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Movimiento de un autom贸vil Para ir desde Petare (Caracas) hasta Caucagua hay que recorrer, aproximadamente, 60 km durante 50 minutos, y desde Petare hasta Boca de Uchire, 180 km durante 2 horas y 45 minutos.

C

El

Bo U ca ch de i re

t=0 min 60 km

t=50 min

t=120 min

t=165 min

la C

au

ta

re

ca g

Pe

vo

ua

La velocidad v con que se viaja y el espacio recorrido x dependen del tiempo t, esto es v = f(t), x= g(t), t en minutos o en horas medido a partir de t=0 cuando se comienza el viaje en Petare.

180 km

Tasas de variación o de cambio De los datos de la página anterior obtenemos las siguientes conclusiones: • De Caucagua hasta Boca de Uchire se recorren 120 km: g(165)-g(50) = 180 - 60 = 120 (km) • La velocidad promedio o velocidad media entre Petare y Caucagua fue: g(50) - g(0) 50 - 0

60 - 0 = 1,2 (km/min) = 72 (km/h) 50 - 0

y la velocidad media desde Petare hasta Boca de Uchire fue: g(165) - g(0) 165 - 0

180 - 0 ≈ 1,09091 (km/min) ≈ 65,45 (km/h).

165 - 0

Con solamente esos datos no podemos obtener cierto tipo de resultados. Por ejemplo: ¿Cuál fue la velocidad v = f(120) cuando pasamos por El Clavo? Esto se refiere a una velocidad instantánea.

EN CONCLUSIÓN: Dada una función y = f(x) y un intervalo cerrado [x1, x2], x1 < x2, el incremento x2 - x1 de la variable independiente se denota x ( x = x2 - x1) y se lee “delta de x”. Un estudio del cambio o variación de la función en ese intervalo se realiza mediante las tasas de cambio o de variación. y y = f(x) La variación total o absoluta de la función en ese f(x2) intervalo es f(x2) - f(x1), denotada y (se lee “delta de y”).

Así, y = f(x2) - f(x1).

La tasa media de variación de la función en ese intervalo es: f(x2) - f(x1) y x2 - x1

x

y

y

f(x1)

x

La tasa media de variación relativa de la función, en ese intervalo es: f(x2) - f(x1) f(x1) · (x2 - x1)

y f(x1) · x

la cual se expresa en porcentaje multiplicándola por 100.

0

x1

x2 x

RETOS: 1- Si y = F(x) y consideramos el intervalo de x1 a x2, x1 < x2 ¿Qué significado tienen los signos de y y de y/ x? ¿Qué significado tiene el hecho de considerar distintos intervalos en el eje Ox con igual amplitud x y que resulten intervalos verticales y de igual amplitud? Observa esta situación en las rectas de ecuaciones y = 2x + 1, y = -3x + 4 y sus representaciones gráficas.

2- Al inflar un globo, que adquiere forma esférica, el radio varía en función del volumen V. Calcula la tasa media de cambio del radio en relación al volumen en los intervalos 0,1≤V≤0,5; 0,5≤V≤1; 1≤V≤2. ¿Qué observas?

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x

Rectángulo rosa y línea sobre plano Luis Carruncho Artista español (1929- )

Otras situaciones de cálculo de tasas de cambio La tabla de valores y el gráfico presentados a continuación, corresponden a la expresión del largo L de un rectángulo de área igual 10 m2 en función del ancho a del mismo.

10 Es decir L = siendo a > 0 a a

L

0,5

20

L

L 10

a L a L

0,7 14,3 1

10

2,5

4

3

3,3

5

2

10

1

20

0,5

L

a

a

5

L

a

1 0

1

5

10

15

20 a (m)

En el gráfico se han señalado especialmente puntos (en color blanco) cuyas coordenadas están en la tabla y se ha dibujado una curva (hipérbola) que pasa por esos puntos. El examen, tanto del gráfico como de la tabla, hace ver de inmediato que al crecer el ancho a decrece el largo L, pero la razón decrecimiento de L es variable. crecimiento de a

Para ahondar en lo observado, examinemos la tabla presentada al lado, en la que, en referencia a cuatro puntos de la curva, se calculan cocientes de diferencias de ordenadas divididas por diferencias de abscisas. Como era de esperar, según lo dicho inicialmente, la diferencia de ordenadas es negativa, pues L es una función decreciente. Además, los cocientes son decrecientes en valor absoluto. Estas razones son las tasas medias de variación de la función L= f(a) en los intervalos 1 ≤ a ≤ 3 ; 3 ≤ a ≤ 10 y 10 ≤ a ≤ 20.

