Stesura provvisoria
In attesa di Robinson
In questo periodo ho avuto modo di ripensare alla nozione di infinitesimo ricordando, ad esempio, la nota critica dell'abate Berkeley al concetto di infinitesimo; l’infinitesimo veniva aspramente criticato per quella sorta di antinomia che lo voleva eguale allo zero e diverso dallo zero al contempo. Sono partito da una diseguaglianza ben ovvia o meglio dal sistema seguente di diseguaglianze: 1 0 < 𝑑𝑥 < 𝑛 Tali diseguaglianze sono vere comunque si prenda n intero assoluto, arbitrariamente grande. Ciò è possibile ricordando che l’insieme N è illimitato superiormente. In termini sintetici è vero che: 1 0 < 𝑑𝑥 < ∀𝑛 ∈𝑁 . 𝑛
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In particolare risulta 𝑑𝑥 < 𝑛 ∀𝑛 ∈𝑁 . Questa ultima precisazione ha una implicazione. Non è lecito scrivere una relazione del tipo 1 1 1 < 𝑑𝑥 < in quanto la relazione 𝑑𝑥 < deve essere intesa come vera 𝑛+1 𝑛 𝑛 per ogni intero assoluto n. In estrema sintesi, risulta che: 1 1 𝑑𝑥 ∉ (𝑛+1 , 𝑛 ) comunque si prenda n intero assoluto. Se per ipotesi si fissa un k intero per il quale è vero 1 1 1 1 𝑑𝑥 ∉ (𝑘 , 𝑘−1 ) assumendo implicitamente 𝑑𝑥 ∉ (𝑛 , 𝑛−1 ) e cioè per 𝑛 < 𝑘 1
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o in termini ampi ammettendo 𝑑𝑥 ∉ (𝑗 , 𝑗−1 ) quando j ∈ {1, 2, … . , 𝑘} .