Patrizio Gravano
I
II
Patrizio Gravano Un metodo alternativo per la risoluzione dell’equazione 𝒂2 + 𝒃2 = 𝒄2
È dovuto a Euler il metodo che consente di determinare le terne pitagoriche cioè le terne di interi assoluti a, b, c, solitamente indicate come (a, b, c) con ciò intendendo i numeri interi assoluti per i quali
𝒂2 + 𝒃2 = 𝒄2 .
Nei primi mesi dell’anno 2021, e da ultimo il 9 aprile 2021, ero
intento
ad
occuparmi
di
particolari
equazioni
diofantee quali quelle del tipo 𝑥 2 + 𝑚𝑦 2 = 𝑛𝑧 2 . Le coppie (m, n) ∈ ℕ × ℕ devono intendersi note, mentre vanno individuate le terne di interi assoluti (x, y, z) che verificano la condizione. Ad
un
certo
momento,
l’imperativo
divenne
sostanzialmente il seguente: • trovare le soluzioni intere e positive (x, y) con x < y della seguente equazione diofantea: 2𝑦2 − 2𝑥𝑦 = 𝑛2 dove n deve intendersi noto e intero pari.
III
Se x < 𝑦 allora fissato y l’intero x varia in {x}= {1,2,…,𝑦 − 1} Il metodo funziona in quanto posto per esempio y = 2 e x = 1 si ha 2(2)2 − 2∗ 1 ∗ 2 = 𝑛2 cioè 8 – 4 = 4 = 22. Il che consente, sotto le condizioni poste, di ottenere una delle note terne cioè (3, 4, 5). (3, 4, 5) è una terna pitagorica primitiva perché: 32 + 42 = 52 (infatti 9 + 16 = 25 cioè 25 = 25). La risoluzione del quesito è necessaria perché dalla relazione tra x ed y si ottiene una terna pitagorica, una delle possibili terne. In altri termini, il problema di Euler delle condizioni che devono sussistere tra gli interi assoluti a, b, e c affinchè sia 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 può essere gestito in via alternativa, rispetto alla dimostrazione di Euler, all’uopo ritenendolo risolto e cioè ammettendo esistano due interi tali che (x, y) tali che b= 𝑎 + 𝑥 e c = 𝑎 + 𝑦 e imponendo vera la condizione seguente: 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 = (𝑎 + 𝑦)2 Tale relazione deve essere trattata alla stregua di una equazione nell’indeterminata a (d’altronde il numero intero a, primo elemento di una terna pitagorica, deve intendersi incognito, in quanto da determinare, al pari degli interi x ed y).
IV
Sviluppando i calcoli si ottiene la soluzione positiva (unica accettabile) che risulta essere:
𝑎 = 𝑦 − 𝑥 +√2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 2
La condizione di realtà del radicale impone sia 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 ≥ 0. In realtà, per i casi x> 0, tale condizione deve essere sostituita da quella veramente accettabile e cioè
2𝑦 2 −
2𝑥𝑦 > 0. Deve, in altri termini, essere 𝑥 < 𝑦. In altri termini 𝑥 = 𝑦 porta ad un caso non accettabile, cioè 2
𝑎 = 𝑦 − 𝑥 +√2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 = 0 − 0 + √2 ∗ 02 − 2 ∗ 0 ∗ 0 = 0. 2
V
Sviluppo dei calcoli relativi alla soluzione proposta Si può partire dall’ipotesi, assolutamente legittima, di ritenere risolto il problema, considerando quindi l’equazione seguente, dove, come già detto, a deve intendersi incognita. 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 = (𝑎 + 𝑦)2 dovendo quindi intendersi che siano interi anche i numeri (𝑎 + 𝑥) e (𝑎 + 𝑦) . La specificità delle terne pitagoriche non consente per il numero intero x di ritenerlo naturale (vedi infra l’osservazione sulla terna pitagorica elementare (3, 4, 5). Da 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 = (𝑎 + 𝑦)2 sviluppando i calcoli si ottiene: 𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑥 + 𝑥 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑦 + 𝑦 2 𝑎2 + 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 + 𝑥 2 − 𝑦 2 = 0 𝑎2 + 2𝑎 (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 2 − 𝑦 2 ) = 0 Quella
