2 ( 3x − y ) + 2 ( 3x − y ) = ( x 2 + 2 ) ( 3x − y )

3ç ðåñßðôùóç:

3á. ÁíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ

×ñÞóç ôáõôïôÞôùí

( α + β ) = α 2 + 2αβ + β 2 2 ( α − β ) = α 2 − 2αβ + β 2 2

ÐáñÜäåéãìá 3á. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò i) 25x 2 − 20xy + 4y 2

ii) 9x 2 − 24xy + 16y 2

iii) 16x 2 + 40xy + 25y 2 ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4

25x 2 − 20xy + 4y 2 = ( 5x ) − 2 ⋅ 5x ⋅ 2y + ( 2y ) = ( 5x − 2y ) 2

ii) 9x 2 − 24xy + 16y 2 = ( 3x ) − 2 ⋅ 3x ⋅ 4y + ( 4y ) = ( 3x − 4y ) 2

iii) 16x 2 + 40xy + 25y 2 = ( 4x ) + 2 ⋅ 4x ⋅ 5y + ( 5y ) = ( 4x + 5y ) 2

2 2 3â. ÄéáöïñÜ ôåôñáãþíùí α − β = ( α + β )( α − β )

ÐáñÜäåéãìá 3â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò i) 25x 2 − 4y 2

ii) 16x 4 − y 8

Ëýóç i) 25x 2 − 4y 2 = ( 5x ) − ( 2y ) = ( 5x − 2y )( 5x + 2y ) 2

ii) 16x 4 − y8 = ( 4x 2 ) − ( y 4 ) = ( 4x 2 + y 4 )( 4x 2 − y 4 ) = 2

2 2 = ( 4x 2 + y 4 ) ( 2x ) − ( y 2 )  = ( 4x 2 + y 4 )( 2x + y 2 )( 2x − y 2 )  

3ã. ¢èñïéóìá - ÄéáöïñÜ êýâùí α 3 + β 3 = ( α + β ) ( α 2 − αβ + β 2 ) α 3 − β 3 = ( α − β ) ( α 2 + αβ + β 2 )

ÐáñÜäåéãìá 3ã. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò i) x 3 − 64

ii) 8x 3 + 27

Ëýóç i)

x 3 − 64 = x 3 − 43 = ( x − 4 ) ( x 2 + 4x + 42 ) = ( x − 4 ) ( x 2 + 4x + 16 )

ii) 8x 3 + 27 = ( 2x ) + 33 = ( 2x + 3) ( 2x 2 ) − 2x ⋅ 3 + 32  = ( 2x + 3) ( 4x 2 − 6x + 9 ) 3

2 3ä. Ôñéþíõìï 2 ïõ âáèìïý x + ( α + β ) x + αβ = ( x + α )( x + β )

Èá ãíùñßóïõìå, áñãüôåñá, Ýíá ôñüðï ðéï ãåíéêü üôáí èÝëïõìå íá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå Ýíá ôñéþíõìï 2 ïõ âáèìïý, äçëáäÞ ìßá ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò αx 2 + βx + γ, α ≠ 0 . Ðñïò ôï ðáñüí ðåñéïñéæüìáóôå óå ôñéþíõìá ôçò ìïñöÞò: x 2 + κx + λ , ïðüôå ìå ÷ñÞóç ôçò ôáõôüôçôáò: x 2 + ( α + β ) x + αβ = ( x + α )( x + β ) , áíáæçôïýìå äýï áñéèìïýò á,â ðïõ íá Ý÷ïõí Üèñïéóìá ê êáé ãéíüìåíï ë.

ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí

ÐáñÜäåéãìá 3ä. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá i) x 2 − 5x + 6

ii) x 2 + 4x + 3

iii) x 2 − x − 2

Ëýóç i) Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé −2, −3 áöïý ( −2 ) + ( −3) = −5 êáé ( −2 ) ⋅ ( −3) = 6 . ¢ñá x 2 − 5x + 6 = ( x − 2 )( x − 3) ii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 1, 3 áöïý 1 + 3 = 4 êáé 1 ⋅ 3 = 3 . ¢ñá: x 2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x + 3) iii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé −2,1 áöïý ( −2 ) + 1 = −1 êáé ( −2 ) ⋅1 = −2 . ¢ñá: x 2 − x − 2 = ( x − 2 )( x + 1) ÐáñÜäåéãìá 4. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò 4ç ðåñßðôùóç:

2 i) 2x − 18

ii) − x 2 + 2xy − y 2 + 9

iii) x − y + x 2 − 2xy + y 2

iv) x 9 − x 7 − x 5 + x 3

Óõíäõáóìüò Ëýóç ôùí ðáñáðÜíù

i) 2x 2 − 18 = 2 ( x 2 − 9 ) = 2 ( x 2 − 32 ) = 2 ( x − 3)( x + 3) ii) − x 2 + 2yx − y 2 + 9 = 9 − ( x 2 − 2xy + y 2 ) = 9 − ( x − y ) = 32 − ( x − y ) = 2

ðåñéðôþóåùí

= 3 − ( x − y )  3 + ( x − y )  = ( 3 + x − y ) ⋅ ( 3 − x + y )

iii) x − y + x 2 − 2xy + y2 = ( x − y ) + ( x − y ) = ( x − y ) 1 + ( x − y )  = ( x − y )(1 + x − y ) 2

iv) x 9 − x 7 − x 5 + x 3 = x 3 ( x 6 − x 4 − x 2 + 1) = x 3  x 4 ( x 2 − 1) − ( x 2 − 1)  =

= x 3 ( x 2 − 1)( x 4 − 1) = x 3 ( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 2 − 1) = = x 3 ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) 2

ÐáñÜäåéãìá 4â (ÓðÜóéìï Þ Ðñïóèáöáßñåóç üñïõ) Íá ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò i) x 2 + 2xy − 3y 2

ii) x4 + 5x2 + 9

Ëýóç i) ÓðÜìå ôï −3y 2 óå y 2 − 4y 2

x 2 + 2xy − 3y 2 = x 2 + 2xy + y 2 − 4y 2 = ( x + y ) − ( 2y ) = ( x + y + 2y )( x + y − 2y ) = 2

= ( x + 3y )( x − y )

ii) Ðñïóèáöáéñïýìå ôï x 2 ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4

x 4 + 5x 2 + 9 = x 4 + 5x 2 + 9 + x 2 − x 2 = x 4 + 6x 2 + 9 − x 2 = ( x 2 + 3) − x 2 = 2

= ( x 2 + 3 + x )( x 2 + 3 − x ) = ( x 2 + x + 3)( x 2 − x + 3)

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

ii) (13x 2 − 5y 2 ) − (12x 2 + 4y 2 ) 2

A 17. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò: i) 4x ( x − 2y ) − x + 2y ii) 5α βx + γy − γx − 5α βy 2

iii) 36x − 49y 2

4 2 2 2 2 2 iii) γ − (1 + α β ) γ + α β

iv) x 3 − 10x 2 + 9x

v) x 7 + 8x 4 − x 3 − 8

iv) 16x 4 − y 4

vi)

v) 25x 2 − 20x + 4

( x + 5)

+ ( x − 6 ) − 2 ( x − 6 ) ( x + 5) 4

A20. Ná ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðá-

vi) α 3β 3 − 27

ñáóôÜóåéò:

vii) ω2 − ω − 2 viii) y 2 + 6y − 40

i) α ( α − 3y ) + β ( x − α ) − x ( α − 3y )

ix) x 4 + x 2 y 2 + y 4

ii) αβ 2 − 2α 2 + 2β 3 − 4αβ

x) x 2 + 6xy + 8y 2

iii) 375x 3 − 3 iv)

A 18. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò: 2

ii) 5x + 10x − 15

(

iii) ( x + 5 ) ( x − 2 ) + 4 − x 2

) ( x + 5)

iv) x 5 + x 2 2

) (

)

vi) α3 − 1 − 2 α 2 − 1 − ( α − 1)

( x − y ) ( z + ω) − ( x − y ) ( z − ω) + 2 2 +z2 ( z − ω) − z2 ( z + ω) 2

ii) α 2β + αβ 2 + β 2 γ + βγ 2 + γ 2 α + γα 2 + 2αβγ iii) α 2β − αβ 2 + β 2 γ − βγ 2 + γ 2 α − γα 2

A19. Oìïßùò: i) λ2 − λ +

A 21. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò: i)

v) ( 2x + 1)( x − 1) − 9 ( 2x + 1)

(

vi) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )

( x + 2y ) − ( 2x − y )

v) x 3 − x 2 + xy + x − y − 1

i) y + 2x − x − 1 2

1 4

(

iv) x 2 y 2 + x 2 + y 2

) ( x + y)

êëÜóìá (ñçôÞ ðáñÜóôáóç)

ÊëÜóìá (ÑçôÞ ÐáñÜóôáóç)

Á.5

ÑçôÞ ðáñÜóôáóç

Α , Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ìüíïí üôáí ï Π ðáñïíïìáóôÞò åßíáé äéáöïñåôéêüò áðü ôï 0 . ( Π ≠ 0 )

¸íá êëÜóìá Κ =

ð.÷. ôï êëÜóìá

2x − 1 ïñßæåôáé ìüíïí üôáí x + 1 ≠ 0 äçë. x ≠ −1 . x +1

Ïé ôéìÝò ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé Ýíá êëÜóìá áðïôåëïýí ôï ðåäßï (óýíïëï) ïñéóìïý ôçò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò. ¼óïí áöïñÜ óôéò ðñÜîåéò êëáóìáôéêþí ðáñáóôÜóåùí éó÷ýåé üôé êáé óôéò ðñÜîåéò ôùí áñéèìçôéêþí êëáóìÜôùí. Ãéá íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá áöáéñÝóïõìå êëáóìáôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðñÝðåé íá ôéò ìåôáôñÝøïõìå Ýôóé þóôå íá Ý÷ïõí ôïí ßäéï ðáñïíïìáóôÞ (ïìþíõìåò). Áõôü ãßíåôáé áíáëýïíôáò ôïõò ðáñïíïìáóôÝò óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí.Ôüôå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí åßíáé ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ðáñáãüíôùí (êïéíþí êáé ìç êïéíþí), ï êáèÝíáò ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç ðïõ óçìåéþíåôáé.

ð.÷.

3 4 5 3 4 5 + + 2 = + − = 2x + 2 3x − 3 4x − 4 2 ( x + 1) 3 ( x − 1) 4 ( x + 1)( x − 1)

(Åäþ Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí åßíáé 12 ( x + 1)( x − 1) )

18 ( x − 1)

16 ( x + 1)

12 ( x + 1)( x − 1) 12 ( x + 1)( x − 1) 18 ( x − 1) + 16 ( x + 1) − 15 12 ( x + 1)( x − 1)

−

15 = 12 ( x + 1)( x − 1)

18x − 18 + 16x + 16 − 15 = 12 ( x + 1)( x − 1)

17 ( 2x − 1) 34x − 17 = 12 ( x + 1)( x − 1) 12 ( x + 1)( x − 1)

Ðñïóï÷Þ! Âñßóêïõìå ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò óôçí áñ÷éêÞ ôçò ìïñöÞ, äçëáäÞ ðñéí áðü ïðïéáäÞðïôå ðéèáíÞ áðëïðïßçóç.

2x − 2 , ðåäßï ïñéóìïý åßíáé ôï R − {−1,1} êáé ü÷é áõôü x2 −1 ðïõ “öáßíåôáé” íá åßíáé ìåôÜ ôçí áðëïðïßçóç ð.÷. ãéá ôï êëÜóìá

2 ( x − 1) 2x − 2 2 , äçë. ôï R − {−1} . = = 2 − + x 1 x 1 x x −1 ( )( ) + 1 ÊËÁÓÌÁ (ÑÇÔÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ)

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ïñßæåôáé ç ðáñÜóôáóç 2x x2 + 1 A= + x + 1 x ( x − 2)

Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò

2 i)

x 2 + 6x + 9 x 2 + 3x

ii)

ω 2 − 8ω + 16 ω 2 − 16

Ëýóç 2 i) x + 6x + 9 = ( x + 3) = x + 3 x ( x + 3) x x 2 + 3x 2

Ëýóç H ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý üôáí

x + 1 ≠ 0 êáé x ( x − 2 ) ≠ 0 ⇔ x + 1 ≠ 0 êáé x ≠ 0 êáé x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 êáé x ≠ 0 êáé x ≠ 2 .

2 (ω − 4) ω−4 ii) ω − 8ω + 16 = = 2 ω − 16 ( ω − 4 )( ω + 4 ) ω + 4 2

¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á ïñßæåôáé ãéá êÜèå

x ∈ R − {−1, 0, 2} Þ (ìå ÷ñÞóç äéáóôçìÜôùí) x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( −1, 0 ) ∪ ( 0, 2 ) ∪ ( 2, +∞ ) .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 24. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá A 22. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

α ( 5α - 9β ) + 2β ( α - 3β )

2β ( 4α - 5β ) - 3α ( 3β - α )

4x x 2y + + , 2 4x − 9y 3y − 2x 3y + 2x 3 x≠± y 2 2

x y + +2 iv) y x , x, y ≠ 0 και x ≠ − y 1 1 + x y

A 25. Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: A=

A 26. Α=

A 23. Ná ãßíïõí ïé ðñÜîåéò: i)

ii)

x2 + x x 2 + 5x + 6 ⋅ x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x x 2 − 36 x 2 + 6x : α 2 − αy α 2 − y 2

α3 β3 γ3 + + ( α - β )( α - γ ) (β - γ )(β - α ) ( γ - α )( γ - β )

α 2 - β 2 - 2βγ β 2 - γ 2 - 2αγ γ 2 - α 2 - 2αβ + + =0 α +β β+γ α+γ

A 27. Α=

Áí α + β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:

α4 β4 γ4 + 3 + 3 =0 3 3 β + γ - 3αβγ γ + α - 3αβγ α + β3 - 3αβγ 3

áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

Á.6

ÈÅÙÑÉÁ

Áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý Áí ÷ åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ óõìâïëßæåôáé ìå x êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:  x, αν x ≥ 0 x =  − x, αν x < 0

Ïñéóìüò

1 1 = , 0, 4 = 0, 4 ê.ë.ð. 2 2 Áðü ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ðñïêýðôåé áìÝóùò üôé:

ð.÷. 3 = 3, −

Áí x = 0 ôüôå x = 0 , åíþ áí x ≠ 0 ôüôå x > 0 äçëáäÞ x ≥ 0 ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü.

ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá

ÃåùìåôñéêÜ, ç áðüëõôç ôéìÞ åíüò áñéèìïý á ðáñéóôÜíåé ôçí áðüóôáóç ôçò åéêüíáò ôïõ ðïõ åßíáé óôïí Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí áðü ôï 0 ôïõ Üîïíá.

Áðüóôáóç äýï áñéèìþí óôïí Üîïíá x′x Åßíáé öáíåñü üôé ç áðüóôáóç äýï áñéèìþí ðÜíù óôïí Üîïíá x ′x åßíáé ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü ôïí ìåãáëýôåñï.

¸ôóé ð.÷. ç áðüóôáóç ôùí áñéèìþí 4 êáé -1 åßíáé ßóç ìå 4 − ( −1) = 5 . Ìå ôïí ßäéï ôñüðï âëÝðïõìå üôé ç áðüóôáóç d äýï ïðïéoíäÞðïôå áñéèìþí á,â ðÜíù óôïí Üîïíá åßíáé ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü ôïí ìåãáëýôåñï, äçëáäÞ åßíáé ßóç ìå á-â (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï á) Þ âá (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï â). Ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé: α − β, αν α ≥ β α − β, αν α − β ≥ 0 = d= β − α, αν α < β β − α, αν α − β < 0

ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 6

Ðáñáôçñïýìå üôé, óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò, ï ôýðïò áõôüò ðáßñíåé ôç ìïñöÞ:

d = α − β = απόσταση των αριθµών α,β

Éäéüôçôåò Ãéá ôçí áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ïé ðéï êÜôù éäéüôçôåò. 1)

−x = x , x ∈ R

x ⋅ y = x ⋅ y , x, y ∈ R . ÃåíéêÜ: x1 ⋅ x 2 ...x ν = x1 ⋅ x 2 ... x ν

x x = , x ∈ R, y ∈ R * y y

x − y ≤ x + y ≤ x + y (ÔñéãùíéêÞ áíéóüôçôá)

−x ≤x≤ x

x = x2

x κ = x , κ ∈ Ζ*

ÃåíéêÜ: x1 + x 2 + ... + x ν ≤ x1 + x 2 + ... + x ν 8)

x = θ, θ > 0 ⇔ x = −θ ή x = θ

x ≤ θ, θ > 0 ⇔ − θ ≤ x ≤ θ

10) x ≥ θ, θ > 0 ⇔ x ≤ −θ ή x ≥ θ

ÐáñáôçñÞóåéò i) EðåéäÞ α ≥ 0 êáé β ≥ 0 , óõìðåñáßíïõìå üôé ç ó÷Ýóç: α + β = 0 , åðáëçèåýåôáé üôáí êáé ìüíï üôáí α = 0 êáé β = 0 , äçëáäÞ éó÷ýåé: α + β = 0 ⇔ α = 0 êáé β = 0 . Áõôü öõóéêÜ óçìáßíåé üôé ç ðáñÜóôáóç α + β åßíáé äéáöïñåôéêÞ áðü ôï ìçäÝí üôáí êáé ìüíï üôáí ïé á êáé â äåí åßíáé ôáõôü÷ñïíá ßóïé ìå ôï ìçäÝí. ii) Ãéá ôçí ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá éó÷ýåé: x + y = x + y üôáí ïé áñéèìïß x,y åßíáé ïìüóçìïé, êáé x − y = x + y üôáí ïé áñéèìïß åßíáé åôåñüóçìïé. iii) Oé ó÷Ýóåéò x = θ êáé x ≤ θ ìå θ < 0 åßíáé áäýíáôåò, åíþ ç x ≥ θ éó÷ýåé ãéá êÜèå

x∈R .

áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá áðïäåßîåôå ôçí éóïäõíáìßá:

A = −1 + x + x − 1 = 2x − 2

α +α = α− α ⇔ α = 0

 0 , αν x ≤ 1 ¢ñá A =  2x − 2, αν x > 1

Ëýóç α + α = α − ( −α ) åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α

áðü ôï -á α − α = α − α åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α áðü

ôï á. ¢ñá ç éóüôçôá α + α = α − α óçìáßíåé üôé ï

α éóáðÝ÷åé áðü ôï -á êáé ôï á, äçëáäÞ âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôçò áðüóôáóçò d ( −α, α ) êáé óõíåðþò α = 0 ⇔ α = 0 .

1 ôüôå 2x − 1 = 2x − 1 2 êáé B = 2x − 1 + 3x − 1 = 5x − 2

ii) Aí 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1 ôüôå 2x − 1 = −2x + 1 2 êáé B = −2x + 1 + 3x − 1 = x Áí 2x − 1 < 0 ⇔ x <

1  5x − 2, αν x ≥ 2 ¢ñá B =   x , αν x < 1  2

3 2

Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ôéò ðáñáóôÜóåéò:

Áí

α+4 = 2 äåßîôå üôé α = 2 α+1

Ëýóç

i) A = 1 − x + x − 1 ii) B = 2x − 1 + 3x − 1

α+4 α+4 =2⇔ = 2 ⇔ α + 4 = 2 α +1 α +1 α +1

Ëýóç

α + 4 = 2 ( α + 1) Þ α + 4 = −2 ( α + 1) ⇔

i) Aí 1 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ôüôå 1 − x = 1 − x êáé

A = 1− x + x −1 = 0 Áí 1 − x < 0 ⇔ x > 1 ôüôå 1 − x = −1 + x êáé

α + 4 = 2α + 2

Þ α + 4 = −2α − 2

⇔

α = 2 ή α = −2 ⇔ α = 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 28.

Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

i) A = x + ii) B =

A 29.

1− x − 4 , áí −1 ≤ x ≤ 0 x + 2 − x −3

x2 + 2 x 2− x + 2 x2 − 4 x −4 x +4

Íá åîåôÜóåôå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ïñßæåôáé êÜèå ðáñÜóôáóç êáé íá ôç ãñÜ-

øåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò ôéìÞò. i) A =

x −1 x −1 −1

ii) B =

1 x −2 −3 x

A30. Áí d ( x,

2007 ) > 3 íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò

ôéìÝò ôïõ x. ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7

Ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

Á.7

¸óôù α ≥ 0 . ÏíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå ÔåôñáãùíéêÞ

ìç áñíçôéêü áñéèìü â, Ýôóé þóôå β = α .

ñßæá ÄçëáäÞ í-ïóôÞ ñßæá

α , ôïí

α = β ⇔ β 2 = α , α,β ≥ 0 α , α ≥ 0 ðáñéóôÜíåé ôç ìÞ áñíçôéêÞ ëýóç

Ìðïñïýìå åðïìÝíùò íá ðïýìå üôé ç ôçò åîßóùóçò x = α . Ãåíéêüôåñá: 2

Áí α ≥ 0 , ïíïìÜæïõìå íéïóôÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå

β ν = α , üðïõ í èåôéêüò áêÝñáéïò äçë.

α , ôïí ìç áñíçôéêü áñéèìü â þóôå

α = β ⇔ β ν = α , α,β ≥ 0 .

¼ðùò êáé ðñïçãïýìåíá, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç åîßóùóçò x ν = α . ÓõíÞèùò ãñÜöïõìå:

α = α,

α , α ≥ 0 ðáñéóôÜíåé ôç ìç áñíçôéêÞ ëýóç ôçò

α = α , ð.÷.

0 = 0,

4 = 2,

27 = 3 ê.ë.ð.

Óôçí Üëãåâñá äåí áíáöåñüìáóôå ìüíï óå ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò áñéèìþí áëëÜ êáé áëãåâñéêþí ðáñáóôÜx 2 − 2 , x − 2y + 5 ê.ë.ð. Óå êÜèå ðåñßðx −3 ôùóç, ãéá íá Ý÷åé íüçìá ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá, ðñÝðåé ç ðáñÜóôáóç ðïõ âñßóêåôáé ìÝóá óôï ñéæéêü (äçëáäÞ ç õðüññéæç ðïóüôçôá) íá åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç áðü ôï ìçäÝí.

x +1 ,

óåùí. ÔÝôïéåò ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò åßíáé ð.÷. ïé:

Éäéüôçôåò 1. Áí α ≥ 0 êáé ν ∈ Ν* ôüôå 2.

(ν α)

α 2 = α , α ∈ R . Ãåíéêüôåñá:

3. Áí α,β ≥ 0 êáé ν ∈ Ν* ôüôå

2ν

= α êáé

αν = α .

α 2 ν = α , α ∈ R êáé

α ⋅β =

Áðü ôçí éäéüôçôá áõôÞ ðñïêýðôåé üôé:

α 2 ν +1 = α , α ≥ 0 .

ν α⋅ β .

α ν ⋅ β = α ⋅ ν β êáé

α κ = ( ν α ) , k ∈ N* . κ

α να = . β νβ

4. Áí α ≥ 0 , β > 0 êáé ν ∈ Ν* ôüôå:

5. Áí α ≥ 0 êáé í, ì, ê ∈ Ν* ôüôå:

α =

ν µ

2 ν +1

νµ

α êáé

νκ

αµκ = ν αµ .

ÄõíÜìåéò ìå ñçôü åêèÝôç µ µ Áí á > 0, ì åßíáé áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ïñßæïõìå: α ν = α ν

Áí á = 0 ôüôå ãéá ì, í èåôéêïýò áêÝñáéïõò ïñßæïõìå 0 ν = 0 .

ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

x2 x 2 + 4x + 4 , áí −2 < x < 0 i. Α = − x x+2 2 4 ii. B = 5 ( x − 2 ) − 3 4 ( x + 3 ) + 10 x 2 + 2x + 1 ,

1 3

x+2

x x+2 = − x x+2

Áðü õðüèåóç üìùò x < 0 ⇔ x = − x êáé

x > −2 ⇔ x + 2 > 0 ⇔ x + 2 = x + 2 −x x + 2 − = −1 − 1 = −2 x x+2 ii. B = 5 x − 2 − 3 x + 3 + 10 x + 1 Áðü õðüèåóç üìùò Ý÷ïõìå −1 < x < 2 . Üñá A =

( 3)

4 3 3

22 âñßóêïõìå:

Ëýóç x i. A = − x

3⋅ 3

4 3

ii. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï

áí −1 < x < 2

( x + 2 )2

4 3

2 ⋅ 3 22

22 2

iii. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï 2 + 1 ôüôå èá ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå óôïí ðáñáíïìáóôÞ ôçí ôáõôüôçôá ôçò äéáöïñÜò ôåôñáãþíùí. Âñßóêïõìå Ýôóé:

5 2 −1 5(

5 ( 2 + 1)

(

2 − 1) ⋅ ( 2 + 1)

2 + 1)

5 ( 2 + 1)

(

2 ) − 12 2

= .

= 5 ( 2 + 1)

Ìå x < 2 ⇔ x − 2 < 0 ⇔ x − 2 = − ( x − 2 ) Ìå x > −1 ôüôå:

x > −3 ⇔ x + 3 > 0 ⇔ x + 3 = x + 3

Ç ðáñÜóôáóç 2 + 1 , ðïõ åßíáé âïçèçôéêÞ óôçí ìåôáôñïðÞ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ êëÜóìáôïò, ï-

x > −1 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x + 1 = x + 1 ¢ñá B = −5 ( x − 2 ) − 3 ( x + 3) + 10 ( x + 1) = = −5x + 10 − 3x − 9 + 10x + 10 = 2x + 11

2 −1

íïìÜæåôáé óõæõãÞò ðáñÜóôáóç ôçò 2 − 1 . ÐáñáôçñÞóôå üôé ïé äýï óõæõãåßò ðáñáóôÜóåéò

2 + 1 êáé 2 − 1 äéáöÝñïõí ìüíï êáôÜ ôï åíäéÜìåóï ðñüóçìï.

á. Íá ìåôáôñÝøåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-

iv. Åäþ ç óõæçãÞò ðáñÜóôáóç ôïõ ðáñáíïìáóôÞ

óôÜóåéò óå éóïäýíáìåò ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:

åßíáé ç 3 − 2 . ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôïí áñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò

4 3

ii.

1 3

iii.

iv.

2 −1

−3 3+ 2

ìå

3 − 2 âñßóêïõìå:

â. Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç:

4 3

5 2 −1

−

−3

3+ 2

Ëýóç á.i. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï 3 âñßóêïõìå:

(

−3 ( 3 − 2 )

3 + 2)⋅( 3 − 2)

−3 ( 3 − 2 )

( 3) − ( 2 ) = −3 ( 3 − 2 ) 2

−3 ( 3 − 2 ) = 3− 2

ÑÉÆÅÓ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7

â. ×ñçóéìïðïéþíôáò ôá ðáñáðÜíù âñßóêïõìå:

4 3

−

2 −1

3+ 2

4 3 + 5 ( 2 + 1) − 3 ( 3 − 2 ) = 3 5 =8 2− 3+5 3 =

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 31.

Íá âñåßôå ðüôå ïñßæïíôáé ïé ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò êáé íá ôéò áðëïðïéÞóåôå: i.

3β , α,β > 0 2α

4α 2

ii)

4 3

3 3

16x − 7 x + 25x

ii.

4α 2β + 6 α 2β − 7α β

iii.

x 2 y − x 4y + 16x 2 y

32 2 3 8 2

x 3 y 2 4 y3 ⋅ ⋅ , x, y > 0 y x2 x3

iv)

x 4 − 2x 2 + 1

iv.

iii)

A 37. Ná õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç:

A 32. Íá áðïëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: i. A =

(2 −

ii. B =

(

2) + 2

3 − 2)

−2

(

2 − 2)

(

A = 18 + 27 ⋅ 3 + 3 + 3 ⋅ 3 − 3 + 3

3 + 2)

−2

A 33. Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜ-

A 38. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò: i) A = 2

( x + 3)

− 4 ( x + 2 ) + 3 x 2 − 4x + 4 , 4

áí x ≤ 2

óôáóçò:

x 2 − 2x + 1 − 2 6 x 6 , x ∈ R − {1} x −1

A = x 2 − 4xy + y 2 ãéá x = 3 + 2 êáé

ii) B =

y = 2− 3

A 39. Ná áðïäåßîåôå üôé:

A 34. i. Õðïëïãßóôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:

(2 + 3 5 )

êáé ( 2 − 3 5 ) ii. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç: 2

3 + 2 > 1+ 2

ii) Aí α > 0 ôüôå 2 α + 1 > α + 2 + α iii) Aí x, y > 0 ôüôå:

49 − 12 5 + 49 + 12 5

iv)

A 35. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

1 12 − 7 3 + 16 − 8 3 = 3 − 1 2

A 40. Ná ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá

i. 2 8 − 3 18 + 4 32 − 5 50 + 72 ii. 5

3 4 8 3 − 12 + 27 − 10 4 3 9 16

A 36. Íá ãñÜøåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ìå ôç âïÞèåéá ìéáò ìüíï ñßæáò:

x 2 + y2 x + y ≥ 2 2

óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ: i)

iv)

ii)

3 2

3 3 4

1 3 + 2 −1

iii)

2 2 2 −3 3

3−3 2

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

Á.8

1 ôïõ êýêëïõ êáé 360 áíôßóôïé÷á, ãùíßá 1ï ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå ôüîï 1ï.

Ïñßæïõìå ùò ôüîï 1ï (ìéáò ìïßñáò) ôï ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ôüîùí ãùíéþí

Ïñßæïõìå ôüîï 1 rad (åíüò áêôéíßïõ) ôï ôüîï ðïõ Ý÷åé ìÞêïò ßóï ìå ôçí áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Áíôßóôïé÷á ïñßæïõìå ãùíßá 1rad ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå ôüîï 1rad.

µ α = , üðïõ á: áêôßíéá, ì: ìïßñåò êáé π 3,14 π 180 (áëëÜ äåí ôï áíôéêáèéóôïýìå ðïôÝ).

Éó÷ýåé: Ç ó÷Ýóç ðïõ óõíäÝåé áêôßíéá êáé ìïßñåò

Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ åýêïëá ðñïêýðôåé üôé: α = ð.÷. Ýíá ôüîï 300 åßíáé α =

µ α π êáé µ = ⋅180 π 180

π 30 π π = áêôßíéá, åíþ Ýíá ôüîï áêôéíßùí åßíáé ßóï 4 180 6

π ìå µ = 4 ⋅180 = 45 ìïßñåò. π ¸óôù è ïîåßá ãùíßá ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ. Ïñßæïõìå: Ôñéãùíïìåôñéêïß

Çìßôïíï ôçò ãùíßáò è:

ηµθ =

áñéèìïß ïîåßáò ãùíßáò

β Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς = α Μήκος της υποτείνουσας

Óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò è:

συνθ =

γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς = α Μήκος της υποτείνουσας

ÅöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:

εφθ =

Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς β = γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς

ÓõíåöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:

σφθ =

γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς = β Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

Ãéá ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ìéáò ïîåßáò ãùíßáò (êáé ü÷é ìüíï) áðïäåéêíýåôáé üôé éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù âáóéêïß ôýðïé: á.

ηµ 2 θ = 1 − συν 2 θ ηµ 2θ + συν 2θ = 1 ⇔  2 2 συν θ = 1 − ηµ θ

â.

1  εφθ = σφθ εφθ ⋅ σφθ = 1 ⇔  σφθ = 1  εφθ

ã.

εφθ =

ηµθ συνθ êáé σφθ = συνθ ηµθ

ä. 1 + εφ 2θ =

1 1 êáé 1 + σφ 2 θ = 2 2 ηµ θ συν θ

Áðü ôïõò âáóéêïýò áõôïýò ôýðïõò (ôáõôüôçôåò) ðñïêýðôïõí åýêïëá ïé ðáñáêÜôù ôýðïé ðïõ åêöñÜæïõí ôï çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ìéáò ãùíßáò, óõíáñôÞóåé ôçò åöáðôïìÝíçò êáé ôçò óõíåöáðôïìÝíçò. i. ηµ 2θ =

εφ 2θ 1 + εφ θ

iii. ηµ 2 θ =

1 1 + σφ 2 θ

1 1 + εφ 2θ

ii. συν 2 θ =

iv. συν 2θ =

σφ 2θ 1 + σφ 2 θ

Áí óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ ìéá ïîåßá ãùíßá Â åßíáé 300 (ó÷. 1) ôüôå β = ñçìá γ =

ôñéêïß áñéèìïß ôùí 30ï, 45ï êáé 60ï

α 3 , åíþ áí Β = 450 (ó÷. 2) ôüôå 2

α 2 . Ïðüôå ìå ôç âïÞèåéá ôùí ïñéóìþí, õ2 ðïëïãßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùí 300, 450 êáé 600. Ôá áðïôåëÝóìáôá âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá: β=γ=

Ôñéãùíïìå-

α êáé áðü Ðõèáãüñåéï èåþ2

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

Ãåíßêåõóç ôçò Ýííïéáò ôïõ ôüîïõ (ãùíßáò)

êýêëïò

ìÝôñçóçò ôùí ôüîùí ôï óçìåßï Α (1, 0) . Óçìåßùóç: Ãéá ôïí ðñïóáíáôïëéóìü* ôïõ ôñéãùíïìåôñéêïý êý-

Ôñéãùíïìåôñéêüò

Ôñéãùíïìåôñéêü êýêëï ëÝìå ôïí ðñïóáíáôïëéóìÝíï* êýêëï ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ Ï ôùí áîüíùí, áêôßíá ßóç ìå ôç ìïíÜäá êáé áñ÷Þ

êëïõ, ùò èåôéêÞ öïñÜ ëáìâÜíåôáé ç áíôßèåôç ôçò êßíçóçò ôùí äåiêôþí ôïõ ñïëïãéïý.

åßíáé ï äñüìïò Ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï AΜ ðïõ äéáíýåé åðß ôïõ êýêëïõ êéíçôü, ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á êéíåßôáé êáôÜ ôç èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ öïñÜ êáé óôáìáôÜ óôï Ì (áöïý åíäå÷ïìÝíùò äéáãñÜøåé ðñïçãïýìåíá Ýíáí áñéèìü ðåñéóôñïöþí).

ˆ ÔñéãùíïìåôñéêÞ ãùíßá ΑΟΜ åßíáé ç åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï . AΜ (Üðåéñá) åðéëÝãïõìå óõíÞèùò ùò “åêðñüóùðï” ôçò åðßêåíôñçò ãùíßáò ôï Áðü üëá ôá ôüîá AΜ (÷ùñßò íá åßíáé áðáñáßôçôï) ôï ïðïßï êáëïýìå ðñùôåýïí ôüîï ìéêñüôåñï èåôéêü ôüîï AΜ Ý÷åé ìÝôñï á rad Þ ì ìïßñåò, ôüôå ôï ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ AΜ èá Ý÷åé Áí ôï ðñùôåýïí AΜ ôç ìïñöÞ: 2κπ + α óå áêôßíéá Þ 360 0 κ + µ 0 óå ìïßñåò , üðïõ κ ∈ Ζ .

êáé x ôï ÄçëáäÞ áí è rad (óõíçèßæåôáé ùò ìïíÜäá ôï áêôßíéï) ôï ìÝôñï ôïõ ðñùôåýïíôïò AΜ ôüôå: ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ AΜ

x = 2κπ + θ, κ ∈ Ζ Äýï ôüîá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï ôÝëïò äéáöÝñïõí êáôÜ 2êð.

ÅöáñìïãÞ: Íá âñåèïýí ôá ôüîá ðïõ ôåëåéþíïõí óôï i. Α (1, 0)

ii. Α' ( −1, 0)

iii. Β ( 0, 1)

iv. Β' ( 0, − 1)

Ëýóç i. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï 0, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ, κ ∈ Ζ . ii. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï ð, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ + π, κ ∈ Ζ . iii. Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:

π 3π 2κπ + , κ ∈ Ζ êáé 2κπ + , κ ∈ Ζ ãéá ôï iv. 2 2

* ¼ôáí ëÝìå ðñïóáíáôïëéóìÝíï åííïïýìå üôé Ý÷ïõìå êáèïñßóåé ìå ðïéÜ öïñÜ ìåôñÜìå ôéò ãùíßåò(Þ ôá ôüîá).

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

(áíôßóôïé÷á ãùíßá ΑΟΜ ˆ ) ìå ìÝôñï ¸óôù ôüîï AΜ è, üðïõ Μ ( x, y ) . Áí ∆ ( x, 0 ) ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí

x ' x , Γ ( 0, y ) ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí y ' y, E (1, τ ) ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò áêôßíáò ÏÌ ôÝìíåé ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïõ êýêëïõ óôï Α (1, 0) êáé Ζ ( σ, 1) ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò ÏÌ ôÝìíåé ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïí êýêëï óôï óçìåßï Β ( 0, 1) , ôüôå ïñßæïõìå:

ηµθ = y, συνθ = x, εφθ = τ και σφθ = σ (Ï ïñéóìüò áõôüò ãåíéêåýåôáé êáé ãéá ìç ïîåßåò ãùíßåò). Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ðñïêýðôïõí : ηµθ ≤ 1, συνθ ≤ 1, εφθ ∈ R, σφθ ∈ R

π êáé ç σφθ ãéá θ ≠ κπ . 2 Ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí óå ó÷Ýóç ìå ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï âñßóêåôáé ôï óçìåßï Ì, öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá. Ç εφθ ïñßæåôáé áí θ ≠ κπ +

Ìðïñïýìå ôþñá íá åðåêôåßíïõìå ôïí ðßíáêá ôùí ôñéã. áñéèìþí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôüîùí (ãùíéþí), ùò åîÞò: ω (µοίρες)

30ο

45ο

60o

90o

180o

270o

360o

ω (rad)

π 6

π 4

π 3

π 2

3π 2

2π

ηµω

1 2

2 2

3 2

−1

συνω

3 2

2 2

1 2

−1

εφω

3 3

−

σφω

−

3 3

−

Óå üðïéï ôåôñáãùíÜêé õðÜñ÷åé “–” óçìáßíåé üôé ï ôñéãùíïìåôñéêüò áñéèìüò äåí ïñßæåôáé.

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

¸óôù ôüîï è. Ôüîá ðïõ óõíäÝïíôáé ìå ôï è ìå áðëÞ ó÷Ýóç åßíáé ôá: Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôüîùí

π π 3π 3π − θ, + θ, π − θ, π + θ, − θ, + θ, 2π − θ, 2π + θ, 2κπ ± θ 2 2 2 2 Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò áõôþí ôùí ôüîùí åöáñìüæïõìå ôïí åîÞò ðñáêôéêü êáíüíá: −θ,

ðïõ

×ùñßæïõìå ôá ôüîá óå äýï êáôçãïñßåò.

óõíäÝïíôáé ìå áðëÞ ó÷Ýóç.

Êáôçãïñßá 1.

0 ± θ, π ± θ, 2π ± θ, 2κπ ± θ

Êáôçãïñßá 2.

π 3π ± θ, ±θ 2 2

ÁíáãùãÞ óôï 1ï ôåôáñôçìüñéï

Áí ôá ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 1 ôüôå ïé ôñéã. áñéèìïß äåí áëëÜæïõí. Áí ôá ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 2 ôüôå ôï çìßôïíï ãßíåôáé óõíçìßôïíï (êáé áíôßóôñïöá), ç åöáðôïìÝíç ãßíåôáé óõíåöáðôïìÝíç (êáé áíôßóôñïöá). ÔÝëïò ôï ðñüóçìï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï ëÞãåé ôï ôüîï. (âë. ðßíáêá óôçí ðñïçãïýìåíç óåëßäá).

¸óôù ð.÷. üôé Ý÷ïõìå ôï ηµ ( π − θ ) . ÅðåéäÞ ôï π − θ áíÞêåé óôçí 1ç Êáôçãïñßá ôï çìßôïíï èá ðáñáìåßíåé êáé ôï ðñüóçìï åßíáé èåôéêü, áöïý ôï çìßôïíï óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï, óôï ïðïßï ëÞãåé ôï ôüîï, åßíáé èåôéêü. (èåùñþíôáò ÷ùñßò âëÜâç üôé ç è åßíáé ïîåßá ãùíßá). ¸ôóé ηµ ( π − θ ) = ηµθ . Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:  3π   3π  π  συν  − θ  = − ηµθ, εφ ( π + θ ) = εφθ, σφ  + θ  = −εφθ, ηµ  + θ  = συνθ κ.λ.π.  2   2  2 

ÁíåîÜñôçôá áðü ôïí êáíüíá ðïõ áíáöÝñáìå, êáëü åßíáé íá ãíùñßæïõìå ôïõò ôýðïõò óôéò ðéï óõíçèéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò, üðùò:

Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðñïçãïýìåíùí ìðïñïýìå ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ íá ôïõò áíáãÜãïõìå óå ôñéãùíïìôñéêïýò áñéèìïýò ôüîïõ ôïõ ðñþôïõ ôåôáñôçìïñßïõ. ð.÷.

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

ηµ750 0 = ηµ ( 2 ⋅ 3600 + 300 ) = ηµ30 0 =

1 2

17π π π 2  17π   16π π   συν  − = συν  +  = συν  4π +  = συν =  = συν  4  4  4 4  4 4 2 13π π π 3  13π   12π π   εφ  − = −εφ  +  = −εφ  2π +  = −εφ = − κ.λ.π.  = −εφ 6 6 6 6 3  6   6 

Ôñéãùíïìå-

Ãéá ôï Üèñïéóìá α + β êáé ôç äéáöïñÜ α − β äýï ôüîùí éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù ôýðïé:

ôñéêïß

συν(α + β) = συνασυνβ - ηµαηµβ

συν(α - β) = συνασυνβ + ηµαηµβ

áñéèìïß

ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ

ηµ(α - β) = ηµασυνβ - συναηµβ

áèñïßóìáôïò êáé äéáöïñÜò äýï ôüîùí

εφ(α + β) =

εφα + εφβ 1 − εφαεφβ

εφ(α − β) =

εφα − εφβ 1 + εφαεφβ

σφ(α + β) =

σφασφβ − 1 σφα + σφβ

σφ(α − β) =

σφασφβ + 1 σφβ − σφα

ð.÷ εφ45 0 + εφ30 0 0 0 0 = 1. εφ75 = εφ ( 45 + 30 ) = 1 − εφ45 0 ⋅ εφ30 0

3 2 3 = 3 + 3 = (3 + 3) = 2 + 3 9−3 3 3− 3 1− 3

2. Éó÷ýåé ç ôáõôüôçôá: συν ( α + β ) συν ( α − β ) = συν 2 α − ηµ 2 β , ãéá ïðïéáäÞðïôå ôüîá (ãùíßåò) á êáé â, äéüôé: συν ( α + β ) συν ( α − β ) = ( συνα ⋅ συνβ − ηµα ⋅ ηµβ ) ⋅ ( συνα ⋅ συνβ + ηµα ⋅ ηµβ )

= συν 2 α ⋅ συν 2β − ηµ 2 α ⋅ ηµ 2β = συν 2 α (1 − ηµ 2β ) − (1 − συν 2 α ) ηµ 2β = = συν 2 α − συν 2 α ⋅ ηµ 2β − ηµ 2β + συν 2 α ⋅ ηµ 2β = συν 2 α − ηµ 2β

Ôñéãùíïìå-

Áðü ôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò, èÝôïíôáò β = α , ðñïêýðôïõí ïé ôýðïé:

ôñéêïß áñéèìïß

ηµ2α = 2ηµα ⋅ συνα συν2α = συν 2 α − ηµ 2 α = 2συν 2 α − 1 = 1 − 2ηµ 2 α

äéðëÜóéïõ ôüîïõ

Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí ηµα =

εφ2α =

2εφα σφ 2 α − 1 σφ2α = êáé 2σφα 1 − εφ 2 α

π 4 < α < π èá õðïëïãßóïõìå ôï ηµ2α . ìå 2 5

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

Åßíáé συν 2 α = 1 − ηµ 2 α , êáé åðåéäÞ óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï ôï óõíçìßôïíï åßíáé áñíçôéêü ðñïêýðôåé

συνα = − 1 − ηµ 2 α ⇔ συνα = − 1 −

16 3 =− 25 5

4 3 24 ¢ñá ηµ2α = 2ηµα ⋅ συνα = 2 ⋅  −  = − 5 5 25

Áðü ôï συν2α = 2συν 2 α − 1 = 1 − 2ηµ 2 α , åýêïëá áðïäåéêíýïíôáé ïé ôýðïé:

Ôýðïé áðïôåôñá-

ηµ 2 α =

ãùíéóìïý

1 − συν2α 2

συν 2 α =

Ôñéãùíïìå-

1 + συν2α 2

εφ 2 α =

1 − συν2α 1 + συν2α

σφ 2 α =

1 + συν2α 1 − συν2α

Åðßóçò éó÷ýïõí ïé ôýðïé:

ôñéêïß áñéèìïß

2εφ ηµα =

åíüò ôüîïõ óõíáñôÞóåé ôçò åöáðôïìÝ-

α 2

1 + εφ 2

2εφ α 2

α 2 συνα = 2 α 1 + εφ 2 1 − εφ 2

íçò ôïõ ìéóïý ôüîïõ

εφα =

σφα =

α 2

1 − εφ 2

α 2

1 − εφ 2

α 2

2εφ

α 2

ð.÷ i. Íá áðïäåé÷èåß üôé: ηµ 2 ii. Áí εφα =

π 3π + ηµ 2 = 1 êáé 8 8

1 íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç: ηµ2α + συν2α 2

Áðüäåéîç π 3π = i. ηµ + ηµ 2 8 8 2

π 3π π π 1 − συν 2 − συν + συν 4+ 4 = 4 4 =1 2 2 2

1 − συν

2εφα 1 − εφ 2 α 2εφα + 1 − εφ 2 α ii. ηµ2α + συν2α = + = = 1 + εφ 2 α 1 + εφ 2 α 1 + εφ 2 α

1 1 7 2 +1− 2 4= 4=7 1 5 5 1+ 4 4

ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

á. Íá áðïäåßîåôå üôé:

i. ηµ θ + συν θ = 1 − 2ηµ θ ⋅ συν θ 4

ii. ηµ 6 θ + συν 6 θ = 1 − 3ηµ 2 θ ⋅ συν 2 θ â. Íá âñåèåß ï λ ∈ R þóôå ç ðáñÜóôáóç

Α = ηµ 6 θ + συν 6 θ + λ ( ηµ 4 θ + συν 4 θ ) íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.

Áðüäåéîç á. i. ηµ 4 θ + συν 4 θ = ( ηµ 2 θ ) + ( συν 2 θ ) = 2

= ( ηµ 2 θ + συν 2 θ ) − 2ηµ 2 θ ⋅ συν 2 θ = 2

= 1 − 2ηµ 2 θσυν 2 θ ii. ηµ 6 θ + συν 6 θ = ( ηµ 2 θ ) + ( συν 2 θ ) =

= ( ηµ θ + συν θ ) − 3ηµ θ ⋅ 2

( ηµx + συνx ) ηµx ⋅ συνx

−2 =

ηµ 2 x + 2ηµx ⋅ συνx + συν 2 x − 2ηµx ⋅ συνx = ηµx ⋅ συνx 1 = ηµx ⋅ συνx =

2 ( )2 ii. 1 + συνx + ηµx = 1 + συνx + ηµ x = ηµx 1 + συνx ηµx (1 + συνx )

1 + 2συνx + συν 2 x + ηµ 2 x = ηµx (1 + συνx )

2 + 2συνx 2 (1 + συνx ) 2 = = ηµx (1 + συνx ) ηµx (1 + συνx ) ηµx

Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

συνx + ηµx ηµx + συνx ⋅ −2 = συνx ηµx

συν 2 θ ( ηµ 2 θ + συν 2 θ ) = 1 − 3ηµ 2 θσυν 2 θ â. Α = 1 − 3ηµ 2 θσυν 2 θ + λ (1 − 2ηµ 2 θ ⋅ συν 2 θ ) =

= λ + 1 − ( 2λ + 3) ηµ 2 θ ⋅ συν 2 θ ¢ñá ãéá íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ è ðñÝðåé

3 2λ + 3 = 0 ⇔ λ = − . 2

Íá áðïäåßîåôå üôé:

συνx  1  i. (1 + εφx )  1 +  − 2 = ηµxσυνx ηµx   ii.

ηµx 1 + συνx 2 + = ηµx 1 + συνx ηµx

Áðüäåéîç συνx  i. (1 + εφx ) 1 + −2 = ηµx   ηµx   συνx   = 1 + −2 =  1+ ηµx   συνx  

i. Α =

ηµ ( 180ο − x ) ⋅ συν ( 180ο + x ) ⋅ εφ ( − x ) ⋅ σφ ( 360ο − x )

συν ( 270ο − x ) ⋅ εφ ( 90ο + x ) ⋅ ηµ ( 810ο − x ) εφ ( 180ο + x )

 3π   7π  συν  + x  ⋅ εφ ( x − π ) ⋅ ηµ  − x 2 2     ii. Β =  9π  σφ  − x  ⋅ ηµ ( x − 4π ) ⋅ συν ( x − 3π )  2 

Ëýóç i. ηµ (180 ο − x ) = ηµx

συν ( 270 ο − x ) = −ηµx

ο συν (180 ο + x ) = −συνx εφ ( 90 + x ) = −σφx ηµ (810ο − x ) = συνx εφ ( − x ) = −εφx

σφ (360 ο − x ) = −σφx ¢ñá Α =

εφ (180 0 + x ) = εφx

ηµx ⋅ ( −συνx ) ( −εφx )( −σφx ) = −1 − ηµx ( −σφx ) ⋅ συνx ⋅ εφx

ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß

3π ii. συν  + x  = ηµx  2  ( ) εφ x − π = −εφ ( π − x ) = εφx

Áí 0 < α <

π êáé ηµα + 3συνα = 2 2

ôüôå íá äåé÷èåß üôé α =

 7π   4π 3π  ηµ  − x  = ηµ  + − x = 2  2   2  3π    3π  = ηµ  2π + − x  = ηµ  − x  = −συνx  2   2   9π   8π π  σφ  − x  = σφ  + − x  =  2   2 2  π   π  = σφ  4π + − x  = σφ  − x  = εφx 2   2  ηµ ( x − 4π ) = −ηµ ( 4π − x ) = = −ηµ ( 2π + 2π − x ) = −ηµ ( 2π − x ) = ηµx συν ( x − 3π ) = συν ( 3π − x ) = = συν ( 2π + π − x ) = συν ( π − x ) = −συνx

π . 6

Áðüäåéîç π ηµα + 3 ⋅ συνα = 2 ⇔ ηµα + εφ συνα = 2 ⇔ 3 π ηµ 3 συνα = 2 ⇔ ⇔ ηµα + π συν 3 π π π + ηµ συνα = 2συν ⇔ 3 3 3 π 1  ⇔ ηµ  α +  = 2 ⋅ ⇔ 3 2  ⇔ ηµα ⋅ συν

0< α <

2 π π π π  ⇔ ηµ  α +  = 1 ⇔ α + = ⇔ α = 3 3 2 6 

ηµx ⋅ εφx ( −συνx ) =1 ¢ñá Β = εφx ⋅ ηµx ( −συνx )

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A41. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç ðáñÜóôáóç: A = 2 ( ηµ 6 x + συν 6 x ) − 3 ( συν 4 x + ηµ 4 x ) Ý÷åé ìßá ôéìÞ áíåîÜñôçôç ôïõ ôüîïõ x. A42. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç: π  ηµ ( π + α ) συν  α −  εφ ( 7π + α )  2 A= 3π   συν ( 3π − α ) ηµ  + α  εφ ( 2π + α )  2 

A43.

Íá áðïäåé÷èåß üôé:

= (1 + ηµx ) (1 + συνx )

Íá áðïäåé÷èåß üôé: 2ηµ ( α + β ) = εφα + εφβ συν ( α + β ) + συν ( α − β )

ii) ηµx + ηµ (120° + x ) + ηµ ( 240° + x ) = 0 iii)

(

3 − εφα ) ⋅ εφ ( α + 30° ) =

= ( 3 + σφα ) ⋅ εφα

A45. i)

i) ( ηµx + εφx )( συνx + σφx ) =

Íá áðïäåé÷èåß üôé: ηµ2α 1 − συνα α ⋅ = εφ 1 − συν2α συνα 2

ii) ηµ 4

ii) ( εφx + 2 )( 2εφx + 1) = 5εφx +

2 συν 2 x

συν x − ηµ y ηµ 2 x ⋅ ηµ 2 y 2

iii) σφ 2 x ⋅ σφ 2 y − 1 =

A44.

A 46.

π 3π 5π 7π 3 + ηµ 4 + ηµ 4 + ηµ 4 = 8 8 8 8 2

Áí ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ ÁÂÃ åðá-

ëçèåýïõí ôç ó÷Ýóç: ηµ 2 Α = ηµ 2 Β + ηµ 2 Γ , íá áðïäåé÷èåß üôé ôï ôñßãùíï áõôü åßíáé ïñèïãþíéï. ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9

Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìü

Á.9

Ïñéóìïß

Ôçí ãíùóôÞ Ýííïéá ôçò äýíáìçò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü åðåêôåßíïõìå êáé óôç ðåñßðôùóç ðïõ ï åêèÝôçò åßíáé ñçôüò. Äßíïõìå, äçëáäÞ, íüçìá êáé óôï µ

åêèåôéêü óýìâïëï α ν , üðïõ α > 0 , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò, ôï ïðïßï èá ïíïìÜæïõìå äýíáìç ìå ñçôü åêèÝôç. µ

Ãéá íá Ý÷åé íüçìá äýíáìçò ôï óýìâïëï α ν èá ðñÝðåé íá åßíáé èåôéêüò áñéèìüò (áöïý α > 0 ) êáé åðéðëÝïí íá éêáíïðïéåß ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí ν

µ ⋅ν  µ µ ð.÷.  α ν  = α ν = α   µ

Áõôü óçìáßíåé üôé α ν åßíáé ç èåôéêÞ ñßæá ôçò åîßóùóçò x ν = αµ ðïõ åßíáé ç

αµ . µ

ÅðïìÝíùò: Áí α > 0 , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ôüôå ïñßæïõìå α ν =

αµ

Áí åðéðëÝïí ì,í èåôéêïß áêÝñáéïé ïñßæïõìå 0 ν = 0 . 3

ð.÷.

16 4 = 4 163 = 23 = 8

−

1 2

= 4 −1 =

1 1 = 4 2

Ãåíéêüôåñá, ìå ôç âïÞèåéá ôçò äýíáìçò ìå ñçôü åêèÝôç, ïñßæïõìå ôï åêèåôéêü óýìâïëï α x , α > 0 êáé x ∈ R . (Ï áêñéâÞò ïñéóìüò îåöåýãåé áðü ôá üñéá áõôïý ôïõ âéâëßïõ). ¸ôóé, áí á,â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé x, y ∈ R ôüôå:

i) α x ⋅ α y = α x + y

ii) α x : α y = α x − y

iii) ( α x ) = α x ⋅ y

iv) ( α ⋅ β ) = α x ⋅ β x

x   v)  α  = α x β β

Óõíïøßæïíôáò ãéá ôï åêèåôéêü óýìâïëï A B , Ý÷ïõìå:

üðïõ ρ′,ρ : ñçôïß áñéèìïß ðïõ ðñïóåããßæïõí ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷. Áêüìá: Α 0 = 1 ìå Α ≠ 0 , Α1 = Α êáé

Α = Α ìå Α > 0 .

Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìü

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

 −3 A = α 2 ⋅ β ⋅ αβ −2 

(

1 2

) (α ) −

−1

−

2 3

  

ãéá êÜèå

i) 27

⋅ 32,5

α,β > 0 3

 1  3   2

1 3  9 3  3 2 1  3 2 iv) 8   + 12 2 −  3 2  − 2   2 4   4  16 

1 2 β6 24 2 = α ⋅β = 4 = = 2 = 4 =1 4 α 2 2  2 4   2  2  −4

Íá áðïäåé÷èåß üôé:

Ëýóç i) 27

−

5 6

⋅ 3 2 = 6 27 −5 ⋅ 35 = 6 3−15 ⋅ 6 315 =

= 6 30 = 6 1 = 1 2 4 2 2 ii) α 3α β + 12α β = α 3β + 2α 3β =

1 1 1 2  1  2  i)  x 3 + y 3   x 3 − x 3 ⋅ y 3 + y 3  = x + y    1 1 1 2  1  2  ii)  x 3 − y 3   x 3 + x 3 ⋅ y 3 + y 3  = x − y   

üðïõ x, y > 0

= 3α 2 3β

iii) β 3 8α 6β + 4α 3 α 3β 4 − 3 125α 6β 4 = = 2α 2β 3 β + 4α 2β 3 β − 5α 2β 3 β = α 2β 3 β

3 1 3 3 3 12 − 3 2 − 2 + = 4 2 4 16

iv) 8

Ëýóç

8 3 3 3 2 3 3 − + 3− = 2 4 4 9 3 9 3− 3 =4 3+ 3− = 4 2 4 =

1 1 2 1 1 2 i)  x 3 + y 3   x 3 − x 3 ⋅ y 3 + y 3  =      

x+3y

)(

x −3 x⋅3 y+3 y

= 3 x + 3 y =x+y ii)  x − y   x + x ⋅ y + y  =    1 3

(

1 3

x−3 y 3

2 3

)(

1 3

Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò

4 i)

5 6

iii) β ( 8α 6 β ) 3 + 4α ( α 3 β 4 ) 3 − ( 125α 6 β 4 ) 3 ,

2 1 −  −3   −4  Α =  α 2 ⋅ β ⋅ α 2 ⋅ β ⋅ α 3  =  α 3 ⋅ β2  =    

(

−

Ëýóç

Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

ii) α ( 3α 2 β ) 2 + ( 12α 4 β ) 2 , α,β > 0

2 1 êáé β = 3 2 2

α=

1 3

2 3

x +3 x⋅3 y+3 y

α 2 ⋅ 3 α 4β2 + β 2 ⋅ 3 α 2β4 1

üðïõ α,β > 0

2 4 ii) x − 2x + 1 , x > 0 1 1

x 4 − 2x 8 + 1

= 3 x −3 y =x−y ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9

Ëýóç 1

α2 ⋅ α4 ⋅ β2 + β2 ⋅ α2 ⋅ β4 = 4

ii)

1 3

x − 28 x +1

5 3

= α α β + β αβ 2

= α ⋅ β + α ⋅ β = 3 α5 ⋅ β + 3 α ⋅ β5 = 3

 5 1  1 5 =  α3 ⋅β3  +  α3 ⋅β3  =     1 3

x − 24 x +1

( x − 1) = = = x − 2 x + 1 ( x − 1) ( x −1) = ( x −1) ( x + 1) = ( x − 1) ( x − 1) = ( x + 1)

x − 24 x +1

= α 3 ⋅β3 + α3 ⋅β 3 =

5 3

1 8

1 4

x − 2x + 1

= α2 ⋅ α 3 ⋅ β 3 + β2 ⋅ α 3 ⋅ β 3 = 10

x 2 − 2x 4 + 1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 47. Íá âñåèïýí ïé áñéèìïß: 2 3

A 50.

3 5

1 2

i) x = 27 + 4 − 3 ⋅ 32 + ( 0, 25)

1 ii) y =    16 

A 48.

+ 2 4 24 ⋅ 4 54 − 4 5

( )

ii)

−

5 3

2  −1 2 i) Α =  x 2 y ⋅ y −3 ⋅ x 3  ,

−2

áí x =

− 8 3 + 25 2

1 και y = 3 2 2

 2 1 ii) B =  x 3 y −1 x −1 y 2

(

Íá âñåèïýí ôá åîáãüìåíá

i) ( 0,5)

A 49.

( )

−0,25

5 2

Íá âñåèåß ïé ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:

1 ⋅6 4

áí x =

7 4 ⋅ 7 ⋅ 6 7 −2

Íá áðïëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:

A 51.

)

4 3

2  , 

1 1 και y =   8 3

Íá äåé÷èåß üôé: 3

i) Α =

x−y 3 4

1 2

x +x ⋅y 3

ii) B =

1 4

⋅

1 2

1 4

x y +x ⋅y 1

x2 + y2 1

α 2 − α 2 β 2 − 2α 2 β 4 + 2β 4 1

α2 −β2

1 2

i) ( 6 − 2 5 ) 2 = 8 ( 5 − 2 )

(

)(

ii) α 2 − β 2 α

−

1 2

+β

−

1 2

αβ ( α − β ) αβ

ëïãÜñéèìïé

ËïãÜñéèìïé

Á.10 ÈÅÙÑÉÁ

Ïñéóìüò

¸óôù èåôéêüò áñéèìüò á, äéÜöïñïò ôïõ 1 êáé θ > 0 . Ôüôå ç åîßóùóç α x = θ áðïäåéêíýåôáé üôé Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç. Ôç ëýóç áõôÞ óõìâïëßæïõìå ìå log α θ êáé êáëïýìå: ëïãÜñéèìï ôïõ è ìå âÜóç ôï á ¢ñá, áí α > 0, α ≠ 1 êáé θ > 0 ôüôå: log α θ = x ⇔ α x = θ Ç éóïäõíáìßá áõôÞ óõíäÝåé ôï åêèåôéêü êáé ëáãáñéèìéêü óýìâïëï. ¸ôóé, ð.÷. log 2 8 = 3 áöïý 23 = 8, log 3 9 = 2 áöïý 32 = 9 ê.ë.ð. Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôïõí Üìåóá ïé ðéï êÜôù âáóéêÝò ó÷Ýóåéò:¡ i) θ = α logα θ

ii) log α α x = x

iii) log α α = 1

iv) log α 1 = 0

Áí ç âÜóç åßíáé α = 10 ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ log10 θ ÷ñçóéìïðïéïýìå Äåêáäéêïß

ôï óýìâïëï log θ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå äåêáäéêü ëïãÜñéèìï ôïõ è.

Öõóéêïß

äçë. log θ = x ⇔ 10 x = θ . ð.÷. log100 = 2, log 0,1 = −1 ê.ë.ð.

ËïãÜñéèìïé

Áí ç âÜóç åßíáé α = e , üðïõ e 2, 71 , ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ log e θ ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï óýìâïëï n θ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå öõóéêü (Þ íåðÝñéï) ëïãÜñéèìï ôïõ è. x äçë. nθ = x ⇔ e = θ . ð.÷. ne3 = 3, n

1 = −1 ê.ë.ð. e

Ãéá α,β > 0, α,β ≠ 1, θ,θ1 ,θ 2 > 0 êáé κ ∈ R éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù éóüôçôåò (éäéüôçôåò ëïãáñßèìùí): Éäéüôçôåò

1) log α ( θ1 ⋅ θ2 ) = log α θ1 + log α θ2

Ëïãáñßèìïõ 2) log

θ1 = log α θ1 − log α θ 2 θ2

3) log α θκ = κ ⋅ log α θ 4) log α θ =

log β θ log β α

(Ôýðïò áëëáãÞò âÜóçò)

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

ÅöáñìïãÝò: Íá áðïäåé÷èåß üôé

1 log α θ, ν ∈ Ν, ν ≥ 2 ν

log α ν θ =

ii)

log α

iii)

log β α ⋅ log α β = 1

iv)

log α θ =

1 = − log α θ θ

nθ log θ , log α θ = log α nα

Áðüäåéîç 1

i) log α ν θ = log α θ ν = ii) log α

1 log α θ ν

1 = log α 1 − log α θ = 0 − log α θ = − log α θ θ

iii) logβ α =

log α α 1 ⇔ logβ α = ⇔ logβ α ⋅ log α β = 1 log α β log α β

iv) Ðñïêýðôïõí áðü ôïí ôýðï áëëáãÞò âÜóçò ãéá β = 10 êáé β = e áíôßóôïé÷á.

ëïãÜñéèìïé

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá õðïëïãéóôïýí ïé ëïãÜñéèìïé:

Áí log 3 2 = α íá õðïëïãßóåôå ôïí

log 8 12 .

2 4

á. log 4 32

â. log 0,1 100

ã. log 8

ä. log 1 3 3

å. log 0,2 625

óô. log 10 10

Ëýóç 9

Áöïý log 3 2 = α èá åßíáé 3α = 2 . ¸óôù log8 12 = x . Ôüôå

Ëýóç

8x = 12 ⇔ 23x = 22 ⋅ 3 ⇔ ( 3α )

á. ¸óôù log 4 32 = x . Ôüôå 4 x = 32 ⇔ 22x = 25 ⇔ 2x = 5 ⇔ x =

5 2

â. ¸óôù log 0,1 100 = x . Ôüôå

( 0,1)x = 100 ⇔ (10−1 ) = 100 ⇔ 10− x = 102 ⇔

= ( 3 ) ⋅ 3 ⇔ 33αx = 32α +1 ⇔ α 2

α≠0

⇔ 3αx = 2α + 1 ⇔ x =

2α + 1 3α

⇔ − x = 2 ⇔ x = −2 ã. ¸óôù log8

Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ÷ áí:

á. log x 1000 = −6

2 = x . Ôüôå 4

−3 1 2 ⇔ 23x = 2 2 : 22 ⇔ 23x = 2 2 ⇔ 4 −3 −1 ⇔ 3x = ⇔x= 2 2

ã. log x

8x =

ä. ¸óôù log 1 3 3 = x . Ôüôå 9

1 1 1 1 −2x 3   = 3 ⇔ 3 = 33 ⇔ −2x = ⇔ x = − 3 6 9

â. log x 16 =

2 3

16 =4 81

Ëýóç  x −6 = 1000 á. log x 1000 = −6 ⇔  ⇔ 0 < x ≠ 1 1  1 6  1 6 3 = 103   = 10 x = ⇔  x  ⇔ x ⇔ 10 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1  

å. ¸óôù log 0,2 625 = x . Ôüôå

( 0, 2 )2 = 625 ⇔  = 625 ⇔ 5− x

2 1  = 625 ⇔   =  10  5 4 = 5 ⇔ − x = 4 ⇔ x = −4

óô. ¸óôù log 10 10 = x . Ôüôå

10 = 10 10 ⇔ 10 x

= 102 ⋅10 ⇔ 104x

= 3 = 103 ⇔ 4x = 3 ⇔ x = 4 2x

= 10 10 ⇔ 10

¢ñá x =

10 . 10

3  32 2  x = 16 2 = x 16 ⇔ ⇔ â. log x 16 = ⇔  3 0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1

( )

1 3   x = 16 2 ⇔ . ¢ñá x = 64 . 0 < x ≠ 1

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

 4 16 16 x = =4⇔ ã. log x 81 ⇔ 81 0 < x ≠ 1 ¢ñá x =

4  2 x 4 =    3 0 < x ≠ 1 

2 . 3

2ïò ôñüðïò 3log 3 2 + 2 log 3 6 − log 3 32 = = 3log 3 2 + 2 log 3 ( 2 ⋅ 3) − log 3 25 = = 3log 3 2 + 2 log 3 2 + 2 log 3 3 − 5log 3 2 = = 2 log 3 ⋅ 3 = 2 ⋅1 = 2

Íá âñåèåß ï áêÝñáéïò ÷ Ýôóé þóôå íá

Ý÷ïõí Ýííïéá óôï R ôá óýìâïëá: á. log x ( 3 − x )

â. log x

â. 2 + 3log 5 2 − 2 log 5 10 =

= log 5 52 + log 5 23 − log 5 102 = = log 5 ( 52 ⋅ 23 ) − log 5 102 =

1+ x 5− x

= log 5

Ëýóç

25 ⋅ 8 = log 5 2 100

2ïò ôñüðïò

3 − x > 0 x <3 ⇔ ⇔ á.  0 < x ≠ 1 0 < x ≠ 1

Áðü ôïí ïñéóìü,

 −3 < x < 3 0 < x < 3 ⇔ ⇔ 0 < x ≠ 1 x ≠ 1 ¢ñá x = 2 (äéüôé x ∈ Z ).

ç éóüôçôá

log a x = y

2 + 3log 5 2 − 2 log 5 10 = = 2 + 3log 5 2 − 2 log 5 ( 2 ⋅ 5 ) =

Ý÷åé Ýííïéá ãéá:

= 2 + 3log 5 2 − 2 log 5 2 − 2 log 5 5 =

x > 0, 0 < a ≠ 1

= 2 + log 5 2 − 2 ⋅1 = log 5 2

êáé y ∈ R

1 + x >0 (1 + x ) ( 5 − x ) > 0  â.  5 − x ⇔ ⇔ 0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1 ( x + 1) ( x − 5 ) < 0  −1 < x < 5 ⇔ ⇔ ⇔ < ≠ 0 x 1 0 < x ≠ 1  0 < x < 5 ⇔ x ≠ 1

Áí log 2 ⋅ log 5 = α íá áðïäåßîåôå üôé

ïé áñéèìïß log 2 êáé log 5 åßíáé ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò x2 − x + α = 0 .

Ëýóç Ðáñáôçñïýìå üôé: log 2 + log 5 = log ( 2 ⋅ 5 ) = log10 = 1 Aí x1 ,x2 ïé ñßæåò

Áöïý ëïéðüí

¢ñá x = 2 ή x = 3 ή x = 4 (äéüôé x ∈ Z ).

ôïõ ôñéùíýìïõ

log 2 + log 5 = 1

φ ( x ) = ax 2 + βx + γ

êáé log 2 ⋅ log 5 = α

Íá áðïäåßîåôå üôé:

á. 3 log 3 2 + 2 log 3 6 − log 3 32 = 2 â. 2 + 3 log 5 2 − 2 log 5 10 = log 5 2

x2 − x + α = 0 .

Ëýóç á. 3log 3 2 + 2 log 3 6 − log 3 32 =

= log 3 2 + log 3 6 − log 3 32 = 3

= log 3 ( 23 ⋅ 62 ) − log 3 32 = = log 3

ïé áñéèìïß log 2 êáé log 5 èá åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

8 ⋅ 36 = log 3 9 = 2 32

ôüôå: −β α γ êáé Ρ = x1 ⋅ x2 = α S = x1 + x2 =

Íá áðïäåßîåôå üôé: 1

á. α log α = 10

Ëýóç

â. α log β = β log α

ëïãÜñéèìïé

á. Åßíáé log α log α =

¢ñá α

1 log α

1 ⋅ log α = 1 . log α

(

log 2 + 2 + 2

= 10 .

