Умови збіжності проекційно-ітеративного методу для нелінійних рівнянь

4

ВСТУП Математичними моделями багатьох задач природознавства та техніки є різні

класи

диференціальних,

інтегральних,

інтегро-диференціальних,

функціонально-диференціальних рівнянь та їх систем. В наш час існують різні методи дослідження і побудови розв'язків таких рівнянь, - як точні так і наближені методи. Найбільш широким класом щодо застосування є ітераційні методи. Ці методи дозволяють отримувати прості обчислювальні алгоритми розв'язування різних типів згаданих вище операторних рівнянь. Основним і досить простим із ітераційних методів є звичайний метод послідовних наближень, який з точки зору функціонального аналізу цей метод вкладається в загальну схему і приводить до принципу стислих відображень, який вперше сформулювали С.Банах і Р.Каччіополі. Ідея методу послідовних наближень стосовно операторного рівняння х = f + Тх,

(1)

де Т - обмежений оператор, що діє в банаховому просторі X, полягає в тому, що наближені розв'язки визначаються по формулі хк = f + Тхк-1, k = 1,2,3,..., х0 є X.

(2)

метод (2) буде збіжним тоді і тільки тоді, коли виконується умова 𝜌 𝑇 = lim𝑘→∞

𝑘

𝑇𝑘 < 1,

(3)

де Т - тотожний оператор в X, 𝜌 𝑇 - спектральний радіус оператора Т. В ряді випадків для збіжності методу послідовних наближень необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова (3). Найпростішою ознакою збіжності методу (2) є умова q= 𝑇 < 1

(4)

Для нелінійних операторних рівнянь виду х = Тх

(5)

метод послідовних наближень може бути успішно застосований в тому випадку, коли Т - оператор стиску, тобто задовольняє умову Ліпшиця

5

Тх − Ту ≤ 𝑞 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (6) зі сталою q < 1. Обмежена область застосування методу послідовних наближень і дуже повільна збіжність в ряді випадків були стимулом створення методів, які прискорюють збіжність ітераційних процесів і розширюють область їх застосування, а також суттєво зменшують кількість обчислень. До них відноситься

метод

осереднення

функціональних

поправок,

проекційно-ітеративний метод та його різні варіанти і модифікації. Метою дипломної роботи є розробка і дослідження методів ітераційного типу наближеного розв'язання деяких типів нелінійних операторних рівнянь, зокрема

рівнянь

з

монотонними,

цілком

неперервними,

гладкими

операторами. Наукова новизна роботи полягає в тому, що дано обґрунтування можливості застосування відомих ітераційних методів, - зокрема методу осереднення функціональних поправок, проекційно-ітеративного методу та деяких

його

модифікацій

до

нелінійних

інтегральних

та

інтегро-функціональних рівнянь. Крім згаданих методів також приведено ряд обчислювальних схем цих методів. В другому розділі досліджено загальні умови збіжності методу послідовних наближень, методу осереднення функціональних поправок та проекційно-ітеративного методу для згаданих вище нелінійних рівнянь. Особлива увага приділяється проекційно-ітеративному методу, як найбільш ефективному. Зокрема, стосовно рівняння x=Тх

(7)

в якому Т :X →X - нелінійний неперервний оператор і х єХ - шуканий елемент. Це рівняння в силу співвідношення x=u+v, u=Px ϵ U, v=QxϵV, ∀𝑥 ∈ 𝑋 рівносильне системі рівнянь

(8)

6

и = РТ(и + v); v = QT(u + v),

(9)

Ідея одного варіанту проекційно-ітеративного методу стосовно рівняння (7) полягає в тому, що наближенні розв'язки цього рівняння будуються згідно формул 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑤𝑘 , 𝑤𝑘 ∈ 𝑈, 𝑥𝑘 = 𝑇𝑧𝑘

(10)

P(𝑥𝑘 − 𝑧𝑘 ) = 𝛳, 𝑘 = 1, 2, 3, … , 𝑥0 ∈ 𝑋

(11)

Для визначення елемента 𝑤𝑘 в силу цих формул отримуємо рівняння 𝑤𝑘 = 𝑃𝑇 𝑥𝑘−1 + 𝑤𝑘 − 𝑃𝑥𝑘−1 Можна розглядати і інші варіанти методу, зокрема такий алгоритм 𝑢𝑘 = 𝑃𝑇 𝑢𝑘 + 𝑣𝑘−1 , 𝑣𝑘 = 𝑄𝑇 𝑢𝑘 + 𝑣𝑘−1 ; 𝑧𝑘 = 𝑢𝑘 + 𝑣𝑘−1 , 𝑥𝑘 = 𝑢𝑘 + 𝑣𝑘 , який є одним з можливих методів розв'язування системи рівнянь (9). В другому розділі, розглянуто питання збіжність ітераційних методів у випадку різних типів операторів. В третьому розділі дипломної роботи розглядаються питання умови збіжності

проекційно-ітеративного

методу

розвязування

нелінійних

інтегральних та інтегро-функціональних рівнянь. Так, наприклад, в §8 розглядається

розвязування

інтегро-різнецевих

рівнянь

з

нелінійним

оператором Урисона методом послідовних наближень. y (х )- р (х )у (х -∆) = f(x*)+

𝑏 𝑎

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀

𝑏 𝑎

𝑀 𝑥, 𝑡, 𝑦 𝑡 𝑑𝑡,

𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,

(12)

де ∆ - стале запізнення, 𝜀 - малий параметр, f(х) - відома, а у (х ) шукана функція з простору L2 (а , b ) . Припустимо, що (12) розв'язок рівняння (8.1) можна будувати по іншому варіанту методу послідовних наближень. Суть його в тому, що припускають, що наближення у к - 1 (х) побудовано. Виконуючи ітерацію 𝑧𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 +

𝑏 𝑎

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀

𝑏 𝑎

𝑀 𝑥, 𝑡, 𝑦 𝑡 𝑑𝑡

()

7

і розв'язуючи різницеве рівняння у к (х ) -р (х )у к (х -∆) = z к , х ϵ [ а , b ] , у к (х ) = 0 , х ∉ [ а , b ] знаходимо наближення у к (х ) . Початкове наближення у 0 ( х ) можна задати безпосередньо або визначити з рівняння (*), задавши в ньому функцію z 0 (х ) з простору L 2 ( а , b ). Такий варіант методу може застосовуватись і в тих випадках, коли метод І не є збіжним. Тому що умова того, що оператор W= К +𝜀 не є оператором стиску є більш загальною ніж аналогічна умова для оператора L . Останній параграф роботи присвячений проблемі розв'язування інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю методом осереднення функціональних поправок та проекційно-ітеративним методом. Зокрема, ідея останнього методу стосовно рівняння (12) полягає в тому, що виходячи з деякого початкового наближення у0(х) наступне наближення визначаємо з формули 𝑦𝑘 𝑥 − 𝑝 𝑥 𝑦𝑘 𝑥 − ∆ 𝑥 𝑓 𝑥 +

𝑏 𝑎

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑧𝑘 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜀

𝑏 𝑎

=

𝐺 𝑥, 𝑡 Ф 𝑡, 𝑦𝑘−1 𝑡 𝑑𝑡, (15)

xϵ[a,b], 𝑦𝑘 𝑥 = 0, 𝑥 ∉ [𝑎, 𝑏] в якій 𝑧𝑘 𝑥 = 𝑦𝑘−1 𝑥 + 𝑤𝑘 𝑥 , 𝑤𝑘 𝑥 =

𝑛 𝑘 𝑗 =1 𝑎𝑗 𝜂𝑗

𝑥 , 𝑥𝜖[𝑎, 𝑏]

(16)

а невідомі параметри 𝑎𝑗𝑘 =𝑎𝑗𝑘 (𝑛) знаходимо з умови 𝑏 𝑟 𝑎 𝑘

𝑥 𝜑𝑖 𝑥 𝑑𝑥 = 0, 𝑖 = 1, 𝑛

(17)

де 𝑟𝑘 = 𝑓 𝑥 +

𝑏 𝑎

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑧𝑘 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑧𝑘 𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑧𝑘 𝑥 − ∆ 𝑥

+

𝑏 𝑎

𝐺 𝑥, 𝑡 Ф 𝑡, 𝑦𝑘−1 𝑡 𝑑𝑡,

(18) В ролі початкового наближення будемо брати розв'язки різницевого рівняння у 0 (х ) -р (х )у 0 (х -∆ (х ) )= S 0 (х ) , х ϵ [ а , b ] , у 0 ( х ) = 0 , х∉[a,b] (19)

8

в якому S 0 (х) - довільна фіксована функція з 𝐿2 (𝑎, 𝑏) в частковому випадку, S 0 ( х ) = 0 або S 0 (х)=f(х). Система функцій {𝜂𝑖 (𝑥)}визначається з рівняння 𝜂𝑖 𝑥 − 𝑝 𝑥 𝜂𝑖 𝑥 − ∆ 𝑥

= 𝜑𝑖 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝜂𝑖 𝑥 = 0, 𝑥 ∉ 𝑎, 𝑏 , 𝑖 = 1, 𝑛

де система функцій{𝜑𝑖 𝑥 }ϵ𝐿2 (𝑎, 𝑏)

(9.14)

задана і лінійно незалежна.

В ролі значень функції 𝜂𝑖 𝑥 , 𝑖 = 1, 𝑛 в точках 𝑐𝑠 = 𝑎 + 𝑠∆ будемо брати середнє арифметичне односторонніх границь, якщо вони існують, а в точках х = a , x = b - односторонні границі справа і зліва відповідно. В дипломній роботі також наведені обчислювальні схеми дослідження ітераційних методів, більш зручні для безпосередніх практичних обчислень і подальшої реалізації на ЕОМ. Показано, що ці схеми еквівалентні вихідним методам.

9

РОЗДІЛ І. НЕЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ Нелінійні інтегральні оператори В даний час теорія нелінійних інтегральних рівнянь є частиною загальної теорії нелінійних операторних рівнянь. По суті, всі відомі твердження про нелінійні інтегральні рівняння є простими наслідками загальних теорем, а специфіка конкретного рівняння виражається лише в загальних властивостях (безперервність, повна безперервність, потенційність і ін.) інтегральних операторів, що входять в рівняння. У зв'язку з цим § 1 розділу присвячений загальним властивостям інтегральних операторів. Відзначимо відразу ж, що все сказане вище відноситься і до систем інтегральних рівнянь. Теорія нелінійних операторних рівнянь у функціональних просторах є великим розділом нелінійного функціонального аналізу. Викласти навіть основні факти цієї теорії в невеликому розділі не представляється можливим. У зв'язку з цим перед авторами виникло важке завдання відбору невеликого за об'ємом матеріалу, який давав би достатнє уявлення про основні завдання теорії нелінійних інтегральних рівнянь і методи їх рішення. Зокрема, необхідно було обійтися без тих розділів, які вимагають громіздких викладень.

§ 1. Нелінійні інтегральні оператори 1.1. Основні поняття теорії нелінійних операторів. У цьому параграфі вивчаються різні класи нелінійних інтегральних операторів, що діють в просторах вимірних функцій, визначених на деякій обмеженій замкнутій множині скінченного простору. Простим і найбільш важливим класом нелінійних інтегральних операторів є оператори Урисона.

Оператором Урисона називається

інтегральний оператор вигляду Аu(х)=

𝛺

𝐾 [х, 𝑡, 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡;

(1.1)

тут K(х, t, u) - ядро оператора (10.1) - визначена при х, tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞

10

функція, майже при всіх х, tϵ𝛺 неперервна по u і при всіх u∈ (−∞, ∞) вимірна по сукупності змінних х, t на 𝛺×𝛺. Оператор Урисона визначений на вимірних функціях u (х), для яких функція K [х, t, u (t)] сумовна на 𝛺 по t майже при всіх х ϵ𝛺; значення Аu(х) оператора (10.1) на кожній такій функції є вимірною функцією. Окремим випадком операторів Урисона є оператори Гаммерштейна. Ці оператори мають вигляд Аu(х)=

𝐾(х, 𝑡) 𝑓[𝑡, 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡

𝛺

(1.2)

де f(t, u) - визначена при tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞ функція, майже при всіх tϵ𝛺 неперервна по u і при всіх uϵ𝛺(-∞, ∞) вимірна по t на 𝛺, а K(х, t) - вимірна по сукупності змінних функція, визначена на 𝛺×𝛺. Оператор Гаммерштейна представимо у вигляді рівняння A = Kf

(1.3)

нелінійного оператора суперпозиції fu(t)= f[t, u (t)

(1.4)

і лінійного інтегрального оператора Ки( х)=

𝛺

𝐾(х, 𝑡) 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

(1.5)

з ядром K(х, t). Складнішими інтегральними операторами є оператори вигляду Аu (х) = F { х,u (х), …

𝛺

𝛺

𝐾1 [х, 𝑡, 𝑢 𝑡 ] 𝑑𝑡, …

𝐾𝑛 [х, 𝑡, 𝑢 𝑡 ] 𝑑𝑡

(1.6)

Цей оператор є суперпозицією операторів Урисона 𝐴1,… Ап (відповідно з ядрами 𝐾1 (x, t, u) ... 𝐾𝑛 (𝑥, 𝑡, 𝑢) і нелінійного оператора F(u,𝑢1 , … , 𝑢𝑛 ) 𝑥 = 𝐹[𝑥, 𝑢 𝑥 , 𝑢1 𝑥 , … , 𝑢𝑛 𝑥 ].

(1.7)

З інших видів нелінійних інтегральних операторів відзначимо операторu Ляпунова-Лiхтенштейна. Ці оператори мають вигляд Au(x)=

𝑘 1 ,…,𝑘 𝑙 𝛺

…

𝛺

𝐾 𝑘 1,…,𝑘 𝑙 𝑥, 𝑡1 , … , 𝑡𝑙 𝑢 𝑡1

𝑘1

…

11

… 𝑢 𝑡𝑙

𝑘𝑙

𝑑𝑡1 …d𝑡𝑙 ;

(1.8)

тут [𝑘1 ,…, 𝑘𝑙 ] - деякі набори цілих додатніх чисел, 𝐾 𝑘 1,…,𝑘 𝑙

𝑥, 𝑡1 , … , 𝑡𝑙

- вимірні по сукупності змінних функції. Дослідження рівнянь з нелінійними інтегральними операторами істотно спрощується, якщо відомі пари {𝐸1 , 𝐸2 , } таких банахових просторів, що нелінійний оператор діє з 𝐸1 в 𝐸2 і володіє «хорошими» властивостями (безперервності, компактності і ін.). Як і у разі лінійних операторів, задача опису таких пар є надзвичайно складною. У цьому параграфі приводяться прості умови, при виконанні яких заданий інтегральний оператор діє з одного простору Lp, взагалі кажучи, в інший простір 𝐿𝑞 і є неперервним, цілком неперервним і так далі Нагадаємо основні означення, що відносяться до нелінійних операторів. Для простоти обмежимося операторами, визначеними на всьому просторі. Діючий з 𝐸1 в 𝐸2 оператор А називається неперервним в точці𝑢0 ∈ 𝐸1 , якщо lim

𝑢−𝑢 0 𝐸 1 →0

𝐴𝑢 − 𝐴𝑢0

𝐸2

=0

Оператор А називається неперервним, якщо він неперервний в кожній точці простору 𝐸1 . Природно, з неперервності нелінійного оператора в одній точці простору не виходить неперервність цього оператора на всьому просторі. Діючий з 𝐸1 в 𝐸2 оператор А називається обмеженим, якщо він перетворить обмежені множини в обмежені; компактним, якщо він перетворить обмежені множини простору 𝐸1 у компактну множину простору 𝐸2 . Компактні оператори є обмеженими. Для нелінійних операторів властивості неперервності і компактності не зв'язані: оператор може бути компактним і не володіти властивістю неперервності, неперервним і не володіти властивістю компактності. Дічий з

12

𝐸1 в 𝐸2 оператор А називається цілком неперервним, якщо він одночасно неперервний і компактний. Для операторів із значеннями в 𝐿𝑞 , q< ∞ , зручно ввести ще одне визначення. Діючий з 𝐿р в 𝐿𝑞 (q< ∞ ) оператор А назвемо абсолютно обмеженим, якщо він перетворить обмежені множини простору 𝐿р в множини простору 𝐿𝑞

з рівностепеневими неперервними нормами .

Компактні оператори, що діють з 𝐿р в 𝐿𝑞 q<∞, є абсолютно обмеженими. Зворотне, взагалі кажучи, не вірно.

1.2. Оператори Урисона із значеннями в просторі С. Вивчення нелінійних інтегральних операторів почнемо з дослідження оператора Урисона із значеннями в просторі С неперервних функцій. Теорема 1.1. Нехай функція K (х, t, u) (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х, tϵ𝛺 неперервна по u і при всіх u вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х, t. Нехай при будь-якому h > 0 виконується нерівність 𝐾(𝑥, 𝑡, 𝑢) ≤ 𝑅𝑕 (𝑥, 𝑡)

( 𝑢 ≤ 𝑕)

(1.9)

де 𝑅𝑕 (𝑥, 𝑡) - вимірна по сукупності змінних функція, що задовольняє умові 𝛺

𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑘 𝑕 < ∞

(0 < h < ∞),

(1.10)

і нехай, крім того 𝑙𝑖𝑚𝛿 →0 𝑠𝑢𝑝

𝛺

𝑚𝑎𝑥 𝑢 𝑖 ≤𝑕, 𝑢 1 −𝑢 2 ≤𝛿 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢1 − 𝐾(𝑥, 𝑡, 𝑢2 ) 𝑑𝑠 = 0 (1.11)

Нехай, нарешті, для будь-якої вимірної множини D і будь-якого 𝑥0 ∈ 𝛺 справедливa рівність 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0

𝐷

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 =

𝐷

𝐾 𝑥0 , 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 .

(1.12)

Тоді оператор Урисона А з ядром K x, t, u діє з простору L∞ в простір C і неперервний. Теорема 1.2. Нехай функція K(x,t,u) (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,t ϵ 𝛺 неперервна по и і при всіх и вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х, t.

