Matemática para todos Fascículo
El mundo de las
Medidas II
medidas
“De una manera indescriptible, mientras (Davidson) iba de un lado a otro en Londres, su mirada iba de un lado a otro de manera correspondiente por aquella isla lejana... Cuando yo le señalé que no se podía alterar el hecho de que ese lugar (la isla Antípoda) estaba a ocho mil millas de distancia, me respondió que aunque dos puntos estuvieran separados por una yarda en una hoja de papel, se les podía poner uno junto al otro al dar vuelta al papel sobre sí mismo.”
H.G. Wells Escritor británico, 1866-1946
La matemática y la astronomía tuvieron un gran avance con los científicos del Islam, quienes hicieron grandes aportes en álgebra, geometría y trigonometría. Esta es una ilustración persa del s. XVI y en ella se observa a varios astrónomos utilizando diversos instrumentos de medida y de observación como son: compás, astrolabio, plomada, reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.
¿Qué medimos? Las líneas: segmentos, poligonales y curvas (objetos unidimensionales), a las que calculamos sus longitudes.
Del segmento
De la poligonal
De la curva y de objetos enrollados
Las regiones de un plano limitadas por líneas (objetos bidimensionales), a las que calculamos sus áreas. Joan Miró Pintor español (1893-1983) El hermoso pájaro que revela lo deconocido a una pareja de enamorados
Del triángulo
Del polígono
Del círculo
de una región
Los cuerpos en el espacio (objetos tridimensionales), a los que calculamos su volumen.
¿Distancia entre la Tierra y la Luna?
Del tetraedro
Del paralelepípedo
Del cilindro
¿Longitud del ecuador?
De la esfera
Del barril
¿Superficie de la Tierra?
Capacidad del recipiente
También se calculan: las áreas de las superficies (planas o curvas) que los limitan, las longitudes de sus aristas y los contornos rectos o curvos.
D
Cuando medimos el largo, ancho o altura de un objeto estamos midiendo la longitud de las dimensiones de ese objeto. Al medir cada una de estas longitudes lo que hacemos es medir la distancia entre los extremos de un segmento. Por ejemplo, en el dibujo el ancho, el largo y la altura del paralelepípedo, son respectivamente la distancia entre los puntos A y B, B y C, C y D. Asimismo, cuando medimos la distancia entre Barcelona y Maturín, bien sea en línea recta en un mapa o por carretera, la profundidad de un pozo, el perímetro de un polígono o la circunferencia de un círculo, medimos longitudes.
Altura
Calculando las longitudes
C A An
ch
La
o
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
B
rg
o
Unidades de longitud La unidad patrón de la longitud es el metro. Se considera la unidad base del Sistema Internacional de Medidas (SI) porque las unidades de superficie, volumen y peso derivan de esta unidad de longitud. Cuando necesitamos medir longitudes muy grandes, por ejemplo, la distancia entre dos ciudades, utilizamos el kilómetro que es un múltiplo del metro, el cual es equivalente a 1 000 m. Si, por el contrario, queremos medir longitudes pequeñas utilizamos submúltiplos del metro como el centímetro o el milímetro equivalentes a 0,01 m y a 0,001 m, respectivamente. Para medidas microscópicas se utiliza la micra o micrón equivalente a una millonésima parte del metro (0,000 001 m) o sea una milésima de milímetro (0,001 mm). Análogamente, para grandes distancias se usa el megámetro equivalente a 1 000 000 m = 1 000 km. Para expresar distancias enormes en astronomía se utiliza el Año Luz, el cual representa la distancia que la luz recorre en un año.
19
pu
a lg
da
s
Otras medidas de longitud Debido a tecnologías importadas y a la influencia del comercio internacional, en nuestro país coexisten junto a las medidas del SI otras medidas como la pulgada, medida inglesa equivalente a 2,54 centímetros que es utilizada para medir, por ejemplo, herramientas como tornillos, llaves, tubos y otros. La milla náutica internacional, también conocida como milla marina, es una medida utilizada para medir distancias en navegación marítima. Su valor está fijado por convención en 1 852 m, valor que se obtiene al dividir la circunferencia aproximada de la Tierra (40 000 km) entre 360 grados y dividir ese resultado entre 60 que es la cantidad de minutos de arco en un grado.
