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Matemática para todos Fascículo

El mundo y los Números IV

Fotografía: Fabián Michelangelli

números

“No existe rama de la matemática, incluso la abstracta, que no pueda ser aplicada a un fenómeno del mundo real”

Nikolai Lobatchevsky Matemático ruso (1793-1856)

La construcción observada en el dibujo se denomina Espiral de Teodoro, en honor de Teodoro de Cirene (filósofo y matemático, s. IV a.C.), que es una espiral formada por lados de triángulos rectángulos. Platón indicó que su maestro Teodoro fue el primero en probar que la raíz cuadrada de los enteros no cuadrados desde 3 hasta 17 son irracionales (”inconmensurables”).

Al llegar a 17 triángulos rectángulos de lados 1,√n , √n+1, n=1, 2.....17 se tiene una vuelta completa.

Importancia de la matemática ¿A qué se debe hoy en día la importancia de la matemática en la ciencia, la tecnología y otros sistemas?

Destacamos tres aspectos: • Comunicación.

• Predicción.

• Razonamiento.

Es un medio para la comunicación científica y tecnológica que suministra un lenguaje claro y conciso.

Un gráfico

Una fórmula

Un enunciado

(Variación del precio de la canasta alimentaria, año 2001)

La función P=f (h) que expresa la presión atmosférica P en relación con la altitud h sobre el nivel del mar es decreciente: a mayor altitud, la presión del aire es menor.

v=πhr2 Bolívares

225.061 224.915 222.371 215.429

214.792

208.702

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de los modelos matemáticos o "matematización" de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximación, cuestiones desconocidas.

Por ejemplo, si tenemos los siguientes datos de los censos de población de Venezuela.

Millones

AÑO 1936 1941 1950 1961 1971 1981 1990 2001

POBLACIÓN 3 364 347 3 850 771 5 043 838 7 523 999 10 721 522 14 516 735 18 105 265 23 542 649

¿Podremos encontrar alguna expresión matemática que responda a esos datos? (explicación). ¿Será posible estimar la población en los años en los que no se realizaron censos, durante el período 19362001? (interpolación). ¿Será posible estimar la población del año 2010, y en algunos años futuros, a partir de esos datos? (predicción).

20

15

10

5

1936 41

50

61

71 Años

81

1990

2001

Es un medio muy útil para aprender a razonar en forma lógica. Ésta ha sido tradicionalmente una de las consideraciones que se hacen para incluirla en el currículum escolar.

Para llevar a cabo esos cometidos la matemática ha evolucionado, ampliando teorías y creando otras. En los últimos cuarenta años se han creado y desarrollado teorías que hoy en día ocupan atención primordial de matemáticos y científicos, tanto por su propio desarrollo como por las aplicaciones que tienen: los fractales, el caos, la programación, la borrosidad, las ondículas, la criptografía, son nuevos desarrollos de la matemática.

En este fascículo mostramos la utilización de algunos contenidos matemáticos y su aplicación en otras áreas del conocimiento.

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La matemática “La música es el placer que experimentan los humanos al contar sin estar conscientes de estar contando” Gottfried Leibniz Filósofo y matemático alemán (1646-1716)

Utilicemos la matemática para contar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Diez dedos tenemos en nuestras dos manos.

De la época de Kepler a la de Newton y de la de Newton a Hartley todas las cosas de la naturaleza, los ingeniosos misterios de la vida y la organización y aun el intelecto y las cosas morales se hacen aparecer dentro del círculo mágico de la formulación matemática Samuel Taylor Coleridge Escritor y pensador británico (1772-1834)

Qué bueno que aprendí matemática que es tan necesaria para diseñar y construir casas y edificios.

Medio litro de agua, un tercio de litro de leche, tres cuartos de kilo de azúcar. Lo entiendo porque he estudiado matemática.

Necesitamos matemática para comprar, vender, hacer cheques, cobrar en un banco, llevar las cuentas.

La matemática es una herramienta fundamental en el desarrollo de la ciencia y la tecnología.

