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GUÍA DE MATEMÁTICAS II

Lección 25: Problemas y ecuaciones Así como hemos traducido varias expresiones a lenguaje matemático, podemos traducir la información que proporciona un problema, expresando las relaciones entre las cantidades conocidas y las que tenemos que encontrar. De una ecuación que expresa lo que dice un problema, se dice que es un modelo y permite encontrar la solución cuando existe.

Veamos algunos ejemplos: José quiere cercar un pedazo de su terreno para hacer una huerta y quiere aprovechar al máximo los 20 m de alambre de gallinero, y una puerta de 80 cm que ya tiene. Por la ubicación de la casa decide que la parte cercada va a ser rectangular y que tendrá 3 m de ancho. ¿Cuál es el largo que debe darle a la huerta?

Aquí la pregunta es clara, debemos encontrar el largo de la huerta. Veamos ahora qué información podemos sacar del problema y cómo podemos relacionar las cantidades que conocemos con la que queremos encontrar: • El contorno de la huerta será un rectángulo, que medirá 20 m (el largo del alambre) más 80 cm (que mide la puerta), esto es 20 + 0.80 = 20.80 m.

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LECCIÓN 25

• La medida del contorno es el perímetro de un rectángulo y nosotros sabemos que se calcula multiplicando por 2 la suma del largo más el ancho, que en este caso es de 3 m.

Observe que del rectángulo, conocemos el ancho y el perímetro, y debemos encontrar el largo que por ahora llamaremos l. Entonces el perímetro puede expresarse como 2 (l + 3).

Con esa información ya podemos plantear nuestra ecuación: 2 (l + 3) = 20.80 Para resolverla debemos encontrar el valor de l, entonces: (l + 3) = 20.80 ÷ 2 =10.40 l = 10.40 - 3 l = 7.40 Como l es el largo de la huerta, podemos decir que las medidas que debe considerar José son: largo 7.40 m y ancho 3 m. Para verificar este resultado usted puede calcular el perímetro que tendrá dicha huerta y ver si coincide con la cantidad de alambre que tenía, más lo que ocupa la puerta.

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Valentina pagó $14.00 por 2 kilos de tomates y 1 kilo de cebollas que costó $7.00. ¿Cuál era el precio del kilo de tomates?

Necesitamos averiguar el precio del kilo de tomates que llamaremos x. Por la información que tenemos, sabemos que: • Valentina gastó en total $14.00 • el kilo de cebollas costaba $7.00 • Valentina compró 2 kilos de tomate, lo que significa que por los tomates pagó el doble de lo que costaba un kilo, es decir 2x.

Con la información anterior estamos en condiciones de escribir la ecuación y resolverla: 2x + 7 = 14 2x = 14 - 7 x = 7÷2 x = 3.50 De este modo podemos afirmar que Valentina pagó el tomate a $3.50 el kilo.

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LECCIÓN 25

Santiago usó 4 litros de solvente para llenar tres envases, que ordenó de menor a mayor. En el segundo envase puso el triple de solvente que en el primero y en el tercero cupo cuatro veces la cantidad del primero. ¿Qué capacidad tenía cada envase?

Aquí se requiere encontrar tres cantidades: la capacidad de cada uno de los envases. Sin embargo esas tres cantidades están relacionadas entre sí, por lo que si encontramos una de ellas fácilmente encontraremos las otras. Llamemos y a la capacidad del envase menor y escribamos las relaciones que nos da el problema: • Capacidad del primer envase: y • Capacidad del segundo envase: 3y • Capacidad del tercer envase: 4y

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Además, sabemos que en total se usaron 4 litros, es decir que si sumamos lo que se puso en cada envase, el total nos debe dar 4. Planteamos nuestra ecuación del siguiente modo: y + 3y + 4y = 4 Como una vez y, más tres veces y, más cuatro veces y, es lo mismo que ocho veces y. Podemos escribir la ecuación anterior como 8 y = 4 y resolverla: 8y = 4 y = 4÷8 y = 0.5 Ahora sabemos que la capacidad del primer envase era 0.5 l o lo que es lo mismo: l. Regresando a las relaciones anteriores vemos que las capacidades del segundo y del tercer envases eran 1 1 l o bien 1.5 l y 2 l, respectivamente.

2 A Olivia le gusta hablar en forma de adivinanzas y le contó a su hermano que había dibujado un rectángulo que tenía de largo el doble del ancho y cuyo perímetro era de 36 cm. ¿Cuánto mide cada lado del rectángulo que dibujó Olivia?

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LECCIÓN 25

Tenemos más de una incógnita, pero como las dos están relacionadas, cuando encontremos una, será fácil encontrar la otra. Llamemos z a la longitud del lado más pequeño y escribamos todo lo que sabemos de ese rectángulo.

• Ancho del rectángulo: z • Largo del rectángulo: 2z • Perímetro del rectángulo: 36 cm • Perímetro del rectángulo: 2(z + 2z), que también podemos escribir como 2(3z), y como 2 veces 3z es lo mismo que 6z, decimos que en este caso el perímetro del rectángulo es igual a 6z.

Ahora es fácil plantear la ecuación y resolverla: 6z = 36 z = 36 ÷ 6 z = 6 Al resolver esta ecuación encontramos que el ancho del rectángulo es 6 cm, entonces, como el largo era el doble, debe ser de 12 cm.

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Ejercicio 1 Resuelva cada uno de los siguientes problemas. Para hacerlo, encuentre la ecuación que lo modela, verifique la solución e interprete los resultados. Para comparar más fácilmente sus respuestas con las de este libro, le sugerimos que en cada caso utilice para la incógnita, la letra que se sugiere. a) Un electricista corta de un rollo de cable 3 trozos de 23 m cada uno y sobran 21 m. ¿Cuántos metros tenía el rollo originalmente? Llame y a la cantidad de cable antes de los cortes. b) Juana gastó $16 en la compra de un cuaderno y una pluma. El precio del cuaderno era el triple del precio de la pluma. ¿Cuánto costó cada artículo? Llame x al precio de la pluma. c) María gastó tres cuartas partes del dinero que tenía en la compra de un libro, y le quedan $45. ¿Cuánto dinero tenía María y cuánto le costó el libro? Llame z al dinero que tenía María antes de su compra.

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LECCIÓN 25 d) Para empacar 3200 kilos de mangos se usaron 106 cajas y sobraron 20 kilos de mangos. Si todas las cajas pesaban lo mismo, ¿cuántos kilos de mangos se pusieron en cada caja? Llame m al peso de cada caja. e) En dos ollas caben 13 litros en total y en una de ellas caben 5 litros más que en la otra. ¿Cuánto cabe en cada olla? Llame v a la capacidad de la olla menor. f) De un trozo de alambre Pedro cortó primero una quinta parte y después la mitad de la longitud original. Al final quedaron 6 metros. ¿Cuánto medía el trozo antes de los cortes y de qué longitud fue cada corte? Llame w a la longitud que tenía el trozo de alambre inicialmente.

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