13

Нехай при будь-якому h > 0 виконана нерівність 𝐾(𝑥, 𝑡, 𝑢) ≤ 𝑅𝑕 𝑥, 𝑡

( 𝑢 ≤ 𝑕)

(1.13)

де 𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 - вимірна по сукупності змінних функція, що задовольняє умові: 𝛺

𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑘 𝑕 < ∞

(0 < h < ∞)

(1.14)

Нехай, нарешті, для будь-якого h > 0 і будь-якого 𝑥0 ∈ 𝛺, справедлива рівність lim𝑥→𝑥 0

𝛺

max 𝑢 ≤𝑕 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 − 𝐾 𝑥0 , 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 = 0

(1.15)

Тоді оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з простору L∞ в простір C і цілком неперервний. Умови теорем 1.1 - 1.2, зокрема, виконані, якщо 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 неперервна по сукупності змінних. Таким чином, оператор Урисона з безперервним ядром діє з L∞ в С і цілком неперервний. Теорема 1.3. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,t ϵ 𝛺×𝛺 й неперервна по и, а при всіх и вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х, t. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 задовольняє нерівності 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

≤ 𝑅 𝑥, 𝑡 + 𝑘 𝑢

𝑝

(1.16)

де R(x, t) - вимірна по сукупності змінних функція, що задовольняє умові 𝛺

𝑅 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑘1 < ∞,

(1.17)

і нехай при будь-якому h > 0 𝑙𝑖𝑚𝛿 →0 𝑠𝑢𝑝

𝛺

𝑚𝑎𝑥 𝑢 𝑖 ≤𝑕, 𝑢 1 −𝑢 2 ≤𝛿 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢1 − 𝐾(𝑥, 𝑡, 𝑢2 ) 𝑑𝑡 = 0. (1.18)

Нехай, далі, для будь-якої вимірної підмножини D⊂𝛺, будь-якого uϵ(-∞, ∞) і кожного 𝑥0 𝜖𝛺 виконується рівність 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑥 0

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 = 𝐷

𝐾 𝑥0 , 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 . 𝐷

Нехай, нарешті, для будь-якої додатньої функції z з 𝐿𝑝 lim𝑚𝑒𝑠𝐷 →0 𝑠𝑢𝑝 𝑢 ≤𝑧 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝛺

𝐷

𝐾 𝑥, 𝑡 , 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = 0

(1.19)

14

Тоді оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з простору 𝐿𝑝 в простір C і неперервний. Теорема 1.4. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,t ϵ 𝛺 неперервна по u і при всіх u вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х, t. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 задовольняє нерівность 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

≤ 𝑅 𝑥, 𝑡 + 𝑘 𝑢

𝑝

(1.20)

де 𝑅 𝑥, 𝑡 - вимірна пo сукупності змінних функція, що задовольняє умові 𝛺

𝑅 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑘1 < ∞

(1.21)

і нехай при будь-якому h > 0 lim𝑥→𝑥 0

max 𝑢 ≤𝑕 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 − 𝐾 𝑥0 , 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 = 0

𝛺

(1.22)

Нехай, нарешті lim 𝑠𝑢𝑝

𝑚𝑒𝑠𝐷 →0

𝑢 𝐿 𝑝 ≤1 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝛺

𝐾 𝑥, 𝑡 , 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = 0 𝐷

Тоді оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з простору 𝐿𝑝 в простір C і цілком неперервний. Припустимо, що функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 задовольняє нерівність 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

𝑛 𝑘=0 𝑅𝑘 (𝑥, 𝑡)

≤

𝑢

𝛿𝑘

(1.24)

де 0 == 𝛿0 < 𝛿1 < ⋯ < 𝛿𝑛 = 𝑝, 𝑎 𝑅𝑘 𝑥, 𝑡 (𝑥, 𝑡 ∈ 𝛺) додатні вимірні по сукупності змінних функції. Тоді зрозуміло, що функція

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

задовольняє співвідношенням (10.16) -(10.18), якщо 𝛺

𝑅𝑘 (𝑥, 𝑡)

𝑝 𝑝 −𝛿 𝑘

𝑑𝑡 ≤ 𝑐𝑘 < ∞

(k=0,…,n-1),

vraimax𝑡∈𝛺 𝑅𝑘 (𝑥, 𝑡) ≤ 𝑐𝑛 < ∞

(1.25)

Далі виконана умова (10.19), якщо lim𝑚𝑒𝑠𝐷 →0 𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝛺 lim

𝑚𝑒𝑠𝐷 →0

𝑠𝑢𝑝𝑥∈𝛺

𝐷

𝐷

𝑅0 (𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 = 0

𝑅𝑘 (𝑥, 𝑡)

𝑝 𝑝 −𝛿 𝑘

𝑑𝑡 = 0

(1.26) (k=0,…,n-1)

(1.27)

15

і якщо 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑡) ≡ 0 1.3. Оператори Гаммерштейна із значеннями в просторах Lq. Дослідження оператора Гаммерштейна Au (х)

𝛺

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑓[𝑡, 𝑢 𝑡 ]dt

(1.28)

зручно проводити, виходячи з розкладу (1.3) в суперпозицію нелінійного оператора fu(t)= f [t, u(t)] і лінійного інтегрального оператора K з ядром K(x, t). На цьому шляху різні ознаки неперервності і повної неперервності оператора виходять об'єднанням ознак неперервності нелінійного оператора f з ознаками неперервності і повної неперервності лінійного оператора К. На цьому ж шляху можна отримати і тонші твердження. Приведемо основні твердження, що відносяться до операторів суперпозиції. Говорять, що функція f(t, u) (tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞)) задовольняє умовам Каратеодорі, якщо вона майже при всіх tϵ𝛺 неперервна по и і при всіх і u ϵ (-∞, ∞) вимірна по t на 𝛺 Теорема 1.5. Нехай функція f(t,u) задовольняє умовам Каратеодорі. Тоді оператор суперпозиції fu(t)= f[t, u (t)]

(1.29))

діє з Lp в Lq в тому і лише тому випадку, коли функція f(t,u) задовольняє нерівності(якщо р<∞) 𝑓(𝑡, 𝑢) ≤ 𝑎 𝑡 + 𝑏 𝑢

𝑝 𝑞

(1.30)

де 𝑎 𝑡 𝜖𝐿𝑞, b – постійна, або нерівностям (якщо р = ∞) 𝑓(𝑡, 𝑢) ≤ 𝑎𝑕 (𝑡)

(|u|≤h) (1.31)

де 𝑎𝑕 (𝑡)𝜖 𝐿𝑞, 0 < h < ∞ Теорема 1.6. Нехай функція 𝑓(𝑡, 𝑢) задовольняє умовам Каратеодорі, а оператор суперпозиції fu= f[t, u (t)]діє з Lp в Lq. Тоді оператор f неперервний в тому і лише тому випадку, якщо виконана

16

одна з умов: a)

q < ∞;

b) q =∞, р<∞, f(t, u) ≡ 𝑎(𝑡); c) q = р = ∞, функція 𝑓(𝑡, 𝑢) задовольняє нерівнотям 𝑓 𝑡, 𝑢 − 𝑓(𝑡, 𝑣) ≤ 𝜑𝑕 (𝑢 − 𝑣)

( 𝑢 , 𝑣 ≤ 𝑕)

(1.32)

де 𝜑𝑕 (z) при будь-якому h > 0 - неперервна по z функція, 𝜑𝑕 (0)= 0. Теорема 1.7. Нехай функція f(t, u) задовольняє умовам Каратеодорі, а оператор суперпозиції fu= f[t, u (t)]діє з Lp в Lq причому q<∞. Тоді оператор f є абсолютно обмеженим в тому і лише тому випадку, коли функція f(t, u) задовольняє нерівність M[f(t,u)] ≤ a(t)+b 𝑢

𝑝 𝑞

(1.33)

де a(t)ϵ Lq, b - стала, М(u) - неперервна функція, що задовольняє умову:

lim𝑢 →∞

𝑀 (𝑢 )

(1.34)

𝑢

Приведемо тепер загальні твердження про операторів Гаммерштейна. Теорема 1.8. Нехай функція f(t, u) задовольняє умовам. Каратеодорі, а 𝐾 𝑥, 𝑡 - вимірна по сукупності змінних функція. Нехай оператор fu = f[t, u(t)) діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑟 , а інтегральний оператор K з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡 діє з 𝐿𝑟 в 𝐿𝑞 . Тоді: I.

Оператор Гаммерштейна А = Кf діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 ;

II.

Оператор А неперервний, якщо виконана одна з умов:

a)

r < ∞;

b)

r=∞, оператор K регулярний;

III.

Оператор А цілком неперервний, якщо виконана одна з умов:

a)

r < ∞, оператор K цілком неперервний;

b)

r < ∞, оператор f абсолютно обмежений, оператор К регулярний;

17

c)

r = ∞,, оператор К регулярний.

1.4. Неперервність оператора Урисона із значеннями в просторах 𝐿𝑞 . Для оператора Урисона неперервність не є наслідком того факту, що він діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 . Відомі прості і зручні достатні ознаки неперервності тих, що діють з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 нелінійних інтегральних операторів. Тут приводяться два простих. Теорема 1.9. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,tϵ𝛺×𝛺 неперервна по и, а при всіх и вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х, t. Нехай оператор Урисона А0 з ядром 𝐾0 𝑥, 𝑡, 𝑢 = max 𝑣 ≤𝑢 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑣

(1.35)

діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 , причому q<∞. Тоді оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 , і неперервний. З цієї теореми, зокрема, слідує, що діючий з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 (𝑞 < ∞) оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 , неперервний, якщо 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 ненегативна і монотонна по и. Теорема 1.10. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,tϵ𝛺×𝛺 неперервна по и, а при всіх и вимірна по сукупності змінних 𝑥, 𝑡 на 𝛺×𝛺. Нехай оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 (𝑞 < ∞) і нехай виконані умови: а) при будь-якому h > 0 функція 𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 = max|𝑢 |≤𝑕 |𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 |

(1.36)

сумована по t майже при всіх хϵ𝛺 b)

при будь-якому h > 0

lim𝑚𝑒𝑠 𝐷→0 𝑠𝑢𝑝|𝑢|≤𝑕 𝑃𝐷 𝐴𝑢

𝐿𝑞

=0

(1.37)

с) для будь-якої додатньої функції z(x) з Lp lim𝑚𝑒𝑠𝐷 →0 𝑠𝑢𝑝|𝑢|≤𝑧

𝐷

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡 𝑑𝑡

𝐿𝑞

=0

(1.38)

Тоді оператор А неперервний. Обмеження а) і b) цієї теореми виконані, якщо при будь-якому h > 0 функція (1.36) задовольняє умові:

18 𝛺

𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡𝜖 𝐿𝑞

(1.39)

Відзначимо на закінчення ще одну теорему про неперервність оператора Урисона - принцип мажоранти. Теорема 1.11. Нехай функції 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 і 𝐾0 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,tϵ𝛺×𝛺 неперервні по и, а при всіх и вимірні на 𝛺×𝛺 по сукупності змінних х,t, причому | 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 | ≤ |𝐾0 𝑥, 𝑡, 𝑢 |

(1.40)

Нехай оператор Урисона В з ядром 𝐾0 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 (𝑞 < ∞), і неперервний. Тоді оператор А з ядром. 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 також діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 і неперервний.

1.5. Повна неперервність операторів Урисона із значеннями в просторі 𝐿𝑞 Теорема 1.12. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (х,tϵ𝛺, -∞ < 𝑢 < ∞) майже при всіх х,tϵ𝛺×𝛺 неперервна по и, а при всіх и вимірна на 𝛺×𝛺 по сукупністі змінних х, t. Нехай оператор Урисона А з ядром 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 діє з 𝐿𝑝 в 𝐿𝑞 (𝑞 < ∞) і нехай виконані умови : a)

при будь-якому h>0 функція

𝑅𝑕 𝑥, 𝑡 = max|𝑢 |≤𝑕 |𝑅 𝑥, 𝑡, 𝑢 |

(1.41)

сумовна по t майже при всіх xϵ𝛺 b)

при будь-якому h>0 lim𝑚𝑒𝑠 𝐷→0 𝑠𝑢𝑝|𝑢|≤𝑕 𝑃𝐷 𝐴𝑢

c)

𝐿𝑞

=0

(1.42)

для деякого a>0 lim𝑚𝑒𝑠𝐷 →0 𝑠𝑢𝑝

𝑢 𝐿 𝑝 ≤𝑎

𝐷

𝐾 𝑥, 𝑡 , 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 = 0

Тоді оператор А цілком неперервний.

(1.43)

19

На жаль, принцип мажоранти (див. теорему 1.11) для властивості повної неперервності не має місця.

§ 2. Існування і єдиність рішення 2.1. Постановка завдання. У цьому параграфі в основному вивчаються рівняння вигляду u(x)=𝜇

𝛺

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑓(𝑥)

(2.1)

де 𝛺 - обмежена замкнута множина скінченномірного простору ненульової лебегової міри, K[x, t, u], f(x), (x, t ϵ𝛺, u ϵ (a, b))- задані функції, 𝜇параметр, u (х) - шукана функція. Як правило (див § 1), нелінійний інтегральний оператор Аu(х)=

𝛺

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡 𝑑𝑡,

(2.2)

визначений першим доданком правої частини рівняння (2.1), діє в деяких банахових просторах Е вимірних на 𝛺 функцій і володіє рядом «хороших»

властивостей

(неперервний,

цілком

неперервний,

диференційовний і т. д.). Якщо при цьому f(x) 𝜖 E, то зручно розглядати рівняння (2.1) як нелінійне операторне рівняння u = 𝜇xAu+f

(2.3)

у Е. Потрібно пам'ятати, що при переході до рівняння (2.3) в Е будуть

20

«втрачені» рішення, не належні Е (якщо такі рішення існують).

Якщо

операторне рівняння (2.3) можна розглядати в різних просторах, то вибір простору Е визначається тим, рішення з якими властивостями нас цікавлять. У цьому параграфі нас цікавитимуть умови існування хоч би одного рішення і умови однозначного рішення рівняння (2.3). У тих випадках, коли рівняння (2.3) має тривіальне нульове рішення, буде розглянуто питання про існування другого ненульового рішення. Буде розглянуто також питання про умови існування додатніх розв´язків. Розв´язок рівняння(2.3) - це нерухомі точки оператора 𝐴1 𝑢 = 𝜇𝐴𝑢 + 𝑓. Тому основним методом доказу існування рішень у рівнянь (2.3) і, відповідно, рівняння (2.1) є застосування принципів нерухомих точок. Найбільш часто використовуючим принципами нерухомих точок, що часто вживаються в аналізі, є принцип Банаха стислих відображень і принцип Шаудера . У цьому параграфі також вказуються теореми існування рішення рівняння (2.1), засновані на інших принципах нерухомої точки.

2.2. Рівняння з операторами, що задовольняють умову Ліпшиця. Говорять, що оператор А, що діє в банаховому просторі Е, задовольняє на множині М⊂Е умову Ліпшиця з постійною q, якщо 𝐴𝑢 − 𝐴𝑣 ≤ 𝑞 𝑢 − 𝑣 (u, v ϵ M).

(2.4)

Якщо при цьому q < 1, то оператор А називається оператором стиску. Нагадаємо, що лінійний обмежений оператор задовольняє нерівності (2.4) при q= 𝐴 Принцип стислих відображень: якщо оператор стиснення А перетворить в себе замкнуту множину M⊂E(AM⊂M), то він має в М єдину нерухому точку u*. Ця нерухома точка може бути отримана як межа послідовних наближень 𝑢𝑛 = 𝐴𝑢𝑛−1

(n=1, 2, …).

(2.5)

де 𝑢0 -додатній елемент М. Швидкість збіжності методу (2.5)

21

характеризується нерівністю 𝑢𝑛 − 𝑢∗ ≤

𝑞𝑛

𝑢1 − 𝑢0

1−𝑞

(n=1, 2, …)

(2.6)

Застосовуючи принцип стислих відображень, легко отримати наступні твердження. дк (х, t, і) Теорема 2.1. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

неперервна по сукупності

змінних х, t ϵ 𝛺, |u| ≤ 𝜌 і нехай 𝜕𝐾 𝑥,𝑡,𝑢 𝜕𝑢

≤𝐶

(х, t ϵ 𝛺, |u| ≤ 𝜌)

Тоді рівняння u(x)=𝜇

𝛺

𝐾 𝑥 , 𝑡, 𝑢 𝑡 𝑑𝑡

(2.7)

має єдине неперервне рішення u*(х)(х ϵ𝛺), що задовольняє нерівність |u(x)| ≤ 𝜌,, якщо 𝜇 ∙ С ∙ 𝑚𝑒𝑠𝛺 < 1, 𝜇 max𝑥𝜖𝛺

𝛺

max|𝑢 | ≤ 𝜌 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑑𝑡 ≤ 𝜌

(2.8)

Якщо 𝑢0 (x) - довільна неперервна функція, що задовольняє нерівності |𝑢0 (x)| ≤ 𝜌(хϵ𝛺), то послідовні наближення 𝑢𝑛 𝑥 = 𝜇

𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢𝑛 −1 𝑡 𝑑𝑡

𝛺

(n=1, 2, ….)

(2.9)

рівномірно на 𝛺 сходяться до x*(t). Теорема 2.2. Нехай оператор (2.2) діє в просторі Lp(𝛺)(p > 1). Нехай, далі, для всіх 𝑢1 , 𝑢2 i x, t ϵ 𝛺 виконується нерівність |K(x, t, 𝑢1 ) − 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢2 ≤ 𝐾1 𝑥, 𝑡 𝑢1 − 𝑢2 |,. де 𝐾1 𝑥, 𝑡 вимірна і 𝑝 𝑝−1 𝐾1

ᴧ𝑝 = 𝛺

Тоді при 𝜇 <

1 ᴧ

𝑝−1

𝑥, 𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑥 < ∞

𝛺

і при f ϵ 𝐿𝑝 рівняння (2.1) має 𝐿𝑝 (𝛺) в єдине рішення

2.3. Рівняння з цілком неперервними операторами.

22

Принцип Шаудера: якщо цілком неперервний оператор А перетворить обмежену опуклу замкненумножину М⊂Е в себе, то А має в М принаймні одну нерухому точку. У

додатках

принципу

Шаудера

важливо,

по-перше,

уміти

встановлювати повну неперервність оператора (див. § 1), що вивчається, і, по-друге, уміти встановлювати існування інваріантних для даного оператора опуклих множин. З принципу Шаудера виходить, що рівняння (2.1) при малих 𝜇, має принаймні одне рішення в просторі Е, якщо оператор (2.2) цілком неперервний в Е і якщо f ϵ E; . Точніші теореми містять оцінки допустимих значень 𝜇. Теорема 2.3. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 (𝑥, 𝑡𝜖𝛺, 𝑢 < ∞)неперервна по и і задовольняє нерівності | 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 | ≤ 𝐾1 (𝑥, 𝑡)(𝑎 + 𝑏|𝑢|𝛼 ,

(x, t ϵ 𝛺, |u|<∞),

де a, b, 𝛼 > 0 і |𝐾1 𝑥, 𝑡 |𝛼+1 𝑑𝑥𝑑𝑡 < ∞. 𝛺 𝛺

Тоді рівняння (1.114) має при всіх достатньо малих по абсолютній величині 𝜇 . і f(x) ϵ 𝐿𝛼+1 .рішення 𝑢𝜇∗ (𝑥) ∈ 𝐿𝛼+1 . Якщо 𝛼 < 1, то рішення існують при всіх 𝜇. Теорема 2.4. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢

неперервна по сукупності

змінних 𝑥, 𝑡𝜖𝛺, 𝑢 < 𝑎. Тоді при | 𝜇| ≤

𝑎 𝑚𝑒𝑠𝛺 ∙max 𝑥,𝑡𝜖𝛺 |𝐾 𝑥,𝑡,𝑢 | |𝑢 |≤𝑎

інтегральне рівняння (2.7) має принаймні одне неперервне рішення 𝑢𝜇∗ (х), що задовольняє нерівності |𝑢𝜇∗ 𝑥 | ≤ 𝑎. Теорема 2.5. Нехай функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 змінних 𝑥, 𝑡𝜖𝛺, 𝑢 < ∞. Покладемо

неперервна по сукупності

23

𝜑 𝑟 = ᴧ=sup0<𝑟<∞

max | 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 |,

𝑥,𝑡𝜖𝛺 ,𝑢 ≤𝑟

𝑟 𝜑 (𝑟)∙𝑚𝑒𝑠𝛺

Тоді при | 𝜇 | < ᴧ інтегральне

рівняння (2.7) має принаймні одне

неперервне рішення 𝑢𝜇∗ 𝑥 . Зокрема, якщо lim𝑟→∞

𝜑 (𝑟) 𝑟

=0

(2.10)

то інтегральне рівняння (2.7) розв’язуване при будь-якому 𝜇. В цьому випадку розв’язуване при будь-якому 𝜇 рівняння (2.1) при будь-якій неперервній f(х). На закінчення відзначимо, що у ряді випадків для доведення теорем існування зручно користуватися наступним принципом нерухомої точки. Оператор А(u, λ) (u ϵ E, 0 ≤ λ ≤ 1) назвемо цілком неперервним, якщо він неперервний по сукупності змінних і якщо кожна множина { v : v=A(u, λ), ||и||≤ r, 0 ≤ λ ≤ 1} компактнa в Е. Нехай для всіх розв’язків u(λ) всіх рівнянь u=A(u, λ)

(0 ≤ λ ≤ 1)

з цілком неперервним оператором A(u, λ) встановлена загальна апріорна оцінка 𝑢(𝜆)

≤ 𝑅0 .

