Campo cuántico - X3 Hiro Yamagata Artista plástico japonés (1948- )
Esta instalación, situada al lado del Museo Guggenheim de Bilbao (España), pretende hacer lo invisible no sólo visible sino extraordinario. Dos cubos construidos con paneles holográficos y recubiertos de un revestimiento especial que descompone la luz, reflejan y refractan las frecuencias de luz visible generando, a modo de prisma, una visión del espectro lumínico. El resultado es un espectáculo de luz brillante que danza entre los cubos. El complejo de luz y color siempre es diferente, haciendo las delicias del espectador con una miríada de visiones que va cambiando en función del ángulo o del momento. Fotografía: Rogelio Chovet
Especialistas del área Walter Beyer Alberto Camardiel Inés Carrera de Orellana Antonio Dávila Mauricio J. Orellana Chacín Sergio Rivas Saulo Rada Luis Beltrán Salas Colaboradores Lucila Blanco Marco Falcón María Elena Guerra Jorge Salazar Validadores Laura Galindo Acevedo Henry Martínez Rafael Sánchez Antonio Acosta
Presentación
“El Mundo de la Matemática”, la colección de 23 fascículos que hoy iniciamos, da continuidad a un compromiso que han asumido Fundación Polar, Empresas Polar y el diario Últimas Noticias, para contribuir a mejorar la formación de la población estudiantil y la actualización permanente de los docentes. Un calificado equipo de especialistas ha colaborado en esta nueva colección, siguiendo los mismos criterios metodológicos que garantizaron el éxito de “Matemáticas para Todos”, editado en el primer semestre de este año y dirigido a la segunda y tercera etapa de la escuela básica. Los temas tratados ahora, orientados al ciclo diversificado y profesional (bachillerato), son más complejos, se incorpora el lenguaje formal de la matemática, es decir, símbolos y fórmulas, algoritmos y teoremas, se acompañan los contenidos con abundantes imágenes y gráficos que facilitan la comprensión de los conceptos emitidos y, sobretodo, se encontrarán con múltiples aplicaciones de esta disciplina con la ciencia, la tecnología, la ingeniería, la economía, el arte, la música, etc. Con los contenidos de “El Mundo de la Matemática” los lectores conocerán las sucesiones numéricas, descubrirán la capacidad de los modelos matemáticos para representar los fenómenos del mundo sensible, así como las prácticas y útiles soluciones que aportan los sistemas de ecuaciones; se interesarán por las múltiples aplicaciones del álgebra que nos ayudan a entender cómo se organizan los elementos de un Universo y serán atraídos por la potente herramienta de predicción que es la estadística, para luego, en una segunda etapa de esta colección, comprender y explorar el mundo de las formas, sus propiedades, relaciones y, sobre todo, las aplicaciones de la trigonometría y la geometría en nuestras vidas y en todo lo que nos rodea. El diario Últimas Noticias ha confiado nuevamente en este proyecto y junto a Fundación Polar y Empresas Polar hace posible la publicación y difusión, a todos los rincones del país, de “El Mundo de la Matemática”. Al colocar este valioso material en las manos de las nuevas generaciones de venezolanos, esperamos que se convierta en una herramienta efectiva para abrir caminos seguros al porvenir.
"¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles seran las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos metodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático? David Hilbert (alemán,1862-1943) en su famosa conferencia de 1900.
¿Por qué el mundo de la matemática? La matemática es una ciencia con mucha vitaIidad que durante el siglo XX desarrolló y creó nuevas áreas de gran impacto en otras ciencias, en la tecnología, la ingeniería, la economía, la biología, las finanzas y el mundo en general.
Proof: Las matemáticas hecha emociones
Obra escrita por el norteamericano David Auburn (1971- ) ganadora de los premios Pulitzer, Tony y el Drama desk (2001) a la mejor obra teatral.
Una mente brillante
película ganadora de 4 premios Oscar en 2002, dirigida por Ron Howard basada en el libro de Sylvia Nasar.