appena
ricavata
è
una
equazione
di
II
grado
nell’indeterminata a le cui soluzioni sono: 𝑎1,2 = 𝑎1,2 = 𝑎1,2 =
−2(𝑥−𝑦)±√(2(𝑥−𝑦))2 −4(𝑥 2 −𝑦 2 ) 2 −2𝑥+2𝑦±√4(𝑥 2 −2𝑥𝑦+𝑦 2 )−4𝑥 2 +4𝑦 2 2 2(𝑦−𝑥) 2
±
√4𝑥 2 +4𝑦 2 −8𝑥𝑦−4𝑥 2 +4𝑦2
𝑎1,2 = (𝑦 − 𝑥) ± 𝑎1,2 = (𝑦 − 𝑥) ± 𝑎1,2 = (𝑦 − 𝑥) ±
2 √8𝑦2 −8𝑥𝑦 2 √8(𝑦2 −𝑥𝑦) 2 2√2(𝑦 2−𝑥𝑦) 2
E quindi il risultato 𝑎1,2 = (𝑦 − 𝑥) ± √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦)
VI
𝑦 > 𝑥 𝑥 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℕ Le condizioni per le quali sia 𝑎 ∈ ℕ sono { . ( 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦) = 𝑘 2 ⎸𝑘 ∈ ℕ L’unica soluzione accettabile è: 𝑎 = (𝑦 − 𝑥) + √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) Infatti, si consideri la soluzione 𝑎 = (𝑦 − 𝑥 ) − √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) . Dovendo essere 𝑎 > 0 sarebbe (𝑦 − 𝑥 ) − √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) > 0 Da (𝑦 − 𝑥 ) − √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) > 0 si ottiene immediatamente (𝑦 − 𝑥 ) > √2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) Elevando al quadrato si ottiene: (𝑦 − 𝑥)2 > 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) da cui 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 > 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 da cui si ottiene 𝑦 2 + 𝑥 2 > 2𝑦 2 .
Tale risultato non è compatibile con la condizione
𝑥 < 𝑦, anzi sarebbe coerente con la condizione 𝑦 < 𝑥 .
Da ciò discende l’essenzialità di trovare le coppie (x, y) ∈ ℕ ⤬ ℕ con x < y per i quali l’intero (2𝑦2 − 2𝑥𝑦) sia un quadrato perfetto. La quantità 2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 può essere riscritta come 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦). Affinchè 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦) sia il quadrato di un intero deve essere 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 22𝑗+1 𝑘 2𝑧 , dove k, j e z sono tre interi assoluti. Il numero j può assumere il valore zero. In altri termini 𝑦 2 − 𝑥𝑦 deve essere un numero pari ma non può essere un quadrato perfetto (dovendo per contro
VII
essere strettamente compreso tra due quadrati di interi assoluti). In altri termini, deve risultare (𝑦 − 1)2 < 𝑦 2 − 𝑥𝑦 < 𝑦 2 quando 0 < 𝑥 < 𝑦 ( e anche interi). Sotto questa particolare condizione deve risultare che: {𝑥} = {1, 2, … . , 𝑦 − 1} da cui {ℎ} = {𝑦 − 1, … . . . , 1} . La quantità 𝑦 2 − 𝑦(𝑦 − ℎ) diviene per h ∈ {ℎ} eguale a h𝑦. Detto altrimenti ℎ = 𝑦 − 𝑥. Pertanto la quantità sotto radicale diviene 2ℎ𝑦 dovendo quindi valutarsi il radicale 2√2ℎ𝑦 dovendo quindi essere ℎ∈ℕ { e ulteriormente quindi deve 𝑦 > 𝑥 . 𝑦∈ℕ Deve risultare h𝑦 = 22𝑗+1 𝑘 2𝑧 , dove k, j e z sono tre interi assoluti. Il numero j può assumere il valore zero. Tali osservazioni sono vere quando si imponga
0<𝑥<𝑦