(0 ≤ λ ≤ 1)

Нехай оператор А(u, 1) задовольняє умові А(𝑢, 1)

< 𝑅0

( 𝑢 = 𝑅0

Тоді рівняння u = А(u, 0) має принаймні один розв’язок.

2.4.

Рівняння з асимптотично лінійними операторами.

Припустимо, що нелінійний оператор (2.2) цілком неперервний в деякому функціональному просторі Е і асимптотично лінійний. Нехай його асимптотична похідна А' (∞) - інтегральний оператор А'(∞) u(x)=

𝛺

𝐵 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡.

(2.11)

24

Теорема 2.6. Якщо число

1 𝜇

не є власним значенням оператора (2.11), то

рівняння (1.114) має принаймні один розв’язок в Е. Наприклад, нехай неперервна функція 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 задовольняє нерівності | 𝐾 𝑥, 𝑡, 𝑢 -𝐾0 𝑥, 𝑡 𝑢| ≤ 𝑎 + 𝑏|𝑢|1−𝜀 .

(2.12)

Тоді при будь-якій неперервній f (х) рівняння (2.1) має принаймні один неперервний розв’язок при таких 𝜇 , що 𝐾0 𝑥, 𝑡 .

1 𝜇

не є власним значенням ядра

25

Р О З ДІ Л І I . З Б І Ж Н І С ТЬ І ТЕ Р А Ц І Й Н ИХ М Е ТО ДІ В У В ИП А Д КУ Р І З Н ИХ Т И П І В О П Е Р А ТО Р І В § 3 . З б іжн іс ть м ет од у д л я р ів н ян ь з м он ото н н им и о п ер а тор а м и 3.1. Монотонні оператори Нехай X дійсний сепарабельний рефлексивний банаховий простір, X -

простір, спряжений до X, і 𝜙,x - скалярний добуток елемента 𝜙 є

X* на елемент X є X. Оператор А : X→ X* називається: радіально-неперервним, якщо

при довільних фіксованих

х, у є

X дійсна функція A(x + ty),y неперервна на відрізку [0,1]; строго монотонним, якщо Ах-Ау,х-у > 0 ,

х,у є X , х

у; (3.1 )

сильно монотонним, якщо існує така постійна 𝛾> 0, що 𝛾||х-у||≤Ах-Ау,х-у, x,у є Х ; (3.2 ) коерцитивним, якщо існує визначена при

tϵ[0,

] дійсна

функція 𝜌(t), яка володіє властивістю p(t) -> со при t → оо, така, що справедлива нерівність

26

Ax,x ≥ ||x|| 𝜌 (||x||),

х ϵХ .

(3.3)

Теорема 3 .1. Якщо оператор А радіально неперервний, строго монотонний і коерцитивний, то рівняння (3.4)

Ax = f має єдиний розв'язок

х* ϵ X при довільному

fϵ X*.

3.2. Збіжність проекційно-ітеративного методу для рівнянь з монотонними операторами в гільбертовому просторі Будемо розв'язувати рівняння (3.5)

х = Тх,

в якому Т - нелінійний неперервний оператор, який діє в дійсному гільбертовому

просторі

Н,

методом,

згідно

якого

послідовні

наближення будуються за допомогою формул 𝑧𝑘 =Q𝑥𝑘−1 + 𝑃𝑥𝑘 , 𝑥𝑘 = 𝑇𝑧𝑘 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑥0 ∈ 𝐻

(3.6)

де Р і Q - оператори ортогонального проектування на підпростори U і V, причому U + V = Н і U - сепарабельний підпростір. В кінці минулого параграфа приведенні прості умови збіжності методу (3.6). Однак при їх дотриманні клас рівнянь (3.5) такий, що до нього можна застосувати звичайний метод послідовних наближень. У зв'язку з цим виникає питання доцільності застосування проекційно-ітеративного методу до такого класу рівнянь. В ряді випадків слід надати перевагу проекційно-ітеративному методу, однак при дотриманні простіших умов збіжності не завжди розглядуваний метод економічніший, чим звичайний ітераційний процес. Виходячи зі сказаного, виникає задача: виділити клас рівнянь, до якого метод послідовних наближень не застосовується або ж мало ефективний, в той час як проекційно-ітеративним методом рівняння можна успішно

27

розв'язати. До такого числа належать рівняння (3.5), в яких оператор Т при довільних и,z

U I v, w ∈ 𝑉задовольняє умовам

Т(и +v)-Т(z + v),и-z≤ b| 𝑢 − 𝑧 |2 ; (3.7 ) ||РТ(z + v)- РТ(z + w)|| ≤ а||v-w||; (3.8 ) ||QT(u + v)-QТ(z + w)|| ≤𝛽||u-v||+𝛿||v-w||, (3.9 ) д е 𝛼> 0 , - < b < 1 і  . , .  - скалярний добуток в H , 𝛽> 0 , 𝛿 > 0 . Відмітимо, що умова (3.7) завжди виконується, якщо А = І - Т - сильно монотонний оператор. Якщо ж Т — ліпшиць-непреривний оператор, то нерівності (3.8) і (3.9) також виконуються. Лема 3 .1. Нехай виконується умова (3.7), в якій - < b < 1 . Тоді рівняння (3.10)

и = Р Т (и + v ) має єдиний розв'язок и

U при кожному фіксованому v

V.

Д о в е д е н н я . Введемо у розгляд оператор S : U →U, що означається формулою (3.11)

Sи = и- Р Т(и + v).

Цей оператор радикально неперервний, строго монотонний і коерцитивний при кожному фіксованому v

V. Дійсно, радикальна

неперервність логічно слідує з неперервності вихідного оператора Т , а в силу формул (3.11) і (3.7) для будь-яких и,z

U і v

V маємо

28

Sи-Sz , u - z  = Т(u + v)-T(z+v),u-z + | 𝑢 − 𝑧 |2 ≥ ≥ (1-b)| 𝑢 − 𝑧 |2 = 𝛾| 𝑢 − 𝑧 |2 , y=1-b> 0, тобто виконується нерівність (2.2) і тим більше (2.1). Далі, Su, и = и- Р Т (и + v), и  - ||u||2 -T v, и -  Т(и + v ) - Т v, и  ≥ > || и ||2 -||T v |||| и ||-b|| и ||2 = || и ||𝜌(|| и ||), де функція 𝜌 (t) = 𝛾𝑡 − | 𝑇 | → ∞при t→

і фіксованому v

V,

тобто умова (2.3) виконується. Із вказаного випливає, що оператор S задовольняє всім умовам теореми 3.1, згідно якої рівняння Sи = 𝜃 має єдиний розв'язок. Звідси, з врахуванням формули (2.11) слідує справедливість умови леми. Лема 3 .2. Якщо виконуються умови (3.7)-(3.9), то для довільних х,у∈ Н справедливі оцінки ||Zx – Zy||≤ l||Q(x – y)||; (3.12 ) ||Mx-My||≤ p||Q(x-y)||;

(3.13)

||Lx-Ly|| ≤ q ||Q(x-y)||;

(3.14)

в яких l=

1 + с2 𝛼 2

, q=δ + cαβ, p= 𝑙 2 + 𝑞 2 − 1,

де c=γ-1=(1-b)-1 Д о в е д е н н я . Оскільки згідно леми 3.1 рівняння (3.10) v=Qx має єдиний розв'язок для кожного х Н , то, враховуючи формули (3.11), оператор Z:H→H існує. Відповідно, згідно формул (3.19) існують також оператори L:H→H і M:H→H. Використовуючи відношення (3.11), згідно

яких справедливі

представлення Zx = u+Qx, Zy = z+Qy де и,z - розв'язок рівняння (2.10) відповідно при v=Qx i v=Qy.

(3.16)

29

На основі формул (1.10), (1.7) і (1.8) маємо ||u-z||2=(T(u+Qx)-T(z+Qy),u-z)= =(T(u+Qx)-T(z+Qy)+T(z+Qy)-T(z+Qy),u-z) ≤ ≤b||u-z||2+α||Q(x-y) ||||u-z|| звідки слідує ||u-z||≤b||u-z||+α||Q(x-y) || тобто, враховуючи, що по умові 1-b>0 ||u-z||≤ cα||Q(x-y) || За допомогою формул (2.16) і (2.17) знаходимо ||Zx-Zy||2 = ||u +Qx-z-Qy||2 = ||u-z||2+||Q(x-y) ||2≤ (1+c2α2) ||Q(x-y) ||2 тобто вірна оцінка (3.12), в якій стала l обчислюється по формулі (3.15). Використовуючи формули (2.19), (3.16), (3.9) і (2.17), легко отримати оцінку (3.14): ||Lx-Ly|| = ||QTZx-QTZy|| = ||QT(u+Qx) – QT(z+Qy)|| ≤ ≤ β||u-z||+δ||Q(x-y) ||≤(δ+βcα) ||Q(x-y) || Як показано при доведенні теореми (3.3), з оцінок (2.12) і (2.14) слідує справедливість оцінки (2.13), в якій величина р обчислюється за допомогою формул (3.32) і (3.16). Теорема 3 .2. Нехай виконуються умови (3.7)-(3.9). Якщо сталі 𝑏, 𝛼, 𝛽, 𝛿 такі, що q=δ+cαβ<1

(3.18)

то рівняння х = Тх має в Н єдиний розв'язок і його можна побудувати методом (1.6). Доведення зводиться до перевірки виконуваності умов теореми 3.2. Вони виконуються, як це слідує з леми 2.2 і умови (2.18). Зауваження 3.1. При дотриманні умови теореми 2.2 швидкість збіжності характеризується нерівностями (3.17) і вірні конструктивні

30

оцінки похибок (3.18), (2.24), в яких l , р , q обчислюються по формулам (3.15). Вірні також оцінки відносної похибки (2.25), в якій 𝜀 - стала Ліпшиця оператора QТ. Наслідок 3 .1. Якщо виконується нерівність

Tx-Ty,x-y≤0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻

(3.19)

то умова δ + αβ<1

(3.20)

гарантує збіжність проекційно-ітеративного методу. Встановлені умови, зокрема прості, для перевірки умови (3.20), дійсно розширять область використання методу (3.6). Вони гарантують збіжність розглядуваного методу там, де звичайний ітераційний процес розбігається.

3.3. Частковий випадок Більшість задач математичної фізики можна звести до рівняння виду x = f + Kx + CFGx

(3.21)

де F: X→X*- нелінійний оператор, а K: H→H, G:H→X i C: X*→H нелінійні оператори. Припустимо, що для будь-яких х, у ϵ X виконуються нерівності

(Kx,x)≤0,(Fx-Fy,x-y)≤0

(3.22) ||Fx-Fy||*≤ λ||x-y||0, (3.23 )

в який ||.||0 , ||.||*- норми в X і X* відповідно, і справедливі відношення

31

К* = К G * = C , C* = G (3.24 ) Тоді оператор Т, який визначається формулою х Х,

Tx = f + Kx+CFGx,

(3.25 ) задовольняє нерівності (3.7)-(3.9), в яких b=0, α=β=ε+λαζ, δ= vλζ2,

(3.26)

де ε = ||QK||, v=||QKQ||, ζ=||QC||, a=||C||=||G||. Дійсно, в силу умови (2.22)-(2.25) маємо (Tx – Ty, x-y) = (Kx – Ky, x-y) + (FGx – Fgy, Gx – Gy)≤0, ∀х, 𝑦 ∈ H тобто виконується нерівність (2.19), з якої слідує нерівність (2.7). Далі, для будь-яких и,z∈ 𝑈 𝑖 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 отримуємо ||PT(z+v) – PT(z+w) ||=||PK(v-w)+PC[FG(z+v)-FG(z+w)] ||≤ ≤||PQK||||v-w||+λ||PC||||GQ(v-w) ||≤(ε+λαζ) ||v-w||; ||QT(u+v)-QT(z+w) ||= ||QK(u-z+v-w)+QC[FG(u+v)-FG(z+w)] ||≤ ≤ ε||u-z||+v||v-w||+ζλ||G(u-z+v-w) ||≤(ε+λαζ) ||u-z||+(v+λζ2) ||v-w|| Отже, справедливі нерівності (2.8) і (2.9) зі сталими, що мають вигляд (2.26). Теорема 3 .3 . Якщо виконуються умови (2.22)-(2.24) і v+ λζ2+( ε+λαζ)2<1,

(3.27)

то рівняння (2.21) має єдиний розв'язок і проекційно-ітеративний метод збіжний. Доведення зводиться до перевірки умови (2.20), яка виконується в силу (2.27). Зауваження 3.2. З врахуванням формул (2.25) і (2.23) не завдає труднощів показати, що оператор QТ задовольняє умові Ліпшиця із сталою ε+λαζ.

32

3.4. Застосування методу до рівняння першого роду Розглянемо знову рівняння (3.28)

Ax=f

в якому f - заданий і х - шуканий елементи дійсного гільбертового простору Н. Обмежимося випадком, коли оператор А сильно монотонний і ліпшиць-неперервний, тобто існують такі додатні сталі λ і 𝜇, що вірна нерівність (3.29)

(Ax-Ay, x-y)≥ γ||x-y||2;

(3.30)

||Ax-Ay||≤ μ||x-y||,. Застосуємо

до

рівняння

(3.28)

один

варіант

проекційно-ітеративного методу, за допомогою якого послідовні наближення будуються на основі формул zk = x k-1+wk , xk=zk +η(f-Azk)

( 3 .3 1 )

P(xk - zk)=0, wk U, k=1,2,3,…, x0H,

(3.32)

де 𝜏 - деякий додатній параметр. В силу вказаних формул для означення невідомого елементу wk отримується рівняння PA (x k-1+ wk )=Pf, wk ∈ 𝑈

(3.33)

Як буде показано нижче, при зроблених припущеннях в кожній ітерації рівняння (2.33) є єдиний розв'язок. Теорема

3 .4 .

Якщо

оператор

А

сильно

монотонний

і

ліпшиць-неперервний, то рівняння (3.28) однозначно розв'язне при кожному f Н і при 𝜏 ∈ 0,

2𝛾 𝜇2

будь-якому виборі підпростору U Доведення.

метод (3.31), (3.32) збіжний при Н.

За допомогою умов (3.29) і (3.30) можна

встановити справедливість нерівності ||Tx-Ty||≤q||x-y||, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻

(3.34)

33

в якій (3.35)

Tx=x-ηAx + ηf;

(3.36)

q2= q2(η)=1 - 2γη+η2μ2 Дійсно,

||Tx-Ty||2 = ||x-y-ηAx+ηAy||2 = ||x-y||2- 2η(Ax-Ay, x-y) +η2||Ax-Ay||2≤ ≤(1-2ηγ+η2μ2) ||x-y||2 = q2||x-y||2. Із врахуванням виразу (3.35) рівняння (3.28) зводиться до рівняння (3.37)

х = Тх,

а алгоритм (3.31) і (3.32) - до проекційно-ітеративного методу його розв'язання. Рівняння (3.37) має єдиний розв'язок і, як стверджує теорема

3.4,

останній

підпростору U

метод

збіжності

при

будь-якому

виборі

Н, якщо в нерівності (2.34) q< 1. Остання нерівність

виконується при 𝜏 ∈ 0,

2𝛾 𝜇2

.

Цей факт випливає з явного вигляду функції (2.36), яка при 𝜏 =

𝛾 𝜇2

приймає найменше значення q= 1 −

𝛾2 𝜇2

Зауваження 3.3. За допомогою заміни 𝑤𝑘 = 𝑢𝑘 − 𝑃𝑥𝑘−1 і виразу (3.35) рівняння (4.33) зводиться до рівносильного рівняння 𝑢𝑘 = 𝑃𝑇(𝑢𝑘 + 𝑄𝑥𝑘−1 )

(3.39)

У випадку коли в нерівності (3.34) q < 1, яка виконується при 𝜏=

𝛾 𝜇2

, як це

видно з співвідношення (3.38), виконуються умови леми 3.1, згідно якої рівняння (3.39) однозначно розв'язне.

34

Зауваження 3.4. При

𝜏=

𝛾 𝜇2

в

оцінках

(3.12)-(3.14)

можна

підставити 𝜇

l= , p= 𝛾

𝜇 2 −𝛾 2 𝜇

. Ці співвідношення безпосередньо випливають з

оцінок (2.38)-(2.40), якщо в них підставити q, що визначається формулою (2.38).

§ 4. Обґрунтування методу для рівнянь з цілком неперервним оператором 4.1. Застосовність проекційно-ітеративного методу до рівняння з цілком неперервним оператором Будь-яке однозначно розв'язне рівняння (4.1)

х = f + Тх

в сепарабельному банаxовому просторі X з цілком неперервним лінійним оператором Т при кожному f проекційно-ітеративним

методом.

