Matemática para todos Fascículo
El mundo de las
Medidas I
medidas
“Si uno logra medir lo que está diciendo y lo puede expresar en números, es que sabe lo que dice; pero si no lo puede expresar con números es que el conocimiento que tiene de ello es escaso e insatisfactorio.”
Sir William Thomson -Lord Kelvin- (1824-1907) Físico británico. Su nombre está asociado con la unidad de temperatura absoluta.
Medir viene de mensura (metiri). Protágoras de Abdera, filósofo griego (s. V a.C.) escribió un tratado, Sobre el ser, en que afirma que “el hombre es la medida de todas las cosas” (el homo mensura). Medir como proceso es determinar el valor de magnitudes mediante la comparación con una magnitud de la misma especie, tomada como patrón o unidad.
El esquema geométrico, realizado por Leonardo da Vinci, de un hombre inscrito en un cuadrado y en el que escribió “Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza, verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero”. La concepción de Leonardo se inspira en el canon de Vitruvio (arquitecto romano, s. I a.C., quien hizo uso práctico de la matemática) en sus Diez libros de Arquitectura. En el Libro III analizó las dimensiones humanas y escribió las proporciones ideales que 1 1 debería tener un hombre “La cabeza es 8 de la estatura, la cara es 10 y el pie es 16 . La mano es igual a una 1 cara y el codo (antebrazo más mano) es igual a dos cabezas, o sea 4 de la estatura. En fin, la brazada representa la altura del hombre”.
Leonardo da Vinci Italia 1452-1519
Descubriendo las medidas
Las respuestas a estas preguntas involucran un proceso de medición
¡A ver! ... ¡A ver! ¿Qué es medir?
Medir es determinar una magnitud comparándola con una unidad prefijada llamada unidad patrón o fundamental. El número de calzado que usas, tu estatura, tu peso, tu edad. Todos estos números son medidas.
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¿Qué cosas podemos medir? Muchas cosas podemos medir, por ejemplo, el área de un piso. Por medición entendemos el proceso mediante el cual asignamos un número a una magnitud. También podemos medir el agua que sale por un grifo abierto, el peso que levanta una máquina, la longitud de una carretera.
¡CUIDADO! No todas las cosas son susceptibles de ser medidas. Por ejemplo, ¿qué número podemos asignarle a la belleza de una flor? Tampoco todo número proviene de la medida de alguna magnitud, por ejemplo: el número de un jugador de béisbol no refleja ningún rasgo particular de su persona. Igual ocurre con los números de las cédulas de identidad o con la placa de un carro.
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Descubriendo las medidas ¿Pero, cómo medimos?
Ayer me midieron en la escuela y mi estatura es 1,60 m. ¿Pero, cómo mediremos la distancia de la Tierra a la Luna?
¿Cuál será mi peso? RETO Conociendo la longitud de un paso tuyo ¿podrías estimar la longitud que recorrerías si das un millón de pasos? ¿Será tan grande como la distancia que hay de Barcelona a Barquisimeto?
A lo largo de la historia el hombre ha venido empleando diversos tipos de sistemas de unidades. Éstos están íntimamente relacionados con la condición histórica de los pueblos que las crearon, las adoptaron o las impusieron a otras culturas.
El primer intento de unificación de las medidas lo constituyó el uso de medidas basadas en el cuerpo humano. Por ejemplo, el “codo” era la distancia desde el codo humano hasta el extremo del dedo medio. Estas medidas distaban de ser exactas, porque no todos los seres humanos tenemos las mismas dimensiones. En la Biblia se dice respecto de las proporciones que debía tener el Arca de Noé: “La fabricarás de esta manera: trescientos codos será la longitud del arca, cincuenta codos su anchura, y treinta codos su altura”. (Génesis: 6,15) Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
Los romanos terminaron por adoptar un sistema de unidades para todo el imperio. Hicieron un peso que llamaron “libra” y una barra de bronce que llamaron “pie”, para medir pesos y longitudes respectivamente. Por primera vez, el mundo tenía una sola manera de pesar y medir. A la caída del Imperio Romano (476 d.C.) volvió la desorganización en las medidas que se usaban en diversos países. Así, en un lugar una libra podía ser unas 13 onzas, mientras que en otro eran 20 onzas; o un pie podía representar en un país una medida y en otro ser el doble de esa medida.