Todos sabemos lo que es bailar y oír música, y todos podemos bailar, conocer ciertos pasos y ciertos acordes de música, e igualmente todos sabemos algo de matemática y todos somos capaces de entenderla y asimilarla con práctica y dedicación como las bailarinas de ballet.

El número π expresa la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

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Los números Carlos Mendoza Artista plástico caraqueño (1953- ) Triángulo

Para contar y enumerar utilizamos los Humm... “Menos cinco” y está bajando. Los números naturales. Algunos números números enteros negativos como que no naturales son: 0, 1, 23, 453... Los tienen un elemento que sea el menor de todos. números naturales tienen primer elemento, el 0, pero no tienen un último elemento, es decir, uno mayor que todos los demás.

¡Claro que es importante el cero!

Piensa: ¿Cómo se escribiría el número dos mil tres sin el cero?

La unión de los números naturales y los enteros negativos es el conjunto de los números enteros.

Observa en la recta numérica la representación de los números enteros y visualiza que entre dos números enteros consecutivos no existe otro número entero: -7

-6

-5 -4 -3 Enteros negativos

En mi trabajo utilizo muchas fracciones: llaves de media, tuberías de tres cuartos, motores de una y media.

Grabado de la llegada de Colón a la isla de Guanahaní

-2

-1

0

Los números racionales se expresan como la razón de dos números enteros cuyo denominador es diferente de 0. Las fracciones representan a los números racionales. Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Si consideras dos numeros racionales a y b, a+b 2 está entre ellos.

1

2

3 4 5 Enteros positivos

6

7

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como razón de dos números enteros.

Desde que se conoce la expresión a2 + b2 = c2, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se sabe de la existencia de números como √ 2, √ 3, √ 5. Estos son ejemplos de números irracionales.

La unión de los números racionales y de los números irracionales es el conjunto de los números reales. Cuando se representan los números enteros o los números racionales en la recta numérica, sobran muchísimos puntos. Cuando se representan los números reales no sobran puntos: a cada número le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real.

El año 1492 no sólo fue prometedor para Cristóbal Colón sino que también lo fue para la coma decimal. En su libro Compendio del Ábaco, el cual trataba del uso práctico y comercial de la aritmética, Francisco Pellos usó un punto para ilustrar la división entre 10 y así introdujo una de las primeras apariciones de la coma decimal. Su aparición oficial en la matemática fue por el año 1600 en los trabajos de Pitiscus, Napier, Stevin, Rudolff y Briggs.

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Números y operaciones

Núm

2

7

3

ero

0,51

3

7

4

2

5115

Re

111. ...

al

Númer

1

os R ac 0,33 io 3.

...

Números

-4

-25

-3

N ú m

-1

4

le

s

-3 4 -0,25

π 5

s

3...

na

te

ra le

23..

-2

0,6

es 3

ro

0

En u

e r o s Na 12 t

Propiedades de las operaciones

s

Cuando se suman o se multiplican dos números naturales se obtiene otro número natural.

Pero, cuando se restan o se dividen dos números naturales no siempre se obtiene un número natural.

1+3 107 x 23 71 + 12

1 - 3 107 ÷ 23 71 - 112

Con números enteros es diferente: se pueden sumar, restar o muItiplicar dos enteros y se obtiene un entero.

Pero, cuando se dividen dos números enteros no siempre se obtiene un número entero.

Los números racionales y los números reales admiten las cuatro operaciones: la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números racionales o reales es un número racional o real, respectivamente. Bueno, siempre que no se divida entre cero.

-4 x 3 205 - 374 -713 + 250

-5:6 9:4 80 : 132

0,333 : 2 √ 4 - 32 78 x 5,83

Todo número real tiene un número opuesto que también es real.

Todo número racional tiene un número opuesto que también es racional.

Todo número entero tiene un número opuesto que también es entero.

3 tiene a -3

3 tiene a -3 -5 tiene a 5

√ 3 tiene a -√ 3

3 tiene a - 3 4 4

Todo número real no nulo tiene un número inverso que también es real.

