Telescopio Hubble. Trayectoria prevista para atravesar los anillos de Saturno. Fuente: http://hubblesite.org
En 1995 los astrónomos encargados del telescopio Hubble anunciaron el descubrimiento de al menos dos nuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado en las imágenes tomadas por este telescopio. Estos satélites tienen órbitas elípticas similares a Atlas y Prometeus (lunas descubiertas en 1980 por el Voyager). Tal y como se observa en el gráfico, la trayectoria del Hubble y los anillos de Saturno tienen su intersección en un punto. Esto puede expresarse analiticamente mediante un sistema ecuaciones.
Ecuaciones lineales con dos incógnitas Si en una taza con capacidad de 250 cm3 queremos preparar café con leche, debemos agregar un volumen C de café y un volumen L de leche. De esta manera, tenemos que: C + L = 250 Dependiendo del gusto de las personas se podrá agregar una cantidad mayor de café y una menor de leche o viceversa (en este caso 0 < C < 250 y 0 < L < 250). Observa que tanto C como L son variables y una ecuación como la considerada se denomina ecuación lineal con dos incógnitas. De manera más general una ecuación lineal con dos incógnitas, con coeficientes reales, es una igualdad de la forma: ax + by = c en donde a, b y c son números reales, tanto en el ejemplo de la preparación del café con leche, donde hay infinitas formas de prepararlo, pues depende de las cantidades de café y leche que agreguen, sin sobrepasar la capacidad de la taza, como en el caso general, una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. y
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Representación gráfica Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, es el conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.La gráfica es una recta.
B 1
Por ejemplo, la gráfica de la ecuación A
3y - 2x = 4 es la ecuación de una recta que corta al eje x en el punto A (-2, 0) y al eje y en el punto B (0, 4 ). Estos puntos, y 3 cualquier otro perteneciente a la recta, son soluciones de la ecuación dada.
-2
-1
0
1
2 x
-1
y Leche (cm3) 250 -2 200
100
x
0 100
58
200
250
La representación gráfica de nuestra situación con el café es la que está a la izquierda.
Reto: ¿Qué significa C=0 y qué significa L=0?
Café (cm3)
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50 m x
50-x
Lado a
Lado b
Supongamos que dos nadadores están ubicados en los lados opuestos a y b de una piscina cuya longitud es 50 m. Si salen simultáneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constante por carriles paralelos, el primero a 6 m/s y el segundo a 5 m/s. ¿A qué distancia se cruzan los nadadores? Observa que si ambos nadadores se cruzan al cabo de t segundos, a una distancia de x metros del lado a, mientras el primero ha recorrido x metros el segundo ha recorrido 50 - x metros, y se pueden escribir las ecuaciones: x = 6t 50 - x = 5t Se dice que dos ecuaciones como las anteriores constituyen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones del tipo: Cada una de estas a 1x + b 1y = c 1 ecuaciones corresponde a la ecuación de una a 2x + b 2y = c 2 recta en el plano.
en donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2, son números reales. En cada una de las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de 0. Una solución común de estas ecuaciones, si existe, es un par de números reales (x0,y0) tal que: a 1x 0 + b 1y 0 = c 1 a 2x 0 + b 2y 0 = c 2 Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas. Dadas dos rectas en el plano hay las siguientes posibilidades: Las dos rectas tienen un punto común
Las dos rectas coinciden
y
y
x
O
El sistema tiene solución única: el punto (x0 ,y0). Se dice que el sistema es compatible determinado.
Las dos rectas son paralelas no coincidentes y
O
x
El sistema tiene infinitas soluciones: todos los puntos de ambas rectas. Se dice que el sistema es compatible indeterminado.
O
x
El sistema no tiene soluciones. Se dice que el sistema es incompatible.
¿Cómo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Gráficamente
Analíticamente
Se representan las dos rectas en un mismo sistema de coordenadas y se determinan, con la mayor precisión posible, las coordenadas del punto de corte. Para esto se puede usar papel milimetrado o un software.
Se usan métodos basados en manipulaciones algebraicas: igualación, sustitución o reducción, que permiten transformar las ecuaciones del sistema a una ecuación con una sóla incógnita.
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Matemática recreativa 1. Problema hindú Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada total?
2. Uno es igual a cero Si a = 1 entonces a = a2. Si restamos 1 a los dos miembros, obtenemos a -1 = a2 - 1. Si simplificamos por a - 1 obtenemos que 1 = a + 1. De donde a = 0 es decir, 1 = 0 puesto que a = 1 ¿Cuál es el error?
6
1
8
7
5
3
2
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3. El cuadrado mágico Lo-Shu En un cuadrado mágico, la suma que aparece en cada fila, columna o diagonal es una constante llamada la constante mágica. 1. Piensa en el número que tú quieras. 2. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalo con cada uno de los números del cuadrado original, acomodando los resultados en los mismos lugares. El cuadrado que queda también es mágico. Transforma el cuadrado mágico "Lo-Shu" en los cuadrados mágicos que tú quieras. ¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadrados nuevos? ¿Funciona este método con fracciones o con decimales?
4. El apretón de manos Las personas que asistieron a una fiesta se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de manos fueron 66 ¿Cuántas personas concurrieron a la fiesta?