La “milla” era una medida romana cuyo nombre significaba mil pasos, mille passuum, aunque se trataba en realidad de dos mil pasos, porque cada uno de ellos era un avance que consistía en el movimiento que se realiza desde
Co
do
Passuum
una posición hasta que se vuelve a colocar el mismo pie en el suelo.
Mano
Paso
Pie
La yarda fue establecida para toda Inglaterra como la distancia existente desde la nariz hasta el pulgar del rey Enrique I. En Inglaterra, el parlamento fijó ciertas medidas de peso y longitud en términos de granos de trigo y de cebada. Así, 35 granos de trigo formaban un “escrúpulo” y 3 granos de cebada puestos en fila, constituían una “pulgada”. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
Descubriendo las medidas ¿Qué es el metro? En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la encargada por la Asamblea Nacional Francesa, a propuesta de Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas, de aplicación sencilla, lo que culminó el 19 de marzo de 1791 con la definición del Sistema Métrico Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro, se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre. Delambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano terrestre que pasa por París, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich en Barcelona. A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4 °C. Charles Maurice de Talleyrand Político francés, 1754-1838
Academia Francesa de Ciencias
RETO Conociendo que el diámetro máximo de la Tierra es 12 756,76 kilómetros. ¿Podrías estimar cuántas personas se necesitan para que, con los brazos extendidos, abracen la Tierra por el Ecuador?
El Sistema Internacional (SI) es un sistema de unidades de medidas que utiliza siete magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia, cuyas unidades fundamentales son: el metro, el kilogramo, el segundo, el amperio, el kelvin, la candela y el mol. A partir de esas siete unidades, se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), y otras suplementarias de las últimas. José Tadeo Monagas (1784-1868) Presidente de la República de Venezuela desde 1847 hasta el año 1851 y luego desde 1855 hasta 1858.
En Venezuela, por ley del Congreso de fecha 13 de febrero de 1857, se adoptó el Sistema Métrico Decimal, poniéndole el ejecútese el entonces Presidente de la República, general José Tadeo Monagas. Nuestro país figura en el quinto lugar entre los primeros que adoptaron este sistema. Antes lo habían adoptado Holanda y Bélgica en 1821; Grecia en 1836 e Italia en 1853. La obligatoriedad de uso quedó establecida el 18 de mayo de 1912, por decreto firmado por el general Juan Vicente Gómez. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
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Sistema métrico decimal
3
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1
Es un sistema porque es un conjunto de medidas relacionadas; es métrico porque su unidad fundamental es el metro; y es decimal porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencias de 10.
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A continuación se muestra una tabla que indica algunos múltiplos y submúltiplos para medir longitudes, así como algunas equivalencias entre ellos. Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: deci para diez; centi para cien; mili para mil y así sucesivamente. Mientras, que para los múltiplos se estableció el uso de prefijos griegos: deca para diez, hecto para cien, kilo para mil, etc.
kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro
Símbolo km hm dam m dm cm mm
Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Donde se conservan los patrones del metro y el kilogramo del sistema métrico decimal. Sèvres, Francia.