Todo número racional no nulo tiene un número inverso que también es racional.

4 tiene a .14 1 2

3 4

tiene a 2

√3 tiene a 13.

tiene a

4 3

.

- 1n tiene a -n

Interesante Los números primos son los 5 bloques de construcción de los 5 números compuestos.

Observa tres árboles de factores del número 30.

.

30

.

2

30 6

3

.3

30 2 2

.

.

3

3 15

.

5

.

.

2

10

.

5

.

s

3 tiene a -3; -7 tiene a 7

103.

Ningún número entero, excepto 1 y -1 , tiene inverso.

Pero ningún número natural tiene opuesto. si x es natural -x no es natural.

2 es natural pero -2 no lo es.

Ningún número natural, excepto 1, tiene inverso: si x es natural y diferente de 1, entonces 1x no es natural.

2 es natural pero 12 no lo es.

Aunque las ramas de los tres árboles de factores son diferentes, los números primos en la fila inferior son los mismos, sin importar el orden en que aparecen.

En cada árbol, el producto de 2, 3 y 5 en cualquier orden es 30. Esto sugirió a Euclides una propiedad muy importante de los números y la incluyó en su obra Los elementos en el año 320 a.C. “Todo número compuesto puede ser expresado como el producto de números primos en exactamente una forma, sin importar el orden de los factores”.

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Números naturales especiales Separemos el conjunto de los números enteros no negativos en dos conjuntos:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ....}

{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....}

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,....}

Números pares: Tienen la forma 2n, Siempre que n sea un número entero no negativo. Ejemplo: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4.....

Números impares: Tienen la forma 2n+1, siempre que n sea un número entero no negativo. Ejemplo: 9 = 2 x 4 + 1....

Los números naturales pueden representarse geométricamente de muchas formas. Observa una representación de ellos con cuadrados:

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

Números primos y compuestos Observa una representación rectangular de algunos números:

2

3

4

5

6

7

8

9

Observa que números como 2, 3, 5 y 7 con esta representación rectangular tiene una sola forma: horizontal o vertical.

Estos números reciben el nombre de números primos.

Un número natural, mayor que 1, que admite exactamente dos factores se denomina número primo. Un número es compuesto si admite más de dos factores. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

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Matemática y petróleo El petróleo es para Venezuela su principal producto de exportación y fuente de ingreso de divisas. En los periódicos aparecen frecuentemente aspectos sobre el tema petrolero en los cuales está presente la matemática.

US$ por barril

30 marzo

21,77

6 abril

21,19

20 abril

21,99

27 abril

21,32

Medidas Un barril (unidad de medida del petróleo) Los grados API

Lo probabilístico Estimar reservas

20

21,99

21,77

21,32

21,19

30 marzo

6 abril

20 abril

27 abril

OS RELACIONAD MÁTIC OS C E T A ON M EL S O PE T C TR E ÓL P EO

Promedio al cierre de la semana (2001)

Gráficas y funciones

Lo geométrico

ALG U NO S

Lo numérico

Precio en dólares

24

AS

En Venezuela el comienzo de la explotación del petróleo fue hacia 1878 con la Compañía Nacional Minera Petrolia, en el estado Táchira, la que produjo inicialmente 15 barriles diarios para consumo doméstico. Esta iniciativa duró poco. La primera explotación a escala comercial se llevó a cabo en 1914 en el pozo Zumaque Nº 1, en el estado Zulia.

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Matemática y petróleo Etta Corradi Dibujante italiana (1924- ) Venezuela-Crisis Fortaleza

Medidas Cuando se inició la industria petrolera, hacia 1859, se utilizaban barriles de madera de distintos tamaños usados originalmente para envasar cerveza, vinos y otros líquidos. En barriles también se transportaba el petróleo desde los sitios de su explotación, puesto que en esa época no había oleoducto; ni supertanqueros. Esto dio origen a una unidad de medición para el petróleo: el barril.

Un barril es una medida de capacidad, de símbolo bbl, utilizada especialmente para los productos petroleros, y es equivalente a 42 galones, o sea, aproximadamente 159 l.