Así, la investigación de operaciones, los fractaIes (la geometría de la naturaleza y su utilización en las artes), las ondículas (su uso para el reconocimiento de huellas algoritrno adoptado por el FBI- y técnicas de compresion de imágenes fijas), la borrosidad (el control borroso y su aplicación en aparatos electrodomésticos de refrigeración, de aire acondicionado, en frenos, entre otros), los sistemas dinámicos, la teoría de la información, los códigos y la criptografía, la ecuación de Black-Scholes que permite calcular el valor de la opción de compra de acciones, la teoría de juegos y dentro de ésta la formulación de John Nash, utilizada en econometría, que Ie valió el premio Nobel (1994); el gran desarrollo de la probabilidad, la estadística y del análisis de datos, se encuentran entre los logros del siglo que recientemente finalizó. La vida de Nash fue llevada a la pantaIla en la película “Una mente brillante" (basada en la obra de Sylvia Nassar y con el rol estelar del actor Russell Crowe), siendo esta la película más conocida en Venezuela pero no la única que hay en este ramo, así como existen diversas obras de teatro y obras literarias vinculadas con la matemática o los matemáticos.
Ese dinamismo de la matemática, al igual que el crecimiento explosivo de la ciencia y la tecnología, genera un problema clave para los ciudadanos de cualquier país, cual es la necesidad que éstos tienen de estar informados de algunos aspectos centrales que les atañen en cuanto al desarrollo de las ciencias, entre éstas la matemática, puesto que repercuten de alguna forma en el progreso de sus propios países y en la sociedad en general. La evolución y el vigor de la matemática no se detienen. Por el contrario, se plantean nuevos desafíos y se resuelven problemas antiguos y recientes. Aunada a su estrecha relación con la informática, favoreciéndose mutuamente, lo que permite realizar numerosos cálculos con gran rapidez y precisión e, igualmente, hacer representaciones gráficas en dos y tres dimensiones.
Además de la variedad de teorías y áreas desarrolladas durante el siglo XX, se hace necesario señalar que ya han sido resueltos la mayor parte de los 23 problemas planteados por Hilbert, uno de los grandes matemáticos del siglo pasado, en su conferencia (París, agosto 1900), "Los problemas futuros de la matemática", pronunciada durante la celebración del II Congreso Intemacional de Matemáticos. Estos problemas constituyeron un motor interno al espectacular progreso matemático en el siglo que recién feneció. Otros grandes problemas no contemplados en esa lista, por ejemplo el denominado "Último teorema de Fermat", que tardó mas de tres siglos para su resolución, fue finalmente resuelto en 1994 por el matemático británico Andrew Wiles, lo cual fue noticia de primera plana en muchos diarios del mundo: para cualquier entero n > 2 no existe solución en números enteros de la ecuación xn + yn = zn. Andrew Wiles, el matemático que resolvió el último teorema de Fermat.
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Afiche invitando a la conferencia realizada en San Petersburgo (Rusia) Ecuaciones y otros tópicos Navier-Stokes en el 2002. Visión interna de un dodecaedro de Poincaré.
Museo del Louvre
Paris, Francia.
Stephen Smale
matemático y minerólogo estadounidense (1930- ). Medalla Fields 1966.
En el centenario (mayo 2000) del enunciado de esos 23 problemas de Hilbert, y nuevamente en París, el Clay Mathematics Institute (CMI), con sede en Cambridge-Massachusetts, EEUU, anunció que recompensaría con un millón de doláres la solución de cada uno de siete grandes problemas matemáticos que consideran de relevancia en este siglo. De estos siete problemas, uno de ellos denominado la "Conjetura de Poincaré" (1904), viene de ser resuelto (noviembre 2002) por el matemático ruso Gregory Perelman, quien así se convierte en el primer millonario, en dólares, por la solución de un tal problema. De los seis restantes, resulta de gran importancia en la mecánica de fluidos el referido a la ecuación de NavierStokes en tres dimensiones espaciales. La solución de tal problema implicaría un avance fundamental en la comprensión del fenómeno de la turbulencia y esto podría, casi seguramente, conducir a progresos en ingeniería náutica y aeronáutica. Otro de los desafíos en esa lista de problemas, importante en la informática, es el denominado problema ¿P=NP? referido a buscar cuáles problemas son accesibles en el sentido de que se puedan concebir algoritmos que corran en un tiempo razonable (polinomial). Basta decir que los criptosistemas de la informatica y de los bancos se basan sobre la hipótesis P≠NP. Algunos matemáticos colocan una lista más larga de desafíos para este siglo, entre los que mencionamos al ganador de la medalla Fields (1966), Stephen Smale (estadounidense, 1930- ), quien indicó dieciocho problemas (1998), cuatro de ellos idénticos a los del Instituto Clay, señalando a la ecuación de Navier-Stokes y al ¿P=NP? como dos de los más importantes problemas de la matemática contemporánea. EI mundo de la matemática presentado en estos fascículos, refleja ciertos contenidos que están presentes en los programas de la educación media diversificada y profesional, así como en el primer semestre universitario. A éstos se agregan otros temas no contemplados en esos programas, pero con la confianza de que en un futuro próximo serán incorporados a los mismos, puesto que se refieren a aspectos de actualidad, de su forma de enseñarlos y de sus relaciones con diversas áreas del conocimiento. Los fascículos están conformados mediante distintas secciones en la que se presentan desarrollos conceptuales, sabías que (reseñas históricas), interesante, orientaciones metodológicas (sugerencias para los docentes), tengo que pensarlo y bibliografía. Además algunas secciones eventuales como matemáticas recreativas y ayer y hoy.