Algunas equivalencias 1 km =1 000 m = 100 dam = 10 hm 1hm = 0,1 km = 10 dam = 100 m 1 dam = 10 m = 100 dm = 0,1 hm 1 dm = 0,1 m = 1 cm = 1 mm =
Trata de completar los espacios vacíos de la tabla Una manera de ver la relación entre el metro, sus múltiplos y sus submúltlipos, es la siguiente:
km
,
1
hm
,
0
dam
,
2
m
,
6
dm
,
1
cm
,
0
mm
,
7
,
1,026107 km = 10,26107 hm = 1 026,107 m = 10 261,07 dm Imagínate que vas desplazando la coma en el cuadro superior. Así se obtienen las medidas expresadas en la línea que está debajo del cuadro. ¿Qué justifica la presencia de los múltiplos y submúltiplos del metro? Si deseamos reparar una mesa a la cual se le ha roto una pata y deseamos sustituirla, para medir la longitud de la pata nos basta que esta longitud esté expresada en centímetros, no son adecuados, por ejemplo, los kilómetros. Mientras que si deseamos viajar de Caracas a Valencia lo conveniente es expresar en kilómetros la distancia que separa ambas ciudades. Raúl Leoni (1905-1972) Presidente de la República de Venezuela desde 1964 hasta el año 1969
El Sistema Internacional de Medidas fue establecido en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en 1960 y fue adoptado por Venezuela en la Gaceta Oficial Nº 27.919 del 25 de diciembre de 1964, durante el gobierno de Raúl Leoni. Las unidades de medida de este sistema fueron publicadas en la Gaceta Oficial Nº 2.823 Extraordinario del 14 de julio de 1981. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
¿Cómo se mide ? ¿Cómo calculamos el volumen de esta pelota? ¿Cómo calculamos el radio de la circunferencia ecuatorial si no podemos medirlo directamente? ¿Cómo calculamos la longitud de esta rama? ¿Cómo calculamos el área de la estrella? ¿Cuál de estas tres líneas tiene mayor longitud?; y de los segmentos AB y CD, ¿cuál es el más largo?
Ecuador
A
C
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io
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c er m e
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D
Si disponemos de fórmulas que permiten calcular medidas, ¿cómo se obtienen y cómo se utilizan?
da n it
a
Pa
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ag
Utilizar instrumentos de medida o fórmulas
es
de
m
Disponer de un sistema de medida para esa magnitud
B
Por ejemplo: (base x altura) área = 2 Longitud de una circunferencia= 2πR 3 Volumen de una esfera = 4πR 3 (donde R es el radio y π ≈ 3,14)
Si no disponemos de fórmulas o no las conocemos, ¿qué podemos hacer para calcular los volúmenes o las capacidades de todos estos recipientes?
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En el proceso de medir magnitudes intervienen los instrumentos (aparatos) de medida. Algunos de estos instrumentos son los mostrados a continuación:
Regla graduada para medir longitudes.
Vernier (calibrador o pie de rey) para medir longitudes apreciando milímetros y décimas de milímetro.
Reloj para medir el tiempo.
Termómetro para medir temperaturas.
Peso para medir masa.
Para ciertas mediciones existen hoy en día instrumentos de precisión utilizados en la industria y laboratorios para estudios científicos. Por ejemplo: balanza electrónica, osciloscopio, cronómetro, contador de vueltas, entre otros. Vasos graduados para medir capacidades.
Osciloscopio
Cronómetro
INTERESANTE ¿Cómo medir el diámetro de una esfera? Una forma práctica de construir un instrumento de tipo casero con el que realizamos tal medida consiste en tomar dos partes planas de cartón grueso o de madera, de la misma forma (por ejemplo cuadrada o rectangular), con cuatro tornillos largos de igual longitud y tuercas móviles (tipo mariposa), pasando por agujeros hechos previamente en las esquinas. Se coloca la esfera entre esas dos partes planas y luego con una regla graduada u otro instrumento se mide la distancia interior entre los dos cartones. Esta medida da una aproximación del diámetro de la esfera. El instrumento de medida así construido se denomina esferómetro. Los hay construidos industrialmente. Con él puedes realizar otras mediciones. Johannes Kepler Astrónomo y matemático alemán (1571-1630)
Kepler estudió el problema de determinar el volumen de diversos toneles de vino, buscando calcular las dimensiones más adecuadas, con el fin de emplear un mínimo de material para obtener igual capacidad. Ese estudio lo llevó a cabo en una de sus obras famosas titulada Nova stereometría doliorum vinariorum, un año que hubo una cosecha abundante de uva (1615). Sin embargo, Kepler es más conocido por sus tres célebres leyes acerca del movimiento de los planetas. Las dos primeras de estas leyes las anunció en 1609 en su obra Astronomia nova (publicada después de seis años de investigaciones); la segunda, ley de las áreas, reza así: el segmento de recta que une el centro del Sol con el centro de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
B A
Las partes sombreadas tienen la misma área si el planeta tarda el mismo tiempo para ir desde A hasta B y desde C hasta D.
