PROBABILIDADES 1 by Patricio Alcaino

Casos y problemas

resueltos I: Conceptos Básicos

Estadística Probabilidades Aplicada a las Ciencias Sociales Aplicadas a las Ciencias Sociales I: Estadística Descriptiva

Patricio Patricio Alcaíno Alcaíno Martínez Martínez

Palabras iniciales

Estimados usuari@s:

•

Este material que pongo a su disposición está creado a partir de situaciones en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a un criterio didáctico. Por ello, la información y conclusiones que se puedan inferir, no son necesariamente válidas.

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Este volumen está dirigido a tratar el tema del cálculo de probabilidades y a los conceptos que lo sustentan. El lector deberá manejar los conceptos y teoremas fundamentales de Probabilidades y exhibir competencia en el cálculo de razones, proporcionalidad y tanto por ciento.

•

Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadora.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez

Caso 1: estudio con familias En una investigación con familias, se definen los siguientes sucesos: H = la familia tiene hijos. R = la familia vive en sectores rurales. M = el jefe de familia es mujer. Escriba en forma algebraica los siguientes sucesos: 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

La familia no vive en sectores rurales. La familia tiene hijos y vive en sectores rurales. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos. La familia vive en sectores rurales o no tiene hijos. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales. El jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales. La familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer.

Solución: 1.1. Corresponde a la negación del suceso R. La familia no vive en sectores rurales = R’ 1.2. Corresponde a una conjunción de los sucesos H y R. La familia tiene hijos y vive en sectores rurales = H y R 1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos = M y H’ También puede expresarse como M – H 1.4. Es una disyunción de dos sucesos La familia vive en sectores rurales o no tiene hijos = R o H’ 1.5. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales = H’ y R. Aplicando las propiedades se puede expresar H’ y R = R y H’ = R – H. 1.6. Es un suceso condicional El jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales = M/R 1.7. Corresponde a un suceso condicional La familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer = H’/M

Caso 2: deserción escolar Se realiza un estudio sociológico con estudiantes de educación básica, y se definen los siguientes sucesos: D = deserta del sistema escolar. A = ayuda económicamente en su hogar. H = tiene hermanos en su familia. Escriba en lenguaje corriente a qué corresponden los siguientes sucesos: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

H’ = D y A’ = D/A = D o H’ = H–D= H’/D =

Solución: 2.1. H’ = No tiene hermanos en su familia. 2.2. D y A’ = Deserta de sistema escolar y no ayuda económicamente en su hogar. 2.3. D/A = Deserta de sistema escolar dado que ayuda económicamente en su hogar. 2.4. D o H’ = Deserta de sistema escolar o no tiene hermanos en su familia. 2.5. H – D = Tiene hermanos en su familia, pero no deserta del sistema escolar. 2.6. H’/D = No tiene hermanos en su familia, dado que deserta del sistema escolar.

Caso 3: Sucesos El siguiente diagrama muestra los sucesos A y B definidos en el espacio muestral  , con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia:

A 0,34

0,13

0,15



A partir de esta información, calcule las siguientes probabilidades: 3.1. P(B’) = 3.2. P(B – A) = 3.3. P(A y B’)= 3.4. P(A o B) = 3.5. P[(A o B)’] = 3.6. P(B/A) = 3.7. ¿Son los sucesos A y B, independientes?

Solución: En el diagrama falta el dato de la probabilidad de un segmento, en forma de media luna, del suceso B. Este se calcula por diferencia, ya que la suma de las probabilidades de todos los segmentos debe ser 1.

A 0,13 0,15

0,34

B 0,38



De este modo, P(A) = 0,47; P(B) = 0,72 y P(A y B) = 0,34.