Los grados API (American Petroleum lnstitute) se refieren a una escala empírica para medir el peso específico de los crudos de petróleo. En la página web de PDVSA encontramos lo siguiente para el petróleo venezolano a 60º F (15,555 ºC ≈ 15,6 ºC): Crudos Livianos Medianos Pesados

Gravedad API Desde 30 hasta 41,3 Desde 22,1 hasta 24,1 Desde l0,2 hasta 14,5

Interesante Otra medida utilizada en la industria petrolera es el índice de octanos u octanaje. Cuando vas a una estación de servicios, observas en la bomba de suministro de gasolina que hay números 91 y 95, lo cual indica el octanaje de la gasolina. El octanaje es una medida de calidad, indicativa del poder antidetonante de la gasolina, y se refiere a comparar una determinada gasolina con una mezcla de dos hidrocarburos: el heptano (alta tendencia al pistoneo) y el isooctano (baja tendencia al pistoneo), a los que se asignan respectivamente, los valores 0 y 100.

Si una gasolina tiene 95% de iso-octano, se dice que su octanaje o índice de octanos es 95.

Las gasolinas para los motores de los aviones tienen un octanaje que varía desde 100 hasta 130.

Tradicionalmente se ha agregado a la gasolina el tetraetilo de plomo para aumentar el octanaje, pero éste es un producto contaminante por lo que se expende la gasolina sin plomo o gasolina “ecológica”.

Lo geométrico Las torres de petróleo (torres de perforación o cabrías) tienen forma de pirámide cuadrangular y en su diseño un elemento estructural es el triángulo.

Esto se debe a que el triángulo posee una característica especial, que en general otra forma no la tiene, es estable en el sentido de que si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices, entonces la forma triangular permanece.

Una pieza vital del taladro, que va en la torre de perforación, es el cuadrante que tiene sección cuadrada y encaja en la mesa rotatoria convirtiendo el movimiento físico de rotación en uno de traslación de la tubería de perforación, parecido a los motores de dos tiempos, en los que se pasa de un movimiento de traslación a uno de rotación.

Reto: ¿A cuánto equivale, en el Sistema Internacional SI, un galón y un barril? Escríbelos en m3 y dm3

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Matemática para todos El mundo y los

Fascículo

números ¿Qué hacer con todos estos datos?

Precio promedio anual del barril (cesta venezolana}

Lo numérico y lo gráfico Muchos son los datos que permanentemente se recopilan en relación con el petróleo, entre otros:

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

* Variación diaria del precio del barril de petróleo (en US$) y promedios semanales, mensuales y anuales. * Volumen de producción nacional, de la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) y mundial. * Estimación de reservas nacionales y de otros países. * Consumo de derivados del petróleo, por ejemplo, gasolina, diesel, kerosén.

En lo numérico, algunos de los aspectos a considerar son: •

COCIENTES DE PROPORCIONALIDAD.

US$ 20,33 15,92 14,91 13,34 13,23 14,84 18,39 16,32 10,57 16,04 25,91

Fuente: Veneconomía, mayo 2001

Dividir cada precio por el siguiente para determinar en cuánto ha aumentado o bajado el precio. Por ejemplo, 20,33 : 15,92 es aproximadamente 1,28; lo cual indica que el precio para el año 1990 fue, aproximadamente, una vez y cuarto del precio del año 1991. Esto puedes hacerlo con todos los datos y construir una tabla de cocientes de proporcionalidad.

Otra tabla se puede elaborar al dividir el precio de cada año por el del año anterior (los inversos de la tabla anterior).

•

VARIACIONES NETAS AL PASAR DE UN AÑO AL SIGUIENTE. Por ejemplo, 15,92 - 20,33 = -4,41 es la variación neta del período 1990-91. El signo negativo indica que hubo un retroceso (decremento) en el precio.

Esto puede expresarse en porcentaje, ya que 4,41 es el 21,69% de 20,33; lo que da la variación (pérdida) neta, en porcentaje, al pasar del año 1990 al año 1991.