Sol
C
Planeta D
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Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidas Para calcular el área de regiones planas como la de un rectángulo, un triángulo, un círculo, etc. y el volumen de ciertos sólidos del espacio como un cubo, un cilindro, una esfera, un cono, etc., se utilizan fórmulas. Esas áreas y volúmenes no se calculan directamente puesto que previamente se deben medir ciertas magnitudes de esas regiones planas o de esos sólidos.
1
altura
b
a base Rectángulo Área= a x b
Triángulo Área =
base x altura 2
Italia
R
H
R
Torre inclinada de Pisa
R Circunferencia Longitud= 2πR Círculo Área = πR2
Cilindro Volumen= πR2H
Esfera sólida 3 Volumen = 4πR 3
A
B
En una poligonal ABCDE, su longitud es la suma de las longitudes de los segmentos AB, BC, CD y DE. En este caso estamos aplicando una propiedad (un teorema) matemática. En el dibujo esas longitudes son respectivamente, 2 cm; 1,5 cm; 2,4 cm y 3 cm, por lo que la poligonal mide: 2 cm + 1,5 cm + 2,4 cm + 3 cm = 8,9 cm
2 3
Tales, el primero de los Siete Sabios de Grecia, calculó la altura de la gran pirámide de Keops sin medirla directamente y para ello se valió de un teorema que lleva su nombre. En la historia de la matemática se indica que Tales procedió como sigue: sea H la altura de la pirámide que se quiere calcular; se coloca un bastón verticalmente en la extremidad de la sombra arrojada por la pirámide. Las distancias S y d son respectivamente las longitudes de las sombras de la pirámide y de la estaca. Mediante el teorema de Tales se puede demostrar la siguiente igualdad H= D dx h , siendo D = base + S. Esa igualdad permite calcular H 2 conociendo la base de la pirámide cuadrangular, la sombra S de la pirámide, la altura h del bastón y la sombra del bastón. En su d tiempo, la gran pirámide medía 227 m de lado y 146,5 m de altura.
E
C D Tales (s. VI a.C.)
Matemático y filósofo, nacido en Mileto, Grecia
H
S h
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base
En la medición de características o atributos de los objetos pueden ejecutarse uno o más procesos básicos y acciones como los especificados a continuación, entre otros:
Comparar Cuando establecemos una medida lo que hacemos es comparar con un patrón elegido como unidad.
Unidad de área Unidad de volumen
15 unidades de área
16 unidades de volumen
Juntar o agregar Calculamos medidas de objetos juntando (reuniendo) otros objetos que se solapen.
y 100 cm3
Separar
+
=
100 cm3
200 cm3
2m
Calculamos medidas de objetos que sólo se solapen, separándolos en otros objetos. 5m
A1
4m
A2
A
10 m
2m A3 5m
Área A = área A1 + área A2 + área A3 4m
4m
10 m
10 m
Clasificar Se agrupan objetos con igual medida en clases y subclases, para lo que se utilizan frases: “tan largo como”, “tan pesado como”, “con volúmenes iguales”, etc.
3H H R iguales de largo
la misma estatura
R
Volúmenes o capacidades iguales
Para la misma época de Kepler, 1609, Galileo Galilei indagaba acerca del universo e inventó el anteojo astronómico que
Galileo Galilei Físico, matemático y astrónomo italiano (1564-1642)
revolucionó la observación de los cuerpos celestes.
