INFERENCIA EN LA MEDIA by Patricio Alcaino

Casos y problemas

resueltos Inferencia en la media  Intervalo de confianza  Contraste de la media III: de Correlación  Contraste la diferencia de medias

Inferencia Estadística -4-3-

Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos Inferencia en la media: Intervalos de confianza, contraste de la media, contraste de la diferencia de medias Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Palabras iniciales Estimados usuari@s: Este material, que pongo a su disposición, está creado a partir de casos e investigaciones reales realizadas en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido modificados para ajustarlos a situaciones de enseñanza aprendizaje. Por ello, fuera del contexto de este documento, la información y conclusiones no son necesariamente válidas como conclusiones respaldadas. Los casos y problemas aquí presentados constituyen una muestra representativa de las situaciones más frecuentes a resolver en investigación social. A saber: • • • • •

Cálculo del intervalo de confianza de la media poblacional en una población con muestra chica y varianza poblacional desconocida. Contraste, test o dócima de la media poblacional con muestra chica y varianza poblacional desconocida. Contraste, test o dócima de la diferencia de proporciones con dos muestras chicas, independientes y varianza poblacional desconocida. Contraste, test o dócima de la diferencia de proporciones con muestras chicas pareadas y varianza poblacional desconocida. Cálculo del tamaño de la muestra para investigación de la media en poblaciones con muestra chica.

Este volumen está dirigido a la resolución de problemas de inferencia en la media y de los procedimientos estadísticos asociados. El lector deberá manejar los conceptos y fundamentos de Inferencia Estadística y contraste de hipótesis y manejar operativamente el cálculo de probabilidades con la distribución de probabilidad t. Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadora y la tabla de probabilidades t, tabla que se adjunta en la página final de este documento. El uso de este material con fines comerciales no está permitido. Se podrá usar en medios académicos, mencionando la autoría. Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

1. Tiempo de uso de la Web social Una empresa investiga con una muestra aleatoria de tamaño 19 el tiempo que sus funcionarios administrativos emplean en las redes sociales en horas de trabajo, encontrando una media de 4,6 horas con una desviación estándar de 1,2 horas a la semana y una distribución aproximadamente normal. 1.1. Con estos datos, la empresa desea estimar, con un 95% de confianza un intervalo para el tiempo promedio que sus funcionarios administrativos emplean en las redes sociales en horas de trabajo. 1.2. Si la empresa desea un intervalo del 95% de confianza para el tiempo promedio que sus funcionarios administrativos emplean en las redes sociales en horas de trabajo, con un error de no más de 30 minutos, calcule el tamaño de muestra adecuado.

Solución: 1.1. Con estos datos, la empresa desea estimar, con un 95% de confianza un intervalo para el tiempo promedio que sus funcionarios administrativos emplean en las redes sociales en horas de trabajo. Se trata de la construcción de un intervalo de confianza para la media poblacional con una muestra chica y varianza poblacional desconocida. Por esta razón se usará un modelo con el estadístico t de Student. Un intervalo de confianza requiere los siguientes datos:

n = 19 ;

x = 4,6 horas/sem;

s = 1,2 horas/sem.

Se calcula el error estándar de la media: σx =

1,2 19 − 1

= 0,28 horas/sem.

El percentil t es: t 0,975;18 = 2,101

El intervalo solicitado es igual a: μ = 4,6 ± 2,101 ⋅ 0,28 μ = 4,6 ± 0,6; con un 95% de probabilidades.

Es decir: 4,0 ≤ μ ≤ 5,2 horas a la semana, con un 95% de probabilidades.

Se puede afirmar con un 95% de probabilidades, que el tiempo que los funcionarios administrativos de la empresa emplean en las redes sociales en horas de trabajo, fluctúa, en promedio, entre 4 y 5,2 horas a la semana.

1.2. Si la empresa desea un intervalo del 95% de confianza para el tiempo promedio que sus funcionarios administrativos emplean en las redes sociales en horas de trabajo, con un error de no más de 30 minutos, calcule el tamaño de muestra adecuado.

Transformado 30 minutos a horas y tomando el mismo valor de t = 2,101: 1,2 n −1

2,101 = 0,5

Despejando: n −1 =

1,2 ⋅ 2,101 0,5

n − 1 = 5,0424

n − 1 = 25,43

n = 26,43

Entonces: n = 27. El cálculo del tamaño de la muestra presenta la dificultad de que usa un percentil de t, que también va cambiando con el tamaño de la muestra. Por lo tanto este cálculo es siempre tentativo. Verificando: t 0,95; 26 ≈ 1,708 (este valor es con 25 gl). n = 27

s = 1,2 horas/sem. 1,2 27 − 1

1,708 = e

Calculando: e = 0,4 Este error: 0,4 horas equivale a 24 minutos, por lo que el tamaño cumple con la condición pedida, pudiendo, incluso, ser algo menor. Si n = 18: t 0,95; 20 ≈ 1,725

1,2 18 − 1

1,725 = e

Calculando: e = 0,5, que es el error deseado. Entonces: n = 18

2. Edad del conductor Una municipalidad realiza un estudio con una muestra aleatoria de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna durante el último año. El interés es estudiar la edad de los conductores protagonistas de dichos accidentes. La muestra entregó las siguientes edades, en años cumplidos: Edad: 22, 53, 36, 19, 24, 48, 17 años A partir de estos datos, se desea: 2.1. Hacer una estimación por intervalo de confianza del 90%, de la edad promedio de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna. 2.2. Calcular la probabilidad de que el promedio de edad de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna sea menos de 25 años. 2.3. Calcular el tamaño de la muestra para un intervalo del 95% de la edad promedio de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna, con un error de no más de 8 años.

Solución: Se trata de una situación donde está involucrada la media poblacional, con datos de una muestra chica, con varianza poblacional desconocida. Por esta razón se usará un modelo con el estadístico t de Student. 2.1. Hacer una estimación por intervalo de confianza del 90%, de la edad promedio de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna. Los datos se ingresan a la calculadora, resultando que: n = 7; x = 31,3 años; s = 13,46 años, y; sˆ = 14,53 años

Se calcula el error estándar de la media: σx =

13,46 7 −1

= 5,5 años.