3.1. P(B’) = 0,13 + 0,15 = 0,28; o bien: P(B’) = 1 – 0,72 = 0,28 3.2. P(B – A) = 0,72 – 0,34 = 0,38 3.3. P(A y B’)= 0,47 – 0,34 = 0,13 3.4. P(A o B) = 0,13 + 0,34 + 0,38 = 0,85 3.5. P[(A o B)’] = 1 – 0,85 = 0,15

3.6. P(B/A) =

P( A y B ) = 0,34/0,47 = 0,723 P( A )

3.7. ¿Son los sucesos A y B, independientes? Para que A y B sean independientes, debe darse que P(A y B) = P(A) · P(B). Según el diagrama: P(A) = 0,47; P(B) = 0,72 y P(A y B) = 0,34. Reemplazando: P(A y B) = P(A) · P(B) 0,34 = 0,47 · 0,72 Haciendo el producto en el segundo miembro: 0,34 = 0,3384 Como 0,34  0,3384, se deduce que A y B no son sucesos independientes.

Caso 4: Isla Negra En la localidad de Isla Negra, son dos las atracciones principales para los turistas: (N) visitar la Casa de Neruda; (A) ir a la playa, ambas actividades independientes. Se sabe que, de los turistas que acuden al lugar, el 78% visita la casa de Neruda, el 42% va a la playa y el 27% realiza ambas actividades. Si un turista visita Isla Negra, calcular la probabilidad de que: 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

No vaya a la playa Vaya a la playa, pero no visite la casa de Neruda No realice ninguna de estas dos actividades Visite la casa de Neruda, dado que va a la playa. Vaya a la playa, puesto que no visita la casa de Neruda ¿Son estos dos sucesos, independientes?

Solución: Para los efectos, se definirán los siguientes sucesos: N = el turista visita la casa de Neruda A = el turista va la playa Están dadas las siguientes probabilidades: P(N) = 0,78; P(A) = 0,42 y P(A y N) = 0,27 4.1. Se pide P(A’) Aplicando la propiedad correspondiente a sucesos contrarios: P(A’) = 1 – P(A) P(A’) = 1 – 0,42 = 0,58 La probabilidad de que un turista no vaya a la playa es 0,58

4.2. Se pide P(A – N) Aplicando los teoremas correspondientes: P(A – N) = P(A) – P(A y N) P(A – N) = 0,42 – 0,27 = 0,15 La probabilidad de que un turista vaya a la playa, pero no visite la casa de Neruda es 0,15. Otra solución: El enunciado puede interpretarse como P(A y N’). Desarrollando la expresión, resulta P(A y N’) = P(A) – P(A y N), con idéntico resultado que el anterior.

4.3. Se pide P[(A o N)’] Aplicando los teoremas correspondientes: P[(A o N)’] = 1 – P(A o N) . Este es el desarrollo de la aplicación de sucesos contrarios. Ahora, la expresión P(A o N) se desarrolla como unión de sucesos. P[(A o N)’] = 1 – P(A o N) = 1 – [ P(A) + P(N) – P(A y N)] Reemplazando: P[(A o N)’] = 1 – (0,42 + 0,78 – 0,27) = 1 – 0,93 = 0,07 La probabilidad de que un turista no realice ninguna de estas dos actividades es 0,07.

4.4. Se pide P(N/A), que es la probabilidad de que ocurra N, dado que ocurre A. Aplicando la definición de sucesos condicionales: P(N/A) =

P(A y N) 0,27  = 0,643 P( A ) 0,42

La probabilidad de que un turista visite la casa de Neruda, dado que va a la playa es 0,643.

4.5. Se pide P(A/N’) Aplicando la propiedad correspondiente: P(A/N’) =

P( A y N' ) P(A  N) P(A )  P(A y N) 0,42  0,27 0,15    = = 0,682 P(N' ) 1  P(N) 1  P(N) 1  0,78 0,22

La probabilidad de que un turista vaya a la playa dado que no visita la casa de Neruda es 0,682.

4.6. Para que los sucesos A y N sean independientes, debe darse que P(A y N) = P(A) · P(N). Según los datos: P(A) = 0,42; P(N) = 0, 78 y P(A y N) = 0,27 Reemplazando: P(A y N) = P(A) · P(N) 0,27 = 0,44 · 0,78 Haciendo el producto en el segundo miembro: 0,27 = 0,3276 Como 0,27  0,3276, se concluye que A y N no son sucesos independientes.