До

таких

X можна розв'язати рівнянь

застосуємо

ітеративний метод, але його швидкість збіжності степенева, в той час як швидкість збіжності методу що вивчається, показникова. В силу відміченої властивості з допомогою проекційно-ітеративного методу можна знайти розв'язок з даною точністю при менших затратах обрахунків, ніж потребується в проекційному методі. Нижче встановлюється аналогічний результат: всяке однозначно розв'язне рівняння (3.1) з цілком неперервним нелінійним оператором Т можна розв'язати проекційно-ітеративним методом 𝑧𝑘 = 𝑄𝑛 𝑥𝑘−1 + 𝑃𝑛 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘 = 𝑓 + 𝑇𝑧𝑘

(4.2)

35

де k = 1,2,3,...; 𝑥0 ∈Х ; 𝑄𝑛 = І - Р п ; І - одиничний в X оператор і Рп оператор проектування простору X на його скінченновимірний підпростір Xп . Для обґрунтування вище сказаного твердження потрібні будуть оператори переходу, які визначаються за допомогою формул 𝑍𝑛 𝑥=𝑄𝑛 𝑥 + 𝑢, 𝑀𝑛 𝑥 = 𝑓 + 𝑇𝑍𝑛 𝑥, 𝐿𝑛 𝑥 = 𝑄𝑛 𝑀𝑛 𝑥

(4.3)

де елемент и - розв'язок рівняння и = 𝑃𝑛 𝑓 + 𝑃𝑛 𝑇(𝑢 + 𝑄𝑛 𝑥), х Х ,

(4.4)

які володіють очевидними властивостями 𝑄𝑛 𝑍𝑛 𝑥 = 𝑄𝑛 𝑥, 𝑍𝑛 𝑄𝑛 𝑥 = 𝑍𝑛 𝑥, 𝑀𝑛 𝑄𝑛 𝑥 = 𝑀𝑛 𝑥, 𝐿𝑛 𝑄𝑛 𝑥 = 𝐿𝑛 𝑥, u=𝑃𝑛 𝑍𝑛 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑀𝑛 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑋 безпосередньо випливає з означення. Лема 4.1. Якщо рівняння (2.1) при кожному f ∈ X має розв'язок і для будь-яких х ,у

X виконуються нерівності

x-y ≤ d x-y-Tx+Ty, d > 0 𝑄𝑛 𝑇𝑥 − 𝑄𝑛 𝑇𝑦 ≤ 𝜀𝑛 𝑥 − 𝑦, 𝜀𝑛 > 0

(4.5) (4.6)

причому 𝜀𝑛 → 0 при п →∞, то при достатньо великих п оператори 𝑍𝑛 , М п , і 𝐿𝑛 існують і вірні нерівності 𝐿𝑛 𝑥 − 𝑍𝑛 𝑦 ≤𝑙𝑛 𝑄𝑛 𝑥 − 𝑦  Мп х - М п у < р п Q п ( х -у) 𝐿𝑛 𝑥 - 𝐿𝑛 𝑦 ≤ 𝑞𝑛 𝑄𝑛 (𝑥 − 𝑦)

(4.7) (4.8) (4.9)

а також 𝑞𝑛 →0 при и n → оо. Д о в е д е н н я . Добавимо до обох частин рівняння (2.4) елемент Q п х і зробимо заміну z = и + Q п х, в результаті чого отримуємо нове рівняння z =Qпх

+

Рпf + РпТz,

(4.10)

яке запишемо у вигляді z – Tz = Рпf + 𝑄𝑛 𝑥 − 𝑄𝑛 𝑇𝑧

(4.11)

36

Використовуючи умови леми (2.6) приходимо до висновку, що існує оператор R :X → X, за допомогою якого одиничний розв'язок рівняння (2.1) виражається формулою і справедлива нерівність ||Rf - Rh||≤ d||f-h||, ∀ f,𝑕 ∈ 𝑋. ( 4.12 ) В силу рівняння (3.12) рівносильне рівняння z = R(Рпf - Q п х - Q п T z )

(4.13)

Так як в силу нерівностей (4.13), (4.7) для будь-яких z,w ∈ Х ||R(Рпf - Q п х - Q п T z ) – R ( Рпf - Q п х - Q п T w ) | | ≤ d | | Q п T z QпTw||≤dεn||z-w|| і по умові ε n → 0 при n→∞, то, очевидно, існує такий номер п0 що для всіх п ≥ п0 буде dε n < 1 . Це говорить про те, що рівняння (4.14) однозначно розв'язне при всіх п ≥ п0 і будь-яких f, х ∈ Х , так як в його правій частині стоїть оператор стиску. Тому рівняння (4.11), а разом з ним і рівняння (4.4) однозначно розв'язні. Отже, враховуючи перший вираз (4.3), згідно якого z = Qпх + u = Znx

(4.14)

переконуємося в тому, що при досить великих п оператор Z n існує і визначений на всій X. Підставимо вираз (4.15) в рівняння (4.12) і використаємо два останні співвідношення (4.3). Після очевидних перетворень будемо мати Znx - TZnx = f+Qпх – Lnx .

(4.15)

Тепер з допомогою формул (4.6), (3.16), (4.3) і (4.7) знаходимо || Z n x - Z n y || ≤ d|| Z n x - Z n y - T Z n x + T Z n y | | = d | | Q п х - Q п y Lnx+ Lny||≤d||Qп(x-y)||-d|| Qпх - Lny || ||Lnx- Lny|| = ||QпT Znx - QпT Zny||≤ εn || Znx - Zny || Розв'язавши останні нерівності, маємо || Z n x - Z n y || ≤ d(1-d ε n ) - 1 | | Q п ( x - y ) | | ;

37

| | L n x - L n y | | ≤ d ε n (1-d ε n ) - 1 | | Q п ( x - y ) | | , тобто справедливі оцінки (4.8) і (4.10), в яких l п ≤ d(1-d ε n ) - 1 , qn≤ ε n l п , причому qn → 0при n→∞, так як по умові ε n → 0 при п→∞. Оцінка (4.9) слідує з формули М п х - М п у = РпZпх - РпZпу + Lп х - Lп у, яка випливає з означення (4.3) з врахуванням останнього співвідношення (4.5), попередніх оцінок (4.8), (4.10). Зауваження 4.1. Умова (5.6) рівносильна умові ||х - у|| ≤ d|| g-h ||, ∀𝑔, 𝑕 ∈ 𝑋, де х і у - розв'язок рівняння (2.1) при f = g i

f = h.

Теорема 4.1. Якщо виконуються умови леми 4.1, то при досить великих п проекційно-ітеративний метод (4.2) збіжний. Збільшення розмірності підпростору Х п впливає прискоренню збіжності методу. Д о в е д е н н я . З виразу (4.2) видно, що означення елемента 𝑧𝑘 = 𝑄𝑛 𝑥𝑘−1 + 𝑃𝑛 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘 = 𝑓 + 𝑇𝑧𝑘

(4.16)

тобто рівняння виду (4.11). Як встановлено при доведенні леми 2.1, при достатньо великих п рівняння (4.17) має єдиний розв'язок. Його, з врахуванням співвідношення (4.15), можна представити у вигляді zk = Znxk-1 (4.17 ) Згідно інших формул (4.2), (4.3) і виразу (3.18) отримуємо хк = Mnxk-1.

(4.18 ) Відмітимо, що при х = х*, де х* - розв'язок рівняння (4.1), рівняння (4.11) має розв'язок z = х* , тому, використовуючи ще позначення (4.3), х* = Z п х*, х* = М п х*.

(4.19)

На основі формул (4.18)-(4.19) і властивостей (4.5) легко встановити справедливість співвідношень

38

х* - zk = Znv* -Znvk-1, х* - zk = Mn v*- Mn vk-1, (4.20) де v* = Q п х*, vk = Q п хк Застосовуючи до останньої рівності (4.20) оператор Q п , з врахуванням останньої формули (4.3) на кінець маємо v*- vk = Lп v* - Lп vk-1

(4.21)

За допомогою співвідношень (4.21) і (4.22) і нерівностей (4.8)-(4.10), причому в останній qn < 1 при п ≥ п 0 , звичайним шляхом встановлюємо збіжність послідовностей { z к } і { х к } , які побудовані по методу (4.2), до розв'язку х* рівняння (4.1). Лема 4.2. З однозначної розв'язності рівнянь u= P m f +P m T(u + Q m g) ;

(4.22)

w= Pn Lm(w +Q

(4.23)

n

x ), 0

при будь-яких фіксованих x, g ∈ 𝑋, причому тут X

т

∈ Х п , слідує

однозначна розв'язність рівняння (4.4). Справедливе співвідношення Z т Z п х=Z п х , х ∈ Х .

(4.24)

4.2. Достатні умови збіжності методу в гільбертовому просторі Нехай Н - сепарабельний гільбертовий простір; Н

п

—

його

скінченновимірний підпростір і, як завжди, Рп і Qn - ортопроектори відповідно на Н п і Н ⊕Н п . Розглянемо в Н рівняння (4.1) і встановимо умови, при витриманні яких із збіжності проекційно-ітеративного методу (4.2) при заданому підпросторі Н т випливає збіжність також методу при будь-якому підпросторі Н п , що володіє властивістю Н т ⊂ Н п , 0 ≤ т ≤ п . Лема 4.3. Якщо при деякому фіксованому т рівняння (4.23) має одиничний розв'язок при будь-яких f , g

∈ 𝐻 і виконується нерівність

| | L m x - L m y | | ≤ q m | | Q m ( x - y ) | | , ∀x, y ∈ H

(4.25)

39

з константою q m < 1 , то для кожного п ≥ т рівняння (4.4) також має одиничний розв'язок при кожних f, х ∈ Н і | | L n x - L n y | | ≤ q n | | Q n ( x - y ) | | , ∀x, y ∈ H

( 4.26)

з константою (4.27)

q n ≤ q m <1

Д о в е д е н н я . Відмітимо, що з однозначної розв'язності рівняння (4.23) слідує існування оператора як Z т , так і Lт , а тому рівняння (4.24) має зміст. Оскільки Рп - ортопроектор і в силу умови (4.26) ||PnLm(w+Qnx)-PnLm(z+Qnx)||≤qm||z-w||,∀ 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐻𝑛 − 𝐻𝑚 , 𝑞𝑚 < 1, то в рівнянні (4.24) в правій частині стоїть оператор стиску, тому він відносно w однозначно розв'язний при всіх п ≥ m i х ∈ Н . Так, дотримуючись всіх умов леми 2.2, в силу якої рівняння (4.4) однозначно розв'язне. В наслідок чого, існують оператори Z п , М п і L п . Встановимо справедливі оцінки (4.27). Для цього використаємо співвідношення (4.25), яке в силу першої формули (4.3), застосовуючи до неї оператор Qт, і властивостей Z тQт = Z т , QтQп=Qп можна записати у вигляді Znx= Zm(w+Qnx), w=Qmu (4.28) На основі цього співвідношення і другої формули (4.3) маємо М п х = М т (w+Q п х).

(4.2 9) Оскільки в силу останніх формул (4.28) і (4.29) М п х = Lпх + Р п Z п х = L п х +и , то формулі (4.30) можна надати вигляд Lnx + и = М m (w+Q n х) (4.3 0)

40

Застосовуючи до рівності (4.30) оператор Qm і згадуючи вираз (4.29), з врахуванням позначення (4.13) отримуємо (4.31)

Lnx + w = Lт (w +Q п х). За допомогою формул (2.32), (2.26)і співвідношення (L n x - L n y , w - z ) = 0,

∀x, y ∈ H

яке випливає з включень w,z ∈ 𝐻𝑛 Θ𝐻𝑚 i y ∈ 𝐻Θ𝐻𝑛 , знаходимо ||Lnx- Lny||2=||Lm(w+Q

n

x) – Lm(z+Qny)||2 - ||w-z||2≤

≤(q2m-1) ||w-x||2 + q2m ||Qn(x-y) ||2,

( 4.32)

звідки в силу умови q m< 1 маємо | | L n x - L n y | | ≤ q m | | Q n ( x - y ) | | ∀x, y ∈ H Ця нерівність свідчить про те, що оператор Lп задовольняє умові Ліпшиця з деякою константою q п , яка не може перевищувати величини q т , тобто нерівність (4.28) правильна. Зауваження 4.2. Нехай при деякому т виконується умова (2.26) з qт < 1 і відомі оцінки | | L n x - L n y | | ≤ lm| | Q m ( x - y ) | | (4.33 ) | | M m x - M m y | | ≤ p n | | Q m ( x - y ) | | . ∀x, y ∈ H (4.34 ) Тоді для всіх п > т справедливі оцінки (4.8), (4.9) з константами 𝑙𝑛 ≤

𝑙𝑚 2 1− 𝑞 𝑚

, 𝑃𝑛 ≤

𝑃𝑚 2 1− 𝑞 𝑚

(4.35 ) Дійсно, в силу співвідношень (4.29), (4.30), (4.34) і (4.35) отримуємо | | Z n x - Z n y | | 2 ≤ l 2 m {| | w - z | | 2 + | | Q n ( x - y ) | | 2 } | | М п х-М п у| | 2 ≤ 𝑃𝑚2 { w − z

2

+ ||Q n (x − y)||2 }

(4.36) (4.37)

41

Застосовуючи до рівності (2.32) оператор Рт, знаходимо w = 𝑃𝑛 𝐿𝑚 (𝑤 + 𝑄𝑛 𝑥),

(4.38)

тому з врахуванням умови (4.26) маємо w−z

2

= ||𝑃𝑛 𝐿𝑚 (𝑤 + 𝑄𝑛 𝑥)-𝑃𝑛 𝐿𝑚 (𝑧 + 𝑄𝑛 𝑦)||2 ≤ q2m { w − z

2

+

+||Q n (x − y)||2 }, звідки при умові qт < 1 випливає w−z

2

≤ q2m (1 − q2m )2 ||Q n (x − y)||2 .

(4.39)

Посиливши нерівності (4.37) і (4.38) за рахунок нерівності (4.40), переконуємося в справедливості оцінок (4.8) і (4.9) з константами (4.36). Зауваження 4.3. З аналізу виразу (4.33) видно, що в ньому знак рівності може досягатися лише на елементах х, у для яких w=z . Остання рівність можлива лише тоді, коли рівняння (4.39) має один і той же розв'язок при різних елементах Qп х. За виключенням відміченого випадку виконується строга нерівність (4.33), яка свідчить про те, що швидкість збіжності проекційно-ітеративного методу збільшується з ростом розмірності підпростору Н п . Теорема. 4.2. Якщо при деякому

m виконується нерівність (4.26) з

qт < 1 і одна з нерівностей (4.34), (4.35), то проекційно-ітеративний метод (4.2) збігається при довільному виборі підпростору Н п , який містить підпростір Н т , причому швидкість збіжності збільшується з ростом п . Справедливі оцінки похибки x  − zk ≤ lm 1 − qm

−1

xk − zk ; (4.40)

x  − zk ≤ pm (1 − qm )−1 xk − zk ; (4.41) де х* - точний і z к , хк - приблизні розв'язки рівняння (4.1). Д о в е д е н н я . На основі леми 2.3 і зауваження 2.2 бачимо, що дотримуються всі умови теореми 3.2, згідно якої при кожному п ≥ т

42

метод (4.2) збігається, а нерівність (4.28) свідчить про те, що із збільшенням п швидкість збіжності не може погіршитись. Встановимо оцінки похибки. Для цього скористуємося формулами (4.18)-(4.20), в силу яких і властивості (4.25) маємо x  = Z т x  = М т x , z к = Z тzк,

хк = М т z к .

(4.42)

Використовуючи ці співвідношення, отримуємо x  − zк= Z т x - Z тzк, x  − хк = М т x  − М т z к .

(4.43) Із формул (3.44), (4.43) і (4.35) очевидним чином слідують нерівності x  − zk

≤ lm Qm x  − zk

≤ lm Qm x  − xk

| | x  − xk ||≤ pm Q m x  − zk

(4 . 4 5 )

+ lm | xk − zk |

≤ pm Q m x  − xk

+

+pm | xk − zk | (4.46) Так як в наслідок першої формули ( 4 . 2 ) Q m (xk − zk )= xk − zk . Застосовуючи

до другої

нерівності

( 4.44)

оператор

Qm

і

використовуючи умову(4.26), маємо ||Q m x  − xk ||= | | Lm x  − Lm zk | | ≤ qm Q m x  − zk ≤qm Q m x  − xk

+ qm Q m xk − zk

≤

,

звідки слідує оцінка Q m x  − xk

≤ qm (1 − qm )−1 | xk − zk | (4.47)

З

нерівностей

(4.45)-(4.47),

випливають очевидним чиномю.

оцінки

(4.41)

і

(4.42)

43

§5. Збіжність методу для рівнянь з гладкими операторами 5.1. Про одну ознаку збіжності проекційно-ітеративного методу Об'єктом дослідження знову буде нелінійне рівняння (5.1)

х = Тх

в дійсному банаховому просторі X, яке будемо розв'язувати за допомогою алгоритму ZK = Qxk−1 + Pxk , xk = Tzk , x0 ∈X

(5.2)

де k = 1,2,3,..., і, як завжди, Р і Q - проекційні оператори, які проектують X на U і V , причому U ⊕ V = X . Встановимо достатні умови збіжності методу в припущенні, що оператор Т можна представити у вигляді (5.3)

T=K+F де К - лінійний і F- нелінійний оператори. Припустимо, що при деякому v 0 ∈ 𝑉 елемент

U0

задовольняє

рівнянню U 0 =РТ(u0

+ vo )

(5.4)

і візьмемо в якості початкового наближення х 0 =u0 + vo . Введемо наступні позначення: R=(1 − PT)−1 P, Z ′ = (1 − PK)−1 Q (5.5 ) ᴧ=I+KR,

M ′ = KZ′ , L′ = QM (5.6 )

44

𝜔 = 𝑃𝑍 ′ , 𝑙 ′ ||Z′ , 𝑝′ M ′ , Q′ L′ || (5.7 ) D={x|x∈ 𝑋, 𝑥 = 𝑢 + 𝑣, 𝑢 − 𝑢0 < 𝑟, | 𝑣 − 𝑣0 | ≤ 𝜌}; N(𝑢0 , 𝑟) = 𝑢 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑢 − 𝑢0 ≤ 𝑟 ; S(𝑣0 , 𝜌) = {𝑣|𝑣 ∈ 𝑉, | 𝑣 − 𝑣0 | ≤ 𝜌} де I- одиничний оператор в X. Лема 5.1. Нехай одиниця - регулярне значення оператора РК і виконується умова ||R(Fx-Fy)||≤ α x − y

∀x, y ∈ D

(5.8)

Якщо α < 1 і можна підібрати r і 𝜌 таким чином, щоб 𝜌(𝜔 + 𝑣) ≤ 𝑟(1 − 𝛼),

(5.9)

то при кожному фіксованому v ∈ S(v 0 , 𝜌) рівняння u = PT(u + v)

(5.10)

має єдиний розв'язок и є N(u 0 ,r). Д о в е д е н н я . Рівняння (5.10) рівносильне рівнянню u = Au , Д Е Au ==PZ'v + RF(u + v ) .

(5.11)

щоб в цьому переконатися, представимо рівняння (5.10) з врахуванням формули (5.3) у вигляді y-PKy = v + PFy, y = u + v ,

(5.12)

використаємо оператори (5.5), за допомогою яких маємо y = Z'x + RFy,

(5.13)

і застосуємо до останньої рівності оператор Р . Зробимо аналогічні перетворення з рівністю (5.4), після чого одержимо и 0 = PZ'v 0 + RF(u 0 +v 0 ).

(5.14)

Нехай u∈N(u 0 ,r), тоді з формул(5.11), (5.14) з врахуванням умов (5.8),

45

(5.9) і позначення (5.7) випливає ||Аи-и 0 ||=||PZ'(v-v 0 )+RF(u+v)-RF(u 0 +v 0)||≤ 𝛚||v-v 0 ||+α||u+v- v 0 -u0||≤ ≤ ωρ + α(ρ + r)≤r, тобто оператор А відображає при кожному v∈S(v 0 , ρ) кулю N(u 0 ,r) в себе. Якщо u,z ∈ N(u 0 ,r), то, враховуючи формулу (5.11) і умову (5.8), маємо нерівність ||Аи

–

Az||=||RF(u+v)-RF(x+v)||

≤

α

||u-z||, це свідчить про те, що в кулі N(u 0 ,r) оператор А є стискуючим. Таким чином, рівняння (5.11), отже, і рівняння при кожному фіксованому v ∈ S(v 0 ,ρ)має єдиний розв'язок. Лема 5.2. Нехай виконуються умови леми 3.1. і, крім того, для довільних x , y ∈D виконується нерівність ||QTx-Qty||≤ 𝜀||x-y||

(5.15)

Тоді існують оператори Z,М і L , визначені на множині D, причому Z : D→D, і для всіх х,у∈ D справедливі нерівності ||Zx-Zy|| ≤l||Q(х-у)||; (5.16) ||Мх-Му||≤р\\Q(х-у); (5.17) ||Lх-Lу||≤q||Q(x-y)||, (5.18) в яких l=𝑙 ′ (1 − 𝛼)−1 , 𝑞 = 𝜀𝑙, 𝑝 = 𝜔 + 𝑞 + 𝑙𝛼.

(5.19)

Д о в е д е н н я . Згідно формули (5.11) Zх = u + v, v = Qх, u = РT(u + v),

(5.20)

46

причому в силу леми 3.1 останнє рівняння має єдиний розв'язок и ∈N(и 0 ,r) при кожному v = Qх ∈ S( v 0 , 𝜌) . Отже, оператор Z існує і відображає множину D в себе. На основі формули (3.20) і останньої рівності (3.14) бачимо, що Zх = у, а тому в силу співвідношення (3.13) Zх = Z ′ v+ RFZx, v =Qх.