Aquí también puedes construir una tabla de porcentajes.

Lo gráfico. Algunos de éstos son: GRÁFICO DE BARRAS VERTICALES

GRÁFICO DE LÍNEAS

Precio promedio del barril (US$)

30 25,91

20 16,04 20,33

20

18,39

10 15,92 16,32

14,91 13,34 14,84 13,34

10 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Años

13,23 10,57

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Estos gráficos se pueden “leer” y de ellos obtener conclusiones. Por ejemplo, en el gráfico de la derecha observamos claramente “caídas bruscas” del precio en 1990-1991, 1997-1998 (se dice que la gráfica tiene pendiente negativa bastante fuerte) y “aumentos considerables” en 1998-1999 y 1999-2000 (se dice que la gráfica tiene pendiente positiva bastante fuerte). Observa la fuerte inclinación, respecto a la horizontal, de esos segmentos. Estas conclusiones también se deducen de las tablas de porcentajes. ¿Cómo interpretas el gráfico de la izquierda?

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Matemática y petróleo Ahora presentamos otro tipo de gráfico apropiado para los datos que daremos.

Considera los niveles de producción de los países pertenecientes a la OPEP para el mes de abril de 2001 (Fuente: El Nacional, 04/06/01)

País

Millones de barriles Argelia 800 Indonesia 1 214 Irán 3 678 Kuwait 2 000 Libia 1 365 Nigeria 2 063 Qatar 674 Arabia Saudita 7 909 Emiratos Árabes Unidos 2 203 Venezuela 2 851 TOTAL OPEP

24 757

Porcentajes sobre el total 3,23 4,90 14,86 8,08 5,51 8,33 2,72 31,95 8,90 11,52

En este caso no tenemos una variación de producción en relación con el tiempo, sino una sola variable cual es los millones de barriles producidos que expresamos en porcentajes.

Un gráfico adecuado para expresar esta situación es el de sectores circulares, denominado popularmente gráfico de torta.

Emiratos Árabes Unidos 8,90%

Venezuela 11,52%

Argelia 3,23%

Indonesia 4,90%

Kuwait 8,08%

100,00

No se incluyen las estadísticas de Irak debido a las sanciones impuestas por la ONU.

Irán 14,86%

Arabia Saudita 31,95%

Qatar 2,72%

Nigeria 8,33%

Libia 5,51%

Lo probabilístico Utilizando el cálculo de probabilidades se estiman las reservas que hay de petróleo en el subsuelo, para lo cual se analiza estadísticamente la información Cuencas geológica y de ingeniería que se recoge mediante instrumentos de medición.

Cuenca de Hay las reservas probadas, las Falcón probables y las posibles. Esta Cuenca de denominación depende del grado Maracaibo de certidumbre que se tenga sobre las estimaciones que se Cuenca de hacen. Así, las reservas posibles Barinas y tienen un menor grado de certidumbre Apure que las probables y éstas a su vez menos que las probadas, clasificación esta última donde hay cifras "ciertas y precisas" obtenidas de los yacimientos detectados, con un margen de error muy pequeño.

El total de crudo en reservas de Venezuela es, aproximadamente, 221 millardos de barriles (221 x 109 bbl), de los que 76 millardos son reservas probadas y de éstos el 69% son de crudos pesados y extrapesados. (Página Web de PDVSA, actualizada hasta noviembre del año 2000.)

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Petrolíferas de Venezuela Cuenca Tuy Cariaco Cuenca Oriental y Faja Petrolífera del Orinoco

Cuenca de Carúpano

Matemática y mapas

La Cartografía se ocupa de la confección y del levantamiento de los mapas. En relación con los mapas surgen varias preguntas.

¿Qué es un mapa? ¿Cómo se elaboran los mapas? ¿Qué información se obtiene de los mapas? ¿Qué vinculación tiene la matemática con los mapas?

Algunos temas que se estudian referidos a las relaciones de la matemática con los mapas son: • Las proyecciones (para elaborar mapas).

• Las coordenadas geográficas (latitud y longitud).

