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De revolutionibus Nicolás Copérnico astrónomo polaco (1473-1543).

El modelo de Nicolás Copérnico es heliocéntrico, es decir, el Sol en el centro del Universo y los planetas girando a su alrededor. Este modelo fue completado con las tres leyes de Kepler (matemático y astrónomo alemán, 1571-1630).

Estos fascículos están disponibles en línea, visitando la página web: http://www.fpolar.org.ve/matematica2

El mundo de los modelos matemáticos Las matemáticas son reales en el sentido de que ellas están aún en relación con el mundo concreto, ... Un criterio importante para la investigación en matemática ha sido, es, y será, la apreciación de sus relaciones últimas con el mundo real.

Saunders MacLane Matemático estadounidense (1909 - ).

El término modelo no tiene el mismo significado en matemática que en la vida cotidiana.

Maqueta de la reurbanización de “El SIlencio”, 1942.

Modelo de modas.

Pintor y modelo George Apperley, pintor inglés (1884-1960).

MODELO MATEMÁTICO

Estudios de agitación por mareas en puertos mediante un modelo matemático.

Un modelo es una representación de la realidad, una expresión simplificada y generalizada de las características de una situación, fenómeno, objeto o sistema del mundo real. Es una abstracción de la realidad, la cual se expresa mediante palabras, números, símbolos especiales, diagramas, iconos, gráficas o semejanza en cuanto a apariencia o comportamiento entre el modelo y la entidad modelada; y se emplea para obtener una imagen conceptual que reduzca la variedad y la complejidad del mundo real a un nivel que podamos entender y especificar.

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Modelo para el estudio de la cinemática de la columna vertebral humana.

Representación simplificada del proceso de modelado REALIDAD

MODELO Algunos tipos de modelos

Discretos

Dinámicos

Continuos

Estáticos

Interesante: Otros tipos son los modelos digitales y los analógicos; los determinísticos y los estocásticos; los borrosos; etc.

Ejemplos de modelos: Una fotografía

Modelo de azar

Un mapa

Leyes de Kepler

Río Pregel

Representación del tiempo

Modelo del funcionamiento cardíaco

La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado), en lo que era la Prusia Oriental, se encuentra atravesada por el río Pregel (cuyo nombre actual es Pregolya). La ciudad estaba construida tanto en ambas orillas como en una isla en medio del río, estando entrelazada toda ella por 7 puentes como se muestra en el gráfico.

Se dice que los habitantes de la ciudad se entretenían tratando de encontrar una ruta para pasear con la condición de cruzar cada uno de los siete puentes y hacerlo sólo una vez. Como habían intentado hacerlo infructuosamente la mayoría pensaba que tal paseo era imposible.

Le tocó al insigne matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) ponerle punto final a la discusión: probó matemáticamente, en 1736, la imposibilidad de cruzar los siete puentes y hacerlo sin pasar dos veces por un mismo puente.

Euler resolvió el problema representando la situación mediante un modelo gráfico.

Este tipo de objeto matemático se conoce con el nombre de grafo: a los puntos rojos se les llama vértices y a las líneas verdes que los unen, aristas.

Este problema es el punto de inicio de dos importantes ramas de la matemática: la teoría de grafos y la topología combinatoria.

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Los modelos matemáticos En diversos textos de matemática, de ciencias, de economía, de arquitectura y de ingeniería, se hace referencia a los modelos y, en particular a: los modelos matemáticos, los modelos económicos, los modelos en ingeniería, los modelos arquitectónicos, etc.

Para llegar a la noción de modelo matemático presentamos cuatro situaciones que permitirán diferenciar qué es un modelo matemático de aquello que no lo es.

A. Sumar los n primeros términos de la sucesión 1,

1 4

,

1 1 , ,...

16 64

¿A qué número se aproxima la suma cuando el número de términos “crece indefinidamente”?

C. Si tenemos una fruta como la naranja, ¿cómo podemos calcular el volumen del sólido que ella define?

B. Con un ángulo de elevación de 35º miramos la copa de un árbol que está en una colina situada a nuestra derecha y a la cual no podemos llegar. Después nos desplazamos hacia la izquierda unos 100 m y al observar la copa del árbol lo hacemos con un ángulo de elevación de 25º. ¿A qué altura del piso está situado el punto más alto del árbol?

D. A continuación presentamos una tabla con datos de la población mundial: Año Población 1950 2 555 360 972 1960 3 039 669 330 1970 3 708 067 105 1980 4 454 389 519 1990 5 284 679 123 ¿Qué podemos hacer con esos datos?

