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Sistema de coordenadas

Los embajadores Hans Holbein “El joven” Pintor alemán (1497-1543)

Esta pintura constituye el ejemplo característico de un tipo de retrato renacentista, en el cual el que se retrata está rodeado por una serie de objetos que manifiestan su interés y sus conocimientos. Entre los objetos, aparte de los instrumentos musicales, destacan: un libro de aritmética, un globo terráqueo, varios instrumentos astronómicos y dos relojes de sol.

Situaciones de coordenadas

En todas estas situaciones, se requiere de un punto de referencia y asociar un número para lograr la ubicación.

En todas estas situaciones, para ubicar una posición en particular, se precisa de un punto de referencia y asociar dos elementos en un cierto orden.

En cada casillero se determina el piso y la letra que le corresponde al apartamento.

Cualquier punto del globo terráqueo se determina por su latitud y su longitud.

En el plano de algunas ciudades, las esquinas quedan determinadas por la intersección de una calle con una avenida.

En todas estas situaciones para ubicar una posición en particular, se precisa de un punto de referencia y asociar tres elementos en un cierto orden.

Un avión cuando vuela requiere enviar a la torre de control información sobre la latitud, la longitud y la altura donde se encuentra.

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Para poder organizar los productos en un supermercado, precisamos conocer el pasillo, el anaquel y el estante.

Descartes fue uno de los primeros filósofos modernos.

En 1637 publicó su gran obra “Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”, en la que figuran La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría, siendo esta última un apéndice de dicha obra. En La Geometría aparecen las ideas sobre lo que hoy se conoce como sistemas de coordenadas cartesianas debido a la forma latina de su apellido Cartesius.

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Postal Av. Urdaneta 1958.

Sistemas de coordenadas en la recta

Av. Urdaneta

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Av. Fuerzas Armadas

En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en una línea recta. Si estamos en la esquina de Veroes, de la avenida Urdaneta, de Caracas (de frente a El Ávila), y deseamos movilizarnos a la esquina de Carmelitas, debemos caminar dos cuadras a la izquierda. Si queremos ir a la esquina de Ibarras, tenemos que caminar una cuadra hacia la derecha.

Cuando leemos en un termómetro podemos observar temperaturas por encima o por debajo de cero.

El piloto de un avión conoce la altura a que se encuentra a través del altímetro.

En estas situaciones, en realidad lo que estamos haciendo es tomar un sistema de referencia en una recta (vertical u horizontal), donde fijamos un punto de origen y luego consideramos direcciones: derecha o izquierda; hacia arriba o hacia abajo; y una “unidad de medida”, como es el caso de la cuadra (100 m aproximadamente) o 1 grado centígrado, etc.

O

Una recta o una curva con un punto O llamado origen y una unidad de medida definida con otro punto U de la misma, determinan un sistema de coordenadas en la recta o en la curva.

U

Sentido positivo: de O hacia U Se asocia: 0 con el origen y 1 con U

Los números racionales y algunas raíces como las cuadradas 2 , 3,... n,... se pueden representar en la recta utilizando regla y compás (son números construíbles con regla y compás), mientras que hay otros números con los que no se puede usar este procedimiento, como es el caso de e y π que se representan usando aproximaciones.

Teorema de Tales e ≈ 2,718 -3

- 5

-2

π ≈ 3,1416

-1

0

1

2

3

4

5

1 5

4 =1+ 1 3 3

Teorema de Pitágoras

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Orden en la recta a

La recta y la curva en el espacio (2000) Consuelo Mariño. Pintora española Homenaje a la primera muestra de pensamiento simbólico.

Cueva Sudafricana. Hace 100.000-70.000 años.

b a es menor que b a<bob>a

Ejemplo: e < π , - 5 < -1, 1 < e

Para incluir la posibilidad de que los números a y b sean iguales se escribe a ≤ b o bien b ≥ a, que se lee “a es menor o igual que b” o bien “b es mayor o igual que a”, respectivamente.

Un conjunto de números de uso frecuente son los llamados intervalos

Notación

Descripción

Intervalo abierto

Números que están entre a y b.

No se incluyen ni a ni b.

(a , b) Intervalo cerrado

Números que están entre a y b, incluyendo a y b.

[a , b] Intervalo semiabierto (a , b] Intervalo semiabierto [a , b) (a,

[a,

(–

(–

)

)

, a)

, a]

Números que están entre a y b, incluyendo b.

Números que están entre a y b, incluyendo a.

Números mayores que a.

Números mayores o iguales que a.

Representación 60

a

a<x<b

b

[0 , 60] a

a≤x≤b

b

a

a<x≤b

b

a

a≤x<b

b

a

Presto Dinero 1% mensual de 500 000 a 3 000 000 000

[5.105, 3.109] No se aceptan menores de edad

x>a

[0,18) a

x≥a

x<a

a

Solicito secretaria, 22 años mínimo y máximo 35 años

x≤a

b

[22, 35]

Números menores que a.