• Los husos horarios.

• Mediciones sobre aspectos terrestres.

• Las escalas.

Mercator fue el autor, en 1569, de un mapamundi para uso de los navegantes. Una de las proyecciones utilizadas para elaborar mapas recibe el nombre de Mercator en honor a este científico.

Gerhard Mercator Matemático y geógrafo flamenco (1512-1594)

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Matemática y mapas Martin Waldssemüller Cosmógrafo alemán (¿1475-1521?)

Primer mapa con el nombre de América

Las proyecciones representan un objeto o figura del espacio en un plano. Es decir, lo tridimensional se representa sobre una superficie plana que es bidimensional.

En una proyección central de una figura del espacio sobre un plano a partir de un punto C, llamado foco o centro de la proyeccion, se determinan los puntos proyectados P', en el plano, uniendo C con los puntos P de la figura.

P’ P

C

Dos de las proyecciones utilizadas para elaborar mapas son la proyección gnomónica (gnómica) y la proyección estereográfica. La imagen plana del globo terrestre o de una parte de él, siempre tiene algunas deformaciones (distorsiones) con las distancias, ángulos y áreas.

H H’

Plano sobre el que se proyecta C’

C’

C

Meridianos y paralelos

El centro C de proyección es el centro de la Tierra en la proyección gnomónica.

Foco de proyección C

N

Estas circunferencias son las proyecciones de los paralelos Estos segmentos (radios) son las proyecciones de los meridianos

E

S

E’ Proyección del Ecuador E

Proyección estereográfica (Es bastante utilizada para hacer mapas de las regiones polares)

Interesante Además de mapas se habla de cartas y planos. Esto no es más que una clasificación de mapas atendiendo a la superficie representada. Las cartas o mapas corográficos, son mapas que abarcan extensiones no tan grandes como las de un estado o distrito. Los planos son aquellos mapas que representan extensiones pequeñas de las superficies de la Tierra, como las de una ciudad o un municipio: un plano de Caracas, un plano del municipio Baruta.

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El centro C de proyección es un polo de la Tierra en la proyección estereográfica.

Juan de la Cosa Navegante y cartógrafo español (?-1510) Mapa del continente americano, año 1500

La proyección de Mercator se hace de otra manera. Es un tipo de proyección cilíndrica: pensemos en enrollar alrededor del globo una superficie cilíndrica y luego, al desenrollarla resulta un cuadriculado en donde los paralelos y los meridianos están representados por rectas perpendiculares entre sí. Debido a las distorsiones se hacen ciertas modificaciones. La denominada proyección de Mercator Transversal es, actualmente, una de las más utilizadas en el mundo y se refiere a cilindros circunscritos a la esfera terrestre en donde el eje del cilindro no es coaxial con el eje del planeta.

Los paralelos en la superficie esférica se transforman en paralelos en la superficie cilíndrica.

Los meridianos en la superficie esférica se transforman en segmentos sobre la superficie cilíndrica.

Al desenrollar la superficie cilíndrica sobre un plano, queda un reticulado con rectas perpendiculares.

60º 30º 0º

60º

-30º -60º

30º

0º -30º

Proyección de Mercator (Esta proyección es muy utilizada para la navegación marítima y aérea)

Cualquier información que se transmite en un mapa requiere de una escala adecuada. En los casos de mapas donde se necesita medir distancias, como los que incluyen las vías de comunicación, hay dos tipos de escalas que se utilizan: la escala numérica y la escala gráfica.

En la escala gráfica de este mapa se tiene que AB = 0,93 cm, que equivale a 200 km de longitud real en línea recta.

Por ejemplo, de Caracas hasta Santiago de Cuba medimos 6,56 cm, lo cual dice que la distancia real entre esas dos ciudades se resuelve de la siguiente forma: 0,93 cm 200 km 6,56 cm X Escala gráfica 0.93 cm = 200 km

Por lo que X =

(6,56 x 200) = 1 410,75 km 0,93

Reto: Determina la distancia entre Caracas y San Juan (Puerto Rico) utilizando la escala gráfica en el mapa anterior.