(Equivalente es usar la desviación insesgada: σ x =

14,53 7

= 5,5 años.)

El percentil t necesario para este intervalo es: t 0,95; 6 = 1,943

El intervalo solicitado es igual a: μ = 31,3 ± 1,943 ⋅ 5,5 μ = 31,3 ± 10,7 años; con un 90% de probabilidades.

Es decir: 20,6 ≤ μ ≤ 42,0 años, con un 90% de probabilidades.

La edad promedio de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna fluctúa entre 20,6 y 42 años, con un 90% de probabilidades.

2.2. Calcular la probabilidad de que el promedio de edad de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna sea menos de 25 años. Se tiene lo siguiente, ya calculado: x = 31,3 años, y;

σ x = 5,5 años.

Estandarizando el valor de x i = 25 años, mediante la distribución t: t=

25 − 31,3 = -1,15, que es una t con 7 – 1 = 6 gl. 5,5

La probabilidad pedida es igual a: P(t p; 6 ≤ −1,15 ) ≈ 0,175.

Entonces, la probabilidad de que el promedio de edad de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna sea de menos de 25 años es, aproximadamente 0,175, lo que corresponde a un 17,5%.

2.3. Calcular el tamaño de la muestra para un intervalo del 95% de la edad promedio de los conductores protagonistas de accidentes de tránsito, con resultado de daños y lesiones ocurridos en la comuna, con un error de no más de 8 años.

Se usará la desviación sesgada s = 13,46 años, y el valor de t para IC 95% y con 6 gl. t 0,975; 6 = 2,447

Entonces: 13,46 n −1

⋅ 2,447 = 8

Despejando: n −1 =

13,46 ⋅ 2,447 8

n − 1 = 4,117 n − 1 = 16,95

n = 17,95

Entonces: n = 18. Ajustando, queda, finalmente n = 15.

3. Tiempo de comunicación Se ha establecido empíricamente que el tiempo, en segundos, que dura la comunicación telefónica de los pobladores de una pequeña ciudad con una central de ambulancias se distribuye normalmente. Una muestra de llamadas recibidas dio los siguientes tiempos de duración de las llamadas, en segundos: Tiempo: 66, 78, 55, 62, 70, 51, 72, 62 segundos. Con estos datos: 3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de duración de la comunicación sea menos de un minuto? 3.2. Construya un intervalo confidencial del 99% para la duración media de estas comunicaciones. 3.3. Con un nivel de significación del 1% docime la hipótesis de que el tiempo medio que duran las llamadas a este servicio es de 65 segundos.

Solución: 3.1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de duración de la comunicación sea menos de un minuto?

Con los datos numéricos se calculan los estadígrafos muestrales necesarios. Estos son: n = 8 ; x = 64,5 seg; s = 8,34 seg.

Se calcula el error muestral de la media. Se debe utilizar la varianza insesgada, ya que se desconoce el valor de esta en la población: σx =

8,34 8 −1

= 3,15 seg.

Se estandariza el tiempo = 1 minuto = 60 segundos, empleando la distribución t. t=

60 − 64,5 = −1,43 3,15

Se calcula ahora la probabilidad de que t con 8 – 1 = 7 grados de libertad tenga un valor menor a -1,43. P(t p; 7 < −1,43) ≈ 0,10.

La probabilidad de que el tiempo medio de duración de la comunicación sea de menos de un minuto es aproximadamente 0,10.

3.2. Construya un intervalo confidencial del 99% para la duración media de estas comunicaciones. Los datos numéricos son: n = 8 ; x = 64,5 seg; s = 8,34 seg y σ x = 3,15 seg.

Para un IC del 99% el valor de t con 7 gl es 2,998. El intervalo de confianza está dado por: μ = 64,5 ± 2,998 · 3,15 μ = 64,5 ± 9,44; con un 99% de confianza. 55,1 seg ≤ tiempo ≤ 73,9 seg ; con 99% de probabilidades.

Esto es, que la media del tiempo de duración de las llamadas telefónicas fluctúa entre 55,1 segundos y 73,9 segundos, con un 99% de confianza.

3.3. Con un nivel de significación del 1% docime la hipótesis de que el tiempo medio que duran las llamadas a este servicio es de 65 segundos.

Se plantean las hipótesis: H 0 : μ = 65 seg H1 : μ ≠ 65 seg

La hipótesis alternativa conduce a un ensayo de dos colas. Estadígrafos muestrales, ya calculados: n = 8 ; x = 64,5 seg; s = 8,34 seg y σ x = 3,15 seg.

El estadístico de prueba es t. 65 − 64,5 t= = 0,16 3,15 Calculando el valor p de la prueba: α* = 2 · P(t p; 7 ≥ 0,16) = 2 · 0,44 = 0,88.

Como 0,88 > 0,01, no se rechaza la hipótesis nula, al 1%. En conclusión: El tiempo medio que dura la comunicación telefónica es de 65 segundos (p = 0,88).

4. Lluvia ácida Se ha afirmado que la acidez de la lluvia en cierta ciudad llega a un peligroso promedio de pH = 4. Para estudiar el caso, se han obtenido 8 muestras de lluvia de distintas partes de la ciudad. Estas son llevadas al laboratorio en donde se les determinó su pH, dando las siguientes medidas: muestra pH

1 4,8

2 3,7

3 5,1

4 4,2

5 3,8

6 5,4

7 3,8

8 4,0

4.1. Con un nivel de significación del 1%, y suponiendo distribución aproximadamente normal, contraste la hipótesis necesaria para validar la a afirmación de que el pH en la ciudad es, en promedio, 4.

Solución: Planteando las hipótesis: H0: μ = 4

H1: μ ≠ 4

(ensayo de dos colas)

Los datos muestrales son: x = 4,35 S = 0,6164414 Error muestral: σ x =

0,6164414 8 −1

= 0,233

Estadístico de prueba: Se usará el estadístico t, porque se trata de una muestra chica y la varianza poblacional es desconocida. 4,35 − 4 t= = 1,5 0,233 Este es un valor de t con 8 – 1 = 7 grados de libertad. El valor p: α* = 2 · P( t p; 7 > 1,5) = 2 · 0,089 = 0,178

Decisión: Como α * > 0,01; no se rechaza H0, al 1%. Conclusión: El pH de la lluvia en la ciudad es, en promedio, 4 (p = 0,178).