â. Ï ëïãÜñéèìïò ìå âÜóç â ôïõ áñéèìïý αlog β åßíáé:

logβ α log β = log β ⋅ logβ ⋅ α = log β ⋅

log α = log α log β

Áöïý logβ αlog β = log α áðü ôïí ïñéóìü ôïõ ëïãáñßèìïõ ðñïêýðôåé: α log β = β log α .

(

)

1 log 2 + log 2 + 2 + 2

)( 2 −

)

2+ 2  = 

(

)

( (

(

)

(

)(

))

1 log 2 + log 2 + 2 + log 4 − 2 + 2  =  2 1 = log 2 + log 2 + 2 + log 2 − 2  =  2 1 = log 2 + log 2 + 2 2 − 2  =  2 1 = log 2 + log ( 4 − 2 )  = 2 1 1 = ( log 2 + log 2 ) = 2 log 2 = log 2 0,3 2 2 =

)

Ná õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜ-

óôáóçò: Κ =

( log 2 5 + log 3 5 ) ⋅ log6 5

log 2 5 ⋅ log 3 5

áðïäåßîåôå üôé: α+β 1 = ( log α + log β ) ≥ log α ⋅ log β log 3 2

Ëýóç Óýìöùíá ìå ôçí åöáñìïãÞ (iii) Ý÷ïõìå:

Ëýóç

 1 1  1 +  ⋅ log 2 log 5 5 3  log 5 6  = K= 1 1 ⋅ log 5 2 log 5 3

α 2 + β 2 = 7αβ ⇔ α 2 + β 2 + 2αβ = 9αβ ⇔ 2

2  α+β  ⇔ ( α + β ) = 9αβ ⇔   = αβ  3  ïðüôå êáé

log 5 3 + log 5 2 1 ⋅ log 5 2 ⋅ log 5 3 log 5 6 = = 1 log 5 2 ⋅ log 5 3 =

log 5 3 + log 5 2 log 5 6 = =1 log 5 6 log 5 6

Áí α > 1, β > 1 êáé α 2 + β 2 = 7αβ , íá

Áí log 2 0, 3 íá õðïëïãßóåôå ôçí

 α+β  log   = log ( αβ ) ⇔  3  α+β ⇔ 2 log = log α + log β ⇔ 3 . α +β 1 ⇔ log = ( log α + log β ) 3 2 ÅîÜëëïõ:

ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

(

)

1 1 A = log 2 + log 2 + 2 + 2 2 1 1 log 2 + 2 + 2 + log 2 − 2 + 2 2 2

(

Ëýóç

)

(

)

1 ( log α + log β ) ≥ log α ⋅ log β ⇔ 2 ⇔ log α + log β ≥ 2 log α ⋅ log β ⇔

( log α + log β ) ≥ 4 log α log β ⇔ 2 ⇔ ( log α − log β ) ≥ 0 2

ðïõ éó÷ýåé.

ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

A 52.

Íá âñåèåß ï x áðü ôéò ðáñáêÜôù ó÷Ý-

A 57. Íá áðïäåßîåôå üôé:

óåéò: á. log 1 3 3 = x

â. log 0,1 5 100 = x

−1

á. 103log 2 + log 2 = 4

ã. log x 27 =

3 2

1 å. log 8 x = − 3

ä. log x 4 = −

2 3

3 óô. log 4 ( log x 25 ) = 2

A 53. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ log 2x

1 1− log 25 4

â. 100

x ∈ R Ý÷åé íüçìá ï

x +1 . 3− x

log 2 = α êáé log 3 = β , íá âñåèïýí ïé ëïãÜñéèìïé ôùí áñéèìþí: 72 4, 5, 6, 12, 15, 30, 36, . 50

A 55. Íá áðïäåßîåôå üôé:

1 íá äåé÷èåß üôé: log αρ β = log α β . ρ â. Íá õðïëïãéóèåß ï áñéèìüò 45log32 17 .

75 5 32 − 2 log 2 + log 2 =1 16 9 243

A 56. Íá áðïäåßîåôå üôé:

(

)

7 á. log 3 + 2 2 − 4 log 16 25 log 2 − 1 = 8

(

 á. 3 = − log 2  log 2 

 2 

  â. ν = − log 2  log 2 ... 2    ν − ριζικά   Áí α > 1 êáé β > 1 , íá õðïëïãéóèåß ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:

A 60.

5 3 40 105 =0 á. 2 log + log − log − log 2 11 77 32

(

)

2 +1 =

)

â. log 3 2 + log 2 3 > 2 ã.

* α,β ∈ R * , α ≠ 1 êáé ρ ∈ R

A 59. Íá áðïäåßîåôå üôé:

A 54. Áí

â. log 2

A 58. á. Ãéá êÜèå

= 20

log 125 + log 27 − log 8 3 = log15 − log 2 2

2 2 Α = log ( α 2 − 1) + log ( β 2 − 1) − log ( αβ + 1) − ( α + β )   

A 61.

Áí α,β, γ ∈ R * ìå β ≠ 1 êáé αβ ≠ 1 íá áðïäåßîåôå üôé:

log αβ γ =

logβ γ 1 + logβ α

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Â.1

Ç åîßóùóç αx + β = 0

Åðßëõóç Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé: êáé

• Áí α ≠ 0 ôüôå ç åîßóùóç αx + β = 0 Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç, ôçí x = −

äéåñåýíçóç åîßóùóçò 1ïõ

αx + β = 0 ⇔ αx = −β ⇔ x = −

β ,äéüôé: α

β α

• Áí α = 0 êáé β ≠ 0 ôüôå ç åîßóùóç αx + β = 0 åßíáé áäýíáôç, äçëáäÞ äåí

âáèìïý

åðáëçèåýåôáé ãéá êáíÝíá x,äéüôé ãñÜöåôáé:

αx + β = 0 ⇔ 0x = −β ≠ 0 • Áí α = 0 êáé β = 0 ôüôå ç åîßóùóç αx + β = 0 åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ åðáëçèåýåôáé ãéá ïðïéïäÞðïôå x,äéüôé ãñÜöåôáé:

αx + β = 0 ⇔ 0x = 0 Ôá ðáñáðÜíù óõìðåñÜóìáôá âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

α≠0

á=0

β≠0

ÌïíáäéêÞ ëýóç x = −

β α

Áäýíáôç

β=0 Ôáõôüôçôá

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá A2 A3

á. Åßíáé: ( 2x − 7 )( 6x + 5) = ( 4x − 3)( 3x + 1) ⇔

Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á. ( 2x - 7 ) ( 6x + 5) = ( 4x - 3)( 3x + 1)

â.

( x + 1)

− ( x + 2 ) = ( 2x + 1) − ( 3 − 2x ) 2

⇔ 12x 2 + 10x − 42x − 35 = 12x 2 + 4x − 9x − 3 ⇔ 2

Ëýóç ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò ×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

⇔ −32x − 35 = −5x − 3 ⇔ 27x + 32 = 0 ⇔ ⇔ 27x = −32 ⇔ x = −

32 27

â. ¸÷ïõìå:

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-

( x + 1)

ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ = â

⇔ x 2 + 2x + 1 − ( x 2 + 4x + 4 ) =

− ( x + 2 ) = ( 2x + 1) 2 − ( 3 − 2x ) ⇔ 2

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1

= 4x 2 + 4x + 1 − ( 9 − 12x + 4x 2 )

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

⇔ x + 2x + 1 − x − 4x − 4 = 2

= 4x + 4x + 1 − 9 + 12x − 4x 2

⇔ −2x − 3 = 16x − 8 ⇔ −2x − 16x = 3 − 8

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x + 2 2x + 1 2x - 3 = -x 3 2 6

Ëýóç ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.

Ëýóç Áí α + β + γ = 0, ôüôå:

5 ⇔ −18x = −5 ⇔ x = 18

( 1 − x ) + ( 2x − 3 ) + ( − x + 2 ) = 0 3

α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Áí αβ = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0

ÅðåéäÞ (1 − x ) + ( 2x − 3) + ( − x + 2 ) = 0 3 3 3 éó÷ýåé: (1 − x ) + ( 2x − 3) + ( − x + 2 ) = 3 (1 − x ) ( 2x − 3) ( − x + 2) 3 3 3 ¢ñá (1 − x ) + ( 2x − 3) + ( − x + 2 ) = 0 ⇔ 3 (1 − x ) ( 2x − 3) ( − x + 2 ) = 0 ⇔

1 − x = 0 ή 2x − 3 = 0 ή − x + 2 = 0 3 x =1 ή x = ή x = 2 2

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò ×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò. ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ = â

x + 2 2x + 1 2x − 3 − = −x ⇔ 3 2 6 x+2 2x + 1 2x − 3 −6 =6 − 6x ⇔ 6 3 2 6

2 ( x + 2 ) − 3 ( 2x + 1) = 2x − 3 − 6x ⇔

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x−2 2 4 = + 2 2x 2 − x x − 2x

Ëýóç Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ Þ êëáóìáôéêÞ åÜí

2x + 4 − 6x − 3 = 2x − 3 − 6x ⇔ 0x = 4

Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.

åßíáé áäýíáôç.

Ãéá íá ëýóù ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç êÜíù ôá åîÞò:

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( 4x − 5 ) ( x − 2 ) ( 1 − x ) = 0

Ëýóç αβγ = 0 ⇔ α=0 ήβ=0 ή γ=0

( 4x − 5) ( x − 2 )(1 − x ) = 0 ⇔ 4x − 5 = 0 5    x = 4 ή  ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2   ή  x = 1  1 − x = 0

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò ðáñáãïíôïðïéÞóù) êáé ôï èÝôù äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò. ÐïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìáóôþí . Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò. Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãïíôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç.

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

x ≠ 0  Å.Ê.Ð. : 2x ( x − 2 ) ≠ 0 ⇔  και x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 

(1) ⇔ 2x ( x − 2 ) x − 2 = 2x 2 4 −2x ( x − 2 ) + 2x ( x − 2 ) ⇔ x−2 x ( x − 2) ( x − 2 )( x − 2 ) = −4x + 8 ⇔

x−2 2 4 = + 2 ⇔ 2x 2 − x x − 2x x−2 2 4 = + ⇔ 2x 2 − x x ( x − 2) x−2 2 4 (1) =− + 2x x − 2 x ( x − 2)

⇔ ( x − 2 ) = −4x + 8 ⇔ x 2 − 4x + 4 = −4x + 8 ⇔ 2

⇔ x 2 − 4x + 4 + 4x − 8 = 0 ⇔

⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ ( x − 2 )( x + 2 ) = 0 ⇔  x − 2 = 0 ⇔ x = 2 απορρίπτεται  ⇔ ή  x + 2 = 0 ⇔ x = −2 δεκτή 

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Á2

Â1.

Â4.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

(

)

á. ( 3x + 5) - 9x 2 - 25 + 6x + 10 = 0 2

â. x + 4 -

Â2.

Â3.

á. 1-

x + 3 2x + 3 = 3 3

â.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á.

( x -1) - ( x - 2 )

â.

( x -1)

( x + 3)

= (1- 2x ) - ( 3 - 2x ) 2

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

Â5.

( x - 2 )( x -1)

x 3 = x − 3 9 − x2

Á3 Á5

x2 6 4 + = 1+ 2 x−2 x −4 x+2

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á.

x −3 x −2 + =2 x − 2 x −1

â.

1 1 = x+2 x+5

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á. 4x â.

19 + 2x 7x + 11 = 15 5 4

- 4 ) - ( x + 2 ) ( 5x + 4 ) = 0 2

Â6.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á.

x x+4 = x −3 x −5

â.

x 1 x−4 − = x 2 − 4 x 2 − 2x x 2 + 2x

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 1

ÐáñáìåôñéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç, ðïõ ïé óõíôåëåóôÝò ôùí áÐáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

ãíþóôùí Þ ï óôáèåñüò üñïò åêöñÜæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ãñáììÜôùí êáé ü÷é óõãêåêñéìÝíùí áñéèìþí. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé åîéóþóåéò

3λx + 1 = 7,

4 x = 7µ-1,

(α + β )x = 1

åßíáé ðáñáìåôñéêÝò. Ôá ãñÜììáôá (á, â, ë, ì ...) ïíïìÜæïíôáé ðáñÜìåôñïé ôçò åîßóùóçò. ÊáôÜ ôç äéåñåýíçóç ìéáò ðáñáìåôñéêÞò åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αx + β = 0 , ðñïóðáèïýìå íá äéáêñßíïõìå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç, ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé áäýíáôç êáé ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé ôáõôüôçôá. ¸ôóé, äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò: • Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α ≠ 0 . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç. • Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α = 0 και β ≠ 0 . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç. • Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α = 0 και β = 0 . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 6

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á. ( λ − 1) x = λ -1 2

â. ( λ − 2 ) x = λ + 2 2

ã. λ 2 x – 2 = 4x + λ

Ëýóç á. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå (α = λ − 1, β = λ 2 – 1) , ïðüôå Ý÷ïõìå: 1ç ðåñßðôùóç Áí λ − 1 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 , ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç:

λ 2 –1 (λ–1)(λ + 1) ⇔x= ⇔ x = λ +1 λ–1 λ −1

2ç ðåñßðôùóç Áí λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1 , êÜíïíôáò áíôéêáôÜóôáóç óôçí åîßóùóç,ðñïêýðôåé:

(1 − 1) ⋅ x = 12 -1 ⇔ 0x = 0 ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò. â. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå (α = λ − 2, β = λ 2 + 2) ïðüôå Ý÷ïõìå:

åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

1ç ðåñßðôùóç

Áí λ − 2 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 2 , ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé

Áí ( λ − 2 ) ⋅ ( λ + 2 ) ≠ 0 ⇔ λ − 2 ≠ 0 και

λ2 + 2 ìïíáäéêÞ ëýóç: x = λ−2

λ + 2 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 2 και λ ≠ −2 Ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç:

2ç ðåñßðôùóç Áí λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2 , ôüôå ìå áíôéêáôÜóôáóç óôçí åîßóùóç ðñïêýðôåé:

0x = 2 2 + 2 ⇔ 0x = 6 ðïõ åßíáé áäýíáôç. ã. Ç åîßóùóç äåí åßíáé ôçò ìïñöÞò áx = â, ãé’áõôü ëïéðüí êÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ðñïóðáèïýìå íá ôç öÝñïõìå óôçí ðéï ðÜíù ìïñöÞ.

λ 2 x − 2 = 4x + λ ⇔

+ 2 (1) λ 2 x– 4x = λ + 2 ⇔ (λ − 2)(λ + 2) x = λ β α

λ+2 1 = (λ – 2)(λ + 2) λ − 2

2ç ðåñßðôùóç Áí (λ − 2) ⋅ (λ + 2) = 0 ⇔ λ = 2 ή λ = -2 , Ý÷ïõìå: i. Ãéá ë = 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñïêýðôåé:

0x = 2 + 2 ⇔ 0x = 4 ðïõ åßíáé áäýíáôç. ii. Ãéá ë = – 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñïêýðôåé:

0 x = −2 + 2 ⇔ 0 x = 0 ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â7.

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá á êáé â Ýôóé þóôå ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò íá åßíáé áäýíáôåò Þ áüñéóôåò.

Â11. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò: á.

á. ( α − 1) x = α 2 − 1 â. ( α + β ) x = β − 1

Â8.

á. ( λ − 4λ ) x = λ − 2λ

ä. λ ( λx − 2 ) + 6 = µ ( λx + 1) Íá ëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò: á.

x x x x + =2 −1 = + 1 â. α −β α +β α −1 α +1

Â10. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç

Â13.

λ x + 3λ + 2 ( λx -1) = λ + 8x , ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë. 2

+ 3λ

( λ -1) x = λ ( λ + 1)( λ + 2 )

ä.

( λ + 2 ) x + 4 ( 2λ + 1) = λ2 + 4 ( x -1)

Á2 Á3 Á5

Â12. Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò: á. λ ( 3x + λ ) + 7 - 2λ = λ2 + 3 (1 + κx )

ã. λ2 ( x − 1) = µ ( λx + µ )

Â9.

ã.

â. λ2 ( λ − x ) = 3λx − 5λ − 6

â. 3 ( λ + 1) x + 4 = 2x + 5 ( λ + 1)

Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò: 3

( λ - 9) x = λ

â.

(µ

ã.

x (µ + 9) 9x x + -1 = -µ 20µ 20 20

- 4 ) x = µ 2 - 2µ

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ë êáé ì ç åîßóùóç λx - µ x + = 3x - λ 3 2 i. åßíáé áäýíáôç, ii. åßíáé áüñéóôç ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2

Áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Â.2

¼ôáí óôéò áíéóþóåéò αx + β > 0, αx + β < 0 ôá á, â äåí åßíáé óõãêåêñéìÝíïé

Åðßëõóç êáé äéåñåýíçóç áíßóùóçò

áñéèìïß ôüôå ïé áíéóþóåéò áõôÝò ïíïìÜæïíôáé ðáñáìåôñéêÝò. Ç äéáäéêáóßá ðñïóäéïñéóìïý ôùí ëýóåùí ìéáò ðáñáìåôñéêÞò áíßóùóçò ïíïìÜæåôáé äéåñåýíçóç. Áðü ôç äéåñåýíçóç ôçò áíßóùóçò αx + β > 0, üðïõ á, â åßíáé ðáñÜìåôñïé, ðñïêýðôïõí ôá åîÞò: • Áí á > 0 ôüôå αx + β > 0 ⇔ αx > −β ⇔ x > −

1ïõ âáèìïý

β α

äçëáäÞ ç áíßóùóç αx + β > 0 Ý÷åé ôéò ëýóåéò x > − • Áí á < 0 ôüôå αx + β > 0 ⇔ αx > −β ⇔ x < −

β . α

β α

äçëáäÞ ç áíßóùóç αx + β > 0 Ý÷åé ôéò ëýóåéò x < −

β . α

• Áí á = 0 êáé â > 0 ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:

0⋅ x +β > 0 ⇔ β > 0 ðïõ éó÷ýåé. ¢ñá ç áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x. • Áí á = 0 êáé β ≤ 0 ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:

0⋅ x +β > 0 ⇔ β > 0 ðïõ åßíáé áäýíáôç. ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç. Ôá óõìðåñÜóìáôá áõôÜ óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá. á>0

á<0

Åðáëçèåýåôáé Åðáëçèåýåôáé ãéá ãéá

x>−

β α

x<−

Ìå ôïí ßäéï ôñüðï äéåñåõíïýìå ôçí áíßóùóç

αx + β < 0 . Ðñïêýðôåé Ýôóé ï åðüìåíïò ðßíáêáò. Ìå üìïéï ôñüðï ãßíåôáé ç äéåñåýíçóç ôùí áíéóþóåùí

αx + β ≥ 0 êáé αx + β ≤ 0 .

β α

á=0

β>0

β≤0

Åðáëçèåýåôáé Áäýíáôç ãéá êáèå x Ëýóåéò ôçò áíßóùóçò áx+â<0 á>0

á<0

Åðáëçèåýåôáé Åðáëçèåýåôáé ãéá ãéá

x<−

β α

x>−

β α

á=0

β≥0 Áäýíáôç

β<0 Åðáëçèåýåôáé ãéá êáèå x

áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

ÄéáóôÞìáôá

á . Êëåéóôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå:

α≤ x ≤β ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí ëýóåùí â. Áíïé÷ôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå: áíßóùóçò α<x <β

Óõìâïëßæåôáé: [á, â] ÐáñéóôÜíåôáé:

Óõìâïëßæåôáé: (á, â) ÐáñéóôÜíåôáé:

1ïõ âáèìïý

ã. Áíïé÷ôü áñéóôåñü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå:

Óõìâïëßæåôáé: (á, â] ÐáñéóôÜíåôáé:

α<x ≤β ä. Áíïé÷ôü äåîéÜ äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå:

Óõìâïëßæåôáé: [á, â) ÐáñéóôÜíåôáé:

α≤x <β

å. Ï óõìâïëéóìüò (−∞, α] åêöñÜæåé ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x ≤ α Åíþ ï óõìâïëéóìüò (−∞, α) åêöñÜæåé ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x < α

óô. Ï óõìâïëéóìüò [ α, +∞ ) åêöñÜæåé ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x ≥ α Åíþ ï óõìâïëéóìüò (α, +∞) åêöñÜæåé ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x > α

æ. Ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí R ìå ôç ìïñöÞ äéáóôÞìáôïò ãñÜöåôáé: ( −∞, +∞ ) , äçëáäÞ R = ( −∞, +∞ ) .

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò: á. 4 ( x + 1) − 3 ( 2x − 7 ) ≥ 5 − 3 ( x + 3) − x

Ëýóç Ãéá íá âñïýìå ôéò êïéíÝò ëýóåéò áíéóþóåùí: Ëýíïõìå êÜèå ìßá ÷ùñéóôÜ.

â. 2 (1 − 4x ) − 4 (1 − 2x ) > 3 ( 2x − 3) − 2 ( 3x + 3)

Ëýóç

ÐáñéóôÜíïõìå ôéò ëýóåéò ôçò êÜèåìéÜò óôïí ßäéï Üîïíá.

ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò ×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò. ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.

Ðñïóäéïñßæïõìå Ýôóé ôï êïéíü äéÜóôçìá ëýóåùí.

Åßíáé

4x + 3 −

2x x − 1 ≥ ⇔ 80x + 60 − 8x ≥ 5x − 5 ⇔ 5 4

á. 4x + 4 − 6x + 21 ≥ 5 − 3x − 9 − x ⇔ 29 2x ≥ −29 ⇔ x ≥ − 2

⇔ 67x ≥ −65 ⇔ x ≥ −

â. 2 − 8x − 4 + 8x > 6x − 9 − 6x − 6 ⇔ 0x > −13 ¢ñá éó÷ýåé ãéá êÜèå x ðñáãìáôéêü.

2x − 1 2x 2x − 1 2x −1 < ⇔ 15 − 15 < 15 ⇔ 3 5 3 5 5 ( 2x − 1) − 15 < 6x ⇔ 10x − 5 − 15 < 6x ⇔

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:

65 67

10x − 6x < 20 ⇔ 4x < 20 ⇔ x <

20 ⇔ x<5 4

3x − 1 9x − 3 6x − 5 + 5x − 2 < + 2 2 3

Ëýóç ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç. ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò ×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.

ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.

Åßíáé:

3x − 1 9x − 3 6x − 5 + 5x − 2 < + ⇔ 2 2 3

⇔ 3 ( 3x − 1) + 6 ⋅ 5x − 12 < 3 ( 9x − 3) + 2 ( 6x − 5) ⇔ ⇔ −15 < −19 ðïõ åßíáé áäýíáôç.

Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

4x + 3 -

2x x - 1 2x - 1 2x ≥ -1 < êáé 5 4 3 5

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò: x − 2 ≥ 0 και 5x − 8 ≤ 3x

Ëýóç Åßíáé:

( x − 2 ≥ 0 και 5x − 8 ≤ 3x ) ⇔ ( x ≥ 2 και 5x − 3x ≤ 8) ⇔ ( x ≥ 2 και 2x ≤ 8) ⇔ ( x ≥ 2 και x ≤ 4) Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ðáñéóôÜíåôáé ôï óýíïëï óôï ïðïßï óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò.

áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

( λ - 1) x + 3λ ( x - 2) > ( 2 - λ ) x ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.

Ëýóç

αx + β > 0 , üðïõ α = 5λ − 3, β = −6λ . Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: • Áí 5λ − 3 > 0 , äçëáäÞ áí λ >

3 , ôüôå 5

( 5λ − 3) x − 6λ > 0 ⇔ (5λ − 3) x > 6λ ⇔ x > 6λ 5λ − 3

Ðñþôá ãñÜöïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:

αx + β > 0 Þ αx + β < 0 . Åßíáé ( λ − 1) x + 3λ ( x − 2) > ( 2 − λ ) x ⇔

⇔ ( λ − 1) x + 3λx − 6λ > ( 2 − λ ) x ⇔ ⇔ [( λ − 1) + 3λ − ( 2 − λ )] x − 6λ > 0 ⇔

⇔ (5λ − 3) x − 6λ > 0 ÂëÝðïõìå ëïéðüí üôé ç áíßóùóç ãñÜöåôáé óôç

• Áí 5λ − 3 < 0 , äçëáäÞ áí λ <

3 , ôüôå 5

( 5λ − 3) x − 6λ > 0 ⇔ ( 5λ − 3) x > 6λ ⇔ x < 6λ 5λ − 3 3 • Áí 5λ − 3 = 0 , äçëáäÞ áí λ = , ôüôå ç áíßóù5 3 18 óç ãßíåôáé: 0 ⋅ x − 6 ⋅ > 0 ⇔ − > 0 üðïõ åß5 5

íáé áäýíáôï. ¢ñá óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.

ìïñöÞ:

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â14. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

Â18.

6 − x 3x + 2 ≤ â. 8 6

3x 7x −5 ≥ −1 á. 4 3

Â15. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò: á. 3 ( x − 1) − ( x + 3) ≤ 4 − 2 ( x − 3)

ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë.

Â19.

Â16. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:

â.

x − 1 x + 1 2x + 4 x + 6 + ≤ + 4 5 5 20 6 − 3x 2x + 8 4x 21x + 14 − +x+3≤ − 4 3 3 12

Â17. Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò x ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

x+2 x − ≤1 4 3

(1),

x x +1 − < 0 (2) 5 15

Íá ëýóåôå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù áíéóþóåéò ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðñáãìáôéêÞò ðáñáìÝôñïõ ë. á. λx − 2 ≤ x + λ â. 3 ( λx − 1) + 2 ( 2λ − x ) < x

x − 2 x +1 3x â. − ≥ 1− 5 2 10

á.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: λ ( x + 1) ≥ 1 − 2x ãéá

Â20.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

Â21.

Äßíåôáé ç áíßóùóç

x − 1 3x + 2 5x + ≥ 2 4 4

2x − 5 ( λx + 2µ ) ≤ 3λ − 2 ( x + 3)

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ë, ì ãéá ôéò ïðïßåò ç áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.

ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ

Â.3

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

Eîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

Ãéá ôç ëýóç åîéóþóåùí ìå áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôá åîÞò: Ëýóç åîéóþóåùí ìå áðüëõôá

1. x = α, α > 0 ⇔ x = α ή x = −α 2. x = α ⇔ x = α ή x = −α 2

3. x = x 2 4. x = α, α < 0 åßíáé áäýíáôç.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Á6

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

x − 4014 − x = 0

ðåé íá éó÷ýåé x ≥ 0 . Ìå áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü Ý÷ïõìå éóïäýíáìá: 5 + x − 1 = 2x ⇔ 5 + x − 1 = 2x ⇔

Ëýóç Ç åîßóùóç ëýíåôáé ðéï åýêïëá áí ôçí åñìçíåýóïõìå ãåùìåôñéêÜ. ¸÷ïõìå üôé:

⇔ x − 1 = 2x − 5 Ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç x − 1 = 2x − 5 ðñÝðåé íá éó÷ýåé:

2x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥

• x − 4014 åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 4014.

5 2

• x åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 0. ¢ñá ç åîßóùóç x − 4014 − x = 0 ⇔

x − 4014 = x ëÝåé üôé ï x éóáðÝ÷åé áðü ôï 4014 êáé áðü ôï 0, äçëáäÞ âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôçò

¸ôóé, Ý÷ïõìå ôáõôü÷ñïíá äýï ðåñéïñéóìïýò, ôïõò

áðüóôáóçò d(0, 4014) êáé óõíåðþò x = 2007 .

5 5 , ïé ïðïßïé óõíáëçèåýïõí ãéá x ≥ . 2 2 ¢ñá ãéá íá ãßíåé äåêôÞ êÜðïéá ëýóç ôçò åîßóùóçò x ≥ 0, x ≥

x − 1 = 2x − 5 ðñÝðåé íá áíÞêåé óôï äéÜóôçìá

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 5 + x − 1 = 2x

Ëýóç Åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóùóç ðñÝ-

5   2 , + ∞  . ¸÷ïõìå: x − 1 = 2x − 5 ⇔ x − 1 = 2x − 5 ή x − 1 = −2x + 5 ⇔ ⇔ x = 4 ή 3x = 6 ⇔ ⇔x=4ήx=2

åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

Ç x = 2 üìùò äåí âñßóêåôáé óôï äéÜóôçìá

5   2 , + ∞  êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ëýóç ôçò åîßóùóçò x − 1 = 2x − 5 Üñá êáé ôçò áñ÷éêÞò åßíáé ç x = 4 .

Ëýóç Åßíáé:

(1)  x + 2 = 2x + 1 x + 2 = 2x + 1 ⇔   x + 2 = − ( 2x + 1) (2) Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò üôáí êáé ìüíïí üôáí åßíáé ßóïé ç áíôßèåôïé. Ç éóïäõíáìßá áõôÞ óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

α = β ⇔ α = β ή α = −β

2 x−3 +1 − 2x = x − 3 + 7 3

¼ôáí α = β ôüôå ìåñéêÝò öïñÝò ëÝìå üôé ïé áñéèìïß, á, â åßíáé ßóïé êáô’ áðüëõôç ôéìÞ.

Ëýóç ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëá-

− x = −1 ⇔ x = 1

ðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí. Åäþ åßíáé ôï 3. Åßíáé:

(1) ⇔ x + 2 = 2x + 1 ⇔ x − 2x = −2 + 1 ⇔ (2) ⇔ x + 2 = −2x − 1 ⇔ x + 2x = −2 − 1 ⇔

2 x − 3 +1 − 2x = x − 3 + 7 ⇔ 3 ⇔ 2 x − 3 + 1 − 6x = 3 x − 3 + 21 ⇔ ⇔ x − 3 = −6x − 20

3x = −3 ⇔ x = −1 ÅðïìÝíùò ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò åßíáé x = 1 Þ x = -1.

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

Ôþñá åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóùóç áõôÞ ðñÝðåé íá éó÷ýåé:

−6x − 20 ≥ 0 ⇔ −6x ≥ 20 ⇔ x ≤ −

10 3

Õðü ôïí ðåñéïñéóìü áõôü Ý÷ïõìå:

x − 3 = −6x − 20 ⇔ ⇔ x − 3 = −6x − 20 ή x − 3 = 6x + 20 ⇔ ⇔ 7x = −17 ή 5x = −23 ⇔

x− 2 −1 = x+ 3 + x−1

Ëýóç Åßíáé x − 2 − 1 = x + 3 + x − 1 ⇔ x − 2 −1− x + 3 − x −1 = 0

Ðñþôá âãÜæïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò x − 2 − 1 − x + 3 − x − 1 êáôáóêåõÜæïíôáò ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:

17 23 ήx=− 7 5 Ðáñáôçñïýìå üôé áðü ôéò äýï áõôÝò ëýóåéò, ç ⇔x=−

10 17 äåí éêáíïðïéåß ôïí ðåñéïñéóìü x ≤ − 3 7 êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ìïíáäéêÞ ëýóç x=−

ôçò åîßóùóçò åßíáé ç x = −

23 . 5

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

¢ñá åßíáé:

x + 2 = 2x + 1

x + 3, αν x < −3 − x − 3, αν − 3 ≤ x < 1  x − 2 −1− x + 3 − x −1 =  −3x − 1, αν 1 ≤ x ≤ 2 − x − 5, αν x > 2 ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

¸ôóé, áðü ôçí åîßóùóç

• −3x − 1 = 0 ⇔ x = −

x − 2 −1− x + 3 − x −1 = 0 ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò: Áöïý ãñÜøïõìå ôïí ôýðï ÷ùñßò ôéò áðüëõôåò ôéìÝò, ëýíïõìå ôçí êÜèå ìßá åîßóùóç êáé äå÷üìáóôå ôç ëýóç ôçò , áí áíÞêåé óôï áíôß-

1 3

ìå ôïí ðåñéïñéóìü 1 ≤ x ≤ 2 , ïðïßá åßíáé áäýíáôç. • − x − 5 = 0 ⇔ x = −5 ìå ôïí ðåñéïñéóìü x > 2, ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.

óôïé÷ï äéÜóôçìá. ÅðïìÝíùò ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôçò åîßóùóçò:

• x + 3 = 0 ⇔ x = −3 ìå ôïí ðåñéïñéóìü x < −3 ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç. • − x − 3 = 0 ⇔ x = −3

x − 2 −1 = x + 3 + x −1 , åßíáé ç x = −3 .

ìå ôïí ðåñéïñéóìü −3 ≤ x < 1 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â22.

ii. 3 x + 1 = x + 6 Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á. −4x + 8 = 2

Â23.

Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò: á. x = x − 3

Â24.

iii. x + 1 + 2x + 4 = 0

â. x + 2 = 2x + 3

B27.

x −1

â. x − 1 = x − 2

Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:

x −1 á. −1 = 2 x −1 +1 2 â. 3 x + 1 + 2 x − 1 = x + 2 2 3 4

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

B28.

1− x 2

= −2x + 2

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: i. x − 3 = 2x − 4

B29.

B26.

ii. x 2 − 2 = x 2

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á. x − 1 + 2 = 3

B25.

(1)

â. x − x = 4 − 3 x

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò : i. 2x + 1 = 3

ii. 2x + 1 + 4 = 0

iii. 2x + 1 = 0

iv. 2x + 1 − −3 = 0

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: i. x + 2 = 2x + 1

B30.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

3 x + 2 − x + 1 + 2 x = 0 (1)

åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

Óôéò áíéóþóåéò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò: 1. x ≤ θ, θ > 0 ⇔ −θ ≤ x ≤ θ 2. x ≥ θ, θ > 0 ⇔ x ≤ −θ ή x ≥ θ Áíéóþóåéò ìå áðüëõôá

Áí θ < 0 : Ç áíßóùóç x < θ åßíáé áäýíáôç (áöïý x ≥ 0 ) Ç áíßóùóç x > θ , éó÷ýåé ãéá êÜèå x ∈ R ÃåíéêÜ ï ôñüðïõò ðïõ ëýíïõìå áíéóþóåéò ìå áðüëõôá öáßíåôáé óôá åðüìåíá ðáñáäåßãìáôá.

Åðßëõóç áíéóþóåùí ðïõ ðåñéëáìâÜíïõí áðüëõôåò ôéìÝò

Á6

Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò: á. 3 − 2x < 8

â. 7x + 1 ≥ 12

Ëýóç

• Åßíáé: 5x − 6 < 8 ⇔ −8 < 5x − 6 < 8 ⇔ ⇔ −2 < 5x < 14 ⇔ 2 14 ⇔− <x< 5 5

á. Åßíáé: 3 − 2x < 8 ⇔ −8 < 3 − 2x < 8 ⇔ 11 5 ⇔ −11 < −2x < 5 ⇔ > x > − 2 2 â. Åßíáé: 7x + 1 ≥ 12 ⇔ 7x + 1 ≤ −12 ή 7x + 1 ≥ 12 ⇔ ⇔ 7x ≤ −13 ή 7x ≥ 11 ⇔ ⇔x≤−

13 11 ήx≥ 7 7

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé: 2 ≤ 5x - 6 < 8

Ëýóç Áñêåß íá óõíáëçèåýóïõìå ôéò áíéóþóåéò 5x − 6 ≥ 2 5x − 6 < 8

• Åßíáé: 5x − 6 ≥ 2 ⇔ 5x − 6 ≤ −2 ή 5x − 6 ≥ 2 ⇔ ⇔ 5x ≤ 4 ή 5x ≥ 8 ⇔ 4 8 ⇔x≤ ήx≥ 5 5

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç

2 ≤ 5x − 6 < 8 åðáëçèåýåôáé áðü ôá x åêåßíá ãéá ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé: 4 2 14 8 2 14 x≤ ,− <x< ήx≥ ,− <x< 5 5 5 5 5 5 ¢ñá, üðùò ðñïêýðôåé áðü ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáììá, ãéá íá åðáëçèåýåôáé ç 2 ≤ 5x − 6 < 8 ðñÝðåé íá éó÷ýåé − 2 < x ≤ 4 ή 8 ≤ x < 14 . 5 5 5 5

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x − 3 ≤ 4x + 1

Ëýóç Áí 4x + 1 < 0 ôüôå ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

¢ñá ðñÝðåé êáôáñ÷Üò íá éó÷ýåé:

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù ðßíáêá ãñÜöïõìå

1 4 Õðü áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü Ý÷ïõìå:

ôçí ðáñÜóôáóç x + 3 − x − 2 − x ÷ùñßò áðüëõôåò ôéìÝò ùò åîÞò:

4x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −

x − 3 ≤ 4x + 1 ⇔ −4x − 1 ≤ x − 3 ≤ 4x + 1 • Áðü ôçí −4x − 1 ≤ x − 3 ðñïêýðôåé: −4x − 1 ≤ x − 3 ⇔ 5x ≥ 2 ⇔ x ≥

2 5

• Áðü ôçí x − 3 ≤ 4x + 1 ðñïêýðôåé:

x − 3 ≤ 4x + 1 ⇔ 3x ≥ −4 ⇔ x ≥ −

4 3

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ëýóåéò ôçò áíßóùóçò x − 3 ≤ 4x + 1 åßíáé ôá x åêåßíá ãéá ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé:

1 2 4 x≥− , x≥ , x≥− 4 5 3 ¼ðùò öáßíåôáé óôï äéÜãñáììá ïé áíéóþóåéò áõôÝò óõíáëçèåýïõí ãéá x ≥

2 5

x − 5, αν x < −3 3x + 1, αν − 3 ≤ x < 0  x+3 − x−2 − x =  x + 1, αν 0 ≤ x ≤ 2 5 − x, αν x > 2

ÅðïìÝíùò áðü ôçí áíßóùóç x + 3 − x − 2 − x ≥ 0 ðñïêýðôïõí ïé áíéóþóåéò: • x − 5 ≥ 0 êáé x < −3 , ïé ïðïßåò äåí óõíáëçèåýïõí ãéá êáíÝíá x. • 3x + 1 ≥ 0 êáé −3 ≤ x < 0 , ïé ïðïßåò óõíáëç-

1 èåýïõí ãéá − ≤ x < 0 . 3 • x + 1 ≥ 0 êáé 0 ≤ x ≤ 2 , ïé ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ãéá 0 ≤ x ≤ 2 . • 5 − x ≥ 0 êáé x > 2 , ïé ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ãéá 2 < x ≤ 5 . Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç áñ÷éêÞ áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá:

1 − ≤ x < 0 Þ 0 ≤ x ≤ 2 Þ 2 < x ≤ 5, 3 Óõ÷íÜ, üôáí Ý÷ïõìå íá ëýóïõìå ìéá áíßóùóç ìå áðüëõôåò ôéìÝò, ìáò óõìöÝñåé íá âãÜëïõìå ðñþôá ôéò áðüëõôåò ôéìÝò, üðùò áêñéâþò êÜíáìå êáé óôçí ðåñßðôùóç ôùí åîéóþóåùí.

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:

x+3 − x−2 ≥ x

1 äçëáäÞ ãéá − ≤ x ≤ 5 . 3

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 5 (4 − x) < x − 2

( 1)

Ëýóç á. Áí x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 ôüôå

Ëýóç

(1) ⇔ 5 ( 4 − x ) < − x + 2 ⇔ 20 − 5x < − x + 2 ⇔

Åßíáé: x + 3 − x − 2 ≥ x ⇔ x + 3 − x − 2 − x ≥ 0

⇔ −5x + x < −20 + 2 ⇔ −4x < −18 ⇔ ⇔x>

−18 9 ⇔x> −4 2

áðïññßðôåôáé äéüôé x ≤ 2 . â. Áí x − 2 > 0 ⇔ x > 2 ôüôå

(1) ⇔ 5 ( 4 − x ) < x − 2 ⇔ 20 − 5x < x − 2 ⇔

åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ

⇔ −5x − x < −20 − 2 ⇔ −6x < −22 ⇔ ⇔x>

−22 11 ⇔x> δεκτή −6 3

⇔ 12

x − 3 −1 x − 3 −1 x −3 +5 + 12 < 12 ⋅ 2 + 12 ⇔ 6 4 6

⇔ 2 ( x − 3 − 1) + 3 ( x − 3 − 1) < 24 + 2 ( x − 3 + 5 ) ⇔

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

⇔ 2 x − 3 − 2 + 3 x − 3 − 3 < 24 + 2 x − 3 + 10 ⇔

x− 3 −1 x− 3 −1 x−3 +5 + < 2+ 6 4 6

⇔ 3 x − 3 < 2 + 3 + 24 + 10 ⇔ 3 x − 3 < 39 ⇔ ⇔ x − 3 < 13 ⇔ −13 < x − 3 < 13 ⇔

Ëýóç x − 3 −1 x − 3 −1 x −3 +5 + < 2+ ⇔ 6 4 6

⇔ −13 + 3 < x − 3 + 3 < 13 + 3 ⇔ −10 < x < 16

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â31. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: i. x -1 < 3

ii. x + 2 < -2

iii. x + 7 ≤ 0

i. x + 1 ≥ 2

x −1 x−2

x + 1 − x − 2 > 2x (1)

Â36. i. Íá ãñÜøåôå ôçí áíßóùóç: á < x < â ùò

Â32. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

iii.

Á6

Â35. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

ii. x + 3 > -1

áíßóùóç ìå áðüëõôï. ii. Íá óõìðëçñùèåß ï ðßíáêáò üðùò äåß÷íåé ç ðñþôç ãñáììÞ.

Â33. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2 < x −1 ≤ 4

Â34. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2 − x −1 < 3

ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

B.4

Ç åîßóùóç αx 2 + βx + γ = 0, α ≠ 0

Ìéá åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï x åßíáé 2ïõ âáèìïý áí ìåôÜ áðü ìéá óåéñÜ ìåôáóÅîßóùóç

÷çìáôéóìþí ìðïñåß íá áíá÷èåß óôç ìïñöÞ αx 2 + βx + γ = 0 , ìå α ≠ 0, β, γ ∈ R

äåõôÝñïõ âáèìïý

ð.÷. ç åîßóùóç 2x 2 − 3x + 4 = 0 åßíáé 2ïõ âáèìïý ìå α = 2, β = −3 êáé γ = 4 .

αx 2 + βx + γ = 0 ⇔ x 2 +

β γ x+ =0 α α

[áöïý α ≠ 0 ]

⇔ x2 +

β γ β γ x = − ⇔ x2 + 2 ⋅ x = − ⇔ α α 2α α

x 2 + 2x

β  β  γ  β  β  γ β2  +  = − +  ⇔ x +  = − + 2 ⇔ 2α  2α  α  2α  2α  α 4α 

[äéáéñïýìå ìå α ≠ 0 ] 2

β  β 2 − 4αγ  x +  = 2α  4α 2  Áí èÝóïõìå ∆ = β 2 − 4αγ ôüôå ç ôåëåõôáßá åîßóùóç ãßíåôáé: 2

β  ∆  x +  = 2 2α  4α 

(1)

Äéáêñßíïõìå ôþñá ôéò ðåñéðôþóåéò: • Áí Ä > 0 , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:

β = 2α

x=−

∆ 4α 2

β ∆ =− ⇔ 2α 4α 2

β ∆ β ∆ −β + ∆ −β − ∆ + − ⇔x= ήx= Þ x=− 2α 2α 2α 2α 2α 2α

ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ëýóåéò (Þ ñßæåò) Üíéóåò ôéò:

x1 =

−β − ∆ −β + ∆ , x2 = 2α 2α

• Áí ∆ = 0 , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå: 2

β  β β  =0⇔x=− x +  = 0 ⇔ x + 2α  2α 2α 

äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá ôç x 0 = − Ëýóç ôçò åîßóùóçò

β . 2α

• Áí Ä < 0 ,ç åîßóùóç (1) Üñá êáé ç αx 2 + βx + γ = 0 , äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò ñßæåò. Ôá ðñïçãïýìåíá óõìðåñÜóìáôá ôá ðáñïõóéÜæïõìå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

αx 2 + βx + γ = 0,

α≠0

Ç ðáñÜóôáóç ∆ = β 2 − 4αγ ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò. Ãéá íá Ý÷ïõìå ëéãüôåñåò ðñÜîåéò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí Ä’ =

∆ áí ï â åßíáé Üñ4

ôéïò. ÐáñáôçñÞóåéò • Áí αγ < 0 , ôüôå ∆ > 0 ïðüôå ç αx 2 + βx + γ = 0 Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò. • Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò êáé ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôüôå Ý÷åé ñßæåò ñçôÝò, áëëéþò Ý÷åé ñßæåò Üññçôåò. • Áí ç åîßóùóç åßíáé åëëåéðÞò, ôç ëýíïõìå ìå ðáñáãïíôïðïßçóç, Þ áðïìïíþíïõìå ôïí Üãíùóôï êáé ðáßñíïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá. ð.÷ 4x 2 − 16x = 0 ⇔ 4x ( x − 4 ) = 0 ⇔ x = 0 ή x = 4

3x 2 + 27 = 0 ⇔ 3x 2 = −27 , åßíáé áäýíáôç. 4x 2 − 64 = 0 ⇔ 4x 2 = 64 ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = 4 ⇔ x = 4 ή x = −4 6x 2 − 96 = 0 ⇔ 6x 2 = 96 ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = 16 ⇔ x = 4 ή x = −4

• Ïé åîéóþóåéò:

αx 2 + β x + γ = 0 êáé α x + β x + γ = 0

ìå ôçí áíôéêáôÜóôáóç x = y ãñÜöïíôáé: αy 2 + βy + γ = 0 ç ïðïßá ëýíåôáé óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá. ð.÷. Ç åîßóùóç x 2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ x − 8 x + 15 = 0 Þ y 2 − 8y + 15 = 0 ìå x = y ≥ 0 2

Åßíáé y =

8 ± 4 8 ± 2 5 = =  . ¢ñá x = 5 ⇔ x = ±5 Þ x = 3 ⇔ x = ±3 . 2 2 3 ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Ëýóç

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

Ãéá íá Ý÷ïõí ïé åîéóþóåéò ßóåò ñßæåò, èá ðñÝðåé íá Ý÷ïõí äéáêñßíïõóá Ä = 0.

x + ( 2 − 1) x − 2 = 0 2

á. Åßíáé ∆ = ( λ − 1) − 4λ ( 2λ − 2 ) = −7λ2 + 6λ + 1 . 2

Ëýóç ∆ = ( 2 − 1) − 4 ⋅1( − 2 ) = 2 − 2 2 + 1 + 4 2 2

= 2 + 2 2 ⋅1 + 12 = ( 2 + 1) > 0 2

− ( 2 − 1) ± ( 2 + 1) − 2 + 1 ± ( 2 + 1) = = 2 ⋅1 2  − 2 +1+ 2 +1 =1   2 =  − 2 +1 − 2 −1 = − 2  2

Èá ðñÝðåé ëïéðüí −7λ2 + 6λ + 1 = 0 . Áí ëýóïõìå ôçí åîßóùóç áõôÞ, âñßóêïõìå λ = 1 êáé λ = −

x1,2 =

1 . 7

â. Åßíáé ∆ ′ = ( λ − 1) − ( λ2 − 2λ + 1) = 0 ãéá êÜèå ôéìÞ ôïõ ë. ¢ñá ãéá ïðïéáäÞðïôå ôéìÞ ôïõ ë ç åîßóùóç èá Ý÷åé ßóåò ñßæåò. 2

ã. Åßíáé: ∆ = 9 ( λ − 3) + 4λ ( 2λ + 10 ) = 17λ2 − 14λ + 81 2

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò Ý÷ïõí ßóåò ñßæåò; á. λx 2 − ( λ − 1) x + 2λ − 2 = 0 â. x 2 − 2 ( λ − 1) x + λ2 − 2λ + 1 = 0

Èá ðñÝðåé 17λ2 − 14λ + 81 = 0 . Ç åîßóùóç üìùò áõôÞ äåí Ý÷åé ñßæåò óôï R. Óõíåðþò ç áñ÷éêÞ åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò ßóåò ãéá êáìéÜ ôéìÞ ôïõ ë.

ã. λx2 − 3 ( λ − 3 ) x − ( 2λ + 10 ) = 0

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B37. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

á. 4x 2 − 2 ( 5 + 1) x + 5 = 0 â. 3αx 2 − ( 3α − β ) x − β = 0

B38. Äßíåôáé ç åîßóùóç

B40.

Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñßæá ôï 5 íá âñåèåß ç Üëëç ñßæá.

B41.

Äßíåôáé ç åîßóùóç: (ë - 1)x2 + (2ë + 1)x + ë = 0. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ë ç åîßóùóç: á. ¸÷åé ìßá ìüíï ñßæá; Ðïéá åßíáé áõôÞ; â. ¸÷åé ìéá ñßæá äéðëÞ; Ðïéá åßíáé áõôÞ;

B42.

2 Áí ç åîßóùóç αx + 2βx + γ = 0, α ≠ 0

x − 2(α + β )x + (α − β ) = 0 . 2

2 2

Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôùí á, â íá âñåßôå ðüóåò ñßæåò Ý÷åé ç åîßóùóç (áí Ý÷åé).

B39. Äßíåôáé ç åîßóùóç x 2 − 2(λ + 2)x + 2λ 2 − 17 = 0 .

Íá âñåßôå ôï ë þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé ìßá ñßæá äéðëÞ. ÌåôÜ íá âñåßôå áõôÞ ôç ñßæá.

Äßíåôáé ç åîßóùóç x 2 − 3x + λ + 2 = 0 .

Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò, íá áðïäåßîåôå üôé ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ãéá ôçí: x 2 + 2(α + β + γ)x + 2β(α + γ) + 3αγ = 0

äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

¸óôù ÷1, ÷2 ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

¢èñïéóìá

αx 2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 (1)

êáé ãéíüìåíï ñéæþí

Åßíáé:

S = x1 + x 2 = −

β γ êáé P = x1 ⋅ x 2 = α α

ð.÷. Áí äýï áñéèìïß Ý÷ïõí Üèñïéóìá x1 + x 2 = −

[ôýðïé ôïõ Vieta]

β γ êáé x1 x 2 = åßíáé ñßæåò ôçò αx 2 + βx + γ = 0 α α

ÐñÜãìáôé, áöïý ïé x1 , x 2 åßíáé ñßæåò ôçò ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0 ðïõ éóïäýíáìá ãñÜöåôáé:

x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0 x2 +

β γ x+ =0 α α

αx 2 + βx + γ = 0

ð.÷. Íá ó÷çìáôßóåôå åîßóùóç ðïõ íá Ý÷åé ñßæåò ôïõò 3 êáé -4. Ôï Üèñïéóìá åßíáé 3 + ( −4 ) = −1 Ôï ãéíüìåíï åßíáé 3 ( −4 ) = −12 ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç åßíáé x 2 + x − 12 = 0 ð.÷. Íá âñåèïýí äõï áñéèìïß áí ãíùñßæïõìå üôé Ý÷ïõí Üèñïéóìá -3 êáé ãéíüìåíï 4 Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ñßæåò ôçò:

x 2 − ( −3) x − 4 = 0

x 2 + 3x − 4 = 0 x 2 + 3x − 4 = 0 Åßíáé

x1 =

−3 + 32 − 4 ⋅1 ⋅ ( −4 ) −3 + 5 = =1 2 2

x2 =

−3 − 32 − 4 ⋅1 ⋅ ( −4 ) −3 − 25 −3 − 5 = = = −4 2 2 2

êáé

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Íá âñåèåß ï λ ∈ R , áí ç ìßá ñßæá ôçò åîßóùóçò x 2 + λx + 8 = 0 éóïýôáé ìå ôï ôåôñÜãùíï ôçò Üëëçò.

Áí ï á åßíáé ìç ìçäåíéêüò ñçôüò áñéèìüò íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç Ý÷åé αx 2 + (α + 2)x + 2 = 0 ñçôÝò ñßæåò. Ðïéá ç ôéìÞ ôïõ á þóôå ôï Üèñïéóìá ôùí äýï ñéæþí íá åßíáé ßóï ìå 3;

Ëýóç Ëýóç

Êáôá áñ÷Þí ðñÝðåé :

∆ > 0 ⇔ λ2 − 4 ⋅1 ⋅ 8 > 0 ⇔ λ2 − 32 > 0 ⇔ ⇔ λ ∈ ( −∞, − 32 ) ∪ ( 32, +∞ ) ( α )

Ç äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò åßíáé: ∆ = ( α + 2 ) − 4 ⋅ α ⋅ 2 = α 2 + 4α + 4 − 8α = 2

= α 2 − 4α + 4 = ( α − 2 )

åßíáé: x1 + x 2 = − λ (1) x1 ⋅ x 2 = 8 ( 2 ) x1 = x 22 ( 3)

Áöïý ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôïõ ñçôïý áñéèìïý á-2, êáé ïé óõíôåëåóôÝò ôçò åîßóùóçò åßíáé ñçôïß áñéèìïß, óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ñßæåò åßíáé ñçôÝò. Ãéá íá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí ñéæþí

( 3)

( 2 ) ⇔ x 22 ⋅ x 2 = 8 ⇔ x 32 = 8 ⇔ ⇔ x 2 = 3 8 ⇔ x 2 = 2 ( 4) ( 4)

( 3 ) ⇔ x1 = 2 2 ⇔ x1 = 4 ( 5 ) ( 4 )( 5)

(1) ⇔ 4 + 2 = − λ ⇔ 6 = − λ ⇔ λ = −6 äåêôÞ ëüãù ôçò (á)

ßóï ìå 3 ðñÝðåé −

α+2 1 =3⇔α=− . α 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B43. ¸óôù ç åîßóùóç

x 2 - ( λ + 1) x − λ = 0 . Áí

Áí ç ìßá ñßæá åßíáé ç x1 = 2, ôüôå: á. íá õðïëïãßóåôå ôçí Üëëç ñßæá x2 ÷ùñßò íá áíôéêáôáóôÞóåôå ôçí x1 óôçí åîßóùóç.

ôá x1, x2 åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò íá âñåßôå ôï ë þóôå: 3x12 -7x12 x 2 -7x1 x 2 2 + 3x 2 2 = 2

x 2 − 3x − 2λ + 1 = 0 . Íá âñåèåß ôï ë, þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé äýï ñßæåò ðïõ ç ìßá íá åßíáé ôåôñáðëÜóéá ôçò Üëëçò.

B44. ¸óôù ç åîßóùóç

B45. Áí

â. íá âñåßôå ôç Ä

B47.

á. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãþíùí ôùí ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé β 2 = 2γ + 2 â. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí áíôéóôñüöùí ôùí ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé

− x 2 + x + 3 = 0 íá õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç 2α 2 − 3αβ 2 + 2β 2 − 3α 2β 4α 3 − 5αβ + 4β 3

B46. ¸óôù üôé ç åîßóùóç −2x 2 + ( λ3 − 19 ) x − 8 = 0 Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.

Äßíåôáé üôé ç åîßóùóç x 2 + βx + γ = 0 Ý÷åé ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.

á, â åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò

ã. íá âñåßôå ôï ë.

β + 2γ = 0

B48.

Áí x 1 , x 2 åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò x 2 + 2x + γ = 0 êáé x12 , x 22 åßíáé ñßæåò

ôçò x 2 + βx + 3 = 0 íá áðïäåßîåôå üôé â = 2ã - 4.

äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ÌïñöÝò ôñéùíýìïõ äåýôåñïõ âáèìïý Ôñéþíõìï

Ôï ðïëõþíõìï f ( x ) = αx 2 + βx + γ , ìå α ≠ 0 ïíïìÜæåôáé ôñéþíõìï äåýôåñïõ âáèìïý.

ÄåõôÝñïõ

Ïé ëýóåéò ñ1, ñ2 ôçò åîßóùóçò αx 2 + βx + γ = 0 ëÝãïíôáé ñßæåò ôïõ ôñéù-

âáèìïý

íýìïõ êáé ç äéáêñßíïõóÜ ôçò ∆ = β 2 − 4αγ ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéù-

(1)

íýìïõ. Ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ õðÜñ÷ïõí, üôáí ∆ ≥ 0 . Åéäéêüôåñá: • Áí ∆ > 0 êáé ρ1 , ρ 2 åßíáé ïé ñßæåò ôïõ, ôüôå β γ  αx 2 + βx + γ = α  x 2 + x +  = α α   = α  x 2 − ( ρ1 + ρ 2 ) x + ρ1ρ 2  = α ( x − ρ1 )( x − ρ 2 )

αx 2 + βx + γ = α ( x − ρ1 )( x − ρ2 )

Üñá

• Áí ∆ = 0 , åßíáé ρ1 = ρ 2 = ρ = −

(2)

β , ïðüôå: 2α

β  2  αx 2 + βx + γ = α ( x − ρ ) = α  x +  2α  

(3)

2  β  ∆  • Áí ∆ < 0 , ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé αx 2 + βx + γ = α  x +  + 2  (4) 2α  4α  

êáé äåí áíáëýåôáé óå ãéíüìåíï.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Á3

Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá: á. f ( x ) = x 2 − ( k + λ + 2 ) x + 2 ( k + λ )

â. g ( x ) = ( x + 3 ) + ( x + 4 ) + ( x + 5 ) − ( x + 6 ) 2

Ëýóç á. Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åîßóùóçò f ( x ) = 0 .

¢ñá åßíáé f ( x ) = α ( x − ρ1 )( x − ρ 2 ) = = ( x − 2 )( x − k − λ )

Åßíáé: ρ 1,2 =

k + λ + 2 ± (2 − k − λ) = 2 k+λ+2+2−k−λ  =2 ρ1 = 2 = ρ = k + λ + 2 − 2 + k + λ = k + λ  1 2

2 k + λ + 2 ± ( k + λ + 2) − 8 ( k + λ ) = 2

2 k + λ + 2 ± (2 − k − λ) = 2

â. Åßíáé g ( x ) = x 2 + 6x + 9 + x 2 + 8x + 16 + x 2 + +10x + 25 − x 2 − 12x − 36 = 2x 2 + 12x + 14

Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò g ( x ) = 0 , ïé ïðïßåò åßíáé: ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

ρ1,2 =

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

−6 ± 36 − 2 ⋅14 −6 ± 8 −6 ± 2 2 = = = 2 2 2

¢ñá α ( α + 1) x 2 + x − 1 =

1  1  = α ( α + 1)  x −  x +  = α + 1  α  ( ) = ( α + 1 x − 1) ( αx + 1)

ρ = −3 + 2 = 1 ρ 2 = −3 − 2

¢ñá åßíáé g ( x ) = 2 ( x + 3 − 2 )( x + 3 + 2 ) .

Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç: x 2 − αx + βx − αβ x 2 − 3αx + 2α 2

Íá ãßíåé ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí ç ðáñÜóôáóç α ( α + 1) x 2 + x − 1 .

Ëýóç Ï áñéèìçôÞò ãñÜöåôáé:

Ëýóç Áí α ( α + 1) = 0 ⇔ α = 0 ή α = −1 ôüôå ç ðáñÜóôáóç ãßíåôáé ÷-1 êáé äåí ðáñáãïíôïðïéåßôáé. Áí α ( α + 1) ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 ή α ≠ −1 ôüôå ç ðáñÜóôáóç åßíáé ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý ìå ∆ = 1 − 4α ( α + 1) ( −1) = 1 + 4α 2 + 4α = = 4α 2 + 4α + 1 = ( 2α ) + 2 ⋅ 2α ⋅1 + 1 = 2

= ( 2α + 1) ≥ 0

x 2 − αx + βx − αβ = = x (x − α) + β (x − α) = (x − α)(x + β) Ï ðáñïíïìáóôÞò Ý÷åé äéáêñßíïõóá

∆ = ( −3α ) − 4 ⋅1 ⋅ 2α 2 = 9α 2 − 8α 2 = α 2 ≥ 0 2

êáé ñßæåò

x1,2 =

−1 ± ( 2α + 1) −1 ± ( 2α + 1) = = 2α ( α + 1) 2α ( α + 1) 2

x1,2 =

2α  −1 + 2α + 1  2α ( α + 1) = 2α ( α + 1) = =  −1 − 2α − 1 = −2α − 2 =  2α ( α + 1) 2α ( α + 1)

1 α +1 −2 ( α + 1) 1 =− 2α ( α + 1) α

3α ± α 2 3α ± α  2α = = 2 ⋅1 2  α

¢ñá ãñÜöåôáé x 2 − 3αx + 2α 2 = ( x − 2α )( x − α ) . ÅðïìÝíùò

x 2 − αx + βx − αβ = x 2 − 3αx + 2α 2

( x − α) ( x + β) x +β = ìå x ≠ α êáé x ≠ 2α . ( x − 2α )( x − α ) x − 2α

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B49. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá: i. x 2 − 6x + 5

ii. 3x 2 − 4x + 1

iii. 5p 2 − 25

iv. x 2 − ( α + β ) x + αβ

B52.

x2 − x − 6 x 2 + 3x + 2

ii.

x 2 + ( 2κ + λ ) x + 2κλ x 2 − λ2

B51. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá:

Κ=

B50. Íá áðëïðïéçèïýí ôá êëÜóìáôá: B53.

6x 3 − x 2 − x 4x 2 − 4x + 1

( x 2 + 3x − 4 )2 − ( x 2 − x )2 ( x 3 − 1) − ( x 2 + x − 2 )

Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:

4x 4 − 13α 2 x 2 + 9α 4 2x 2 + αx-3α 2

Á3 A4

äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

¸óôù f ( x ) = αx 2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 . Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: 1. Ä > 0, ôüôå åßíáé f ( x ) = α ( x − x1 )( x − x 2 )

(1) .

• Aí x < x1 < x 2 åßíáé x − x1 < 0 êáé x − x 2 < 0 ïðüôå:

( x − x1 )( x − x 2 ) > 0

êáé óõíåðþò ëüãù ôçò ó÷Ýóçò (1), ôï f(x) åßíáé

ïìüóçìï ôïõ á. • Aí x1 < x < x 2 åßíáé x − x1 > 0 êáé x − x 2 < 0 , ïðüôå:

( x − x1 )( x − x 2 ) < 0

êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1), ôï f(x) åßíáé åôåñüóçìï

ôïõ á. • Aí x1 < x 2 < x , åßíáé x − x1 > 0 êáé x − x 2 > 0 , ïðüôå : Ðñüóçìï

( x − x1 )( x − x 2 ) > 0

êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1) ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï

ôïõ á.

ôïõ ôñéùíýìïõ f ( x ) = αx 2 + βx + γ

β   2. Áí Ä = 0 ôüôå f ( x ) = α  x +  ïðüôå ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á ãéá 2α   −β . êÜèå x ≠ 2α

2  β  ∆  3. Áí Ä < 0 ôüôå f ( x ) = α  x +  + 2  êáé åðåéäÞ ç ðáñÜóôáóç óôçí 2α  4α  

áãêýëç åßíáé èåôéêÞ ãéá êÜèå x ∈ R , ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á óå üëï ôï R.

ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

Ìéá áíßóùóç äåýôåñïõ âáèìïý ìå Üãíùóôï x ∈ R åßíáé ôçò ìïñöÞò αx 2 + βx + γ > 0 Þ αx 2 + βx + γ < 0 ( α ≠ 0 )

Áíéóþóåéò äåýôåñïõ âáèìïý

Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ôÝôïéá áíßóùóç, ðñÝðåé íá âñïýìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï αx 2 + βx + γ ãßíåôáé èåôéêü Þ áñíçôéêü áíôßóôïé÷á. ¢ñá ç ëýóç ìéáò áíßóùóçò äåýôåñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óôçí åýñåóç ôïõ ðñïóÞìïõ ôïõ ôñéùíýìïõ.

ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé − x 2 + 6x − 8 > 0 . Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï − x 2 + 6x − 8 åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ åôåñüóçìï ôïõ óõíôåëåóôÞ ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôïõ ( α = −1 ). ÅðåéäÞ Ý÷åé äéáêñßíïõóá ∆ = 36 − 4 ( −1) ( −8) = 4 > 0 , ôï ôñéþíõìï − x 2 + 6x − 8 åßíáé åôåñüóçìï ôïõ α = −1 ãéá ôéìÝò ôïõ ÷ ðïõ åßíáé ìåôáîý ôùí ñéæþí ôïõ 2 êáé 4, üðùò öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá. ÷

−∞

− x 2 + 6x − 8

2 –

+∞

4 +

–

Óõíåðþò ôï óýíïëï ôùí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò åßíáé ôï äéÜóôçìá (2,4). 2 Áí åß÷áìå ôçí áíßóùóç − x + 6x − 8 ≥ 0 , ôüôå óôï óýíïëï ëýóåùí èá ðñÝðåé íá õðÜñ÷ïõí êáé ïé ôéìÝò ôïõ ÷, ïé ïðïßåò ìçäåíßæïõí ôï ôñéþíõìï, äçëáäÞ ïé ñßæåò ôïõ. Óõíåðþò ôüôå ôï óýíïëï ëýóåùí èá Þôáí ôï êëåéóôü äéÜóôçìá [2,4].

2 ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé x − 6x + 12 > 0 .

Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ ïìüóçìï ôïõ α = 1 . ÅðåéäÞ üìùò åßíáé ∆ = 36 − 4 ⋅12 = −12 < 0 , ôï ôñéþíõìï åßíáé ðÜíôïôå ïìüóçìï ôïõ á êáé óõíåðþò ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R . ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé 4x 2 − 12x + 9 < 0 . 12 3 ∆  = êáé åßíáé ¸÷ïõìå ∆ ′ = 36 − 4 ⋅ 9 = 0  ∆′ =  . ¢ñá ôï ôñéþíõìï Ý÷åé äéðëÞ ñßæá ôçí 8 2 4 

ïìüóçìï ôïõ α = 4 , äçëáäÞ èåôéêü, ãéá êÜèå x ≠

3 . Óõíåðþò ç áíßóùóç äåí Ý÷åé ëýóç. 2

äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 8

Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: ii. − x + 2x − 5 > 0

i. x − 3x + 5 ≥ 0

i. x 2 + 4x + 3 ≤ 0

iii. −2x + x − 2 < 0 2

Ëýóç i. Åßíáé ∆ = ( −3) − 4 ⋅1 ⋅ 5 = −11 < 0 êáé α = 1 > 0 2

Üñá èá åßíáé x − 3x + 5 > 0 , ãéá êÜèå x ∈ R . 2

ii. Eßíáé ∆ = 2 2 − 4( −1)( −5) = −16 < 0 êáé

Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

2 iii. x − 16 ≥ 0

Ëýóç i. Åßíáé ∆ = 16 − 12 = 4 > 0 . Áöïý α = 1 > 0 èá Ý÷ïõìå x 2 + 4x + 3 ≤ 0 ãéá êÜèå ÷ áíÜìåóá óôéò ñßæåò ôïõ. Oé ñßæåò åßíáé

α = −1 < 0 Üñá èá åßíáé − x 2 + 2x − 5 < 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç . iii. Eßíáé ∆ = 12 − 4( −2)( −2) = −15 < 0 . ¸ôóé áöïý

α = −2 < 0 èá Ý÷ïõìå −2x 2 + x − 2 < 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R .

2 ii. −3x + 7x − 2 < 0

x1,2 =

− 4 ± 2  −1 = 2  −3

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ [-3, -1]. ÃñáöéêÜ ç ëýóç ôçò áíßóùóçò öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: i. 4x 2 − 8x + 4 > 0 ii. − x 2 + 4x − 4 ≤ 0 iii. − x 2 + 2x − 1 ≥ 0

• Ãéá ôçí −3x 2 + 7x − 2 < 0 , ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíý-

Ëýóç i. Eßíáé ∆ = ( − 8) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 0 . Áöïý α = 4 > 0

ìïõ åßíáé 2 êáé

1 . ¸ôóé Ý÷ïõìå: 3

èá åßíáé 4x 2 − 8x + 4 ≥ 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ÅðåéäÞ üìùò èÝëïõìå 4x 2 − 8x + 4 > 0 èá áöáéñÝóïõìå ôçí ôéìÞ x = −

β −8 =− = 1 ðïõ ìç2α 8

äåíßæåé ôï ôñéþíõìï. ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R − {1} . ii. Eßíáé ∆ = 16 − 4 ⋅1 ⋅ 4 = 0 . Áöïý α = −1 < 0 èá åßíáé − x + 4x − 4 ≤ 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R . iii. Eßíáé ∆ = 4 − 4(−1)(−1) = 0 . Áöïý α = −1 < 0 2

Áðü áõôÞ âëÝðïõìå üôé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

1  x ∈  −∞,  ∪ ( 2, +∞ ) . 3  • Ãéá ôçí x 2 − 16 ≥ 0 ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ åßíáé 4 êáé 4. ¸ôóé Ý÷ïõìå:

èá åßíáé − x 2 + 2x − 1 ≤ 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ÅðåéäÞ üìùò èÝëïõìå − x 2 + 2x − 1 ≥ 0 ç ìüíç ôéìÞ ðïõ áëçèåýåé ôçí áíßóùóç åßíáé ç β 2 x=− =− =1 2α −2

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

x ∈ ( −∞, −4] ∪ [ 4, +∞ ) . ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 2ïõ ÂÁÈÌÏÕ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ ∈ R ãéá ôéò ïðïßåò ç áíßóùóç ( λ + 2 ) x 2 − 2λx + 3λ < 0

áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R .

Ëýóç

Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ λ ∈ R íá åîåôáóèåß áí ç åîßóùóç λx 2 + ( λ − 3 ) x + λ = 0 Ý÷åé ñßæåò êáé ðüóåò.

Ëýóç

λ + 2 < 0 λ < −2 ⇔ ÐñÝðåé ∆ < 0 ⇔ ( 2   −2λ ) − 4 ( λ + 2 ) 3λ < 0

Ãéá λ = 0 ç åîßóùóç ãßíåôáé: −3x = 0 ⇔ x = 0 äçëáäÞ ãéá λ = 0 ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá ñßæá ôç x = 0 . Ãéá λ ≠ 0 ç åîßóùóç åßíáé 2ïõ âáèìïý ïðüôå:

λ < −2 λ < −2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 4λ − 12λ − 24λ < 0 −8λ − 24λ < 0

∆ = ( λ − 3 ) − 4λ2 = λ2 − 6λ + 9 − 4λ2 = −3λ2 − 6λ + 9

λ < −2 λ < −2 ⇔ ⇔ ⇔ −8λ ( λ + 3) < 0  λ ( λ + 3) > 0

⇔ λ2 + 2λ − 3 = 0 ⇔ λ = −3 ή λ = 1

 λ < −2 ⇔ ⇔ λ < −3  λ < −3 ή λ > 0

∆ = 0 ⇔ −3λ2 − 6λ + 9 = 0 ⇔ −3 ( λ2 + 2λ − 3) = 0 ⇔

ÅðïìÝíùò á. ãéá λ < −3 Þ λ > −1 ç åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò ðñáãìáôéêÝò â. ãéá −3 < λ < 1 ìå λ ≠ 0 ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò. ã. ãéá λ = −3 ή λ = 1 ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B54. Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë

B55.

Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç -x 2 + (2λ-1)x + 3λ + 10 = 0 Ý÷åé ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò ãéá êÜèå λ∈R .

Â56.

Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç áíßóùóç ( λ − 2 ) x 2 + 2 ( 2λ − 3) x + 5λ − 6 > 0

Á.á. ôï ôñéþíõìï f(x) = (λ − 2)x 2 + 2(2λ-3)x + 5λ-6

åßíáé èåôéêü ãéá êÜèå x ∈ R â. ç áíßóùóç f(x) = ( λ − 2 ) x + 2 ( 2λ − 3) x + 5λ − 6 > 0 2

áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R Â.ã. ôï ôñéþíõìï f(x) = ( λ − 2 ) x + 2 ( 2λ − 3) x + 5λ − 6

áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R .

B57.

á. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ λ ∈ R þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò ôéò x1, x2. â. Ãéá ðïéåò áðü ôéò ðáñáðÜíù ôéìÝò ôïõ ë ðïõ âñÞêáôå óôï á) åñþôçìá éó÷ýåé: x12 + x 2 2 ≥ 3x1 x 2

åßíáé áñíçôéêü ãéá êÜèå x ∈ R ä. ç áíßóùóç

( λ − 2 ) x 2 + 2 ( 2λ − 3) x + 5λ − 6 < 0 áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R . Ã. ôï ôñéþíõìï f(x) = ( λ − 2 ) x 2 + 2 ( 2λ − 3) x + 5λ − 6

äéáôçñåß ôï ßäéï ðñüóçìï ãéá üëá ôá x ∈ R

Äßíåôáé ç åîßóùóç x 2 + (λ + 1)x + λ 2 -1 = 0

Â58.

Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ÷, ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

x 2 − 3x + 2 > 0 x 2 − 5x − 50 < 0 x 2 − 2x − 15 > 0

ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

B.5

ÃñáììéêÜ ÓõóôÞìáôá ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 2÷2 KÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò

Ïñéóìïß

áx + ây = ã ëÝãåôáé ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò. Ëýóç ôçò ïíïìÜæïõìå êÜèå æåýãïò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (x,y) ðïõ ôçí åðáëçèåýåé. á. ¸íá ðëÞèïò äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 ð.÷

α1x + β1 y = γ1 åßíáé Ýíá 2x2 óýóôçìá  α 2 x + β 2 y = γ 2 Åðßëõóç Ëýóç óõóôÞìáôïò

â. Ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé êÜèå æåýãïò (x,y) ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò. Åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ óõíüëïõ ôùí ëýóåùí ôïõ óõóôÞìáôïò.

ÌÝèïäïé

¸íá óýóôçìá ìðïñïýìå íá ôï åðéëýóïõìå ìå ôéò åîÞò ìåèüäïõò:

åðßëõóçò

1. ÌÝèïäïò ôçò áíôéêáôÜóôáóçò 2. ÌÝèïäïò ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí Þ ôçò áðáëïéöÞò 3. ÌÝèïäïò ôçò óýãêñéóçò 4. ÌÝèïäïò ôùí ïñéæïõóþí Þ ìÝèïäïò Cramer

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Íá ëýóåôå ôï óýóôçìá:

 2x − 3y = 7   −4x + 6y = −14

( 1) ( 2)

Ëýóç (1) ⇔ 2x = 7 + 3y ⇔ x = ( 3)

(2) ⇔ −4 ⋅

7 + 3y 2

7 + 3y + 6y = −14 ⇔ 2

(3)

⇔ −2(7 + 3y) + 6y = −14 ⇔ ⇔ −14 − 6y + 6y = −14 −6y + 6y = −14 + 14 ⇔ 0y = 0 , áüñéóôç. ¢ñá êáé ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï äçëáäÞ Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò. Áðü ôçí (3) Ý÷ïõìå: x =

7 + 3y . 2 ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

ÐáñáôÞñçóç: Áí èÝóïõìå y = k ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôéò Üðåéñåò ëýóåéò êáé ùò åîÞò:

¢ñá ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ åßíáé ïé: (3)

(x, y)=(

7 + 3y , y) , y ∈ R åëåýèåñïò Üãíùóôïò. 2

 7 + 3k  , k ∈ R åëåýèåñïò Üãíùóôïò. ,k    2 

Åðßëõóç - äéåñåýíçóç ôïõ óõóôÞìáôïò  αx + βy = γ   α′x + β′y = γ′ αx + βy = γ  á. Èåùñïýìå ôï óýóôçìá (Ó):   α ′x + β′y = γ ′

Äéåñåýíçóç óõóôÞìáôïò

á. • ÏíïìÜæïõìå ïñßæïõóá ôïõ óõóôÞìáôïò ôçí ðáñÜóôáóç D=

α β =αβ′-α′β α′ β′

(1)

• Óõìâïëßæïõìå ìå Dx ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ x èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò. Dx =

γ β = β′γ − βγ′ γ′ β′

(2)

• Óõìâïëßæïõìå ìå Dy ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ y èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò. Dy =

α α′

γ = αγ′ − α′γ γ′

(3)

â. Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: 1. Áí D ≠ 0 ôüôå ôï óýóôçìá Ý÷åé ôç ìïíáäéêÞ ëýóç:  D Dy  (x, y) =  x ,   D D 

2. Áí D = 0 êáé (Dx ≠ 0 Þ Dy ≠ 0 ) ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï. 3. Áí D = Dx = Dy =0 ôüôå ôï óýóôçìá èá åßíáé áüñéóôï åêôüò áí á = á’ =â = â’= 0 êáé ã ≠ 0 Þ ã’ ≠ 0 , ïðüôå èá åßíáé áäýíáôï. á. ÏìïãåíÝò ëÝãåôáé ôï óýóôçìá ôïõ ïðïßïõ ïé óôáèåñïß üñïé åßíáé ìçäÝí αx + βy = 0 ð.÷ ôï óýóôçìá  åßíáé ïìïãåíÝò. α′x + β′y = 0

ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

â. Ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá Ý÷åé ðÜíôá ôç ìçäåíéêÞ ëýóç (0,0). ÄçëáäÞ, äåí åßíáé ðïôÝ áäýíáôï. Ìðïñåß üìùò íá åßíáé áüñéóôï, äçë., íá Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò åê ôùí ïðïßùí ç ìßá åßíáé ç ìçäåíéêÞ (x, y) = (0,0). ã. Áí D ≠ 0 ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá èá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ç ïðïßá ðñïöáíþò èá åßíáé ç ìçäåíéêÞ (x, y) = (0,0). ä. Áí D = 0 ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï (ìéáò êáé äåí ìðïñåß íá åßíáé áäýíáôï) äçëáäÞ, Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (ìéá åê ôùí ïðïßùí èá åßíáé ç ìçäåíéêÞ (x, y) = (0, 0) )

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 2

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá :

y x -1 - 2x = - 1  2  3 -2(1 + y) + 3 = -3(x - 2) + 2y ìå ôç ìÝèïäï ôùí ïñéæïõóþí (Þ ìÝèïäï Grammer) Ëýóç Ó÷üëéï: Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 2÷2 óýóôçìá ìå ôç ìÝèïäï ôùí ïñéæïõóþí ôï ãñÜöïõìå óôç ìïñöÞ : αx + βy = γ  α΄x + β΄y = γ΄

Áðü ôéò (3) êáé (4) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá:  −10x − 3y = −4   3x − 4y = 5

•D =

−10 −3 3 −4

−4 • Dx = 5

¸÷ïõìå: (1) ⇔

Ó÷üëéï : ¼ôáí D = 0 êáé Dx ≠ 0 , ôüôå äå ÷ñåéÜæåôáé íá âñïýìå ôçí Dy . Ôï óýóôçìá èá åßíáé áäýíáôï. Áí üìùò åßíáé Dx = 0 äåí ìðïñïýìå íá óõìðåñÜíïõìå ôßðïôá ãéá ôï óýóôçìá ãé’ áõôü ðñï÷ùñïýìå êáé óôçí åýñåóç ôçò Dy .

y x −1 x −1 − 2x = − 1 ⇔ 6 − 6 ⋅ 2x = 3 2 3

• Dy=

−3 −4

−10 −4 3

= −10( −4) − 3( −3) = 40 + 9 = 49 ≠ 0

= −4( −4) − 5( −4) = 16 + 20 = 36

= (−10) ⋅ 5 − 3(−4) = −50 + 12 = −38

y = 6 − 6 ⋅1 ⇔ 2(x − 1) − 12x = 3y − 6 ⇔ 2x − 2 − 12x = 2

ÅðåéäÞ D = 49 ≠ 0 ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ

= 3y − 6 ⇔ 2x − 12x − 3y = −6 + 2 ⇔

Dx 36  x = D = 49 ëýóç ôçí   y = Dy = − 38  D 49

-10x - 3y = -4

(3)

(2) ⇔ −2(1 + y) + 3 = −3(x − 2) + 2 y ⇔

⇔ −2 − 2y + 3 = −3x + 6 + 2y ⇔ ⇔ −2 y + 3 x − 2 y = 6 + 2 − 3

⇔ −4y + 3x = 5 ⇔ 3x - 4y = 5

(4)

 36 38  ÄçëáäÞ: (x,y) =  , -   49 49  ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

Áí ãéá Ýíá óýóôçìá äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå áãíþóôïõò x,y éó÷ýïõí: ( 1)  2D x + 3D y = − D   −4D x + 7D y = −11D ( 2 ) êáé ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç,íá ëõèåß ôï óýóôçìá.

Ëýóç Áöïý ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç èá éó÷ýåé Dx Dy êáé y = . D ≠ 0 . ¢ñá x = D D Äéáéñïýìå ôéò åîéóþóåéò (1) êáé (2) ìå D ≠ 0 êáé Ý÷ïõìå:  2Dx 3Dy − D  D + D = D  2x + 3y = −1  ⇔   4D 7D 11D − x y  −4x + 7y = −11 − + =  D D D

Ëýóç Åßíáé

2 3 = 2 ⋅ 7 − ( − 4) ⋅ 3 = 14 + 12 = 26 ≠ 0 −4 7

−1

−4 − 11

Dy =

Dx 26   x = D = 26 = 1 ÅðïìÝíùò   y = Dy = −26 = −1  D 26

¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç (x,y) = (1,-1)

Íá ëõèåß êáé íá äéåñåõíçèåß ôï (λ − 2)x + λy = 2λ (Ó) :  3x + (λ + 2)y = 12

üðïõ λ ∈ R (ðáñÜìåôñïò).

2λ λ = 2λ ⋅ (λ + 2) − 12λ = 12 λ + 2

( 2)

λ - 2 2λ = 12(λ − 2) − 3 ⋅ 2λ = 12λ − 24 − 6λ = 3 12 = 6λ − 24 = 6(λ − 4)

( 3)

Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò: 1ç ðåñßðôùóç: (1)

Áí: D ≠ 0 ⇔ (λ − 4)(λ + 1) ≠ 0 ⇔

λ − 4 ≠ 0 λ ≠ 4   ⇔  και ⇔  και λ + 1 ≠ 0 λ ≠ −1   ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç (x , y ) ìå Dx 2λ(λ − 4) 2λ  x = D = (λ − 4)(λ + 1) = λ + 1    y = Dy = 6(λ − 4) = 6  D (λ − 4)(λ + 1) λ + 1

= 2(−11) − (−4)(−1) = = −22 − 4 = −26

= (λ − 2)(λ + 2) − 3λ =

= 2λ 2 − 8λ = 2λ ( λ − 4)

= −7 + 33 = 26 2

λ+2

Dx =

−1 3 • Dx = = (−1) ⋅ 7 − (−11) ⋅ 3 = −11 7

• Dy =

λ 2 − 4 − 3λ = λ 2 − 3λ − 4 = ( λ + 1)( λ − 4 ) (1)

Ëýíïõìå ôï óýóôçìá êáé ðñïêýðôåé: • D=

λ–2

2ç ðåñßðôùóç: Áí D = 0 ⇔ λ = 4 ή λ = -1 á. ìå ë = 4 Ý÷ïõìå: ( 2)

Dx = 2 ⋅ 4(4 − 4) = 8 ⋅ 0 = 0 ( 3)

êáé

Dy = 6(4 − 4) = 6 ⋅ 0 = 0 .

ÄçëáäÞ áí ë = 4 ôüôå D = Dx = Dy = 0 êáé åðåéäÞ õðÜñ÷åé óõíôåëåóôÞò ôïõ áãíþóôïõ x óôçí 2ç åîßóùóç ≠ 0 (ôï 3 ≠ 0 ) ôï (Ó) åßíáé áüñéóôï äçë. Ý÷åé Üðåéñåò

ëýóåéò ôéò ïðïßåò êáé èá âñïýìå. Ãéá íá âñïýìå ôéò Üðåéñåò ëýóåéò óôï ðáñáìåôñéêü óýóôçìá èÝôïõìå ë = 4 óå ìßá áðï ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ (Ó) êáé ìåôÜ ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ùò ðñïò Ýíáí

ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

Üãíùóôï. Ãéá ë = 4 ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ (Ó) ãßíåôáé: :2

ÓõìðÝñáóìá

(4 − 2)x + 4y = 2 ⋅ 4 ⇔ 2x + 4y = 8 ⇔

1. Áí λ ≠ 4 êáé λ ≠ −1 ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ

⇔ x + 2y = 4 ⇔ x = 4 − 2y

6   2λ , ëýóç ôçí (x,y) =    λ +1 λ +1 2. Áí ë = 4 ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ôéò (x,y) = (4 − 2 y,y), y ∈ R

¢ñá ïé Üðåéñåò ëýóåéò åßíáé (x,y) = (4 − 2 y,y), y ∈ R . â. ìå ë = -1 Ý÷ïõìå: ( 2)

Dx = 2( − 1)( − 1 − 4) = −2( − 5) = 10 ≠ 0

3. Áí ë = –1 ôï (Ó) åßíáé áäýíáôï.

ÄçëáäÞ, áí ë = -1 ôüôå D = 0 êáé Dx ≠ 0 ïðüôå

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B59. Íá ëõèåß êáé äéåñåõíçèåß ôï (Ó)

B62.

λx − y = λ2  4  x − λy = λ

2D x + D y = 4D  D x − 3D y = −5D .

ãéá êÜèå ôéìÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ λ ∈ R

B60. á. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

λx-y = 3   x + λy = -2

Äßíåôáé Ýíá 2÷2 ãñáììéêü óýóôçìá ìå Üãíùóôïõò x,y ãéá ôï ïðïßï éó÷ýåé:

Íá âñåßôå ôç ìïíáäéêÞ ëýóç, áí ãíùñßæåôå üôé õðÜñ÷åé.

B63.

â. Ãéá ôçí ëýóç (x0,y0) ðïõ èá âñåßôå íá

Äßíåôáé Ýíá ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå Üãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç åíþ áêüìá éó÷ýåé,

ëýóåôå ôçí áíßóùóç 2x 0 + 3y0 ≥ −9

D x − D y − 3D + 2D x + 3D y + 4D = 0 .

B61. Ãéá Ýíá ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 (äýï åîé-

Íá âñåèåß ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò

óþóåéò ìå äýï áãíþóôïõò) éó÷ýïõí:

D 2x = −2DxDy − D 2y   και 2x-y = 3  Áí ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç íá âñåèåß ç ëýóç áõôÞ.

B 64.

Íá ëõèåß ôï ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå Üãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç êáé ãéá ôï ïðïßï éó÷ýïõí:

2x + y = 18 êáé D 2x + D 2y = 2D x D y

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5

ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 3÷3 á) ÃñáììéêÞ åîßóùóç ìå 3 áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò: ÓõóôÞìáôá

áx + ây +ãù = ä

ãñáììéêþí

â) Ãñáììéê;ü óýóôçìá 3 ÷ 3 ïíïìÜæåôáé êÜèå óýóôçìá ôçò ìïñöÞò

åîéóþóåùí

α1 x + β1y + γ1ω = δ1  α 2 x + β 2 y + γ 2 ω = δ 2 α x + β y + γ ω = δ 3 3 3  3

ìå ðåñéóóüôåñïõò áðü äýï áãíþóôïõò.

ä) ÊÜèå äéáôåôáãìÝíç ôñéÜäá (x,y,ù) ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò ôñåéò åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò ëÝãåôáé ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 5

2x + 3y − 5ω = 10

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

¸÷ïõìå: 

4x − y + 7ω = −4

 2x + 3y − 5ω = 10  −3x + 2y − ω = 0  4x − y + 7ω = −4 

4x + 6 y − 10ω = 20 ⇔ − 4 x + y − 7 ω = 4

Ëýóç Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 3x3 óýóôçìá êÜíïõìå ôá åîÞò âÞìáôá. ÂÞìá ðñþôï: Áðü ôçí ðñþôç êáé äåýôåñç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ åíüò áãíþóôïõ (üðïéïí èÝëïõìå) ð.÷. ôïí x ìå ôç ìÝèïäï ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí. ¸÷ïõìå:

 2x + 3y − 5ω = 10   −3x + 2y − ω = 0

⋅ (2) ⋅ (−1)

⋅ (3) ⋅ (2)

6x + 9 y − 15ω = 30 ⇔ − 6x + 4 y − 2ω = 0 ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 13y-17ù = 24 (5) ÂÞìá äåýôåñï: Áðü ôçí ðñþôç êáé ôçí ôñßôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôïõ ßäéïõ áãíþóôïõ.

ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 7y -17ù = 30 (4) ÂÞìá ôñßôï: Ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí (4) êáé (5) .

13y − 17ω = 30 7 y − 17ω = 24

Áðü (4) êáé (5) Ý÷ïõìå 

Må áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå: 6y = 6 Þ y = 1, ïðüôå ù = -1. ÄçëáäÞ (y,ù) = (1,-1) ÂÞìá ôÝôáñôï: Ôá y = 1 êáé ù = -1 ðïõ âñÞêáìå óôï ôñßôï âÞìá ôá áíôéêáèéóôïýìå óôçí ðñþôç åîßóùóç êáé âñßóêïõìå ôï x. ÄçëáäÞ: (1) ⇔ 2x + 3y − 5ω = 10 ⇔ 2x + 3 ⋅1 − 5 ( −1) = 10 ⇔ ⇔ 2x + 3 + 5 = 10 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 ¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôçí

(x,y,ù) = (1,1,-1)

ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B65. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

− x + 2y − ω = 0  −3x + 5y − 2ω = 0 2x − y − ω = 0 

B66. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá x + y + z = 2 y + z + ω = 5    y + z + ω = −3 ω + x + y = 8

Ëýóç óõóôç-

B67. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá: 1 1 x + y = 2  1 1 α) (Σ1 ):  + = 3 , y ω 1 1  + = 15 ω x

1  xy x + y = 2  1  yω β) (Σ 2 )  = y+ω 3  xω 1 =   x + ω 15

Óôçí åðßëõóç óõóôçìÜôùí 2ïõ êáé áíùôÝñïõ âáèìïý ìðïñïýí íá ìáò âïçèÞóïõí ôá üóá ãíùñßóáìå óôéò ðñïçãïýìåíåò ðáñáãñÜöïõò ãéá ôç ëýóç ôùí äåõôåñïâÜèìéùí åîéóþóåùí. ÊïéíÞ åðéäßùîç êáôÜ ôç ëýóç ôÝôïéùí óõóôçìÜôùí ðñÝðåé íá åßíáé ï ó÷çìáôéóìüò

ìÜôùí ðïõ áíÜãïíôáé óå åîéóþóåéò

ìéáò ôïõëÜ÷éóôïí äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.

â âáèìïý

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 6

2y 2 + 2y − 24 = 0 Þ ôçí y 2 + y − 12 = 0

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

ÅðåéäÞ ∆ = 1 − 4 ⋅ ( −12 ) = 49 > 0 ïé äýï ñßæåò ôçò åßíáé:

 y + xy + y 2 = 24  y = x − 1

y1,2 =

Ëýóç Áí áíôéêáôáóôÞóïõìå áðü ôçí y=x-1 ôï x=y+1 óôçí ðñþôç âñßóêïõìå äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç. ¸ôóé ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ãñÜöåôáé: y + y ( y + 1) + y = 24 Þ y + y + y + y = 24 . 2

Ëýíïõìå ôç äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç

−β ± ∆ −1 ± 49 −1 ± 7  3 = = = 2α 2 2  −4

¸ôóé ôï óýóôçìá åßíáé éóïäýíáìï ìå ôá óõóôÞìáôá:  y = −4 y = 3  êáé  x = y + 1 x y 1 = +  

áð’ ôá ïðïßá Ý÷ïõìå (x, y) = (4, 3) êáé (x, y) = (-3, -4).

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B68. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

 2xy + 1 = −11  x + y = 1

B69. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá

 x 2 + y 2 = 73   xy = 24

ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

B.6

ÐïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6

ÐïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò Ãéá íá åðéëýóïõìå ìéá ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç P(x) = 0 ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò. Ãéá ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç ôïõ ðïëõùíýìïõ ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå ôá åîÞò: 1. Óå ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò ìå áêÝñáéïõòóõíôåëåóôÝò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý üñïõ α 0 ≠ 0 . 2. Áí Ýíáò áñéèìüò ñ åßíáé ñßæá ôçò åîßóùóçò P(x) = 0 , ôüôå êáé ìüíïí ôüôå:

P(ρ) = 0 ⇔ P ( x ) = (x − ρ)Π ( x ) ⇔ Ôï x - ñ åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ P(x). 3. Ó÷Þìá Horner (×üñíåñ) Ç äéáßñåóç ôïõ ðïëõùíýìïõ P ( x ) = 2x 3 − 3x 2 − x + 2 ìå ôï x − 2 ìðïñåß íá ðáñïõóéáóôåß åðïðôéêÜ ìå ôï áêüëïõèï ó÷Ýäéï, ðïõ åßíáé ãíùóôü ùò ó÷Þìá Horner. 2

-3

-1

-2

2 1 1 0 ÓõíôåëåóôÝò Ðçëßêïõ Õðüëïéðï Óôçí ðñþôç óåéñÜ ãñÜöïõìå ôïõò óõíôåëåóôÝò ôïõ P(x). Ôï 2 åßíáé ï áñéèìüò ðïõ ìçäåíßæåé ôï äéáéñÝôç x–2. Ï ðñþôïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò óåéñÜò åßíáé ï ðñþôïò óõíôåëåóôÞò ôïõ P(x). Ïé áñéèìïß ôçò äåýôåñçò óåéñÜò ðñïêýðôïõí ìå ðïë/óìü ôïõ áìÝóùò ðñïçãïýìåíïõ áñéèìïý ôçò ôñßôçò óåéñÜò åðß ôïí áñéèìü 2. ÊÜèå áñéèìüò (åêôüò ôïõ ðñþôïõ) ôçò ôñßôçò óåéñÜò ðñïêýðôåé ùò Üèñïéóìá ôùí áíôßóôïé÷ùí áñéèìþí ôçò ðñþôçò êáé äåýôåñçò óåéñÜò. Ï ôåëåõôáßïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò óåéñÜò åßíáé ôï õðüëïéðï, åíþ ïé Üëëïé áñéèìïß áõôÞò ôçò óåéñÜò åßíáé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ ðçëßêïõ ôçò äéáßñåóçò. Ôïíßæïõìå üôé, óôï ó÷Þìá Horner óõìðëçñþíïõìå óôçí ðñþôç óåéñÜ ìå 0 ôïõò óõíôåëåóôÝò üóùí åíäéÜìåóùí üñùí äåí õðÜñ÷ïõí óôï ðïëõþíõìï P(x). ¸ôóé ôï ðïëõþíõìï ãñÜöåôáé: P ( x ) = 2x 3 − 3x 2 − x + 2 = ( x − 2 ) ( x 2 + x + 1)

Ó÷üëéï Ïé ãíùóôÝò ìÝèïäïé ðáñáãïíôïðïßçóçò, ( êïéíüò ðáñÜãïíôáò, ïìáäïðïßçóç, óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíïõ, äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí, ê.ô.ë.) äåí ìðïñïýí íá åöáñìïóôïýí ðÜíôïôå, üìùò üôáí åßíáé äõíáôÞ ç ÷ñÞóç ôïõò, ðñïôéìþíôáé äéüôé äéåõêïëýíïõí ðïëý ôç äéáäéêáóßá. • ¸ôóé ìåôÜ ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç, ôï ðïëõþíõìï P(x) ãñÜöåôáé :

P(x) = P1 (x) ⋅ P2 (x) ⋅ ... ⋅ Pκ (x)

ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

Tüôå:

P(x) = 0 ⇔ P1 (x) ⋅ P2 (x) ⋅ ... ⋅ Pκ (x) = 0 ⇔ P1 (x) = 0 ή P2 (x) = 0 ή . . . ή Pκ (x) = 0

ÄçëáäÞ ç ëýóç ôçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò P(x) = 0 , áíÜãåôáé óôç ëýóç ôùí åîéóþóåùí

Pi (x) = 0 , üðïõ i= 1 , 2 , . . . , ê , ôá ïðïßá ðñïóðáèïýìå íá åßíáé ðïëõþíõìá ðñþôïõ Þ äåõôÝñïõ âáèìïý. Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá: ÂÞìá 1: Áí ç åîßóùóç P(x) = 0 , Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò, êÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí êáé êáôáëÞãïõìå óå åîßóùóç ìå áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò. ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ñi, ðïõ åßíáé ïé áêÝñáéïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý üñïõ. ÂÞìá 3: Âñßóêïõìå ðïéá áðï ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ìçäåíßæåé ôï ðïëõþíõìï P(x) . ÂÞìá 4: Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner, ãéá ôç ñßæá ñ1 ðïõ âñÞêáìå êáé ãñÜöïõìå ôï ðïëõþíõìï óôç ìïñöÞ: P(x) = (x − ρ1 ) ⋅ Π1 (x) , üðùò ðñïêýðôåé áð’ôï ó÷Þìá Horner. ÂÞìá 5: ÊÜíïõìå ôçí åñãáóßá áðï ôï âÞìá 2 åþò ôï âÞìá 4 ãéá ôï ðïëõþíõìï Π1 (x) êáé óõíå÷ßæïõìå ôçí ßäéá äéáäéêáóßá ìÝ÷ñé ôï áñ÷éêü ðïëõþíõìï P(x) íá ãßíåé ãéíüìåíï ðñùôïâÜèìéùí êáé äåõôåñïâÜèìéùí ðïëõùíýìùí. ÂÞìá 6: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ äåõôåñïâÜèìéïõ Π i (x) , áí õðÜñ÷ïõí, ìå ôç ìÝèïäï ôçò äéáêñßíïõóáò. ÃñÜöïõìå ôï P(x) óå ìïñöÞ ãéíïìÝíïõ ðáñáãüíôùí, ïðüôå Ý÷ïõìå ìßá ðñïò ìßá ôéò ñßæåò.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x − x − 4x − 4 = 0 4

Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá ρ1 = −1

Ëýóç Ç åîßóùóç Ý÷åé áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò ìå óôáèåñü üñï α 0 = −4 . ¸ôóé ïé ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò

-1

-4

-1

-4

-1

åßíáé : ±1, ±2, ±4

Ïðüôå P(x) = (x + 1)(x 3 − x 2 − 4)

Äéáðéóôþíïõìå: P(1) = 14 − 12 − 4 ⋅1 − 4 = −8 ≠ 0

Ãéá ôï Π1 (x) = x 3 − x 2 − 4 , Ý÷ïõìå:

(Üñá ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò: ±1, ±2, ±4

P( −1) = ( −1) − ( −1) − 4 ⋅ ( −1) − 4 = 0 (Üñá ï á-

(Ó÷üëéï: Åö’üóïí ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá ôïõ P(x) , äåí ìðïñåß íá åßíáé ñßæá ïýôå ôïõ

ñéèìüò - 1 åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6

Π1 (x) , êáé åðïìÝíùò äåí åßíáé áðáñáßôçôç ç äïêéìÞ ìå ôï 1.) Π1 (−1) = −6 ≠ 0 ,(Üñá ï áñéèìüò -1 äåí åßíáé ñßæá ôïõ Π1 (x) ) Π1 (2) = 23 − 2 2 − 4 = 0 (Üñá ï áñéèìüò 2 åßíáé

ñßæá ôïõ Π1 (x) ) Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá ρ 2 = 2 1

-1

-4

Ãéá ôï Π 2 (x) = x 2 + x + 2 , åðåéäÞ

∆ = 12 − 4 ⋅1⋅ 2 = −7 < 0 ôï Π 2 (x) äåí Ý÷åé ñßæåò óôï R. ¸ôóé ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé: ρ1 = −1 και ρ 2 = 2 . ÐáñáôÞñçóç Ç ðñïçãïýìåíç áðüäåéîç Ýãéíå ãéá íá öáíïýí ôá âÞìáôá ðïõ áíáöÝñïõìå óôç ìÝèïäï. Ìéá óýíôïìç ëýóç ãéá ôï óõãêåêñéìÝíï åßíáé:

x 4 − ( x 2 + 4x + 4 ) = 0 ⇔ x 4 − ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2

¸ôóé Ý÷ïõìå : P(x) = (x + 1)(x − 2)(x 2 + x + 2)

( x 2 − x − 2 )( x 2 + x + 2 ) = 0 ⇔ x = −1, x = 4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â70. Íá ëõèoýí ïé åîéóþóåéò : i.

1 3 1 2 1 1 ⋅x − ⋅x + ⋅x − = 0 3 2 3 6

vi. x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 vii. 6x 4 − 5x 3 + 19x 2 − 15x + 3 = 0

ii. x 3 − αx 2 − x + α = 0

2 5 17 viii. x 3 − x 2 + x − = 0 3 2 6

iii. 3x 4 − 8x 3 − 12x 2 + 32x = 0

ix. 2x 3 − 7x 2 − 3x + 18 = 0

iv. 3x

− 3x + 2 ) = 27 ( x − 1)( x − 2 )

x. 2x 2 − x + ( x − 2 )( 2x + 1) = x 2 − 5x + 6

v. 2x 4 − 7x 3 − 3x 2 + 18x = 0

Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò áíßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá: ÐïëõùíõìéêÝò áíéóþóåéò

ÂÞìá 1: Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ìå ôïí ôñüðï ðïõ áíáöÝñåôáé óôç ìÝèïäï ëýóçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò. ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ êáèåíüò ðáñÜãïíôá êáé óôç óõíÝ÷åéá ôï ðñüóçìü ôïõ. ÂÞìá 3: Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåéþíïõìå óôï ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíüìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò.

ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

Ó÷çìáôéóìüò ðßíáêá ðñïóÞìùí*: Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð' áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìáôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß. Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèÝôá ôï ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá. Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò êýêëïõò. Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíßóùóç.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 2

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

¸ôóé P(x) = x ⋅ (x − 3) ⋅ ( − x 2 + x − 1)

− x + 4x − 4x + 3x ≤ 0 4

Ãéá ôï Π 2 (x) = − x 2 + x − 1 åßíáé

Ëýóç ÏíïìÜæïõìå P(x) = − x + 4x − 4x + 3x ôï ðïëõþíõìï ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ôï ïðïßï èá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå. 4

∆ = 12 − 4( −1) ⋅ ( −1) = −3 < 0 Üñá äåí Ý÷åé ñßæåò. ÊÜíïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí ãéá ôïõò ðáñÜãïíôåò ôïõ ãéíïìÝíïõ :

P(x) = x ⋅ (x − 3) ⋅ ( − x 2 + x − 1)

Ôï P(x) Ý÷åé ðñïöáíþò ðáñÜãïíôá ôïí x. (ñ1= 0) 2 ¸ôóé P(x) = x ⋅ (− x3 + 4x − 4x + 3) Π1 (x )

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ãéá ôï Π 1 ( x ) = − x 3 + 4x 2 − 4x + 3 : ±1, ±3 .

Π1 (1) = 2 ≠ 0 , Π1 (−1) = 12 ≠ 0 , Π1 (3) = 0 Üñá ï ñ2 = 3 åßíáé ñßæá .

-1

-4

-3

-1

−∞

x −3 ,

Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner óôï Π1 (x) ãéá ñ2=3. -1

− x 2 + x − 1 12345678 P(x)

12345678 12345678 12345678 - 0 12345678

+∞

3 +

1234567890123 1234567890123 1234567890123 01234567890123 1234567890123

ÅðïìÝíùò x ∈ ( −∞, 0] ∪ [3, +∞ ) .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B.71 Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

iv. x 3 − 6x 2 + 11x − 6 ≤ 0

i. (1 − x)(x + 2) ≤ (x − 3)x

vi. x 3 − 2x 2 + x − 2 > 0

ii. − x 3 + 4x 2 − 3x ≥ 0

vii. x 3 ( x + 1) − 2 > x ( x − 1)

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

B.7

ÅéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

Óôï êåöÜëáéï áõôü ìáèáßíïõìå íá åðéëýïõìå : 1.

ÄéôåôñÜãùíåò åîéóþóåéò

ÑçôÝò åîéóþóåéò

¢ññçôåò åîéóþóåéò

Äéþíõìåò - ôñéþíõìåò åîéóþóåéò

Áíôßóôñïöåò åîéóþóåéò Ïé åîéóþóåéò ôçò ìïñöÞò

αx 4 + βx 2 + γ = 0 ìå α,β, γ ∈ R êáé α ≠ 0

ëÝãïíôáé äéôåôñÜãùíåò êáé ôéò åðéëýïõìå ùò åîÞò: 1ï: ÈÝôïõìå x 2 = y , y ≥ 0 (1) ïðüôå ðñïêýðôåé ç äåõôåñïâÜèìéá ùò ðñïò y

ÄéôåôñÜãùíç

åîßóùóç αy 2 + βy + γ = 0 , ðïõ ëÝãåôáé åðéëýïõóá.

åîßóùóç

2ï: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åðéëýïõóáò (áí õðÜñ÷ïõí). 3ï: Áðü ôçí (1) âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò äéôåôñÜãùíçò (áí õðÜñ÷ïõí).

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç

Ôüôå áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:

x − 5x + 4 = 0 4

• x 2 = 1 ⇔ x = ±1 • x 2 = 4 ⇔ x = ±2

Ëýóç

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åßíáé ïé:

ÈÝôïõìå x 2 = y, y ≥ 0 (1) , ïðüôå ç åîßóùóç ãñÜ-

x = ±1 Þ x = ±2 .

öåôáé: y − 5y + 4 = 0 ⇔ y = 1 ή y = 4 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â 72.

Óå ðïéåò ðåñéðôþóåéò ç äéôåôñÜãùíç

Â75. Áí ç åîßóùóç

αx + βx + γ = 0, α ≠ 0 åßíáé áäýíáôç óôï R;

(κ + λ)x 4 + (2κ - λ -10)x 3 + 2x 2 - (κ - λ - 7)x + 6 - κ = 0

Â73. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

Â76. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

á. 4x + 3x − 1 = 0 â. 4x − 4x + 1 = 0 4

ã. 5x 4 − 2x 2 + 3 = 0

Â74. Íá ëõèåß ç åîßóùóç üðïõ á > 0, â > 0.

åßíáé äéôåôñÜãùíç íá âñåèïýí ïé ñßæåò ôçò.

64x 4 − 52x 2 + 9 = 0 (1)

Â77. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2

x 2 − αβ 2 =

1 β − α x2

x 4 − 10x 2 + 169 = 0 (1)

Â78. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 4 + 3x 2 − 4 = 0 (1)

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ åÜí Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ. Ãéá íá ëýóù ìéá ñçôÞ åîßóùóç êÜíù ôá åîÞò:

ÑçôÝò

Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò ðáñáãïíôïðïéÞóù). Tï âÜæù äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò êáé ðïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìáóôþí . Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò. Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãïíôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç.

åîéóþóåéò

Á5

ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôá-

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x+7 6 + 2 x+1 x + x

èåñïý üñïõ:

±1, ± 2, ± 3, ± 6 .

ÅðåéäÞ åßíáé P( −1) = ( −1)3 − 7 ⋅ ( −1) − 6 = 0 ôï

Ëýóç

ρ1 = −1 åßíáé ñßæá .

Ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñáíïìáóôþí åßíáé x ( x + 1) .

Ó÷Þìá Horner ìå ôï -1

ÐñÝðåé:

x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1 êáé 1

x ≠ 0  2 x + x ≠ 0 ⇔ x ⋅ (x + 1) ≠ 0 ⇔  και  x ≠ −1  ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð. x+7 6 x ⋅ (x + 1) ⋅ x = x ⋅ (x + 1) ⋅ + x ⋅ (x + 1) ⋅ 2 ⇔ x +1 x +x

-7

-6

-1

-6

-1

P(x) = (x + 1) ⋅ (x 2 − x − 6) . Ìå ôç ìÝèïäï

¢ñá

ôçò äéáêñßíïõóáò âñßóêïõìå üôé ïé ñßæåò ôïõ Π(x) = x 2 − x − 6 åßíáé : ρ 2 = −2 êáé

ρ3 = 3 .

¼ìùò ç ñßæá ρ1 = −1 áðïññßðôåôáé ,äéüôé äåí é-

⇔ x 3 + x 2 = x ⋅ (x + 7) + 6 ⇔ x 3 − 7x − 6 = 0 (1) Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç (1):

êáíïðïéåß ôïõò áñ÷éêïýò ðåñéïñéóìïýò

P(x) = x 3 − 7x − 6 = 0

¸ôóé ïé ëýóåéò åßíáé : x = −2 ή x = 3 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â79. Íá ëõèïýí á.

â.

ïé åîéóþóåéò:

2 3 + x2 + =1 x 2 − x x 2 − 2x + 1 2x x +1 3 − = +4 x − 1 2 − x x 2 − 3x + 2

ã.

ä.

2x − 1 x 2 3x − 6 + = 2 x − 3 x − 2 x − 5x + 6 2 ( x − 1) x

x 2 − 2x + 12 5 = 2 x−4 x − 4x

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

¢ññçôç åîßóùóç , ëÝãåôáé ç åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò åßíáé óå ñéæéêü. Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç åîßóùóç: • ÈÝôïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôéò õðüññéæåò ðáñáóôÜóåéò. (Íá åßíáé ìåãáëýôåñåò Þ ßóåò ôïõ ìçäåíüò).

¢ññçôåò Åîéóþóåéò

• Ðñïóáñìüæïõìå êáôÜëëçëá ôá äýï ìÝëç , (Ýôóé þóôå õøþíïíôáò óå êáôÜëëçëç äýíáìç, íá áðáëåßøïõìå ôéò ñßæåò) êáé õøþíïõìå óå êáôÜëëçëç äýíáìç. • Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé , êáé åëÝã÷ïõìå áí ïé ñßæåò éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò , áëëá êáé ôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç.

1ç ÌÏÑÖÇ : Ôñüðïò åðßëõóçò :

f ( x) = g ( x)

Á7

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

 f ( x ) ≥ 0 , g ( x ) ≥ 0 f (x) = g(x) ⇔  2  f ( x ) = g ( x ) 

5− x − x = 1

Ëýóç Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

5 − x − x = 1 ⇔ 5 − x = x +1 ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí: 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 êáé ¸ôóé ôåëéêÜ ðñÝðåé:

(1)

Ý÷ïõìå:

(

5−x

)

x1 = 1 και x 2 = 3 êáé ç åîßóùóç (1) ðïõ Ý÷åé ñßæá ôçí x = 3 äåí åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðïõ Ý÷åé ñßæåò x1 = 1, x 2 = 3 .

x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1

x ∈ [ −1,5]

Õøþíïõìå ôá ìÝëç ôçò (1) óôï ôåôñÜãùíï êáé 2

( 2 ) ⇔ x 2 − 4x + 4 = 1 ⇔ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔

= (x + 1) ⇔ 5 − x = x + 2x + 1 ⇔ 2

⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ x = 1 Þ x = −4 . Ç ëýóç x = − 4 , áðïññßðôåôáé ëüãù ôùí ðåñéïñéóìþí , åíþ ç ëýóç x = 1 åðáëçèåýåé ôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç, Üñá åßíáé ç ìïíáäéêÞ ëýóç. Ðñïóï÷Þ: Áí õøþíïõìå ôá ìÝëç åîéóþóåùò óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå ôïõò êáôÜëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò, äåí ðñïêýðôåé óõíÞèùò éóïäýíáìç åîßóùóç . ¸ôóé üôáí õøþíïõìå ôá ìÝëç åîßóùóçò óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå ðåñéïñéóìïýò ôüôå èá âÜæïõìå óõíåðáãùãÞ ( ⇒ ) êáé ü÷é éóïäõíáìßá ( ⇔ ). ð.÷. áí x − 2 = 1 (1) ⇒ ( x − 2 ) = 12 2

Ãé’ áõôü ðñÝðåé íá èÝôïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ âñßóêïõìå ôåëéêÜ óôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç êáé íá äå÷üìáóôå ìüíï üóåò ôçí åðáëçèåýïõí.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 2 − x + 1 = 1 − 2x

Ëýóç ÐñÝðåé  x ∈ R επειδή ∆ < 0  x 2 − x + 1 ≥ 0 1   ⇔ ⇔x≤ 1 2 1 − 2x ≥ 0   x ≤ 2 

Ôüôå Ý÷ïõìå: 1  x ≤ 2 x − x + 1 = 1 − 2x ⇔  ⇔  x 2 − x + 1 = (1 − 2x )2  2

1  x ≤ 2   x 2 − x + 1 = 1 − 4x + 4x 2 

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

3x ( x − 1) 3x 2 − 3x = 0 x = 0 ή x = 1    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=0 1 1 1 x ≤ x ≤  x ≤ 2  2 2  ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò:

F(x) ≥ 0

G (x) ≥ 0

2ç ÌÏÑÖÇ:

F ( x) + G ( x) = H ( x)

H(x) ≥ 0

õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï.

(

F(x) + G (x)

)

= H(x) ⇔

F ( x ) + G ( x ) + 2 F ( x ) G ( x ) = H2 ( x ) ⇔ 2 F ( x ) G ( x ) = H 2 ( x ) − F ( x ) − G ( x )   2 ⇔ H ( x ) − F ( x ) − G ( x ) ≥ 0  4F ( x ) G ( x ) = ( H 2 ( x ) − F ( x ) − G ( x ) ) ⇔ ... 2

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x + 32 + x = 16

Ëýóç ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:

x + 32 ≥ 0   x ≥ −32  ⇔ ⇔x≥0 x≥0  x ≥ 0 

Må äåäïìÝíï üôé x ≥ 0 Ý÷ïõìå:

x + 32 + x = 16 ⇔ x + 32 + x + 2 x ( x + 32 ) = 256 ⇔ 112 − x ≥ 0 ⇔ 2 x ( x + 32 ) = 224 − 2x ⇔ x ( x + 32 ) = 112 − x ⇔  2  x ( x + 32 ) = (112 − x )  x ≤ 112  x ≤ 112 ⇔ 2  2 2  x ( x + 32 ) = 12.544 − 224x + x  x − 32x = x − 224x + 12544  x ≤ 112  x ≤ 112 ⇔ ⇔ x = 49  256x = 12544  x = 49

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

F(x) ≥ 0

ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò:

G (x) ≥ 0

3ç ÌÏÑÖÇ:

H(x) ≥ 0

F ( x) + G ( x) = H ( x)

 F(x) + G (x)  =  

(

H(x)

)

⇔

F2 ( x ) + G 2 ( x ) + 2 F ( x ) G ( x ) = H ( x )

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x−1 + x− 4 = x+ 4

(I)

Á7

Ëýóç

x − 1 ≥ 0 x ≥ 1   x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇔ x ≥ 4 x + 4 ≥ 0  x ≥ −4  

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí :

x −1 + x − 4 + 2

( x − 1)( x − 4 ) = x + 4 ⇔ 2 ( x − 1)( x − 4 ) = 9 − x ⇔

9 − x ≥ 0  x ≤ 9   2 ⇔ 2 ⇔ 4 ( x − 1)( x − 4 ) = ( 9 − x ) 4 ( x − 1)( x − 4 ) = ( 9 − x ) x ≤ 9 x ≤ 9 ⇔  2 ⇔  2 2 2 4x − 20x + 16 = 81 − 18x + x 4x − 20x + 16 = 81 − 18x + x x ≤ 9 x ≤ 9 13  ⇔  13 ⇔ x = 5 ή x = −  2 3 3x − 2x − 65 = 0  x = 5 ή x = − 3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â80. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x − 2 Â81.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x −3 −2 = 0

2 + x − 5 = 13 − x

Â82. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: Â83. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x + 3 x = 10 x + 32 = 16 − x

Â84. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: α.

x + 2 − x −1 = 1

β.

2x + 2 + 3 = x

γ.

2x + 8 − x + 5 = 1

δ.

x − 1 + x + 2 = 2x + 5

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

Ç äéþíõìç åîßóùóç : x ν = α, α ≠ 0, α ∈ R, ν ≥ 2

Äéþíõìåò

(Á) Ëýóåéò ôçò åîßóùóçò óôï C

åîéóþóåéò

¸÷åé í ñßæåò óôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí C. (âñßóêïíôáé ìå ìÝèïäï ðïõ áíáðôýóåôáé óôï êåöÜëáéï ôùí ìéãáäéêþí) (Â) Ëýóåéò óôï R Áí ν = 2κ + 1, κ ∈ Ν ç åîßóùóç: x 2κ +1 = α  x = − 2κ +1 α = − 2κ +1 −α , αν α < 0  Ý÷åé 2κ + 1 ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò ìéá ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÞ ç:  2κ +1  α , αν α > 0 x = (Ïé õðüëïéðåò 2ê ñßæåò åßíáé ìéãáäéêÝò).

ð.÷. Íá ëõèåß óôï R ç åîßóùóç x 5 = −32 . x∈R

x 5 = −32 ⇔ x = − 5 −32 = − 5 − ( −32) = − 5 32 ⇔ x = −2 Áí ν = 2κ (Üñôéïò) ôüôå : Ìå α > 0 ç åîßóùóç: x 2κ = α > 0 Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò äýï ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÝò ïé: x = ± ð.÷.

Íá ëõèåß óôï R ç x

2κ

= 2007 x∈R

Eßíáé x16 = 2007 ⇔ x = ± 2007 Ìå α < 0 ç åîßóùóç: x 2κ = α < 0 Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò (ìéãáäéêÝò) êáìßá ðñáãìáôéêÞ. ð.÷. ç x 6 = −5 , åßíáé áäýíáôç óôï R.

Ç äéþíõìç åîßóùóç : Ax κ + Βx λ = 0, Α, Β ∈ R, κ, λ ∈ Ν

Äéþíõìåò åîéóþóåéò

Ãéá ôç ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò: ÕðïèÝôïõìå üôé κ > λ, Α ≠ 0 . Ìå åîáãùãÞ êïéíïý ðáñÜãïíôá Ý÷ïõìå:

x λ = 0 ⇔ x = 0   κ −λ Β  Ax + Βx = 0 ⇔ Αx  x +  = 0 ⇔  κ − λ Β Β κ −λ Α  x + = 0 ⇔ x = − Α Α  κ

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

κ −λ κ −λ  B B B − , x=− − µε − > 0 είναι x = A A A i. Áí κ − λ (Üñôéïò)  B µε − < 0 είναι αδύνατη στο R  A

ii. Áí κ − λ (ðåñéôôüò) κ −λ  B B − µε − > 0 είναι x = A A   κ −λ µε − B < 0 είναι x = − −  − B     A  A 

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 7

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 5 − 5x 2 = 0

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 9 − x 5 + x 4 − 1 = 0

Ëýóç

Ëýóç x = 0  ⇔ x − 5x = 0 ⇔ x ( x − 5) = 0 ⇔ ή  3 x − 5 = 0 5

x = 0 x = 0   ⇔ ή ⇔ ή  3  3 x = 5 x = 5

x 9 − x 5 + x 4 − 1 = 0 ⇔ x 5 ( x 4 − 1) + x 4 − 1 = 0 ⇔ x 4 − 1 = 0  ⇔ ( x 4 − 1)( x 5 − 1) = 0 ⇔ ή ⇔  5 x − 1 = 0 x 4 − 1 = 0 x 4 = 1 x = ±1    ⇔ ή ⇔ ή ⇔ ή  5  5 x = 1  x − 1 = 0 x = 1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â85. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

Â87. Âñåßôå ôá á, â þóôå ç åîßóùóç:

i. x − 1 = 0

ii. x + 16 = 0

iii. x + 1 = 0 i

v. 8x + 125 = 0

x 3 − 24x − 72 = 0 ìðïñåß íá ðÜñåé ôç ìïñöÞ 3

Â86.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò i. 8x 3 − 125 = 0

ii. 3x 7 − 2x = 0

α  x −α  x −β  = β   êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ëýóåôå.

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

Ôñéþíõìç åîßóùóç ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò:

Αx κ + Βx λ + Γx µ = 0

Ôñéþíõìåò åîéóþóåéò

üðïõ Α, Β, Γ ∈ R, κ, λ,µ ∈ Ν . ÅîåôÜæïõìå ôçí ðåñßðôùóç üðïõ :

κ − λ = λ − µ ìå κ > λ > µ Áöïý

κ −λ = λ −µ = ν ⇔ λ = µ + ν κ = λ + ν = µ + ν + ν = µ + 2ν

Ý÷ïõìå

Αx κ + Βx λ + Γx µ = 0 ⇔ Αx µ + 2ν + Βx µ + ν + Γx µ = 0 ⇔  x=0  ⇔ x µ ( Αx 2ν + Βx ν + Γ ) = 0 ⇔  Ax 2ν + Βx ν + Γ = 0 ( Ι )

Aí ôþñá èÝóïõìå óôçí (É) x ν = y êáôáëÞãïõìå óå äéôåôñÜãùíç ùò ðñïò y.

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x10 − 26x 7 − 27x 4 = 0

Ëýóç x = 0 x10 − 26x 7 − 27x 4 = 0 ⇔ x 4 ( x 6 − 26x 3 − 27 ) = 0 ⇔  6 3 x − 26x − 27 = 0

 y = 27  ÈÝôù x 3 = y ïðüôå: x 6 − 26x 3 − 27 = 0 ⇔ y 2 − 26y − 27 = 0 ⇔  ή  y = −1  x 3 = 27 ⇔ x = 3 27 = 3 x 3 = −1 ⇔ x = −1

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â88. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: Â89. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x2 x3 + 2 = 3 x ( x 3 − 2)

Â90. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x13 − 5x 7 + 6x > 0

x 4 − 4x 7 + 3x 3 = 0

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

Åîéóþóåéò ðïõ ëýíïíôáé ìå âïçèçôéêü

ÌåñéêÝò öïñÝò ç ëýóç åîéóþóåùí áíùôÝñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óå ëýóç áðëïýóôåñçò åîßóùóçò ìå êáôÜëëçëç ÷ñÞóç âïçèçôéêïý áãíþóôïõ.

Üãíùóôï

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 10

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

( x + 1)( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) = 24

( x 2 − 6x + 4) 2 + ( x 2 − 6x + 3) + 9 = 0 Ëýóç

Ëýóç ( x + 1)( x + 4 )( x + 2 ) ( x + 3) = 24 ⇔

ÈÝôïõìå y = x 2 − 6x + 4 ïðüôå Ý÷ïõìå:

( x 2 + 5x + 4 )( x 2 + 5x + 6 ) = 24

( x 2 − 6x + 4) 2 + 5 ( x 2 − 6x + 3) + 9 = 0 ⇔ ( x 2 − 6x + 4) 2 + 5 ( x 2 − 6x + 4 − 1) + 9 = 0 ⇔ y 2 + 5 ( y − 1) + 9 = 0 ⇔ y 2 + 5y + 4 = 0 ⇔

y = −1 ή y = −4

èÝôïõìå x 2 + 5x + 4 = y

(1)

( 2 ) , ïðüôå

x 2 + 5x + 6 = y + 2 Ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé:

y ( y + 2 ) = 24 ⇔ y 2 + 2y − 24 = 0 ,Üñá

y = −6 ή y = 4 . Ïðüôå áðü ôçí (2) Ý÷ïõìå:

i. y = −1 ⇔ x 2 − 6x + 4 = −1 ⇔

⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 ή x = 5 ii. y = −4 ⇔ x 2 − 6x + 4 = −4 ⇔

⇔ x − 6x + 8 = 0 ⇔ x = 2 ή x = 4 2

x 2 + 5x + 4 = −6 ⇔ x 2 + 5x + 10 = 0 (áäýíáôç) êáé x 2 + 5x + 4 = 4 ⇔ x 2 + 5x = 0 ⇔ x ( x + 5) = 0 äçëáäÞ x = 0 ή x = −5 . ¢ñá ïé ñßæåò åßíáé: x = 0 ή x = −5 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â91. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

â. 2συν 3 x + 5συν 2 x − 4συνx − 3 = 0

2ηµ 3 x − 5ηµ 2 x + 4ηµx − 1 = 0

Â92. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

ã. x x − 4x − 19 x − 14 = 0 ä.

( x + 1)

å.

( x 2 − 5x + 8) − 5 ( x 2 − 5x + 9 ) + 11 = 0 2

Â93. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: 6

1 1   á.  x +  − 28  x +  + 27 = 0 x x  

óô.

+ 5x − 2 x + 1 − 19 = 0

+ x + 1) − 4 ( x 2 + x + 2 ) + 7 = 0 2

+ x + 1)( x 2 + x − 9 ) = −21

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

Áíôßóôñïöåò ëÝãïíôáé ïé åîéóþóåéò ðïõ äåí ìåôáâÜëëïíôáé áí áíôß x èÝóïõìå Áíôßóôñïöåò ôï åîéóþóåéò

1 . ¢ñá áí ç áíôßóôñïöç åîßóùóç äÝ÷åôáé ôçí ñßæá x = ρ, ρ ≠ ±1, ρ ≠ 0 èá x

Ý÷åé ñßæá êáé ôçí x =

1 . ρ

αx 3 + βx 2 + βx + α = 0

(áíôßóôñïöåò 3ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò áíÜ äýï ßóïõò )

αx 3 + βx 2 − βx − α = 0

(ìå óõíôåëåóôÝò áíÜäýï áíôßèåôïõò)

αx 4 + βx 3 − βx − α = 0

(áíôßóôñïöç 4ïõ âáèìïý åëëåéðÞò (ãéáôß “ëåßðåé” ï x 2 ). (4ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò ðïõ éóáðÝ÷ïõí áðü ôá Üêñá áíôßèåôïõò)

Êõñéþôåñá åßäç áíôßóôñïöùí

ð.÷. ç 2x 3 − 5x 2 = 5x − 2 ⇔ 2x 3 − 5x 2 − 5x + 2 = 0 ð.÷. ç 3x 4 + 2x 2 = −3 ⇔ 3x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 0x + 3 = 0 αx 3 + βx 2 + βx + α = 0

Ç åîßóùóç áõôÞ ìðïñåß íá ãñáöåß äéáäï÷éêÜ

Áíôßóôñïöç åîßóùóç ôïõ ôñßôïõ âáèìïý (Ðñþôï åßäïò)

( αx

+ α ) + ( βx 2 + βx ) = 0 Þ α ( x 3 + 1) + βx ( x + 1) = 0

Þ α ( x + 1) ( x 2 − x + 1) + βx ( x + 1) = 0 Þ ( x + 1) α ( x 2 − x + 1) + βx  = 0 Þ ( x + 1)  αx 2 − ( α − β ) x + α  = 0 Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

(1)

x +1 = 0

åßôå αx 2 − ( α − β ) x + α = 0

( 2)

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x = −1 Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x =

α −β ±

(α − β) 2α

− 4α 2

, áí ( α − β ) − 4α 2 ≥ 0 . 2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 12

Íá ëõèåß ç åîßóùóç 2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

Ëýóç

Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîé-

Ç åîßóùóç ðïõ äßíåôáé ãñÜöåôáé:

óþóåéò x + 1 = 0 (1) åßôå 2x 2 + 5x + 2 = 0 (2)

( 2x

+ 2 ) + ( 7x 2 + 7x ) = 0

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x = −1 .

( 2x + 1) + 7x ( x + 1) = 0 2 ( x + 1) ( x − x + 1) + 7x ( x + 1) = 0 ( x + 1)  2 ( x − x + 1) + 7x  = 0 ( x + 1) ( 2x + 5x + 2 ) = 0 3

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé −2 êáé −

1 . 2

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

x1 = −1, x 2 = −2, x 3 = −

1 2

αx 3 − βx 2 + βx − α = 0

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé: ( αx 3 − α ) − ( βx 2 − βx ) = 0 Þ α ( x 3 − 1) − β ( x − 1) = 0 Áíôßóôñïöç

Þ α ( x − 1) ( x 2 + x + 1) − βx ( x − 1) = 0

åîßóùóç ôïõ

Þ ( x − 1) α ( x 2 + x + 1) − βx  = 0

ôñßôïõ âáèìïý

2 Þ ( x − 1)  αx + ( α − β ) x + α  = 0

(Äåýôåñï åßäïò) Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

(1)

x −1 = 0

åßôå αx 2 + ( α − β ) x + α = 0

( 2)

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x = 1 . Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x =

− (α − β) ±

(α − β)

− 4α 2

2α

, áí ( α − β ) − 4α 2 ≥ 0 2

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 13

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 3x 3 − 13x 2 + 13x − 3 = 0

( x − 1) ( 3x 2 − 10x + 3) = 0 Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò

x −1 = 0

Ëýóç Ç åîßóùóç ðïõ óáò äßíåôáé ãñÜöåôáé:

( 3x − 3) − (13x − 13x ) = 0 Þ 3 ( x − 1) − 13x ( x − 1) = 0 Þ 3 ( x − 1) ( x + x + 1) − 13x ( x − 1) = 0 Þ 3

(1)

åßôå 3x 2 − 10x + 3 = 0

Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x = 1 . Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x ′ = 3 êáé x ′′ =

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

( x − 1) 3 ( x 2 + x + 1) − 13x  = 0 Þ

1 . 3

x1 = 1, x 2 = 3, x 3 =

1 . 3

åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí

αx 4 + βx 3 + γx 2 + βx + α = 0 , αβγ ≠ 0

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò ìå ôï x 2 , ôï ïðïßï åßíáé äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò β α αx 2 + βx + γ + + 2 = 0 êáé Ý÷ïõìå α x Þ Áíôßóôñïöç Þ

åîßóùóç ôïõ ôåôÜñôïõ

β    +  βx +  + γ = 0 x  

1   1  α  x 2 + 2  + β  x +  + γ = 0 (1) x x     2

ÈÝôïõìå x +

âáèìïý

1 1 1  = y (2) ïðüôå  x +  = y 2 Þ x 2 + 2 = y 2 − 2 x x x 

êáé ç (1) ãñÜöåôáé: (Ðñþôï åßäïò)

 2 α  αx + 2 x 

α ( y 2 − 2 ) + βy + γ = 0 Þ αy 2 + βy + γ − 2α = 0 (ä)

Áíôéêáèéóôïýìå óôç (2) ôï y, äéáäï÷éêÜ ìå ôéò ëýóåéò y′ êáé y′′ ôçò (ä) êáé

1 1 = y′ ( 3) êáé x + = y′′ ( 4 ) x x 2 Ç ( 3) ãñÜöåôáé x − y′x + 1 = 0 ( 3′) ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò x +

Ç ( 4 ) ãñÜöåôáé x 2 − y′′x + 1 = 0

( 4′)

Ïé ñßæåò ôùí åîéóþóåùí ( 3′ ) êáé ( 4′ ) åßíáé êáé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 6x4 + 5x3 − 38x2 + 5x + 6 = 0

Ëýóç Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå x 2 êáé Ý÷ïõìå

5 6 + =0 x x2 5  2 6   Þ  6x + 2  +  5x +  − 38 = 0 x x    1   1  Þ 6  x 2 + 2  + 5  x +  − 38 = 0 (1) x x    1 ÈÝôïõìå x + = y (2) x ïðüôå êáé ç (1) ãñÜöåôáé: 6 ( y 2 − 2 ) + 5y − 38 = 0 Þ 6y 2 + 5y − 50 = 0 6x 2 + 5x − 38 +

5 2

Ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò áõôÞò åßíáé: y′ = , y′′ = −

10 3

Áíôéêáèéóôïýìå óôçí (2) ôï y ìå ôéò ôéìÝò ôïõ êáé ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò 1 10 1 5 x + = ( 3) êáé x + = − ( 4) x 3 x 2 Ç (3) ãñÜöåôáé 2x 2 − 5x + 2 = 0 êáé Ý÷åé ñßæåò

1 2 Ç (4) ãñÜöåôáé 3x 3 + 10x + 3 = 0 êáé Ý÷åé ñßæåò x ′ = 2, x ′′ =

1 3 ¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé: x ′ = −3, x ′′ = −

x1 = 2, x 2 =

1 1 , x 3 = −3, x 4 = − 2 3

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7

αx 4 + βx 3 − βx − α = 0

Áíôßóôñïöç

Ç åîßóùóç áõôÞ ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

( αx

− α ) + ( βx 3 − βx ) = 0 ⇔ α ( x 4 − 1) + βx ( x 2 − 1) = 0

åîßóùóç ôïõ

α ( x 2 − 1)( x 2 + 1) + βx ( x 2 − 1) = 0 ⇔ ( x 2 − 1)  α ( x 2 + 1) + βx  = 0

ôåôÜñôïõ

Þ ( x 2 − 1)  αx 2 + βx + α  = 0 Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:

âáèìïý (Äåýôåñï åßäïò)

x2 −1 = 0

(1) , åßôå

αx 2 + βx + α = 0

( 2)

Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x = ±1 . Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x =

−β ± β 2 − 4α 2 , áí β 2 ≥ 4α 2 . 2α

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 15

Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:

Íá ëõèåß ç åîßóùóç

x2 −1 = 0

4x4 − 17x 3 + 17x − 4 = 0

Ëýóç 4

− 4 ) − (17x 3 − 17x ) = 0 ⇔

Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x ′ = 4, x ′′ =

⇔ 4 ( x 4 − 1) − 17x ( x 2 − 1) = 0

( 2)

1 . 4

¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:

4 ( x 2 − 1)( x 2 + 1) − 17x ( x 2 − 1) = 0 ⇔ ⇔ ( x 2 − 1)  4 ( x 2 + 1) − 17x  = 0

4x 2 − 17x + 4 = 0

Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x = ±1 .

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:

( 4x

(1) , åßôå

x1 = 1, x 2 = −1, x 3 = 4, x 4 =

1 . 4

Þ ( x 2 − 1)( 4x 2 − 17x + 4 ) = 0

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â94. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

Â96.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. 2x + 7x + 7x + 3 = 0

i. 6x 4 + 5x 3 − 38x 2 + 5x + 6 = 0

ii. 3x 4 − 10x 3 − 10x − 3 = 0

ii. 4x 4 − 17x 3 + 17x − 4 = 0

iii. x 3 − 2x 2 + 2x − 1 = 0

Â97. Ná ëõèåß ç åîßóùóç:

Â95. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: i. 2x 3 − 7x 2 + 7x − 2 = 0 ii. 3x 3 − 13x 2 + 13x − 3 = 0

5x 4 − 16x 3 + 2x 2 + 16x + 5 = 0

Â98.

Ná ëõèåß ç åîßóùóç:

6x 4 + 5x 3 − 38x 2 + 5x + 6 = 0

åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

B.8

ÅéäéêÝò ìïñöÝò Áíéóþóåùí 1. A ( x ) ⋅ B ( x ) ... > 0 Þ A ( x ) ⋅ B ( x ) ... < 0 ή ≤ 0 ή > 0 ή ≥ 0

Ðñüóçìï ãéíïìÝíïõ

Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñéãñÜöåôáé óôï åðüìåíï ðáñÜäåéãìá) âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( x 2 − 7x + 10) ( − x 2 − 4x − 4) ( − x 2 + 3x − 7 ) (1 − x ) ≤ 0

Ëýóç Ìå ôï ãíùóôü ôñüðï âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ êÜèå ðáñÜãïíôá. Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåéþíïõìå óôï ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíüìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò. Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð' áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìá-

ôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß. Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèåôá ôï ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá. Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò êýêëïõò. Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíßóùóç.

¢ñá ç áíßóùóç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ áëçèåýåé áí: x ∈ {−2} ∪ [1, 2] ∪ [5, + ∞ )

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ ANÉÓÙÓÅÙÍ

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B99. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

Â102. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: (1 − x ) ( x 2 − 10x + 21)( − x 2 + x − 5 ) < 0

(1 − 3x)(2x + 4)(4 − x)(x − 6)(7 − x) ≤ 0

B100. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

Â103. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

(2x -1)(1- 5x)(x 2 - 5x + 6) ≤ 0

x ( x 2 − 7x + 10 )( x 2 − 5x + 4 ) ( x 2 − 9 ) ≤ 0 6

Â101. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( 3x − 7 ) ( − x 2 + 3x + 4 )( x 2 − 6x + 9 ) < 0

Ðñüóçìï ðçëßêïõ

A ( x) >0 B ( x)

A ( x) ≥0 B ( x)

A ( x) <0 B ( x)

A ( x) ≤0 B ( x)

ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ , ìåôáôñÝðù ôï ðçëßêï óå ãéíüìåíï .Âñßóêù ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñéãñÜöåôáé óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá) âñßóêù ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.

ÊëáóìáôéêÝò áíéóþóåéò åßíáé áõôÝò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí (ðéèáíüí ðáñáóôÜóåéò ôïõ) x óå ðáñïíïìáóôÞ. Ëýóç êëáóìáôéêþí áíéóþóåùí

ÐÑÏÓÏ×Ç: Õðåíèõìßæïõìå üôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôá ìÝëç áíéóïôéêÞò ó÷Ýóçò ìå ðïóüôçôåò ìåôáâëçôïý Þ áãíþóôïõ ðñïóÞìïõ. ð.÷. áí x ∈ R äåí ìðïñïýìå áðü ôçí

3x − 1 > 4 íá óõìðåñÜíïõìå x +1

3x − 1 > 4 ( x + 1) äéüôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç ôçò

3x − 1 > 4 ìå ôçí x +1

ìåôáâëçôïý ðñïóÞìïõ, ðïóüôçôá x + 1 , üôáí x ∈ R . Ãé’ áõôü ãéá íá ëýóïõìå êëáóìáôéêÞ áíßóùóç êÜíïõìå ôá åîÞò: i. ÌåôáöÝñïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ â’ ìÝëïõò óôï á ìÝëïò ìå áíôßèåôï ðñüóçìï þóôå íá Ý÷ïõìå óôï â ìÝëïò ôï 0 (áí ÷ñåéÜæåôáé) . ii. ÌåôáôñÝðïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ á ìÝëïõò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá (áí ÷ñåéÜæåôáé) þóôå íá Ý÷ïõìå óôï á’ìÝëïò Ýíá ìüíï êëÜóìá äçë. íá öÝ-

åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

ñïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:

A(x) B(x)

> (≥ , ≤ , <) 0

iii. ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ , Ý÷ïõìå:

A(x) B(x)

> ( ≥ , ≤ , < ) 0 ⇔ Α ( x ) B ( x ) > ( ≥ , ≤ , < ) 0, B ( x ) ≠ 0

êáé êáôáëÞãïõìå óå áíßóùóç ðïõ ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 2

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

+ 3 ) ( x − 1)

( x2 − 4 )

Ïé ôéìÝò x=-2, x=2 êáé x=1 áðïññßðôïíôáé. ¸ôóé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå

x ∈ ( −2,1) ∪ (1, 2 ) .

Ëýóç Ðñïöáíþò x ∈ R -{-2, 2}. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï ôåôñÜãùíï ôïõ ðáñáíïìáóôÞ ç áíßóùóç ìåôåôñÝðåôáé óôï ãéíüìåíï

+ 3) ( x − 1) ( x 2 − 4 ) < 0 . 2

Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóþóåéò.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x+1 x+ 3 ≤ x − 1 2x + 1

Ëýóç ¸÷ïõìå:

• x 2 + 3 > 0 . Áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ R áöïý á=1>0 êáé ∆ − 02 − 4 ⋅ 3 < 0 . • ( x − 1) > 0 . Ðñïöáíþò áëçèåýåé ãéá êÜèå x ≠ 1 .

x +1 x + 3 x +1 x + 3 ≤ ⇔ − ≤0⇔ x − 1 2x + 1 x − 1 2x + 1 ( 2x + 1)( x + 1) − ( x + 3)( x − 1) ⇔ ≤0⇔ ( x − 1)( 2x + 1)

• x − 4 > 0 . Áëçèåýåé ãéá êÜèå x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ( 2, +∞ ) . 2

Ó÷çìáôßæïõìå ôïí ðßíáêá ìå ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò êáé ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ôïõò ìçäåíßæïõí. Ôïðïèåôïýìå ôá ðñüóçìá óôá äéáóôÞìáôá, êáé âñßóêïõìå óå êÜèå äéÜóôçìá ôï ãéíüìåíü ôïõò.

⇔

2x 2 + 2x + x + 1 − x 2 − 3x + x + 3 ≤0⇔ ( x − 1)( 2x + 1)

⇔

x2 + x + 4 ≤0⇔ ( x − 1)( 2x + 1)

⇔ ( x 2 + x + 4 ) ( x − 1)( 2x + 1) ≥ 0, ( x − 1)( 2x + 1) ≠ 0

Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóüôçôåò:

x2 + x + 4 ≥ 0 , áëçèåýåé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áöïý Ý÷åé äéáêñßíïõóá áñíçôéêÞ. x −1 > 0 ⇔ x > 1 2x + 1 > 0 ⇔ x > −

1 2

ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ ANÉÓÙÓÅÙÍ

100

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

 1  ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí x ∈  − ,1 .  2 

Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

( x − 3 ) ( x2 − 7x + 10 ) ≤0 ( x + 1)( x − 4 )

Ëýóç Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí x ∈ ( −∞, −1) ∪ [ 2,3] ∪ ( 4,5] .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â104. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: i.

x −5 <0 2x + 1

iii. 1 −

x <0 2x − 1

ii.