Landon Clay, hombre de negocios y empresario de Boston, fundó el Clay Mathematics Institute en 1998 con el fin de promover la matemática. Figureight Knot Complement
Imagen corporatica del CMI de Helaman Ferguson, matemático y escultor norteamericano que basa sus obras en fórmulas matemáticas.
También se hacen conexiones de los temas desarrollados con las artes plásticas, la música, la tecnología, la arquitectura e ingeniería, la economía, el petróleo e, incluso, aspectos vinculados con la salud, como el Sida, o la lactancia materna, utilizando contenidos clásicos de la matemática y otros más novedosos, que usualmente no están contemplados en los actuales programas de estudio. Esperamos que la forma de presentación de la matemática en los fascículos de EI mundo de la matemática, donde mostramos algunos de los desarrollos actuales que impregnan su dinamismo, contribuya a acrecentar el caudal cultural de los ciudadanos, sirva como un canal para el mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje por parte de los estudiantes y docentes y que, además, permita contrarrestar ciertas percepciones que el público tiene de esta ciencia, en el sentido de promover visiones positivas de su desarrollo y de su importancia para el mundo en que nos desenvolvemos.
Recurrencias de Poincaré
Trabajo realizado por los alumnos de la Escuela Normal Superior de Lyon (Francia).
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Tablilla egipcia. Museo del Louvre (Francia).
Catedral de Nuestra Señora de París (Francia).
Ventanas simultáneas Robert Delaunay.
Caotizador Museo de Ciencia y Tecnología de La Villette (Francia).
Los temas de El mundo de la matemática Sucesiones y modelos matemáticos A excepción de ciertas nociones de sucesiones y de las progresiones aritméticas y geométricas, los contenidos contemplados en los fascículos relacionados con estos temas no son objeto de estudio de los programas instruccionales de educación media diversificada y profesional, y tangencialmente se incluyen algunas referencias de éstos en el primer año universitario. Sin embargo, la modelación matemática ha cobrado un interés creciente en muchos países desde hace unas tres décadas, y ello ha penetrado en la enseñanza de los últimos años de la educación secundaria y universitaria. Aquí se trata de formular y estudiar modelos matemáticos con sucesiones (modelos discretos) y algunos modelos continuos sin el uso del cálculo infinitesimal. Límite cuadrado.
M. Escher (1898-1972).
Ya en el fascículo “El mundo y los números” de la colección “Matemática para todos”, se destacaron tres aspectos concernientes a la importancia de la matemática en la ciencia, la tecnología y otros sistemas. Estos son: comunicación, razonamiento y predicción. En cuanto al tercero de ellos, la predicción, se formuló lo siguiente: “La matemática es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de los modelos matemáticos o matematización de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximación, cuestiones desconocidas”. De allí la necesidad de la inclusión del tema de los modelos matemáticos. A esto se suma la importancia creciente de los algoritmos en la matemática aplicada y la informática. Los fascículos correspondientes a estos temas contendrán lo siguiente:
Día lluvioso en París.
Albert Marquet (1875-1947).
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Sucesiones numéricas. Situaciones conducentes a plantear sucesiones. Gráficos de sucesiones. Características y clasificación de sucesiones. Iteración y recursión. Sucesiones en progresión aritmética y sucesiones en progresión geométrica. Crecimiento o decrecimiento lineal y exponencial.