5. Tiempo de operación Se toma el tiempo en que una muestra de 16 operarios del sector servicios eléctricos empleó individualmente en realizar una tarea que requiere seguir un protocolo específico. La conclusión del estudio fue que: “El tiempo medio de ejecución de la tarea es menor a 20 minutos (p = 0,0314)” 5.1. ¿Cuál fue hipótesis nula en el contraste que llevó a estas conclusión? 5.2. ¿Qué tipo de ensayo se realizó? 5.3. Respecto del contraste, ¿cuál fue la decisión? 5.4. De las significaciones usuales, ¿cuál podría ser la utilizada en el contraste que llevó a esa conclusión? 5.5. En el contraste, ¿cuál fue el valor del estadístico de prueba? 5.6. En este contraste de hipótesis, ¿en qué consiste el error de tipo II?

Solución: 5.1. ¿Cuál fue la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en el contraste que llevó a esta conclusión? La conclusión, de inmediato sugiere la hipótesis alternativa: μ = 20 Hipótesis nula:

Hipótesis alternativa: μ < 20 5.2. ¿Qué tipo de ensayo se realizó? La conclusión, de inmediato revela que el ensayo fue de cola izquierda. 5.3. Respecto del contraste, ¿cuál fue la decisión? La conclusión afirma la hipótesis alternativa. Por lo tanto, se rechazó la hipótesis nula a un nivel de significación α . 5.4. De las significaciones usuales, ¿cuál podría ser la utilizada en el contraste que llevó a esa conclusión? El valor p es mayor que α = 1%, pero menor que α = 5% y que α = 10%. Como la conclusión con p = 0,0314 refuta la hipótesis nula, significa que el nivel de significación utilizado es un valor mayor que 0,0314. Es decir puede ser α = 5% o α = 10%. 5.5. En el contraste, ¿cuál fue el valor del estadístico de prueba? Con un tamaño de muestra n = 16, α* = 0,0314 y un ensayo de cola izquierda sugerido por la conclusión, hay que buscar un valor de t que deje bajo él el 3,14% de la distribución. Esto es, el percentil 3,14 de la distribución t con 16 – 1 = 15 gl. Es decir: t 0,0314;15 ≈ -2

5.6. En este contraste de hipótesis, ¿en qué consiste el error de tipo II? Consiste en no rechazar que el tiempo medio de operación es 20 minutos, siendo que no es así.

6. Ingreso y género Un estudio de los sueldos de mujeres y hombres seleccionados al azar desde una población de trabajadores del sector frutícola, con similares condiciones de trabajo, jerarquía, edad, ciudad y estado civil, llegó a la siguiente conclusión, a un nivel de significación del 1%: “En este sector laboral, los hombres, en promedio, ganan más que las mujeres”. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Exprese, en lenguaje corriente, cuál es la hipótesis nula en este caso. Identifique el tipo de ensayo en este contraste. ¿Cuál es la probabilidad de cometer error de tipo I en este estudio? ¿En qué consiste el error de tipo II en el contexto de este caso?

Solución: 6.1. Exprese, en lenguaje corriente, cuál es la hipótesis nula en este caso. En estos casos, la hipótesis nula se reconoce por el signo igual. Por lo tanto, es:

H0: “En este sector laboral, los hombres, en promedio, ganan igual que las mujeres”.

6.2. Identifique el tipo de ensayo en este contraste.

Si H representa a los hombres y M a las mujeres y se plantea la hipótesis nula como μ H − μ M = 0, entonces el ensayo debe ser de cola derecha, ya que: H1: μ H − μ M > 0. Si H representa a los hombres y M a las mujeres y se plantea la hipótesis nula como μ M − μ H = 0, entonces el ensayo debería ser de cola izquierda, ya que: H1: μ M − μ H < 0.

6.3. ¿Cuál es la probabilidad de cometer error de tipo I en este estudio? De acuerdo al enunciado del problema, la probabilidad de error de tipo I es el 1%, ya que corresponde al nivel de significación.

6.4. ¿En qué consiste el error de tipo II en el contexto de este caso? El error de tipo II es no rechazar la hipótesis (nula) siendo que es falsa. En este caso, el error de tipo II consiste en no rechazar que los hombres ganan igual que las mujeres, siendo que es falso.

7. Talla de bebés de madres fumadoras En un programa de investigación de la salud, una muestra aleatoria de mujeres embarazadas es controlada durante su embarazo y parto, para determinar algunas características importantes, tales como la talla y peso del recién nacido, si la madre fumó o no durante el embarazo, etc. Uno de los aspectos investigados fue la talla de los recién nacidos varones, hijos de madres comparables en su estado general de salud y contextura física, encontrándose los siguientes estadísticos, según si la madre fumó o no durante el embarazo. Madre

Talla promedio (cm.)

Desviación estándar (cm.)

Fumadora

48,1

2,5

50,4

2,2

No fumadora

Con el supuesto de independencia de la muestra, normalidad de la talla e igualdad de varianzas, al 5% de significación, se desea contrastar la hipótesis de que la talla media de los niños de madres fumadoras es menor a la de los niños de madres no fumadoras.

Solución: Se usarán los siguientes subíndices: N = madre no fumadora durante el embarazo F = madre fumadora durante el embarazo

En consecuencia, las medias serán: μ N y μ F , respectivamente. Con α = 0,05 , se contrastan las siguientes hipótesis: H0: μ N - μ F = 0 H1: μ N - μ F > 0 Así planteadas las hipótesis, se llega a un ensayo de cola derecha. Con los datos muestrales, se calcula el error estándar de la diferencia de medias:

σ xH −xM =

9 · 2,5 2 + 13 · 2,22 1 1 ·( + ) = 1,06 cm. 9 + 13 − 2 9 13

Se calcula el estadístico de prueba: t=

50,4 − 48,1 = 2,17. 1,06

Este estadístico se comporta como una t con 9 + 13 - 2 = 20 gl, cuando la H0 es verdadera.