Números menores o iguales que a.

km/h

Los símbolos < y > se deben al matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621) quien los incluyó en su obra póstuma Artis analyticae praxis (Londres, 1631) y quién, además, fue un astrónomo prominente (descubrió las manchas solares).

Harriot fue el primer matemático destacado enviado al Nuevo Mundo como agrimensor, por Sir Walter Raleigh en 1585, y realizó la inspección y medición de una porción del territorio de América del Norte.

Dibujo de la Luna efectuado por Harriot.

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Postal Catedral de Caracas, 1920.

Sistemas de coordenadas en el plano En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en el plano de alguna ciudad. Si estamos en una esquina del centro de una ciudad como Caracas (como la esquina de La Torre) y le preguntamos a un transeúnte cómo hacemos para ir a la esquina de Altagracia, esta persona nos podría indicar que debemos caminar dos cuadras hacia el norte y luego dos cuadras hacia el oeste. O bien que podemos caminar dos cuadras hacia el oeste y luego dos cuadras hacia el norte.

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Si

Plaza Bolívar

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Av. Urdaneta En realidad lo que está haciendo este individuo es considerar un sistema de referencia en el centro de la ciudad, donde fija como punto de origen el lugar en el que está ubicado y luego toma direcciones (norte-sur, este-oeste) y una “unidad de medida” en cada una de estas direcciones, que en este caso es una cuadra (aproximadamente 100 m).

Avenida 6

Una situación similar acontece en el casco central de varias ciudades del país, donde se toma un sistema de coordenadas para ubicar distintos lugares, como es el caso de numerar todas las vías en una misma dirección con la denominación de calle y asignarle un número, y las que están en la dirección “perpendicular” como avenidas, atribuyéndole también un número.

Avenida 5

Avenida 4

Así, si deseamos referirnos a una esquina en particular, debemos indicar el número de la calle y el de la avenida, por ejemplo: avenida 3 con calle 5. Si queremos referirnos a un lugar que está entre dos calles debemos indicar los números de las dos calles y la avenida, por ejemplo: avenida 4 con calles 2 y 3.

Avenida 3

Calle 6

Calle 5

Calle 4

Calle 3

Calle 1

Avenida 1

Calle 2

Avenida 2

El trazado de cuadrícula conformando lo que denominamos “manzana” proviene de las normas que había establecido la Corona española y que se llamaban Leyes de Indias, para la creación de los pueblos pertenecientes al reino de España.

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Sistemas de coordenadas en el plano c8

d8

e8

f8

g8

h8

8

a7

b7

c7

d7

e7

f7

g7

h7

7

a6

b6

c6

d6

e6

f6

g6

h6

6

a5

b5

c5

d5

e5

f5

g5

h5

5

a4

b4

c4

d4

e4

f4

g4

h4

4

a3

b3

c3

d3

e3

f3

g3

h3

3

a2

b2

c2

d2

e2

f2

g2

h2

2

a1

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g1

h1

1

a

b

c

d

e

f

g

h

y

ad en ord las

4

Eje

de

En las situaciones anteriormente planteadas estamos considerando dos elementos para dar una ubicación. En general en un plano, para dar un sistema de coordenadas cartesiano se consideran dos rectas (denominadas ejes de coordenadas) que se cortan en un único punto que usualmente se denota con la letra O y se denomina origen. Sobre cada una de estas rectas se toma una unidad de medida (no necesariamente la misma en ambos ejes).

b8

as

Para las anotaciones en el juego de ajedrez, se etiquetan las columnas con letras y las filas con números. De esta manera podemos ubicar la posición de una ficha indicando una letra y un número. Para la anotación se acostumbra escribir la ubicación anteponiendo la primera letra del nombre de la ficha, por ejemplo, al decir Ag5 significa que estamos jugando el alfil en la posición g5.

a8

Al fijar una unidad de medida en uno de los ejes, tomamos la longitud del segmento OU como la unidad. De esta manera, en ese eje, tenemos una correspondencia con los números reales. De la misma forma se procede con el otro eje. Este par de rectas con sus respectivas unidades de medidas, es lo que se llama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.

1 Observa: Dado un punto P del plano, al trazar por P paralelas a los ejes, éstas cortan a dichos ejes en puntos a los que podemos asociar números reales que se denominan coordenadas del punto P. También se tiene -1 que: dados dos números reales x e y podemos asociar un único punto en el plano cuyas coordenadas son el par ordenado (x,y).