Hay una gran riqueza matemática en los mapas y lo importante es explorarla, estudiarla y aplicarla.

Reto: Las ciudades de Filadelfia (Estados Unidos) y Lima (Perú) están situadas en el mismo meridiano y sus latitudes son respectivamente, 40° Norte y 14° Sur. Sabiendo que los meridianos miden 39 920,70 km (de polo a polo). ¿Cuál es la distancia entre esas dos ciudades medida a lo largo de ese meridiano común?

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173

Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente

En ocasiones es provechoso desarrollar actividades de matemática que puedan integrar diversas áreas del conocimiento, tanto matemáticos como de otros campos, así como situaciones de la vida cotidiana de cada quien.

A continuación se presentan situaciones basadas en hechos muy conectados con la realidad tanto de estudiantes como de maestros, que permiten plantear actividades de aula en las cuales esta integración es posible.

Muchas más situaciones como éstas puedes encontrar en el sitio de Internet http://www.figurethis.org.

¿Qué vaso de cotufas debería comprar, si ambos cuestan lo mismo?

22 cm

En lugar de tener sus envases, al cliente le dan una hoja de papel tamaño carta y le dicen que haga el envase cilíndrico de la forma que prefiera.

La tienda provee las tapas, sin importar la forma que el cliente genere con el papel.

¿Cuál de las formas será la que carga mayor cantidad de cotufas?

1. Materiales Para el docente • Láminas de rotafolio.

• Tiza y pizarrón como recurso alternativo si no se puede contar con un rotafolio.

• Envases cilíndricos con tapas, ya hechos a partir de hojas de papel.

28 cm

Esta es una tienda en la que tienen una manera muy singular de vender las cotufas.

Para el estudiante • Hojas de papel tamaño carta.

• Goma de pegar.

• Granos o piedritas.

• Lápiz.

• Cuaderno cuadriculado para resolver los ejercicios.

2. Organización Organice a los estudiantes en grupos de tres o cuatro.

3. Estimación Examinen a simple vista ¿cuál parece tener la mayor capacidad?

Haga una lista de las razones que ellos expresan para justificar su escogencia.

Llévelos a que se den cuenta que no es fácil si no se tienen los envases.

Es posible que los niños ofrezcan como razones para llegar a una conclusión que el primer envase es más ancho pero menos alto que el segundo.

El segundo envase es más alto que el primero, pero menos ancho que éste.

4. Verificación con material concreto Si cuenta con las hojas de papel construya dos envases como los mostrados y provéalos con una base.

Llene uno de ellos con arena, cotufas o granos. Vierta el contenido en el otro. Observe cuál es el que tiene mayor capacidad.

Si tienen los envases, abra una discusión cualitativa e informaI en la cual los estudiantes expongan las razones por las cuales la capacidad es distinta entre ellos.

LIévelos a concluir que lo que determina cuál envase carga más, es el volumen. A mayor volumen, mayor cantidad de cotufas.

5. Cálculo de volúmenes Proponga una actividad en la que se calculen los volúmenes de los dos cilindros.

Para los cilindros, tenemos entonces que voIumen es el producto del área del círculo de la base multiplicado por la altura.

La fórmula usual para calcular el área del círculo es πxR2.

Sin embargo, no se tiene la longitud del radio de los círculos de ninguno de los envases.

Lleve a los estudiantes a darse cuenta de que la longitud de la circunferencia es la longitud del lado que estamos haciendo curvo.

Si se recuerda que la longitud del diámetro multiplicado por π es igual a la longitud L de la circunferencia, esto permite calcular los radios mediante la fórmula R = L : 2π.

El volumen de los cilindros entonces es igual a V= πR2 x H. Haga que noten que los números obtenidos son consistentes con las conclusiones que obtuvieron mediante la verificación directa con los envases, en la segunda actividad.

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Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 11 - El mundo y los NÚMEROS 4

Tengo que pensarlo El alambre Un pedazo de alambre puede ser doblado en partes iguales como se muestra.