Situación A Se trata de calcular la suma Sn = 1 +

1 4

+

1 16

1 1 +........+ 4n-1 .

64 1 1 1 , , ,... están en 4 16 64

+

1

Observa que los términos de la sucesión 1, progresión geométrica de razón 4 y, además, la gráfica de Sn, para valores n= 1, 2, 3, 4, 5,..., permite calcular “aproximadamente” a que “tiende Sn”.

He aquí dos formas de obtener Sn. Sn

Multiplicamos los dos miembros de

4 3

Sn = 1 +

1

1 4

Sn =

1 4

+

1 16

+

1 64

1 1 + + 1 4 16 64

+........+ +........+

1 4n-1

por la razón

1 4

1 + 1 4n-1 4n

Restamos (1) de (2) y cancelamos términos 1

2

3

4

5

Aplicando la fórmula conocida para sumarlos, resulta: Sn=

1 1 -1 4n-1 4 1 -1 4

=

1 4 3 3 • 4n-1

Sn = 1 +

1 4

+

1 16

+

1 64

1 4

Sn =

1 4

+

1 16

+

1 64

3 4

Sn = 1

n

Puede haber más caminos para encontrar esta suma.

de donde Sn=

1 4n-1

(1)

1 + 1 4n-1 4n

(2)

+........+ +........+

- 41n 1 4 3 3 • 4n-1

1

Observa: a medida que n crece, los números 4n-1 decrecen y cuando “n crece indefinidamente” entonces 1 “tiende a cero”. Por lo tanto, la suma Sn “tiende” a 4 . n-1 4

3

Esta situación (A) es un ejercicio rutinario, fácil de resolver al conocer la fórmula que da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Tiene una respuesta específica, particular, como consecuencia de aplicar esa fórmula, y un enunciado que contiene toda la información necesaria para resolverlo.

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Este teodolito fue utilizado en el inicio del siglo XX para la observación astronómica y con fines didácticos.

Situación B Hagamos una gráfica que ilustre el enunciado dado. Tal gráfica se presenta como en el dibujo.

El objetivo es calcular la altura H= AB= h+MA, siendo MA la altura del observador, digamos MA= 1,70 m.

La distancia DC= PN es conocida por estar dada en el enunciado, DC= PN= 100 m. En cambio, la CA= NM es desconocida, la denotamos por x (CA= NM= x).

B

En los triángulos rectángulos NMB y PMB, se tiene, respectivamente: tg 35º =

h x

, tg 25º =

MB = h

h 100 + x

Despejando h e igualando, resulta:

P

N

25º

35º

x tg 35º = (100+x) tg 25º

M

D

100 m

x

C

A

De aquí se puede calcular x como solución de esa ecuación de grado uno, siempre que conozcamos los valores de las tangentes de esos ángulos, lo cual hoy en día es fácil de obtener con una calculadora científica.

Así, tg 25º = 0,466 308 ; tg 35º = 0,700 208 (redondeamos con seis decimales), resultando x≈199,362.121.

Con este valor de x determinamos la altura h, pues h = x tg 35º ≈ 139,59 m. En consecuencia, H ≈ 1,70 + 139,59 = 141,29 m.

Esta situación también es la de un problema específico, con un enunciado más complejo que el de la situación A y requiriendo más pasos para su resolución y no la simple aplicación de una fórmula. Hay que efectuar más cálculos y construir una gráfica como la anterior. Análogamente, como en la situación A, tiene una respuesta específica, un enunciado que involucra las variables y constantes a considerar.

Puede haber más de una forma de resolverlo y se puede generalizar, al igual que en A, considerando datos variables y no numéricos.

RETO Calculando ángulos y aplicando la ley de los senos, puedes calcular h. ¿Cómo? También puedes calcular x. ¿Piensa en otra forma de resolverlo?

Interesante 75 65 70

35 40 20 25 30

15 10

70

65

60 55 50

10

5

5

75

15

Ojo

60

80

25 20 35 30

También hay los “teodolitos caseros” que uno puede construir manualmente, como éste que ilustramos aquí.

45

55 50

90

0 45 4

El ángulo de elevación cuando miramos un objeto es el formado por la horizontal y la visual que dirigimos hacia dicho objeto. El mismo se determina con un teodolito: instrumento utilizado en geodesia y topografía para medir ángulos.

Transportador

85

85 80

Pitillo fijado en el origen, con un alfiler, que se utiliza como mira y poder así calcular la inclinación.

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Los modelos matemáticos Situación C La situación C presenta características distintas de las de A y B. El enunciado de C es bastante simple, no así su resolución que tiene más de una respuesta dependiendo de las premisas que utilicemos y, en consecuencia, se requieren diversos métodos para encontrar las respuestas.