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Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN. El mayor acelerador de partículas está enterrado en un gran anillo profundo en la frontera franco-suiza.
Medida, ciencia y tecnología
¿Por qué los aceleradores de partículas son tan grandes y circulares? El campo magnético cambia la dirección de partículas cargadas.
Poniendo varios magnetos en un círculo, las partículas vuelven al inicio, donde se les da un nuevo impulso, por lo que toman velocidades impresionantes. Magnetos fuerzan a las partículas a dar un movimiento circular
Explorar el Universo, lo “infinitamente grande” (distancia de la Tierra a Marte) y lo “infinitamente pequeño” (masa del electrón), ocupa a muchos científicos en el mundo que trabajan de manera mancomunada. Estas exploraciones se hacen en laboratorios, entre los que se destaca el Centro Mundial de Investigación en Física de Partículas CERN (Ginebra, Suiza). Si nos preguntamos por qué se estudian las partículas, la respuesta es: porque estamos constituidos por ellas al igual que todo el Universo. Algunas de estas partículas, los electrones, los protones, los quarks, tienen masa, energía, ejercen fuerzas entre ellas, etc. Así que su estudio permite descifrar los secretos de la materia. Para tener idea de lo extraordinariamente pequeñas que son estas partículas mencionaremos que el electrón tiene una masa del orden de 10-31 kg (30 ceros después de la coma decimal: 0,0000000000000000000000000000001 kg) y aún más pequeños son los u d quarks. En este esfuerzo conjunto de investigación se creó el CERN (1954), en el que actualmente u d u d trabajan más de 1.000 físicos, u u d d ingenieros y científicos, y sus u d d d instalaciones son utilizadas por u u cerca de 6.500 científicos de unas u d 500 universidades. Los trabajos científicos que allí se realizan son útiles en la industria, u d la medicina, la investigación y para u d ello se valen del mayor acelerador de partículas que existe, construido en la frontera Franco-Suiza, el cual mide 27 km de circunferencia, enterrado en un túnel profundo, Los átomos están constituidos de electrones algunas de cuyas instalaciones están a casi 100 m de profundidad. girando alrededor de un núcleo Allí se colisionan y detectan partículas, y se miden diversas que está formado por protones magnitudes con instrumentos de gran y neutrones precisión, por ejemplo, calorímetros que miden la energía. los cuales a su vez están formados de quarks, quarks hacia Sus investigadores buscan responder arriba y quarks hacia abajo, que son el límite de nuestro preguntas fundamentales de la conocimiento actual. naturaleza: ¿Qué es la materia? ¿Cuál es su origen? ¿Cómo permanece unida formando objetos tan complicados como las estrellas, los planetas o los seres humanos? Esos investigadores intentan comprender la evolución del Universo desde hace 15 000 millones de años hasta nuestros días. u
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Tengo que pensarlo El hombre más alto en los anales de la medicina fue Robert Wadlow (EE.UU.). Cuando se comprobó su estatura en junio de 1940, poco antes de su muerte, medía 2,72 m. El mayor peso que llegó a registrar fue de 222,71 kg al cumplir los 21 años y cuando murió pesaba 199 kg. Sus manos medían 47 cm desde la muñeca a la punta del dedo medio y del extremo de un brazo al del otro medía 2,88 m. ¿Cuántos hombres de la estatura del Sr. Wadlow se necesitarían para alcanzar la altura del salto de agua más alto del mundo, el Salto Ángel ubicado en Venezuela, que tiene 979 m?
Con muchas pesas Es posible pesar cualquier objeto que pese entre 1 y 255 unidades (sólo valen cantidades enteras) usando pesas que valen 1, 2, 4, 8, 16, ....., 128 ¿Cómo lo harías?
La moneda falsa Se tienen 9 monedas de idéntico aspecto, y sabemos que una de ellas es falsa, y que por ello pesa menos que cualquiera de las auténticas. Para identificar cuál de ellas es falsa bastan dos pesadas. ¿Cómo lo harías? ¿Qué ocurre si en lugar de 9 monedas, tenemos originalmente 13 monedas?