(essendo x ed y interi). Tale condizione deve ritenersi un caso particolare anche se in prima battuta deve ritenersi l’unico accettabile. Occorre, in effetti, rifarsi alla relazione 𝑎 = 𝑦 − 𝑥 +√2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 > 0 2
𝑎>0 Il caso { conduce ad un risultato accettabile. 0<𝑥<𝑦
VIII
𝑎>0 Non compatibile risulta il caso { che viola la 0<𝑦<𝑥 condizione di realtà del radicale. In questo caso sarebbe √2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 < 0 (non reale). 2
𝑥 > 0 ⋁𝑦 < 0 ⋀ Astrattamente, resta da considerare il caso { 𝑥 < 0 ⋁𝑦 > 0 che non è incompatibile con la condizione di realtà del radicale, come si può evincere icto oculi. Infatti,
anche da un punto di vista geometrico,
𝑎>0 𝑎>0 condizioni {𝑎 + 𝑥 > 0 e cioè {𝑎 > − 𝑥 𝑎+𝑦 >0 𝑎 >−𝑦
le
non conducono ex se
𝑥>0 alle diseguaglianze { . 𝑦>0 La condizione iniziale 𝑎 > 0 è irrinunciabile in quanto misura di un segmento. La condizione geometrica impone sia parimenti {
𝑎+𝑥 >0 . 𝑎+𝑦 >0
Occorre però osservare che se è vero che deve essere 𝑎 + 𝑥 > 0 non necessariamente ciò implica 𝑎 + 𝑥 > 𝑎. Tale evenienza non è verificata quando x ∈ ℤ− (cioè quando x è intero negativo). Questa precisazione deve essere fatta perché se (𝑎, 𝑏, 𝑐) è una terna pitagorica primitiva anche (𝑏, 𝑎, 𝑐) è una terna pitagorica primitiva. Infatti, si ha: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑏 2 + 𝑎2 = 𝑐 2
IX
𝐶ome esempio concreto, si può affermare che le terne (3, 4, 5) e (4,3,5) sono la stessa terna, come banalmente si può ricavare. Queste osservazioni consentono di affermare che deve risultare x ∈ ℤ . La stessa condizione non vale per y dovendo risultare y ∈ ℕ. In particolare, deve risultare (𝑎 + 𝑦) > max(𝑎, 𝑎 + 𝑥). Infatti,
ammettendo
sia
(𝑎 + 𝑦) = max(𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 + 𝑥
si
avrebbe 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 = (𝑎 + 𝑥)2 ⟹ 𝑎2 = 0 quando 𝑎 ≠ 0. Ciò è evidentemente un’assurdità. Ad
assurdo si perviene anche nel caso sia
(𝑎 + 𝑦) =
max(𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 avendo in questo caso 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 = (𝑎)2 da cui (𝑎 + 𝑥)2 = 0 vera se 𝑎 = −𝑥 da cui 𝑎2 + (0)2 = (0)2 ⟹ 𝑎2 = 0 quando 𝑎 ≠ 0 (esito assurdo). Deve considerarsi quindi l’ipotesi 𝑎 + 𝑦 < max (𝑎, 𝑎 + 𝑥) che 0<𝑎+𝑦 <𝑎 ⋀ conduce ai due possibili casi { . 0 < 𝑎 + 𝑦 < 𝑎 + 𝑥 (𝑥 > 0) Si osserva, al riguardo, che entrambi i casi conducono ad esisti incompatibili con la condizione di essere i numeri che si considerano membri di una terna pitagorica. Infatti, se 𝑎 + 𝑦 < max (𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 è evidente che
x ∉ ℕ
dovendo per contro essere 𝑥 ∈ ℤ− .
X
0
a+x
a+y
a
In tali ipotesi evidentemente deve essere che
y ∉ ℕ
dovendo per contro essere y ∈ ℤ− . Essendo possibile, sotto le stesse condizioni, anche quanto rappresentabile nella retta reale come segue.
0
a+y
a+x
a
In termini più formali si hanno i due possibili sottocasi: 𝑎+𝑥 ≤𝑎+𝑦 <𝑎 { 𝑎+𝑦 ≤ 𝑎+𝑥 <𝑎 In ogni caso, comunque, risulta: (𝑎 + 𝑦)2 < 𝑎2 vera in quanto 𝑦 < 0 . 𝐴 𝑓𝑜𝑟𝑡𝑖𝑜𝑟𝑖 si puo scrivere
(𝑎 + 𝑦)2 < 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2
in quanto
comunque il numero (𝑎 + 𝑥)2 è un intero positivo.
