PRUEBA DE MATEMÁTICA DE SELECCIÓN UNIVERSITARIA-01 by Patricio Alcaino

Ejercicios RESUELTOS

-1-

PSU

Matemática

Palabras iniciales

Estimados usuari@s: •

Este material que pongo a su disposición está creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemática año 2011, en cuanto los ejes temáticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende.

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La prueba original consta de 75 ejercicios y se debe responder en un máximo de 2 horas y 25 minutos.

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Este documento contiene 20 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original.

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Para trabajar con este material el usuario NO deberá hacer uso de calculadora.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

1. Se tienen dos números naturales, p y q. Se puede determinar si su producto es par o impar, si: (1) p es par (2) q es impar A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Solución: (1) por sí sola Si p es par, entonces cualquier producto de p será par. Luego, (1) por sí sola, sí lleva a determinar si el producto pq es par o impar. (2) por sí sola Si q es impar, entonces la paridad de su producto estará determinada por la paridad del otro número. Luego, (2) por sí sola, no lleva a determinar si el producto pq es par o impar.

Alternativa correcta: A.

2. En la ciencia demográfica se utiliza el concepto índice de feminidad para describir, en una población humana, la cantidad de mujeres por cada cien hombres. Si en cierta región se registra un índice de feminidad 80, significa que mujeres y hombres están en la razón: A) 8 : 1 B) 5 : 4 C) 4 : 5 D) 1 : 8 E) 1 : 4

Solución: Siguiendo la definición de índice de feminidad, se puede establecer la siguiente razón:

80 mujeres 100 hom bres Simplificando:

80 mujeres 4   4 :5 100 hom bres 5

Alternativa correcta: C.

3. Según una reciente investigación social, 13 de cada 20 mujeres brasileñas se sienten aquejadas de estrés debido a la presión por alcanzar ciertos niveles de ingreso para el hogar. Según estas cifras, ¿qué porcentaje de las brasileñas se sienten estresadas? A) 13% B) 15% C) 26% D) 65% E) 75%

Solución: Ordenando los datos: 13

de cada 20

de cada 100

Lleva a la proporción:

13 20  X 100 Despejando:

X

13  100  65% 20

Alternativa correcta: D.

4. El valor numérico de la expresión:

25 7  625

A) 1/5 B) 5 C) 25 D) 75 E) 125

Solución: Aplicando propiedades de las raíces en el numerador, queda:

25 7  625

 25 7  625

En el numerador se extrae raíz y el denominador se expresa como potencia:

 25 7  57 625

Dividiendo potencias de igual base:

57 5

 57  4  53  125

Alternativa correcta: E.

 log 5  log 2  5. El valor numérico de la expresión:   2 83  

1



A) 8 B) 4 C) 2 D) 1/2 E) 1/4

Solución: Se obtendrá primero el recíproco de la expresión, que surge del exponente (-1):

 log 5  log 2    2 83  

1

83  log 5  log 2

Aplicando propiedades en el numerador, se convierte la potencia de exponente fraccionario en raíz. En el denominador se plica la propiedad de la suma de logaritmos: 2

(3 8 )2 83 = log 5  log 2 log (5  2) Resolviendo:

(3 8 )2 22 4 =  4 log (5  2) log 10 1

Alternativa correcta: B.

6. Si x =

1  2 , entonces, el valor numérico de la expresión:   x  x 

2

es:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) –3/2

Solución: Trabajando con la expresión al interior del paréntesis, se realiza la suma algebraica:

1 1  x2 x x x Aplicando el exponente negativo:

1  x 2     x 

2

 x    1  x 2 

Reemplazando: 2

2   2   2 2  x  2  =   =       2   2 2 1 1  x  1  2    1  1  ( 2 ) 

Alternativa correcta: C.

7. La expresión: 25 x 4  16 = A) (5 x  4)2 B) (5 x 2  4)2 C) 5 (x 2  3)2 D) (5 x 2  4) · (5x 2  4) E) 2 (5x 2  4) · (x 2  3)

Solución: Analizando la expresión se llega a determinar que se trata del desarrollo del producto de una suma por su diferencia.

(a  b) (a  b)  a 2  b 2 Factorizando:

25 x 4  16 = (5x 2  4)· (5 x 2  4)

Alternativa correcta: D.