Caso 5: lengua aymara En cierto poblado del norte de Chile, el 73% de los habitantes habla aymara, el 19% habla español, pero no aymara y el 42% habla ambas lenguas. A partir de estos datos, calcule la probabilidad de que una persona de este poblado seleccionada al azar: 5.1. No hable español 5.2. Hable aymara, pero no español 5.3. No hable ninguna de las dos lenguas 5.4. Hable aymara o español 5.5. Hable español, ya que habla aymara 5.6. Hable aymara, ya que no habla español Solución: Trazando un diagrama de Venn, se pueden calcular las probabilidades siguientes:

A 0,31

0,42

E 0,19

0,08



También es posible construir una tabla de contingencia con los datos dados: Habla Aymara Sí No Total

Habla Español Sí No 0,42 0,19

Total 0,73 1

De este modo, se calcula la probabilidad de las otras celdas: Habla Aymara Sí No Total

Habla Español Sí No 0,42 0,31 0,19 0,08 0,61 0,39

Total 0,73 0,27 1

Las probabilidades se pueden extraer directamente del diagrama de Venn o de la tabla: 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

No hable español = 0,39 Hable aymara, pero no español = 0,31 No hable ninguna de las dos lenguas = 0,08 Hable aymara o español = 0,19 + 0,42 + 0,31 = 0,92 Hable español, ya que habla aymara = 0,42/0,73 = 0,575 Hable aymara, ya que no habla español = 0,31/0,39 = 0,795

Caso 6: Comunidad mapuche En cierta comunidad, el 82% de las personas son descendientes de mapuche. Si se seleccionan al azar dos personas de esta comunidad, calcule la probabilidad de que: 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Ninguno de los dos sea descendiente de mapuche. Solo uno de ellos sea descendiente de mapuche. Los dos sean descendientes de mapuche. A lo menos uno sea descendiente de mapuche. A lo más uno sea descendiente de mapuche.

Solución: Sea el suceso M = la persona es descendiente de mapuche. Entonces: P(M) = 0,83 y P(M’) = 1- 0,83 = 0,17

6.1. Se pide P(M’ y M’). Aplicando la propiedad del producto de sucesos: P(M’ y M’) = 0,17 · 0,17 = 0,0289 La probabilidad de que ninguno de los dos sea descendiente de mapuche es 0,0289.

6.2. Se pide P[(M y M’) o (M’ y M)] Esto porque se puede dar dos posibilidades: 1) El primero de M y el segundo M’; o bien: 2) El primero de M’ y el segundo M Entonces, aplicando la propiedad del producto y de la adición de sucesos: P[(M y M’) o (M’ y M)] = P(M) · P(M’) + P(M’) · P(M) = 0,83 · 0,17 + 0,17 · 0,83 = 0,2822. La probabilidad de que solo uno de ellos sea descendiente de mapuche es 0,2822.

6.3. Se pide P(M y M). Aplicando la propiedad del producto: P(M y M) = 0,83 · 0,83 = 0,6889. La probabilidad de que ambos sean descendiente de mapuche es 0,6889.

6.4. A lo menos uno significa: solo uno o los dos sean descendiente de mapuche. P(Solo uno sea M) = 0,2822, ya calculado en 6.2. P(Los dos sean M) = 0,6889, ya calculado en 6.3.

Entonces: P(Al menos uno sea M) = 0,2822 + 0,6889 = 0,9711, por la propiedad aditiva. La probabilidad de que a lo menos uno sea descendiente de mapuche es 0,9711.

6.5. A lo más uno significa: Ninguno o solo uno sea descendiente de mapuche. P(Ninguno sea M) = 0,0289, ya calculado en 6.1. P(Solo uno sea M) = 0,2822, ya calculado en 6.2. Entonces: P(A lo más uno sea M) = 0,0289 + 0, 2822= 0,3111, por la propiedad aditiva.