(5.21)

Звідси з врахуванням формул (5.7) і (5.8) слідує нерівність ||Zх –Zу|| ≤l′ Q x − y

+ α Zx − Zy ,

з якої випливає оцінка (5.16). Далі, в силу формул (5.19), (5.15) і (5.16) отримуємо ||Lx-Ly||=||QTZx-QTZy||≤𝜀l||Q(x-y)|| тобто оцінка (5.18). Застосовуючи до нерівності (5.21) оператор Р , за допомогою виразів (5.7), (5.8) і (5.14) переконуємося в справедливості нерівності ||PZх –PZу||=||PZ’Q(x-y)+RFZx-RFZy||≤ 𝜔||Q(x-y)||+ α||Zx-Zy||≤ ≤( 𝜔 + αl)| Q x − y | в силу якої і формул (5.3), (5.18) ||Мх – Му|| =||Lх –Lу|| +||PZx – Рzу|| ≤ (q + 𝜔 + αl) | Q x − y | . Отже, оцінка (5.17) має місце. Теорема 5.1. Нехай виконуються умови леми 5.2. і q<1, ||Q(Tx0 -x0 )||≤ρ(1-q)

(5.22)

Тоді рівняння (5.1) на множині D має єдиний розв'язок х∗ і послідовності {х к } і {z к }, побудовані за алгоритмом (5.2), збігаються до цього розв'язку. Справедливі оцінки похибки (5.17) - (5.19), (5.24) і (5.25), в яких р , l , q і 𝜀 виражаються формулами (5.19) і (5.15).

47

Доведення зводиться до перевірки виконуваності умов теореми 3.1. Вони виконуються, так як згідно леми 5.2 існує оператор L , визначений на кулі S ( v 0 , ρ) , а в силу умов (5.22) він відображає цю кулю в себе і є на ньому оператором стиску. Дійсно, нехай v ∈S(v0 , ρ), тод і по-перше, згідно формул (5.20),(5.4) x0 = Zv0 , QTx0 = QTZV0 = Lv0 , v0 = Q 0 і, по-друге, в силу нерівностей (5.18), (5.22) ||Lv0 − v0 ≤ Lv − Lv0 + Lv0 − v0 ≤ q v − v0 || + ρ(1 − q) ≤ ρ ∀∈ S(v0 , ρ) Зауваження 5.1. Умови (5.22) будуть виконуватися, якщо початкове наближення х0, побудоване згідно проекційного методу, тобто х 0 = РТх 0 , задовольняє нерівності ||Тх0-х0 ||≤ ρ(1 − q)

(5.23)

εl′ + α< 1 .

(5.24)

а величини 𝛼, 𝑙 ′ , 𝜀 такі, що

Зауваження 5.2. Умови (5.8), (5.9) можна замінити умовами які перевіряються легше. ||Fv-Fw||≤α x − y ∀x, y ∈ D

(5.25)

ac<1, 𝜌 𝜔 + 𝑎𝑐 ≤ 𝑟 1 − 𝑎𝑐 , 𝑐 = | 𝑅 |

(5.26)

Зауваження 5.3. Теорема 5.1 залишається справедливою, якщо замість умови (5.15) вимагати виконуваність нерівностей ||ᴧ(Fx-Fy)||≤μ x − y ;

(5.27) ||Qᴧ(Fx-Fy)||≤𝜏||x-y||.

(5.2 8)

У випадковості, якщо вірна умова (3.25), вони виконуються з

48

μ = as, τ = a||Qᴧ||, s = ||ᴧ|| (5.2 9) В такому випадку в оцінках (5.17) і (5.18) константи мають вигляд p = p ′ + μl, q + q′ + τl

(5.30)

де l виражається формулою (5.19). Вказані оцінки з константами (5.30) з врахуванням формул (5.7), (5.16), (5.27), (5.28) безпосередньо випливають з представлень Мх = М'х + ᴧFZх (5.31 ) Lх = L′х+QᴧFZх.

(5.32 ) Для їх отримання слід скористатися формулами (2.19) і (2.3), в силу яких Мх = КZх + FZх , Lх = QMx, (5.33 ) застосувати до рівності (2.21) оператор K і підставити отриманий результат замість першого доданку в формулах (1.3.33), а також врахувати позначення (1.3.6). Зауваження 5.4. У випадку, коли X = Н - гільбертовий простір, сталу в нерівності (3.16) можна покращити, замінивши її меншою величиною l=𝑙 ′ 2 ( 𝑙′ 2 − 𝛼 2 − 𝛼 𝑙 ′ 2 − 1)−1

(5.36)

Для отримання формули (2.34) досить використати рівняння (2.21) і зробити відповідні обчислення з врахуванням виразів (2.7), (2.8) і того факту, що 𝑙 ′ 2 = 1+𝜔2

49

5.2. Обґрунтування збіжності методу для рівнянь з гладкими операторами Припустимо, що в деякій відкритій області Ω ϵ X існує похідна Фреше

Т'(х)

оператора

Т.

В

такому

випадку

справедливе

представлення(5.З), в якому Кх = Т'(х 0 )х , Fx = Тх - Т'(х 0 )х, х 0 ϵ Ω.

(5.37)

Отже, якщо для операторів (5.35) виконуються умови леми 3.2, то проекційно-ітеративний

метод

розв'язування

рівняння

х

= Тх

збігається. Чи можна підібрати елемент х 0 і проекційний оператор Р таким чином, щоб вказані умови, а також (2.22), виконувались? Нижче це питання розв'язується для випадку, коли U = Х п ⊂ X - скінчено вимірний простір і Р = Рп - оператор проектування X на Хn. Для такого підпростору, очевидно, допоміжні оператори і величини залежать від п і в подальшому будемо їм приписувати індекс п. Нагадаємо, що 𝑄𝑛 = 1 − 𝑃𝑛 Теорема 5.2. Нехай рівняння х = Тх має розв'язок х * , єдиний в деякій кулі O(х * , δ)= { x | x ϵX , | | x - х * | |≤ δ} ⊂ Ω

(5.38)

і виконуються умови: 1) похідна Фреше Т' ( х ) оператора Т задовольняє в кулі (5.36) умові ||T ′ x − T ′ y

≤ λ x − y||′ , 0 < 𝑣 ≤ 1

(5.39)

2) одиниця - регулярне значення лінійного оператора Т' ( х ) ; 3) при n→∞ Pn → Iсильно в X; 4) для кожного х ϵ O( х *,δ) при п →∞ 𝜀𝑛 = 𝑄𝑛 𝑇 ′ 𝑥

→ 0, 𝛽𝑛 = | 𝑇 ′ 𝑥 𝑄𝑛 | → 0

(5.40)

50

Тоді

існує

досить

великий

номер

при

п,

якому

проекційно-ітеративний метод збігається. Д о в е д е н н я . Для досить великих п в кулі (2.36) рівняння и п = Р п Ти п має єдиний розв'язок і ||𝑢𝑛 − 𝑥 ∗ || → 0 при 𝑛 → ∞

(5.41)

Виберемо такий номер п 0 і величину 𝜎, щоб для всіх n ≥ 𝑛0 дотримувались нерівності 𝛿

| | 𝑥 ∗ − 𝑢𝑛 || ≤ 𝜎 ≤ , 𝛾𝜀𝑛 + 𝜆𝜎 𝑣 ≤ 𝜂 < 1;

(5.42)

3

||𝑇 ′ 𝑥 ∗ − 𝑇 ′ (𝑢𝑛 )||≤ 𝜆𝛾 −1 𝜎 𝑣

(5.43)

𝛾 ≥ 𝑅∗ , 𝑅∗ = [1 − 𝑇 ′ 𝑥 ∗ ]−1

(5.44)

де в силу умови (2)

Цього можна досягти в силу співвідношень (2.37)-(2.39). Тоді для кожного п≥п 0 вірна нерівність ||R n || = | 1 − Pn T ′ (un )−1 Pn | ≤ γτ 1 − η

−1

=c

(5.45)

де 𝜏 ≥ | 𝑃𝑛 | Останній факт з врахуванням позначень (5.42) випливає з представлення 𝑅𝑛 = {𝐼 + 𝑅∗ 𝑄𝑛 𝑇 ′ 𝑢𝑛 + 𝑇 ′ 𝑥 ∗ − 𝑇 ′ 𝑢𝑛 }−1 𝑅∗ 𝑅𝑛 і нерівностей (5.40)-(5.44). Введемо до розгляду область D = { х|х ϵ Х , х = и +

V,Uϵ

Хn,

V ϵХ 𝜣 Х п ,||u-un ||

< σ, v < σ, σ ≤

δ 3

(5.46)

На основі аналізу виразів (5.38), (5.40) і (5.42) переконуємося в справедливості включення D⊂O(𝑥 ∗ , 𝛿). В силу умови (5.26) ||Т' (х)-Т' (и п )||λ| x − un |v = λ| u − un + v |v ≤ 2v λσv = a, ∀x ∈ D п ≥ п 0 ,

(5.47)

51

тому для всіх х , у ϵ D , враховуючи формули (5.26), (5.27), підставляючи в першій х0 = и n , і включення 𝜉 = 𝑦 + 𝑡 𝑥 − 𝑦 𝜖𝐷, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, маємо (5.47)

||Fx-Fy||=||Tx-Ty-T′(𝑢𝑛 )(x-y)||≤||[T′(𝜉)-T′(𝑢𝑛 )](x-y)||≤||x-y||

Згідно умови теореми маємо 𝜀𝑛 → 0 і 𝛽𝑛 →0 при п→ ∞. Звідки слідує, можна знайти такий номер п 1 ≥ п 0 і підібрати величину 𝜎таким чином, щоб, крім (3.40), зберігались нерівності 2𝑣+1 𝑐𝜆𝜎 𝑣 + 𝑐𝛽𝑛 < 1, 𝜀𝑛 + 𝑐𝜀𝑛 𝛽𝑛 + 2𝑣 𝑐𝜆𝜎 𝑣 < 1 (5.48 ) При такому виборі номера, очевидно, зберігається нерівність (𝜀𝑛 + 𝑐𝜀𝑛 𝛽𝑛 ) 1 − 2𝑣 𝑐𝜆𝜎 𝑣

−1

≤ 𝑑 < 1, 𝑛 ≥ 𝑛1 (5.49 )

На кінець, виберемо такий досить великий номер𝑛2 ≥ 𝑛1 , щоб ||Tun − un || ≤ σ 1 − d , ∀n ≥ n2

(5.50)

Це можна зробити, так як ||T𝑢𝑛 − 𝑢𝑛 || → 0 при п → ∞ Візьмемо в проекційно-ітеративному методі в якості початкового наближення х 0 = и п , де п ≥п 2 . Тоді в області (5.44) будуть виконуватись всі умови теореми 3.1. Дійсно, при вказаному виборі приближення, як це безпосередньо слідує з співвідношень (5.43), (5.46)-(5.49) і нерівностей 𝜔𝑛 ≤ 𝑐𝛽𝑛 , 𝑙𝑛′ ≤ 1 + 𝜔𝑛 які випливають з представлення ′

𝑍 𝑛=𝑄𝑛 + 𝑅 𝑛𝐾𝑄𝑛

(5.51)

з врахуванням формул (5.35), (5.38), (5.43), вірні нерівності (5.23)-(5.26), причому в них можна підставити r=𝜌 = 𝜎, 𝛼 = 𝑎𝑐 𝑖 𝑞 = 𝑑. Далі, з першої умови (5.38) випливає справедливість нерівності ||𝑄𝑛 𝑇𝑥 − 𝑄𝑛 𝑇𝑦 ≤ 𝑄𝑇 ′ 𝜉 𝑥 − 𝑦

≤ 𝜀𝑛 𝑥 − 𝑦||

52

для будь-яких х ,у ϵ D , де 𝜉=y+t(x-y), 0 ≤ t ≤ 1. Таким чином, враховуючи зауваження 3.1 і 3.2, бачимо, що дійсно вірні всі умови теореми 3.1, згідно якої розглядуваний метод збігається.

§ 6. Обґрунтування методу для рівнянь зі слабою нелінійністю На практиці виникають задачі, які збігаються до рівняння х = f + Kx + λCФGx

(6.1)

де λ - малий додатній параметр; К : H→H, G: Н → Х і С : Y → H - лінійні обмежені оператори, а нелінійний оператор Ф : X →Y що задовольняє умову ||Фх-Фу|| ≤||х-y||0, ∀х , у ϵ Х .

(6.2)

53

Тут X, Y- банахові і Н - гільбертовий простір, а ||•||о і ||•|| - норми в X і Y відповідно. Обмежимося випадком, коли одиниця - регулярне значення оператора К, тобто справедливі нерівності ||(I − K)−1 || ≤ δ, | G I − K

−1

|≤γ

(6.3)

Дане рівняння, природно, можна вирішити проекційно-ітеративним методом: х к =f + Кz к + λСФGz к , z к = х к - 1 + w к;

(6.4)

𝑤𝑘 = 𝑃𝑛 (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ), k = 1 ,2 ,3 , … , 𝑥0 ∈ 𝐻 (6.5) причому поправки визначаються з рівняння wk -Р п Кw к = Рn(f-х к - 1 +Кх к - 1 )+λРnCФG(х к - 1 +w к ). Рівняння

(6.1) - частковий

випадок рівняння

(5.1),

причому

в

представлені (5.3) Fx=f+λСФGx,

(6.6)

а алгоритм (6.4) і (6.5) - частковий випадок алгоритму (5.2). Відповідно, при дотриманні умов теореми 3.1 перший збігається. Але ці умови не враховують специфіку оператора F, тому нижче приводяться уточнені умови збіжності. Для цього ще потрібні будуть величини an = GR n C , bn GZn′ , sn = ᴧn C , hn = Q n ᴧn C , (6.7) де оператори R п , Z'п, ᴧ𝐧 визначаються формулами (3.5), (3.6). Теорема 6.1. Нехай існує оператор R п і виконується умова qn = q′n + λhn dn < 1, dn = bn (1 − λan )−1

(6.8)

Тоді рівняння (6.1) має єдиний розв'язок х* ∈ 𝐻 і послідовності {х к }, {z к }, побудовані по методу (6.4), (6.5), збігаються до цього розв'язку.

54

Доведення збігається до перевірки умови теореми 5.2. Вони виконуються, так як при дотриманні умов теореми мають місце оцінки (5.16)-(5.18), в яких qп виражається формулою (6.8) і рn = 𝑝𝑛′ + λ𝑠𝑛 𝑑𝑛 , 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛′ + 𝜆𝑐𝑛 𝑑𝑛 , 𝑐𝑛 = | 𝑅𝑛 𝐶 | (6.9) Вказані оцінки з врахуванням позначень (5.7), (6.7) і умови (6.2) безпосередньо випливають з співвідношень 𝑍𝑛 𝑥 = 𝑍𝑛′ + 𝑅𝑛 𝑓 + 𝜆𝐶Ф𝑔 ; 𝑀𝑛 𝑥= 𝑀′ 𝑥 + ᴧ𝑛 𝑓 + 𝜆𝐶Ф𝑔 ; 𝐿𝑛 𝑥 = 𝐿′𝑛 𝑥 + 𝑄𝑛 ᴧ𝑛 𝑓 + 𝜆𝐶Ф𝑔 ; 𝑔 = 𝐺𝑍𝑛′ 𝑥 + 𝐺𝑅𝑛 (𝑓 + 𝜆𝐶Ф𝑔). Ці співвідношення випливають з формул (5.21), (5.31), (5.32) і (6.6), якщо до першої застосувати оператор G і підставити g =GZ п х. Зауваження 6.1. Якщо

дотримуються

умови

теореми

5.3,

справедливі оцінки похибки (5.17)-(5.19), (5.24) і (5.25), в яких q, р , l виражаються формулами (6.8) і (6.9). Зауваження. 6.2. В силу формули (5.50), (5.6), (6.9) і вводячи позначення γn = GQn ; εn = Qn K ; βn = KQn ; σn = Qn C ; en = GRn ;

(6.10)

справедливі оцінки bn ≤ γn + en βn , hn ≤ σn + εn cn

(6.11)

Теорема 6.2. Нехай одиниця - регулярне значення оператора К і 𝑃𝑛 → І сильне в H , а величини (6.10) такі, що 𝛾𝑛 → 0, 𝛽𝑛 → 0, 𝜀𝑛 → 0, 𝜎𝑛 → 0 при п→ ∞

(6.12)

Якщо виконується нерівність (6.2) і λγb < 1, 𝑏 = | C |

(6.13)

то 𝑞𝑛 → 0 при n → ∞ , тобто існує такий номер п, при якому проекційно-ітеративний метод (6.4), (6.5) розв'язку рівняння (6.1) збігається.

55

Доведення основується на тому, що, по-перше, в випадку, коли одиниця - регулярне значення оператора К і виконуються умови (6.12), при достатньо великих п оператори R п існують, причому с п =||R п С||≤с, en =||G𝑅𝑛 ||≤ e, п ≥ п 0 ,

(6.14)

і при п→ ∞, qn → 0; по-друге, таким же способом, як при доведенні нерівності (5.43), з врахуванням співвідношень (6.3), (6.10) встановлюється справедливість співвідношень 𝑎𝑛 = 𝐺𝑅𝑛 𝐶 ≤ 𝛾𝑏 1 − 𝜀𝑛 𝛿

−1

→ 𝛾𝑏 при п → ∞;

(6.15)

і, по-третє, як це безпосередньо випливає з співвідношень (6.11)-(6.15), 𝑏𝑛 → 0, 𝑕𝑛 → 0 при п→ ∞ і, звідки слідує, 𝑑𝑛 → 0 при n→∞. Зауваження 6.3. Теореми 6.1 і 6.2 справедливі і тоді, коли умова (6.2) виконується не у всьому просторі, а тільки в деякій області. Але в такому випадку, згідно леми 5.1 і теоремі 5.1, слідує накласти додаткові обмеження. Вкажемо ці умови в припущенні, що оператори, які входять в рівняння (6.1), відображають простір H в себе. Виходячи з деякого початкового наближення х0ϵH, побудуємо перше наближення по алгоритму (6.4) і (6.5), тобто елементи 𝑧1 і 𝑥1 . Припустимо, що нерівність (6.2) справедлива на множині елементів g = Gx, де х ϵ 0(х,η) ={х|||х – z1 || ≤η}, і виконуються нерівності 𝜔𝑛 𝜌 + 𝜆𝑐𝑛 𝑒𝜂 ≤ 𝑟; 𝑟 2 + 𝜌2 = 𝜂2 ; 𝑒 = 𝐺 ; 𝑞𝑛 < 1; | 𝑥1 − 𝑧1 | ≤ 𝜌(1 − 𝑞𝑛 ), де величини задаються формулами (4.7), (4.8) і (4.9). Тоді на множині D={x|xϵH, x=u+v,||u-u0 | ≤ r, v − v0 ≤ ρ , де u=Pn x, u0 = Pn z1 , v0 = z1 − u0 , рівняння (4.1) має єдиний розв'язок х* і його можна знайти проекційно-ітеративним методом.

56

Якщо дотримуватись умови (4.22)-(4.24), то легко встановити справедливість оцінки||𝑥 ∗ − 𝑧1 || ≤ | 𝑥1 − 𝑧1 |, тому в такому випадку доцільно підставити 𝜂 = 𝑥1 − 𝑧1 .