XI
Pertanto, il caso 𝑎 + 𝑦 < max (𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 conduce ad una evidente incompatibilità non potendo essere (𝑎 + 𝑦)2 = 𝑎2 + (𝑎 + 𝑥)2 . Occorre, ora, considerare un ulteriore caso incompatibile con le condizioni del problema, cioè il caso: 𝑎 + 𝑦 < max(𝑎, 𝑎 + 𝑥) { con 𝑥 ∈ ℕ . max(𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 + 𝑥 In questo caso sarebbe 𝑎 + 𝑦 < 𝑎 + 𝑥 da cui (𝑎 + 𝑦)2 < (𝑎 + 𝑥)2 . A fortiori, risulta, immediatamente, che (𝑎 + 𝑦)2 < (𝑎 + 𝑥)2 + 𝑎2 Ciò è vero anche per il caso 𝑦 = 0 in quanto (𝑎)2 < (𝑎 + 𝑥)2 + 𝑎2 . Pertanto, anche il caso 𝑎 + 𝑦 < max(𝑎, 𝑎 + 𝑥) = 𝑎 + 𝑥 conduce a (𝑎 + 𝑦)2 < (𝑎 + 𝑥)2 + 𝑎2 ,
rappresentando,
quindi,
una
condizione incompatibile con la determinazione delle terne pitagoriche. Ai fini della risoluzione del problema deve essere h𝑦 = 22𝑗+1 𝑘 2𝑧 , cioè deve essere h𝑦 pari. Esiste un caso evidente di ulteriore condizione impossibile poiché deve essere √2ℎ𝑦 intero assoluto, cioè deve essere vero che il numero 2ℎ𝑦 è il quadrato di un interno, non potendo, per contro, essere ℎ𝑦 il quadrato di un intero (recte: qualora fosse h𝑦 il quadrato di un intero allora il
XII
numero intero assoluto 2ℎ𝑦 non lo potrebbe, ovviamente, essere). ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 ⋁ È evidente che il caso { non è compatibile con la 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 condizione √2ℎ𝑦 ∈ ℕ . Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè sia √2ℎ𝑦 ∈ ℕ è che almeno h oppure almeno y sia un numero pari. ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 ⋁ In ogni caso occorre partendo dal caso { osservare 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 che per esso l’aver posto ℎ = 𝑦 − 𝑥 dispari conduce a 𝑥 = 𝑦 − ℎ cioè equivale ad affermare che x è un numero pari (differenza di due dispari). 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⋁ Ne consegue che { non è compatibile con la 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 condizione √2ℎ𝑦 ∈ ℕ . Posto y intero assoluto pari l’intero h può essere sia pari che dispari ma sussiste una relazione essenziale che deve rendere vera la condizione √2ℎ𝑦 ∈ ℕ . Sia {𝑝𝑖 ∶ 𝑝𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑒 𝑝1 > 2} l’insieme dei numeri primi maggiori di 2. Nel caso y e h entrambi pari deve essere
XIII
𝑦ℎ = 22𝛼+1 ∏𝑘𝑖=1(𝑝𝑖 )2𝛽𝑖 (intesa che sono considerati i fattori riferiti al prodotto nel suo complesso) Nel caso y pari e h dispari si può scrivere: 𝑘
𝑘
𝑜 1 𝑦ℎ = (22𝛼+1 ∏𝑗=1 (𝑝𝑗 )2𝛽𝑗 )( ∏𝑖=1 (𝑝𝑖 )2𝛽𝑖 )
Condizioni elementari sulle terne pitagoriche Sono immediatamente ricavabili le condizioni necessarie affinchè tre numeri interi assoluti costituiscano una terna pitagorica primitiva. Infatti ammesso che (a,b,c) sia una terna pitagorica si ha: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 Dividendo ambo i membri per 𝑐 2 ≠ 0 si ha: 𝑎
𝑏
( 𝑐 )2 + ( 𝑐 )2 = 1 Sono ipotizzabili in prima battuta due casi e il tutto può essere sintetizzato come segue: 𝑐 ⎸𝑎 { ⋁ 𝑐 ⎸𝑏
𝑐 ∤𝑎 { ⋁ ⋀ 𝑐∤𝑏
𝑐 ⎸𝑎 In realtà il caso { ⋁ è impossibile, come facilmente si dimostra. 𝑐 ⎸𝑏 𝑐 ⎸𝑎 Infatti, ⋁ equivale ad ammettere che esista una coppia (m,n) ⎸ 𝑐 ⎸𝑏 (m , n) ∈ ℕ× ℕ per la quale sia
(
𝑚𝑐 2 ) 𝑐
𝑛𝑐
+ ( )2 = 1 che conduce ad un 𝑐
XIV
esito assurdo, essendo per (m,n) ⎸ (m,n) ∈ ℕ× ℕ ottenuta la relazione tra interi 𝑚2 + 𝑛2 = 1 . Occorre considerare quindi l’unico caso possibile e cioè
𝑐 ∤𝑎 ⋁ . 𝑐∤𝑏
In questo caso particolare risulta che contemporaneamente c non divide né l’intero a né l’intero b. Risulta evidentemente che
𝑐 ∤𝑎 𝑎 = 𝑐𝑞1 + 𝑟1 ⋁ ⟹ { . 𝑏 = 𝑐𝑞2 + 𝑟2 𝑐∤𝑏
Sostituendo in formula si ottiene immediatamente: (
𝑐𝑞1 +𝑟1 2 ) 𝑐
+(
𝑐𝑞2 +𝑟2 2 ) 𝑐
𝑟
𝑟
= 1 da cui (𝑞1 + 𝑐1 )2 + (𝑞2 + 𝑐2 )2 = 1 .