Valor de a

Pendiente

1

-3,35

3

-0,33

10

-0,05

Abscisa a

Ordenada L

1 3

10 3,3

3,3-10 =-3,35 3-1

3 10

3,3 1

1-3,3 =-0,33 10-3

10 20

1 0,5

0,5-1 =-0,05 20-10

Cociente

Se podría considerar una función que asocie esas tasas medias de variación (pendientes de las rectas secantes dibujadas en azul) a los extremos inferiores de los intervalos anteriores, como se indica en la tabla presentada al lado, u otra función que asocie dichas tasas a los extremos superiores de los mismos intervalos.

Lo antes expuesto acerca de la relación entre el ancho y el largo de un rectángulo de área constante, expresada por L = 10 a , no es sino un caso particular de la función y = f(x) = kx , k es constante.

Las tasas medias de variación serían los cocientes y/ x, siendo y la diferencia entre las ordenadas de los dos puntos consecutivos considerados, y x la diferencia de abscisas (xi+1 - xi ). En el cuadro se expresa nuevamente el contenido del cuadro precedente utilizando esas notaciones.

RETO: Es posible considerar más puntos de la curva y, en consecuencia, más rectas secantes y sus respectivas pendientes. Te proponemos que consideres más puntos de la curva y que elabores la tabla de una función que asocie pendientes a valores de a, según una de las maneras indicadas anteriormente.

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Analizando cambios a partir de gráficos y tablas Mediante el uso de tablas y gráficos se puede hacer análisis siguiendo procedimientos como los antes mostrados. El significado del análisis lo proporciona el contexto teórico-empírico del campo del conocimiento (físico, químico, económico u otro) del cual se trate.

En el caso del gráfico mostrado a continuación, que corresponde a una serie cronológica (trimestral) del precio en dólares de un barril petrolero venezolano, se puede adoptar una descripción consensual acerca de la variación de precios.

26,38

US$

M 25,85

En el gráfico que se presenta a continuación, los puntos ordenados en el tiempo corresponden a los totales mensuales de producción petrolera de Irak desde agosto de 2003 hasta enero de 2004.

B Millones de Barriles

N

25,14

2,0

24,43

A

24,55

24,04 X=0

X=1

3er trimestre

4to trimestre

X=2

X=3

1er trimestre

X=4

2do trimestre

2002

t

3er trimestre

2003

La tasa media de aumento trimestral del precio del tercer trimestre del 2002 al tercer trimestre del 2003 es 25,85 - 24,43 = 0,355 (US$/trimestre).

4 Se puede describir aceptablemente el comportamiento de la variación del precio mediante la función y = 24,43 + 0,355x, representada en el gráfico (en color azul) y deducida a partir de la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B. Obsérvese que a los valores x = 1, x = 2 y x = 3 la función asocia, respectivamente, los valores de y anotados a continuación: y = 24,43 + 0,355 = 24,785 y = 24,43 + 0,355 • 2 = 25,14 y = 24,43 + 0,355 • 3 = 25,495 Las diferencias con los precios originales son, respectivamente, 24,04 - 24,785 = -0,745 26,38 - 25,14 = 1,24 24,55 - 25,495 = -0,945 Esos números, en valor absoluto, dan el error absoluto entre los valores reales y los valores estimados. Por ejemplo, 1,24 es la longitud del segmento MN y el error porcentual cometido al tomar el valor aproximado 25,14 es: 100 • 1,24 ≈ 4,70% 26,38

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1,5 1,4

t Agosto 2003

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Enero 2004

Podría intentarse la descripción del comportamiento de la producción mediante una función “lineal” (afín) y = mt + b, como se hizo en el caso del precio del petróleo venezolano; pero al considerar las posibles diferencias d entre los valores observados yi y los correspondientes valores calculados Yi, es de pensar la conveniencia de la descripción mediante una función de otro tipo, dado que es deseable la mayor aproximación entre lo calculado y lo observado.

Se plantea la interrogante de si la suma de las diferencias di= yi- Yi permite obtener, en su conjunto, una apreciación de cuán próximos son los valores calculados a los correspondientes valores observados.