8. Al simplificar la expresión:

A) (

x 2  6x  9 x2  9

, queda:

x 3 2 ) x3

x 3 x3

x3 x 3

1 x 3

E) 10 X

Solución: Analizando la expresión, se llega a determinar que el numerador se trata del desarrollo de un cuadrado de binomio y el denominador, una suma por su diferencia. Factorizando:

x 2  6x  9 x2  9



( x  3)2 ( x  3) ( x  3)

Simplificando por ( x  3) :

(x  3)2 x 3  ( x  3) ( x  3) x  3

Alternativa correcta: B.

9. El valor de la incógnita en la ecuación:

log (2x  10 )  log 10  1 es:

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 45 E) 55

Solución: Se trata de una ecuación logarítmica, con logaritmos en base 10. Para su solución primero se expresará el segundo miembro, 1, como log 10. Entonces:

log (2x  10)  log 10  log 10 Aplicando propiedades de los logaritmos:

log (2x  10)  log 10  log 10 log (2x  10)  log (10 10) log (2x  10 )  log 100 Cancelando logaritmos:

2x  10  100 2x  100  10

x

110  55 2

Alternativa correcta: E.

10. La inecuación siguiente: 5  2x  3 , tiene como solución: A) x  1 B) x  1 C) x  1 D) x  1 E) x  4

Solución: Aplicando propiedades:

5  2x  3 5  3  2x 2  2x

1 x Es decir:

x 1

Alternativa correcta: A.

11. Cierta técnica para confeccionar cerámica consiste en cocer las piezas a 1.150°C y luego bajar su temperatura linealmente, a razón de 75°C por hora, hasta alcanzar la temperatura ambiente. Si T es la temperatura de las piezas de cerámica, en °C, y t el tiempo de enfriado, en horas; de las funciones siguientes, ¿cuál representa la temperatura de la cerámica en función del tiempo durante el período de enfriamiento? A) T = 75 + 1.150 t B) T = 1.150 + 75 t C) T = 1.150 - 75 t D) T = 75 - 1.150 t E) t = 75 T - 1.150

Solución: Una función lineal es de la forma y = a + bx, donde la constante “a” corresponde a las condiciones iniciales (en este caso cuando t = 0, es decir, cuando comienza el enfriamiento) y la constante “b” es la pendiente o variación que experimenta la variable dependiente (en este caso la temperatura T), por cada unidad de variación de la variable independiente (en este caso el tempo t). Como al inicio del enfriamiento la temperatura de la cerámica es 1.150°C, entonces a = 1.150. Como la cerámica se enfría a razón de 75°C por hora, entonces b = -75. Nótese que el signo negativo revela la disminución de la temperatura T a medida que transcurre el tiempo t. Entonces, la función lineal de enfriamiento en este caso es: T = 1.150 - 75 t.

Alternativa correcta: C.

12. De los siguientes gráficos, ¿cuál representa mejor la función: y 10  3 x ; con x  0 ? y

3 0

x E)

Solución: La función dada, no es lineal. Por lo tanto, se descarta alternativa A. Cuando x = 0, el valor de la función es 10. Por lo tanto, se descarta alternativa E. La función de la forma y  a  b x , es creciente cuando b  1 , como en este caso en que b = 3. Por lo tanto, se descarta la alternativa B. La función de la forma y  a  b x , es exponencial, la cual tiene el crecimiento típico que se muestra en la alternativa C.

Alternativa correcta: C.

13. Se tiene un triángulo rectángulo, con ángulo interno  agudo, tal que sen  0,4 . ¿Cuál es el valor de tg  ?

1 21 2

C) D) E)

1 14

1 21 2 21

Solución: En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Entonces:

Como sen  0,4 =

4 2 = , gráficamente esto es: 10 5 C

5 2 A



Se calcula el cateto AB , mediante el teorema de Pitágoras. C

AB  52  22

AB  21 A



21 Se calcula ahora tg  , aplicando la definición de la razón tangente:

tg  

2 21

Alternativa correcta: E.

14. En la figura, ABCDE pentágono inscrito en una circunferencia de centro O. Es posible calcular la altura OP del triángulo ABO, si: (1) Radio de la circunferencia = 10

(2) ABCDE pentágono regular

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Solución: (1) por sí sola. Radio de la circunferencia = 10 Con esta información es posible determinar que en el triángulo ABO, AO  BO  10 . Falta saber la medida de AB . Por lo tanto, (1) por sí sola no lleva a resolver el problema.

