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El Terremoto de 1812 Tito Salas (1887-1974)

Los terremotos que han ocurrido en Venezuela, y seguirán ocurriendo, han sido producidos por liberación de la energía acumulada en las fallas: de Boconó (zona de los Andes), que va desde el Táchira hasta Lara, la de Tacagua-El Ávila al norte del Litoral Central y la de El Pilar (estado Sucre).

La función logarítmica entre ¿Porqué tiembla la tierra? Las fallas geológicas (zonas de la corteza terrestre que presentan fracturas y desplazamiento de rocas que tardan siglos en encontrar su equilibrio) son las responsables de los temblores que cada día se producen en nuestro planeta.

Si nuestros sentidos fuesen más finos percibiríamos una vibración incesante bajo nuestros pies.

En Venezuela, los expertos de las facultades de ingeniería y de la Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas, han identificado fallas importantes entre las que destacan la de Tacagua-El Ávila, la de Boconó en el estado Trujillo y la de El Pilar en Sucre.

Hoy en día, a pesar de los avances tecnológicos y del perfeccionamiento de los sismógrafos (aparatos que registran en un gráfico ondulatorio la hora, duración y amplitud de los sismos), la capacidad de predicción de un terremoto es muy pequeña. Se estima que en los últimos 6 000 años, los sismos han ocasionado en el mundo entre 10 y 15 millones de víctimas.

Caracas fue sacudida en 1967 por un terremoto que produjo 295 víctimas y que registró en la escala de Richter una magnitud de 6,7.

A raíz de ese terremoto se establecieron una serie de normas de construcción antisísmicas. Buena parte de las nuevas construcciones se han adecuado a ellas.

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temblores y terremotos Una forma de medir la magnitud de un sismo es mediante el empleo de la escala de Richter, en la que se relaciona la cantidad de energía liberada por un terremoto con valores numéricos comprendidos entre cero e infinito, aunque nunca se ha registrado un terremoto de magnitud mayor que 9. Los números en esta escala se acomodan de forma tal que un incremento unitario representa un incremento multiplicativo de 10 unidades en la magnitud del sismo.

Giuseppe Mercalli (1850-1914) Sismógrafo Charles Francis Richter (1900 -1985)

Para establecer la magnitud de un sismo en la escala de Richter con los datos que aporta el sismógrafo se emplea una función logarítmica de base 10, como la que se presenta a continuación: Magnitud R = log (a/T)+B 10

en donde a designa la amplitud del terremoto registrado en la estación sismológica (en micras), T es el período de la onda sísmica (en segundos) y B es un factor empírico que indica el debilitamiento al aumentar la distancia al epicentro del terremoto.

Magnitud en Escala de Richter

Efectos del terremoto

Menos de 3,5

Generalmente no se siente, pero es registrado

3,5 - 5,4

A menudo se siente, pero sólo causa daños menores

5,5 - 6,0

Ocasiona daños ligeros a edificios

6,1 - 6,9

Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.

7,0 - 7,9

Terremoto mayor. Causa graves daños

8 o mayor

Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.

MAGNITUD RICHTER -1,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10,0 12,0

R Equivalencia en cantidades de TNT* 6 onzas (170 gramos) 30 libras (13 kilogramos) 320 libras (145 kg) 1 tonelada 4,6 toneladas 29 toneladas 73 toneladas 3 1 x 10 toneladas 3 5,1 x 10 toneladas 3 32 x 10 toneladas 3 80 x 10 toneladas 6 1 x 10 toneladas (un megatón) 6 5 x 10 toneladas 6 32 x 10 toneladas 6 160 x 10 toneladas 9 1 x 10 toneladas 9 5 x 10 toneladas 9 32 x 10 toneladas 12 1 billón (1 x 10 ) toneladas (1 gigatón) 12 160 billones (160x 10 ) toneladas

*TNT= Trinitrotolueno

Se han ideado métodos, que mediante la provocación de pequeños sismos posibilitan la apreciación de cómo es la corteza terrestre y de la ubicación y tamaño de yacimientos subterráneos de fluídos y gases existentes en ella.