Caso 7: Trastorno del aprendizaje Una investigación determinó que en las escuelas municipales de cierta comuna, en el primer ciclo de educación básica, el 14% de los estudiantes presentan algún trastorno del aprendizaje. Si se seleccionan, uno a uno, estudiantes de esta población hasta encontrar un estudiante con trastorno del aprendizaje, calcular la probabilidad de que este resulte: 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

En la primera extracción Solo a la segunda extracción Solo a la tercera extracción Solo a la cuarta extracción

Solución: Sea el suceso T = el estudiante presenta trastorno del aprendizaje. Entonces P(T) = 0,14 y P(T’) = 1 – 0,14 = 0,86 7.1. En la primera extracción P(T) = 0,1400.

7.2. Para que resulte T en la segunda extracción, en la primera debe resultar T’. Llevando al álgebra de sucesos: P(T en la segunda extracción) = P(T’ y T). Aplicando la propiedad del producto: P(T’ y T) = 0,86 · 0,14 = 0,1204

7.3. Para que resulte T en la tercera extracción, en la primera y la segunda deben resultar T’. Llevando al álgebra de sucesos: P(T en la tercera extracción) = P(T’ y T’ y T). Aplicando la propiedad del producto: P(T’y T’ y T) = 0,86 · 0,86 · 0,14 = 0,1035

7.4. Para que resulte T en la cuarta extracción, en la primera, la segunda y la tercera deben resultar T’. Llevando al álgebra de sucesos: P(T en la tercera extracción) = P(T’ y T’ y T’ y T). Aplicando la propiedad del producto: P(T’ y T’y T’ y T) = 0,86 · 0,86 · 0,86 · 0,14 = 0,0890

Caso 8: Familias según integrantes La tabla de frecuencias siguiente muestra el Nº de integrantes de un grupo de familias según su número de integrantes: Integrantes 2 3 4 5 6

Familias 8 27 39 23 11

8.1. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta comunidad una familia tenga más de 4 integrantes? 8.2. ¿Cuál es la probabilidad de que en esta comunidad una familia tenga 2 o 3 integrantes? 8.3. Si se seleccionan 2 familias al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tengan 4 integrantes? 8.4. Si se seleccionan al azar 3 familias con menos de 5 integrantes, ¿cuál es la probabilidad de que las tres tengan 2 integrantes?

Solución: Sumando todas las familias da un total de 108. X 2 3 4 5 6

fi 8 27 39 23 11 108



8.1. Casos favorables: 23 + 11 = 34 Casos totales = 108 Aplicando la definición de Laplace: P( x  4) 

34  0,3148 108

8.2. Casos favorables: 8 + 27 = 35 Casos totales = 108 Aplicando la definición de Laplace: P( x  2  x  3) 

35  0,3241 108

8.3. Primero se calcula la probabilidad de que x = 4. Casos favorables = 39 Casos totales = 108 Aplicando la definición de Laplace: P( x  4) 

39  0,3611 108

Para que se produzca dos veces el mismo suceso, se aplica la regla del producto: P(2 familias con x = 4) = 0,3611 · 0,3611 = 0,1304.

8.4. Primero se calcula la probabilidad de que x < 5. Casos favorables = 8 + 27 + 39 = 74 Casos totales = 108 Aplicando la definición de Laplace: P( x  5 ) 

74  0,6852 108

Para que se produzca tres veces el mismo suceso, se aplica la regla del producto: P(3 familias con x <5) = 0,6852 · 0,6852 · 0,6852 = 0,3217.

Caso 9: Parcelas agrícola En cierto sector agrícola hay un total de 175 parcelas cada una con parceleros distintos. De estos, solo 112 son propietarios. Del total de parcelas, 35 no siembran trigo y, de los que siembran trigo, el 65% son propietarios. Con estos datos, calcule: 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

La probabilidad de que un parcelero no siembre trigo. La probabilidad de que un parcelero sea propietario de la parcela. La probabilidad de que un parcelero siembre trigo y no sea propietario. La probabilidad de que un parcelero sea propietario y no siembre trigo. En los que son propietarios, la probabilidad de que no hayan sembrado trigo. La probabilidad de que sea propietario, dado que sembró trigo.

Solución: Con ayuda de una tabla de contingencia de 2x2 o un diagrama de Venn, se puede facilitar el cálculo. Haciendo: P = propietario; T = siembra trigo.