Al referirnos al tamaño de un monitor de computadora o un televisor, lo expresamos en pulgadas (ejemplo: 15”, 19”, 27”), refiriéndonos a la longitud de la diagonal de la pantalla.
A Escala gráfica 0
50 km
C
B
A
100 km
B
D
R
C E
C F 135
E F G
km
D 210 km
Perímetro del polígono= AB + BC + CD + DE + EF+ FA
Longitud de la poligonal= Longitud de la AB + BC + CD + DE + Circunferencia C = 2πR EF+ FG
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes
Micrómetro o tornillo micrométrico: Instrumento que permite medir con gran precisión longitudes o ángulos muy pequeños.
Odómetro: Instrumento que permite contar la distancia. Ejemplo: El cuentakilómetros de un automóvil.
O
A
B
RETO: En la figura se tienen dos circunferencias concéntricas en O, siendo OB = 9 cm y OA = 3 cm. Determina el perímetro de la zona roja.
Medida de una circunferencia Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, un método muy fácil consiste en tomar un pabilo o cinta (inextensible), fijar uno de sus extremos en un punto A de la circunferencia y bordear ésta con el pabilo hasta completar la curva. El punto en el cual el pabilo completa la curva lo marcamos y lo llamamos B. Así obtenemos un segmento AB del pabilo cuya longitud es la longitud de la circunferencia que llamaremos L. Si efectuamos esta operación con diferentes objetos circulares como monedas, discos compactos, ruedas, etc. y observamos los resultados, notaremos que siempre el segmento AB resultante contiene tres veces el diámetro d y sobra un pequeño trozo CB el cual podemos comprobar que es 1 aproximadamente 7 del diámetro. Es decir que la medida de cualquier circunferencia, con respecto a su diámetro d como unidad es la misma; esta constante es el número que conocemos como π (pi). Entonces π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es decir π = L/d aproximadamente igual a 3 + 1 = 22 . 7 7 Entonces la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula L=2 πR.
R d A
d A
d
d C
B
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Calculando áreas El área de una superficie (plana o curva) es una magnitud que mide su extensión superficial con una unidad de medida prefijada. En el Sistema Internacional (SI) la unidad es el metro cuadrado (m2). Igual que para otras magnitudes, en el SI hay múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado, y éstos van de 100 en 100. Un múltiplo muy utilizado es el hectómetro cuadrado (hm2) el cual es empleado para la medición de parcelas de terreno y recibe el nombre de hectárea (ha), y es equivalente a 10 000 m2. Cuando se trata de mediciones referidas a la construcción de una casa recurrimos al metro cuadrado. Si se trata de medir la extensión territorial de un país se emplea el kilómetro cuadrado (km2). Por ejemplo, Venezuela tiene una extensión territorial de 916 445 km2. (Fuente: Imagen de Venezuela,1992, PDVSA)
Pietro Lorenzetti Pintor italiano (c. 1280-1348) Historia de la Beata Humildad La escena representa el acarreo de ladrillos para construir el convento y el hospicio. Para edificar es necesario conocer correctamente las medidas de superficies planas.
La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lo fuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59)2= 509 260 302,25 km2. De éstos, aproximadamente, 381 945 226,68 km2, (sus 34 partes) están cubiertas de agua. Hemos tomado como aproximación de π el valor 3,14 y como radio de la Tierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatorial (6 378,38 km). Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
¿Cómo calculamos el área de una figura plana? Armando Barrios Pintor caraqueño (1920-1999) Composición
Existen varias formas para calcular el área de una figura plana. Para algunas figuras tenemos fórmulas; por ejemplo, el área del círculo de radio R viene dada por A=π R2. También existen instrumentos como el planímetro (o integrómetro) mediante los cuales podemos hacer mediciones de áreas. A veces es necesario hacer estimaciones para determinar el área. Esto último ocurre si queremos conocer el área de una finca, de un país o de una región. Asimismo, existen teoremas, como el de Pitágoras, los cuales establecen interesantes relaciones entre áreas. Sin embargo, también se calcula el área de figuras que no son planas. Por ejemplo, el área de la superficie de una esfera de radio R es 4 π R2. Actualmente existen modernos instrumentos digitales para la medición de áreas como los planímetros que se muestran a continuación.