§ 7. Модифікований проекційно -ітеративний метод 7.1. Опис методу Викладемо суть модифікованого проекційно-ітеративного методу застосованого до рівняння

57

х = f + Кх + λPх,

(7.1)

в якому λ - малий додатній параметр, f ϵ X , К : Х → Х - лінійний обмежений і F: X → X - нелінійний ліпшиць-неперервний оператори. Припустимо, як і раніше, що банаховий простір X представимо в вигляді прямої суми підпросторів U і V, тобто справедливе представлення х = и + у , и ϵ U , v ϵ V , ∀𝑥 ∈ 𝑋,

(7.2)

і через Р і Q оператори проектування підпростору X на підпростори U і V. Очевидно, в формулі (5.2) и = Рх, v = Q Х і Р + Q = І , де I - одиничний оператор в X. Згідно модифікованому проекційно-ітеративному методу наближення до шуканому розв'язку рівняння (5.1) знаходимо по формулах x k = f + К z к +λFх к - 1 ; (7.3 ) 𝑧𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑤𝑘 , 𝑤𝑘 ∈ 𝑈 (7.4 ) P(𝑥𝑘 − 𝑧𝑘 )=𝜣, 𝑥0 ∈ 𝑋, 𝑘 ∈ 𝑁

(7.5)

На основі цих формул, виконавши нескладні перетворення, для знаходження невідомої поправки wк отримуємо лінійне рівняння w к =Рεк +РКw к ,

(7.6)

в якому εk = f − xk−1 + Kxk−1 + λFxk−1

(7.7)

58

Алгоритм (5.3)-(5.5) вироджується в проекційно-ітеративний метод для лінійних рівнянь у випадку, коли λ = 0, у відомий ітеративний процес, якщо wк = 0 при кожному k.

7.2. Достані умови збіжності Будемо рахувати, що рівняння w - РКw = Рf

(7.8)

однозначно розв'язне при кожному f ϵ X. В цьому випадку існує оператор R : X → U , який задовольняє рівняння R = Р + РКR

(7.9)

такий, що розв'язання рівняння (5.8) виражається формулою w = Rf. Введемо у розгляд оператори N=I+KR, M=NKQ, S=NF, L=QM, D=QS

(7.10)

і припустимо, що оператор S задовольняє умову Ліпшиця ||Sx-Sy||≤𝛼 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (7.11 ) Очевидно, такою ж властивістю володіє оператор D, тобто ||Dx-Dy||≤𝛽 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 (7.12 ) Останні нерівності будуть виконуватися, якщо вихідний оператор F задовольняє умову Ліпшиця, так як N і Q - лінійні обмежені оператори. Позначимо через 𝜌( A ) спектральний радіус матриці

А= в якій

r t

p q

(7.13)

59

r=λ𝛂, 𝐭 = 𝛌𝛃, 𝐩 = 𝐌 , 𝐪 = | 𝐋 |

(7.14)

де 𝛼, 𝛽- константи які фігурують в нерівностях (5.11), (5.12). Лема 7.1. Якщо 𝜌(А)< 1, то система рівнянь у = Мz + λS(y+g)+λSg

(7.15)

z=Lz+λD(y+g)-λDg

(7.16)

має єдиний розв'язок у = z = Ɵ при всіх g ϵ X . Дійсно, припустимо, що крім очевидного розв'язку у = z = Ɵ, так як М і L - лінійні оператори, дана система рівнянь має ще розв'язок 𝑦 ∗ ≠ Ɵ 𝑖 𝑧 ∗ ≠ Ɵ. Тоді з допомогою формул (7.15), (7.16) з врахуванням позначень (7.14) і умов (7.11), (7.12) легко встановити нерівності 𝑦∗ ≤ 𝑝 𝑧∗ + 𝑟 𝑦∗ ,

𝑧∗ ≤ 𝑞 𝑧∗ + 𝑡 𝑦∗

(7.17)

Використовуючи матрицю (7.13) і позначення a=( 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ )′ , систему нерівностей (7.17) можна записати у вигляді а ≤ А а . Звідси в силу властивостей матриці А і умови 𝜌(А) < 1 випливає a = 0 , тобто у* = z  = Ɵ, що суперечить припущенню. Теорема 7.1. Якщо виконуються нерівності (7.11), (7.12), рівняння (7.9) однозначно розв'язне і 𝜌(А) < 1

(7.18)

то рівняння (7.1) має єдиний розв'язок х  ϵ X і послідовність {х к }, побудована по методу (7.3)-(7.5), збігається за нормою в X до цього розв'язку. Доведення.

За припущенням рівняння (7.9) однозначно

розв'язне, отже, рівняння (7.6) має єдиний розв'язок 𝑤𝑘 = 𝑅𝜀𝑘 , яке з врахуванням формул (7.7), (7.9) і (7.10) можна представити у вигляді w к =Rf-Rxk−1 + RKxk−1 + λRFxk−1 = Rf − Rxk−1 + RKPxk−1 + RKQxk−1 + +λRFxk−1 =

60

=Rf-P𝑥𝑘−1 + 𝑅𝐾𝑄𝑥𝑘−1 + 𝜆𝑅𝐹𝑥𝑘−1

(7.19)

Підставивши (7.19) в (7.4), а потім отриманий результат - в (7.3), врахувавши

перші

три

позначення

(1.5.11)

і

виконавши

деякі

перетворення, одержимо х к =Nf+Mxk−1 + λSxk−1 .

(7.20 ) Для простоти викладення зробимо підстановку 𝒗𝒌 = 𝑸𝒙𝒌 , g=Nf, h=Qg

(7.21)

скористаємося очевидною властивістю МQ = М, в силу якої Мх к - 1 = Мvk−1 , застосуємо до рівності (7.20) оператор Q і врахуємо позначення (7.10), (7.21). В результаті будемо мати x k = g + Мv к - 1 +λSxk−1 ;

(7.22)

vk = h + Lvk−1 + λDxk−1

(7.23)

При підстановці умови (5.18) відомим чином встановлюється фундаментальність послідовності {х к }. Дійсно, нехай т - будь-яке натуральне число, тоді на основі формул (7.22) і (7.23) маємо 𝑥𝑘+𝑚 − 𝑥𝑘 = 𝑀 𝑣𝑘+𝑚 −1 − 𝑣𝑘−1 + 𝜆𝑆𝑥𝑘+𝑚 −1 − 𝜆𝑆𝑥𝑘−1 ; 𝑣𝑘+𝑚 − 𝑣𝑘 = 𝐿 𝑣𝑘+𝑚 −1 − 𝑣𝑘−1 + 𝜆𝐷𝑥𝑘+𝑚 −1 − 𝜆𝐷𝑥𝑘−1 , звідки з врахуванням виразів (7.11), (7.12) і (7.14) слідує 𝑥𝑘+𝑚 − 𝑥𝑘 ≤ 𝑝 𝑣𝑘+𝑚 −1 − 𝑣𝑘−1 + 𝑟 𝑥𝑘+𝑚 −1 − 𝑥𝑘−1 ;

(7.24)

𝑣𝑘+𝑚 − 𝑣𝑘 ≤ 𝑞 𝑣𝑘+𝑚 −1 − 𝑣𝑘−1 + 𝑡 𝑥𝑘+𝑚 −1 − 𝑥𝑘−1 .

(7.25)

Ці нерівності за допомогою матриці (5.13) можна записати у вигляді

61

𝑠𝑘+1 ≤ 𝐴𝑠𝑘 , 𝑠𝑘+1 = ( 𝑥𝑘+𝑚 − 𝑥𝑘 , 𝑣𝑘+𝑚 − 𝑣𝑘 )′ (7.26 ) В силу властивостей матриці А і умови (7.18) з нерівності (7.26) очевидним чином випливає справедливість співвідношення 𝑠𝑘+1 →0, звідки слідує,

𝑥𝑘+𝑚 − 𝑥𝑘 → 0 при k→0 і будь-якому т , тобто

послідовність {х к } -фундаментальна, а тому lim𝑘→∞ 𝑥𝑘 = 𝑥 ∗ ∈ 𝑋.

(7.27)

Елемент х* - розв'язок рівняння (7.1). Щоб в цьому впевнитись, досить перейти до границі в формулі (7.3) з врахуванням рівності (7.28) і співвідношення wк = Р(х к – хk-1), яке безпосередньо випливає з виразу (7.4) і (7.5), в результаті чого маємо (7.28)

х*=f+Кх*+λFх*. Перетворимо тотожність (7.28) до вигляду х* = g + M v ∗ + λ S х* , v* = Q х* .

(7.29)

Для цього використаємо представлення х* = Рх*+£>х* - и ^ \ і запишемо (7.28) у вигляді х* = f + Ки + К Q v ∗ + λ F х*.

(7.30)

Застосувавши до рівності (7.30) оператор Р, отримаємо и - РКи = Рf+ Р К Q v ∗ + λPF х*

,

звідки слідує u = Rf + R К Q v ∗ + λRF х*.

(7.31)

Підставивши (5.31) в (5.30), знаходимо х* = f + KRf + KQv ∗ + KRKQv ∗ + λKRFx* + λF х*.

(7.32)

Тепер видно, що співвідношенню (7.32) можна при допомозі формул (7.10) і (7.21) надати вигляду (7.29).

62

Нехай, крім розв'язку х*, рівняння (7.1) має ще другий розв'язок х , причому х* ≠ 𝑥 . Виконавши перетворення, аналогічні попереднім, знайдемо x = g + Mv + λS𝑥 , v = Q𝑥 .

(7.33)

На основі формул (7.29), (7.33) і (7.10) очевидним чином отримаємо x ∗ - 𝑥 = M(v -v)+λSx ∗ − λS𝑥; (7.34 ) v* - v = L ( v * - v) + λDx ∗ -λD𝑥 .

(7.35 ) Співвідношення (7.34) і (7.35) можна записати у вигляді (7.15) і (7.16), якщо підставити у = х* - 𝑥 , z = v* -v і g = 𝑥 . Згідно леми 7.1 остання система має лише тривіальний розв'язок, а тому х* -𝑥 = Ɵ , що заперечує припущенню. Таким чином, у випадку, коли 𝜌 𝐴 < 1, рівняння (7.1) має єдиний розв'язок і х к →х* при k→∞ . Зауваження 7.1. Умові (7.18) можна придати більш конкретного вигляду, якщо врахувати, що 𝜌 𝐴 = 𝑚𝑎𝑥 𝜇1 , 𝜇2 ,

(7.36)

де 𝜇1 , 𝜇2 - власні значення матриці (7.13). Очевидно, вони задовольняють рівняння 𝜇2 − 𝑟 + 𝑞 𝜇 + 𝑟𝑞 − 𝑟𝑡 = 0

(7.37)

На основі аналіз співвідношень (7.36) і (7.37) приходимо до висновку, що 𝜌 𝐴 = 𝜌 =0,5(q+r+ (q − r)2 + 4pt),

(7.38)

а тому умова 𝜌 < 1 рівносильна умові ∆= 1 − q 1 − r − pt > 0

(7.39)

63

Зауваження 7.2. Якщо λ = 0, то r = t = 0, то, як це слідує з (7.38),𝜌 = q. В цьому випадку достатня умова 𝜌 <1 збіжності методу (7.3)-(7.5) виражається у відому умову q < 1 збіжності проекційно-ітеративного для лінійних рівнянь. Зауваження 7.3. Як відомо, достатня умова збіжності методу (7.3)-(7.5), має вигляд η=p+r<1

(7.40)

𝜎 2 𝑟 2 + 2𝑝𝑟 + 𝑝𝑞 < 1

(7.41)

а також при дотриманні умови розглядуваний метод збіжний. З допомогою формул (7.38), (7.40) і (7.41), виконавши деякі перетворення з врахуванням нерівностей t ≤ r , q ≤ р , можна переконатися в тому, що ρ ≤ σ ≤ η. Звідки слідує, достатня умова (7.39) менш скромна, ніж відомі.

7.3. Оцінки похибок Якщо в нерівностях (7.24) і (5.25) перейти до границі при m→∞, і врахувати співвідношення (7.27), то у розв'язку отримаємо x ∗ − xk ≤ 𝑝 𝑣 ∗ − 𝑣𝑘−1 + 𝑟 𝑥 ∗ − 𝑥𝑘−1 ; v ∗ − vk ≤ 𝑤 𝑣 ∗ − 𝑣𝑘−1 + 𝑡 𝑥 ∗ − 𝑥𝑘−1 ;

(7.42) (7.43)

де, як і раніше, v* = Qx*, vk = Qk Введемо вектори 𝑎𝑘∗ =

x ∗ −x k v ∗ −v k

, 𝑐𝑘∗ =

𝑥 𝑘 −𝑥 𝑘−1 𝑣𝑘 −𝑣𝑘−1

і запишемо нерівності (7.42), (7.43), використовуючи матриці (7.13) і нерівність 𝑎𝑘 ≤ 𝑎𝑘 + 𝑐𝑘. , яка випливає з (7.44), у вигляді

64

𝑎𝑘 ≤ 𝐴𝑎𝑘−1 , 𝑎𝑘 ≤ 𝐴𝑎𝑘 + 𝐴𝑐𝑘.

(7.45)

Тут рахується, що вектори a=( 𝑎1 , 𝑎2 ) i b=( 𝑏1 , 𝑏2 ) задовольняють нерівність

а ≤b,

якщо𝑎𝑖 ≤ 𝑏𝑖 , і = 1,2. З першого співвідношення (7.45)

легко слідує оцінка ∗

(7.46)

𝑘 ∗

𝑎𝑘 ≤ 𝐴 𝑎𝑘

яка характеризує швидкість збіжності методу (7.3)-(7.5). По умові 𝜌 𝐴 <1, а тому з другої нерівності (7.45) слідує апостеріорна оцінка похибки 𝑎𝑘∗ ≤ ( 𝐽 − 𝐴)−1 𝐴𝑐𝑘 ,

(7.47)

де J - одинична матриця розміру два. Більш того, використовуючи нерівність (7.26) при т = 1, маємо с к ≤ А с к - 1 ≤ А к - 1 c1

(7.48)

звідки слідує, підставивши (7.48) в (7.47), отримуємо апріорну оцінку похибки 𝑎𝑘∗ ≤ (𝐽 − 𝐴)−1 𝐴𝑘 𝑐1

(7.49)

Зауваження 7.4. У випадку коли в рівнянні λ = 0 , оцінки (7.46), (7.47) і (7.49) співпадають з відомими оцінками для лінійного рівняння. Зауваження 7.5.

Виконавши важкі перетворення, легко помітити

справедливість співвідношень 𝐽−𝐴

−1

=

1 1−𝑞 , 𝑡 ∆

𝑝 , 1−𝑟

де ∆ виражається формулою (7.39), яку можна використовувати в оцінках (7.47) і (7.49) 7.4. Реалізація методу Припустимо, що підпростір U = Х п породжується системою лінійно незалежних елементів 𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 а проекційний оператор Р = Рn описується формулою

65 𝑛

𝑃𝑛 𝑦 =

〈𝛹𝑖 , 𝑦〉𝜑 𝑖=1

в якому 〈𝛹 ,y 〉 - значення функціонала 𝛹 ϵX* на елементі у ϵ Х і { φi }⊂ X* - система лінійно незалежних функціоналів, де X* - простір, спряжений з X. В такому випадку, очевидно, поправки мають вигляд 𝒏 𝒌 𝒋=𝟏 𝒂𝒋 𝝋𝒋

𝒘𝒌 =

(7.51)

а рівняння (1.5.52) рівносильне системі лінійних алгебраїчних рівнянь n k j=1 βij aj

= bki , i = 1, k

(7.52)

де βij = 〈Ψi , φj − Ψj 〉, Ψi = Kφj , bki = 〈Ψi , εk 〉 Використовуючи

формули

(7.51)

і

(7.52),

(7.53)

обчислення

доцільно

організувати наступним чином. Задаємо початкове наближення системи

{𝜑𝑖 } i {Ψi }, формуємо

х0ϵ X і

матрицю ᴧ , елементи βij якої знаходимо за

формулами (7.53), і будуємо обернену матрицю ᴧ−1 . Нехай наближення хк-1 побудовано,

тоді виконуємо ітерацію. y k = f + Kx k - 1 +λFx k - 1 , (7.54 )

знаходимо нев'язку 𝜀𝑘 = 𝑦𝑘 − 𝑥𝑘−1

(7.55)

і обчислюємо вектор bк =(𝑏𝑘1 , 𝑏𝑘2 , … , 𝑏𝑘𝑛 ), координати якого визначаємо за допомогою останньої формули (7.53). Після цього знаходимо вектор −1

𝑘

𝑘

𝑘

ак =ᴧ 𝑏𝑘 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )

(7.56 )

66

будуємо елемент 𝛿𝑘 (𝑥)=

𝑛 𝑖=1

𝑘

𝑎𝑖 𝜉𝑗

(7.57 )

і k -те наближення визначаємо формулою 𝑥𝑘 = 𝑦𝑘 + 𝛿𝑘 (7.58 ) Неважкими перетвореннями можна встановити рівносильність обчислювальної схеми (7.54)-(7.58) алгоритму (7.3)-(7.5).

7.5. Умови застосування методу Нехай в розглядуваному методі проекційний оператор має вигляд (2.51). В цьому випадку оператори, які визначаються формулами (7.9), (7.10) і величини (7.14) залежать від розмірності підпростору Х п , тому їм приписуємо індекс п . Тому формулу (7.38) слід записати у вигляді 𝜌𝑛 = 0,5(𝑞𝑛 + 𝑟𝑛 +

(7.59)

(𝑞𝑛 − 𝑟𝑛 )2 + 4𝑝𝑛 𝑡𝑛

Виникає питання: чи існує таке значення п, при яких

𝜌𝑛 <1,

тобто метод

(7.3)-(7.5) збігається? Запитання розв'язується, якщо 𝛼 досить мале. Теорема 7.2. Нехай одиниця - регулярне значення оператора К і виконується умова I−K

−1

(Fx − Fy) ≤ a∗ x − y , ∀x, y ∈ X.

(7.60)

Нехай послідовність проекційних операторів {Р п } сильно збігається до одиничного в X оператору І і виконуються співвідношення Q n K → 0, KQ n → 0 при k → 0

(7.61)

67

limn→∞ ρn = r ∗ , r ∗ = λα∗ (7.62 ) Якщо r ∗ < 1, то існує такий номер п0, що ρn < 1 при всіх п ≥ п 0 , тобто при таких п метод (7.3)-(7.5) збігається. Д о в е д е н н я . При виконанні умови теореми, маємо 𝑝𝑛 = 𝑀𝑛 → 0, 𝑞𝑛 = 𝐿𝑛 → 0 (7.63 ) Nn = I + KR n ⇒ I − K

−1

при n → ∞ (7.64 )

Використаємо нерівності (7.11) і (7.12), які з врахуванням позначень (8.10) запишемо у вигляді Nn (Fx − Fy) ≤ αn x − y Q n Nn (Fx − Fy) ≤ βn x − y , ∀x, y ∈ X

(7.65) (7.66)

Переходячи в нерівностях (7.65) і (7.66) до границі при n → ∞ і враховуючи вираз (7.64), (7.60) і те, що по умові послідовність операторів {Q n } обмежена в сукупності, приходимо до висновку, що а п →a∗ , βn → β∗ при n → ∞

(7.67)

У формулі (7.59) 𝑟𝑛 = 𝜆𝛼𝑛 і t n = λβn , тому переходячи в ній до границі при n → ∞ з врахуванням співвідношень (7.63) і (7.67), переконуємося в справедливості формули (7.62). Якщо ж виявиться, що r* = λα∗ < 1, то, очевидно, існує такий номер п 0 , що

𝜌𝑛 <

1 при п≥п 0 .Таким чином, якщо

λα∗ <1, то при досить великих п метод (7.3)-(7.5) збігається. Зауваження 7.6. У випадку коли X = Н - гільбертовий простір, Рп і 𝑄𝑛 -

68

оператори ортогонального проектування і К - неперервний оператор, співвідношення (7.61) виконуються очевидним чином.