P 21 14

91 49



O bien: SIEMBRA TRIGO SÍ NO TOTAL

PROPIETARIO SÍ NO 91 49 21 14 112 63

TOTAL 140 35 175

Entonces, obteniendo las cantidades desde el diagrama o de la tabla y aplicando la definición de probabilidad de Laplace, calcule: 9.1. La probabilidad de que un parcelero no siembre trigo. P(T’) = 35/175 = 0,2 9.2. La probabilidad de que un parcelero sea propietario de la parcela. P(P) = 112/175 = 0,64 9.3. La probabilidad de que un parcelero siembre trigo y no sea propietario. P(T y P’) = 49/175 = 0,28 9.4. La probabilidad de que un parcelero sea propietario y no siembre trigo. P(P y T’) = 21/175 = 0,12

9.5. En los que son propietarios, la probabilidad de que no hayan sembrado trigo. P(T’/P) = 21/112 = 0,1875 9.6. La probabilidad de que sea propietario, dado que sembró trigo. P(P/T) = 91/140 = 0,65

Caso 10: Torres gemelas en Argentina Luego del ataque a las torres gemelas en Estados Unidos se realizó un estudio en Argentina en la cual se estudiaron, entre otras, las siguientes variables: A = Preocupación de que ocurran en la Argentina hechos similares a los ocurridos el 11 de Septiembre del 2002 en los Estados Unidos (Sí - No) B = Cree que estos hechos tuvieron alguna influencia en los gastos del hogar (Sí – No) Los resultados permitieron construir las siguientes conclusiones: 

El 57% está preocupado de que ocurran hechos similares en Argentina.



El 20% cree que hay influencia de estos hechos en los gastos del hogar.



El 7% cree que hay influencia en los gastos, pero no está preocupado de que ocurran hechos similares en Argentina.

De acuerdo a estos datos: 10.1. ¿Qué % de la población está preocupado por los hechos y además cree que esos hechos influyen en los gastos del hogar? 10.2. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté preocupado por estos hechos, pero no crea que tengan influencia en los gastos del hogar? 10.3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté preocupada, siendo que no cree que los hechos influyan en los gastos del hogar? 10.4. En una muestra de 185 personas, ¿Cuántas de ellas no estarían preocupados por estos hechos? 10.5. Si se extraen dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén preocupados por los hechos, pero no crean que influyen en los gastos?

Solución: De acuerdo a la nomenclatura de los sucesos y datos dados, se tiene que: P(A) = 0,57; P(B) = 0,20; P(B – A) = 0,07.

10.1. Se pide P(A y B) Se sabe que P(B – A) = 0,07. Desarrollando: P(B – A) = P(B) – P(A y B) P(A) está dado, al igual que P(B – A), pero se desconoce P(A y B). Reemplazando los valores conocidos, queda: 0,07 = 0,20 – P(A y B) Despejando: P(A y B) = 0,20 – 0,07 = 0,13 Expresada en % esta probabilidad, es: 13%

Luego, el 13% de la población está preocupada por los hechos y además cree que estos influyen en los gastos del hogar

10.2. Se pide P(A – B) Desarrollando: P(A – B) = P(A) – P(A y B) Reemplazando valores: P(A – B) = 0,57 – 0,13 = 0,44 Luego, la probabilidad de que una persona esté preocupada por estos hechos, pero no crea que tengan influencia en los gastos del hogar es 0,44.

10.3. Se pide P(A/B) Desarrollando: P(A/B) =

P(A y B) 0,13 = = 0,65 P(B) 0,20

Entonces, la probabilidad de que una persona esté preocupada, siendo que no cree que los hechos influyan en los gastos del hogar es 0,65.

10.4. En una muestra de 185 personas, ¿Cuántas de ellas no estarían preocupados por estos hechos? Se tiene que P(A) = 0,57. Luego P(A’) = 0,43. Con n = 185 y P = 0,43, el valor esperado es: E = 185 · 0,43 = 79,55  80 personas.