Podemos hacer variantes de esta situación utilizando otras frutas: manzanas, limones, peras, piñas, etc., o algunos objetos para los que no existen fórmulas específicas para determinar sus volúmenes.

Comencemos con lo que será el proceso de modelación matemática para esta situación.

Los cálculos son para la naranja de la fotografía.

•

Podemos iniciar el cálculo bajo la hipótesis de que casi todas las naranjas tienen, aproximadamente, FORMA ESFÉRICA. Esto es análogo a la forma de la Tierra, donde hay un radio polar y otro radio ecuatorial.

1

L=2πR es la longitud de una circunferencia de radio R. C

R’

R

C’

3

V=(4/3)πR es el volumen de una esfera de radio R. 3

Con radio R la longitud de C es L = 2 π R.

Con radio R’ la longitud de C’ es L’= 2 π R’.

Para calcular L podemos medir la longitud de la circunferencia C con una cinta flexible o con un cordel. Se hizo dos o tres veces para compensar los errores de medición y para esto tomamos la media de las medidas, resultando L≈ 24,03 cm. De donde Vd = ≈ 234,32 cm3 (valor por defecto).

Para calcular L’ podemos medir la longitud de la circunferencia C’ con una cinta flexible o con un cordel. Se hizo dos o tres veces para compensar los errores de medición y para esto tomamos la media de las medidas, resultando L’≈ 24,3 cm, luego Ve ≈ 242,31 cm3 (valor por exceso).

2

V=L /6π es el volumen de una esfera en función de la longitud L de cualquier circunferencia máxima.

Utilizamos π≈3,141 6.

El promedio de Vd y Ve es V≈ 238,32 cm3, otro valor próximo al volumen de la naranja.

2

V=πR2H es el volumen de un cilindro circular de altura H y radio de la base R.

• Se puede dividir la longitud del segmento

CD (CD ≈ AB) en varias partes iguales.

Al efectuar la medición resultó, CD ≈ 7,2 cm y lo dividimos en tres partes iguales, cada una de 2,4 cm.

Luego, se puede aproximar el volumen de la naranja considerando los CILINDROS EXTERIORES dibujados.

Se determinan con un vernier, o una cinta métrica flexible, los diámetros o las longitudes de las circunferencias, respectivamente, a los fines de calcular los radios de las bases de estos cilindros.

126

D

A

2,4 3,092 3,569

2,4

3,1 2,4 C

B

Calculamos el volumen de cada cilindro y los sumamos: V1 ≈ 2,4 · π (3,092)2 ≈ 72,08 cm3 V2 ≈ 2,4 · π (3,569)2 ≈ 96,04 cm3 V3 ≈ 2,4 · π (3,1)2 ≈ 72,46 cm3, V1 + V2 + V3 ≈ 240,58 cm3, valor bastante próximo al obtenido anteriormente de V ≈ 238,32 cm3.

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t

3

• Ahora podemos cortar la naranja por un “plano de simetría” (corte

longitudinal) y calcar la sección plana resultante en un papel cuadriculado o en un papel milimetrado. Esa forma plana es aproximadamente simétrica respecto del eje dibujado t, en consecuencia, la naranja se obtiene por rotación, en torno al eje, de la región S situada a la derecha del mismo.

S

Esto permite calcular el volumen utilizando una propiedad conocida con el nombre de Teorema de Pappus: Si una región plana S está situada a un lado de una recta t del mismo plano, entonces el volumen del sólido obtenido al girar S en torno de la recta t es igual a 2πdA (A es el área de S), donde d es la distancia del centro de masa de S a la recta t.

Para calcular el área de S, lo hacemos por aproximación.

Contando el número de cuadrados interiores y el número mínimo de cuadrados exteriores que cubren a S, se obtienen aproximaciones por defecto Ad y por exceso Ae de dicha área: Ad ≈ 66 · 0,25 cm2 = 16,5 cm2 , Ae ≈ (66 + 36) · 0,25 cm2 = 25,5 cm2 , valor promedio ≈ 21 cm2 (el área de S).

La distancia d se calcula por un procedimiento mecánico o por aproximación con los cuadrados de la región.

En nuestro caso resultó d ≈ 1,7 cm o bien 1,8 cm. Su promedio es d = 1,75 cm.

Por lo tanto, por el teorema de Pappus resulta: V ≈ 2 · 3,1416 · 21 · 1,75 cm3 ≈ 230,91 cm3.