Si la longitud de cada segmento es un número entero de centímetros, ¿cuál es la mínima longitud posible del alambre?

La reunión Seis personas están sentadas alrededor de una mesa rectangular, tal como se muestra en la figura. ¿Quién es el anfitrión?, si se sabe que: • Las seis personas son tres mujeres: Luisa, María y Dora; y tres hombres: Eduardo, José y Luis.

• Luisa está sentada enfrente de María o Eduardo.

• José está sentado inmediatamente a la izquierda de Dora.

• Luis está sentado inmediatamente a la izquierda de una mujer e inmediatamente a la derecha de otra mujer.

• El anfitrión que ofrece la comida es la única persona que está sentada enfrente de un hombre y a la izquierda de una mujer. ¿Quién es el anfitrión?

Los dados Sabiendo que la suma de los números que aparecen en las caras opuestas de un dado es constante. ¿Cuánto vale la suma de los números contenidos en las tres caras posteriores y las tres laterales que no se ven en el dibujo?

Información actualizada Bibliografía Arocha Reyes, José Luis (1991). La escala en el mapa y en la aerofoto. Ediciones de la Biblioteca de la Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela.

Baena R., Julián y otros (1996). La esfera. Colección Educación Matemática en Secundaria. Editorial Síntesis, Madrid, España.

Martínez, Aníbal R. (2000). Diccionario del petróleo venezolano. Colección Libros de El Nacional. Caracas, Venezuela.

Montiel Ortega, Leonardo (1999). Guía para estudiantes sobre petróleo y gas. Editorial Arte. Caracas, Venezuela.

NCTM -National Council of Teachers Mathematics- (2000). Principles and Standars for School Mathematics. EE.UU.

Resultados

La mínima longitud del alambre es 6 cm.

La anfitriona es Dora.

La suma de las caras posteriores no visibles es 1+4+5+6+4+2 = 22.

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José Rafael León R.

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* El doctor José R. León es un reconocido especialista en las áreas de Estadística, Teoría de Probabilidades y Procesos Aleatorios. Es profesor titular de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Central de Venezuela y actualmente es Coordinador de Estudios de Postgrado de la UCV y Representante Profesoral ante el Consejo Universitario. Ha sido profesor invitado en diversas ocasiones en universidades francesas, españolas y de América Latina.

Es miembro del Sistema de Promoción al Investigador en su máximo nivel (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1997.

Fotografía: Carlos Rivodó

Uno de los temas que interesa actualmente al Dr. León es la utilización de procesos aleatorios para realizar modelos de la superficie del mar. La Teoría de Procesos Aleatorios es un área que ha tenido un impresionante desarrollo en los últimos 50 años y se ocupa del estudio de funciones que dependen del azar, por ejemplo, la evolución de cantidades que varían en el tiempo pero que lo hacen de manera aleatoria. Un caso interesante es el de la superficie del mar. Si pensamos en una boya fija en un lugar de la superficie marina, su altura varía a lo largo del tiempo y no podemos predecir con exactitud la altura de la boya en un instante dado del futuro. La evolución de la altura de la boya en el tiempo es un ejemplo de una función que depende del azar.

Más complicado, pero también más interesante, es considerar una parte de la superficie del mar en lugar de considerar un punto (que corresponde a una boya), es decir, considerar una superficie aleatoria. Esto permite estudiar la evolución de las olas en el tiempo. El estudio de modelos teóricos de superficies aleatorias permite analizar diversas propiedades de las olas y su evolución, que son de interés, por ejemplo, en el diseño de barcos y plataformas marinas.

Usando registros tomados con arreglos de boyas o por satélite, es posible medir la energía del mar en distintas direcciones a través de lo que se conoce como el espectro direccional de la superficie. Teniendo en cuenta que esta es una de las informaciones disponibles de manera rutinaria por los observatorios marinos, es de especial interés poder deducir, a partir de estos espectros de energía, propiedades de la superficie correspondiente, para lo cual es fundamental el estudio de los modelos teóricos de la superficie del mar.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.