10.5. Si se extraen dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos estén preocupados por los hechos, pero no crean que influyen en los gastos? La probabilidad de que una persona esté preocupados por los hechos, pero no crea que influyen en los gastos es P(A – B) = 0,44. La probabilidad de que 2 estén en las mismas condiciones es, aplicando la propiedad del producto, es: P = 0,44 · 0,44 = 0,1936

Caso 11: muestreo sin reposición De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres se selecciona, sin reposición, dos personas al azar. Calcule la probabilidad de que resulten: 11.1. Dos mujeres. 11.2. Dos hombres.

Solución: Se trata de una situación de probabilidad condicional, ya que al extraer una persona, queda una menos en el grupo original y el resultado de la segunda extracción va a estar condicionado por resultado de la primera. 11.1. Dos mujeres. Si la primera extracción resulta mujer, para la segunda extracción hay en el grupo una persona menos y una mujer menos. Entonces, debe darse el suceso: M1 y M 2 / M1 P( M1 ) = 3/8 P( M2 /M1 ) = 2/7 Aplicando la propiedad multiplicativa: P(Dos mujeres) =

3 2  = 0,1071 8 7

Otra solución:

3 Casos favorables: es la combinatoria de ( ) 2 8 Casos totales: es la combinatoria de ( ) 2 3 ( ) 2 Entonces: P(2 mujeres) =  0,1071 8 ( ) 2

11.2. Dos hombres. P(2 hombres) =

5 4  = 0,3571 8 7

Otra solución:

5 ( ) 2 Usando combinatoria: P(2 hombres) =  0,3571 8 ( ) 2

CASO 12: Número de hijos según edad Se ha investigado en una muestra aleatoria de mujeres entre 15 y 70 años de edad, su edad y el número de hijos nacidos vivos, llegándose a la siguiente tabla: Mujeres según edad y número de hijos. Nº de casos. EDAD (años) 15 – 20 20 – 30 30 – 50 50 – 70

0 13 9 2 3

Nº de hijos 1 2 17 8 11 14 22 9 2 27

3 1 3 18 23

Sobre la base de estos datos, calcule la probabilidad de que en esta muestra una mujer: 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5.

Tenga Tenga Tenga Tenga Tenga

más de 1 hijo 3 hijos y menos de 30 años 20 o más años de edad hijos, dado que tiene menos de 20 años. a lo menos 50 años, dado que no tiene hijos.

Solución: Para contestar las preguntas se realizarán las sumas, para obtener las marginales: EDAD (años) 15 – 20 20 – 30 30 – 50 50 – 70 Total

0 13 9 2 3 27

Nº de hijos 1 2 17 8 11 14 9 22 2 27 39 71

12.1. Tenga más de 1 hijo Casos favorables = 71 + 44 = 115 Casos totales = 181 Probabilidad = 115/181 = 0,6354

12.2. Tenga 3 hijos y menos de 30 años Casos favorables = 0 + 3 = 3 Casos totales = 181 Probabilidad = 3/181 = 0,0166

Total 3 0 3 18 23 44

38 37 51 55 181

12.3. Tenga 20 o más años de edad Casos favorables = 37 + 51 + 55 = 143 Casos totales = 181 Probabilidad = 143/181 = 0,7901

12.4. Tenga hijos, dado que tiene menos de 20 años. Casos favorables = 17 + 8 + 0 = 25 Casos totales = 38 Probabilidad = 25/38 = 0,6579

12.5. Tenga a lo menos 50 años, dado que no tiene hijos. Casos favorables = 3 Casos totales = 27 Probabilidad = 3/27 = 0,1111

Caso 13: Focus group y entrevista Se está realizando una investigación cualitativa mediante un focus group con 12 personas, de las cuales 5 son hombres y 7 son mujeres. De estas, habrá que seleccionar al azar a 4 para realizar entrevistas en profundidad. Calcule la probabilidad de que para las entrevistas resulten: 13.1. 13.2. 13.3. 13.4.

Dos mujeres Solo un hombre A lo más una mujer Al menos un hombre

Solución: Corresponde a una situación de probabilidad condicional, ya que la extracción de cada uno de las personas a entrevistar depende del resultado anterior. El total de casos posible es la combinatoria de las 12 personas tomadas en grupos de 4.