EJEMPLOS (aproximado) Romper una roca en una mesa de laboratorio Una pequeña explosión en un sitio de construcción Una gran explosión minera

Arma Nuclear pequeña Tornado promedio Terremoto de Little Skull Mountain, North Virginia, EEUU, 1992 Terremoto de Double Spring Flat, North Virginia, EEUU, 1994 Terremoto de Northridge, California,EEUU, 1994 Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu, Japón, 1995 Terremoto de Landers, California,EEUU, 1992 Terremoto de San Francisco, California,EEUU, 1906 Terremoto de Anchorage, Alaska, EEUU, 1964 Terremoto de Chile, 1960 Energía acumulada en falla tipo San Andrés, California,EEUU ¡¡Fracturar la tierra en dos mitades !!

Fuente: http://www.todoarquitectura.com

RETO: Suponte que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 500 km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio Juan Manuel Cajigal y que los sismógrafos registraron una amplitud de 10 micras y un período de la onda sísmica de 1 segundo. Sabiendo que la constante B es igual a 6,8 calcula la magnitud del movimiento. Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad.

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Torres sismorresistentes Las torres más altas del mundo están diseñadas bajo normas antisísmicas elaboradas por cada una de los gobiernos de los países donde han sido construidas.

La torre del Taipei Financial Center fue diseñada con una sismorresistencia de 7 grados en la escala de Richter.

Fuente: Revista Estampas. El Universal. Abril 2004.

Taipei Financial Center Taipei. Taiwan

Petronas

509 m equivalente a 25 edificios de 4 pisos

Kuala Lumpur. Malasia 452 m equivalente a 22,6 edificios de 4 pisos 101 pisos

88 pisos

Torre Sears Chicago. Estados Unidos 442 m equivalente a 22 edificios de 4 pisos

108 pisos

En el complejo Parque Central de Caracas, están construidas las dos torres más elevadas, con estructura en concreto, de Suramérica.

La mayoría de las edificaciones en Caracas y del resto del país ya han cumplido su vida útil, tales como las torres de El Silencio, las del Parque Central, universidades, hospitales, así como gran cantidad de urbanizaciones caraqueñas. De acuerdo a la normativa antisísmica existente en el país, la mayoría de las edificaciones deberían ser evaluadas para verificar si cumplen con las exigencias establecidas, y si no es así tendrían que reforzarlas estructuralmente.

Interesante: FUNVISIS es la institución oficial venezolana encargada de realizar y promover, en forma permanente y de acuerdo con las necesidades del país, investigaciones y estudios especializados en sismología, ciencias geológicas y de ingeniería sísmica, con fines de reducción de la vulnerabilidad, así como también de divulgar los nuevos conocimientos de las ciencias respectivas, participar en la formación de personal especializado e instalar, operar y mantener las redes sismológica y acelerográfica nacionales. Para información llame al 0-800-TEMBLOR (0-800-8362567). Fuente: www.funvisis.org.ve Boletín sismológico, septiembre 2004.

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Alexander Graham Bell (Norteamericano 1847-1922), en el momento de su primera prueba con el teléfono inventado por él, en 1876.

Logaritmos y acústica

Una de las características de los sonidos es la intensidad, que es el flujo de energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda sonora.

La intensidad sonora se mide en watts (vatios) por centímetro cuadrado (W/cm2).

Asimismo, la sensibilidad del oído humano a los sonidos de diversas frecuencias es distinta. Para cada frecuencia hay dos intensidades límites de los sonidos audibles (lo imperceptible y lo doloroso que es de 10-4 W/cm2).

En la práctica se utiliza otra forma de medir la intensidad mediante unidades como el bel (belio) y decibel (decibelio) en homenaje a Alexander Graham Bell y se refiere a una intensidad relativa: la intensidad B de un sonido está expresada en bels cuando se mide por el logaritmo decimal del cociente entre la intensidad I de ese sonido (W/cm2) y la intensidad I0 (W/cm2) de otro sonido tomado como referencia. Esto es: B=log

10

(I/I0) bels.

El sonido que se toma como referencia es el que tiene como intensidad I0 = 10-16 W/cm2 y como el bel resulta una unidad bastante grande, entonces se considera el decibel (dB) que es 10 veces menor (1 bel = 10 decibels), luego: B= 10 log

10

(I/I0) dB.