3x + 5 ≥1 x −1

Â105. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: i.

iii.

x −1 ≤0 3x − 4x + 1

ii.

( x − 1) ( x 2 − 4 ) x 2 − x − 12

≤0

x2 −1 >0 x 2 − 2x − 8

101

åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

Â106. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: Â107. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2 x 1 + < 2x − x 1 − 2x x

x −3 x + 2 10 − > x + 2 x − 3 x2 − x − 6

Â108. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

ËÕÓÇ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ Þ éóïäýíáìç

B109. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2x 3x − 1 + <2 x − 1 3x + 1

B110.Íá ëõèåß ç áíßóùóç: (3 − x)(x 2 + 4x + 4) ≥0 ( − x 2 + 5x − 6)(x − 1)

x 2x + 1 − ≤3 x −1 x +1

Ãéá íá ëýóïõìå óýóôçìá áíéóþóåùí äçë. íá êÜíïõìå óõíáëÞèåõóç áíéóþóåùí: i. Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ÷ùñéóôÜ êáôÜ ôá ãíùóôÜ. ii. KÜíïõìå “Üîïíá Þ ðßíáêá óõíáëÞèåýóçò” êáé âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí äçëáäÞ âñßóêïõìå ôéò ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò

Ýêöñáóç: ÓÕÍÁËÇÈÅÕÓÇ

Áí äåí õðÜñ÷ïõí ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò íá óõíáëçèåýïõí, ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.

ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 5

 Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:  

x 3 − 4x 2 ≥ 5x x2 < 9

Ëýóç Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ÷ùñéóôÜ. x 3 − 4x 2 ≥ 5x ⇔ x 3 − 4x 2 − 5x ≥ 0 ⇔ x ( x 2 − 4x − 5 ) ≥ 0

(1)

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)

Üñá ç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ: x 3 − 4x 2 ≥ 5x ⇔ −1 ≤ x ≤ 0 Þ x ≥ 5 .

x 2 < 9 ⇔ x 2 − 9 < 0 ⇔ −3 < x < 3 (äéüôé ôï ôñéþíõìï x 2 − 9 åßíáé åôåñüóçìï ôïõ α = 1 áíÜìåóá óôéò ñßæåò ôïõ ðïõ åßíáé: x1 = 3 êáé x 2 = −3 ). KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò. ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ ANÉÓÙÓÅÙÍ

102

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

Üñá ïé áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò óõíáëçèåýïõí áí: −1 ≤ x ≤ 0 .

 x 3 − 7x 2 + 10x ≥ 0  Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:  2x + 1 ≤4   x−3

Ëýóç 3 2 2 Åßíáé x − 7x + 10x ≥ 0 ⇔ x ( x − 7x + 10 ) ≥ 0 . Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: x ( x 2 − 7x + 10 ) ≥ 0 ⇔ x ∈ [ 0, 2] ∪ [5, +∞ ) Ãéá ôç äåýôåñç áíéóüôçôá Ý÷ïõìå:

( 2x + 1) − 4 ( x − 3) 2x + 1 2x + 1 ≤4⇔ −4≤ 0 ⇔ ≤0⇔ x −3 x −3 x −3 −2x + 13 2x + 1 − 4x + 12 ≤0⇔ ≤ 0 ⇔ ( −2x + 13)( x − 3) ≤ 0 , x − 3 ≠ 0 x −3 x −3

Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò.

−2x + 13 13  ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞,3) ∪  , +∞  x −3 2  

103

åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

3  ¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí: x ∈ [ 0, 2] ∪  , +∞  2 

Íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:

( x − 1) ( x2 − x + 4 )( − x2 + x − 7 ) ≤ 0 2x + 1 > 0 x − 7x 2 + 10x > 0 3

Ëýóç 2 2 á. Ëýóç ôçò ( x − 1) ( x − x + 4 )( − x + x − 7 ) ≤ 0

(1) .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

¢ñá ãéá íá åßíáé áëçèÞò ç áíßóùóç (1) ðñÝðåé x ∈ [1, +∞ ) . â. Ëýóç ôçò: 2x + 1 > 0

( 2)

2x + 1 > 0 ⇔ 2x > −1 ⇔ x > −

1 2

 1  ¢ñá ç (2) áëçèÞò áí x ∈  − , +∞  .  2  3 2 ã. Ëýóç ôçò: x − 7x + 10x > 0 ( 3)

x 3 − 7x 2 + 10x > 0 ⇔ x ( x 2 − 7x + 10 ) > 0 .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.

¢ñá ç (3) áëçèÞò áí x ∈ ( 0, 2 ) ∪ ( 5, +∞ ) ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ ANÉÓÙÓÅÙÍ

104

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8

KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò .

¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí x ∈ [1, 2 ) ∪ ( 5, +∞ ) .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â111. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x óõíáëçèåýïõí ïé

Â112. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá:

áíéóþóåéò:  x <0  i.  x − 3 8 − 2x ≥ 0  2x − 1 ≥0 iii.  4 − x  x ≥ 2

x − 2 > 0  á. 6x 2 + 5x + 1 > 0  2 − x + 5x − 6 < 0

3 − x >0  ii.  x 1 − 3x ≤ 0  4

 x −1 >0 â.  2x + 1 ( x 2 − 4 )( x 2 + 2x + 4 ) < 0 

Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç áíßóùóç (äçë. áíßóùóç ìå ñéæéêÜ), èÝôïõìå ðåñéïñé¢ññçôåò Áíéóþóåéò

óìïýò: Ïé õðüññéæåò ðïóüôçôåò íá åßíáé ≥ 0 . Óôç óõíÝ÷åéá õøþíïõìå óå äýíáìç (ßóç ìå ôçí ôÜîç ôçò ñßæáò), Ý÷ïíôáò õðüøç ìáò üôé: • Áí α,β > 0 :

α > β ⇔ αν > βν

α ν > β ν , ν : περιττός α > β ⇔ • Áí α,β < 0 :  ν ν α < β , ν : άρτιος Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 8

Ná ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x − 2 > x − 4

Ëýóç EðåéäÞ, äåí ìðïñïýìå íá õøþóïõìå óôï ôåôñÜãùíï êáé ôá äýï

Ðåñéïñéóìïß x − 2 ≥ 0 äçë. x ≥ 2

ìÝëç ôçò áíßóùóçò áí äåí åßíáé ïìüóçìá ãé’ áõôü äéáêñßíïõìå (ìå äåäïìÝíïõò ôïõò ðåñéïñéóìïýò ôï 1 ï ìÝëïò åßíáé èåôéêü) äýï ðåñéðôþóåéò: • Áí x − 4 < 0 äçëáäÞ x < 4 ôüôå ãéá 2 ≤ x < 4 ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéáôß ôï 1 ï ìÝëïò åßíáé ìç

105

åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí

áñíçôéêü, åíþ ôï 2 ï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü. • Áí x − 4 ≥ 0 äçëáäÞ x ≥ 4 åßíáé êáé ôá äýï ìÝëç ïìüóçìá Ý÷ïõìå:

x−2 > x−4 ⇔

(

x−2

)

> ( x − 4)

3 ≤ x < 2 ôüôå x − 2 < 0 êáé åðïìÝíùò ç 5 áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ðñïöáíþò, áöïý

• Áí

5x − 3 > 0

⇔ x − 2 > x 2 − 8x + 16 ⇔ x 2 − 9x + 18 < 0 ⇔ 3 < x < 6 Eîáéôßáò üìùò ôïõ x ≥ 4 Ý÷ïõíå ó’ áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç 4 ≤ x < 6 . ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x ∈ R ìå 2 ≤ x < 6 .

• Áí x ≥ 2 ôüôå, ôåôñáãùíßæïíôáò êáé ôá äýï ìÝëç ôçò áíßóùóçò, âñßóêïõìå éóïäýíáìá: 5x − 3 > ( x − 2 ) ⇔ x 2 − 9x + 7 < 0 2

Åýêïëá äéáðéóôþíïõìå üôé ç áíßóùóç áõôÞ åðáëçèåýåôáé ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå

9 − 53 9 + 53 <x< 2 2

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

3x + 7 > x − 1

9 − 53 9 + 53 <x< êáé x ≥ 2 2 2 óõíáëçèåýïõí ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå

Ëýóç

Ïé áíéóüôçôåò

ÐñÝðåé x − 1 ≥ 0 äçë. x ≥ 1 êáé 3x + 7 > 0 äçë. x>−

7 . ÔåëéêÜ x ≥ 1 . 3

2≤x<

9 + 53 (âë. ó÷Þìá) 2

Õøþíïíôáò êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï Ý÷ïõìå:

3x + 7 > x − 1 ⇔

(

3x + 7

) >( 2

x −1

)

⇔ 3x + 7 > x − 1 ⇔ 2x > −8 äçë. x > −4 óõíáëçèåýïíôáò ìå ôïí ðåñéïñéóìü âñßóêïõìå x ≥1. ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x ∈ R ìå x ≥ 1 .

ç áíßóùóç

5x − 3 > x − 2 åðáëçèåýåôáé óôá

 9 + 53  3  äéáóôÞìáôá  , 2  êáé  2,  , äçëáäÞ 2  5  

Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç

5x − 3 > x − 2

Ëýóç Êáôáñ÷Üò, ãéá íá ïñßæåôáé ç ñßæá, ðñÝðåé íá éó÷ýåé 5x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥

Óõíïøßæïíôáò ëïéðüí ôá ðáñáðÜíù, Ý÷ïõìå üôé

3 5

 3 9 + 53  óôï äéÜóôçìá  , . 2  5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â113.Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x −1 > x − 3

Â114.Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

2x − x 2 < 3 − x

Â115. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

3x + 5 > 1 − x

Â116. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 5− 2− x > 3− x

Â117. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:

x + 1 + 2x + 3 > 5 ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ ANÉÓÙÓÅÙÍ

106

B.9

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

• ÔñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü. Ðáñáäåßãìáôá π  1. Ïé åîéóþóåéò 2ηµ  x +  = 1 , εφ3 x − 7εφx + 6 = 0 , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò. 3  π 2. Ç åîßóùóç x + ηµ = 2 äåí åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ãéáôß äåí ðåñéÝ÷åé ôïí Üãíùóôï x óå 2 ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü. • Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí. • Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò.

Éóüôçôá çìéôüíùí

Éóüôçôá óõíçìéôüíùí

Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò ηµx = α âë. ó÷Þìá, ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:  x = 2κπ + θ ηµx = α = ηµθ ⇔  , όπου κ ∈ Ζ  x = 2κπ + π − θ

Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò συνx = α âë. ó÷Þìá ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:  x = 2κπ + θ συνx = α = συνθ ⇔  , όπου κ ∈ Ζ  x = 2κπ − θ

107

ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò

Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá). Éóüôçôá åöáðôïìÝíùí

ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç. ¢ñá ç åîßóùóç εφx = α , üðïõ α ∈ R Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:

εφx = α = εφθ ⇔ x = κπ + θ, όπου κ ∈ Ζ üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò εφx = α .

Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá). Éóüôçôá óõíåöáðôïìÝíùí

ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç. ¢ñá ç åîßóùóç σφx = α , üðïõ α ∈ R Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:

σφx = α = σφθ ⇔ x = κπ + θ, όπου κ ∈ Ζ üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò σφx = α .

• ÔñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå áíßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü. Ãéá ðáñÜäåéãìá, π  ïé áíéóþóåéò 2ηµ  x −  ≤ 1 , σφ3 x − 8σφx + 7 > 0 , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò. 6  • Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí. • Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò. ÂÁÓÉÊÅÓ ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

108

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :

συνx < α ή συνx > α , µε − 1 < α < 1 Êáô’áñ÷Þí âñßóêïõìå ãùíßåò óôï äéÜóôçìá [0, 2π] ðïõ Ý÷ïõí óõíçìßôïíï ßóï ìå á. ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò óôï [0, 2π] ôÝôïéåò þóôå óõí÷ = á. (âë. ó÷Þìáôá) ¸óôù ïé θ1 êáé θ 2 = 2π − θ1 ìå è 1 < è 2. Ôüôå ìå 0 ≤ α < 1 Þ −1 < α ≤ 0 éó÷ýïõí

συνx > α ⇔ θ 2 < x ≤ 2π ή 0 ≤ x < θ1

(ìðëÝ ôüîï)

συνx < α ⇔ θ1 < x < θ 2

(êüêêéíï ôüîï)

Ïé Oι ãùíßåò óõíçìßôïíï γωνίεςìå µε συνηµίτονο µεγαλύτερο α είναι ìåãáëýôåñï ôïõτου á åßíáé áõôÝò αυτές που η τελική τους ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò ðëåõñÜ πλευρά καταλήγει στο êáôáëÞãåé óôï ìðëÝ ôüîï. γκρί τόξο

Oι γωνίες µε συνηµίτονο Ïé ãùíßåò ìå óõíçìßôïíï µικρότερο του α είναι ìéêñüôåñï ôïõ á åßíáéτους áõôÝò αυτές που η τελική πλευρά καταλήγει ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò στο ðëåõñÜ µαύρο τόξο êáôáëÞãåé óôï êüêêéíï ôüîï. ð.÷

συνx ≤

1 π π 5π ⇔ συνx ≤ συν ⇔ ≤ x ≤ 2 3 3 3

συνx ≥ −

1 2π 4π 2π ⇔ συνx ≥ συν ⇔ ≤ x ≤ 2π ή 0 ≤ x ≤ 2 3 3 3

Ïé ðáñáðÜíù áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí ãéá : êáé ãåíéêÜ

4π 5π π 2π ≤x≤ ≤x≤ Þ 3 3 3 3

π 2π   4π 5π    2kπ + 3 , 2kπ + 3  ∪  2kπ + 3 , 2kπ + 3  , üðïõ k ∈ Ζ

Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :

ηµx < α ή ηµx > α , µε − 1 ≤ α ≤ 1 âñßóêïõìå ãéá ðïéá ãùíßá è óôï äéÜóôçìá [ 0, 2π ] éó÷ýåé ηµθ = α êáé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç

ηµx = ηµθ . ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò θ1 ,θ 2 óôï [0, 2π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ = α . Áí 0 ≤ α < 1 õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò θ1 ,θ 2 óôï [0, π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ = α . ¸óôù 0 ≤ θ1 <

π < θ 2 ≤ π , ôüôå Ý÷ïõìå: 2

• ηµx > α = ηµθ ⇔ θ1 < x < θ 2

(êüêêéíï ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá)

109

ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò

• ηµx < α = ηµθ ⇔ θ 2 < x ≤ 2π ή 0 ≤ x < θ1 (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá É)

ó÷Þìá ÉÉ

ó÷Þìá É

åíþ áí åßíáé −1 < α ≤ 0 , ðÜëé õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò θ1 ,θ 2 óôï [π,2π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ = α . ¸óôù π ≤ θ1 <

3π < θ 2 ≤ 2π , ôüôå Ý÷ïõìå: 2

• ηµx < α = ηµθ ⇔ θ1 < x < θ 2

(êüêêéíï ôüîï óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá ÉÉ)

• ηµx > α = ηµθ ⇔ θ 2 < x ≤ 2π ή 0 ≤ x < θ1 (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá ÉÉ) ÅéäéêÜ áí á = 0 Þ á = - 1 Þ á = 1 Ý÷ïõìå è = ð Þ 2ð , è = 3ð/2 , è = ð/2 áíôßóôïé÷á. ð.÷

ηµx ≥

Ãéá ôçí áíßóùóç:

3 2

(1)

3 π 2π π π 2π = ηµ = ηµ ⇔ x = ή x = π− = . 2 3 3 3 3 3 ( åäþ ïé è 1,è 2 åßíáé ïé ð/3 êáé 2ð/3). ìå x ∈ [0, 2π] , Ý÷ïõìå: ηµx =

ÅðïìÝíùò ìå x ∈ [0, 2π] ç ëýóç ôçò (1) åßíáé

π 2π ≤x≤ êáé 3 3

ãåíéêÜ üëåò ïé ëýóåéò åßíáé ïé π 2π    2kπ + 3 , 2kπ + 3  , όπου k ∈ Z .

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ηµx =

3 2

Ëýóç ÅðåéäÞ ηµ

π 3 = ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé 3 2

π . ÅðïìÝíùò üëåò ïé ëýóåéò ôçò ðáñáðÜíù 3 π åîßóùóçò äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: x = 2κπ + , 3 π x = 2κπ + π − , üðïõ κ ∈ Z . 3

ôï

ÂÁÓÉÊÅÓ ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ

110

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 3ηµx + συνx = 1

2 Ëýóç

¸íáò ôñüðïò ëýóçò ôçò åîßóùóçò αηµx + βσυνx = γ , áí αβγ ≠ 0 åßíáé êáé ï åîÞò: Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå ôï â êáé Ý÷ïõìå: α γ (1) ηµx + συνx = β β α  π π ÅðåéäÞ õðÜñ÷åé ω ∈  − ,  Ýôóé þóôå εφω =  2 2 β ç (1) ãßíåôáé:

γ ηµω γ ηµx + συνx = ⇔ ⇔ β συνω β γ ⇔ ηµωηµx + συνxσυνω = συνω ⇔ β

εφωηµx + συνx =

γ συν ( x − ω ) = συνω β Ç ôåëåõôáßá åîßóùóç Ý÷åé ëýóç, áí êáé ìüíïí áí,

γ συνω ≤ 1 ðïõ éóïäõíáìåß ìå α 2 + β 2 ≥ γ 2 , ðïõ β åßíáé ç éêáíÞ êáé áíáãêáßá óõíèÞêç ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç áñ÷éêÞ. π ÅðåéäÞ εφ = 3 ç åîßóùóç ãßíåôáé: 3 π ηµ π 3 ηµx + συνx = 1 ⇔ εφ ηµx + συνx = 1 ⇔ π 3 συν 3 ηµ

π π π ηµx + συνx συν = συν ⇔ 3 3 3

π π  x − = 2κπ + π π   3 3 συν  x −  = συν ⇔  , κ∈Ζ π π 3 3   x − = 2κπ −  3 3

¢ñá x = 2κπ +

2π Þ x = 2κπ , κ ∈ Ζ . 3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â118. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

Â.122

π  á. ηµ  2x +  = συνx 6 

π − 3  συν  x −  = . 4 2 

â. εφ 2 x − σφ 2 x = 0

Â119. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: π  ηµ  3x −  = 1 . 4 

Â120. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2ηµ 2 x + 3ηµx − 2 = 0 .

Â121. á.

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

Â123.

á.Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

1 2 συνx° = , ηµx° = êáé εφx° = − 3 2 2 â. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò i. 2συν4x > 3

ii. εφx > 1

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

iii. ηµx ≥ 0

iv. συνx > −1

( 2ηµx + 1)

v. 2συνx ≤ 3

â. συν2x =

− 4 (1 − ηµx )( 2ηµx + 1) = 0

2 ìå x ∈ [ 0, 2π ] . 2

111

åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

Â.10

ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

Á. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÅêèåôéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæïõìå êÜèå åîßóùóç ðïõ óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôá ìÝëç ôçò åìöáíßæåôáé ï Üãíùóôïò x Þ êÜðïéá óõíÜñôçóç ôïõ áãíþóôïõ óå åêèÝôç äýíáìçò ìå âÜóç èåôéêü áñéèìü. Åðßëõóç ôçò åêèåôéêÞò åîßóùóçò ëÝìå ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôùí ëýóåþí ôçò, äçëáäÞ ôéò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí. Ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò Ý÷ïõí Þ êáôáëÞãïõí ìåôÜ áðü ðñÜîåéò óå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ìïñöÝò:

É. ÌïñöÞ

Ãéá ôçí åðßëõóç áõôÞò äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò: 1ç ðåñßðôùóç: Áí ï â åßíáé äýíáìç ôïõ á Þ ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á.

α x = β, ìå

α,β > 0 êáé α ≠1.

αx = β ⇔ αx = ακ ⇔ x = κ

3x = 81 ⇔ 3x = 34 ⇔ x = 3

ð.÷.

2ç ðåñßðôùóç: Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù. α x = β ⇔ x = ...

ÉÉ. ÌïñöÞ

αf

(x)

=β

üðïõ f ( x )

Êáé åäþ äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò. ÁíÜëïãá áí ôï â ìðïñåß íá åßíáé Þ íá ìçí åßíáé äýíáìç ôïõ á. 1ç ðåñßðôùóç: ð.÷.

α ≠1.

III. ÌïñöÞ

x êáé á,â>0 êáé äéÜöïñïé ôïõ 1.

= 32 ⇔ 2 x

− 5x +11

= 25 ⇔ x 2 − 5x + 11 = 5 ⇔

ð.÷. 63− 2x = 1 ⇔ 63− 2x = 60 ⇔ 3 − 2x = 0 ⇔ 2 x = 3 ⇔ x =

3 3 ⇔x=± 2 2

• Áí ï â ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå : α f ( x ) = β g ( x ) ⇔ α f ( x ) = α kg ( x ) ⇔ f ( x ) = kg ( x ) ⇔ ... x +1

óõíáñôÞóåéò ôïõ

− 5x +11

ÁõôÝò åßíáé êáé ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.

áf(x) = âg(x) ìå f, g

⇔ x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ή x = 3

óõíÜñôçóç ôïõ ÷ êáé α,β > 0 ìå

ð.÷.

27 x − 2 = 32x − 4 ⇔ 3

x +1 x −2

= 32x − 4 ⇔ 3

x +1 2 = 2x − 4 ⇔ 3x + 3 = 2 ( x − 2 ) x−2

⇔ 2x 2 − 8x + 8 = 3x + 3 ⇔ 2x 2 − 11x + 5 = 0 ⇔ 1 1 1  ⇔ 2  x −  ( x − 5) = 0 ⇔ x − = 0 ή x − 5 = 0 ⇔ x = ή x = 5 2  2 2

• Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù. ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

112

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10

• Ãéá íá ëýóïõìå åîßóùóç áõôÞò ôçò ìïñöÞò âãÜæïõìå êïéíü ðáñÜãïíôá ôï α x ÉV. ÌïñöÞ f(áx) = g(áx), ìå á > 0 ìå á ≠ 1.

Þ èÝôïõìå α x = ω > 0 êáé ç åîßóùóç ìåôáôñÝðåôáé óå ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ùò ðñïò ù. ð.÷. 3x + 2 + 5 ⋅ 3x + 3x −1 − 3x − 2 = 128 ( 2 ) 1 −2  x  2 3x + 2 + 5 ⋅ 3x + 3x −1 − 3x − 2 = 128 ⇔ 3  3 + 5 + − 3  = 128 ⇔ 3   128 ⇔ 3x = ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 2 128 9

ð.÷. 9 x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0 (1) . ÈÝôïõìå 3x = ω > 0 ïðüôå g ( x ) = ( 32 ) = ( 3x ) = ω 2 x

V. ÌïñöÞ f(áx) = g(âx), ìå f, g

Ôüôå:

(1) ⇔ ω2 − 4ω + 3 = 0 ⇔ ω = 1 ή ω = 3

¢ñá

3x = 1 ⇔ 3x = 30 ⇔ x = 0 ,

• Äéáéñïýìå ìå β x êáé áíÜãåôáé óå ðñïçãïýìåíç ìïñöÞ. ð.÷. 3 ⋅ 2x − 4 − 5x − 2 = 2x −1 − 6 ⋅ 5x −3 Ðáñáôçñïýìå üôé Ý÷ïõìå äõíÜìåéò ôïõ 2 êáé ôïõ 5. Äéáéñïýìå ìå 5x

óõíáñôÞóåéò ôïõ

2x − 4 5x − 2 2x −1 5x − 3 1 2 1 1 2 1 − x = x −6 ⇔ 3⋅  ⋅ 4 − 2 =   − 6 ⋅ 3 ⇔ x 5 5 5 5 5 5 2 5 5 2 x

÷ êáé á,â>0

êáé

• ( f ( x ))

(f(x)) g(x) = 1, ð.÷. óõíáñôÞóåéò ôïõ ÷ êáé f(x)>0

32 2 2 =  ⇔ x=4   =  5  1250  5 

á ≠ â.

ìå f, g

1 6 −10  2  −1  3 1  2  ⇔  −   = − ⇔   = 25 125  16 2   5  32  5  125

äéÜöïñïé ôïõ 1

VI. ÌïñöÞ

3x = 3 ⇔ x = 1

g( x )

f ( x ) = 1  =1⇔  ή g ( x ) = 0 και f ( x ) > 0 

( x 2 + 2x − 2 )x

− 3x

(1)

 x 2 + 2x − 2 = 1 ( 2 ) (1) ⇔  ή g ( x ) = 0 και f ( x ) > 0 ( 3)  åßíáé x 2 + 2x − 2 = 1 ⇔ x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ή x = −3 êáé ( 3) ⇔ x ( x − 3) = 0 και x 2 + 2x − 2 > 0 ⇔

⇔ x = 0 ή x = 3 και

x < −1 − 3 ή x > −1 + 3 . TåëéêÜ x = 3 .

113

åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò

B. ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ Ãéá ôçí åðßëõóç áíéóþóåùí óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò åêèåôéêÞò óõíÜñôçóçò. i. Ìå 0 < α < 1 :

αf

(x)

( )

> αg x ⇔ f ( x ) < g ( x ) Þ αf

(x)

( )

< αg x ⇔ f ( x ) > g ( x )

üðïõ f ( x ) , g ( x ) óõíáñôÞóåéò ôïõ x. ii. Ìå α > 1 :

αf

(x)

( )

> αg x ⇔ f ( x ) > g ( x )

Þ αf

(x)

( )

< αg x ⇔ f ( x ) < g ( x )

Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò áíáãüìáóôå óå ìßá ðïëõùíõìéêÞ, êëáóìáôéêÞ, ôñéãùíïìåôñéêÞ ê.ô.ë. áíßóùóç ç ïðïßá ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

x+ 2

+ 5⋅3 + 3 x

x −1

−3

x− 2

= 128

Ëýóç

3 ⋅ 9x − 5 ⋅ 6x + 22x + 1 = 0

Ëýóç Ç åîßóùóç (1) ãñÜöåôáé

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

2 ⋅ 22x − 5 ⋅ 2x ⋅ 3x + 3 ⋅ 32x = 0

3x 3x − = 128 3 9 ÈÝôïõìå 3x = y êáé ðáßñíïõìå ôçí åîßóùóç: 3x ⋅ 32 + 5 ⋅ 3x +

y y 9y + 5y + − = 128 ⇔ 128y = 1.152 ⇔ y = 9 3 9

Ôüôå 3x = 9 = 32 ⇔ x = 2

Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå 32x êáé ðáßñíïõìå ôçí éóïäýíáìç åîßóùóç: 2x

x−4

−2

x −1

x−2

− 6⋅5

x−3

Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:

3⋅

2 2 5 5 − = − 6⋅ 3 2 4 2 52 5

6   3 1  1 2 x  −  = 5x ⋅  −   16 2   25 125  x

16 2 2 2 Þ   =  Þ x=4   = 625 5 5 5 Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

(3)

3 ðïõ Ý÷åé ñßæåò: y1 = , y 2 = 1 . 2 ¢ñá ç (2), óõíåðþò êáé ç (1) éóïäõìáìåß ìå ôéò åîéóþóåéò: x

(2)

2 ÈÝôïõìå:   = y , êáé ç (2) ãñÜöåôáé: 3 2y 2 − 5y + 3 = 0

Ëýóç

2 2 2 ⋅  − 5  + 3 = 0 3 3

Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:

3⋅2

(1)

−1

3 2 2   = =  , 2 3 3 Áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå

2 2   =1=   3 3 ÷ = -1 , ÷ = 0.

Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: á. 3 x + 3 x − 1 >

45 7 + x , x+ 2 3 3

â. 32x − 22x + 2 < 11 ⋅ 4x −1 − 9x ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ

114

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10

Ëýóç

á. Åßíáé:

45 7 3x 5 7 + x ⇔ 3x + > x + x ⇔ x +2 3 3 3 3 3

3x + 3x −1 >

3>1 4 ⋅ 3x 12 3x 3 > x ⇔ > x ⇔ 3x −1 > 31− x ⇔ 3 3 3 3

⇔ x − 1 > 1 − x ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1 â. 32x − 22x + 2 < 11 ⋅ 4 x −1 − 9 x ⇔ 11 ⇔ 9x + 9x < ⋅ 4x + 4 ⋅ 4x ⇔ 4 27 x ⇔ 2 ⋅ 9x < ⋅ 4 ⇔ 8 ⋅ 9 x < 27 ⋅ 4 x ⇔ 4 x

27 9 3 ⇔  < ⇔  8 4 2 ⇔ 2x < 3 ⇔ x <

3 / 2 >1

3 <  ⇔ 2

x y  3 + 4 = 13  Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:   x y  9 − 16 = 65 

Ëýóç Áí èÝóïõìå 3x = ω , 4 y = φ ôüôå ôï óýóôçìá ãñÜöåôáé:

3x + 4 y = 13  ω + φ = 13  ⇔  x   ⇔ y + ⋅ − = ω φ ω φ 65 )( ) (  9 − 16 = 65 ω + φ = 13  ω + φ = 13 ⇔ ⇔ ⇔ ω − φ = 5  13 ( ω − φ ) = 65 x 2 2ω = 18 ω = 9  x = 2 3 = 3  ⇔ ⇔ ⇔ y ⇔  4 = 4  2φ = 8  φ = 4  y = 1 

3 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Â124. Íá ëõèïýí ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò: x +1 x x −1 x +3 3. 3 − 2 = 3 + 2

Â125. Íá åðéëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

x y  x = y  5.  3 2   x = y 

4. 2 ⋅ 9x − 4 ⋅ 3x − 6 = 0 5. 3x +1 − 2x = 3x −1 + 2x +3

)

2x 2 −10x

9. 22x −1 − 3x + 4

+ 92

(1)

Â126. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: x +1

2. 3

+ 22x −1 > 4

3. e x − e− x < 0

1 2

Â128. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò: x2 −2

1 ii.   e

32x − 4

 x x + y = 2  6.   x 3 ( x + y ) = 1296 

1 i.   e

10. 2 ⋅ 4x + 3 ⋅ 9x = 5 ⋅ 6x

27 x − 2

x−

−3

3x − 2

3x + 2 ⋅ 5y = 77  1.  x +1 y + 2  −3 + 5 = 544 

7. 3 ⋅ 2x − 4 − 5x − 2 = 2x −1 − 6 ⋅ 5x −3

(

)

Â127. Íá ëõèïýí ôá åêèåôéêÜ óõóôÞìáôá:

4. 32x +1 − 5 ⋅ 6 x + 2 ⋅ 4 x = 0 ,

6. x 2 − 7x + 10

(

4. 188− 4x < 54 2

− ex > 0 x2 −2

− ex < 0

1 2

Â129. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 32x − 28 ⋅ 3x −1 + 3 ≥ 0

115

ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá

Â.11

ËïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá

Åðßëõóç Ëïãáñéèìéêþí

Á. Åîéóþóåéò Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá: log α f ( x ) = log α g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x )

Åîéóþóåùí Áíéóþóåùí

üðïõ 0 < α ≠ 1 êáé f(x) , g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x. Óôï ôÝëïò äå÷üìáóôå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé : f (x) > 0

και

g(x) > 0

Â. Áíéóþóåéò Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ áíßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá: á. Áí 0 < α < 1 : log α f ( x ) < log α g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x )

(1)

log α f ( x ) < log α g ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x )

(2)

â. Áí α > 1 :

üðïõ α > 0 êáé α ≠ 1 êáé f(x), g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x. Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé : f (x) > 0

και

g(x) > 0

ìå áõôÝò ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôéò (1) Þ (2). ÐáñáôÞñçóç Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç Þ áíßóùóç ðñïóðáèïýìå íá ôç öÝñïõìå óå áðü ôéò ðáñáðÜíù ìïñöÝò, Á Þ Â, ìå óõíÝðåéá ôï ðñüâëçìá íá áíÜãåôáé óôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêþí, ñçôþí, Üññçôùí, ôñéãùíïìåôñéêþí åîéóþóåùí Þ áíéóþóåùí ðïõ áíôéìåôùðßæïíôáé ìå ãíùóôü ôñüðï. ÃåíéêÜ ëïãáñéèìßæïõìå üôáí Ý÷ïõìå Üãíùóôï óôïí åêèÝôç . ð.÷ x ln x −1 = e 2 , x ln x < e . 2 Ðñïóï÷Þ óôç ÷ñÞóç éäéïôÞôùí,ð.÷ ln x = 2ln x êáé ü÷é ln x = 2 ln x .

ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

116

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11

ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò ðïõ ëýíïíôáé ìå ôç ÷ñÞóç ëïãáñßèìùí Åðßëõóç

á. ÌïñöÞ α x = β

åêèåôéêþí Åîéóþóåùí

Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí α x = β ⇔ x = log α β

(ìå ÷ñÞóç

ð.÷ 2 x = 7 ⇔ x = log 2 7

ëïãáñßèìùí) â. ÌïñöÞ

f (x)

=β

Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí

α f ( x ) = β ⇔ f ( x ) = log α β  x = 1 + log 5 3 ð.÷ 5 x −1 = 3 ⇔ x − 1 = log 5 3 ⇔ x = 1 + log 5 3 ⇔   x = −1 − log 5 3 ã. ÌïñöÞ

αf

(x)

( )

= βg x

ìå f , g óõíáñôÞóåéò ôïõ x êáé α,β > 0 êáé äéÜöïñïé ôïõ 1.

Áí ï â äåí åßíáé äýíáìç ôïõ á, ôüôå:

αf

(x)

= βg x ⇔ f ( x ) log α = g ( x ) logβ ( )

ð.÷.

+ 3x

2 = 24 ⇔ ( x 2 + 3x ) log 3 = 4 log 2 ⇔ ( log 3) x − ( 3log 3) x − 4log 2 = 0 (1)

Åßíáé ∆ = ( 3log 3) + 16 log 2 log 3 > 0 ïðüôå ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé: 2

3log 3 ±

( 3log 3)

+ 16 log 2 log 3

2 log 3

Ã. ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ Ëïãáñéèìéêü óýóôçìá ëÝìå ôï óýóôçìá,üðïõ ç ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõ åßíáé ëïãáñéèìéêÞ. Ãéá íá ôï åðéëýóïõìå åöáñìüæïõìå ôéò éäéüôçôåò ôùí ëïãáñßèìùí, áöïý ôåèïýí ïé ðåñéïñéóìïß êáé êáôáëÞãïõìå óå Ýíá óýóôçìá ãñáììéêþí åîéóþóåùí.

117

ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá ëõèïýí ïé ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò:

á. log ( 4x − 1) = 2 log 2 + log ( x 2 − 1)

(1)

â. n ( x − 1) + n ( 2x + 4 ) = 2 n ( x + 2 ) .

Ëýóç 1 log ( x + 2 ) = log x + 2 êáé 1 = log10 2 ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá: ÅðåéäÞ

 x + 2 > 0 , x − 3 > 0 , (2)   log ( x + 2 ⋅ x − 3 ) = log (10 ⋅ 3 )

Ëýóç á. Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

{4x − 1 > 0, x

− 1 > 0, log ( 4x − 1) = log 4 ( x 2 − 1)

Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäõíáìåß ìå:

4x − 1 = 4 ( x 2 − 1) ⇔ 3 1 ⇔ 4x − 4x − 3 = 0 ⇔ x1 = , x 2 = − 2 2 Áð’áõôÝò ìüíï ç ðñþôç éêáíïðïéåß êáé ôéò äýï áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò . ¢ñá ç åîßóùóç (1) Ý÷åé ìéá ìüíï ñßæá, ôçí: 2

3 2

â. Åßíáé n ( x − 1) + n ( 2x + 4 ) = 2 n ( x + 2 ) (1).

x − 1 > 0 x > 1   ÐñÝðåé 2x + 4 > 0 ⇔  x > −2 . ¢ñá x > 1 . x + 2 > 0  x > −2  

Ïé äýï ðñþôåò ó÷Ýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò (2) óõíáëçèåýïõí ãéá: x > 3 (3) Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí: ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3) = 10 ⋅ 3 ⇔ ⇔ ( x + 2 ) ( x − 3) = 300 ⇔ x 2 − x − 306 = 0 Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç âñßóêïõìå:

x1 = 18 , x 2 = −17 Ç ðñþôç áðü ôéò ðáñáðÜíù éêáíïðïéåß ôçí (3), óõíåðþò ç (1) Ý÷åé ëýóç ôçí x = 18 .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

x log γ

n [( x − 1)( 2x + 4 )] = n ( x + 2 ) ⇔

= 10

(1)

Ëýóç Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

{x > 0

Ç (1) ãñÜöåôáé éóïäýíáìá :

και x log

= 100}

(2)

x log x = 100 ⇔ log x log x = log100 ⇔ 1 2 ( log x ) = 2 ⇔ log x = 2 ή log x = −2 2

( x − 1)( 2x + 4 ) = ( x + 2 ) ⇔ 2

( x − 1)( 2x + 4 ) − ( x + 2 )2 = 0 ⇔ ( x + 2 ) [ 2 ( x − 1) − ( x + 2 )] = 0 ⇔

Áðü ôçí åîßóùóç log x = 2 Ý÷ïõìå:

 x = −2 απορρίπτεται ( x + 2 )( x − 4 ) = 0 ⇔  ή  x = 4 δεκτή 

Íá ëõèåß ç ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç:

1 log ( x + 2 ) + log x − 3 = 1 + log 3 2

log x = 2 = log100 Üñá, x = 100 Áðü ôçí åîßóùóç log x = −2 Ý÷ïõìå:

log x = −2 = log 0, 01 Üñá x = 0, 01 ¢ñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé: {10−2 , 102 }

(1) ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ

118

ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11

Ëýóç

2 − x > 0 0 < x < 2 log 2 − x < log x ⇔  x > 0 ⇔ ⇔ 2 2 − x < x   2−x < x

1 log 3 x ç (1) åßíáé é2 óïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:

0 < x < 2 0 < x < 2 ⇔ 2 ⇔ ⇔1< x < 2 x < 2 ή x > 1 x + x − 2 > 0

Íá ëõèåß ç åîßóùóç:

log 3 x ⋅ log 9 x = 2

(1)

ÅðåéäÞ log 9 x = log 32 x =

{

x>0 ,

}

1 2 ( log3 x ) = 2 2

(2)

{log x + log y = log14, 3x − y = 1}

ÅðåéäÞ ( log 3 x ) = 4 ôï óýóôçìá (2)éóïäõíáìåß 2

, log3 x = 2} êáé

{x > 0

, log3 x = −2}

Áðü ôá ðáñáðÜíù óõóôÞìáôá, âñßóêïõìå x = 3−2 και x = 32

(1)

Ëýóç

ìå ôá óõóôÞìáôá:

{x > 0

Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:

Ìå x êáé y èåôéêÜ , ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ãñÜöåôáé: log ( x ⋅ y ) = log14 ⇔ x ⋅ y = 14 ïðüôå ôï (1) éóïäõíáìåß ìå ôï óýóôçìá:

{3x − y = 1 ,

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: log 2 − x < log x

xy = 14}

(2)

Áðü ôï óýóôçìá (2) åðåéäÞ x > 0, y > 0 âñßóêïõ-

Ëýóç Åßíáé:

( x, y ) = 

7  , 6 3 

ìå:

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

B130. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

B134. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷:

á. log log ( 2x + x − 11)  = 0

i. ( og2x − 1) x + 4 ∈ R ;

â. 2log x + 25−log x = 12

 nx − 1  ii.   ∈R ;  nx + 1 

ã. log ( 2 + 2 ⋅ 3 ) + log81 = x ⋅ log 3 + log178 x

ä. log

B131.

x ⋅ log 2 x ⋅ log 2

x ⋅ log 4 x = 54

â. 2

nx −

1 2

nx +

1 2

1 ogx 3 − og x 2

nx +

B132. Íá ëõèåß ç áíßóùóç B133.

i. og1 3 ( x 2 + 5x − 1) > 0

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò

á. 2 og ( x − 2 ) =

5 2

= 11

B135. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:

x −1 >1. x+2

i. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷

log5x ( 2x 2 + x + 1) ∈ R ; 1− x ∈R ; ii. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ n 2+ x

ii. og ( 2 x + 2 ⋅ 3x ) + og81 > x og3 + og178 B136. Íá ëõèåß ç åîßóùóç n [ n ( x 2 − x + e ) ] = 0

B137.

Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ :

og ( 3x − 2x 2 ) ∈ R ;

B138. Íá ëýóåôå ôá óõóôÞìáôá:  nx − ny = 2 i.   x + 2y = 10

 ogx + ogy = og2 iv.  2 2 3x + 2y = 10

119

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

Ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

Áí ïé ôéìÝò åíüò ìåãÝèïõò y åîáñôþíôáé ìå ìïíáäéêü ôñüðï áðü ôéò ôéìÝò åíüò Üëëïõ ìåãÝèïõò x ôüôå ëÝìå üôé: “Ôï y åßíáé óõíÜñôçóç ôïõ x” Ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

H ìåôáâëçôÞ y ëÝãåôáé åîáñôçìÝíç åðåéäÞ ïé ôéìÝò ôçò åîáñôþíôáé áðü ôï x åíþ ç ìåôáâëçôÞ x ëÝãåôáé áíåîÜñôçôç. Èá áó÷ïëçèïýìå ìå óõíáñôÞóåéò üðïõ ç ìåôáâëçôÞ x ðáßñíåé ôéìÝò áðü Ýíá óýíïëï Á

õðïóýíïëï ôïõ R ( A ⊆ R ) êáé ç ìåôáâëçôÞ y áðü Ýíá óýíïëï Â

õðïóýíïëï ôïõ R ( B ⊆ R ) . ÅðïìÝíùò áõôÝò ôéò óõíáñôÞóåéò ôéò ëÝìå ðñáãìáôéêÝò (áöïý y ∈ R ) ðñáãìáôéêÞò ìåôáâëçôÞò (áöïý x ∈ R ). Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðÜíù ìðïñïýìå íá äéáôõðþóïõìå ôïí åðüìåíï ïñéóìü: Ïñéóìüò ôçò óõíÜñôçóçò ÏíïìÜæïõìå ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Ýíá óýíïëï A ⊆ R ôç äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá êÜèå x ∈ A áíôéóôïé÷ßæåôáé óå Ýíá ìüíï y ∈ B ⊆ R êáé óõìâïëßæåôáé óõíÞèùò ìå f, g, h, . . . ê.ë.ð. Ç ó÷çìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá: Ôï óýíïëï A ⊆ R áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ x, ëÝãåôáé ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f, åíþ ôï óýíïëï B ⊆ R áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ y ïíïìÜæåôáé óýíïëï (ðåäßï) ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(A). ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:

f : A → B = f (A) êáé åííïïýìå üôé ç f åßíáé ç óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï Á êáé óýíïëï ôéìþí ôï

f (A) ⊆ R . ×ñçóéìïðïéïýìå åðßóçò ôïõò óõìâïëéóìïýò D(f) êáé R(f) ãéá ôï ðåäßï ïñéóìïý êáé ôï óýíïëï ôéìþí, ìéáò óõíÜñôçóçò, áíôßóôïé÷á.

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

120

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

ð.÷ Ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá óå êÜèå x ∈ [ 0,1] áíôéóôïé÷ßæåôáé ôï äéðëÜóéü ôïõ, åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôçìá A = [ 0,1] . ÊÜèå ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí éóüôçôá:

y = 2x ÃñÜöïõìå óõíÞèùò y = f ( x ) = 2x Þ áðëÜ f ( x ) = 2x . Ç ðáñáðÜíù éóüôçôá ëÝãåôáé ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò. Ìå ôïí ðáñáðÜíù ôýðï ìðïñïýìå íá âñïýìå ôçí áíôßóôïé÷ç ôéìÞ ïðïéïõäÞðïôå

(σχήµα 1)

x ∈ [ 0,1] .

Ãéá ðáñÜäåéãìá

• áí x = 0 ôüôå f ( 0 ) = 2 ⋅ 0 = 0 • áí x =

1 1 1 ôüôå f   = 2 ⋅ = 1 , (ó÷Þìá 1) 2 2 2

Áí ìéá óõíÜñôçóç f : A → R Ý÷åé ôçí ßäéá ôéìÞ ãéá êÜèå x ∈ A ïíïìÜæåôáé óôáèåñÞ. ð.÷. ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï f ( x ) = 2 åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå 2 , ãéá êÜèå x ∈ R .

Ôýðïò óõíÜñôçóçò

Ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ìéá ãåííÞôñéá äéáôåôáãìÝíùí æåýãùí ôçò ìïñöÞò ( x, f ( x ) ) ìåôÜ áðü ìßá óåéñÜ ðñÜîåùí ðïõ áêïëïõèïýí ôçí áíôéêáôÜóôáóç ôïõ x ìå ìéá óõãêåêñéìÝíç ôéìÞ. Ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ìðïñåß íá Ý÷åé äéáöïñåôéêÝò åêöñÜóåéò ãéá êÜèå ïìÜäá ôùí ôéìþí ôçò ìåôáâëçôÞò x. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí äéáôåôáãìÝíùí æåõãþí ( x, f ( x ) ) üôáí áðåéêïíßæåôáé óôï åðßðåäï, äçë. ìéá êáìðýëç (ãñáììÞ). Åßíáé ãíùóôü üôé êÜèå äéáôåôáãìÝíï æåýãïò (÷, y) Þ ( x, f ( x ) ) ãåùìåôñéêÜ - ãñáöéêÜ ðáñéóôÜíåé Ýíá óçìåßï óôï åðßðåäï ìå ôåôìçìÝíç x êáé ôåôáãìÝíç

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

y = f ( x ) êáé áíôßóôñïöá.

Áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá ôï Ó÷.1 åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò åíþ ôï Ó÷.2 äåí åßíáé.

121

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ôçí ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò åðßðåäï (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.

÷ y = f (x)

÷1

÷2

y1 = f ( x1 )

y2 = f ( x 2 )

÷3

y3 = f ( x 3 )

..... ..........

÷í

yν = f ( x ν )

¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá 1 - 10 ðïõ áíáðôýóïõìå óôç óõíÝ÷åéá (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. Èá áíáöÝñïõìå åðßóçò êÜðïéåò âáóéêÝò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí ôçí ðëÞñç ìåëÝôç - ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç èá Ý÷ïõìå äáíåéóôåß. ÐáñáôÞñçóç: 1. ÕðÜñ÷ïõí óõíáñôÞóåéò ðïõ äåí Ý÷ïõí ôïí ßäéï ôýðï ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò. Ïé óõíáñôÞóåéò áõôÝò ëÝãïíôáé ðïëëáðëïý ôýðïõ Þ óõíáñôÞóåéò ìå êëÜäïõò. Ãéá ðáñÜäåéãìá

 ηµx, x ≤ 0 f (x) =   x − 1, 0 < x ≤ 4

Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x = 0 ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ðñþôï êëÜäï, äéüôé ôï x = 0 áíÞêåé óôï

(−∞, 0] åíþ ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x = 2 ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï äåýôåñï êëÜäï, äéüôé ôï

x = 2 áíÞêåé óôï (0, 4] . ¸ôóé Ý÷ïõìå: f ( 0 ) = ηµ0 = 0 êáé f ( 2 ) = 2 − 1 = 1 ÐáñáôçñÞóôå üôé, üôáí ìéá óõíÜñôçóç äßíåôáé ìå ðïëëáðëü ôýðï, äßíåôáé áõôüìáôá êáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. ð.÷. ç ðñïçãïýìåíç óõíÜñôçóç Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï óýíïëï

A = (−∞, 0] ∪ (0, 4] = (−∞, 4] 2. Áðü ôïí ïñéóìü ðïõ äüèçêå ãéá ôç óõíÜñôçóç åßíáé öáíåñü üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé ìéá ó÷Ýóç ìåôáîý äýï ìåôáâëçôþí x êáé y, ç ïðïßá üìùò ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ y ãéá ôçí ßäéá ôéìÞ ôïõ x. ÂëÝðå åðüìåíï äéÜãñáììá.

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

122

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

ð.÷. ¸óôù ç ó÷Ýóç T = T ( t ) , üðïõ t ï ÷ñüíïò êáé Ô ç èåñìïêñáóßá êÜèå óçìåßïõ ôïõ ÷þñïõ. Ç ðáñáðÜíù ó÷Ýóç åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò èåñìïêñáóßåò ãéá ôï ßäéï óçìåßï ôïõ ÷þñïõ ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. Åíþ ç ó÷Ýóç y 2 = x ìå x, y ∈ R , äåí åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ãéá ðáñÜäåéãìá áí x = 4 ôüôå y = 2 Þ y = −2 .

Êáñôåóéáíü óýóôçìá

Áí ðÜñïõìå äýï êÜèåôá ôåìíüìåíïõò Üîïíåò óôï åðßðåäï, ðïõ Ý÷ïõí êïéíÞ áñ÷Þ ôï óçìåßï ôïìÞò Ï, ôüôå ëÝìå üôé Ý÷ïõìå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá áíáöïñÜò óôï åðßðåäï. Áí åðéðëÝïí ïé ìïíÜäåò ôùí áîüíùí Ý÷ïõí ôï ßäéï ìÞêïò, ôï óýóôçìá Ïxy ëÝãåôáé ïñèïêáíïíéêü. Áí (á, â) ôï æåýãïò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ áíôéóôïé÷ßæåôáé ó’ Ýíá óçìåßï Á ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ , ôüôå ãñÜöïõìå Á(á, â) êáé ïíïìÜæïõìå:

ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ

• ôåôìçìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü á. • ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü â. Ôá á, â ïíïìÜæïíôáé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ Á Ôá óçìåßá ðïõ âñßóêïíôáé ðÜíù óôïí Üîïíá x´x Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç 0. ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (á, 0). Ôá óçìåßá ðïõ âñßóêïíôáé óôïí Üîïíá y’y Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç 0. ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (0, â). Ôá ðñüóçìá ôùí óõíôåôáãìÝíùí óå êÜèå Ýíá ôåôáñôçìüñéï öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá áñéóôåñÜ.

123

ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá

Íá åëÝãîåôå áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = ( x − 1) + 4 , 3

• Ãéá x < −1 ç Ýêöñáóç ôïõ ôýðïõ ôçò f åßíáé f1 ( x ) = −3x + 1 , ïðüôå f ( −5 ) = f1 ( −5 ) = ( −3) ⋅ ( −5 ) + 1 = 15 + 1 = 16

äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á(1,0) êáé Â(2,5). • Ãéá −1 ≤ x < 0 ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé f 2 ( x ) =

Ëýóç Ãéá íá ðåñíÜåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðü ôá óçìåßá Á êáé Â ðñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõò íá åðáëçèåýïõí ôïí ôýðï ôçò f äçë. íá äçìéïõñãïýí éóüôçôá áëçèÞ. Åßíáé f ( x ) = ( x − 1) + 4 êáé Á(1,0) , Â(2,5). 3

Ãéá x = 1 åßíáé f (1) = (1 − 1) + 4 = 4 ≠ 0 . ¢ñá ç

ïðüôå f ( −1) = f 2 ( −1) =

4 x

4 = −4 . −1

• Ãéá x ≥ 0 ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé f 3 ( x ) = 7 ïðüôå f ( 0 ) = f 3 ( 0 ) = 7 êáé f ( 7 ) = f 3 ( 7 ) = 7 .

Cf äåí äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(1,0). Ãéá x = 2 åßíáé

* Âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ α ∈ » + þóôå ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò ôéìþí íá ðñïÝñ÷åôáé áðü óõíÜñôçóç

f ( 2 ) = ( 2 − 1) + 4 = 13 + 4 = 1 + 4 = 5 . 3

¢ñá ç Cf äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(2,5).

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

 −3x + 1 , x < −1  4 f ( x) =  , −1 ≤ x < 0  x  7 , x≥0 Íá õðïëïãßóåôå ôá f(-5), f(-1), f(0), f(7).

Ëýóç

á2-10

Á3 Á4 Á5

Ëýóç Åßíáé f ( 0 ) = 15 êáé f ( 0 ) = α 2 − 10 . ÐñÝðåé

α 2 − 10 = 15 ⇔ α 2 − 25 = 0 ⇔ ( α − 5 ) ⋅ ( α + 5 ) = 0

α − 5 = 0  ⇔ ή ⇔ α = 5 ή α = −5 α + 5 = 0  * ÅðåéäÞ α ∈ » + åßíáé α = 5 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 1.

ii. f ( x ) = 2x − 1 + 3x − 1 (âë. áóê Á6.2)

Äßíåôáé óõíÜñôçóç f, ìå f ( x ) = 3x + 1 . Íá âñåèïýí: á. f ( x − 1)

â. f ( 2x + 1)

iii. f ( x ) = x − 2 − 1 − x + 3 − x − 1

ã. f (1 − x 2 )

(âë. áóê B3.5)

Ã 2.

Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñôÞóåùí: i. f ( x ) = 1 − x + x − 1

Ã 3.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç y = −5x + 2 , üðïõ ôï x ðáßñíåé ôéò ôéìÝò -3, -1, 0, 2, 4. Íá ãñáöôåß ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò y.

Á5 Á3

H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

124

Ã 4.

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

Ç âÜóç åíüò ôñéãþíïõ ΑΒΓ åßíáé

Ã 6.

BΓ = 12cm êáé ôï ýøïò ôïõ Α∆ = x . Íá åêöñáóôåß ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ùò óõíÜñôçóç ôïõ x êáé íá âñåèåß ç ôéìÞ ôïõ åìâáäïý ãéá x = 8 êáé x = 10 .

Ã 5.

f ( x + 1) + f (1 − x ) ≥ α 2 + β 2 + 4 ãéá êÜèå x ∈ R íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí á,â.

Ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò åßíáé ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò y = κx + λ . Íá âñåèïýí ôá ê êáé ë.

Áí f ( x ) = ( α + 1) x + β êáé

Ã 7.

 x , x ≤ 2 Áí f ( x ) =  ,  1 − x , x > 2 á. Íá âñåßôå ôá

-2

-1

f ( −2 ) , f ( 0 ) , f (1) , f ( 2 ) , f ( 3) , f ( π )

-13

-10

-7

-4

-1

â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç f ( x ) = −2 .

ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò Ãéá ôç óôïé÷åéþäç ìåëÝôç ìéaò óõíÜñôçóçò áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:

1. Ðåäßï ïñéóìïý, Áf 2. Ðåñéïäéêüôçôá 3. Óõììåôñßåò : Üñôéá - ðåñéôôÞ 4. Óýíïëï ôéìþí, f(A) 5. Ìïíïôïíßá 6. 1-1 7. Áêñüôáôá 8. Ðïý ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò 9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò 10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôá ïðïßá áíáðôýóïíôáé áíáëõôéêÜ óôéò åðüìåíåò åíüôçôåò Ã1 - Ã10.

125

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò

Ã.1

Ðåäßï Ïñéóìïý

Ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò ïíïìÜæåôáé ôï óýíïëï - õðïóýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò ôéìÝò ðïõ åðéôñÝðåôáé íá Ðåäßï Ïñéóìïý

ðÜñåé ç ìåôáâëçôÞ x þóôå ç ìåôáâëçôÞ y = f ( x ) íá åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò. ÓõíÞèùò ôï óõìâïëßæïõìå A f . ÁíÜëïãá ëïéðüí ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò åðéâÜëëïõìå êáé ôïõò áíôßóôïé÷ïõò ðåñéïñéóìïýò þóôå f ( x ) ∈ R êáé ðñïóäéïñßæïõìå êáô’áõôüí ôïí ôñüðï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò.

Ãéá íá åßíáé “êáëþò ïñéóìÝíç” ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé áðáñáßôçôï íá ãíùñßæïõìå ôñßá óôïé÷åßá: • Áðü ðïéï óýíïëï “îåêéíÜåé” ç äéáäéêáóßá (ðåäßï ïñéóìïý) • Ôïí “áêñéâÞ ìç÷áíéóìü” ôçò äéáäéêáóßáò (ôýðï ôçò f) • Óå ðïéï óýíïëï “êáôáëÞãåé” (ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí)

¼ìùò, ðïëëÝò öïñÝò äßíåôáé ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ÷ùñßò íá äßíåôáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ åííïåßôáé üôé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ôï åõñýôåñï õðïóýíïëï ôïõ R ãéá ôï ïðïßï ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý. ÄçëáäÞ, ôï ðåäßï ïñéóìïý Á, áðïôåëåßôáé áðü åêåßíá ôá x ∈ R , ãéá ôá ïðïßá ôï f (x) áíÞêåé åðßóçò óôï R. ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:

A = {x ∈ R :για τα οποία y = f ( x ) ∈ R}

Óôç óõíÝ÷åéá ðïëëÝò öïñÝò èá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ü÷é êáé ôüóï áêñéâÞ Ýêöñáóç ç óõíÜñôçóç: y = f (x) =

2x x 2 + 3x - 4

áíôß ôçò áêñéâïýò ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: y = f (x) =

2x x + 3x - 4 2

ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

126

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

Åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ÁíáöÝñáìå üôé, ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò y = f ( x ) áðïôåëåßôáé áðü åêåßíïõò ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý. ÅðïìÝíùò, ãéá ôçí åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò åðéâÜëëïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï x, þóôå ôï f(x) íá Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý. ¸ôóé, áí: ν ν −1 • f ( x ) = α ν x + α ν −1 x + ... + α1 x + α 0 , üðïõ α 0 , α1 , ... , α ν ∈ R êáé ν ∈ Ν , ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí äçë. ôï R.

• f (x) =

α , α ∈ R, üðïõ Π ( x ) ðïëõþíõìï ôïõ x, ðñÝðåé Π ( x ) ≠ 0 , ïðüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý Π (x)

ôçò f åßíáé ôï A = {x ∈ R εκτός από τις ρίζες του Π ( x )} • f ( x ) = ν Π ( x ) , üðïõ Π ( x ) ðáñÜóôáóç ôïõ x, ν ∈ Ν, ν ≥ 2 ðñÝðåé Π ( x ) ≥ 0, Π ( x ) ∈ R ïðüôå A = {x ∈ R :για τα οποία Π ( x ) ≥ 0} • f ( x ) = ln Π ( x ) , üðïõ Π ( x ) ðáñÜóôáóç ôïõ x ðñÝðåé Π ( x ) > 0, Π ( x ) ∈ R ïðüôå A = {x ∈ R :για τα οποία Π ( x ) > 0} • f ( x ) = log α φ ( x ) , ðñÝðåé: φ ( x ) > 0 και 0 < α ≠ 1 ïðüôå A = {x ∈ R :φ ( x ) > 0} • f ( x ) = log g ( x ) φ ( x ) , ðñÝðåé: φ ( x ) > 0, 0 < g ( x ) ≠ 1 ïðüôå A = {x ∈ R :φ ( x ) > 0 και 0 < g ( x ) ≠ 1} • f ( x ) = α φ x , ðñÝðåé: φ ( x ) ∈ R, 0 < α ≠ 1 ïðüôå Α = {x ∈ R : φ ( x ) ∈ R} ( )

• f ( x ) = ( φ ( x ))

g( x )

, ðñÝðåé: φ ( x ) > 0 και g ( x ) ∈ R

ïðüôå A = {x ∈ R : φ ( x ) > 0 και g ( x ) ∈ R} • f ( x ) = ηµx,

A=R

• f ( x ) = συνx,

A=R

• f ( x ) = εφx,

π A = x ∈ R : x ≠ kπ + , k ∈ Z 2

{

}

127

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò

• f ( x ) = σφx,

A = {x ∈ R : x ≠ kπ, k ∈ Z}

• f ( x ) = ηµ ( g ( x ) ) ,

A = {x ∈ R : g ( x ) ∈ R}

• f ( x ) = συν ( g ( x ) ) , A = {x ∈ R : g ( x ) ∈ R}

{

}

• f ( x ) = εφ ( g ( x ) ) ,

π A = x ∈ R : g ( x ) ∈ R, g ( x ) ≠ kπ + , k ∈ Z 2

• f ( x ) = σφ ( g ( x ) ) ,

A = {x ∈ R : g ( x ) ∈ R, g ( x ) ≠ kπ, k ∈ Z}

Ðñïóï÷Þ! Áí ï ôýðïò ðïõ äßíåôáé åßíáé ôÝôïéïò ðïõ ðñÝðåé íá èÝóïõìå ðåñéóóüôåñïõò áðü Ýíáí ðåñéïñéóìïýò, ôüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ðñïêýðôåé áðü ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí üëïé ïé ðåñéïñéóìïß ðïõ èÝôïõìå.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá A7 B2

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò ìå ôýðï: f ( x ) = 2 − x

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: f ( x ) = ηµ 2 − x

Ëýóç

Ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áí êáé ìüíïí áí : 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 . ¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá

(−∞, 2] .

ÐñÝðåé: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 ¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá A = [−2, 2] .

4 B4 B11

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò ìå ôýðï: f ( x ) =

4 − x2 ln x

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: f ( x ) =

2−x x−1 −1

B2 B3

Ëýóç Ëýóç

ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò :

Ãéá íá Ý÷åé íüçìá ï ôýðïò ðïõ äüèçêå, ðñÝðåé íá éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò:

2 − x ≥ 0 êáé x − 1 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≤ 2 êáé x − 1 ≠ ±1 ⇔ x ≤ 2 êáé x ≠ 2, x ≠ 0 . ¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:

4 − x 2 ≥ 0 , ln x ≠ 0 êáé x > 0 Åßíáé

4 − x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 ln x ≠ 0 ⇔ ln x ≠ ln1 ⇔ x ≠ 1 Áðü ôç óõíáëÞèåõóç ôùí ðáñáðÜíù ðáßñíïõìå: 0 < x < 1 Þ 1 < x ≤ 2 . ¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò

óõíÜñôçóçò åßíáé ôï A = ( 0,1) ∪ (1, 2] .

A = ( −∞, 0 ) ∪ ( 0, 2 ) .

Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï: f ( x ) =

x−1 2− x ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

128

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

Ëýóç

ÅðïìÝíùò ìå x ∈ [0, 2π] ç ëýóç ôçò (1) åßíáé

ÐñÝðåé: 2 − x ≠ 0 êáé

π 2π ≤x≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò 3 3 g åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò

x −1 ≥ 0 ⇔ ( x − 1)( 2 − x ) ≥ 0, 2 − x ≠ 0 2−x

⇔ 1 ≤ x < 2, Üñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá A = [1, 2) .

Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï B9 äéÜóôçìá [−7, −5] ôüôå íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò g ìå ôýðï: g ( x ) = f ( −6 + 2συνx ) .

π 2π   ìïñöÞò:  2kπ + , 2kπ +  , όπου k ∈ Z . 3 3  

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõíáñôÞóåùí: i) f ( x ) = log 2 − x ( 4 − x ) ii) f ( x ) = log ( 1 − ex ) .

B3 B11

Ëýóç i. Ï ôýðïò Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý, üôáí:

Ëýóç ÐñÝðåé:

−7 ≤ −6 + 2συνx ≤ −5 ⇔ −1 ≤ 2συνx ≤ 1 ⇔ ⇔−

1 1 ( ) ≤ συνx ≤ 1 2 2

Óôï [0, 2π] ç (1) áëçèåýåé ãéá

{4 − x > 0και 2 − x > 0και 2 − x ≠ 1} ⇔ ⇔ { x < 4, x < 2, x ≠ 1} ⇔ {−4 < x < 4, x < 2, x ≠ 1}

π 2π ≤x≤ êáé 3 3

4π 5π ≤x≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g 3 3 åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò ìïñ-

ÅðïìÝíùò ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:

π 2π öÞò:  kπ + , kπ +  , üðïõ k ∈ Ζ . 3 3  

A = ( −4,1) ∪ (1, 2 ) .

ii. ÐñÝðåé 1 − e > 0 ⇔ e x < 1 ⇔ e x < e0 ⇔ x < 1 . ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜx

Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõíáñôÞóåùí: B9 i. f ( x ) = 3 − συνx ii. g ( x ) = 2ηµx − 3 A7

Ëýóç i. ÐñÝðåé 3 − συνx ≥ 0 , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå

x ∈ R ,áöïý −1 ≤ συνx ≤ 1 , Üñá A f = R . 3 ii. ÐñÝðåé 2ηµx − 3 ≥ 0 ⇔ ηµx ≥ 2

(1)

Ìå x ∈ [0, 2π] , Ý÷ïõìå:

ηµx =

3 π 2π π 2π = ηµ = ηµ ⇔x= ήx= 2 3 3 3 3

óôçìá A = ( −∞,1) . Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ ∈ R þóôå ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï: f ( x ) = ln ( λx 2 + x + λ ) íá Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

Ëýóç Ãéá íá Ý÷åé ç óõíÜñôçóç f ðåäßï ïñéóìïý ôï R ðñÝðåé:

λx 2 + x + λ > 0, ãéá êÜèå x ∈ R êáé áõôü óõìâáßíåé ìüíïí üôáí: λ > 0 êáé ∆ = 1 − 4λ2 < 0

B4 B11

129

ìåëÝôç óõíÜñôçóçò

λ > 0 λ > 0 λ > 0 λ > 0 1    ⇔  και ⇔  και ⇔  και ⇔  και ⇔λ>    2 1 − 4λ2 < 0 λ2 > 1 λ > 1 λ < − 1 ή λ > 1     4 2 2 2 ¢ñá ãéá êÜèå λ >

1 ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R. 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 8.

â. ¼ìïéá ãéá ôçí

Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåùí:

i. f ( x ) =

2x x2 +1 + x + 1 x ( x − 2)

x2 +1 ii. f ( x ) = 5 + x − 1 − 2x

g(x) =

(âë. áóê. A5.1)

Ã 11. (âë. áóê. Â3.2)

iii. f ( x ) = 6 − x − 2

(âë. áóê. Â3.8)

 x −1  − 1 vi. f ( x ) = ln   x−2  vii. f ( x ) =

Ã 9.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò: f (x) =

1 x 4 − 5x 2 + 4

Ã 12. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

iv. f ( x ) = ln ( 3 − x − 1 ) v. f ( x ) = 4x + 1 − x − 3

1 2 λx + ( λ − 3) x + λ

x 2 + 2008 5 − x − x −1

Ã 13. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:

2 x −3 −4

f (x) =

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé óõíáñôÞóåéò Ý÷ïõí ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìïñöÞò R − {ρ} , üðïõ

ρ∈R .

( 3 − x ) ( x 2 − 7x + 10 ) ( x + 1)( x − 4 ) (âë. áóê. Â8.4)

Ã 14. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò: f (x) =

f ( x ) = λx 2 − ( λ − 1) x + 2λ − 2 2 g ( x ) = x 2 − 2 ( λ − 1) x + ( λ − 1)

Ã 10. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç óõíÜñôçóç f

f (x) =

x 3 − 4x 2 − 5x ln ( 9 − x 2 )

Ã 15. Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜìå

x2 + 4 á. f ( x ) = Ý÷åé ðå( −λ − 2 ) x 2 + 2λx − 3λ äßï ïñéóìïý ôï R.

ôù óõíáñôÞóåùí: 1. f ( x ) =

x2 − 9 3x − x 2

2. f ( x ) =

2 +1 2x 2 + 1

ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ

A4 A5 A7 A10 B3 Â4 B7 B11

130

3. f ( x ) =

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1

20. f ( x ) = 3 x 2 − 4x + 3 − − x 2 + 4x + 5

2 7 + 3x x − 2

A4 A5 x −1 4. f ( x ) = A7 x−2 A10 B3 6. f ( x ) = 3 + 4 − x 2 Â4 B7 Â10 x+2 8. f ( x ) = B11 x +x

10. f ( x ) =

x −1 x+2

5. f ( x ) =

21. f ( x ) =

2 x−2

( x − 3) x − 4

7. f ( x ) =

2 − x +1 x

22. f ( x ) =

9. f ( x ) =

x −1 x+2

23. f ( x ) = 32x − 28 ⋅ 3x −1 + 3 (âë. áóê. Â129)

2x + 2 2 x−2 − x − 10 ( x − 3) x − 4

24. f ( x ) = og5x ( 2x 2 + x + 1)

x −1 x2 + x − 2

25. g ( x ) = n

x 11. f ( x ) = x − x + x +1

1− x 2+ x 3

26. f ( x ) = ( og2x − 1) x + 4 (âë. áóê. Â.134)

12. f ( x ) = 2 − x − 1 13. g ( x ) =

x2 − x +1 x 2 + x − 12

14. f ( x ) =

x −2 +

 nx − 1  27. g ( x ) =    nx + 1 

(âë. áóê. Â.134)

28. f ( x ) = og ( 3x − 2x 2 ) (âë. áóê. Â.137)

x x +1

Ã 16. Áí

15. f ( x ) = 5 + 2 + x − 2

ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï [ −3, 7 ] ,

íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g, üôáí: 3x − 1 x +x

16. f ( x ) = x − x

17. f ( x ) =

2x + 4 18. f ( x ) = x − 10

x x −1 19. f ( x ) = 4 2− 2 x −1 3−

(i) g ( x ) = f (1 − 2 x ) (ii) g ( x ) = f ( x ) + f ( x + 1)

131

ðåñéïäéêüôçôá

Ã.2

Ðåñéïäéêüôçôá

ÐåñéïäéêÞ óõíÜñôçóç

Ìéá óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï Á ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéïäéêÞ, üôáí õðÜñ÷åé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò T > 0 ôÝôïéïò, þóôå ãéá êÜèå x ∈ A íá éó÷ýåé: i. ( x + T ) ∈ A, ( x − T ) ∈ A ii. f ( x + T ) = f ( x − T ) = f ( x ) Ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü Ô ôïí ïíïìÜæïõìå ðåñßïäï ôçò óõíÜñôçóçò f.