Calculando el valor p: α* = P(t p; 20 > 2,17 ) = 0,021

Decisión: Como α* < 0,05 , se rechaza la hipótesis nula, al 5%. Conclusión: Se puede afirmar, con un 5% de significación, que la talla media de los niños de madres fumadoras es menor a la de los niños de madres no fumadoras (p = 0,021).

8. Sexo e ingreso mensual Se realiza un estudio de los sueldos de mujeres y hombres seleccionados al azar desde una población de trabajadores dependientes de distintas empresas pero de igual sector económico, trabajo, jerarquía, edad, ciudad y estado civil. Las interrogantes que el estudio desea esclarecer, con un 1% de significación, tienen que ver con las siguientes afirmaciones y conjeturas que se plantearon inicialmente, antes de la toma de datos: P: Las mujeres de esta población ganan, en promedio, $2.100 por hora de trabajo. Q: El sueldo promedio de los hombres de esta población es mayor a $450.000 al mes. R: En este sector laboral, en promedio, los hombres ganan más que las mujeres. En los contrastes de las respectivas hipótesis, los cálculos dieron los siguientes valores p del estadístico de prueba: α*P = 0,021; α *Q = 0,036; α *R = 0,007.

8.1. Indique, en lenguaje corriente, las hipótesis nulas en cada uno de los casos. 8.2. Construya una conclusión para cada una de las afirmaciones dadas.

Solución: 8.1. Indique, en lenguaje corriente, las hipótesis nulas en cada uno de los casos. Para la conjetura P: H0: Las mujeres de esta población ganan, en promedio, $2.100 por hora de trabajo.

Para la conjetura Q: H0: El sueldo promedio de los hombres de esta población es igual a $450.000 al mes. Para la conjetura R: H0: En este sector laboral, en promedio, los hombres ganan lo mismo que las mujeres. 8.2. Construya una conclusión para cada una de las afirmaciones dadas. Para la conjetura P: no se rechaza H0, al 1%. Conclusión: Las mujeres de esta población ganan, en promedio, $2.100 por hora de trabajo (p = 0,021).

Para la conjetura Q: no se rechaza H0, al 1%. Conclusión: El sueldo promedio de los hombres de esta es igual a $450.000 al mes (p = 0,036). Para la conjetura R: se rechaza H0, al 1%. Conclusión: En este sector laboral, en promedio, los hombres ganan más que las mujeres (p = 0,0079).

9. Prevalencia de plomo en la sangre Se estudia una muestra de 15 recién nacidos en la ciudad de Santiago y 9 de San Felipe, determinado el contenido de plomo en muestras de sangre. Los niños de Santiago obtuvieron un promedio de 3,4 μ g/dl con una desviación estándar de 1,4 μ g/dl; mientras que los de San Felipe obtuvieron un promedio de 2,7 μ g/dl con una desviación estándar de 1,2 μ g/dl. Con estos datos, y el supuesto de independencia, normalidad e igual de varianzas, se pide lo siguiente: 9.1. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el promedio de contenido de plomo en la sangre de los recién nacidos en Santiago. 9.2. Con un 5% de significación, se desea validar la afirmación de que el contenido de plomo en la sangre de los recién nacidos en San Felipe es, en promedio, menos de 3 μ g/dl. 9.3. Se desea validar, con un 5% de significación, la hipótesis de que los recién nacidos de Santiago tienen, en promedio, una mayor concentración de plomo en la sangre que los recién nacidos de San Felipe.

Solución: 9.1. Calcule un intervalo de confianza del 95% para el promedio de contenido de plomo en la sangre de los recién nacidos en Santiago. Se trata del cálculo de un intervalo de confianza de la media, con muestra chica y varianza desconocida. Por esta razón se empleará el modelo de la distribución t de Student. Los datos muestrales son los siguientes: n = 15 ; x = 3,4 μ g/dl, y s = 1,4 μ g/dl.

Para un intervalo de confianza se requieren tres datos: Media muestral:

x = 3,4 μ g/dl.

Valor de t:

t 0,975;14 = 2,145 (según tabla de percentiles t)

Error estándar de la media: σ x =

1,4 15 − 1

= 0,3742 μ g/dl.

El intervalo de confianza de la media es, entonces: μ = 3,4 ± 2,145 ⋅ 0,3742 μ = 3,4 ± 0,803; con un 95% de probabilidades. 2,6 ≤ μ ≤ 4,2 μ g/dl, con un 95% de confianza.

El contenido promedio de plomo en la sangre de los recién nacidos de Santiago fluctúa entre 2,6 y 4,2 μ g/dl, con un 95% de confianza.

9.2. Con un 5% de significación, se desea validar la afirmación de que el contenido de plomo en la sangre de los recién nacidos en San Felipe es, en promedio, menos de 3 μ g/dl.

Con α = 0,05 , se plantea las hipótesis del caso: H0: μ = 3 μ g/dl. H1: μ < 3 μ g/dl. La hipótesis alternativa conduce a una prueba de cola izquierda. Calculando el estadístico de prueba: Previamente se calcula el error estándar de la media: n = 9 ; x = 2,7 μ g/dl, y s = 1,2 μ g/dl. σx =

1,2 9 −1

= 0,4243 μ g/dl.

Ahora: t=

2,7 − 3 = -0,71 0,4243

Si la hipótesis nula es verdadera, este es un t con 9 – 1 = 8 grados de libertad. Calculando el valor p: p = P(t p; 8 ≤ −0,71) = 0,252 (según tabla t)

Decisión: con este valor p, no se puede rechazar la hipótesis nula, al 5%. Conclusión: El contenido de plomo en la sangre de los recién nacidos en San Felipe no es, en promedio, menor a 3 μ g/dl (p = 0,252).

9.3. Se desea validar, con un 5% de significación, la hipótesis de que los recién nacidos de Santiago tienen, en promedio, una mayor concentración de plomo en la sangre que los recién nacidos de San Felipe.