•

0,52cm2 = 0,25 cm2

Un procedimiento físico que da una mejor aproximación del volumen V se basa en la propiedad siguiente: al sumergir la naranja en un recipiente con agua, el volumen de la naranja sumergida es igual al volumen del líquido desalojado.

4

Para esto se dispuso de un recipiente graduado y se llevó a cabo la experiencia unas tres veces, resultando una media de V = 233,11 cm3.

Podemos calcular los errores cometidos por las aproximaciones antes realizadas tomando como valor exacto del volumen 233,11cm3. Por ejemplo, en el primer procedimiento (forma esférica) cuyo resultado fue 238,32 cm3, se tiene el error porcentual 238,32 - 233,11 100 · ≈ 2,23% 233,11 lo cual indica que este valor aproximado es bastante aceptable.

•

5

Existen otros procedimientos, para el cálculo de este volumen, que utilizan herramientas de matemáticas superiores (el cálculo integral) y que requerirían determinar la ecuación de una circunferencia y de una parábola.

RETO: De manera análoga a lo realizado en este modelo, haz los cálculos con alguna fruta.

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Los modelos matemáticos La situación que venimos de analizar es lo que en matemática se denomina un modelo matemático.

Observa que aquí, a diferencia de las situaciones A y B, no tenemos una respuesta única pues ello dependió de las premisas formuladas: en un caso suponíamos forma esférica, en otro caso calculamos mediante cilindros, luego por intermedio de un área plana (con eje de simetría), y hay otras más que no analizamos.

Así, en matemática resolvemos ejercicios, problemas, se hacen aplicaciones, se construyen modelos matemáticos.

Simulación del movimiento de ¿Qué diferencias hay entre estos conceptos? Oigamos lo que a tal respecto señalan Edwards & Hamsom (1990):

mareas en los puertos de España, utilizando el Modelo Hamburg Shelf Ocean Model.

“¿Cuál es la diferencia entre un ‘modelo’ y un ‘problema’? (...)

Un problema, a menudo, tiene una respuesta específica correcta. Un modelo es más general y especulativo. Muy frecuentemente un modelo trata con cantidades de una manera general, representadas por símbolos sin especificar valores particulares.

Modelos diferentes pueden ser desarrollados para la misma situación y se pueden obtener respuestas distintas. No se trata de que una será ‘correcta’ y las otras ‘erradas’, no obstante que algunas pueden ser más útiles que otras. Resolver un problema requiere, a menudo, perspicacia y el uso de una técnica apropiada. Desarrollar un modelo requiere de esas cualidades conjuntamente con alguna imaginación creativa.”

A esto se suma la opinión del grupo temático del ICME 6 (Congreso Internacional de Educación Matemática, 1988, realizado en Budapest-Hungría): “Un problema matemático es una situación dando origen a ciertas cuestiones abiertas que son intelectualmente un desafío para alguien que no está en posesión inmediata de métodos, procedimientos o algoritmos directos, etc., el cual puede responder las preguntas y resolver los problemas. Los problemas son, por lo tanto, diferentes de los ejercicios. Los problemas pueden ser puros ..... o aplicados...

Centímetros

Afiche del Congreso Internacional de Educación Matemática realizado en Dinamarca en 2004.

Un modelo matemático es una colección de objetos matemáticos y de relaciones seleccionadas con el objeto de representar y reflejar aspectos de un área extramatemática dada (denominada “realidad”)...

Cuando la matemática se activa hacia un área extra-matemática, estamos enfrente de una aplicación de la matemática. El término “aplicación” es, por lo tanto, muy general...

La Resolución de Problemas, la Modelación Matemática y las Aplicaciones, así se sobrepongan en aspectos importantes, no son simplemente equivalentes, ni en contenido ni en sus aspectos sociológicos.”

Pappus de Alejandría (ca. 300 d.C.), es el último nombre importante de un matemático vinculado con la famosa escuela de Alejandría en la que laboraron Euclides, Arquímedes, Apolonio y otra pléyade de insignes matemáticos de la época. A él se debe una obra importante, la “Colección matemática”, ocho volúmenes que resumen los conocimientos anteriores, con sus comentarios y agregados. En el libro VII de esa Colección, se enuncia el hoy denominado teorema de Pappus de la siguiente forma: “Las figuras engendradas por rotación completa se obtienen como producto de lo que gira por el camino del baricentro móvil.”

Este teorema fue olvidado durante cierto tiempo hasta la época de Kepler (1615) quien extendió la teoría para usarlo en la rotación de varias figuras planas (incluyendo el toro como rotación de una circunferencia). En el s. XVII, un estudiante suizo, H. Guldin (1577-1643), lo redescubrió y a veces hoy en día se le llama teorema de Pappus-Guldin.

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