Herón de Alejandría (s. I d.C.) presenta en el libro I de su tratado Las métricas, la fórmula A= s(s-a)(s-b)(s-c) para calcular el área de un triángulo de lados a, b y c, donde s es el semiperímetro, [s= (a+b+c) ]. Esta fórmula se conoce como fórmula 2 de Herón aunque algunos la atribuyen a Arquímedes. El círculo tiene la mayor área entre todas las áreas de regiones limitadas por curvas con una longitud dada. Por ejemplo, si tenemos una cuerda de longitud L =10 m y construimos un triángulo, un cuadrado y un pentágono regular cuyos perímetros sean iguales a 10 m, y también construimos una circunferencia de longitud 10 m, entonces dicho círculo tiene mayor área que los otros tres polígonos. Esta propiedad del círculo fue demostrada por Pappus de Alejandría (s. IV d.C.), quien lo hizo para los polígonos regulares. “De todas las figuras planas de igual perímetro, el círculo es el de mayor área”. Hay una leyenda curiosa en torno de esta propiedad, denominada el problema o la leyenda de Dido relacionada con la fundación de Cartago, la ciudad rival de Roma durante varios siglos: la princesa fenicia Dido desembarcó en las costas del Norte de África y realizó un convenio con el rey del lugar que consistía en canjear sus joyas por un pedazo de terreno, todo aquél que se podía limitar con una piel de toro. Una vez que se aceptó ese convenio, ella cortó la piel del toro en trozos muy delgados uniéndolos entre sí y luego formó una curva cerrada de gran longitud, precisamente en forma de una circunferencia, dentro de la cual construyó la ciudad de Cartago. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Vamos a mostrar algunas figuras planas y la respectiva fórmula que permite calcular sus áreas.
h
h
b
Todos estos paralelogramos tienen la misma base b, y la misma altura h. Su área viene dada por la fórmula A = bh.
h
b
b
Un caso partícular de paralelogramo es el rectángulo, donde a la base y a la altura se les llama comúnmente largo y ancho.
h
m
l
b
m
A su vez, un caso particular es el cuadrado. En esta figura la base y la altura miden lo mismo y se les llama simplemente lado. Si denotamos el lado por m, el área del cuadrado viene expresada por A= m2.
Otra figura muy conocida es el triángulo. C
D
El área de un triángulo viene dada por A= 12 bh Los triángulos ABC y ABD tienen la misma área puesto que tienen la misma base AB, y la misma altura ya que CD es paralelo a AB.
h A
b
B
Veamos algunas otras figuras planas. C
d d’
El área de un rombo viene dada por A = dd’, donde d y d’ son sus respectivas diagonales.
B
D
E
A
Para calcular el área de un polígono, lo subdividiremos en triángulos, calculamos sus respectivas áreas y las sumamos.
F
Hay figuras planas cuyo contorno no está formado por líneas poligonales y para las cuales existen también fórmulas que permiten calcular su área.
R
El área de un círculo viene dada por A = π R2, donde R es su radio.
W
Si quieres calcular el área de una región W con forma irregular apelamos a la estimación del área, ya que no conocemos ninguna fórmula para hacerlo.
INTERESANTE Utilizando una trenza de longitud L representamos diversos polígonos. De ellos, el cuadrado es el que encierra mayor área.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas? Veamos ahora las áreas de algunas figuras que no son planas. Dado cualquier cuerpo en el espacio podemos preguntarnos cuál es el área de la superficie que conforma el borde o frontera del cuerpo.