È immediato constatare che affinchè tale relazione di eguaglianza sia vera è necessario che sia 𝑞1 = 𝑞2 = 0. Altrimenti, immediatamente si avrebbe
𝑟
𝑟
(𝑞1 + 𝑐1 )2 + (𝑞2 + 𝑐2 )2 > 1
atteso che si opera nell’insieme ℕ dei naturali e la condizione 𝑞1 ≥ 1 e 𝑞2 ≥ 1 . 𝑟
𝑟
Quindi la condizione considerata impone sia ( 𝑐1 )2 + ( 𝑐2 )2 = 1 da cui si ha: (𝑟1 )2 + (𝑟2 )2 = 𝑐 2 . 𝑟1 = 𝑎 Quindi evidentemente {𝑟 = 𝑏 . 2
Non sono ammissibili gli altri due casi astrattamente possibili che possono essere compendiati come segue: 𝑐 ⎸𝑎 { ⋁ 𝑐 ∤𝑏
XV
𝑐 ⎸𝑏 { ⋁ 𝑐 ∤𝑎 Così, ad esempio, con riferimento al primo di tali casi e cioè da 𝑐 ⎸𝑎 { ⋁ e dato 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2 si ottiene, dividendo ambo i membri della 𝑐 ∤𝑏 𝑎
𝑏
𝑏
relazione pitagorica per 𝑐 2 ≠ 0, che è ( 𝑐 )2 + ( 𝑐 )2 = 1 da cui 𝑚2 + ( 𝑐 )2 = 1 (impossibile, essendo m intero assoluto). 𝑐 ⎸𝑏 Analogamente si dimostra che la condizione { ⋁ è parimenti 𝑐 ∤𝑎 𝑎
impossibile potando ad un caso del tipo ( 𝑐 )2 + 𝑟 2 = 1, essendo r intero assoluto.
Digressione su 𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 (𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ 𝒄𝒐𝒏 𝒚 > 𝒙 Con ogni probabilità questa parte non sarà inserita nella versione definitiva dell’elaborato, attesa la via alternativa ipotizzata. In ogni caso è utile ricordare alcuni spunti di possibile interesse. Si è convenuto che il numero 𝑦 2 − 𝑥𝑦 non può essere il quadrato di un numero intero dovendolo, per contro, esserlo il numero 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦 ) (condizione
necessaria
per
ottenere
il
numero
a
intero
assoluto, termine di una terna pitagorica. Ulteriormente si evince, icto oculi, che il numero 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦 ) oltre ad essere il quadrato di un intero è pari e quindi elemento dell’insieme {(2𝑘)2 : 𝑘 ∈ ℕ}. Sono, pertanto, evidenti i seguenti passaggi: 2(𝑦 2 − 𝑥𝑦 ) = 𝑛2
XVI
2𝑦 2 − 2𝑥𝑦 = (2𝑘)2 Dividendo per 2 ambo i membri si ha: 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 2(𝑘)2 Pertanto anche il numero 𝑦 2 − 𝑥𝑦 è pari (ma non quadrato perfetto) (recte: deve essere pari). Vanno, quindi, studiate le condizioni per le quali 𝑦 2 − 𝑥𝑦 è un numero pari. Sono possibili i casi seguenti: 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑖 { 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 Si consideri, quindi, il primo caso possibile: 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑖 Per y dispari parimenti dispari deve essere il numero x. Per la condizione posta x< 𝑦 l’insieme degli x ammissibili è l’insieme {𝑥 = (𝑦 − 2), (𝑦 − 4), … . . (𝑦 − 2𝑚), … . , 3, 1}. L’esatta cardinalità di detto insieme si ottiene individuando il valore di m (intero) tale che 𝑦 − 2𝑚 ≥ 1 dove y deve intendersi noto. Da
𝑦 − 2𝑚 ≥ 1 si ottiene 2𝑚 ≤ 𝑦 − 1 e quindi 𝑚 ≤
dispari il numero
𝑦−1 2
𝑦−1 2
. Poiché y è
è pari.