Ó÷üëéï: Ç ðåñßïäïò Ô ìéáò óõíÜñôçóçò åêöñÜæåé “Ýíá ìÞêïò äéáóôÞìáôïò” ðÜíù óôïí Üîïíá x ' x óôï ïðïßï äéÜóôçìá ç óõíÜñôçóç “åêäçëþíåé ôçí óõìðåñéöïñÜ ôçò” êáé óôá õðüëïéðá áðëþò åðáíáëáìâÜíåôáé.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí óõíáñôÞóåùí f, g, h, t ìå ôýðïõò Â9 i. f ( x ) = ηµx iii. h ( x ) = εφx Á8

ii. g ( x ) = συνx

iv. t ( x ) = σφx

iii. Ç óõíÜñôçóç h ïñßæåôáé óôï óýíïëï R 1 = {x \ συνx ≠ 0}

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå x ∈ R 1 éó÷ýåé εφ ( x + π ) = εφ ( x − π ) = εφx

ç óõíÜñôçóç h ìå h ( x ) = εφ ( x ) åßíáé ðåñéïäéêÞ

Ëýóç i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R. ÅðåéäÞ ηµ ( x + 2π ) = ηµ ( x − 2π ) = ηµx

ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f ( x ) = ηµx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï T = 2π . ii. Ç óõíÜñôçóç g ùò ãíùóôüí ïñßæåôáé óôï R åðåéäÞ

συν ( x + 2π ) = συν ( x − 2π ) = συνx ç óõíÜñôçóç g ìå ôýðï g ( x ) = συνx åßíáé ðå-

ìå ðåñßïäï T = π . iv. Ç óõíÜñôçóç t ïñßæåôáé óôï óýíïëï R 2 = {x \ ηµx ≠ 0} .

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå x ∈ R 2 éó÷ýåé σφ ( x + π ) = σφ ( x − π ) = σφx

ç óõíÜñôçóç t ìå t ( x ) = σφx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï T = π .

ñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ = 2π . ÐÅÑÉÏÄÉÊÏÔÇÔÁ

132

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 2

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí óõíáñôÞóåùí f, g ìå ôýðïõò Â9 i. f ( x ) = ηµ ( ωx ) , ω > 0 Á8

ii. g ( x ) = συν ( ωx )

= ηµ ( ωx ) = f ( x ) , ãéá êÜèå x ∈ R êáé

  2π  2π   f  x −  = ηµ ω  x −  = ω ω     = ηµ ( ωx − 2π) = ηµ ( ωx ) = f ( x ) , ãéá êÜèå x ∈ R

2π . ω ii. Ìå ôïí ßäéï áêñéâþò ôñüðï äéáðéóôþíïõìå üôé ç ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï T =

Ëýóç i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R. ÅðåéäÞ

2π  2π     f  x +  = ηµ ω  x +  = ηµ ( ωx + 2π ) = ω ω    

óõíÜñôçóç g ìå ôýðï g ( x ) = συν ( ωx ) åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï T =

2π . ω

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã17. Á8 Â9

f ( x ) = x 2 − 5x + 6 êáé g ( x ) = 1 − 3x

Ã22.

åßíáé ðåñéïäéêÝò.

Ã18.

ii. Ç f Ý÷åé ðåñßïäï T = 4 .

Íá åëÝãîåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:

f ( x ) + f ( x + 1) + f ( x + 2 ) = 0

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï ôùí óõíáñôÞóåùí: (i) f ( x ) = ηµ 2 x êáé g(x) = ( ηµx ⋅ συνx )

ãéá êÜèå ÷ óôï R . Ná áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ.

Ã23. Ã19.

Ç ðåñßïäïò ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:

Ã20.

Â. 3ð

Ã. 3ð

åßíáé ðåñéïäéêÞ.

Ä. 12ð

Ã24.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý

f (x) − 5

f (x) − 3

ãéá

êÜèå x ≥ 0 êáé ω > 0 . Íá äåßîåôå üôé åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Ô = 4ù.

ãéá êÜèå x ∈ R . Äåßîôå üôé Ô=8. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå: 1+ f (x) f ( x + 1) = , , ( ) 1− f (x) x ∈ R f x ≠ 1 Äåßîôå üôé: i. f ( x ) ≠ 0 , ãéá êÜèå x ∈ R

¸óôù óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) ≠ 3 ãéá ôçí ï ð ï ß á é ó ÷ ý å é f ( x + ω) =

ôï R êáé f ( x − 1) + f ( x + 1) = 2f ( x ) (1)

Ã21.

Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f ( x ) = συν ( 2x )

x x f ( x ) = 2ηµ + συν 2 3

åßíáé: A. 2ð

¸óôù óõíÜñôçóç f ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé

Ã25.

Íá åëÝãîåôå áí åßíáé ðåñéïäéêÝò ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò:

f ( x ) = ηµ 2 x êáé g ( x ) = ηµx 2

133

óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

Ã.3

Óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ) i. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí: Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå Üñôéá óõíÜñôçóç

¢ñôéá ðåñéôôÞ

• áí x ∈ A , ôüôå êáé −x ∈ A • f ( − x ) = f ( x ) , ãéá êÜèå x ∈ A

óõíÜñôçóç ii. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí:

• áí x ∈ A , ôüôå êáé −x ∈ A • f ( − x ) = −f ( x ) , ãéá êÜèå x ∈ A

Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç. Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f, ãéá ôçí

Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò ãéá ôçí ïðïßá éó-

ïðïßá éó÷ýåé f ( − x ) = f ( x ) ãéá êÜèå x ∈ Af

÷ýåé: f ( − x ) = −f ( x ) ãéá êÜèå x ∈ Af

Ó÷üëéá i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò f ðñÝðåé íá åßíáé “óõììåôñéêü ” äéÜóôçìá ãéá íá åëÝãîïõìå óõììåôñßåò. ð.÷. A f = R − {1}

A f ü÷é êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

A f = R − {−1, 1}

A f êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

Af = R *

A f êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý

ii. Áí x = 0 ∈ A f êáé f ðåñéôôÞ ôüôå f ( 0) = 0 , äéüôé :

f ( − x ) = −f ( x ) ãéá êÜèå x ∈ A f êáé ãéá x = 0 Ý÷ïõìå f ( −0) = f ( 0) ⇔ 2f ( 0) = 0 ⇔ f ( 0) = 0 ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

134

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììåôñé-

ôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x , áí êáé ìüíïí áí Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôåôáãìÝíç. ÄçëáäÞ á = á´ êáé â´ = –â

êÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá y´y, áí êáé ìüíïí áí Ý÷ïõí áíôßèåôç ôåôìçìÝíç êáé ßäéá ôåôáãìÝíç. ÄçëáäÞ á´ = –á êáé â´ = â

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììå-

Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-

ôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíïí áí Ý÷ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìÝíåò. ÄçëáäÞ: á´ = –á êáé â´ = –â

ôñéêÜ ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò êáé 3çò ãùíßáò, áí êáé ìüíïí áí ç ôåôìçìÝíç ôïõ åíüò éóïýôáé ìå ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Üëëïõ êáé áíôßóôñïöá. ÄçëáäÞ á´ = â êáé â´ = á.

ð.÷ i. Ôï óõììåôñéêü ôïõ óçìåßïõ Á(1, 3) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x’x èá Ý÷åé ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôåôáãìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå èá åßíáé ôï óçìåßï Á1 (1, -3). ii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôïí Üîïíá y’y èá Ý÷åé ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç áíôßèåôç ôåôìçìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå åßíáé ôï óçìåßï Á2 (-1, 3). iii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí èá Ý÷åé áíôßèåôåò óõíôåôáãìÝíåò ìå ôï Á. ÄçëáäÞ Á3 (-1, -3). iv. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí äé÷ïôüìï ôçò ãùíßáò

ˆ y èá xO

Ý÷åé ôåôìçìÝíç ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Á êáé ôåôáãìÝíç ôçí ôåôìçìÝíç ôïõ Á. ÄçëáäÞ Á4 (3, 1).

135

óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá ôéìþí

iv. Åßíáé A t = [1, 2) ∪ ( 2, + ∞ ) êáé åðåéäÞ üôáí

x ∈ A t ôï − x ∈ A t . Ôï ðåäßï ïñéóìïý äåí åßíáé êáôÜëëçëï. ôçò f áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ.

ÅðïìÝíùò ç óõíÜñôçóç t äåí ìðïñåß íá ðáñïõóéÜæåé óõììåôñßá.

Ëýóç ÅðåéäÞ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ éó÷ýåé

f ( − x ) = −f ( x ) ãéá êÜèå x ∈ A f .

¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï  3 − 2 x − 3 , x < 0  f ( x) =  4 , x=0  3  x−3 , x > 0  2

Åßíáé f ( −2) = −9 ïðüôå

f ( 2) = −f ( −2) = − ( −9) = 9 f (1) = 5 ïðüôå f ( −1) = −f (1) = −5 f ( 0) = 0 (ÂëÝðå ó÷üëéï ii. óåë.178)

Íá åîåôÜóåôå áí ç f åßíáé Üñôéá Þ ðåñéôôÞ. ¢ñá Ý÷ïõìå

Ëýóç Åßíáé A f = R Á6 2 Íá åîåôÜóåôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò åßíáé Üñôéåò êáé ðïéåò ðåñéôôÝò. Á7 3 iii. h ( x ) = x − 1 + x + 1 Â3 i. f ( x ) = − x x Â4 x−1 ii. g ( x ) = 9 − x 2 iv. t ( x ) = 2 x −4

Ëýóç i. Åßíáé A f = R êáé 3 f ( − x ) = − ( − x ) − x = x 3 x = −f ( x ) ¢ñá ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

3 Ãéá x < 0 åßíáé − x > 0 ïðüôå f ( x ) = − x − 3 êáé 2 3 3 f ( −x ) = ( −x ) − 3 = − x − 3 2 2 Éó÷ýåé f ( − x ) = f ( x ) ãéá x < 0 Ãéá x > 0 åßíáé − x < 0

f (x) =

3 3 3 x − 3 êáé f ( − x ) = − ( − x ) − 3 = x − 3 2 2 2

Éó÷ýåé f ( − x ) = f ( x ) ãéá x > 0 Ãéá x = 0 åßíáé f ( 0 ) = 4 f ( −0 ) = f ( 0 ) = 4

ii. Åßíáé A g = [ −3, 3] êáé

g ( −x ) = 9 − ( −x ) = 9 − x 2 = g ( x ) 2

¢ñá ç g åßíáé Üñôéá.

¢ñá ãéá êÜèå x ∈ R éó÷ýåé f ( − x ) = f ( x ) ïðüôå ç f åßíáé Üñôéá.

iii. Åßíáé A h = R êáé h ( −x ) = −x − 1 + −x + 1 = − ( x + 1) + − ( x − 1) = x +1 + x −1 = h (x)

Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï

R åßíáé óõã÷ñüíùò Üñôéá êáé ðåñéôôÞ íá äåßîåôå üôé f(x) = 0

¢ñá ç h åßíáé Üñôéá. ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)

136

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3

Ëýóç

Åðßóçò f ðåñéôôÞ ïðüôå:

Áöïý f Üñôéá èá éó÷ýåé:

f (− x) = −f (x) ãéá êÜèå x ∈ R . (2) Áðü (1), (2) Ý÷ïõìå:

f (− x) = f (x) ãéá êÜèå x ∈ R .

(1)

f (x) = −f (x) ⇔ 2f (x) = 0 ⇔ f (x) = 0

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 26. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé Üñôéåò Þ ðåñéôôÝò

Ã27.

ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò:

ôéò óõíáñôÞóåéò g : R → R êáé h : R → R

á. f ( x ) = 3x 2 − 2 x A4 A5 A6 A7

â. f ( x ) = 1 − x + x + 1

B7 B8

å. f ( x ) = 3 x + 2x 2 − 2

ìå

ä. f ( x ) = x + x

1 − 2x x3

Ã 28.

x 3 + 2x 2 ç. f ( x ) = ( x + 1) ⋅ ( x − 1)

óô. f ( x ) =

2 f (x) − f (= x) 2

êáé .

Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R éó÷ýåé üôé f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ãéá êÜèå x, y ∈ R . Íá äåßîåôå üôé:

 2x + 1 , x ≥ 3 è. f ( x ) =   −2x − 1 , x ≤ −3 5 é. f ( x ) = 2x − x

f ( x ) + f ( −x )

Íá äåßîåôå üôé: á. Ç g åßíáé Üñôéá. â. Ç h åßíáé ðåñéôôÞ. ã. ÊÜèå óõíÜñôçóç ãñÜöåôáé ùò Üèñïéóìá ìéáò Üñôéáò êáé ìéáò ðåñéôôÞò óõíÜñôçóçò.

æ. f ( x ) =

g(x) = h (x) =

1 − 2x x3

ã. f ( x ) =

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f : R → R êáé

á. f ( 0 ) = 0

Ã29.

â. ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

x −1

f (x) =

3 + x2 +1

x2 +1 + x −1 x2 +1 + x +1

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. â. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéôôÞ.

Ã 30.

Óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá õðÜñ÷åé óõíÜñôçóç Üñôéá Þ ðåñéôôÞ;

137

óýíïëï ôéìþí

Ã.4

Óýíïëï ôéìþí Ôï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò áíôßóôïé÷åò ôéìÝò ôçò f ãéá üëá ôá

x ∈ A , ëÝãåôáé ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f ( A ) . Óýíïëï

ÅðïìÝíùò, ôï f ( A ) áðáñôßæåôáé áðü ôá óôïé÷åßá y ôïõ R, ãéá ôá ïðïßá õðÜñ÷åé

ôéìþí

Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí x ∈ A , äçëáäÞ ôá y ∈ R ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç y = f ( x ) Ý÷åé ìßá ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò x ðïõ áíÞêåé óôï Á.

óõíÜñôçóçò

Åýñåóç

ôïõ óõíüëïõ ôéìþí

Ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôï ðåäßï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f, ëýíïõìå ôçí åîßóùóç y = f ( x ) ùò ðñïò x (áí ëýíåôáé) êáé áðáéôïýìå ç ëýóç áõôÞ íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. (Áí Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá ëýóåéò áðáéôïýìå ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áð’ áõôÝò íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò Á). Ç áðáßôçóç

x ∈ D ( f ) ìáò ïäçãåß óå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï y áðü ôïõò ïðïßïõò ðñïêýðôåé ôï óýíïëï ôéìþí. ÐáñáôçñÞóåéò • Áõôüò äåí åßíáé ï ìïíáäéêüò ôñüðïò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ïýôå êáé ðëÞñçò. Ó’åðüìåíá ìáèÞìáôá èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ìå ÷ñÞóç ôçò ìïíïôïíßáò êáé ôçò óõíÝ÷åéáò ôçò óõíÜñôçóçò. • Ôï óýíïëï ôéìþí ìå ôç âïÞèåéá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ( C f ) åìöáíßæåôáé óáí ôï óýíïëï ôùí ðñïâïëþí ôùí óçìåßùí ôçò C f ðÜíù óôïí Üîïíá y’y. Áí åßíáé ãíùóôÞ ëïéðüí ç C f ìéáò óõíÜñôçóçò ôï óýíïëï ôéìþí ôçò âñßóêåôáé “ðñïâÜëëïíôáò” ôçí êáìðýëç ðÜíù óôïí Üîïíá y ' y üðùò öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá.

f ( A ) = [ −3, 12]

ÃåíéêÜ ç åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé åýêïëï ðñüâëçìá. ÕðÜñ÷ïõí üìùò ìåñéêÝò êáôçãïñßåò óõíáñôÞóåùí ðïõ áõôü äåí ðáñïõóéÜæåé éäéáßôåñåò äõóêïëßåò êáé ãßíåôáé ìå ôçí âïÞèåéá ôùí ìÝ÷ñé ôþñá ãíþóåùí ìáò. Áíôéìåôþðéóç ðëÞñç ôïõ èÝìáôïò èá Ý÷ïõìå ìå ôç âïÞèåéá ðïõ ìáò ðáñÝ÷åé ç ðáñÜãùãïò óõíÜñôçóçò. ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ

138

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 4

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Â1

Íá äåßîåôå üôé ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõ-

Bñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõíáñôÞ-

íÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = 4x − 9 åßíáé ôï R.

óåùí ìå ôýðïõò:

Ëýóç

i. f ( x ) = 3 − x

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R. Èá áðïäåßîïõìå ãéá êÜèå y ∈ R õðÜñ÷åé x ðïõ

iii. h ( x ) =

áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå f ( x ) = y . Åßíáé

Ëýóç

y+9 f ( x ) = y ⇔ 4x − 9 = y ⇔ 4x = y + 9 ⇔ x = 4

i. Ç óõíÜñôçóç ïñßæåôáé üôáí 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï óý-

¢ñá ãéá êÜèå y ∈ R õðÜñ÷åé ôï x =

y+9 ðïõ 4

áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå f ( x ) = y .

Â4

Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõíÜñ-

Â7 ôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = x + 1 ïñéóìÝíç óôï Â8 [ 2, 5] . 2

Ëýóç

ii. g ( x ) =

2x x−1

2x , x ∈ ( 0,1) ∪ (1, 3] . x−1

íïëï A = (−∞,3] êáé ôï óýíïëï ôéìþí: f ( A ) = { y ∈ R : ç åîßóùóç y = 3 − x Ý÷åé ìßá

ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò ôï x ∈ ( −∞,3]} . ¸÷ïõìå:

y ≥ 0 y ≥ 0 ⇔ y = 3− x ⇔  2 2 y = 3 − x x = 3 − y ÐñÝðåé ç ëýóç x = 3 − y 2 íá áíÞêåé óôï Á , äçëáäÞ: 3 − y 2 ≤ 3 ⇔ y 2 ≥ 0 , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå

Åßíáé A f = [2, 5]

y ∈ R . Óõíåðþò, Ý÷ïõìå y ≥ 0 , äçëáäÞ ôï

ÈÝôïõìå y = f ( x ) = x 2 + 1

ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï f ( A ) = [0, +∞ ) .

y = x +1 2

x2 = y −1

ÅðåéäÞ x 2 ≥ 0 ðñÝðåé y − 1 ≥ 0 äçëáäÞ y ≥ 1 Ôüôå x = ± y − 1 ÅðåéäÞ x ∈ [ 2, 5] ðñÝðåé x = y − 1 êáé åðéðëÝïí

2 ≤ y −1 ≤ 5

ii. ÐñÝðåé x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 , ïðüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g åßíáé ôï A = R − {1} . Åßíáé 2x ⇔ yx − y = 2x ⇔ ( y − 2 ) x = y ⇔ x −1 y ⇔x= , y ≠ 2 ( µε y = 2 είναι 0 = 2 ) y−2 y=

4 ≤ y − 1 ≤ 25 5 ≤ y ≤ 26 ¢ñá f ( A ) = [5, 26]

ÐñÝðåé

y ≠ 1 ⇔ y ≠ y − 2 ⇔ 0 ≠ −2 , y−2

ôï ïðïßï éó÷ýåé. ÅðïìÝíùò g ( A ) = R − {2} .

Á5 Â1 Â4 Â7 Â8

139

óýíïëï ôéìþí

iii. Åäþ öáíåñÜ åßíáé A = ( 0,1) ∪ (1,3] Ãéá ôï ðåäßï ôéìþí, Ý÷ïõìå 2x ⇔ yx − y = 2x ⇔ ( y − 2 ) x = y ⇔ x −1 y , y ≠ 2 ( µε y = 2 είναι 0 = 2 ) ⇔x= y−2 y=

y  y  ⇔ > 0 και ≤ 3 , y − 2 y − 2   äéüôé (

y ≠ 1 ⇔ 0 ≠ −2 ) y−2

⇔ { y ( y − 2) > 0 και ( −2y + 6)( y − 2) ≤ 0, y ≠ 2}

ÐñÝðåé:

⇔ { y < 0 ή y > 2 και y < 2 ή y ≥ 3} ⇔

y y   ≤ 3 και ≠ 1 ⇔ 0 < y − 2 y − 2  

⇔ y<0 ή y≥3

ÅðïìÝíùò, f ( A ) = ( −∞, 0 ) ∪ [3, +∞ ) .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã31. (á)

Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóåùí: i. f ( x ) = x 2 − 6x + 1 ii. g ( x ) = ηµ 2 x − 6ηµx + 1

Ã32. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóåùí: i. f ( x ) = x 2 − 1 x

ii. f(x) =

e +e 2

-x

Á5 Á7 Á9 Ã35. Íá âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí Á10 Â1 ôùí óõíáñôÞóåùí ,ðïõ ïñßæïíôáé áðü Â4 ôïõò ôýðïõò : Â7 Â8 i. f ( x ) = 1 + 2 − x ii. f ( x ) =

ii. g ( x ) = iii. h ( x ) =

Ã33. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóå-

x −1 2−x

x x −1 2x , x ∈ ( 0,3) ∪ (3, 4] x−3

ùí: i. f ( x ) = x 2 − 3x + 1 ii. f ( x ) = x 2 − 2x + 3

 1− x  iii. f ( x ) = n    1+ x 

Ã34. Ná âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí

Ã36. Íá âñåèïýí ôá ë,ì þóôå ç óõíÜñôçóç

ìå ôýðï : f(x) =

λx 2 + 3µx + 3 x 2 - x +1

íá Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï f(A) = [ -3,5] .

ôùí óõíáñôÞóåùí,ðïõ ïñßæïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò : i. f ( x ) =

2x 2 − 7x + 6 x 2 + 3x − 10

ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ

140

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5

Ã.5

Ãíçóßùò öèßíïõóá

Ìïíïôïíßá

¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé: Ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå

x1 , x 2 ∈ ∆ ìå x1 < x 2 éó÷ýåé f ( x1 ) > f ( x 2 )

óõíÜñôçóç

ÊÜèå ãíçóßùò öèßíïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðïõ “êáôåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

Ðñáôçñïýìå üôé: áí x1 < x2 ôüôå f(x1) > f(x2)

¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé: Ãíçóßùò

Ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå

x1 , x 2 ∈ ∆ ìå x1 < x 2 éó÷ýåé f ( x1 ) < f ( x 2 )

áýîïõóá óõíÜñôçóç

ÊÜèå ãíçóßùò áýîïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðïõ “áíåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò. Ðáñáôçñïýìå üôé: áí x1 < x 2 ôüôå f ( x1 ) < f ( x 2 )

Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá Þ ãíçóßùò öèßíïõóá ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, èá ëÝìå üôé åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü. Óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f “áíåâáßíåé” (“êáôåâáßíåé”) áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá äåîéÜ üìùò õðÜñ÷åé Ýíá ôìÞìá ôçò Cf ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí Üîïíá x. Óôï äéÜóôçìá [á, â], ãéá ïðïéáäÞðïôå x1 , x 2 ìå x1 ≠ x 2 éó÷ýåé f ( x1 ) = f ( x 2 ) .

141

ìïíïôïíßá

Èá ëÝìå üôé ìéá óõíÜñôçóç åßíáé áýîïõóá ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí

Èá ëÝìå üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé öèßíïõóá ó’Ýíá

ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ ∆ ìå x1 < x 2 , éó÷ýåé

äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí:

f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )

f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) .

Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé áýîïõóá Þ öèßíïõóá óå êÜðïéï äéÜóôçìá èá ëÝìå üôé åßíáé ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü. • Áí ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ ∆ ìå x1 < x 2 ισχύει f ( x1 ) = f ( x 2 ) ôüôå ôçí f ïíïìÜæïõìå óôáèåñÞ óõíÜñôçóç óôï Ä. (âë. äéðëáíü ó÷Þìá)

Åýñåóç ôçò ìïíïôïíßáò óõíÜñôçóçò Èåùñïýìå ôõ÷áßá x1 , x 2 ðïõ áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý óõíÜñôçóçò y = f ( x ) , êáé áêïëïõèïýìå Ýíáí áðü ôïõò åðüìåíïõò ôñüðïõò: 1. Áðü ôç ó÷Ýóç x1 < x 2 ðñïóðáèïýìå íá ó÷çìáôßóïõìå ôï f(x1) óôï ðñþôï ìÝëïò êáé óõã÷ñüíùò ôï f(x2) óôï äåýôåñï ìÝëïò, ïðüôå êáôáëÞãïõìå óå

f ( x1 ) < f ( x 2 ) Þ f ( x1 ) > f ( x 2 ) Þ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) Þ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) êáé áíÜëïãá óõìðåñáßíïõìå ãéá ôç ìïíïôïíßá ôçò f. 2. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñÜò:

∆ = f ( x1 ) − f ( x 2 ) ,

( x1 < x 2 ) ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ

142

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5

3. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ëïãïõ: λ=

f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

• Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, äåí åßíáé äéÜóôçìá, áëëÜ Ýíùóç äéáóôçìÜôùí, åöáñìüæïõìå Ýíáí áðü ôïõò ðáñáðÜíù ôñüðïõò óå êÜèå äéÜóôçìá ÷ùñßò íá ãåíéêåýóïõìå ôá óõìðåñÜóìáôá ó’üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý. Ó÷üëéá: Ç ãíþóç ôçò ìïíïôïíßáò êÜðïéùí óôïé÷åéùäþí óõíáñôÞóåùí (áêüìç êáëýôåñá ôçò ãñáöéêÞò ôïõò ðáñÜóôáóçò) ìáò äéåõêïëýíåé ðÜñá ðïëý óôçí ¢ëãåâñá. i. Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí ðñÝðåé íá ÷áñáêôçñßóïõìå óùóôü Þ ëÜèïò ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò: Ð1: áí x1 , x 2 ∈ R ìå x1 < x 2 ôüôå x12 < x 22 Ð2: áí x1 , x 2 ∈ R ìå x1 < x 2 ôüôå x13 < x 32 êáé óôçí ðåñßðôùóç ëÜèïõò íá ãñÜøïõìå ôï óùóôü. Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g ìå ôýðïõò f ( x ) = x 2 êáé g ( x ) = x 3 åßíáé

Aðü ôéò ðáñáðÜíù ãñáöéêÝò öáßíåôáé üôé ç ðñüôáóç Ð1 åßíáé ëÜèïò åíþ ç Ð2 åßíáé óùóôÞ. ÁëãåâñéêÜ ìðïñïýìå íá äéáðéóôþóïõìå üôé ç Ð1 åßíáé ëÜèïò ùò åîÞò:

 αν x1 , x 2 ∈ ( −∞, 0] είναι x12 > x 22 áí x1 , x 2 ∈ R ìå x1 < x 2 ôüôå  2 2  αν x1 , x 2 ∈ [0, + ∞ ) είναι x1 < x 2 ii. Áí åßíáé ãíùóôÞ ç C f ìéáò óõíÜñôçóçò ç ìïíïôïíßá ôçò âñßóêåôáé üðùò óôï ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß. Óôï äéÜóôçìá

[−40, − 20]

ç f åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ) Óôï äéÜóôçìá

[−20, − 5]

ç f åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ) Óôï äéÜóôçìá

[−5, 25]

ç f åßíáé ãíçóßùò

áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ) ãíçóßùò áýîïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç “áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”. ãíçóßùò öèßíïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç “êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”.

Óôï äéÜóôçìá [ 25, 45] ç f åßíáé óôáèåñÞ.(ðáñÜëëçëç ðñüò ôïí ÷’÷) Óôï äéÜóôçìá

[45, 60]

ç f åßíáé ãíçóßùò

öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)

143

ìïíïôïíßá

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Á1 Â2

Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f ( x ) = −2x + 4 ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.

• áí x1 , x 2 ∈ ( −∞, 2] ⇔ x1 < x 2 ≤ 2 ôüôå x1 − 2 < 0 êáé x 2 − 2 ≤ 0 ïðüôå áðü ôçí (1) ðñïêýðôåé üôé

Ëýóç

( x1 − 2 ) 2 > ( x 2 − 2 ) 2

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R êáé ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R ìå x1 < x 2 éó÷ýåé:

3 ( x1 − 2 ) > 3 ( x 2 − 2 ) 2

x1 < x 2 ⇔ −2x1 > −2x 2 ⇔

3 ( x1 − 2 ) + 1 > 3 ( x 2 − 2 ) + 1 2

⇔ −2x1 + 4 > −2x 2 + 4 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 )

Óýìöùíá ëïéðüí ìå ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R. Á1 2 Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñÂ8 ôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = 3 − 2 5 − x .

¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( −∞, 2] • áí x1 , x 2 ∈ [ 2, + ∞ ) ⇔ 2 ≤ x1 < x 2 ôüôå x1 − 2 ≥ 0 êáé x 2 − 2 > 0 ïðüôå áðü ôçí (1) ðñïêýðôåé üôé

( x1 − 2 ) 2 < ( x 2 − 2 ) 2

Åßíáé A f = ( −∞, 5]

3 ( x1 − 2 ) < 3 ( x 2 − 2 ) 2

Èåùñïýìå x1 , x 2 ∈ ( −∞, 5] ìå x1 < x 2 ïðüôå

3 ( x1 − 2 ) + 1 < 3 ( x 2 − 2 ) + 1 2

− x1 > − x 2

f ( x1 ) < f ( x 2 )

5 − x1 > 5 − x 2

¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï [ 2, + ∞ ) .

5 − x1 > 5 − x 2 − 2 5 − x 1 < −2 5 − x 2 3 − 2 5 − x1 < 3 − 2 5 − x 2

f ( x1 ) < f ( x 2 ) ¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ( −∞, 5] .

Á1

f ( x1 ) > f ( x 2 )

Ëýóç

Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = 3 ( x − 2) + 1 óôï ðå2

Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f ( x) =

2x ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá. x−1

Ëýóç Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé öáíåñÜ ôï A = ( −∞,1) ∪ (1, +∞ ) Èá åîåôÜóïõìå ôç ìïíïôïíßá ôçò f ÷ùñéóôÜ óå

êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( −∞,1) êáé (1, +∞ ) .

äßï ïñéóìïý ôçò.

• ¸óôù x1 , x 2 ∈ ( −∞,1) , ìå x1 < x 2 < 1 Ý÷ïõìå:

Ëýóç

∆ = f ( x 2 ) − f ( x1 ) =

Åßíáé A f = R . Èåùñïýìå x1 , x 2 ∈ R ìå x1 < x 2 ïðüôå x1 − 2 < x 2 − 2 (1)

−2 ( x 2 − x1 ) 2x 2 2x1 − = x 2 − 1 x1 − 1 ( x 2 − 1)( x1 − 1)

ÅðåéäÞ x1 < x 2 < 1 ⇔ x1 − 1 < 0 êáé x 2 − 1 < 0 èá ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ

Á1

144

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5

åßíáé Ä < 0 ïðüôå f ( x1 ) > f ( x 2 ) , ðïõ óçìáßíåé üôé

ð.÷. áí x1 = 0 < x 2 = 2 ôüôå

ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï äéÜóôçìá ( −∞,1) .

f ( x1 ) = 0 < f ( x 2 ) = 4 .

• ¸óôù x1 , x 2 ∈ (1, +∞ ) , ìå 1 < x1 < x 2 , ôüôå:

ÅðïìÝíùò, ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óå äýï äéáóôÞìáôá äåí åßíáé õðï÷ñåùôéêÜ ãíçóßùò ìïíüôïíç óôçí Ýíùóç áõôþí ôùí äéáóôçìÜôùí.

x1 − 1 > 0, x 2 − 1 > 0 , ïðüôå êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç åßíáé ∆ < 0 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) . ÅðïìÝíùò, ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá êáé óôï äéÜóôçìá

(1, +∞ ) .

Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç f ( x 2 + 1) > f ( − x ) .

Ó÷üëéï: Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óå êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( −∞,1) , (1, +∞ ) , åíþ

äåí

åßíáé

( −∞,1) ∪ (1, +∞ )

ãíçóßùò

öèßíïõóá

óôï

Ëýóç Ç áíßóùóç f ( x 2 + 1) > f ( − x ) åðåéäÞ ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ãßíåôáé éóïäýíáìá

áöïý õðÜñ÷ïõí

x1 , x 2 ∈ R − {1} , þóôå íá éó÷ýåé f ( x1 ) < f ( x 2 ) .

x 2 + 1 < −x x2 + x +1 < 0 ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç óôï R.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã37. Íá ìåëåôçèïýí ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ïé

Ã39.

óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò: i. f ( x ) = 2x + 1 3

iii. f ( x ) = v. f ( x ) =

x +1 x

x 1+ x

f ( x ) = ( λ4 + 15 ) x + 16, λ ∈ R .

ii. f ( x ) = x − 1

Íá äåßîåôå üôé:¡ á. ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá.

x + 2 x ≤ 2 iv. f ( x ) =  2 x>2  x vi. f ( x ) = x 2 − 3x + 1

 α+β  â. f ( α ) < f   < f ( β ) ìå α < β  2 

Ã40.

Á1 Á5 Á7 Â2 Â4 Â8

Áí c ∈ R êáé ãéá ôç óõíÜñôçóç f : R → R éó÷ýåé f ( x1 ) − f ( x 2 ) < c x1 − x 2 ãéá êÜèå

vii. f ( x ) = 1 − x 2 viii. f ( x ) = 2 x − 1 + 3x

Ã38.i.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

x1 , x 2 ∈ R , íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý R åßíáé ðåñéôôÞ. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï äéÜóôçìá [ α,β ] ìå α,β > 0 ,

g ( x ) = f ( x ) − cx åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá.

Ã41.

óçò f ìå ôýðï f ( x ) = 4 + ( α 2 − 9 ) x , α∈R.

íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï äéÜóôçìá [ −β, −α ] . ii. Áí ç óõíÜñôçóç f : R → R åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ( α,β ) êáé Üñôéá, ôüôå åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( −β, −α ) .

Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôç-

Ã42.

Ná ðñïóäéïñéóôåß ï α ∈ R * þóôå ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: f ( x ) = íáé ãíçóßùò öèßíïõóá.

x − 2α íá åßαx − 2

Â4

145

óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

Ã.6

ÓõíÜñôçóç 1-1 (ÁìöéìïíïóÞìáíôç) Áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ áí x1 ≠ x 2 ôüôå f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ ∆ ëÝìå ïôé ç óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1 óôï Ä.

Ïñéóìïß

ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäýíáôï íá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ

èåùñÞìáôá

áí x1 ≠ x 2 ôüôå f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç : áí f ( x1 ) = f ( x 2 ) ôüôå x1 = x 2 ðïõ åßíáé ç áíôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò.

Èåþñçìá Áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óå Ýíá äéÜóôçìá Ä, ôüôå ç f åßíáé 1 - 1 óôï ßäéï äéÜóôçìá. ÐñÜãìáôé, Ýóôù üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä. Ôüôå, ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ ∆ µε x1 < x 2 ισχύει f ( x1 ) < f ( x 2 )

x1 , x 2 ∈ ∆ µε x1 > x 2 ισχύει f ( x1 ) > f ( x 2 )

¢ñá, ìå x1 ≠ x 2 , éó÷ýåé f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé 1 - 1 óôï Ä. Ôï áíôßóôñïöï ôïõ èåùñÞìáôïò äåí éó÷ýåé ðÜíôïôå. ÄçëáäÞ,üëåò ïé 1 - 1 óõíáñôÞóåéò óå Ýíá óýíïëï äåí åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíåò óôï ßäéï óýíïëï. ¼ôáí ìéá óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1, ôüôå óå êÜèå óôïé÷åßï y ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ôçò f áíôéóôïé÷åß Ýíá ìüíï x ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò. ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f, ôï ðïëý óå Ýíá óçìåßï.

Óõíïøßæïíôáò, ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 ìå ôïõò åîÞò ôñüðïõò: 1. Ìå ÷ñÞóç ôïõ ïñéóìïý. 2. Äåß÷íïõìå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç. 3. Äåß÷íïõìå üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôï ðïëý óå Ýíá óçìåßï. 4. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç y = f(x) ùò ðñïò x (áí ëýíåôáé). Áí Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ùò ðñïò x ãéá êÜèå y ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò ôüôå ç f åßíáé 1 - 1.

ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

146

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá A2

Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f ( x ) = x3 + 1 åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1.

Ëýóç Åßíáé f ( 0) = λ

Ëýóç Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R, áöïý f ðïëõùíõìéêÞ óõíÜñôçóç êáé ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R ìå

x1 ≠ x 2 éó÷ýïõí:

x1 ≠ x 2 x13 ≠ x 23 x13 + 1 ≠ x 23 + 1 f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ¢ñá óýìöùíá ìå ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1.

äçëáäÞ ç C f ôÝìíåé ôïí Üîïíá y ' y óôï ( 0, λ ) ïðüôå ðñÝðåé −2 < λ < 10 áöïý ç f åßíáé 1-1 óôï R.

A2 A3

Íá åëÝãîåôå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

f ( x ) = x 3 − 2x 2 + x + 3 ùò ðñïò ôçí éäéüôçôá 1-1.

Ëýóç

Ëýóç Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé R. Åßíáé

Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç f ìå A5 x−2 åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ôýðï: f ( x ) = x+5 ïñéóìïý ôçò.

f ( x ) = x 3 − 2x 2 + x + 3 = 2 = x ( x − 2x + 1) + 3 =

2 = x ( x − 1) + 3

Ðáñáôçñïýìå üôé f ( 0) = 3 êáé f (1) = 3 ïðüôå ç f äåí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï A = R − {−5} . Áí x1 , x 2 ∈ A ôÝôïéá þóôå f ( x1 ) = f ( x 2 ) ôüôå:

f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇔

x1 − 2 x 2 − 2 = ⇔ x1 + 5 x 2 + 5

⇔ ( x1 − 2 )( x 2 + 5 ) = ( x1 + 5 )( x 2 − 2 ) ⇔ x1 x 2 + 5x1 − 2x 2 − 10 = x1 x 2 − 2x1 + 5x 2 − 10 ⇔ 7x1 = 7x 2 ⇔ x1 = x 2

Äßíåôáé óõíÜñôçóç f ç ïðïßá åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò êáé ï ðßíáêáò ðïõ ðáñéóôÜíåé êÜðïéåò ôéìÝò ðïõ áöïñïýí ôçí f.

¢ñá ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1, óôï R –{-5}. Ó÷üëéï: ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäýíáôï íá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ áí x1 ≠ x 2 ôüôå f ( x1 ) ≠ f ( x 2 )

ìå λ ∈ R . Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò äõíáôÝò ôéìÝò

áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç :

ôïõ λ ∈ R áí ãíùñßæåôå üôé ç Cf åßíáé óõíå÷Þò - ìç äéáêïðôüìåíç óôï R êáìðýëç.

áí f ( x1 ) = f ( x 2 ) ôüôå x1 = x 2 , ðïõ åßíáé ç á-

147

óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

íôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò êáé üðùò åßíáé ãíùóôü ïé áíôéèåôïáíôßóôñïöåò ðñïôÜóåéò åßíáé éóïäýíáìåò.

Íá åîåôÜóåôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñB3 ôÞóåéò åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò. 2 B11 á. f ( x ) = x + 1 â. g ( x ) = ln ( 2 − x ) A6

Ëýóç Ãéá íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1 - 1 èÝôïõìå äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ x óôïí ôýðï, Ýóôù ôéò x1 ≠ x 2 êáé äåß÷íïõìå üôé:

Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R êáé óõíåðþò åßíáé 1 - 1 óôï R. Ç êáìðýëç ôçò y = g(x) ôÝìíåôáé áðü êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá óå Ýíá ìüíï óçìåßï.

f ( x1 ) = f ( x 2 ) á. Ðáñáôçñïýìå üôé áí x1 = 1 ≠ −1 = x 2 ôüôå

f ( x1 ) = f (1) = 2 = f ( −1) = f ( x 2 ) Ïðüôå ç f äåí åßíáé 1 - 1 áöïý éó÷ýåé:

x1 ≠ x 2 και f ( x1 ) = f ( x 2 ) â. Áí x1 = −1 ≠ 1 = x 2 , ôüôå

g ( x1 ) = g ( −1) = ln1 = 0 = g (1) = g ( x 2 ) ïðüôå êáé ç g äåí åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1 - 1 ïé óõíáñôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò:

Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

 2x + 1, αν x ≥ 3 åßíáé 1 - 1 óôï ðåf ( x) =   x + 2, αν x < 3 äßï ïñéóìïý ôçò.

 − x2 , x < 0 −x , x<0 ( ) g x = êáé f ( x) =   2  x , x≥0  x , x≥0 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò.

Ëýóç

 y = 2x + 1  k −1  x = ⇔ Åßíáé:  y = k 2 x ≥ 3  x ≥ 3 

Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1 - 1 óôï R, áöïý õðÜñ÷åé ïñéæüíôéá åõèåßá ðïõ ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f óå äýï óçìåßá. ÄçëáäÞ õðÜñ÷ïõí x1 , x 2 ∈ R µε x1 ≠ x 2 ôÝôïéá

Á3 þóôå f ( x1 ) = f ( x 2 ) = k Á4

Èåùñïýìå ôçí ïñéæüíôéá åõèåßá y = k. Èá ðñïóäéïñßóïõìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò C f êáé ôçò y = k (áí õðÜñ÷ïõí).

Üñá, ç åõèåßá y = k ôÝìíåé ôçí Cf áí:

k −1 ≥3⇔ k ≥7 2 Åðßóçò, áðü ôï óýóôçìá:

ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)

148

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6

iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç x 2003 + x 2005 = 2

y = x + 2 x = k − 2  ⇔ y = k x < 3 x < 3 

Ëýóç i. Åßíáé f (1) = 12003 + 12005 = 2

ðñïêýðôåé üôé ç y = k ôÝìíåé ôçí C f , áí k − 2 < 3 ⇔ k < 5 . ¢ñá, êáìßá ïñéæüíôéá åõèåßá

äåí ôÝìíåé êáé ôïõò äýï êëÜäïõò ôçò Cf , êáé óõíåðþò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R. Áðü ôá ðñïçãïýìåíá ðáñáäåßãìáôá Ýãéíå öáíåñü üôé

ii. Ç f ùò ðïëõùíõìéêÞ Ý÷åé A f = R . Èåùñïýìå

x1 , x 2 ∈ A f = R ìå x1 < x 2 ôüôå: x12003 < x12005 êáé x 2 2003 < x 2 2005 Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå:

áíÜëïãá ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò, åðéëÝãïõìå êáé

x12003 + x 2 2003 < x12005 + x 2 2005 ïðüôå

ôïí ôñüðï ðïõ èá åñãáóôïýìå ãéá íá åëÝãîïõìå ôçò

f ( x1 ) < f ( x 2 )

éäéüôçôá 1 - 1 ìéáò óõíÜñôçóçò óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

f ( x ) = x 2003 + x 2005 i. Íá âñåßôå ôï f(1) ii. Íá åëÝãîåôå áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 óôï R.

¢ñá, ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R. Óýìöùíá ìå ôï óõìðÝñáóìá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ èåùñÞìáôïò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R. iii. Åßíáé x 2003 + x 2005 = 2 ⇔ (ëüãù (i.) åñùôÞìáôïò)

f ( x ) = f (1) ⇔ x = 1 (åðåéäÞ ç f åßíáé 1 - 1).

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã43. Äßíåôáé Á2 Á3 Á4 Á7 Â10

iii. f ( x ) = 3x − 2

ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

iv. f ( x ) = x 3 + 2x − 7

5x − 1 . Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé 1 5x + 1 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. f (x) =

Ã44. Äßíåôáé

v. x 2 − 4x + 7 αν A = (−∞, 2] vi. f ( x ) =

ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï x

 α2 − 1  f (x) =   . Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí  α −1  ôéìÞ ôïõ α ∈ R þóôå ç f íá åßíáé 1 - 1 óôï R.

Ã45. Íá

åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò, ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò: i. f ( x ) = −3x + 4

ii. f ( x ) =

2x − 1 x+5

x 1+ x

vii. f ( x ) =

2x 1 + 2x

 x 2 + 2x , x > 2 viii. f ( x ) =   x + 6 , x ≤ 1

Ã46.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

, x<0  1 − x 2 f (x) =   3x + λ − 1, x ≥ 0 Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò ë þóôå ç f íá åßíáé 1-1.

Â5

149

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò

Ã.7

Áêñüôáôá óõíÜñôçóçò

Áêñüôáôá óõíÜñôçóçò Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) = x 2 , x ∈ R . ÐáñáôçñÞóôå óôï äéðëáíü ó÷Þìá üôé ãéá ôçí ôéìÞ f(0) = 0 éó÷ýåé:

f ( x ) ≥ f ( 0 ) = 0 , ãéá êÜèå x ∈ R ËÝìå ôüôå üôé ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ãéá x = 0 ôçí ôéìÞ f(0) = 0. Åðßóçò ðáñáôçñÞóôå üôé åêáôÝñùèåí ôïõ ìçäåíüò ç f áëëÜæåé ìïíïôïíßá. ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:

Ïëéêü åëÜ÷éóôï Ãåíéêüôåñá: Áí Á åßíáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò êáé ãéá êÜðïéï x 0 ∈ A , éó÷ýåé:

f ( x ) ≥ f ( x 0 ) , ãéá êÜèå x ∈ A ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï x 0 ∈ A ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï f ( x 0 ) óôï Á (ó÷. 1) Ïëéêü ìÝãéóôï Áíôßóôïé÷á, áí éó÷ýåé:

f ( x ) ≤ f ( x 0 ) , ãéá êÜèå x ∈ A ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï x 0 ∈ A ïëéêü ìÝãéóôï ôï f ( x 0 ) óôï Á (ó÷. 2) Ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçò f ëÝãïíôáé áêñüôáôá Þ áêñüôáôåò ôéìÝò ôçò óõíÜñôçóçò. ÁíÜëïãïé ïñéóìïß üðùò éó÷ýïõí êáé ãéá ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá. Ç äéáöïñÜ åßíáé üôé ôá ïëéêÜ áêñüôáôá áíáöÝñïíôáé óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý, åíþ ôá ôïðéêÜ óå õðïóýíïëÜ ôïõ. Áîßæåé íá óçìåéùèåß üôé ð.÷. Ýíá ôïðéêü ìÝãéóôï ìðïñåß íá åßíáé ìéêñüôåñï åíüò ôïðéêïý åëá÷ß(σχ. 3)

óôïõ ôçò ßäéáò óõíÜñôçóçò (âë. ó÷Þìá 3) Þ êáé áíôßóôñïöá.

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

150

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7

Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ìïíïôïíßáò ÷áñáêôçñßæïõìå ôá áêñüôáôá.

Óõìðåñáßíïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôï óå êÜðïéá èÝóç x 0 ∈ A áí áñéóôåñÜ êáé äåîéÜ áõôÞò ôçò èÝóçò áëëÜæåé ìïíïôïíßá.

ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÓ ÁÊÑÏÔÁÔÙÍ

ð.÷ 2

1. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç äßíåôáé Þ ìðïñïýìå íá ôç ó÷åäéÜóïõìå, ðñïóäéïñßæïõìå áðü áõôÞí ôá áêñüôáôá áí õðÜñ÷ïõí.

x 2 ≥ 0 ⇔ −x 2 ≤ 0 ⇔

2. Ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï ôéìþí f(Á) êáé áðü áõôü ôá áêñüôáôá (áí õðÜñ÷ïõí) ð.÷. Áí f(Á) = [á, â] ç f Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï â êáé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï á. Áí f(A) = [á, + ∞ ), ç f Ý÷åé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï á êáé äåí Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ.

Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = − x + 1 ðáñïõóéÜæåé ïëéêü ìÝãéóôï óôï

x 0 = 0 ôï f ( 0 ) = 1 , áöïý éó÷ýïõí:

−x 2 + 1 ≤ 1 ⇔ f ( x ) ≤ 1 = f (0)

3. Áí ç f áëëÜæåé ìïíïôïíßá åêáôÝñùèåí åíüò óçìåßïõ x0 ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò êáé f ( x ) ≤ f ( x 0 ) Þ f ( x ) ≥ f ( x 0 ) ãéá êÜèå x êïíôÜ óôï x0, ôüôå ðáñïõóéÜæåé ôïðéêü áêñüôáôï óôç èÝóç x0. ÓõãêåêñéìÝíá

151

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Á1

Íá âñåèïýí ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá ôçò óõ-

íÜñôçóçò f ìå f ( x ) = ( x − 1) − 3 . 2

Ëýóç

ã.

Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé ãéá êÜèå x ∈ R . Ãíùñßæïõìå åðßóçò üôé åßíáé A 2 ≥ 0 ãéá êÜèå A∈R . 2 ÅðåéäÞ x ∈ R êáé ( x − 1) ∈ R åßíáé ( x − 1) ≥ 0 .

f ( x ) = ( x − 1) − 3 ⇔ f ( x ) + 3 = ( x − 1) ≥ 0 2

¢ñá f ( x ) + 3 ≥ 0 ⇔ f ( x ) ≥ −3 Ðáñáôçñïýìå üôé f (1) = (1 − 1) − 3 = −3 ïðüôå Ý2

÷ïõìå f ( x ) ≥ f ( −1) ãéá êÜèå x ∈ R . Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ç óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé ãéá x = −1 (óôç èÝóç x = −1 ) ïëéêü åëÜ÷éóôï ìå ôéìÞ f ( −1) = 3 .

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò áêñüôáôåò ôéìÝò ôùí óõíáñôÞóåùí ðïõ öáßíïíôáé óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá.

Ëýóç á. Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá [-1, 3). ÅðïìÝíùò, −1 ≤ f ( x ) < 3 , ãéá êÜèå x ∈ [−2, 4) Üñá ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ãéá x = 0. (f(0) = –1). ÌÝãéóôç ôéìÞ äåí Ý÷åé, áöïý ôï -2 äåí åßíáé ôéìÞ ôçò f. â. Éó÷ýåé –2 < f(x) < 4 ãéá êÜèå x ∈ (−2,3) êáé óõíåðþò ç f äåí ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôåò ôéìÝò (ïëéêü ìÝãéóôï êáé ïëéêü åëÜ÷éóôï). ã. Åßíáé −3 ≤ f ( x ) ≤ 4 , ãéá êÜèå x ∈ [−2, 6] ïðüôå ç f ðáñïõóéÜæåé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçí ôéìÞ –3 ãéá x = -2 êáé ïëéêü ìÝãéóôï ôï 4 ãéá x = 6.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

Á7

f ( x) = 1 + 2 − x Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò. á.

Ëýóç Ç f Ý÷åé ðñïöáíþò ðåäßï ïñéóìïý (−∞, 2] . Èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f ìå óõíèåôéêü ôñüðï. ¸÷ïõìå: x ∈ ( −∞, 2] ⇔ x ≤ 2 ⇔ 2 − x ≥ 0 ⇔

â.

⇔ 2 − x ≥ 0 ⇔ 1+ 2 − x ≥ 1 ⇔ f (x) ≥ 1

ïðüôå, f ( A ) = [1, +∞) êáé óõíåðþò ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï 1, ãéá x = 2 (f(2) = 1).

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

152

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7

ÐáñáôÞñçóç Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá, ðñïóäéïñßóáìå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f îåêéíþíôáò áðü ôï üôé ôï x ∈ A êáé ìå éóïäõíáìßåò äçìéïõñãÞóáìå ôï f(x). Áí ìå áõôü ôïí ôñüðï (äçëáäÞ ìå éóïäýíáìá âÞìáôá) äçìéïõñãÞóïõìå ôï y = f(x), ôüôå ôï äéÜóôçìá ðïõ áíÞêåé ôï y = f(x) èá åßíáé ôï óýíïëï (ðåäßï) ôéìþí ôçò f. Ðñïóï÷Þ Áí óå êÜðïéï âÞìá äåí éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá, ôüôå ãéá ôï ðñïêýðôïí óýíïëï ìåôáâïëÞò ôùí ôéìþí ôïõ y äåí èá åßìáóôå óßãïõñïé áí åßíáé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f. Èá åßíáé ðÜíôùò Ýíá õðåñóýíïëü ôïõ.

ð.÷. ¸óôù f ( x ) = x 2 − 2x ìå x ∈ [0,3] . ¸÷ïõìå, 0 ≤ x ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x 2 ≤ 9 (1) (2) êáé 0 ≤ x ≤ 3 ⇔ −6 ≤ −2x ≤ 0 Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç, ôùí (1) êáé (2) ðáßñíïõìå: −6 ≤ x − 2x ≤ 9 ⇔ −6 ≤ f (x) ≤ 9 üìùò ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f ,åßíáé ôï 2

f ( A ) = [ −1,3] ⊆ [ −6,9] üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. (ÐñïâïëÞ ôçò ãñáöéêÞò ðÜíù óôïí Üîïíá ôùí y.

ÂñÞêáìå Ýíá õðåñóýíïëï ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò f êáé áõôü äéüôé üôáí ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç äåí äéáôçñåßôáé ç éóïäõíáìßá. Ìðïñïýìå, áóöáëþò íá ôï âñïýìå êáé áëãåâñéêÜ, áëëÜ ìå ðñïóï÷Þ óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò þóôå ôá âÞìáôá ðïõ êÜíïõìå ãéá ôï ó÷çìáôéóìü ôïõ f(x) íá åßíáé éóïäýíáìá. ÅðåéäÞ f ( x ) = x 2 − 2x = x 2 − 2x + 1 − 1 = ( x − 2 ) − 1 Ý÷ïõìå: 2

0 ≤ x ≤ 3 ⇔ −1 ≤ x − 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ ( x − 1) ≤ 4 ⇔ 2

−1 ≤ ( x − 1) − 1 ≤ 3 ⇔ −1 ≤ f ( x ) ≤ 3 Üñá f(A) = [–1, 3]. 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 47. Ãéá

ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò íá âñåßôå ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï ïëéêü åëÜ÷éóôï.

Ã 48. Ãéá

ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò, ãñÜøôå äßðëá áðü êÜèå ðñüôáóç áí åßíáé óùóôÞ Þ ëÜèïò.

Á. Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R. Â. Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï (–2, 2] Ã. åßíáé Üñôéá Ä. åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R.

153

áêñüôáôá óõíÜñôçóçò

Ã 49. Ç ìïíïôïíßá ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé

i. f ( x ) =

óôïí åðüìåíï ðßíáêá.

x 1+ x

Á6

 x , x ∈ [−3, 2) ii. f ( x ) =   x + 7, x ∈ [2,5) 2

Á7 Â3 Â8

 − x + 7, x ≥ 2 iii. f ( x ) =   2x + 1, x < 2

ÃñÜøôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò åßíáé óùóôÝò Þ ëÜèïò.

Ã 54.

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò:

1. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.

f ( x ) = ( α 2 − 3) − x − 1

2. Ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï R.

g ( x ) = x 2 − 4x + 2α

3. Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R. 4. Ç f Ý÷åé ôïðéêü åëÜ÷éóôï ôï –1. 5. Ç f Ý÷åé ìÝãéóôï óôï x = 0

Íá âñåßôå ôïí áñéèìü á þóôå ôï ìÝãéóôï ôçò f íá éóïýôáé ìå ôï åëÜ÷éóôï ôçò g.

Ã 55. Íá âñåßôå ôç ìÝãéóôç êáé ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ

6. Ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï –1.

(üðïõ õðÜñ÷åé) ãéá ôéò óõíáñôÞóåéò:

7. Ç f Ý÷åé 3 ñßæåò óôï R.

á. f ( x ) = 2x 2 + 3

Ã 50. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f (x) = 4 − x − 5 . Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò f.

Ã 51. Áí

ôï óýíïëï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f

â. f ( x ) = 1 − 2x 2 ã. f ( x ) =

1 x +1 2

ä. f ( x ) = − x + 1 å. f ( x ) = 2x + 1 − 3

åßíáé ôï äéÜóôçìá ( α,β ) , α,β ∈ R ôüôå ç

óô. f ( x ) = 1 − 3x − 1

f äåí Ý÷åé áêñüôáôá.

æ. f ( x ) = 2 x − 4

Ã 52. Áí ìéá ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé

ç. f ( x ) = x − 2 x + 7

ìÝãéóôï óôï x 0 ôüôå èá ðáñïõóéÜæåé å-

è. f ( x ) = 2 x − 1

ëÜ÷éóôï óôï − x 0 .

é. f ( x ) = x 4 + x 2 − 1

Ã 53. Íá âñåßôå (üðïõ õðÜñ÷ïõí) ôá áêñüôáôá

ê. f ( x ) = 2x − 5

ôùí óõíáñôÞóåùí:

ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

154

Ã.8

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8

Ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò

Óçìåßá ôïìÞò ôçò Cf ìå ôïõò Üîïíåò Ðïõ ôÝìíåé ç

• Åßíáé ãíùóôü ïôé ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá y ' y åßíáé üôé Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç ßóç ìå ìçäÝí äçëáäÞ

êáìðýëç C

M ( 0, y ) , y ∈ R

ôïõ Üîïíåò

Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C f ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) ôÝìíåé ôïí Üîïíá y ' y áñêåß íá èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò üðïõ x = 0 (áí âÝâáéá ôï 0 åßíáé óôïé÷åßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò), áëëéþò ç Cf äåí ôÝìíåé ôïí Üîïíá y ' y .

Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) áí Ý÷åé ìå ôïí Üîïíá y ' y êïéíü óçìåßï áõôü åßíáé ìïíáäéêü êáé åßíáé ôï Ì(0,f(0)). • Eðßóçò ãíùñßæïõìå ðùò ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá x ′x åßíáé üôé Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç ßóç ìå ìçäÝí, äçëáäÞ M ( x, 0 ) , x ∈ R . Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C f ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) ôÝìíåé ôïí Üîïíá x ′x áñêåß íá èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò üðïõ y = 0 êáé íá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç f(x) = 0. • H åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò áðü ìéá ëýóåéò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò C f ìå ôïí Üîïíá åßíáé üëá ôá óçìåßá ôçò ìïñöÞò M ( x µ, 0 ) , üðïõ x µ åßíáé ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò. • Ç åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá åßíáé áäýíáôç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ äåí õðÜñ÷ïõí êïéíÜ óçìåßá ôçò Cf ìå ôïí Üîïíá x ′x .

Óõíïøßæïíôáò Ý÷ïõìå: Ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ( C f ) ìå ôïí Üîïíá x ′x Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç ßóç ìå 0. ¸ôóé ôá óçìåßá ôïìÞò ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò y = f ( x ) = 0 . Ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò áõôÞò åßíáé ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò C f ìå ôïí Üîïíá y′y Ý÷åé ôåôìçìÝíç 0 êáé åßíáé ìïíáäéêü (åöüóïí õðÜñ÷åé). Ç ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ áõôïý åßíáé ôüôå ßóç ìå f(0).

155

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò

• ÐáñáôçñÞóôå üôé ç f ðáßñíåé èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå x > x 0 áöïý óôï äéÜóôçìá ( x 0 , +∞ ) , ç Cf âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x ′x äçëáäÞ ÈÝóåéò ôçò Cf ùò ðñïò ôïõò

f ( x ) > 0 ⇔ x > x0 • Ç f ðáßñíåé áñíçôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå

Üîïíåò

x < x 0 áöïý óôï äéÜóôçìá áõôü ç C f âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x ′x äçëáäÞ f ( x ) < 0 ⇔ x < x0

ÃåíéêÜ ãéá íá âñïýìå ôï äéÜóôçìá óôï ïðïßï ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé ðÜíù Þ êÜôù áðü ôïí Üîïíá ôùí x, ëýíïõìå ôéò áíéóþóåéò f ( x ) > 0 Þ f ( x ) < 0 áíôßóôïé÷á.

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýÊïéíÜ óçìåßá äýï ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí

ðïõò y = f ( x ) êáé y = g ( x ) áíôßóôïé÷á. Ôï êïéíü óçìåßï ôùí äýï ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí Ý÷åé ôåôìçìÝíç x 0 êáé ðñïöáíþò ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç

f ( x0 ) = g ( x0 ) ¢ñá, ôï x 0 ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò: f (x) = g(x)

Óçìåßá ôçò Cf ìå ìéá åõèåßá y = y0 Þ x = x0

ÁíÜëïãá ìå ôï ðüóåò ëýóåéò (ùò ðñïò x) Ý÷åé ç ðáñáðÜíù åîßóùóç êáèïñßæïíôáé êáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí Cf , Cg . ÊÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá ìå åîßóùóç

y = y0 Ý÷åé ìå ôç C f , óçìåßá ôïìÞò ìå ôåôìçìÝíåò ôéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò f ( x ) = y 0 Áí ç ðáñáðÜíù åîßóùóç åßíáé áäýíáôç, ôüôå äåí õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïìÞò. ÊÜèå êáôáêüñõöç åõèåßá x = x 0 , áí ôÝìíåé ôç C f , ôçí ôÝìíåé óå Ýíá ìüíï óçìåßï ìå ôåôáãìÝíç y = f ( x 0 ) .

ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

156

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñáÓ÷åôéêÞ èÝóç ôùí Cf, Cg

óôÜóåéò äõï óõíáñôÞóåùí y = f ( x ) êáé y = g ( x ) . Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò åßíáé ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò. f (x) = g (x)

ÐáñáôçñÞóôå üôé: • ãéá êÜèå x ∈ ( α,β ) ∪ ( γ, +∞ ) ç C f âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôç C g äçëáäÞ éó÷ýåé: f ( x ) > g ( x ) • ãéá êÜèå x ∈ ( −∞, α ) ∪ ( β, γ ) ç C f âñßóêåôáé êÜôù áðü ôç C g äçëáäÞ éó÷ýåé: f ( x ) < g ( x ) . ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôá x ∈ R ãéá ôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù Þ êÜôù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò g ëýíïõìå ôéò áíéóþóåéò f ( x ) > g ( x ) ή f ( x ) < g ( x ) áíôßóôïé÷á.

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Cf ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f ( x ) êáé ç Ó÷åôéêÞ èÝóç ïñéæüíôéáò åõèåßáò ìå ôç Cf

åõèåßá y = y0 . • Ç C f âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôçí åõèåßá y = y0 ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí Ýíùóç ôùí äéáóôçìÜôùí ( α,β ) , ( γ, +∞ ) . Åíþ âñßóêåôáé êÜôù áðü ôçí åõèåßá y = y0 ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí Ýíùóç ôùí äéáóôçìÜôùí ( −∞, α ) , ( β, γ ) .ÄçëáäÞ f ( x ) > y0 ⇔ x ∈ ( α,β ) ∪ ( γ, +∞ ) f ( x ) < y0 ⇔ x ∈ ( −∞, α ) ∪ ( β, γ )

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá B9

Ðïéá åßíáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñá-

öéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ( x ) = ηµx ìå ôïí

f ( x) =

x'x

Ëýóç y = 0 ⇔ f ( x ) = 0 ⇔ ηµx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

Ðïý ôÝìíåé ç Cf ôïí Üîïíá x'x áí

3 x − 6x + 9 ; 2

Ëýóç Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f ( x ) =

3 , Ý÷åé x − 6x + 9 2

ðåäßï ïñéóìïý A f = R − {3} êáé åßíáé 3 y = 0 ⇔ f (x) = 0 ⇔ 2 =0⇔3=0 x − 6x + 9 ¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ìå ôïí Üîïíá x ′x åßíáé ôá óçìåßá M ( kπ, 0 ) , k ∈ Z .

ðïõ åßíáé áäýíáôï. ¢ñá, ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f äåí ôÝìíåé ôïí Üîïíá x ′x .

157

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò

Ç ãñ. ðáñÜóôáóç Cf öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.

Ôï ó÷Þìá êÜôù ðáñéóôÜíåé ôçí êáìðý-

ëç ìå åîßóùóç y = f ( x ) . Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé

Íá âñåèïýí ôá x ∈ R þóôå ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå

ç åîßóùóç f ( x ) = 0 .

A10 B11

f ( x ) = n ( 2 − e x ) íá åßíáé:

á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x′x â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x′x .

Ëýóç Èõìçèåßôå üôé: • nx > 0 ⇔ x > 1

Ëýóç

• 0 < x1 < x 2 ⇔ nx1 < nx 2

Ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí Üîïíá x ′x óå ôñßá óçìåßá, åðïìÝíùò ç

• x1 < x 2 ⇔ α

åîßóùóç f ( x ) = 0 Ý÷åé ôñåéò ëýóåéò.

A9 B10

¸óôù ç óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï

 x + 1, x < 0 f ( x) =  x  e , x≥0 Íá âñåèïýí ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò Cf ìå ôïõò Üîïíåò x ′x êáé y ′y .

Ëýóç ÈÝôïõìå x = 0, ïðüôå f ( 0 ) = e0 . ¢ñá ôï óçìåßï ôïìÞò ìå ôïí Üîïíá y′y åßíáé ôï (0, 1). ÈÝôïõìå: f ( x ) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 . ¢ñá ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò C f ìå ôïí Üîïíá x ′x åßíáé ôï

< α x2 , α > 1

• n1 = 0 0 • α = 1, µε α ≠ 0

á. Ç C f âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x ′x , ãéá ôá óôïé÷åßá x ∈ R ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

f ( x ) > 0 ⇔ n ( 2 − e x ) > 0 ⇔ n ( 2 − e x ) > n1 ⇔ ⇔ 2 − e x > 1 ⇔ e x < 1 = e0 ⇔ ⇔x<0 â. Ç C f âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x ′x , ãéá ôá óôïé÷åßá x ∈ R ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

f ( x ) < 0 ⇔ n ( 2 − e x ) < 0 = n1 ⇔ 2 − e x < 1 ⇔ e x > 1 = e0 ⇔x>0

( −1, 0 ) . Ç åîßóùóç ex = 0 , åßíáé áäýíáôç. Óôï ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f. ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

158

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8

6 Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðïõò: f ( x ) = x2 + 8 êáé g ( x ) = 4x + 5

Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñá-

öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò y = f ( x ) . Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç 2f ( x ) = 3 .

Ëýóç Åßíáé:

f ( x ) = g ( x ) ⇔ x 2 + 8 = 4x + 5 ⇔ ⇔ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ή x = 3 ¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí f êáé g åßíáé ôá óçìåßá:

(1, f (1) ) = (1,9 ) (1, g (1) ) = (1,9 )

êáé ( 3, f ( 3) ) = ( 3,17 ) êáé ( 3, g ( 3) ) = ( 3,17 )

Ëýóç Åßíáé 2f ( x ) = 3 ⇔ f ( x ) =

3 . Ðáñáôçñïýìå üôé ç 2

Ðáñáôçñþíôáò ôï ó÷Þìá íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á êáé â.

3 ôÝìíåé ôçí C f óå ôÝóóåñá óçìåßá. 2 Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí áõôþí åßíáé ïé ôÝó-

Ëýóç

óåñéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò 2f ( x ) = 3 .

åõèåßá y =

Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò y = f ( x) − 2 .

Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç f ( x ) = 0 .

Ç åõèåßá Ý÷åé åîßóùóç y = λx + µ , ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò åõèåßáò êáé ôçò óõíÜñôçóçò y = f ( x ) åßíáé ôá (1, −1) , (á, â) Üñá, éó÷ýïõí:

λ + µ = −1 êáé −2 = λ·0 + µ áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå: µ = −2, λ = 1 . Éó÷ýïõí:

Ëýóç

β = −α 2 êáé β = α − 2 ïðüôå:

íáé éóïäýíáìç ìå ôçí f ( x ) − 2 = −2 . Ðáñáôçñïý-

−α 2 = α − 2 ⇔ α 2 + α − 2 = 0 ⇔ α = 1, α = −2

êáé åðåéäÞ á < 0 èá åßíáé α = −2 . ÅðïìÝíùò êáé β = −2 − 2 = −4 .

ÆçôÜìå ôéò ëýóåéò ôéò åîßóùóçò f ( x ) = 0 ðïõ åßìå üôé ç åõèåßá y = −2 Ý÷åé Ýíá ìüíï óçìåßï ôïìÞò ìå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò y = f ( x ) − 2 , Üñá ç åîßóùóç f ( x ) = 0 Ý÷åé ìéá ìüíï ëýóç.

159

ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò

¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

f ( x) = x − 1 . Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Cf âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôçí åõèåßá y = 2 .

Ëýóç i. Åßíáé, f ( x ) > g ( x ) ⇔ 2e x − 3 > e x − 2 ⇔ e x > 1 ⇔ e x > e0 ⇔ x > 0

Üñá, ãéá êÜèå x ∈ ( 0, +∞ ) ç C f åßíáé ðÜíù áðü ôç C g .

Ëýóç Áíáæçôïýìå ôá x ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:

ii. Åßíáé,

f ( x ) > 2 ⇔ x − 1 > 2 ⇔ x − 1 < −2 ή x − 1 > 2 ⇔ x < −1 ή x > 3

f ( x ) > g ( x ) ⇔ x 3 − 2x + 4 > − x + 4 ⇔ x 3 − 3x > 0

A9 11 Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ∈ R ç ãñáöéêÞ B8 ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f âñßóêåôáé B10 ðÜíù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò g, üôáí: i. f ( x ) = 2e x − 3 και g ( x ) = e x − 2 ii. f ( x ) = x 3 − 2x + 4 και g ( x ) = − x + 4

⇔ x ( x 2 − 3) > 0 ⇔ x ( x − 3 )( x + 3 ) > 0

ïðüôå, ãéá êÜèå x ∈ ( − 3, 0 ) ∪ ( 3, +∞ ) éó÷ýåé f (x) > g (x) .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 56. Íá

âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ôÝìíåé

ôïõò Üîïíåò x ′ x êáé y′y ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = ( x 2 − 1)( x 2 + 4 ) .

Ã 60. Íá

âñåèïýí ôá x ∈ R þóôå ç ãñáöéêÞ

f ( x ) = n (1 − e ) íá åßíáé: x

f ( x ) = ( x2 − 9) x −1 . Ðïéá åßíáé ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ìå ôïõò Üîïíåò.

g (x) =

áðü ôçí åõèåßá y = 5 .

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå

Ã 57. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå

Ã 58. Ðïý ôÝìíåé ç Cg ôïí Üîïíá

ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C f âñßóêåôáé ðÜíù

x'x áí

1 x − 3x + 4 2

Ã 59. ¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f ( x ) = x −1 Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò

A9 Á10 Â4 Â5 B8 B10

á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x ′x . â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x ′x .

Ã 61. Íá

âñåèïýí ôá äéáóôÞìáôá óôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

1 f (x) =   e

x2 −2

− e x âñßóêåôáé:

i. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x'x, ii. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x'x. (âë. áóê.Â.128)

ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ

160

Á9 Á4 Â4 Â5 Â8

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8

Íá åîåôÜóåôå áí ïé ãñáöéêÝò ôïõò ôÝìíïíôáé. (âë. áóê.A6.6)

Ã 62. Íá âñåèåß óå ðïéá óçìåßá

ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ( x ) = n [ n ( x 2 − x + e )]

ôÝìíåé ôïí Üîïíá x ′ x . (âë. áóê.Â.136)

Ã 65.

x+7 6 + 2 ìå x +1 x + x ôçí äé÷ïôüìï ôçò 1çò - 3çò ãùíßáò ôùí áîüíùí. (âë. áóê.2, óåë.85)

Ã 63. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-

ðáñÜóôáóçò ôçò f ( x ) =

óç ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = x + 3 âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

Â10

g ( x ) = x − 2 + x ; (âë. áóê.9, óåë.60)

Ã 64.i.

Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç óõíÜñôçóç

f ( x ) = 5x − 6 âñßóêåôáé ìåôáîý ôùí åõèåéþí y = 2 êáé y = 8 ; (âë. áóê.7, óåë. 59) ii. Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ k þóôå ç åõèåßá ( ε ) : y = k íá ôÝìíåé óõã÷ñüíùò ôéò óõíáñôÞóåéò:

( c1 ) : y = −x 2 + 2x + 3

êáé

1 2 x − 4x + 3 2 iii. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò

( c2 ) : y =

f (x) = x + x

êáé g ( x ) = x − x

Ã.9

Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò

Ã 66.

Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôýðïõò:

f ( x ) = x 2 − x + 1 êáé g ( x ) = 1 − 2x (âë. áóê.4, óåë.86)

Ã 67.

Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò åõèåßáò y=2 ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = ηµx + 3 συνx . (âë. áóê.4, óåë.37) Ïìïßùò áí

f ( x ) = ( x 2 + 2x − 2 ) (âë. ð÷. óåë. 112)

x 2 − 3x

êáé y=1.

Boçèçôéêüò ðßíáêáò

Ðñïóäéïñßæïõìå áñêåôÜ óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ xOy áðü ôá ïðïßá äéÝñ÷åôáé ç êáìðýëç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò, èÝôïíôáò óôïí ôýðï y = f ( x ) ôçò óõíÜñôçóçò óõãêåêñéìÝíåò ôéìÝò ôçò áíáîÜñôçôçò ìåôáâëçôÞò x. x = x 1 → y1 = f ( x1 ) → M1 ( x 1 , y1 )

x = x 2 → y2 = f (x 2 ) → M 2 (x 2 , y2 ) x = x 3 → y3 = f ( x 3 ) → M 3 ( x 3 , y3 ) x = x ν → yν = f (x ν ) → Mν (x ν , yν )

Ìå ìïñöÞ ðßíáêá Ý÷ïõìå:

161

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Ã.10

ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò

¼ñéï

åðßðåäï (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.

óõíÜñôçóçò üôáí

÷1

y = f (x)

x → x0

÷2

y1 = f ( x1 )

y2 = f ( x 2 )

÷3

.....

÷4

y3 = f ( x 3 )

.....

yν = f ( x ν )

¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá ðïõ ðñïçãÞèçêáí (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. ÊÜíïõìå óôç óõíÝ÷åéá ìéá áíáöïñÜ óôï èÝìá ôïõ üñéïõ óõíÜñôçóçò þóôå íá áíôéëçöèïýìå êáëýôåñá ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí óôïé÷åéùäþí óõíáñôÞóåùí ðïõ áêïëïõèïýí ÷ùñßò âÝâáéá ó’áõôÞ ôç öÜóç íá ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôá áêñéâÞ üñéá ðïõ åßíáé Üêñùò áðáñáßôçôá ãéá ôçí ðëÞñç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç. Ãéá ôçí “ôïðéêÞ” ìåëÝôç ìéáò óõíÜñôçóçò f, åíäéáöÝñïí Ý÷åé ç óõìðåñéöïñÜ ôçò óõíÜñôçóçò ãýñù áðï êÜðïéá èÝóç x0 (äçëáäÞ üôáí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï x0) Þ óôï +∞ Þ óôï −∞ . Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f (x) =

x2 −1 , x ≠1 x −1

Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç äåí ïñßæåôáé ãéá x = 1, üìùò ìðïñïýìå íá âãÜëïõìå êÜðïéá óõìðåñÜóìáôá ãéá ôç óõìðåñéöïñÜ ôçò ãýñù êáé ðïëý êïíôÜ óôç èÝóç x = 1. Ðáñáôçñïýìå üôé: • Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ , ôï f(x) ðëçóéÜæåé ôïí áñéèìü 2 ìå

f ( x ) < 2 . Ôüôå ãñÜöïõìå lim− f ( x ) = 2 . x →1

• Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá äåîéÜ ,ôï f(x) ðëçóéÜæåé ðÜëé ôïí áñéèìü 2 ìå f ( x ) > 2 .Ôüôå ãñÜöïõìå

lim f ( x ) = 2 . ÓõìðåñáóìáôéêÜ ëÝìå üôé ,

x →1+

ôï üñéï ôçò f üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 åßíáé ôï 2 , êáé óõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå: lim f ( x ) = 2 . x →1

Ãåíéêüôåñá, ï óõìâïëéóìüò lim f ( x ) = óçìáßíåé üôé üôáí ôï x ðáßñx → x0

íåé ôéìÝò êïíôÜ óôï x0 , ôüôå ôï f(x) ðáßñíåé ôéìÝò êïíôÜ óôï ∈ R . ÐáñáôÞñçóç: Áðï ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé öáíåñü ïðïéïäÞðïôå üñéï ôçò. Ãéá ðáñÜäåéãìá óôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñáôçñÞóôå üôé:

lim f ( x ) = 2, lim f ( x ) = 1, x →3

x →2

lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = 0

x →−1

x →−2

ÐáñáôçñÞóôå üôé ôá - 2,- 1,3 áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f , åíþ ôï 2 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

162

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Á êïíôÜ óôï x = 2. ¼ñéá üðùò lim f ( x ) , lim f ( x ) ,äåí Ý÷ïõí íüçìá, áöïý ãéá ôïõò áñéèìïýò − x →4

1 x →− 2

1 και 4 ðïõ äåí áíÞêïõí óôï 2

Á, äåí õðÜñ÷ïõí êáé óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ ó’áõôÜ. ÅðïìÝíùò,áí f åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Á, ôüôå ôï üñéï ôçò f óôï x0 Ý÷åé íüçìá áí: • ôï x0 áíÞêåé óôï Á êáé õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x0 . • ôï x0 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x0 . Ôá ðáñáðÜíù óõìâáßíïõí áí ôï x0 åßíáé ôïõëÜ÷éóôïí áíïéêôü Üêñï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò f. ÅöáñìïãÞ: Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) =

1 . x −1

Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 (ïðüôå êáé ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0), ôüôå ç f èá ëáìâÜíåé ïðùóäÞðïôå ðïëý ìåãÜëåò ôéìÝò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ. Åéäéêüôåñá ,áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x > 1( ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0 èåôéêüò), ôüôå ïé ôéìÝò ôçò f èá åßíáé ðÜñá ðïëý ìåãÜëïé èåôéêïß áñéèìïß. ËÝìå ôüôå üôé : “ç f Ý÷åé üñéï ôï + ∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðï ôá äåîéÜ ” êáé ãñÜöïõìå :

lim+

x →1

1 = +∞ x −1

Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x < 1( ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò áñíçôéêüò ), ôüôå ïé ôéìÝò ôçò f èá åßíáé áñíçôéêÝò. ËÝìå ôüôå üôé : “ ç f Ý÷åé üñéï ôï −∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ ” êáé ãñÜöïõìå:

lim−

x →1

1 = −∞ x −1

Ôá üñéá lim− f ( x ) , lim+ f ( x ) ïíïìÜæïíôáé ðëåõñéêÜ üñéá ôçò f óôç èÝóç x = 1. x →1

x →1

Áí Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðï ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò óôç èÝóç x0 åßíáé Üðåéñï

( ±∞ ) ôüôå ç ãñáöéêÞ

ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x = x0 . Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ( x ) =

1 ðïõ Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá x =1, ôá ðëåõñéêÜ üñéá åñìçíåýïíôáé x −1

ãñáöéêÜ óôï äéðëáíü ó÷Þìá . Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f óôç èÝóç x = x0 ôï ïðïßï óõìâïëßæïõìå ìå lim f ( x ) . x → x0

163

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Ôüôå éó÷ýåé: lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = lim f ( x ) x → x0

x → x0

Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 äåí åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé äåí õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f óôç èÝóç x = x0 . Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ( x ) =

1 éó÷ýåé lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) ,ïðüôå óõìðåñáßíïõìå üôé ôï üñéï ôçò f óôç x →1 x →1 x −1

èÝóç x = 1 äåí õðÜñ÷åé. ÐáñáôÞñçóç: Ôá óýìâïëá + ∞ και − ∞ ìðïñïýìå íá ôá “÷åéñéæüìáóôå” óå áñêåôÝò ðåñéðôþóåéò ùò “áñéèìïýò” ìå ôá ðñüóçìÜ ôïõò íá ðáßæïõí ôïí ßäéï ñüëï ìå áõôÜ ôùí áñéèìþí. ¼ëåò ïé ðñÜîåéò ìåôáîý ôïõ ±∞ êáé ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ( åêôüò ôïõ ìçäåíüò ) ïñßæïíôáé ìå ðñïöáíÞ ôñüðï. Éó÷ýåé ãéá ðáñÜäåéãìá,

( +∞ ) − 2002 = +∞ , ( −∞ ) − 1960 = −∞ , ( −2 ) ⋅ ( −∞ ) = +∞ ,

+∞ 10 = +∞ , ( −∞ ) = +∞ 100

ÕðÜñ÷ïõí üìùò êáé ðñÜîåéò ðïõ äåí åßíáé åðéôñåðôÝò. ÁõôÝò åßíáé ïé :

±∞ 0 , ( −∞ ) + ( +∞ ) , ( +∞ ) − ( +∞ ) , 0 ⋅ ( ±∞ ) , ( +∞ ) , 1+∞ , 0+∞ ±∞ ïé ïðïßåò ìáæß ìå ôéò

0 0 , 0 áðïôåëïýí ôéò áðñïóäéüñéóôåò ìïñöÝò ðïõ èá ìåëåôÞóïõìå óå åðüìåíá 0

êåöÜëáéá. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) =

1 .¼ôáí ï ðáñïíïx

ìáóôÞò åßíáé ìåãÜëïò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ , äçëáäÞ üôáí ôï x ôåßíåé óôï +∞ Þ óôï −∞ , ôüôå ç ôéìÞ ôçò f âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 0. ÃñÜöïõìå ôüôå: lim

x →+∞

1 1 = 0 , lim = 0 . x →−∞ x x

ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé ç Cf Ý÷åé óôï +∞ êáé óôï −∞ , ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá y = 0 ( âë. ó÷Þìá ). ÅðåéäÞ f(x) > 0 üôáí x ôåßíåé óôï +∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “ðÜíù” óôï +∞ . Ïìïßùò åðåéäÞ f(x) < 0 üôáí x ôåßíåé óôï −∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “êÜôù” óôï −∞ . Ãåíéêüôåñá , áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f éó÷ýåé : lim f ( x ) = k ∈ R η lim f ( x ) = k ∈ R ôüôå ç Cf Ý÷åé x →+∞

ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá

x →−∞

y = k óôï +∞ Þ óôï −∞ áíôßóôïé÷á.

Ó÷üëéï Áí lim f ( x ) = ±∞ η lim f ( x ) = ±∞ ôüôå ç Cf äåí Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç óôï +∞ Þ óôï −∞ , áíôßx →+∞

x →−∞

óôïé÷á. Åßíáé äõíáôü ìéá óõíÜñôçóç íá Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ìüíï óôï +∞ Þ ìüíï óôï −∞ Þ íá Ý÷åé äéáöïÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

164

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

ñåôéêÝò áóýìðôùôåò óôï +∞ êáé óôï −∞ Þ êáé ôçí ßäéá. Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü óõìðåñáßíïõìå üôé áíáæçôïýìå ôéò êáôáêüñõöåò áóýìðôùôåò óõíáñôÞóåùí óôá áíïéêôÜ Üêñá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý åêôüò ôùí ±∞ . ð.÷. Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ( x ) =

( x − 2 )( x + 1)

, Ý÷ïõìå :

lim f ( x ) = −∞ êáé lim+ f ( x ) = +∞ êáé lim− f ( x ) = +∞

x → 2−

x →2

x →−1

êáé lim+ f ( x ) = −∞ x →−1

¢ñá ïé åõèåßåò x = 2 êáé x = - 1 åßíáé êáôáêüñõöåò áóýìðôùôåò ôçò Cf. Åðßóçò åßíáé lim f ( x ) = 0 x →±∞

êáé óõíåðþò ç åõèåßá y = 0

åßíáé ç ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçò Cf óôï +∞ êáé óôï −∞ . Ìå ôç âïÞèåéá êáé ìüíï ôùí ðáñáðÜíù ïñßùí êÜíïõìå ìéá áñêåôÜ éêáíïðïéçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.

Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáêÜôù èåùñÞìáôïò äéåõêïëýíåôáé ï õðïëïãéóìüò ïñßùí (Üëãåâñá ïñßùí): Áí ôá üñéá lim f (x) και lim g(x) õðÜñ÷ïõí êáé åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ôüôå: x → x0

x → x0

lim ( f (x) + g(x) ) = lim f (x) + lim g(x)

x → x0

lim ( f (x) ⋅ g(x) ) = lim f (x) ⋅ lim g(x)

ν lim ( f (x) ) = lim f (x) , ν ∈ Ν ìå v ≥ 2

x → x0

lim

x → x0

f (x)

g(x)

lim f (x)

x → x0

lim g(x)

, lim g(x) ≠ 0

x → x0

lim f (x) =

x → x0

Õðïëïãéóìüò ïñßïõ

x → x0

x →x0

(

x → x0

)

lim f (x) = lim f (x)

x → x0

lim f (x) µε f (x) ≥ 0 êïíôÜ óôï x0 , v ∈ N ìå v ≥ 2 .

x → x0

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðåñéüñéóôá üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéüñéóôá, ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åßíáé ôï + ∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëéêÜ: lim f ( x ) = +∞ . x →+∞

óõíÜñôçóçò

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò

üôáí

ìåéþíïíôáé áðåñéüñéóôá

x → ±∞

lim ( k ⋅ f (x) ) = k lim f (x) , k ∈ R

üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéüñéóôá , ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åßíáé ôï

−∞ êáé ãñÜöïõìå

lim f ( x ) = −∞ .

x →+∞

165

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðåñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá, ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï ôï

+∞

êáé

ãñÜöïõìå

−∞ åßíáé óõìâïëé-

êÜ: lim f ( x ) = +∞ . x →−∞

Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò ìåéþíïíôáé áðåñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá, ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï

−∞ åßíáé ôï −∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëéêÜ: lim f ( x ) = −∞ x →−∞

Óôïí äéðëáíü ðßíáêá äßíïõìå ôá üñéá óôï + ∞ και − ∞ âáóéêþí óõíáñôÞóåùí.

Ó÷üëéá 1. Áí ãíùñßæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí åêèåôéêþí êáé ëïãáñéèìéêþí óõíáñôÞóåùí äåí åßíáé áðáñáßôçôï íá áðïìíçìïíåýóïõìå ôá áíôßóôïé÷á üñéá ðïõ áíáöÝñïíôáé óôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá. 2. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ïñßùí óôï Üðåéñï ãßíåôáé ìå ôïõò ßäéïõò êáíüíåò (óåë.211) ìå ôïõò ïðïßïõò õðïëïãßæïõìå üñéá óå ðñáãìáôéêü áñéèìü, åöüóïí ïé “ïñéáêÝò ðñÜîåéò” ðïõ ðáñïõóéÜæïíôáé åßíáé åðéôñåðôÝò. 3. Èõìßæïõìå ôéò ìç åðéôñåðôÝò ðñÜîåéò ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå ôï ±∞ .

±∞ 0 , ( −∞ ) + ( +∞ ) , ( +∞ ) − ( +∞ ) , 0 ⋅ ( ±∞ ) , ( +∞ ) , 1+∞ , 0+∞ ±∞ 4. Åðßóçò, ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå üôé ãéá ôá üñéá óôï Üðåéñï ðïëõùíõìéêÞò óõíÜñôçóçò ï üñïò ðïõ “áðïêëßíåé ãñçãïñüôåñá” óôï Üðåéñï åßíáé ï ìåãéóôïâÜèìéïò üñïò, ïðüôå ãéá íá âñïýìå ôï üñéï ðïëõùíõìéêÞò óõíÜñôçóçò áñêåß íá âñïýìå ôï üñéï ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôçò. 5. Ôá óõìðåñÜóìáôá ôùí ðñïçãïýìåíùí óôáäßùí - âçìÜôùí ìåëÝôçò ( Ã1 - Ã10 ) äßíïõí ôçí êáìðýëç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f äçëáäÞ ôçí C f üðùò óõíçèßæïõìå íá ôçí óõìâïëßæïõìå.

ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

166

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

ËõìÝíá ËõìÝíáðáñáäåßãìáôá ðáñáäåßãìáôá Íá õðïëïãéóôåß ôï lim f ( x ) , áí

x→ 2

f ( x) =

x − 2x − 2007 ( x − 1)

ã. lim ( 2ηµ 2 x + 4 ) = 2ηµ 2 0 + 4 = 0 + 4 = 4 x →0

x 2 − 3x

x2 +1 − 2 = x −1

ä. lim x →0

 x2 + 2 , αν x ≤ 2  3 ( ) Áí f x =  x − 3x + 4 , αν x > 2  x−1 

Ëýóç ÌåôÜ ôï äéáéóèçôéêü - ãåùìåôñéêü ôñüðï ïñéóìïý

åßíáé öáíåñü üôé óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ôï x 0 åßíáé óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò (ãéá ìïíïý ôýðïõ óõíáñôÞóåéò) ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïñßïõ èá ãßíåôáé ìå áð’ åõèåßáò áíôéêáôÜóôáóç ôïõ x ìå ôï

02 + 1 − 2 =1 0 −1

íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá: á. lim f ( x )

â. lim f ( x )

êáé

x→0

x→2

Ëýóç

x 0 óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò êáé óôç óõíÝ÷åéá

Áí ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò Ý÷åé êëÜäïõò, (ðïëëá-

åêôÝëåóç ôùí åðéôñåðüìåíùí ðñÜîåùí.

ðëïý ôýðïõ óõíÜñôçóç), ôüôå ãéá íá õðïëïãßóïõ-

¸ôóé èÝôïõìå üðïõ ÷ ôï 2 êáé Ý÷ïõìå:

ìå ôï üñéü ôçò , óôç èÝóç áëëáãÞò ôùí êëÜäùí ,

lim

x 2 − 2x − 2007 ( x − 1)

x →2

− 3x

22 − 2 ⋅ 2 − 2007 ( 2 − 1) e2

− 3⋅ 2

−2007 = −2007e 2 e −2

õðïëïãßæïõìå ôá ðëåõñéêÜ üñéá óôç èÝóç áõôÞ.

á. ÅðåéäÞ 0 < 2 , Ý÷ïõìå:

lim f ( x ) = lim ( x 2 + 2 ) = 02 + 2 = 2 x →0

Íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá:

á. lim ( x 2 + 3x − 2 )

â. Ôï x 0 = 2 åßíáé ôï óçìåßï óôï ïðïßï áëëÜæåé ï ôýðïò ôçò f. • Áí x → 2− , ôüôå x < 2 êáé óõíåðþò

x →1

lim f ( x ) = lim− ( x 2 + 2 ) = 6

â. lim ln ( 2 − ex )

x → 2−

x→ 0

• Áí x → 2 , ôüôå x > 2 êáé

x→0

 x 3 − 3x + 4  23 − 3 ⋅ 2 + 4 =6 lim+ f ( x ) = lim+  = x→2 x→2  x −1  2 −1

x +1 −2 x−1 2

x→ 0

ÅðåéäÞ åßíáé lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 6 , èá åßíáé x →2

Ëýóç á. ÈÝôïõìå üðïõ x ôï 1 êáé Ý÷ïõìå:

lim ( x 2 + 3x − 2 ) = 12 + 3 ⋅1 − 2 = 2 x →1

â. Ïìïßùò:

lim ln ( 2 − e x ) = lim ln ( 2 − e0 ) = ln1 = 0 x →0

x →2

ã. lim ( 2ηµ 2 x + 4 ) ä. lim

x →0

êáé lim f ( x ) = 6 . x →2

x →2

167

ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã68.

Ðïéá áðü ôéò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç âëÝðåôå ðáñáêÜôù åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá;

Ã69.

Ìå âÜóç ôï ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ: á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï...................... â. Ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï.......................... ã. Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ............ êáé ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ åßíáé ............, üôáí x = ..............

Ã70.

Á. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü óÞìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ.

â. imf+ ( x ) = ... x → −1

ã. im f ( x ) = 2 x →...

Ã71.

im f ( x ) = ...

f (4 ) = ...

á.

x → −3

im f ( x ) = ...

x → −1−

im f ( x ) = 1 x →...

á. Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ þóôå ïé ðáñáêÜôù ìïñöÝò íá åßíáé áðñïóäéüñéóôåò.

... , 0

0. ... ,

+∞ , ...

+ ∞ − (...) ,

(− ∞ ) + ...

â. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ

im f ( x ) = .....

x → +∞

im f ( x ) = .....

x →2+

im+

x →1

1 = ..... f (x)

im f ( x ) = .....

x →2−

im f ( x ) = .....

x → −∞

im+

x →3

1 = ...... f (x) ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ

168

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Ã 72. Íá õðïëïãßóåôå ôá åðüìåíá üñéá: 3 7 á. lim ( x − 2 ) ⋅ ( 2x − 1)

Â4 Â5

Ã76. á. Íá âñåßôå ôï k ∈ R þóôå ôï óçìåßï A ( 2, k ) íá áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-

x →0

x+2 .â. Íá âñåßôå ôï k ∈ R x

â. lim ( x 2 + 5x − 7 )

óç ôçò f ( x ) =

 4x, x ≤ 1 ã. lim f ( x ) , áí f ( x ) =  x →1 3x + 1, x < 1

þóôå f ( k ) = 4 üðïõ f ( x ) = x 2 + 3x .

x →1

ä. lim

3x − 10

x →0

ã. Íá âñåßôå ôï k ∈ R þóôå ôï óçìåßï A (1, 2 ) íá áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

x +5

f (x) =

Ã73. Íá âñåèåß ï α ∈ R áí, lim ( x 2 − 3αx + α 2 + 5) = 1 x →2

αx + 1 .ä) Íá âñåßôå ôá α,β ∈ R þóôå 3x

ôá óçìåßá A (1,5) êáé B ( 0,3) íá áíÞêïõí óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ( x ) = αx + β .

Ã74. Óôï ó÷Þìá ðáñéóôÜíåôáé ç ãñáöé-

Ã77. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ãñáöéêÞ

êÞ ðáñÜóôáóç êÜ-

ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f. Ná óõìðëçñþóåôå ôéò ðñïôÜóåéò:

ðïéáò óõíÜñôçóçò f. Íá ðñïóäéïñßóåôå (áí õðÜñ÷ïõí) ôá üñéá: lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x )

x →−1

x →2

x →3

Ã75. ÐáñáêÜôù äßäïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g. Ná âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí ôïõò.

i. Ôï Ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé:................... ii. Ôï Óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé: ........................ iii. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé áýîïõóá åßíáé: ........................................................ iv. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé öèßíïõóá åßíáé: ............................................................ v. Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï: .............................. vi. Ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï: ............................ vii.Ðïéá áðü ôá óçìåßá Á(0,1), Â(3,–2), Ã(2,0), Ä(3,2), Å(4,1) áíÞêïõí óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ; .......................................... viii.H ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x ′x óôá óçìåßá: ............................................... ix. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí y′y óôï óçìåßï: ..............................................

169

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

ÂáóéêÝò - Óôïé÷åéþäåéò ÓõíáñôÞóåéò 1. f ( x ) = c, c ∈ R

(óôáèåñÞ óõíÜñôçóç)

2. f ( x ) = αx, α ∈ R *

(åõèåßá)

3. f ( x ) = αx + β, αβ ≠ 0

(åõèåßá)

4. f ( x ) = αx 2 , α ∈ R *

(ðáñáâïëÞ)

5. f ( x ) = αx 2 + βx + γ, α ≠ 0 (ðáñáâïëÞ) α x

6. f ( x ) = , α ∈ R

(õðåñâïëÞ)

7. f ( x ) = x

(áðüëõôç ôéìÞ)

8. f ( x ) = x

(ôåôñáãùíéêÞ ñßæá)

9. f ( x ) = α x , 0 < α ≠ 1

(åêèåôéêÞ ìå âÜóç á)

10. f ( x ) = log α x, 0 < α ≠ 1

(ëïãáñéèìéêÞ ìå âÜóç á, 0 < α ≠ 1 )

11. ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò á) f ( x ) = ηµx

â) f ( x ) = συνx

ã) f ( x ) = εφx

ä) f ( x ) = σφx

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

170

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

1. f ( x ) = c, c ∈ R 1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: 3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé Üñôéá. ÅðïìÝíùò ç C f åßíáé êáìðýëç óõììåôñéêÞ ìå Üîïíá óõììåôñßáò ôïí Üîïíá y ' y

4. Óýíïëï ôéìþí: Ôï ìïíïóýíïëï { c } 5. Ìïíïôïíßá: Ç óõíÜñôçóç f ÷áñáêôçñßæåôáé óôáèåñÞ óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. 6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï A f = R 7. Áêñüôáôá: Ôáõôßæåôáé ôï ìÝãéóôï ìå ôï åëÜ÷éóôï ßóá ìå c.  y ' y : Στο σηµείο ( 0, c )  8. Ðïõ ôÝìíåé ç C f ôïõò Üîïíåò:  αν c ≠ 0 δεν τέµνει τον άξονα x ' x x ' x : αν c = 0 η C ταυτίζεται µε τον x ' x  f 

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: Ç C f åßíáé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x ' x . ÅéäéêÜ áí c = 0 ôüôå åßíáé ï Üîïíáò x ' x . Ó÷üëéï Áí c < 0 ç åõèåßá åßíáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x ' x . Áí c > 0 ç åõèåßá åßíáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x ' x . Áí c = 0 ç åõèåßá åßíáé ï Üîïíáò x ' x .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 78. i. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç óõíÜñôçóç: f ( x ) = 2 ( ηµ 6 x + συν6 x ) − 3 ( συν 4 x + ηµ 4 x ) åßíáé óôáèåñÞ. (âë. áóê. Á41) ii. Íá âñåèåß ï λ ∈ R þóôå ç óõíÜñôçóç

f ( x ) = ηµ 6 x + συν 6 x + λ ( ηµ 4 x + συν 4 θ ) íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x. (âë. áóê. Á8.1)

Ã 79. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: f (x) =

x ( x 2 − 12x + 35 ) ( x − 5 ) x − 5 ⋅ ( 3x 2 − 21x ) 2

á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. â. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñÞ óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

171

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

2. f ( x ) = αx, α ∈ R * 1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: äåí ðáñïõóéÜæåé 3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ ïðüôå ç C f åßíáé óõììåôñéêÞ ìå êÝíôñï óõììåôñßáò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí O ( 0, 0 ) .

4. Óýíïëï ôéìþí: R αν α < 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο R αν α > 0 η f είναι γν. αύξουσα στο R

5. Ìïíïôïíßá: 

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï Α f = R ãéá êÜèå α ∈ R * 7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò.  y ' y στο σηµείο O ( 0, 0) x ' x στο σηµείο O ( 0, 0)

8. Ðïõ ôÝìíåé ç C f ôïõò Üîïíåò: 

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Ç C f åßíáé åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí O ( 0, 0 ) .

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

172

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

ÓõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ìéáò åõèåßáò å ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí O ( 0, 0 ) ïíïìÜæïõìå ôçí åöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò ù ðïõ ó÷çìáôßæåé ï èåôéêüò çìéÜîïíáò O÷ óôñåöüìåíïò èåôéêÜ (áíôßèåôá ìå ôïõò äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý) ìÝ÷ñé íá óõìðÝóåé ãéá ðñþôç öïñÜ ìå ôçí åõèåßá å (Ó÷. 3). Ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò, äçëáäÞ ôçí åöù, óõìïâëßæïõìå ìå λ ε . ÃñÜöïõìå λ ε = εφω = α .

Ó÷üëéá i. ¼ôáí α < 0 ç ãùíßá ù åßíáé áìâëåßá (ó÷. 1) ¼ôáí α > 0 ç ãùíßá ù åßíáé ïîåßá (ó÷. 2)

ii. ¼ôáí α < 0 ãéá äýï ôéìÝò α = α1 , α = α 2 ìå α1 < α 2 åßíáé ω1 < ω 2 (âë.ó÷. 4). ¼ôáí α > 0 ãéá äýï ôéìÝò α = α1 , α = α 2 ìå α1 < α 2 åßíáé ω1 < ω 2 (âë.ó÷. 5).

iii. Ï Üîïíáò x ' x åßíáé åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò ìå åîßóùóç y = 0 ⋅ x äçëáäÞ y = 0 êáé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0. Ï Üîïíáò y ' y åßíáé åðßóçò åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Ý÷åé åîßóùóç x = 0 êáé äåí ïñßæåôáé ãé’áõôÞí óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò. Ãåíéêüôåñá äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ãéá ïðïéáäÞðïôå åõèåßá êÜèåôç óôïí Üîïíá x ' x , ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ êáé áí õðïèÝóïõìå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï M ( x 0 , y 0 ) Ý÷åé åîßóùóç x = x 0 (âë.ó÷. 6). iv. Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò äýï óõíáñôÞóåùí y = f1 ( x ) = α1 x êáé y = f 2 ( x ) = α 2 x ìå α1 ≠ 0, α 2 ≠ 0 åßíáé öáíåñü üôé ôÝìíïíôáé óôï

óçìåßï 0 ( 0, 0 ) êáé åéäéêÜ áí α1 ⋅ α 2 = −1 ôÝìíïíôáé êÜèåôá (âë.ó÷. 7)

173

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

äéáðéóôþíïõìå üôé ðáñÜ ôçí óõíå÷Þ ìåôáâïëÞ ôùí ìåôáâëçôþí (ðïóþí) x, y ôï ðçëßêï ôïõò ðáñáìÝíåé óôáèåñü. Åßíáé ëïéðüí ç ìáèçìáôéêÞ Ýêöñáóç ôùí ÁÍÁËÏÃÙÍ ÐÏÓÙÍ. Ôï óôáèåñü áõôü ðçëßêï ïñßóáìå ùò óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ôçò åõèåßáò ìå åîßóùóç - ôýðï y = αx .

v. Áðü ôçí éóïäõíáìßá x ≠0

y = αx ⇔

y =α x

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1 á. Íá õðïëïãßóåôå ôéò åöáðôïìÝíåò

â. Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò áõôþí ôùí åõèåéþí.

ôùí ãùíéþí, ðïõ ó÷çìáôßæïõí åõèåßåò ðïõ

ã. Íá âñåßôå üëåò ôéò äõíáôÝò ôñéÜäåò óõ-

äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá óçìåßá Á, Â, Ã, Ä, Å, Æ

íåõèåéáêþí óçìåßùí êáé íá áíáöÝñåôáé

ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá Ï÷.

êÜèå öïñÜ êáé ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò.

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

174

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Ëýóç á. Ç åõèåßá ÏÁ (äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Ï,Á) ó÷çìáôßæåé ãùíßá Ýóôù á ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá

1 . 5 Ìå áíÜëïãï ôñüðï ïñßæïõìå êáé ôéò õðüëïéðåò åõèåßåò êáé áíôßóôïé÷åò ãùíßåò.

Ï÷. Åßíáé εφα =

2 1 5 10 εφβ = = , εφγ = = 1 , εφδ = =1, 10 5 10 5

5 10 = 5 , εφζ = =5 1 2 â. Ïé åîéóþóåéò ôùí åõèåéþí åßíáé: εφε =

ΟΑ : y =

3 Óôï ó÷.1 äßíåôáé ç ãñ. ðáñÜóôáóç ôçò ó÷Ýóçò ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò áõôïêéíÞôïõ ìå ôïí ÷ñüíï ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá 10 ùñþí. i. Ãíùñßæïíôáò üôé U =

S óôï Ó÷. 2 íá âñåßôå t

ðïéá áðü ôéò åõèåßåò ε 1 ,ε 2 ,ε 3 åêöñÜæåé ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéáóôÞìáôïò ìå ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôïêéíÞôïõ.

1 x ΟΓ : y = x ΟE : y = 5x 5

1 ΟB : y = x Ο∆ : y = x ΟΖ : y = 5x 5 ã. Ðáñáôçñïýìå üôé ôá óçìåßá Ï,Á,Â åßíáé óõíåõèåéáêÜ êáé âñßóêïíôáé åðß ôçò åõèåßáò ìå åîß1 óùóç y = x . 5 Åðßóçò óõíåõèåéáêÜ åßíáé ôá óçìåßá Ï,Ã,Ä

( y = x)

êáé ôá óçìåßá Ï,Å,Æ ( y = 5x )

Óçìåßùóç: Ìå ïðïéïäÞðïôå ôñüðï ìðïñåßôå íá åëÝãîåôå áí ôá óçìåßá Â,Ã,Æ åßíáé óõíåõèåéáêÜ.

Ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ åßíáé áíÜëïãåò ìå ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5. Íá õðïëïãßóåôå ôéò ãùíßåò áõôÝò (óå ìïßñåò).

Ëýóç ¸óôù ÷,y,z ïé ãùíßåò ôïõ ôñéãþíïõ. ÅðåéäÞ åßíáé áíÜëïãåò ðñïò ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5 éó÷ýåé

x y z = = . Åßíáé ãíùóôü üôé ôï Üèñïéóìá ôùí 3 4 5 ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé ßóï ìå 180 ìïßñåò. Äçë. x + y + z = 180 y x + y + z 180 ¼ìùò x = = z = = = 15 . 3 4 5 3 + 4 + 5 12 x y z = 15 , ¢ñá = 15 êáé ôåëéêÜ åßíáé = 15 , 3 5 4 x = 45° , y = 60° , z = 75° .

ii. Ðþò ìðïñïýìå íá âñßóêïõìå ôçí ôá÷ýôçôá åíüò êéíçôïý áðü ôçí ãñ. ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò S ( t ) áí S ( t ) = αt .

Ëýóç i. Áðü ôï Ó÷.1 ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá÷ýôçôá U Ý÷åé óôáèåñÞ ôéìÞ ó’ üëç ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò. Ç óôáèåñÞ ôéìÞ åßíáé 80km/h.

175

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

¢ñá áðü ôïí ôýðï U =

S S = U⋅t Þ . t

Ðñïêýðôåé üôé S = 80t .

ÅðïìÝíùò ïé ôá÷ýôçôåò ôùí áõôïêéíÞôùí, ôçí êßíçóç ôùí ïðïßùí ïé åõèåßåò ε1 , ε 2 åêöñÜæïõí ãñáöéêÜ, åßíáé 8km/h, 16km/h áíôßóôïé÷á.

Ïé åõèåßåò ε1 , ε 2 , ε 3 åýêïëá ðñïêýðôåé üôé ðáñéóôÜíïõí ôéò óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò S1 ( t ) = 8t ,

S2 ( t ) = 16t , S3 ( t ) = 80t . Ðáñáôçñïýìå üôé ç åõèåßá ε 3 ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéáóôÞìáôïò ìå ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôïêéíÞôïõ. ii) Aí S ( t ) = α ⋅ t åßíáé

S(t)

= α ïðüôå óôáèåñÞ

t ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý ó’ üëç ôçí äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõèåßáò ìå åîßóùóç S ( t ) = αt äçë. U = α .

Óçìåßùóç: á) Íá ìåëåôÞóåôå, ðùò ìðïñïýìå ãåíéêÜ ìå ãíùóôü ôï äéÜãñáììá U − t (üðùò óõíçèßæïõìå íá áíáöÝñïõìå óôç ÖõóéêÞ) íá õðïëïãßæïõìå ôï óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ. â) ÐñïóðáèÞóôå íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï áõôïêßíçôï áöïý Ý÷åé êéíçèåß 3h êáé íá ãñáììïóêéÜóåôå óôï Ó÷. 2 ôï ôñßãùíï ôïõ ïðïßïõ ôï åìâáäüí áñéèìçôéêÜ éóïýôáé ìå ôçí ôéìÞ ôïõ äéáóôÞìáôïò ðïõ õðïëïãßóáôå.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 80. Íá

êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí 1 á. ψ = −4x â. ψ = − ⋅ x 2 3 ã. ψ = − ⋅ x 2

Ã81.

1 óçò ψ = ⋅ x . 2 Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé áðü ôï óçìåßï A ( 3, 4 ) .

Ã83.

óçìåßá B ( −4, −8 ) êáé Γ ( 3,6 ) âñßóêïíôáé ðÜíù óôçí åõèåßá áõôÞ;

Ã84.

Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-

Ìéá åõèåßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé áðü ôï óçìåßï Α ( 3,9 ) . Íá

Íá åîåôÜóåôå áí ôá óçìåßá:

3 ( 2,1) ,  3,  , ( 6,3) âñßóêïíôáé ðÜíù  2 óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-

Ã82.

íùí êáé áðü ôï óçìåßï A ( −2, −4 ) . Ôá

âñåèåß ç óõíÜñôçóç ðïõ Ý÷åé ãéá ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá áõôÞ.

Ã85.

Íá áðïäåßîåôå üôé ôá óçìåßá Á,Â,Ã üðïõ

Α ( −1, −2 ) , Β ( 2, 4 ) êáé Γ ( 3,6 ) âñßóêïíôáé åðÜíù óå ìéá åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. (õðüäåéîç: âñßóêïõìå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé ôï óçìåßï Á êáé ìåôÜ áðïäåéêíýïõìå üôé êáé ôá óçìåßá Â,Ã áíÞêïõí óôçí åõèåßá áõôÞ).

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

176

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

f ( x ) = αx + β, αβ ≠ 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Ðåäßï ïñéóìïý: Ðåñéïäéêüôçôá: Óõììåôñßåò:

R Äåí ðáñïõóéÜæåé Äåí Ý÷åé

Óýíïëï ôéìþí: Ìïíïôïíßá: 1-1: Áêñüôáôá:

R ãíçóßùò áýîïõóá áí á > 0 , ãíçóßùò öèßíïõóá áí á < 0. Ç f åßíáé 1-1 óôï Α f = R . Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò

 y ' y στο σηµείο ( 0,β )   −β  x ' x στο σηµείο  , 0   α  

8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò: 

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

ÅéäéêÜ ãéá â = 0 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé áõôÞ ðïõ öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.

ÅéäéêÜ ãéá á = 0 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé áõôÞ ðïõ öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f ( x ) = αx + β Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç, C f , åõèåßá ç ïðïßá ôÝìíåé ôïí Üîïíá β y ' y óôï óçìåßï ( 0,β ) êáé ôïí Üîïíá x ' x óôï óçìåßï  − , 0  .  α 

177

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f1 , f 2 ìå f1 ( x ) = α1 x + β1 êáé f 2 ( x ) = α 2 x + β 2 ìå áíôßóôïé-

Ó÷åôéêÝò èÝóåéò äýï åõèåéþí

÷åò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôéò åõèåßåò ε1 êáé ε 2 . Åßíáé ãíùóôü üôé äýï åõèåßåò ε1 , ε 2 åßíáé äõíáôüí íá ôÝìíïíôáé (óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò) êÜèåôá, íá åßíáé ðáñÜëëçëåò Þ íá ôáõôßæïíôáé. Óôçí óõíÝ÷åéá áíáöÝñïõìå êÜôù áðü ôá áíôßóôïé÷á ó÷Þìáôá ôéò ðñïûðïèÝóåéò (ó÷Ýóåéò ìåôáîý ôùí α1 ,β1 , α 2 ,β 2 ) þóôå ìå ãíùóôïýò ìüíï ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñôÞóåùí íá ãíùñßæïõìå ôç ó÷åôéêÞ èÝóç ôùí ãñáöéêþí ôïõò ðáñáóôÜóåùí.

α1 ≠ α 2

α1 = α 2 και β1 = β 2

α1 = α 2 και β1 ≠ β 2

Óçìåßùóç: Ç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) = αx + β Ý÷åé ìéá éäéáéôåñüôçôá óå ó÷Ýóç ìå ôéò õðüëïéðåò óõíáñôÞóåéò. ÅðåéäÞ ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé åõèåßá áñêïýí ìüíï äýï óçìåßá ãéá íá ôç “æùãñáößóïõìå”.

 β  ,0 .  α 

Ðñïôéìïýìå óõíÞèùò ôá óçìåßá ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò , äçëáäÞ ôá óçìåßá ( 0,β ) êáé  −

Ãéá ðáñÜäåéãìá ç f ìå f ( x ) = 3x − 6 Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá

( 0, −6 )

êáé ( 2, 0 ) ôïõ Üîïíá y ' y êáé x ' x áíôßóôïé÷á.

Áðüóôáóç

Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) = αx + β ôçò ïðïßáò ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç åßíáé ç åõèåßá å êáé äýï óçìåßá ôçò

äýï

A ( x A , yA ) , B ( x B , yB )

óçìåßùí

Áðïäåéêíýåôáé ìå áðëÞ ÷ñÞóç ôïõ Ðõèáãïñåßïõ èåùñÞìáôïò üôé ç áðüóôáóç ôùí óçìåßùí Á, Â êáôÜ ìÞêïò ìéáò åõèåßáò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï

Á,Â

( AB) = AB =

(xB − xA )

+ ( yB − yA )

ìéáò åõèåßáò å

Åßíáé åýêïëï åðßóçò íá äåé÷èåß üôé ôï ìÝóï Ì ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ÁÂ Ý÷åé óõíôåôáãìÝíåò

( x M , yM ) xM =

ìå

xA + xB y + yB , yM = A 2 2

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

178

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

¸óôù A(x1y1 ) και B(x2 y2 ) óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ.Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðüóôáóç (ÁÂ) ôùí óçìåßùí Á, ÂóõíáñôÞóåé ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôïõò.

Ôüôå

( AB) = (Γ∆) =

Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå y 2 = y1 Ý÷ïõìå: 2 (4) ⇔ (AB) = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y 2 ) = 2

Ëýóç • Áí åõèýãñáììï ôìÞìá ÁÂ äåí åßíáé ðáñÜëëçëï óôïõò Üîïíåò,ôüôå óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÊ (âë. ó÷Þìá) ìå åöáñìïãÞ ôïõ ðõèáãüñåéïõ èåùñÞìáôïò Ý÷ïõìå:

(1)

üìùò: (ΑΚ) 2 = (Γ∆) 2 = x 2 -x1

(2)

(BK) 2 = (EZ) 2 = y 2 -y1

(3)

(2)

(ΑΒ) = x 2 -x1 + y 2 − y1 ⇔ ¢ñá: (1) ⇔ (3) ⇔ (ΑΒ) =

( x 2 − x1 )

+ ( y 2 − y1 )

( x 2 − x1 )

= x 2 − x1

ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç. • ¸óôù AB // y ' y ⇔ x1 = x 2

Ôüôå (ÁÂ) 2 =(ÁÊ)2 + (ÂÊ)2

x 2 -x1

( AB) = ( Γ∆ ) =

y 2 -y1

Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå x1 = x 2 , Ý÷ïõìå: (4) ⇔ (AB) = (x1 − x1 ) 2 + (y 2 − y1 ) 2 =

= 0 + (y 2 − y1 ) 2 = (y 2 − y1 ) 2 = y 2 − y1 ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç. ÔåëéêÜ óõìðåñáßíïõìå üôé ç áðüóôáóç äýï óçìåßùí: A ( x1 , y1 ) êáé B ( x 2 , y2 ) åßíáé

(4)

( AB ) = ( x 2 − x1 )

• Áí ÁÂ // x ' x ⇔ y1 = y 2

+ ( y 2 − y1 )

Íá âñåèïýí ïé ó÷åôéêÝò èÝóåéò ôùí åõ-

1 3

èåéþí ε 1 : y = 3x, ε 2 : y = - x + 1 . Êáôüðéí íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.

Ëýóç Åßíáé : α1 = 3, α 2 = −

1 ïðüôå ε1 ⊥ ε 2 áöïý 3

179

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

 1 α1 ⋅ α 2 = 3 ⋅  −  = −1 .  3

ÊÜíïõìå ôïí ðßíáêá ôéìþí ôùí å1, å2

Íá âñåßôå ôç óõíÜñôçóç f, ôçò ïðïßáò ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá:

• Ãéá ôçí ε1 :

• Ãéá ôçí ε 2 :

Ëýóç

Äßíåôáé ç åõèåßá å:y = (ë2 + 2ë)x + ë - 1. Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ ∈ R þóôå: i. ç å íá äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. ii. ç å íá åßíáé ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x´x. iii. ç å íá åßíáé êÜèåôç óôçí å1: y - x = 2002.

Ëýóç i. Ãéá íá äéÝñ÷åôáé ç å áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ðñÝðåé íá Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y = áx. ÄçëáäÞ ðñÝðåé λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1 . ii. Ïé åõèåßåò ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëåò óôïí Üîïíá x´x åßíáé ôçò ìïñöÞò: y = κ, (κ ∈ R) . ¢ñá ðñÝðåé:

λ2 + 2λ = 0 ⇔ λ ( λ + 2 ) = 0 ⇔ λ = 0 ή λ = −2 iii. Âñßóêïõìå ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò ôçò ε1 ëýíïíôáò ôçí åîßóùóÞ ôçò ùò ðñïò y. Åßíáé y-x = 2002 ⇔ y = x + 2002 , ïðüôå α1 = 1 . å ⊥ å1 ⇔ á · á1 = –1 ⇔ (ë2 + 2ë) · 1 = –1 ⇔ ë2 + 2ë +1 = 0 ⇔ (ë + 1)2 = 0 ⇔ ë = –1.

á. Áí x ≤ 1 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé áð’ôçí çìéåõèåßá ÁÂ ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé Ý÷åé áñ÷Þ ôï Â (1,-1). ÅðåéäÞ êÜèå åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí Ý÷åé åîßóùóç y = αx êáé ç çìéåõèåßá ÁÂ èá Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y = αx (1). Åðßóçò ôï Á áíÞêåé óôçí ÁÂ Üñá ðñÝðåé:

2 = α ⋅ (–2) ⇔ α = –1 Ïðüôå ç åîßóùóç ôçò ÁÂ åßíáé : y = –x, üôáí x ≤ 1 . 1 x 3 â. Áí < ≤ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé áð’ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÂÃ ìå B(1, -1) êáé Ã(3,1). Ç ìïñöÞ ôçò åîßóùóçò ôçò åõèåßáò å ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôá Â, Ã åßíáé ç y = αx + β

(2)

üìùò Â ∈ å ïðüôå (2) ⇔ –1 = α ⋅1 + β (3) åðßóçò Ã ∈ å ïðüôå (2) ⇔ 1 = 3α + β (3) ⇔ α = –1–β

(4)

(5)

(4) ⇔ 1 = 3(−1 − β) + β ⇔ 1 = −3 − 3β + β ⇔ ⇔ −2β = 4 ⇔ β = −2 β = –2

¢ñá (3) ⇔ α = –1 − ( −2) ⇔ α = 1 ÅðïìÝíùò áðü (2) ðáßñíïõìå: y = x − 2, όταν -1 < x ≤ 3 ã. Áí x > 3 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé áð’ôçí çìéåõèåßá ÃÄ ìå áñ÷Þ ôï óçìåßï Ã(3,1). ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

180

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Åðßóçò ç ÃÄ äéÝñ÷åôáé áð’ôï óçìåßï Ä(4,1). Ðáñáôçñïýìå üôé ôá Ã, Ä Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç ïðüôå ç åîßóùóç ôçò çìéåõèåßáò ÃÄ åßíáé: y = 1, üôáí x > 3.

 –x,  Ïðüôå f (x) =  x − 2,  1, 

x ≤1 1< x ≤ 3 x >3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã86.

Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò åõèåßåò: â. y = − x + 3 á. y = x + 4 ã. y = 2x + 3 ä. y = 3x − 4 å. y = 0 æ. x = 0

ψ = ( α − 1) ⋅ x + 2 . Íá ôç ó÷åäéÜóåôå áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï A ( −1,3) .

Ã 87. Äßíåôáé ç åõèåßá

Ã 88. ×ùñßò

íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáêÜôù åõèåßåò íá âñåßôå ðïéåò áð’ áõôÝò åßíáé ðáñÜëëçëåò:

y = −x + 2

2y = −2x + 4

1 x +3 2

4y = 2x + 12

Ã 89. Äßíåôáé

ç åõèåßá ψ = 3x + 6 , ðïõ ôÝìíåé

ôïõò Üîïíåò ÷’÷ êáé y’y óôá óçìåßá Á êáé Â áíôßóôïé÷á. Áí Ï åßíáé ç áñ÷Þ ôùí áîüíùí,

ôçò ðáñáìÝôñïõ ë. á. Íá äåßîåôå üôé ïé ãñáöéêÝò ôïõò ðáñáóôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé üëåò áðü ôï ßäéï óçìåßï. â. Óå ðïéá óçìåßá, áõôÝò ôÝìíïõí ôïí Üîïíá ÷’÷. ã. Ðïéá áðü ôéò åõèåßåò

ψ = ( 2λ + 1) x + ( λ + 2 ) , λ ∈ R åßíáé ðáñÜëëçëç óôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò êáé 3çò ãùíßáò ôùí áîüíùí; ä. Áí λ < −

f ( γ 2 + δ 2 ) < f ( 2γδ )

ãéá êÜèå γ, δ ∈ R ìå γ ≠ δ .

Ã 93. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå

Ã 91. Ãéá

ðïéåò ôéìÝò ôùí ê,ë ôï ôñßãùíï ìå

êïñõöÝò ôá óçìåßá Α ( −1, 2 ) , Β ( 2, −1)

f ( x ) = 2x + 1 .

á. Íá ëõèåß ç åîßóùóç

íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÏÂ.

Ã 90. Íá âñåßôå óçìåßï Ã ôïõ Üîïíá ÷’÷ ôÝôïéï þóôå ôï ôñßãùíï ÁÂÃ ìå Α (1,1) êáé Β ( 4, 2 ) íá åßíáé éóïóêåëÝò, ìå ÁÃ = ÂÃ.

1 íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé 2

f ( 0 ) + 2f ( −1) + f ( x + 1) = x â. Íá âñåèåß ï λ ∈ R þóôå íá éó÷ýåé:

λf (1/ 2 ) − 2f ( λ / 2 ) = 3

Ã94. Óå ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí äßäïíôáé ôá óçìåßá Á(4,0), Â(1,1), Ã(5,3). Íá áðïäåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé éóïóêåëÝò.

êáé Γ ( κ, λ ) åßíáé éóüðëåõñï;

Ã 92. Èåùñïýìå ôéò óõíáñôÞóåéò f ( x ) = ( 2λ + 1) x + ( λ + 2 ) ðïõ ðñïêýðôïõí ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò

Ã 95. Äßäåôáé

ôï óçìåßï Á(-2,1) êáé æçôåßôáé ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï Á êáé åðéðëÝïí: á. Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò -3.

181

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

â. ã. ä. å.

Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0 äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò äéÝñ÷åôáé êáé áðü ôï óçìåßï Â(5,-1) ôÝìíåé ôïí Üîïíá ÷’÷ óôï óçìåßï (1,0)

Ã100. Íá

âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò óôï

åðüìåíï ó÷Þìá:

óô. ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,2)

Ã 96. Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü

λ∈R

þóôå ôá ðáñáêÜôù æåýãç åõèåéþí íá åßíáé ðáñÜëëçëåò: á. y = ( 2λ − 1) x + 3

y = λ2 x − 2

â. λ2 x − 4y + 4λ = 0 λx + y + 4 = 0

Ã97. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü

λ ∈ R þóôå ôá

æåýãç ôùí ðáñáêÜôù åõèåéþí íá åßíáé êÜèåôåò: á. y =

1 ⋅ x +1 λ2 − 1

â. y = λ ( 2 − x )

Ã 98. Ç

y = ( λ + 1) ⋅ x − 2

y = ( λ + 1) ⋅ x − λx 2

èåñìïêñáóßá x óå âáèìïýò Celcius

( C ) êáé ç èåñìïêñáóßá y óå âáèìïýò Fahrenheit ( 0 F ) óõíäÝïíôáé ìå ôçí ó÷Ý0

óç y = λx + β . Ãíùñßæïíôáò üôé ôï íåñü ðáãþíåé óôïõò 00 C Þ 320 F êáé üôé âñÜæåé óôïõò 1000 C Þ 2120 F íá õðïëïãßóåôå:

Ã101. Íá âñåßôå ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äýï åõèåéþí:

y = x+2 y = 3x − 2

Ã102. Êéíçôü ê1 îåêéíÜ áð’ôï óçìåßï Á(-2,-1) åíþ Ýíá Üëëï êéíçôü ê2 áð’ôï óçìåßï Â(-1,-2) üðùò öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá. á. Íá âñåßôå ôçí áðüóôáóç ôùí ê1, ê2 ðñßí îåêéíÞóïõí. â. Ôéò åîéóþóåéò ôùí ôñï÷éþí ôùí ê1, ê2. ã. Óå ðïéï óçìåßï äéáóôáõñþíïíôáé ïé ôñï÷éÝò ôùí êéíçôþí ê1, ê2 ;

Ã103. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ïéêïíïìéêÞ ðïñåßá ìéáò åðé÷åßñçóçò.

á. Ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò ë, â. â. Óå ðüóïõò 0 C áíôéóôïé÷åß ç èåñìïêñáóßá 00 F . ã. Óå ðïéá èåñìïêñáóßá óõìðßðôïõí ïé âáèìïß Celcius, Farenheit.

Ã 99. Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò þóôå: á. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(2,3) êáé íá åßíáé êÜèåôç ìå ôçí åõèåßá: x + 3y − 2 = 0 . â. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(-1,2) êáé íá åßíáé ðáñÜëëçëç ìå ôçí åõèåßá 3 ( x − 2y ) − 5 = 2y + 1 .

Íá âñåßôå: á. Ôéò åîéóþóåéò åõèåéþí ôùí åóüäùí (å1), åîüäùí (å2). â. Ôá Ýóïäá êáé ôá Ýîïäá ôçò åðé÷åßñçóçò ôïí ôÝôáñôï ÷ñüíï ëåéôïõñãßáò ôçò. ã. Ðüôå ç åðé÷åßñçóç Üñ÷éóå íá ðáñïõóéÜæåé êÝñäç; ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

182

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

f ( x ) = αx 2 , α ∈ R * 1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé 3. Óõììåôñßåò: Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé Üñôéá êáé åðïìÝíùò Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïõ Üîïíá y ' y .

αν α < 0 είναι f ( R ) = (−∞, 0] 4. Óýíïëï ôéìþí:  αν α > 0 είναι f ( R ) = [0, +∞)

  αν α < 0 είναι  5. Ìïíïôïíßá:   αν α > 0 είναι  

f γν. αύξουσα στο (−∞, 0]  f γν. φθίνουσα στο[0, +∞)

f γν. φθίνουσα στο ( −∞, 0] 0 < α1 < α 2 < α 3 ïé áíôßóôïé÷åò ãñá f γν. αύξουσα στο[0, +∞) öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá. 6. 1-1: Ç f äåí åßíáé 1-1 óôï Α f = R  αν α < 0 η f παρουσιάζει για x = 0  µέγιστη τιµή f ( 0 ) = 0  7. Áêñüôáôá:   αν α > 0 η f παρουσιάζει για x = 0  ελάχιστη τιµή f ( 0) = 0   y ' y στο σηµείο ( 0, 0) x ' x στο σηµείο ( 0, 0)

8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò: 

áí α 3 < α 2 < α1 < 0 ïé áíôßóôïé÷åò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá.

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

áí á > 0

áí á < 0

183

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

i. Ná âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâï-

ii. ¸÷ïõìå

ëÞò ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï O ( 0, 0) ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï A (1, 4) . ii. Óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò ðïõ Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôï óõììåôñéêü ó÷Þìá áõôÞò ôïõ åñùôÞìáôïò (i), ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ′x .

Ëýóç i. O ôýðïò ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé

Ôï óõììåôñéêü ôïõ A (1, 4) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ′x åßíáé ôï óçìåßï A′ (1, −4) .Ç åîßóùóç

y = αx 2 êáé åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï

ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé y = αx 2 êáé

A (1, 4) éó÷ýåé 4 = α ⋅12 äçë. α = 4 .

åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï A′ (1, −4) éó÷ýåé

¢ñá åßíáé y = 4x 2 .

−4 = α ⋅12 äçë. α = −4 . ¢ñá åßíáé y = −4x 2 .

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã104. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáâïëÝò

ψ = −2x 2

êáé ψ = 2x óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí. Ðïéá ó÷Ýóç Ý÷ïõí ìåôáîý ôïõò ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí äýï ðáñáâïëþí; 2

Ã105. Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò ðáñïõóéÜæïõí ìÝãéóôï êáé ðïéåò åëÜ÷éóôï; 1 3 á. ψ = − x 2 â. ψ = 2x 2 ã. ψ = ( −1) x 2 2

Ã106. Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ

ψ = α ⋅ x 2 . Íá âñåßôå ôïí á, áí ç ðáñáâïëÞ äéÝñ÷åôáé áðü

ôï óçìåßï ( −3, −27 ) . Óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ó÷åäéÜóåôå.

Ã107. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ

ψ = αx 2 , áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï

 1 M  1,  .  4 Ã108. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ ψ = 3 x 2 êáé 4

−4 ≤ x ≤ 4 êáé Ýðåéôá íá ó÷åäéáóôåß ç óõììåôñéêÞ ôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ′x êáé íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò áõôÞò.

Ã109. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ( x ) = ( k − 2 ) x 2 . Áí åßíáé f ( 2 ) − 3f (1) = 2 , íá âñåèåß ôï k êáé Ýðåéôá íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f.

Ã110. Íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ψ = κx 2 + λ áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé áðü ôï óçìåßï Μ ( 3,3) .

Ã111. Èåùñïýìå ôçí åõèåßá ( ε ) : ψ = λx − 2 êáé ôçí ðáñáâïëÞ ( c ) : ψ = 2x 2 . Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ ∈ R þóôå ç åõèåßá (å) íá Ý÷åé ìå ôçí ðáñáâïëÞ (c) i. ¸íá êïéíü óçìåßï ii. Äõï êïéíÜ óçìåßá iii. ÊáíÝíá êïéíü óçìåßï ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

184

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

f ( x ) = αx 2 + βx + γ, α ≠ 0 ÐñïêåéìÝíïõ íá äéåõêïëõíèïýìå óôç ìåëÝôç ôïõ ôñéùíýìïõ, åßíáé óêüðéìï íá ôï ìåôáó÷çìáôßóïõìå áëãåâñéêÜ ùò åîÞò: Áí x ∈ R åßíáé: f ( x ) = αx 2 + βx + γ β γ  = α  x2 + x +  α α 

(áöïý α ≠ 0 ) (óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíùí)

2 2  β  β   β  γ = α x2 + 2 x +   −   +  2α  2α   2α  α  

2  β  γ β2  = α  x +  + − 2  2α  α 4α  

 β  4αγ − β 2  = α  x +  +  2α  4α 2   2

(1)

Èá äïýìå óôç óõíÝ÷åéá üôé ç ðïóüôçôá β 2 − 4αγ , ðáßæåé óçìáíôéêü ñüëï êáé åìöáíßæåôáé óõ÷íÜ, óôéò äéÜöïñåò öÜóåéò ôçò ìåëÝôçò ôïõ ôñéùíýìïõ. Ãéá ôï ëüãï áõôü ôç óõìâïëßæïõìå éäéáßôåñá ìå ôï Ä êáé ôçí êáëïýìå äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéùíýìïõ. ÈÝôïõìå ëïéðüí: ∆ = β 2 − 4αγ êáé áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå üôé: 2  β  ∆  f ( x ) = αx 2 + βx + γ = α  x +  − 2  , ãéá êÜèå x ∈ R 2α  4α  

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé 3. Óõììåôñßåò: Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá x 0 = −

β . 2α

  4αγ − β 2  αν α < 0 είναι f ( R ) =  −∞,  4α    4. Óýíïëï ôéìþí:  2 αν α > 0 είναι f ( R ) =  4αγ − β , + ∞      4α  

   η f αν α < 0   η f    Ìïíïôïíßá:    η f   αν α > 0   η f   

β   είναι γν. αύξουσα στο  −∞, −  2α    β  είναι γν. φθίνουσα στο  − , + ∞   2α  β   είναι γν. φθίνουσα στο  −∞, −  2α    β  είναι γν. αύξουσα στο  − , + ∞   2α 

(2)

185

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï Α f = R . β  αν α < 0 η f παρουσιάζει για x = − 2α  2 ∆  β  4αγ − β  µέγιστη τιµή f − = =−    4α 4α  2α  7. Áêñüôáôá :  β αν α > 0 η f παρουσιάζει για x = −  2α  β 4αγ − β 2 ∆    =− ελάχιστη τιµή f  −  = 4α 4α  2α  

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: y ' y   x ' x     

στο σηµείο ( 0, γ )  −β − ∆   −β + ∆  i Aν ∆ = β 2 − 4αγ > 0 στα σηµεία  , 0 ,  , 0  2α   2α   −β  2 , 0 i Αν ∆ = β − 4αγ = 0 στο σηµείο   2α  i Αν ∆ = β 2 − 4αγ < 0 δεν τέµνει τον x ' x

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò: 10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

Óôçí ðåñßðôùóç (1): y 0 < 0 êáé åëÜ÷éóôï

Óôçí ðåñßðôùóç (2): y 0 > 0 êáé ìÝãéóôï

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

186

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Óôçí ðåñßðôùóç (3): y 0 = 0 êáé åëÜ÷éóôï

Óôçí ðåñßðôùóç (4): y 0 = 0 êáé ìÝãéóôï

Óôçí ðåñßðôùóç (5): y 0 > 0 êáé åëÜ÷éóôï

Óôçí ðåñßðôùóç (6): y 0 < 0 êáé ìÝãéóôï

Ãéá íá ó÷åäéÜóïõìå ôçí ðáñáâïëÞ f ( x ) = αx 2 + βx + γ : i. Áíáãíùñßæïõìå ôá: á (óõíôåëåóôÞò ôïõ x 2 ) â (óõíôåëåóôÞò ôïõ x) ã (óôáèåñüò üñïò)

 β 4αγ − β 2  ii. Aí α ≠ 0 õðïëïãßæïõìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôçò êïñõöÞò K  − ,  4α   2α iii. “Ôïðïèåôïýìå” ôçí êïñõöÞ Ê óôï åðßðåäï Oxy êáé öÝñíïõìå ôçí åõèåßá x = −

β ðïõ åßíáé 2α

ï Üîïíáò óõììåôñßáò. iv. ÁíÜëïãá ìå ôï áí ôï á åßíáé èåôéêüò Þ áñíçôéêüò, åíôïðßæïõìå ôï çìéåðßðåäï ðïõ ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôçí åõèåßá y =

4αγ − β 2 óôï ïðïßï èá âñßóêåôáé ôï ãñÜöçìá ôïõ ôñéùíýìïõ. 4α

(Áí ôï α > 0 , ôï ãñÜöçìá èá âñßóêåôáé “ðÜíù” áðü ôçí åõèåßá y = âñßóêåôáé “êÜôù” áðü áõôÞí).

4αγ − β 2 , åíþ áí α < 0 èá 4α

187

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

v. Ôï ãñÜöçìá ôçò ðáñáâïëÞò ÄÅÍ ìðïñåß íá ó÷åäéáóôåß “åðáêñéâþò” (üðùò ð.÷. ôçò åõèåßáò áðü äýï óçìåßá ôçò ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ êáíüíá).ÓõíÞèùò “äßíïõìå” ôéìÝò óôï x êáé õðïëïãßæïõìå ôá f ( x ) . Óôïí ðßíáêá óåë.188 óõãêåíôñþóáìå üóá áöïñïýí óôï ôñéþíõìï êáé ôçí äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç.

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá ãßíåé ìåëÝôç êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f(x) = -3x2 + 2x + 1

å. Óçìåßá ôïìÞò ìå ôïõò Üîïíåò: 1. Ìå ôïí x´x: ãéá y = 0, Ý÷ïõìå: -3x2 + 2x + 1 = 0

Ëýóç Ç f(x) ðáñéóôÜíåé ðáñáâïëÞ ãéá ôçí ïðïßá Ý÷ïõìå: • á = -3 < 0

• −

β 2 1 =− = 2α 2(−3) 3

• Ä = 22 - 4(-3) · 1 = 4 + 12 = 16

∆ 16 4 • − 4α = − 4(−3) = 3

-2 ± 16 −2 ± 4 = −6 2(-3) −2 + 4 2 −2 − 4 −6 1 = = − , x2 = = =1 x1 = −6 −6 −6 −6 3 x1,2 =

¢ñá ôÝìíåé ôïí x´x óôá óçìåßá:

 1  Á  − , 0  , Â(1, 0)  3  2. Ìå ôïí y´y: Ãéá x = 0 Ý÷ïõìå y = −3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 + 1 ⇔ y = 1

á. Ðåäßï ïñéóìïý: Eßíáé ôï R = (-∞, +∞) â. Ìïíïôïíßá: ÅðåéäÞ á = -3 < 0 ç f åßíáé ãíçóßùò 1 áýîïõóá óôï  −∞,  êáé ãíçóßùò öèßíïõóá 3  1  óôï  , +∞  3 

¢ñá ôÝìíåé ôïí y´y óôï Ã(0,1) óô. ¢îïíáò óõììåôñßáò: Åßíáé ç åõèåßá β 1 = 2α 3 æ. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: Ìå ôç âïÞèåéá üëùí ôùí ðáñáðÜíù Ý÷ïõìå ôçí åðüìåíç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç. x=−

ã. Áêñüôáôá: Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï óôï x=−

∆ 4 β 1  β  1 = ôï y = f  -  = f   = − = 2α 3 4α 3  2α  3

ä. ÊïñõöÞ: åßíáé ôï óçìåßï

∆  1 4  β K− ,−  =  ,   2α 4α   3 3 

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

188

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Åîßóùóç αx + βx + γ = 0 2

2 ñßæåò Üíéóåò

ÌïñöÝò ôñéùíýìïõ

αx 2 + βx + γ =

ÓõíÜñôçóç

Áíßóùóç

f (x) > 0

f ( x ) = αx + βx + γ 2

f (x) < 0

Ëýóåéò

x < ρ1 Þ

ρ1 < x < ρ 2

x > ρ2

1 −β ± ∆ α x − ρ x − ρ ( 1 )( ρ1 ,ρ 2 = 2) 2α 2 2 ∆ = β − 4αγ 

ρ1 < x < ρ 2

–

x < ρ1 Þ x > ρ2

ñßæá äéðëÞ

ρ1 = ρ 2 =

−β = x0 2α

β   = α x +  2α  

–

ÐáñáôçñÞóåéò:

∅ 4

∆ = β 2 − 4αγ 

Äåí Ý÷åé ñßæåò óôï R

x ∈ R − {x 0 }

 β  ∆  =α  x +   + 2α  4α 2  

–

∅

x ∈ R − {x 0 }

x∈R

∅

x∈R

Äåí áíáëýåôáé óå ãéíüìåíï ðñùôïâÜèìéùí ðáñáãüíôùí

1 2

–

∆ . 4α ∆ 2. Óôï x 0 ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôç ôéìÞ ôçí f ( x 0 ) = − . 4α 3. Ôá ρ1 êáé ρ 2 åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò: αx 2 + βx + γ = 0 .

1. Óôï x 0 ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçí f ( x 0 ) = −

4. Ôï x 0 = −

β . 2α

189

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f ãéá ôçí ïðïßá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé ç ðáñáâïëÞ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.

Ëýóç

Åßíáé ôçò ìïñöÞò f(x) = á÷(x – 4) (1) Áöïý äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Ê(2, 3) ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ åðáëçèåýïõí ôçí (1). ÄçëáäÞ

1 1 β 6 ⋅1 1 6 λ=− =− =− 6 =+ = . 13 2α 6 13 13 ⋅  13  − 2 −  6 12   1 ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f ãß¢ñá ãéá λ = 13 íåôáé ìÝãéóôï.

3 2α(2 − 4) = 3 ⇔ −4α = 3 ⇔ α = − 4

3 3 ¢ñá ç f(x) = − x(x − 4) = − x 2 + 3x 4 4 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: f(x) = 3x2 - (ë - 1)x - ë2 + 1. Íá âñåßôå ôï ë þóôå ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f íá ãßíåôáé ìÝãéóôï.

Ëýóç

Äßíåôáé ôï ôñéþíõìï f(x) = 3x 2 -4(2α + β)x + α-3β . Íá âñåßôå

ôá á, â þóôå íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü -2 êáé óõã÷ñüíùò íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.

Ëýóç • Áöïý ôï -2 åßíáé ñßæá ôïõ f(x) éó÷ýåé: f(-2) = 0 ⇔ 3 ( -2 ) - 4 ( 2α + β )( -2 ) + α - 3β = 0 ⇔ 2

⇔ 3 ⋅ 4 + 8 ( 2α + β ) + α - 3β = 0 ⇔ ⇔ 12 + 16α + 8β + α - 3β = 0 ⇔ 17α + 5β = -12 (1) • Ôï ôñéþíõìï ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3. ÅðåéäÞ ôï åëÜ÷éóôï ôï ðáñïõóéÜæåé óôï x=

Ý÷ïõìå:

Ç óõíÜñôçóç f(x) åßíáé ðáñáâïëÞ ìå á = 3 > 0. ¢ñá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ßóï ìå:

( λ − 1) − 4 ⋅ 3(−λ 2 + 1) ∆ − =− = 4α 4⋅3 2

=−

λ 2 − 2λ + 1 − 12(− λ 2 + 1) = 12

=−

λ 2 − 2λ + 1 + 12λ 2 − 12 = 12

=−

13λ 2 − 2λ − 11 13 2 11 = − λ2 + λ + 12 12 12 12

Ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f(x) åßíáé ôñéþíõìï ôïõ 13 2 1 11 λ + λ+ 12 6 12 Ôï g(ë) ãßíåôáé (ðáñïõóéÜæåé) ìÝãéóôï üôáí

ë ìå á < 0 ôï g(λ) = -

−  −4 ( 2α + β )  2⋅3

−  −4 ( 2α + β )  = 6 ⋅ 3 ⇔ 4 ( 2α + β ) = 18 ⇔ 8α + 4β = 18 ⇔ 4α + 2β = 9 (2) Áðü (1) êáé (2) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá: 17α + 5β = −12   4α + 2β = 9  69 201  Áðü üðïõ ðñïêýðôåé (á, â) =  − , .  14 14 

Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ f(x) = x2 + (k + 2)x + k + 2 Íá âñåßôå ôï k óå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò: á. áí åöÜðôåôáé óôïí x´x.

