MATRICE INVERSA

Patrizio Gravano Su un metodo per la determinazione della matrice inversa di una matrice data.

Ho ricavato questo metodo alternativo per il calcolo della matrice inversa 𝐴−1 di una matrice quadrata A tale che det(A) ≠ 0 avviando la sintesi dedicata alla teoria della relatività generale.

Mi sono infatti imposto di elaborare un testo che, partendo dalle basi fisiche (principio di relatività, inerzia, etc.) e matematiche (per esempio, derivate, integrali, spazi vettoriali, trasformazioni lineari, tensori), contenga tutti gli elementi necessari per l’esame, da un punto di vista “elementare”, della teoria della relatività.

Per ragioni di semplicità lo sviluppo della presente nota è riferito al caso specifico delle matrici quadrate di ordine 2, cioè delle matrici costituite da due righe e da due colonne.

Quindi, in generale, tali argomentazioni sono estensibili al caso delle matrici quadrate di ordine n, cioè delle matrici quadrate costituite da n righe e da n colonne.

Sia {𝐴𝑛 } l’insieme delle matrici quadrate di ordine n.

Sia 𝐼𝑛 = [𝛿𝑖𝑘 ] ∈ {𝐴𝑛 } la matrice identità.

Sia 𝐴𝑛 ∈ {𝐴𝑛 }⎸𝑑𝑒𝑡𝐴𝑛 ≠ 0𝑅.

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Dicasi matrice inversa di 𝐴𝑛 ∈ {𝐴𝑛 }⎸𝑑𝑒𝑡𝐴𝑛 ≠ 0𝑅 la matrice 𝐴−1 𝑛 tale che: −1 𝐴−1 𝑛 𝐴𝑛 = 𝐴𝑛 𝐴𝑛 = 𝐼𝑛

Tali matrici 𝐴𝑛 ∈ {𝐴𝑛 }⎸𝑑𝑒𝑡𝐴𝑛 ≠ 0𝑅 sono dette non singolari.

Con riferimento alla scrittura 𝐴−1 𝑛 𝐴𝑛 si è soliti affermare che la matrice 𝐴−1 è la matrice inversa sinistra della matrice 𝐴𝑛 ; mentre, con 𝑛 −1 riferimento alla scrittura 𝐴𝑛 𝐴−1 𝑛 si è soliti affermare che la matrice 𝐴𝑛

costituisce la matrice inversa destra della matrice 𝐴𝑛 . È dato un teorema dell’algebra lineare per il quale l’inversa destra e l’inversa sinistra coincidono e costituiscono la matrice inversa della matrice data 𝐴𝑛 .

Per mere ragioni di praticità si consideri l’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 e rispetto ad esse il sottoinsieme proprio di esso che contiene tutte e sole le matrici il cui determinante sia diverso da zero.

Con riferimento a detto insieme si ha il seguente formalismo: −1 𝐴−1 2 𝐴2 = 𝐴2 𝐴2 = 𝐼2

potendo, quindi, definirsi matrice inversa di 𝐴2 ∈ {𝐴2 }⎸𝑑𝑒𝑡𝐴2 ≠ 0𝑅.

La matrice 𝐼2, elemento neutro rispetto alla moltiplicazione di matrici, è: 𝐼2 = [1 0] 0 1 La matrice 𝐴2 deve considerarsi nota e rappresentabile come segue: 𝐴2 = [𝑎 𝑏 ] con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑎 ℂ. 𝑐 𝑑 Le quantità 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 devono considerarsi note.

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Occorre determinare i coefficienti della matrice 𝐴−1 2 essendo: 𝑥 𝑦 𝐴−1 2 = [ 𝑧 𝑡 ] essendo 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑎 ℂ valori incogniti, cioè da daterminare. −1 Deve risultare 𝐴−1 2 𝐴2 = 𝐴2 𝐴2 = 𝐼2 ed equivalentemente aversi:

𝑥 [ 𝑧

𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 ][ ] = [𝑎 𝑏] [ ] = [ 1 0] 𝑡 𝑐 𝑑 𝑧 𝑡 𝑐 𝑑 0 1

Quando mi dedicavo, come capitato nuovamente per la stesura dell’elaborato di cui sopra, alla moltiplicazione di matrici mi ero fissato con un quid di legittima immaginazione di considerare i coefficienti della matrice prodotto (nel caso de quo la matrice [1 0] ) come il 0 1 risultato di un prodotto interno (ad esempio 𝑖11 = ( 𝑥 , 𝑦) ( 𝑎 ,𝑐 ) = 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 = 1 ed anche, commutativamente, 𝑖11 = (𝑎 ,𝑐 ) (𝑥 ,𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 = 1 ).