Utilizando los subíndices A = Santiago; B = San Felipe. Las hipótesis a contrastar son: H0: μ A − μ B = 0 H1: μ A − μ B > 0

La hipótesis alternativa conduce a un ensayo de cola derecha. Datos muestrales: n A = 15;

x A = 3,4 μ g/dl;

s A = 1,4 μ g/dl

n B = 9;

x B = 2,7 μ g/dl;

s B = 1,2 μ g/dl

El error estándar de la diferencia de medias es igual a:

σ x A −xB =

15 · 1,42 + 9 · 1,22 ⎛ 1 1 ⎞ + ⎟ = 0,5851 μ g/dl. ⎜ 15 + 9 − 2 ⎝ 15 9 ⎠

Calculando el estadístico de prueba: t=

3,4 − 2,7 = 1,20 0,5851

Si la hipótesis nula es verdadera, este estadístico se distribuye como una t con 15 + 9 – 2 = 22 grados de libertad. Se calcula el valor p de la prueba, considerando que se trata de un ensayo de cola derecha: α* = P(t p; 22 > 1,20) = 0,121 (según tabla t)

Como 0,121 > 0,05, no se rechaza la hipótesis nula al 5%. En conclusión, es posible afirmar que no hay diferencia en el contenido de plomo en la sangre entre los recién nacidos de Santiago y los nacidos en San Felipe (p = 0,121). Los datos presentados no constituyen prueba para afirmar otra cosa.

10. Edad de inicio de la actividad sexual Ciertas investigaciones apuntan a concluir que el inicio de la actividad sexual en los jóvenes es cada vez más temprana. Un estudio con muestras aleatoria de hombres y mujeres de una localidad rural cercana a la capital, que ya han iniciado la actividad sexual, arrojó las siguientes edades de inicio de la actividad sexual: Edad de inicio hombres (años): 17 – 15 – 18 – 21 – 14 – 16 – 15 – 20 – 17 – 13 Edad de inicio mujeres (años): 16 – 22 – 19 – 24 – 15 – 19 – 17 – 20

Asumiendo los supuestos de independencia, normalidad e igualdad de varianzas en las edades, con estos datos se requiere lo siguiente: 10.1. Calcular un intervalo de confianza del 95%, para la edad media de inicio de la actividad sexual en la población de varones. 10.2. Contrastar, al 5% de significación, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres es de 18 años. 10.3. Docimar, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres es antes de los 18 años. 10.4. Contrastar, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres es mayor que la de los hombres. 10.5. Contraste, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres es dos años más tarde que las mujeres.

Solución: Se trata de una situación de dos muestras chicas independientes, con varianza poblacional desconocida.

Se ingresan a la calculadora los datos de muestra, obteniendo los siguientes resultados. La media se aproximará a décima y la desviación estándar a la centésima. Sexo

Edad promedio (años)

Desviación estándar (años)

Error estándar (años)

Hombres

16,6

2,42

0,81

Mujeres

19,0

2,83

1,07

También se calculará el error muestral de la diferencia de medias:

σ xH −xM =

10 · 2,42 2 + 8 · 2,83 2 1 1 ·( + ) = 1,31 años 10 + 8 − 2 10 8

10.1. Calcular un intervalo de confianza del 95%, para la edad media de inicio de la actividad sexual en la población de varones.

Para los efectos, se requiere la media muestral, el percentil 97,5 de la distribución t con 10 – 1 = 9 gl, y el error estándar de la media. x = 16,6 años; t 0,975; 9 = 2,262 y σ x = 0,81 años. El intervalo de confianza está dado por: μ = 16,6 ± 2,262 · 0,81 μ = 16,6 ± 1,8; con un 99% de confianza. 14,8 años ≤ edad ≤18,4 años ; con un 99% de probabilidades.

Finalmente: La edad media de inicio de la actividad sexual en la población de varones fluctúa entre 14,8 y 18,4 años, con un 95% de probabilidades.

10.2. Contrastar, al 5% de significación, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres es de 18 años.

Con α = 0,05 , se contrasta: H0: μ = 18 H1: μ ≠ 18 La hipótesis nula lleva a una prueba de dos colas. Calculando el estadístico de prueba: 16,6 − 18 = -1,73 t= 0,81 Calculando el valor p para una situación de dos colas: α* = 2 ⋅ P(t p; 9 ≥ 1,73) = 2 ⋅ 0,059 = 0,118

Como α* > 0,05 , no se rechaza H0, al 5%. Conclusión: La edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres es de 18 años (p = 0,118).

10.3. Docimar, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres es antes de los 18 años.

Con α = 0,05 , se contrasta: H0: μ = 18 H1: μ < 18 La hipótesis nula lleva a una prueba de cola izquierda. Calculando el estadístico de prueba: 19 − 18 = 0,93 t= 1,07 Calculando el valor p para una situación de cola izquierda: α* = P(t p; 7 ≥ 0,93) = 0,192

Como α* > 0,05 , no se rechaza H0, al 5%. Conclusión: La edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres no es antes de los 18 años de edad (p = 0,192).

10.4. Contrastar, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres es mayor que la de los hombres.

Con α = 0,05 , se contrasta: H0: μ M − μ H = 0 H1: μ M − μ H > 0 Así planteadas, la hipótesis nula lleva a una prueba de cola derecha. Calculando el estadístico de prueba: 19 − 16,6 = 1,83 t= 1,31 Si H0 es verdadera, este estadístico se comporta como una t con 10 + 8 - 2 = 16 gl, Calculando el valor p para una situación de cola derecha: α* = P(t p;16 ≥ 1,13) = 0,043

Como α* < 0,05 , se rechaza H0, al 5%.

Conclusión: La edad promedio de inicio de la actividad sexual en las mujeres es mayor que la de los hombres (p = 0,043).

10.5. Contraste, al 5%, que la edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres es dos años más tarde que las mujeres.

Con α = 0,05 , se contrasta: H0: μ M − μ H = 2 H1: μ M − μ H ≠ 2 Así planteadas, la hipótesis nula lleva a una prueba de dos colas. Calculando el estadístico de prueba: 19 − 16,6 − 2 t= = 0,31 1,31 Si H0 es verdadera, este estadístico se comporta como una t con 10 + 8 - 2 = 16 gl, Calculando el valor p para una situación de dos colas: α* = 2 ⋅ P(t p;16 ≥ 0,31) = 0,76

Como α* > 0,05 , se rechaza H0, al 5%. Conclusión: La edad promedio de inicio de la actividad sexual en los hombres no es dos años más tarde que las mujeres.

