Ellenberg hogynetevedjunk issuu

„Bárcsak így tanítanák a matekot az iskolában!”

The Sunday TimeS

Jordan Ellenberg

A mindennApi élet rejtett mAtemAtikájA

Park Könyvkiadó

Eleven próza, példákkal bőven fűszerezve… Mindig tiszta és világos, gondolatilag mégis szigorú. Bemutatja, hogyan gondolkodnak a matematikusok – és megmutatja, hogyan gondolkodhatunk mi is matematikus módjára.

Jennifer Oullette, The New York Times

Lottónyereményhez segíthet-e a matematika? Javíthatók-e az esélyek arra, hogy a hölgyek csinos, de nem tapló férfira találjanak? Bizonyítható-e Isten létezése? Ellenbergnek megvan a kellő hitele ezeknek a kérdéseknek a megválaszolásához – s ez csak kevesekről mondható el a kutató matematikusok közül.

Könnyű kézzel ragad ki példákat a valóságos életből, s bizonyítja velük, hogy a matematikai gondolkodás csupán a józan ész kiterjesztése; a matematikatanárt ennek láttán pedig eszi a sárga irigység.

Manil Suri, The Washington Post

Ellenberg könyve bebizonyítja, hogy a matematikai gondolkodásmód minden értelmes ember eszköztárának része kell hogy legyen.

Steven Pinker

A Hogy ne tévedjünk a matematikai és statisztikai érvelés csúcsteljesítménye, szakmabelieknek és laikusoknak egyaránt szól. Szinte bárki talál benne olyasmit, ami tetszeni fog neki, és amiből tanulhat.

Amerikai Matematikai Társaság

Csodaszép… Ellenberg könyve teles-teli van gyöngyszemekkel. Könnyen olvasható, ráadásul humoros.

Mario Livio, The Wall Street Journal

A fordítás alapjául szolgáló kiadás: Jordan Ellenberg: How Not To Be Wrong.

The Power of Mathematical Thinking. Penguin, New York, 2014

Fordította Freud Róbert (1. rész) és Seres Iván A fordítást szakmai szempontból ellenőrizte Besenyei Ádám

Copyright © 2014 by Jordan Ellenberg Hungarian translation © 2015, Freud Róbert, 2016, Seres Iván Magyar kiadás © 2016 Park Könyvkiadó, Budapest Borítóterv © Váradi Zsolt ISBN 978-963-355-220-9 Felelős szerkesztő Szalay Marianne Szerkesztette Gerner József A szöveget gondozta Markwarth Ágnes és Lovass Gyöngyvér Műszaki szerkesztő Rochlitz Vera Tördelte a Malum Stúdió

mély

A matematika azonban egyáltalán nem lezárt tudomány. Még olyan alapvető dolgok területén is, mint a számok és mértani alakzatok, a tudatlanságunk sokkal nagyobb a tudásunknál. És amit tudunk, azt komoly erőfeszítéseket, küzdelmet és a kezdeti zűrzavart követően tudjuk. A tankönyvek gondosan titkolják előlünk a sok verítéket és izgalmat.

Tények és tények között persze van különbség. Sosem volt sok vita arról, hogy 1 + 2 = 3. Az más kérdés, hogy be tudjuk-e ezt rendesen bizonyítani, és hogyan. Ez már legalább annyira filozófiai, mint matematikai probléma – ezzel most nem foglalkozunk, majd visszatérünk rá a könyv végén. Az viszont nyilvánvaló igazság, hogy a fenti számolás helyes. A zűrzavar máshol keresendő, és jó néhányszor találkozunk majd vele.

A matematikai tények lehetnek egyszerűek vagy bonyolultak, lehetnek felszínesek vagy mélyek. Ez a matematika világát négy negyedre osztja:

ITT VAGYUNK

Fermat

Poincaré

Riemann-sejtés

derivált algebrai

geometria

felszínes

perfektoid terek…

bonyolult

egyszerű

25

Az alapvető számtani tények, például 1 + 2 = 3, egyszerűek és felszínesek. Ugyanez a helyzet az alapvető azonosságokkal, mint amilyen a sin (2x) = 2 sin x cos x, vagy a másodfokú egyenlet megoldóképletével. Ezekről meggyőződni talán kicsit tovább tart, mint az 1 + 2 = 3-ról, de végül nem jelentenek komolyabb fogalmi nehézséget. Áttérve a bonyolult/felszínes rovatra, idetartozik két tízjegyű szám összeszorzása, vagy egy összetettebb határozott integrál kiszámítása, vagy a doktori iskolában eltöltött néhány év után egy 2377 konduktorú moduláris forma Frobenius-nyomának a meghatározása.

Elképzelhető, hogy valamilyen okból meg kell oldanunk egy ilyen feladatot, és világos, hogy bosszantó vagy akár lehetetlen lenne ezt kisipari módszerekkel elvégezni, sőt a moduláris formák esetében komoly előképzettség kell egyáltalán a kérdés megértéséhez. Ezzel együtt az így kapott válaszok nem igazán gazdagítják a világról alkotott tudásunkat.