Seguramente se nota la inefectividad, pues esta suma podría ser pequeña, incluso nula, aún cuando fuesen grandes las diferencias en valor absoluto |yi - Yi|. Por esto se descartado la posibilidad de valerse de ∑|di| para el referido objetivo y se ha optado por usar ∑di2.

En el gráfico, además de mostrar los puntos que representan la serie cronológica, aparece un arco que corresponde a una función cuadrática f(t) = a+bt+ct2 (parábola) que podría ser preferible que en este caso, parece describir mejor el comportamiento de la producción en el lapso de tiempo considerado.

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Frecuencia y gráficos En un liceo se conceden diariamente 10 citas de entrevistas a los alumnos para que presenten quejas, soliciten asistencia especial, hagan sugerencias o alguna otra gestión.Se ha notado que entre los asuntos de los que usualmente se trata en las entrevistas hay algunos que hacen aconsejable que el alumno y quien lo atiende sean del mismo sexo. ¿Cuántas personas del sexo femenino convendría designar para tal atención?

Para responder a esta pregunta se ha propuesto considerar que el número x de alumnos del sexo femenino que son entrevistados en un día puede tomar los valores 0, 1, 2, .... 8, 9, 10. Y se hace notar que a tales valores pueden asignarse probabilidades dependientes del número n = 10 (x puede tomar n + 1 valores distintos) y del número p = 0,55 ya que el 55% del alumnado del liceo es del sexo femenino.

Otra persona consultada al respecto advierte que las probabilidades no dependen exclusivamente del porcentaje del alumnado que sea del sexo femenino. En consecuencia, se decidió hacer observaciones de la asistencia a las entrevistas. Durante 50 días se ha llevado cuenta del número de alumnas entrevistadas cada día, y se ha obtenido una distribución de frecuencia la cual es presentada a continuación en una tabla y en un gráfico.

Frecuencia

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frec 1 1 1 1 4 8 9 9 7 6 3

∑ x · Frec = 319 media y =

319 = 6,38 50

Frecuencia

10

10

5

5

1

1 X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

10

0

5

10

De la experiencia obtenemos una media y = 6,38 > 5,5, esto hace pensar que la probabilidad es mayor de lo que se creía necesario. Por ello es recomendable que se utilicen más de 6 asistentes femeninas en caso de tener 10 entrevistas diarias.

“El pensamiento estadístico será un día tan necesario para la ciudadanía eficiente como la habilidad de leer o escribir”.

Herbert George Wells

RETOS: Elabora los gráficos para estas dos tablas de frecuencia.

Escritor inglés (1866-1946)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frec 3 6 7 9 9 8 4 1 1 1 1

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frec 0 2 3 4 5 6 7 10 6 5 2

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Desde las fichas y tablillas de arcilla Ayer Inicialmente, varios milenios atrás, se utilizaron fichas y tablillas de arcilla con el propósito de calcular.

Entre éstas mostramos una tablilla impresa para contar granos (Susa, Irán, ca. 3100 a.C.).

Luego llegó el reinado de los ábacos, palabra proveniente de la semita abq o polvo y posteriormente del vocablo latino abacum. Los pueblos semitas se instalaron en Asia, entre ellos: los acadios, los arameos, los fenicios, los hebreos.

De las tablillas de arcilla de los babilonios, entre las que había tablas de división, de cuadrados (de los números 1 al 60), de cubos (de los números 1 al 32), de raíces cuadradas y de progresiones geométricas, que permitían resolver algunas ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, se pasó a los ábacos que tuvieron vigencia durante varios siglos.

Un grabado de madera “Margarita Philosophica” (1503) realizado por Gregor Reisch.La aritmética instruye al algorítmico y al abacista, representados de manera imprecisa por Boecio y Pitágoras. Es la transición del uso del ábaco a las cifras arabigas.

Ábaco, en el sentido moderno, es un cuadro de madera con cuerdas o alambres por los que se deslizan unas bolas con el fin de efectuar cálculos.

Los ábacos han sido utilizados en distintas culturas: la romana, la árabe, la china, la japonesa...

Por el lado americano es de mencionar los quipus de los Incas, que si bien no son ábacos, son cuerdas anudadas para registrar y recordar números.

Tablilla de Susa (3100 a.C.)