(p.e. – caso posto solo per fissarsi le idee – se y = 7 allora 𝑚 = 7−1 2
=
6 2
𝑦−1 2
=
= 3, pertanto {𝑥 = (7 − 2), (7 − 4), (7 − 6} ≡ {𝑥 = (5), (3), (1)}.
Lo studio di 𝑦 − 2𝑚 = 1 (y noto, m intero per le condizioni poste) porta a m = card {{𝑥 = (𝑦 − 2), (𝑦 − 4), … . . (𝑦 − 2𝑚), … . , 3, 1}}
XVII
Si può definire l’insieme {𝑚} ≡ {𝑚 ∶ 𝑚 ∈ ℕ ⋁ 𝑚 ≤ 𝑐𝑎𝑟𝑑 {𝑥 } }. Sotto questa considerazione il numero 𝑦 2 − 𝑥𝑦 può essere riscritto tenendo conto che 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 𝑦(𝑦 − 𝑥 ) = 𝑦(𝑦 − (𝑦 − 2𝑚)) = 𝑦(𝑦 − 𝑦 + 2𝑚) = 𝑦(2𝑚) = 2𝑚𝑦 Lo studio del caso presuppone dato y dispari di verificare il numero 4my, al variare di m in {𝑚} al fine di verificare quando esso è un quadrato perfetto. Deve essere tenuto in disparte il caso in cui sia y oltrechè dispari anche primo in quanto affinchè il numero 4my sia il quadrato di un intero quando y sia un intero primo conduce a dover postulare m = y (condizione non accettabile). Pertanto, deve essere y dispari ma non primo. Il caso y dispari ma quadrato perfetto (p.e. 25=52 ) impone sia m quadrato perfetto, evidentemente strettamente minore di y. Fuori da queste ipotesi deve considerarsi il caso y dispari non quadrato perfetto. In questo caso i numeri y ed m (supposti entrambi non quadrati perfetti) devono contenere gli stessi fattori primi di guisa che la somma degli esponenti di ciascun primo sia un numero pari. Poiché poi 𝑚 < 𝑦 allora m deve contenere i fattori primi comuni ad esponente minore o eguale, ma non tutti. Per esempio se y = 𝑝𝑖𝑘 𝑝𝑗ℎ allora m = 22𝜎 𝑝𝑖𝑘′𝑝𝑗ℎ′ . 𝑘 + 𝑘′ = 𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑘′ ≤ 𝑘 La condizione è {𝜎} = ℕ0 e deve essere { ed anche { ′ ℎ + ℎ = 𝑝𝑎𝑟𝑖 ℎ′ ≤ ℎ 𝑘′ = 𝑘 non potendo essere { ⋁ . ℎ = ℎ′
XVIII
Corollario conseguente al caso 𝒚 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒂𝒓𝒊 ⟹ 𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒊 L’immediata conseguenza delle osservazioni relative al caso 𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 ⟹ 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑖 è che 2(𝑝2 − 𝑝𝑥) non può essere il quadrato di un intero ∀ 𝑝 ∶ 𝑝 è primo e strettamente maggiore di 2. Si osservi poi che per 𝑝 = 2 il numero x potrebbe valere 1 e in questo caso si avrebbe
2(22 − 2 ∗ 1) = 2 ∗ 2 = 4 è un quadrato perfetto ma
sfugge al caso y dispari.