A hozzám hasonló profi matematikusok az idejük nagy részét a bonyolult/mély területen töltik. Itt találhatók a híres tételek és sejtések: a Riemann-sejtés, a Fermat-sejtés (azaz „Fermat utolsó tétele”),* a Poincaré-sejtés, P vagy NP, Gödel tétele… Ezek mindegyike mély gondolatokat hordoz, alapvető fontosságú, óriási szellemi gyönyört okoz, brutálisan nehéz módszereket igényel, és mind önmagukban is számos könyv főszereplői.

A mi könyvünk azonban nem erről szól, mi a bal felső negyedben akarunk kalandozni, az egyszerű és mély összefüggések területén.

Olyan matematikai gondolatokat szeretnénk bemutatni, amelyekkel közvetlenül és hatékonyan tudunk foglalkozni, függetlenül attól, hogy kinek-kinek a matematikai képzettsége véget ér az elemi algebránál, vagy annál sokkal messzebbre jutott. Ezek a gondolatok nem „puszta tények”, mint amilyen például egy egyszerű aritmetikai * Ezt a szakemberek ma Wiles tételének hívják, mert – Fermat-val ellentétben – Andrew Wiles (egy kritikus ponton Richard Taylor segítségét igénybe véve) ezt valóban bebizonyította. Azonban valószínűleg a hagyományos elnevezés marad meg ezentúl is.

26

állítás, hanem elvek, amelyek alkalmazása messze túlnő a korábban az Olvasó által matematikainak vélt gondolkodásmódon. Ezek lesznek a fő eszközök az alkalmazási szerszámos táskánkban, és helyes használatuk segít majd abban, hogy ne tévedjünk.

A tiszta matematika lehet kolostor, olyan biztonságos, nyugodt hely, ahonnan kizárták a világ zűrzavarának és ellentmondásainak ártalmas hatásait. Én ilyen falak között nőttem föl. Néhány társamat megkísértették a fizikai vagy genetikai alkalmazások, esetleg a pénzalapok kezelésének fekete mágiája, de én nem kértem az ilyen kétes kalandokból.* Doktoranduszként számelmélettel foglalkoztam, a tiszta elméletek legtisztábbikával, a kolostor közepén lévő lezárt kerttel, amelyet Gauss „a matematika királynőjének” nevezett. A számelméletben ugyanazokat a számokra és egyenletekre vonatkozó kérdéseket vizsgáljuk, mint a régi görögök, és amelyek az eltelt huszonöt évszázad alatt nem igazán vesztettek nyugtalanító varázsukból.

Kezdetben a klasszikus számelmélet keretében egész számok negyedik hatványaival kapcsolatban értem el eredményeket, és ezeket, ha erősen kényszerítenek, el is tudtam volna karácsonykor magyarázni a családomnak, bár magukat a bizonyításokat persze nem.

Később azonban még ennél is absztraktabb területek csábítottak el, amelyekben a vizsgált problémák kulcsfigurái – „reziduálisan moduláris Galois-reprezentációk”, „modulussémák kohomológiája”, „homogén terek dinamikus rendszerei” és hasonlók – csak az egyetemek szemináriumi termei és tanári szobái alkotta szigetvilágban szalonképesek, Oxfordtól Princetonig, Kiotótól Párizsig, vagy jelenlegi professzori működésem helyszínéig, a wisconsini Madisonig. Ha azt mondom, hogy ez az anyag izgalmas, jelentőségteljes, gyönyörű, * Az igazsághoz hozzátartozik, hogy korai húszas éveimben kicsit kacérkodtam a gondolattal, hogy Komoly Irodalmi Regényíró leszek. Írtam is egy Komoly Irodalmi Regényt A szöcskekirály címmel, ki is adták. Közben azonban rájöttem, hogy a Komoly Irodalmi Regény írásának szentelt minden napom felerészben azzal telt el, hogy matematikai problémák megoldására vágytam.

27

és rajta elmélkedni soha nem fáraszt, akkor nem tehetsz mást, mint hiszel nekem, mert már ahhoz is sok év tanulás kell, hogy ezek az objektumok az ember látóterébe kerülhessenek.

Valami furcsa történt azonban velem. Minél elvontabb és a megélt tapasztalatoktól egyre távolibb területeket kutattam, annál szembeszökőbbé vált számomra, hogy milyen sok a matematika a világban az egyetem falain kívül. Nem Galois-reprezentációkra vagy kohomológiára gondolok, hanem egyszerűbb, ősibb, de ugyanolyan mély összefüggésekre – a fogalmi négyszög északnyugati negyedére. Újságés folyóiratcikkeket írtam arról, hogyan fest a világ a matematika szemüvegén át nézve, és meglepve tapasztaltam, hogy olyan emberek is hajlandók elolvasni ezeket, akik saját bevallásuk szerint utálták a matematikát. Egyfajta matematikatanítást jelentett ez számomra, a tantermi óráktól nagyon különbözőt.

