Psu matematica 2015 ejercicios resueltos by Patricio Alcaino

Ejercicios RESUELTOS

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PSU - 2015 Matemática

Palabras iniciales

Estimados usuari@s: •

Este material que pongo a su disposición está creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemática año 2015, en cuanto los ejes temáticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende.

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La prueba original consta de 80 ejercicios, de las cuaqles solo 75 se consideran para calcular puntajes. El estudiante tiene 2 horas y 40 minutos para responder.

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Este documento contiene 15 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original.

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Para trabajar con este material el usuario NO deberá hacer uso de calculadora.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

1. De las siguientes medidas, ¿cuál(es) siempre corresponde(n) a un número irracional? I) El perímetro “P” de una circunferencia de radio “r” II) La arista “a” de un cubo de volumen “V” III) La diagonal “d” de un cuadrado de lado “a” A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Solución: I) El perímetro “P” de una circunferencia de radio “r” El perímetro “P” de una circunferencia de radio “r” es igual a P = 2  r Como  es irracional, 2 lo es, y 2  r también lo es. II) La arista “a” de un cubo de volumen V El volumen “V” de un cubo de arista “a” es igual a V = a 3 . Por lo tanto, la arista “a” es es igual a: a = 3 V . Este valor NO siempre es irracional, ya que habrá valores de V para los cuales existe una raíz cúbica racional. III) La diagonal “d” de un cuadrado de lado “a” La diagonal “d” de un cuadrado de lado “a” es d = a 2 . Si bien valores de a para los cuales el producto con Respuesta correcta: A.

2 NO es irracional.

2 es irracional, existen

2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA, respecto de la aplicación de las propiedades de los logaritmos? A) 1 + log 2 = log 20 B) 1 – log 5 = log 2 C) log 7 =

1 2

log 7

D) log 500 = 2 + log 5 E) log 2 + log 3 = log 5

Solución: A) 1 + log 2 = log 20 La expresión 1 + log 2 puede escribirse como log 10 + log 2. Aplicando propiedades de los logaritmos, log 10 + log 2 = log (10 x 2) = log 20. La afirmación A) es verdadera. B) 1 – log 5 = log 2 La expresión 1 – log 5 puede escribirse como log 10 – log 5. Aplicando propiedades de los logaritmos, log 10 – log 5 = log (10 : 5) = log 2. La afirmación B) es verdadera. C) log 7 =

1 2

log 7

Aplicando propiedades de los logaritmos: 1

log 7 = log 7 2 =

1 2

log 7

La afirmación C) es verdadera. D) log 500 = 2 + log 5 La expresión log 500 puede escribirse como log (5 x 100). Aplicando propiedades de los logaritmos, log (5 x 100) = log 5 + log 100. Como log 100 = 2, entonces la alternativa D) es verdadera. E) La afirmación es falsa. No existe tal propiedad.

Respuesta correcta: E.

3. Es posible determinar el valor numérico de la expresión log (10x), con x > 0, si: (1) x = 10 0,3 (2) log x = 0,6 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

Solución: (1) por sí sola Si

x = 10 0,3 , entonces x = (10 0,3 )2  10 0,6

Entonces, log 10x = log 10 + log x = 1 + log 10 0,6 = 1 + 0,6 Entonces, se puede resolver el problema con (1) por sí sola. (2) por sí sola Si log x = 0,6, entonces, al reemplazar: log 10x = log 10 + log x = 1 + 0,6 Entonces, se puede resolver el problema con (2) por sí sola. Respuesta correcta: D.

4. En la figura, A, B y C son puntos en el círculo de centro O y radio 4 cm. Si AB  OC y PC = 1, la medida de AB = A) 2 7 O

B) 2 3 C)

B P

C A

Solución: Agregando una línea auxiliar a la figura y los datos dados, queda lo siguiente:

B x

O P x

A Aplicando el teorema de las cuerdas: x  x  1 7 x2  7 x 7

Por lo tanto, AB = 2 7 Respuesta correcta: A.

5. La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (1, -4) y tiene como vector de dirección al vector v  ( 2, 3) es: A) (x, y) = (-2, 3) + t (1, -4) B) (x, y) = (1, -4) + t (-2, 3) C) (x, y) = (-7, 11) + t (3, -5) D) (x, y) = (-4, 6) + t (-7, 11) E) (x, y) = (4, 6) + t (3, 5)

Solución: La ecuación vectorial de la recta tiene la forma:  (x, y) = P + t v ; donde: P es un punto de la recta, con P( x1 , x 2 ),

t es un escalar o parámetro que pertenece a IR; y   v es el vector de dirección de la recta, con v = ( v1 , v 2 ) 

Reemplazando P(1, -4) y v =(-2, 3), la ecuación queda: (x, y) = P(1, -4) + t(-2, 3). Respuesta correcta: B.