Frank Lloyd Wright arquitecto norteamericano (1867-1959) Charles Ennis House, Los Ángeles, EE.UU.
Parelelepípedo
Tetraedro
Cubo
Estas figuras tienen el borde formado por caras. Cada cara es un polígono y ya sabemos calcular áreas de polígonos. Luego basta B
calcular el área de cada cara y sumarlas.
RETO El área del hexágono regular es S. ¿Cuánto es el área del triángulo de vértices ABC?
A
C
Pitágoras de Samos, nació en la primera mitad del siglo VI a.C. en Samos, isla del mar Egeo. Se dice que fue alumno de Tales de Mileto (uno de los Siete Sabios de la Antigüedad). Viajó por Egipto y Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “todo es número”. Descubrió las progresiones armónicas de la escala musical y a él se debe la tabla de multiplicar. Existen diversas extensiones del Teorema de Pitágoras en las cuales está involucrada la noción de áreas.
2
A
b
2
a
a El Teorema de Pitágoras, el cual B sólo se cumple en triángulos rectángulos, algebraicamente se escribe así: 2 2 2 c =a +b Ordinariamente la interpretación geométrica es como se presenta en la figura, en términos de área de cuadrados.
B
A
b c C
c
2
C = A + B donde A, B y C son las respectivas áreas de los semicírculos.
C
Una forma más general es ésta. El área de S3 se obtiene como la suma de las respectivas áreas de S1 y de S2, suponiendo que las figuras son semejantes.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
S2 S1 S3
Matemática para todos El mundo de las
Fascículo
medidas
Calculando volúmenes
Si tenemos un paquete que a su vez contiene 9 cajitas de fósforos, ese número mide el volumen del paquete considerando la cajita de fósforos como la unidad de medida.
David Teniers Pintor flamenco (1610-1690) El alquimista
dm
1 cm
1
cm
1 cm
1 dm
1
En el sistema Internacional de Medidas (SI), la unidad patrón de longitud es el metro (m), de la que se deriva la unidad de volumen, el metro cúbico (m3). Otras unidades usuales que se utilizan (submúltiplos del m3) son el cm3 y el dm3.
Un cm3 es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 cm. 1 dm
1 dm3 = 1 000 cm3. El dm3 es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 1 dm.
1 dm3 es equivalente a un litro de agua pura a la temperatura de 4 ºC. Litro, centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen: 1 m3 =1 000 dm3 = 1 000 l 1 dm3 =1 000 cm3 = 1l 100 cl = 1 000 ml 1 cm3 = 1 ml
6 cm
20
cm
INTERESANTE En varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc., expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido). Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 mI); 4,2 fl oz (125 mI) como se lee en las etiquetas de algunos de esos productos. ¿Cuántos mI equivalen a 1 fl oz?
2
2 2
24 cm
RETOS: 1) Toma una cajita de fósforos de las que utilizan en tu casa, que tenga forma de paralelepípedo, y calcula su volumen (en cm3). Calcula el volumen de un paquete con 9 cajitas de fósforos. 2) Calcula el volumen de la caja dibujada tomando como unidad un pequeño cubo de 2 cm de arista.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Interesante
Sandro Botticelli pintor florentino (1455-1510) San Agustín, fresco donde aparece este santo en su estudio, rodeado de instrumentos astrológicos y libros
Sólidos del espacio con volúmenes iguales y suma de áreas de las superficies que los limitan, distinta.
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
Figuras de un plano con áreas iguales y perímetros distintos.