12 Esto es: ( ) 4 13.1. Dos mujeres obliga a que los otros dos sean hombres. Entonces, la probabilidad de que resulten dos mujeres para las entrevistas, es igual a:

7 5 ( )·( ) 2 2 P(2 mujeres) =  0,4242 12 ( ) 4 13.2. Solo un hombre corresponde a 1 hombre y 3 mujeres, para completare los 4 a entrevistar. La probabilidad es:

5 7 ( )· ( ) 1 3 P(1 hombre) =  0,3535 12 ( ) 4 13.3. A lo más una mujer es cero mujeres y 4 hombres o 1 mujer y 3 hombres. La probabilidad es la siguiente.

7 5 7 5 ( )· ( )  ( )· ( ) 0 4 1 3 P(a lo más 1 mujer) =  0,1515 12 ( ) 4 13.4. Al menos un hombre es 1 hombres y 4 mujeres, o 2 hombres y 2 mujeres o 3 hombres y 1 mujer o 4 hombres. Sin embargo es más simple calcular el suceso contrario, que es “cero hombres”.

5 7 ( )·( ) 0 4 P(cero hombres) =  0,0707 12 ( ) 4 Entonces, P(al menos 1 hombre) = 1 – 0,0707 = 0,9293.

14. Accidentes laborales Para realizar un estudio de accidentes laborales, fueron definidos los sucesos siguientes: A = el accidente se produce por acción insegura por parte del trabajador. C = el accidente se produce por condición insegura en el lugar de trabajo. La investigación llegó a establecer las siguientes probabilidades: P(A) = 0,56; P(C) = 0,48 y P(A y C) = 0,12 A partir de estos datos: 14.1. Calcule P(A – C) 14.2. Calcule la probabilidad de accidente por Condición insegura y no por Acción insegura. 14.3. ¿Son los sucesos A y C, independientes?

Solución: Es conveniente trazar un diagrama, indicando en él las probabilidades dadas: A 0,44

0,12



C 0,36

0,08

14.1. P(A – C) Esta es la probabilidad de accidente por Acción insegura, pero no por Condición insegura. En el diagrama esta probabilidad es 0,44. Aplicando el teorema correspondiente: P(A – C) = P(A) – P(A y C) P(A – C) = 0,56 – 0,12 = 0,44 Este resultado es consistente con la cifra del diagrama.

14.2. Se pide P(C y A’) Aplicando el teorema correspondiente: P(C y A’) = P(C – A) = P(C) – P(A y C) = 0,48 – 0,12 = 0,36 Este resultado es consistente con la cifra del diagrama.

14.3. Para que A y C sean independientes debe cumplirse que P(A y C) = P(A) · P(C) De acuerdo a los datos, P(A) = 0,56; P(C) = 0,48 y P(A y C) = 0,12 Reemplazando:

P(A y C) = P(A) · P(C) 0,12 = 0,56 · 0,48 0,12 = 0,2688 Como 0,12  0,2688, los sucesos A y C no son independientes.

15. Distribución de probabilidades En la tabla adjunta, la variable aleatoria X = Nº de integrantes por familia y f(x) su probabilidad: X

f(x)

0,07

0,21

0,33

0,11

0,09

15.1. Calcule el valor que falta en la tabla, asumiendo que esta representa una distribución de probabilidades. 15.2. Calcule la probabilidad de que una familia tenga más de 4 integrantes. 15.3. Calcule el número esperado de integrantes por familia.

Solución: 15.1. Para que la tabla represente una genuina distribución de probabilidades, la suma de sus probabilidades debe ser 1. Por lo tanto, el valor que falta es P(x=4) = 0,19.

15.2. Se pide P(x > 4): P(x > 4) = P(x=5) + P(x=6) = 0,11 + 0,09 = 0,20.

15.3. El valor esperado de una distribución discreta como está dado por: E(x) = 1 · 0,07 + 2 · 0,21 + 3 · 0,33 + 4 · 0,19 + 5 · 0,11 + 6 · 0,09 = 3,33 E(x) = 3,33 integrantes por familia.