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Modelos matemáticos construidos con sucesiones de números (modelos discretos). Modelos matemáticos continuos, estáticos y dinámicos.
En los contenidos de estos fascículos se enfatizarán las vinculaciones (conexiones) con las ciencias y la tecnología a través de los modelos matemáticos.
Estrella de mar.
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Puente autopista Caracas-La Guaira.
Partenón Atenas, Grecia.
Trayectoria prevista por el telescopio Hubble para atravesar los anillos de Saturno.
Oficina del Instituto Postal de Venezuela (IPOSTEL) en la esquina de Carmelitas, Caracas.
Álgebra Rama de la matemática cuyo objetivo durante varios siglos fue el estudio de las ecuaciones algebraicas (ecuaciones polinómicas), los sistemas de ecuaciones y los sistemas lineales. Para esto último se cuenta hoy en día con el estudio de las matrices como parte del álgebra lineal, herramienta fundamental de la matemática actual y por sus numerosas aplicaciones a la física, la investigación de operaciones, el cálculo numérico, la economía, ... . Los temas de álgebra se desarrollarán según: •
La notación algebraica. Situaciones que envuelven variables. Las ecuaciones polinómicas de grado uno y dos. Su interpretación geométrica. Situaciones conducentes a plantear ecuaciones polinómicas. Ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que tres y la interpretación geométrica de las raíces reales. Algunos sistemas sencillos de ecuaciones polinómicas. Algunas inecuaciones sencillas. Los polinomios con coeficientes reales y sus operaciones. Se darán ciertas indicaciones sobre los números complejos en relación con las raíces de las ecuaciones polinómicas.
•
Coordenadas en un plano y en el espacio. Problemas que conducen a formular el espacio de las n-uplas de números reales. El espacio Rn. La geometría con coordenadas. Algunos sistemas lineales sencillos m • n, 1 ≤ m, n ≤ 3 y sus interpretaciones geométricas.
Grabado de madera “Margarita Philosophica” (1503) Gregor Reish.
Los contenidos de estos fascículos se vincularán con diferentes expresiones científicas y tecnológicas: investigación de operaciones, códigos, resolución de ecuaciones, arte y sistemas de ecuaciones consecuencia del estudio de fenómenos físicos o de tópicos de ingeniería. Show acrobático, Palo Negro, estado Aragua.
Retrato de familia
Henri Matisse (1869-1954).
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Torres de Parque Central, Caracas.
Terremoto de 1812
Andrey Nikolaevich Kolmogorov
Martín Tovar y Tovar.
Matemático ruso (1903-87).
Mangos en San Bernardino Manuel Cabré.
Estadística y gráficos En la colección de “Matemática para todos” (encartada en el diario Últimas Noticias en 2004), se escribieron dos fascículos referidos a estadística-probabilidades y gráficos. Aquí se trata de gráficos de funciones, de gráficos estadísticos y de las medidas de posición y medidas de dispersión. Los gráficos de funciones complementan lo que se verá en los fascículos de geometría (curvas y superficies), y los gráficos estadísticos así como las medidas de posición y de dispersión, dan continuidad a lo planteado en “Matemática para todos”. El estudio del cambio y del movimiento está estrechamente vinculado a las funciones y sus tasas de cambio (tasas de variación), llegando en la educación superior al estudio de las tasas de cambio puntuales o instantáneas (derivadas). Dichos temas se desarrollarán así. •
Funciones reales de una variable real. Diversas formas de dar una función. Analizar funciones dadas por gráficos y dadas por ecuaciones. Tasas de variación o de cambio de funciones. Analizar cambios a partir de gráficos y a partir de tablas de datos. Curvas en el plano. Funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y potenciales. Escalas.
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Estadística y gráficos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Nube de puntos y ajuste de los mismos. Situaciones que conducen a plantear las medidas de posición y las medidas de dispersión. La curva de la campana. Cajas.
Pirámide de Galton Museo de Ciencia y Tecnología de La Villette (Francia).
Los contenidos de estos fascículos se prestan para las vinculaciones con las ciencias y la tecnología: construcciones civiles (ingeniería y arquitectura), física, química, biología, poblaciones, aspectos sociales, de salud y económicos, entre otros.
De revolutionibus Nicolás Copérnico.