1 cm
1 cm
1
cm
1 cm
1
Hay varios sólidos para los cuales se conocen fórmulas que determinan sus volúmenes.
cm
4 cuadrados formando un cuadrado
4 cuadrados formando un rectángulo
4 cubos formando un paralelepípedo
4 cubos formando un paralelepípedo
Área = 4 cm2 Perímetro = 8 cm
Área = 4 cm2 Perímetro = 10 cm
Volumen = 4 cm3 Área = 18 cm2
Volumen = 4 cm3 Área = 16 cm2
a Cubo
V = a3 a a a Paralelepípedo
V = lah Sólidos del espacio con volúmenes distintos e suma de áreas de las superficies que los limitan iguales.
h l h
Un cuadrado de lado 12 cm Área = 144 cm2 Perímetro = 48 cm
Cilindro V = πR2h
h
14 cm
R
Un rectángulo de lados 10 cm y 14 cm Área = 140 cm2 Perímetro = 48 cm
1 cm
1
cm
1 cm
1
cm
1 cm
10 cm
1 cm
12 cm
Figuras de un plano con áreas distintas y perímetros iguales.
12 cm
Pirámide Volumen = área de la base.h 3
5 cubos formando un paralelepípedo
6 cubos formando un paralelepípedo
Volumen = 5 cm3 Área de las caras = 22 cm2
Volumen = 6 cm3 Área de las caras = 22 cm2
h R
R
Cono 2 V = (πR h) 3
Esfera V = (4πR2) 3
El matemático griego Zenodoro (siglo II a.C.) escribió un libro en el que uno de sus enunciados se refiere a las esferas. “Entre todos los sólidos con la misma superficie, la esfera es la que encierra mayor volumen”. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Medidas y tecnología
Motor 4 cilindros
La energía generada por el motor de un vehículo hace que las ruedas giren y por ello éste se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna en donde el combustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión). Esa combustión, la "explosión" de la mezcla de combustible con aire (motor de explosión), produce una energía que hace girar un eje, el eje-cigüeñal, y dicho movimiento de rotación se transmite a las ruedas que hacen desplazar el vehículo y éste se mueve. Es frecuente leer en las partes traseras de los vehículos números y siglas como las siguientes: 1.3, 1.6, 2.0 L, 4.0 L, 16V, entre otros. ¿Qué significan esos números? Ellos se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros. Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual: Motor 1.6 L Cilindros 4 en línea Válvulas 2 por cilindro Cámara de combustión Diámetro de los cilindros 82,07 mm Carrera 75,48 mm Cilindrada 1 597 cm3 Calculando el volumen de cada cilindro, resulta V=πR2h: 8,207 cm 2 V= 3,1416 • • 7,548 cm ≈ 399,29 cm3 luego 4V ≈ 2 3 1 597 cm , cilindrada especificada en el manual. En la inscripción de la parte trasera del automóvil se lee 1.6, lo que indica 1,6 litros = 1 600 cm3 con el fin práctico de no escribir tantos números.
Carrera
Hay vehículos con 4 válvulas por cilindro (total 16 válvulas si son 4 cilindros) y otros con 24 válvulas y 6 cilindros. Este Ferrari de 1944 tenía 24 cilindros y 48 válvulas.
b=2
h=6
a=
4
h
a
Pistón
Transmisión
A mayor cilindrada hay mayor consumo de combustible y por ende más combustión. Lo que implica más energía generada.
Las fuentes principales para el conocimiento de la matemática egipcia de la época de los faraones son los papiros, entre los que se encuentra el denominado papiro Rhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Otro de estos importantes documentos es el papiro Golenischev o papiro de Moscú, así llamado por conservarse en el Museo de Artes de Moscú. Este papiro fue escrito hacia el año 1850 a.C. por un escriba desconocido y contiene 25 ejemplos o problemas, la mayoría relacionados con la vida práctica. La resolución del problema 14 del papiro de Moscú es digna de admiración cuando nos situamos en esa época tan lejana de la actual: se trata de determinar el volumen de una pirámide truncada con bases cuadradas, la cual tiene por dimensiones 6 unidades de altura, con dos bases cuadradas cuyos lados miden, respectivamente, 4 y 2 unidades. La respuesta dada en ese papiro es 56, lo que efectivamente coincide cuando hoy en día aplicamos la fórmula: (a 2 +ab+b 2 )h V= 3 para calcular tal volumen de manera general. En el caso del papiro de Moscú se tiene h=6, a=4, b=2. ¿Cómo obtuvieron el resultado los egipcios? ¿Era conocida esa fórmula de manera general? No se sabe cuál fue el método empleado por ellos aún cuando se han dado diversas explicaciones. Observa que si b=0 se tiene una pirámide de base cuadrada, cuyo volumen V resulta igual a a 2 h, es decir, área de la base • altura. 3
3
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Medidas y geografía El Ecuador terrestre mide 40 056,23 km (el radio ecuatorial es 6 378,38 km). El meridiano de Greenwich mide 39 920,70 km (el radio polar es 6 356,80 km). Observa que esas longitudes indican que la Tierra es más achatada en los polos que en el Ecuador. El promedio de esos dos radios es 6 367,59 km. Por lo tanto, suponiendo que la Tierra sea de forma esférica con radio igual a 6 367,59 km, podemos calcular su volumen: Volumen = 4π (radio)3 ≈ 4 • 3,14 • (6 367,59)3 km3 ≈ 1 080 920,27 millones de 3 3 km3. Volumen ≈ 1 080,1 millardos de km3.