â. áí ôÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá. ã. áí äåí ôÝìíåé ôïí x´x. ä. áí Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí x = 3. ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

190

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

å. áí ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x = 5. óô. áí Ý÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8. æ. áí ôÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0). ç. áí ôÝìíåé ôïí y´y óôï Â(0, 5).

Ëýóç Åßíáé ∆ = ( κ + 2 ) − 4 ⋅1 ⋅ ( κ + 2 ) = κ 2 − 4 2

f(3) = 0 ⇔ 32 + ( κ + 2 ) ⋅ 3 + κ + 2 = 0 ⇔ κ = − ç. ÔÝìíåé ôï y´y óôï Â(0, 5) ¢ñá:

f(0) = 5 ⇔ 02 + ( κ + 2 ) ⋅ 0 + κ + 2 = 5 ⇔ κ = 3

á. ÅöÜðôåôáé óôïí x´x. ¢ñá:

∆ = 0 ⇔ κ 2 − 4 = 0 ⇔ κ 2 = 4 ⇔ κ = ±2 â. ÔÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá. ¢ñá: ∆ > 0 ⇔ κ 2 − 4 > 0 ⇔ κ 2 > 4 ⇔

κ 2 > 4 ⇔ κ > 2 ⇔ κ > 2 ή κ < −2

17 4

Äßíåôáé ç åõèåßá y = x + 1 (1) êáé ôï óçìåßï Á(2, 1). Íá âñåßôå åêåßíï ôï óçìåßï Ì(x, y) ôçò åõèåßáò ðïõ ç áðüóôáóç (ÁÌ) åßíáé ç åëÜ÷éóôç. Ðïéá åßíáé áõôÞ;

Ëýóç Ç áðüóôáóç (ÁÌ) åßíáé ßóç ìå: (1)

(AM) = (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = (x − 2) 2 + (x + 1 − 1) 2 =

ã. Äåí ôÝìíåé ôïí x´x. 2 ¢ñá: ∆ < 0 ⇔ κ < 4 ⇔ κ < 2 ⇔ −2 < κ < 2

ä. ¸÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá x=3. ¢ñá: β κ+2 =3⇔ − = 3 ⇔ κ = −8 2α 2 ⋅1 å. ÐáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x=5. ¢ñá: x =3⇔-

β κ+2 =5⇔− = 5 ⇔ κ = −12 2α 2 ⋅1 óô. ¸÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8. ¢ñá: x=5⇔−

∆ ∆ = −8 ⇔ = 8 ⇔ κ 2 = 36 ⇔ κ = ±6 4α 4 ⋅1 æ. ÔÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0). ¢ñá: −

= x 2 − 4x + 4 + x 2 = 2x 2 − 4x + 4

ÄçëáäÞ: (AM) = 2x 2 − 4x + 4 . ÁõôÞ ãßíåôáé åëÜ÷éóôç üôáí êáé ôï ôñéþíõìï: 2x2 - 4x + 4 ãßíåé åëÜ÷éóôï äçëáäÞ üôáí x = −

−4 β =− ⇔ x =1 2α 2·2

Ãéá x = 1 ç (1) ãßíåôáé: y = 1 + 1 = 2. ¢ñá ôï æçôïýìåíï óçìåßï åßíáé ôï Ì(1, 2) Ãéá x = 1 ç áðüóôáóç åßíáé: (AM) = 2 ⋅12 − 4 ⋅1 + 4 = 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 112.Íá

âñåßôå óôéò ðáñáêÜôù ðáñáâïëÝò,

ôçí êïñõöÞ, ôïí Üîïíá óõììåôñßáò, ôá óçìåßá óôá ïðïßá ïé ðáñáâïëÝò ôÝìíïõí ôïõò Üîïíåò, ôï ìÝãéóôï Þ ôï åëÜ÷éóôï êÜèå óõíÜñôçóçò êáèþò êáé ôçí ôéìÞ ôïõ x ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé áõôü êáé íá ôéò ó÷åäéÜóåôå: á. y = − x 2 − x + 6 â. y = x 2 + x − 20 ã. y = x 2 − 3x − 28 ä. y = x 2 − x + 1 å. y = x 2 − 5x , ãéá −1 ≤ x ≤ 6 æ. y = 4x − x 2 , ãéá −2 ≤ x ≤ 4

Ã113. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ y = x 2 − 7x + 2κ , áí áõôÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Α ( 3, −6 ) .

Ã 114. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ( x ) = ( λ2 − 4 ) x 2 + λx − 3, λ ≠ ±2 .

Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ ∈ R − {±2} þóôå ç

f ( x ) íá ðáñïõóéÜæåé: i. ÅëÜ÷éóôï

ii. ÌÝãéóôï

191

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

Ã115. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï

λ ∈ R , þóôå ç óõ-

ii. Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé åõèåßá ðïõ åöÜðôåôáé óõã÷ñüíùò óôéò ðáñáðÜíù ðáñáâïëÝò.

íÜñôçóç:

f ( x ) = ( λ + 2 ) x 2 + λx − 1, λ ≠ −2 íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ôï -2.

Ã116.

Íá âñåèåß ï λ ∈ R þóôå ç åõèåßá

Ã118. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò ( c1 ) : ψ = x 2 + x − 2 êáé ( c2 ) : ψ = −x 2 − 2x + 3

ψ = λx − 2 íá åßíáé åöáðôïìÝíç ôçò ðá-

ôÝìíïíôáé óå äõï óçìåßá, ôá ïðïßá ìáæß ìå ôéò êïñõöÝò ôùí ðáñáâïëþí ó÷çìáôßæïõí ðáñáëëçëüãñáììï.

ñáâïëÞò ψ = x − x − 1 . Ðïéï åßíáé ôï óçìåßï åðáöÞò; 2

Ã 117.

i. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò:

( c1 ) : ψ = x 2

êáé

( c2 ) : ψ = −x 2 − 4x − 5

äåí Ý÷ïõí êáíÝíá êïéíü óçìåßï.

Ã119.

Äßäåôáé óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) = αx 2 − 1 . Íá âñåèåß ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ α ∈ R ôï

óçìåßï A ( 3,5 ) , áíÞêåé óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò.

f ( x ) = αx 3 α ≠ 0 1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé. 3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò ôï óçìåßï 0 ( 0, 0 ) .

4. Óýíïëï ôéìþí: f ( R ) = R αν α < 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο Α f = R αν α > 0 η f είναι γν. αύξουσα στο Α f = R

5. Ìïíïôïíßá: 

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï Α f = R 7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé  y ' y στο σηµείο 0 ( 0, 0 )

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: 

x ' x στο σηµείο 0 ( 0, 0 )

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

192

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 120. Íá ìåëåôÞóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç óõíÜñôçóç f ( x ) = λ ( x 3 + 1) , ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ áñéèìïý ë.

f ( x) =

α , α≠0 x

1. Ðåäßï ïñéóìïý: R* 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé. 3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò ôï óçìåßï 0 ( 0, 0 ) .

4. Óýíïëï ôéìþí: f ( R *) = R * . αν α < 0 η f  ηf 5. Ìïíïôïíßá:  αν α > 0 η f  ηf 

είναι γν. αύξουσα στο ( −∞, 0 ) είναι γν. αύξουσα στο ( 0, + ∞ ) είναι γν. φθίνουσα στο ( −∞, 0) είναι γν. φθίνουσα στο ( 0, + ∞ )

6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï Α f = R * . 7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé 8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:  y ' y :∆εν τέµνει τον άξονα y ' y σε κανένα σηµείο  x ' x :∆εν τέµνει τον άξονα x ' x σε κανένα σηµείο

Ïé Üîïíåò y ' y, x ' x áðïôåëïýí áóýìðôùôåò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f.

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

193

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã121.

Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí:

1 á. y = x

â. x ⋅ y = 6

ã. x ⋅ y = −3

2−α . Ãéá ðïéåò x ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õðåñâïëÞò âñß-

Ã122. Äßíåôáé ç õðåñâïëÞ

óêïíôáé óôï 1ï êáé óôï 3ï ôåôáñôçìüñéï;

Ã123. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õðåñâïëÞò

Ã124.

Ã 126.

Ç åõèåßá y = 4 ôÝìíåé ôçí õðåñâïëÞ

1 α ó’ Ýíá óçìåßï ìå ôåôìçìÝíç . Íá 2 x âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ó÷åäéÜóåôå. y=

Ã127. Áí ç ãñáöéêÞ ôçò f ( x ) = ( 2λ + 1) x 2 , äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï A (1,3) íá ðáñáóôÞóåôå g(x) =

ãñáöéêÜ λ −3 x

ôç

óõíÜñôçóç

 α −1 3 − α  1 y= − ⋅ 3  x  2 âñßóêïíôáé óôï 2ï êáé óôï 4ï ôåôáñôçìüñéï;

Ã128.á. Óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-

1 ìå x

2  ìåôáâëçôü óçìåßï K  α, −  , α > 0 . α 

Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y =

x < 0 äßíåôáé óå Ýíá áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá:

2 óçò f ( x ) = − , x ≠ 0 ðáßñíïõìå ôï x

Áí Ë åßíáé ôï óõììåôñéêü ôïõ Ê ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ Ο ( 0, 0 ) ôïõ êáñôåóéáíïý óõóôÞìáôïò óõíôåôáãìÝíùí Οxy , íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ á þóôå ç áðüóôáóç (ÊË) íá åßíáé åëÜ÷éóôç.

Íá óçìåéþóåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.

Ã125. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ á þóôå ç õðåñâïëÞ y =

( α − 1) ⋅ ( 2 − α ) 3

â. Íá åîåôÜóåôå ôç óõíÜñôçóç:

g ( x ) = x3 ⋅ f ( x ) ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá, íá âñåßôå ôï

1 ⋅ íá äéÝñ÷åx

ôáé áðü ôï óçìåßï ( −1,1) .

óýíïëï ôéìþí ôçò êáé ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñôçóçò áí õðÜñ÷ïõí. ã. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí

f ( x ) êáé g ( x ) .

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

194

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

f ( x) = x 1. Ðåäßï ïñéóìïý: R 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé. 3. Óõììåôñßåò: åßíáé Üñôéá Üñá Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïí y´y. 4. Óýíïëï ôéìþí: f ( R ) = [0, + ∞ ) H f είναι γν. φθίνουσα στο ( −∞ 0]

5. Ìïíïôïíßá: H f είναι γν. αύξουσα στο 0, + ∞ ) [  6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï Α f = R

7. Áêñüôáôá: Ãéá x = 0 ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ f ( 0) = 0 .  y ' y στο σηµείο ( 0, 0)

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: x ' x στο σηµείο ( 0, 0) 

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã129.

óåéò: á. f ( x ) =

Ã 130.

ii. g ( x ) = x + 3 − x 2

Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞx x

iii. t ( x ) = x 2 − 4 x − 5

â. f ( x ) = x 2 ⋅ x

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

5 1 + x− + x−2 2 2 á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò. â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç f ( x ) = 10 . f (x) = x +

ã. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç f ( x ) ≤ −2 .

Ã 132.

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

f ( x ) = λ x + 1 + x −1 + ( 2 − λ ) x − λ −1 . á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò. â. Óå ðïéá äéáóôÞìáôá ôïõ ðåäßï ïñéóìïý ôçò ç óõíÜñôçóç f åßíáé áíåîÜñôçôç ôïõ ë;

Ã131. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞóåéò i. f ( x ) = x 2 − x − 1

ã. Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò üôáí

x = λ ìå λ > 1 .

195

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

f ( x) = x 1. Ðåäßï ïñéóìïý: [0, + ∞ ) 2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé. 3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé. 4. Óýíïëï ôéìþí: f ([0, + ∞ )) = [0, + ∞ ) 5. Ìïíïôïíßá: ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Α f = [0, + ∞ ) 6. 1-1: ç f åßíáé 1-1 óôï Α f = [0, + ∞ ) 7. Áêñüôáôá: ç f ðáñïõóéÜæåé ãéá x = 0 åëÜ÷éóôç ôéìÞ f ( 0) = 0  y ' y στο σηµείο ( 0, 0)

8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: x ' x στο σηµείο ( 0, 0) 

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò: 10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = x

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 133.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = x − 3x + 2 .

Ã 135.

Íá ãñáöïýí ïé ôýðïé ôùí óõíáñôÞóåùí:

Ã134. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = x − 1 åßíáé ìéá êáìðýëç C. Íá âñåßôå åêåßíï ôï óçìåßï ôçò C ðïõ áðÝ÷åé ôçí åëÜ÷éóôç áðüóôáóç áðü ôï óçìåßï

f (x) =

x2 x 2 + 4x + 4 êáé − x x+2

2 4 g ( x ) = 5 ( x − 2 ) − 3 4 ( x + 3) + 10 x 2 + 2x + 1

óå áðëïýóôåñç ìïñöÞ. (âë. áóê. Á7.1)

A ( 3, 0 ) . ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

196

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

f ( x) = α x , 0 < α ≠ 1 1. Ðåäßï ïñéóìïý: 2. Ðåñéïäéêüôçôá : 3. Óõììåôñßåò: 4. Óýíïëï ôéìþí: 5. Ìïíïôïíßá:

R Äåí ðáñïõóéÜæåé Äåí Ý÷åé

f ( R ) = ( 0, +∞ )

É. Áí α > 1 åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ: Áí x1 < x 2 ôüôå α x1 < α x 2 . Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï −∞ ôïí áñíçôéêü çìéÜîïíá Ïx΄. ÉÉ. Áí 0 < α < 1 åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ: Áí x1 < x 2 ôüôå α x1 > α x 2 . Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï +∞ ôïí èåôéêü çìéÜîïíá Ïx.

6. 1 − 1 : åßíáé äéüôé ãéá ôç óõíÜñôçóç f ( x ) = α x ìå 0 < α ≠ 1 êáé x ∈ R éó÷ýåé α x1 = α x 2 ⇔ x1 = x 2 ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R .

7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé 8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñ. ðáñÜóôáóç: ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,1) åíþ äåí Ý÷åé êïéíÜ óçìåßá ìå ôïí Üîïíá x’x , áöïý α x > 0 ãéá êÜèå x ∈ R .

9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

197

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:

1 −x f ( x ) = 4x , g ( x ) =   , φ ( x ) = 4 4

Ëýóç Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí x

1 1 =   = α− x αx  α  ìå α > 0 êáé α ≠ 1 åßíáé óõììåôñéêÝò ìå Üîïíá óõììåôñßáò ôïí y′ y . y = α x êáé y =

óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f , åßíáé: f (1) = 3 ⇔ 4α + 2α +1 = 3 ⇔ 2 2α + 2 ⋅ 2α − 3 = 0

ÈÝôïõìå y = 2α êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

−2 ± 16 ⇔ 2 y = 1 Þ y = −3 (ðïõ áðïññßðôåôáé áöïý y>0).

y 2 + 2y − 3 = 0 ⇔ y =

Ìå y = 1 ⇔ 2α = 1 = 20 ⇔ α = 0 . ¢ñá f (x) = ( 40 + 21 ) = 3x , µε x ∈ » x

â. ¸÷ïõìå 1 x ⋅ 3 − 28 = 0 3 ÈÝôïõìå: 3x = y > 0 êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé: 3x −1 + 32x +1 = 28 ⇔ 3 ⋅ 32x +

ÅðåéäÞ ãéá êÜèå x ∈ R éó÷ýåé: 4

x 1 g ( x ) =   = ( 4−1 ) = 4− x = f ( − x ) 4 ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g åßíáé óõììåôñéêÝò ùò ðñüò ôïí y′ y . x

1 1 ÅðåéäÞ: φ ( x ) = 4− x = x =   = g ( x ) , ãéá êÜèå 4 4 x ∈ R , ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö(÷) ôáõôßæåôáé ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g(÷). (âëÝðå ó÷Þìá).

1 3y 2 + y − 28 = 0 ⇔ 9y 2 + y − 84 = 0 ⇔ 3 28 (ðïõ áðïññßðôåôáé) 9 Ìå y = 3 ⇔ 3x = 31 ⇔ x = 1 .

y=3

y=−

¸íáò âéïëüãïò ìåëåôþíôáò ôçí áíÜðôõîç åíüò åßäïõò âáêôçñéäßùí ðáñáôçñåß üôé:

• óå 2 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñçóçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 400 • óå 4 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñçóçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 3200 Åíþ ï ôýðïò ðïõ äßíåé ôïí áñéèìü ôùí âáêβt ôçñéäßùí åßíáé: q ( t ) = A ⋅ 2 , ìå t ≥ 0 ôïí

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: f (x) = ( 4α + 2α + 1 )

µε x ∈ »

á. Áí ôï óçìåßï Ì(1,3) áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f, âñåßôå ôï á. â. Ëýóôå ôçí åîßóùóç: f ( x − 1) + f ( 2x + 1) = 28

Ëýóç á. Áöïý ôï óçìåßï Μ (1 , 3) ðñÝðåé íá áíÞêåé

÷ñüíï óå þñåò ìå Á, â èåôéêÝò óôáèåñÝò. i. Âñåßôå ôéò óôáèåñÝò Á êáé â ii. Âñåßôå óå ðüóá ëåðôÜ ï áñ÷éêüò ðëõèõóìüò ôùí âáêôçñéäßùí èá Ý÷åé äéðëáóéáóôåß iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç:

q ( t )  − 5Α ⋅ 22t + 3 − 500 ≥ 0 2

Ëýóç i. Éó÷ýåé: q ( 2 ) = 400 ⇔ A ⋅ 22β = 400 και q ( 4 ) = 3200 ⇔ A ⋅ 24β = 3200 ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

198

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Ìå äéáßñåóç êáôá ìÝëç Ý÷ïõìå:

A ⋅ 24β 3200 3 = ⇔ 22β = 8 = 23 ⇔ 2β = 3 ⇔ β = 2β 400 2 A⋅ 2 ¢ñá: A ⋅ 2

2⋅

3 2

= 400 ⇔ 8Α = 400 ⇔ Α = 50

ii. Éó÷ýåé q ( t ) = 50 ⋅ 2

3 ⋅t 2

µε t ≥ 0 .

Áí t ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá íá äéðëáóéáóôåß ï áñéèìüò ôùí âáêôçñéäßùí ôüôå: 3

⋅t

q ( t ) = 2q ( 0 ) ⇔ 50 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 50 ⇔ 3

⋅t

2 2 = 21 ⇔

3 2 ⋅ t = 1 ⇔ t = ôçò þñáò. 2 3

2 ⋅ 60 = 40 ëåðôÜ èá Ý÷åé äéðëáóéáóôåß 3 ï áñ÷éêüò ðëçèõóìüò ôùí âáêôçñéäßùí .

¢ñá óå

iii. [ q ( t )] − 5Α ⋅ 22t + 3 − 500 ≥ 0 ⇔ 2

⇔ 2500 ⋅ 23t − 5 ⋅ 50 ⋅ 8 ⋅ 22t − 500 ≥ 0 ⇔

 3−α  Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ( x ) =   α+2 ìå α ≠ −2 . Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α ∈ R ãéá ôéò ïðïßåò ç óõíÜñôçóç f:

i. ¸÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R. ii. Åßíáé ãíùóßùò áýîïõóá óôï R. iii. Åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R. iv. Åßíáé 1-1.

Ëýóç i. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R ìüíïí üôáí:

3−α > 0 ⇔ ( 3 − α )( α + 2) > 0 ⇔ −2 < α < 3 α+2 ii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ðñÝðåé êáé áñêåß: 3−α 3−α 3−α −α − 2 >1⇔ −1 > 0 ⇔ >0 α+2 α+2 α+2 1 − 2α 1 ⇔ > 0 ⇔ (1 − 2α )( α + 2 ) > 0 ⇔ −2 < α < α+2 2

iii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ðñÝðåé êáé áñêåß:

⇔ 2500 ⋅ 23t − 2000 ⋅ 22t − 500 ≥ 0 ⇔ ⇔ 5 ⋅ 23t − 4 ⋅ 22t − 1 ≥ 0

•

ÈÝôïõìå: y = 2 t > 0 êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé: ∗

5y3 − 4y 2 − 1 ≥ 0 ⇔ y ≥ 1 ⇔ 2t ≥ 20 ⇔ t ≥ 0 . 3 2 ∗ Ãéá ôï q ( y ) = 5y − 4y − 1 åöáñìüóáìå ôï ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1. [ôï 1 ôï âñÞêáìå äéüôé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ q(y) Ý÷ïõí Üèñïéóìá 0]

3−α 3−α 3−α −α − 2 <1⇔ −1 < 0 ⇔ <0 α+2 α+2 α+2 1 − 2α ⇔ < 0 ⇔ (1 − 2α )( α + 2) < 0 ⇔ α+2 1 ⇔ α < −2 ή α > 2

êáé •

3−α > 0 ⇔ ( 3 − α )( α − 2 ) > 0 ⇔ −2 < α < 3 α+2

1 <α<3 2 iv. Ãéá íá åßíáé ç f 1-1 ðñÝðåé êáé áñêåß: Óõíáëçèåýïíôáò Ý÷ïõìå:

¢ñá q ( y ) = ( y − 1) ⋅ ( 5y 2 + y + 1) . Ôï ðñüóçìï ôïõ q(y) öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

3−α 3−α > 0 και ≠1 α+2 α+2 Þ

−2 < α < 3 και 3 − α ≠ α + 2

−2 < α < 3 και α ≠

−2 < α <

1 2

1 1 ή <α<3 2 2

199

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

 α2 + 1  Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ( x ) =    3α − 1  Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α ∈ R ãéá ôéò ïðïßåò ç óõíÜñôçóç f åßíáé óôáèåñÞ óôï R.

Ëýóç Ãéá íá åßíáé ç óõíÜñôçóç f óôáèåñÞ ðñÝðåé êáé α +1 = 1 ⇔ α 2 + 1 = 3α − 1 ⇔ α 2 − 3α + 2 = 0 3α − 1 2

áñêåß:

Üñá α = 1 ή α = 2 .

Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò: 3x − 1 ii. g ( x ) = x i. f ( x ) = 3e x + 2 − 1 3 +2

x1 = x 2 . ¢ñá ç g åßíáé 1-1.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = ( 1 + x ) . x

Ëýóç Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôçí Ýíùóç

A = A1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 , üðïõ:

A1 = {x ∈ R :1 + x > 0 και x ∈ R} , A 2 = {x ∈ R :1 + x = 0 και x ∈ Q*+ }

A3 = {x ∈ R :1 + x < 0 και x ∈ Z} A 4 = { x ∈ R : x ∈ N* }

Ëýóç

ÅîÜëëïõ, A1 = ( −1, +∞ ) , Α 2 = ∅ ,

Ãéá íá äåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f : A → R åßíáé 1-1 åñãáæüìáóôå ùò åîÞò: 1ïò ôñüðïò Èåùñïýìå x1 , x 2 ∈ A ôÝôïéá þóôå f ( x1 ) = f ( x 2 )

Α 3 = {x ∈ Z : x < −1} êáé A 4 = N* , ïðüôå: A = ( −1, +∞ ) ∪ {x ∈ Z : x < −1}

êáé áðïäåéêíýïõìå üôé x1 = x 2 . 2ïò ôñüðïò Èåùñïýìå x1 , x 2 ∈ A ìå x1 ≠ x 2 êáé áðïäåéêíýïõìå üôé f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ¸óôù x1 , x 2 ∈ R ôÝôïéá þóôå: f ( x1 ) = f ( x 2 ) Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ:

3e 3e

x1 + 2

− 1 = 3e = 3e

x2 +2

−1

x2 +2

e x1 e 2 = e x 2 e 2 e x1 = e x 2 êáé áöïý ç f ( x ) = e x åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå: x1 = x 2 ¢ñá ç f åßíáé 1-1. ii. Ç g ïñßæåôáé óå üëï ôï R. ¸óôù x1 , x 2 ∈ R ôÝôïéá þóôå: g ( x1 ) = g ( x 2 ) Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ: 3 −1 3 −1 = ⇔ 3 x1 + 2 3 x 2 + 2 3 x1 + x 2 + 2 ⋅ 3 x1 − 3 x 2 − 2 = 3 x1 + x 2 − 3 x1 + 2 ⋅ 3 x 2 − 2 x1

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2 ⋅ 3 x = 2 − x ( 1)

Ëýóç

i. Ç f ïñßæåôáé óå üëï ôï R.

x1 + 2

2 ⋅ 3 x1 − 3 x 2 = 2 ⋅ 3 x 2 − 3 x1 ⇔ 3 x1 = 3 x 2 êáé áöïý ç f ( x ) = 3x åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå:

2−x 1 Åßíáé: (1) ⇔ 3x = ⇔ 3x = − x + 1 2 2

( 2)

• Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = 3x ïñßæåôáé óôï R êáé ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R.

1 • Ç óõíÜñôçóç g ( x ) = − x + 1 ïñßæåôáé óôï R 2 êáé ãéá êÜèå x1 , x 2 ∈ R êáé åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R. Áí õðÜñ÷åé ñßæá ôçò (1), áõôÞ åßíáé ìïíáäéêÞ. ÊÜíïíôáò, ëïéðüí, ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f, g äéáðéóôþíïõìå üôé äéÝñ÷ïíôáé êáé ïé äýï áðü ôï óçìåßï (0,1), ïðüôå ï áñéèìüò ÷=0 åßíáé ñßæá ôçò åîßóùóçò f ( x ) = g ( x ) êáé åðïìÝíùò ôçò (2), Üñá êáé ôçò (1).

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

200

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Ç áíßóùóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå x ∈ R êáé áëçèåýåé ãéá åêåßíá ôá ÷ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé: f (x) ≥ g (x) .

Áõôü üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá áëçèåýåé üôáí: x ≥ 0 . ÐñÜãìáôé áöïý ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R, ïðüôå ãéá êÜèå x ≥ 0 , éó÷ýåé: ¿óôå: ç (1) Ý÷åé ôçí ìïíáäéêÞ ñßæá ÷=0.

Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ex ≥ 1 − x

Ëýóç ¸óôù f ( x ) = e x êáé g ( x ) = 1 − x , ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí ïðïßùí öáßíïíôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá:

f ( x ) ≥ f ( 0 ) ⇔ f ( x ) ≥ e0 ⇔ f ( x ) > 1 (1)

Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R, ïðüôå ãéá êÜèå x ≥ 0 , éó÷ýåé: g ( x ) ≤ g (0) ⇔ g ( x ) = 1 − 0 ⇔ g ( x ) ≤ 1 ( 2)

Áðü ôéò (1) êáé (2), Ý÷ïõìå: f (x) ≥ 1 ≥ g (x)

ïðüôå f ( x ) ≥ g ( x ) êáé åðïìÝíùò êÜèå x ≥ 0 åßíáé ëýóç ôçò áñ÷éêÞò áöïý: 0 f ( x ) < f ( 0 ) f ( x ) < e f ( x ) < 1 x≥0⇔ ⇔ ⇔ . g ( x ) > g ( 0 ) g ( x ) > 1 g ( x ) > 1 − 0

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 136.

iii. Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç e x = − x + 1

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

(

f (x) = 3 + 8

) + (3 − 8 ) x

Ý÷åé ìüíï ìßá ñßæá óôï R ôçí x 0 = 0 .

ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R. Íá äåßîåôå üôé: á. ç f åßíáé Üñôéá â. óôï óçìåßï A ( 0, 2 ) ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ç ôåôáãìÝíç 2 åßíáé ç åëÜ÷éóôç.

Ã 138.

 2α + 3  − 4 f (x) =   α −1  Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôïõ α ∈ R þóôå: i. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ðå-

Ã 137. i. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç f åßíáé ãíçóßùò

äßï ïñéóìïý ôçò. ii. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.

ìïíüôïíç óôï R, ôüôå ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé óå Ýíá ôï ðïëý óçìåßï ôïí Üîïíá x ′x . ii. Áí ç f ãíçóßùò áýîïõóá êáé g ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R, íá äåßîåôå üôé õðÜñ÷åé ôï ðïëý Ýíáò áñéèìüò ξ ∈ R , þóôå f (ξ) = g (ξ) .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï

Ã 139.

Áí ç çìéæùÞ åíüò ñáäéåíåñãïý õëéêïý åßíáé 10 ÷ñüíéá, äåßîôå üôé ç óõíÜñôçóç ðïõ åêöñÜæåé ôçí åêèåôéêÞ áðüóâåóç åßíáé: Q ( t ) = Q0 ⋅ 2

−

t 10

201

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

f ( x ) = log α x, 0 < α ≠ 1

( 0, +∞ )

1. Ðåäßï ïñéóìïý: 2. Ðåñéïäéêüôçôá: 3. Óõììåôñßåò:

Äåí ðáñïõóéÜæåé Äåí Ý÷åé

4. Óýíïëï ôéìþí:

f ( ( 0, +∞ ) ) = R

5. Ìïíïôïíßá:

• áí 0 < α < 1 ç f åßíáé ↓ óôï Αf = ( 0, +∞ ) • áí α > 1 ç f åßíáé ↑ óôï Αf = ( 0, +∞ ) Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 − 1 óôï Af = ( 0, +∞ )

6. 1 − 1 : 7. Áêñüôáôá:

Äåí Ý÷åé

 y′y ∆εν τέµνει τον y′y σε κανένα σηµείο

8. Ðïõ ôÝìíåé ôç ãñ. ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:   x ′x Στο σηµείο (1, 0 )

Ï Üîïíáò y′y áðïôåëåß áóýìðôùôç åõèåßá ôçò ãñ. ðáñÜóôáóçò ôçò f.

9. Bïçèçôéêüò ðßíáêáò:

10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç

f ( x ) = ln ( x 2 + 1) åßíáé Üñôéá.

Ëýóç “Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á åßíáé Üñôéá üôáí ãéá êÜèå x ∈ A éó÷ýïõí: i. − x ∈ A

êáé

Åßíáé x 2 + 1 > 0 , ãéá êÜèå x ∈ R . ¢ñá ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï A = R . Ãéá êÜèå x, − x ∈ R Ý÷ïõìå: 2 f ( − x ) = ln ( ( − x ) + 1) = ln ( x 2 + 1) = f ( x ) ¢ñá ç f åßíáé Üñôéá.

ii. f ( − x ) = f ( x ) ” ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

202

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

Íá óõãêñßíåôå ôïõò áñéèìïýò:

i. log 2 5 και log 2 11 ii. log 0,5 7 και log 0,5 20

Ëýóç “Ãéá íá óõãêñßíïõìå ëïãÜñéèìïõò ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá âÜóç óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò ëïãáñéèìéêÞò óõíÜñôçóçò: • Áí α > 1 ç f ( x ) = log α x åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá, Üñá ãéá êÜèå x 1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) ìå x 1 < x 2 éó÷ýåé: f ( x1 ) < f ( x 2 ) .

Íá ëõèåß ç åîßóùóç: log 2 x = − x + 1 ( 1)

Ëýóç

• Áí 0 < α < 1 ç f ( x ) = log α x åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá, Üñá ãéá êÜèå x 1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) ìå

x 1 < x 2 éó÷ýåé: f ( x1 ) > f ( x 2 ) . i. Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = log 2 x åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá, åðïìÝíùò : ìå

5 < 11 åßíáé f ( 5) < f (11)

äçëáäÞ log 2 5 < log l 2 11 . ii. Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = log 0,5 x åßíáé ãíçóßùò

Ó÷åäéÜæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f ( x ) = log 2 x êáé g ( x ) = − x + 1 êáé äéáðéóôþíïõìå üôé ôÝìíïíôáé óôï óçìåßï ìå ôåôìçìÝíç ÷=1. ¢ñá ï áñéèìüò ÷=1 åßíáé ëýóç ôçò (1). ÅîÜëëïõ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá áöïý 2 > 1 êáé ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá áöïý ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõèåßáò y = − x + 1 åßíáé λ = −1 , ïðüôå ç ëýóç ÷=1 åßíáé ìïíáäéêÞ.

öèßíïõóá, åðïìÝíùò: ìå 7 < 20 åßíáé f ( 7 ) > f ( 20) äçëáäÞ log 0,5 7 > log 0,5 20 .

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-

óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò: i. f ( x ) = log 3 x

ii. g ( x ) = log 1 x 3

Ëýóç i. Ç f ïñßæåôáé óôï ( 0, +∞ ) , Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï R, êáé åðåéäÞ α = 3 > 1 åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ( 0, +∞ ) . 1 < 1 ç f ïñßæåôáé óôï ( 0, +∞ ) , 3 Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï R, åßíáé ãíçóßùò öèß-

ii. ÅðåéäÞ 0 < α =

íïõóá óôï ( 0, +∞ ) .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:

f (x) = ln(x + α) + β i. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí Üîïíá x óôï Α ( e − 2 , 0 ) êáé ôïí y ′y óôï

2  B  0 , ln  âñåßôå ôá α,β ∈ » . e  ii. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f . iii. Ó÷åäéÜóôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f.

Á9 Á10 Â7 Â9 Â10

203

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

iv. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò åõèåßáò

y = e f (x) ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ ðïëõùíýìïõ: q(x) =

x3 + x2 + x e

Ëýóç i. ¸÷ïõìå 2 2  B  0 , ln ∈ C f ⇔ f (0) = ln ⇔ e e  2 2 ln α + β = ln ⇔ ln α + ln eβ = ln ⇔ e e ln ( αeβ ) = ln

2 2 2 ⇔ αeβ = ⇔ α = β+1 e e e

iv. Éó÷ýåé:

y = e f (x ) = e ln(x + 2) −1 = e ln(x + 2) − ln e = =

x3 + x2 + x x + 2 = ⇔ x3 + x2 − 2 = 0 e e

êáé

Α ( e − 2 , 0 )∈ Cf ⇔ f (e − 2) = 0 ⇔ ln ( e − 2 + α ) + β = 0 ⇔ ln ( e − 2 + α ) = −β ⇔

 x+2  ln    e 

x+2 e Ïðüôå ëýíïõìå ôçí åîßóùóç: =e

Ãéá ôï G(x) = x 3 + x 2 − 2 åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1 êáé Ý÷ïõìå:

ln ( e − 2 + α ) = ln ( e −β ) ⇔ e − 2 + α = e −β ⇔ 2 1 2 1 e − 2 + β+1 = β ⇔ e − 2 + β = β e e e ⋅e e ÈÝôïõìå: y = eβ êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

2 1 = ⇔ e ⋅ ( e − 2) ⋅ y + 2 = e ⇔ e⋅ y y 1 e ⋅ ( e − 2) ⋅ y = e − 2 ⇔ y = ⇔ e ⇔ e β = e − 1 ⇔ β = −1

¢ñá ( x − 1) ⋅ ( x 2 + 2x + 2) = 0 ⇔ x = 1 .

e−2+

Ôüôå α =

2 = 2 êáé f (x) = ln(x + 2) − 1 e0

ii. ÅðåéäÞ x + 2 > 0 ⇔ x > −2 , ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï ( −2, +∞ ) .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: f ( x ) =

ln x 1 − ln x

i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f. ii. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðá-

Á10 Â9

ñÜóôáóçò ôçò f ìå ôçí åõèåßá y = 1 iii. Âñåßôå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x′x .

Ëýóç iii. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y = ln x ç ïðïßá üìùò åßíáé ìåôáôïðéóìÝíç: • Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá. • Ïñéæüíôéá ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.

i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f èá ðñïêýøåé áðï ôçí åðßëõóç ôïõ óõóôÞìáôïò:

x > 0 x > 0 ⇔ ⇔  1 − ln x ≠ 0 1 ≠ ln x x > 0 ⇔ ⇔0<x≠e x ≠ e ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

204

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10

¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:

Ëýóç

A = ( 0, e ) ∪ ( e, +∞ )

i. ÐñÝðåé

ii. Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò C f ìå ôçí åõèåßá y = 1 , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç: ln x = 1 ⇔ ln x = 1 − ln x ⇔ 1 − ln x 1 1 ⇔ 2 ln x = 1 ⇔ ln x = = ln e 2 ⇔ x = e 2

f (x) = 1 ⇔

¢ñá A ( e , 1) ôï êïéíü óçìåßï ôçò C f êáé ôçò åõèåßáò y = 1 .

ç C f âñßóêåôáé ðÜíù áðï ôïí Üîïíá ëýíïõìå ôçí áíßóùóç:

x ′x

ln x > 0 ⇔ ln x ⋅ (1 − ln x ) > 0 1 − ln x

ÈÝôïõìå: y = ln x êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé: y ⋅ (1 − y ) > 0 Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

y ⋅ (1 − y ) = 0 ⇔ y = 0 Þ

 e 2x − 1  e 2x − 1 2 ln  x =4⇔  = ln ( 2 ) ⇔ x e +5  e +5  ⇔ e 2x − 1 = 4e x + 20 ⇔ e 2x − 4e x − 21 = 0 x ÈÝôïõìå e = y > 0 êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:

y 2 − 4y − 21 = 0 ⇔ y = 7 ή y = −3 ç y = -3 áðïññßðôåôáé,áöïý y > 0.

iii. Ãéá íá âñïýìå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá

f (x) > 0 ⇔

e 2x − 1 > 0 ⇔ e 2x > e0 ⇔ 2x > 0 ⇔ x ∈ ( 0, +∞ ) ¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï: A = ( 0, +∞ ) ii. f ( x ) = 2ln 2 ⇔

ex = 7 ⇔ ex = eln 7 ⇔ x = ln 7 .  e 2x − 1  e 2x − 1 f ( x ) > 0 ⇔ ln  x >1  > ln1 ⇔ x e +5  e +5  ⇔ e 2x − 1 > e x + 5 ⇔ e 2x − e x − 6 > 0

ÈÝôïõìå: e x = y > 0 êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé: y 2 − y − 6 > 0 ⇔ y < −2 ή y > 3 . x ln 3 Åßíáé: y > 3 ⇔ e > 3 = e ⇔ x > ln 3

y =1

Tï ðñüóçìï ôïõ y ⋅ (1 − y ) öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò

f ( x ) = α x êáé g ( x ) = log α x , áí ïé ãñáöéêÝò ôïõò ðáñáóôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá:

Á9 Á10 Â10 Â11

i. A ( 2, 4)

ii. B ( −2, 4 )

iii. Γ ( 2, −4)

iv. ∆ ( −2, −4)

¢ñá: 0 < y < 1 ⇔ 0 < ln x < 1 ⇔ ln1 < ln x < ln e ⇔

Ëýóç

⇔ x ∈ (1 , e )

ÅðåéäÞ 0 < α ≠ 1 Ý÷ïõìå:

i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-

 e 2x − 1  ôçóçò: f ( x ) = ln  x   e +5  ii. Ëýóôå ôçí åîßóùóç: f ( x ) = 2ln 2 iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç: f ( x ) > 0

i. f ( 2) = 4 ⇔ α 2 = 4 ⇔ α = 2 . ¢ñá f ( x ) = 2 x

g ( 2) = 4 ⇔ log α 2 = 4 ⇔ α 4 = 2 ⇔ α = 4 2 . ¢ñá g ( x ) = log 4 2 x . ii. f ( −2) = 4 ⇔ α −2 = 4 ⇔ α 2 = x

1 1 ⇔α= . 4 2

1 ¢ñá f ( x ) =   , åíþ äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý 2 ï ëïãÜñéèìïò áñíçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé.

Á9 Á10 Â10 Â11

205

âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò

iii. f ( 2 ) = −4 ⇔ α −2 = −4 ( αδύνατο )

g ( 2) = −4 ⇔ logα 2 = −4 ⇔ α−4 = 2 ⇔ α = ¢ñá g ( x ) = log

1 4

1 4 Åðßóçò äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý ï ëïãÜñéèìïò áñíçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé. iv. f ( −2) = −4 ⇔ α −2 = −4 ⇔ α 2 = −

1 4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã 145. Ã 140.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = n ( x 2 − 6x + 8 ) .

Ã141. Íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

Ã 146.

f ìå f ( x ) = log α x áí åßíáé ãíùóôü üôé

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå f ( x ) = ln ( x + x + 1 )

Ã 147.

Íá áðïäåßîåôå üôé: i. ïñßæåôáé ó’ üëï ôï R, ii. åßíáé ðåñéôôÞ êáé iii. åßíáé óõíÜñôçóç “1–1”.

Ã 143.

(âë. áóê. Á10.5)

Ã 148.

Ã 144.

1   1 ii.  −4,  , iii.  , −3  16    27 

Íá ëõèåß ãñáöéêÜ ç åîßóùóç: log 2 x = − x + 1 (1)

Áí f ( x ) = ogx , ôüôå íá äåé÷èåß üôé

 α+β  1 f  = ( f ( α ) + f (β ) ) ≥ f ( α ) f (β )  3  2 (âë. áóê. Á10.10)

ôçóç f ( x ) = α x êáé ôç ëïãáñéèìéêÞ óõ-

i. ( 2,9 ) ,

Áí f ( x ) = og3 x , ôüôå íá äåé÷èåß üôé

3f ( 2 ) + 2f ( 6 ) − f ( 32 ) = 2

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí åêèåôéêÞ óõíÜñíÜñôçóç g ( x ) = log α x , ôùí ïðïßùí ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðåñíïýí áðü ôï óçìåßï:

1− x ìå −1 < x < 1 ôüôå 1+ x íá äåé÷èåß üôé éó÷ýåé: Áí F ( x ) = n

Â10 Â11

 α+β  F  = F ( α ) + F (β )  1 + αβ 

1  äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï A  e,  . 2 

Ã 142.

Á9 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ- Á10 ôçóçò Â4 f ( x ) = log 2 − x ( x 2 − 3x + 2 ) Â8

Ã 149.

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôýðïõò: á. f ( x ) = log x ( 3 − x ) 1+ x 5− x (âë. áóê. Á10.4)

â. f ( x ) = log x

ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

206

Ã.11

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò f ( x ) = ηµx ,

Ç óõíÜñôçóç

f ( x ) = συνx

, f ( x ) = εφx ,

f ( x ) = σφx

Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï çì(x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç çìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:

çìßôïíï

f ( x ) = ηµx

çìx = çì(x rad) Ç óõíÜñôçóç çìßôïíï åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð äéüôé: çì(2ð+x) = çìx, ãéá êÜèå x ∈ R Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá. H ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ëÝãåôáé çìéôïíïåéäÞò êáìðýëç.

Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï Ç óõíÜñôçóç

óõí (x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç óõíçìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:

óõíçìßôïíï

f ( x) = συνx

óõíx = óõí (x rad) Ç óõíÜñôçóç áõôÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð., äéüôé: óõí(2ð+x)=óõíx ãéá êÜèå x ∈ R Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá.

207

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò

Ç óõíÜñôçóç åöáðôïìÝíç

Ç óõíÜñôçóç åöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ çìéôüíïõ ðñïò ôï óõíçìßôïíï. ηµx ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A = {x ∈ R : συνx ≠ 0} συνx Ç óõíÜñôçóç åöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé: åö(ð + x) = åöx, ãéá êÜèå x ∈ A . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò ð.

Åßíáé: f (x) = εφx =

f ( x ) = εφx

π π ìå x < ç 2 2 åöx ôåßíåé óôï +∞ . ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï

óôï

π π ìå x > ç åöx ôåßíåé óôï −∞ . Ãé’ áõôü 2 2

π åßíáé êáôáêüñõöç áóý2 ìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå f(x) = åöx.

ëÝìå üôé ç åõèåßá x =

Ç óõíÜñôçóç óõíåöáðôïìÝíç

f ( x ) = σφx

Ç óõíÜñôçóç óõíåöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ óõíçìéôüíïõ ðñïò ôï çìßôïíï. Åßíáé: f (x) = σφx =

συνx ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A = {x ∈ R : ηµx ≠ 0} ηµx Ç óõíÜñôçóç óöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé: óö(ð + x) = óöx, ãéá êÜèå x ∈ A . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò ð. ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x > 0 ç åöx ôåßíåé óôï +∞ . ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x < 0 ç åöx ôåßíåé óôï −∞ Ôüôå ëÝìå üôé ç åõèåßá x = 0 åßíáé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå f(x) = åöx.

Ïé óõíáñôÞóåéò f(÷) = ñçì(ùx), üðïõ ñ, ù > 0

ÅðåéäÞ −1 ≤ ηµx ≤ 1 Ý÷ïõìå −1 ≤ ηµ(ωx ) ≤ 1 êáé åðåéäÞ ñ > 0 åßíáé:

g(x) =ñóõí(ùx),

−ρ ≤ ρηµ(ωx) ≤ ρ ⇔ -ρ ≤ f (x) ≤ ρ ¢ñá ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï ñ êáé ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçò åßíáé ôï - ñ. Ôï ù êáèïñßæåé ôçí ðåñßïäï Ô ôçò f ðïõ åßíáé:

üðïõ ñ, ù > 0

êáé

2π ω ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

208

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò ôùí çìéôïíïåéäþí êáìðýëùí: i.

ii.

Ëýóç i. Åßíáé öáíåñü üôé ç ðñþôç åßíáé ç y = ηµx . EðïìÝíùò ïé Üëëåò åßíáé ôçò ìïñöÞò: y = α ηµω x - Ç ðåñßïäïò ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 4ð.

1 2π = 4π , ïðüôå ω = . 2 ω Ôï ðëÜôïò á ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá

¸ôóé

ç åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç y = ηµ

2π 2π , ïðüôå ω = 3 . = ω 3 Ôï ðëÜôïò á ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá ç åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç y = ηµ3x . ii. Aí åñãáóôïýìå üðùò ðñïçãïõìÝíùò âñßóêïõìå üôé: - Ç åîßóùóç ôçò ðñþôçò åßíáé ç y = ηµ3x - Ç åîßóùóç ôçò äåýôåñçò åßíáé ç y = 3ηµx

x . 2

- Ç åîßóùóç ôçò ôñßôçò åßíáé ç y = 0,5ηµx êáé

2π . ¸ôóé 3

- Ç åîßóùóç ôçò ôÝôáñôçò åßíáé ç y = −2,5ηµx .

Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç êáé ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò f(x) = 3çì(4x) êáé íá êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç.

Óôï ßäéï ó÷Þìá ó÷åäéÜóáìå êáé ôçí çìx. Ôá ßäéá éó÷ýïõí ãéá ôç óõíÜñôçóç g(x) = ñóõí(ùx).

- Ç ðåñßäïò ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå

Ëýóç Ç óõíÜñôçóç f(x) = 3çì(4x) Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï

2π π = . 4 2 ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðáñïõóéÜóïõìå ôç ãñáöéêÞ ôçò f 3, åëÜ÷éóôç ôï – 3 êáé ðåñßïäï

ó÷åäéÜæïõìå ìéá çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç ìå åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï - 3 êáé ìÝãéóôç ôï 3 óå äéÜóôçìá ðëÜôïõò

π . 2

209

ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé

ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç f ( x ) = 3συν2x óå ðëÜôïò ìéáò ðåñéüäïõ.

Ëýóç Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = 3συν2x åßíáé ôçò ìïñöÞò f ( x ) = ρσυν ( ωx ) ìå ρ = 3 êáé ω = 2 . ÅðïìÝíùò:

2π = π êáé Ý÷åé ω ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï – 3. Ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá.

• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ =

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:  2x  f (x) = α ⋅ ηµ   + β µε x ∈ R  3  και α > 0 , β ∈ R

i. Áí ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï 3 êáé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç Cf ôÝìíåé ôïí y ′y óôï óçìåßï (0,1), âñåßôå ôá α,β∈ R . ii. Íá êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç óå äéÜóôçìá ðëÜôïõò ìéáò ðåñéüäïõ. iii.Âñåßôå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí Üîïíá x´x óôï äéÜóôçìá ìéáò ðåñéüäïõ.

Ëýóç i. i H C′f ôÝìíåé ôïí y′y óôï (0,1), Üñá ôï óçìåßï M ( 0,1)∈ C′f ⇔ f (0) = 1 ⇔ β = 1

Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçx óç f (x) = 2ηµ . 2

Ëýóç Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá åßíáé ìéá çìéôïíïåéäÝò êáìðýëç êáé Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2, åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï - 2 êáé åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π T= = 4π 1/ 2 Ó÷åäéÜæïõìå ôçí çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óå äéÜóôçìá ðëÜôïõò 4ð. Ãéá óýãêñéóç ó÷åäéÜóáìå êáé ôç óõíÜñôçóç ö(x) = çìx óôï äéÜóôçìá [0, 2ð].

i Για x∈R éó÷ýåé: −1 ≤ ηµ  2x  ≤ 1 ⇔

 3  2x   −α ≤ α ⋅ ηµ   ≤ α ⇔ (ðñïóèÝôïõìå ôï 1)  3   2x  −α + 1 ≤ α ⋅ ηµ   + 1 ≤ α + 1 ⇔  3  −α + 1 ≤ f (x) ≤ α + 1

ÄçëáäÞ ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï α + 1 , Üñá α + 1 = 3 ⇔ α = 2 êáé ôåëéêÜ:  2x  f (x) = 2ηµ   + 1 µε x ∈ R  3  ii. i H f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå åëÜ÷éóôç èåôéêÞ ðåñßïäï Τ =

2π = 3π . 2 3

¢ñá èá ôçí ìåëåôÞóïõìå óôï äéÜóôçìá [0,3π] . • Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç êáôÜ äéáóôÞìáôá ùò åîÞò: ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

210

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11

Óôï åðüìåíï ó÷Þìá,

• Ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò f åßíáé:

öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò ðåñéïäéêÞò óõíÜñôçóçò f óôï äéÜóôçìá ìéáò ðåñéüäïõ ôçò ïðïßáò ï ôýðïò åßíáé ôçò ìïñöÞò: f ( t ) = ρηµ ( ωt ) + β êáé ïé ôéìÝò f(t) åßíáé ïé ðùëÞóåéò óå ÷éëéÜäåò êïììÜôéá åíüò ðñïúüíôïò óôçí äéÜñêåéá ìéáò ïêôáåôßáò. i. Âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò. ii. Óå ðïéåò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò ïé ðùëÞóåéò f (t) åßíáé 100.000 êïììÜôéá;

Ëýóç iii. Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç f (x) = 0 στο διάστηµα [0,3π ] Âñßóêïõìå êáôáñ÷Üò ôéò ãåíéêÝò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò: 2x 2x 1  π 2ηµ + 1 = 0 ⇔ ηµ = − = ηµ  −  3 3 2  6 2x π 2x 7π = 2κπ − = 2κπ + ή 3 6 3 6

⇔ x = 3κπ −

π 7π ή x = 3κπ + 4 4

ÐñÝðåé: 0 ≤ 3κπ −

π 7π ≤ 3π êáé 0 ≤ 3κπ + ≤ 3π 4 4

1 13 7 5 ≤κ≤ − ≤κ≤− 12 12 12 12 äçë. κ = 1 äçë. κ = 0 ¢ñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x ′x

i. O ôýðïò ôçò f åßíáé: f (t) = ρηµ ( ωt ) + β µε 0 ≤ t ≤ 8 και ρ > 0 • ÅðåéäÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 8 Ý÷ïõìå:

2π π ⇔ω= ω 4

• Åðßóçò éó÷ýåé: π  π  −1 ≤ ηµ  ⋅ t  ≤ 1 ⇔ −ρ ≤ ρ ⋅ ηµ  ⋅ t  ≤ ρ ⇔ 4  4 

⇔ β − ρ ≤ f (t) ≤ β + ρ ¼ìùò 25 ≤ f (t) ≤ 125 , Üñá: β − ρ = 25 ⇔  β + ρ = 125

β = 75  ρ = 50

¢ñá ôåëéêÜ ï ôýðïò ôçò f åßíáé:

 11π  , 0  ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå óôï Α   4 

π  f (t) = 50ηµ  ⋅ t  + 75 µε 0 ≤ t ≤ 8 4  ii. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:

π  7π  , êáé óôï Β  , 0   4  4 ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå κ = 0 ) óôçí

π  f (t) = 100 ⇔ 50ηµ  ⋅ t  + 75 = 100 4 

κ = 1 ) óôçí x = 3κπ −

7π x = 3κπ + . 4

π π π  1 π ⇔ ηµ  ⋅ t  = = ηµ   ⇔ t = 2κπ + 4 6 4  2 6

Ôüôå åßíáé: t =

2 3

10 3

211

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí

Ã.12

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç C f ìéáò óõíÜñôçóçò, y = f ( x ) , ôüôå ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Üëëùí óõíáñôÞóåùí

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí

¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f, ö ïé ïðïßåò Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé c Ýíáò èåôéêüò áñéèìüò. Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö ðþò ìðïñïýìå íá êÜíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f üôáí ãéá êÜèå x ∈ A éó÷ýïõí: á) f(x) = φ(x) + c â) f(x) = φ(x) − c ã) f(x) = φ(x-c)

ä) f(x) = φ(x + c)

å) f(x) = φ(x − c) + ρ

óô) f(x) = φ(x − c) − ρ

æ) f(x) = φ(x + c) + ρ üðïõ c > 0, ñ > 0.

ç) f(x) = φ(x + c) − ρ

á) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: f(x) = ö(x) + c, c > 0, ðñïêýðôåé áðü ìéá êáôáêüñõöç ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö êáôÜ c ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.

â) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: f(x) = ö(x) - c, c > 0 ðñïêýðôåé áðü ìéá êáôáêüñõöç ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö êáôÜ c ìïíÜäåò ðñïò ôá êÜôù.

ã) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: f(x) = ö(x - c), c > 0 ðñïêýðôåé áðü ìéá ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö êáôÜ c ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéÜ.

ä) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: f(x) = ö(x + c), c > 0 ðñïêýðôåé áðü ìéá ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö êáôÜ c ìïíÜäåò ðñïò ôá áñéóôåñÜ.

ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

212

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12

å) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò: f(x) = ö(x - c) + ñ, c > 0, ñ > 0 ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá êáôá c ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéá êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.

óô) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò: f(x) = ö(x - c) - ñ,c > 0, ñ > 0 ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá êáôá c ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéá êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá êÜôù.

æ) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò: f(x) = ö(x + c) + ñ, c > 0, ñ > 0 ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá êáôá c ìïíÜäåò ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.

ç) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò: f(x) = ö(x + c) - ñ, c > 0, ñ > 0 ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá êáôá c ìïíÜäåò ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá êÜôù.

Áí ãíùñßæïõìå ôçí êáìðýëç ìå åîßóùóç y = f(x) ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôçí êáìðýëç ôçò y = –f(x) áöïý åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò ðñþôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ′x .

Ç y = –f(x) Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x êáé ç y = f(–x) Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá y′y .

213

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = x − 2 áðü ôç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç. Ëýóç ÖáíåñÜ Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá [0, +∞) .

ÐáñáôÞñçóç: Áí C f åßíáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò y = f ( x ) êáé k > 0 ôüôå ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí y = f ( x − k ) êáé y = f ( x + k ) åßíáé ïé C1 êáé C 2 áíôéóôïß÷ùò êáé ðñïêýðôïõí áðü ôçí ðáñÜëëçëç ìåôáöïñÜ ôçò C f êáôÜ k ìïíÜäåò ôïõ Üîïíá äåîéÜ

Õðåíèõìßæïõìå üôé: Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí y = f ( x ) + k και y = f ( x ) − k, k > 0 ìåôáöÝñïíôáò ôçí êáìðýëç ôçò f êáôÜ k ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù Þ êÜôù áíôßóôïé÷á. Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f, ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôýðïõò y = −f ( x ) êáé y = f ( − x ) .

êáé áñéóôåñÜ áíôßóôïé÷á. ¸ôóé áí åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí y = f ( x − k ) και y = f ( x + k )

Ç êáìðýëç y = −f ( x ) åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò y = f ( x ) ùò ðñüò ôïí Üîïíá x´x ,åíþ ç êáìðýëç y = f ( − x ) åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò y = f ( x ) ùò ðñüò ôïí Üîïíá y′y .

Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï f ( x ) = 4 − x 2 ìå ôç âïÞèåéá ôçò ãñáöéêÞò ôçò ðáñÜóôáóç.

Ëýóç ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y = − x 2 , ó÷åäéÜæïõìå áõôÞ êáé ôç ìåôáöÝñïõìå “ðáñÜëëçëá óôïí x ' x ” 4 ìïíÜäåò ðÜíù. Ïðüôå áðü ôï ó÷Þìá åßíáé f ( A ) = ( −∞, 4] .

Áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-

ôçóçò f ìå ôýðï: f ( x ) = −e x + 1 íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò. ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

214

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12

Ëýóç Áðü ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðñïêýðôåé üôé ç y = f ( x ) Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá ( −∞,1) (áöïý ç êáìðýëç ôçò −e x ðñïâÜëåôáé óôï ( −∞, 0 ) .

2ïò ôñüðïò (áëãåâñéêüò ôñüðïò) Ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f áðáñôßæåôáé áðü ôá x ∈ [2, +∞) ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç y = 1 − x − 2 Ý÷åé ìéá ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç óôï [2, +∞) . ¸÷ïõìå:

y = 1 − x − 2 ⇔ y −1 = − x − 2 ⇔ 1 − y = x − 2 ⇔ Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: 1 f ( x ) = ln = ln x −1 = − ln x, x > 0 x Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí êáìðýëç, ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò êáé üðùò ðáñáôçñïýìå åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò y = ln x ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ′x .

1 − y ≥ 0 y ≤ 1 ⇔ ⇔ 2 2 (1 − y ) = x − 2 x = 2 + (1 − y ) ðñÝðåé, 2 + (1 − y ) ∈ [2, +∞) ⇔ 2

⇔ 2 + (1 − y ) ≥ 2 ⇔ (1 − y ) ≥ 0 , ðïõ éó÷ýåé ãéá 2

êÜèå y ∈ R . ¢ñá, ï ìüíïò ðåñéïñéóìüò ãéá ôï y åßíáé y ≤ 1 ðïõ óçìáßíåé üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá f ( A ) = ( −∞,1] .

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: x

α+8 f (x) =   , µε x ∈ »  3−α

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò

f ( x ) = 1 − x − 2 áðü ôç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç.

Ëýóç 1ïò ôñüðïò Ó÷åäéÜæïõìå áñ÷éêÜ ôçí y = x ôçí ïðïßá ìåôáöÝñïõìå ðáñÜëëçëá êáôÜ 2 ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéÜ êáé Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y = x − 2 óôç óõíÝ÷åéá ó÷åäéÜæïõìå ôç óõììåôñéêÞ áõôÞò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x êáé Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

y = − x − 2 . ÌåôáöÝñïõìå áõôÞ ðáñÜëëçëá êÜôá 1 ìïíÜäá ðñïò ôá ðÜíù êáé ðáßñíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = 1 − x − 2 . Áðü ôï ó÷Þìá ôþñá, âëÝðïõìå üôé ç êáìðýëç ôçò f ðñïâÜëëåôáé óôïí Üîïíá y´y óôï äéÜóôçìá (−∞,1] ðïõ åßíáé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f.

á. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá âñåßôå ôï á. â. Ãéá ôçí ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ ôïõ á íá êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò:

g(x) = f ( x − 2 ) − 1

ã. Âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Cg ôçò g ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò.

Ëýóç á. Ç åêèåôéêÞ óõíÜñôçóç åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá üôáí ç âÜóç ôçò åßíáé ìåãáëýôåñç áðï ôï 1 äçëáäÞ: α+8 2 α+8 2 > 1 ⇔ (3 − α ) ⋅ > (3 − α ) ⇔ 3−α 3−α 2 ⇔ ( 3 − α ) ⋅ ( α + 8) > ( 3 − α ) ⇔

⇔ ( 3 − α ) ⋅ ( α + 8) − ( 3 − α ) > 0 ⇔ ⇔ (3 − α ) ⋅ ( α + 8 − 3 + α ) > 0 ⇔ 2

⇔ ( 3 − α ) ⋅ ( 2α + 5 ) > 0

Á9 Â8 Â10

215

Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí

Ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ ( 3 − α ) ⋅ ( 2α + 5) öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:

Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé

ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-

π  öéêÜ ôç óõíÜñôçóç f ( x ) = 2ηµ  x −  . 4 

Ëýóç Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = ρηµ ( ωx + φ ) ìå ρ, ω > 0

 5  ¢ñá α ∈  − , 3  .  2 

êáé φ ∈ R ãñÜöåôáé:

5 < α < 3 , ç ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ 2 ôïõ åßíáé ôï 2. Ãéá α = 2 åßíáé

φ    f ( x ) = ρηµ ω  x +   ω    Ðáñáôçñïýìå üôé ç óõíÜñôçóç áõôÞ ðñïêýðôåé

f (x) = 10 x και g(x) = 10 x − 2 − 1, µε x ∈ R

áðü ôç óõíÜñôçóç g ( x ) = ρηµ ( ωx ) áí üðïõ x

â. Áöïý −

Üñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g åßíáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åêèåôéêÞò y = 10 x ðïõ üìùò åßíáé ìåôáôïðéóìÝíç. • Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá. • Ïñéæüíôéá ðñïò ôá äåîéÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.

èÝóïõìå ôï x +

φ . ÅðïìÝíùò: ω

2π . ω • ¸÷åé ìÝãéóôï ôï ñ êáé åëÜ÷éóôï ôï – ñ. • Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðñïêýðôåé áðü êáôÜëëç-

• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ =

ëç ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò óõíÜñôçóçò g ( x ) = ρηµ ( ωx ) . π Ç óõíÜñôçóç f ( x ) = 2ηµ  x −  åßíáé ôçò ìïñ 4

öÞò f ( x ) = ρηµ ( ωx + φ ) ìå ρ = 2 êáé φ = −

ã. • Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò Cg ìå ôïí

x ' x , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç g(x) = 0 : g(x) = 0 ⇔ 10 x − 2 − 1 = 0 ⇔ x −2

⇔ 10 = 1 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí x ' x óôï A(2,0).

• Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò Cg ìå ôïí y ' y , âñßóêïõìå ôï: 1 99 g(0) = 10−2 − 1 = − 1= − 100 100 99   ¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí Üîïíá y ' y óôï Β  0, − . 100  

π . 4

ÅðïìÝíùò: • Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ = 2π . • ¸÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2 êáé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï – 2. • Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ðñïêýðôåé áðü ìéá ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò óõíÜñôçóçò g ( x ) = 2ηµx êáôÜ

π ìïíÜ4

äåò ðñïò ôá äåîéÜ.

Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç x f (x) = 3συν + 1. 2

Ëýóç ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ

216

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12

2π = 4π . Ó÷å1/ 2 äéÜæïõìå ìéá óõíçìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óôï äéÜóôç-

Ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ðåñßïäï T =

ìá [0, 4ð] ìå ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï - 3 êáé ôç ìåôáöÝñïõìå ðñïò ôá ðÜíù êáôÜ ìßá ìïíÜäá.

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã150. Á9

x 2 óôï äéÜóôçìá ôçò áíôßóôïé÷çò ðåñéüäïõ ôïõò.

ôùí f (x) = 2ηµ3x êáé g(x) = 1 + 3ηµ

Â8 Â10

Ã151.

f ( x ) = x 2 − 4x + 3

Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò

Íá ó÷åäéÜóåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò óõíáñôÞóåéò:

Ã158.

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f1 ( x ) = 2 x και f 2 ( x ) = 2 x − 1

Ã159.

Íá êÜíåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí: i. f1 ( x ) = ln x ii. f 2 ( x ) = ln ( x − 1)

f (x) = εφ2x , g(x) = 1 + εφx ,

Ã 160. Íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí

h(x) = 1 − εφx

Ã152.

óõíáñôÞóåùí: i. f1 ( x ) = ln x

Íá ìåëåôÞóåôå êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç f (x) = 1 + σφx .

Ã 153.Ðïéá

åßíáé

ìÝãéóôç

ôéìÞ

Ã 161. ôçò

ii. g ( x ) = 6 x − 3

iii. φ ( x ) = 6 x − 3

ìÝò ôïõ x ôç ëáìâÜíåé;

Ã154. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ-

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò: i. f ( x ) = 6x

f ( x ) = ηµx − 1 êáé ãéá ðïéá (ðïéåò) ôé-

ii. f 2 ( x ) = ln x

Ã 162.

óåéò: 2 2 i. f ( x ) = ( x + 2 ) ii. g ( x ) = −3 ( x − 1)

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí, íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò: i. f ( x ) = e x ii. g ( x ) = e x −1 + 2 iii. φ ( x ) = e − x − 3 − 1

Ã155. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ2 óåéò i. f ( x ) = ( x − 1) + 3 2 ii. g ( x ) = ( x + 2 ) − 3

Ã 163.

Ã156.

Ã 164. Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç:

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôá ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí

1 f1 ( x ) = 2 x και f 2 ( x ) =   2

Ã 157.

Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç: f (x) = e x

f ( x ) = 4 x −x

Ã 165.

Íá êÜíåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò

Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò: i. f ( x ) = log x ii. g ( x ) = log x + 2

óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:

iii. h ( x ) = log ( x + 2 )

217

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí

Ã.13

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí Äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ëÝìå üôé åßíáé ßóåò , áí êáé ìüíïí áí ,

Éóüôçôá óõíáñôÞóåùí

• Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé • ãéá êÜèå x ∈ A éó÷ýåé f ( x ) = g ( x ) ð.÷ Ïé óõíáñôÞóåéò f ( x ) = x 2 êáé g ( x ) = x åßíáé ßóåò, áöïý Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý R êáé éó÷ýåé f ( x ) = x 2 = x = g ( x ) , ãéá êÜèå x ∈ R .

¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò : f ìå ôýðï y = f ( x ) êáé ðåäßï ïñéóìïý Á êáé g ìå ôýðï ÐñÜîåéò óõíáñôÞóåùí

y = g ( x ) êáé ðåäßï ïñéóìïý Â.

Áí ôá ðåäßá ïñéóìïý Á êáé Â Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá, äçë. áí A ∩ B ≠ ∅ , ôüôå ïñßæïõìå : • Ôï Üèñïéóìá f + g ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

(f + g) ( x) = f ( x ) + g ( x ) , x ∈ A ∩ B • Ç äéáöïñÜ f − g ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

(f − g) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , x ∈ A ∩ B • Ôï ãéíüìåíï ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ìå ôç óõíÜñôçóç f

(λ ⋅ f ) (x) = λ ⋅ f (x) , x ∈A • Ôï ãéíüìåíï f ⋅ g ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:

(f ⋅ g) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) , x ∈ A ∩ B • Ôï ðçëßêï

f ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï : g

 f  ( ) f (x)  g  x = g ( x ) , x ∈ A = { x ∈ » :x ∈ A ∩ B και g ( x ) ≠ 0}

f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï êïéíü ðåäßï ïñéóìïý ôùí f êáé g g áðü ôï ïðïßï åîáéñïýíôáé ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò g ( x ) = 0 .

ÄçëáäÞ, ôï ðçëßêï

Ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ïé ðñÜîåéò ðïõ åìöáíßæïíôáé ïñßæïíôáé, éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: 1. f + g = g + f

7. 1 ⋅ f = f , όπου 1 = 1( x )

2. f + ( g + h ) = ( f + g ) + h

8. f ⋅ ( g + h ) = f ⋅ g + f ⋅ h

3. f + 0 = f , όπου 0 = 0 ( x )

9. λ ⋅ ( f + g ) = λ ⋅ f + λ ⋅ g ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

218

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13

4. f + ( −f ) = 0

10. ( λ + µ ) ⋅ f = λ ⋅ f + µ ⋅ f

5. f ⋅ g = g ⋅ f

11. ( λ ⋅ µ ) ⋅ f = λ ⋅ ( µ ⋅ f )

6. ( f ⋅ g ) ⋅ h = f ⋅ ( g ⋅ h )

12. 1⋅ f = f

Ï ôýðïò φ ( x ) = ηµ ( x 2 + 1) ðñïêýôåé áíôéêáèéóôþíôáò ôçí áíåîÜñôçôç ìåôáÓýíèåôç óõíÜñôçóç

âëçôÞ x óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f ( x ) = ηµx , ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò 2 g ( x ) = x 2 + 1 .Ç óõíÜñôçóç φ ( x ) = ηµ ( x + 1) ïíïìÜæåôáé óýíèåóç ôçò óõíÜñôçóçò g ìå ôçí f êáé ôçí óõìâïëßæïõìå:

fog êáé ôïí ôýðï ôçò y = ( fog ) ( x ) = f ( g ( x ) ) . Ïñéóìüò Ãåíéêüôåñá, ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò: y = f ( x ) , ìå ðåäßï ïñéóìïý A = D ( f ) êáé y = g ( x ) , ìå ðåäßï ïñéóìïý B = D ( g )

ïíïìÜæïõìå óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f ôç óõíÜñôçóç: f o g ìå ôýðï y = f ( g ( x ) ) Ï ðáñáðÜíù ôýðïò Ý÷åé Ýííïéá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ãéá åêåßíá ôá x êáé ìüíï ãéá ôá ïðïßá ôï óýíïëï A = {x ∈ D ( g ) και g ( x ) ∈ D ( f )} åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý. Ôï ðáñáðÜíù óýíïëï, áí åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý áðïôåëåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog, åíþ áí åßíáé êåíü ôüôå äåí ïñßæåôáé ç óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f. H óýíèåóç ðåñéãñÜöåôáé åðïðôéêÜ óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:

Ðáñáôçñåßóôå óôá ðáñáðÜíù ó÷Þìáôá üôé ç fog ïñßæåôáé ìüíïí áí ôï ðåäßï ôéìþí ôçò g êáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá êáé ôüôå Ýíá x ðïõ áíÞêåé óôï D(g) áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï

y = f ( g ( x ) ) ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ôéìþí f(A) ôçò óõíÜñôçóçò ôçò f. EðåéäÞ ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé ðÜíôïôå åýêïëïò, ãéá íá åîåôÜóïõìå áí ïñßæåôáé ç óýíèåóç äýï óõíáñôÞóåùí, èá ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï A ' = {x ∈ D ( g ) και g ( x ) ∈ D ( f )} ôï ïðïßï áí åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý åðéôñÝðåé óôç óýíèåóç íá ïñßæåôáé êáé ôáõôü÷ñïíá áðïôåëåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog.