11. Capacitación y eficiencia Una empresa realiza una medición en una muestra de nueve trabajadores al azar, del tiempo que emplean individualmente en realizar el armado de un electrodoméstico propio de su línea de producción. Luego de ello se realiza a los mismos trabajadores una capacitación en métodos de trabajo, realizándose una prueba final consistente en el armado del mismo tipo de electrodoméstico anterior. La gerencia de Recursos Humanos espera que la capacitación no sea solo efectiva en disminuir el tiempo de armado sino que, además, el tiempo medio de armado se reduzca en más de 3 minutos. Los datos de los tiempos en ambas pruebas por los nueve operarios son los siguientes. muestra Antes (min) Después (min)

1 29 25

2 35 26

3 27 23

4 45 37

5 26 32

6 35 30

7 37 38

8 38 30

9 30 30

11.1. Contrastar, al 5% de significación, si la capacitación fue efectiva en disminuir el tiempo medio de armado. 11.2. Contrastar, al 5% de significación, si la capacitación logró disminuir el tiempo medio de armado en más de 3 minutos.

Solución: Se trata de una situación de dos muestras chicas pareadas, con varianza poblacional desconocida. Previamente se calcularán las diferencias di = Tiempo Antes – Tiempo Después y se calcularán las estadísticas de esas diferencias: muestra Antes (min) Después (min) di

1 29 25 4

2 35 26 9

3 27 23 4

4 45 37 8

5 26 32 -6

6 35 30 5

7 37 38 -1

8 38 30 8

9 30 30 0

Los estadísticos son los siguientes: n = 9;

d = 3,44 min;

s d = 4,67 min.

El error estándar de la diferencia media es: σd =

4,67 9 −1

= 1,65 minutos.

Las hipótesis a plantear están relacionada con: Hipótesis nula: los tiempos antes y después sin iguales y, por lo tanto, su diferencia es cero. Significa que la capacitación no tuvo ningún efecto en modificar los tiempos de armado. Hipótesis alternativa: Para que la capacitación sea efectiva, el tiempo “después” debe ser menor que el “antes”, por eso la diferencia debería ser mayor que cero. Algebraicamente: Con α = 0,05 , se contrasta:

H0: μd = 0 H1: μ d > 0 La hipótesis nula lleva a una prueba de cola derecha. Calculando el estadístico de prueba: t=

3,44 − 0 = 2,1 1,65

Si la hipótesis nula es verdadera, este es un t con 9 – 1 = 8 grados de libertad. Calculando el valor p para una prueba de cola derecha: α* = P(t p; 8 ≥ 2,1) = 0,034 (según tabla t)

Decisión: Como α* < 0,05 , se rechaza H0, al 5%. Conclusión: El tiempo medio de armado después de la capacitación es significativamente menor al tiempo antes de la capacitación (p = 0,034). En este sentido la capacitación habría sido efectiva en disminuir el tiempo de armado.

11.2. Contrastar, al 5% de significación, si la capacitación logró disminuir el tiempo medio de armado en más de 3 minutos. Ya se tienen los siguientes resultados muestrales: n = 9;

d = 3,44 min; s d = 4,67 min;

σ d = 1,65 min.

Con α = 0,05 , se contrasta: H0: μd = 3 H1: μd > 3 La hipótesis nula lleva a una prueba de cola derecha. Calculando el estadístico de prueba: t=

3,44 − 3 = 0,27 1,65

Si la hipótesis nula es verdadera, este es un t con 9 – 1 = 8 grados de libertad. α* = P(t p; 8 ≥ 2,1) = 0,38 (según tabla t)

Decisión: Como α* > 0,05 , no se rechaza H0, al 5%. Conclusión: El tiempo medio de armado después de la capacitación disminuyó, pero no más de 3 minutos (p = 0,38).

Distribución t (Student)

Probabilidad superior de valores de t con ν grados de libertad 0

GRADOS DE LIBERTAD ν 7 8 9 10

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,468 0,437 0,407 0,379 0,352

0,465 0,430 0,396 0,364 0,333

0,463 0,427 0,392 0,358 0,326

0,463 0,426 0,390 0,355 0,322

0,462 0,425 0,388 0,353 0,319

0,462 0,424 0,387 0,352 0,317

0,462 0,424 0,386 0,351 0,316

0,461 0,423 0,386 0,350 0,315

0,461 0,423 0,385 0,349 0,315

0,461 0,423 0,385 0,349 0,314

0,461 0,423 0,385 0,348 0,313

0,461 0,422 0,385 0,348 0,313

0,461 0,422 0,384 0,348 0,313

0,461 0,422 0,384 0,348 0,312

0,461 0,422 0,384 0,347 0,312

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,328 0,306 0,285 0,267 0,250

0,305 0,278 0,254 0,232 0,211

0,295 0,267 0,241 0,217 0,196

0,290 0,261 0,234 0,210 0,187

0,287 0,258 0,230 0,205 0,182

0,285 0,255 0,227 0,201 0,178

0,284 0,253 0,225 0,199 0,175

0,283 0,252 0,223 0,197 0,173

0,282 0,251 0,222 0,196 0,172

0,281 0,250 0,221 0,195 0,170

0,280 0,249 0,220 0,194 0,169

0,280 0,249 0,220 0,193 0,169

0,279 0,248 0,219 0,192 0,168

0,279 0,248 0,219 0,192 0,167

0,279 0,247 0,218 0,191 0,167

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,235 0,221 0,209 0,197 0,187

0,193 0,177 0,162 0,148 0,136

0,176 0,158 0,142 0,128 0,115

0,167 0,148 0,132 0,117 0,104

0,161 0,142 0,125 0,110 0,097

0,157 0,138 0,121 0,106 0,092

0,154 0,135 0,117 0,102 0,089

0,152 0,132 0,115 0,100 0,086

0,150 0,130 0,113 0,098 0,084

0,149 0,129 0,111 0,096 0,082

0,147 0,128 0,110 0,095 0,081

0,146 0,127 0,109 0,093 0,080

0,146 0,126 0,108 0,092 0,079

0,145 0,125 0,107 0,092 0,078

0,144 0,124 0,107 0,091 0,077

1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0,178 0,169 0,161 0,154 0,148