Si osservi che scrivere {

𝑖11 = ( 𝑥 , 𝑦) (𝑎 , 𝑐 ) = 𝑥𝑎 + 𝑦𝑐 = 1 conduce a poter 𝑖11 = ( 𝑎 , 𝑐 ) (𝑥 , 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 = 1

affermare che i vettori (x, y) e (a, c) non sono ortogonali.

Per essi vale la seconda formula del prodotto scalare per la quale si ha: (𝑥 ,𝑦) (𝑎 ,𝑐 ) = (𝑎 , 𝑐 ) (𝑥 , 𝑦) = ‖𝑥, 𝑦‖‖(𝑎, 𝑐)‖ cos 𝜗1 = 1 .

Sfortunatamente presa di per sé questa formula è poco risolutiva in quanto dato

(𝑎 , 𝑐 ) e quindi ricavato ‖(a, c)‖ si ottiene solamente

‖(𝑥, 𝑦)‖ cos 𝜗1 e non immediatamente ‖(𝑥, 𝑦)‖ .

Nel caso specifico di vettori dello spazio a due dimensioni (piano) da 2

(a,c) si ha ‖(a , c)‖= √𝑎2 + 𝑐 2 .

Con riferimento a elementi di 𝕍𝑛 la norma del vettore 𝛼𝕍𝑛 ≡ (𝛼1, 𝛼2, … . 𝛼𝑛 ) è data dal teorema di Pitagora generalizzato risultando cioè:

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2

‖𝛼𝕍𝑛 ‖ = √∑𝑛𝑖=1 𝛼𝑖2 Ritornando al caso 𝑛 = 2, con riferimento al caso considerato, può osservarsi che: • 𝑎𝑦 + 𝑏𝑡 = 0 ⟹ ( 𝑎 , 𝑏)⏊ (𝑦, 𝑡); • 𝑐𝑥 + 𝑑𝑧 = 0 ⟹ ( 𝑐, 𝑑 )⏊ (𝑥, 𝑧). (ove ⏊ denota l’ordinaria ortogonalità tra vettori)

In buona sostanza, giunti a questo punto si evince che sono dati quattro vettori due noti e due incogniti.

In ogni caso essi sono riferiti alla stessa origine e alla stessa base ortornormale (i, j) .

Tra l’altro i vettori {

(𝑎, 𝑏) sono noti e dalla seconda formula del prodotto (𝑐, 𝑑)

scalare è ricavabile l’angolo tra di essi.

‖.‖

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(𝑎, 𝑏) → √ 𝑎2 + 𝑏2 Infatti, { da cui (a,b) (c,d)= ‖(𝑎, 𝑏)‖‖(𝑐 , 𝑑)‖ cos𝜗 = 𝑎𝑐 + ‖.‖ 2 2 2 (𝑐, 𝑑) → √𝑐 + 𝑑 𝑎𝑐+𝑏𝑑

𝑏𝑑 da cui è possibile mettere in evidenza cos𝜗 = ‖𝑎,𝑏‖‖𝑐 𝑎𝑐+𝑏𝑑

𝑎𝑟𝑐 cos ‖𝑎,𝑏‖‖𝑐

,𝑑‖

,𝑑‖

e quindi 𝜗 =

.

Una conveniente rappresentazione dei vettori considerati è la seguente (a meno della norma di alcuni di essi non ancora calcolata ! ma che sarà determinata nel corso della presente nota).

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(a, b)

(c , d)

(x , z) (y, t)

Le coppie di vettori a due a due ortogonali sono stati rappresentati con lo stesso colore (così i due vettori colore ocra sono perpendicolari).

Al momento l’unico angolo noto è quello tra la coppia di vettori (a, b) e (c , d), come più sopra calcolato, oltre ai due angoli retti dati. È evidente, attesa la complanarità dei vettori che sono calcolabili anche l’angolo tra i vettori (y , t) e (c , d) e l’angolo tra i vettori (a , b) e (y, z) .

Usando la seconda formula del prodotto interno tra vettori si ottiene ‖(y, t)‖ ed anche ‖(y, z)‖ .