El timbre postal El timbre más pequeño que se conoce mide 8 mm x 9,5 mm. Este timbre fue editado en Colombia en el año 1963 y lleva impreso el rostro de Simón Bolívar. Podrías estimar ¿cuántos timbres harían falta para cubrir la cuarta parte de la superficie de un sobre de tamaño 20 cm x 10 cm?
Los botellones Se dispone de tres botellas de agua, que contienen 8, 5 y 3 litros, respectivamente. La de 8 litros está llena y las otras están vacías. ¿Cómo se pueden compartir los 8 litros de agua en dos partes iguales utilizando solamente estas tres botellas?
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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente
Aprender a medir La enseñanza y el aprendizaje de la medición no pueden reducirse a la mera asignación numérica de una magnitud con instrumentos sofisticados. El desarrollo de contenidos relacionados con sistemas de medidas debe ser orientado para favorecer en los niños la comprensión y el desarrollo de procesos y conceptos presentes en la medición. La construcción del concepto de magnitud se refiere, entre otros aspectos, a abstraer en el objeto o en un fenómeno la magnitud concreta susceptible de medir. Por ejemplo, es recomendable desarrollar actividades que conduzcan al niño a pasar del reconocimiento en un objeto de atributos como el largo, ancho, alto, profundidad, espesor, etc., al reconocimiento de la magnitud abstracta que la envuelve y relaciona a todas ellas, que en este caso corresponde a la longitud. El proceso de medir magnitudes está presente en muchas situaciones de la vida cotidiana. El niño mide desde muy temprana edad y de manera muy intuitiva. Posteriormente, en el ámbito formal de la escuela, es necesario propiciar la comprensión de la medición y explorar las implicaciones de ésta en la actividad científica, tecnológica y manufacturera. Es importante, además, concientizar a los estudiantes acerca de los procedimientos implicados en la construcción del concepto de medida, tales como: observación, estimación, comparación, clasificación, comunicación, entre otros. En este sentido, es recomendable que los maestros comiencen por explorar las ideas que tienen los estudiantes acerca de medir. Así resultaría interesante presentar situaciones concretas, por ejemplo, que los alumnos estimen y determinen la longitud del ancho y largo de una mesa, en las cuales tengan que medir sin utilizar instrumentos convencionales de medida (una regla o una cinta métrica) y que registren los resultados de sus mediciones en una tabla que esté a la vista de todos. Es probable que en esta experiencia se utilicen algunos patrones como: "una cuarta", "un pie", "una brazada". Luego, el docente propiciará una discusión en la cual los estudiantes, además de confrontar sus resultados, expresen sus concepciones acerca de los conceptos involucrados en el estudio del tema. Esta discusión puede ser orientada mediante preguntas como las siguientes: ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos resultados? ¿Por qué? Con el fin de evidenciar la necesidad de unificar los resultados de las mediciones realizadas y desarrollar la noción del proceso de medición a continuación conviene desarrollar actividades en las cuales los estudiantes inventen patrones de medida. Para ello, se puede construir una cinta de papel que mida aproximadamente 3 cm de ancho y 90 cm de largo. Solicite a los estudiantes que doblen la cinta, justamente por la mitad y luego la vuelvan a doblar sobre ella misma en partes iguales. Con un lápiz se marcan las tres líneas que dividen la cinta en cuatro partes iguales y ésta se vuelve a doblar dos veces más para que quede dividida en dieciséis partes iguales; se marcan además las doce líneas que dividen nuevamente la cinta. A continuación se indica a los estudiantes que consideren y den nombre a tres patrones: la cinta, 1 1 Algunos nombres pueden ser: 1 cinta = 1 tac, cinta = 1 tec y cinta = 1 tic.
2 tic
3 tic
1 tec
4
de cinta y
1 16
de cinta.