Los límites de los sonidos audibles se expresan en decibelios.

El sonido más débil que se puede percibir corresponde a I =10-16 W/cm2 , de donde B = 10 log10 (10-16/10-16 ) dB = 10 log10 (1) dB = 0 dB. El sonido más intenso corresponde a I =10-4 W/cm2, de donde B = 10 log10 (10-4/10-16 ) dB = 10 log10 (1012) dB = 120 dB. Lí m i (m te d ás e a dé ud Ig bi ici le l) ón si a va cí a Su su rro m ed Bi io bl io te ca S (ra ala di de o c m la od s R e e (a es ut ta rad om ur o) óv ant e il) Fá br ic a C a (R ll ui e c do o de n tr un áfic C al tre o le n) ru id os Ta a la dr o de Tú ca ne lle ld el M M et ot ro or de av ió n Au d (m ici ó Av ás n d ió int ol n en or a o re sa) sa ac ci ón

La gráfica de esos niveles de intensidad es:

Intensidad en W/cm Intensidad relativa en decibeles

2

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Los resultados de los exámenes de audiometría que se hacen en los consultorios médicos con el fin de determinar cuánto se tiene de pérdida en la audición de un paciente, se expresan en decibeles.

Audiograma de una persona que tiene pérdida de audición. (27/11/2002)

Ear_Exam.jpg

7/18/02 1:26:41 PM http://www.nursing.uiowa .edu/sites/LRS_equip_ph otos/Index-4.htm

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Logaritmos y química

Sören Sörensen químico danés (1868-1939)

Vimos que las funciones logarítmicas y sus inversas (las exponenciales), tienen diversas aplicaciones en curvas de aprendizaje, sismografía, acústica y la psicología. También hay otras áreas donde utilizamos estas funciones, entre ellas la química.

A veces cuando tomamos una limonada o un jugo de naranja, exclamamos ¡Qué ácido está! ¿A qué se refiere esto?

Los químicos tienen una forma de medir la acidez o la basicidad en una solución mediante un coeficiente, denominado pH (potencial de Hidrógeno), que permite caracterizar el grado de acidez o de basicidad de una solución.

Esto fue propuesto por Sören Sörensen.

El pH de una solución se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de iones de hidrógeno, esto es, pH = -log10[H+], en donde [H+] indica la concentración de iones de hidrógeno en la solución, la cual se expresa en moles-gramos de ión de hidrógeno por litro. De allí resulta [H+]=10-pH. Mol es la unidad de medida de la cantidad de sustancia, en el Sistema Internacional (SI) de medidas, e ión se refiere a un átomo o conjunto de átomos que han ganado o perdido uno o varios electrones por la acción de la radiactividad o por electrólisis (descomposición química de una solución mediante el paso de una corriente eléctrica).

Como la concentración del hidrógeno en el agua y en medios químicamente neutrales es igual a 10-7, entonces para el agua se tiene pH = -log10[10-7] = 7. En los ácidos la concentración de los iones de hidrógeno es mayor, y así se tiene la siguiente clasificación según los valores del pH. 10-6 6

id H

Por ejemplo, el pH del jugo de limón es 2,3 y el del vinagre es 2,6, entonces la diferencia entre esos grados de acidez es 0,3 pHvinagre - pHlimón = -log10[H+]vinagre - (-log10[H+]limón ) = 2,6 - 2,3 = 0,3 luego log10

[H+]limón [H+]vinagre

= 0,3 =>

[H+]limón [H+]vinagre

= 100,3= 1,995 262 315... ≈ 2,

por tanto, la concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón es el doble que en el vinagre.

RETO: Una solución molar tiene un mol de iones por litro ¿Cuál es su pH?