Para tener idea de esas medidas, comparemos con el volumen del Sol que es 1 301 503 veces el volumen de la Tierra y éste a su vez es 49 veces el de la Luna (aproximadamente).
Alejandría
Asuán
El primero que realizó el cálculo de la circunferencia terrestre (circunferencia máxima) bastante aproximado a lo conocido hoy en día, fue el griego Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría (Egipto). Eratóstenes determinó como medida de la circunferencia 250 000 estadios, referida a la que pasa por las ciudades de Alejandría y Siena (ahora Asuán, en Egipto). El estadio era una medida antigua y el que posiblemente utilizó Eratóstenes fue el estadio egipcio, cuyo valor es 157,50 m. Por lo tanto, 250 000 estadios = 250 000 • 157,50 m = 39 375 000 m = 39 375 km , valor próximo del conocido actualmente. N
Alejandría
7,2º Ra
RETO: Construye dos triángulos distintos que tengan la misma base e igual altura, pero con perímetros distintos. ¿Qué concluyes?
yo
o ss
lar
es
Siena (Asuán)
7,2º
S
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Eratóstenes Matemático, geógrafo y astrónomo griego (s. III - s. II a.C)
360º = 50 • 7,20º De Siena a Alejandría hay 5 000 estadios. 5 000 • 50 estadios = 250 000 estadios.
Medidas y ciencia La Física estudia la materia, desde partículas tan diminutas como los electrones y los quarks hasta cuerpos tan grandes como las galaxias y el universo entero, por lo tanto, existe un rango enorme de medidas de las regiones que conforman el espacio conocido por la ciencia. Por ejemplo, en la figura se representan en forma esquemática diferentes longitudes (distancias o tamaños) de objetos. La escala que se utiliza no es lineal, pues se expresa en potencias de diez y existe un factor de 104 entre datos sucesivos de la escala. También se puede notar que entre las cosas más pequeñas y las más grandes existe un rango del orden de 1041. Las partículas más pequeñas y los cuerpos más grandes son diferentes en tamaño por más de 40 órdenes de magnitud. En este rango existe una pequeña porción de distancias en la que vivimos y que nuestros sentidos pueden apreciar con facilidad. ¿Cuál es este rango? Al responder a esta interrogante es posible afirmar que nuestro conocimiento acerca del universo se va desarrollando en la medida en que los científicos han diseñado y construido instrumentos y técnicas que permiten medir magnitudes y que amplían el trabajo de nuestros sentidos. Estas ideas se comprenden mejor si se realiza una exploración visual del dominio de la física en su intento por desarrollar una visión del tamaño relativo de los objetos del ambiente. La invitación consiste en emprender un viaje fantástico, iniciándose desde lo familiar, es decir, considerando la escala humana. Durante el viaje te puedes dirigir hacia lo muy grande (macrocosmos) o descender hacia lo muy pequeño (microcosmos). Cierra tus ojos e intenta viajar comprando para ello un boleto a tu imaginación.