0,125 0,116 0,107 0,099 0,092

0,104 0,094 0,085 0,077 0,070

0,092 0,082 0,073 0,065 0,058

0,085 0,075 0,066 0,058 0,051

0,080 0,070 0,061 0,053 0,046

0,077 0,066 0,057 0,050 0,043

0,074 0,064 0,055 0,047 0,040

0,072 0,062 0,053 0,045 0,038

0,070 0,060 0,051 0,043 0,037

0,069 0,059 0,050 0,042 0,035

0,068 0,057 0,049 0,041 0,034

0,067 0,056 0,048 0,040 0,033

0,066 0,056 0,047 0,039 0,033

0,065 0,055 0,046 0,038 0,032

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,141 0,136 0,131 0,126 0,121

0,085 0,079 0,074 0,069 0,065

0,063 0,058 0,052 0,048 0,044

0,052 0,046 0,041 0,037 0,033

0,045 0,040 0,035 0,031 0,027

0,040 0,035 0,031 0,027 0,023

0,037 0,032 0,027 0,024 0,020

0,034 0,029 0,025 0,022 0,018

0,033 0,028 0,023 0,020 0,017

0,031 0,026 0,022 0,019 0,016

0,030 0,025 0,021 0,018 0,015

0,029 0,024 0,020 0,017 0,014

0,028 0,023 0,019 0,016 0,013

0,027 0,023 0,019 0,015 0,013

0,027 0,022 0,018 0,015 0,012

2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,117 0,113 0,109 0,106 0,102

0,061 0,057 0,054 0,051 0,048

0,040 0,037 0,034 0,031 0,029

0,030 0,027 0,024 0,022 0,020

0,024 0,021 0,019 0,017 0,015

0,020 0,018 0,016 0,014 0,012

0,018 0,015 0,013 0,011 0,010

0,016 0,014 0,012 0,010 0,009

0,014 0,012 0,010 0,009 0,007

0,013 0,011 0,009 0,008 0,007

0,012 0,010 0,009 0,007 0,006

0,012 0,010 0,008 0,007 0,006

0,011 0,009 0,008 0,006 0,005

0,010 0,009 0,007 0,006 0,005

0,010 0,008 0,007 0,005 0,004

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

0,099 0,096 0,094 0,091 0,089

0,045 0,043 0,040 0,038 0,036

0,027 0,025 0,023 0,021 0,020

0,018 0,016 0,015 0,014 0,012

0,013 0,012 0,011 0,010 0,009

0,011 0,009 0,008 0,007 0,006

0,009 0,008 0,007 0,006 0,005

0,007 0,006 0,005 0,005 0,004

0,006 0,005 0,005 0,004 0,003

0,006 0,005 0,004 0,003 0,003

0,005 0,004 0,004 0,003 0,002

0,005 0,004 0,003 0,003 0,002

0,004 0,003 0,003 0,002 0,002

0,004 0,003 0,002 0,002 0,002

3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0,086 0,084 0,082 0,080 0,078

0,035 0,033 0,031 0,030 0,029

0,018 0,017 0,016 0,015 0,014

0,011 0,010 0,010 0,009 0,008

0,008 0,007 0,006 0,006 0,005

0,006 0,005 0,004 0,004 0,004

0,004 0,004 0,003 0,003 0,003

0,003 0,003 0,003 0,002 0,002

0,003 0,002 0,002 0,002 0,002

0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

0,002 0,002 0,001 0,001 0,001

0,002 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

0,076 0,074 0,073 0,071 0,070

0,027 0,026 0,025 0,024 0,023

0,013 0,012 0,012 0,011 0,010

0,007 0,007 0,006 0,006 0,005

0,005 0,004 0,004 0,004 0,003

0,003 0,003 0,003 0,002 0,002

0,002 0,002 0,002 0,002 0,001

0,002 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,000

0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

0,068 0,067 0,065 0,064 0,063

0,022 0,021 0,020 0,020 0,019

0,010 0,009 0,009 0,008 0,008

0,005 0,005 0,004 0,004 0,004

0,003 0,003 0,002 0,002 0,002

0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Distribución t (Student)

Probabilidad superior de valores de t con ν grados de libertad 0

GRADOS DE LIBERTAD ν 22 23 24 25

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,461 0,422 0,384 0,347 0,312

0,461 0,422 0,384 0,347 0,311

0,461 0,422 0,383 0,347 0,311

0,461 0,422 0,383 0,346 0,311

0,461 0,421 0,383 0,346 0,311

0,461 0,421 0,383 0,346 0,310

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,278 0,247 0,218 0,191 0,166

0,278 0,247 0,217 0,190 0,166

0,278 0,246 0,217 0,190 0,165

0,278 0,246 0,217 0,189 0,165

0,277 0,246 0,216 0,189 0,164

0,277 0,245 0,216 0,189 0,164

0,277 0,245 0,216 0,188 0,163

0,277 0,245 0,215 0,188 0,163

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

0,144 0,124 0,106 0,090 0,077

0,143 0,123 0,105 0,090 0,076

0,143 0,123 0,105 0,089 0,075

0,143 0,122 0,105 0,089 0,075

0,142 0,122 0,104 0,088 0,075

0,142 0,122 0,104 0,088 0,074

0,142 0,121 0,104 0,088 0,074

0,141 0,121 0,103 0,087 0,074

0,141 0,121 0,103 0,087 0,073

0,141 0,120 0,103 0,087 0,073

0,141 0,120 0,102 0,086 0,073

0,140 0,120 0,102 0,086 0,072

1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0,065 0,054 0,045 0,038 0,031

0,064 0,054 0,045 0,037 0,031

0,064 0,053 0,044 0,037 0,030

0,063 0,053 0,044 0,036 0,030

0,063 0,052 0,043 0,036 0,030

0,062 0,052 0,043 0,036 0,029

0,062 0,052 0,043 0,035 0,029

0,062 0,051 0,042 0,035 0,029

0,061 0,051 0,042 0,035 0,028

0,061 0,051 0,042 0,034 0,028

0,061 0,050 0,042 0,034 0,028

0,060 0,050 0,041 0,034 0,028

0,060 0,050 0,041 0,034 0,027

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

0,026 0,021 0,018 0,014 0,012

0,025 0,021 0,017 0,014 0,011

0,025 0,020 0,016 0,013 0,011

0,024 0,020 0,016 0,013 0,011

0,024 0,020 0,016 0,013 0,010

0,024 0,019 0,016 0,013 0,010

0,023 0,019 0,015 0,012 0,010

0,023 0,018 0,015 0,012 0,010

0,023 0,018 0,015 0,012 0,009

0,022 0,018 0,015 0,012 0,009

0,022 0,018 0,014 0,012 0,009

0,022 0,018 0,014 0,011 0,009

2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,010 0,008 0,006 0,005 0,004