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5. ¡Inténtalo! Un liceista al estudiar ecuaciones de segundo grado, aprendió que si (x-a)(x-b) = 0, entonces las soluciones son x=a y x=b. Pero, encuentra que en la ecuación (3-x)(x+2)=4 también resulta que si 3-x=4 entonces x=-1 y si x+2=4 entonces x=2 y ambos resultados son soluciones de la ecuación dada. Busca una ecuación donde esto no se verifique, es decir un contraejemplo.
Benjamín Franklin investigador estadounidense (1706-1790).
6. El cuadrado de Benjamín Franklin Este cuadrado ideado por Franklin tiene estas propiedades: - Cada fila y cada columna suma 260 - La mitad de cada columna y de cada fila suma 130 - Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260 - La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130 ¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?
El primer registro de un cuadrado mágico que aparece en la historia es en China alrededor del año 2200 a.C. Se llama el "Lo-Shu" y cuenta una leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del río Amarillo y que inmediatamente mandó a copiarlo en una tablilla de barro. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro. Para los chinos los números pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y los números impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadrado mágico "Lo-Shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidos y se complementan de manera natural.
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El estudio de algunos temas de álgebra, proporciona la oportunidad al docente de transmitirle a los alumnos la importancia que para la humanidad ha tenido la incorporación del lenguaje algebraico. Por otra parte, es importante mostrar que el aprendizaje del álgebra favorece la vinculación de diferentes ramas de la matemática y es una herramienta de comunicación y modelación para otras disciplinas. A continuación se dan sugerencias de algunas actividades a seguir para desarrollar el contenido de ecuaciones algebraicas. Presentar a los alumnos el plan del desarrollo de este contenido, en el que se contemplen: El propósito que se persigue en términos de contenido y competencias a alcanzar por los alumnos.
EXPLORATORIA
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• Exploratoria • Desarrollo: Situaciones que conducen a ecuaciones, resolución de problemas • Cierre
E VA L U A C I Ó N
CONTENIDO
En cuanto al contenido deben considerarse las fases:
Comprende la revisión de conceptos previos que los alumnos poseen del tema. Se presentan situaciones que permitan establecer los conceptos de variable, constante, incógnita y ecuación como, por ejemplo: en una balanza se colocan diferentes cuerpos, conociéndose la masa de todos ellos menos la de uno. ¿Cómo expresar ésto con una ecuación? Evaluar a los alumnos proponiéndoles otras situaciones en las que reconozcan: variables, incógnitas e identifiquen ecuaciones: (2x > 3 ; -2x + 3 = 7x -1; x = 8).
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Proponer a los alumnos que investiguen, por equipo, el desarrollo histórico del lenguaje algebraico. Este trabajo debe concluir con la elaboración, por parte de los alumnos, de una línea del tiempo. Evalúe la participación y motivación.
DESARROLLO
Analizar con los alumnos diversas situaciones publicadas en la prensa de problemas vinculados con la realidad donde se presenten gráficos, expresiones verbales o algebraicas. Presentar una serie de expresiones algebraicas utilizadas en física, química, geometría con el fin de que identifiquen si son polinomios y analicen individualmente sus características (grado, coeficientes que acompañan las variables, término independiente) y elaborar las gráficas que sean posibles. Explíqueles acerca de los métodos análiticos y gráficos para hallar las soluciones de ecuaciones, propóngales algunas ecuaciones para resolver y proporcióneles algunos datos para traducirlos en una expresión algebraica. Esta actividad puede realizarse con una calculadora gráfica. Evalúe, asignando a cada alumno una tabla que contenga expresiones verbales para que traduzcan a expresiones algebraicas y viceversa, funciones para que identifiquen su gráfica y ecuaciones para que den soluciones.
CIERRE
Haga un balance acerca de: • Conceptos adquiridos • Competencias desarrolladas • Aplicaciones en las que están presentes ecuaciones.
BIBLIOGRAFÍA
Beyer, Walter (2003). Didáctica de la matemática. Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática. Mérida, Venezuela. Devlin, Keith (2001). The language of mathematics. W.H. Freeman and Company. New York, Estados Unidos. Legrand, Pierre y otros (1997). Les maths en college et en lycée. Editorial Hachette. Montmorillon, Francia. Fórmulas para resolución de ecuaciones polinómicas. http://josechu.com/ecuacionespolinomicas/index-es.htm Tutorial de splines. http://www.geocities.com/txemijendrix/tutoriales/splinemacro/smspa2.html Wikipedia. La enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/portada
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Tengo que pensarlo 1. El número de oro El número 1,6180339887... tiene su parte decimal igual a la de su inverso ¿Existirá algún otro número positivo x que tenga esta propiedad?
x 2. El cuadrado mágico En un cuadrado mágico, la suma que aparece en cada fila, columna o diagonal es constante. En la figura se muestra un cuadrado mágico incompleto. ¿Cuál es el número que debe figurar en la casilla marcada por x?
1 14 26
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3. El caballo y la mula Un caballo y una mula caminaban juntos cargando sacos de arena. Sabiendo que si la mula tomara un saco del caballo su carga sería el doble que la del caballo, y si la mula le diera un saco al caballo sus cargas serían iguales ¿cuántos sacos llevaba cada uno?
4. ¿Cuánto vivió Diofanto (s. II a.C.)? El epitafio en su tumba reza así: “Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo, y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡Ay! niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida”. Determina ¿cuántos años vivió Diofanto?
Resultados:
1. Hay muchas soluciones, entre las cuales está: 3 + 13 ; 2 2. x=2; 3. El caballo 5 y la mula 7 sacos; 4. Diofanto vivió 84 años