1024
Frontera del universo observable ≈ 1024 m
1020
Diámetro de nuestra galaxia ≈ 7,6 x 1020 m
1016
Distancia a la estrella más cercana ≈ 4 x 1016 m
1012
108
Distancia Tierra-Sol ≈ 1,5 x 1011 m
Distancia Tierra-Luna ≈ 108 m Radio de la Tierra ≈ 6 x 106 m
104
Altura del pico Bolívar ≈ 5 x 103 m Altura de una persona ≈ 1,7 m
100 Diámetro de cien bolívares ≈ 2,5 x 10-2 m
10-4
u
u
d
u u
d
d u
u
d
10-8
d
d
d
Diámetro del átomo ≈ 1 x 10-10 m
d
u
u u
Diámetro de un glóbulo rojo de la sangre ≈ 10-5 m Longitud de onda de la luz visible ≈ 5 x 10-7 m
d
u u
d
d u
d
10-12
Diámetro del protón ≈ 2 x 10-15 m -16 10
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente
Áreas Para que los niños se formen una idea clara de lo que es el área, de las fórmulas que se utilizan para calcularla y de las unidades en que se expresa, es conveniente hacerles vivir la experiencia de medir el tamaño de una superficie con un pedazo de cartón de base cuadrada, que podría ser de un decímetro por lado, para medir la superficie de una hoja de papel, de una mesa rectangular o del pupitre. Al medir el tamaño de diferentes superficies rectangulares, se van dando cuenta de que el área depende de las longitudes de los lados. Luego se puede plantear la situación de dibujar en el cuaderno diferentes rectángulos que tengan de área 24 cuadraditos. Así representarán rectángulos de lados de 8 y 3, 4 y 6, 12 y 2, 24 y 1, para llegar a concluir que en todos estos casos el área es el producto del largo por el ancho, o también de la base por la altura.
6 8
12
3 2 4
24
1
Área de un triángulo
Área de un paralelogramo
Experimentalmente verificamos la fórmula del área de los triángulos. A un cartón de base rectangular cuya área es a x b se le traza una de las diagonales, obteniéndose dos triángulos iguales. Por tanto, el área de cada uno de estos triángulos es (a x b) 2 En general, se puede demostrar que el área de un triángulo es (base x altura) 2
Con un pedazo de cartón de base rectangular se puede “ver” cómo calcular el área de un paralelogramo y el de un trapecio.
N
Verifiquemos esta fórmula en las siguientes situaciones: Represente en un papel un triángulo isósceles, uno escaleno, o uno equilátero llamados ABC. Si trazamos una paralela a la base AC en la mitad (M) de la altura del triángulo, se puede comprobar que los triángulos coloreados C’MB y A’MB corresponden a los triángulos C’XA y A’YC respectivamente. Estas dos últimas figuras agregadas a la parte blanca (AC’A’C) del triángulo completan un rectángulo, el cual tiene la misma base y la mitad de la altura de los respectivos triángulos ABC.
En este caso se observa un paralelogramo no rectángulo y su área sigue siendo base por altura.
N
b h N
B
Del cartón de base rectangular se corta un pedazo triangular N que se coloca en otras posiciones como las indicadas más abajo.
a (a+b) x h 2
En este caso se tiene un trapecio de igual área que la del rectángulo de donde proviene y se puede comprobar que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por su altura.
B M
X C’
A
Y A’
X
C A
C’
M
A’
Y
A partir de estas experiencias se pueden proponer problemas de cálculo de áreas.
C
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Tengo que pensarlo Imagina que dispones de una cinta métrica y de una foto de un edificio de gran altura. ¿Cómo harías para determinar su altura sin tener que subirte piso por piso? C
D
El cubo de la figura tiene un volumen de 27 cm3. ¿Cuánto es el área del rectángulo rojo ABCD?
Tres pelotas de tenis están estrechamente empaquetadas en una caja cilíndrica, como se muestra en la figura. ¿Qué fracción de volumen de la caja está ocupada por las pelotas de tenis?