6. De las siguientes rectas, ¿cuál contiene al punto P(-4, 6)? A) (x, y) = (6, -4) + t (-1, 2) B) (x, y) = (-5, 4) + t (-4, 6) C) (x, y) = (-4, 5) + t (-2, 4) D) (x, y) = (4, 6) + t (1, 1) E) (x, y) = (0, 0) + t (-4, 6)

Solución: Se debe verificar si se cumplen las igualdades siguientes: A) (-4, 6) = (6, -4) + t (-1, 2) De donde: -4 = 6 – t  t = 10; y 6 = -4 + 2t  t=5 Como los parámetros t son distintos, el punto (-4, 6) NO está en la recta A). B) (-4, 6) = (-5, 4) + t (-4, 6) De donde: -4 = -5 - 4t  t = -1/4; y 6 = 4 + 6t  t = 1/3 Como los parámetros t son distintos, el punto (-4, 6) NO está en la recta B). C) (-4, 6) = (-4, 5) + t (-2, 4) De donde: -4 = -4 – 2t  t = 0; y 6 = 5 + 4t  t = 1/4 Como los parámetros t son distintos, el punto (-4, 6) NO está en la recta C). D) (-4, 6) = (4, 6) + t (1, 1) De donde: -4 = 4 + t  t = -8; y 6=6+t  t=0 Como los parámetros t son distintos, el punto (-4, 6) NO está en la recta D). E) (-4, 6) = (0, 0) + t (-4, 6) De donde: -4 = 0 – 4t  t=1 6 = 0 + 6t  t=1 Como los parámetros t son iguales, el punto (-4, 6) está en la recta D). Respuesta correcta: D.

7. Si el punto P (1, 4 ) rota 90° con centro en el punto (0, 2) y dirección horaria, queda ubicado en las coordenadas: A) (1, 4 ) B) (4,1) C) (2, 3) D) (2,1) E) ( 1,  4 )

Solución: Procediendo a esquematizar la situación, se tiene lo siguiente: y P(-1, 4) 4

90°

(2, 3)

3 2

(0, 2)

1 x -3

Respuesta correcta: C.

-2

-1

8. En la figura, el triángulo ABC, rectángulo en C, genera la figura homotética A’B’C’ con centro O y razón de homotecia r. B

De acuerdo a la figura, es verdadero que: I)  ABC ~  A’B’C’ II) BC  A’C’ III) r < 0 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

B’

C’

A’

Solución: I)  ABC ~  A’B’C’. Afirmación verdadera. Dos figuras homotéticas son semejantes entre sí. II) BC  A’C’. Afirmación verdadera. En dos figuras homotéticas, sus lados son paralelos. Como en este caso el triángulo es rectángulo en C, resulta que BC  A’C’. III) r < 0. Afirmación falsa. Cuando r < 0, se produce una inversión de la figura homotética, que no es el caso presentado. Respuesta correcta: B.

9. Se tienen los siguientes datos de una variable X. Xi = 10, 12, 14, 16 Respecto de los estadígrafos de X se afirma que: I) Mediana (X) = 13 II) Varianza (X) = 5 III) Rango (X) = 6 Es (son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

Solución: I) Mediana (X) = 13. Afirmación verdadera. Cuando el número de datos es par, la mediana es igual al promedio de los dos valores centrales, al ordenarlos de menor a mayor (o viceversa). II) Varianza (X) = 5. Afirmación verdadera. Por definición, la varianza es igual a: (x  x )2 n Calculando primero la media aritmética: 10  12  14  16 x = 13 4 Entonces: V (x ) 

V (x ) 

(10  13) 2  (12  13) 2  (14  13) 2  (16  13) 2 =5 4

III) Rango (X) = 6. Afirmación verdadera. El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos: Rango (X) = 16 – 10 = 6 Respuesta correcta: E.

10. El gráfico adjunto muestra la distribución de frecuencias de una variable discreta X. En esta distribución es posible calcular la media aritmética de X, si: (1) x1 = 3; x 2 = 4; x 3 = 5; x 4 = 6 (2) 4 x1 +3 x 2 + x 3 +2 x 4 = 41 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional.

Solución: Por definición, la media aritmética en este caso es: x

x i  f i n

A) (1) por sí sola. Si x1 = 3; x 2 = 4; x 3 = 5; x 4 = 6; y en el gráfico: f1 = 4; f 2 = 3; f 3 = 1; f 4 = 2 Con esta información ya se puede calcular la media aritmética de X B) (2) por sí sola. La igualdad 4 x1 +3 x 2 + x 3 +2 x 4 = 41 corresponde a x i  f1 . El término n puede ser determinado mediante el gráfico: n = 4+3+1+2 = 10 Con esta información ya se puede calcular la media aritmética de X Por lo tanto, cada una por sí sola, (1) o (2), permiten resolver el problema planteado. Respuesta correcta: D.