РОЗДІЛ ІІІ

69

Умови збіжності проекційно-ітеративного методу розв’язування нелінійних інтегральних та інтегро-функціональних рівнянь. §8. Розв'язування нелінійних інтегро-різницевих рівнянь з нелінійним оператором Урисона методом послідовних наближень 8.1. Метод послідовних наближень для інтегро-функціональних рівнянь із нелінійним оператором Урисона та із сталим відхиленням Нехай L 2 (а , b ) - простір дійсних і вимірних на проміжку ( а , b ) функцій, сумовних з квадратом. Розглянемо в цьому просторі інтегро-функціональне рівняння з малою нелінійністю.

y (х )- р (х )у (х - ∆) = f(x*)+

b a

K x, t y t dt + ε

b M a

x, t, y t dt,

x ∈ a, b ,

(8.1)

де ∆ - стале запізнення, ε- малий параметр, f(х) - відома, а у (х ) - шукана функція з простору L2 (а , b ). Припустимо, що 1. p(x) ≤ p < ∞

(8.2)

2. Ядро К ( х , t ) в квадраті ( а , b )× (а , b ) задовольняє умові B A

B A

K 2 X, T

DXDT

≤ K2 < ∞

(8.3)

3. М (х , t ,у ) визначена при x,tϵ[a,b], - ∞ < t < ∞ . Потрібно, щоб М (х ,t, у ) задовольняла умові Каратеодорі: а) М - неперервна по у майже при всіх х , t б) вимірна по х , t при всіх у . Застосуємо до рівняння (6.1) 1-й варіант методу послідовних наближень. Для зручності викладу перепишемо це рівняння в операторному вигляді

y (х )- (Р у ) (х ) = f (х )+ (К у ) (х ) + ε(М у )( х ),

(8.4)

70

де

( Р у ) (х )= р (х )(х -∆) , b

K x, t y t dt = Ky (x) a b

M x, t, y t dt = my (x) a

Слідуючи загальноприйнятій схемі метод послідовних наближень до рівняння (10.1) можна застосувати по формулі

y к = f + P y k - 1 + K yk−1 + εMyk−1 , x ∈ a, b , yk = 0, x ∉ a, b , де Р ( х ) , К (х , t) , М (х , t , у ( t )) такі функції, що оператор Lу = Р у к - 1 + Ку к - 1 + ε М у к - 1 є оператором стиску, у 0 (х ) - довільна функція з L2 (а , b ) , зокрема у 0 (х ) = 0 або

у 0 (х ) = f (х ). Слід зауважити, що якщо має місце нерівність p+ К + l εG < 1, то метод є збіжним. Оскільки вище згаданий оператор L лише у виключних випадках є оператором стиску, то наближений розв'язок рівняння (8.1) можна будувати по іншому варіанту методу послідовних наближень. Суть його в тому, що припускають, що наближення у к - 1 (х) побудовано. Виконуючи ітерацію zk x = f x +

b a

K x, t y t dt + ε

b a

M x, t, y t dt ()

і розв'язуючи різницеве рівняння

у к (х ) -р (х )у к (х -∆) = z к , х ϵ [ а , b ] , у к (х ) = 0 , х ∉ [ а , b ] знаходимо наближення у к (х ). Початкове наближення у 0 (х ) можна задати безпосередньо або визначити з рівняння (*), задавши в ньому функцію z 0 (х ) з простору L 2 ( а , b ).

71

Такий варіант методу може застосовуватись і в тих випадках, коли метод І не є збіжним. Тому що умова того, що оператор W= К +ε не є оператором стиску є більш загальною ніж аналогічна умова для оператора L .

8.2. Застосування ітераційного методу до рівнянь із лінійним відхиленням В багатьох випадках зустрічаються інтегро-функціональні рівняння, в яких відхилення ∆ не є сталим. Без великих труднощів наведену вище схему методу послідовних наближень можна узагальнити для випадку, коли відхилення ∆ є лінійною величиною. Інтегро-функціональні рівняння розв'язують методом кроків. Тому, щоб застосувати до рівняння

у ( х )-р ( х ) у ( х - ∆) = f( x )+

b K(x, t)y(t)dt a

+ε

b a

M x, t, y t dt,

(8.5)

x ϵ [ a ,b ] , у к (х) = 0 , х ∉ [ а , b ] де ∆= αx + β метод послідовних наближень з'ясуємо умови, які повинні накладатися на відхилення ∆, щоб метод був збіжним.

1. Числа а і b повинні бути однакових знаків.

2. Функція х - ∆ = х - ( αx + β) - строго зростаюча, тобто

( х - ( αx + β) ) < х , ( 1 - 𝛼) х - 𝛽< х , 1 - 𝛼 > 0, 𝛼<1 Позначимо для зручності 1 - 𝛼 = k, - β = с . Тоді kх + с < х . На кінцях поміжку[ a ,b ] повинні виконуватись умови:

х = а : kа + с < а ,

( 1 - 𝛼)𝑎 − 𝛽< a

( 1 -k )a > c

( 1 - 𝛼 − 1)𝑎 < 𝛽

( 1 -k )a > c ,

- 𝛼𝑎- 𝛽 < 0

a>

c 1−k

x=b:

𝛼𝑎 + 𝛽 = 0

72

kb+c<b

( 1 - 𝛼)𝑏 − 𝛽< b

( k -1 )b < c

( 1 - 𝛼 − 1)𝑏 < 𝛽

( 1 -k )b > c

- 𝛼𝑏 − 𝛽 < 0,

b>

c 1−k

.

𝛼𝑏 + 𝛽= 0

Отже, при виконанні умов α<1 c α> b>

1−k c

α<1

𝛼𝑎 + 𝛽 > 0 𝛼𝑏 + 𝛽 > 0

↔

1−k

можна застосувати метод послідовних наближень. Його ідея полягає в тому, що наближення до рівняння (6.5) шукаємо за формулою

y к = f + Р у к - 1 + Кy к - 1 +εMyk−1 , x ϵ [ a ,b ] , y k = 0 , x ∉ [ a ,b ] , де Р (х ) K (x , t ) , M (x , t, y (t )) такі функції, що оператор М у = Р у к - 1 + Ку к - 1 + εMyk−1 є оператором стиску, у 0 (х ) - довільна функція з простору L 2 (а , b ) , зокрема

у 0 (х )= 0 або у 0 (х )= f (x ). Побудову наближень за другим варіантом методу доцільно організувати так. Нехай наближення у к - 1 побудовано. Виконуючи ітерацію zk(x)= f(x)+

b K(x, t) a

ук-1 (t)dt +ε

b a

M x, t, yk−1 t dt, k = 1,2,3

(8.6)

і розв'язуючи функціональне рівняння

у к (х ) - р (х )у к (х - ∆) = z k , x ϵ [ a ,b ] , у к = 0 , х ∉ [ a ,b ] , знаходимо наближення у к (х ) .

Початкове наближення у 0 (х )

можна задати

безпосередньо, або виразити з рівняння (8.6) задавши в ньому функцію Z0(X) з простору L 2 ( a , b ).

8.3. Метод послідовних наближень для інтегро-функціональних рівнянь з довільним відхиленням Доцільно зауважити, що ці варіанти методу послідовних наближень будуть збігатися при довільному відхиленні∆. Суттєвою буде лише умова, що оператор H , про який йшла мова вище, був оператором стиску.

73

Наступним узагальненням випадку, коли відхилення ∆- лінійне є та ситуація, коли ∆(х) довільна диференційована функція, яка задовольняє умову ∆'(х)≥l> 0,

(8.7)

х - ∆ ( х ) ≥ δ> 0 .

(8.8)

Застосуємо до рівняння (8.5) метод послідовних наближень. Його ідея полягає в тому, що виходячи з деякого початкового наближення, наступні наближення визначаємо за формулою у к (х)= f(x)+ Р ( х ) yk−1 (х - ∆) +

b K a

x, t yk−1 t dt + ε

b M a

x, t, yk−1 t dt

(8.9)

x ϵ [ a ,b ] , у к = 0 , x ∉ [ a ,b ] , де у 0 (х ) - довільна функція з L 2 (a ,b ) , зокрема у 0 (х )> 0 або у 0 (х ) = f (x ). Запропонований варіант методу послідовних наближень застосовувати до рівняння (8.5) не завжди доцільно. Побудову наближень можна організувати ще так. Припускають, що наближення yk−1 побудоване. Виконуючи ітерацію

z k (x ) = f (x )+

b K(x, t) a

ук (t)dt +ε

b a

M x, t, yk t dt, k = 1,2,…

(8.10)

і розв'язуючи рівняння yk x − p x yk x − ∆ = zk x , xϵ a, b , yk = 0, x ∉ [a, b] знаходимо наближення yk x . Початкове наближення у 0 (х )

можна задати

безпосередньо або визначити з першого рівняння, задавши в ньому функцію z0(x) з простору L 2 ( a , b ). Можна сформулювати достатню умову збіжності. Нехай виконуються умови: 1)

М (х , t , 0 - інтегрована з квадратом по обох змінних b b

M2 x, t, 0 dxdt < ∞ a

a

2) Задовольняє умовам Ліпшиця: M x, t, u − M(x, t, v) ≤ L∀u,v (x, t) u − v

74

3) Нехай b b

B2 =

K2 x, t dxdt. a

a

4) q= ε B < 1 тоді інтегральне рівняння (8.5) має один корінь і метод збігається до нього.

§9. Розв'язування інтегро-функціональних рівнянь з малою нелінійністю методом осереднення функціональних поправок та проекційно-ітеративним методом 9.1. Описання методу І. Нехай L2 ( а , b ) - простір дійсних і вимірних на проміжку ( а , b ) функцій, сумовних з квадратом. Розглянемо в цьому просторі інтегро-різницеве рівняння з малою нелінійністю y(x)-p(x)y(x-∆(x))=f(x)+

b K a

x, t y t dt + ε

b G a

x, t Ф t, y t dt,

( 9 .1 )

х ϵ [ а , b ] , у (х ) = 0 , х ∉ [ а , b ] де ∆(х) - запізнення, ε - малий параметр, f( х ) - відома, а у ( х ) - шукана функція з L2 (а , b ) . Припустимо, що 1)

p(x) ≤ p < ∞

(9.2)

∆(х) задовольняє умови: х - ∆ ( х ) ≥ σ> 0 , ∆'(х) ≥ ∆ > 0 , ∆(х) - диференційована. ) Ядра К ( х , t ), G (х , t ) в квадраті ( а , b )× (a,b)задовольняють умовам:

(9.3)

75 B A

B A

K 2 X, T

DXDT ≤ B

K2 < ∞

B

G 2 X, T A

(9.4)

DXDT ≤

G2 < ∞,

A

3) Функція Ф(у,t) в області D = {a≤t≤b, -∞ < y < ∞} задовольняє умовам

Ф t, y

≤α t +β y (9.5)

Ф t, y − Ф(t, y ≤ l y − y

(9.6)

При виконані умов (9.2)-(9.5), як відомо, інтегральні оператори

(Kv)(x)=

𝑏 𝑎

(Фv)(x)=𝜀

𝐾 𝑥, 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑡, 𝑏 𝑎

𝐺 𝑥, 𝑡 Ф 𝑡, 𝑣 𝑡 𝑑𝑡,

відображають простір L2 (а , b ) в себе і є взагалі неперервними, а лінійний оператор S, який визначається формулою (Sv)(x)= z x +

n i=1 z

v x , xϵ(a, c) x − i∆ , x ∈ cs , cs+1 , v x − p x v x − ∆ xϵ(a, b)

(9.7)

оборотній, причому обернений до нього оператор S−1 обмежений і має вигляд (S−1 v)(x)=

z x +

n i=1 z

z x , xϵ(a, c) i−1 x − i∆ k=0 p x − k∆ , x ∈ cs , cs+1 ,

де cs =a+s∆, S=1, m − 1. Надалі будемо вважати, що b=cm , так як у випадку, коли с т < b < с т функції р ( х ) , f (х ) в області можна доозначити нулем. В ролі значень ( S−1 z)(cs ) можна взяти довільні числа або середнє арифметичне односторонніх границь в точці

х = с s , s = 1, m − 1, якщо вони існують.

II. Застосуємо до рівняння (12.1) один варіант проекційно-ітеративного методу, суть якого полягає в тому, що наближення у к (х ) визначаємо з рівняння yk x − p x yk x − ∆ x

=f x +

b a

K x, t zk t dt + ε (12.9)

xϵ[a,b], yk x = 0, x ∉ [a, b]

b a

G x, t Ф t, yk−1 t

dt,

76

в якому n k j=1 aj ηj

zk x = yk−1 x + wk x , wk x =

x , xϵ[a, b]

(9.10)

а невідомі параметри akj = akj (n) знаходимо з умови b a

rk x φi x dx = 0, i = 1, n

(9.11)

де rk = f x +

b K a

x, t zk t dt − zk x + p x zk x − ∆ x

+

b G a

x, t Ф t, yk−1 t dt,

(9.12)

В ролі початкового наближення будемо брати розв'язки різницевого рівняння

у 0 (х ) -р (х )у 0 (х -∆ (х ) )= S 0 (х ) , х ϵ [ а , b ] , у 0 ( х ) = 0 , х∉[a,b] (9.13) в якому S 0 (х) - довільна фіксована функція з L2 (a, b) в частковому випадку, S 0 ( х ) = 0 або S 0 (х)=f(х). Система функцій {ηi (x)}визначається з рівняння ηi x − p x ηi x − ∆ x

= φi x , x ∈ a, b , ηi x = 0, x ∉ a, b , i = 1, n (9.14)

де система функцій{φi x }ϵL2 (a, b)

задана і лінійно незалежна.

В ролі значень функції ηi x , i = 1, n в точках cs = a + s∆ будемо брати середнє арифметичне односторонніх границь, якщо вони існують, а в точках х = a ,

x = b - односторонні границі справа і зліва відповідно. Вводячи позначення 𝑏

𝜀=𝑓 𝑥 +

K x, t yk−1 t dt − yk−1 x + p x yk−1 x − ∆ x 𝑎 b

+ε

G x, t Ф t, yk−1 t a

dt,

77

і підставляючи функцію zк (х ) , яка визначається формулами (9.10) в вираз (9.12), а одержаний результат - в умову (9.11), для знаходження параметрів akj одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь n

akj βij = bki j=1

В якій βji = βji = bki =

b a b a b a

φ j x − Kj x

φi x dx,

(9.16)

K x, t ηj t dt,

(9.17)

εk (x) φi x dx.

(9.18)

Систему рівнянь (9.15) доцільно записати у векторному вигляді ᴧ а к = b к , де ak = ak1 , ak2 , … , akn , bk = bk1 , bk2 , … , bkn . β11 21 ᴧ= β… βn1

β12 β22 … βn2

… … … …

β1n β2n … βnn

Відмітимо, що в ролі наближення до шуканого розв'язку можна взяти як функцію у к ( х ), так і функцію zк ( х ) . Звернемо увагу на той факт, що на основі аналізу формул (9.9)-(9.12) при wk = 0 , k = 1,2,3,... наближення у к (х ) знаходиться за методом послідовних наближень.

9.2. Достатні умови збіжності 1. Алгоритм (9.9)-(9.14) можна звести до проекційно-ітеративного методу розв'язання інтегрального рівняння з малою нелінійністю

и (х ) = f (х )+

b a

в якому заміною

T x, t u t + ε

b G a

x, t F t, u t dt, x ∈ [a, b]

(12.19)

78

u(x)=f(y)(x)

y x , x ∈ a, c , c = a + ∆

(9.20)

y x − p x − ∆ x , x ∈ (a, b)

зводиться рівняння (9.1). Зразу ж відмітимо, що F(t,u(t))=Ф(t,S−1 u)(t)) де оператор S−1 має вигляд (12.8), а ядро інтегрального оператора

( Tv ) (x )= (K S−1 )(x)=

b a

(9.21)

T x, t v t dt

який є повністю неперервний і відображає L 2 (a , b ) в себе, має вигляд T(x,t)=

K x, t +

m−s i=1 K(x, t

− i∆ x )

i k=1 p

t + k∆ x , t ∈ (cs−1 , cs )

K x, t , t ∈ cm−1 , b , s = 1, m − 1, x ∈ (a, b)

(9.22)

Нагадаємо, що суть модифікованого проекційно-ітеративного методу стосовно рівняння (12.1) полягає в тому, що виходячи з початкового наближення и 0

ϵ L 2 (а , b ) наступні наближення визначаються згідно формул b

uk x = f x +

b

T x, t uk−1 t + wk t dt + ε a

G x, t F(t, uk−1 (t))dt, a

x ∈ [a, b] (9.23)

wk (x)=

n k j=1 aj ηj (x)

(9.24)

а невідомі параметри akj визначаємо з умови b a

uk x − uk−1 x − wk x φi x dx = 0, i = 1, n

(9.25)

таким чином, якщо ∀f(x) ∈ L2 (a, b) існує єдиний розв'язок и  (х ) рівняння (9.19) і наближення и к (х ) побудовані за методом (9.22)-(9.24) збігаються до цього розв'язку, то існує також єдиний розв'язок у к ( х ) = ( S −1 и * (х )) рівняння (9.1) і наближення у к (х )= ( S−1 и * к ) (х ) , k = 1,2,3,... побудовані за методом (9.10)-(9.14), збігаються до розв'язку у * (х ).

2. Для простоти запису і наступних досліджень, рівняння будемо розглядати я к операторне рівняння F+Tu+Fu

(9.26)

79

де оператор Т має вигляд (8.3), а F - оператор який визначається формулою

(Fu)(x)=ε

b a

G x, t F(t, u t dt

(9.27)

Відразу ж відмітимо, що завдяки (9.2), (9.4), (9.6), оператор F задовольняє умові Ліпшиця з деякою сталою μДійсно, ∀u, v ∈ L2 (a, b) маємо 𝒃

𝑭𝒖 − 𝑭𝒗 = 𝜺

𝑮 𝒙, 𝒕 𝑭 𝒕, 𝒖 𝒕

− 𝑭 𝒕, 𝒗 𝒕

𝒅𝒕

𝒂

≤ 𝜺𝑮 𝑭 𝒕, 𝒖 𝒕 = 𝜺𝑮

𝒃 −𝟏 𝒂 {Ф(𝒕 , (𝑺 𝒖)(𝒕)) −

≤ 𝜺𝑮

𝒃 𝒂 {𝒍(

−𝟏

− 𝑭 𝒕, 𝒗 𝒕

−𝟏

=

𝟏 𝟐

𝟐

Ф(𝒕, (𝑺 𝒗))(𝒕)} 𝒅𝒕 ≤

−𝟏

𝟐

𝟏 𝟐

𝑺 𝒖 𝒕 − 𝑺 𝒗 𝒕 )} 𝒅𝒕 ≤

≤ 𝜺𝑮𝒍 𝑺−𝟏 𝒖−𝑺−𝟏 𝒗 ≤ 𝜺𝑮𝒍 𝑺−𝟏 𝒖 − 𝒗 = 𝝁 𝒖 − 𝒗

(9.28)

Нехай, як і раніше , {φi (x)}, i=1, n - задана система лінійно незалежних (для простоти викладення - ортогональних) функцій з L2 ( а , b ). Введемо в розгляд проекційний оператор Рп, такий, що (Pn v)(x)=

b a

Pn x, t v t dt, v ∈ L2 (а , b )

де Pn x, t =

n j=1 γj φi

x φj t , γ−1 = j

b a

φ2j x dx,

(9.29)

тоді алгоритм набере вигляду uk = f + T uk−1 + wk + Fuk−1 wk = Pn (uk − uk−1 )

(9.30) (9.31)

Якщо підставити значення и к , яке виражається за формулою (9.30), в співвідношення (9.31) і зробити прості перетворення, то для визначення елемента

w к одержимо рівняння wk − Pn Twk = Pn εk , k= 1,2,3,...