94

10-13 10-14 13 14

Solución Básica

ria rm al Le ch Pa e/ pa sa ng re

ho

10-11 10-12 11 12

ia

na

10-10 10

uv

Ll

Za

10-9 9

Ác

id

10-8 8

no

e at

no

To m

Vi

Li m Vi ó n na gr e

o

cl

or

hí

dr

ic

o

Solución Ácida

10-7 7

ró só xid di o co

10-5 5

s

10-4 4

jía

10-3 3

Le

10-2 2

NEUTRO

[H+] 10-1 pH 1

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Tengo que pensarlo

1

En el polígono dibujado en un papel cuadriculado, consideramos como unidad de longitud el lado del cuadrado más pequeño de la cuadrícula.

Para cada abscisa x, 0≤x≤18, denotamos por A(x) el área del polígono sombreado en el dibujo. a) Calcula los valores A(0), A(4), A(14) y A(18). b) Determina la expresión de la función A=A(x) definida en el intervalo 0≤ x ≤18. Sugerencia: determina la expresión de A(x) en cada uno de los siguientes intervalos: 0≤x≤4, 4≤x≤14, 14≤x≤18. c) Representa gráficamente esa función.

Y

0

2

18

x

X

El gráfico siguiente expresa la función de costo total C en términos de la cantidad de objetos producidos Q (C = C (Q)) a) El costo fijo es el correspondiente a Q = 0 ¿Cuánto es el costo fijo? b) ¿Cuánto es el costo correspondiente a la producción de 1 500 objetos? c) A partir de la producción de 3 000 objetos fabricados, el crecimiento del costo total es lineal. ¿Cuánto es el crecimiento del costo total en el intervalo 3 000 ≤ Q ≤ 7 500? ¿Cuánto es el crecimiento unitario del costo total en ese intervalo? ¿Cómo calcularía el costo cuando Q = 9 000?

C

Millones de Bs

21 18 15 12 9 6 3

Cantidad de objetos producidos 1 500

3 000

4 500

6 000

7 500

9 000

Q

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Tengo que pensarlo

3 H

h

4

a) Considera un recipiente cilíndrico sin tapa superior, de altura H y área de la base S0. Si vamos llenando ese recipiente con agua, el volumen V varía con la altura h medida a partir de la base.

Determina V como función de h y representa dicha función.

A

B

R

C

D

H h

b) Considera un recipiente cónico de altura H y de radio de la base R. Si vamos llenando ese recipiente con agua, el volumen V varía con la altura h, medida a partir del vértice.

Determina V como función de h y representa dicha función.

Una persona viaja hacia Puerto La Cruz y tiene convenido con otra persona encontrarse en Píritu a las 12 m., para almorzar juntos. Desea, por supuesto, que el encuentro ocurra a la hora fijada ya que no le gusta esperar ni ser esperado. Desde el lugar donde se encuentra llegaría a Píritu a las 12:15 p.m. si viaja en promedio a 80 km/h o a las 11:35 a.m. si viaja en promedio a 100 km/h, ¿a qué velocidad debería viajar para llegar a las 12 m.? Resuelve este problema gráfica y analíticamente.

2. c) 2 666,67 Bs/objeto.

3. a) V = S 0 h para 0≤h≤H 4. 86,49 km/h Gráficamente es b) V = kh3 para 0≤h≤H aproximadamente 24,80 x 106 Bs. πR2 Analíticamente C= 25 x 106 Bs. k= 2 3H

BIBLIOGRAFÍA

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• Azcárate G., Carmen & DEULOFEU P., Jordi (1990): Funciones y Gráficas. Editorial Síntesis, S.A., Madrid, España.

• Barbin E. y Douady D. (Directoras) (1996): Enseñanza de las Matemáticas: Relación entre Saberes, Programas y Prácticas. Publicación de los I.R.E.M., TOPIQUES éditions, Pont-à-Mousson, Francia.

• Cole K. C. (1997): The universe and the teacup. Harcourt Brace, Orlando, USA. • Hughes Hallet Deborah & Gleason, Andrew M., et al (2000): Cálculo (CAPÍTULO 1: Una biblioteca de funciones, pp. 1-97). Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V., México.

Páginas web • http://www.udc.es/dep/dtcon/estructuras/ETSAC/Investigacion/Terremotos/QUE_ES.htm • http://www.geologiaenlinea.com Revistas • Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, No. 25 (2000): “Construcción de conocimientos matemáticos para el siglo XXI”. Editorial Graò, España,

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