16. Concurso de televisión En concurso de la televisión, el conductor del programa lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Una vez hecho esto, el concursante lanza los dos dados y, si obtiene una suma mayor, gana el premio, de lo contrario, pierde. 16.1. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento del lanzamiento de los dados por parte del concursante? 18.2. Si el conductor obtuvo suma 5, ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante pierda?

Solución: 16.1. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles de este. En el caso relatado el espacio muestral es:   {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

16.2. Si el conductor obtuvo suma 5, para que el concursante gane debe obtener suma 6 o más, hasta 12. Los casos favorables son los siguientes: Suma Suma Suma Suma Suma Suma Suma

6: (5, 1), (1, 5), (4, 2), (2, 4) y (3, 3). Casos favorables = 5 7: (6, 1), (1, 6), (5, 2), (2, 5), (4, 3), (3, 4). Casos favorables = 6 8: (6, 2), (2, 6), (5, 3), (3, 5) y (4, 4). Casos favorables = 5 9: (6, 3), (3, 6), (5, 4) y (4, 5). Casos favorables = 4 10: (6, 4), (4, 6), y (5, 5). Casos favorables = 3 11: (6, 5) y (5, 6). Casos favorables = 2 12: (6, 6). Casos favorables = 1

Total casos favorables: 26 Total casos posibles: 36, que es la combinación de las 6 caras de un dado con las 6 del otro. Aplicando la definición de probabilidad de Laplace: P(Suma > 5) =

26  0,7222 36

En estas condiciones, el concursante tiene una probabilidad 0,7222 de ganar.

17. El hombre del tiempo Según “el hombre del tiempo” de un canal de televisión, la probabilidad de que llueva hoy es de 0,42. Si llueve hoy, la probabilidad de que llueva mañana es de 0,56, mientras que si hoy no llueve, la probabilidad de que llueva mañana es de 0,77. Con estos datos calcule la probabilidad de que: 17.1. Hoy no llueva 17.2. Llueva hoy y mañana 17.3. Llueva mañana, ya que hoy no llovió. 17.4. Llueva mañana 17.5. Si mañana no llueve, haya llovido hoy.

Solución: Sean los sucesos: H = llueve hoy M = llueve mañana Las probabilidades dadas son las siguientes: P(H) = 0,42 P(M/H) = 0,56 P(M/H’) = 0,77

Para mejorar la comprensión y el cálculo, se traza el siguiente diagrama de árbol.

0,56 0,44

0,42

M/H M’/H M/H’

0,58

H’

0,77 0,23

M’/H’

17.1. Se trata solo de la negación del suceso H = llueve hoy. Entonces, P(H’) = 1 – 0,42 = 0,58. 17.2. Se trata de la conjunción de los sucesos H y M: Entonces, P(H y M) = 0,42 · 0,56 = 0,2352.

17.3. Es una probabilidad condicional, que pide la probabilidad de que mañana llueva, condicionado al hecho de que hoy no llovió. Es decir, se pide P(M/H’). Siguiendo la rama correspondiente del diagrama y aplicando la regla del producto, se llega a que dicha probabilidad es igual a: P(M/H’) = 0,58 · 0,77 = 0,4466.

17.4. Se pide P(M) Este suceso se puede dar de dos formas, tal como se muestra en el diagrama de árbol:

0,56

0,42 0,58 H’

0,77

M/H

P(H y M/H) = 0,42 · 0,56 = 0,2352

M’/H

M/H’

= 0,6818

P(H’ y M/H’) = 0,58 · 0,77 = 0,4466

M’/H’

Aplicando la regla del producto y de la suma: P(M) = 0,2352 + 0,4466 = 0,6818

17.5. Se pide P(H/M’): Desarrollando la expresión:

P(H / M' ) 

P(H y M' ) P(H)  P(H y M) = P(M' ) 1  P(M)

Las probabilidades del numerador son, de acuerdo al diagrama, a las reglas operatorias y cálculos ya hechos: P(H) = 0,42; P(M) = 0,6818; P(H y M) = 0,2352

P(H / M' ) ==

0,42  0,2352 0,1848 = = 0,5808. 0,3182 1  0,6818

Entonces, si no llueve mañana, la probabilidad de que haya llovido el día anterior (hoy) es 0,5808.