(9.32)

в якому εk = f + Tuk−1 + Fuk−1 − uk−1 Припустимо, що рівняння

(9.33)

80

Pn Tv = Pn g, ∀g ∈ L2 (a, b)

(9.34)

має один розв'язок V =pn g

(9.35)

і введемо в розгляд оператори переходу

Mn = T I + R n T − R n , Ln = Q n Mn

(9.36)

де І - тотожний оператор, а Q n = І - R n . Зразу ж відмітимо, що мають місце співвідношення

Mn Q n = Mn , Ln Q n = Ln

(9.37)

За припущенням, рівняння (9.34) однозначнорозв'язне, отже, враховуючи формулу (9.35) робимо висновок, що елемент wk = Pn εk

(9.38)

є єдиним розв'язком рівняння (8.13). Приймаючи до уваги формули (9.30), (9.36), (9.33) і формули, одержані з останніх заміною індексу k на k-1 маємо:

uk − uk−1 = Dn Fuk−1 − Fuk−2 + Mn (uk−1 − uk−2 )

(9.39)

Dn = T + TR n Позначимо

uk − uk−1 = ∆k , Pn = Mn , g n = Ln , dn = Dn , αn = μdn

(9.40)

∆k ≤ αn ∆k−1 + Pn ∆k−1 ∆k ≤ αn ∆k−1 + αn Pn ∆k−2 + Pn g n ∆k−2 ∆k ≤ αn ∆k−1 + αn Pn ∆k−2 + αn g n Pn ∆k−3 + ⋯ + αn Pn g s−3 n ∆k−s+1 + s−2 s−1 +αn Pn g n ∆k−s + ⋯ + Pn g n ∆k−s ;

(9.41)

Провівши аналіз двох перших нерівностей цієї системи, приходимо до твердження:

Т Е О Р Е М А 9 .1 . Якщо числа αn , р п , g n такі, що αn αn + Pn + Pn (αn + g n ) = 𝜏2𝑛 < 1 то

рівняння

(9.1)

має

при

∀f(x) ∈ L2 (a, b)

(9.42) єдиний

розв'язок

проекційно-ітеративний метод (9.10)-(9.14) збігається до цього розв'язку. Д о в е д е н н я . Приймаючи до уваги дві перших нерівності системи (9.41) одержуємо оцінку

і

81

uk − uk−1 ≤ αn αn + Pn + Pn αn + g n

𝑢𝑘−2 − 𝑢𝑘−3 ,

Тобто ∆𝑘 ≤ 𝜏2𝑛 ≤ ∆𝑘−1 , 𝜏2𝑛 < 1 Тому 𝑢𝑘+𝑝 − 𝑢𝑘 ≤ 𝑢𝑘+𝑝 − 𝑢𝑘+𝑝−1 + 𝑢𝑘+𝑝−1 − 𝑢𝑘+𝑝−2 + ⋯ + 𝑢𝑘+2 − 𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘 = 𝑘 2

𝑘 2

=∆𝑘+𝑝 + ∆𝑘+𝑝−1 + ⋯ + ∆𝑘+2 + ∆𝑘+1 ≤ 𝜏2𝑛 + 𝜏2𝑛

+1

𝑘+𝑝 2

+ ⋯ + 𝜏2𝑛

−1

+

𝜏2𝑛𝑘+𝑝2∆2+∆1≤𝜏2𝑛𝑘21−𝜏2𝑛𝑘2(∆2+∆1) (9.43) 𝑘 2

Оскільки 𝜏2𝑛 →0 при n→∞, то оцінка (9.43) показує, що послідовність {𝑢𝑘 } фундаментальна, тому в силу повноти L2 (a, b) збігається до деякої функції u∗ ∈ L2 (a, b) Очевидно, функціяu∗

є розв'язком рівняння (9.26), тобто (9.19).

Єдиність розв'язку випливає з умови (9.42), і її доведення. Дійсно, припустимо, що рівняння (9.26) має два різних розв'язки u∗ і u з L2 (a, b) тобто u∗ = f + Tu∗ + F u∗ (1* ) u = f + Tu + Fu (2* ) Приймаючи до уваги ці рівності і формули (12.30), (12.36), (12.33) і роблячи перетворення, аналогічні попереднім, маємо: u∗ -и к = D п (F u∗ -F и к - 1 ) + М п ( u∗ − uk−1 ), (З* )

82

u - и к = D п (F u -F и к - 1 ) + М п ( u- и к - 1 ) , (4* ) u∗ -и к = D п (F u∗ -F и к - 1 ) + М п D п (F u∗ -F и к - 1 )+ М п Ln ( u∗ − uk−2 ) , (5*) u - и к = D п (F u -F и к - 1 ) + М п D п (F u -F и к - 1 ) + М п Ln ( u − uk−2 ) , (6) Віднімаючи із співвідношення (З*) співвідношення (4*), а із (5*) - ( 6  ) -одержуємо u∗ − u = D п (F u∗ - F u) + М п ( u∗ − u),

(7*)

u∗ − u = D п (F u∗ - F u) + М п D п ( F u∗ - F u) + М п Ln ( u∗ − u) (8*) Звідки безпосередньо слідують нерівності u∗ − u ≤ αn u∗ − u + Pn u∗ − u , u∗ − u ≤ αn u∗ − u + αn Pn u∗ − u + Pn gn u∗ − u , з яких одержуємо оцінку u∗ − u ≤ αn αn + Pn + Pn αn + gn

u∗ − u ,

Тобто u∗ − u ≤ τ2n u∗ − u .

(9)

Нерівність (5*) є умовою Ліпшиця і з сталою τ2n , яка задовольняє співвідношення (9.42). Воно може виконуватись тільки тоді, коли u∗ = u, тобто доведена єдинність розв'язку. Таким чином, існує єдиний розв'язок u∗ рівняння (9.19) і метод (9.23)-( 9.25) збігається до цього розв'язку. А це означає, що ∀f(x) ∈ L2 (a, b) існує також і розв'язок у * (х ) рівняння (8.1), і метод (9.10)-(9.15) збігається до цього розв'язку. Теорема доведена.

83

З а у в а ж е ння 9 . 1 . Переходячи до границі в (9.43) при p→∞ маємо нерівність u∗ − u ≤

𝑘 𝜏2𝑛2

1 − τ2n

∆2 + ∆1 ,

в силу якої

𝑺−𝟏 u∗ x − 𝑺−𝟏 uk (x) ≤ 𝑺−𝟏

y∗ x − yk (x) = ≤ 𝑺−𝟏

1 1 − τ2n

u∗ − u

∆2 + ∆1 ,

тобто ми одержали нерівність, яка характеризує швидкість збіжності методу (9.10)-(9.15) при виконанні умови (9.42).

З а у в а ж е ння 9 . 2 . Раніше було встановлено, що метод (9.23)-(9.25) (а значить, і метод (9.10)-(9.15)) збігається, якщо має місце нерівність αn + Pn = τ1n < 1

(9.44)

Очевидно, що при виконанні цієї умови буде мати місце співвідношення (9.42). Дійсно, з того, що g n < Р п (це випливає із формули (9.25), маємо: τ2n = αn αn + Pn + Pn (αn +gn) ≤ αn αn + Pn + Pn αn + Pn = (αn + Pn )2 ≤ τ22n < 1 При виконанні умови (9.44) швидкість збіжності послідовності {yk (x)}, побудованої за методом (9.10)-(9.15), до розв'язку у * (х ) рівняння (9.1) характеризується нерівністю ∗

−𝟏

y x − yk (x) ≤ 𝑺

τk2n 1 − τ2n

∆1 .

З а у в а ж е ння 9 . 3 . Проводячи більш глибокий аналіз системи (9.41) можна навести інші умови збіжності методу. Наприклад, αn (αn + Pn )2 + Pn (αn + gn )2 = τ3n < 1,

(9.45)

αn (αn + Pn ){αn (αn + Pn ) + Pn (αn + gn )} + Pn (αn + gn ){ αn (αn + Pn ) + gn (αn + gn )} == τ4n < 1,

(9.46)

84

αn {αn (αn + Pn ) + Pn (αn + gn )}2 + Pn ){ αn (αn + Pn ) + gn (αn + gn )}2 == τ5n < 1,

(9.47)

Т Е О Р Е М А 9 . 2 . Нехай одиниця - регулярне значення оператора Т , виконуються умови (9.2)-(9.6), має місце співвідношення limn→∞ Qn v = 0, ∀v ∈ L2 (a, b) I μ R < 1 −𝟏

де μ = εGl 𝑺

, R= (I − T)−1 тоді існує такий номер n ,

при якому

проекційно-ітеративний метод (9.10)-(9.15) збігається. Д о в е д е н н я . Інтегральний оператор Т = К 𝑺−𝟏 в силу умов (9.2), (8.3), є повністю неперервний як суперпозиція повністю неперервного і обмеженого операторів. В роботі доведено, що якщо одиниця не є точкою спектра повністю неперервного оператора і система функцій {φi (x)}повна в L2 (a, b), тобто limn→∞ Qn v = limn→∞

I − P v = 0, ∀v ∈ L2 a, b , то limn→∞ Pn = 0 .

(9.48)

З іншого боку, маємо

Dn = I + TR n = I + TR − T R − R n = (I − T)−1 − T(R − R n ) Але R − R n

(9.49)

при n→∞, тому dn = Dn = R − T(R − R n ) → R при n → ∞. (9.50)

Беручи до уваги (9.48) і (9.50), робимо висновок, що якщо ϑ R <1, то знайдеться таке n , при якому Pn + μdn = Pn + αn < 1. В силу зауваження 2 метод збіжний.

9.3. Обчислювальна схема методу Обчислення за алгоритмом (9.10)-(9.15) доцільно організувати наступним чином. Задаємо систему функцій {φi (x)}, i=1, nі за формулою (9.15) відшукаємо систему функцій {ηi (x)}, i=1, n. Після цього будуємо функції

Kj x =

b K a

x, t ηj t dt, j = 1, n

обчислюємо за формулою елементи матриці ᴧ, тобто

(9.51)

85

Bij =

b { φi a

x − K j x }φi x dx, i, j = 1, n

(9.52)

Після цього приступаємо до реалізації основної обчислювальної схеми. Нехай наближення у к - 1 (х ) і функція Sk−1 (x) побудовані. Тоді виконуємо ітерацію vk x = f x +

b a

K x, t yk−1 t dt + ε

b a

G x, t Ф(t, yk−1 (t))dt,

(9.53)

знаходимо нев'язку εk x = vk x − Sk−1 (x)

(9.54)

і обчислюємо за формулою координати вектора, тобто

bki =

b ε a k

x φi x dx, i = 1, n

(9.55)

Складаємо рівняння

ᴧак = bк,

(9.56)

знаходимо його розв'язок а к =ᴧ−1 bk = {ak1 , ak2 , … , ann } і будуємо функцію

Sk (x)= vk (x)+

n k j=1 aj K j (x)

(12.57)

Наближення у к (х ) визначаємо з рівняння

yk x − p x yk x − ∆ = Sk x , x ∈ a, b , yk x = 0, x ∉ (a − ∆, a)

(9.58)

9.4. Метод осереднення функціональних поправок у випадку сталого відхилення Нехай L2 (a, b) - простір дійсних, вимірних на проміжку ( а , b ) функцій, сумовних з квадратом. Розглянемо в цьому просторі інтегро-функціональнерівняння з малою ,нелінійністю виду y ( x ) - p ( x ) y( x - ∆ ( x ) ) = f ( x ) +

b a

K x, t y t dt + ε

b a

G t, x Ф(t, y( t ) ) d t ,

(9.59)

xϵ[a,b], y(x)=0, x∉[a,b], де ∆ - стале відхилення, ε - малий параметр, f(х ) - відома, а у (х ) - шукана функція з L2 (a, b). Припустимо, що

86

1) p x ≤ p < ∞.

(9.60)

2) Ядра К ( х , t) , G (х,t) визначенні в квадраті ( а , b )× (а , b ) і задовольняють умовам 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

𝐾 2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝐾 2 < ∞

(9.61)

𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

𝐺 2 𝑥, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝐺 2 < ∞

(12.62)

3) Функція Ф ( t , у ) в області D={a ≤ t ≤b, -∞ < y < ∞ вимірна по t при всіх y і неперервна по y майже при всіх t (умовам Каратеодорі) і задовольняє умовам Ліпшиця

Ф t, y − Ф(t, y ≤ l y − y

(9.63)

де l - деяка додатна константа. При виконанні умов 1-3 інтегральні оператори (Kv)(x)= (Фv)(x)=ε

b a

b a

K x, t v t dt,

G x, t Ф t, v t dt

відображають простір L2 (a, b). в себе і є цілком неперервними, а лінійний оператор S, який визначений формулою v x , x ∈ a, c , c = a + ∆ v x − p x v x − ∆ , x ∈ (c, b)

(Sv)(x)=

оборотний, причому обернений до нього оператор S-1, як вже відзначалося обмежений і має вигляд (9.8). Застосуємо до рівняння (12.59) метод осереднення функціональних поправок, суть якого полягає в тому, що наближення у к (х ) визначаємо з рівняння yk ( x ) - p ( x ) yk ( x - ∆ ( x ) ) = f ( x ) +

b a

K x, t zk t dt + ε

b a

G t, x Ф(t, yk−1 ( t ) ) d t , (9.64)

х ϵ [ а , b ] , у к (х ) = 0 , х ∉ [ а , b ] , в якому zk x = yk−1 x + wk,

(9.65)

87

wk x = ak ηk x , а невідомі параметри а к визначаються з умови b r a k

x dx = 0

(9.66)

Де b K a

rk x = f(x) +

x, t zk t dt − zk + p x zk x − ∆ + ε

b G a

t, x Ф(t , yk−1 (t))dt,

(9.67) За початкове наближення будемо брати розв'язок різницевого рівняння

у 0 (х ) -р (х )у 0 (х -∆ ) = S0 ( х ) , х є (а , b ) , у 0 (х )= 0 , х ∉ (а , b ), в якому S0 ( х ) - будь-яка фіксована функція з простору L2 (a, b). , зокрема

S0 ( х )= 0 або S0 ( х ) = f (x ) функція η ( х ) визначається з рівняння η ( x ) -p (x ) η(x -∆ )= 1 , x ϵ (a , b ), η (x )= 0 , x ∉ (a ,b )

(9.68)

Введемо позначення b

εk x = f x +

b

K x, t yk−1 t dt − yk−1 + p x yk−1 x − ∆ + ε a

G t, x Ф(t , yk−1 (t))dt, a

і підставляючи функцію zk (х ) , яка визначається формулами (4)-(7) у вираз

(9.67), а одержаний результат в умову (9.66), для знаходження параметрів

AК,

одержуємо рівняння

𝛽𝑎𝑘 = 𝑏𝑘

(9.69)

в якому

β= K (x ) =

b K a

b a

1 − K x dx

x, t η t dt bk =

(9.70) (9.71)

b ε a k

x dx

(9.72)

за наближення можна взяти як функцію у к (х), так і функцію zk (х). Зауваження, що на основі аналізу формул (9.64)-(9.67) при w к = 0 , k = 1,2,3,..., наближення у к (х ) знаходяться по методу послідовних наближень.

88

9.5. Обчислювальна схема методу Обчислення по алгоритму (9.64)-(9.68) більш доцільно організовувати таким чином. Задаємо функції φі = 1 і по формулі (9.68) шукаємо функцію η ( х ) . Після цього, використовуючи співвідношення (9.71), (9.70) будуємо функцію К (х ) . Далі приступимо до реалізації основної обчислювальної схеми. Нехай наближення yk−1 (x) функція побудовані. Тоді виконуємо ітерацію

v к (х) = f x +

b a

K x, t yk−1 t dt + ε

b a

G t, x Ф(t , yk−1 (t))dt,

знаходимо нев'язку εk x = v к (х)-Sk−1 (x) і обчислюємо по формулі (9.72) число bк . Складаємо рівняння 𝛽𝑎𝑘 = 𝑏𝑘

знаходимо його розв'язок 𝑎𝑘 =

1 𝛽

𝑏𝑘 і будуємо функцію

𝑆𝑘 𝑥 = 𝑣𝑘 𝑥 + 𝑎𝑘 𝐾(𝑥) Виконавши вказані операції, наближення . визначаємо з різницевого рівняння

у к (х ) -р ( х )у к (х -∆ )= S п (х ) , х ϵ (а , b ), у к (х )= 0 , х ∉ (а , b ) . Не складає великих труднощів встановити рівносильність приведеної обчислювальної схеми алгоритму (9.64)-(9.68).

ВИСНОВКИ Дипломна

робота

присвячена

умовам

збіжності

проекційно-ітеративного методу для нелінійних рівнянь. Розроблено і досліджено методи ітераційного типу наближеного розв'язання деяких типів нелінійних операторних рівнянь, зокрема рівнянь з монотонними, цілком неперервними, гладкими операторами.

89

В першому розділі роботи розглянуто нелінійні інтегральні рівняння, основні поняття нелінійних операторів, оператори Урисона та Гаммерштейна із значеннями в просторах С та 𝐿𝑞 . Другий розділ описує збіжність ітераційних методів у випадку різних типів операторів. Розглядається збіжність методу для рівнянь з монотонним операторами, обґрунтовується метод для рівнянь з цілком неперервним оператором, збіжність методу для рівнянь з гладкими операторами, для рівнянь зі слабкою не лінійністю та модифікований прекційно-ітеративний метод. Третій

розділ

основний,

містить

умови

збіжності

проекційно-ітеративного методу розв’язування нелінійних інтегральних та інтегро-функціональних рівнянь. Проведені в роботі методи є досить ефективними щодо їх застосування, як до теоретичних так і до різного характеру прикладних задач, тому результати, висвітлені в роботі, мають важливе значення

90

ЛІТЕРАТУРА

1.

Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. –К.: Наукова думка, 1993. С. 170-223.

2.

Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. С. 368-414.

3.

Верлань

А.Ф.,

Сизиков

B.C.

Интегральные

уравнения:

методы,

алгоритмы, программы. Справочное пособие. - К.: Наукова думка, 1986. С. 189-203.

4.

Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. -456 с.

5.

Криль С.О. Решение интегро-функциональных уравнений с малой нелинейностью

проекционно-итеративным

методом.

-

К.,

1987,

Препринт/АН УССР. Ин-т математики, 1987. - 17, 35 с.

6.

Кріль

СО.

Розв'язування

інтегро-функціональних

рівнянь

нестаціонарним проекційно-ітеративним методом / Збірник наукових праць Кам'янець-Подільського державного педагогічного університету.

-

Кам'янець-Подільський:

Інформаційно-видавничий

відділ,

1997.-С50-54.

7.

Курпель Н.С Проекційно-ітеративні методи розв'язання операторних рівнянь. - К.: Наук, думка, 1968. - 244 с.

8.

Лучка А.Ю. Критерії збіжності проекційно-ітеративного методу для нелінійних рівнянь. - К.,1982. Препринт/АН УРСР. Ін-т математики, 1982.-24, 54 с.

9.

Лучка А.Ю. Кріль CO. Побудова наближених розв'язків лінійних інтегро-різницевих рівнянь. - К., 1987. Препринт/АН УРСР. Ін-т математики, 1987. - 14, 36 с.

91

10.

Лучка А.Ю. Кріль CO. Побудова розв'язків інтегро-функціональних рівнянь проекційно-ітеративним методом. В кн.: Динамічні системи і