Ad esempio, con riferimento al vettore (y, t) si ha: (c , d) (y , t) = 𝑐𝑦 + 𝑑𝑡 = 1 ed anche ‖(c , d)‖‖(y , t)‖cos𝛾 = 1 . L’angolo 𝛾 deve 𝜋

considerarsi noto ( 𝛾 = 2 − 𝜗 ) 1

Ma ciò consente di ottenere ‖(y , t)‖= ‖(c ,d)‖cos𝛾 Il vettore (x , t) è univocamente determinato in quanto è individuata la norma, il verso e la direzione, anche tenuto conto che deve risultare (y , t) ⏊ (a , b).

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Questa sottostante figura sussidiaria ben illustra il contenuto di queste affermazioni, riferite alla coppia di vettori (a, b) da intendersi noto (essendo note le componenti a e b) mentre del vettore (y, t) è nota la sola norma mentre dovrebbero ritenersi indeterminata la direzione e il verso.

Ho però potuto notare che la direzione e il verso sono ricavabili solo che si tenga conto della condizione imposta (y , t) ⏊ (a , b).

Ecco quindi la figura da considerare.

(a, b)

t

j i

y

Ho denotato i vettori come coppie ordinate di numeri reali. Pertanto deve intendersi: (y, t) ≡ 𝑦𝒊 + 𝑡𝒋 Poiché (a, b) è noto e poiché è nota ‖(𝑦, 𝑡)‖ è possibile determinare (per differenza tra archi noti) l’angolo 𝜔 che il vettore (y, t) forma con il semiasse positivo delle ascisse del sistema Oij .

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sin 𝜔 =

Dalla trigonometria è noto che { cos 𝜔 = Da queste relazioni si ottiene {

𝑡 ‖(𝑦,𝑡)‖ 𝑦 ‖(𝑦,𝑡)‖

.

𝑡 = sin 𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖ 𝑦 = cos𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖

Si tratta di due degli elementi incogniti della matrice inversa che ora assume (

𝑥 cos 𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖ ) 𝑧 sin 𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖

Analoghe considerazioni possono essere svolte con riferimento al vettore incognito (x, z).

In questo caso si ha la seguente figura.

z

(c,d)

x

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Immediatamente ricavabile la proiezione del vettore (x, z) e noto l’angolo che detto vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse del sistema Oij si ottiene immediatamente ‖(𝑥, 𝑧)‖ .

Se 𝜇 (𝑑𝑎 𝑟𝑖𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑡𝑜) è l’angolo che il vettore (x, z) forma con il semiasse positivo delle ascisse del sistema Oij sono immediatamente ricavabili le proiezioni di detto vettore risultando {

𝑥 = ‖(𝑥, 𝑧)‖𝑐𝑜𝑠𝜇 𝑧 = ‖(𝑥, 𝑧)‖𝑠𝑖𝑛𝜇

Con ciò sono determinati gli ulteriori due elementi incogniti della matrice inversa. ‖(𝑥, 𝑧)‖𝑐𝑜𝑠𝜇 cos𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖ ) 𝐴−1 = ( ‖(𝑥, 𝑧)‖𝑠𝑖𝑛𝜇 sin 𝜔‖(𝑦, 𝑡)‖

Questa è evidentemente una elaborazione originale riferita alle matrici quadrate di ordine 2 che necessita di una attenta riflessione sui passaggi che tengono conto di questa osservazione basica: • il prodotto righe per colonne che genera gli elementi della matrice prodotto di due matrici è un prodotto interno e concretamente viene applicata la prima formula del prodotto scalare; • nel caso della terminazione della matrice inversa di una matrice non singolare quadrata data i prodotti interni possono assumere solo due valori 0 oppure 1; • qualora il prodotto scalare valga 0 i due vettori sono ortogonali.

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Mi riprometto di: • riverificare la fondatezza di tutti i passaggi; • estendere il metodo al caso delle matrici quadrate di ordine 𝑛 > 2 .

Conclusioni provvisorie.

Devo rilevare che il contenuto di questa sintesi, che ho avviato a stralcio di un elaborato meramente compilativo, è da intendersi provvisorio alla stregua delle considerazioni suindicate.

La presenza stessa

delle

funzioni cos(. ) e sin(. )

esprime una

approssimazione dei valori degli elementi della matrice inversa così ottenuta.

Sempre ferma restando la possibilità di errori nel metodo deve rilevarsi che tale approssimazione di fatto scaturisce dalla applicazione della seconda formula del prodotto scalare per la quale se sono dati i vettori a e b si ha ab= 𝒃𝒂 = ‖𝒂‖‖𝒃‖cosδ

a b

δ

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NOTA

LEGALE

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Roma, 3 luglio 2021

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