(2) por sí sola. ABCDE pentágono regular Con esta información es posible determinar que AB  BC  CD  DE  EA y que los ángulos centrales son congruentes = 72°. Por lo tanto, los ángulos en A y en B son congruentes y miden 54°. Falta saber alguna medida de los lados del triángulo ABO. Por lo tanto, (2) por sí sola no lleva a resolver el problema. Ambas juntas, (1) y (2) En este caso se tiene la medida de un lado del triángulo rectángulo APO y se tiene un ángulo OAP = 54°. Con estos dos datos, aplicando trigonometría se puede calcular la altura OP .

Alternativa correcta: C.

15. En la siguiente figura se observa la transformación isométrica:

A) Simetría axial B) Simetría puntual C) Rotación de 90º en el plano D) Rotación de 180º en el plano E) Traslación en el plano

Solución: Analizando la figura es posible distinguir que una parte de ella es el reflejo (o simetría) de la otra. En la figura siguiente se ha trazado una recta vertical, que es el eje de simetría.

Por lo tanto, se trata de una simetría axial.

Alternativa correcta: A.

16. Dentro de un vaso cilíndrico recto de 10 cm de diámetro que está con agua hasta la mitad de su nivel, se deposita un objeto de 25 cm3 de volumen, que queda completamente cubierto de agua, haciendo subir el nivel de esta. ¿Cuántos centímetros sube el nivel del agua en el vaso? A) 25 B) 5  C) 2 D) 5 /  E) 1/ 

Solución: El agua sube su nivel en una medida igual a la altura de un cilindro de volumen 25 cm3 y de radio 5 cm. Como el volumen de un cilindro de radio r y altura h es igual a: V   r 2 h , entonces:

 r 2 h  25 Reemplazando r = 5:

 52 h  25 25 h  25 Despejando h y simplificando:

h

25 25 

h

1 

Alternativa correcta: E.

17. En la figura, PQR triángulo rectángulo en R y RS = altura. Si PS = 4 y QS = 6, entonces, QR =

A) 2 3 B) 2 6 C) 2 13

D) 2 15 E)

Solución: Agregando los datos relevantes a la figura, queda: R

Aplicando el teorema de Euclides en el triángulo PQR:

h2  4  6  24 Ahora, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo QSR: 2

QR  24  36

QR  60 QR  2 15 Alternativa correcta: D. Otra solución: por ser PQR triángulo rectángulo y RS altura, de acuerdo al teorema de Euclides se da que: 2

QR  6 (6  4) 2

QR  6 0 Llegando a la misma solución:

QR  2 15

18. En la figura, semicircunferencia de diámetro PQ y centro O, con un círculo inscrito tangente en el centro O. Si PQ  20 , entonces, el área de la región achurada es igual a: A) 5  B) 10 C) 25 D) 40 E) 50

Solución: Área del semicírculo de radio 10:

1   10 2  50  2 Área del círculo pequeño, de radio 5:

  5 2  25  Diferencia = 50   25  25

Alternativa correcta: C.

19. Un estudio realizado con una muestra aleatoria de empresas de distintos rubros, recabó información del número de mujeres que ocupan cargos directivos en la empresa. Con los datos generados se construyó el siguiente gráfico: Nº de casos

24 21 18 15 12 9 6 3

Nº 0

Nº de mujeres en el nivel directivo

Según el gráfico, ¿qué porcentaje de las empresas de la muestra tienen mujeres en el nivel directivo? A) 80% B) 60% C) 32% D) 28% E) 12%

Solución: Según el gráfico, se encuestaron 75 empresas. De estas, 60 tenían al menos una mujer en su nivel directivo. Llevando a porcentaje:

P

60 100  80% 75

Alternativa correcta: A.

20. Se tiene una urna A con 3 bolas rojas y 2 verdes, y una urna B con 5 rojas y 3 verdes. Se realiza con ellas el siguiente experimento: se elige una urna al azar y luego se extrae de ella una bola al azar. La probabilidad de extrae bola verdes es: A) 1/5 B) 1/10 C) 3/16 D) 5/13 E) 31/80

Solución: La probabilidad de elegir urna A es: P(A) = 1/2 La probabilidad de extraer bola verde de la urna A es: P(V/A) = 2/5 Luego, la probabilidad de elegir urna A y extraer bola verde es:

1 2 1   2 5 5 La probabilidad de elegir urna B es: P(B) = 1/2 La probabilidad de extraer bola verde de la urna BA es: P(V/B) = 3/8 Luego, la probabilidad de elegir urna B y extraer bola verde es:

1 3 3   2 8 16 La probabilidad pedida, entonces, es la suma de ambas probabilidades, ya que “extraer bola verde” puede ocurrir de cualquiera de estas dos maneras:

1 3 16  15 31    5 16 80 80

Alternativa correcta: E.