4 Ordenada del punto P

3

P(x,y)

y 2

x 0 -1

1

2

3

Origen

x 4 Eje de las abscisas

Abscisa del punto P Nota: Usualmente los ejes x e y son perpendiculares. d c

En general, para establecer un sistema de coordenadas en el plano basta con que demos dos curvas que se cortan en un único punto y una unidad de medida en cada una de estas curvas. Ahora podemos pensar el plano como una red determinada por todas las curvas paralelas prefijadas.

0 0

b 1

2

3 4

a 5

P e

θ

Ej

Además de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas en el plano, uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e (denominada eje polar y cuyo extremo se llama polo y se denota con la letra O) y una circunferencia con centro en el polo.

e

Po

la

r

Coordenadas Polares

O

Para dar las coordenadas polares de un punto P, se consideran la distancia del punto P al extremo O y el ángulo θ que forma la semirrecta e con el segmento OP. En este caso, la primera coordenada está en el intervalo [0 , ) mientras que la segunda en el intervalo [0 , 2π).

Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si ( r , θ ) son las coordenadas polares de un punto en el plano, sus correspondientes coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas por las fórmulas x = r cos θ , y= r sen θ .

Mientras que si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las coordenadas polares se y obtienen a través de las fórmulas r = x2 + y2, θ = arc tg x .

En la actualidad, con las calculadoras científicas se pueden obtener las coordenadas polares de un punto conociendo las coordenadas cartesianas y viceversa.

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Coordenadas y nuestro planeta Tierra La superficie de nuestro planeta se asemeja a una esfera y puede dividirse en rejillas delimitadas por infinitas líneas imaginarias denominadas meridianos y paralelos.

Los paralelos, son circunferencias con centro en el eje de rotación de la Tierra (recta que une los polos), y el paralelo máximo se denomina Ecuador. Los meridianos son circunferencias que unen los polos y, por convención, el meridiano de referencia se denomina Meridiano de Greenwich.

Para dar la ubicación de un punto P sobre la superficie de la Tierra, se utiliza el Sistema de Coordenadas Geográficas. Según este sistema, el punto P queda determinado por dos números: latitud y longitud.

La longitud es el ángulo entre dos planos determinados por sus respectivos meridianos: uno que contiene al punto P y otro al meridiano de Greenwich. La longitud suministra la localización del punto al este o al oeste del meridiano en referencia. Se mide en ángulos que van de 0° en el meridiano de Greenwich, hasta 180° en ambos sentidos (este y oeste).

Sistema de Coordenadas Geográficas

La latitud es el ángulo que forma el plano ecuatorial, con la recta que une el punto P considerado con el centro de la Tierra. La latitud proporciona la localización del punto al norte o al sur del Ecuador. Se expresa con ángulos que van desde 0° en el Ecuador, hasta 90° en los polos.

Una vez proyectados los meridianos y paralelos sobre un plano o carta geográfica u oceanográfica, se puede establecer la latitud y longitud de cualquier punto situado sobre la superficie terrestre, tanto en tierra como en el mar.

Venezuela está ubicada entre los paralelos 0º 38’ 59” N, 12º 11’ 23” N y los meridianos 59º 48’ 10” O y 73º 25’ 0” O. Fuente: MRE, 2003.

RETO: Busca en un mapa la latitud y la longitud de la capital de la entidad federal en donde vives.

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Coordenadas y hora mundial Como la Tierra dura 24 horas en dar una vuelta sobre su eje imaginario, para dar la hora legal de una zona de nuestro planeta se divide el Ecuador en 24 partes iguales. Los meridianos que pasan por estas divisiones dividen la superficie de la Tierra en sectores llamados HUSOS HORARIOS. Como la longitud de la circunferencia ecuatorial tiene aproximadamente 40 076,64 km, al dividir entre 24, se tiene 40 076,64 ≈1 669 km o, en forma equivalente, como 24 horas 24 corresponden a un giro completo (360º), 1 hora corresponde a 15º.

De esta manera dividimos el Ecuador en arcos de 15º, obteniendo los Husos Horarios determinados por los meridianos que pasan por estas divisiones, tomando como 0º el meridiano de Greenwich, 15º el meridiano que se encuadra a 15º al este del meridiano de referencia y, así, sucesivamente.

A pesar de esta convención, para fijar la hora de un país o de una zona en determinada época del año, también se toman en cuenta otros aspectos como, por ejemplo, las estaciones.

El mapa más antiguo del mundo que se conoce en la actualidad se debe a los babilonios, data de más de 4 500 años y está dibujado sobre una placa de barro cocido.

El primer mapa de las costas de América se debe a Juan de la Cosa (español, 1449-1510), quién acompañó a Cristobal Colón en su segundo viaje, y el primer mapa general de Venezuela (1840), en su conformación geográfica y política, se debe a Agustín Codazzi (Italiano, 1793-1859).

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