A
B
¿Cuánto mide el área de color anaranjado –comprendida entre los dos cuadrados– sabiendo que el radio de la circunferencia es 2 cm?
Todos conocemos la obra de Leonardo da Vinci La Monalisa o La Gioconda. Se sabe que las dimensiones del lienzo son 77 cm de altura y 53 cm de ancho. Si la dama de la pintura tuviera los brazos extendidos horizontalmente (1,70 m de longitud real) y Leonardo mantuviera la proporcionalidad del dibujo, ¿qué superficie mínima debería tener el lienzo?
1,70 m
Bibliografía Chamorro, Carmen y Juan Belmonte (1994). El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 17. Editorial Síntesis, Madrid, España. Gaceta Oficial de la República de Venezuela. Extraordinario Nº 2.823, 14 de julio de 1981. Rodríguez, Leonardo (2000). Pesos y medidas antiguas de Venezuela. Fondo Editorial Tropykos, Caracas, Venezuela.
Páginas web http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_49.html
Resultados
El área del rectángulo es ≈ 12,72 cm2. Las pelotas ocupan 23 de la caja. El área de color anaranjado es 8 cm2. La superficie mínima del lienzo es de ≈ 4,2 m2. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Luis Báez Duarte
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1938. Realizó sus estudios en el Instituto de Tecnología de California (Caltech), donde obtuvo con honores el BSc. en Matemáticas, en 1959. Luego, en esa misma institución, obtuvo el PhD en matemáticas en 1965. El doctor Báez Duarte ha sido profesor de la Universidad de California y del Instituto Tecnológico de Massachusetts y fue fundador del departamento de matemáticas del IVIC, donde se mantiene como colaborador visitante desde 1990. Le fue conferido el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en 1999.
Luis Báez Duarte ha centrado su trabajo de investigación en la búsqueda de la solución a uno de los problemas más famosos de la matemática en la actualidad, quizás el más famoso. Se trata de la Hipótesis de Riemann, RH, la cual fue planteada por el matemático alemán Bernard Riemann durante la segunda mitad del siglo XIX y nos dice, hablando de una manera muy informal desde el punto de vista matemático, dónde se piensa que están ubicados los valores que anulan una cierta función (los ceros de la función), definida en los números complejos. Esta función se conoce hoy en día como la función Zeta de Riemann. La verdad de esta conjetura está conectada con el fascinante problema de la distribución de los números primos dentro del conjunto de los números enteros. Hoy en día hay muchos resultados matemáticos importantes, cuya verdad depende de la veracidad de la Hipótesis de Riemann.
Fotografía: Carlos Rivodó
Varios matemáticos importantes del siglo XX han intentado resolver este problema sin éxito. En el mejor de los casos han logrado encontrar reformulaciones de la Hipótesis, es decir, han logrado plantear otros problemas cuya solución implicaría la solución de RH y viceversa, la solución de RH implicaría la solución de estos problemas. Esta es una técnica muy común en Matemáticas y rinde sus máximos beneficios cuando se puede lograr una reformulación equivalente al problema original, pero más sencilla de resolver. Algo similar a esto se logró hacer con éxito recientemente con el famoso Teorema de Fermat, cuya solución requirió esfuerzos por más de trescientos años y el hecho de haberla logrado, produjo un gran impacto en el mundo desde un punto de vista noticioso, además del correspondiente impacto en la comunidad matemática. Volviendo a RH, el Dr. Báez Duarte es autor de algunas de las reformulaciones mencionadas, una de las cuales, según expertos en la materia, parece particularmente esperanzadora. Se puede consultar en el sitio http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHreformulations.htm. En el camino a la búsqueda de la solución de RH el Dr. Báez Duarte ha logrado interesantes aportes a la matemática, particularmente en el área de Teoría de Números. Esta rama de la matemática ha sido considerada históricamente como una de las más puras, sin embargo con el desarrollo de los computadores, se están utilizando muchos de sus resultados en la codificación de mensajes, dando origen al fascinante mundo de la criptografía. * El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.