Az írás és a tantermi foglalkozások közös vonása, hogy az Olvasót is felkérjük egy kis munkára. Idézzünk ismét Neumanntól A matematikusból: Nehezebb a repülőgép szerkezetét, az emelő- és hajtóerők elméletét megérteni, mint beleülni, magasba emelkedni vele, vagy akár vezetni is. Kivételes jelenség, hogy valaki képes legyen egy folyamatot megérteni anélkül, hogy előzőleg közelről megismerte volna működését és használatát, mielőtt elsajátította volna.*

Más szavakkal: meglehetősen nehéz a matematikát megérteni anélkül, hogy művelnénk. Nincs királyi út a geometriához, ahogy azt Eukleidész mondta Ptolemaiosznak, vagy más források szerint, Menaikhmosz mondta Nagy Sándornak. (Lássuk be, az ókori tudósoknak tulajdonított híres mondásokat valószínűleg csak kitalálták, de ettől még nem kevésbé tanulságosak.)

* Ropolyi, i. m. – A szaklektor

28

Ez nem az a fajta könyv lesz, amelyben széles, tétova karlejtésekkel rámutatok a matematika nagy emlékműveire, és megfelelő modorban arra ösztönzöm az Olvasót, hogy messziről csodálja ezeket.

Itt kicsit be kell piszkolnunk a kezünket. Számolni fogunk. Szerepel majd néhány képlet és egyenlet is, ha a mondanivalóm kifejtéséhez szükség van rájuk. Nem igénylek az aritmetikán túli formális matematikát, de számos, az aritmetikán túli matematikai utat el fogok magyarázni. Rajzolok majd néhány hevenyészett ábrát és grafikont.

Találkozunk majd az iskolából ismerős matematikai témákkal, de kiszakítva a szokásos környezetükből: látni fogjuk, hogyan írható le trigonometrikus függvényekkel két változó kapcsolatának a mértéke, mit mond a kalkulus lineáris és nemlineáris jelenségek viszonyáról, és hogyan szolgál a másodfokú egyenlet megoldóképlete a tudományos vizsgálatok kognitív modelljéül. Időnként olyan témákba is belefutunk, amelyeket általában csak az egyetemen vesznek elő, vagy még ott sem. Ilyen a halmazelmélet válsága, ami valamilyen értelemben a Legfelsőbb Bíróság által művelt jogtudományhoz és egy baseballmérkőzés játékvezetéséhez rokonítható; az analitikus számelmélet új eredményei, amelyek a struktúra és a véletlen kölcsönhatását demonstrálják; információelmélet és kombinatorikai rendszerek, amelyek segítségével elmagyarázzuk, hogyan nyertek több millió dollárt alsóéves MIT-hallgatók Massachusetts állam lottójátékának elemzésével.

Pletykálkodunk kicsit híres matematikusokról, és némi fi lozófiai fejtegetésbe is belebonyolódunk. Még egy-két bizonyításra is sor kerül. Viszont nem lesz házi feladat és dolgozatírás sem.

29

Az iskolában tanított matematika, vélik sokan, unalmas szabálygyűjtemény.

Jordan Ellenberg könyvében rámutat, mennyire helytelen ez a felfogás: csináljunk bármit, ahhoz a matematikának köze van.

Mennyivel korábban célszerű kimenni indulás előtt a repülőtérre? Valójában mit árul el a közvélemény-kutatás? Milyen lottózási módszer vezet a legbiztosabban a meggazdagodáshoz? A hogy ne tévedjünk megdöbbentő felfedezésekre világít rá egyes-egyedül a matematikus módszerével, de nem a matematikusok által használt szaknyelven. Ellenberg könnyedén vezeti végig gondolatain a laikus olvasót a választási eredményektől a nyálkagombán át az általános iskolai aritmetikáig. A hogy ne tévedjünk ragyogó utazás a matematika világában, egyszersmind hozzásegíti az olvasót, hogy jobb gondolkodóvá váljék.

„a Hogy ne tévedjünk valójában arról szól, milyen nagy szerepet játszik mindennapi életünkben a matematika, anélkül hogy tudnánk róla. Stílusa gördülékeny, könnyed és közérthető – egy matematikáról szóló könyvnél ez meglepő.”

Bill GaTeS

© Mats Rudels

„ellenberg képességét, hogy olyan mindennapi élethelyzeteket találjon, melyekben matematikai elvek érvényesülnek, bármelyik matematikatanár megirigyelhetné.”

The WaShinGTon PoST

Jordan ellenBerG (1971) a Wisconsini Egyetem matematikaprofesszora, számelméleti kutatásairól világszerte tart előadásokat. Írásai többek között a The new york Timesban, a The Washington Postban és a The Wall Street Journalben jelennek meg. Ő írja a Slate online folyóirat do the math rovatát. parkkiado.hu

4490 Ft

facebook.com/parkkonyvkiado