11. Se definen en un espacio muestral los sucesos independientes A y B, siendo P(A) y P(B) sus respectivas probabilidades de ocurrencia, ambas distintas de cero. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la probabilidad de que ocurran ambos sucesos? A) P( A  B ) B) P( A )  P( B ) C) P( A )  P( B ) D) P( A )  P( B) E) P( A ) : P( B)

Solución: Si A y B son independientes se cumple que P(A y B) = P( A  B)  P( A )  P( B ) Respuesta correcta: B.

12. Se lanzarán simultáneamente 4 monedas, definiendo la función de variable aleatoria f como el número de caras que resultan. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f es una función de variable aleatoria continua II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 – f(0) III) La probabilidad de que resulten a lo más 1 cara es igual a f(0) + f(1) Es (son) correcta(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

Solución: I) f es una función de variable aleatoria continua. Afirmación falsa. En realidad f es una función de variable aleatoria discreta, ya que solo puede tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, 4. II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 – f(0). Afirmación verdadera. Al menos 1 cara es: 1, 2, 3 o 4 caras. Esta probabilidad es igual a f(1) + f(2) + f(3) + f(4), que es igual a: 1 – f(0). III) La probabilidad de que resulten a lo más 1 cara es igual a f(0) + f(1). Afirmación verdadera. A lo más 1 cara es: 0 o 1 cara. Esta probabilidad es igual a f(0) + f(1) . Respuesta correcta: C.

13. Sabiendo que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es independiente de otro, se puede determinar la probabilidad de que en un día cualquiera llueva, si: (1) La probabilidad de que un día NO llueva es 0,85. (2) La probabilidad de que llueva dos días seguidos es 9/400. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) o (2) E) Se requiere información adicional

Solución: Definiendo el suceso A = llueve un día cualquiera. (1) La probabilidad de que un día NO llueva es 0,85. Esta es la probabilidad del suceso contrario a la probabilidad de lluvia. De acuerdo al teorema correspondiente se debe cumplir que P( A )  P( A c )  1 , de donde se puede calcular que P(A) = 1 – 0,85. Luego, (1) por sí sola permite el cálculo solicitado. (2) La probabilidad de que llueva dos días seguidos es 0,1. Esta probabilidad se puede expresar como: P( A  A )  P( A )2 De acuerdo al dato dado: P( A ) 2 

9 400

, de donde es posible despejar P(A), aplicando raíz

cuadrada. Luego, (2) por sí sola permite el cálculo solicitado. Por lo tanto, cada una por sí sola (1) o (2) resuelve el problema planteado. Respuesta correcta: D.

14. Cierta variable aleatoria discreta con   {0,1 , 2, 3, 4, ...} presenta la siguiente distribución de probabilidades: X

P(x)

0,05

0,15

4 o más

0,35

Es posible calcular P(x=2), si: (1) P(x < 3) = 0,45 (2) P( x  4 ) = 0,2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) o (2) E) Se requiere información adicional

Solución: (1) por sí sola La probabilidad P(x < 3) = 0,45 puede expresarse como: P(0) + P(1) + P(2) = 0,45; pudiendo despejarse P(2). Luego, (1) por sí sola es suficiente para resolver lo solicitado. (2) por sí sola Como P( x  4 ) = 0,2; solo queda como incógnita P(x=2), que puede ser calculada considerando que la suma de todas las probabilidades es 1. Luego, (2) por sí sola es suficiente para resolver lo solicitado. Respuesta correcta: D.

15. Los siguientes estadísticos fueron calculados sobre la base de la edad del primer parto en una muestra de más de mil madres:    

Edad cuartil 1 = 18 años Edad mediana = 23 años Edad máxima = 34 años Rango de edad = 19 años

Respecto la edad del primer parto en la muestra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) La mitad tuvo su primer hijo antes de los 23 años de edad B) El 25% tuvo su primer parto entre los 23 y 34 años de edad C) El 25% tuvo su primer parto entre los 18 y 23 años de edad D) El 50% tuvo su primer parto teniendo 23 o más años de edad E) La edad mínima de las madres de la muestra es 15 años

Solución: A) La mitad tuvo su primer hijo antes de los 23 años de edad. Afirmación verdadera. De acuerdo al valor de la mediana, el 50% de la muestra tuvo su primer hijo antes de los 23 años de edad. B) El 25% tuvo su primer parto entre los 23 y 34 años de edad. Afirmación falsa. De acuerdo a la definición de mediana, entre la mediana 23 años y la edad máxima 34 años se encuentra el 50% de la muestra. Respuesta correcta: B.