Studio del caso y = pari e x intero (pari o dispari) Quello che apparentemente pareva essere il caso più complesso in effetti è divenuto quello meno gravoso dal punto di vista della determinazione delle condizioni ulteriori. Occorre in altri termini studiare a quali condizioni il numero 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥) è un quadrato perfetto quando sia y intero pari, potendo, in questo caso, risultare x sia positivo che negativo (sotto la condizione x< 𝑦). Infatti, per y pari ed x pari il numero 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥) può essere reso nella 2𝛿𝑗 2𝜇𝛾 forma 2 ∗ 2𝛼 ∗ 2𝛽 (∏𝑘𝑖=1(𝑝𝑖 )2𝜎𝑖 )( ∏𝑘′ )( ∏𝑘′′ ), dove tutti gli 𝛾=1(𝑝𝛾 ) 𝑗=1(𝑝𝑗 )
esponenti devono intendersi interi. Sono quindi definiti tre insiemi di numeri primi strettamente maggiori di 2 così formalizzati: {(𝑝𝑖 } , {(𝑝𝑗 } , {(𝑝𝛾 }
che indica
rispettivamente i fattori primi, distinti da 2, che “costituiscono” il numero y, quelli che “costituiscono il numero x, a fattore pari in entrambi i casi e, da ultimo l’insieme dei possibili fattori comuni
XIX
ad esponente pari, inteso come somma degli esponenti riferiti ai numeri x ed y. Affinché si abbia il quadrato di un intero occorre che 𝛼 + 𝛽 sia un intero dispari. Qualora sia x dispari e lo sia, quindi ,anche (y-x) si evince che il numero (y -x) non contiene il fattore 2. Nei termini più generali il numero 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥) può essere reso nella 2𝛿𝑗 2𝜇𝛾 forma 2 ∗ 2𝛽 (∏𝑘𝑖=1(𝑝𝑖 )2𝜎𝑖 )( ∏𝑘′ )( ∏𝑘′′ ), dove tutti gli 𝛾=1(𝑝𝛾 ) 𝑗=1(𝑝𝑗 )
esponenti devono intendersi interi. Deve esistere quindi un 𝛽 intero dispari opportuno. La
soluzione
della
questione
appare
riconducibile
ad
una
“sostituzione”. Infatti, la quantità 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥) può essere trattata opportunamente avendosi: 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥 ) = 2𝑦(𝑦 − 𝑥 ) = 2𝑦𝑢. Il valore u non può essere però inteso come una grandezza costante
bensì
come
un
parametro
reale
tale
che
𝑢 ∈
{(1), (2), … . . , (𝑦 − 1)} ≡ {(𝑢)} . Per esempio, 𝑢 = Infatti,
𝑦 2
∈ {𝑢} è una conveniente soluzione del problema. 𝑦
2(𝑦 2 − 𝑦𝑥 ) = 2𝑦(𝑦 − 𝑥 ) = 2𝑦𝑢 = 2𝑦 2 = 𝑦 2 (quadrato pari di un
numero intero pari). Tale soluzione non è evidentemente unica. Al
solito
{𝑝𝑖 }
denota
l’insieme,
infinito,
dei
numeri
primi
strettamente maggiori di 2. Pertanto, l’insieme dei numeri primi risulta essere {(𝑝𝑖 )} ∪ {(2)} . È necessario un certo empirismo nello studiare le condizioni su y per le quali il problema può avere soluzione. Infatti per y dato
XX
(recte: supposto dato) occorre studiare come muta la condizione al variare di x, quindi occorre ragionare su ogni elemento di {(𝑢)} . Per esempio, se 𝑢 = 𝑦 − 𝑥 = 1. In questo caso (evidentemente con x dispari) la condizione per la quale il numero 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥 ) è il quadrato di un intero è quella per la quale 𝑦 = 22𝑛+1 ∏𝑘𝑖=1(𝑝𝑖 )(2𝑚)𝑖 . Sussiste quindi una specifica relazione tra la struttura del numero y (caso y pari) e 𝑢 = 𝑦 − 𝑥 . Ulteriore esempio per 𝑢 = 2 . In questo caso si ha 2(𝑦 2 − 𝑦𝑥 ) = 2𝑦(𝑦 − 𝑥 ) = 2𝑦𝑢 = 2𝑦2 = 4𝑦 (parte da completare)
XXI
NOTA
LEGALE
La presente nota è stata redatta senza finalità, dirette o indirette, di lucro. Ne è autorizzata la diffusione ulteriore con qualsiasi mezzo a condizione che sia citato l’autore dell’opera e il diffusore della stessa. Poiché questa nota è redatta con riserva di integrazioni o correzioni o anche di rettifiche si ravvisa l’opportunità che tale circostanza sia rappresentata (ad esempio, indicando che trattasi di testo passibile di correzioni anche sostanziali).
Roma, 7 agosto 2021
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