Los “Rodillos de Neper”, inicialmente construidos en marfil o madera. Este aparato permite efectuar una multiplicación “larga” por intermedio de una sucesión de sumas sencillas.

Los ábacos se utilizaron en Europa hasta después del s. XVII. A partir de ese siglo se produjo un avance en cuanto a los instrumentos para calcular, puesto que comenzaron las “máquinas modernas” de calcular, iniciándose por las varillas del escosés John Napier (1550-1617) en 1617 y utilizadas en Escocia durante más de un siglo para efectuar multiplicaciones. Luego tenemos la máquina mecánica de calcular Pascalina, inventada por Blas Pascal (francés, 1623-1662) en 1642, a la edad de 19 años, con el fin de facilitar las operaciones contables de las que estaba encargado su padre.

La Pascalina fue, posiblemente, la primera calculadora mecánica. La máquina suma al girar las ruedas con cierto orden.

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hasta las computadoras Hoy Un avance importante en relación con los medios de cálculo, fue la “máquina de diferencias” de Charles Babbage (inglés, 1791-1871) en 1820, predecesora de las computadoras actuales.

Hasta hace pocos años, en China era una práctica corriente utilizar los ábacos (los suan-pan) en bancos, tiendas, etc.

Igualmente, todos los que estudiaban asignaturas de matemática, tanto en lo correspon-diente al ciclo diversificado como en la universidad, utilizaban tablas con el objeto de calcular raíces cuadradas, potencias, valores de funciones trigonométricas, de logaritmos y exponenciales. Inclusive, cuando habían cálculos numéricos con muchas operaciones de multiplicación, división, potenciación, entre otras, se pasaba primero a transformarlas con logaritmos, luego utilizar las tablas y, por último, buscar el antilogaritmo (la exponencial).

Esto se basa en la propiedad de la función logaritmo de transformar productos y divisiones en sumas y restas, respectivamente. Por ejemplo, las tablas de Allen muy utilizadas en Venezuela hasta los años 70.

Máquina de Babbage.

Museo de Ciencias de Londres, Inglaterra.

Un suan pan moderno.

Durante la Segunda Guerra Mundial se comenzaron a desarrollar las computadoras que cada año se fueron perfeccionando. Así, se construyeron la Mark I y la ENIAC (integrador y calculador numérico electrónico) de J. Presper Eckert y John W. Mauchly de la Universidad de Pensilvania (Estados Unidos).

Los británicos también tenían, para esa época, una computadora en funciones de la guerra.

Hoy en día, las calculadoras y las computadoras han sustituido las reglas de cálculo y las tablas.

Todo esto ha tenido un cambio sustancial con el advenimiento de los medios electrónicos de cálculo, que permiten efectuar muchas operaciones con gran precisión en un tiempo medido en nanosegundos.

Reemplazando un bulbo en la ENIAC, la cual era tan compleja que para localizar el dañado existían más de 19 000 posibilidades de encontrarlo.

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Desde las fichas y tablillas de arcilla hasta las computadoras Ayer

Hoy

Algunos años antes, en 1620, Edmund Gunter diseñó la “línea de números” logarítmica, conocida como escala de Gunter y fue en 1622 que William Oughtred (inglés, 1574-1660) inventó la primera “regla de cálculo”, la cual permitía hacer multiplicaciones y divisiones utilizando sumas y restas. Hasta hace pocos años, fines de la década de 1970, era usual ver a los estudiantes de ciencias, ingeniería y arquitectura, cargando su regla de cálculo.

A partir de la década de los años setenta se han popularizado, además de las computadoras, las calculadoras científicas y las graficadoras que sustituyeron a las tablas antes mencionadas. Algunas de ellas permiten dibujar gráficas de funciones, de estadísticas, de sucesiones, etc., así como realizar gran parte de los cálculos que se estudian en los primeros años universitarios en las materias como cálculo diferencial, integral y otras asignaturas.

De la ENIAC, que era capaz de realizar 5 000 sumas por segundo, se pasó a las supercomputadoras actuales que pueden efectuar millones de operaciones por segundo.

Los primeros vehículos espaciales norteamericanos y soviéticos, hasta aquellos que conquistaron a la Luna, fueron diseñados con el uso de la regla de cálculo. El Apolo 11, que llevó por primera vez al hombre sobre la Luna en Julio de 1969, tenía reglas de cálculo a bordo.

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