0,009 0,008 0,006 0,005 0,004

0,009 0,007 0,006 0,005 0,004

0,009 0,007 0,006 0,004 0,004

0,008 0,007 0,005 0,004 0,003

0,008 0,006 0,005 0,004 0,003

0,007 0,006 0,005 0,004 0,003

0,007 0,006 0,004 0,004 0,003

0,007 0,006 0,004 0,003 0,003

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

0,003 0,003 0,002 0,002 0,001

0,003 0,002 0,002 0,002 0,001

0,003 0,002 0,002 0,001 0,001

0,002 0,002 0,002 0,001 0,001

0,002 0,002 0,001 0,001 0,001

3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0,001 0,001 0,001 0,001 0,001

0,001 0,001 0,001 0,001 0,000

0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

4,6 4,7 4,8 4,9 5,0

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Distribución t (Student)

Valores de t con ν grados de libertad, bajo la probabilidad superior 0

Probabilidad p a la derecha del valor de t dado en la tabla (área de la cola derecha)

0,45

0,40

0,35

0,325

0,30

0,275

0,25

0,225

0,20

0,175

0,15

0,125

0,10

0,075

0,05

0,0375

0,025

0,0175

0,01

0,005

1 2 3 4 5

0,158 0,142 0,137 0,134 0,132

0,325 0,289 0,277 0,271 0,267

0,510 0,445 0,424 0,414 0,408

0,613 0,528 0,502 0,490 0,482

0,727 0,617 0,584 0,569 0,559

0,854 0,713 0,671 0,652 0,641

1,000 0,816 0,765 0,741 0,727

1,171 0,931 0,866 0,836 0,819

1,376 1,061 0,978 0,941 0,920

1,632 1,210 1,105 1,057 1,031

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156

2,414 1,604 1,423 1,344 1,301

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

4,165 2,282 1,924 1,778 1,699

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

8,449 3,443 2,681 2,392 2,242

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571

18,171 5,204 3,670 3,135 2,870

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365

63,656 9,925 5,841 4,604 4,032

6 7 8 9 10

0,131 0,130 0,130 0,129 0,129

0,265 0,263 0,262 0,261 0,260

0,404 0,402 0,399 0,398 0,397

0,477 0,474 0,471 0,469 0,468

0,553 0,549 0,546 0,543 0,542

0,633 0,628 0,624 0,621 0,619

0,718 0,711 0,706 0,703 0,700

0,808 0,800 0,794 0,790 0,786

0,906 0,896 0,889 0,883 0,879

1,013 1,001 0,993 0,986 0,980

1,134 1,119 1,108 1,100 1,093

1,273 1,254 1,240 1,230 1,221

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

1,650 1,617 1,592 1,574 1,559

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

2,151 2,090 2,046 2,013 1,987

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

2,712 2,608 2,535 2,480 2,437

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

11 12 13 14 15

0,129 0,128 0,128 0,128 0,128

0,260 0,259 0,259 0,258 0,258

0,396 0,395 0,394 0,393 0,393

0,466 0,465 0,464 0,464 0,463

0,540 0,539 0,538 0,537 0,536

0,617 0,615 0,614 0,613 0,612

0,697 0,695 0,694 0,692 0,691

0,783 0,781 0,779 0,777 0,776

0,876 0,873 0,870 0,868 0,866

0,976 0,972 0,969 0,967 0,965

1,088 1,083 1,079 1,076 1,074

1,214 1,209 1,204 1,200 1,197

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

1,548 1,538 1,530 1,523 1,517

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

1,966 1,949 1,935 1,923 1,913

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,404 2,376 2,353 2,334 2,318

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

16 17 18 19 20

0,128 0,128 0,127 0,127 0,127

0,258 0,257 0,257 0,257 0,257

0,392 0,392 0,392 0,391 0,391

0,462 0,462 0,461 0,461 0,461

0,535 0,534 0,534 0,533 0,533

0,611 0,610 0,609 0,609 0,608

0,690 0,689 0,688 0,688 0,687

0,774 0,773 0,772 0,771 0,771

0,865 0,863 0,862 0,861 0,860

0,963 0,961 0,960 0,958 0,957

1,071 1,069 1,067 1,066 1,064

1,194 1,191 1,189 1,187 1,185

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

1,512 1,508 1,504 1,500 1,497

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

1,904 1,897 1,890 1,884 1,878

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

2,304 2,291 2,280 2,271 2,262

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

21 22 23 24 25

0,127 0,127 0,127 0,127 0,127

0,257 0,256 0,256 0,256 0,256

0,391 0,390 0,390 0,390 0,390

0,460 0,460 0,460 0,460 0,459

0,532 0,532 0,532 0,531 0,531

0,608 0,607 0,607 0,606 0,606

0,686 0,686 0,685 0,685 0,684

0,770 0,769 0,769 0,768 0,767

0,859 0,858 0,858 0,857 0,856

0,956 0,955 0,954 0,953 0,952

1,063 1,061 1,060 1,059 1,058

1,183 1,182 1,180 1,179 1,178

1,323 1,321 1,319 1,318 1,316

1,494 1,492 1,489 1,487 1,485

1,721 1,717 1,714 1,711 1,708

1,873 1,869 1,865 1,861 1,858

2,080 2,074 2,069 2,064 2,060

2,254 2,247 2,241 2,235 2,229

2,518 2,508 2,500 2,492 2,485

2,831 2,819 2,807 2,797 2,787

> 30

0,126

0,253

0,386

0,454

0,524

0,599

0,676

0,757

0,842

0,937

1,036

1,154

1,282

1,440

1,645

1,790

1,960

2,123

2,326

2,576