16
4
1 tic
1
2 tec
3 tec
Seguidamente, el docente los invita a medir nuevamente la longitud del ancho y largo de la mesa en la actividad anterior, con el instrumento construido y finalmente con uno convencional (cinta métrica, por ejemplo). Para cerrar, se puede, a partir de las actividades anteriores, plantear una discusión que permita analizar los resultados obtenidos. En la discusión debe quedar clara la necesidad que ha tenido el ser humano de medir y unificar patrones de medida y la importancia que tiene el error en el proceso de medición. Finalmente, se pueden resolver algunos problemas de medición relacionados con la vida cotidiana, lo cual permitirá la aplicación de los contenidos involucrados con el tema estudiado. Por ejemplo, medir la distancia que separa las puertas del salón de clase y la salida. También resultaría interesante pasar por la experiencia de medir la cantidad de agua que utilizan para bañarse. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
¡A jugar! Ponte Pilas Material Sobre una cartulina, dibuje y recorte tantas tarjetas como personas van a jugar. En cada tarjeta (salvo la primera y la última) se escribe una pregunta y la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior. En la primera tarjeta se escribe “Yo comienzo” y una pregunta. En la última tarjeta sólo se escribe la respuesta a la pregunta de la tarjeta anterior.
¿Cómo se juega? 1. Se reparten las tarjetas entre los participantes. 2. Comienza el que tenga la tarjeta que dice “Yo comienzo” y realiza la pregunta que aparece en su tarjeta. 3. Alguien tiene la tarjeta con la respuesta a esa pregunta y debe estar atento, pues es el segundo en jugar. Continúa así el juego hasta llegar a la última tarjeta. 4. Si alguien está descuidado o se equivoca al responder, se le grita “PONTE PILAS”. YO COMIENZO En los juegos de lotería por televisión oigo que las bolitas con cifras que se usan han sido certificadas por el Servicio Nacional de Metrología. ¿Qué es el Servicio Nacional de Metrología? Es una dependencia del Ministerio de Producción y Comercio que se encarga de todo lo relacionado con pesas y medidas.
En todos esos casos la magnitud es longitud. ¿Cómo se determina cuantitativamente una longitud?
Cuando nos referimos a una distancia, al largo, al ancho, a la profundidad ¿nos referimos a la misma magnitud?
Resultados
Longitud, masa y tiempo. ¿Cuáles son sus unidades patrón?
¿Qué es el SI?
Para determinar cuantitativamente una longitud se mide.
El SI es el Sistema Internacional de Medidas.
Para la longitud: el metro; para la masa: el kilogramo; y para el tiempo: el segundo.
¿Qué es medir?
Pero, ¿existió otro sistema de unidades de medidas?
¿Cómo se simbolizan estas unidades?
Medir es comparar con una unidad patrón.
Antes se utilizó el Sistema Métrico Decimal.
¿Qué es una unidad patrón?
¿Cuáles fueron las magnitudes básicas en el Sistema Métrico Decimal?
¿Qué se mide? Volumen, capacidad, etc... Se miden magnitudes como longitud, peso, área...
Unidad patrón es una cierta cantidad que se toma como medida común de todas las de su misma especie. Por ejemplo en el SI, la unidad patrón de longitud es el metro.
Se simbolizan: Metro - m Kilogramo - kg Segundo - s Por ser símbolos y no abreviaturas no llevan punto.