219

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá äéüôé:

ÅîåôÜóôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò Â7 åßíáé ßóåò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí åßíáé, íá Â10 âñåßôå ôï åõñýôåñï õðïóýíïëï ôïõ R, óôï Â11 ïðïßï åßíáé ßóåò. Á5

x 2 − 4 > 0 ⇔ x 2 > 4 ⇔ x > 2 ⇔ x < −2 ή x >. 2

Ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x ∈ R ãéá ôá ïðïßá éó÷ýïõí:

x2 − 1 1. f ( x ) = êáé g ( x ) = x + 1 x−1

x − 2 > 0 êáé x + 2 > 0 äçë. x > 2 êáé x > −2 ⇔ x > 2 ÅðïìÝíùò, ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôç-

2/ 3 3 2. f ( x ) = x 2 êáé g ( x ) = x

ìá (2, +∞) êáé óõíåðþò äåí åßíáé ßóåò.

2 3. f ( x ) = ( x − 1) êáé g ( x ) = x − 1

¼ìùò ìå x > 2 , Ý÷ïõìå:

4. f ( x ) = ln ( x 2 − 4 ) êáé g ( x ) = ln ( x − 2 ) + ln ( x + 2 )

f ( x ) = ln ( x 2 − 4) = ln [( x − 2)( x + 2)] = = ln x − 2 + ln x + 2 = ln ( x − 2) + ln ( x + 2) = g ( x ) Åßíáé ëïéðüí, f = g ãéá êÜèå x ∈ ( 2, +∞ ) .

Ëýóç 1. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R − {1} åíþ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g åßíáé ôï R. ¢ñá ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò. Áí x ≠ 1 : x 2 − 1 ( x − 1) ( x + 1) f (x) = = = x + 1 = g (x) x −1 x −1

êáé óõíåðþò ïé f êáé g åßíáé ßóåò óôï R − {1} . 

2 3

x , αν x ≥ 0

 2. Åßíáé f ( x ) = 3 x 2 = x 3 =  2 ( − x ) 3 , αν x < 0  2

êáé óõíåðþò f ( x ) = g ( x ) ìüíï ãéá x ≥ 0 . ¢ñá, ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò, åßíáé üìùò ßóåò óôï äéÜóôçìá [0, +∞) . 3. Ïé f, g Ý÷ïõí ðåäßï ïñéóìïý ôï R. ÅðåéäÞ:

 x − 1, αν x ≥ 1 2 f ( x ) = ( x − 1) = x − 1 =   − ( x − 1) , αν x < 1 Åßíáé, f ( x ) = g ( x ) , ãéá êÜèå x ∈[1, +∞) . ¢ñá f = g óôï [1, +∞) 4. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:

A = { x ∈ R : x 2 − 4 > 0} = ( −∞, −2) ∪ ( 2, +∞ )

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:

f ( x ) = ln ( x + 1) και g ( x ) = 4 − x

Á6 Â3

Íá ïñéóôïýí ïé óõíáñôÞóåéò:

f +g ,

f , fog . g

Ëýóç Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x ∈» ãéá ôá ïðïßá: x + 1 > 0 ⇔ x > −1 äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá A = ( −1, +∞ ) . Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g áðáñôßæåôáé áðü ôá x ∈» ãéá ôá ïðïßá:

4 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4 äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá B = [ −4, 4 ] . • ÅðåéäÞ A ∩ B = ( −1, 4] ≠ ∅ ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç f + g ìå ôýðï:

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = ln ( x + 1) + • Ãéá ôçí óõíÜñôçóç

4− x

f èá ðñÝðåé: g

g ( x ) ≠ 0 , äçëáäÞ

ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

220

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13

4 − 4 ≠ 0 και − 4 ≤ x ≤ 4 ⇔ ⇔ x ≠ 4 ⇔ x ≠ 4 ή x ≠ −4, åðåéäÞ üìùò èá ðñÝðåé x > –1, óôï äéÜóôçìá

( −1, 4)

f ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç g ìå ôýðï:

¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog åßíáé ôï A ' = ( −∞,1)

 f  ( ) f ( x ) ln ( x + 1) .  g  x = g ( x ) = 4− x

êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé

f ( g ( x ) ) = ln g ( x ) = ln (1 − x )

• Ãíùñßæïõìå üôé ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog, ðñÝðåé:

{x ∈ R :x ∈ [ −4, 4] και

}

4 − x ∈( −1, +∞ ) ≠ ∅

Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç gof, ðñÝðåé ôï óýíïëï

A '' = {x ∈ D ( f ) και f ( x ) ∈ D ( g )} íá åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý.

¸÷ïõìå:

−4 ≤ x ≤ 4 −4 ≤ x ≤ 4 ⇔ ⇔ −4 ≤ x ≤ 4   4 − x > −1 4 − x ≥ 0 ÅðïìÝíùò óôï äéÜóôçìá [ −4, 4 ] , ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog ìå ôýðï: f ( g ( x ) ) = ln ( g ( x ) + 1) = ln

x ∈ R  ⇔  και ⇔ x <1 1 − x > 0 

(

)

4 − x +1

¸÷ïõìå:

 x ∈ ( 0, +∞ ) x > 0   και ⇔   και ⇔ x > 0 ln x ∈ R   x > 0 ¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò gof åßíáé ôï

A '' = ( 0, + ∞ ) êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ìå

f ( x ) = ln x êáé g ìå g ( x ) = 1 − x .

g ( f ( x ) ) = 1 − f ( x ) = 1 − ln x

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò fog êáé gof.

ÐáñáôÞñçóç: ÐñïóÝîôå üôé, áí Ý÷ïõìå äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ðÜíôïôå ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôïõò ôýðïõò:

Ëýóç

f ( g ( x )) ή g (f ( x ))

Åßíáé D ( f ) = ( 0, +∞ ) êáé D ( g ) = R .

¼ìùò ïé ôýðïé áõôïß ìðïñåß íá ìçí áðïôåëïýí ôýðïõò óõíáñôÞóåùí ãéá êáíÝíá x. Káé áõôü ãßíåôáé üôáí:

Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog, ðñÝðåé ôï óýíïëï A ' = {x ∈ D ( g ) και g ( x ) ∈ D ( f )} íá åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý. ¸÷ïõìå: x ∈ D ( g ) x ∈ R   ⇔  και ⇔  και  ( )  ( ) ( ) g x ∈ D f  1 − x ∈ ( 0, +∞ )

g ( B) ∩ D (f ) = ∅ ή f ( A ) ∩ D (g ) = ∅ áíôßóôïé÷á. Ãé’ áõôü èá ðñïóäéïñßæïõìå ðñþôá ôï ðåäßï ïñé-

óìïý êáé óôç óõíÝ÷åéá ôïí ôýðï ôçò óýíèåôçò óõíÜñôçóçò.

221

Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã166. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé ßóåò. f (x) =

x −1 x+2

êáé g ( x ) =

Ã171. Áí ãéá ôç óõíÜñôçóç f éó÷ýåé:

Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f ≠ g íá ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðïóýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé

f (x) = g(x) . Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f ≠ g íá ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðïóýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé

f ( 3x + 2 ) = 9x − 3x + 1, x ∈ R , ôüôå íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f. 2

Ã172. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ( g ( x ) ) = x 4 − 3x 2 + x − 2 ,

Ã173.

ßóåò áí  3π   7π  f ( x ) = συν  + x  ⋅ εφ ( x − π ) ⋅ ηµ  −x  2   2  êáé

ßóåò:

Ã174.

¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f ( x ) = 2x − 1 êáé

ii. fog

i. gof

Ã175.

¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f ( x ) = Inx êáé

g ( x ) = 1 + ex .

Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f ≠ g íá ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðïóýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï f ( x ) = g ( x ) .

3 êáé x +1

x+2 . Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞg(x) = 2 x −1 f óåéò f + g, f − g, fg êáé . g ôéò ïðïßåò éó÷ýåé

Íá âñåßôå óõíÜñôçóç g, ôÝôïéá þóôå íá éó÷ýåé:

Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò:

êáé g ( x ) = In ( x − 1) + In ( x − 3) .

Ã170. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò

x∈R ,

g ( x ) = 1− x2 .

f ( x ) = In ( x 2 − 4x + 3)

Ã169. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ( x ) =

Â7 Â10 Â11

f ( g ( x ) ) = x 2 + 4x − 2, αν f ( x ) = 2x − 1

 9π  g ( x ) = σφ  − x  ⋅ ηµ ( x − 4π ) ⋅ συν ( x − 3π )  2  (âë. áóê. Á8.3)

Ã168. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé

Á5 Á6 Â3

üðïõ f ( x ) = 4x − 5 . Áí ç óõíÜñôçóç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R íá âñåèåß ï ôýðïò ôçò.

f (x) = g(x) .

Ã167. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé

+ g 2 ) ( x ) + 2 ≤ 2 ( f + g )( x )

Íá áðïäåßîåôå üôé f = g .

x −1 x+2

f , g : R → R ãéá

Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò: i. gof

Ã176.

ii. fog

Áí åßíáé f ( x ) = 2x − 1 êáé

( gof )( x ) = x 2 − x ãéá êÜèå

x∈R ,

íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò g.

Ã177.

Áí ç óõíÜñôçóç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï

[3, +∞ )

íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò

óõíÜñôçóçò g ( x ) = f ( x 2 − 1) .

Ã178.

¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f ( x ) = αx − 1 êáé

g ( x ) = x + α − 1 . Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ

222

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13

óßùò áýîïõóåò, íá áðïäåßîåôå üôé ç

á þóôå, gof = fog .

Ã179.

óõíÜñôçóç Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f,g ïñéóìÝíåò óôï R, ïé ïðïßåò åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíåò êáé Ý÷ïõí ôï ßäéï åßäïò ìïíïôïíßáò (êáé ïé äýï ãíçóßùò áýîïõóåò Þ ãíçóßùò öèßíïõóåò). á. Íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç fog åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá. â. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõíáñôÞóåùí fof, gog. ã. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõ-

1 1 + åßíáé ãíçóßùò öèßf g

íïõóåò óôï Ä.

Ã182.

Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò: f ãíçóßùò áýîïõóá êáé g ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Á. i. Íá âñåèåß ç ìïíïôïíßá f − g . ii. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò

 π h ( x ) = x 2 − συνx óôï 0,  .  2 iii. Aí 0 < α < β ≤

íÜñôçóçò f ( x ) = In  In ( x )  , x > 1 .

π , ôüôå íá áðïäåßîåôå 2

üôé: συνα − συνβ > α 2 − β 2

Ã180. á. Áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g Ý÷ïõí êïéíü ðåäßï ïñéóìïý Ä, íá áðïäåßîåôå üôé i. f ãíçóßùò áýîïõóá, g ãíçóßùò áý-

Ã183.

Áí ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g, ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç gof êáé ïé f êáé g åßíáé ôïõ

îïõóá ôüôå êáé ç f + g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá ii. f ãíçóßùò öèßíïõóá, g ãíçóßùò öèß-

ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò, ôüôå ç gof åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá åíþ áí åßíáé äéáöïñåôéêïý åßäïõò ìïíïôïíßáò ôüôå ç

íïõóá ôüôå êáé ç f + g åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá. â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñéóìïý Ä ðáßñíïõí èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå x ∈ ∆ , êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä. ã. Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõíáñôÞóåùí:

gof åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá. ÓõãêåêñéìÝíá íá áðïäåßîåôå üôé: i. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. áýîïõóá, ôüôå gof ãí. áýîïõóá ii. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. öèßíïõóá, ôüôå gof ãí. áýîïõóá

 π π i. f ( x ) = x + ηµx, x ∈  − ,   2 2

iii. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. öèßíïõóá,

 π ii. g ( x ) = x ⋅ ηµx, x ∈ 0,   2

vi. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. áýîïõóá,

ôüôå gof ãí. öèßíïõóá

Ã181. á. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Ä êáé f ( x ) > 0 ãéá êÜèå x ∈ ∆ , åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá, íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç

1 åßíáé ãíçóßùò öèßf

íïõóá óôï Ä. â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñéóìïý Ä, ïé ïðïßåò ðáßñíïõí èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå x ∈ ∆ , êáé åßíáé ãíç-

ôüôå gof ãí. öèßíïõóá

Ã184.

¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ôýðï f ( x ) = x 3 + 5x − 16 ïñéóìÝíç óôï R. i. Íá äåßîåôå üôé f(2) = 2 ii. Íá âñåßôå ôï åßäïò ìïíïôïíßáò ôçò f iii. Íá ïñßóåôå ôç óõíÜñôçóç fof iv. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç f ( f ( x ) ) ≥ 2

223

áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç

Ã.14

Áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ¼ðùò ãíùñßæïõìå, áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ãéá êÜèå y ∈ f ( A ) õðÜñ÷åé ìüíï Ýíá x ∈ A , ôÝôïéï þóôå y = f ( x ) .

áíôßóôñïöç

¢ñá ç äéáäéêáóßá ðïõ êÜèå y ∈ f ( A ) ôï áíôéóôïé÷ßæåé óôï ìïíáäéêü x ∈ A , ãéá

óõíÜñôçóç

ôï ïðïßï éó÷ýåé y = f ( x ) åßíáé óõíÜñôçóç. ÁõôÞ ç óõíÜñôçóç ïíïìÜæåôáé  −1 áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f −1 .  f ≠ 

1  f

Ç áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç f −1 ôçò y = f ( x ) Ý÷åé: • ðåäßï ïñéóìïý ôï ðåäßï ôéìþí f(Á) ôçò f. • ðåäßï ôéìþí ôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f. • ôýðï ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôç ëýóç ôçò y = f ( x ) ùò ðñïò x.

y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) Óýíèåóç êáé áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç Áðü ôçí éóïäõíáìßá y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) ðñïêýðôåé:

(

)

f f −1 ( y ) = y , ãéá êÜèå y ∈ f ( A ) êáé f −1 ( f ( x ) ) = x , ãéá êÜèå x ∈ A

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:

f ( x ) = ex − 1 á. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò â. Íá âñåßôå ôçí áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f.

Ëýóç á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R. ¸óôù

x1 , x 2 ∈ R ìå f ( x1 ) = f ( x 2 ) , ôüôå:

f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇔ e x1 − 1 = e x 2 − 1 ⇔ ⇔ e x1 = e x 2 ⇔ x1 = x 2

¢ñá, ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. â. Áöïý ç f åßíáé 1-1 ïñßæåôáé ç f −1 . Ãéá íá âñïýìå ôïí ôýðï ôçò f −1 , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç

y = e x − 1 ùò ðñïò x. ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ

224

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 14

¸÷ïõìå:

y = e − 1 ⇔ e = y + 1 ⇔ x = ln ( y + 1) , y > −1 ÅðïìÝíùò, ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò åßíáé: x

x = f −1 ( y ) = ln ( y + 1) µε y ∈ ( −1, +∞ ) ¼ìùò, åðåéäÞ óõíçèßæåôáé ç áíåîÜñôçôç ìåôáâëçôÞ íá ãñÜöåôáé x, ï ôýðïò ôçò åßíáé: f −1 ( x ) = ln ( x + 1) x ∈ ( −1, +∞ ) ¡ Á9 2 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: 3 Á10 f ( x) = . Íá âñåèåß ç áíôßóôñïöç ôçò 1 + 3x Â10 Â11 óõíÜñôçóçò f.

Ëýóç Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R, áöïý 1 + 3x > 0 ãéá êÜèå x ∈ R . ¸÷ïõìå,

óõíÜñôçóç f −1 : ( 0,1) → R ìå ôýðï:

f −1 ( x ) = log3

x , x ∈ ( 0,1) 1− x

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: f ( x) = 1 − 3 − x á. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé, â. Íá ëõèåß ç åîßóùóç f −1 ( x ) = f ( x )

Ëýóç á. Ðñïöáíþò, ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï

(−∞,3] . Ìå x1 , x 2 ∈ (−∞,3] Ý÷ïõìå: x1 , x 2 ≤ 3 ⇔ −3 ≤ − x 2 < − x1 ⇔ ⇔ 0 ≤ 3 − x 2 < 3 − x1 ⇔ 3 − x 2 < 3 − x1 ⇔ ⇔ 1 − 3 − x 2 > 1 − 3 − x1 ⇔ f ( x 2 ) > f ( x1 ) ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá

y = f (x) ⇔ y =

1+ 3

⇔ y (1 + 3x ) = 3x ⇔

y ⇔ (1 − y ) 3x = y ⇔ 3x = , y ≠1 1− y y ⇔ x = log3 >0⇔ 1− y ⇔ y (1 − y ) > 0 ⇔ 0 < y < 1, y ≠ 1 y > 0 ⇔ y (1 − y ) > 0 ⇔ 0 < y < 1 êáé 1− y óõíåðþò ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï f ( A ) = ( 0,1) Åßíáé:

y Ç ó÷Ýóç x = log3 , äçëþíåé üôé ãéá êÜèå 1− y y ∈ ( 0,1) õðÜñ÷åé ìüíï ìßá ôéìÞ ôïõ x ∈ R .

óôï (−∞,3] . â. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R êáé ãíçóßùò áýîïõóá éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá: f −1 ( x ) = f ( x ) ⇔ f ( x ) = x ¸ôóé, áíôß íá ëýíïõìå ôçí åîßóùóç f −1 ( x ) = f ( x )

èá ëýíïõìå ôçí éóïäýíáìç áõôÞò f ( x ) = x , ðïõ åßíáé áðëïýóôåñç.

f −1 ( x ) = f ( x ) ⇔ f ( x ) = x ⇔ 1− 3 − x = x ⇔ 3 − x = 1− x ⇔ 3 − x = (1 − x ) , 2

x ≥ 1 ⇔ x 2 − x − 2 = 0, x ≥ 1 ⇔ x = −1 ή x = 2 και x ≥ 1 ⇔ x = 2

ÅðïìÝíùò, (ç f åßíáé 1-1) ïñßæåôáé ç áíôßóôñïöç • Óôç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ ôýðïõ ôçò áíôßóôñïöçò, ðñïêýðôïõí åíäå÷ïìÝíùò ðåñéïñéóìïß ãéá ôï y, äçëáäÞ ðñïêýðôåé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f, ðïõ åßíáé öõóéêÜ êáé ôï ðåäßï ïñéìïý ôçò f −1 . • Áðü ôçí éóïäõíáìßá y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) ðñïêýðôåé üôé ôá óçìåßá (x, y) åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï y = x ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí y = f(x) êáé y = f −1 ( x ) åßíáé óõììåôñéêÝò ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï y = x ôçò ãùíßáò xOy. ÅðïìÝíùò, áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò åê ôùí óõíáñôÞóåùí f, f −1 , ìðïñïýìå áìÝóùò íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôçí Üëëç.

Â7

225

áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã185. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç

Ã 190. Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé áíôé-

f ( x ) = 2x − 1

óôñÝøéìç, íá áðïäåßîåôå üôé êáé ç f −1 åßíáé ðåñéôôÞ.

åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.

Ã 191.

Ã186. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç f ( x ) = 3e1− x + 1

Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f : R → R , þóôå:

( fof ) ( x ) = x 3 + f ( x )

x∈R . i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.

åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.

ii. Íá âñåßôå ôï f ( 0) .

Ã 187. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ( x ) = nx + x 2 i. Íá ìåëåôçèåß ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá. ii. Íá äåßîåôå üôé áí 0 < α < β ôüôå

Ã 192.

β > α2 − β2 . α iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç 2

i. ¸óôù üôé ç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R. Íá äåßîåôå üôé êáé ç

f ( x ) = g ( x ) + x åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R. ii. Íá åîåôÜóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç

n ( x 2 + 1) − ( x + 1) = n ( x + 1) − ( x 2 + 1)

(1) ãéá êÜèå

óõíÜñôçóç f ( x ) = nx + x . iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:

Ã 188. Áí ãéá êÜèå x ∈ R éó÷ýåé f 5 ( x ) + 6f ( x ) − 2x + 4 = 0 (1) i. íá áðïäåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé êáé ii. áí åðéðëÝïí ç f Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï R, íá âñåßôå ôçí f −1 .

Ã 189. Áí ãéá êÜèå

Ã 193. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç

f : R → R , þóôå:

f ( x ) + f ( x ) + x = 0 (1) ãéá êÜèå 3

x∈R . i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.

x ∈ R éó÷ýåé

6f ( x 2 ) − f 2 ( x ) ≥ 9

n ( λ2 − λ ) − n ( 2λ + 4) = −λ2 + 3λ + 4, λ > 1

(1) ,

ii. Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò f −1 .

íá áðïäåßîåôå üôé ç f äåí áíôéóôñÝöåôáé.

ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ

Á7 Á9 Á10 Â7 Â10 Â11

226

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

Ã.15

Óôïé÷åßá áðü ôéò êùíéêÝò ôïìÝò

Á. ÊÕÊËÏÓ Êýêëïò åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï ôïõ åðéðÝäïõ óôáèåñÞ áðüóôáóç.

Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï Ï( 0 , 0 ) êáé áêôßíá ñ :

x +y =ρ 2

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò êýêëïõ ìå êÝíôñï Ï(0,0) êáé áêôßíá ñ óôï óçìåßï Á(x1 ,y1): xx1 + yy1 = ρ 2

Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï K ( x 0 , y0 ) êáé áêôßíá ñ:

( x − x0 )

Ç åîßóùóç x 2 + y 2 + Αx + Βy + Γ = 0 • Áí Α 2 + Β 2 − 4Γ > 0 :

+ ( y − y0 ) = ρ2 2

(1), A, B, Γ ∈ R

ç åîßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå êÝíôñï ôï óçìåßï:

 Α Β Κ  − , −  êáé áêôßíá  2 2

ρ=

Α 2 + Β2 − 4Γ . 2

• Áí Α 2 + Β 2 − 4Γ = 0 :

 Α Β ç (1) ðáñéóôÜíåé ôï óçìåßï Κ  − , −  .  2 2

• Áí Α 2 + Β 2 − 4Γ < 0 :

ç åîßóùóç (1) åßíáé áäýíáôç .

227

ìéãáäéêïß áñéèìïß

Â. ÐÁÑÁÂÏËÇ ÐáñáâïëÞ åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí áðü ìéá óôáèåñÞ åõèåßá (ä) ðïõ ëÝãåôáé äéåõèåôïýóá ôçò ðáñáâïëÞò êáé áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï Å ðïõ ëÝãåôáé åóôßá ôçò ðáñáâïëÞò. Ôá óçìåßá ðïõ éêáíïðïéïýí ôçí ðñïçãïýìåíç éäéüôçôá áíÞêïõí óå ìéá êáìðýëç ðïõ öáßíåôáé óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá. Åîßóùóç ðáñáâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç

p p 1. Ìå êïñõöÞ Ο ( 0, 0 ) ,åóôßá E  , 0  , êáé äéåõèåôïýóá δ : x = − 2 2  

p  p 2. Ìå êïñõöÞ Ο ( 0, 0 ) , åóôßá E  0,  , êáé äéåõèåôïýóá δ : y = − 2 2  

y 2 = 2px

x 2 = 2py

KùíéêÝò

ôïìÝò

228

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

Ã. ÅËËÅÉØÇ ¸ëëåéøç ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò C ôùí óçìåßùí ôïõ åðéðÝäïõ ôùí ïðïßùí ôï Üèñïéóìá ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñü êáé ìåãáëýôåñï ôïõ Å΄ Å. Ôï óôáèåñü áõôü Üèñïéóìá ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á, åíþ ôçí åóôéáêÞ áðüóôáóç Å΄ Å ìå 2ã. ÄçëáäÞ Áí Ì óçìåßï ôçò Ýëëåéøç: ( ME ) '+ ( ME ) = 2α Åîßóùóç Ýëëåéøçò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç y

Ç åîßóùóç ôçò Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí ìåóïêÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:

x 2 y2 + = 1 , üðïõ β2 = α 2 − γ 2 (ó÷Þìá 2) α2 β2

O ìéêñüò Üîïíáò BB΄ ôçò Ýëëåéøçò Ý÷åé ìÞêïò 2â. Ç åîßóùóç ôçò Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá y΄y ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóïêÜèåôï ôïõ Å΄Å åßíáé:

x 2 y2 + = 1 , üðïõ β2 = α 2 − γ 2 (ó÷Þìá 3) β2 α2

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò x 2 y2 + = 1 , α > β . H åîßóùóç ôçò α 2 β2 åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç

xx1 α2 ¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç

yy1 β2

x 2 y2 + = 1 , α > β . H åîßóùóç ôçò β2 α 2

åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

xx1 β

yy1 α

σχήµα 4

Åêêåíôñüôçôá Ýëëåéøçò

x 2 y2 ¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 + 2 = 1 . α β

ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò Ýëëåéøçò C ôï ëüãï ôçò åóôéáêÞò áðüóôáóçò ðñïò ôï ìÞêïò ôïõ ìåãÜëïõ Üîïíá êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå: ε =

2γ γ = . 2α α

Åßíáé 0 < ε < 1 êáé áðïäåéêíýåôáé üôé :

β = 1 − ε2 α

229

ìéãáäéêïß áñéèìïß

Ä. ÕÐÅÑÂÏËÇ Ïñéóìüò: ÕðåñâïëÞ ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí ôïõ åðéðÝäïõ ôùí ïðïßùí ç áðüëõôç ôéìÞ ôçò äéáöïñÜò ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñÞ êáé ìéêñüôåñç ôïõ Å¸. Ôï áðüëõôï ôçò äéáöïñÜò áõôÞò ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á êáé ôçí åóôéáêÞ áðüóôáóç ìå 2ã. ÄçëáäÞ áí Ì ôï óçìåßï ôçò õðåñâïëÞò:

( ME ) '− ( ME ) = 2α

Åîßóùóç õðåñâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç. Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí ìåóïêÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:

x 2 y2 − =1 α 2 β2

, üðïõ â = ã – á .

Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá y΄y ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóïêÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:

y2 x 2 − = 1 , üðïõ â2 = ã2 – á2 α 2 β2

Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò x 2 y2 − = 1 . H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝα 2 β2

¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç

íçò ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé: ¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç

xx1 α

−

yy1 β2

y2 x 2 − = 1 . H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝíçò α 2 β2

ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:

yy1

−

xx1

=1 α β2 Áóýìðôùôåò õðåñâïëÞò 2

Ç õðåñâïëÞ

x 2 y2 − = 1 Ý÷åé áóýìðôùôåò ôéò åõèåßåò: α 2 β2 ε1 : y =

β x α

êáé

ε2 : y = −

β x α

Åêêåíôñüôçôá õðåñâïëÞò ¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç óõìâïëßæïõìå ìå å ôï ëüãï ε =

x 2 y2 − = 1 . ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò õðåñâïëÞò êáé ôç α 2 β2

2γ γ β = . Åßíáé å>1 . Áðïäåéêíýåôáé üôé: = ε2 − 1 . 2α α α

KùíéêÝò

ôïìÝò

230

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

Ã.16

Ìéãáäéêïß áñéèìïß 1. Ðñüóèåóç:

¸ííïéá ìéãáäéêïý Ç áäõíáìßá åðßëõóçò ôçò åîßóùóçò x 2 + 1 = 0 óôï R ìáò ïäÞãçóå óôçí åðéíüçóç åíüò íÝïõ óõíüëïõ, õðåñóýíïëï ôïõ R, ôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí C óôï ïðïßï èåùñÞèçêå ç ýðáñîç åíüò íÝïõ óôïé÷åßïõ ôïõ i ìå ôçí éäéüôçôá i = −1 êáé ôï ïðïßï 2

z1 + z 2 = ( α + βi ) + ( γ + δi ) = ( α + γ ) + ( β + δ ) i 2. Ðïëëáðëáóéáóìüò:

z1z 2 = ( α + βi )( γ + δi ) = αγ + αδi + βγi + βδi 2 = = αγ + αδi + βγi − βδ = ( αγ − βδ ) + ( αδ + βγ ) i

ïíïìÜóôçêå öáíôáóôéêÞ ìïíÜäá. Óôï íÝï óýíïëï C

3. Äéáßñåóç: Ç äéáßñåóç åêôåëåßôáé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ óõæõãïýò ôïõ ìéãáäéêïý ôïõ ðáñïíïìáóôÞ.

ïé âáóéêÝò ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëá-

¸óôù z1 = α + βi , z 2 = γ + δi ≠ 0 .

ðëáóéáóìïý ðïõ ãíùñßóáìå óôï R äéáôçñïýíôáé ìå ôïõò êáíüíåò ëïãéóìïý (ð.÷. åðéìåñéóôéêÞ, áíôéìå-

Ôüôå:

α + βi ( α + βi )( γ − δi ) = = ... = γ + δi ( γ + δi )( γ − δi )

ôáèåôéêÞ éäéüôçôá) êáé åðéðëÝïí êÜèå óôïé÷åßï ôïõ C

ãñÜöåôáé êáôÜ ìïíáäéêü ôñüðï óôçí ìïñöÞ :

αγ + βδ βγ − αδ + i γ 2 + δ2 γ 2 + δ2

z = α + βi üðïõ α,β ∈ R (êáíïíéêÞ ìïñöÞ). O áñéèìüò á ëÝãåôáé ðñáãìáôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäéêïý z êáé óõìâïëßæåôáé Re ( z ) = α åíþ ï áñéèìüò â ëÝãåôáé öáíôáóôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäéêïý z êáé

Im ( z ) = β

óõìâïëßæåôáé

äçëäÞ

z = Re ( z ) + Im ( z ) i .

Éäéüôçôåò ¼ìïéá üðùò óôï R ïñßæïõìå ãéá ôïí ìéãáäéêü

z = α + βi : i. z1 = z

ii. z 0 = 1 , ìå z ≠ 0

1 , v ∈ N* , z ≠ 0 zv iv. z v = z v −1 ⋅ z , v ∈ N , v > 1 iii. z − v =

Ôï óýíïëï R (ðñáãìáôéêïß áñéèìïß) áðáñôßæåôáé áðï ôïõò ìéãáäéêïýò ôçò ìïñöÞò z = α + 0i . Ïé ìéãáäéêïß ôçò ìïñöÞò z = 0 + βi ìå β ∈ R áðïôåëïýí ôï óýíïëï É (öáíôáóôéêïß áñéèìïß). Åßíáé öáíåñü üôé ôá óýíïëá R,I åßíáé ãíÞóéá õðïóýíïëá ôïõ óõíüëïõ ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí C.

ÓõæõãÞò ìéãáäéêïý - ÐñÜîåéò ¸óôù ï ìéãáäéêüò z = α + βi . ÏíïìÜæïõìå óõæõãÞ ôïõ z êáé óõìâïëßæïõìå ìå z ôï ìéãáäéêü áñéèìü

z = α − βi . ¸óôù äýï ìéãáäéêïß áñéèìïß z1 = α + βi êáé z 2 = γ + δi . Éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá: z1 = z 2 ⇔ α = γ êáé β = δ . Åéäéêüôåñá éó÷ýåé:

α + βi = 0 ⇔ α = β = 0

Äýíáìç ôïõ i Ãéá ôéò äõíÜìåéò ôïõ i åéäéêÜ ïñßæïõìå:

i1 = i , i 2 = −1 , i3 = i 2 ⋅ i = ( −1) ⋅ i = −i , i 4 = i 2 ⋅ i 2 = ( −1) ⋅ ( −1) = 1 . Ãåíéêüôåñá, i v = i 4π + υ = ( i 4 ) ⋅ i υ = 1 ⋅ i υ = i υ ,üðïõ ð ôï ðçëßêï êáé õ ôï õðüëïéðï ôçò Åõêëåßäåéáò äéáßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4 . π

ÅðåéäÞ υ = 0,1, 2,3 Ý÷ïõìå:

 1,  i,  iν = iυ =   −1,  −i,

αν υ = 0 αν υ = 1 αν υ = 2 αν υ = 3

231

ìéãáäéêïß áñéèìïß

Éäéüôçôåò óõæõãþí É. Ãéá ôïõò óõæõãåßò ìéãáäéêïýò áñéèìïýò

z = α + βi êáé z = α − βi éó÷ýïõí: ii. z + z = 2α = 2 Re ( z )

i. zz = α 2 + β 2

iii. z − z = 2βi = 2i Im ( z ) ÉÉ. ¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z = α + βi . Ôüôå: i. Ï áñéèìüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,

z=z ii. Ï áñéèìüò z åßíáé öáíôáóôéêüò ,áí êáé ìüíïí áí,

z = −z

íåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí z = α + 0i = α , åíþ

III. Ãéá ôïõò ìéãáäéêïýò z , z , z1 , z 2 éó÷ýïõí: i.

Ï Üîïíáò x ' x ëÝãåôáé ðñáãìáôéêüò Üîïíáò, áöïý ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá Μ ( α, 0 ) ðïõ åßíáé åéêü-

z=z

ii. z1 + z 2 = z1 + z 2

êáé ãåíéêüôåñá

ï Üîïíáò y ' y ëÝãåôáé öáíôáóôéêüò Üîïíáò, áöïý ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá M ( 0,β ) , ðïõ åßíáé åéêüíåò ôùí öáíôáóôéêþí áñéèìþí z = 0 + βi = βi . Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí óõæõãþí ìé-

z1 + z 2 + ... + z v = z1 + z 2 + ... + z v , v ∈ N

iii. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 êáé ãåíéêüôåñá

ãáäéêþí áñéèìþí z = α + βi êáé z = α − βi åßíáé áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá M ( α,β ) êáé Λ ( α, −β ) ðïõ åßíáé óçìåßá óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x ' x .

z1 ⋅ z 2 ...z v = z1 ⋅ z 2 ...z v , ãéá êÜèå v ∈ N . *

 z1 

iv.   =  z2  z2 v.

( zk ) = ( z )

( z2 ≠ 0) , ãéá êÜèå ìç ìçäåíéêü áêÝñáéï k.

Ìéãáäéêü åðßðåäï ¸óôù ï ìéãáäéêüò z = α + βi . Óôï ìéãáäéêü áñéèìü z ìðïñïýìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï óçìåßï M ( α,β ) åíüò

êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ. ÁëëÜ êáé áíôéóôñüöùò óå êÜèå óçìåßï M ( α,β ) ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ ìðïñïýìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï ìéãáäéêü áñéèìü z = α + βi . Ôüôå ôï óçìåßï Ì ëÝãåôáé åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý z êáé óõìâïëßæåôáé êáé ìå Μ ( z ) . Åðßóçò ç äéáíõóìáôéêÞ

áêôßíá OM ôïõ óçìåßïõ M ( α,β ) ëÝãåôáé êáé äéáíõóìáôéêÞ áêôßíá ôïõ ìéãáäéêïý êáé ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá ìéãáäéêþí ôá áíôéìåôùðßæïõìå óôç óõíÝ÷åéá ôáõôßæïíôáò ôïí ìéãáäéêü ìå ôç äéáíõóìáôéêÞ ôïõ áêôßíá. ¸íá åðßðåäï ôïõ ïðïßïõ ôá óçìåßá èåùñïýíôáé åéêüíåò ìéãáäéêþí áñéèìþí ëÝãåôáé ìéãáäéêü åðßðåäï.

Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí áíôßèåôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí z = α + βi êáé −z = −α − βi åßíáé

áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá M ( α,β ) êáé Κ ( −α, −β ) , ðïõ åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ Ï ôùí áîüíùí. Åðßëõóç ôçò åîßóùóçò áz 2 + âz + ã = 0 (1) óôï óýíïëï C, ìå á, â, ã ðñáãìáôéêïýò êáé á äéÜöïñï ôïõ ìåäåíüò. Ç äéáêñßíïõóá ôçò (1) åßíáé ∆ = β 2 − 4αγ .

• Áí ∆ > 0 ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò: z1,2 =

−β ± ∆ 2α

• Áí ∆ = 0 ç (1) Ý÷åé ìßá äéðëÞ ðñáãìáôéêÞ ñßæá ôçí:

z=−

β 2α

• Áí ∆ < 0 ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ìéãáäéêÝò óõæõãåßò:

z1,2 =

−β ± i −∆ 2α

Éó÷ýïõí ïé ôýðïé ôïõ Vieta, äçëáäÞ

z1 + z 2 = −

β γ êáé z1 z 2 = α α ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

232

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá ÁóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá ãñáöåß óôçí êáíïíéêÞ ìïñöÞ äçë. óôç ìïñöÞ α + βi ìå α,β ∈ R , Ýíáò ìéãáäéêüò áñéèìüò. Ôüôå åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò üðùò ôéò ïñßóáìå óôç èåùñßá (äõíÜìåéò - ôáõôüôçôåò ê.ë.ð).

Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü x þóôå ï áñéèìüò

z = ( 1 − 2συνx ) + iηµ2x íá åßíáé: á. öáíôáóôéêüò, â. ðñáãìáôéêüò. Ëýóç á. Ï ìéãáäéêüò z åßíáé öáíôáóôéêüò áí êáé ìüíïí

Íá ãñÜøåôå óôç ìïñöÞ α + βi ôïí ìéãáäéêü áñéèìü: z =

5 2+ i 2−i  + 6  2 − i 2 + i 

Ëýóç Åßíáé

áí, Re ( z ) = 0 êáé lm ( z ) ≠ 0 .

Re ( z ) = 0 ⇔ 1 − 2συνx = 0 ⇔ συνx =

1 2

1 π = συν ⇔ 2 3 π π x = 2kπ + ή x = 2kπ − , k ∈ Z 3 3

συνx =

2 2 5  2 + i 2 − i  5  (2 + i) + (2 − i)  z=  + = =  6  2 − i 2 + i  6  ( 2 − i )( 2 + i )  5  4 + 4i − 1 + 4 − 4i − 1  =  = 6 4 +1 

58−2 5 6 =   = ⋅ = 1 = 1 + 0i 6 5  6 5 Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá äåßîïõìå üôé äýï ìéãáäéêïß z1 , z 2 åßíáé ßóïé Þ æçôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå

π 2π   åßíáé ηµ  4kπ ± ≠0. 3 3   â. Åßíáé ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z ðñáãìáôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,

Ãéá x = 2kπ ±

lm ( z ) = 0 ⇔ ηµ2x = 0 ⇔ 2x = kπ, k ∈ Z ⇔ kπ x= , k∈Z 2

íá åßíáé ßóïé: ÃñÜöïõìå ôïõò z1 , z 2 óôçí êáíïíéêÞ ôïõò ìïñöÞ

z1 = α + βi , z 2 = γ + δi êáé äéáðéóôþíïõìå üôé α = γ êáé β = δ Þ áðáéôïýìå á = ã êáé â = ä , üôáí æçôïýíôáé óõíèÞêåò, þóôå íá åßíáé ßóïé.

Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á, â þóôå ïé ìéãáäéêïß

z1 = ( −2α + 3β ) + ( 2α + β ) i êáé z 2 = ( 3 − i ) i íá åßíáé ßóïé. Ëýóç Åßíáé z 2 = ( 3 − i ) i = 3i − i 2 = 1 + 3i ,  −2α + 3β = 1 β = 1 β = 1 ⇔ ⇔ z1 = z 2 ⇔   2α + β = 3  2α + 1 = 3 α = 1

Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á, â, þóôå ïé ìéãáäéêïß z1 = ( α + β − 3 ) + 2i

êáé z 2 = ( 2α − 1) + ( α + β ) i íá åßíáé ßóïé. Ëýóç Ïé ìéãáäéêïß áñéèìïß z1 , z 2 åßíáé ßóïé, áí êáé ìüíïí áí, Re ( z1 ) = Re ( z 2 ) α + β − 3 = 2α − 1   και και ⇔ ⇔   lm z = lm z α + β = 2 ( 2)   ( 1) β − α = 2   και ⇔ α = 0, β = 2 β + α = 2  Õðïëïãéóìüò ðáñáóôÜóåùí ìå äõíÜìåéò ôïõ i (áêÝñáéïò åêèÝôçò). Ç ðáñÜóôáóç i ν éóïýôáé ìå i υ ,üðïõ õ åßíáé ôï õðü-

233

ìéãáäéêïß áñéèìïß

ëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4. ÅðïìÝíùò ïé äõíáôÝò ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò i ν åßíáé

ii. Åßíáé ω =

i 0 = 1 , i1 = i , i 2 = −1 , i 3 = −i .

3 + αi ( 3 + αi )( β + 3i ) = = β − 3i ( β − 3i )( β + 3i )

( 3β − 3α ) + ( 9 + αβ ) i β +9 2

Íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò Á ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ i10 + i 50 èåôéêïý áêåñáßïõ í ìå A = ν + 1 . i

Ëýóç Åßíáé i 50 = i 4⋅12 + 2 = i 2 = −1 ,

i10 = i 4⋅2 + 2 = i 2 = −1 , i v +1 = i v ⋅ i = i 4 π + υ i = i υ ⋅ i

−1 − 1 −2 −2 ( −i ) = = = 2i i i −i 2 −1 − 1 Α= =2 −1 −1 − 1 −2 −2i = = = −2i Α= −i −i −i 2 −1 − 1 −2 Α= = = −2 −i ⋅ i −i 2

-Ãéá υ = 0

Α=

-Ãéá υ = 1 -Ãéá υ = 2 -Ãéá υ = 3

Óå áóêÞóåéò üðïõ æçôåßôáé íá äåé÷èåß üôé Ýíáò ìéãáäéêüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò Þ öáíôáóôéêüò Þ æçôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå o áñéèìüò z íá åßíáé ðñáãìáôéêüò Þ z öáíôáóôéêüò: ÃñÜöïõìå ôïí z óôç ìïñöÞ z = x + yi êáé äéáðéóôþíïõìå üôé y = 0 Þ

x = 0 ,áíôßóôïé÷á Þ äéáðé-

3β − 3α 9 + αβ + i β2 + 9 β2 + 9

Ï ù åßíáé öáíôáóôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,

3β − 3α = 0 ⇔ α = β. β2 + 9 Ëýóç åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αz = β, α,β ∈ R Þ

αz 2 + βz + γ = 0 , ìå α,β, γ ∈ R êáé α ≠ 0 . 2 Ç åîßóùóç αz + βz + γ = 0 ëýíåôáé ìå ôç âïÞèåéá

ôçò äéáêñßíïõóáò üðùò áíáöÝñáìå óôç èåùñßá. Áí ç åîßóùóç äåí åßíáé äåõôåñïâÜèìéá ôüôå èÝôïõìå

z = x + yi , åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò êáé êáôáëÞãïõìå óôç ìïñöÞ α + βi = 0 . Óôç óõíÝ÷åéá ëýíïõìå ôï óý-

α = 0 . ÔÝëïò ç åîßóùóç αz = β ìå α,β ∈ C β = 0

óôçìá 

ìðïñåß íá ëõèåß üðùò áêñéâþò êáé óôï R. ¼ôáí æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóèåß ìéãáäéêüò z ðïõ éêáíïðïéåß ìéá éóüôçôá üðïõ õðÜñ÷åé ï z êáé ï óõæõãÞò ôïõ, Þ ôï ìÝôñï ôïõ z, ôüôå èÝôïõìå z = x + yi óôçí äïóìÝíç ó÷Ýóç êáé ðñïóäéïñßæïõìå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò x êáé y.

óôþíïõìå üôé z = z Þ áðáéôïýìå z = z üôáí æçôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå z ∈ R Þ

áðáéôïýìå

z = − z , áí æçôåßôáé ï z íá åßíáé öáíôáóôéêüò.

i. Íá äåßîåôå üôé ãéá êÜèå z ∈ C êáé

(z)

v ∈ N* ï

+ z v åßíáé ðñáãìáôéêüò.

ii. Íá âñåèïýí ïé α,β ∈ R þóôå ï áñéèìüò

ω=

3 + αi íá åßíáé öáíôáóôéêüò. β − 3i

ω = ( z ) + zv = ¢ñá ω ∈ R .

(z)

ii. z 2 − 3 3 ⋅ z + 9 = 0

iii. z 2 + z − 2 = 0

2 iv. â. z = 3 + 4i

Ëýóç i. Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:

⇔ −3i − 2 + 3 + z ( −1 − 2i − 4 − 3i ) = 1 + 7i

i. ( 1 + 2i )( i − z ) − ( 4i − 3 )( 1 − iz ) = 1 + 7i

⇔ i − z − 2 − 2iz − 4i − 4z + 3 − 3iz = 1 + 7i

i. ¸óôù ω = ( z ) + z , ôüôå v

Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i − z + 2i ( i − z ) − ( 4i − 4i 2 z − 3 + 3iz ) = 1 + 7i

Ëýóç v

+ ( z ) = zv + ( z ) = ω . v

⇔ z ( −5 − 5i ) = 10i ⇔ −5z (1 + i ) = 10i

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

234

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

−2i (1 − i ) −2i 10i ⇔z= = ⇔z= = −5 (1 + i ) 1 + i (1 + i )(1 − i ) −2i + 2i 2 −2 − 2i . = 1+1 2 ¢ñá z = −1 − i .

Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ôùí (1) êáé (2) óôï ôåôñÜãùíï êáé ôéò ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç:

( x 2 − y 2 ) + 4x 2 y 2 = 9 + 16 ⇔ 2 ( x 2 + y 2 ) = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 5 2

ii. Åßíáé

(

)

∆ = β2 − 4αγ = −3 3 − 4 ⋅ 9 = 27 − 36 = −9 < 0, ïðüôå ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé:

3 3 ± i 9 3 3 ± 3i 3 3 3 = = ± i. 2 2 2 2 iii. ÈÝôïõìå z = x + yi , x, y ∈ R óôçí (1) êáé Ý÷ïõìå:

 x 2 − y 2 = 3 Áðü ôéò (1) êáé (3), ðáßñíïõìå:  2 2  x + y = 5 ìå ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ôùí ðáñáðÜíù åîéóþóåùí ðñïêýðôåé ôï óýóôçìá:  2x 2 = 8  x 2 = 4  x = 2 ή x = −2  ⇔ ⇔ και   2  y = 1 ή y = −1  2  y = 1  2y = 2

z1,2 =

( x + yi )

+ ( x − yi ) − 2 = 0 ⇔

x − y + x − 2 + ( 2xy − y ) i = 0 ⇔ 2

êáé åðåéäÞ 2xy = 4 , ïé x, y åßíáé ïìüóçìïé, Üñá:

( x = 2 και y = 1)

x 2 − y2 + x − 2 = 0 x 2 − y2 + x − 2 = 0   ⇔  και ⇔  και 2xy − y = 0  y 2x − 1 = 0 )   ( 2 2  x − y + x − 2 = 0 ( 2 ) ⇔  y = 0 ή 2x − 1 = 0 ( 3)

• Áí y = 0 , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé:

( 3)

Þ ( x = −2 και y = −1)

ÅðïìÝíùò ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé : z = 2 + i êáé z = −2 − i . Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ìéãáäéêïý áñéèìïý z ðïõ äßíåôáé ðáñáìåôñéêÜ. ÃñÜöïõìå ôïí ìéãáäéêü z óôçí êáíïíéêÞ ôïõ ìïñöÞ êáé êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ áðü ôá Re(z) êáé Im(z).

x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 Þ x = −2 , Üñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé ïé áñéèìïß

z = 1 + 0i , z = 2 + 0i • Áí x =

äéêþí z = ( 1 + 5i ) λ + 2 − 3i, λ ∈ R .

1 , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé: 2

1 1 5 − y2 + − 2 = 0 ⇔ y2 = − 4 2 4 ðïõ åßíáé áäýíáôç. iv. Åäþ äåí èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïí ôýðï ôçò äéáêñßíïõóáò, ãé’ áõôü èÝôïõìå z = x + yi êáé 2 Ý÷ïõìå: ( x + yi ) = 3 + 4i ⇔

x 2 − y 2 + 2xyi = 3 + 4i ⇔ 2 2  x − y = 3 (1)  ( 2) 2xy = 4

Íá âñåßôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí ôùí ìéãá-

Ëýóç Ï ìéãáäéêüò z ãñÜöåôáé

z = λ + 5λi + 2 − 3i = ( λ + 2 ) + ( 5λ − 3) i . Áí z = x + yi ôüôå x = λ + 2 êáé y = 5λ − 3 . Ðñïêýðôåé ëïéðüí λ = x − 2 êáé

y = 5 ( x − 2 ) − 3 = 5x − 13 ÄçëáäÞ ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ z åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y = 5x − 13 .

235

ìéãáäéêïß áñéèìïß

Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí z ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:

óôï ó÷Þìá i.

â. lm ( z ) = 3

á. Re ( z ) = −2 Ëýóç

á. ¸óôù z = x + yi ï ìéãáäéêüò ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé Re ( z ) = −2 ôüôå:

Re ( z ) = −2 ⇔ Re ( x + yi ) = −2 ⇔ x = −2 .

ii. Ïé ìéãáäéêïß ìå Re ( z ) = −2 åßíáé ïé áñéèìïß

¢ñá, ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ z

ôçò ìïñöÞò −2 + yi , ìå y ∈ R . ¢ñá, ïé åéêü-

åßíáé ç êáôáêüñõöç åõèåßá x = −2 . â. ¸óôù z = x + yi ìéãáäéêüò ôÝôïéïò þóôå

íåò ôïõò áíÞêïõí óôçí åõèåßá x = −2 . (ó÷.ii)

lm ( z ) = 3 , ôüôå: lm ( z ) = 3 ⇔ lm ( x + yi ) = 3 ⇔ y = 3 . ¢ñá,ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ

z = x + yi åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y = 3 .

Íá âñåßôå ôïõò á êáé â þóôå ç åîßóùóç:

iii. Ïé ìéãáäéêïß ìå Im ( z ) = 1 åßíáé ôçò ìïñöÞò

z + αz + β = 0 , ìå á êáé â ðñáãìáôéêïýò

x + i , x ∈ R ,Üñá ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá ( x,1) , üðïõ x ∈ R . Åßíáé äçëáäÞ ôá óçìåßá

íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü 2 − i . Ëýóç Ãíùñßæïõìå üôé ç Üëëç ñßæá ôçò åîßóùóçò èá åßíáé ç 2+i, áöïý ç äåõôåñïâÜèìéá Ý÷åé óõæõãåßò ìéãáäéêïýò ùò ñßæåò. Åðßóçò, ãíùñßæïõìå üôé áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñßæåò x1, x2, ôüôå:

ôçò åõèåßáò y = 1 .(ó÷.iii)

x1 + x 2 = −α êáé x1 x 2 = β . ÅðïìÝíùò,

(2 + i) + (2 − i) = α

êáé

(2 + i) ⋅ (2 − i) = β áðü üðïõ ðáßñíïõìå α = 4 êáé β = 5 êáé óõíåðþò ç æçôïýìåíç åîßóùóç åßíáé ç z 2 + 4z + 5 = 0 .

iv. −2 ≤ Re ( z ) ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 . ÅðïìÝíùò, ïé åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí âñßóêïíôáé óôï åðßðåäï ðïõ ïñéïèåôåßôáé áðï ôéò êáôáêüñõöåò åõèåßåò x = −2 êáé x = 2 Þ ðÜíù óôéò äýï åõèåßåò x = −2 êáé x = 2 .(ó÷.iv)

Íá ðáñáóôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï i. ôïõò ìéãáäéêïýò: z1 = 1 − 2i, z 2 = 3 + i

ii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå Re ( z ) = −2 iii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå Im ( z ) = 1 iv. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå −2 ≤ Re ( z ) ≤ 2 Ëýóç i. Ïé åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí z1 êáé z2 öáßíïíôáé ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

236

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã204. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü:

Ã194. Äßíåôáé ï ìéãáäéêüò: z = 4 − 2yi − x ( 3i − 2) + 6i − ( 3 − 4i ) − 3yi á. Íá ãñáöåß óôç ìïñöÞ α + βi â. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:

i. Re ( z ) = 0 ,

z = 41i1960 + 35i1966 + 16i1985 + 9i1992

Ã205. Áí

ii. lm ( z ) = 0 ,

íá äåßîåôå üôé ï áñéèìüò w =

iii. Re ( z ) = lm ( z )

Ã 195.

Ã206. ¸óôù

z ∈ C* . i. Íá ôïðïèåôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ôéò åéêüíåò ôùí z, i, iz. ii. Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò êáìðýëçò óôçí ïðïßá ðñÝðåé íá âñßóêåôáé ç åéêüíá ôïõ z þóôå ïé åéêüíåò ôùí z, i, iz íá âñßóêïíôáé óôçí ßäéá åõèåßá.

z = 2συνφ + ( 2ηµφ ) i , φ ∈ R .

α ∈ R þóôå ç åéêüíá

ôïõ ìéãáäéêïý z = ( α − 2) + ( α + 1) i íá åßíáé óçìåßï ôïõ êýêëïõ ìå åîßóùóç: x 2 + y2 = 9

Ã207. Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí ôùí ìéãáäéêþí z ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé

Ã197. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò

8  Re  z −  = − Im ( zi ) . z 

ôïõ ìéãáäéêïý z = ( α − 1) + ( 3α − 2) i , üôáí α ∈R .

Ã198. Íá âñåèåß ï ìéãáäéêüò

z = x + yi , ãéá ôïí

Ã208. Íá ëõèïýí óôï C, ïé åîéóþóåéò: i. 2iz − zz = −7 + 4i

â. z 2 = 3 − 4i

ïðïßï éó÷ýåé: á. z 2 = 2i

ii. z + 2iz = 5 + ( 3 + z ) i iii. z − 8 + zz = − zz − 2i + z

Ã199. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò: á. z = z

ã. z = z − 1

â. z 2 = z

Ã 209.

2002

ii. ( β − αi )

Ã201.

+ ( − y + xi )

2005

2002

+ i ( α + βi )

2005

ìéãáäéêïý z = z1 + 2z 2 íá áíÞêåé óôçí

= 0, x, y ∈ R =0.

åõèåßá ìå åîßóùóç y = x − 10 .

Ã210. ¸óôù: z = 9i + ( x 2 + 1) i + ( y2 i − 2) i + 6xi − 2y +,1

Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: z − z + 2 = 0 , 2

z∈C

üðïõ x, y ∈ R . Íá âñåßôå ôïõò x, y áí:

Ã202. Íá ëýóåôå óôï óýíïëï C ôéò åîéóþóåéò:

i. Re ( z ) = 0

á. x 2 − 4x + 8 = 0 êáé â. x 2 − 2x + 3 = 0

Ã 203.

Aí z1 = λ + i êáé z 2 = 2 + (1 − λ ) i íá âñåßôå ôïí λ ∈ R þóôå ç åéêüíá ôïõ

Ã200. Íá áðïäåßîåôå üôé: i. ( x + yi )

z1 z 2 + åßz 2 z1

íáé ðñáãìáôéêüò.

Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ ìéãáäéêïý

Ã196. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï

z1 , z 2 ñßæåò ôçò åîßóùóçò z2–2z+4=0,

Áí ìéá ñßæá ôçò 3x 2 − βx + γ = 0 , üðïõ

Ã 211.

ii. lm ( z ) = 0 iii. z = 0

Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí

β, γ ∈ R åßíáé ï áñéèìüò 2 − 3i , íá âñåßôå

åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z = x + yi óôï ìéãáäéêü åðßðåäï áí ï áñéèìüò:

ôéò ôéìÝò ôùí â êáé ã.

w = (1 − iz )(1 − z ) åßíáé ðñáãìáôéêüò.

237

ìéãáäéêïß áñéèìïß

ÌÝôñï ìéãáäéêïý ¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z = x + yi êáé Ì(z) ç

z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 (ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá)

åéêüíá ôïõ óôï ìéãáäéêü åðßðåäï. ÏíïìÜæïõìå ìÝôñï ôïõ ìéãáäéêïý z ôçí áðüóôáóç ôçò åéêüíáò Ì

• Ãéá ôéò åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí z1 , z 2 , éó÷ýåé á-

ôïõ z áðü ôçí áñ÷Þ Ï(0,0) ôùí áîüíùí êáé ôï óõì-

êüìá OM − ON = NM Þ MN = z1 − z 2 , äç-

âïëßæïõìå ìå:

z = ( OM ) = OM = x 2 + y 2

Éäéüôçôåò ôïõ ìÝôñïõ ìéãáäéêïý • ¸óôù z = x + yi ôüôå

+ y2

• Ãéá êÜèå ìéãáäéêü z = x + yi éó÷ýåé

z2 = z

ëáäÞ ôï ìÝôñï ôçò äéáöïñÜò äýï ìéãáäéêþí áñéèìþí åßíáé ßóï ìå ôÞí áðüóôáóç ôùí åéêüíùí ôïõò.

• ¸óôù ï ìéãáäéêüò z 0 = x 0 + y 0 i êáé Ýíáò èåôéêüò

ðñáãìáôéêüò ñ. Ç åîßóùóç z − z 0 = ρ ðáñéóôÜíåé

z = z = −z = − z =

= z ⋅ z = x 2 + y2

(

ôïí êýêëï ìå êÝíôñï ôçí åéêüíá K x 0 , y0

)

ôïõ

z0 êáé áêôßíá ñ. • ¸óôù ïé ìéãáäéêïß z1 , z 2 . Ç åîßóùóç

• Áí z1 , z 2 ìéãáäéêïß áñéèìïß ôüôå:

z − z1 = z − z 2 åßíáé ç åîßóùóç ôçò ìåóïêáèÝôïõ

z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 êáé ãåíéêüôåñá

ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôéò åéêüíåò

z1 ⋅ z 2 ...z v = z1 ⋅ z 2 ... z ν êáé

zν = z

A ( z1 ) êáé B ( z 2 ) ôùí z1 êáé z2 áíôßóôïé÷á.

, ν ∈ N*

• Áí z1 , z 2 ìéãáäéêïß áñéèìïß ìå z 2 ≠ 0 ôüôå

z1 z2

• Áí z1 , z 2 ∈ C ôüôå

ÊáôÜ ôçí åðÝêôáóç ôïõ óõíüëïõ R óôï óýíïëï C ïé ðñÜîåéò êáé ïé éäéüôçôÝò ôïõò ðïõ éó÷ýïõí óôï R ìåôáöÝñïíôáé êáé óôï óýíïëï C, åêôüò áðü ôç äéÜôáîç. Ôï óýíïëï C äåí åßíáé äéáôåôáãìÝíï, äçëáäÞ äåí ìðïñïýìå íá äéáêñßíïõìå áí Ýíáò ìéãáäéêüò åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ìéêñüôåñïò áðü êÜðïéïí Üëëï.

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

238

ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15

ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá 1

Íá âñåèïýí ôá ìÝôñá ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí: v  1+ i 3  4 + 3i ii. z 2 =  i. z1 =  , v ∈ N* . 4 − 3i 2  

Ëýóç

äåßîåôå üôé ï áñéèìüò z 1 ⋅ z 2 åßíáé öáíôáóôéêüò .

Ëýóç z1 + z2

49 + 576 =1. 625 v

 1+ i 3   1 3 1 i 3 =  +  = 1 ii. z 2 =   = + 2 2  2   4 4

z − 2iz + 2α ( 1 + i ) = 0 , üðïõ α ≥ 0 . 2

Ëýóç ¸óôù z = x + yi , x, y ∈ R . Åßíáé x 2 + y2

⇔

2z1z 2 = −2z1 z2 ⇔ z1z 2 = −z1z 2 ðïõ óçìáßíåé üôé z1z 2 ∈ I .

(

= z1 − z 2

z1 z1 + z1z 2 + z1 z2 + z2 z 2 = z1 z1 − z 2 z1 − z2 z1 + z 2 z2

Íá ëõèåß óôï óýíïëï C ç åîßóùóç

( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = ( z1 − z 2 ) ( z1 − z 2 ) ⇔ ( z1 + z2 )( z1 + z 2 ) = ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) ⇔

16 − 9 + 24i 7 24 = + i 25 25 25 7 2 24 2 + = 252 252

Íá äþóåôå ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá óôéò åðüìåíåò éóüôçôåò êáé áíéóüôçôåò:

i. z = 4

ii. 4z + 8i + 4 = 4

iii. 2 < z − 1 + 2i < 3

iv. z − 2 = z − 3i

Ëýóç

) − 2i ( x + yi ) + 2α (1 + i ) = 0 ⇔ 2

+ y 2 + 2y + 2α ) + 2 ( α − x ) i = 0 + 0i ⇔

x 2 + y 2 + 2y + 2α = 0  y 2 + 2y + 2α + α 2 = 0 ⇔ 2(α − x ) = 0 x=α 

i. ¸óôù z = x + yi êáé åðåéäÞ z = 4 Ý÷ïõìå:

x − yi = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 4 ⇔ x 2 + y 2 = 42 . ¢ñá ôï óçìåßï Ì(z) áíÞêåé óôïí êýêëï

x 2 + y2 = 16 .

ÅðåéäÞ y ∈ R ðñÝðåé

∆ ≥ 0 ⇔ −1 − 2 ≤ α ≤ −1 + 2 êáé åðåéäÞ α ≥ 0 åßíáé 0 ≤ α ≤ −1 + 2 . ¸ôóé y1,2 = −1 ± −α 2 − 2α + 1 . ¢ñá ïé ëýóåéò ôéò åîßóùóçò åßíáé:

(

)

z1 = α + −1 + −α2 − 2α + 1 i

(

íá

ÅðåéäÞ z1 + z2 = z1 − z 2 Ý÷ïõìå:

4 + 3i ( 4 + 3i )( 4 + 3i ) = = i. z1 = 4 − 3i ( 4 − 3i )( 4 + 3i )

Ïðüôå z1 =

Áí z 1 , z 2 ∈ C êáé z1 + z2 = z1 − z 2

êáé

)

z 2 = α + −1 − −α 2 − 2α + 1 i ìå ôçí ðñïûðüèåóç 0 ≤ α ≤ −1 + 2 .

ii. Åßíáé 4z + 8i + 4 = 4 ⇔ z − ( −1 − 2i ) = 1 . ¢ñá ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå êÝíôñï K ( −1, −2 ) êáé áêôßíá ρ = 1 .

239

ìéãáäéêïß áñéèìïß

iii. ¸÷ïõìå êáé

z − (1 − 2i ) > 2

(1)

z − (1 − 2i ) < 3

( 2)

Ç áíßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé Ýîù áðü ôïí êýêëï ìå êÝíôñï Ê(1,–2) êáé áêôßíá 2. Ç áíßóùóç (2) ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ êýêëïõ ìå êÝíôñï Ê(1,–2) êáé áêôßíá 3. ¢ñá ç äïèåßóá áíßóùóç ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé óôï åóùôåñéêü ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ ïñßæïõí áõôïß ïé ïìüêåíôñïé êýêëïé.

iv. Ãíùñßæïõìå üôé ç äïèåßóá åîßóùóç ðáñéóôÜíåé ôç ìåóïêÜèåôï ôïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá Á(2,0) êáé Â(0,3). ÈÝôïõìå z = x + yi ,ïðüôå: z − 2 = z − 3i ⇔ x − 2 + yi = x + ( y − 3) i

( x − 2 ) + yi ( x − 2)

= x + ( y − 3) i ⇔ 2

+ y 2 = x 2 + ( y − 3) ⇔ −4x + 6y = 5 2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Ã212.

Áí z1 = 1 êáé z 2 = 8 − 6i ôüôå ç ìåãá-

ëýôåñç ôéìÞ ôïõ z1 − z 2 åßíáé: Á. 10, Â. 15, Ã. 8, Ä. 14 , Å. 11 Ã213. Áí z1 = 1 êáé −z2 = 3 ôüôå ç åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôïõ z1 − z 2 åßíáé: Á. 6, Â. 2, Ã. 5, Ä. 8, Å. 4 Ã214. Ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý áñéèìïý z óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé z − 1 = z − 2i åßíáé Á. ï Üîïíáò y΄y Â. ç åõèåßá y = x Ã. ï Üîïíáò x΄x Ä. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá (1, 0 ) êáé ( 0, 2 ) Å. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá (0,–2) êáé (1,0).

Ã215. Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ï êýêëïò ìå êÝíôñï ôï óçìåßï Ê(1,2) êáé áêôßíá 5 åßíáé ïãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé: Á. z − (1 − 2i ) = 5 Â. z − (1 + 2i ) = 5 Ã. z − ( 2 + i ) = 25 Ä. z − ( 2 + i ) = 4 Å. z + ( 2 + i ) = 5

Ã216. Íá ëõèåß óôï C ç åîßóùóç: z2 − 2 z − 1 = 0 Ã217. ¸óôù ìéãáäéêüò z ìå z = z + 1 êáé ï z

ìéãáäéêüò w = z 2 .

1 2 Ã218. i. ¸óôù z1 , z 2 , z3 ∈ C ìå z1 = z 2 = z3 = 1 .

Íá äåßîåôå üôé Re ( w ) = − Íá äåßîåôå üôé :

z1 + z 2 + z3 = z1z 2 + z 2 z3 + z3 z1

ii. ¸óôù z1 , z 2 , z3 ∈ C ìå z1 + z 2 + z3 = 0 êáé z12 + z 22 + z 32 = 0 . Íá äåßîåôå üôé z1 = z 2 = z3

Ã219.

Èåùñïýìå ôïõò ìéãáäéêïýò z = λ + (1 − λ ) i ìå λ ∈ R êáé λ ≠ 1 . Íá áðïäåßîåôå üôé ç åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý w =

z +1 áíÞêåé óå z −1

åõèåßá ôçò ïðïßáò íá âñåßôå ôçí åîßóùóç. Ã220. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü z éó÷ýïõí: z − 1 = 10 1 = 12 êáé ãéá ôï ìéãáäéêü w 3 éó÷ýåé: 3wz + 6 = 6z − w , íá âñåßôå: i. ôï ìÝôñï ôïõ w ii. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü k éó÷ýåé: 3  3   2k −   k −  = 6ww , íá âñåèåß ï 2  4  ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ.

êáé z +

ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ

ΤΟ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΟΥ ΕΜΠΙΣΤΕΥΕΣΤΕ 41 ΧΡΟΝΙΑ Ο Φροντιστηριακός Οργανισμός ΟΡΟΣΗΜΟ (ΙΑΤΡΙΚΟ – ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΑΚΟ – ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) είναι από τους παλαιότερους και πλέον πρωτοποριακούς και επιτυχημένους οργανισμούς στον χώρο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Στόχος του είναι να προβάλλει πάντοτε τη συνεργασία και την ουσιαστική επικοινωνία ανάμεσα στο μαθητή, το γονιό και τον εκπαιδευτικό. Συνδυάζοντας 41 συναπτά έτη διδακτικής και συγγραφικής εμπειρίας και προσφοράς στην Παιδεία με εκσυγχρονισμένες και αποτελεσματικές μεθόδους διδασκαλίας, αγκαλιάζει τις ανάγκες του σύγχρονου μαθητή και του δίνει το «προβάδισμα» για την επιτυχία στην πρώτη του επιλογή. Αυτό αποδεικνύουν οι περισσότεροι από 39.000 επιτυγχόντες στα Α.Ε.Ι. της επιλογής τους. ΤΟ ΝΕΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Το νέο εξεταστικό σύστημα που θα ισχύσει για το σχολικό έτος 2015-2016 μειώνει τον αριθμό των μαθημάτων αλλά αυξάνει σημαντικά τη διδακτέα ύλη και εξειδικεύει τα θέματα των Πανελληνίων, με αποτέλεσμα να πολλαπλασιάζει το βαθμό δυσκολίας για την επιτυχία σε σχολές που απαιτούν τη συγκέντρωση εξαιρετικά υψηλής βαθμολογίας (Ιατρική, Πολυτεχνείο, Νομική). Το ΟΡΟΣΗΜΟ με ένα, στρατηγικά, σχεδιασμένο πρόγραμμα διδασκαλίας και καινοτόμες εκδόσεις, ανταποκρίνεται για ακόμη μια φορά με συνέπεια στις ανάγκες που επιτάσσει το σημερινό τοπίο στην Παιδεία. Για τον υποψήφιο που θα παρακολουθήσει τα ειδικά τμήματα των Φροντιστηρίων ΟΡΟΣΗΜΟ δεν υπάρχουν «εύκολες» και «δύσκολες» σχολές αλλά μόνο σχολές που τον ενδιαφέρουν να πετύχει. ΤΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΜΑΣ ΠΡΟΣΩΠΟ Στην ιδιαίτερα δύσκολη συγκυρία που βιώνουμε, τα όνειρα και τα σχέδια της νέας γενιάς για ένα καλύτερο μέλλον πλήττονται από τη σκληρή πραγματικότητα της οικονομικής κρίσης. Το ΟΡΟΣΗΜΟ, με αίσθημα ευθύνης απέναντι στην ελληνική οικογένεια, έχει προβεί σε σημαντικές μειώσεις διδάκτρων από την αρχή της κρίσης. Ειδικότερα:  επιδοτεί προγράμματα για ευάλωτες κατηγορίες οικογενειών (ανέργους, χαμηλού οικογενειακού εισοδήματος, πολύτεκνους)  ανακοινώνει ανά τακτά διαστήματα την παροχή υποτροφιών σε αριστούχους μαθητές,  επιχειρεί τη μεγαλύτερη δυνατή απορρόφηση του Φ.Π.Α. προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η επιβάρυνση στις οικογένειες των μαθητών μας.  παρέχει δωρεάν εκπαιδευτικό υλικό σε μαθητές ,  διεξάγει χωρίς επιβάρυνση test επαγγελματικού προσανατολισμού σε όσους μαθητές το επιθυμούν. Επειδή ο στόχος μας παραμένει πάντα να δώσουμε στους μαθητές μας την πρόσβαση στην εκπαίδευση που τους αξίζει… “Επειδή η γνώση είναι δύναμη και όχι προνόμιο των λίγων αλλά δικαίωμα των πολλών…”

Για Περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε την ιστοσελίδα μας: http://www.frontistiria.edu.gr/

Κεντρικό Αθήνας Αθήνα, Εμμ. Μπενάκη & Μαυροκορδάτου 6, τ.κ. 10678, orosimo.athina@gmail.com 210 38.08.357, 210 38.24.929 Επίσης Επισκεφθείτε τη σελίδα μας στο Facebook

Και το κανάλι μας στο Youtube