Se necesitarían 360 personas del alto de Robert Wadlow para alcanzar la cima del Salto Ángel y sobrepasarla por 20 cm. En la primera pesada colocamos 3 monedas en cada lado de la balanza, si tienen el mismo peso entonces tenemos definido que la falsa moneda está en el último lote. En caso de que un lado pese más que el otro, tenemos determinado que la moneda se encuentra en este trío. Del trío más pesado colocamos una moneda en cada lado de la balanza, si una pesa más que la otra tenemos definida la falsa, si pesan igual, esto determina que la tercera (no usada) es la falsa. Con 13 monedas necesitamos una pesada más. Se necesitan 66 estampillas para cubrir un cuarto del sobre. Llamaremos la botella de 8 litros A, la de 5 litros B y la de 3 litros C; Llenamos la botella B (5 litros) y con ésta llenamos la C, por lo que las tres botellas quedan con la siguiente cantidad de litros: A=3, B=2 y C=3. El contenido de la C (3 litros) lo devolvemos a la A y el resto de la B (2 litros) lo echamos en la C. Nos queda ahora A=6, B=0 y C=2. Con A llenamos la B (5 litros) y nos queda A=1, B=5 y C=2. Con B completamos C y nos queda A=1, B=4 y C=3. Nos queda solamente echar el contenido del C en A y obtener las cantidades deseadas en las botellas A y B. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 5 - El mundo de las MEDIDAS 1
Carlos A. Di Prisco
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1949. Cursó estudios de Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, de 1966 a 1970 y obtuvo su título de PhD en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), en 1976. El doctor Di Prisco es un reconocido especialista en lógica matemática y teoría de conjuntos. Es miembro de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales. Ha sido director asociado de la revista Interciencia. Es investigador titular del IVIC, donde ha sido decano de estudios de postgrado y jefe del Centro de Matemáticas; es además profesor titular de la Universidad Central de Venezuela y miembro del Sistema de Promoción al Investigador, Nivel IV. En la actualidad su tema de interés es el estudio de ciertas propiedades de los números, en particular el estudio del Teorema de Ramsey y sus consecuencias. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1983. Fotografía: Archivo Fundación Polar
Según sus propias palabras: "La colección de los números naturales, siendo aún una de las estructuras más básicas de las matemáticas, es de una complejidad asombrosa. Algunas de las preguntas que los matemáticos se han planteado sobre estos números han resultado sumamente difíciles de responder, a tal punto que una cierta cantidad de ellas han resistido el ataque de los matemáticos durante los siglos y siguen aún sin respuesta; otras, han dado lugar al desarrollo de teorías matemáticas de gran complejidad”. En 1930, F. P. Ramsey (matemático y economista inglés perteneciente al círculo de Keynes), publicó un teorema que ha servido de punto de partida para la creación de una teoría matemática muy rica, cuyas ramificaciones trascienden el ámbito de los números naturales. Una versión de este resultado está estrechamente relacionada con el siguiente juego: se juega con dos personas y se necesita una hoja de papel en la cual se han marcado seis puntos y dos lápices de colores diferentes, uno rojo y el otro azul, por ejemplo. En la hoja de papel se marcan seis puntos de tal manera que no hay tres de ellos en una misma línea recta. Cada jugador, en su turno, une dos puntos de los seis, dibujando un segmento entre ellos. Cada dos puntos se unen una sola vez. El primer jugador que complete un triángulo que tenga el mismo color de su lápiz, pierde. El teorema de Ramsey permite demostrar que siempre habrá un ganador en este juego, no importa cómo se proceda. Por ello algunas veces se enuncia este teorema diciendo que: es imposible obtener un completo desorden. La versión del teorema de Ramsey para conjuntos con infinitos elementos la podemos explicar como sigue: supongamos que tenemos todos los pares de números naturales, por ejemplo, (1,2), (7,2003), (5,3), etc. Dividamos esta colección en dos clases, no importa cómo, lo significativo es que cada par de números naturales en el que usted piense, esté en una de las dos clases. El teorema de Ramsey afirma que siempre es posible encontrar un conjunto infinito de números naturales tal que todos los pares de elementos de ese conjunto estén en la misma clase. Este importante Teorema tiene extensiones que se relacionan con ideas matemáticas sorprendentes para alguien que no sea matemático, pues están relacionadas con la existencia de diferentes magnitudes infinitas, algo que los especialistas llaman números transfinitos. El estudio del infinito en matemáticas ha servido de base para el desarrollo de algoritmos que han permitido a su vez avances extraordinarios en las ciencias de la computación.
* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.